Text Material Preview
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-1
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS
PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS
((22001111))
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-2
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63
1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79
1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82
1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84
1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-3
EEXXEEMMPPLLOOSS
PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS
CCAAPP 22
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-4
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2)
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico
e densidade do óleo.
[ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K)
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a
sua viscosidade cinemática.
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ .
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54.
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de
101,0 kPa.
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão
atmosférica local é igual a 100 kPa.
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do
mercúrio igual a 13,6.
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o
valor do número de Reynolds.
[ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina;
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR =
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou
incompressível? c) subsônico ou supersônico?
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-5
Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
kNN
s
mkgxw
mgw
093,8ou 25,809381,9825 2 ==
=
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso
específico e densidade do óleo.
Massa específica
33 90067,899917,0
825
m
kg
m
kg
V
m
≅===ρ
Peso específico
323 8,882581,967,899
m
N
s
m
x
m
kgg === ργ
Também poderia ser determinada como
33 8,8825917,0
25,8093
m
N
m
N
V
w
===γ
densidade
)4()4( 22 caOH
fluido
caOH
fluidod
oo
γ
γ
ρ
ρ
==
90,089967,0
1000
67,899
)4(2
≅===
caOH
fluidod
o
ρ
ρ
[3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
Peso específico 334,78336
100047
m
Nx
V
W
===γ
Massa específica 351,79881,9
34,7833
m
kg
g
===
γρ
mm
xs
s
mkg
mm
Ns
s
m
m
N
g 3
2
2
3
2
2
3
.
.
====
γρ
Densidade 80,0
1000
51,798
0
2 40
===
CaH
óleod
ρ
ρ
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-6
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K)
A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa.
A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K
A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos
323,5294287
10003,441
m
kg
x
x
RT
P
===ρ
As unidades são:( ) 32
2
..
..
m
kg
xKmmN
KkgN
Kx
kgK
Nm
m
N
RT
P ==
==ρ
O peso de ar contido no tanque é igual a
NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 ==∀= −ρ
Conferindo as unidades:
( ) N
s
mkg
m
s
m
m
kggW ==
=∀= 2323 .ρ
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a
sua viscosidade cinemática.
s
m
x
kg
ms
s
kgm
x
kg
msN
x
m
kg
m
Ns
x 2
6
2
66
3
2
3
1088,5..1088,5..1088,5
850
105
−−−
−
=
====
ρ
µν
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ .
Solução
Em termos de coluna de água: água de 95.50
81.91000
10500 3
m
g
ph =
×
×
==
ρ
Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × −13 6 103 3. kg m .
mercúrio de 75.3
81.9106.13
10500
3
3
mh =
××
×
=
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-7
[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do
lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do
lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54.
A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação:
ghpp ρ+= 0
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm).
Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos
kPa
m
kg
xghpatm 43,79
m
N79430,79 x0,598m
s
m
x9,81100054,13 223 ==== ρ
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos
determinar a pressão absoluta como.
kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm ≈+=+=+= ρ
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+=
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa.
kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs =−=−=
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é
igual a 100 kPa.
kPakPakPappp vac 3070100atmabs =−=−=
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em
kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6.
atmabs pPp man +=
em kgf/cm2
2abs 321 cm
kgfp =+=
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma.
• Pressão em Pascal.
kPaxx
m
kgf
N
x
cm
kgfp 3,29410081,90,3
100
1
81,90,3 2
2
2
2abs ===
• Coluna de água
água de coluna de 30
81.91000
103,294 3
02
m
g
ph
H
=
×
×
==
ρ
• Coluna de mercúrio considerando d=13,6.
mercúrio coluna de 2,2
81,910006,13
103,294 3
m
xg
ph
Hg
=
×
×
==
ρ
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-8
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91
escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6
m/s, determine o valor do número de Reynolds.
O número de Reynolds é definido como
µ
ρ
ν
VDVD
== ou Re
a massa específica do fluido é determina em função da densidade
330 910100091,02 m
kg
m
kg
xd H === ρρ
156
38,0
910025,06,2Re ≅== xxVD
µ
ρ
Conferindo as unidades
( ) aladimension-1
...
Re
22
3
2
3
2
3 =
====
s
m
mkg
s
m
kg
m
s
m
sN
m
x
m
kg
xmx
s
m
m
Ns
m
kg
xmx
s
m
VD
µ
ρ
• O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as
variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente.
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 ≅ 11,77 kN
b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³
c) γ = ρ g 323 /37,1281,91261 mkNs
m
x
m
kg
≅=γ
d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26,1
1000
1261
3
3
==
m
kg
m
kg
d
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-9
[14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR =
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine:
a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico?
(a) TxRxKc = ( ) [ ]Kx
Kxkg
J
xc 273552874,1 +−
= c ≅ 296 m/s
b) M = V / c
s
m
s
m
s
m
s
h
x
km
m
x
h
km
M
296
236
296
3600
1
1
1000850
≅=
M ≅ 0,8 [admensional]
M > 0,3 � Fluido Compressível
c) M ≅ 0,8 M < 1 � Subsônico
[15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um
manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
).( PerfeitoGásEq
TxR
p
=ρ
absAR
manatmabs
TxR
pp
TxR
p +
==ρ
( )
( )
3
2
2
2
5,08
323
.
287
.
471330
27350287
370000101330
m
kg
Kx
Kxkg
s
mkg
sm
kg
Kx
Kxkg
J
PaPa
=⇒=
+
+
= ρρ
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-10
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3)
1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a
densidade deste líquido.
2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4
Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3.
3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C.
Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água
nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica
da água quando a temperatura é igual a 42,10C.
ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1
T (0C) 20 25 30 35 40 45 50
4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por:
ST
CT
+
=
2/3
µ
As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K.
Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos
de mecânica dos fluidos
5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por:
=
T
BD expµ
Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a
viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma:D
T
B ln1ln +=µ
Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de
intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a
partir da Eq. original.
6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num
reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96)
7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume
do tanque. (V=1,52m3)
8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2.
Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a
densidade do mercúrio. (d=13,6)
9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água
salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca)
10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos específico
igual a 850kgf/m3.
11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando
se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m)
12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa
especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-11
13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão
atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque.
14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se
mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal
(101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio.
(h=760mmHg)
15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a
pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório.
16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a
760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg.
17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a
40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa.
18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que
contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor
destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos.
19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que
apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U
conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6.
Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no
manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta:
Pmam=21,1kPa)
20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa
água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine
a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros.
21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão
igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3)
22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido
no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de
210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N).
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-12
EEXXEEMMPPLLOOSS
LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE
((CCAAPP 22))
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-13
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido.
• Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?.
• Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com
a tensão de cisalhamento no centro das placas ?
• Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ?
• Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?.
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de
cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms.
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica
de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade
de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de
velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa.
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A
separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A
densidade relativa é igual a 0,88 Determinar:
• ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido
• ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa)
• ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.
(1) (2) (3)
dy
duµτ =
y
x
y
V=2,5m/s
h=100mm
0
U=0,3m/s
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-14
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é
dada pela equação
−=
2
1
2
3
h
yV
u
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e
h=5mm determinar:
a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU =
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y oafastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o
diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com
viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade
(dv/dy=u/y).
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente
de velocidades é dado por:
=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
pipi
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do
resultado.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-15
Solução – Problema 1
[1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido.
(a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?.
(b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com
a tensão de cisalhamento no centro das placas ?
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ?
(d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?.
(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0.
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0).
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 =
constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte).
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo:
u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y ,
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente.
Para y=0 (centro do canal) τ=0.
Para y=ymax (paredes) τ=τmax.
Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky)
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-16
Solução – Problema 2
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em
y= -100mm.
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms.
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s
como 2byaV += achamos que a=2,5m/s
Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos
( )
2
22
2505,2
250
1,0
5,20
yV
y
aVb
−=
−=
−
=
−
=
O gradiente de velocidade é dada por: ydy
du 500−=
Tensão de cisalhamento em y=0 :
0 x500x08,0x10 3- ===
dy
duµτ
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m
2
3- 4,00)x500x(-0,18,0x10
m
N
dy
du
−=== µτ
Solução – Problema 3
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de
850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de
0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de
velocidade (dv/dy=u/y).
21 FFF +=
2
2
5
3 N.s/m06473,010615,7850 ===
−
s
m
x
m
kgρνµ
1
1 y
uA
dy
duAAF µµτ ≡==
2
2 y
uAF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2.
N
m
s
m
x
m
sN
xmx
y
uAF 62,0
0125,0
15,0
.06473,04,022 2
2 ==
= µ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-17
Solução – Problema 4
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre
elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena
largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no
líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa
é igual a 0,88 Determinar:
(a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms)
(b) A viscosidade cinemática do líquido
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa)
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.
Hipóteses:
• Distribuição linear da velocidade
• Escoamento em regime permanente
• Viscosidade constante
(a) 1 cP = Pa s /1000
s 105,6
1000
)65,0( 4 Pax
cP
sPa
cP −==µ
1 cP = Pa s /1000
)/(105,6
1000
)/()65,0( 4 mskgx
cP
mskg
cP −==µ
(b) A viscosidade dinâmica
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
1039,7
100088,0
105,6
−
−
===
ρ
µν
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta:
bmyyu +=)(
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.)
Para y=d u=U e por tanto m= U/d
Desta forma o perfil de velocidade é dado como:
y
d
Uyu
=)(
O gradiente é dado por:
ctes
x
d
U
dy
du
====
−11000
3,0
10003,0
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)
Pa
m
N
sms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65,065,0
11000105,6 2
4
0
==
==
= −
=
µµτ
• A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no
sentido negativo (-) dos x
• A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no
sentido positivo dos x
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-18
Solução – Problema 5
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é
dada pela equação
−=
2
1
2
3
h
yV
u
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e
h=5mm determinar:
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
Utilizando a lei universal
τ µ=
du
dy
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento
devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos,
y
h
V
h
yV
dy
du
22
320
2
3 −=
−=
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h,
Paou
m
N
m
x
s
m
xx
m
Ns
h
Vh
h
V
hy 691 691005,0
16,0392,13)(3 222 =
==−−=
−=
µµτ
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior
apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior.
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy.
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0.
O gradiente de velocidade eportanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia
de 0 no plano central a 691Pa nas paredes.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-19
Solução – Problema 6
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU =
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma ( ) .4y
dy
ydU
=
A tensão de cisalhamento é dada por:
y
u
∂
∂= µτ 2
3 0016,0)2,0(4102)(
m
N
xxx
dy
ydU
===
−µτ
Solução – Problema 7
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é
de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e
o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na
descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y).
y
uDL
dy
duAAF µpiµτ ===
( )
s
cm
s
m
xxx
xx
DL
Fy
u 87,20287,0
5,832,02,0
00005,098,9100
====
piµpi
Solução – Problema 8
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente
de velocidades é dado por:
=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
pipi
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do
resultado.
Pa
sxPax
xx
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mmy
mmy
0257,0
068,1428.108,1
707106,01000
0,72
0,9
0,72
5,3
cos
2
5
max
5,3
5,3
=
=
=
==
=
−
=
=
piµ
pipiµµτ
µτ
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-20
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a
inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa específica 830
kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com
o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida
para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N
[2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm
tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s.
Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com
uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa
superior considerando esta com superfície igual a 1,0m2.
R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N
[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de
óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem
densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de
cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a
velocidade da placa móvel?
R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s
[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um
comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no
óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FVW =&
onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo
SAE 30
=
sm
kg
.
29,0µ R: 72,5 W.
[ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por:
−=
2
max
21)(
h
y
uyu onde umax representa a velocidade
máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente
de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento.
Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa
superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A
tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força
de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N
Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade
dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-21
[6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado
por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade
média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que
V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b)
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da
velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2)
−=
2
1
2
3)(
h
yVyu
[ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A
velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm.
R: (a) 0,01 Pa.s
[8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma
altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este
corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s
dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o
cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de
cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade
dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s
[9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo
lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo
apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do
eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a
Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 Pa.s
R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm
[10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com
0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9
Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra.
[11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é
arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No
espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e
viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s.
(a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida
para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força
requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N
[12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de
uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe
óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a
0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e
(b) potência originado nesta condições de operação.
R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kWMecânica dos Fluidos
PUCRS C-22
EEXXEEMMPPLLOOSS
MMAANNOOMMEETTRRIIAA
(( CCAAPP 33 ))
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-23
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3)
[1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a
densidade do fluido igual a 8,5.
B de acima líquido de coluna da Pressão = P(B)
) (/5,12
) (/12508
5,181,910006,8
2
2
2
2
kPaoumkN
PaoumN
xxx
hgd
ghp
águamercurio
B
=
=
=
=
=
ρ
ρ
Manômetro piezométrico simples
[2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão
de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O
manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6.
Determinar:
a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m.
b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m.
p gh ghA = −ρ ρman 2 1
a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4
= 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar)
b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4
= -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar)
A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-24
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6.
pC = pD
pC = pA + ρg hA
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ)
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20
= 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000
= -7284 + 61852
= 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar)
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do
manômetro.
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão
atmosférica.
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a
atmosférica.
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa
é uma pressão relativa a atmosfera.
Desta forma utilizando pressões relativas:
( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+
( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+
Resolvendo:
( ) ( )
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
==
=
=+++
=+−+−+ yxxxxxxx
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-25
[ 5 ] Com base na figura ao lado, determine:
A pressão absoluta no ponto A;
PA (Rel) = ρH2O . g . hH2O
PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m ≅ 49 kPa
PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel)
PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa
PA (Abs) ≅ 270 kPa
[ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine:
a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água;
b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório.
a)
PA (Abs) = PAtm + PA (Rel)
PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa
PA (Rel) = ρGas. g . hgas = 680 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m = 33,354 kPa
ρGas = d x ρágua à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3
b)
PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g . hágua
PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-26
[ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine:
a) a massa específica do azeite de oliva;
b) a densidade do azeite de oliva.
Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa.
a)
PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg
PA (Abs)=PAtm +ρóleo.g.hóleo +ρH2O.g.hH2O +ρaz.oliva.g.haz.oliva +ρHg.g.hHg
olivaaz
HgHgOHOHóleoóleoATMF
olivaaz hg
hghghgPP
.
.
.
......
22
ρρρ
ρ
−−−−
=
( ) ( ) ( )[ ]{ }
m
s
m
Pa
oa
9,2.81,9
4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300
2
.
++−−
=ρ
3
2
2
.
/1370
9,2.81,9
.
38982
mkg
m
s
m
sm
kg
olivaaz ≅≅ρ
3
34
4
/890000189,0 mkg
m
kg
xxdd Càáguaóleoóleo
Càágua
óleo
óleo ===⇒= °
°
ρρ
ρ
ρ b)
37,1
/1000
/1370
.3
3
4
.
.
=⇒==
°
olivaaz
Càágua
olivaaz
olivaaz d
mkg
mkgd
ρ
ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-27
[8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e
B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior.
kPaPP
PghghghP
BA
BtetraHgóleoA
28,37
321
−=−
=−++ ρρρ
Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A
[ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi
conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A
deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a
velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de
pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6.
( ) kPaxPP
PggxgxxgP
BA
BaaaaA
52
1000
81,9)7503696,13360(
1000
750
1000
3606,13
1000
360
1000
≈+−=−
=−
−−
−
+ ρρρρ
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-28
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3)
[ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a
pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo
do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a
água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89.
Densidade do mercúrio 13,6.
[ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque
subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68
determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina-
água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque.
R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa
(b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa
[3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro
em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza
benzeno com massa específica igual 879 kg/m3. Determinar:
(a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão.
(b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação.
R: PA - PB = 463 Pa (de A para B )
[4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de
294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do
mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m.
Massa específica da água: 1000 kg/m3;
Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3
[5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig.
considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa.
Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A
densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig.
R: 22cm
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-29
[ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na
Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. Massa especifica do
mercúrio 13550kg/m3. Determine a pressão manométrica no
ponto A. R: 20,92 kPa.
[ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado
contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão
(relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual
será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro.
R: y=626mm
[8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da
pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo
do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa
específica do mercúrio = 13600kg/m³.
(a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B
(b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros
de coluna de água ?
R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20
[9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre
as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA)
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-30
[10] Determine a pressão na tubulação com água (A)
considerando que o manômetro em U esta aberto para a
atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico
igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm.
R: 8,0 kPa
[ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo,
quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as
densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm
[ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6).
R: (a) 2,75 kPa
[ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água,
tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual
13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma
pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é
igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da
coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B.
Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3.
R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa
[14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre
o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-31
EEXXEEMMPPLLOOSS
CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS
((CCaapp.. 44 ))
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-32
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4)
[ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r Onde x e y em metros
1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ?
2. Regime permanente ou não permanente ?
3. Determinar o ponto de estagnação
4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
[ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.
( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −=r
[ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.
( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r
[ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r
(1) Determinar o vetor da aceleração total.
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0)
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0)
[ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++=r
[ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−=r
[ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades
dada pela equação:
( )
+=→
L
x
utzyxV 21,,, 0 .
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e
na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída.
[ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r
(a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.
(b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente.
(c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva.
(d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível.
(e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.
[ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por:
jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++=r
(a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
(b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido.
(c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-33
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r
Onde x e y em metros
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ?
7. Regime permanente ou não permanente ?
8. Determinar o ponto de estagnação
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ?
0
8,05,1
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=r Resposta: Escoamento bidimensional
(2) Regime permanente ou não permanente ?
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=r
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
Resposta: Regime permanente
(3) Determinar o ponto de estagnação:
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0
625,0
8,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
875,1
8,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=r
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+=
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-34
Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −=r
Solução:
Será fluido incompressível se:
0=•∇ V
r
ou 0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
Será fluido compressível
0≠•∇ V
r
ou 0≠
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
0
2
4
4
32
=
−=
=
w
xyv
yxu
Derivando
0
8
8
3
3
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
xy
y
v
xy
x
u
e somando obtemos 088 33 =−=
∂
∂+
∂
∂
xyxy
y
v
x
u
Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível
Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.
( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r
0
8,05,1
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
0
8,0
8,0
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
y
v
x
u
008,08,0 =+−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
Resposta: fluido incompressível
Atividade: Dado o vetor velocidade
( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++=r
(a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente(b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1).
(c) Determine a aceleração local da partícula.
(d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível
(e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-35
Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r
(1) Determinar o vetor da aceleração total.
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0)
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0)
(1) Determinar o vetor da aceleração total.
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
ap ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
rrrrr
r observamos que é regime permanente: 0=
∂
∂
t
V
r
0
8,05,1
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
0
ˆ8,0
ˆ8,0
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
V
j
y
V
i
x
V
r
r
r
( )
0
ˆ)64,02,1()ˆ8,0)(8,05,1(
ˆ)64,04,0()ˆ8,0(8,05,0
=
∂
∂
+−=−−=
∂
∂
+=+=
∂
∂
z
V
w
jyjy
y
V
v
ixix
x
V
u
r
r
r
jyix
Dt
VD
ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++=
r
Resposta: jyixap ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++=
r
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0)
ji
Dt
VD
ji
Dt
VD
jxix
Dt
VD
ˆ)72,0(ˆ)68,1(
ˆ)92,12,1(ˆ)28,14,0(
ˆ)364,02,1(ˆ)264,04,0(
+=
+−++=
+−++=
r
r
r
Resposta: jiap ˆ)72,0(ˆ)68,1()0,3,2( +=
r
(3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0)
22222 /83,172,068,1)0,3,2( smaaaa yxpp =+=+==
r
Resposta: 2/83,1)0,3,2( smap =
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-36
Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional
( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++=r
Rotacional 0
2
1 ≠∇= Vx
r
r
ω Irrotacional
k
y
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
w
ˆ
2
1
ˆ
2
1
ˆ
2
1
∂
∂−∂
∂+
∂
∂−∂
∂+
∂
∂−∂
∂=ωv
( )
( )kw
jxv
yxu
ˆ10
ˆ)3(
12
4
3
=
=
=
( )
( )
( ) 01212
2
1
2
1
000
2
1
2
1
00
2
1
33 =−=
∂
∂−∂
∂=
=−=
∂
∂−∂
∂=
−=
xx
y
u
x
v
x
w
z
u
z
z
y
y
x
ω
ω
ω
ω
ω
Resposta: Irrotacional
Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional
( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−=r
( )
( )2
2
12
)44(
6
zw
zxv
yxu
=
−−=
=
( ) 240
2
1
2
1
−=−=
∂
∂−∂
∂=
x
x
z
v
y
w
ω
ω
( ) 000
2
1
2
1
=−=
∂
∂−∂
∂=
y
y
x
w
z
u
ω
ω
( ) ( )22 3264
2
1
2
1
xx
y
u
x
v
z
z
+−=−−=
∂
∂−∂
∂=
ω
ω
Resposta: Rotacional
0=xω
0=yω
0=zω
0=ωr
0≠xω 0=yω 0≠zω
0≠ωr
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-37
Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de
velocidades dada pela equação:
( )
+=→
L
x
utzyxV 21,,, 0 .
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada
e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída.
a) Unidimensional ( ) i
L
x
uutzyxV ˆ21,,, 0
+==→
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
ap ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
→→→→→
→
...
Como 0
t
V =
∂
∂
→
, então, o escoamento é em Regime Permanente;
+
=
+=∂
∂==
→→
→
L
x
L
u
L
u
L
x
u
x
V
u
Dt
VD
ap
21..2.2.21.
2
00
0 (aceleração da partícula do fluido)
b) ( ) ( )
+
=
+
==
→
→
mm
sm
L
x
L
u
Dt
VD
ap 3,0
0.21.
3,0
/3.221..2
22
0
2/60 smap =
→
(aceleração na entrada do bocal)
( ) ( )
+
=
+
==
→
→
m
m
m
sm
L
x
L
u
Dt
VD
ap 3,0
3,0.21.
3,0
/3.221..2
22
0
2
p s/m180a =
→
(aceleração na saída do bocal)
c) ( )
s
m
m
m
s
m
L
x
uuV 9
3,0
3,0.21.3210 =
+=
+==→ (velocidade na saída do bocal)
c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo.
( ) i
L
x
uutzyxV ˆ21,,, 0
+==→
( )
+
=∂
∂=⇒=
→
→
→
→
L
x
L
u
x
V
ua
Dt
VD
tzyxa pp
21..2.,,,
2
0
0=
∂
∂
→
t
V
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-38
Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por:
( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++=r
(a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1).
(b) Determine a aceleração local da partícula.
(c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível
(d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.
Solução
(1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1).
(a)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
smV
kjiV
kjiV
kzxjxyzizyV
/3,28
ˆ24ˆ12ˆ9
ˆ1.2.3ˆ1.3.2.2ˆ1.3
ˆ3ˆ2ˆ
3222
3222
=
++=
++=
++=
r
r
r
(2) Aceleração local da partícula.
(b)
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrrr
Resposta : Aceleração local da partícula: 0=
∂
∂
t
V
r
(a aceleração local da partícula é nula)
(c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível
z
w
y
v
x
uV
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
r
0320 32 ≠++=∇ xxzV
r
Por tanto se trata de fluido compressível.
(d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ?
0)22(
2
1
2
1
)92(
2
1
2
1
)40(
2
1
2
1
22
22
=−=
∂
∂−∂
∂
≠−=
∂
∂−∂
∂
≠−=
∂
∂−∂
∂
yzzyz
y
u
x
v
zxzy
x
w
z
u
xyz
z
v
y
w
Resposta: Escoamento rotacional
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-39
Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r
(f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.
(g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente.
(h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva.
(i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível.
(j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.
SOLUCAO
(A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.
Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z
(v,w).
kwjvV ˆˆ +=r
(B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente.
Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ),,,( tzyxVV =r
Neste caso: kzywjzyuV ˆ),(ˆ),( +=r
Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente)
( C) Determinar a aceleração da partícula
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrrr
)()( ConvectivapLocalpp aaa
rrr
+=
Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local énula: 0=∂
∂
t
V
r
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrr
0=
∂
∂
x
V
u
r
(escoamento bidimensional com u=0)
kyzzyjyzy
y
V
v ˆ)6)(4(ˆ)3)(4( 323 −−+−−−=
∂
∂
r
kyzy
z
V
w ˆ)3)(3( 22=∂
∂ r
( ) ( ) kzykyzzyjzyy
Dt
VD
ˆ)9(ˆ246ˆ123 42425 ++−+=
r
( ) ( )kyzzyjzyy
Dt
VD
ˆ243ˆ123 2425 +++=
r
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-40
( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível.
Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação:
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
z
w
y
v
x
uV
r
0=
∂
∂
x
u 23y
y
v −=∂
∂ 23y
z
w =
∂
∂
Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível.
033 22 =+−=
∂
∂+
∂
∂=∇ yy
z
w
y
vV
r
(E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.
Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r
Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w).
kzywjzyvV ˆ),(ˆ),( +=r P
Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado:
k
y
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
w
ˆ
2
1
ˆ
2
1
ˆ
2
1
∂
∂−∂
∂+
∂
∂−∂
∂+
∂
∂−∂
∂=ωv
i
z
v
y
w
ˆ
2
1
∂
∂−∂
∂=ωv
yz
y
w 6=
∂
∂
4−=
∂
∂
z
v
Desta forma o escoamento é rotacional já que 0≠ωv
ixz ˆ)46(
2
1
−=ω
v
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-41
Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por:
jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++=r
(d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
(e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido.
(f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-42
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4)
[1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: kji xzytxttzyxV ˆˆ2ˆ 32),,,( +−=
r . Determinar:
(a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional.
(b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente.
( c ) Aceleração total da partícula
(d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0)
(e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0).
[2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji tyxztV ˆ2ˆˆ3 ++=
r
Determinar a equação que representa a aceleração da partícula.
[3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji zxxyzzyV ˆ3ˆ2ˆ22 32 ++=
r
(a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional
(b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional.
[4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kzji etaytaxV ˆ2ˆ23ˆ2
2
+−=
r
Determinar a equação que representa a aceleração da partícula.
[5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k
y
zxj
y
zxi
y
zxV ˆ3ˆ2ˆ 2
223
2
3
−−=
r
Verifique se o fluido é compressível ou incompressível.
[6] Dado o campo de velocidades kji zzxyxV ˆ2ˆˆ2 12)44(6 +−−=
r Determine o campo de velocidades angular
ou rotacional.
[7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade.
(a) xu −= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4−=
(d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2+= txxyv 4+= (c) 324 yxu = 42xyv −=
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-43
EEXXEEMMPPLLOOSS
CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA
(( CCaapp.. 55 ))
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-44
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5)
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0.
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é
dada pela equação:
i
R
rUV ˆ1
2
max
−=r
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o
fluxo de massa da tubulação.
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para
escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é
igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as
entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção
(2).
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório.
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-45
Solução Exemplo 1
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de
uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa
especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa
instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0.
Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂
Hipóteses:
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem
dependentes do tempo.
(2) Escoamento uniforme na seção (1).
Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo.
( ) 0=∫+∫ ∀ sc AdVvcdt
rrρρ∂
∂
• Como ∀=∀∫
vc
d
0=∫+∀ sc AdVt
rrρρ∂
∂
• O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1).
∫=∫ 1Asc AdVAdV
rrrr
ρρ
• Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+).
• Se as propriedades são uniformes na superfície (1)
1111
AVAdV
A
ρρ =∫ rr
( ) 0111 =+∀∂
∂ AV
t
ρρ
• Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo:
( ) 111 AVt ρρ −=∂
∂∀
( )
∀
−=
∂
∂ 111 AV
t
ρρ
( )
( )
( ) smkgm
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
31113,6
33
2
3
−=
−=∂
∂ ρ
• Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0).
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-46
Solução Exemplo 2
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação:
i
R
rUV ˆ1
2
max
−=r
Onde r é a distanciaradial a partir do eixo central do tubo.
Determine o fluxo de massa da tubulação.
Solução:
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂
Hipóteses:
• Escoamento permanente
• Escoamento incompressível
• Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras.
∫∫∫ === AdVAdVAdVm rrrrrr& ρρρ 222111
A
u
R
uR
um
RRR
R
RR
R
rr
rdr
R
r
rdr
R
r
um
drr
R
r
um
pirdrdA
RR
R
R
224
2
442
1
42
1
42
1
:integral a Resolvendo
12
)2(1
2 : tubodo seção da área de elemento o doConsideran
max2max
2
max
222242
0
242
0
2
0
2
max
0
2
max
ρpiρpiρ
piρ
piρ
==
=
=
−=
−=
−=
−
−=
−=
=
∫
∫
∫
&
&
&
Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é
2
maxuu =
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-47
Solução Exemplo 3
[3] Dados
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2
Fluxo de massa em (3):
s
kg
m 603 =& (+)
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s
Velocidade em (1)
s
miV ˆ0,31 =
r
Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂
Hipóteses:
(1) Escoamento permanente
(2) Escoamento incompressível
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras.
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras:
0
4331
=+++= ∫∫∫∫∫
AAAAsc
AdVAdVAdVAdVAdV
rrrrrrrrrr
ρρρρρ
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c.
1
1
1111
1
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c.
222
2
22
2
mAVAVAdV
AA
&
rr
=±== ∫∫ ρρρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção
∫∫ ===
3
33333
3 AA
mAVAVAdV &
rr
ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido.
4
4
4444
4
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c.
04321 =+++=∫ mmmmAdV
sc
&&&&
rr
ρ
skgmx
s
m
x
m
kgAVm /6002,00,31000 23111 −==−= ρ& (-) entrando no v.c.
skgm /603 =& (+) saindo do v.c.
skg
s
m
x
m
kgQAVm /3003,01000
3
34444 −===−= ρρ& (-) entrando no v.c.
0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&&
s
kg
m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c.
Para determinar a velocidade em (2):
222 AVm ρ=&
sm
xA
mV /6,0
05,01000
30
2
2
2 === ρ
& na forma vetorial:
s
mjV ˆ6,02 −=
r (aponta em sentido negativo do eixo y)
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-48
Solução Exemplo 4
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório.
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s.
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt)
devido ao enchimento do reservatório dada por:
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2.
resres A
VAVA
A
QQ
t
dh
mmd
t
221121
21 0
+=+=
∂
=−−∀
∂
∂
&&ρ
( ) ( )
sm
xx
A
VDVD
t
dh
res
/0172,0
18,0
6,0075,09,0025,0
44
22
2
2
21
2
1 =
+
=+=
∂
pipi
021 =−− mmdt
dhAres &&ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-49
QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO
(( CCaapp..55 ))
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-50
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5)
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte.
[2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água.
[3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária
para manter o cotovelo no lugar.
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo
em que atua.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-51
[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600
Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa
especifica da água 1000 kg/m3).
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa.
Obs. O fluido escoa de (1) para (2).
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-52
Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte.
Dados:
Velocidade do jato: smiV /ˆ15=r Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante.
Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura.
Equações Básicas
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂
Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis.
∫=
sc
s AdVVF
rrrr
ρ
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x.
ApRApF atmxatmx −+= Por tanto xx RF =A quantidade de movimento na direção - x:
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-53
{ } 11
11
1
AVuAdVuAdVu
AdVuAdVV
AA
Axsc
ρρρ
ρρ
−=−=
=
∫∫
∫∫
rrrr
rrrrr
O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s.
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
mAVu 225001,015100015 2311 −=−=− ρ
NAdVuR
A
x 2250
1
−== ∫ rrρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x.
Na forma vetorial NiFs ˆ2250−=
r
Método simplificado No método simplificado :
( )12 uuQFx −= ρ
( )12 uumFx −= &
A massa especifica é determinada com as condições da seção 1.
skgmx
s
m
x
m
kgAum /15001,0151000 2311 === ρ& (+) saindo do v.c.
A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0)
N
s
m
x
s
kg
umFx 2250151501 −==−= & Aponta no sentido contrário ao eixo x.
Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-54
Solução: Exemplo 2
Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato
escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água.
Dados:
Velocidade do jato: smiV /ˆ15=r Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m3
Pressão atmosférica Patm=101 kPa.
Solução:
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura.
Equações Básicas
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂
Hipóteses:
Escoamento permanente
Escoamento incompressível
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C.
Forças de campo desprezíveis.
∫=
sc
s AdVVF
rrrr
ρ
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x)
∫=
sc
sx AdVuF
rr
ρ
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.
ApRApF atmxatmsx −−= Por tanto xsx RF −=
A quantidade de movimento na direção - x:
{ } 111
1
111
1
AVuAdVuAdVu
AA
ρρρ −=−= ∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.)
Igualando os termos:
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-55
111 AVuRx ρ−=− e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido
Vetor velocidade:
Ponto (1) smiV /ˆ1,6=r e desta forma u1=6,1m/s.
Consideramos que o jato é uniforme
Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
mAVuRx 98,1800051,01,610001,6 23111 === ρ
Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y)
∫=
2
222
A
sy AdVvF
rr
ρ
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).
HatmyHatmsy ApRApF −+= Por tanto ysy RF =
Pela conservação da massa em (2) smjV /ˆ1,6=r e desta forma: v2=6,1m/s.
{ } 222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.)
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
mAVv 98,18000511,01,610001,6 23222 ==ρ
NAVvRy 98,19222 == ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+)
Método simplificado
O fluxo de massa é dada por:
s
kg
mx
s
m
x
m
kgAum 11,300051,01,61000 2311 === ρ&
( )12 uumFx −= & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: NxumFx 98,181,611,31 −==−= &
( )12 vvmFy −= & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: NxvmFy 98,181,611,32 === &
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-56
Solução: Exemplo 3
[ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em
regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a
velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2)
da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão
atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e
Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as
simplificações (hipótese) do escoamento.
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂
Hipotese e escoamento: Escoamento permanente
Escoamento incompressível
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C.
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x)
∫=
sc
sx AdVuF
rr
ρ
( considerando força de campo FBx=0)
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa
xrsx RApF −= 11
A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x:
{ } 111
1
111
1
111 AVuAdVuAdVu
AA
ρρρ −=−= ∫∫ rrrr
(fluxo entrando no v.c.)
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
mAVu 1600113,00,410000,4 23111 ==ρ
11111 AVuApR rx ρ+= ( )
( ) NNxR
AVuApR
x
rx
15161600113,01000120
11111
=+=
+= ρ
s
kg
mx
s
m
x
m
kgAVm 28,4500283,0161000 2322 === ρ&
Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y)
∫=+
2
222
A
Bysy AdVvFF
rr
ρ
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada
já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo
FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície:
=+= yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF =
{ } 222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
ρρρ ∫∫ =+= rrrr
(fluido saindo da s.c.) (+)
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
mAVv 72400283,016100016 23222 −=−=ρ
NAVvRy 724222 −== ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente)
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-57
Solução: Exemplo 4
Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é
igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua.
No método simplificado:
Equações utilizadas:
( )12 uumFx −=∑ &
( )12 vvmFy −=∑ &
O fluxo de massa pode ser determinado como:
s
kg
s
m
x
m
kgQAVm 5005,01000
3
311 ==== ρρ&
Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c.
jviuV ˆˆ 111 +=
r jviuV ˆˆ 222 +=
r
Componentes da velocidade em x:
O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750
s
mVu 07,275cos8)75cos( 0022 ===
s
mVu 66,545cos845cos 0011 ===
Componentes da velocidade em y:
s
mVv 73,775sin875sin 0022 ===
s
m
sinsinVv 66,545845 0011 ===
Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s
Força Resultante em x:
( ) N
s
kgRF xx 5,17966,507,250 −=−==∑ (Aponta em sentido contrário ao eixo - x)
Força Resultante em x:
( ) N
s
kgRF yy 5,66966,573,750 =+==∑ (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y)
Força Resultante:
( ) NRRR yx 6935,669)5,179( 2222 ≈+−=+=
Ângulo formado pela resultante: 075≈=
x
y
R
R
Tanφ
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-58
Solução: Exemplo 5
[ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s.
Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória.
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂
Hipóteses:
• Escoamento em regime permanente. Não que existe
variação das propriedades no tempo no V.C.
• Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2).
• Escoamento com velocidadesunidimensionais.
• Escoamento com considerando fluido incompressível.
Fazendo analise em x:
( )∑ −= 12 xx vvQFx ρ onde:
smv
smv
x
x
/5,760cos15
/15
2
1
==
=
s
m
m
x
x
s
mAVQ
3
2
2
11 118,04
1,015 =
== pi
( )
NRx
xxRx
4,883
155,7118,01000
=
−=−
Solução: Exemplo 6
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual
permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3).
4
0)(
)()(
2
2
1
21
D
vW
vAvW
vmF
vmvmF
y
y
piρ
ρ
=
−=−
+−=
−+−=
∑
∑
&
&&
sm
x
D
W
v /88,18
05,01000
70044
22 === piρpi
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-59
Solução: Exemplo 7
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa.
Obs. O fluido escoa de (1) para (2).
P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: sm
D
V /33,13600
1504
2 == pi
( )xx uuQFx 12 −=Σ ρ
( )xxx uuQAPAPR 122211 −=++− ρ
( ) ( )xxx uuQAPPR 12121 )( −=++− ρ
conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s ( ) ( )
( ) NxxxR
APPuuQR
x
xxx
555256528,990314,080100)33,133,1(
3600
150900
)( 12112
=+−=++−−=
++−−= ρ
Solução: Exemplo 8
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado.
( )12 vvQFy −=∑ ρ
NWFy 825−=−=∑
( )
sm
xx
xxx
D
x
v
Av
vAv
/08,17
601000
100010008254
4
1000
825
825
0825
221
2
1
11
==
=
=
−=−
pipi
ρ
ρ
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-60
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO
[ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600
R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N
[ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na
figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os diâmetro da
tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual
a p1=232 kPa.
Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange.
R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N
[ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um
orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e parte é
defletida.
Determine a força horizontal necessária para conter a placa.
R: 981,75N
[ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a
tubulação apresenta uma redução de seção.
Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna
de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. (a)
Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine
a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ;
ρHg=13600 kg/m3 (a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N.
V1=5m/s
(1) (2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1) (2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
[5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa
linha de uma tubulação industrial. Os manômetros
instalados antes e após o bocal apresentam as pressões
indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal
convergente. Considere que o fluido e gasolina com
massa especifica igual a 680 kg/m3.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-61
[ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Determinar a força resultante no eixo-y
(Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 450.
[ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de
400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana
com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido.
[ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Determine a
velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3
‘
[ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-62
EEXXEEMMPPLLOOSS
EESSCCOOAAMMEENNTTOO VVIISSCCOOSSOO IINNTTEERRNNOO
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-63
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7)
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de
cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2.
[2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com
uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da tubulação. (b) o gradiente de pressão da
tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da
velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2. (d) V=6,0m/s
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia
(1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão
máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é
50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,179x10-6m2/s. Para
tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%,
determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: 27,4MW
[4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando
uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da
bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a
30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão
que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C.
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benceno a
500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com
uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. Com
relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A
esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro
interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba
considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110
litros/min.
Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m.
R: 760kPa.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-64
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2)
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.
ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3
V1=5m/s
(1) (2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1) (2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual
apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a)
Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido
do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s.
[8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B.
Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa)
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o
fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do
sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do
fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm.
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com
750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai
para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do
reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da
tubulação e acessórios e igual a 27,29m.
• Determine a potencia da maquina considerando um
rendimento global de 88%..
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s.
Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a
9,6x10-1 Pa.s.
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com
diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão
abertos á atmosfera.
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a
1,7x10-3 Pa.s.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-65
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a
10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na
tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento.
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s.
[13] Uma experiência de laboratório foi realizada na
disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos
A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.
Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em
função da leitura manométrica do sistema apresentado na
figura abaixo.
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água
1000 kg/m3).
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de
carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de
diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s.
O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4
mm diâmetro.
[ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba).
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2.
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ]
Z1=6,1m
Z2=36,6m
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia
de acionamento da bomba.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-66
Solução: Exemplo 1
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999
kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.
1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s.
2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia:
B
BB
LA
AA z
g
u
g
phz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2)
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
onde a perda de carga é dada por:
( )
mca
x
xx
g
v
D
LfhL 62,181,92
66,5
15,0
100149,0
2
22
===
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ
Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como:
26006,010
88,15
4
15,0
4 m
NkPax
L
pD
w ===
∆=τ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-67
Solução: Exemplo2
[ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com
uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da tubulação. (b) Determine o gradiente de
pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de
velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2.
D=150mm L=30m V=4,0m/s
T=25oC µ=9,6x10-1 ρ=1258 kg/m3
Perda de carga da tubulação.
Determinamos o Número de Reynolds
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258Re 1 ≅== −ν
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por:
g
v
D
LhL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
LhL 28,1381,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64 22
===
Determine o gradiente de pressão da tubulação.
A variação de pressão
kPaxxghp L 16381,9125828,13 ≅==∆ ρ
O gradiente de pressão
m
kPa
m
kPa
L
p 4,5
30
163 ==∆
Tensão de cisalhamento na parede da tubulação
8Re
64
24
22 vvf
W ρρτ == desta forma
≅= 2
2
204
8
41258
786
64
m
N
xWτ
A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.
−=
2
max 1 R
r
uu
com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s
−=
2
10,8
R
r
u
O valor da velocidade para r = R/2.
−=
2
2
110,8u =6m/s
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-68
Solução: Exemplo 3
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia
(1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão
máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é
50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,97x10-5m2/s. Para
tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%,
determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento.
Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido
Dados:
Q=1,6 milhões de barris dia
100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa
P1=1200 psi. (275,86kPa) P2=50 psi. (344,83 kPa)
Ferro galvanizado ε=0,1464mm
D=48 pol ( 1220mm)
DR=0,93 oú ρ=930 kg/m3
ν=1,97x10-5 m2/s.
η=85%
dia
barris
xQ 6106,1= 01 barril = 42 galões
min
67,46666
6024
42106,1 6 gal
x
xxQ ==
Conversão 01 galão/min = 6,309x10-5 m3/s
s
m
xxQ
3
5 94,210309,667,46666 == −
Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2.
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL ++=+−++ ρρ
Simplificações
• Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0
• A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.
• Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.
Com tais simplificações se tem:
( )
g
P
g
pphL ρρ
∆=−= 21
o valor limite da perda a de carga é dada por:
( ) fluidocm
x
xhL ..32,86981,9930
100083,34486,8275
=
−
= (neste caso de Petróleo bruto)
g
V
D
LfhL 2
2
=
Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-69
2
2
V
g
f
DhL L= onde
2
9,0Re
74,5
7,3
/log25,0
−
+= Df ε
ε/D= 0,1464mm/1220mm=0,00012
ν
VD
=Re a velocidade media smx
D
Q
A
QV /51,2
22,1
94,244
22 ≅=== pipi
5
5 1055,11097,1
22,151,2Re x
x
xVD
≅==
−ν
01722,0
)1055,1(
74,5
7,3
00012,0log25,0
2
9,05 =
+=
−
x
f
kmx
V
g
f
DhL L 8,19151,2
81,92
01722,0
22,132,8692 22 ≅==
A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga
HA=hL=869,32m
A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como:
gQHP AA ρ=
onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão.
A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à
bomba (potência motriz).
bomba a para fornecida Potência
fluido ao bomba pela adicionada Potência
Bomba =η
Desta forma a potência fornecida para a bomba:
G
A
motriz
gQH
P
η
ρ
=
kWxxxPmotriz 2,2743285,0
94,281,993032,869
==
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-70
Solução: Exemplo 4
[ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando
uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da
bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a
30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão
que pode ser empregado.
Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido
Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0,015mm
Fluido: água a 200C Tabela: ρ=998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s.
100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa
P1<= 65psig. (448,16 kPa) P2 >= 30 psig (206,85 kPa)
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL ++=+−++ ρρ
Simplificações
• Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0
• A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.
• Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.
Com tais simplificações se tem:
( )
g
P
g
pphL ρρ
∆=−= 21
Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx
( )
aguacm
x
xhL ..6,2481,91000
100085,20616,448
=
−
=
g
V
D
LfhL 2
2
=
Igualando os termos
g
V
D
LfP
2
2
ρ=∆ (Pa)
Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A):
5
2
25
2
24
2
2
2
2
18816
2
4
2 D
Q
D
Lf
D
Q
D
Lf
D
Q
D
Lf
D
Q
D
LfP
===
=∆
pi
ρ
pi
ρ
pi
ρ
pi
ρ
Substituindo Q = 0,095 m3/s ν=1,02x10-6 m2/s ρ=998 kg/m3 L=152m
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-71
5715,1109 D
f
P =∆
D
QD
D
QVD 144Re 2
=
==
piννpiν
. Substituindo os dados
D
04,118586Re =
Procedimento Iterativo.
1. Admitimos um valor para o diâmetro. Por exemplo Eq. de Bresse. ( D=Q0,5)
2. Determinamos o Re.
3. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f
4. Com D e F obtemos a variação de pressão
5. Se ∆Pcal. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado.
6. Se ∆Pcal. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular
7. Se ∆Pcal. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular.
Diâmetro (mm) ε/D Re f ∆Pcal. (Pa)
308 0,000487 3,85x105 0,01435 57 kPa < (241,31 kPa)
150 0,001 8x105 0,01378 201,31 kPa
Continuar
Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-72
Solução: Exemplo 5
[5] Numa planta de processamentoquímico, deve transportar-se
benzeno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um
outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A está
instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21
metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B
por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a
50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba
considerando que o benzeno deve ser transportado com uma
vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na
tubulação igual a 3,91m.
Resposta: 760kPa.
Dados: Fluido Benzeno d=0,86 T=500C µ=4,2x10-4 Pa.s
PB=550kPa. D=50mm (A=0,001964m2) Q=110 l/min. ( 0,001834 m3/s) Solução:
Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto A e B.
BBBLTRADAAA zg
u
g
phHHz
g
u
g
p
++=−−+++
22
22
ρρ
Simplificações:
� Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0)
� Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL
� Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro, pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB.
� Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB - ZA) =21m
B
B
LTA
A z
g
phz
g
p
+=−+
ρρ
reorganizando os termos, e explicitando a pressão em A:
( ) LTABBA hzzg
p
g
p
+−+=
ρρ
Devemos determinar a perda de carga da tubulação
g
V
D
LfhL 2
2
=
Considerando: velocidade: v=Q/A =0,934 m/s 93,0
001964,0
0,001834
===
A
Q
v
Reynolds:
µ
ρ DV
=Re 9563
4-4,2x10
005,0934,0860Re ≈= xx (escoamento turbulento)
com ε/D=0 - tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0,018.
( )
m
x
xx
g
V
D
LfhL 81,381,92
93,0
05,0
240018,0
2
22
===
fluidocm
x
x
g
pA
..9081,312
81,9860
1000550
=++=
ρ
kPaxxpA 30,75981,986090 ==
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-73
Solução: Exemplo 6
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2)
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.
ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3
V1=5m/s
(1) (2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1) (2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio Aplicando Eq. de Manometria:
kPaxxghP aMR 7,7158,081,9)100013600()(1 =−=−= ρρ (Relativa)
Aplicando Eq. de Energia.
m
xx
x
g
vv
g
pphL 23,007,73,781,92
8,125
81,91000
10007,71
2
222
2
2
121 =−=
−+
=
−+
−=
ρ
Aplicando Eq. da Quantidade de movimento.
NxxvvmApRx 1,163)58,12(12,251000005,07,71)( 1211 =−−=−−= &
Solução: Exemplo 7
[7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual
apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a)
Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido
do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s.
m
gg
V
D
LfhL 1162
37,6
2,0
5000225,0
2
22
===
Continuar: R: ∆P=265Pa.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-74
Solução: Exemplo 8
[8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B.
Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa)
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o
fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do
sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do
fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm.
Dados
Q=12 l/s=0,012m3/s hL=12 m.c.f. PB= 101,33kPa. (Pressão Atm. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação:
( ) smxD
Q
v /12,6
00196,0
012,0
4
05,0
012,0
4
22
===
= pipi
A Eq. de energia aplicada entre os pontos A e B, fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia.
B
BB
LA
AA z
g
u
g
phz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação, fazemos desprezível o termo de
energia cinética da mesma.
B
BB
LA
A z
g
u
g
phz
g
p
++=−+
2
2
ρρ
Utilizando nesta expressão a pressão relativa, em B temos que PB=0. Desta forma a pressão relativa em A é dada como:
( ) LABBA hzzg
u
g
p
+−+=
2
2
ρ
considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/3
( ) m
xg
p A 90,2812159,11215
81,92
12,6 2
=++=++=
ρ
em unidades de pressão, a pressão relativa em A é dada como:
kPaxxpA 6,28390,2881,91000 ==
A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283,6 + 101,33 =385 kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-75
Solução: Exemplo 9
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma
tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade
geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30
metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e
igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da tubulação e
acessórios e igual a 27,29m.
• Determine a potencia da maquina
considerando um rendimento global de 88%..
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
pHhz
g
u
g
p
++=+−++
22
22
ρρ
ABLA zzhH −+=
mH A 80,575,3029,27 =+=
WattsxxxQgHW A 4536
7,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
&
Solução: Exemplo 10
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s.
Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a
9,6x10-1 Pa.s.
Perda de carga da tubulação.
Número de Reynolds
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258Re 1 ≅== −ν
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por:
g
v
D
LhL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
LhL 28,1381,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64 22
===
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-76
Solução: Exemplo 11
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com
diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão
abertos á atmosfera.
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a
1,7x10-3 Pa.s.
s
m
x
x
D
QV 12,2
05,0
3600
1544
22 === pipi
635.48
107,1
05,012,2780Re 3 === −x
xxVD
µ
ρ (turbulento)
( ) 0268,048635
74,5
7,3
002,0log25,0
2
9,0 =
+=
−
f
m
x
x
g
V
D
LfhL 28,1281,92
12,2
05,0
1000268,0
2
22
===
Solução: Exemplo 12
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a
10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na
tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento.
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s.
A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq. de energia.
B
BB
LA
AA z
g
u
g
phz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
( )
mca
x
xx
g
v
D
LfhL 62,181,92
66,5
15,0
100149,0
2
22
===
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ
a tensão de cisalhamento na parede é dada como:
26006,010
88,15
4
15,0
4 m
NkPax
L
pD
w ===
∆=τ
Respostas ∆P=15,88 kPa τW=60 N/m2
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-77
Solução: Exemplo 13
[ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na
disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos
A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.
Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em
função da leitura manométrica do sistema apresentado na
figura abaixo.
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água
1000 kg/m3).
B
BB
LA
AA z
g
u
g
phz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro:
g
p
g
ph BAL ρρ
−=
Aplicando Eqs. de manometria obtemos:
BxaguaHgxaguaA phhgghghp =−−−+ )(ρρρ
BaguaHgA pghghp =+− ρρ
( )ghpp aguaHgBA ρρ −=−
( ) kPaxpp BA 74,4581,910001360037,0 =−=−
m
mx
x
g
pph BAL 66,48191000
100074,45
==
−
=
ρ
Solução: Exemplo 14
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de
carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de
diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s.
O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4
mm diâmetro.
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 1600
108,1
00040,62,1Re 5 ≅== −µ
ρ
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por:
g
v
D
LhL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
LhL 91,481,92
6
004,0
3,0
1600
64
2Re
64 22
===
LghP ρ=∆ PaxxP 8,5791,481,92,1 ==∆
g
vkhL 2
2
= 67,2
6
91,481,922
22 ===
xx
V
ghk L
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-78
Solução: Exemplo 15
[ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba).
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2.
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ]
Z1=6,1m
Z2=36,6m
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
pHhz
g
u
g
p
++=+−++
22
22
ρρ
ABLA zzhH −+=
( )
m
xg
V
D
LfhL 82,2181,92
85,2
05,0
1220216,0
2
22
===
( )
m
xg
VKhac 46,581,92
85,22,13
2
22
===∑
mH A 80,575,3029,27 =+= WattsxxxQgHW A 45367,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
&
Solução: Exemplo 16
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia
de acionamento da bomba.
B
BB
LA
AA z
g
u
g
phz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
onde: 00,151.848
100,1
15,099966,5Re 3 === −x
xxVD
ν
Turbulento.
Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105
012,0)108(5,0056,0 32,05 =+= −xf
( )
mca
x
xx
g
v
D
LfhL 62,13081,92
66,5
15,0
1000012,0
2
22
===
kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 ≡==− ρ kWxW 1281,01280 ==&
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-79
1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - Perda de Carga em Tubulações (Cap.7)
[ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 200C escoando num tubo de 20mm. Obs. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6,48x10-7 m2/s.
R:(a) V=0,065m/s (b) V=0,1m/s.
[ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 150C que escoa a uma
velocidade de 1,07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20,53x10-5 m2/s.
R: (a) Re 290.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar.
[ 3 ] Para condições de escoamento laminar, qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0,0057m3/s de óleo combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6,09x10-6 m2/s. R: D=60mm
[ 4 ] Um óleo lubrificante médio, com densidade 0,86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0,00114m3/s. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo.
R:: µ=0,089 Pa.s
[ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0,101 Pa.s e densidade 0,85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0,0444m3/s. Determine a perda de carga no tubo. R: 8,14m.
[ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914,4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm. A pressão em A é de 1068,68 kPa e em B é de 34,47 kPa. O óleo apresenta uma densidade de 0,918 e viscosidade
cinemática é de 41,24x10-5 m2/s. Determine a vazão em m3/s. R: Q=0,039m3/s.
[ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0,0222 m3/s de óleo combustível pesado a 16oC com viscosidade cinemática v=2,05x10-4m2/s e densidade igual a 0,912. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6,7m. Obs. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese. R: D=170mm
[ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação. O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2, está elevado na elevação de 83m, sendo a pressão neste ponto de 2,5kPa. Se a rugosidade do tubo é de 0,5mm. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0,10m3/s. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 2,92x10-
4 N.s /m2 . R: D=258 mm
[ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0,8bar. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento, número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1,9x10-4m2/s.
R: hL=1,47m. V=2,37 m/s Re= 1247 (laminar) τW=45,4 N/m2.
[ 10 ] De umdeposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0,265bar. Considerando escoamento laminar, determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar.
Ra: v=3,76x10-5 m2/s µ=3,338x10-2 Pa.s
[ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O
fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a
999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-80
[12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C.
Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima
(c) Posição radial em que u( r ) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m
Respostas:
• Fator de atrito f=0,0173
• Velocidade máxima Umax=3,74m/s.
• Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15,2mm
• Tensão de cisalhamento na parede τw=22Pa
• Queda de pressão considerando um comprimento de 10m ∆P=22kPa.
[13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de
10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0,9 v=10-5 m2/s). Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito.
R: Q=0,037 m3/s
[14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0,002 m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito. R: D=40mm
[15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0,265bar. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. Determine a tensão de cisalhamento na parede.
R: V=1,88 m/s µ=0,037 Pa.s ν=4,1x10-5 m2/s Re ≈ 590 - Laminar τw=43Pa
Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap. de escoamentos em dutos)
[16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado, distantes 560m. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm e diâmetro de 150mm determinar. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0,4. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna
de fluido e em Pascal. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios.
R: a) f=0,023 b) hl=22,35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2,04m d) hlT= hl+ hacc≅25m
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-81
[ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de
0,015 m3/s. A tubulação de aspiração tem um comprimento de
15 metros. A tubulação de recalque tem um comprimento de
200 metros. A válvula de globo aberta apresenta um
comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da
tubulação. Determine a perda de carga total do sistema de
Bombeamento e a potência de acionamento da bomba
considerando que apresenta um rendimento de 76%. A
tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a
tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de
50mm. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual
a 4,6x10-5m.
Elemento Coef. de perda de carga - K Fluido - álcool 24oC
Saída do reservatório de aspiração 0,5 ρ=789 kg/m3
Entrada do reservatório de recalque 1,0 µ= a 5,6x10-4 Pa.s
curva de 900 0,57
R: hL=207,4m (z2 - z1) =10m H=217,4m W=33,2kW.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-82
1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.7 e Cap.8)
[1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de
152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1,83m/s. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s.
R: (1,37m ) (13,43kPa).
[2] Óleo com ρ=1000 kg/m3 ν=0,00001 m2/s escoa a 0,2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e
200mm de diâmetro. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. R: (117m ) (265 kPa).
[3] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m. A rugosidade relativa e 0,0002. Determine a velocidade media e a vazão.
R: (4,84 m/s) (0,342 m3/s). – Solução Iterativa.
[4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água
apresentando uma perda de carga de 1,37m. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s.
R: (1,84 m/s) – Solução Iterativa.
[5] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de
8m sendo a vazão Q=0,342m3/s e a rugosidade ε=0,06mm. Determine o diâmetro da tubulação.
R: (0,3 m) – Solução Iterativa.
[6] Ar com ρ=1,22 kg/m3 ν=1,46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de
30m de comprimento, a uma vazão de 0,708 m3/s. Se a rugosidade ε=0,091mm determine a queda de pressão.
R: (258 N/m2)
[7] Água com 1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura. A rugosidade relativa e 0,001. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potencia requerida
pela bomba em Watts.
Acessório Coeficiente de perda de carga
Entrada em canto agudo 0,5
Válvula globo aberta 6,9
Curva com 12 pol de raio. 0,15
Cotovelo normal de 900 0,95
Válvula de gaveta aberta pela metade. 3,7
Saída em canto agudo 1,0
R: (3,2kW)
[8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10-4m conduz água a temperatura de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3,9m. Determinar o diâmetro da tubulação. R: (D=165,21mm).
[9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10-
4m escoando água a 200C com uma vazão de 62,8 litros/s. Determinar a perda de carga da tubulação. R: hL=18,26 m.
[10] Num duto de concreto (ε= 3,0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de 0,0115 mca/m. Determinar a vazão. R: (Q=0,007155 m3/s ).
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-83
EEXXEEMMPPLLOOSS
AANNÁÁLLIISSEE DDIIMMEENNSSIIOONNAALL EE MMOODDEELLOOSS
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-84
1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Análise Dimensional (Cap.9)
[ 1 ] Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bombagrande que deve fornecer 1,5 m3/s
através de um rotor de 40cm de diâmetro. Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. Que vazão deve ser usada no modelo para manter a semelhança em relação ao número de Reynolds ? O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura da água a ser bombeada pelo protótipo.
Para que haja semelhança neste problema de escoamento confinado incompressível, o número de Reynolds deve ser igual, ou
seja,
pm ReRe =
p
pp
m
mm
dUdU
νν
..
=
Reconhecendo que pm νν = , se as temperaturas são iguais, vemos que
5
08,0
4,0
===
m
m
d
d
U
U
m
p
p
m
A razão entre vazões é encontrada reconhecendo que AUQ .= :
2
2
.
.
pp
mm
p
m
dU
dU
Q
Q
= =
5
1
4,0
08,0
.5 2
2
=
Assim encontramos
sm
QQ pm /3,05
5,1
5
3
===
[2] A tensão superficial σ é função de velocidade U, da massa especifica ρ e do comprimento x. Obter a equação da tensão
superficial. Nota:
oCompriment
Força
=σ
XU cba ρσpi =
( ) ( ) ( ) LMLLTMTTLM cba 312000 −−−=
2
1
1
220
130
0
=
−=
=
===>−−==>
+−==>
−===>+==>
b
a
c
bcbaT
cbL
cacaM
XU 121 ρσpi −=
XkU ρσ 2=
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-85
[ 3 ] Uma unidade de bombeamento de grande porte do DMAE deverá fornecer 5400m3/h de água através de uma tubulação de
200cm de diâmetro. Determinar a vazão (em m3/h) que deve ser utilizada para estudar um modelo desta tubulação em laboratório
dispondo de uma tubulação de 50cm de diâmetro.
P
PP
M
MM
PM
DVDV
νν
=
= ReRe
Tratando-se do mesmo fluido νM=νP. PPMM DVDV =
M
PP
M D
DVV = smx
D
QV
P
P /4775,02
5,144
22 === pipi
sm
xVM /91,15,0
0,24775,0
==
4
2
M
M
DVQ pi=
)/1350(/375,0
4
5,0
91,1 33
2
hmsmQ == pi
[ 4 ] Num projeto hidrodinâmico de um pequeno submarino, é necessário determinar as forças resultantes de um protótipo de 2m de
diâmetro e 10m de comprimento o qual, quando submerso em água, deverá alcançar uma velocidade máxima de 10 m/s. Para
realizar o estudo prepara-se um modelo em escala de 1:20 do protótipo qual será testado num túnel hidráulico. Determine a
velocidade da água no túnel hidráulico para conseguir a semelhança dinâmica do modelo.
Solução: Por similaridade dinâmica o número de Reynolds do modelo e do protótipo deve ser igual:
Re Rem p
m p
ud ud
=
=
ρ
µ
ρ
µ
Desta forma a velocidade do modelo deverá ser
u u
d
dm p
p
m
p
m
m
p
=
ρ
ρ
µ
µ
Como ambos (modelo e protótipo) atuam em água então, �m = �p e �m = �p assim.
u u
d
d m sm p
p
m
= = =10
1
1 20
200
/
/
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-86
PPRROOBBLLEEMMAASS AADDIICCIIOONNAAIISS
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-87
1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS
1. Problemas de Propriedades dos fluidos
[1.1] A densidade de um óleo é 0,8. Determine (a) massa específica, (b) volume específico (c) peso específico.
R: (a) 800 kg/m3; (b) 1,3.10-3 m3/kg; (c) 7848 N/m3.
[1.2] Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada líquida de
espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade 0,88, calcular:
a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10-4 Pa.s;
b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10-3 St;
c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,65 Pa.
[1.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume
ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N.
[1.4] Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno. Qual é a
viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. Eixo e
bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10-2 kgf.s/m2.
[1.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água, quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. =vE 2,2 GPa
R: 4,5.10-5 m3.
[1.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm3 a 2 MN/m2. Determine
o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. R: 2.105 Pa.
[1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a temperatura de 20 oC. Determinar a massa específica.
R: 16,26 kg/m3.
[1.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC.
R: 11,8 N/m3.
[1.9] Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 kgf/cm2 e uma temperatura de 27 oC. se a pressão
barométrica for 1 kgf/cm2, qual o peso específico do ar. R: 33,48 N/m3.
[1.10] Determinar o raio R e a massa de uma gota num conta-gotas de raio r (considerar a gota esférica).
R: R = 3
1
)
2
.3(
γ
σ r ; m =
g
r.2piσ
[1.11] Qual a pressão interna suportada por uma gota esférica de pequeno raio interno. R: r/2σ .
[1.12] Determinar a altura h de um determinado líquido, conforme a figura ao lado.
R:
r
h
.
cos.2
γ
ασ
= .
[1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s.
Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s. R: Re = 30. 000 (turbulento).
[1.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se
encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2.10-3 Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m3. R: 0,02 m/s
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-88
2. Problemas de Estática dos Fluidos
[2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm2. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca.
[2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio
antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte
inferior do casco. R: 612644 kg.
[2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera.
R: 7,7 kPa; 27,67 kPa.
[2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura.
R: 1,57.105 Pa; 2,58.105 Pa.
[2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m 3 e pressão atmosférica 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa.
[2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB.
R: 96.000 Pa.
[2.7] Determine PB – PA na figura.
R: -35.280Pa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-89
3. Problemas de Conservação da Massa
[3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da canalizaçãopara que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm.
[3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 oC. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s.
[3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s.
[3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s
[3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico
para 7,85 N/m3. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3/s. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s.
[3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m3 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e
aumento de velocidade. Viscosidade 10-6m2/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento)
[3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma
atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B).
R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros
[3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m?
[3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto (A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito).
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-90
4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia
[4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3/s. Considerando um rendimento global de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m.
[4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro
15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30 kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito, determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW
[4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e
B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela turbina. R: 41,6 kW
[4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões
estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW.
[4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o
fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-91
[4.6] A água flui numa tubulação, conforme figura. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa. Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles
é de 5 m. R: 4,5 m
[4.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água, através de um duto com diâmetro D=10 cm, de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. A água é descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura 38 m acima da bomba, através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm,
num reservatório aberto para atmosfera. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a ph = 2m. Determine a
potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW.
[4.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). R: 62,4 m.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-92
5. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos
[5.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min. R: 6,06 litros/min.
[5.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12,65 m. (b) a variação de pressão R: 124.172 Pa.
[5.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0,00125 m3/s. Se a queda de pressão é 2,1 kgf/cm2, qual a viscosidade do óleo?
R: 0,051 Pa.s.
[5.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10-5 m2/s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m
[5.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e ε = 3 mm com ma perda de carga de 6 m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento. Calcular a vazão. R: 0,12 m3/s.
[5.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo,
smv /10 25−= a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86 m. R: 424 mm.
[5.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um Reynolds de 1000. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m (b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m
[5.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro, da figura. Viscosidade cinemática = 10-
6m2/s. R: 46 litros/s.
[5.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área. Supondo uma tubulação lisa, determine em relação ao escoamento:
a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 0,045 mH2O.
b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 441,5 Pa. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 3,3 mmHg.
Anexo C: Problemas Resolvidos e PropostosJorge A. Villar Alé C-93
[5.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h
Determinar:
a) A perda de carga na sucção; R: 4,15 m.
b) A perda de carga no recalque; R: 4,488 m
c) Perdas de carga total; R: 9,03 m
d) A energia adicionada pela bomba; 25,82 m
e) A potência hidráulica da bomba; R: 709 W
f) A potência de acionamento da bomba
considerando um rendimento de 85%. R:
834 W.
[5.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa
Determinar: a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m3/s b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s c) O número de Reynolds; R: 51000
d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m h) A potência hidráulica; R: 352,6 W i) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%. R: 441 W
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-94
LISTA DE EXERCICIOS – 2010
[ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Na seção (1), a pressão é de 186 kPa. Na seção (2), que esta a 6 m a jusante, a pressão é de 171 KPa. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de
massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds. (ρ=981 kg/m3 µ=0,29 kg / m s ). Ra: 43,16 kg/s; 1580
[2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0,26mm. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. O reservatório A é fechado e
pressurizado com ar comprimido, sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. Se a vazão inicial através do tubo for 1,2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A. Temperatura da água 100C. R: 741,7 kPa
[3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. A pressão na seção menor é de P1=300kPa. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1,06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada.
R: (a) P2=320 kPa. (b) 30 kPa.
[4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. A
pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. Determine a vazão do óleo através do tubo. Propriedades: ρ=876 kg/m3 µ=0,24 kg/m s. R: 1,63x10-5 m3/s
[5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade no centro do tubo. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução. Resposta: 8m/s
[6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16
R: Aumentara por um fator de 16
[7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m
R: (a) 0,0173; (b) 3,74m/s (c) 15,2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-95
[8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm
de diâmetro, 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0,5 mm. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6 litros/s. Água: ρ=1000 kg/m3; µ= 1,15.10-3 Pa.s. Resposta: 11,4m
[9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h. Na tubulação de 50m
de comprimento e 60 mm de diâmetro a
velocidade do fluido é igual a 1,96 m/s. Na
instalação Z1=5 m e Z2=25 m. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os
acessórios é igual a 13,55.
A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0,1 mm.
(a) Altura adicionada pela bomba
(b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%.
Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1,15x10-6m²/s.
R: (a) 26,83m (b) 2,25 kW
[ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade
ε=0,15mm. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10. O sistema opera com uma vazão de 0,004 m3/s. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%. Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (a) 0,027 (b) 1,3 kW
[11] Ar a pressão de 1Atm, e 30oC entra com velocidade de 7,0m/s num duto de 7m de comprimento com seção
retangular de 15cmx20cm. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção. Utilize aço com rugosidade igual a 0,045mm.
R: 5 W
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-96
[ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade. De noite, o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação. Para uma vazão de projeto de 56,8 m3/min em ambas as direções, a perda de carga por atrito é de 5,2m. Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e
aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. Na figura Z1=45,7m e Z2=7,6m.
[ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo
de água horizontal, como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). Para as alturas de coluna d’água indicadas, determine (a) A pressão de estagnação
(b) a velocidade no centro do tubo. Na figura h1=30mm; h2=70mm e h3=120mm.
[ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento. Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm. Determinar:
( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1,307x10-3 Pa.s Massa especifica 999,7 kg/m3.
[15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4,0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s
R: (a) 2,48m/s; 0 N/m2 (b) 2,29 m/s; 5 N/m2 (b) 0 m/s; 12,5 N/m2
[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade paracada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação.
Laminar
−=
2
max 1)( R
rUru
Turbulento (n=7)
n
R
rUru
/1
max 1)(
−=
R: Laminar: y=0,293R Turbulento: y=0,242R
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-1
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE FFEENNÔÔMMEENNOOSS DDEE TTRRAANNSSPPOORRTTEE
MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS
PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS
((22001111))
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-2
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico
e densidade do óleo.
[ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K)
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a
sua viscosidade cinemática.
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de
500 2K N m
em termos da altura de coluna de água de
massa específica
1000 3kgm
, e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica
136 103 3. kgm
. Utilizando
p gh
.
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54.
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de
101,0 kPa.
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão
atmosférica local é igual a 100 kPa.
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do
mercúrio igual a 13,6.
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o
valor do número de Reynolds.
[ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina;
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
CCAAPP 11 PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS
PROBLEMAS RESOLVIDOS
(A seguir estes problemas estão resolvidos)
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-3
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR =
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou
incompressível? c) subsônico ou supersônico?
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
kNN
s
m
kgxw
mgw
093,8ou 25,809381,9825
2
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e
densidade do óleo.
Massa específica
33
90067,899
917,0
825
m
kg
m
kg
V
m
Peso específico
323
8,882581,967,899
m
N
s
m
x
m
kg
g
Também poderia ser determinada como
33
8,8825
917,0
25,8093
m
N
m
N
V
w
densidade
)4()4( 22 caOH
fluido
caOH
fluido
d
90,089967,0
1000
67,899
)4(2
caOH
fluido
d
[3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
Peso específico
3
34,7833
6
100047
m
Nx
V
W
Massa específica
3
51,798
81,9
34,7833
m
kg
g
mm
xs
s
mkg
mm
Ns
s
m
m
N
g 3
2
2
3
2
2
3
.
.
Densidade
80,0
1000
51,798
0
2 40
CaH
óleod
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-4
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K)
A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa.
A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K
A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos
3
23,5
294287
10003,441
m
kg
x
x
RT
P
As unidades são:
32
2
..
..
m
kg
xKmmN
KkgN
Kx
kgK
Nm
m
N
RT
P
O peso de ar contido no tanque é igual a
NxxxgW 22,11038,281,923,5 2
Conferindo as unidades:
N
s
mkg
m
s
m
m
kg
gW
2
3
23
.
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a
sua viscosidade cinemática.
s
m
x
kg
ms
s
kgm
x
kg
msN
x
m
kg
m
Ns
x 2
6
2
66
3
2
3
1088,5
..
1088,5
..
1088,5
850
105
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de
500 2K N m
em termos da altura de coluna de água de
massa específica
1000 3kgm
, e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica
136 103 3. kgm
. Utilizando
p gh
.
Solução
Em termos de coluna de água:
água de 95.50
81.91000
10500 3
m
g
p
h
Em termos de coluna de mercúrio com
136 103 3. kgm
.
mercúrio de 75.3
81.9106.13
10500
3
3
mh
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-5
[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade
máxima do lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é iguala 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54.
A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação:
ghpp 0
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm).
Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos
kPa
m
kg
xghpatm 43,79
m
N
79430,79 x0,598m
s
m
x9,81100054,13
223
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3
podemos determinar a pressão absoluta como.
kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de
101,0 kPa.
kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão
atmosférica local é igual a 100 kPa.
kPakPakPappp vac 3070100atmabs
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do
mercúrio igual a 13,6.
atmabs pPp man
em kgf/cm2
2abs
321
cm
kgf
p
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma.
Pressão em Pascal.
kPaxx
m
kgf
N
x
cm
kgf
p 3,29410081,90,3
100
1
81,90,3 2
2
2
2abs
Coluna de água
água de coluna de 30
81.91000
103,294 3
02
m
g
p
h
H
Coluna de mercúrio considerando d=13,6.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-6
mercúrio coluna de 2,2
81,910006,13
103,294 3
m
xg
p
h
Hg
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num
tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do
número de Reynolds.
O número de Reynolds é definido como
VDVD
ou Re
a massa específica do fluido é determina em função da densidade
330
910100091,0
2 m
kg
m
kg
xd H
156
38,0
910025,06,2
Re
xxVD
Conferindo as unidades
aladimension-1
...
Re
22
3
2
3
2
3
s
m
mkg
s
m
kg
m
s
m
sN
m
x
m
kg
xmx
s
m
m
Ns
m
kg
xmx
s
m
VD
O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que
todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente.
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 11,77 kN
b) = m / V = 1200 kg / 0,952 m³ 1261 kg / m³
c) = g
3
23
/37,1281,91261 mkN
s
m
x
m
kg
d) d = fluido / água a 4ºC 26,1
1000
1261
3
3
m
kg
m
kg
d
[15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-7
).( PerfeitoGásEq
TxR
p
absAR
manatmabs
TxR
pp
TxR
p
3
2
2
2
5,08
323
.
287
.
471330
27350287
370000101330
m
kg
Kx
Kxkg
s
mkg
sm
kg
Kx
Kxkg
J
PaPa
CCAAPP 11 PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS
PPRROOBBLLEEMMAASS PPRROOPPOOSSTTOOSS
1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa
especifica e a densidade deste líquido.
2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a
1,85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3.
3. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN
contido num reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3.
(d=0,96)
4. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa.
Determine o volume do tanque. (V=1,52m3)
5. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de
10kgf/cm2. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a
13600kgf/m3. Qual a densidade do mercúrio. (d=13,6)
6. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de
água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca)
7. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos
específico igual a 850kgf/m3.
8. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de
pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m)
9. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a
massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2.
10. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A
pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-8
11. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal
como se mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão
atmosférica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de
coluna de mercúrio. (h=760mmHg)
12. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica
local é igual a 760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm
de Hg.
13. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é
igual a 40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa.
14. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em
barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em
conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos
fluidos.
15. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que
apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U
conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a
13,6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a
leitura no manômetro localizado no topo do tanque.
(Resposta: Pmam=21,1kPa)
16. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qualescoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou
turbulento.
17. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica
uma pressão igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (=1,07kg/m3)
18. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura
do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N).
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-9
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido.
Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?.
Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior
comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ?
Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ?
Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?.
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A
tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3
kg/ms.
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa
específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área
move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade.
Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para
puxar a placa.
EEXXEEMMPPLLOOSS
LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE
((CCAAPP 11))
(1) (2) (3)
dy
du
y
x
y
V=2,5m/s
h=100mm
0
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-10
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado
na figura. A separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é
de 0,65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar:
( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido
( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa)
( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas
e largas é dada pela equação
2
1
2
3
h
yV
u
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que
V=0,6m/s e h=5mm determinar:
a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por:
.2 2yyU
Onde
yU
é o perfil de velocidade em m/s e
y
o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade
absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm
e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio
de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear
de velocidade (dv/dy=u/y).
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil
de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a
tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa
especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a
1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por:
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2
max
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do
resultado.
U=0,3m/s
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-11
Solução – Problema 1
[1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido.
(a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?.
(b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior
comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ?
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ?
(d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?.
(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (=0) e portanto a tensão =0.
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção
(=0).
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo
du/dy=k2 = constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (=cte).
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo:
u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y ,
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente.
Para y=0 (centro do canal) =0.
Para y=ymax (paredes) =max.
Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (=ky)
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-12
Solução – Problema 2
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em
y= -100mm.
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms.
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s
como
2byaV
achamos que a=2,5m/s
Para y=-100 mm V=0 com
2byaV
achamos
2
22
2505,2
250
1,0
5,20
yV
y
aV
b
O gradiente de velocidade é dada por:
y
dy
du
500
Tensão de cisalhamento em y=0 :
0 x500x08,0x10 3-
dy
du
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m
2
3- 4,00)x500x(-0,18,0x10
m
N
dy
du
Solução – Problema 3
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa
específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma
placa muito fina de 0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies.Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y).
21 FFF
2
2
5
3
N.s/m06473,010615,7850
s
m
x
m
kg
1
1
y
u
A
dy
du
AAF
2
2
y
u
AF
como y1=y2 temos que F1=F2.
N
m
s
m
x
m
sN
xmx
y
u
AF 62,0
0125,0
15,0
.
06473,04,022
2
2
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-13
Solução – Problema 4
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo
entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para
uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuição linear
de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65
centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar:
(a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms)
(b) A viscosidade cinemática do líquido
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa)
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.
Hipóteses:
Distribuição linear da velocidade
Escoamento em regime permanente
Viscosidade constante
(a) 1 cP = Pa s /1000
s 105,6
1000
)65,0( 4 Pax
cP
sPa
cP
1 cP = Pa s /1000
)/(105,6
1000
)/(
)65,0( 4 mskgx
cP
mskg
cP
(b) A viscosidade dinâmica
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
1039,7
100088,0
105,6
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma
reta:
bmyyu )(
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de
coord.)
Para y=d u=U e por tanto m= U/d
Desta forma o perfil de velocidade é dado como:
y
d
U
yu
)(
O gradiente é dado por:
ctes
x
d
U
dy
du
11000
3,0
10003,0
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)
Pa
m
N
sms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65,065,0
1
1000105,6
2
4
0
A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto yx
atua no sentido negativo (-) dos x
A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto yx
atua no sentido positivo dos x
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-14
Solução – Problema 5
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas
e largas é dada pela equação
2
1
2
3
h
yV
u
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que
V=0,6m/s e h=5mm determinar:
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
Utilizando a lei universal
du
dy
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de
cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade
temos,
y
h
V
h
yV
dy
du
22
3
20
2
3
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h,
Paou
m
N
m
x
s
m
xx
m
Ns
h
V
h
h
V
hy 691 691
005,0
1
6,0392,1
3
)(
3
222
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na
parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior.
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy.
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. plano médio=0.
O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de
cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-15
Solução – Problema 6
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por:
.2 2yyU
Onde
yU
é o perfil de velocidade em m/s e
y
o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade
absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
Como o perfil de velocidade é dado por
.2 2yyU
Desta forma
.4y
dy
ydU
A tensão de cisalhamento é dada por:
y
u
2
3 0016,0)2,0(4102
)(
m
N
xxx
dy
ydU
Solução – Problema 7
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm
e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio
de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear
de velocidade (du/dy=u/y).
y
u
DL
dy
du
AAF
s
cm
s
m
xxx
xx
DL
Fy
u 87,20287,0
5,832,02,0
00005,098,9100
Solução – Problema 8
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil
de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a
tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa
especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a
1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por:
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2
max
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do
resultado.
Pa
sxPax
xx
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mmy
mmy
0257,0
068,1428.108,1
707106,01000
0,72
0,9
0,72
5,3
cos
2
5
max
5,3
5,3
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-16
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s,
enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e
massa específica 830 kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na
superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em
contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1
(b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N
[2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas
h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica
é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s.
Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior
com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para
puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a
1,0m2.
R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N
[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina
de óleosob a ação de uma força F, conforme a figura. O
óleo tem densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a)
Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre
a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel?
R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s
[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante
V
e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria
apresenta um comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear
do perfil de velocidade no óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta
a potencia é dada por
FVW
onde
F
é a força tangencial na correia e
V
a velocidade da correia. Dados:
L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo SAE 30
sm
kg
.
29,0
R: 72,5 W.
[ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é
dado por:
2
max
2
1)(
h
y
uyu
onde umax representa a velocidade
máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o
Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-17
gradiente de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de
cisalhamento.
Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da
placa superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s
Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na
placa superior (d) A força de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46
N/m2. (d) 0,138 N
viscosidade dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s.
[6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal
formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde
V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92
Pa.s Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento
na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do
canal. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal.
R: (a) 691,2 (N/m2)
2
1
2
3
)(
h
yV
yu
[ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película
de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm.
R: (a) 0,01 Pa.s
[8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N,
uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a
149,5mm. Este corpo se move com uma velocidade
constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm
de diâmetro. Entre o tubo e o cilindro existe uma película
de óleo. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede
interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo.
R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s
[9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo
lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo
apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro
do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a
Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2
Pa.s
R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm
[10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo
vertical com 0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de
óleo de viscosidade 23,9 Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra.
[11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de
comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de
uma luva de 60,2mm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo
altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a
0,003 m2/s.
(a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força
requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b)
Determinar a força requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-18
[12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira
dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o
eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e
viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro
igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta
condições de operação.
R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-19
PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.2)
[1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m.
Considere a densidade do fluido igual a 8,5.
B de acima líquido de coluna da Pressão = P(B)
) (/5,12
) (/12508
5,181,910006,8
2
2
2
2
kPaoumkN
PaoumN
xxx
hgd
ghp
águamercurio
B
Manômetro piezométrico simples
[2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma
pressão de um fluido com massa especifica igual a
700kg/m3. O manômetro utiliza mercúrio com densidade
igual a 13,6. Determinar:
a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m.
b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m.
p gh ghA man 2 1
a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4
= 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar)
b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4
= -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar)
CCAAPP 22 -- EESSTTÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS
PROBLEMAS RESOLVIDOS
(A seguir estes problemas estão resolvidos)
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-20
A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica.
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo
U. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6.
pC = pD
pC = pA + g hA
pD = pB + g (hB - h) + man g h
pA - pB = g (hB - hA) + hg(man - )
pA - pB = g (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) H20
= 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000
= -7284 + 61852
= 54 568 N/m
2
ou Pa ( 0,55 bar)
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do
manômetro.
Por definição um manômetro mede pressão em
relação a pressão atmosférica.
Para determinar Y trabalhamos com pressões
relativas a atmosférica.
Como o reservatório este fechado, a pressão do ar
igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera.
Desta forma utilizando pressões relativas:
ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225
yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030
Resolvendo:
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-21
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
yxxxxxxx[ 5 ] Com base na figura ao lado, determine:
A pressão absoluta no ponto A;
PA (Rel) = H2O . g . hH2O
PA (Rel) = 1000 kg/m
3
x 9,81 m/s
2
x 5 m 49 kPa
PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel)
PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa
PA (Abs) 270 kPa
[ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine:
a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água;
b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório.
a)
PA (Abs) = PAtm + PA (Rel)
PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa 134,68 kPa
PA (Rel) = Gas. g . hgas = 680 kg/m
3
x 9,81 m/s
2
x 5 m = 33,354 kPa
Gas = d x água à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m
3
= 680 kg/m
3
b)
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-22
PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + água. g . hágua
PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m
3
x 9,81 m/s
2
x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa 144,5 kPa
[ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine:
a) a massa específica do azeite de oliva;
b) a densidade do azeite de oliva.
Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa.
a)
PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg
PA (Abs)=PAtm +óleo.g.hóleo +H2O.g.hH2O +az.oliva.g.haz.oliva +Hg.g.hHg
olivaaz
HgHgOHOHóleoóleoATMF
olivaaz
hg
hghghgPP
.
.
.
......
22
m
s
m
Pa
oa
9,2.81,9
4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300
2
.
3
2
2
. /1370
9,2.81,9
.
38982
mkg
m
s
m
sm
kg
olivaaz
3
34
4
/890000189,0 mkg
m
kg
xxdd
Càáguaóleoóleo
Càágua
óleo
óleo
b)
37,1
/1000
/1370
.3
3
4
.
.
olivaaz
Càágua
olivaaz
olivaaz d
mkg
mkg
d
[8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as
câmaras A e B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-23
kPaPP
PghghghP
BA
BtetraHgóleoA
28,37
321
Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A
[ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi
conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura.
A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e
a velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a
variação de pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do
mercúrio: 13,6.
kPa
x
PP
Pgg
x
gx
x
gP
BA
BaaaaA
52
1000
81,9)7503696,13360(
1000
750
1000
360
6,13
1000
360
1000
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-24
PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap2)
[ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera.
Se a pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão
absoluta no fundo do taque é 231,3 kPa determine a
pressão relativa entre a água e o aceite de oliva. Obs:
Densidade do óleo SAE 0,89. Densidade do mercúrio
13,6.
[ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água
num tanque subterrâneo de gasolina. (a) Se a
densidade da gasolina é 0,68 determine (a) pressão
absoluta e relativa na interfase gasolina-água e (b)
pressão abs. e relativa no fundo do tanque.
R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa
(b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-25
[4] Os recipiente A e B da figura contém água sob
pressão de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente.
Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro
diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m.
Massa específica da água: 1000 kg/m3;
Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3
[5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig.
considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa.
Considere água com massa especifica igual a 1000
kg/m3. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig.
R: 22cm
[ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada
mostrada na Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3.
Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3. Determine a
pressão manométrica no ponto A. R: 20,92 kPa.
[ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório
fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a
Fig. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a
30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de
mercúrio do manômetro.
R: y=626mm
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-26
[8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da
pressão causada por uma diminuição da seção reta ao
longo do escoamento. Massa específica da água =
1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³.
(a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B
(b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em
metros de coluna de água ?
R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20
[9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de
pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA)
[10] Determine a pressão na tubulação com água (A)
considerando que o manômetro em U esta aberto para a
atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso
especifico igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e
h2=10cm.
R: 8,0 kPa
[ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura
abaixo, quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa.
Considere as densidades dos fluidos dA=0,88 e
dB=2,95.R: 42,84mm
[ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do
mercúrio: d=13,6). R: (a) 2,75 kPa
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-27
[ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém
água, tendo uma região ocupada por mercúrio com
densidade igual 13,6. O reservatório é fechado e
pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180
kPa. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa.
Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de
água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. Obs:
água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3.
R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa
[14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do
reservatório sobre o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-28
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5)
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0.
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente.A velocidade V é
dada pela equação:
i
R
r
UV ˆ1
2
max
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo.
Determine o fluxo de massa da tubulação.
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para
escoamento de água em regime permanente. As áreas das
A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da
seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão
entrando na seção (4) é igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na
seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do
fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo
determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2).
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do
reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa
para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório.
CCAAPP 33 FFLLUUIIDDOODDIINNÂÂMMIICCAA
PROBLEMAS RESOLVIDOS
(A seguir estes problemas estão resolvidos)
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-29
Solução Exemplo 1
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0.
Equação Básica
0 scvc AdVdt
Hipóteses:
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem
dependentes do tempo.
(2) Escoamento uniforme na seção (1).
Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar da integral do primeiro termo.
0
sc
AdVvcdt
Como
vc
d
0
sc
AdV
t
O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1).
1Asc AdVAdV
Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto VdA é positivo (+).
Se as propriedades são uniformes na superfície (1)
111
1
AVAdV
A
0111
AV
t
Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo:
111 AV
t
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-30
111 AV
t
s
m
kg
m
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
311
13,6
33
2
3
Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula
(t=0).
Solução Exemplo 2
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação:
i
R
r
UV ˆ1
2
max
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo.
Determine o fluxo de massa da tubulação.
Solução:
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:
0 scvc AdVdt
Hipóteses:
Escoamento permanente
Escoamento incompressível
Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras.
AdVAdVAdVm
222111
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-31
A
u
R
uR
um
RRR
R
RR
R
rr
rdr
R
r
rdr
R
r
um
drr
R
r
um
πrdrdA
R
R
R
R
224
2
442
1
42
1
42
1
:integral a Resolvendo
12
)2(1
2 : tubodo seção da área de elemento o doConsideran
max2max
2
max
222242
0
242
0
2
0
2
max
0
2
max
Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é
2
maxuu
Solução Exemplo 3
[3] Dados
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2
Fluxo de massa em (3):
s
kg
m 603
(+)
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s
Velocidade em (1)
s
m
iV ˆ0,31
Consideramos a massa específica da água igual a 1000
kg/m3
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:
0 scvc AdVdt
Hipóteses:
(1) Escoamento permanente
(2) Escoamento incompressível
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras.
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras:
0
4331
AAAAsc
AdVAdVAdVAdVAdV
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c.
1
1
1111
1
mAVAVAdV
AA
(-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário.
Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-32
222
2
22
2
mAVAVAdV
AA
Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção
3
33333
3 AA
mAVAVAdV
(+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c.
Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido.
4
4
4444
4
mAVAVAdV
AA
(-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário.
Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c.
04321 mmmmAdV
sc
skgmx
s
m
x
m
kg
AVm /6002,00,31000 2
3111
(-) entrando no v.c.
skgm /603
(+) saindo do v.c.
skg
s
m
x
m
kg
QAVm /3003,01000
3
34444
(-) entrando no v.c.
0306060 24321 mmmmm
s
kg
m 302
Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c.
Para determinar a velocidade em (2):
222 AVm
sm
xA
m
V /6,0
05,01000
30
2
2
2
na forma vetorial:
s
m
jV ˆ6,02
(aponta em sentido negativo do eixo y)
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa.
Solução Exemplo 4
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do
reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s.
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da
água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por:
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2.
021 mm
dt
dh
Ares
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-33
resres A
VAVA
A
QQ
t
dh
mmd
t
221121
21 0
sm
xx
A
VDVD
t
dh
res
/0172,0
18,0
6,0075,09,0025,0
44
22
2
2
21
2
1
1.4 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5)
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do
bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte.
[2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na
figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a
água.
[3] Considere o escoamento de água através de um
cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a
pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 .
Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é
descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com
velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária
para manter o cotovelo no lugar.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-34
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo
definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo
em que atua.
[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a
força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na
figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato
como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600
Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N.
(Massa especifica da água 1000 kg/m3).
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800.
Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica
igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo
fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no
ponto (2) é igual a 80 kPa.
Obs. O fluido escoa de (1) para (2).
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como
mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual
será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo
método simplificado.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-35
Solução Exemplo 1
Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é
de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte.
Dados:
Velocidade do jato:
smiV /ˆ15
Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água =1000 kg/m3
Pressão atmosférica Patm=101 kPa.
Determinar: Força resultante.
Solução:
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura.
Equações Básicas
sc AdVVvc dVt
FF
Bs
Hipóteses:
Escoamento permanente
Escoamento incompressível
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C.
Forças de campo desprezíveis.
sc
s AdVVF
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x.
ApRApF atmxatmx
Por tanto
xx RF
A quantidade de movimento na direção - x:
11
11
1
AVuAdVuAdVu
AdVuAdVV
AA
Axsc
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-36
O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s.
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 225001,015100015 2
311
NAdVuR
A
x 2250
1
Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x.
Na forma vetorial
NiFs
ˆ2250
Método simplificado
No método simplificado :
12 uuQFx
12 uumFx
A massa especifica é determinada com as condições da seção 1.
skgmx
s
m
x
m
kg
Aum /15001,0151000 2
311
(+) saindo do v.c.
A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0)
N
s
m
x
s
kg
umFx 2250151501
Aponta no sentido contrário ao eixo x.
Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se.
Solução: Exemplo 2
Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na
figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a
água.
Dados:
Velocidade do jato:
smiV /ˆ15
Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água =1000 kg/m3
Pressão atmosférica Patm=101 kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-37
Solução:
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura.
Equações Básicas
sc AdVVvc dVt
FF
Bs
Hipóteses:
Escoamento permanente
Escoamento incompressível
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C.
Forças de campo desprezíveis.
sc
s AdVVF
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x)
sc
sx AdVuF
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.
ApRApF atmxatmsx
Por tanto
xsx RF
A quantidade de movimento na direção - x:
111
1
111
1
AVuAdVuAdVu
AA
(fluxo entrando no v.c.)
Igualando os termos:
111 AVuRx
e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido
Vetor velocidade:
Ponto (1)
smiV /ˆ1,6
e desta forma u1=6,1m/s.
Consideramos que o jato é uniforme
Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVuRx 98,1800051,01,610001,6
2
3111
Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y)
2
222
A
sy AdVvF
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).
HatmyHatmsy ApRApF
Por tanto
ysy RF
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-38
Pela conservação da massa em (2)
smjV /ˆ1,6
e desta forma: v2=6,1m/s.
222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
(fluido saindo da s.c.)
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 98,18000511,01,610001,6 2
3222
NAVvRy 98,19222
(Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+)
Método simplificado
O fluxo de massa é dada por:
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
Aum 11,300051,01,61000 2
311
12 uumFx
u1=6,1m/s u2=0 e desta forma:
NxumFx 98,181,611,31
12 vvmFy
v1=0 v2=6,1m/s e desta forma:
NxvmFy 98,181,611,32
Solução: Exemplo 3
[ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900
em regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm,
a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na
seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido
descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s.
Determinar: A força resultante Rx e Ry. Obs. Apresente a equação
integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do
escoamento.
sc AdVVvcdVt
FF
Bs
Hipotese e escoamento: Escoamento permanente
Escoamento incompressível
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C.
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x)
sc
sx AdVuF
( considerando força de campo FBx=0)
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar
trabalharemos com a pressão relativa
xrsx RApF 11
A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x:
111
1
111
1
111 AVuAdVuAdVu
AA
(fluxo entrando no v.c.)
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 1600113,00,410000,4 2
3111
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-39
11111 AVuApR rx
NNxR
AVuApR
x
rx
15161600113,01000120
11111
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
AVm 28,4500283,0161000 2
322
Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y)
2
222
A
Bysy AdVvFF
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo
FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente
exercícios consideramos desprezível força de campo FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície:
yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF
222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
(fluido saindo da s.c.) (+)
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 72400283,016100016 2
3222
NAVvRy 724222
(Contrario ao sentido admitido originalmente)
Solução: Exemplo 4
Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo definido
na figura é igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que
atua.
No método simplificado:
Equações utilizadas:
12 uumFx
12 vvmFy
O fluxo de massa pode ser determinado como:
s
kg
s
m
x
m
kg
QAVm 5005,01000
3
311
Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c.
jviuV ˆˆ 111
jviuV ˆˆ 222
Componentes da velocidade em x:
O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-40
s
m
Vu 07,275cos8)75cos( 0022
s
m
Vu 66,545cos845cos 0011
Componentes da velocidade em y:
s
m
Vv 73,775sin875sin 0022
s
m
sinsinVv 66,545845 0011
Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s
Força Resultante em x:
N
s
kg
RF xx 5,17966,507,250
(Aponta em sentido contrário ao eixo - x)
Força Resultante em x:
N
s
kg
RF yy 5,66966,573,750
(Aponta no mesmo sentido que o eixo - y)
Força Resultante:
NRRR yx 6935,669)5,179(
2222
Ângulo formado pela resultante:
075
x
y
R
R
Tan
Solução: Exemplo 5
[ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a
15m/s. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória.
sc AdVVvc dVt
FF
Bs
Hipóteses:
Escoamento em regime permanente. Não que
existe variação das propriedades no tempo no
V.C.
Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída
(2).
Escoamento com velocidades unidimensionais.
Escoamento com considerando fluido
incompressível.
Fazendo analise em x:
12 xx vvQFx
onde:
smv
smv
x
x
/5,760cos15
/15
2
1
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-41
s
m
m
x
x
s
m
AVQ
3
2
2
11 118,0
4
1,0
15
NRx
xxRx
4,883
155,7118,01000
Solução: Exemplo 6
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa
especifica da água 1000 kg/m3).
4
0)(
)()(
2
2
1
21
D
vW
vAvW
vmF
vmvmF
y
y
sm
x
D
W
v /88,18
05,01000
70044
22
Solução: Exemplo 7
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800.
Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica
igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo
fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no
ponto (2) é igual a 80 kPa.
Obs. O fluido escoa de (1) para (2).
P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: sm
D
V /33,13600
150
4
2
xx uuQFx 12
xxx uuQAPAPR 122211
xxx uuQAPPR 12121 )(
conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s
NxxxR
APPuuQR
x
xxx
555256528,990314,080100)33,133,1(
3600
150
900
)( 12112
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-42
Solução: Exemplo 8
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como
mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual
será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo
método simplificado.
12 vvQFy
NWFy 825
sm
xx
xxx
D
x
v
Av
vAv
/08,17
601000
100010008254
4
1000
825
825
0825
221
2
1
11
1.5 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO
[ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a
força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na
figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato
como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600
R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N
[ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada
na figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os
diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é
D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão
relativa em (1) igual a p1=232 kPa.
Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange.
R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N
[ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo
um orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e
parte é defletida.
Determine a força horizontal necessária para conter a placa.
R: 981,75N
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-43
[ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual
a tubulação apresenta uma redução de seção.
Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade
V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a
pressão é igual a p2=patm=101,32kPa.
Nestas condições do escoamento o manômetro de
coluna de mercúrio apresenta uma altura de
h=58cm. (a) Determine a pressão relativa na seção
(1) ( b ) Determine a força total que os flanges
resistem. água=1000 kg/m3 ; Hg=13600 kg/m3
(a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N.
V1=5m/s
(1)
(2)D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
[5 ] A figura mostra um bocal convergente montado
numa linha de uma tubulação industrial. Os
manômetros instalados antes e após o bocal
apresentam as pressões indicadas na figura.
Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos
tubos adjacentes para suportar o bocal convergente.
Considere que o fluido e gasolina com massa
especifica igual a 680 kg/m3.
[ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (=1000 kg/m3). Determinar a força
resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e
igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 450.
[ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (=1000 kg/m3 ) numa
tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de
jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na
entrada (1) e saída (2) do fluido.
[ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma
corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente
misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da
corrente secundaria são iguais. Determine a velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-44
‘
[ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm.
Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de
carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3.
1.6 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7)
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a
150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e
viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: P=16 kPa W = 60 N/m2.
[2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa
glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa
especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da
tubulação. (b) o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para
graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) W = 204
N/m2. (d) V=6,0m/s
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris
por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de
0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os
gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e
viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as
estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada
estação de bombeamento. R: 27,4MW
EEXXEEMMPPLLOOSS
EESSCCOOAAMMEENNTTOO VVIISSCCOOSSOO IINNTTEERRNNOO
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-45
[4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC
utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão
de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os
borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser
desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C.
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se
benceno a 500C (d=0,86, =4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um
outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta
instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21
metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por
uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm.
Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que
o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min.
Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m.
R: 760kPa.
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o
diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa.
Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2)
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.
água=1000 kg/m3 ; Hg=13600 kg/m3
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
[7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de
diâmetro o qual apresenta um rugosidade =0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de
atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um
ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. =900 kg/m3 =0,00001 m2/s.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-46
[8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A
para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica
(101,32 kPa)
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para
que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de
carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m).
A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída
do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é
igual a 50mm.
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação
com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora
(turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo
da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A
perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m.
Determine a potencia da maquina considerando
um rendimento global de 88%..
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media
igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a
viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s.
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea
com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a0,002. Ambos
reservatórios estão abertos á atmosfera.
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica
igual a 1,7x10-3 Pa.s.
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e
comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s.
Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento.
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s.
[13] Uma experiência de laboratório foi realizada na
disciplina para determinar a perda de carga entre os
pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm
de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os
pontos A e B em função da leitura manométrica do
sistema apresentado na figura abaixo.
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da
água 1000 kg/m3).
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-47
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de
perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de
50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com =1,2 kg/m3
=1,8x10-5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30
cm de comprimento e 4 mm diâmetro.
[ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a
atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de
comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a
0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216.
Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do
reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do
reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência
requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global
de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos
acessórios e igual a Σk=13,2.
Obs. =1000 kg/m3 =1,02x10-6 m2/s. ]
Z1=6,1m
Z2=36,6m
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a
150mm. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade
dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de
pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba.
Solução: Exemplo 1
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a
150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma
massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação
de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.
1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s.
2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia:
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
22
22
como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2)
L
BA h
g
p
g
p
onde a perda de carga é dada por:
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,1
81,92
66,5
15,0
10
0149,0
2
22
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-48
Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como:
2
6006,0
10
88,15
4
15,0
4 m
N
kPax
L
pD
w
Solução: Exemplo 2
[ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa
glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa
especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da
tubulação. (b) Determine o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d)
A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2.
D=150mm L=30m V=4,0m/s
T=25oC =9,6x10-1 =1258 kg/m3
Perda de carga da tubulação.
Determinamos o Número de Reynolds
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258
Re
1
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por:
g
v
D
L
hL
2Re
64 2
mca
x
x
g
v
D
L
hL 28,13
81,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64
22
Determine o gradiente de pressão da tubulação.
A variação de pressão
kPaxxghp L 16381,9125828,13
O gradiente de pressão
m
kPa
m
kPa
L
p
4,5
30
163
Tensão de cisalhamento na parede da tubulação
8Re
64
24
22 vvf
W
desta forma
2
2
204
8
4
1258
786
64
m
N
xW
A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.
2
max 1
R
r
uu
com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-49
2
10,8
R
r
u
O valor da velocidade para r = R/2.
2
2
1
10,8u
=6m/s
Solução: Exemplo 3
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris
por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de
0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os
gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e
viscosidade cinemática igual 1,97x10-5m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as
estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada
estação de bombeamento.
Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido
Dados:
Q=1,6 milhões de barris dia
100kPa = 14,5psi. ou 1psi 6,897kPa
P1=1200 psi. (275,86kPa)
P2=50 psi. (344,83 kPa)
Ferro galvanizado =0,1464mm
D=48 pol ( 1220mm)
DR=0,93 oú =930 kg/m3
=1,97x10-5 m2/s.
=85%
dia
barris
xQ 6106,1
01 barril = 42 galões
min
67,46666
6024
42106,1 6 gal
x
xx
Q
Conversão 01 galão/min = 6,309x10-5 m3/s
s
m
xxQ
3
5 94,210309,667,46666
Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2.
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL
Simplificações
Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0
A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.
Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.
Com tais simplificações se tem:
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-50
g
P
g
pp
hL
21
o valor limite da perda a de carga é dada por:
fluidocm
x
x
hL ..32,869
81,9930
100083,34486,8275
(neste caso de Petróleo bruto)
g
V
D
L
fhL
2
2
Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação
2
2
V
g
f
D
hL L
onde2
9,0Re
74,5
7,3
/
log25,0
D
f
/D= 0,1464mm/1220mm=0,00012
VD
Re
a velocidade media
sm
x
D
Q
A
Q
V /51,2
22,1
94,244
22
5
5
1055,1
1097,1
22,151,2
Re x
x
xVD
01722,0
)1055,1(
74,5
7,3
00012,0
log25,0
2
9,05
x
f
km
x
V
g
f
D
hL L 8,191
51,2
81,92
01722,0
22,1
32,869
2
22
A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga
HA=hL=869,32m
A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como:
gQHP AA
onde é a massa específica do fluido e Q a vazão.
A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência
subministrada à bomba (potência motriz).
bomba a para fornecida Potência
fluido ao bomba pela adicionada Potência
Bomba
Desta forma a potência fornecida para a bomba:
G
A
motriz
gQH
P
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-51
kW
xxx
Pmotriz 2,27432
85,0
94,281,993032,869
Solução: Exemplo 4
[ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC
utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão
de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os
borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser
desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado.
Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido
Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC =0,015mm
Fluido: água a 200C Tabela: =998 kg/m3 =1,02x10-6 m2/s.
100kPa = 14,5psi. ou 1psi 6,897kPa
P1<= 65psig. (448,16 kPa)
P2 >= 30 psig (206,85 kPa)
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL
Simplificações
Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0
A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.
Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.
Com tais simplificações se tem:
g
P
g
pp
hL
21
Assumindo os valores extremos estamos considerando Pamx
aguacm
x
x
hL ..6,24
81,91000
100085,20616,448
g
V
D
L
fhL
2
2
Igualando os termos
g
V
D
L
fP
2
2
(Pa)
Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A):
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-52
5
2
25
2
24
2
2
2
2
18816
2
4
2 D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
fP
Substituindo Q = 0,095 m3/s =1,02x10-6 m2/s =998 kg/m3 L=152m
5
715,1109
D
f
P
D
QD
D
QVD 144
Re
2
. Substituindo os dados
D
04,118586
Re
Procedimento Iterativo.
1. Admitimos um valor para o diâmetro. Por exemplo Eq. de Bresse. ( D=Q0,5)
2. Determinamos o Re.
3. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f
4. Com D e F obtemos a variação de pressão
5. Se Pcal. Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado.
6. Se Pcal. < Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular
7. Se Pcal. > Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular.
Diâmetro (mm) /D Re f Pcal. (Pa)
308 0,000487 3,85x105 0,01435 57 kPa < (241,31 kPa)
150 0,001 8x105 0,01378 201,31 kPa
Continuar
Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados.
Solução: Exemplo 5
[5] Numa planta de processamento químico, deve
transportar-se benzeno a 500C (d=0,86, =4,2x10-4 Pa.s) de
uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de
550kPa. Antes do ponto A está instalada uma bomba. Com
relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do
ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma
tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm.
Determinar a pressão requerida na saída da bomba
considerando que o benzeno deve ser transportado com
uma vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de
carga na tubulação igual a 3,91m.
Resposta: 760kPa.
Dados: Fluido Benzeno d=0,86 T=500C =4,2x10-4 Pa.s
PB=550kPa. D=50mm (A=0,001964m2) Q=110 l/min. ( 0,001834 m3/s)
Solução:
Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto A e B.
B
BB
LTRADA
AA z
g
u
g
p
hHHz
g
u
g
p
22
22
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-53
Simplificações:
Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0)
Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL
Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro, pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB.
Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB - ZA) =21m
B
B
LTA
A z
g
p
hz
g
p
reorganizando os termos, e explicitando a pressão em A:
LTAB
BA hzz
g
p
g
p
Devemos determinar a perda de carga da tubulação
g
V
D
L
fhL
2
2
Considerando: velocidade: v=Q/A =0,934 m/s
93,0
001964,0
0,001834
A
Q
v
Reynolds:
DV
Re
9563
4-4,2x10
005,0934,0860
Re
xx
(escoamento turbulento)
com /D=0 - tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0,018.
m
x
xx
g
V
D
L
fhL 81,3
81,92
93,0
05,0
240
018,0
2
22
fluidocm
x
x
g
pA ..9081,312
81,9860
1000550
kPaxxpA 30,75981,986090
Solução: Exemplo 6
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o
diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa.
Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2)
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.
água=1000 kg/m3 ; Hg=13600 kg/m3
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-54
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
Aplicando Eq. de Manometria:
kPaxxghP aMR 7,7158,081,9)100013600()(1 (Relativa)
Aplicando Eq. de Energia.
m
xx
x
g
vv
g
pp
hL 23,007,73,7
81,92
8,125
81,91000
10007,71
2
222
2
2
121
Aplicando Eq. da Quantidade de movimento.
NxxvvmApRx 1,163)58,12(12,251000005,07,71)( 1211
Solução: Exemplo 7
[7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de
diâmetro o qual apresenta um rugosidade =0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de
atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um
ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. =900 kg/m3 =0,00001 m2/s.
m
gg
V
D
L
fhL 116
2
37,6
2,0
500
0225,0
2
22
Continuar: R: P=265Pa.
Solução: Exemplo 8
[8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A
para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica
(101,32 kPa)
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para
que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de
carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m).
A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída
do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é
igual a 50mm.
Dados
Q=12 l/s=0,012m3/s hL=12 m.c.f. PB= 101,33kPa. (Pressão Atm. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-55
Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação:
sm
xD
Q
v /12,6
00196,0
012,0
4
05,0
012,0
4
22
A Eq. de energia aplicada entre os pontos A e B, fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo
(turbinas) energia.
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
22
22
Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação, fazemos desprezível o
termo de energia cinética da mesma.
B
BB
LA
A z
g
u
g
p
hz
g
p
2
2
Utilizando nesta expressão a pressão relativa, em B temos que PB=0. Desta forma a pressão relativa em A é dada
como:
LAB
BA hzz
g
u
g
p
2
2
considerando a massa especifica do fluido =1000kgm/3
m
xg
pA 90,2812159,11215
81,92
12,6 2
em unidades de pressão, a pressão relativa em A é dada como:
kPaxxpA 6,28390,2881,91000
A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283,6 + 101,33 =385 kPa.
Solução: Exemplo 9
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma
tubulação com 750mm de diâmetro para uma
unidade geradora (turbina) e sai para um rio que
localizado a 30 metros abaixo da superfície do
reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda
de carga da tubulação e acessórios e igual a
27,29m.
Determine a potencia da maquina
considerando um rendimento global de
88%..
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-56
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
22
22
ABLA zzhH
mH A 80,575,3029,27
Watts
xxxQgH
W A 4536
7,0
0056,080,5781,91000
Solução: Exemplo 10
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media
igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a
viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s.
Perda de carga da tubulação.
Número de Reynolds
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258
Re
1
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por:
g
v
D
L
hL
2Re
64 2
mca
x
x
g
v
D
L
hL 28,13
81,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64
22
Solução: Exemplo 11
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea
com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos
reservatórios estão abertos á atmosfera.
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica
igual a 1,7x10-3 Pa.s.
s
m
x
x
D
Q
V 12,2
05,0
3600
15
4
4
22
635.48
107,1
05,012,2780
Re
3
x
xxVD
(turbulento)
0268,0
48635
74,5
7,3
002,0
log25,0
2
9,0
f
m
x
x
g
V
D
L
fhL 28,12
81,92
12,2
05,0
100
0268,0
2
22
Solução: Exemplo 12
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-57
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e
comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s.
Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento.
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s.
A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq. de energia.
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
22
22
como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro
L
BA h
g
p
g
p
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,1
81,92
66,5
15,0
10
0149,0
2
22
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1
a tensão de cisalhamento na parede é dada como:
2
6006,0
10
88,15
4
15,0
4 m
N
kPax
L
pD
w
Respostas P=15,88 kPa W=60 N/m2
Solução: Exemplo 13
[ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na
disciplina para determinar a perda de carga entre os
pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm
de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os
pontos A e B em função da leitura manométrica do
sistema apresentado na figura abaixo.
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da
água 1000 kg/m3).
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
22
22
Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro:
g
p
g
p
h BAL
Aplicando Eqs. de manometria obtemos:
BxaguaHgxaguaA phhgghghp )(
BaguaHgA pghghp
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-58
ghpp aguaHgBA
kPaxpp BA 74,4581,910001360037,0
m
mx
x
g
pp
h BAL 66,4
8191000
100074,45
Solução: Exemplo 14
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de
perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de
50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com =1,2 kg/m3
=1,8x10-5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30
cm de comprimento e 4 mm diâmetro.
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 1600
108,1
00040,62,1
Re
5
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por:
g
v
D
L
hL
2Re
64 2
mca
x
x
g
v
D
L
hL 91,4
81,92
6
004,0
3,0
1600
64
2Re
64
22
LghP
PaxxP 8,5791,481,92,1
g
v
khL
2
2
67,2
6
91,481,922
22
xx
V
gh
k L
Solução: Exemplo 15
[ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a
atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de
comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a
0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216.
Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do
reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do
reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência
requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global
de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos
acessórios e igual a Σk=13,2.
Obs. =1000 kg/m3 =1,02x10-6 m2/s. ]
Z1=6,1m
Z2=36,6m
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
22
22
ABLA zzhH
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-59
m
xg
V
D
L
fhL 82,21
81,92
85,2
05,0
122
0216,0
2
22
m
xg
V
Khac 46,5
81,92
85,2
2,13
2
22
mH A 80,575,3029,27
Watts
xxxQgH
W A 4536
7,0
0056,080,5781,91000
Solução: Exemplo 16
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a
150mm. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade
dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de
pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba.
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
22
22
Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro
L
BA h
g
p
g
p
onde:
00,151.848
100,1
15,099966,5
Re
3
x
xxVD
Turbulento.
Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105
012,0)108(5,0056,0 32,05 xf
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,130
81,92
66,5
15,0
1000
012,0
2
22
kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 kWxW 1281,01280
1.7 PROBLEMAS PROPOSTOS - Perda de Carga em Tubulações (Cap.4)
[ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 200C
escoando num tubo de 20mm. Obs. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6,48x10-7 m2/s.
R:(a) V=0,065m/s (b) V=0,1m/s.
[ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 150C que escoa a uma
velocidade de 1,07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que
apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20,53x10-5 m2/s.
R: (a) Re 290.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar.
[ 3 ] Para condições de escoamento laminar, qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0,0057m3/s de óleo
combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6,09x10-6 m2/s. R: D=60mm
[ 4 ] Um óleo lubrificante médio, com densidade 0,86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de
diâmetro a razão de 0,00114m3/s. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo.
R:: =0,089 Pa.s
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-60
[ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0,101 Pa.s e densidade 0,85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro
fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0,0444m3/s. Determine a perda de carga no tubo. R: 8,14m.
[ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914,4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm. A
pressão em A é de 1068,68 kPa e em B é de 34,47 kPa. O óleo apresenta uma densidade de 0,918 e viscosidade
cinemática é de 41,24x10-5 m2/s. Determine a vazão em m3/s. R: Q=0,039m3/s.
[ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0,0222 m3/s de óleo combustível pesado a 16oC com
viscosidade cinemática v=2,05x10-4m2/s e densidade igual a 0,912. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de
6,7m. Obs. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese. R: D=170mm
[ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação. O ponto
1 localizado a 966m de tubo do ponto 2, está elevado na elevação de 83m, sendo a pressão neste ponto de 2,5kPa. Se
a rugosidade do tubo é de 0,5mm. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma
vazão de 0,10m3/s. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 2,92x10-
4 N.s /m2 . R: D=258 mm
[ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. Entre as seções
de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0,8bar. Determinar a perda de carga velocidade do
escoamento, número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Considere a glicerina com massa
especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1,9x10-4m2/s.
R: hL=1,47m. V=2,37 m/s Re= 1247 (laminar) W=45,4 N/m2.
[ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. A
vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0,265bar. Considerando escoamento
laminar, determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar.
Ra: v=3,76x10-5 m2/s =3,338x10-2 Pa.s
[ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a
150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma
massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de
10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: P=16 kPa W =
60 N/m2.
[12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C.
Usando um perfil exponencial determine.
(a) Fator de atrito
(b) Velocidade máxima
(c) Posição radial em que u( r ) =Umedia
(d) Tensão de cisalhamento na parede
(e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m
Respostas:
Fator de atrito f=0,0173
Velocidade máxima Umax=3,74m/s.
Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15,2mm
Tensão de cisalhamento na parede w=22Pa
Queda de pressão considerando um comprimento de 10m P=22kPa.
[13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de
10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0,9 v=10-5 m2/s).
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-61
Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito.
R: Q=0,037 m3/s
[14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0,002
m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método
explicito. R: D=40mm
[15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm
de diâmetro interno. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2
metros é de 0,265bar. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica
do fluido. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. Determine a tensão de cisalhamento
na parede.
R: V=1,88 m/s =0,037 Pa.s =4,1x10-5 m2/s Re 590 - Laminar w=43Pa
Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap. de escoamentos emdutos)
[16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado, distantes 560m. A
tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm e diâmetro de 150mm determinar. Na tubulação existe um
registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga
igual a 0,4. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de
Moody. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna
de fluido e em Pascal. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação. d) Determina
a perda de carga total pela tubulação mais acessórios.
R: a) f=0,023 b) hl=22,35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2,04m d) hlT= hl+ hacc25m
[ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão
de 0,015 m3/s. A tubulação de aspiração tem um
comprimento de 15 metros. A tubulação de recalque tem
um comprimento de 200 metros. A válvula de globo aberta
apresenta um comprimento equivalente Le=30D onde D é
o diâmetro da tubulação. Determine a perda de carga total
do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento
da bomba considerando que apresenta um rendimento de
76%. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100
mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro
interno de 50mm. Considere uma tubulação é de aço com
rugosidade igual a 4,6x10-5m.
Elemento Coef. de perda de carga - K Fluido - álcool 24oC
Saída do reservatório de aspiração 0,5 =789 kg/m3
Entrada do reservatório de recalque 1,0 = a 5,6x10-4 Pa.s
curva de 900 0,57
R: hL=207,4m (z2 - z1) =10m H=217,4m W=33,2kW.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-62
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS - Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.7 e Cap.8)
[1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de
152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1,83m/s. =1000 kg/m3 =1,02x10-6 m2/s.
R: (1,37m ) (13,43kPa).
[2] Óleo com =1000 kg/m3 =0,00001 m2/s escoa a 0,2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e
200mm de diâmetro. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de
100 no sentido do escoamento. R: (117m ) (265 kPa).
[3] Óleo com =950 kg/m3 =2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com
uma perda de carga de 8m. A rugosidade relativa e 0,0002. Determine a velocidade media e a vazão.
R: (4,84 m/s) (0,342 m3/s). – Solução Iterativa.
[4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água
apresentando uma perda de carga de 1,37m. Obs. =1000 kg/m3 =1,02x10-6 m2/s.
R: (1,84 m/s) – Solução Iterativa.
[5] Óleo com =950 kg/m3 =2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de
8m sendo a vazão Q=0,342m3/s e a rugosidade =0,06mm. Determine o diâmetro da tubulação.
R: (0,3 m) – Solução Iterativa.
[6] Ar com =1,22 kg/m3 =1,46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de
30m de comprimento, a uma vazão de 0,708 m3/s. Se a rugosidade =0,091mm determine a queda de pressão.
R: (258 N/m2)
[7] Água com 1000 kg/m3 =1,02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma
vazão de 5,6 litros/s, por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a
figura. A rugosidade relativa e 0,001. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de
aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potencia requerida
pela bomba em Watts.
Acessório Coeficiente de perda de carga
Entrada em canto agudo 0,5
Válvula globo aberta 6,9
Curva com 12 pol de raio. 0,15
Cotovelo normal de 900 0,95
Válvula de gaveta aberta pela metade. 3,7
Saída em canto agudo 1,0
R: (3,2kW)
[8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10-4m conduz água a temperatura
de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3,9m. Determinar o
diâmetro da tubulação. R: (D=165,21mm).
[9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10-
4m escoando água a 200C com uma vazão de 62,8 litros/s. Determinar a perda de carga da tubulação. R: hL=18,26 m.
[10] Num duto de concreto (= 3,0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de
0,0115 mca/m. Determinar a vazão. R: (Q=0,007155 m3/s ).
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-63
1.9 PROBLEMAS ADICIONAIS
1. Problemas de Propriedades dos fluidos
[1.1] A densidade de um óleo é 0,8. Determine (a) massa específica, (b) volume específico (c) peso específico.
R: (a) 800 kg/m3; (b) 1,3.10-3 m3/kg; (c) 7848 N/m3.
[1.2] Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada líquida
de espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade
0,88, calcular:
a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10-4 Pa.s;
b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10-3 St;
c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,65 Pa.
[1.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o
volume ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N.
[1.4] Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno.
Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular
de 180 rpm. Eixo e bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10-2 kgf.s/m2.
[1.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água, quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm.
vE
2,2 GPa R: 4,5.10-5 m3.
[1.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm3 a 2
MN/m2. Determine o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. R: 2.105 Pa.
[1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a temperatura de 20 oC. Determinar a massa
específica. R: 16,26 kg/m3.
[1.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC.
R: 11,8 N/m3.
[1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade
de 1m/s. Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s. R: Re = 30. 000 (turbulento).
[1.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda
se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2.10-3 Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m3.
R: 0,02 m/s
PPRROOBBLLEEMMAASS AADDIICCIIOONNAAIISS
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-64
2. Problemas de Estática dos Fluidos
[2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm2. Qual a profundidade em água
para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca.
[2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de
9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio
antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfícieda água e
a parte inferior do casco. R: 612644 kg.
[2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas
em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera.
R: 7,7 kPa; 27,67 kPa.
[2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta
no tanque da figura.
R: 1,57.105 Pa; 2,58.105 Pa.
[2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do
mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m 3 e pressão atmosférica
1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa.
[2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB.
R: 96.000 Pa.
[2.7] Determine PB – PA na figura.
R: -35.280Pa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-65
3. Problemas de Conservação da Massa
[3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da
canalização para que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm.
[3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma
temperatura de 27 oC. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s.
[3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a
velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s.
[3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s
[3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro.
A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção
escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma
redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico
para 7,85 N/m3. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3/s. b) A velocidade do ar no
trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s.
[3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com
200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os
dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m3 a uma vazão
de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e
aumento de velocidade. Viscosidade 10-6m2/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de
menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A
vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento)
[3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num
determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma
atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa.
Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B).
R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros
[3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície
livre é de 2 m?
[3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto
(A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a
pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito).
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-66
4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia
[4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3/s. Considerando um rendimento global
de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m.
[4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do
duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro
15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de
sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30
kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 =
300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito,
determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW
[4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e
B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela
turbina. R: 41,6 kW
[4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime
permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões
estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa.
Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando
que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á
turbina. R: 131,7 kW.
[4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o
fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de
75%. A área da seção do tubo é 10 cm2.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-67
[4.6] A água flui numa tubulação, conforme figura. No ponto (1) da tubulação
o diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s e a pressão é igual a 345
kPa. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa.
Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles
é de 5 m. R: 4,5 m
[4.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água, através de um duto com diâmetro D=10 cm, de um
reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. A água é descarregada, com
vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura 38 m acima da bomba, através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm,
num reservatório aberto para atmosfera. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a
ph
= 2m. Determine a
potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW.
[4.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de
80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2.
Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). R: 62,4 m.
5. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos
[5.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800. A perda de carga é de 30 m em
100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min. R: 6,06 litros/min.
[5.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2
m/s. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12,65 m. (b) a variação de pressão R: 124.172 Pa.
[5.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de
diâmetro a razão de 0,00125 m3/s. Se a queda de pressão é 2,1 kgf/cm2, qual a viscosidade do óleo?
R: 0,051 Pa.s.
[5.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10-5 m2/s num
tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-68
[5.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e = 3 mm com ma perda de carga de 6
m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento. Calcular a vazão. R: 0,12 m3/s.
[5.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo,smv /10 25
a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86 m. R: 424 mm.
[5.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação
de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um
Reynolds de 1000. Determine em relação a válvula:
(a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m (b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m
[5.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro, da figura. Viscosidade cinemática = 10-
6m2/s. R: 46 litros/s.
[5.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e
velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área. Supondo uma tubulação lisa,
determine em relação ao escoamento:
a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 0,045 mH2O.
b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 441,5 Pa.
c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 3,3 mmHg.
[5.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h
Determinar:
a) A perda de carga na sucção; R: 4,15
m.
b) A perda de carga no recalque; R:
4,488 m
c) Perdas de carga total; R: 9,03 m
d) A energia adicionada pela bomba;
25,82 m
e) A potência hidráulica da bomba; R:
709 W
f) A potência de acionamento da bomba
considerando um rendimento de 85%. R: 834 W.
As conexões são curvas.
Comprimentos Equivalentes
- VP = 18,3 m
- RG = 0,4 m
- VR = 6,4 m
- ST = 1,5 m
- Curva PVC = 1,2 m
- Curva ferro fundido = 0,9
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-69
[5.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa
Determinar:
a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m3/s
b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s
c) O número de Reynolds; R: 51000
d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m
e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m
f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m
g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m
h) A potência hidráulica; R: 352,6 W
i) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%. R: 441 W
LISTA DE EXERCICIOS – 2010
[ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Na seção (1), a pressão é de 186 kPa.
Na seção (2), que esta a 6 m a jusante, a pressão é de 171 KPa. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de
massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds. (=981 kg/m3 μ=0,29 kg / m s ). Ra: 43,16 kg/s; 1580
[2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de
0,26mm. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. Considere a perda de carga pela entrada com
canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo. O tubo possui uma válvula de retenção e
uma válvula de gaveta aberta. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. O reservatório A é fechado e
pressurizado com ar comprimido, sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. Se a vazão
inicial através do tubo for 1,2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A.
Temperatura da água 100C. R: 741,7 kPa
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-70
[3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm. Na seção menor
a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. A pressão na seção menor é de P1=300kPa. (a)
Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1,06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2.
(b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada.
R: (a) P2=320 kPa. (b) 30 kPa.
[4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. A
pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. Determine a vazão do óleo através do tubo. Propriedades: =876
kg/m3 μ=0,24 kg/m s. R: 1,63x10-5 m3/s
[5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a
superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade no centro do tubo. Faça um
desenho esquemático do problema com a respectiva solução. Resposta: 8m/s
[6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for
reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga:
(a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16
R: Aumentara por um fator de 16
[7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial
determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de
cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m
R: (a) 0,0173; (b) 3,74m/s (c) 15,2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa.
[8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm de
diâmetro, 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0,5 mm. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6
litros/s. Água: ρ=1000 kg/m3; μ= 1,15.10-3 Pa.s. Resposta: 11,4m
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-71
[9] Um sistema de bombeamento água opera
com vazão de 20 m³/h. Na tubulação de 50m de
comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade
do fluido é igual a 1,96 m/s. Na instalação Z1=5 m
e Z2=25 m. A soma dos coeficientes de perda de
carga de todos os acessórios é igual a 13,55.
A tubulação é de ferro galvanizado com
rugosidade igual a 0,1 mm.
(a) Altura adicionada pela bomba
(b) Potência de acionamento considerando um
rendimento de 65%.
Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1,15x10-6m²/s.
R: (a) 26,83m (b) 2,25 kW
[ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade
ε=0,15mm. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm. Na tubulação existe um registro
de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10. O sistema opera com uma vazão de 0,004 m3/s. Determine:
(a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%.
Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (a) 0,027 (b) 1,3 kW
[11] Ar a pressão de 1Atm, e 30oC entra com velocidade de 7,0m/s num duto de 7m de comprimento com seção
retangular de 15cmx20cm. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia
necessária para superar a perda de pressão nessa seção. Utilize aço com rugosidade igual a 0,045mm.
R: 5 W
[ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma
cidade. De noite, o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação. Para uma
vazão de projeto de 56,8 m3/min em ambas as direções, a perda de carga por atrito é de 5,2m. Determine a potência
em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e
aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. Na figura Z1=45,7m e Z2=7,6m.
Mecânica dos Fluidos
PUCRS C-72
[ 13] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo
de água horizontal, como mostra a figura para medir a pressão
estática e de estagnação (estática + dinâmica). Para as alturas de
coluna d’água indicadas, determine (a) A pressão de estagnação
(b) a velocidade no centro do tubo. Na figura h1=30mm; h2=70mm
e h3=120mm.
[ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de
comprimento. Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm. Determinar:
( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação
( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação.
Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1,307x10-3 Pa.s Massa especifica 999,7 kg/m3.
[15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m
de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b)
r=4,0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica μ = 1,02x10-3 Pa.s
R: (a) 2,48m/s; 0 N/m2 (b) 2,29 m/s; 5 N/m2 (b) 0 m/s; 12,5 N/m2
[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido
a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil
de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação
que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação.
Laminar
2
max 1)(
R
r
Uru
Turbulento (n=7) n
R
r
Uru
/1
max 1)(
R: Laminar: y=0,293R Turbulento: y=0,242R
1
Capítulo 1
1.1- Introdução - Aplicações
Mecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do comportamento
físico dos fluidos e das leis que regem este comportamento.
Aplicações:
� Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens.
� Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações.
� Ação do vento sobre construções civis.
� Estudos de lubrificação.
� Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. Ex.: elevadores
hidráulicos.
� Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: instalação de recalque.
� Cálculo de máquinas hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas.
� Instalações de vapor. Ex.: caldeiras.
� Ação de fluidos sobre veículos (Aerodinâmica).
1.2- Definição de fluido
Fluido é uma substância que não tem forma própria, e que, se estiver em repouso,
não resiste a tensões de cisalhamento.
Classificação - Líquidos: � admitem superfície livre
� �� � são incompressíveis
� �� � indilatáveis
Gases: � não admitem superfície livre
� �� � compressíveis
� �� � dilatáveis
Pressão (p)
A
Fnp =
Introdução
Definição de Fluido
Propriedades
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
Mecânica dos Fluidos
2
Tensão de cisalhamento (τ )
A
Ft
=τ
1.3- Viscosidade absoluta ou dinâmica (µµµµ)
Princípio da aderência:
As partículas fluidas junto ás superfícies sólidas adquirem as velocidades dos pontos
das superfícies com as quais estão em contato.
Junto à placa superior as partículas do fluido têm velocidade diferente de zero.
Junto à placa inferior as partículas têm velocidade nula.
Entre as partículas de cima e as de baixo
existirá atrito, que por ser uma força tangencial
formará tensões de cisalhamento, com sentido
contrário ao do movimento, como a força de
atrito.
As tensões de cisalhamento agirão em todas
as camadas fluidas e evidentemente naquela
junto à placa superior dando origem a uma
força oposta ao movimento da placa superior.
A.Ft
A
Ft
τ=�=τ
Vo
F
τττ
Ft
τ
V1
V2
1a.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
3
Quando FFt = a placa superior adquirirá movimento uniforme, com velocidade
constante ov .
Lei de Newton:
A tensão de cisalhamento τ é proporcional ao gradiente de velocidade dv/dy.
O coeficiente de proporcionalidade µ: viscosidade absoluta ou dinâmica.
∴ dy
dvµ=τ
Fluidos Newtonianos: os que seguem a Lei de Newton.
Simplificação prática:
Como ε é muito pequeno, na prática admite-se distribuição linear de velocidades,
segundo a normal às placas.
�=
∆∆
AC
AB
'C'A
'B'A
'C'B'A~ABC
.cteV
dy
dv 0
=
ε
=
dy
dv
:Mas µ=τ
∴ .cte
V0
=
ε
µ=τ
Unidade de µ:
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
4
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(P)Poise0,01(cP)centiPoise1
""/.:...
/P:Obs.)..(P/.:...
/.:*
.
/
,
.
V
V
2
2
aa
2
2
2
2
00
0
=
==
=⋅==
=
=�
/
/
=
=�=�=
PoisecmsdSGC
mNISsmsNSKM
mskgfSMK
L
TF
TL
L
L
F
VA
Ft
µ
µ
µ
µµ
εµετµ
ε
µτ
1.4- Massa específica (ρρρρ)
V
m
=ρ
Unidades:
[ ]
.
:C.G.S.
(S.I.).:...
.
:..*.
.
V
m
4
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
3
2
cm
sd
cm
g
un
m
sN
m
kg
unSKM
m
skgf
m
utm
unSKM
L
FT
L
T
L
F
aV
F
V
a
F
==
==
==
==�===
ρ
ρ
ρ
ρρ
Ex.:
Água: ρ = 1000 kg / m³ ≅ 100 utm/ m³ = 1g / cm³
Mercúrio: ρ = 13600 kg/ m³ ≅ 1360 utm / m³ = 13,6 g/ cm³
Ar: ρ = 1,2 kg/ m³ ≅ 0,12 utm / m³ = 0,0012 g/ cm³
1.5- Peso específico (γγγγ)
V
G
=γ
Unidades:
m = massa
V = volume
G: Peso
V: Volume
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
5
3
3
3
).(
cm
dC.G.S.: un
IS
m
NM.K.S.: un
m
kgf
nM.K*.S.: u
=
=
=
γ
γ
γ
Ex.:
Água: γ = 1000 kgf/m³ ≅ 10000 N/m³
Mercúrio: γ = 13600 kgf/m³ ≅ 136000 N/m³
Ar: γ = 1,2 kgf/m³ ≅ 12 N/m³
Relação entre ρ e γ
�==γ g
V
m
V
G gρ=γ
Peso específico relativo (γ r)
OH2G
G
r =γ Não tem unidades (n.º puro)
V
V
G
G
G
V
G
VG
OHOH
r
OHOH
OH
OH v
V
G
22
22
2
2
γ
γγ
γγ
γγ
==
�
�
�
��
�
�
=�=
=�=
OH
r
2
γ
γγ = =
OH
r
2
ρ
ργ =
Ex.: Água: γr = 1
Mercúrio: γr = 13,6
Ar: γr = 0,0012
1.6- Viscosidade cinemática (νννν)
ρ
µ
=ν
Unidades:
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
6
[ ] [ ][ ] [ ]
(St)stoke0,01(cSt)centiStoke1
Stoke""cm²/sun:C.G.S.
(S.I.)m²/sun:M.K.S.
m²/sun:S..*KM.
2
4
2
2
=
==
=
=
=
//
==
/
/
ν
ν
ν
νρ
µ
ν
T
L
L
FT
L
TF
Ex.:
Água: m²/s10 6-=ν (20º C)
OBS:
a) µ depende da temperatura (θ)
b) µ independe da pressão
c)
µ
=
1fluidez
EXERCÍCIOS:
1 - Um fluido tem massa específica ρ = 80 utm/m³.
Qual é o seu peso específico e o peso específico relativo?
10.80.
/10
1000
2
3
2
=�=
=
=
γργ
γ
g
smg
kgf/mDados OH
3800 kgf/m=γ
1000
800
OH
r
2
=
γ
γ
=γ
8,0r =γ
Determinar a massa específica em g/cm³
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
7
kg10utm1;k10.8080 33 ≅==
m
g
m
utmρ
36
3
3
01
10800800
cm
g
m
kg
==ρ
3cm/g8,0=ρ
2 - A viscosidade cinemática de um óleo é
s
m028,0
2
, e o seu peso específico
relativo é 0,9. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas
M.K*.S.e C.G.S.
Dados:
?
9,0
/028,0
/8,9
/k1000
2
2
3
2
=
=
=
=
=
µ
γ
γ
γ
r
OH
sm
smg
mgf
OHr
OH
r 2
2
.:deCálculo
.
γγ=γ∴
γ
γ
=γγ
ρν=µ∴
ρ
µ
=ν
�
��
�
==
=∴=
=
=
3
42
2
3
/.kgf91,8
/
/
.
8,9
900
g
:de
900
1000.9,0
m
utm
ms
sm
mkgf
gCálculo
kgf/m³MK*S
ρ
γρργρ
γ
γ
3m
utm8,91S*MK =ρ
8,91x028,0:S*MK
.:deCálculo
=µ
ρν=µµ
2s/m.57,2 kgf=µ
24
5
cm10
s.dina10.8,957,2:.S.G.C =µ
)(/s.dina8,251 2 Poisecm=µ
s
cm10028,0
s
m028,0
s/cmemDeterminar
242
2
=
ν
s/cm280 2=ν (Stoke)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
8
3 - São dadas duas placas paralelas a distância de dois milímetros.
A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto que a inferior está
fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo
( )3utm/m90Stokes;0,1 == ρν :
a) Qual será a tensão de cisalhamento no óleo?
b) Qual a força necessária para rebocar a placa superior de área A = 0,5 m2 ?
24
5
s/m109
9010
kgfx
x
a)
−
−
=
=
=
µ
µ
ρνµ
m10.2mm2
s/m4v
m/utm90
s/m10s/cm0,1
3
0
2
252
−
−
==ε
=
=ρ
==ν
3
40
10x2
4
x10x9v.
−
−
=
ε
µ=τ
2kgf/m8,1=τ
5,0.8,1A.FtF
A
Ft)b =τ==∴=τ
kgfF 9,0=
4 - Uma placa quadrada de 1m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano
inclinado de 30º sobre uma película de óleo.
A velocidade da placa é de 2 m/s, constante.
Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm ?
µ = ?
A = 1 m²
G = 20N
Condição de V cte:
Gt = Ft ( 1 )
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
9
2
3-
tt
t
t
t
1x2
10x2x0,5x20
VA
senGAvsenG
:(1)em(3)e(2)doSubstituin
(3)AvFAF
A
F
(2)senGG
G
G
sen
=µ
αε
=µ�
ε
µ=α
ε
µ=∴τ=�=τ
α=�=α
2
2
s/m.N10
−
=µ (Pa.s)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
10
Capítulo 2
2.1- Conceito de pressão
A
FnP =
2
I
kgf/cm2
50
100P
=
==
I
I
P
A
F
2
II
II
kgf/cm1P
100
100P
=
==
IIA
F
2.2- Teorema de Stevin
“A diferença de pressões entre dois pontos de um fluido em repouso é o produto do
peso específico do fluido pela diferença de cotas entre os dois pontos considerados”.
Recipientes de base quadrada com água ( γ = 1000 kgf/m³ )
Qual a pressão no fundo dos recipientes?
Fn
Superfície de
área A
0,5 m
0,5 m
2 m
(I)
1 m
1 m
2 m
(II)
2 m
2 m
2 m
(III)
Pressão
Medida de Pressão
Carga
Ampliação de forças por
Intermédio da Pressão
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
11
33
I
m2x0,5x0,5xkgf/m1000
,P
(I)
=
=�==
I
II
I
I
I
I
G
VG
V
G
onde
A
G γγ
25,0
500P
m0,250,5x0,5A
kgf500
I
2
I
=
==
=IG
2
I /2000P mkgf=
1
2000P
A
GP
(II)
II
II
II
II
=
=
2
33
m11x1
kgf2000
m2x1x1xkgf/m1000.
==
=
==
II
II
IIII
A
G
VG γ
2kgf/m2000=IIP
4
8000P
A
GP
III
III
III
III
=
=
2m42x2
kgf8000
2x2x2.1000.
==
=
==
III
III
IIIIII
A
G
VG γ
2kgf/m2000=IIIP
Genericamente:
A
h.A.
A
V
A
GP
/
/γ
=
γ
==
hP γ=
( )
��������
h
12
p
12
22
11 hhPP
hP
hP
∆∆
−γ=−
�
�
�
γ=
γ=
hP ∆γ=∆
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
12
Observação importante:
a) O Teorema de Stevin só se aplica a fluidos em repouso.
b) ∆ h é a diferença de cotas e não a distância entre os dois pontos considerados.
c) Todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão.
d) A pressão independe da área, ou seja, do formato do recipiente.
2.3- Lei de Pascal
“A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em todas as direções”.
Realmente, se tal não ocorresse, havendo desequilíbrio, teríamos movimento da
partícula fluida.
Lei de Pascal:
A pressão aplicada a um ponto de um fluido incompressível, em repouso, transmite-
se integralmente a todos os demais pontos do fluido.
P1 = 0,1 kgf/cm²
P2 = 0,2 kgf/cm²
P3 = 0,3 kgf/cm²
P4 = 0,4 kgf/cm²
2kgf/cm1
100
100
=
==
P
A
FP
P1 = 0,1 + 1 = 1,1 kgf/cm²
P2 = 0,2 + 1 = 1,2 kgf/cm²
P3 = 0,3 + 1 = 1,3 kgf/cm²
P4 = 0,4 + 1 = 1,4 kgf/cm²
F
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
13
2.4- Transmissão e Ampliação de uma força
a) Prensa hidráulica
�∴=
=�=
=
A
F
A
F
:(2)e(1)de
(2)
A
FPFA.P
(1)
A
FP
2
2
1
1
2
2
22
1
1
1
2
1
2
A
A
F
F
=
b) Cilindro
b. 1 - Cilindro de ação simples
P.ApF =
b. 2 - Cilindro de dupla ação ou regenerativo
( )
HPP
HPP
PAAP-APF
FA-APA.P
+//=
+=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
14
HA.PF =
2.5- Carga de pressão (h)
É a altura de fluido suportada por uma pressão.
Ex.:
hpPP BA γ=== γ
=
ph
2.6- Escalas de pressão
a) Escala efetiva (relativa): É aquela que toma como referência (zero) a pressão
atmosférica. As pressões nessa escala dizem-se efetivas (relativas).
b) Escala absoluta: é aquela que toma como referência (zero) o vácuo absoluto. As
pressões nessa escala são chamadas absolutas.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
15
I - Comparação com as escalas de temperatura
II - Diagrama comparativo das duas escalas
atmefabs PPP ==
Ao nível do mar: Patm = 10330 kgf/m²
Pressão atmosférica
normal ou padrão Patm = 1,033 kgf/cm²
Observações importantes:
a) a - A pressão absoluta é sempre positiva.
b) b - A pressão efetiva pode ser positiva ou negativa.
Pressão efetiva negativa = “depressão” ou “vácuo”.
c) c - Indicação de pressão efetiva: 1 kgf/m².
d) d - Indicação de pressão absoluta: 1 kgf/m² (abs).
2.7- Unidades de pressão
a - Unidades de pressão propriamente ditas:
A
FnP =
ºK
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
16
Ex.:
dina/cm² ; N/m² ; kgf/m² ; N/cm²; kgf/cm² . Obs: N/m2=Pa; KPa=103Pa; MPa=106Pa
psi = lbf/pol2 ≅ 0,07 kgf/cm²
20 psi = 1,4 kgf/cm²
24
24
2 kgf/m10
10
11 ==
−
m
kgfkgf/cm
b - Unidades de carga de pressão utilizadas para indicar pressões:
γ
=
Ph
Ex.:
m.c.a. (metros de coluna de água)
m.c.o. (metros de coluna de óleo)
mmHg,
m. c. ar, etc.
c - Transformações de unidades
psi14,7psi
07,0
033,1kgf/cm033,1
76076,0
13600
10330h
m.c.a.33,10
1000
10330
;033110330
2
22
==
====
===�=
mmHgmP
Phkgf/cm,kgf/m
γ
γ
atm1psi14,7mmHg760
101,325KPa101325Pam.c.a.10,33/033,1kgf/m10330 22
===
===== cmkgf
Exemplo:
Determinar o valor da pressão de 380 mmHg em kgf/cm² e psi na escala efetiva em
kgf/m² e atm na escala absoluta.
Dado: Patm = 10.330 kgf/m².
a - Escala efetiva
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
17
a.1 - ] kgf/cm²
�
�
�
x-mmHg380
kgf/cm1,033-mmHg760 2 2/5165,0 cmkgfx =
a.2 - ] psi
�
�
�
y-mmHg380
psi14,7-mmHg760 psi35,7y =
b - Escala absoluta
atmefabs PPP +=
b.1 - ] kgf/m²
Pabs = z + 10330 kgf/m²
�
�
�
z-mmHg380
kgf/m10330-mmHg760 2 2/5165 mkgfz =
)(/k15495 2 absmgfPabs =
b. 2 - ] atm
1wPabs +=
�
�
�
w-mmHg380
atm1-mmHg760
atm5,0w =
)abs(atm5,1Pabs =
2.8- Aparelhos medidores de pressão.
a - Barômetro (Medida da Patm)
Hg
atm
Hg
Ph
γ
=
HgHgatm .hP γ=
Ao nível do mar: hHg = 760 mm
Patm = 0,76 m x 13600 kgf/m³
2/10330 mkgfPatm =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
18
b - Piezômetro
h.p γ=
Desvantagens: 1) Não serve para medir pressões de gases
2) Não serve para medir pressõesnegativas
3) Não serve para medir pressões elevadas
c - Manômetro com tubo em U
h.p γ=
Mede pressões positivas
hP-O
hP-P 12
γ=
γ=
hP γ−=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
19
Mede pressões negativas.
O ponto mais baixo tem pressão maior que p, que é negativa.
Mede também pressões de gases.
d - Manômetro Metálico (Tipo Bourdon)
21m P-PP =
0PPSe atm2 �== 1m PP =
22m
11m
21m
12m
P0PP
P0PP
PPP
PPP
D
C
B
A
=−=
=−=
−=
−=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
20
2.9- Equação Manométrica
Teorema de Stevin
A e 1 AAA1 h.PP γ=− 1 e 2 1121 h.PP γ=−
2 e 3 2223 h.PP γ=− 3 e 4 3343 h.PP γ=−
4 e B BBB4 h.PP γ=−
BB332211AABA hhhh.hPP γ+γ+γ−γ+γ−=−
BBB332211AAA PhhhhhP =γ−γ−γ+γ−γ+
Regra prática:
Cotam-se os planos de separação dos diversos líquidos manométricos.
Em seguida, convencionalmente, percorre-se o manômetro da esquerda para a
direita somando (ou subtraindo) as pressões das colunas de fluidos conforme se
desça (ou suba) segundo os diversos ramos do manômetro.
( )
( )
BB332211AABA
BBB4BBB4
33433343
22232223
11211121
AAA1AAA1
hhhh.h.PP
h.PPh.PP
h.PPh.PP
h.PP1Xh.PP
h.PPh.PP
h.PP1Xh.PP
γ+γ+γ−γ+γ−=−
γ=−/γ=−
γ=/−/γ=−
γ−=/+/−�−γ=−
γ=/−/γ=−
γ−=+/−�−γ=−
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
21
Exercícios:
1 - Determinar a pressão p.
01020-25P
00,075.13600-0,025.1000P
P
h.h.P
atm
HgHgOHOH 22
=+
=+
=
=γ−γ+
2kgf/m995P =
Dados:
�
�
�−
+=
=�=
=
=
atmx
atmmkgf
PPP
P,Se P
kgf/m
kgf/m
atmefabs
absatmatm
Hg
OH
9,0
1/10330
?90
13600
1000
2
3
3
2
γ
γ
2/9297 mkgf
9297995Pabs +=
)(/10292 2 absmkgfPabs =
2 - Determinar a indicação do manômetro metálico da figura.
0'P'P
?Pm
−=
=
2
1 /1 cmkgfP =
�=
=γ−
0,15x13600P
0h.P
2
HgHg2
22
2 /204,0/2040 cmkgfmkgfP ==
0,204-1P-PP 21m ==
kgf/cm²0,796Pm =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
22
3 - Calcular Par e Pm nas escalas efetiva e absoluta.
Dados:
3
3
/850
/1000
2
mkgf
mkgf
óleo
OH
=
=
γ
γ
�
�
−
−
x710
/10330760 3
mmHg
mkgfmmHg
mmHgP
mkgf
atm
Hg
740
/13600 3
=
=γ 2/10058 mkgfxPatm ==
6807004080700P
P0,8.850-0,7.1000-0,3.136000,7.10000
?P?Pa
ar
ar
absarar
−−+=
=++
==−
P = 3400 kgf/m²
100583400P
PPP
abs
atmefabs
+=
+=
)(/13458 2abs absmkgfP =
M
Móleoóleoar
absMM
P30,0.8503400
Ph.P
?P?Pb
=+
=γ+
==−
2
M /3655 mkgfP =
100583655P
PPP
absM
atmMabsM
+=
+=
)(/13713P 2 absmkgf
absM =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
23
4 - Calcular P para o equilíbrio do sistema
FA = 20 kgf
Equilíbrio de momentos
10xF20x20
xFxF
B
BBAA
=
= ��
kgf40FB =
22
2
1
B2
2
B
2
1
2
2
B
2
12
B
1
5
2540
d
dFP
d
F
d
P
4
d
F
4
d
P
A
F
A
P
�
�
�
�
=��
�
�
�
=�=
/
pi/
=
/
pi
�=
F = 1000 kgf
5 - Calcular o valor do peso G.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
24
2
5
2
4
2
3
2
2
2
H
2
1
cm10A
cm20A
cm5A
cm5,2A
cm2A
cm10A
1
=
=
=
=
=
=
33
2
1
/0136,0/13600
2002
/5
cmkgfmkgf
cmmh
cmkgfP
Hg ==
==
=
γ
Considerar o ar incompressível.
Desprezar o peso do pistão.
G = ?
5,2.72,2.'
/72,2/27200'
'213600'0:FdeCálculo
222
22
2
222
==
==
=∴=+
APF
cmkgfmkgfP
PxPhHgγ
kgf6,8F2 =
5.10A.PF:FdeCálculo 1111 ==
F = 50 kgf
( ) 8
2,43
A
FP:PdeCálculo
kgf43,2FFF
11
22
21
=
−
∆
=
=−=∆
HA
P2 = 5,4 kgf/cm²
20
27
A
FF:FdeCálculo
4
3
33 ==
P3 = 1,35 kgf/cm²
G = P3 . A5 = 1,35 . 10
G = 13,5 kgf
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
25
Capítulo 3
3.1- Noções Fundamentais
Movimento permanente
Quando fixado um ponto num sistema de referência, neste ponto, com o decorrer do
tempo, não mudam as propriedades.
Ex.:
instante inicial instante t qualquer
Movimento variado
Ex.:
Em caso contrário
instante inicial instante t
Vazão em volume (Q)
Noções fundamentais de
Escoamento de Fluidos
Equação da Continuidade
2 m/s 4 m/s 6 m/s
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
26
É o volume de fluido que atravessa uma seção de escoamento na unidade de
tempo.
s/3
s2
6Q �� ==
t
VQ =
Unidades de Q:
;...h/;min/;/s;/hm;min/m;/sm;/scm 3333 ���
Velocidade média numa seção (V)
ν=
ν=
.AQ
.AQ
Velocidade média é uma velocidade fictícia constante na seção tal que multiplicada
pela área resulta na vazão do líquido.
ν→
==
t
s.A
t
VQ
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
27
A
QVm ====
�
�
�
=�=∴
=�=
VdA
A
1
v
A
vdA
v
A
Q
vAvQ
mm
mii
Obs.: Vm = V se não for indicado o diagrama de velocidades
Unidades de V: cm/s ; m/s ; m/min ; . . .
Vazão em massa (Qm )
É a massa de fluido que atravessa uma seção do escoamento na unidade de tempo.
t
mQm ====
Unidades de Qm : g/s ; g/min ; kg/s ; kg/min ; kg/h ; utm/s ; utm/min ; utm/h ; . . .
Vazão em peso (QG)
É o peso de fluido que atravessa uma seção de escoamento na unidade de tempo.
t
GQG =
Unidades de QG : dina/s ; dina/,min ; d/h ; N/s ; N/min ; N/h ; kgf/s ; kgf/min ; kgf/h ;...
Relações entre Q, Qm e QG
Qm = t
m
Mas:
t
VQvm
v
m
Q
m
ρ
=∴ρ=�=ρ
QQm ρ=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
28
vAQm ρ=
Q =G
G
t
Mas:
=γ G
V G = V Q =γ ∴ G
γ v
t
Q
QQG γ=
vAQG γ=
Q = . gG
t
=
m
t
Q m
G
mG Q.gQ =
3.2- Equação da Continuidade
Num intervalo de tempo t a massa de fluido que atravessa a seção ( 1 ) é a mesma
que atravessa a seção (2).
m = m = m
: t
m m m1 2
t t t= = = cte.
m m m1 2
∴
ou ρ Q = ρ ρQ = Q = cte.1 1 2 2
ou ρ ρ ρV A = V A = V A = cte.1 1 1 2 2 2
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
29
“No escoamento de um fluido, em movimento permanente a vazão em massa de
fluido que atravessa qualquer seção de escoamento é constante”.
Caso particular:
Fluido incompressível (líquidos)
.cteVAAVAV
.cteQQQ
.cte
.cte
v
m
2211
21
21
===
===∴
=ρ=ρ=ρ
==ρ
“No escoamento de um fluido incompressível em movimento permanente a vazão de
fluido que atravessa qualquer seção do escoamento é constante”.
Ex.:
221121 AVAVQQ =∴=
∴
2
1
1
2
A
A
V
V
====
�
�
<�<
>�>
1221
1221
VVAA
VVAA
:Se
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
30
Exemplo numérico:
m/s1V
cm²10A
cm20A
1
2
2
1
=
=
=
10
20
1
V2
=
∴ s/m2V2 =
Obs: As velocidades variam na razão inversa dos quadrados dos diâmetros.
(Fluidos incompressíveis).
Exercícios:
1 - Ar escoa num tubo convergente.
A área da maior seção do tubo é 20 cm² e a da menor é 10 cm².
A massa específica do ar na seção 1 é 0,12 utm/m³ enquanto que na seção 2 é
0,09 utm/m³.
Sendo a velocidade na seção 1 de 10 m/s, determinar a velocidade na seção 2 e
a vazão em massa.
A = 20 cm³
A = 10 cm³
= 0,12 utm/ m³
= 0,09 utm/m³
ρ
ρ
1 V = 10 m/s
V = ?
Q = ?
2
1
2
1
2
M
Equação da Continuidade
10
10
20
09,0
12,0V
A
AVAVAV
QQ
QQ
1
2
1
2
1
2
222111
2211
mm 21
⋅⋅=⋅⋅
ρ
ρ
=
ρ=ρ
ρ=ρ
=
m/s7,26V2 =
Qm=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
31
002,0x10x12,0Q
AVAVQ
m
222111m
=
ρ=ρ=
s/utm0024,0Qm =
2 - Os reservatórios (1) e (2) da figura são cúbicos.
São enchidos pelos tubos respectivamente em 100 seg. e 500 seg.
Determinar a velocidade da água na seção A indicada, sabendo-se que o
diâmetro é 1m.
Equação da Continuidade
s/m25,1Q
100
125
t
VQ
QQQ
3
1
1
1
1
21
=
==
+=
225,1Q
s/m2Q
500
1000
t
VQ
3
2
2
2
2
+=
=
==
s/m25,3Q 3=
4
114,3
25,3
4
D
Q
A
QVVAQ 2AA
⋅
=
pi
==⇐⋅=
s/m14,4VA =
3 - Um tubo admite água (ρ = 1000 kg/m3) num reservatório, com vazão de 20 �/s.
No mesmo reservatório é trazido óleo (ρ = 800 kg/m3) por outro tubo com uma
vazão de 10 �/s.
A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma
área de 30 cm2.
Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da
mesma.
Q
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
32
ρ1 = 1000 kg/m3
ρ2 = 800 kg/m3
ρ3 = ?
Q1 = 20 �/s
Q2 = 10 �/s
A3 = 30 cm2, V3 = ?
Equação da continuidade
3
2211
3
221133mmm
Q
QQ
QQQQQQ
213
ρ+ρ
=ρ
ρ+ρ=ρ�+=
Sendo os fluídos incompressíveis:
30
800020000
30
10800201000
s/30Q
1020Q
QQQ
3
3
3
213
+
=
⋅+⋅
=ρ
=
+=
+=
�
3
3 /kg3,933 m=ρ
4
3
3
3
3333 10x30
10x30
A
QVVAQ
−
−
==∴=
s/m10V3 =
4 - O tanque da figura pode ser enchido pela água que entra pela válvula A em 5 h,
pelo que entra por B em 3 h e pode ser esvaziado (quando totalmente cheio) pela
válvula C em 4 h (supondo vazão constante).
Abrindo todas as válvulas (A, B, C e D) ao mesmo tempo o tanque mantém-se
totalmente cheio.
Determinar a área da seção de saída de D se o jato de água deve atingir o ponto
0 da figura.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
33
Equação da Continuidade:
QA + QB = QC + QD �
h/m5,7Q
4
30
t
VQ
h/m6Q
5
30
t
VQ
3
C
C
C
3
A
A
A
=
==
=
==
h/m10Q
3
30
t
VQ
3
B
B
B
=
==
Substituindo em � fica:
s/cm00236,0h/m5,8Q
5,716Q
Q5,7106
33
D
D
D
==
−=
+=+
D
D
DDDD V
QAAVQ =�⋅= �
Equação da parábola
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
34
s/m10V100V
52
10100
y2
gxV
y
gxV2
V
xg
2
1y
gt
2
1y
V
xttVx
D
2
D
2
2
D
2
2
D
2
D
2
2
D
D
=∴=
⋅
⋅
==∴=
⋅⋅=
=
=�=
Substituindo VD em ����, fica:
10
00236,0AD =
AD = 0,000236 m2
3.3 – Potência necessária para o deslocamento de um pistão num cilindro
Potência (N)
Trabalho (W)
QpN
QpN
t
Vp
t
Wt
a).(cilindraddeslocadoVolume:VVpW
sAppsFpW
D
DD
VD
⋅=
⋅=∴=�÷
⋅=∴
⋅⋅=⋅=
�����
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
35
s = 0,5 m
t = 0,5 s
W = 50 kgf.m
Ap = 50 cm2
= 5 x 10-3m2
No dispositivo da figura o pistão desloca-se 0,5 m em 0,5 s e o trabalho realizado
nesse deslocamento é 50 kgf.m.
Supõe-se que não haja perda de pressão entre a saída da bomba e a face do pistão.
Determinar:
a. A potência fornecida ao fluído pela bomba.
b. A vazão em litros por segundo.
c. A pressão na face do pistão
a)
5,0
50
t
WN ==
WmkgfWsmkgfN
W
S
mkgfCV
10.11000/.100
736.751
≅≅=
==
c)
sAp
W
V
WpVpW
d
d
⋅
==�⋅=
224
3
/2/102
5,0105
50
cmkgfmkgfxp
x
p
==
⋅
=
−
b)
5,0
5,010x5
t
sAp
t
VdQ
3
⋅
=
⋅
==
−
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
36
s/5Q
s/10x10x5Q
1000m1s/m10x5Q
33
333
�
�
�
=
=
==
−
−
ou:
c) 310x5
100
Q
NpQpN
−
==∴⋅=
24 /102 mkgfxp =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
37
Capítulo 4
4.1- O Princípio da Conservação da Energia Mecânica para Fluídos
Perfeitos (Ideais)
De posição
Potencial De pressão
Energia
Mecânica
Cinética
a) Energia Potencial
a.1 – De Posição
EPPo = G . Z
a.2 – De Pressão
Ro
r
EPPEPPEP
PGEPP
+=
γ
⋅=
b) Energia Cinética
2
mvE
2
c =
Mas:
g2
vGE
g
G
mmgG
2
c ⋅=∴
=∴=
Energia Total (E)
E = EP + Ec
E = EPPo + EPPr + Ec
Equação de Bernoulli
W = G . Z
E PPo = W
P.H.R
(Plano horizontal
de referência)
G
Z
W = G . h =
γ
PG
E PPr = W
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
38
Princípio da Conservação de Energia Mecânica
(P.C.E.M.)
E = cte.
Ou
∆EP = ∆Ec
Exemplo:
TORRICELLIgz2v
2
vmgzm
2
mvZG
EE
2
mvE
ZGE
2
2
21
2
2
1
=
/
=/
=⋅
=
=
⋅=
4.2- Equação de Bernoulli para Fluído Perfeito Incompressível em
Regime Permanente
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
39
E1 = EP1 + EC1 = 1ro ECEPPEPP 11 ++++++++
g2
vGPGGZE
ECEPPEPPECEPE
g2
vGPGGZE
2
22
22
2Ro222
2
11
11
22
+
γ
+=
++=+=
+
γ
+=∴
P.C.E.M.
E1 = E2
g2
VPZ
g2
VPZ
g2
VGPGZG
g2
VGPGZG
2
22
2
2
11
1
2
22
2
2
11
+
γ
+=+
γ
+
/+
γ
/+/=/+
γ
/+/
Equação de Bernoulli
“No escoamento de um fluído perfeito incompressível em regime permanente a
energia total do fluído por unidade de peso permanece constante”.
Z1 e Z2: Energias potenciais de posição por unidade de peso (“Cargas de Posição”).
:
P
e
P 21
γγ
Energias potenciais de pressão por unidades de peso (“Cargas de
Pressão”).
:
g2
V
e
g2
V 2221 Energias cinéticas por unidade de peso. (“Cargas Cinéticas”).
:
g2
VPZe
g2
VPZ
2
22
2
2
11
1 +γ
++
γ
+
Carga de Pressão = energia de Pressão por unidade de peso.
Carga de Posição = energia de posição por unidade de peso.
Carga Cinética = energia cinética por unidade de peso.
Carga Total (H) = energia total por unidade de peso.
H1 = H2 Equação de Bernoulli
Unidades de Carga: m, cm, mm, etc. ou seja:
Unidades de energia por unidade de peso: m, cm, mm, etc.
Energias totais por unidade de peso.
(Cargas Totais = H)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
40
Exercícios:
1-
Tanque de grandes dimensões
Fluído perfeito
g = 10 m/s2
O tanque da figura descarrega água a atmosfera pelo tubo indicado.
Sendo o tanque de grandes dimensões e o fluído considerado perfeito, determinar a
vazão da água descarregada se a área da seção do tubo é 10 cm2.
s/10s/m10x10Q
10x10x10AVQ
s/m105x10x2gz2V
g2
VZ
g2
VPZ
g2
VPZ
ECEPPEPPECEPPEPP
HH
33
4
2
12
2
2
1
2
2
0Patm
20
2
02
1
0Patm
1
1
2ro1ro
21
2211
�==
==
===∴=
+
γ
+//=+
γ
+
++=++
+
−
−
==
2- Idem
5m
P.H.R.
Patm (1)
B
A=10 cm2
Patm
(2)
3m
P.H.R.
p = 0,5 kgf/cm² (1)
B
A=10 cm2
Patm
(2)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
41
- Tanque de grandes dimensões
- Fluído perfeito
g = 10 m/s2 = 1000 cm/s2
2rO1rO
21
3
OH
ECEPPEPPECEPPEPP
HH
?Q
m/kgf1000
2211
2
++=++
=
=
=γ
s/10s/m10x10Q
10x10x10AVQ
m/s10V100V
10
10x203x10x2PZg2V
PZg2V
g2
VPZ
g2
VPZ
g2
VPZ
000
33
4
2
22
3
4
12
1
2
2
2
21
1
2
22
2
2
11
1
�==
==∴
=�=
��
�
�
� ⋅
+=��
�
�
�γ
+=
��
�
�
�
γ
+=�=
γ
+
+
γ
+==
γ
+
−
−
1. Um dos métodos para produzir vácuo numa câmara é descarregar água por um
tubo convergente como é mostrado na figura.
Qual deverá ser a vazão em massa no tubo da figura para produzir um vácuo de
50 cmHg na câmara?
h = 50 cm (carga de pressão do mercúrio)
H1 = H2
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
42
(1)
2
22
00
1
1
2
2
2
1
2
22
2
2
11
1
γ
γγ
PZ
g
VV
g
VPZ
g
VPZ
−−=
−
++=++
Equação da Continuidade
( )
)PZ(
6,132
g2V
PZ
g2
VV6,133
PZ
g2
VV56,11
)1(em)2(
)2(V56,11V
1
4,3V
d
dVV
4/d
4/dV
A
AVV
AVAV
QQ
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
21
2
2
2
1
2
21
2
1
2
2
2
1
22
1
2211
21
γ
−−=
γ
−−=
−⋅
γ
−=
−
=
�
�
�
�
=��
�
�
�
=
Π
Π
==
=
=
onde:
m4Z1 =
mxmkgfhP Hg 5,0/13600 31 −=⋅−= γ
2
1 /6800 mkgfP −=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� −
−−=
1000
68004
6,132
20V 22
42,0
6,132
56V 22 ==
42,0V2 =
V2 = 0,65 m/s
s/m5,7V65,0x56,11V 11 =∴=
( )ρ=ρ=ρρ=ρ=ρ=ρ= 21221121m AVAVQQQ
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
43
( )
4x10
01,0x14,3x5,7x1000
4
dV
g
Q
22
1
1m =
piγ
=∴ Qm= 0,059 utm/s
4.3- Equação de Bernoulli para Fluido Perfeito Incompressível com
a Presença de uma Máquina no Escoamento
Máquina Bomba (B) - Fornece energia ao fluido
(M)
Turbina (T) - Retira energia do fluido
a) BOMBA
H1 + HB = H2
H1 < H2
HB: Energia fornecida ao
fluido pela bomba pro
unidade de peso.
(“Carga ou altura
manométrica da bomba”)
b) TURBINA
H1 – HT = H2
H1 > H2
HT: Energia retirada do
fluído pela turbina por
unidade de peso. (“Carga
ou altura manométrica da
turbina”)
Genericamente
H1 + Hm = H2
Hm > 0 ���� M é Bomba (Hm = HB)
Hm < 0 ⇐⇐⇐⇐ M é Turbina (Hm - HT)
(1)
B
(2)
(1)
T
(2)
(1)
M
(2)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
44
Fluido Perfeito
a) ∃ Máquina H1 = H2
b) ∃ Máquina H1 + Hm = H2
4.4- Potência Fornecida ou Retirada do Fluido na Passagem pela
Máquina. Noção de Rendimento
G : Peso de fluido que atravessa a máquina no intervalo de tempo t.
W : Energia fornecida ou retirada do peso G de fluido na passagem pela
Máquina.
Hm : Energia fornecida ou retirada do fluido pela máquina por unidade de peso.
mm HGWG
WH ⋅=�= Mas:
VG
V
G γ=�=γ
Substituindo: mVHW γ=
mHt
V
t
Wt γ=÷
potência vazão
N = γQHm
- M.K*.S -
γ � kgf/m3
Q � m3/s N � kgf . m/s (kgm/s)
Hm � m
- S.I.
γ � N/m3
Q � m3/s N � W
s
J
s
mN
==
⋅
Hm � m
1C.V. = 75 kgf . m/s
1C.V. = 736 W = 0,736 kW
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
45
Rendimento (η)
jogoempostaPotência
útilPotência
====ηηηη
a) BOMBA
B
B N
N
=η
QHNNN
B
B
B
B
B η
γ
=�
η
=∴
b) TURBINA
N
NT
T =η
N : Potência retirada do fluido
NT : Potência útil = Potência da turbina
TmTTT QHNNN η⋅γ=η⋅=
1- O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água para a atmosfera
através de uma tubulação com uma vazão de 10�/s.
Verificar se a máquina instalada é BOMBA ou TURBINA e determinar sua
potência se o rendimento é 75%.
N : Potência útil = Potência fornecida ao fluído
NB : Potência da Bomba
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
46
Supor fluido perfeito.
23 10m/sg;1000kgf/m
2
==OHγ
s/m10Q 32−=
=−=�=+ 12m2m1 HHHHHH
��
�
�
�
+
γ
+−+
γ
+
g2
VPZ
g2
VPZ 111222
02020
20
g2
V5H
2
2
m −��
�
�
�
+=
s/m10
10
10
A
QVAVQ 3
2
22 ===�⋅=
−
−
20
20
1005Hm −�
�
�
�
+=
Hm = -10m
Hm < 0 � M é Turbina
75
100
75
101010QHN
23
T =
⋅⋅
=γ=
−
N = 1,33 C.V.
∴NT = NηT = 1,33 x 0,75
NT = 1 C.V.
2 – Idem
20
m
Patm (1)
B
A=10 cm2
(2)
5 m
PHR
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
47
- Fluido Perfeito
- Grandes Dimensões
a) Tipo de Máquina = ?
b) Nm = ? (ηm = 75%)
a) Equação de Bernoulli no trecho (1) – (2)
H1 + Hm = H2
Hm = H2 – H1
Cálculo de H1:
3
42
11
1 10
1010
g2
VPZ +=+
γ
+
H1 = 20m
Cálculo de H2:
30
g2
VPZH
2
22
22
00
=+
γ
+=
H2 = 30 m
Hm = H2 – H1 = 30 – 20
Hm = 10m
Hm > 0 � M é BOMBA
b) Potência da Bomba
75
101010
75
QHN
23
B ⋅⋅
=
γ
=
−
N = 1,33 C.V.
75,0x75
101010
75
QHN
23
B
B
⋅⋅
=
⋅η
γ
=
−
NB = 1,78 C.V.
ou:
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
48
75,0
33,1NN
N
N
B
B
B
B =η
=∴=η
NB = 1,78 C.V.
4.5- Equação de Bernoulli para Fluido Real e Presença de uma
Máquina no Escoamento.
a) Sem Máquina
H1 > H2
H1 = H2 + 2,1PH
2,1PH = Perda de energia de 1 para 2 por unidade de peso.
2,1PH = Perda de carga (m, cm, mm)
Observação Importante: Sentido do escoamento
Trecho onde não existe
máquina
(1) (2)
H1 > H2 ∴escoamento de (1) para (2)
H2 > H1 ∴escoamento de (2) para (1)
b) Com Máquina
H1 + Hm = H2 + HP1,2
Perda de
energia
(1) H1 > H2 (2)
(1)
M
(2)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
49
Fluido Perfeito
a) ∃ máquina: H1 = H2
b) ∃ máquina H1 + Hm = H2
Fluido Real
a) ∃ máquina: H1 = H2 + HP1,2
b) ∃ máquina H1 + Hm = H2 + HP1,2
Exemplo:
1 – Calcular a perda de carga na instalação da figura.
Dados:
NB = 5 C.V.
ηB = 80%
γ = 103 kgf/m3
g = 10 m/s
?H
2,1P =
Bernoulli:
B21PP2B1 HHHHHHHH 2,12,1 +−=�+=+
005
g2
VPZH
2
11
11 ++=+γ
+=
H1 = 5 m
5m
P.H.R.
Patm (3)
B
A=10 cm2 V2 = 5m/s
Patm
(2)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
50
20
25
g2
VPZH
2
22
22
00
=+
γ
+=
H2 = 1,25 m
Q
N75H
75
QHN BBB
B
B
B γ
η⋅
=�
η⋅
γ
=
Q = V . A = 5 x 10 x 10-4 � Q = 5 . 10-3 m3/s
m75,63H
6025,15H:doSubstituin
m60H
10x510
8,0575H
2,1
2,1
P
P
B
33B
=
+−=
=
⋅
⋅⋅
=
−
2 – Uma bomba deve recalcar 0,15 m3/s de óleo de peso específico 760 kgf/m3 para
o reservatório C.
Adotando que a perda de carga A a 1 seja 2,5m e de 2 a C, 6 m, determinar a
potência da mesma se o rendimento é 75%.
Q = 0,15 m3/s
γ = 760 kgf/m3
%75
m6H
m5,2H
B
P
P
C,2
1,A
=η
=
=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
51
N = NB.ηB (1)
BQHN γ= (2)
Bernoulli
C,21,A PPCBA HHHHH ++=+
APPCB HHHHH C,21,A −++= (3)
m15
g2
VPZH:HdeCálculo
2
AA
AAA
00
=+
γ
+=
HA = 15 m
m60
g2
VPZH:HdeCálculo
2
CC
CC2
00
=+
γ
+=
HC = 60 m
(3) HB = 60 + 2,5 + 6 – 15
HB = 53,5 m
(2)
75
5,5315,0760N ⋅⋅=
N = 81,32 C.V.
(1)
75,0
32,81NN
B
B =η
= NB = 108 C.V
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
52
3 – Dada a instalação da figura, pedem-se:
a) HA = ? HB = ? HC = ?
b) Sentido do escoamento
c) Tipo de máquina
d)
B,APH
e) Potência da máquina
Dados:
0H
C,BP ≅
Q = 3,14 m3/s
D = 2 m
PB = 4 kgf/cm2 = 4 x 104 kgf/m2
γ = 1000 kgf/m3
g = 10 m/s2
Cálculo de VB:
s/m1V
4
4
4
D
14,3
A
QV B2B ==∴=
⋅pi
==
0035
g2
VPZHa)
2
AA
AA
00
++=+
γ
+=
HA =35 m
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
53
20
1
10
10x45
g2VPZH 3
42
BB
BB
0
++=+
γ
+=
HB = 5 +40 + 0,05
HB = 45,05 m
0
2
VPZH
2
CC
CC =+γ
+=
HC = 0
b) Sentido de escoamento (trecho sem máquina A – B)
HB > HA � de (B) para (A) ∴de (C) para (A)
c) Tipo de máquina (Hm)
Equação de Bernoulli trecho com máquina (C – A)
A,CA,C PCAmPAmC HHHHHHHH +−=�+=+
A,BA,BB,CA,C PPPP
0
HHHH =+=
A,BA,C PP HH =
Equação Bernoulli (B – A):
3505,45HHHHHH ABPPAB A,BA,B −=−=�+=
m05,10H
A,BP =
m05,10H
A,CP =∴
Substituindo em Hm ���� Hm = 35 – 0 + 10,05
Hm = 45,05 m
Hm > 0 ���� M é BOMBA
d)
A,BPH = ?
Bernoulli (A,B) ABPPAB HHHHHH A,BA,B −=�+=
m05,10H
A,BP =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
54
e) NB = ? ηηηηB = 80%
.V.C6,2357N
60
141457
8,075
05,4514,310QHN
B
3
B
B
B
=
=
⋅
⋅⋅
=
η
γ
=
4 – Dada a instalação da figura, pedem-se:
a) P1
b) Pe
c) Ps
Q = 25 �/s
..1
kgf/m10
/10
...5,0
...3
33
2
,1
2,1
VCN
smg
acmH
acmH
e
P
P
=
=
=
=
=
γ
a) Cálculo P1
Equação Bernoulli (1) – (2)
2,1P2B1 HHHH +=+
2,1P
2
22
2B
2
11
1
00
H
g2
VPZH
g2
VPZ ++
γ
+=++
γ
+
BP
2
2
12
1 HH
g2
VZZP
2,1
−++−=
γ
onde:
Z1 = 3 m
Z2 = -7 m
m3H
s/m5
10x5
10x25
A
QV
2,1P
3
3
2
=
===
−
−
A = 5x10-3 m2
P1
3 m
7 m
Água
(1)
(2)
B
(e) (s)
P.H.R
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
55
m3
10x25x10
175HQHN 33BB =
⋅
=�γ=
−
33
20
2537P1 /−/++−−=
γ
2
1
1 /875075,8 mkgfPmP −=�−=
γ
b) Cálculo de Pe:
Bernoulli (1) – (e): H1 = He +
e,1pH
s/m5
A
QVe ==
2/7500
5,025,175,83
1000
5,0
20
25
1000
87503
1000
mkgfP
P
P
e
e
e
−=
−−−=
−−−=
c) Cálculo de Ps
Bernoulli (e) – (s) : He + HB = HS
2
22
/4500
5,435,7
22
mkgfP
HPP
g
VPZH
g
VPZ
S
B
eS
SS
SB
ee
e
−=
−=+−�+=
++=+++
γγ
γγ
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
56
Capítulo 5
5.1- Tubo Venturi (Venturímetro): Aparelho Medidor de Vazão.
Equação de Bernoulli (1) – (2)
2,1P21 HHH
0
+=
≈
g2
VPZ
g2
VPZ
2
22
2
2
11
1
0
+
γ
+=+
γ
+
)1(PP
g2
VV 212122
γ
−
=
−
Mas: Q1 = Q2 (continuidade) ���� V1A1 = V2A2
)2(
4
4
2
2
1
122
2
2
2
1
1
2
11
2
��
�
�
�
⋅=
�
�
�
��
�
�
=
=
⋅
=
d
dVV
dA
dA
A
AVV
pi
pi
Substituindo (2) em (1)
1
d
d
PPg2
V
PPg21
d
dV
4
2
1
21
1
21
4
2
12
1
−��
�
�
�
γ
−
=
γ
−
=
�
�
�
�
�
�
�
�
−��
�
�
�
onde:
Algumas aplicações
especiais da Equação
de Bernoulli
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
57
K
1
d
d
1
4
2
1
=
−��
�
�
�
γ
−
=
21
1
PPg2KV
1
d
d
1K
4
2
1
−��
�
�
�
=
Mas:
γ
−
⋅=∴= 21111
PPg2AKQAVQ
Curva de calibração
Exemplo:
Água escoa em regime permanente no tubo Venturi da figura.
A área A é de 20 cm2 enquanto que a da garganta é 10 cm2.
Um manômetro cujo líquido manométrico é mercúrio (γHg = 13600 kgf/m3) é
ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura.
Pede-se a vazão de água que passa pelo Venturi )kgf/m1000� 3OH 2 = .
Q
�
PP 21 −
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
58
hhPP
PxhhxP
OHHg21
2OHHgOHOH1
2
222
⋅γ−⋅γ=−
=⋅γ−⋅γ−⋅γ+γ+
( )
2
21
21
/1260
)12600(1,0
2
mkgfPP
xhPP OHHg
=−
=−=− γγ
H1 = H2
)1(PP
g2
VV
g2
VPZ
g2
VPZ
21
2
1
2
2
2
22
2
2
11
1
γ
−
=
−
+
γ
+=+
γ
+
Q1 = Q2
)2(V2V
10
20VVAVAV
12
122211
=
=�=
(2) em (1)
s/m9,2V
4,8V
PPg2V3PP
g2
VV4
1
2
1
212
1
21
2
1
2
1
=∴
=
γ
−
=∴
γ
−
=
−
Q = V1A1 = 2,9 . 20 x 10-4
Q = 5,8 x 10-3 m3/s
Q = 5,8 �/s
5.2- Tubo de Pitot: Aparelho de Medida de Velocidade
γγγγ
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
59
Equação de Bernoulli (1) – (2):
H1 = H2
g2
VPZ
g2
VPZ
2
22
2
2
11
1
0
+
γ
+=+
γ
+
γ
−
⋅=�
γ
−
=
12
1
12
2
1 PPg2VPP
g2
V
Na prática:
Exemplo:
Num tubo de seção circular o diâmetro é 10 cm e admite-se uniforme o
diagrama de velocidades.
Um tubo de Pitot está instalado de forma a medir a velocidade no eixo do
tubo.
Determinar a vazão do tubo
3
3
0
/13600
/1000
2
mkgf
mkgf
Hg
H
=
=
γ
γ
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
60
H1 = H2
g2
VPZ
g2
VPZ
2
22
2
2
11
1
0
+
γ
+=+
γ
+
γ
−
=
γ
−
=�
γ
−
=
12
1
122
1
12
2
1
PPg2v
PPg2VPP
g2
V
Tubo em U: =+⋅γ⋅γ⋅+⋅γ+ )hx(hxP OHHg0H1 22
= P2
( )
( )
2
12
12
12
12
/630
)100013600(05,0
22
2
mkgfPP
PP
hhhPP
hhxxPP
OHHgOHHg
HgOH
=−
−=−
−=−⋅=−
+−−=−
γγγγ
γγ
s/m55,3V
6,12V
0010
06302V
1
11
=
=�
//
/
⋅/=∴
s/27s/m027,0Q
4
01,0x14,355,3
4
dVAVQ
3
2
1
111
�==
⋅=
pi
⋅==
Proposto
Um Tubo de Pitot é preso num barco com v = 45 km/h de tal forma que a tomada do
pitot fique a uma pequena profundidade.
Qual a altura alcançada pela água no ramo vertical?
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
61
Capítulo 6
6.1- ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 – Grandezas Fundamentais e Derivadas
Grandezas Fundamentais - São aquelas que se expressam por si só, enquanto
que as Grandezas Derivadas são as que são necessárias 3 grandezas
fundamentais, para que se representem todas variáveis (Grandezas Derivadas)
envolvidas na Mecânica.
Ou ainda
F - Força M, L, T
L - Comprimento L, M, F
T - Tempo T, M, F
1.2 – Equação Dimensional
Relaciona a grandeza derivada com as fundamentais
É constituída por produtos de potência das grandezas fundamentais
X – É uma grandeza (variável) : [x] = Fα Lβ Tγ
Exemplo:
a) Velocidade (v)
[ ]
[ ] 1LT
T
L
v
ldimensionaequaçãoav
t
s
v
−
==
→=
b) Aceleração (a)
[ ] [ ][ ]
[ ] 22 LTT
L
a
T.T
L
t
v
a
t
v
a
−
==
==→
Análise Dimensional e Semelhança Mecânica
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
62
c) Área (A)
[A] = L2
d) Volume (V)
[V] = L3
e) Massa (m)
F = m.a → [m] = [ ][ ]a
F
[ ] 212 TFL
L
FT
m −==
f) Massa Específica (ρ)
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] 244
2
3
2
TFL
L
FT
L.L
FT
V
m
v
m
−
==ρ
=ρ∴=ρ→=ρ
g) Peso Específico (γ)
[ ] [ ][ ]
[ ] 33 LFL
F
V
G
V
G
−
==γ
=γ→=γ
h) Viscosidade Dinâmica (µ)
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] TFL
L
FT
T/L
L
L
F
dv
dy
A
Ft
dv
dy
A
Ft
dv
dy
dy
dv
2
2
2
−
==µ
⋅=µ
=µ→=µ
τ
=µ→µ=τ
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
63
i) Viscosidade Cinemática (ν)
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ] 122
24
2
TL
T
L
TFL
TFL
−
−
−
==ν
=ν
ρ
µ
=ν→
ρ
µ
=ν
1.3 – Número Adimensional ou Número pipipipi
É toda variável cuja equação dimensional é da forma:
[pi] = Fº Lº Tº
Exemplo:
a) Número de Reynolds (Re)
[ ] [ ][ ][ ][ ]
[ ] [ ] ºTºLºFRe
TLF
LTLTLFRe
LvRevLRe
2
124
=→
⋅⋅
=
µ
ρ
=
µ
ρ
=
−
−−
b) Número de Euler (Eu)
[ ][ ][ ][ ] [ ]
[ ]
[ ] ºTºLºFEu
LTLTFL
FEu
Lv
FEu
LV
FEu
22224
22
22
=
⋅⋅
=
ρ
=
ρ
=
−−
c) Número de Froude (Fr)
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] ºTºLºFFr
T.L.L
TL
gL
vFr
g.L
vFr
2
222
2
=
⋅
=
⋅
=
=
−
−
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
64
1.4 – Análise Dimensional e Pesquisa
Por exemplo: suponhamos que se pretenda determinar F, quaisquer que
sejam as demais grandezas
No Laboratório
túnel aerodinâmico (fluido compressível)
ou canal aberto sob controle (fluido incompressível)
Equipamento dinamômetros e balanças
viscosímetros
e outros aparelhos de medida.
várias esferas: D1; D2;..............................Dn
Materiais vários fluidos (mesma ρ) e µ1; µ2;............µn
vários fluidos (mesma µ) e ρ1; ρ2;............ρn
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
65
Para caracterizar o fenômeno físico, através da experiência, chegaríamos a
uma infinidade de curvas:
F, ρ, v,D, µ → No Laboratório
Pelo Teorema dos pi ou de Buckingham da Análise Dimensional, demonstra-se que
existe uma função de 2 números adimensionais formados por combinação adequada
das grandezas envolvidas rigorosamente equivalente à função dada:
( ) ( ) 0Re)(Eu,OouReOEuRevDeEu
Dv
F
ondeO 222121 =//=∴=µ
ρ
=pi=
ρ
pipi/=pi
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
66
Levantamento da Curva Universal
Toma-se uma única esfera de diâmetro Do e movimenta-se a mesma num
único fluido, de massa específica ρ0 e viscosidade µ0, calcula-se Re e a cada força
F0 correspondente, calcula-se Eu.
V0 Re F0 Eu
Traça-se a curva universal:
Problema
Pretende-se movimentar uma esfera de diâmetro D1 num fluido de massa
especifica ρ1 e viscosidade dinâmica µ1 e com velocidade v1; qual será a força
oposta ao movimento F1?
Solução:
a) Tendo-se v1; ρ1; D1 e µ1, calcula-se
1
111 DVRe
µ
⋅⋅ρ
=
b) Vai-se à curva universal e determina-se Eu
Re
Eu
Eu
Re
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
67
c) Tendo-se Eu calcula-se F1 � 2121112
1
2
11
1 DV.EuF
D.V
FEu ⋅⋅ρ=∴
⋅ρ
=
1.5 – Teorema dos pipipipi ou de Buckingham
Sejam x1; x2;..........xn as n variáveis que intervêm em dado fenômeno físico.
Sejam pi1; pi2;..........pik os k adimensionais independentes, construídos com
base nas variáveis x1, x2..........xn.
OBSERVAÇÃO: Adimensionais independentes � devem diferir pelo menos em uma
de suas variáveis.
Se f (x1, x2,..........,xn) = 0
então existe uma outra função, rigorosamente equivalente à anterior, com
base nos adimensionais, pi1; pi2;..........pik, ou seja:
∅ (pi1; pi2;..........,pik) = 0
a) No laboratório determinar x1, x2, ..........xn (n)
b) Escrever as equações dimensionais de cada uma das variáveis, definindo
pois o nº de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno (r).
Exemplo: (1) – a) F, ρ, v, D, µ (n=5)
b) [F] = F
[ρ] = FL-4 T2
[v] = LT-1 r = 3
[D] = L
[µ] = FL-2 T BASE = ρ, v, D
c) O nº de adimensionais (k) será sempre n-r ∴ k = 5 - 3 = 2
d) Escolher uma “Base”, constituída por “r” variáveis independentes.
As grandezas dir-se-ão independentes quando não é possível formar com as
mesmas um produto adimensional. Ex: ρ, v, D
[ρ] = FL-4 T2
[v] = LT-1
[D] = L
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
68
e) Cada adimensional será constituído por produtos de potências, com
as variáveis da base, por uma das variáveis não pertencentes à base.
FL)LT.()TFL(TLFFDv 1cb11a240001c1b1a1 1 ⋅⋅=→⋅⋅⋅ρ=pi −−
F � 0 = a1 + 1 ∴ a1 = -1
L � 0 = -4a1 + b1 + c1 ∴ c1 = -2
T � 0 = 2a1 – b1 ∴ b1 = -2
( ) ( ) TFLLLTTFLTLFDv
Eu
Dv
FFDv
2cb1a24000
2
221
221
1
222
c
2
b
2
a
2 −−−
−−−
⋅⋅⋅=→µ⋅⋅⋅ρ=pi
=
ρ
=pi∴⋅⋅⋅ρ=pi
F � 0 = a2 + 1 ∴ a2 = -1
L � 0 = -4a2 + b2 + c2 - 2 ∴ c2 = -1
T � 0 = 2a2 – b2 +1 ∴ b2 = -1
RevD1
vD
Dv
2
2
111
1 =µ
ρ
=
pi
→
ρ
µ
=pi∴µ⋅⋅⋅ρ=pi −−−
Se escolhermos outra “base”:
F, v, D, µ, ρ (n = 5)
[F] = F
[v] = LT-1 k = 2
[D] = L r = 3
[µ] = FL-2 T
[ρ] = FL-4 T2 BASE = µ, v, D
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
69
F.L)LT()TFL(TLFFDv
c
1
b
11
a
12000
c
1
b
1
a
1
1 ⋅⋅=→⋅⋅⋅µ=pi −−
F � 0 = a1 + 1 ∴ a1 = -1
L � 0 = -2a1 + b1 + c1 ∴ c1 = -1
T � 0 = a2 – b1 ∴ b1 = -1
vD
F
1 µ
=pi∴
24
c
2
b
21
a
22000
c
2
b
2
a
2
1 TFL.L)LT()TFL(TLFDv −−−− ⋅⋅=→ρ⋅⋅⋅µ=pi
F � 0 = a2 + 1 ∴ a2 = -1
L � 0 = -2a2 + b2 + c2 - 4 ∴ c2 = 1
T � 0 = a2 – b2 + 2 ∴ b2 = 1
RevD2 =µ
ρ
=pi∴
Observem que poderíamos obter Eu a partir de pi1 e pi2.
Eu
Dv
F
' 221
2
1
=
ρ
=pi=
pi
pi
Exemplo: (2) – Estudemos o fenômeno envolvendo as variáveis do nº de Froude
(Fr).
Variáveis: L, g, v ∴ n = 3
[L] = L
[g] = LT-2 r = 2
[v] = LT-1
∴ k = n – r = 3 – 2 = 1 e, como r = 2, tomemos como base: v, L.
gLv
b
1
a
1
⋅⋅=pi
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
70
2
b
1
a
1100 LTL)LT(TL −− ⋅⋅=
L � 0 = a1 + b1 + 1 ∴ b1 = 1
T � 0 = -a2 – 2 ∴ a2 = -2
Lg
vFr
v
Lg 2
2 =→=pi∴
Obs.: O nº de Froude é sempre constante no fenômeno físico queda livre de
um corpo.
Fr = 2,
pois: hg2v =
Exemplo: (3) – Uma bomba centrífuga envolve as seguintes variáveis:
gHm = aceleração da gravidade x carga manométrica da bomba
Q = vazão em volume
D = diâmetro do rotor da bomba
n = rotação do rotor por unidade de tempo
ρ = massa específica do fluído
µ = viscosidade absoluta do fluido
Quantos e quais são os adimensionais que representam o fenômeno físico de
escoamento do fluido pela bomba centrífuga?
[g.Hm] = L2 T-2
[Q] = L3 T-1
[D] = L
[n] = T-1
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
71
[ρ] = FL-4 T2
[µ] = FL-2 T
Solução sintetizada:
a) n = 6 b) r = 3 c) k = 3 d) base: ρ, η, D, ou ρ, Q, D
e) o)manométricte(coeficien
Dn
gHm
221 ψ==pi
vazão)dete(coeficienx
nD
Q
32 ==pi
RenD
2
3 =µ
ρ
=pi
6.2- NÚMEROS ADIMENSIONAIS IMPORTANTES
Seja:
F (ρ, v, L, µ, F, g, c) = 0
ρ = massa específica do fluido
v = velocidade característica
L = comprimento característico
µ = viscosidade dinâmica do fluido
F = força oposta ao movimento
g = aceleração da gravidade
c = velocidade do som
a) Numero de Reynolds (Re)
ν
=
ρµ
=
µ
ρ
=
vL
/
vLvLRe
Demonstra-se que:
Fv
Fi
viscososatritodeforças
inérciadeforçasRe ==
µ
ρ
=
µ
ρ
=
µ
ρ
=
⋅τ
⋅
=
vL
L
L
v
t
vL
A
L
v
T
vV
A
am
Fv
Fi
2
3
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
72
RevL
Fv
Fi
=
µ
ρ
= cqd
Ex: Escoamento de fluido incompressível em condutos forçados
v
vDHvDHRe =
µ
ρ
=
Re ≤ 2000 escoamento laminar
2000 < Re < 4000 escoamento de transição ABNT
Re ≥ 4000 escoamento turbulento
b) Número de Euler (Eu)
222 v
P
Lv
FEu
ρ
∆
=
ρ
=
Demonstra-se
Fi
pF
viscosasatritodeforças
inérciadeforçasEu ∆==
2
3
2
v
p
T
vL
Lp
T
vV
A.p
a.m
A.p
Fi
pF
ρ
∆
=
ρ
⋅∆
=
⋅ρ
∆
=
∆
=
∆
Eu
v
p
Fi
pF
2 =ρ
∆
=
∆
cqd
Ex: Escoamento de fluidos em tubos, em máquinas hidráulicas, em torno de corpos
submersos (aerodinâmica)
c) Número de Froude (Fr)
Lg
vFr
2
=
Demonstra-se que:
Fg
Fi
gravidadedeForças
inérciadeForçaFr ==
Lg
v
gL
T
vL
Vg
T
vV
gm
am
Fg
Fi 2
3
3
==
ρ
ρ
=
⋅
⋅
= /
/
Fr
Lg
v
Fg
Fi 2
== cqd
Ex: Escoamento em rios, canais, vertedouros,ação de ondas sobre estruturas de
navios, etc.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
73
d) Número de Mach (
c
v
=
Demonstra-se que:
Fc
Fi
ilidadecompressibdeforças
inérciadeforças
==
Ex: No escoamento de fluidos compressíveis
< 1 � v < c escoamento subsônico
= 1 � v = c escoamento sônico
> 1 � v > c escoamento supersônico
6.3- SEMELHANÇA – TEORIA DOS MODELOS
6.1 – Introdução Seja 1:10 a escala de redução
Não é válido relacionar-se as velocidades pela escala de redução. Sendo assim,
sendo:
?
v
VmK:se-pergunta,
10
1K
Xp
xmKx
p
vL ===∴=
6.2 – Condições de Semelhança
a) Semelhança Geométrica – Dois corpos são geometricamente semelhantes
quando tem o mesmo formato, ou seja, as suas dimensões correspondentes são
proporcionais.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
74
Ex:
Lp
Lm
bp
bm
ap
am
==
b) Semelhança Cinemática – Há semelhança cinemática entre modelo e protótipo
quando, em pontos homólogos, são iguais as relações de velocidades.
Ex:
vp
vm
pv
mv
pV
mV
2
2
1
1
==
c) Semelhança Dinâmica – Há semelhança dinâmica entre modelo e protótipo
quando, em pontos homólogos, são iguais as relações de forças.
Ex: Fi, Fv, Fp, Fg, Fc
Fcp
Fcm
Fgp
Fgm
Fpp
Fpm
Fvp
Fvm
Tip
Fim
====
d) Confronto entre a Análise Dimensional e a Semelhança Mecânica
pRemRe
Fvp
Fip
Fvm
Fim
=→=
pEumEu
Fip
Fpp
Fim
Fpm
=→=
pFrmFr
Fgp
Fip
Fgm
Fim
=→=
→=
Fcp
Fip
Fcm
Fim
m = p
Genericamente: pi1m = pi1p
pi2m = 2p
‘ ‘
‘ ‘
‘ ‘
pikm = pikp
6.3 – Escalas de Semelhança
Escala de Semelhança é o quociente de uma mesma grandeza, uma referida
ao modelo, a outra referida ao protótipo.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
75
Ex:
geométricaEscala:
Lp
LmKL =
Vp
vmK v =
p
mK;
p
mK
γ
γ
=γ
ρ
ρ
=ρ
vp
vmKv;
p
mK =
µ
µ
=µ
pp
pmpK;
Fp
FmKF ∆
∆
=∆=
cp
cmKc;
gp
gmK g ==
Relações entre Escalas
p
Lpvpp
m
LmvmmpRemRe]1
µ
ρ
=
µ
ρ
→=−
p
m
Lpvpp
Lmvmm
µ
µ
=ρ
=ρ
( )ρµ==⋅µ=⋅⋅ρ /vKKLKvouKKLKvK v
pLvpp
Fp
mLvmm
FmEupEum]2 2222 ρ=ρ→=−
�
�
�
�
�
�
⋅�
�
�
�
�
�
⋅
ρ
ρ
=
Lp
Lm
vp
vm
p
m
Fp
Fm 22
KF = Kρ . Kv2 . KL2 ou K∆p = Kρ . Kv2
gpLp
vp
gmLm
vmFrpFrm]3
22
=→=−
KgKLvk
gpLp
gmLm
vp
Vm 2
2
⋅=→
⋅
⋅
=�
�
�
�
�
�
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
76
Ex: 1
5n0)g,L,,,v,F(f;
10
1KL =∴=µρ=
Nem todas as variáveis envolvidas em um dado fenômeno devem ocasionar
variações substanciais entre modelo e o protótipo ou, em outras palavras, algumas
variáveis são pouco representativas. É o caso aqui de µ, pois as forças viscosas são
desprezíveis em relação às de inércia.
Pergunta-se: [F] = F
Vp = ? [v] = LT-1
KF = ? [ρ] = FL-4 T2 r = 3
[L] = L
[g] = LT-2
Base: ρ, v, L k = 5 – 3= 2
gLv
FLv
c
2
b
2
a
2
2
c
1
b
1
a
1
1
ρ=pi
ρ=pi
000
c
1
b
11
a
124
1 TLFFL)LT()TFL(][ =⋅⋅⋅=pi −−
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
77
F � 0 = a1 + 1 ∴ a1 = -1
L � 0 = -4a1 + b1 + c1 ∴c1 = -2 EuLv
F
221 =ρ
=pi
T � 0 = 2a1 – b1 ∴b1 = -2
0002
c
2
b
21
a
224
2 TLFTL)LT()TFL(][ =⋅⋅⋅=pi −−−
F � 0 = a2 ∴a2 = 0
pi2 L � 0 = -4a2 + b2 + c2 + ∴c2 = 1 Fr
1
v
Lg
2
22 =pi
�=pi
T � 0 = 2a2 – b2 -2∴b1 = -2
22LV
FEu
ρ
= Condições de Semelhança
Lg
vFr
2
= Eum = Eup
Frm = Frp
km/h158vpkm/h1050Vp
10vmVp
vp
vm
10
1KvKvK
Lp
Lm
vp
vm
Lpg
pv
gLm
vm 2
L2
222
=∴=
⋅=
==∴=→=∴=
⋅
pLpvp
mLmvm
Fp
Fm
pLpv.p
Fp
mLvmm
Fm
22
22
2222
⋅⋅ρ
⋅⋅ρ
=→
⋅ρ
=
⋅⋅ρ
1000:1K
1000
1
100
1
x
10
1
x1kkKK F2L2vF =∴==ρ=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
78
Ex: 2 Bomba Centrífuga (Dm = Dp)
nm =1800 rpm
Modelo Qm = 3 �/s
Hmm = 18m
np = 1500 rpm
Protótipo Qp = ?
Hmp = ?
Temos:
3
22
nD
Q
x
Dn
gHm
=
=ψ
Condição de Semelhança:
a) xm = xp
p
m
p
m
Qn
3
DnQ
p
3
p
m
3
m
p
3
pm
3
m
n
n
Q
QKKKKK
Dn
Dn
Qp
Qm
Dn
QP
Dn
Qm
==∴=⋅===
=
s/25Q
1800
1500
x3Q
n
nQQ
pp
m
pm
p
�=∴=
=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
79
b) ψm = ψp
2
p
p
2
2
Hm
22
Hm2
p
2
p
m
22
p
p
m
2
p
2
p
pp
m
2
m
2
mm
1800
150018Hm
Hm
18
1500
1800
nKK
DKnKK
Dn
Dn
Hm
Hm
Dn
Hmg
Dn
Hmg
�
�
�
�
�
�
⋅=→=�
�
�
�
�
�
==
⋅=→=
=
m5,12Hm
36
2518Hm pp =∴⋅=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
80
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
81
Capítulo 7
7.1- Conduto: é toda estrutura sólida destinada ao transporte de
um fluido, líquido ou gás. Classificam-se em:
- Conduto forçado: toda a face interna do conduto está em contato com o
fluido em movimento. Ex: Tubulações de sucção e recalque, oleodutos,
gasodutos.
- Conduto Livre: apenas parcialmente a face do conduto está em contato
com o fluido em movimento. Ex: esgotos, calhas, leitos de rios.
7.2- Tipos de perda de carga dos condutos
Ex:
Escoamento de Fluidos Incompressíveis em
Condutos Forçados em Regime Permanente
Aplicações às Instalações Hidráulicas
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
82
a) Perda de carga distribuída: é a perda que se dá em trechos retos de condutos
cilíndricos (A = cte) devido ao atrito viscoso entre as partículas fluidas produzido
pelas tensões de cisalhamento (hf).
b) Perda de carga singular (Localizada): é a perda que se dá devido a uma
mudança brusca no escoamento do fluido. (hs ou h�).
- Mudanças bruscas de direção (curvas e cotovelos)
- Mudanças bruscas de seção (alargamento ou estreitamentos)
- Outras singularidades: registros, válvulas de pé e de retenção, medidores
de vazão, flanges, tês.
� �+= ƒ
2
1
2
1
sp hhH 2,1
7.3- Campo de aplicação
2,1P2m1 HHHH +=+
Em geral:
H1 e H2 são conhecidos
2,1PH será calculado
Hm é o que se procura
(1)
M
(2)
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
83
7.4- Estudo da perda de carga distribuída: hf
a) Introdução
Equação da continuidade
Q1 = Q2
v1A1 = v2 A2
Como A1 = A2, então:
v1 = v2 = v
b) Fórmula da perda de carga distribuída
2g
v
D
Lfh
2
f ⋅=
f = coeficiente de perda de carga distribuída ou coeficiente de atrito.
puronºReynolds)de(nºRevDonde, =�
�
�
�
=
µ
ρ
µ
ρ
K
DvDff
K
D
: rugosidade relativa (nº puro)
K : rugosidade equivalente
c) Tipos de escoamentos em condutos
c.1) Escoamento laminar: as partículas deslizam umas sobre as outras, não
há passagem de partícula fluida de uma camada para outra, ou seja,
não há transferência de massa entre as diversas camadas.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
84
c.2) Escoamento tubulento: as partículas tem um movimento desordenado,
caótico, as partículas fluídas passam sucessivamente de uma camada
para outra, ou seja, são intensas as movimentações transversais das
partículas.
Re ≤ 2000 : escoamento laminar
2000 < Re < 4000: escoamento de transição ABNT
Re ≥ 4000: escoamento tubulento
µ
ρ
=
vDRe
Obs.1: Para condutos de seção não circular, deve-se substituir D por DH (diâmetrohidráulico), sendo DH = 4 RH
Def: Raio Hidráulico (RH) � P
ARH =
A = área da seção de escoamento
P = perímetro molhado da seção, onde temos contacto do fluido com parede
sólida.
Sendo assim:
Fórmula universal da perda de carga distribuída:
2g
v
D
Lh
2
H
ƒ=ƒ
Número de Reynolds:
�
vD
�
�vDRe HH ==
Rugosidade relativa equivalente:
DH/K
Obs. 2: Para condutos forçados cilíndricos (seção circular), sendo Vmáx a velocidade
no eixo do conduto.
2.1] Escoamento Laminar (Re ≤ 2000) �
2
v
v máxm =
2.2} Escoamento Turbulento (Re ≥ 4000) �
máxm v60
49
v =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
85
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
86
Exercícios:
1 – Um óleo de viscosidade absoluta µ = 0,01 kgf.s/m2 e peso específico 800 kgf/m3
escoa através de 100 m de tubo de ferro galvanizado de 10 cm de diâmetro a vazão
de 40 �/s.
Qual a perda de carga no tubo? K = 0,000152 m.
=0
HP = hf + hs
a) Perda de carga distribuída
g2
V
D
Lfh
2
f ⋅=
b) Cálculo de Re:
µ
ρ
=
vDRe
onde:
22
2-
3-
2
3
/skgf10�
m/s5,1v
10x�
10x10x4
4
D�
Q
A
Q
v
m0,1cm10D
utm/m80�
01
080
g
�
�g��
m⋅=
=
===
==
=
/
/
==�=
−
Substituindo:
turbulentoEscoamento4080Re
10
10x5,1x80Re 2
-1
�=
=
−
c) Rugosidade relativa �
�
�
�
K
D
660
10x15,2
10
K
D
5-
1
==
−
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
87
d)
m6,54h
10x2
5,1
x
1,0
100042.0
g2
V
D
Lfh
f
22
f
=
⋅=⋅⋅=
2 – Por um tubo de comprimento 1000 m e diâmetro 4” escoa óleo mineral de
ρ = 90 utm/m3 e ν = 10-4 m2/s.
Sabendo-se que a vazão é 10 �/s determinar a perda de carga no tubo por
metro de comprimento.
ρ = 90 utm/m3
óleo
ν = 10-4 m2/s
g2
V
D
Lfh
2
f ⋅⋅=
a) Cálculo de Re
ν
=
ρ
µ=µ
ρ
=
vDvDvDRe
onde:
D = 4” = 10 cm = 10-1 m
m/s27,1V
10
10x10x4
4
D
Q
A
QV 2
-3
2
=
⋅pi
=
pi
==
−
Substituindo:
laminarEscoamento1270Re
10
10x1,27Re 4
-1
=
=
−
b) Cálculo de f:
0,05f
1270
64
Re
64f ≅∴==
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
88
c) Cálculo de hf:
tubom/m0,0402J
unitária)(perdaJ
1000
2,40
L
h
m2,40h
10x2
27,1
x
1,0
100005,0
g2
V
D
Lfh
f
f
22
f
=
==
=
⋅=⋅⋅=
3 – Calcular a vazão de água num conduto de ferro fundido sendo dados:
D = 10 cm; ν = 0,7 x 10-6 m2/s;
e sabendo-se que dois manômetros instalados a uma distância de 10 metros
indicam respectivamente:
1,5 kgf/cm2 e 1,45 kgf/cm2 K = 0,000259 m
P1 = 1,5 x 104 kgf/m2
P2 = 1,45 x 104 kgf/m2
Bernoulli:
( )
g2
VVPPh
h
g2
VPZ
g2
VPZ
hHHHH
2
2
2
121
f
2,1f
2
22
0
2
2
11
0
1
f2,1P2,1P21
−
+
γ
−
−
=��
�
�
�
+
γ
+−+
γ
+
=�+=
Como: V1 = V2 � 3
4
21
f 10
10x)45,15,1(PPh −=
γ
−
=
hƒ = 0,5 m
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
89
g2
V
D
Lh
2
⋅⋅ƒ=ƒ
Incógnitas: V e Q
Cálculo de Re ƒ (descoberto por Rouse)
V
L
hDg2
VL
hDg2
g2
V
D
Lh
VDRe
2
2
ƒ
ƒ
ƒ
=ƒ
⋅
=ƒ�⋅ƒ=
ν
=
4
1-
6-
1
10x5,4Re
10
0,5x10x20
10x0,7
10Re
L
hDg2D
L
hDg2
V
1
V
vDRe
=ƒ
=⋅=ƒ
⋅
ν
=⋅⋅ƒ
−
ƒƒ
Cálculo de
K
D
385
K
D
10x9,25
10
K
D
5-
1
=∴=
−
Diagrama de Moody-Rouse
Re = 2,8 x 105
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
90
Cálculo de V e Q
m/s96,1V
10
10x7,010x8,2
D
ReVVDRe 1-
-65
=
⋅
=
ν
=�
ν
=
s/3,15Q
s/m10x3,15Q
10
0,01x14,396,1
4
DVAVQ
33-
1-
2
�=
=
=
pi
=⋅=
ou
/s1,15s/m10x1,15Q
4
101,92AVQ
m/s92,1V
10x0,027
0,5x10x20V
L
hDg2
V
g2
V
D
Lh
33-
2-
1-
2
2
�==
⋅pi
⋅=⋅=
=
=
⋅ƒ=
⋅ƒ=
ƒ
ƒ
1º Tipo
Conhecidos: V(Q); ρ(γ); µ(ν); L; K
Incógnita: hƒ
K
D
vDvDRe
µ
=
ν
=
Diagrama M. R � ƒ�hƒ
2º Tipo
Conhecidos: hƒ; D; ρ(γ); µ(ν); L; K
Incógnitas: v e Q
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
91
K
D
RouseMoodydeDiagrama
fRe
f
Qev
Re
7.5- Estudo da Perda de carga singular: hs
a) Generalidades
b) Fórmula universal da perda de carga singular
2g
vKh
2
ss =
Ks: Coeficiente de perda de carga singular
Valores de Ks
- Alargamento brusco da seção
2g
vKh
2
1
ss =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
92
onde:
2
2
1
s A
A1K ��
�
�
�
−=
Caso particular: saída de conduto
2g
vh
1K
2
s
s
=∴
=
- Estreitamento brusco de seção
��
�
�
�ƒ=
⋅=
1
2
s
2
2
ss
A
AK
2g
vKh
Caso particular: entrada de conduto
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
93
2g
v0,5h
0,5K
2
s
s
=
=
- Cotovelos (90º)
Ks = 0,9 a 1,0
- Cotovelos (45º) � Ks = 0,6 a 0,75
- Registro gaveta � Ks = 0,2
- Registro globo � Ks = 10,00
- Válvula de pé � Ks = 15,0
com crivo 0,5
- Válvula de Retenção � Ks = 2,3
- Tês
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
94
7.6- Instalações de Recalque
Sendo a pressão P8 mantida constantemente igual a 5,43 kgf/cm2 determinar
a potência da bomba se o seu rendimento for 0,7 e a pressão à entrada da
mesma, se a vazão for 40��/s.
Indicaremos por índice S o que se refere a sucção por índice R o que se
refere ao recalque.
PB = 5,43 kgf/cm2 = 5,43 x 104 kgf/m2
K = 0,15 x 10-3 m
1K
5,0K
10kK
9,0KK
15K
7
4
53
62
1
s
s
ss
ss
s
=
=
==
==
=
Ds = 15 cm = 0,15 m
DR = 10 cm = 0,1 m
γ = 1000 kgf/m3
ν = 10-6 m2/s
Q = 40 �/s = 4 x 10-2 m3/s
a) Determinação de NB:
a.1) Introdução
B
B
B
QHN
η
γ
=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
95
a.2) Determinação de HB : Bernoulli (0) – (8)
m8,61H
0
10
10x43,55,7
g2
VPZH
0H
g2
VPZH
HHHHHHHH
8
3
42
88
88
0
0
2
0
0
0
0
00
P08BP8B0 8,08,0
=
++=+
γ
+=
=∴+
γ
+=
+−=�+=+
Rs8,Se,08,0 PPPPP HHHHH +=+=
Sucção
2g
v
D
Lh
hhH
2
S
S
S
S
sP
S
SsS
⋅⋅ƒ=
+=
ƒ
ƒ
LS = 2 + 10 = 12 m
DS = 0,15 m
2
-2
2
Ss
S (0,15)
10x16
D
Q4
A
QV
pi
=
pi
==
VS = 2,26 m/s
Cálculo de Re:
5
6
SS 10x4,3Re
10
0,15x26,2DVRe =∴=
ν
=
−
Turbulento
1000
10x15,0
15,0
K
D
3-
S
==
Moody Rouse � fS = 0,021
10x2
26,2
15,0
12021,0hf
2
s ⋅⋅=∴
m0,4hfs =
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
96
( )
( )
m6,6h
10x2
2,26100,915h
2g
vKKK
2g
vKh
S
S
321S
s
2
s
2
S
SSS
2
S
Ss
=
++=
++== �
m7H
6,64,0hhH
S
SSS
P
sP
=
+=+= ƒ
Recalque:
�
�
=
=+=
⋅⋅ƒ=
+=
ƒ
ƒ
m0,1D
m36306L
2g
v
D
Lh
hhH
R
R
2
R
R
R
R
sP
R
RRR
m/s1,5V
)1,0(
10x16
D
Q4
A
QV
R
2
2
2
RR
R
=
pi
=
pi
==
−
Cálculo de Re:
6-
Rr
10
0,1x1,5DvRe =
ν
=
Re = 5,1 x 105
666
k
D
10x15,0
1,0
k
D R
3-
R
=∴=
Moody-Rouse: f = 0,023
m8,10h
10x2
1,5
0,1
36
x023,0h
R
R
f
2
f
=
⋅=
( )
( )
m16,1h
10x2
5,110,9100,5h
2g
vKKKK
2g
vKh
R
R7654R
S
2
S
2
R
SSSS
2
R
SS
=
⋅+++=
+++== �
m9,26H1,168,10H
RR PP =∴+=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
97
m9,33H
9,267HHH
8,0
RS8,0
P
PPP
=
+=+=
Substituindo em HB fica:
m7,95H
9,3308,61HHHH
B
po8B 8,0
=
+−=+−=
a)
0,7x75
7,9510x410QHN
-23
B
B
B
⋅⋅
=
η
γ
=∴
NB = 73 C. V.
b) Determinação de Pe
Equação de Bernoulli (0) e (e)
e,0Pe0 HHH +=
SP
2
ee
e
2
00
0 H2g
v
�
PZ
2g
v
�
PZ +++=++
7
10x2
2,260,5H
2g
vZ
�
P 2
P
2
S
e
e
S
−−−=−−−=
755,7
1000
P
m755,7P ee −=∴−=
γ
2kgf/m7755−=eP
)(/2575103307755 2
)(
absmkgfP
abse
=+−=
(abs)kgf/cm2575,0 2
)(
=
abse
P
Observação Importante:
Cavitação – É o fenômeno da ebulição a pressões reduzidas à temperatura
ambiente, em tubulações ou máquinas hidráulicas.
Denomina-se pressão de vapor do líquido, à temperatura do escoamento, a
pressão ocorre a ebulição.
Condição para que não ocorra a cavitação.
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
98
ve PP abs >
ÁGUA
t(ºC) 0 10 20 30 50 100
(kgf/cm2 (abs) 0,0063 0,125 0,0236 0,0429 0,125 1,033
A cavitação é prejudicial pois as bolhas de vapor alcançando pontos de maior
pressão condensam bruscamente com grande liberação de energia e um desgaste
particular devido à agitação e choque das partículas do líquido sobre as paredes
sólidas.
Com isso poderemos ter um desgaste parcial ou total das pás do rotor da
máquina e conseqüentemente diminuição do rendimento.
Voltando ao problema:
Pv = 0,0236 Kgf/cm2(abs) � água 20ºC
No caso
(abs)kgf/cm0236,0P(abs)kgf/cm2575,0 2v2)( =>=abseP
Logo, não haverá cavitação.
Esta condição é necessária mas não suficiente, pois por detalhes construtivos
poderá ocorrer cavitação no interior da própria máquina. Na prática, estabelece-se
um índice mais forte para assegurar que não haja cavitação � NPSH.
7.7- Comprimento Equivalente (Le) ou Virtual (Lv)
É o comprimento fictício de conduto que, colocado no lugar da singularidade,
produziria uma perda de carga distribuída igual à perda singular da singularidade.
Logo:
ƒ=∴
=ƒ�=ƒ
H
e
22
H
e
s
DKsL
g2
vKs
g2
v
D
Lhh
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
99
Obs: Na prática, há tabelas ou nomogramas que dão o valor de Le em função
do diâmetro D para cada tipo de singularidade
Vantagem de Le no cálculo da perda de carga total (Hp):
g2
v
D
LH
2
H
T
p ƒ=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
100
Capítulo 8
8.1- Impulso e Quantidade de Movimento
Pela 2a Lei de Newton: amF ⋅= . Como
t
VV
a 12
−
= :
)V(VmtF
t
VV
mF 1212 −⋅=⋅∴
−
⋅=
“O impulso da força exercida sobre a corrente fluida é igual à variação da quantidade
de movimento”.
Pode-se escrever:
).VV(
t
mF 12 −= Como :Qmt
m
=
)VV(QmF 12 −=
Pelo Princípio da Ação e Reação:
)VV(QmRFR 21 −=�−= (E.Q.M)
“A força de reação exercida pela corrente fluida sobre a estrutura sólida é igual à
variação com o tempo da quantidade de movimento”.
Vetorialmente:
)VV(QmR 21 −=
Se quisermos as componentes de R na direção de 2 eixos cartesianos x e y:
)V(VQmRx 2xx1 −= e )V(VQmRy 2yy1 −=
Logo:
22 RyRxR +=
Equação da Quantidade de
Movimento para Regime
Permanente
Rx
Ry
R
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
101
8.2- Força de Reação Exercida por um Jato Fluido sobre uma Superfície
Curva (Pá) Fixa
Hipótese: O escoamento ao longo da pá é sem atrito, logo a velocidade
permanecerá constante em módulo.
Logo: V1 = V2 = Vj
� Cálculo de Rx
Rx = Qm (Vx1 – Vx2)
Rx = Qm (V1 – V2 cos θ)
Como V1 = V2 = Vj:
Rx = Qm (Vj – Vj cos θ) ∴ Rx = Qm . Vj (1 – cos θ)
Como Qm = ρ . Qj = ρ . Aj . Vj:
Rx = ρ Aj . Vj2. (1 – cos θ)
� Cálculo de Ry
Ry = Qm (Vy1– Vy2)
Ry = Qm (V10 – V2 cos θ)
Como: V2 = Vj ∴ Ry = - Qm . Vj sen θ
Como Qm = ρ . Qj = ρ . Aj . Vj:
Ry = - ρ . Aj . Vj2 sen θ
Logo: 22 RyRxR +=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
102
Exercícios:
Ex.1 Qj = ?
Aj = 520 cm2; Ap = 20 cm2
OH2γ = 120 = 1000 kgf/m
3
γHg = 13600 kgf/m3
θ = 60°; g = 10 m/s2
Sistema em Equilíbrio
)cos1(A
FVF)cos1(VA
FRx0Fx
j
2
j
2
jj θ−ρ
=�=θ−⋅ρ
=�=�
)cos1(A
FV
j
j θ−ρ
=∴
cos θ = cos 60°= 0,5
Aj = 520 cm2 = 0,0520 m2
�
�
�
�
=ρ�=γ=ρ�⋅ρ=γ 34
2
2
3
m
utm
m
s/kgf100
s/m10
m/kgf1000
g
g
0+ 13600 x 2 – 1000x2 = p
Logo:
p = 2600 kgf/m2 2cm
kgf
10000
26000
= ∴ p = 2,6 kgf/cm2
F= p . Ap = 2,6 x 20 ∴ F = 52 kgf
Substituindo
m/s47,4V20V)5,01(x0520,0x100
52V jjj =�=∴
−
=
Mas
Qj = Vj x Aj = 4,47 m/s x 0,0520 m2 ∴ Qj = 0,233 m3/s
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
103
Ex. 2: Vj = ? Sistema em Equilíbrio
)cos1(A
GxV
Gx)cos1(VA
GxRx0Fx
j
j
2
jj
θ−ρ
=
=θ−⋅ρ
=�=�
3
22
j
utm/m100
10
1000
g
cm0050,0cm50A
090coscos
==
γ
=ρ
==
=°=θ
kgf2Gx5,0x4Gx
senGGx
G
Gx
sen
=�=
α=�=α
Logo:
2m/sV)01(x0050,0x100
2V jj =∴
−
=
EX. 3: NT = ?
Obs:
3
2
22
kgf/m1000
10x100g
Ajm0,0176A
4
)15,0(x
4
DA
=γ∴
=ρ=γ
==∴
=
pi
=
pi
=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
104
Reservatório de grandes dimensões
Empuxo horizontal sobre a pá : 100 kgf
ρ= 100 utm/m3; ηT = 70%; g = 10 m/s2
A perda de carga na tubulação é desprezível.
Rx = ρ . Aj . Vj2 . (1 - cos θ) = 100 kgf
Como θ = 90°� cos θ = 0:
s/m132,0Q
0176,0x537,7QAVQ
vs/m537,7
0176,0100
100V
3
j
=
=�⋅=
==
⋅
=
29
vpZ()
29
vpZ(H
HHHHHHH
2
2
0
2
2
0
2
1
0
1
1T
21T
0
2,1P2T1
===
+
γ
+−+
γ
+=
−=�+==
m159,27H
10x2
537,7030H
T
2
T ��
�
�
�
−−=
.v.c5,35
75
584,2509N
m/skgf584,2509N
7,0x16,27x132,0x1000N
QHNN
T
T
T
TTTT
==
=
=
ηγ=η⋅=
8.3- Força de Reação Exercida por um Jato Fluido sobre uma Superfície
Plana (Placa) Fixa
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
105
Hipótese 1:
Considerando o escoamento sem atrito, não há perdas de energia e a velocidade
permanecerá constante em módulo:
V1 = V2 = Vj
Hipótese 2:
A placa é absolutamente lisa, logo não haverá força tangencial a ela � Rx = 0.
Com isso o fluxo da quantidade de movimento de entrada será igual ao fluxo da
quantidade de movimento de saída. Logo:
(1)Q-Q.cosQ
Q-Q.cosQ
Q-QcosQ
VQVQcosVQ
21j
21j
m2m1m
j2mjm1jm
=θ
ρ/ρ/=θρ/
=θ
/−/=θ/
Pela Equação de Continuidade
Qj = Q1 + Q2 (2)
(2) + (1):
Qj + Qj cos θ = )QQ()QQ 2121 /−+/+
Qj (1+cos θ) = 2 Q1 � Q1 = 2
Q j (1+ cos θ)
Analogamente � Q2 = 2
Q j (1 – cos θ)
Cálculo de Ry:
Ry = - Qm Vj sen θ
Como Qm = ρQj = ρAj . Vj:
Ry = - ρAj . Vj2 . sen θ
Caso Particular Obs: eixo X é na direção da
placa
Jato Perpendicular à placa
θ = 90° cos θ = 0
sen θ = 1
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
106
Logo:
2
QQQ j21 ==
só para indicar que tem sentido contrário a y, no exercício entra em módulo
Ry = -Qm Vj = - ρ . Aj. Vj2
Ex. 4:
A água contida no tanque (1) é descarregada sem atrito. O jato incide sobre uma
placa de grandes dimensões que cobre a saída do bocal do tanque (2). Os bocais
são iguais. Se h2 for conhecido determinar h1, tal que a força do jato seja suficiente
para anular a resultante das forças horizontais que agem sobre a placa.
ΣF horiz. = 0 � Ry = F
ρ . Aj. Vj2 = γ . Ab2
(1)ghVAbhVAb
g 2
2
122
2
11 =∴⋅⋅γ/=⋅⋅
γ/
Equação de Bernoulli no trecho (0) – (1):
H0 = H1
(1)gh2V
g2
Vh
g2
VZ
2g
VZ
1
2
1
2
1
1
2
1
0
10
1
2
0
0
0
0h
0
1
=�=
+
γ
ρ
+=+
γ
ρ
+
=
=
=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
107
De (1) e (2)
gh2 = 2gh1 � 2
hh 21 =
Ex. 5: P = ? Equilíbrio da porta
Vj = 20 m/s g = 10 m/s2 1” = 25,4 mm
γ = 103 kgf/m3 ��
3
1
1 = desprezar o peso da porta
ΣM(A) = 0 � MP = M Ry
P.a = Ry . b
a
b
.RyP =∴ (1)
b
30sen
a
30sen
1o
o
�
�
=
=
ba
1��
=
�
�
�
�
�
3
1
a
b3/1
ba
b 1
=�==
�
�� (2)
( )
(3)kgf147,162Ry
5,0x20x
4
1016,0x
x
10
10Ry
senVA
g
Ry
senVQRy
senVQRy
senVQRy
2
23
2
jj
jj
jm
jm
=
pi
=
θ⋅⋅γ=
θ⋅⋅⋅ρ=
θ⋅⋅=
θ⋅⋅−=
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
108
Subt. (2) e (3) em (1):
kgf05,54P
3
1
x15.162P =�=
8.4- Força de Reação Exercida por um Jato Fluido sobre uma Superfície
Curva (Pá) Móvel
Para um observador “montado” na pá:
a) o jato percorre a pá com a chamada velocidade relativa. Considerando o
escoamento sem atrito, a mesma permanecerá constante em módulo e
será dada por: U = Vj – Vp.
b) a vazão em massa desviada é a chamada “aparente”, pois deverá ser
calculada com a velocidade relativa: Qmu = ρ . Qu = ρ . Aj . u
Cálculo de Rx
Rx = Qm . (Vx1 – Vx2)
Rx = Qmu . (u – u cos θ)
Rx = Qmu . u. (1 – cos θ)
Como Qmu = ρ . Qu = ρ . Aj . u:
Rx = ρ . Aj . u2 . (1 – cos θ)
Cálculo de Ry
Ry = Qm . (Vy1 – Vy2)
Ry = Qmu . (0 – u sen θ)
Rx = -Qmu . u. sen θ
Como Qmu = ρ . Qu = ρ . Aj . u:
Ry = -ρ . Aj . u2 .sen θ
Logo:
22 RyRxR +
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
109
Ex. 6 Vj = ? ���� V = 1m/s
AF
A
F
GsenGT
G
GT
sen
τ=µ�µ=τ
α=�=α
°=θ°=α=ε⋅=µ
====ρ
−
−
60;30;m10;s/mkgf10
m10Akgf;2G;m10A;utm/m100
4-22
2-224
j
3
Condição MRU da Pá:
T)cos1(uA
TRx0Fx
2
j =θ−⋅⋅ρ
=�=�
Logo:
)cos1(A
T
u
j θ−⋅⋅ρ
= (1)
cos θ = cos 60°= 0,5
Condição MRU do Bloco:
ΣF plano inclinado = 0 � T = GT + Fµ
T = G sen α + τ . A
(2)kgf2T
10
10
1
x105,0x2T
AVsenGT
2
4
2
=∴
⋅+=
⋅
ε
⋅µ+α=
−
−
−
Subs. (2) em (1)
m/s20u400u
)5,01(10100
2
u 4
=�=
−⋅⋅
=
−
pjpj VuVVVu
:quese-Sabe
+=�−=
Como Vp = V = 1 m/s:
∴ Vj = 21 m/s
Mecânica dos Fluidos - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo
FÍSICA APICADA 1
II. MECÂNICA DOS FLUIDOS
2. HIDROSTÁTICA
2. 1 - Introdução
Os fluidos estão presentes de maneira vital em nossa vida, basta lembrarmos que o nosso corpo é formado
quase que exclusivamente de água. O próprio ar que respiramos é um fluido, ou seja, os fluidos estão por toda
parte ao nosso redor, sendo essenciais para a nossa própria existência! Graças aos fluidos um avião pode voar,
um submarino pode submergir até uma determinada profundidade e um navio pode flutuar. No nosso corpo
podemos citar o sangue, os líquidos do sistema digestivo e os humores do globo ocular como alguns exemplos
de fluidos.
Num motor de combustão, por exemplo, existem fluidos tanto na forma gasosa quanto líquida. Podemos
também citar milhares de exemplos de máquinas, sistemas biológicos, mecânicos, naturais e artificiais, enfim,
que apresentam algum tipo de fluido na sua composição ou que dele dependam para o seu funcionamento.
Os fluidos envolvem os líquidos e os gases. Podemos definir um fluido como algo que pode fluir, escoar, o que
não ocorrem com um material sólido, por exemplo. Num fluido qualquer, as moléculas arranjam-se
aleatoriamente, porém são mantidas unidas por forças coercivas fracas. Um fluido não suporta uma força
tangencial à sua superfície, força esta geralmente chamada de tensão cisalhante. Por outro lado, um fluido
pode exercer uma determinada força numa direção perpendicular à sua superfície. Inicialmente estudaremos a
estática dos fluidos (hidrostática), a qual se preocupa com os fluidos em repouso e em equilíbrio. Após,
estudaremos alguns aspectos da dinâmica dos fluidos (hidrodinâmica), a qual se preocupa como o próprio
nome diz, com fluidos em movimento.
2. 2 – Massa Específica
O conceito de massa específica é muito útil quando se estuda hidrostática. Denominaremos a massa específica
(ou densidade, segundo alguns autores) de um fluido qualquer pela letra grega ρ (rô). Para determinarmos a
massa específica de um certo fluido num determinado ponto, basta dividir a massa m da amostra de fluido em
questão pelo seu respectivo volume V, ou seja,
Como podemos ver da eq. (2.1), a massa específica de um fluido é uma quantidade escalar, sendo sua unidade
de medida no SI (sistema internacional) é o kg/m3. Outra unidade bastante usada é o g/cm3. O fator de
conversão é dado por 1 g/cm3 = 1000 kg/m3. A massa específica de determinados materiais pode variar de um
ponto para outro. Como exemplo podemos citar a atmosfera da Terra, a qual tem uma massa específica menor
em grandes altitudes. A pressão, item que estudaremos a seguir, pode afetar consideravelmente a massa
específica de algumas substâncias, como podemos ver no caso do ar, na tabela 2.1, a qual ilustra a massa
específica de alguns materiais. Como curiosidade, um dos materiais de maior massa específica existente na
Terra é o ósmio, cujo valor é de 22,5.103 kg/m3.
FÍSICA APICADA 2
Exemplo resolvido 2. 1
Calcule a massa e o peso exercido pelo ar dentro de uma sala que possui 2,5 m de altura e que possui um piso
com dimensões de 4,5 m x 6 m.
Resolução:
Utilizamos a tabela 2.1 para obter a massa específica do ar.
O volume é dado por
V = 2,5m.4,5m.6m = 67,5m3
A massa do ar pode ser calculada usando-se a eq. (2.1), que resulta em
O peso do ar é dado por P = mar.g, o que resulta em
2. 3 – Pressão em um Fluido
Um fluido qualquer que está em repouso exerce uma força perpendicular em qualquer superfície que esteja
em contato com ele. A força exercida por este fluido nas paredes de um recipiente será, portanto,
perpendicular em todos os pontos deste recipiente, como ilustra a figura 2.1.
Imaginemos um pistão no qual se esteja exercendo uma determinada força, conforme ilustra a figura 2.2.
FÍSICA APICADA 3
Se F é a força normal exercida no pistão pelo fluido que está ao seu redor, e se A é a área da superfície do
referido pistão, na qual está sendo aplicada esta força, como ilustra a figura 2.2, então a pressão p que o fluido
exerce é definida pela razão entre a força normal e a área A, ou seja,
A pressão é uma grandeza escalar, ou seja, não possui propriedades vetoriais. Embora a força exercida seja
vetorial, na eq. (2.2) levamos em conta apenas a sua intensidade (módulo). No SI a unidade de pressão é o
N/m2, porém, uma outra unidade para pressão no SI é o pascal, ou simplesmente Pa, de modo que
1 N/m2 = 1 Pa
Outras unidades também são empregadas para se medir pressões, como atmosfera (atm), torr (anteriormente
chamada de milímetro de mercúrio, ou mmHg) e a libra por polegada quadrada (lb/in2), usualmente abreviada
como psi. A relação entre elas é tal que
1 atm = 1,01.105 Pa = 760 torr = 14,7 lb/in2
Na área de meteorologia e climatologia usualmente emprega-se o bar (1 bar = 105 Pa) e o milibar (1 mbar = 100
Pa).
É preciso prestar atenção com o emprego da pressão na linguagem cotidiana, pois frequentemente pressão e
força são confundidas. Para termos ideia de valores de pressão, a pressão no centro do Sol está estimada em
2.1016 Pa, enquanto que a pressãoatmosférica ao nível do mar é de 1.105 Pa e a pressão sanguínea normal do
corpo humano está entre 1,6.104 Pa.
Observando novamente a eq. (2.2), notamos que podemos exercer pressões muito elevadas exercendo forças
relativamente de pequena intensidade, desde que a área na qual esta força esteja sendo exercida também seja
pequena. Este é o fato que justifica o porquê de uma agulha de injeção ter a ponta extremamente fina, o que
permite perfurar a pele com facilidade. O caso inverso, ou seja, uma grande área de aplicação para uma
determinada força se justifica no caso dos sapatos de neve, onde uma redução da pressão sobre o solo com
neve se faz necessária.
Exemplo resolvido 2.2
Calcule a intensidade da força exercida por 1 atm de ar no piso de uma sala de dimensões 3,0 m por 4,0 m.
Resolução:
Usando a eq. (2.2) e a relação entre atm e N/m2, obtemos
FÍSICA APICADA 4
2.4 – Variação da Pressão com a Profundidade
O fato de desprezarmos o peso do fluido faz com a pressão seja a mesma em todos os pontos do volume do
fluido. Porém, na prática, o peso de um fluido nem sempre é desprezível, razão pela qual a pressão atmosférica
é maior no nível do mar do que em elevadas altitudes. O mesmo raciocínio vale para as profundezas do mar,
onde neste caso a pressão aumenta com a profundidade, e o uso de equipamentos especiais de mergulho se
faz necessário. Dos dois exemplos descritos podemos concluir que a pressão hidrostática, ou seja, aquela
exercida por um fluido em repouso (estático), varia com a profundidade.
Imaginemos um tanque com um fluido em equilíbrio estático, no interior do qual temos uma amostra qualquer
imersa neste fluido, conforme ilustra a figura 2.3. O eixo vertical y na figura serve de referência, no qual a
origem está na superfície do fluido em questão e com a direção positiva para cima.
A diferença de pressão existente entre os pontos 1 e 2 (níveis 1 e 2), cujas pressões respectivamente são iguais
a p1 e p2, é dada por
onde g é a aceleração da gravidade e ρ é a massa específica do fluido no interior do recipiente, tida como
constante. A eq. (2.3) pode ser empregada para o cálculo da pressão entre dois pontos em função da altitude e
também em função da profundidade. Com relação à profundidade, podemos facilmente calcular a pressão a
uma profundidade h abaixo da superfície do fluido. Assim, como ilustra a figura 2.4, sendo p0 a pressão
atmosférica na superfície e empregando o mesmo raciocínio descrito pela figura (2.3) e pela eq. (2.3), temos
Analisando a eq. (2.4) vemos que a pressão em um fluido depende somente da profundidade h dentro do
mesmo, ou seja, a pressão no fluido é a mesma em todos os pontos que possuem uma mesma profundidade,
ou altura. Logo, a pressão não depende de nenhum fator ligado à direção horizontal do fluido, e nem mesmo
FÍSICA APICADA 5
do recipiente que o contém. Isto nos permite concluir que a pressão em um fluido independe da forma do
recipiente no qual o mesmo está contido.
Na figura 2.4 e na eq. (2.4) a pressão p é chamada de pressão absoluta no nível 2, pois a mesma envolve a
pressão total ou seja, a pressão devida à atmosfera e também a pressão devido ao fluido que se encontra
acima do nível 2. Por outro lado, a diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica é a chamada pressão
manométrica, a qual recebe este nome devido ao uso de um equipamento chamado manômetro para a sua
medição, o qual será descrito na seção seguinte.
Exemplo resolvido 2.3
Em um treinamento de mergulho, um profissional utiliza um cilindro de oxigênio durante um mergulho. Ele
inspira bastante ar do tanque, até abandoná-lo numa profundidade L para nadar de volta à superfície. Porém,
ocorre um problema durante esta manobra de tal modo que ao atingir a superfície a diferença entre a pressão
do ar nos seus pulmões e a pressão externa fica em torno de 8,8 kPa. De posse destas informações, calcule de
que profundidade teria partido o mergulhador.
Resolução:
O objetivo aqui é encontrar a profundidade L. Mas é preciso ter em mente o fato de que quando ele enche os
pulmões na profundidade L, a pressão externa nele será maior que a pressão normal. Logo, utilizamos a eq.
(2.4), com L no lugar de h e com p0 sendo a pressão atmosférica e ρ a massa específica do fluido ao redor,
neste caso a água. Quando o mergulhador sobe, a pressão externa diminui e se iguala à pressão atmosférica na
superfície. Mas se por acaso o mergulhador não eliminar o ar dos pulmões, a pressão nos pulmões será a
mesma da profundidade L. Assim, na superfície haverá uma diferença entre a pressão externa sentida e a
pressão interna nos seus pulmões, que é maior. O valor desta diferença pode ser calculado por
Logo, utilizando a tabela 2.1, a profundidade L vale
Exemplo resolvido 2.4
Imagine um sistema que se beneficia da energia solar para aquecer a água. Os painéis solares estão situados
numa altura de 9,5 m acima do lugar onde está colocado o reservatório de armazenamento da água. A pressão
da água no nível dos respectivos painéis é exatamente de 1 atm. Calcule a pressão absoluta no referido
reservatório e também a pressão manométrica no mesmo.
Resolução:
Utilizando a eq. (2.4) e a tabela 2.1, a pressão absoluta é resulta em
Consequentemente a pressão manométrica vale
Exemplo resolvido 2.5
FÍSICA APICADA 6
A figura 2.5 mostra um tubo em U contendo dois líquidos em equilíbrio. Um deles é água, que se encontra no
lado esquerdo e cuja massa específica é conhecida, e o outro é um óleo com massa específica não conhecida.
De acordo com a figura, l = 127 mm e d = 15 mm. Calcule a massa específica do óleo.
Resolução:
A pressão na interface (separação) água-óleo do lado direito (ver figura 2.5), que chamaremos de pinterface,
depende da massa específica do óleo, que chamaremos de ρóleo e também da altura do óleo que se encontra
acima desta interface. Do lado esquerdo (ver figura 2.5), a água no mesmo nível tem de estar com o mesmo
valor de pressão pinterface. Isto se deve ao fato de haver equilíbrio estático, de modo que as pressões em pontos
da água de mesmo nível deverão ser iguais. Ainda analisando o lado esquerdo, vemos que a interface se
encontra abaixo de uma distância l da superfície livre da água, e empregando a eq. (2.4) obtemos no nosso
caso que
Para o lado direito, a interface água-óleo se encontra numa distância l + d da superfície livre do óleo, e
empregando novamente a eq. (2.4) temos que
Igualando ambas as equações para os dois ramos, e cancelando termos em comum em ambos os lados,
obtemos o valor da massa específica do óleo, ou seja,
2.5 – Medições de Pressão
A pressão no interior do pneu de um carro, bicicleta, motocicleta, ou qualquer outro meio de transporte que o
utilize, deverá ser maior do que a pressão atmosférica, senão o mesmo ficaria murcho. Mas como medir esta
pressão? Com o que medir?
Para a medida da pressão atmosférica, o cientista Evangelista Torricelli (1608-1647) desenvolveu o barômetro
de mercúrio, o qual é formado por um longo tubo fechado cheio de mercúrio, o qual é invertido e colocado
numa bandeja também com mercúrio, de acordo com a figura 2.6. A extremidade superior do tubo, que está
fechada, é tal que a pressão ali pode ser considerada nula. A eq. (2.3) pode ser usada para o cálculo da pressão
em função da altura h formada pela coluna de mercúrio, como mostra a figura 2.6.
FÍSICA APICADA 7
Deste modo, temos
onde ρ é a massa específica do mercúrio contido no barômetro. Utilizando a massa específica de 13,6.103
kg/m3 para o mercúrio, o valor de 1 atm (1,01.105 Pa) para a pressão atmosférica p0, e considerando g iguala
9,80 m/s2, a altura h da coluna de mercúrio será de 0,76 m ou 76 cm ao nível do mar.
Para medidas da pressão manométrica, conforme foi discutido no final da seção anterior, utiliza-se o
manômetro de tubo aberto, ilustrado pela figura 2.7.
O manômetro de tubo aberto consiste basicamente de um tubo em U que serve para se medir a pressão
manométrica de um gás. O tubo em U contém um líquido, geralmente mercúrio ou água, e a outra
extremidade está ligada a um recipiente cuja pressão manométrica queremos medir. Podemos usar novamente
a eq. (2.3) e a figura 2.7 onde teremos y1 = 0, p1 = p0, y2 = -h e p2 = p. A diferença de pressão p – p0 é a pressão
manométrica, pm, ou seja,
sendo ρ a massa específica do líquido que está sendo utilizado no interior do tubo do manômetro. Como
exemplo de uma pressão manométrica podemos citar a pressão medida nos pneus de uma bicicleta ou de um
automóvel. Da eq. (2.6) podemos ver que a pressão manométrica poderá ser positiva ou negativa, dependendo
da diferença entre p e p0. Quando os pneus de um automóvel estão cheios, a pressão absoluta é maior do que
FÍSICA APICADA 8
a atmosférica, e neste caso teremos pm > 0, porém na sucção através de um canudinho, como quando se toma
um refrigerante, por exemplo, a pressão nos pulmões é menor do que a atmosférica, e neste caso o valor da
pressão manométrica pm nos pulmões será negativa (pm < 0).
Exemplo resolvido 2.6
Determine o valor da pressão atmosférica num dia tal que, utilizando-se um barômetro de mercúrio, a altura
da coluna deste medidor seja de 760 mm.
Resolução:
O valor da massa específica do mercúrio pode ser obtido da tabela 2.1. Usando a eq. (2.6), e tendo em mente o
fato de que barômetro de mercúrio mede diretamente a pressão a partir da altura da coluna de mercúrio, a
pressão atmosférica pode ser calculada como
o que resulta em
2.6 – O Princípio de Pascal
Com relação à eq. (2.6), podemos reescrevê-la da seguinte forma:
Podemos notar, a partir da eq. (2.7), que todo e qualquer aumento de pressão na superfície deverá ser
transmitido para cada ponto do fluido. Este fato foi pela primeira vez enunciado em 1653 pelo cientista francês
Blaise Pascal (1623-1662), sendo chamado de Princípio de Pascal, o qual também pode ser descrito da seguinte
forma:
“Qualquer pressão aplicada em um fluido incompressível no interior de um recipiente será transmitida
integralmente para toso os demais pontos do fluido e também para as paredes do respectivo recipiente que
o contém”.
O princípio de Pascal encontra uma infinidade de aplicações no nosso cotidiano. Quando você aperta a
extremidade da bisnaga de mostarda para temperar seu cachorro-quente, fazendo com que a mesma saia na
outra extremidade, você está aplicando o princípio de Pascal. O princípio de Pascal é a base para os freios,
elevadores, prensas, empilhadeiras e macacos hidráulicos.
A figura 2.8 ilustra um elevador hidráulico, onde uma força F1 é aplicada no pistão menor cuja seção reta tem
uma área A1, no ramo da esquerda. A pressão será transmitida através do fluido para o ramo da direita até o
pistão maior de área A2, onde uma força F2 será exercida pelo fluido sobre este pistão. Sendo a pressão igual
nos dois ramos, de acordo com o princípio de Pascal, teremos
FÍSICA APICADA 9
Logo, vemos que a intensidade da força aplicada no pistão maior, F2, será maior do que a força F1 empregada
no pistão menor, ou seja, o sistema se comporta como um multiplicador de forças. Esta é a grande razão da
grande aplicação do princípio de Pascal. Se não fosse este princípio, imagine a força que você deveria aplicar no
pedal do freio para parar um automóvel!
Convém observar que o trabalho realizado (W = F.Δx) será mesmo nos dois ramos, logo, para uma força maior
haverá um deslocamento menor do pistão, e vice-versa, conforme ilustra a figura (2.8). Você pode comprovar
isto ao erguer o carro com o macaco hidráulico, onde você deverá bombear a alavanca do macaco por uma
distância bem superior àquela de elevação do carro!
Exemplo resolvido 2.7
Numa oficina mecânica existe um elevador de carros que utiliza ar comprimido, o qual exerce uma força num
pistão de seção circular de raio 4 cm. A pressão se transmite para outro pistão maior, também de seção
circular, mas de raio 20 cm.
De posse destas informações, calcule:
A força com que o ar comprimido consegue erguer um carro de 16000 N ;
A respectiva pressão exercida no interior do elevador hidráulico.
Resolução:
(a) Lembrando do cálculo da área de uma circunferência (πr2), utilizando a eq. (2.8) e fazendo com que a área
menor seja a área A1 (com a sua respectiva força F1 ) encontramos
(b) A pressão exercida pela força F1 pode ser calculada através da eq. (2.2), que resulta em
Note que o mesmo resultado poderia ter sido obtido utilizando-se a força F2 e a área A2, já que a pressão é a
mesma.
2.7 – O Empuxo e o Princípio de Arquimedes
FÍSICA APICADA 10
O empuxo é algo bastante familiar de descrevermos com base na nossa experiência cotidiana. Podemos dizer,
de maneira simples, que qualquer corpo que está imerso na água parece possuir um peso bem menor do que
se estivesse fora dela. Isto nós mesmos podemos verificar com o nosso corpo, quando estamos em uma piscina
ou na praia. Isto nos faz pensar que existe alguma força sendo exercida de baixo para cima, em sentido
contrário ao da força peso. E de fato é isto que acontece.
A força de empuxo, ou simplesmente empuxo, ou ainda força de flutuação, como alguns preferem chamar, é
uma força exercida para cima sobre um corpo qualquer pelo fluido existente ao seu redor. Sendo uma força, a
unidade do empuxo é o Newton (N). O empuxo serve para justificar as situações descritas no início da seção e
também para explicar o porquê de um barco não afundar na água, de um balão flutuar no ar, entre tantas
outras aplicações conhecidas. A natureza do empuxo foi descoberta por Arquimedes (287-212 a.C.), um dos
maiores gênios da antiguidade, nascido em Siracusa (hoje Sicília, Itália).
O princípio de Arquimedes nos diz que:
“Quando um corpo está completa ou parcialmente imerso num fluido ele sofrerá uma força de empuxo, a
qual estará dirigida para cima e tem intensidade igual ao peso do volume do fluido que foi deslocado por
este corpo”.
Podemos dizer então que o empuxo exercido por um fluido sobre um corpo pode ser calculado como:
sendo mf a massa do volume do fluido deslocado pelo corpo e g é a aceleração da gravidade. Em termos da
massa específica, podemos reescrever a eq. (2.9) como
onde ρf é a massa específica do fluido e V o volume do fluido deslocado, ocupado pelo corpo.
Podemos considerar algumas situações interessantes, como o caso de um corpo flutuando ou totalmente
submerso.
Corpo Flutuando
Para um corpo que esteja flutuando num fluido, como no caso de um pedaço de isopor na água, a intensidade
da força de empuxo sobre o corpo será a mesma da força gravitacional, sendo que ambas as forças atuam em
sentidos contrários.
Logo, podemos escrever este caso como
onde P é o peso (mg) do corpo que flutua. Podemos então afirmar que para um corpo flutuando a intensidade
da força gravitacional sobre ele é igual ao peso do fluido que ele desloca.
Quanto maior for a massa específica do fluido, menor será a parte do corpo que fica submersa. Como exemplo,
podemos citar o fato de uma pessoa ter mais facilidade em nadar na água salgada do que na água doce, em
virtude da massa específica da água salgada ser maior do que a da água doce (consulte a tabela 2.1 da seção
2.2).
Corpo Totalmente Submerso