¿Qué explican las ecuaciones de Maxwell? ¿Me podrías explicar cada una de ellas sin profundizar mucho en el aspecto...

Las ecuaciones de Maxwell originales eran un total de veinte ecuaciones, pero todas ellas fueron resumidas en cuatro gracias a un físico llamado Oliver Heaviside. Debido a ello, las ecuaciones de Maxwell clásicas son también conocidas como las ecuaciones de Maxwell-Heaviside y son las siguientes:

∇⃗ ⋅E⃗ =ρε0,   (Ley de Gauss)∇→⋅E→=ρε0,   (Ley de Gauss)

∇⃗ ⋅B⃗ =0,   (Ley de Gauss para el campo magnético)∇→⋅B→=0,   (Ley de Gauss para el campo magnético)

∇⃗ ×E⃗ =−∂B⃗ ∂t   (Ley de Faraday)∇→×E→=−∂B→∂t   (Ley de Faraday)

yy

∇⃗ ×B⃗ =μ0J⃗ +μ0ε0∂E⃗ ∂t   (Ley de Ampère generalizada).∇→×B→=μ0J→+μ0ε0∂E→∂t   (Ley de Ampère generalizada).

Como estas ecuaciones suelen ser las más típicas de ver, vamos a estudiarlas más a fondo.

La primera ecuación, la ley de Gauss, nos dice que la divergencia del campo eléctrico en una superficie cerrada es igual al producto de la constante 1/(permitividad eléctrica en el "vacío") con la densidad volumétrica de carga eléctrica. En otras palabras, nos dice que si representamos al campo eléctrico mediante líneas de campo eléctrico y calculamos el número de líneas de campo eléctrico neto que atraviesan a una superficie cerrada, denominado flujo eléctrico, dicho cálculo es igual al cociente mencionado, que puede ser nulo o no, por lo que el campo eléctrico en esa superficie también puede ser nulo o no.

Líneas de campo eléctrico para una capa esférica con densidad de carga positiva en un hemisferio (semicírculo negro) y densidad de carga negativa en el otro (semicírculo rojo). Imagen: ResearchGate. Thiago Bueno y Ulysses Camara. "Two methods for solving electrostatic problems with azimuthal symmetry" (2020).

La segunda ecuación, la ley de Gauss para el campo magnético, nos dice que la divergencia del campo magnético en una superficie cerrada es nula. En otras palabras, nos dice que si representamos al campo magnético mediante líneas de campo magnético y calculamos el número de líneas de campo magnético neto que atraviesan a una superficie cerrada, denominado flujo magnético, el valor que se obtenga es cero, por lo que el campo magnético en esa superficie es nulo.

Líneas de campo magnético en presencia de una esfera paramagnética con una susceptibilidad magnética 106106 veces superior a la del medio circundante. Las líneas de campo se concentran principalmente alrededor de los polos y en el ecuador de la esfera. Imagen: ResearchGate. G. J. Hirasaki, Kishore K Mohanty, Thomas J Gruber y Pittsburg. "NMR Well Logging and Special Core Analysis for Fluid Rock Characterization" (2008).

La tercera ecuación, la ley de Faraday, nos dice que el rotacional del campo eléctrico es igual a la opuesta de la derivada parcial del campo magnético respecto del tiempo. En otras palabras, nos dice que un campo magnético que varía con el tiempo induce un campo eléctrico, el cual puede ser variable o no.

La cuarta ecuación, la ley de Ampère generalizada, nos dice que el rotacional del campo magnético es igual al producto de la permeabilidad magnética en el "vacío" (otra constante) con la densidad de corriente eléctrica más el producto de la permeabilidad magnética en el "vacío" con la permitividad eléctrica en el "vacío" y con la derivada parcial del campo eléctrico respecto del tiempo. En otras palabras, nos dice que un campo eléctrico que varía con el tiempo induce un campo magnético, el cual puede ser variable o no.

Las últimas dos ecuaciones se cumplen en, por ejemplo, la luz. La luz consiste en campos eléctricos y magnéticos perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la luz. Estos campos eléctricos y magnéticos están oscilando continuamente, lo que implica una variación de los mismos en el tiempo. Debido a ello, los campos eléctricos inducen nuevos campos magnéticos y los campos magnéticos inducen nuevos campos eléctricos, todos ellos perpendiculares a los antiguos campos eléctricos y magnéticos, entre sí y a la dirección de propagación de la luz.

Luz. Sus campos eléctricos y magnéticos oscilan continuamente, dando lugar a nuevos campos eléctricos y magnéticos. Gif: Wikimedia Commons. "File:Electromagneticwave3D.gif".

Sin embargo, existen varias maneras de escribir más simplificadamente las ecuaciones de Maxwell. Por ejemplo, se pueden introducir un potencial vector A⃗ A→ y un potencial escalar ΦΦ tales que las cuatro ecuaciones de Maxwell se reduzcan a dos:

−∇2Φ−∂∂t(∇⋅A⃗ )=ρε0−∇2Φ−∂∂t(∇⋅A→)=ρε0

yy

∇(∇⋅A⃗ )−∇2A⃗ =μ0J⃗ −μ0ε0∂∂t(∇Φ+∂A⃗ ∂t).∇(∇⋅A→)−∇2A→=μ0J→−μ0ε0∂∂t(∇Φ+∂A→∂t).

La primera ecuación es la ley de Gauss y la segunda la ley de Ampère generalizada.

Otra manera de simplificar las cuatro ecuaciones de Maxwell a dos es mediante el uso de la relatividad especial, en la cual se usan unas relaciones geométricas. Las dos ecuaciones de Maxwell resultantes son las siguientes:

δF=μ0JδF=μ0J

o, en coordenadas Lorentz,

∂μFμν=μ0Jν,∂μFμν=μ0Jν,

yy

δ∗F=0δ∗F=0

o, en coordenadas Lorentz,

∂μ∗Fμν=0.∂μ∗Fμν=0.

F=FμνF=Fμν es el tensor de campo electromagnético, J=JνJ=Jν la cuadricorriente y ∗F∗F el tensor dual de F.F.

La primera ecuación liga los campos con las fuentes y la segunda es una ecuación homogénea.

Notas:

• Representar al campo eléctrico y al campo magnético mediante líneas de campo facilita la visualización de dichos campos. Nos permite, además, calcular más fácilmente el campo eléctrico y magnético.
• La ley de Gauss para el campo magnético nos dice que no existe campo magnético en una superficie cerrada porque no existe evidencia de cargas magnéticas (pero eso no significa que no existan). De existir, esta ecuación sería parecida a la ley de Gauss, por lo que aparecería una constante multiplicando a una densidad volumétrica de carga magnética ρm.ρm. Esta densidad podría ser nula o no en superficies cerradas, por lo que el campo magnético podría también ser nulo o no en superficies cerradas. Esto cambiaría varias leyes de la física conocidas actualmente.

Cargas magnéticas en el interior de un imán. Imagen: Wikimedia Commons. "File:VFPt magnet H charges.svg".