¿Qué hace a la hipótesis de Riemann tan difícil de ser probada por matemáticos aún después de 150...

No se profesa ningún rigor en lo que sigue, es más de carácter pedagógico.

Riemann no fue el primero en estudiar el tipo de series que hoy son la clave de su conjetura, y de la distribución de los números primos. De hecho, su famosa función zeta es un caso particular de las series dadas por

∑∞n=1anns,∑n=1∞anns,

donde anan y s son números complejos, y n=1,2,3…n=1,2,3…

Se llaman series de Dirichlet, en honor al matemático que las extendió a los números reales. Leonhard Euler ya las había estudiado para números enteros.

La función zeta de Riemann está definida por

ζ(s)=∑∞n=11ns=11s+12s+⋅⋅⋅ζ(s)=∑n=1∞1ns=11s+12s+⋅⋅⋅

Y hipótesis de Riemann afirma que

Todos los ceros no triviales de la función zeta están sobre la línea crítica Re(s)=1/2, en el plano complejo.

De nuevo,

n=1,2,3,4,...n=1,2,3,4,...

y ss es el número complejo

s=σ+it.s=σ+it.

En la expresión, σσes la parte real (Re(s)) y t la parte imaginaria (IM (s)), del número s.s.

La extensión al dominio complejo fue el gran aporte de Riemann al estudio de las series de Dirichlet, y al análisis de la distribución de los números primos.

Los ceros, o raíces, son aquellos valores de s para los que

ζ(s)=0.ζ(s)=0.

La función zeta tiene dos tipos de ceros: triviales y no triviales. Los triviales son fáciles de obtener, y es el conjunto de los números enteros pares negativos: -2,-4,-6, etc. Los otros ceros son más difíciles de ubicar, pero Riemann pudo hallar algunos. Están ubicados en una franja en el plano complejo, definida por por 0Re(s)=1/2Re(s)=1/2. Nadie ha podido demostrar si es cierto.

Riemann dedujo una fantástica fórmula, llamada la ecuación funcional, que le permitió dilucidar algunos aspectos de los ceros no triviales. Por ejemplo, vienen en pares, distribuidos simétricamente alrededor de la linea crítica (si existen), y el eje real σσ.

Resumiendo, según la conjetura de Riemann, todos los ceros no triviales son de la forma

12±it,12±it,

t un número real.

En general los designaremos por la letra griega

ρ.ρ.

La parte real, igual a 1/2, es un número de suma importancia, como veremos más adelante.

Se han calculado trillones de estos ceros no triviales y todos, hasta el momento, están sobre la línea crítica. También se sabe que hay una cantidad infinita sobre la línea, pero ello no implica que son todos.

La conjetura está íntimamente ligada a los números primos, aquellos que solo pueden ser divididos por la unidad y por sí mismos:

2,3,5,7,11,13,17,19…2,3,5,7,11,13,17,19…

Son famosos por tener un comportamiento caprichoso. Como podemos apreciar en la lista, parece que no siguen un patrón: no existe una fórmula que pueda ayudarnos a predecir dónde caerá el próximo. Son los bárbaros en el imperio de los números naturales.

Es su matrimonio con los números primos lo que hace de la hipótesis de Riemann un problema espinoso, que nadie ha podido resolver.

Citemos la famosa afirmación del matemático alemán Dan Zagier (1), emitida durante una conferencia, en 1975, pues expresa perfectamente el dilema que estos números representan:

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerlos de manera tan abrumadora que se quedarán grabados permanentemente en sus corazones. El primero es que a pesar de su sencilla definición y su papel como los ladrillos de los números naturales, los números primos crecen como la mala hierva entre ellos, y no obedecen ninguna otra ley más que la del azar, y nadie puede predecir dónde va a brotar el próximo. El segundo hecho es todavía más asombroso, pues afirma exactamente lo contrario: y es que los números primos obedecen una extraordinaria regularidad, que hay leyes gobernando su comportamiento, y que obedecen esas leyes casi con precisión militar.

Esta regularidad fue la que exploró Riemann, y lo llevó más lejos de lo que nadie había llegado antes, o después. Naturalmente, todavía no se sabe si tenía razón.

Los grandes griegos demostraron estas dos verdades, entre otras grandes verdades:

1. Existe una cantidad infinita de números primos.
2. Todo número entero positivo n se puede expresar como el producto de números primos.

La segunda verdad se traduce así: los primos son los átomos de los que están compuestos los números enteros. Esto es consecuencia del llamado Teorema Fundamental de la Aritmética (2):

Todo número entero mayor que 1 se puede expresar como el producto de potencias de números primos,

n=pe11pe22...pekk=∏ki=1peii.n=p1e1p2e2...pkek=∏i=1kpiei.

Puede demostrarse que esa representación es única.

Ejemplos:

8=21⋅21⋅21=238=21·21·21=23

10=51⋅2110=51·21

15=31⋅5115=31·51

Etc..

A pesar de estas extraordinarias propiedades, debido a su azaroso comportamiento, lo mejor que podemos hacer con los números primos es contarlos, y eso solo de manera aproximada.

Designemos por

π(x),π(x),

a la cantidad total de números primos hasta un número x. ¿Qué tanto podemos aproximarnos a esta función?

Fue el Príncipe de las matemáticas, Carl F. Gauss, quien, a los 15 años, conjeturó, a partir de una tabla de logaritmos que le obsequiaron, que la cantidad de primos hasta cierto número x, inclusive, podía aproximarse como

π(x)∼xlogx.π(x)∼xlogx.

Luego, Peter Lejeune Diritchlet ofreció otra aproximación, en términos de probabilidades

π(x)∼Li(x)=∫x2dtlogt.π(x)∼Li(x)=∫2xdtlogt.

Concretamente, el Teorema de los números primos afirma que (3)

limx→∞π(x)x/logx=1.limx→∞π(x)x/logx=1.

Lo que implica es que ambas funciones tienden al infinito con la misma rapidez. O lo que es lo mismo, que el error relativo de la aproximación tiende a cero cuando x tiende al infinito. Fue demostrado, de manera independiente, por el belga Charles Jean de la Vallée Poussin y el francés Jacques Hadamard, en 1896. Es uno de los grandes acontecimientos de la matemática de todos los tiempos.

¿Cómo logró Riemann encontrar una mejor aproximación para contar primos? ¿Qué tiene que ver esta con su famosa conjetura y los esfuerzos modernos por ubicar los ceros no triviales de la función zeta?

Lo primero es definir qué es una buena aproximación. Si queremos estimar una cantidad x, y obtenemos un resultado con un margen de error dentro de

x12=x−−√,x12=x,

decimos que has hecho una aproximación con error de raíz cuadrada. A esto se le llama una buena aproximación (4).

Por ejemplo, si desea calcular una cantidad alrededor de 1,000,000 y comete un error dentro de un margen de

1,000,000−−−−−−−−√=1000,1,000,000=1000,

su aproximación es alrededor de 999,000.

En general, el error en que se incurre estaría dado por

Valor Exacto - Buena Aproximación = Error

En su particular demostración del teorema de los números primos, de la Vallée Poussin llegó a calcular el error de su aproximación como

π(x)−Li(x)=O(xe(−Clogαx)).π(x)−Li(x)=O(xe(−Clogαx)).

Donde α=1/2α=1/2 y C es una constante. Veremos cómo la hipótesis de Riemann les asigna otros valores, y conjetura que, con esos valores, es la mejor aproximación posible de π(x)π(x)usando Li(x).Li(x).

El alemán estudió la distribución de los primos usando una maravillosa identidad descubierta por Leonard Euler, en 1737

ζ(s)=∏p(1−1ps)−1=∑∞n=11ns,ζ(s)=∏p(1−1ps)−1=∑n=1∞1ns,

para Re(s)>1, siendo p primo:

p=2,3,5,7,…p=2,3,5,7,…

Expandiendo el producto de Euler

∏p(1−1ps)−1=(1−12s)−1(1−13s)−1(1−15s)−1⋯∏p(1−1ps)−1=(1−12s)−1(1−13s)−1(1−15s)−1⋯

El que la función zeta y el producto de Euler sean una y la misma cosa es realmente asombroso. Y el que haya números primos involucrados llama poderosamente la atención. ¿Podrá esta identidad decirnos algo que no sabemos sobre los números primos y su comportamiento? La respuesta es un rotundo sí. Riemann lo intuyó y minó el gran potencial escondido detrás de esta fantástica relación, que John Derbyshire, en su maravilloso libro, llama la llave dorada (5). De esta manera nos legó el problema abierto más importante de la matemática.

El poder de esta identidad es evidente de inmediato. Así, para s=1s=1, por ejemplo, la expresión

∑∞n=11ns=1+12+13+14+⋯,∑n=1∞1ns=1+12+13+14+⋯,

no es más que la serie armónica que, sabemos, diverge, o es infinita. De manera que el número de factores de su equivalente producto de Euler debe ser infinito. Y en efecto, como cada factor contiene un número primo único, Euler demostró, de forma analítica, y elegante (la de Euclides es también impecable), lo que los griegos, ya sabemos, sabían hace más de dos mil años: la cantidad de números primos es infinita. Por supuesto, Euler usó la segunda verdad sobre los primos, descubierta por los griegos (TFA), para armar su fórmula. Debió haber sido un momento deslumbrante para el mago Euler.

Riemann manipuló la identidad con un virtuosismo técnico sin precedentes, al extenderla al plano complejo, y extrajo una expresión más exacta que la de Gauss para contar primos. Pero esa nueva fórmula dependía de los ceros no triviales, ρ,ρ, de la función zeta; es decir, aquellos ubicados en la franja crítica 0todos los ceros no triviales estaban sobre la línea

Re(s)=12.Re(s)=12.

Esa es la raíz de la importancia de la línea crítica.

La fórmula aproximada que Riemann obtuvo es (6)

π(x)=J(x)−12J(x12)−13J(x13)−15J(x15)+16J(x16)⋅⋅⋅,π(x)=J(x)−12J(x12)−13J(x13)−15J(x15)+16J(x16)⋅⋅⋅,

donde

J(x)=Li(x)−∑ρLi(xρ)−log2+∫∞xdtt(t2−1)logt,(x>1).J(x)=Li(x)−∑ρLi(xρ)−log2+∫x∞dtt(t2−1)logt,(x>1).

Los dos últimos términos de la anterior expresión se pueden obviar, y nos queda que

J(x)=Li(x)−∑ρLi(xρ).J(x)=Li(x)−∑ρLi(xρ).

Fíjense que la suma del segundo término es sobre los ceros no triviales

ρρ

de la función zeta. Riemann lo llamó el término oscilatorio, y veremos por qué.

Introduciendo J(x) en la expresión de más arriba, para π(x)π(x), resulta la serie

π(x)=Li(x)−∑ρLi(xρ)−12[Li(x1/2)−∑ρLi(xρ2)]−⋅⋅⋅π(x)=Li(x)−∑ρLi(xρ)−12[Li(x1/2)−∑ρLi(xρ2)]−⋅⋅⋅

O, esquemáticamente

π(x)=Li(x)−12Li(x12)−⋅⋅⋅−∑ρLi(xρ)+12∑ρLi(xρ2)+⋅⋅⋅π(x)=Li(x)−12Li(x12)−⋅⋅⋅−∑ρLi(xρ)+12∑ρLi(xρ2)+⋅⋅⋅

Podemos expresar la suma sobre Li(x)Li(x), de forma compacta como (7)

∑∞n=1μ(n)nLi(x1n),∑n=1∞μ(n)nLi(x1n),

donde μ(n)μ(n) es la función de Möbius:

μ(n)=0μ(n)=0, si n es divisible por el cuadrado de un número primo.

μ(n)=1μ(n)=1, si n=1.

μ(n)=(−1)kμ(n)=(−1)k, si n es el producto de k primos distintos.

En particular,

μ(1)=1μ(1)=1

μ(2)=−1μ(2)=−1

μ(3)=−1.μ(3)=−1.

De igual forma, podemos expresar las suma sobre los ceros no triviales como

∑ρ∑∞n=1μ(n)nLi(xρn).∑ρ∑n=1∞μ(n)nLi(xρn).

Combinando

π(x)=∑∞n=1μ(n)nLi(x1n)+∑ρ∑∞n=1μ(n)nLi(xρn).π(x)=∑n=1∞μ(n)nLi(x1n)+∑ρ∑n=1∞μ(n)nLi(xρn).

Reteniendo solo los dos primeros términos de

∑∞n=1μ(n)nLi(x1n),∑n=1∞μ(n)nLi(x1n),

se obtiene

π(x)=Li(x)−12Li(x12).π(x)=Li(x)−12Li(x12).

Esta es una mejor aproximación que la de Gauss. Si se incluyen más términos la aproximación es cada vez mejor.

Tomando en cuenta todos los términos, excepto la suma sobre los ceros no triviales, podemos escribir la fórmula de esta manera:

π(x)∼Li(x)+∑∞n=2μ(n)nLi(x1n).π(x)∼Li(x)+∑n=2∞μ(n)nLi(x1n).

¿Cuál es el error de la aproximación de Riemann?

Si

π(x)=∑∞n=1μ(n)nLi(x1n)+∑ρ∑∞n=1μ(n)nLi(xρn),π(x)=∑n=1∞μ(n)nLi(x1n)+∑ρ∑n=1∞μ(n)nLi(xρn),

entonces

π(x)−∑∞n=1μ(n)nLi(x1n)=∑ρ∑∞n=1μ(n)nLi(xρn).π(x)−∑n=1∞μ(n)nLi(x1n)=∑ρ∑n=1∞μ(n)nLi(xρn).

Pero esta no es más que nuestra fórmula

Valor Exacto - Buena Aproximación = Error

La doble suma, tiene que ver con el error de la aproximación.

Si trabajamos con el primer término de cada serie (para n=1),

π(x)−Li(x)∼∑ρLi(xρ).π(x)−Li(x)∼∑ρLi(xρ).

El término de la derecha, dependiente de los ceros no triviales, controla que tan lejos de sus posiciones esperadas están los números primos. La hipótesis de Riemann nos dice que no muy lejos, y que no son tan erráticos como ellos quisieran, después de todo: obedecen la nueva fórmula con precisión militar, como dice Zagier, y ese término oscilatorio es el correctivo.

Si la hipótesis de Riemann es cierta, y su fórmula es lo mejor que podemos hacer para controlar la rebeldía de los primos, con los ceros no triviales de la forma

ρ=12+iτ,ρ=12+iτ,

entonces, usando la aproximación de Gauss,

π(x)∼xlogx,π(x)∼xlogx,

y resulta que (8)

Li(xρ)∼xρlogxρ=x12+iτ(12+iτ)logx≈x√xiτiτlogx.Li(xρ)∼xρlogxρ=x12+iτ(12+iτ)logx≈xxiτiτlogx.

Usando la simple fórmula

eiτlogx=xiτ,eiτlogx=xiτ,

obtenemos

Li(xρ)=x√eiτlogxiτlogτ.Li(xρ)=xeiτlogxiτlogτ.

La fórmula de Euler nos dice que

eix=cosx+isenx.eix=cosx+isenx.

Por tanto

Li(xρ)=x√logxcos(τlogx)+isen(τlogx)iτ.Li(xρ)=xlogxcos(τlogx)+isen(τlogx)iτ.

Multiplicando la expresión porii,ii,

Li(xρ)=x√logxsen(τlogx)−icos(τlogx)τ.Li(xρ)=xlogxsen(τlogx)−icos(τlogx)τ.

Tomando la parte real (pues no podemos tener un error imaginario),

ReLi(xρ)∼x√logxsen(τlogx)τ⋅ReLi(xρ)∼xlogxsen(τlogx)τ⋅

Ahora entendemos mejor el carácter oscilatorio: se trata de una onda sinusoide.

Incluyendo la suma sobre todos los ceros no triviales, que vienen en pares conjugados (factor de 2),

2Re∑∞k=1Li(xρk)∼2x√logx∑∞k=1sen(τklogx)τk⋅2Re∑k=1∞Li(xρk)∼2xlogx∑k=1∞sen(τklogx)τk⋅

La aparición de la raíz cuadrada en el numerador del coeficiente del lado derecho, proveniente de la parte real de los ceros no triviales, es bienvenida. Esa "amplitud de la onda", no solo acota el error ( lo mantiene dentro de ciertos límite), también nos dice que es la parte real de los ceros no triviales que lo mantienen bajo control, el 1/2 de

x−−√=x12.x=x12.

Se ha dicho que

x√logx∑∞k=1sen(τklogx)τkxlogx∑k=1∞sen(τklogx)τk

es el término que contiene la música de los primos (9). En efecto, si enumeramos los primeros ceros no triviales,

1/2+i 14.1347251/2+i 14.134725

1/2+i 21.0220401/2+i 21.022040

1/2+i 25.0108581/2+i 25.010858

1/2+i 30.4248761/2+i 30.424876

1/2+i 32.9350621/2+i 32.935062

1/2+i 37.586178,1/2+i 37.586178,

y los substituimos en la serie y expandimos

x√logx∑∞k=1sen(τklogx)τk∼x√logx[sen(14.13logx)14.13+sen(21.02logx)21.02+sen(25.01logx)25.01+⋅⋅⋅],xlogx∑k=1∞sen(τklogx)τk∼xlogx[sen(14.13logx)14.13+sen(21.02logx)21.02+sen(25.01logx)25.01+⋅⋅⋅],

vemos que la partes imaginarias de los ceros no triviales conforman un espectro de frecuencias.

Por otro lado, volvamos a la expresión de de la Vallée Poussin, para el error de su aproximación, al demostrar el teorema de los número primos

π(x)−Li(x)=O(xe(−Clogαx)).π(x)−Li(x)=O(xe(−Clogαx)).

La hipótesis de Riemann implica que

α=1,α=1,

C=12−εC=12−ε

En conclusión,

π(x)−Li(x)=O(xe(−Clogαx))=O(xe(−12+ε)logx),π(x)−Li(x)=O(xe(−Clogαx))=O(xe(−12+ε)logx),

Lo que nos da, usando

e(bloga)=ab,e(bloga)=ab,

que

π(x)−Li(x)=O(x12+ε),π(x)−Li(x)=O(x12+ε),

donde εε es un número muy pequeño.

En otras palabras, la precisión de la aproximación de Riemann, si su hipótesis es cierta, es con error de raíz cuadrada. Es la mejor aproximación posible, dependiente de la parte real de los ceros no triviales.

Números primos que no parecen ajustarse a un patrón; términos oscilatorios que controlan lo aleatorio en ellos; ceros no triviales, a su vez, dominando lo oscilatorio, y atrapados sobre una línea recta vertical pero con el posible hecho de que con uno solo fuera de ella, en los confines más remotos del eje imaginario, se arruine el delicado orden. Estos son los ingredientes que se combinan para hacer de la conjetura de Riemann el rompecabezas más difícil de todos.

REFERENCIAS:

1. Dan Zagier, The First 50 Million Prime Numbers. Conferencia Inaugural, Universidad de Bonn, 1975. (Traducción Libre).
2. George E. Andrews, Number Theory. Dover Publications, Inc., 1994.
3. Paul T. Bateman y Harold G. Diamond, A Hundred Years of Prime Numbers. The American Mathematical Monthly, Vol 103, No. 9 (Nov., 1996), Pp.729–741.
4. Barry Mazur y William Stein, Prime Numbers and the Riemann Hypothesis. Cambridge University Press, 2015.
5. John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. Plume Books, 2003.
6. H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function. Dover Publications, Inc., 2001.
7. Daniel J. Hutama, Implementation of Riemann’s Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage. http://ism.uqam.ca/~ism/pdf/Hutama-scientific%20report.pdf
8. Eric Barkan, Bruce Cohen y David Sklar, On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude. https://slideplayer.com/slide/6027090/
9. Marcus du Sautoy, The Music of the Primes. Harper Perennial, 2003.