sel310-A15 Eq Onda Sel310 612

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Equações de Onda
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
computação.
� Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
� solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL20/04/2012
Equações de Maxwell (SI)
Símbolo Descrição Unidade
Vetor campo elétrico volt/metro (V/m)
Vetor campo magnético ampere/metro (A/m)
Vetor densidade de fluxo elétrico coulomb/metro2 (C/m2)
E
H
D
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3
Vetor densidade de fluxo elétrico coulomb/metro2 (C/m2)
Vetor densidade de fluxo magnético weber/metro2 (Wb/m2)
Vetor densidade de corrente ampere/metro2 (A/m2)
Densidade volumétrica de cargas coulomb/metro3 (C/m3)
D
B
ρ
J
Equações de Maxwell-1
t
∂
∇× = +
∂
∇× = −
∂
B
E
D
JH
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4
0
t
ρ
∂
∇× = +
∇⋅ =
∂
∇ ⋅ =
D
J
D
B
H
Equações de Maxwell-2
j
j
ωµ
ωε
∇× = −
∇× = +
E H
H J E
Fonte frequência ω, meio isotrópico
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 5
0
jωε
ρ
∇× = +
∇⋅ =
∇⋅ =
H J E
B
D
Equação de onda para E-1
j
j
j
ωε
ωµ
ωµ
∇×∇× = − ∇×
∇× = +
∇× = −
H
H J E
H
E
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 6
( )
2
j
j
j
j
ωε
ωµ
µω ε ωµ
ωε∇
∇× = +
+×∇× = −
∇× =∇× −
H J E
J E
E E
E
J
Equação de onda para E-2
2
2
identidade vetorial
jω µε ωµ∇×∇×
∇×∇× = ∇∇⋅ −
= −
∇
E JE
E E E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 7
2 2
2
jω µε ωµ
∇×∇× = ∇∇⋅ −
∇ −⋅ ∇ −
∇
∇ =
E
E
E E
EE J
Equação de onda para E-3
( )
2 2 jω µε ωµ
ρ
ε ρ
∇ −∇ −
∇⋅ =
∇
∇⋅
⋅
=
=
E E J
D
E
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 8
( )ε ρ
ρ
ε
∇
∇
⋅
⋅
=
=
E
E
Equação de onda para E-4
2 2
equação da continuidade
0
j
j
ω µε ωµ
ρ
ε
ωρ
∇ −∇ −
∇⋅ =
∇⋅ + =
∇⋅ =E E J
E
J
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 9
0j
j
j
ωρ
ρ
ωε
ω
∇⋅ + =
∇⋅
∇ ⋅
−
=
=
−∇⋅
J
J
E
J
Equação de onda para E-5
2
2
2
2
j
j
j
ω µε ωµ
ωµ ω µε
ωε
∇ −∇ −
 ∇ ⋅  −∇ −∇ = −
∇⋅
∇ ⋅
∇ ⋅
=
+ 
= −
E
J
E E J
J
E E
E
J
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 10
( )
2
2 2
2
equação de onda para 
j
j
j
j
ωµ ω
ω µε ωµ
ω
ω
µε
ε
ε
 ∇ ⋅  ∇ + = −∇
∇ ⋅  −∇ −∇ = −

+  
 
 

J
E E
E J
J
E
J
Equação de onda para H-1
j
j
j
ωε
ω
ω
µ
ε
∇×
∇×
∇×∇× = ∇× +
∇
−
× = +
=
E
E H
H J
H J E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 11
( )
2
j
j jω
ω
ε ω
µ
ω
µ
µε
∇×
∇×∇× = ∇× + −
∇×∇× = ∇×
−=
+
E H
H J H
H J H
Equação de onda para H-2
2
2 2
0
ω µε
ω µε
∇×∇× = ∇× +
∇ −∇ = ∇× +
∇⋅ =
∇⋅
H J H
H J H
B
H
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 12
( )2 2
0 0 para 0
equação de onda para 
0
ω µε
µ µ∇⋅ = →
∇⋅ =
∇ + = −∇
∇⋅ = =
×
H H
H J
B
H
Equações de onda região sem fontes
( )2 2
região sem fontes, 0 e =0
equação de onda para 
0ω µε
ρ=
∇ + =
J
E
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 13
( )2 2
equação de onda para 
equação de onda para
0
 
ω µε∇ + =
E
H
H
RELAÇÃO DE DISPERSÃO
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 14
Relação de dispersão-1
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 , ,
, , ( , , ) ( , , ) ( , ,
região sem fontes, 0 e =0
0
)
0
zx y
x y z
x y z E x y z x E x y z y E x y z z
ω µ
ρ
ε
ω µε
=
= + +
∇ + =
+∇ =
J
E
E
E
ɵ ɵ ɵ
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 15
( )
2 2 2
2
2 2 2
, , ( , , ) ( , , ) ( , ,
solução da equação de onda
componente 
( , ,
)
) 0
x
z
x
x y
E
x y z E x y z x E x y z y E x y z
E x z
z
y
x y z
ω µε
 ∂ ∂ ∂  + + + =  
= + +
∂ ∂ ∂ 
E
Relação de dispersão-2
( )
2
0
2 2 2
2
2 2 2
( , , ) exp
solução
( , , ) 0
x x x y z
x
E x y z E j k
E x y z
x
x k y k z
y z
ω µε
 = − + +  
 ∂ ∂ ∂  + + + =  ∂ ∂ ∂ 
∂
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 16
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
x x x
y y x
z z x
E x y z k E x y z
x
E x y z k E x y z
y
E x y z k E x y z
x
∂
= −
∂
∂
= −
∂
∂
= −
∂
Relação de dispersão-3
( )
2 2 2
2
2 2 2
0
, , : con
solução
( , , ) exp
stantes
( , , ) 0
x x
x
x y z
k k
E x y z
x
E x y z E j k x k y k z
y z
k
ω µε
 = −
 ∂ ∂ ∂  + + + =  ∂ ∂ ∂
+ +  

20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 17
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
, , : con
( , , ) 0
0
relação de dispersão
stantes
x y
x y z
x y
z x
x zy
z
k
k k
k k E x y
k
z
k k k
k k k
k
ω µε
ω µε
µεω
 − + + + = 
+ + = ≡

− + + + =
VETOR PROPAGAÇÃO
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 18
Vetor propagação e vetor posição
( )ponto de ob
vetor propa
servação 
gação
vetor posição
, ,
x y z
x y z
k x k y k z= + +k ɵ ɵ ɵ
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19
vetor posição
produto escalar
x y z
xx yy
k x k k z
zz
y= + +
= +
⋅
+
k
r
r
ɵ ɵ ɵ
ONDA PLANA
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 20
Onda plana-1
( )0( , , ) exp
solução
x x x y z
E x y z E j k x k
k x k
y k
y
z
k z
 = − + +  
+ +⋅ =rk
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 21
( )0( , , ) exp
x y z
xx
k x k y
E x y z E
k
j
z
=
+ +⋅
⋅
=
−
rk
k r
Onda plana-2
( )
( ) ( ){ }0
0
solução no domínio do tempo
( , , , ) Re exp exp
( , , ) exp
x
x x
x
E x y z t E j j t
E x y z E j
k
ω= − ⋅
    
=
=
− ⋅
k r
k k
k r
ɵ
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 22
0
0
( , , , ) Re ex
( , , , ) cos
p
x x
x x
E x y z t E
E x y z t E t
t k
k
j
ω
ω
ω
ω
        = − ⋅   
    = − ⋅
  
  
   
k
k
r
r
ɵ
ɵ

 
  
 
Plano de fase constante-1
0
0 0
instante e 
( , , , ) cos
x x
E
t t
x y z t E t k
ω
ω
ω
    = − ⋅      
=
r
k ɵ
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23
( )
( )
1
1
fase constante: 
cos
cos : projeção de na direçã o 
C
k
cte C
θ
θ
⋅
  
≡=
⋅ = =k r k r
r
r
r
k
ɵ
Plano de fase constante-2
y
1
C⋅ =k r
( )cos cteθ =r
k
Direção de
propagação
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 24
x
( )cos cteθ =r
1
r
2
r
1
θ
2
θ
Plano de fase constante-3
y
2
C⋅ =k r k
Direção de
propagação
1
C⋅ =k r
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 25
x
0
t t=
0
t t>
Vetor propagação
y
( )
2 2 2 2 2
esfera de raio 
no sistema , ,
x y z
k
k k k k
x y z
ω µ
ε
ε
ω µ+ + = ≡
=
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 26
x
z
k
Onda plana uniforme
se a superfície de fase constante
é um 
se o
plano onda plana
amplitude constante
 p
o
ta
n
lano é 
da plana uniforme
dembém 
→
→
y
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 27
y
x
2
C⋅ =k r k
Direção de
propagação
0
t t=
0
t t>
1
C⋅ =k r
Equações de Maxwell e onda plana-1
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
, ,
exp
, ,
rotacional de , ,
, , exp
x y z
x y z
j
x y z
x y z
x y z j k x k y k z
    = − ⋅ 
  
 ∇× = ∇× − + +  
EE
k r
HH
E
EE
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 28
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
,
, ,
,
,
,
,
,
x
x y z
y z
x y z x y z
x y z
j k x k
x y
y k z
z
x y
z
z
j x y
 ∂ ∂ ∂  + + × =   ∂ ∂ ∂ 
− +

+

∇× = − ×
 
×
E
E
EE k
ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ ɵ
Equações de Maxwell e onda plana-2
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
, ,
exp
, ,
divergente de , ,
, , exp
x y z
x y z
j
x y z
x y z
x y z j k x k y k z
    = − ⋅ 
  
 ∇ ⋅ = ∇ ⋅ − + +  
EE
k r
HH
E
EE
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 29
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
, , exp
,
, ,
,
,
,
,
,
x
x y z
y z
x y z j k x k y k
x y z x y z
x y z
j k x k
x y
y k z
z
x y
z
z
j x
z
y
 ∂ ∂ ∂  + + ⋅ =   ∂ ∂ ∂ 
− +
∇⋅ = ∇ ⋅ − + +
+

∇ ⋅ = − ⋅
 
⋅
E
E
E
E
E
E k
ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ ɵ
Equações de Maxwell e onda plana-3
( ) ( )
( ) ( )
re
, , , ,
, , , ,
gião sem fontes
; 
0; 0
x y z
j j
j x y z
x y z j x y z
ω ω∇× = − ∇× = −
∇⋅ = ∇ ⋅
∇× = − ×
∇⋅ = −
=
⋅
E B
E k E
E
D
k
H D
E
B
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 30
( ) ( )
0
0
, , , ,x y z j x y z
ω
ω× =
× = −
∇⋅ = −
⋅
=
⋅
=
⋅
k E B
k H D
k B
k
Ek
D
E
Equações de Maxwell e onda plana-4
( )
 ; 
0 ; 
região se
0
m fontes e meio isotrópico
0 0 0ε ε
ω ω
⋅ = → ⋅ = → ⋅ =
× = × = −
⋅ = ⋅ =
k D k
k E B k H D
k B k
E k E
D
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 31
( )
( )
0 é a 
0 
0 0 0
0
é a
0
 
0
ε ε
µ µ
⋅ = → ⊥
⋅ = →
⋅ =
⋅ = → ⋅ =
⋅ = → ⋅
→
= → ⋅ =
⊥
k D k
k E E k
k H
E k E
k B k H H
H
k
k
Equações de Maxwell e onda plana-5
0 é a 
0 é 
região sem fontes e meio is
 a
o
 
trópico
⋅ = → ⊥
⋅ = → ⊥
k E E k
k H H k
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 32
( )
( )
 é a 
 é anti- a 
ωµ
ωε
× = → ×
× = − → ×
k E H k E H
k H E k H E
�
�
Equações de Maxwell e onda plana-6
x
k
E
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 33
y
z
k
H
( ) é a ×HE k�
Impedância intrínseca do meio
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
exp
exp
1
exp
: impedância intrínseca do meio
x z
z
x z
x z
z xE jk z
k
z y E jk z
z y E jk z
ωµ
η
η
µ
= −
= −
= −
=
E
H
H
ɵ
ɵ
ɵ
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 34
0
0
: impedância intríns
377 
eca do meio
para onda plana
µ
ε
η
η
η
µ
ε
= = Ω
=
=
E
H
Campos no domínio do tempo
( ) ( )
( ) ( )
{ }
0
0
exp
1
exp
x z
x z
z xE jk z
z y E jk z
η
= −
= −
E
H
ɵ
ɵ
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 35
( ) { } ( )
( ) ( )00
00
, cRe
1
R
os
cose,
z
z
j
x
z
k z j t
x
jk j
x
z t
x
z
z t xE t
E
z
k z
t y t k z
xE e e
y E e e
ω
ω
η
ω
η
ω
−
−
=
   = −= 

=
 
−
H
E
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
Onda plana
20/04/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 36
Propagação da onda eletromagnética plana
direção
de
propagação
direção
de
propagação
deslocamento em bloco
da forma de onda
t0 t1 > t0
vetor propagação
k
20/04/2012 37SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL