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En un momento en que todos los currículos moder-
nos hablan de conectar la matemática a la realidad coti-
diana y otras competencias, es bueno reflexionar sobre
lo específico de las relaciones entre la competencia
artístico-cultural y la matemática. 
Si bien este libro aporta más reflexiones sobre la
pintura, no se deja de lado la arquitectura, el diseño, los
mapas, el uso de las TIC, la escultura y la música. Se res-
pira a Pitágoras, Barents, Durero, Leonardo da Vinci y
Ghyka, pero también a Rafael, Botero, Dalí, Oldemburg,
Borrás, Van der Lan, Le Corbusier y muchos otros artis-
tas. Se decide hablar de proporciones desde lo geométri-
co y numérico, porque es un tema recurrente y fecundo
en esta conexión entre lo artístico-cultural y lo matemá-
tico, que ha apasionado a toda la humanidad.
El libro pretende llegar a un público amplio, con la
ayuda de un discurso fácil y gran profusión de imágenes.
Las experiencias de aula no sólo quieren ser para los
docentes o iniciados, sino precisamente para convencer-
nos de que todos podemos conectar mediante las pro-
porciones el arte y la matemática. 
La proporción: 
arte y matemáticas
Joaquín Giménez (coord.), O.J. Abdounur, E. Badillo, 
S. Balbás, F. Corbalán, J.M. Dos Santos, M. Edo, 
J.A. García Cruz, A. Masip, V.W. Spinadel
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Joaquín Giménez (coord.). Catedrático de didáctica
de las matemáticas. Profesor de la Facultad de
Formación del Profesorado de la Universidad
de Barcelona.
Oscar João Abdounur. Profesor titular del
Departamento de Matemáticas de la Universidad
de São Paulo (Brasil). 
Edelmira Badillo. Doctora en didáctica de las
matemáticas por la Universidad Autónoma de
Barcelona y profesora de la escuela primaria La
Salle en Badalona (Barcelona). 
Sara Balbás. Diplomada en educación infantil por
la Universidad Autónoma de Barcelona y espe-
cialista en educación en el tiempo libre.
Fernando Corbalán. Profesor de secundaria y
de la Facultad de Educación de la Universidad de
Zaragoza. 
José Manuel Dos Santos. Profesor de secundaria
y profesor asociado del Instituto Politécnico de
Oporto (Portugal).
Mequè Edo. Maestra de primaria y profesora
titular de didáctica de las matemáticas de la
Universidad Autónoma de Barcelona. 
Juan Antonio García Cruz. Profesor titular de
didáctica de las matemáticas en la Facultad
de Formación del Profesorado de la Universidad de
La Laguna (Santa Cruz de Tenerife).
Alícia Masip. Maestra de educación infantil en el
CEIP Bellaterra de Cerdanyola (Barcelona) que per-
tenece a la Universidad Autónoma de Barcelona.
Vera W. Spinadel. Profesora titular de diseño y
matemáticas de la Facultad de Arquitectura de la
Universidad de Buenos Aires (Argentina).
OTROS TÍTULOS DE BIBLIOTECA DE UNO:
Las matemáticas de los no matemáticosF. Corbalán
Educación matemática y exclusión
J. Giménez, J. Díez Palomar, M. Civil (coords.)
Matemáticas e interculturalidad
J.M. Goñi (coord.)
Conexiones matemáticas
Motivación del alumnado y competencia matemáticaT. Ortega
Matemáticas e Internet
F. Velázquez (coord.)
La construcción del lenguaje matemáticoM. Alcalá
El currículum de las matemáticas en los inicios del siglo XXIJ.M.a
Goñi (coord.)
Matemáticas en Europa: diversas perspectivas
J. Giménez (coord.), P. Abrantes, L. Bazzini, comisión CIEAEM,
Grup 100, Ch. Keitel, M. Klakla, J.M. Kraemer, S. Romero
La actividad matemática en el aula
Homenaje a Paulo Abrantes
J. Giménez, L. Santos, J.P. da Ponte (coords.)
OTROS TÍTULOS DE LA SERIE DIDÁCTICA 
DE LAS MATEMÁTICAS:
Educación matemática y buenas prácticas
N. Planas, À. Alsina (coords.)
Conversaciones matemáticas con Maria Antònia Canals
O cómo hacer de las matemáticas un aprendizaje apasionanteP. Biniés
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-2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemáticaJ.M.a
Goñi Zabala
Matemáticas de la vida mismaF. Corbalán
Matemáticas de la vida cotidianaF. Corbalán
Repensar el aprendizaje de las matemáticas
Matemáticas para convivir comprendiendo el mundo
C. Gallego, M. Pons, C. Alemany, M. Barceló, M. Guerra y otros
Biblioteca de Uno
La
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át
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as
ISBN 978-84–7827–777-3
EDIT000206/-/PUB0124452/-/J.J.
La proporción: 
arte y matemáticas 
Joaquín Giménez (coord.), O.J. Abdounur, E. Badillo, 
S. Balbás, F. Corbalán, J.M. Dos Santos, M. Edo, 
J.A. García Cruz, A. Masip, V.W. Spinadel
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Biblioteca de Uno
Serie Didáctica de las matemáticas
Directores de la colección: M.a Luz Callejo de la Vega, Fernando Corbalán Yuste, Joaquín Giménez
Rodríguez, Jesús M.a Goñi Zabala, José Muñoz Santoja
© Joaquín Giménez Rodríguez (coord.), Oscar J. Abdounur, Edelmira Badillo Jiménez, Sara
Balbás Altés, Fernando Corbalán Yuste, José M. Dos Santos Dos Santos, Mequè Edo Basté, Juan
A. García Cruz, Alícia Masip Barrafón, Vera W. de Spinadel
© de esta edición: Editorial GRAÓ, d'IRIF, SL
C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona
www.grao.com
1.a edición: noviembre 2009
1.a reimpresión: enero 2010
ISBN: 978-84-7827-777-3
Diseño de cubierta: Xavier Aguiló
Impresión: Publidisa
Impreso en España
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fragmentos de esta obra, diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org).
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D.L.: B-48221-2009 
Índice 
1. Proporción, belleza y educación matemática, Joaquín Giménez | 7
Forma, funcionalidad, arte y escuela | 9
Proporciones frente a formas | 10
Proporción y arte: belleza y armonía | 13
Proporción, arte y educación matemática | 16
Comentarios finales | 20
Referencias bibliográficas | 22
2. Cartografía, matemáticas y navegación. El arte de encontrar puerto, Juan Antonio
García Cruz | 25
La navegación costera | 26
La rosa de los vientos (el rumbo) | 28
La navegación a estima | 29
La navegación astronómica | 32
Navegando por una tierra esférica | 36
La carta náutica de Mercator–Wright | 39
Aplanando la esfera | 41
. Proposición. Dados la diferencia de latitud y la distancia, encontrar el curso o 
rumbo | 42
Hacia una cartografía científica | 45
3. La familia de números metálicos, Vera W. de Spinadel | 47
Sucesiones de Fibonacci | 47
La familia de números metálicos | 48
Propiedades aditivas | 51
Sistemas de proporciones | 53
Esculturas fractales de St. George | 55
Comentarios finales | 57
Referencias bibliográficas | 58
4. Razones, proporciones y pensamiento proporcional en la música pitagórica: 
un abordaje histórico-didáctico, Oscar João Abdounur | 61
El experimento de Pitágoras con el monocordio y la composición de razones | 63
La composición de razones e intervalos musicales en la enseñanza de las matemáticas | 66
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Razones y proporciones en la construcción de escalas y la música pitagóricos | 71
El temperamento: de las razones matemáticas a los números irracionales | 73
El Renacimiento: persistencia del pensamiento proporcional pitagórico 
y la emergencia de la música como ciencia experimental | 77
La consonancia: de la aritmética especulativa basada en razones pitagóricas 
a los fundamentos físico-experimentales | 79
El sonido de los planetas: razones y proporciones en la armonía cosmológica pitagórica | 82
Comentarios finales | 85
Referencias bibliográficas | 85
5. El Geogebra y el análisis de relaciones matemáticas en el arte, 
José Manuel Dos Santos | 87
Los números mórficos: proporciones usadas en el arte | 88
. ¿Qué quiere decir número mórfico? | 89
Mondrian y las proporciones | 92
Almada Negreiros. La década y décima | 93
Rafael y las relacionesgeométricas | 96
Norman Dilworth: disecciones y transformaciones geométricas | 97
Comentarios finales | 101
Referencias bibliográficas | 102
6. La proporción áurea, el diseño y la naturaleza, Fernando Corbalán | 103
Definición | 103
Rectángulos áureos | 106
Espiral áurea | 107
El número de oro y la estrella pentagonal | 108
La razón áurea en el ser humano: el hombre ideal de Leonardo | 109
La arquitectura y Φ | 113
La proporción áurea en el diseño | 115
Los mosaicos de Penrose | 117
Crecer conservando la forma | 118
Referencias bibliográficas | 121
. Bibliografía web | 121
7. Identificación y comparación de formas y longitudes. Niños de cuatro años 
y la escultura «Live BAC!», Mequè Edo, Sara Balbás, Alícia Masip | 123
Observación de la fotografía de la escultura | 125
Excursión para conocer la escultura | 126
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Creación de nuestra propia escultura | 130
. Decisiones respecto a la escultura que deseamos crear | 130
. Esbozos de lo que queremos hacer | 131
. Elaboración de la escultura | 132
Representación proporcional de cada niño al lado de la escultura | 134
Comentarios finales | 138
Referencias bibliográficas | 140
8. Viaje escolar sobre proporciones y desproporciones: de Oldenburg a Dalí, 
pasando por Botero, Edelmira Badillo, Joaquín Giménez | 141
Gulliver y Oldenburg. Formas que cambian de tamaño | 142
Las desproporciones y la obra de Botero | 144
Uso de las proporciones en la obra de Dalí | 148
Una experiencia daliniana de reflexión arte-proporción en primaria | 150
. Momento 1. Aproximación perceptiva y emotiva en Oldenburg, Botero y Dalí | 152
. Momento 2. Descripción y lenguaje de los elementos de la obra | 154
. Momento 3. Modelización estructural matemática de las composiciones | 155
. Momento 4. Síntesis creativa. Interpretación e instrumento 
para la creación artística | 158
Referencias bibliográficas | 161
. Bibliografía web | 161
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Proporción, belleza y educación
matemática
Joaquín Giménez
Universidad de Barcelona
Las relaciones entre proporciones, arte y geometría han planeado en la
reflexión educativa de forma clave en el siglo XX, cuando surgen las ideas
neoplatónicas que tratan de reconocer estructuralmente los fenómenos de
repetición y crecimiento como base del pensamiento científico (D’Arcy
Thompson, 1963; traducido al español sólo en 2003). De las muchas facetas
que hay que considerar, nos centraremos en las relaciones que tienen que
ver fundamentalmente con lo geométrico, aunque en algún momento será
inevitable hablar de las relaciones aritméticas que explican las relaciones
con la música. Y el hecho es que el siglo XX no sólo fue importante en la po-
pularización de las artes, sino también en la popularización de la ciencia. Y
todo ello mediante el hecho educativo. En efecto, no sólo desde las mate-
máticas escolares hay experiencias de reconocimiento de los valores inter-
disciplinarios, sino que en las facultades de artes, ingeniería y arquitectura
en todo el mundo hay matemáticos preocupados por hacer real las mate-
máticas. Y aparecen genios artistas que buscan reconocer la fuerza de las
ideas científicas. 
Hay un momento importante, en el caso de los trabajos en lengua his-
pana, que se relaciona con la aparición de la traducción castellana del libro
de Dan Pedoe, La geometría en el arte (1979), que los que entonces estába-
mos en la escuela, lo convertimos en libro de cabecera para darnos ideas de
qué hacer en nuestras aulas. Desde Vitruvio hasta la geometría proyectiva,
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se realizaba ahí, de forma fenomenal, una reflexión sobre las conexiones
arte-geometría o más concretamente proporción-belleza que nadie nos
había contado antes de los años 1970 en nuestra formación matemática es-
colar y universitaria. 
Ya no se trataba de mostrar sólo el uso de las proporciones como con-
cepto, idea y resolución de problemas aritméticos, sino que un matemático
vinculaba la matemática con la historia de la cultura. Pedoe nos mostraba
ya ahí cómo Vitruvio no sólo aludía a Pitágoras sino también al filósofo Aris-
tipo, naufragando en la costa de Rodas, y, al mismo tiempo, nos recordaba
cómo en las novelas policíacas inglesas, los policías siempre miden seis pies
(Pedoe, 1979, p. 22). Asimismo, de forma magistral, se veían las múltiples re-
laciones entre los procedimientos de diseño que permiten reconocer pro-
porciones, como: la bisección y trisección de ángulos, y la división en 1/15
que ya era usada por Vitruvio desde la antigüedad. 
Refrescando esa lectura, podemos reconocer que, aunque en la óptica de
Euclides se había identificado el concepto de sistema visual centrado en el ojo
humano, debió pasar mucho tiempo hasta que Brunelleschi reconociera que
debía interpretarse como la intersección de la pirámide euclidiana con un
plano. Y aunque precisamente Pedoe y otros autores nos estuvieran hablando
de la perspectiva, también nos mostraban los fenómenos relacionados con la
proporción en otro sentido, el que llevó a Durero a distinguir reglas en la pro-
yección vinculadas a la proporción, y que han permanecido hasta nuestros
días. Asimismo, nos sorprendíamos de cómo un matemático nos hablaba de la
emoción de los hombres del Renacimiento en el uso de los procesos construc-
tivos, que le lleva al análisis de los diseños gráficos que ha usado como buena
muestra de que debíamos recuperar en nuestra formación escolar las cone-
xiones que estuvieron presentes históricamente entre matemáticas y arte. 
Por supuesto que en obras como la de Pedoe, se empezaba a desmontar
el mito de que debemos interpretar fenómenos y procesos en la historia de
forma que siempre mantengamos la cronología de los hechos. Así, para poder
entender la obra de Euclides, es bueno empezar por hablar antes de Durero e
incluso relacionarlo con el álgebra de grupos. Y en esa visión se estaba avan-
zando a lo que ahora nadie discute en educación matemática, en cuanto que
los puntos de partida escolares deben ser los fenómenos visibles, y no pre-
tender iniciar el estudio de la geometría evocando procesos de demostración
como base del conocimiento, aunque fueran más antiguos. Lo visual, lo anecdó-
tico y lo sensible debe ir siempre por delante en cuanto que pertenece al
dominio de lo concreto para la formación de nuestros estudiantes. 
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Forma, funcionalidad, arte y escuela
Muy diversos autores nos indican que las proporciones racionales son
las primeras que se estudian en la arquitectura, y casi siempre, desde muy
antiguo, se relaciona esto con la llamada pregunta por la forma o análisis de
la forma. Los estudiantes y docentes de arquitectura saben muy bien que la
idea del análisis de las formas arquitectónicas encaja idealmente en la re-
flexión referida a su ideación y representación, que es la de la arquitectura
misma en tanto que objeto de diseño y configuración, y enlaza con la dis-
cusión cultural de las últimas décadas. Es importante citar el modo en que
el análisis gráfico se sitúa habitualmente como un elemento percutor, pero
nunca único, y se añade al análisis, la reconstrucción y reconfiguración que
viene de la interpretación necesaria que tiene un componente creativo y
personal. 
Esa idea global, pero profesional en el caso de los arquitectos, se ha
perdido en la enseñanza de las matemáticas escolares, puesto que durante
mucho tiempo, el estudio de la forma en las clases de matemáticas se aso-
cia a las figuras geométricas y sus propiedades. Así, se habla de la forma rec-
tangular como característica que tiene ciertas propiedades de paralelismo y
ángulos iguales, pero no se llega a plantear en paralelo la idea de que la
forma se asocia a los objetos equivalentes por una transformación que
puede ser una proyectividad. Los rectángulos son importantes porqueson
rectángulos, pero no por su vertiente métrica que si no son transformados
por una semejanza, no tiene la misma forma realmente en el sentido más
coloquial de la palabra. Y la metodología que parte de la observación de edi-
ficios, que es indiscutible en la enseñanza de la arquitectura, aún no ha
triunfado en las aulas de matemáticas. 
La secuencia clave en la constitución del análisis de la forma que se ini-
cia con la observación, y sigue con la reproducción, el reconocimiento, el es-
tudio, y luego con el análisis y rediseño, implica elegir algo en lo que nos
interesamos (motivador, significativo y concreto) e implica una toma de de-
cisiones. Nos parece que este proceso es clave en el aprendizaje de la pro-
porción, de forma que se conecte con el espíritu constructivo que inspira los
currículos actuales, y que conecte con el arte, la cultura y la reconstrucción
de la historia de las ideas científicas.
La observación y el dibujo, junto a la medida, que fueron técnicas usa-
das de forma elemental, han de permitir identificar puntos de partida im-
portantes para el análisis. Y esta idea se vehicula perfectamente con el
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hecho de reconocer las matemáticas como ciencia de patrones y estructu-
ras. Reconocer estructuras de forma implica identificación de reglas, que
tradicionalmente han sido las reglas de las proporciones, pero también las
de composición y descomposición. 
La idea de forma, ciertamente, parecía estar referida a la clásica distin-
ción entre forma y fondo (o contenido), pero ahora en su evolución actual
se sugiere que fondo y forma se relacionan entre sí como se suele ver en el
terreno de lo artístico. En efecto, es claro que no puede separarse limpia
o tajantemente del llamado «fondo»: la forma condiciona decisivamente ese
tal «fondo» y a menudo hasta lo constituye. La pintura de Mondrian, y Kan-
dinski, la música llamada concreta y los caligramas, entre otras manifesta-
ciones, han puesto de manifiesto que fondo y forma no pueden disociarse.
De un modo semejante, en arquitectura y diseño, forma y función tampoco
pueden separarse. 
Trabajar con formas en la escuela y estudiar ese aspecto de las mate-
máticas en la relación proporción y belleza significa tratar las dos acepcio-
nes: por una parte, la de la forma como figura o aspecto del objeto; y por
otra, la que atiende al proceso creativo del que viene a constituir el fruto o
resultado. Precisamente, es en el establecimiento de esa relación que pode-
mos distinguir la forma como característica de lo matemático y diferenciar-
la de lo no matemático. Y eso implica tratarlo también como lenguaje y como
resultado de un proceso de formalización y de transformación cultural. 
Proporciones frente a formas
La proporción más simple es la reproducción igual que llamamos 1:1,
pero inmediatamente podemos pensar en la reproducción especular que real -
mente sería 1:(-1). Esa idea de reproducir o trasladar, que es interpretada
desde la geometría kleiniana como el mantenimiento de un cierto grupo de
transformaciones, es la que parece inspirar a los artistas del Renacimiento a
añadir capillas semicirculares a las iglesias, para conservar el grupo de sime-
trías (Weyl, 1966, p. 66). 
Desde tiempos lejanos, algunas tribus y culturas han usado procesos de
alargamiento exagerado de los miembros del cuerpo humano, queriendo
romper la forma natural mayoritaria. Con ello se trataba de reconocer en la
exageración y la deformación ciertas formas de poder de un grupo social
sobre otro. El análisis que algunos autores del Renacimiento hacen de este
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proceso de deformación permitió con-
jeturar que las relaciones coordenadas
posibilitaban la identificación de propor -
ciones regulares. Aunque el trabajo ci-
tado de Pedoe parecía centrarse en la
perspectiva a partir de Leonardo da
Vinci, también nos dice mucho sobre
las proporciones. A lo largo del análisis
de Durero y su reflexión creativa, nos
ilustramos en el hecho de que en su
libro tercero se conocían diversos mé-
todos usados por el artista para cambiar las proporciones de cualquier figu-
ra (véase el cuadro 1).
Estas aplicaciones que tratamos normalmente como semejanzas, a
veces se convierten en transformaciones no semejantes sino afines.
Leonardo da Vinci, al traducir a Vitrubio, el arquitecto romano, dice en
su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuer-
po humano como sigue:
[...] que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1
codo, 4 codos hacen la altura del hombre. Y 4 codos hacen 1 paso, y que 24
palmas hacen un hombre; y estas medidas son las que él usaba en sus edi-
licios. Si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya
1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al nivel del
borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus
extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre
las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendi-
dos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta
la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la
punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su es-
tatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un
sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo
será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de
arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los
hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo
a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al
ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será
la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad
del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie
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Cuadro 1. Propuesta de Durero
para cambiar las proporciones de cual-
quier figura
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hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de
la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La
distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el naci-
miento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una
tercera parte del rostro. (Charlín y otros, Textos completos de Leonardo
da Vinci...)
El esquema vitruviano trata de modelizar columnas, estructuras de las
naves de los templos, puertas, etc. Y, por tanto, se trata de una manera de
analizar la forma mediante el elemento matemático que llamamos propor-
ción. Este afán es importante puesto que se puede convertir en modo de
acción para identificar lo característico de los llamados órdenes arquitectó-
nicos, y es, sin duda, la base de los principios místicos de múltiples rela-
ciones escondidas en la naturaleza (véase el cuadro 2).
En el caso de la arquitectura se distinguen cuatro tipos de formas:
forma espacial, forma corpórea, forma visible e intención o propósito (Fran-
ki, 1981). Estudiar los elementos matemáticos que son característicos de
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Cuadro 2. Imágenes clásicas de la visión de Vitruvio
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ciertos artistas u obras desde la mirada de estos cuatro tipos, es una mane-
ra de acercarnos a los elementos, usos y técnicas de los propios artistas y su
ideal de belleza. Así, por ejemplo, es interesante identificar que en la obra
gaudiniana se dan tres elementos íntimamente relacionados con la propor-
ción: la traslación, el consecuente efecto cenefa, que Gaudí usa en muchas
partes (Bellesguard, en los arcos del colegio de las Teresianas, en el rosario
de esferas de piedra del Parc Güell, etc.), la simetrización (usado en facha-
das de las casas Calvet y Batlló, la escalinata de acceso al Parc Güell, las
plantas del Palacio Episcopalde Astorga y de la Sagrada Familia, etc. ) y la
modulación (usada en el Parc Güell, el sistema de medidas (módulo de 7,5
metros) y proporciones de la Sagrada Familia (1, 1/3, 1/4, 1/2, 3/4, 2/3, 1) y
el reticulado de la estructura de la Casa Milà). Añadir a las observaciones,
cálculos y medidas, las explicaciones que han realizado los especialistas co-
rrespondientes permite integrar los cuatro tipos de formas: lo que vemos
particularmente en relación con lo general, los objetos y su corporeidad, lo
que vemos y las intenciones.
En pintura, Ernst Gombrich ha observado, a propósito del análisis y la
interpretación del arte en general, y la forma pictórica, en particular, que no
hay una sola interpretación válida y canónica sino tan sólo diferentes pre-
guntas e hipótesis que, puestas en relación, se enriquecen mutuamente
dando lugar a «... líneas diferentes de búsqueda» (Gombrich, 1981, p. 229). 
El caso de la música es paradigmático y recibirá una atención especial
en otro capítulo de este libro, dado que el autor centra el trabajo en con-
tarnos el devenir de esta relación y no vamos a desvelarlo ahora. 
Para concluir con este apartado, digamos que el análisis de las obras de
arte y el reconocimiento de sus patrones constructivos en relación con su
funcionalidad e impacto, tienen para algunos autores cierto paralelismo con
los juegos, y la importancia de conocer sus reglas. En efecto, un dominio del
juego convierte al que lo hace en maestro como conocedor de las reglas y
el máximo aprovechamiento de sus posibilidades. Y algo parecido pasa
cuando en el arte se habla de obra maestra (Gombrich, 1981). 
Proporción y arte: belleza y armonía
Trabajar con las formas implica identificar relaciones de parte/todo que
nos permiten observar que en objetos diferentes (entendidos como un todo)
hay estructuras semejantes o semejantes y transformadas. Ya en la obra es-
13
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tética de Aristóteles, la idea de belleza se asocia a la de organizar la totali-
dad con relación a sus partes. Y lo mismo en Leo Battista Alberti, definida
alrededor de la noción de concinnitas, entendida como armonía o concor-
dancia de las partes en el todo que constituyen. 
Y junto a ese ideal se encuentra la noción de diastema (διαστεμα)
que escuchamos en boca de dentistas y ortodoncistas. El diastema es el es-
pacio que se da entre los dientes, generalmente en medio de los dos cen-
trales incisivos superiores. Esto pasa cuando hay una diferencia de
proporción en tamaño entre los dientes y la arcada. Pues precisamente
diastema es la palabra griega que indica razón o proporción, que da lugar
a reconocer que las relaciones entre el monocordio pitagórico son bastan-
te parecidas pero no exactamente iguales. De un modo semejante, armo-
nía significa «equilibrio en las proporciones entre las distintas partes de un
todo», y en general, connota belleza. αρμóνια (harmonía), que significa
‘acuerdo, concordancia’ y éste del verbo αρμóζω (harmozo) ‘ajustarse, co-
nectarse’. Las diversas ideas de fracción como forma de expresar la rela-
ción entre partes y todo de forma no aditiva, y como relación entre
magnitudes se encuentran pues claramente relacionadas en la propia idea
de razón proporcional y asimismo relacionada con la idea de que lo bello
se asocia a lo canónico. 
Muy diversos matemáticos han recordado a lo largo de la historia de la
humanidad que la búsqueda de belleza es un criterio importante que utili-
za la proporción. Los artistas han usado la idea de proporción básicamente
para introducir realismo a sus obras, y la deformación o alargamientos para
promover la ruptura y la distinción. Pero también para interpretar valores
que quieren evidenciarse. Parece que la propia construcción del Partenón se
realiza estructuralmente tal como indica el propio Vitruvio. 
[…] El primer templo… que vieron construido estaba en una ciudad de los
dorios. Como quisieron poner columnas en este templo y no tenían la
medida de las proporciones, investigaron cómo hacerlas para que no
sólo fuesen aptas para soportar la carga, sino que también fuesen de as-
pecto agradable por sus proporciones. Midieron la huella del pie huma-
no y la relacionaron con su altura. Cuando supieron que el pie era la
sexta parte de la altura de un hombre, transfirieron esta relación a la co-
lumna. Hicieron la altura del fuste, incluido el capitel, seis veces mayor
que la anchura de su base. Así fue cómo la columna dórica aportó a los
edificios las proporciones de un cuerpo varonil y su solidez y belleza. (Vi-
trubio, 1992, pp. 4-6)
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