Ejercicios resueltos de variable vectorial limite continuidad

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INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL. 
 
CÁLCULO INFINITESIMAL. 
 
HOJA 4: FUNCIONES DE VARIABLE VECTORIAL. LÍMITE Y CONTINUIDAD. 
 
EJERCICIOS 
 
 
1. Encontrar el dominio de las siguientes funciones: 
 1.1. 
xy
xyxf
2
9),(
2
−
−
= 
 1.2. ( ) 





−
−−=
yx
xyxyxf 1,2L,),( 
 1.3. ( ) 




 +−−−+= yxyxyxyxf LL,16L,4),( 2222 
 
2. Calcular: 
( )xyxyxxyyx
yx
+++
→
2222
),(
),)(sen(,lim
0
 
 
3. Calcular los siguientes límites: 
 3.1. 
yx
yx
yx 24
3lim
)2,1(),( −+
+−
→
 
 3.2. 
x
yx
yx
senlim 2
),4(),( π→
 
 3.3. 
yx
yx
yx 32
23lim
)0,0(),( −
−
→
 
 3.4. 22)0,0(),(
2lim
yx
yx
yx +
−
→
 
 3.5. 
yx
x
yx +→ )0,0(),(
lim 
 3.6. )L(lim 2222
)0,0(),(
yxyx
yx
+
→
 
 3.7. 22
2
)0,0(),(
lim
yx
yx
yx +→
 
 3.8. 2/322
22
)0,0(),( )(
lim
yx
yx
yx +→
 
 3.9. 22
2
)0,0(),(
lim
yx
x
yx +→
 
3.10. 
22)0,0(),(
lim
yx
yx
yx +→
 
3.11. 22
22
),(
)(lim
yx
xy
yx +
−
→0
 
3.12. )sen(xlim 22
),(
y
x
y
yx
+
→0
 
 2/3
3.13. 
22),(
)sen(lim
yx
yx
yx +
−
→0
 
3.14. 222
2
),,(
lim
zyx
zxy
zyx ++→0
 
 
4. Analizar la continuidad de las siguientes funciones: 
 4.1. 





=
≠
+=
)0,0().(0
)0,0(),(
)/(),( 222
22
yxsi
yxsi
yxyx
yx
yxf 
4.2. 





=
≠
+
−
=
)0,0().(0
)0,0(),(
),( 22
22
yxsi
yxsi
yx
yx
yxf 
4.3. 





=
≠
+
+
=
)0,0().(0
)0,0(),(1cos)(
),( 22
2
yxsi
yxsi
yx
yx
yxf 
4.4. 





=
≠
+
+
=
)0,0().(0
)0,0(),(1cos)(
),( 22
22
yxsi
yxsi
yx
yx
yxf 
4.5. 





=
≠
+=
)0,0().(0
)0,0(),(2
),( 22
yxsi
yxsi
yx
xy
yxf 
4.6. 




=+
≠+
+=
00
0
),(
yxsi
yxsi
yx
x
yxf 
4.7. 





=
≠
=
0
01sen
),(
2
2
ysix
ysi
y
x
yxf 
4.8. 





=
≠
+=
)0,0().(0
)0,0(),(
),( 22
yxsi
yxsi
yx
xy
yxf 
4.9. 




==+
≠≠+−+
=
−
)0,0(),(o141
)0,0(),(y14)14(
),(
22
22122
yxyxsi
yxyxsiyxx
yxf 
4.10. 





=
≠







+=
)0,0(),()0,0(
)0,0(),(sen,
),( 22
2
yxsi
yxsixy
yx
yx
yxf 
 
 
 
 
 
 
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SOLUCIONES 
 
1. 
[ ]{ }
{ }
{ }0,0,42);,(.3.1
,2);,(.2.1
2,3,3);,(.1.1
>><≤
>>
≠−∈
yxryx
yxxyx
xyxyx
 
 
2. (0,0,0) 
 
3. 3.1. 4, 3.2. 8 √2, 3.3. No existe, 3.4. No existe, 3.5. No existe, 3.6. 0, 
 3.7. 0, 3.8. 0, 3.9. No existe, 3.10. 0, 3. 11 a 3.13. No existe, 3.14. 0. 
 
4. 4.1. Continua en todo R2. 
 4.2. Continua en todo R2 salvo en 0. 
 4.3. Continua en todo R2. 
 4.4. Continua en todo R2. 
 4.5. Continua en todo R2 salvo en 0. 
 4.6. Continua en todo R2 salvo en la recta y = –x. 
 4.7. Continua en todo R2 salvo en el eje OX a excepción del origen. 
4.8. Continua en todo R2. 
4.9. Continua en todo R2 salvo en la elipse 4x2 + y2 = 1 y en el origen. 
4.10. Continua en todo R2. 
 
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