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Ing. Mario R. Modesti
2.1
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CORDOBA
DEPARTAMENTO ELECTRONICA
Carrera : Ingeniería Electrónica
Asignatura : Análisis de Señales Y Sistemas
Apéndice 2 : Señales básicas en tiempo discreto
Rev 1.2 Enero 2001
La variable independiente ( tiempo ) solo tiene valores en instantes discretos, y la
señal correspondiente, solo tiene valores en estos instantes discretos correspon-
dientes.
Funciones pares e impares
Una señal [ ]nx es una señal par si es idéntica a su reflexión alrededor del orígen
[ ] [ ]nn xx =−
Una señal será referida como impar si se cumple
[ ] [ ]nn xx −=−
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2.2
Función impulso unitario
≠
=
=
00
01
][ npara
npara
nδ
Transformada Zeta del impulso
( ) 11.ZZdd
0
0
n
[n]Z === ∑
∞
− ROC todo el plano Z
La muestra unitaria de tiempo discreto posee muchas propiedades que son un
paralelo muy cercano de las características del impulso unitario de tiempo continuo .
Por ejemplo, así como el impulso de tiempo continuo es la primera derivada del
escalón unitario de tiempo continuo, el impulso unitario de tiempo discreto es la
primera diferencia del escalón de tiempo discreto.
x[n] [n] = x[0] [n]δ δ δ [n] = u[n] - u[n -1] u[n] = [m]
m=-
n
δ
∞
∑
La secuencia de muestra unitaria retardada denominada δ [n - k] tiene un elemento
no nulo en el instante k.
≠
=
=− knpara
knpara
kn 0
1
][δ
Es también una potente herramienta analítica debido a su propiedad examinadora ,
derivada de que permite la extracción de un elemento de una secuencia completa.
Para demostrar esta propiedad evaluamos el valor de x[n] en el instante k que puede
ser escrito como :
x xk n k n
n
[ ] [ ] [ ]= −
=−∞
∞
∑δ
δ [n - k] es no nulo únicamente cuando su argumento es cero o sea n=k. Cuando
multiplicamos las dos secuencias término a término solamente el elemento simple
x[k] será no nulo.
De esta manera la secuencia puede ser usada para examinar un elemento simple de
la secuencia entera.
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2.3
Esta propiedad examinadora será muy importante en la convolución de filtros
digitales y secuencias de salida.
El rol de ][nTδ en tiempo discreto es análogo a el de tiempo continuo. La respuesta
en el dominio del tiempo de filtros digitales simples puede ser determinada
resolviendo la ecuación de diferencias por el método de inducción.
Deducir la respuesta al impulso del filtro, inicialmente relajado, lo que significa que
00][ <= nparaY nT
][][][ TnTnTnT YeXY −+=
α
][][ nTnTX δ=
][][][ TnTnTnT YeY −+=
αδ
11 ]0[][][]0[ =+=+= −− TTnT YeYeY
ααδ
αααα eeYeYeY TTT =+=+=+= − 1000 ]0[][][
ααααα 2
][]2[]2[ 000 eeeYeeY TTTT =+=+=+= −
. . . . . . . . . . .
αn
nT eY =][
Para representar la respuesta en el tiempo
00][ <→=
−∞
∞→ αparaeYLim nTn
010][ ===∞→ αparaeYLim nTn
0][ >∞→=
∞
∞→ αparaeYLim nTn
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2.4
MatLab
u=[1 zeros(1,19)];
figure(1)
k=0:1:19;
plot(k,u(1:20),'*'),grid;
Función escalón unitario
<
≥
=
00
01
][ npara
npara
U n
Transformada Zeta del escalón unitario
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2.5
( ) .....1
1 321000
][ ++++=
=== −−−
∞∞
−
∞
− ∑∑∑ ZZZZZZUU
n
nn
nZ
Desarrollando la serie geométrica
( ) 111
1
−
=
−
=
Z
Z
Z
U Z ROC 11
1
>< Z
Z
Esta secuencia es utlizada para definir el punto de inicio de una secuencia de
expresiones analíticas, por ejemplo
<
≥
=
00
0
][
npara
nparaa
X
n
n
podría ser escrita simplemente como X a u para todo nn
n
n[ ] [ ]=
Deducir la respuesta al escalón unitario
][][ nTnT UX =
][][][ TnTnTnT eXY −+=
α
][[][ TnTnTnT YeUY −+=
α
111 ][]0[]0[ =+=+= −− TT YeYeY
αα
αααα eeYeYeY TTT +=+=+=+= − 11111 ]0[][][
αααααα 2
][]2[]2[ 1)1(111 eeeeYeYeY TTTT ++=++=+=+= −
. . . . . . . . . . . . .
∑
=
=
n
k
k
nT eY
0
][
α
Llevando la expresión a una progresión geométrica para representar la respuesta en
el tiempo
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2.6
αααααα
αααααα
)1(322
322
][][
11
.....)(....)1(
+−=−−−++=
+++−+++=−
n
nTnT
eeeeee
eeeeeYeY
αα )1(
][ 1)1(
+−=− nnT eeY )1(
1 )1(
][ α
α
e
e
Y
n
nT −
−
=
+
Para α α α< = >0 0 0; ; podemos analizar la respuesta,
evaluando ∞→nparaY nT ][
)1(
1
][ αe
YLim nTn −
=∞→ para α < 0
1
)1(
)1(
][0
)1(
+==
−
−
→
+
nYLim
d
ed
d
ed
nTn
n
α
α
α
α
aplicando L’Hospital
para ; α = 0
∞→
−
≈
−
−
=∞→ 1)1(
1
][ α
α
α
α
e
e
e
e
YLim
nn
nTn para α > 0
MatLab
u=[1 ones(1,19)];
figure(2)
k=0:1:19;
plot(k,u(1:20),'*'),grid;
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2.7
Secuencias sinusoidales
Estas secuencias juegan un papel muy importante en el análisis en el dominio de la
frecuencia de los filtros digitales. Pueden ser de la forma Sen nTω o
Cos nTω .Hablando estrictamente, las unidades de ω son radianes por intervalo
de muestreo.
Las secuencias sinusoidales en tiempo discreto tienen una interesante propiedad
para la evaluación de secuencias en tiempo discreto por transformada de Fourier
Deducir la respuesta a una excitación senoidal
[ ]
<
≥
=
00
0
npara
nparanTSen
X nT
ω
[ ]
−ℜ=ℜ= − nTjnTjnT eJ
e
J
nTSenY ωωω
2
1
2
1
[ ] ][2][1 2
1
2
1
2
1
2
1
nTnT
nTjnTj
nT YJ
Y
J
e
J
e
J
Y −=ℜ−ℜ= − ωω
relajadoteinicialmenfiltroelparaeY nTjnT
ωℜ=][1
][][][ TnTnTnT YeXY −+=
α
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2.8
1]0[1
0
]0[1 =+= −TYeeY
α
αωαωαω eeYeeYeeY TjTjTT
Tj
T +=+=+= − ]0[1][1][1
αωαωαωαω
αωαω
222
][1
2
]2[1
2
]2[1
)( eeeeeee
YeeYeeY
TjTjTjTj
T
Tj
TT
Tj
T
++=++
=+=+=
+
−
. . . . . . . . . . .
αωαω nTjnnTj
nT eeeY ++=
+− )1(
][1
∑
=
−−− =+++=
n
k
TjkTjnTjnTj
nT eeeeY
0
)()(
][1 ).....1(
ωαωαωαω
Llevando a una progresión geométrica
)1(
)1(
][ Tj
nTjnnTj
nT e
ee
Y ωα
ωαω
−
++
−
−
=
Secuencia exponencial compleja
e nω
Para considerar la secuencia exponencial compleja, primero debemos establecer la
notación a utilizar, para un complejo cualquiera z=a+Jb, con parte real a e imaginaria
b. También puede expresarse en notación exponencial, como z z e z= arg . La
secuencia exponencial es importante para el análisis compacto de frecuencia de los
filtros digitales, y puede escribirse : e e eu Jv n un Jvn[ ] { }+ = , donde u y v son números
reales, cada elemento de la secuencia es expresado en notación compleja con
magnitud eun y fase vn.
Un caso especial de esta secuencia se dá cuando u=0.
e Cos n J Sen nJ nϖ ϖ ω= +( ) ( )
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2.9
Cos n
e eJ n J n
( )ϖ
ϖ ϖ
=
+ −
2
Sen n
e e
J
J n J n
( )ϖ
ϖ ϖ
=
+ −
2
Transformada Zeta de una exponencial
<
≥
=
±
00
0
][ npara
nparae
X
an
n
( )
aa
4a3a2aan0 a0
nan
0
n
[n]ZeZ
Z
Z
e
1
1
...
Z
e
Z
e
Z
e
Z
e
1
Z
e
ZeZXX
±±
±±±±
∞
±
∞
−±
∞
−
−
=
−
=
+
+
+
+
+=
=== ∑∑∑
Transformada Zeta de una función cosenoidal
[ ]
<
≥
=
00
0
npara
nparanTCos
X nT
ω
( ) { } { }
( )( )
( )
( )
( )( ) ( ) =
+−
−=
++−
−=
=
+−−
−−
=
−−
−+−
=
=
−
+
−
=+==
−−
−
−−−
−
−−−−
−−
−−−
−−−
−−−
−
2
2
21
1
21
1
211
1
11
11
11
21
1
1
2
1
2
2
1
11
11
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
Z
Z
ZnTCosZ
nTCosZ
ZeeZ
nTCosZ
ZZeZe
eeZ
ZeZe
ZeZe
ZeZe
eeZnTCosZ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
ϖ
ϖϖ
ϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ZX
( )
( )
1nTCosZ2Z
nTCosZZ
1nTCos2ZZ
nTCosZZ
22
2
+−
−
=
+−
−
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
Transformada Zeta de una función senoidal
[ ]
<
≥
=
00
0
npara
nparanTSen
X nT
ω
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2.10
( ) { } { }
( )( )
( )
( )
( )( ) ( ) =
+−
=
++−
=
=
+−−
−
=
−−
+−−
=
=
−
−
−
=−==
−−
−
−−−
−
−−−−
−−
−−−
−−−
−−−
−
2
2
21
1
21
1
211
1
11
11
11
211
12
1
11
11
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
Z
Z
ZnTCosZ
nTSenZ
ZeeZ
nTSenZ
ZZeZe
eeZ
JZeZe
ZeZe
J
ZeZeJ
eeZ
J
nTSenZ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
nTJnTJ
ϖ
ϖϖ
ϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ZX
( ) 1nTCosZ2Z
nTSenZ
1nTCos2ZZ
nTSenZ
22 +−
=
+− ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
Rampa unitaria
<
≥
=
0npara0
0para
R[n]
nn
( ) [ ] [ ] ==== ∑∑
∞∞
−
n
0
n
0
n
Z nUUnZkR
[ ][ ] ( )dZ
dU
ZnUZ Zn −= Propiedad de la derivada respecto a Zeta
[ ][ ] ( ) ( )( )[ ]Z1Z11Z1Z1)Z(Zdz
d
Z
1-Z
Z
dz
d
ZnUZ 211n
−−− −−+−−=−−=−=
[ ][ ] ( ) ( ) ( ) ( )222n 1Z
Z
1Z
Z1Z
Z
1Z
Z
1Z
1
ZnUZ
−
=
−
−−
−=
−
−
−
−=
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2.11
MatLab
T=1;
u=0:T:50*T;
figure(3)
k=0:1:19;
plot(k,u(1:20),'*'),grid;
