Lista 3 - Limites Fundamentais e Continuidade

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
LIMITES FUNDAMENTAIS - CONTINUIDADE
Prof.: Alonso Sepu´lveda Castellanos Sala 1F 106
a) Calcule aplicando os limites fundamentais.
1) lim
x→0
6x− sen x
2x+ 3sen 4x
2) lim
x→0
cos 2x− cos 3x
x2
3) lim
x→0
1− 2 cosx+ cos 2x
x2
4) lim
x→∞
(
1 +
2
x
)x
5) lim
x→∞
(
x
1 + x
)x
6) lim
n→∞
(
2n+ 3
2n+ 1
)n+1
7) lim
x→
3pi
2
(1 + cos x)
1
cos x 8) lim
x→∞
(
1 +
10
x
)x
9) lim
x→2
10x−2 − 1
x− 2 10) limx→−3
4
x+3
5 − 1
x+ 3
11) lim
x→1
3
x−1
4 − 1
sen [5(x− 1)] 12) limx→0
e−ax − e−bx
x
13) lim
x→0
sen 3(x/2)
x3
14) lim
x→−1
tg 3(x+1
4
)
(x+ 1)3
15) lim
x→pi
2
(1 + 1/tg x)tg x 16) lim
x→0
eax − ebx
sen ax− sen bx
b) Explique porque a func¸a˜o e´ descont´ınua no nu´mero dado. Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o.
1) f(x) =

x2 − 2x− 8
x− 4 se x 6= 4
em a = 4
3 se x = 4
2) f(x) =

1
x− 1 se x 6= 1
em a = 1
2 se x = 1
3) f(x) =

x2 − 1
x+ 1
se x 6= −1
em a = −1
6 se x = −1
4) f(x) = ln |x− 2| em a = 2
5) f(x) =

1− x se x ≤ 2
em a = 2
x2 − 2x se x > 2
c) Determine, se existirem, valores no domı´nio de f nos quais a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua.
1) f(x) =
{ x
x2 − 1 se x
2 6= 1
0 se x2 = 1
2) f(x) =
{ √
x2 + 5x+ 6 se x < −3 e x > −2
−1 se − 3 ≤ x ≤ −2
3) f(x) =
{
1− cosx se x < 0
x2 + 1 se x ≥ 0 4) f(x) =
x− |x|
x
5) f(x) =
2
ex − e−x 6) f(x) =
cosx
cos(x+ pi)
d) Calcule a de modo que as func¸o˜es abaixo sejam cont´ınuas.
1) f(x) =
{
x2 + ax+ 2 se x 6= 3
3 se x = 3
2) f(x) =
{
x+ 2a se x ≤ −1
a2 se x > −1
3) f(x) =
{
e2x se x 6= 0
a3 − 7 se x = 0 4) f(x) =
{
x2 − a2 se x < 4
ax+ 20 se x ≥ 4
e) Use a continuidade para calcular os seguintes limites.
1) lim
x→pi
sen(x+ sen x)
2) lim
x→1
ex
2−x
3) lim
x→2
arctg
(
x2 − 4
3x2 − 6x
)
f) Se f(x) = x2 + 10 · sen(x), mostre que existe um nu´mero c tal que f(c) = 1000.
g) Se f(x) = x3 − x2 + x, mostre que existe um nu´mero c tal que f(c) = 10.
h) Use o Teorema do valor intermedia´rio para mostrar que existe um nu´mero c positivo tal que seu
quadrado e´ igual a 2.
i) Mostre que existe uma raiz da equac¸a˜o no intervalo especificado.
1) x3 − 3x+ 1 = 0, (0, 1);
2) x2 =
√
x+ 1, (1, 2);
3) cosx = x, (0, 1);
O sa´bio ouvira´ e crescera´ em conhecimento, e o entendido adquirira´ sa´bios conselhos Pv. 1:5
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