Estados de Posição e Energia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Programa de Pós
Mestrado Profissional em Ensino de Física
 
Considere uma partícula que é
(veja a figura 1). A essas posições correspondem aos 
 
A partícula possui dois estados de energia
mostrados na figura 2 (os estados “fundamental” e “excitado”)
Os vetores correspondentes a esses estados de energia, 
 
1. Desenhe um diagrama representando os vetores de estado de posição e energia. 
Essas duas grandezas são compatíveis?
posição quanto a energia da partícula estejam bem definidos? Justifique sua resposta 
com o diagrama do item acima.
 
2. Esboce o gráfico da “função de onda” 
estados de energia. 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
Programa de Pós-Graduação em Ensino De Física 
Mestrado Profissional em Ensino de Física 
 
Mecânica Quântica 
C. E. Aguiar, 2014 
Lista de Exercícios 1 
que é encontrada em apenas duas posições, x
(veja a figura 1). A essas posições correspondem aos vetores de estado |+a
 
Figura 1 
 
A partícula possui dois estados de energia, E = 0 e E = ε, representados pelos níveis 
2 (os estados “fundamental” e “excitado”). 
 
 
Figura 2 
 
correspondentes a esses estados de energia, |0〉 e |ε〉, são dados 
|�0〉 � �
√�|�	
〉 	 �
√�|��
〉 
|�
〉 � �
√�|�	
〉 � �
√�|��
〉. 
Desenhe um diagrama representando os vetores de estado de posição e energia. 
Essas duas grandezas são compatíveis? Existe algum estado quântico
posição quanto a energia da partícula estejam bem definidos? Justifique sua resposta 
com o diagrama do item acima. 
Esboce o gráfico da “função de onda” ����� � ��|�� da partícula para cada um dos 
x+a− a
E
ε
0
 
x = +a e x = −a 
+a〉 e |−a〉. 
, representados pelos níveis 
dados por 
Desenhe um diagrama representando os vetores de estado de posição e energia. 
quântico em que tanto a 
posição quanto a energia da partícula estejam bem definidos? Justifique sua resposta 
da partícula para cada um dos 
3. Se a partícula está no estado fundamental, qual é a probabilidade de uma medida de 
posição resultar em x = +a? E x = −a? Quais são essas probabilidades se a partícula 
está no estado excitado? 
 
4. Se a partícula está no estado |+a〉, qual é a probabilidade de uma medida da energia 
encontrar E = 0? E a probabilidade de obter E = ε ? Quais são essas probabilidades 
se a partícula está no estado |−a〉? 
 
5. Suponha que o estado quântico da partícula é dado pelo vetor 
�|Ψ〉 � �
√�|�	
〉 � ��
�|��
〉 
a) Qual é a amplitude de probabilidade de uma medida encontrar a partícula na 
posição x = +a? E na posição x = −a? Faça um gráfico dessa amplitude (a 
“função de onda” Ψ��� � ��|Ψ�) como função de x. 
b) Qual é a probabilidade de uma medida encontrar a partícula na posição x = +a? 
E na posição x = −a? 
c) Qual é o valor médio de x no estado |�Ψ〉? E a incerteza ∆x? 
d) Em um experimento são medidas as posições de 3×10
6
 partículas, todas no 
estado |�Ψ〉. Como seria um histograma com os resultados dessas medidas? 
e) Qual é a amplitude de probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0 
nesse estado? E E = ε ? 
f) Qual é a probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0? E E = ε ? 
g) Qual é o valor médio da energia E nesse estado? E a incerteza ∆E? 
 
6. Suponha agora que o estado da partícula seja 
�|Φ〉 � �
√�|�	
〉 � ��
�|��
〉 
(note que é a diferença para o estado �|Ψ〉 da questão anterior é o i na amplitude do 
estado |+a〉). 
a) A estatística de medidas da posição (probabilidades, valor médio, etc.) é 
diferente nos estados �|Φ〉 e �|Ψ〉? 
b) Qual é a amplitude de probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0 
nesse estado? E E = ε ? 
c) Qual é a probabilidade de uma medida da energia encontrar E = 0? E E = ε ? 
d) Qual é o valor médio da energia E nesse estado? E a incerteza ∆E? 
e) A estatística de medidas da energia (probabilidades, valor médio, etc.) é 
diferente nos estados �|Φ〉 e �|Ψ〉? 
 
7. Considere que a partícula está no estado de energia E = 0 e que uma medida da sua 
posição é realizada, tendo como resultado x = +a. 
a) Qual é o estado da partícula logo após a medida da posição? 
b) Imediatamente após a medida da posição, a energia da partícula é medida e o 
resultado é E = ε. Qual era a probabilidade disso ocorrer? Qual é o estado da 
partícula após essa segunda medida? 
8. Considere que no instante t = 0 o estado da partícula é dado por �|��0�〉 � |�	
〉. 
a) Qual é o vetor de estado �|����〉 em um instante t posterior? 
b) No instante t, qual é a probabilidade de uma medida da posição resultar em 
x = +a? E em x = −a? 
c) Calcule o valor médio 〈x〉 e a incerteza ∆x no instante t. Faça o gráfico dessas 
grandezas em função do tempo. 
d) Repita os itens a), b) e c) para o caso em que �|��0�〉 � |��
〉. 
 
9. Suponha que no instante t = 0 o estado da partícula das questões anteriores é dado 
por 
�|Ψ�0�〉 � �
√� ��	
〉 � ��
�� ��
〉. 
a) Qual é o vetor de estado �|Ψ���〉 em um instante t posterior? 
b) No instante t, qual é a probabilidade de uma medida da posição resultar em 
x = +a? E em x = −a? 
c) Calcule o valor médio da posição no instante t. Trace o gráfico de 〈x〉 como 
função do tempo.