Mínimo múltiplo comum

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Mínimo múltiplo comum Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Um diagrama de Venn mostrando o mínimo múltiplo comum de todos os conjuntos de {2, 3, 4, 5, 7}. Em aritmética e em teoria dos números , o mínimo múltiplo comum ( mmc ) de dois inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b . Se não existir tal inteiro positivo, por exemplo, se a  =0 ou b  = 0, então mmc( a , b ) é a unidade (1) por definição. O mínimo múltiplo comum é útil em operações de adição e subtração de frações com denominadores distintos. O mmc fornece um denominador comum mínimo que costuma agilizar cálculos realizados manualmente. Considere-se por exemplo onde o denominador 42 foi usado porque mmc(21, 6) = 42. Se nem a nem b são zero, o mínimo múltiplo comum pode ser computado usando o máximo divisor comum (mdc) entre a e b : Assim, o Algoritmo Euclidiano para o mdc também nos dá um algoritmo rápido para o mmc. Retornando ao exemplo acima, Agora note que como : então: A fórmula é adequada para o cálculo do mmc para números pequenos usando a fórmula tal e qual como está escrita. Porque ( ab )/c = a ( b/c ) = ( a / c ) b , pode-se calcular o mmc usando a fórmula acima mais eficientemente, calculando primeiro b / c ou a / c , sendo mais fácil de calcular que o quociente do produto ab por c , pois o facto de que c é multiplo tanto de a como de b permite que em qualquer fracção, a / c ou b / c , se possa cancelar o valor de c . Isto é verdade quer os cálculos sejam feitos por um humano, ou por um computador, o que pode ter requisitos de armazenamento nas variáveis a , b , c , onde os limites podem ser de armazenamento de 4 bytes - calcular ab pode causar um overflow, se o espaço de armazenamento não for devidamente reservado. Usando isto, podemos então calcular o mmc usando: ou Deste modo, no exemplo anterior: Mesmo que os números sejam grandes e não sejam rapidamente factorizáveis, o mdc pode ser rapidamente calculado com o Algoritmo de Euclides . Para aqueles que já ensinaram matemática elementar é por vezes frustrantemente difícil obter estudantes que se lembrem de cancelar antes de multiplicar. A seguinte maneira tem a virtude de tornar este passo impossível de esquecer (essencialmente torna-se desnecessário lembrar). Ilustraremos isto com o exemplo da procura do mmc(12, 8). O Teorema da factorização única diz que todo o número maior que 1 pode ser escrito de um só modo como um produto de números primos . Os números primos podem ser considerados como os elementos atómicos que, quando combinados , formam um número composto . Por exemplo: Aqui temos o número composto 90, constituído por um átomo do número primo 2 , dois átomos do número primo 3 e um átomo do número primo 5 . Podemos usar este conhecimento para encontrar facilmente o mmc de um grupo de números. Por exemplo: Encontrar o valor de mmc(45, 120, 75) O mmc é o número que tem o maior múltiplo de cada tipo diferente de átomo. Assim Considerado como operação binária , o mmc de dois inteiros positivos tem as propriedades comutativa e associativa , é idempotente , 1 é o elemento neutro , e a multiplicação é distributiva com o mmc: O mmc satisfaz a comutatividade, ou seja: O mmc satisfaz a associatividade, ou seja: O mmc é idempotente, ou seja: Máximo divisor comum Critérios de divisibilidade Números primos Divisibilidade «Calculador do MMC Online» «Calculador do MMC Online (2)» «Quiz do MMC» «Cálculo do MMC e do MDC» Estes calculadores usam o algoritmo descrito na Wikipedia.