2º TVC 09-02

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2a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
04/11/2009
Ex. Notas
1
2
3
4
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
1. (a) Mostre que os pontos A = (1,−1, 2), B = (2, 1,−1), C = (3, 2, 0) e D = (2, 0, 3) (25 pts)
sa˜o ve´rtices de um paralelogramo.
(b) Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD.
2. (a) Determine vetores V tais que ‖V ‖ = 3√3 e V e´ ortogonal a U = (2, 3,−1) e a (25 pts)
W = (2,−4, 6).
(b) Dos vetores V encontrados no item (a), qual forma aˆngulo agudo com o vetor
(1, 0, 0)?
3. (a) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta r que passa pelo ponto P = (3,−1, 0) (25 pts)
paralela ao vetor V = (2,−2, 3).
(b) Encontre os pontos da reta r que distam
√
70 do ponto Q = (6,−2, 3).
4. Sejam dados dois planos pi1 : x− y + 2 = 0 e pi2 : x+ y + z = 0. (25 pts)
(a) Determine equac¸o˜es parame´tricas para a reta r intersec¸a˜o dos planos pi1 e pi2.
(b) Encontre uma equac¸a˜o geral do plano pi que e´ ortogonal a` reta r e que passa pela
pelo ponto P = (3, 5, 4).