GAAL - Aula 02

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Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Francisco Dutenhefner
chico@mat.ufmg.br
www.mat.ufmg.br/˜chico
Sistemas Lineares
{
3x + y = 3
6x + 5y = −3
Matricialmente:
[
3 1
6 5
] [
x
y
]
=
[
3
−3
]
AX = B
Matriz aumentada:
[
3 1 3
6 5 −3
]
[ A
... B ]
Soluc¸a˜o: x = 2 e y = −3
Sistemas Lineares
{
3x + y = 3
6x + 5y = −3
Matricialmente:
[
3 1
6 5
] [
x
y
]
=
[
3
−3
]
AX = B
Matriz aumentada:
[
3 1 3
6 5 −3
]
[ A
... B ]
Soluc¸a˜o: x = 2 e y = −3
Sistemas Lineares
{
3x + y = 3
6x + 5y = −3
Matricialmente:
[
3 1
6 5
] [
x
y
]
=
[
3
−3
]
AX = B
Matriz aumentada:
[
3 1 3
6 5 −3
]
[ A
... B ]
Soluc¸a˜o: x = 2 e y = −3
Sistemas Lineares
{
3x + y = 3
6x + 5y = −3
Matricialmente:
[
3 1
6 5
] [
x
y
]
=
[
3
−3
]
AX = B
Matriz aumentada:
[
3 1 3
6 5 −3
]
[ A
... B ]
Soluc¸a˜o: x = 2 e y = −3
Escalonamento
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj )
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj )
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj )
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj )
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj )
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj )
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj )
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj )
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj )
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj )
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
2x + y + 4z = 2
2x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 
x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8
⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8
⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8
= −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z
⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19
= 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento: exemplo 1

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
Da´ı z = −19
Na segunda linha,
−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,
x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Soluc¸a˜o: x = 54, y = −30 e z = −19.
Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate´ que momento devemos aplicar
operac¸o˜es elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta´ resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema esta´
sendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o mais
pro´ximo disso.

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
 1 1 1 50 −1 2 −8
0 0 1 −19

Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate´ que momento devemos aplicar
operac¸o˜es elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta´ resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema esta´
sendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o mais
pro´ximo disso.

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
 1 1 1 50 −1 2 −8
0 0 1 −19

Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate´ que momento devemos aplicar
operac¸o˜es elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta´ resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema esta´
sendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o mais
pro´ximo disso.

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
 1 1 1 50 −1 2 −8
0 0 1 −19

Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate´ que momento devemos aplicar
operac¸o˜es elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta´ resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema esta´
sendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o mais
pro´ximo disso.

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
 1 1 1 50 −1 2 −8
0 0 1 −19

Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate´ que momento devemos aplicar
operac¸o˜es elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta´ resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema esta´
sendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o mais
pro´ximo disso.

x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
 1 1 1 50 −1 2 −8
0 0 1 −19

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0

A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate´:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro nu´mero na˜o nulo em uma linha e´ o nu´mero 1.
(pivoˆ)
I Os pivoˆs esta˜o posicionados de cima para baixo e da esquerda
para a direita.
I Se uma coluna conte´m um pivoˆ, no resto da coluna so´
existem zeros.
Exemplos:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0
 A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0


x + 5y = 2
z = 3
0 = 0
Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e´ varia´vel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0


x + 5y = 2
z = 3
0 = 0
Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e´ varia´vel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0


x + 5y = 2
z = 3
0 = 0
Soluc¸a˜o: z = 3
e x = 2− 5y para qualquer y .
y e´ varia´vel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0


x + 5y = 2
z = 3
0 = 0
Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e´ varia´vel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0


x + 5y = 2
z = 3
0 = 0
Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e´ varia´vel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0


x + 5y = 2
z = 3
0 = 0
Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e´ varia´vel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1
, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer
z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z
e x = −1 + z , para qualquer z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
Deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear:
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1


x − z = −1
y + 2z = 4
w = 1
Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e´ varia´vel livre (na˜o existe restric¸a˜o sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
Matriz escalonada reduzida: dica legal
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0

Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
Nesta caso, y e´ varia´vel livre.
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
Neste caso, z e´ varia´vel livre.
Observac¸a˜o: quando a matriz esta´ na forma escalonada reduzida,
e quando o sistema tem soluc¸a˜o, as varia´veis livres esta˜o nas
colunas sem pivoˆ.
Matriz escalonada reduzida: dica legal
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0

Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
Nesta caso, y e´ varia´vel livre.
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
Neste caso, z e´ varia´vel livre.
Observac¸a˜o: quando a matriz esta´ na forma escalonada reduzida,
e quando o sistema tem soluc¸a˜o, as varia´veis livres esta˜o nas
colunas sem pivoˆ.
Matriz escalonada reduzida: dica legal
A1 =
 1 5 0 20 0 1 3
0 0 0 0

Soluc¸a˜o: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
Nesta caso, y e´ varia´vel livre.
A2 =
 1 0 −1 0 −10 1 2 0 4
0 0 0 1 1

Soluc¸a˜o: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
Neste caso, z e´ varia´vel livre.
Observac¸a˜o: quando a matriz esta´ na forma escalonada reduzida,
e quando o sistema tem soluc¸a˜o, as varia´veis livres esta˜o nas
colunas sem pivoˆ.
Escalonamento: passo a passo
Resolva o sistema linear
x + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2
−2x − 3y + z = 1
Soluc¸a˜o. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivoˆ da primeira linha. 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
Escalonamento: passo a passo
Resolva o sistema linear
x + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2
−2x − 3y + z = 1
Soluc¸a˜o. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivoˆ da primeira linha. 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
Escalonamento: passo a passo
Resolva o sistema linear
x + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2
−2x − 3y + z = 1
Soluc¸a˜o. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivoˆ da primeira linha. 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
Escalonamento: passo a passo
Resolva o sistema linear
x + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2
−2x − 3y + z = 1
Soluc¸a˜o. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Identifique, ou obtenha o pivoˆ da primeira linha. 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 1
0 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es.
L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 13 1 4 2
−2 −3 1 1

Zere a coluna deste pivoˆ.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
 1
2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivoˆ da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que poss´ıvel, evite frac¸o˜es. L2 ↔ L3
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3

L2 ↔ L3
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivoˆ da segunda linha. 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3
 L2 ↔ L3
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivoˆ da segunda linha. 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3
 L2 ↔ L3
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivoˆ da segunda linha. 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3
 L2 ↔ L3
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Pronto, apareceu o pivoˆ da segunda linha. 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas.
Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 2 −1 10 1 −1 3
0 −5 7 −1

Zere a coluna deste pivoˆ. Use a linha do pivoˆ
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Usando a linha do pivoˆ, a primeira coluna na˜o se altera.
Enta˜o na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
As duas primeiras colunas esta˜o prontas. Vamos para a terceira.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha.
L3 ← 1
2
L3 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo
isso, na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha. L3 ← 1
2
L3
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo
isso, na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha. L3 ← 1
2
L3 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo
isso, na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha. L3 ← 1
2
L3 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo
isso, na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha. L3 ← 1
2
L3 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo
isso, na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha. L3 ← 1
2
L3 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo
isso, na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14

Identifique ou obtenha o pivoˆ da terceira linha. L3 ← 1
2
L3 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Importante. Sempre use a linha do pivoˆ para zerar a sua coluna.
A existeˆncia dos zeros a esquerda do pivoˆ, implica que, fazendo
isso, na˜o estragamos o que ja´ estava pronto.
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos
zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −12
0 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Escalonamento: passo a passo
 1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7

Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivoˆ desta
terceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
 1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7

Soluc¸a˜o: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
Exerc´ıcios para casa
Resolva cada um dos sistemas lineares

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2