ENG1007_G3_11_1AF

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova (G3) – turmas A e F 14/06/2011 
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Matrícula: 
Turma: 
 
1a Questão (2,5 pontos) 
Calcule as reações no apoio A da estrutura esquematizada abaixo. Faça um esboço do resultado 
obtido, indicando módulo, direção e sentido das reações que atuam sobre a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a 2a 3a 4a Nota 
 
3 m 3 m 
A 
q = 1 k N/m 
1,5 m 3 m 
4 k N 
2a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de 
esforço cortante (V) e momento fletor (M) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
 
)()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
-225 
90 
- 
V 
(kN) 
-135 
+ 
x 
-225 
-135 
M 
(kNm) 
3a Questão (2,5 pontos) 
Considere a viga de seção transversal quadrada de lado a, constituída pelos materiais A e B, como 
mostrado na figura abaixo. Pede-se o mínimo valor de a para que a viga suporte o carregamento 
indicado. São dadas as reações de apoio e esquematizados os diagramas de esforço cortante (kN) e 
momento fletor (kN.m). 
 
 
Material A 
σAadm = 100 MPa 
τAadm = 5 MPa 
 
Material B 
σBadm = 80 MPa 
τBadm = 5 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bhy I
I
V h y
I
σ
τ
= =
 
= − 
 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
y
4a Questão (2,5 pontos) 
Para a viga ao lado, submetida ao 
carregamento indicado, já foram calculadas as 
reações de apoio. Tem-se também a expressão 
analítica do momento fletor (em kNm): 
20 ≤≤ x : 
2
)(
2x
xM −=
 
25,32 <≤ x : ( ) 2,8 2, 4M x x= − 
5,425,3 ≤< x : ( ) 10,8 2,4M x x= −
 
Calcular a expressão da deflexão 
transversal ( )v x da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . Embora não seja 
necessário para os cálculos, as contas ficam 
facilitadas pela informação de que, no 
trecho 3,25 4,5x≤ ≤ , 
2 3
3( ) 5, 4 0, 4 24,3 36, 45zEI v x x x x= − − + 
 
 
-2,4 
q = 1 kN/m 
2,0 m 1,25 m 1,25 m 
M = 8 kNm 
x 0,4 2,4 
-2 
-2,4 
- 
(V) 
(M) 
-2 
3 
-5 
- 
+ 
( )v x
ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Terceira prova – turmas A e F 14/06/2011 
1a Questão (2,5 pontos) 
Calcule as reações no apoio A da estrutura esquematizada abaixo. Faça um esboço do resultado 
obtido, indicando módulo, direção e sentido das reações que atuam sobre a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de 
esforço cortante (V) e momento fletor (M) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
)()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio, distâncias e 
carregamento indicados na figura 
20 ≤< x : 90)( =xV , 52 ≤≤ x : )2(3090)( −×−= xxV 
10 <≤ x : xxM 90225)( +−= , 21 ≤< x : )1(90225)( −×+−= xxM , 
52 ≤≤ x : 215150375)( xxxM −+−= 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
-225 
90 
225 
90 
- 
(V) 
(M) 
-135 
+ 
q = 30 kN/m 
1,0 m 3,0 m 
M = 90 kNm 
x 
1,0 m 
-225 
-135 
3 m 3 m 
A 
q = 1 k N/m 
1,5 m 3 m 
4 k N 
24 kN.m 
3 kN 
 7 kN 
3a Questão (2,5 pontos) 
Considere a viga de seção transversal quadrada de lado a, constiuída pelos materiais A e B, como 
mostrado na figura abaixo. Pede-se o mínimo valor de a para que a viga suporte o carregamento 
indicado. São dadas as reações de apoio e esquematizados os diagramas de esforço cortante (kN) e 
momento fletor (kN.m). 
 
 
Material A 
σAadm = 100 MPa 
τAadm = 5 MPa 
 
Material B 
σBadm = 80 MPa 
τBadm = 5 MPa 
 
A = a2 
I = a4/12 
 
Tensão normal máxima 
Mmax = 2 kN.m em x = 2 m para mat. A e B 
(x, y, z) = (2; ±0,5a; qualquer z) 
3
2
4
3 102,1Pa
12/
 5,010 2
aa
a −⋅±=⋅⋅±=σ MPa 
100102,1 3
2
=<
⋅
−
Aadm
a
σ MPa => a> 4,9 cm 
80102,1 3
2
=<
⋅
−
Badm
a
σ MPa => a> 5,3 cm 
 
 
 
Cisalhamento máximo 
|Vmax| = 1,5 kN em x = 0 m para mat. A 
|Vmax| = 1,0 kN em x = 2 a 4 m para mat. B 
 
Mat. A: (x, y, z) = (0; 0; qualquer z) 
22
3
max
25,2Pa 10 5,15,1
aa
A =
⋅
=τ kPa 
50025,2 2 =< Aadma
τ kPa => a> 6,7 cm 
 
Mat. B: (x, y, z) = (2+ a 4; 0; qualquer z) 
22
3
max
5,1Pa 10 0,15,1
aa
B =
⋅
=τ kPa 
5005,1 2 =< Badma
τ kPa => a> 5,5 cm 
R: a= 6,7 cm 
4a Questão (2,5 pontos) 
Para a viga ao lado, submetida ao carregamento 
indicado, já foram calculadas as reações de 
apoio. Tem-se também a expressão analítica do 
momento fletor (em kNm): 
20 ≤≤ x : 
2
)(
2x
xM −=
 
25,32 <≤ x : ( ) 2,8 2,4M x x= − 
5,425,3 ≤< x : ( ) 10,8 2,4M x x= −
 
Calcular a expressão da deflexão transversal 
( )v x da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . Embora não seja 
necessário para os cálculos, as contas ficam 
facilitadas pela informação de que, no trecho 
3,25 4,5x≤ ≤ , 
2 3
3( ) 5,4 0, 4 24,3 36, 45zEI v x x x x= − − + 
Gabarito: 
Serão, em princípio, realizadas integrações em três trechos, com as seguintes condições de 
contorno, para a determinação das constantes de integração: 1(2) 0v = , 2 12
(2) (2)(2) 0, dv dvv
dx dx
= = , 
3 2
3 2
(3,25) (3, 25)(3, 25) (3,25), dv dvv v
dx dx
= = , 3(4,5) 0v = . Mas as contas ficam facilitadas pela 
informação da equação de ( )v x no trecho 3,25 4,5x≤ ≤ . 
Segundo trecho, 2 3, 25x≤ ≤ : 
2
2 2 32 2
3 2 3 42
( ) ( )2,8 2, 4 2,8 1,2 ( ) 1,4 0, 4z z z
d v x dv xEI x EI x x C EI v x x x C x C
dx dx
= − ⇒ = − + ⇒ = − + +
 
Mas 3 22 3 4
(3, 25) (3, 25)(2) 0, 1,7; 5,8dv dvv C C
dx dx
= = ⇒ = = −M
2 3
2 ( ) 1,4 0,4 1,7 5,8zEI v x x x x∴ = − + − 
Primeiro trecho, 0 2x≤ ≤ : 
2 2 3 4
1 1
1 1 1 22
( ) ( ) ( )
2 6 24z z z
d v x dv xx x xEI EI C EI v x C x C
dx dx
= − ⇒ = − + ⇒ = − + +
 
Mas 2 11 2 1
(2) (2) 23(2) 0, 7; 3.833
6
dv dv
v C C
dx dx
= = ⇒ = − = =
4
1
23( ) 7
24 6z
xEI v x x∴ = − + −
 
 
-2,4 
q = 1 kN/m 
2,0 m 1,25 m 1,25 m 
M = 8 kNm 
x 0,4 2,4 
-2 
-2,4 
- 
(V) 
(M) 
-2 
3 
-5 
- 
+ 
( )v x