elipsóides de Fresnel

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ISEL, Propagação II, Pedro Vieira Elipsóides de Fresnel 1
PROPAGAÇÃO II
Elipsóides de Fresnel
Instituto Superior de Engenharia de Lisboa 
Departamento de Engenharia de Electrónica e Telecomunicações e de Computadores
Secção de Sistemas de Telecomunicações
ISEL, Propagação II, Pedro Vieira Elipsóides de Fresnel 2
�No modelo estudado até aqui, considerámos que na Propaqação em Espaço Livre as ondas 
radioeléctricas propagam-se em linha recta.
� Esta teoria -"Teoria dos Raios" -só é válida quando:
λ - comprimento de onda I-dimensão dos objectos presentes 
�Esta situação é comum em óptica onde λ é pequeno, mas não é válida para as ondas 
radioeléctricas, muitas vezes da mesma ordem de grandeza e até maiores que os objectos 
que interferem na sua propagação.
�Assim, em vez da "Teoria dos Raios" usa-se a "Teoria das Frentes de Onda", baseada nos 
Princípios de Huygens e de Fresnel.
Elipsóides de Fresnel 
0→
I
λ
Princípio de Huygens 
Cada frente de onda equivale a uma colecção de
radiadores infinitesimais, radiando para a frente 
ondas esféricas. 
Na figura que se segue representa-se uma 
frente de onda plana e o equivalente de Huygens. 
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�Nas figuras que se seguem, vemos o
que acontece se tivermos um obstáculo
no caminho das ondas.
�Teoria dos Raios -prevê uma 
sombra perfeita atrás do
obstáculo.
�Teoria das Frentes de Onda -
prevê a ocorrência de uma 
sombra, mas não total.
Princípio de Huygens (cont.)
�Estamos na presença de um fenómeno 
de difracção, que ocorre de modo 
semelhante no caso de aberturas. O 
fenómeno da difracção varia com o 
comprimento de onda. As ondas longas de 
rádio não têm dificuldade em contornar 
obstáculos como montanhas, mas no caso 
das micro-ondas ocorrerão zonas de 
sombra.
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�O Princípio de Fresnel é uma continuação do Princípio de Huygens, mas quantitativo, em 
vez de meramente qualitativo.
�Considere uma Antena Emissora no ponto E. Após um certo tempo, a frente de onda é
uma esfera de raio r.
�Cada ponto desta esfera é um radiador infinitesimal, irradiando em fase e contribuindo 
para formar a onda espacial que atingirá o ponto R.
� A onda que parte de X1 percorrerá uma distância maior do que a que parte de X2 , pelo 
que chegará ao ponto R com certo atraso. 
�Se X2 for a distância mais curta, então as ondas oriundas de X1 e X3 poderão chegar
com atraso de meio comprimento de onda e enfraquecer em R a onda proveniente de X2 .
� Do ponto R poderemos ver uma frente de onda central, circular, com ondas em fase,
depois um anel com ondas que chegam com atraso de meio comprimento de onda (λ/2),
seguindo-se um anel com ondas que chegam com atraso de um comprimento de onda e
portanto em fase, somando-se às do círculo central.
Princípio de Fresnel
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Elipsóides de Fresnel 
Objectivo: Permitem estabelecer as condições nas quais a propagação entre duas 
antenas pode ser considerada como espaço livre.
Defina-se um sistema de coordenadas cilíndricas cuja origem coincide com E e cujo eixo 
das ordenadas OZ passa por R.
Por definição, o ponto P pertence ao n-ésimo elipsóide de Fresnel se:
EP PR d n+ − =
λ
2
A expressão anterior define um elipsóide de revolução com eixo coincidente com a 
direcção definida pelas antenas e com os focos (E e R) nas antenas. Reescrevendo a 
expressão em termos das coordenadas do ponto P e da distância entre antenas:
( )z r d z r d n2 2 2 2
2
+ + − + − =
λ
P
E R
r
z
d
O Z
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Admitindo que: r z
r d z
<<
<< −
e desenvolvendo em série os radicais e aproveitando, em cada caso, apenas os dois 
primeiros termos da séries é possível escrever: 
r
z d z
n
2
2
1 1
2
+
−





 =
λ
Elipsóides de Fresnel (cont.) 
( )
r n
z d z
d
= ±
− λ
00 r=z=d e z ⇒=
note-se que:
e resolvendo em ordem a r:
O que significa terem os elipsóides de Fresnel os focos coincidentes com as 
extremidades do eixo maior. Este resultado é falso, o que mostra não ser a expressão 
aplicável em todas as situações e ilustra a importância de conhecer a ordem de grandeza 
do erro cometido. Seja ε a distância entre o foco E e a extremidade próxima do eixo 
maior. Por definição de elipsóide vem:
EP PR d n+ − =
λ
2
( )
2
λ
εε ndd =−++⇒ pelo que: 4
λ
ε n=
Uma vez que a distância d é, em geral , da ordem de grandeza das dezenas de km e λ da 
ordem de grandeza de alguns cm, pode concluir-se que o erro provocado pela utilização 
da expressão aproximada é desprezável na representação gráfica.
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Elipsóides de Fresnel (cont.) 
O interesse dos elipsóides de Fresnel assentam no facto de que é possível demonstrar 
que a atenuação entre duas antenas, mesmo na presença de obstáculos é praticamente 
igual à atenuação em espaço livre desde que os obstáculos não penetrem o primeiro 
elipsóide de Fresnel. Nestas condições, designa-se a ligação entre os pontos E e R por 
ligação em linha de vista desobstruída.
O cálculo do maior raio do primeiro elipsóide de Fresnel correspondente ao semi-
eixo menor, pode fazer-se a partir de: 
r m1
z
d
=
2
com r m1 =
λ d
4
( )
r
z d z
d1
=
− λ
Adaptando a expressão de forma a que a distância d e frequência f venham em km 
e GHz, respectivamente, temos:
[ ]
[ ]
[ ]GHz
km
mm f
 d
r
300
2
1
1 =
Na figura seguinte representa-se a variação do raio máximo do primeiro elipsóide de 
Fresnel r1m em função da distância entre antenas, para diferentes valores de frequência.
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Elipsóides de Fresnel (cont.) 
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�Consegue-se demonstrar que o efeito resultante duma frente de onda completa, num 
ponto P a uma certa distância d é igual a aproximadamente metade do efeito da sua zona 
central, também conhecida por 1ª zona de Fresnel.
�As 1ª e 3ª zonas contribuem para o reforço do campo total em P devido à sobreposição 
de ondas em concordância de fase, enquanto que a 2ª zona contribui para a redução do 
campo total em P devido à sobreposição de ondas em oposição de fase.
�Nas considerações anteriores ressalta a importância de que se reveste o 1º elipsóide de 
Fresnel para as radiocomunicações, pois é nele que se propaga a maior parte da energia 
favorável ao campo directo, que é o campo que melhor contribui para o sinal do receptor.
�Interessa por isso e fundamentalmente, garantir a desobstrução do 1º elipsóide de 
Fresnel.
Elipsóides de Fresnel (cont.) 
Alguns comentários finais…