Exercícios resolvidos de álgebra booleana.

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Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sistemas Digitais 2007/2008 
Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa MEEC 
SISTEMAS DIGITAIS 
Série de Problemas A1 
Nota: As soluções propostas são indicativas e quaisquer dúvidas, erros ou gralhas devem ser 
esclarecidos com os docentes da disciplina. 
 
Problema 1.a) 
( )
DBCBA
D
ABBC
ACABBC
DBCACBA
DBC
DBCDACBADCBAf
++=
+
+
++=
+++=
+
+++=
44 344 21
43421,,,
 
 
 
Problema 1.b) 
( ) ( )( )
( ) { {
0
00
,,,
=








+++=
+++=
BABBAAABBA
BABCABBADCBAf
 
Problema 1.c) 
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
CDBA
CDBACBA
C
DCDCDCBA
DCDCBA
DCDCBA
DC
EDCDCDCBAEDCBAf
+=
++=
++++=
+++=
++++=
+
++++++=
.
..
.
.
,,,,
44 344 21
444 3444 21
 
Problema 1.d) 
( ) ( ) ( )
( )
( )[ ]
( )
( )
DCBA
DCB
DCB
DCBBAA
DC
DCCBABAA
DCBACBABAA
DCBACBABAAA,B,C,Df
+++=
+++=
++
+++=
+
+++=
+++=
++++++=
AA
44 344 21
43421
 
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sistemas Digitais 2007/2008 
Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa MEEC 
Problema 1.e) 
( ) ( )( )
DCB
DC
B
DABCABB
DBADCBCBA
DBA
DCB
DBCBCBADCBAf
+=
+++=
+++=
+++
+
+++=
444 3444 21
44 344 21
,,,
 
 
Problema 2. 
 
( ) BCACABCBAf ++=,, 
 
Dada a expressão acima, a função f vale “1” sempre que um dos termos de produto valha “1”, ou 
seja, se A=B=1, se A=C=1, ou se B=C=1. 
 
A tabela da verdade de f é, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação da forma canónica disjuntiva por inspecção da tabela. 
 
Cada termo de produto corresponde a um mintermo para o qual a função vale “1”. 
Por inspecção da tabela, verifica-se que a função vale 1, para os mintermos m3, m5, m6 e m7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A forma canónica conjuntiva (produto de somas) é, portanto, dada por 
CBACBACBACBAf +++= 
 
A B C f 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
A B C f 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 CBA← 
1 0 0 0 
1 0 1 1 CBA← 
1 1 0 1 CBA← 
1 1 1 1 CBA← 
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Determinação da forma canónica conjuntiva por inspecção da tabela. 
 
Cada termo de soma corresponde a um maxtermo para o qual a função vale “0”. 
Por inspecção da tabela, verifica-se que a função vale 1, para os mintermos M0, M1, M2 e M4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A forma canónica conjuntiva (produto de somas) é, portanto, dada por 
( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBACBAf ++++++++= 
 
 
Determinação da forma canónica disjuntiva por manipulação algébrica. 
 
( )
( ) ( ) ( )
CBACBACBACBA
CBACBACBACBACBACBA
AABCBBACCCAB
BCACABCBAf
+++=
+++++=
+++++=
++=
321321321
111
,,
 
 
 
 
 
 
Determinação da forma canónica conjuntiva por manipulação algébrica. 
 
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )[ ]
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )CBACBACBACBA
CBACBACBACBACBACBA
CBBACBAACCBA
CACBBA
CBCABCBA
CABBAC
CAB
CACAB
BAC
BACAB
BCACABBCACABCBAf
++++++++=
++++++++++++=
++++++=
+++=
++++=
++=
+
++
+
++=
++=++=
44 344 2144 344 21
,,
 
 
A B C f 
0 0 0 0 CBA ++← 
0 0 1 0 CBA ++← 
0 1 0 0 CBA ++← 
0 1 1 1 
1 0 0 0 CBA ++← 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
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Problema 3. Utilizando mapas de Karnaugh: 
a) simplifique a função ( ) ( )∏= 6,2,1,, MCBAf e apresente o resultado nas formas disjuntiva 
e conjuntiva; 
 
A função é definida como o produto dos maxtermos M1, M2 e M6, portanto a sua tabela da verdade 
terá zeros nas posições 1, 2 e 6: 
A
BC
0100 1011
0
1
0101
0111
 
 
Forma disjuntiva 
A função tem 2 implicantes primos essenciais. 
O implicante CB é essencial porque o mintermo m0 
apenas pode ser simplificado neste implicante. 
O implicante CB é essencial porque o mintermo m3 
apenas pode ser simplificado neste implicante. 
O mintermo m5 pode ser simplificado 
com o mintermo, à sua direita, ou com o mintermo à sua esquerda. 
 
 
 
 
 
Os implicantes primos CA e BA são ambos não essenciais porque todos os mintermos que os 
constituem (m5 e m7, no primeiro caso, e m5 e m1, no segundo) fazem parte de 2 implicantes primos. 
Existem, assim, 2 soluções mínimas equivalentes: 
{ { {
essencial nãoessencialessencial
CACBCBf ++= 
e 
{ { {
essencial nãoessencialessencial
BACBCBf ++= 
Em ambos os casos, são necessários 2 inversores, 3 portas AND de 2 entradas e uma porta OR de 3 
entradas. 
 
A
BC
0100 1011
0
1
010
0111
1 1
A
BC
0100 1011
0
1
0101
0111
A
BC
0100 1011
0
1
0101
0111
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Forma conjuntiva 
A função tem 2 implicados primos essenciais. 
Não existem outros implicados. 
A solução mínima é: 
( ) ( )CBCBAf +++= 
 
São necessários 2 inversores, 1 porta OR de 2 entradas, 1 porta OR de 3 entradas e 1 porta AND de 
2 entradas. 
A
BC
0100 1011
0
1
0101
0111