Geometria Analitica UERJ lista 1-2011 1

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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Durante a elaborac¸a˜o de respostas tenha cuidado (1) com palavras e/ou frases estranhas
a` Matema´tica, (2) o desenvolvimento de explicac¸a˜o (demonstrac¸a˜o, justificativa) e/ou ca´lculo
nume´rico devem ser feitos com clareza de racioc´ınio e com etapas indicadas corretamente, (3)
os desenhos (quando necessa´rios) na˜o podem ter qualquer rasura. Estas regras sera˜o aplicadas
nas provas futuras e a na˜o observaˆncia implicara´ em perda de pontos importantes.
Grande parte dos resultados em Matema´tica toma a forma de uma afirmac¸a˜o condicional
(declarac¸a˜o condicional), que consiste de uma afirmac¸a˜o formada de duas partes, a primeira
comec¸ando com ’se’ ou ’quando’ ou outra palavra equivalente, e a segunda comec¸ando com
’enta˜o’ ou simplesmente apo´s uma v´ırgula.
Exemplo. Se P e´ um ponto do gra´fico de uma func¸a˜o f , enta˜o P = (x, f(x)), para algum
ponto x no domı´nio de f .
A parte ’se P e´ um ponto do gra´fico de uma func¸a˜o f ’ se chama hipo´tese da afirmac¸a˜o, e´
uma frase suposta verdadeira ou que ja´ foi demonstrada ser verdadeira, a parte ’enta˜o P =
(x, f(x)), para algum ponto x no domı´nio de f ’ se chama tese da afirmac¸a˜o e corresponde a`
uma frase que deve ser demonstrada, verificada, atrave´s do uso da hipo´tese e de resultados
anteriormente demonstrados juntos com lo´gica dedutiva. Uma afirmac¸a˜o condicional ’se a,
enta˜o b’ e´ simbolicamente representada por ’a⇒ b’.
A rec´ıproca de uma afirmac¸a˜o condicional e´ formada pela troca de posic¸a˜o entre a hipo´tese
e a tese, sendo que a rec´ıproca de a⇒ b e´ b⇒ a. Importante observar que a rec´ıproca de uma
afirmac¸a˜o verdadeira pode ser falsa.
Exemplo. Dados treˆs nu´meros quaisquer, se x > y e z > 0 ou x < y e z < 0, enta˜o xz > yz.
E´ claramente verdadeira e tem rec´ıproca ’se xz > yz, enta˜o x > y e z > 0 ou x < y e z < 0’
tambe´m verdadeira.
Exemplo. Seja f : X→ Y uma aplicac¸a˜o injetiva entre dois conjuntos quaisquer X e Y. Se X
e´ infinito, enta˜o Y e´ infinito.
A aplicac¸a˜o f associa, para cada um dos infinitos pontos de X, um u´nico ponto em Y, logo
esse tambe´m deve ser infinito e a afirmac¸a˜o ’se X e´ infinito, enta˜o Y e´ infinito’ e´ verdadeira.
Mas a rec´ıproca ’se Y e´ infinito, enta˜o X e´ infinito’ e´ falsa, como se veˆ chamando a aplicac¸a˜o
f : {1, 2, 3, ...., n} → N; f(x) = x.
Quando a ⇒ b e b ⇒ a sa˜o ambos verdadeiros, escreve-se a ⇔ b e leˆ-se ’a se, e somente
se, b’. Nesse caso, a e´ uma condic¸a˜o suficiente de b, ou seja, a validade de a implica na de b;
tambe´m, b e´ uma condic¸a˜o necessa´ria de a, ou seja, b sera´ verdadeiro sempre que a for.
A rec´ıproca negativa e´ formada pela troca de posic¸a˜o entre hipo´tese e tese, negando-se
ambas. O chamado Princ´ıpio da na˜o contradic¸a˜o estabelece que uma afirmac¸a˜o na˜o pode ser
simultaˆneamente verdadeira e falsa, ou seja, a negativa de uma afirmac¸a˜o a e´ falsa se a for
verdadeira, a negativa e´ verdadeira se a for falsa. De modo mais expl´ıcito, vale
Proposic¸a˜o 1. (a⇒ b) se, e somente se, (na˜o b⇒ na˜o a).
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Demo. Considere a validade de (a⇒ b) e suponha tambe´m que na˜o b e´ verdadeira. Claro que
se na˜o a for falsa, a deve ser verdadeira. Mas enta˜o, pela hipo´tese (a ⇒ b), temos que b e´
verdade, uma contradic¸a˜o com relac¸a˜o a nossa suposic¸a˜o de que na˜o b e´ verdadeira, em vista
do princ´ıpio da na˜o contradic¸a˜o.
Reciprocamente, considere que (na˜o b⇒ na˜o a) e a sa˜o va´lidos. Se b e´ falsa, enta˜o na˜o b e´
verdadeira e enta˜o, por hipo´tese, na˜o a tambe´m e´ verdadeira. Isto deve implicar que a e´ falsa,
uma contradic¸a˜o.•
Quando uma palavra tem mais de um significado, pode ocorrer da palavra ser interpretada
de mais de uma maneira, dependendo de como se apresenta no contexto e da experieˆncia de
cada pessoa. Em Matema´tica, uma palavra (ou ide´ia) a e sua definic¸a˜o a⇒ b sa˜o consideradas
como tendo exatamente o mesmo significado. Uma consequ¨eˆncia disso e´ que a sua rec´ıproca
sempre e´ verdadeira, a raza˜o disto e´ que a palavra sendo definida e b teˆm o mesmo significado,
logo a e b sa˜o intercambia´veis e enta˜o qualquer definic¸a˜o pode ser escrita na forma a ⇒ b ou
b⇒ a ou a⇔ b. Por exemplo,
Definic¸a˜o. Cı´rculo S1(P ; r) e´ o conjunto de todos os pontos em um plano Π que esta˜o a uma
mesma distaˆncia r de um determinado ponto P ∈ Π.
Por se tratar de uma ide´ia consistente, na˜o amb´ıgua, deve poder ser reescrita das treˆs
maneiras seguintes.
Definic¸a˜o. Se um ponto A esta´ em (pertence a) S1(P ; r), enta˜o a distaˆncia de A ate´ P e´ igual
a r.
Definic¸a˜o. Se um ponto A esta´ a uma distaˆncia r de um ponto P , enta˜o A esta´ em S1(P ; r).
Definic¸a˜o. Um ponto A esta´ em S1(P ; r) se, e somente se, a distaˆncia de A ate´ P e´ igual a r.
A prova indireta (reduc¸a˜o ao absurdo) e´ um instrumento muito utilizado no pensamento
lo´gico para demonstrac¸a˜o de resultados e e´ assim aplicado: considerando que a ⇒ b deve ser
demonstrado, primeiro e´ feita uma suposic¸a˜o contra´ria ao que se deseja provar, isto e´, nega-se
a tese. Depois, fatos consagrados e ide´ias aceita´veis sa˜o usados, juntamente com a suposic¸a˜o ’b
e´ falsa’, a fim de se obter uma conclusa˜o que indica que a hipo´tese e´ falsa. Pelo princ´ıpio da
na˜o contradic¸a˜o, nossa suposic¸a˜o deve ser falsa e assim a tese e´ verdadeira.
Exemplo. Dada uma reta r e um ponto P 6∈ r, ambos supostos em um mesmo plano, existe
uma u´nica reta l que passa por P e e´ perpendicular a` r.
Aqui a tese a ser verificada e´ ’existe uma u´nica reta l que passa por P e e´ perpendicular a`
r’ e comec¸amos a demonstrac¸a˜o por prova indireta por negar a tese. Suponha que na˜o existe
uma u´nica reta como na hipo´tese, enta˜o existem duas retas l e m, ambas contendo P e ambas
perpendiculares a` r.
Sendo {A} = l∩r e {B} = m∩r, tem-se o triaˆngulo ∆ABP com aˆngulos retos  = B̂. Isto
na˜o pode, pois e´ sabido que os aˆngulos internos de qualquer triaˆngulo somam 180o. Portanto,
nossa suposic¸a˜o que existem duas retas perpendiculares e´ falsa e somente pode haver uma u´nica.
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Exemplo. Para qualquer n ∈ N, na˜o existe x ∈ N tal que n < x < n + 1.
Suponha, por absurdo, que existe um tal nu´mero. Como n, x ∈ N, enta˜o x = n + y para
algum y ∈ N, logo n + y < n + 1 e enta˜o y < 1. Ocorre que na˜o existe natural inferior a 1
(2o axioma de Peano), essa contradic¸a˜o so´ teve espac¸o devido a` suposic¸a˜o ’existe x ∈ N tal
que n < x < n + 1’. Portanto, a suposic¸a˜o e´ falsa e a afirmac¸a˜o ’na˜o existe x ∈ N tal que
n < x < n + 1’ e´ verdadeira.
Outras vezes, e´ preciso desenvolver algum fato auxiliar para, somente depois, usar o recurso
da contradic¸a˜o.
Exemplo. Existem infinitos nu´meros primos.
Demonstrac¸a˜o visto nos Elementos de Euclides, por volta de 300 a.C. Primeiro observamos
(a´ı esta´ o fato auxiliar) que dados os nu´meros primos 2, 3, 5, 7, ..., xn, o nu´mero pn = 2.3.5....xn+
1 na˜o e´ primo, para todo natural n ∈ N. De fato, p1 = 3, p2 = 7, p3 = 31, p4 = 211 e p5 = 2311
sa˜o todos primos, mas p6 = 30031 = 56× 509 (fim da demonstrac¸a˜o do fato auxiliar).
Vamos agora supor que existe um nu´mero finito de nu´meros primos, digamos x1 = 2, x2 =
3, x3 = 5, ..., xn. Enta˜o, pn como definido acima na˜o e´ primo e possui um fator primo xr, com
r ≤ n, logo xr divide pn e tambe´m divide 2.3.5...xn, logo xr deve dividir 1, o que e´ absurdo
porque xr > 1. Esta contradic¸a˜o nos leva a descartar nossa suposic¸a˜o de que existe um nu´mero
finito de nu´meros primos.
Exerc´ıcio 1. Um homem diz ’eu estou mentindo!’. Analise essa afirmac¸a˜o sobre o ponto de
vista de ser verdadeira e de ser falsa, determinando qual e´ a conclusa˜o poss´ıvel.
Exerc´ıcio 2. Reescreva as seguintes frases na forma ’se..., enta˜o...’.
1) O jogo sera´ adiado se chover. 2) Nu´meros maiores do que 10 sa˜o maiores
do que 5. 3)
Um nu´mero natural e´ par se na˜o e´ ı´mpar. 4) Amanha˜ e´ sexta-feira porque hoje e´ quinta-feira.
Exerc´ıcio 3. Considere a, x, y como nu´meros reais quaisquer. Escreva a declarac¸a˜o rec´ıproca
e a rec´ıproca negativa de cada uma das seguintes frases.
1) Se a + y = a + x, enta˜o y = x. 2) Se um nu´mero e´ par, enta˜o ele e´ mu´ltiplo de 4. 3) Se
x < 5, enta˜o x < 9.
Exerc´ıcio 4. Considere um ponto interior C de AB, isto e´, qualquer ponto entre A e B, mas
diferente destes. Quais das seguintes sa˜o falsas?
1) C ∈ AB. 2) AB ⊂ AB. 3) B ∈ AC. 4) AC ∪ AB = AB. 5) AC ∩ BC = ∅. 6)
AB ∩ CB = BC.
Exerc´ıcio 5. Analise cada declarac¸a˜o (afirmac¸a˜o, frase) como verdadeira ou falsa.
1) Se o Rio de Janeiro e´ uma cidade pequena, enta˜o 2 × 3 = 6. 2) Se o Rio de Janeiro e´
uma cidade grande, enta˜o
√
2 ∈ Q. 3) Se esta´ frio, enta˜o poucas pessoas tomam banho de mar.
Hoje muitas pessoas esta˜o tomando banho de mar, logo na˜o esta´ frio. 4) Considere a seguinte
afirmac¸a˜o: se voceˆ esta´ em X, enta˜o voceˆ na˜o esta´ em Y. Enta˜o, e´ verdade que voceˆ na˜o esta´
em X, consequ¨entemente, voceˆ esta´ em Y? 5) Considere a seguinte definic¸a˜o: em um plano,
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
um conjunto X e´ aberto (no plano) quando, para qualquer ponto a ∈ X, existe um pequeno
c´ırculo Sa, de centro em a, totalmente contido em X. Analise as seguintes afirmac¸o˜es (como
verdadeira ou falsa) relacionadas a` essa ide´ia:
i) X e´ aberto ⇒ ∀a ∈ X, existe um c´ırculo Sa ⊂ X;
ii) X na˜o e´ aberto ⇒ existe um ponto a ∈ X que na˜o e´ centro de nenhum c´ırculo contido
em X;
iii) Para todo ponto a ∈ X, existe um c´ırculo Sa (suficientemente pequeno), de centro em
a, totalmente contido em X⇒ X e´ aberto;
iv) Ha´ um ponto a ∈ X para o qual na˜o existe c´ırculo Sa contindo inteiramente em X⇒ X
na˜o e´ aberto.
Exerc´ıcio 6. Estude cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e diga qual e´ verdadeira e qual e´ falsa.
1) Dois pontos determinam uma reta. 2) Dois pontos determinam um plano. 3) Treˆs pontos
sa˜o sempre coplanares. 4) Treˆs pontos determinam um plano. 5) Quatro pontos sa˜o sempre
coplanares.
Exerc´ıcio 7. Se A e B sa˜o pontos distintos em um plano Π, enta˜o
←→
AB Π.
Nota. O s´ımbolo significa ’e´ subconjunto pro´prio de’.
Exerc´ıcio 8. Desenhe um quadrila´tero �ABCD. Prove que e´ subconjunto pro´prio de um
u´nico plano.
Exerc´ıcio 9. Na figura abaixo r e s sa˜o retas perpendiculares. Trace um segmento AR, com
R ∈ r, outro BS, com S ∈ s, e RS, formando a poligonal AR∪RS ∪SB. De todas as infinitas
poligonais deste tipo que sa˜o pass´ıveis de construc¸a˜o, qual e´ a de menor comprimento?
A
B
r
s
.
.
Nota. Esta´ a´ı um bom exemplo de como funciona a Matema´tica, para resolver esse problema
e´ preciso conhecer uma situac¸a˜o pre´via mais simples: suponha somente r e A,B 6∈ r todos sobre
um mesmo plano. A ide´ia e´ ligar A com B por meio de um R ∈ r, de tal sorte que AR∪BR e´
mı´nimo (tem comprimento mı´nimo). Analise as duas poss´ıveis situac¸o˜es: A e B de um mesmo
lado de r (como no desenho), A e B em lados opostos. Depois de provar a situac¸a˜o mais simples,
ataque a situac¸a˜o do exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 10. Prove que se (A,B) ∼ (P,Q) e (C,D) ∼ (P,Q), enta˜o (A,B) ∼ (C,D).
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Exerc´ıcio 11. DE e´, por definic¸a˜o, um segmento me´dio de ∆ABC, pois D e´ ponto me´dio de
AC e E e´ ponto me´dio de BC. A Geometria plana estabelece o seguinte resultado (Teorema
do segmento me´dio): DE ‖ AB e 1d(D,E) = 1
2
d(A,B).
A ide´ia da demonstrac¸a˜o deste teorema e´ bem simples: primeiro, marque F ∈ ←→DE tal que
E fica entre D e F e (D,F ) ∼ (A,B).
C
B
D E
A
O que podemos concluir sobre (D,A) e (F,B)? O que podemos concluir sobre D̂CE e
ÊBF? Enta˜o, o que podemos concluir sobre ∆CDE e ∆BEF? Qual e´ a conclusa˜o seguinte a`
respeito de (D,E) e (E,F )?
Exerc´ıcio 12. Prove que se (A,B) ∼ (C,D), enta˜o (B,A) ∼ (D,C).
Exerc´ıcio 13. Prove que se
−−→
AX =
−−→
BX, enta˜o A = B.
Exerc´ıcio 14. Qualquer que seja −→v , mostre que:
1) Se −→v 6= −→0 , enta˜o |−→v | > 0.
2) |−→v | = 0 se, e somente se, −→v = −→0 .
3) |−→v | = | − −→v |.
Exerc´ıcio 15. Se
−→
AB =
−−→
CD, prove que AC ∩BD = ∅ e |−→AB| = |−−→CD|.
Exerc´ıcio 16. Imagine situac¸o˜es (posicionais) tais que:
1) |−→v +−→u | = |−→v |+ |−→u |,
2) |−→v +−→u | < |−→v |+ |−→u |.
Exerc´ıcio 17. Para quaisquer pontos A,B e C, vale
−→
AB −−→AC = −−−→BC.
Prove este fato por (1) ana´lise de segmentos orientados e por (2) operac¸o˜es aritme´ticas de
vetores (baseadas em propriedades operacionais vistas em sala de aula).
Exerc´ıcio 18. Para quaisquer −→v ,−→u e −→w , valem:
1) −→v +−→u = −→w se, e somente se, −→v = −→w −−→u .
2) −→v = −→u se, e somente se, −→v −−→u = −→0 .
Prove!
Exerc´ıcio 19. Mostre que, para quaisquer −→u ,−→v e −→w , vale −(−→u +−→v +−→w ) = −−→u −−→v −−→w .
1Vamos denotar a distaˆncia entre pontos X e Y pelo s´ımbolo d(X,Y )
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Exerc´ıcio 20. De quanto e´ necessa´rio multiplicar
−→
AB +
−−→
CB + 2
−→
BA para que este seja igual a
1
3
−→
AC?
Exerc´ıcio 21. Pense na utilizac¸a˜o de um triaˆngulo equila´tero e em segmentos orientados para
provar que 1+cos120o+cos240o = 0 e sen120o+sen240o = 0 (esta´ proibido o uso de calculadora
ou tabela trigonome´trica).
Exerc´ıcio 22. Prove a seguinte igualdade, (A− −→u ) +−→v = A− (−→u −−→v ).
Exerc´ıcio 23. Determine D sabendo que (A +
−→
AB) +
−−→
CD = C +
−−→
CB .
Exerc´ıcio 24. Algue´m olha para A +−→u +−→v = A e´ diz que −→u e −→v podem na˜o ser paralelos.
Esta´ certo? Ja´ para A +−→u +−→v +−→w = A aquela pessoa diz −→w e −→u +−→v devem ser paralelos.
Esta´ certo?
Exerc´ıcio 25. Resolva o seguinte sistema de equac¸o˜es vetoriais nas inco´gnitas −→u e −→v .
2−→u +−→v = −→a −−→b
−→u − 2−→v = −→a +−→b
Exerc´ıcio 26. Resolva o sistema de equac¸o˜es nas inco´gnitas −→a e −→b .
−→u = 3−→a − 5−→b
−→v = −→a + 2−→b
Exerc´ıcio 27. Verifique se existem valores para a e b, considerando-se (a − 2)−→u + b−→v =
(b + 1)−→u + a−→v , |−→u | = 2 |−→v | = 3.
Exerc´ıcio 28. O que se pode concluir de −→a e −→b se |−→a +−→b | = |−→a −−→b |?
Exerc´ıcio 29. Seja a a norma de −→a e b a norma de −→b . Quais sa˜o os limites inferior e superior
para a norma da resultante (soma de vetores)? Caso a = 2b, quais deveriam ser os limites
inferior e superior para a norma da resultante?
Considere que, no espac¸o, esta˜o fixados certos vetores −→a ,−→b ,−→c e que qualquer vetor −→v
pode ser escrito sob a forma −→v = v1−→a + v2−→b + v3−→c . Os nu´meros v1, v2, v3 sa˜o chamados as
coordenadas de −→v . Ja´ v1−→a , v2−→b , v3−→c sa˜o as componentes de −→v .
Exerc´ıcio 30. Mostre que se todas as componentes de um vetor esta˜o em sentido contra´rio a`s
componentes de outro vetor, enta˜o o pro´prio vetor tambe´m esta´ em sentido contra´rio.
Exerc´ıcio 31. Algue´m diz que −→u = 4−→a + 3−→b − −→c e −→v = −8−→a − 6−→b + 2−→c teˆm mesmo
sentido. Explique.
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Exerc´ıcio 32. Na navegac¸a˜o mar´ıtima e ae´rea, as direc¸o˜es sa˜o dadas tomando-se as medidas
a partir do Norte em sentido hora´rio. Diz-se que a direc¸a˜o de um ve´ıculo (navio, aeronave) e´
37o se o deslocamento e´ representado por um segmento orientado que forma aˆngulo de 37o com
a direc¸a˜o Sul-Norte.
x
yNorte
Sul
LesteOeste
37º
deslocamentonadir eção37º
Suponha que uma aeronave esteja voando a 600 km/h na direc¸a˜o 60o, e que o vento sopre
na direc¸a˜o 110o com velocidade de 40 km/h. Naturalmente, uma vez que a ma´quina na˜o
esta´ apoiada em um meio so´lido, a componente de vento ira´ desviar (derivar) a aeronave para
fora de sua trajeto´ria aparente (60o Nordeste) e a real direc¸a˜o sera´ outra. Tambe´m, uma vez
que o vento tem componente contra´ria ao deslocamento
da aeronave, essa tera´ sua velocidade
indicada no solo diferente daquela indicada no ar (existem sempre dois veloc´ımetros, um indica
a velocidade da aeronave dentro da massa de ar, outro indica a velocidade com a relac¸a˜o aos
fixos na superf´ıcie do planeta).
Determine a velocidade da aeronave com relac¸a˜o ao solo e a sua trajeto´ria real.
Sugesta˜o: monte um paralelogramo com os vetores −→a (aeronave), −→v (vento) e escreva-os
em termos de suas projec¸o˜es sobre o eixo−x (Leste-Oeste) e eixo−y (Norte-Sul). A trajeto´ria
(direc¸a˜o de voo) e´ dada por −→a +−→v e a velocidade e´ simplesmente |−→a +−→v |.
Resposta: 639, 4 km/h e 60o37
′
45
′′
.
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
R E S P O S T A S
Ex. 1. Se o que diz o homem e´ verdade, enta˜o ele esta´ mentindo. Pore´m, se ele mente ao
dizer que esta´ mentindo, enta˜o esta´ falando a verdade.
Ex. 2. 1) Se chover, enta˜o o jogo sera´ adiado. 2) Se um nu´mero e´ maior do que 10, enta˜o e´
maior do que 5. 3) Se um nu´mero natural e´ par, enta˜o na˜o e´ ı´mpar. 4) Se hoje e´ quinta-feira,
enta˜o amanha˜ sera´ sexta-feira.
Ex. 3. 1) Se y = x, enta˜o a + y = a + x; se y 6= x, enta˜o a + y 6= a + x. 2) Se um nu´mero e´
mu´ltiplo de 4, enta˜o o nu´mero e´ par; se um nu´mero na˜o e´ mu´ltiplo de 4, enta˜o o nu´mero na˜o e´
par. 3) Se x < 9, enta˜o x < 5; se x ≥ 9, enta˜o x ≥ 5.
Ex. 4. Sa˜o afirmac¸o˜es falsas (3) e (5).
Ex. 5. No sistema de pensamento lo´gico, a veracidade (V) ou falsidade (F) da hipo´tese (a),
da tese (b) e sua implicac¸a˜o a⇒ b sa˜o mostrados como no quadro:
a b a b
V V V
V F F
F V
F F V
V
’Se o Rio de Janeiro e´ uma cidade pequena, enta˜o 2× 3 = 6’ e´ uma declarac¸a˜o verdadeira,
porque hipo´tese falsa e tese verdadeira formam uma declarac¸a˜o verdadeira. ’Se o Rio de Janeiro
e´ uma cidade grande, enta˜o
√
2 ∈ Q’ e´ falso, porque hipo´tese verdadeira e tese falsa na˜o formam
uma declarac¸a˜o verdadeira.
A frase ’hoje muitas pessoas esta˜o tomando banho de mar, logo na˜o esta´ frio’ e´ a rec´ıproca
negativa, toda rec´ıproca negativa e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira.
A condic¸a˜o (A ∈ X ⇒ A 6∈ Y) nos leva a intuir que X e Y sa˜o conjuntos (ambientes)
disjuntos (X∩Y = ∅). Existem duas opc¸o˜es: (1a) X e Y sa˜o subconjuntos de um conjunto E
na˜o vazio, ou (2a) X∪Y na˜o e´ subconjunto de qualquer outro conjunto. Na primeira situac¸a˜o
e´ poss´ıvel A 6∈ X e A 6∈ Y, na segunda na˜o.
No que se refere a uma definic¸a˜o matema´tica, e´ sempre uma afirmac¸a˜o bicondicional a⇔ b
(leia ’a se, e somente se, b’) e, portanto, vale a ⇒ b, b ⇒ a, na˜o a ⇒ na˜o b, na˜o b ⇒ na˜o a.
Portanto, (i), (ii), (iii) e (iv) sa˜o todas afirmac¸o˜es verdadeiras.
Ex. 6. (1) sim, e´ verdade pela pro´pria definic¸a˜o de reta; (2) falso, dois pontos determinam
uma u´nica reta e essa esta´ contida em uma infinidade de planos; (3) se os pontos sa˜o colineares,
sa˜o coplanares e e´ verdade; e se os pontos na˜o sa˜o colineares, enta˜o sa˜o coplanares e e´ verdade;
(4) dois pontos, digamos A e B, esta˜o em uma reta r, e A e C esta˜o em outra reta s; as duas
retas esta˜o cont´ıdas em um u´nico plano; mas se os pontos sa˜o colineares, na˜o ha´ um u´nico
plano associado; (5) falso, pense uma piraˆmide de base triangular, de ve´rtices A,B,C,D em
que A,B e C esta˜o em um plano, mas D na˜o pertence a este.
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Ex. 7. A condic¸a˜o
←→
AB ⊆ Π resume o fato de que todo e qualquer ponto de ←→AB tambe´m e´
ponto de Π. Vamos provar. Sendo r a reta definida pelos pontos A e B, escolhemos um ponto
C ∈ Π \ r tal que A,B e C geram Π. Qualquer ponto Y ∈ ←→BX, com X ∈ AC, esta´ contido
em Π (definic¸a˜o de plano), assim qualquer ponto de r tambe´m esta´ contido em Π, como se veˆ
escolhendo X como A.
A
B
C
X
Y
r
Π
.
.
.
..
Ex. 8. Seja Π o plano que conte´m (e´ gerado por) A,B,C. A diagonal BD intercepta AC
em algum ponto X que pertence a Π, por pertencer a AC. Assim, D ∈ Π e �ABCD ⊂ Π.
Ex. 9. Sendo r uma reta e A,B pontos na˜o contidos nesta, existem duas opc¸o˜es.
A
B
r
P
Q
A
B
rP C
B’
.
.
.
.
.
.
.
.
1o caso. A e B esta˜o em lados distintos da reta. Enta˜o AB ∩ r = P e:
Afirmac¸a˜o. P resolve o problema.
De fato, se Q e´ qualquer outro ponto de r, enta˜o, pela desigualdade triangular, teremos
d(A,Q) + d(B,Q) ≥ d(A,B), ocorrendo igualdade se, e somente se, P = Q. �
2o caso. A e B em um mesmo lado da reta. Trace por B reta s perpendicular a r e determine
ponto B′ ∈ s tal que B e B′ esta˜o em lados opostos com relac¸a˜o a` r e d(B, r) = d(B ′, r). O ponto
B′ e´ conhecido como ponto reflexo de B relativamente a r. Agora trace AB ′ que intercepta r
em P . Prove a afirmac¸a˜o anterior para este caso.
Voltemos ao problema central. Trace a reta s0 por A que seja paralela a s e marque o reflexo
A′ de A com relac¸a˜o a r. Trace tembe´m a reta r0 por B que e´ paralela a r e marque o reflexo
B′ de B com relac¸a˜o a s.
Sejam R = r ∩ A′B′ e S = s ∩ A′B′. Enta˜o, AR ∪RS ∪ SB e´ a poligonal mais curta.
Ex. 10. (A,B) ∼ (P,Q) e´ uma maneira simplificada de se dizer que (1) AB ‖ PQ, (2)
AP ∩BP = ∅ e (3) d(A,B) = d(P,Q). Do mesmo modo, (C,D) ∼ (P,Q) indica (1) CD ‖ PQ,
(2) CP ∩DP = ∅ e (3) d(C,D) = d(P,Q).
Conclusa˜o, (1) AB ‖ CD, (2) AC ∩ BD = ∅ e (3) d(A,B) = d(C,D), ou seja (A,B) ∼
(C,D).
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Ex. 11. Em func¸a˜o das informac¸o˜es e da construc¸a˜o geome´trica, do ponto de vista da
teoria/nomenclatura dos segmentos orientados, e´ bem o´bvio que (D,A) e (F,B) sa˜o de mesma
direc¸a˜o, mesmo sentido, mesmo comprimento. As retas
←→
AC e
←→
BF sa˜o paralelas e
←→
BC as
intercepta, logo D̂CE e ÊBF sa˜o aˆngulos alternos internos, ou seja, teˆm mesma medida.
Visto que (D,C) ∼ (A,D) ∼ (B,F ) e (C,E) ∼ (E,B), o crite´rio de congrueˆncia L-A-
L garante que ∆CDE e´ congruente a ∆BEF . Em func¸a˜o desta congrueˆncia, devera´ valer
d(D,E) = d(E,F ), portanto (D,E) ∼ (E,F ).
Ex. 12. (A,B) ∼ (C,D) indica que sa˜o segmentos orientados de mesma direc¸a˜o, mesmo
sentido e mesma extensa˜o. Portanto, (B,A) e (D,C) tambe´m teˆm estas propriedades, sa˜o
congruentes, (B,A) ∼ (D,C).
Ex. 13.
−−→
AX = {segmentos orientados equipolentes a (A,X)} e −−→BX = {segmentos orienta-
dos equipolentes a (B,X)}. A igualdade −−→AX = −−→BX significa que (A,X) ∈ −−→BX e (B,X) ∈ −−→AX,
portanto (A,X) ∼ (B,X). Mas, a direc¸a˜o igual, o sentido igual e o comprimento igual somente
e´ poss´ıvel se A = B.
Ex. 14. 1) A condic¸a˜o −→v 6= −→0 implica que qualquer representante de −→v , digamos (A,B),
e´ um segmento orientado com d(A,B) > 0, mas d(A,B) = |−→v |.
2) Se |−→v | = 0, enta˜o qualquer representante de −→v mede zero. Ora, isto somente e´ poss´ıvel
para o vetor nulo, logo −→v = −→0 . Reciprocamente, se −→v e´ o vetor nulo, enta˜o sua norma e´ zero.
3) Seja (A,B) um representante de −→v (isto e´, (A,B) ∈ −→v ). O vetor −−→v corresponde a`
multiplicac¸a˜o de −→v por −1 e, de acordo com a definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de nu´mero por vetor,
o resultado e´ a inversa˜o de sentido. Portanto, −−→v admite (B,A) como um representante. E´
claro que d(A,B) = d(B,A), portanto |−→v | = | − −→v |.
Ex. 15. A condic¸a˜o
−→
AB =
−−→
CD se reflete na equipoleˆncia dos representantes (A,B) e (C,D).
Portanto, AC ∩BD = ∅ e d(A,B) = d(C,D). Esta u´ltima condic¸a˜o e´ emprestada aos vetores
e escrevemos |−→AB| = |−−→CD|.
Ex. 16. 1) Lembre que −→u + −→v e´ o vetor constru´ıdo pela escolha de um representante
(A,B) de −→u e um (B,C) de −→v , de modo que (A,C) representa −→u +−→v . Deste modo, |−→u +−→v |
corresponde a` distaˆncia de A ate´ C; se for B ∈ AC, enta˜o claramente |−→u | + |−→v | e´ igual a
|−→u +−→v |.
2) Caso B 6∈ AC, enta˜o |−→u +−→v | < |−→u |+ |−→v | (desigualdade triangular).
Ex. 17. Fixe os pontos A,B,C. Desenhe (B,D) paralelo a (A,C), de mesmo
comprimento,
mas de sentido contra´rio.
Enta˜o (A,D) e (B,C) sa˜o paralelos, de mesmo comprimento e de sentidos contra´rios. O
reflexo disso tudo sobre os vetores e´ que (A,D) representa
−→
AB +
−−→
BD =
−→
AB − −→AC e tambe´m
representa −−−→BC.
Em func¸a˜o das operac¸o˜es vetoriais aprendidas em sala de aulas,
−→
AB − −→AC = −→AB + −→CA =−→
CA +
−→
AB =
−−→
CB = −−−→BC.
Ex. 18. 1) −→v +−→u = −→w ⇔ (se, e somente se) −→v +−→u −−→u = −→w −−→u ⇔ −→v +−→0 = −→w −−→u ⇔−→v = −→w −−→u .
2) −→v = −→u ⇔ −→v −−→u = −→u −−→u = −→0 .
Ex. 19. Por um lado, −→u + −→v + −→w − (−→u + −→v + −→w ) = −→0 ; por outro lado, −→u + −→v + −→w +
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
(−−→u ) + (−−→v ) + (−−→w ) = −→u +−→v +−→w −−→u −−→v −−→w = −→0 .
Ex. 20.
−→
AB+
−−→
CB+2
−→
BA =
−→
AB+
−−→
CB+
−→
BA+
−→
BA =
−→
AB+
−→
BA+
−−→
CB+
−→
BA =
−→
0 +
−→
CA =
−→
CA.
Portanto, basta multiplicar
−→
AB +
−−→
CB + 2
−→
BA por −1
3
.
Ex. 21. Primeiro, desenhe ∆ABC equila´tero cujas arestas medem 1, (A,B) horizontal.
Em seguida, fixe (A,D) perpendicular a (A,B), apontando para cima e unita´rio. Escreva as
seguintes combinac¸o˜es:
−→
AB = 1
−→
AB + 0
−−→
AD,
−−→
BC = −a −→AB + b −−→AD e −→CA = −c −→AB − d −−→AD,
em que a, b, c, d > 0.
E´ evidente que vale
−→
AB+
−−→
BC +
−→
CA =
−→
0 , logo
−→
AB+0
−−→
AD−a −→AB+b −−→AD−c −→AB−d −−→AD =
(1− a− c)−→AB + (b− d)−−→AD = −→0 . Visto serem L.I. os vetores −→AB e −−→AD, valem 1− a− c = 0 e
b− d = 0.
Uma vez que
−−→
BC forma 120o com
−→
AB e
−→
CA forma 240o com
−→
AB, isto motiva escrever
−a = −cos60o = cos120o, b = sen60o = sen120o,−c = cos240o e −d = sen240o. Portanto,
1− a− c = 1 + cos120o + cos240o = 0 e b− d = sen120o + sen240o = 0.
Ex. 22. Basta aplicar as propriedades da adic¸a˜o de vetores junto com S1 e S4: (A−−→u )+−→v =
[A + (−−→u )] +−→v = A + [(−−→u ) +−→v ] = A + [(−−→u )− (−−→v )] = A− (−→u −−→v ).
Ex. 23. (A +
−→
AB) +
−−→
CD = B +
−−→
CD e C +
−−→
CB = B = B +
−→
0 , logo B +
−−→
CD = B +
−→
0
implica que D = C.
Ex. 24. Sejam −→u = −→AB e −→v = −−→BC. Enta˜o, A + −→u + −→v = B + −→v = C = A ⇒
−→v = −→BA = −−→u . A afirmac¸a˜o e´ falsa. Para a 2a situac¸a˜o, seja tambe´m −→w = −−→CD. Enta˜o,
A +−→u +−→v +−→w = B +−→v +−→w = C +−→w = D = A⇒ −→w = −→CA = −−→v −−→u = −(−→u +−→v ). A
afirmac¸a˜o e´ verdadeira.
Ex. 25. Fac¸a como ensinado em sala de aulas e obtenha −→u = 3
5
−→a − 1
5
−→
b e −→v = −1
5
−→a − 3
5
−→
b .
Ex. 26. −→a = − 2
11
−→u + 6
11
−→v e −→b = − 1
11
−→u + 3
11
−→v .
Ex. 27. Vale (a − 2 − b − 1)−→u = (a − b)−→v e 2|a − b − 3| = 3|a − b|. E´ preciso analisar
opc¸o˜es. Se a− b ≥ 3, enta˜o 2(a− b− 3) = 3(a− b) e vale a = b− 6.
Se 0 ≤ a − b < 3, enta˜o 2(−a + b + 3) = 3(a − b) e a = b + 6
5
. E se a − b < 0, enta˜o
2(−a + b + 3) = 3(−a + b) e a = b− 6.
Em qualquer um dos casos, existem soluc¸o˜es para a equac¸a˜o enunciada.
Ex. 28. Como explicado em sala de aulas, existem representantes de −→a + −→b e −→a − −→b
que sa˜o as diagonais de um paralelogramo. A condic¸a˜o enunciada nos obriga a concluir que o
paralelogramo e´ um retangulo.
Ex. 29. Se −→a e −→b teˆm mesma direc¸a˜o e mesmo sentido, enta˜o e´ bem evidente que −→b =
b
a
−→a ⇒ −→a +−→b = (1 + b
a
)−→a ⇒ |−→a +−→b | = a + b; se teˆm sentido contra´rio, enta˜o −→b = − b
a
−→a ⇒
−→a +−→b = −→a − b
a
−→a = (1− b
a
)−→a ⇒ |−→a +−→b | = |a− b|.
E se os vetores teˆm direc¸o˜es diferentes, enta˜o |−→a + −→b | = √a2 + b2 − 2abcosα, para algum
0o < α < 180o. Logo, |a− b| e a + b sa˜o os limites inferior e superior.
Ex. 30. Sendo −→v = v1−→a + v2−→b + v3−→c e −→u = −v1−→a − v2−→b − v3−→c , segue-se que −→u =
−(v1−→a )− (v2−→b )− (v3−→c ) = −(v1−→a + v2−→b + v3−→c ) = −−→v .
Ex. 31. Claro que −→v = −8−→a − 6−→b + 2−→c = −2(4−→a + 3−→b − −→c ) = −2−→u e enta˜o −→v e −→u
sa˜o de sentido contra´rio. A conclusa˜o da pessoa esta´ errada.
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Geometria anal´ıtica, Lista 1 - 2011/1
Ex. 32. E´ fa´cil ver que −→a = −→ax+−→ay e −→v = −→vx +−→vy , onde os vetores com ı´ndice x teˆm direc¸a˜o
igual ao eixo−x, os vetores com ı´ndice y teˆm direc¸a˜o dada pelo eixo−y. Devido a` direc¸a˜o de
voo, ocorre |−→ax| = 600cos30o, |−→ay | = 600sen30o, |−→vx | = 40cos20o e |−→vy | = 40sen20o.
Claro que a resultante e´ −→a +−→v = −→ax +−→vx +−→ay +−→vy , tem componente x medindo |−→ax|+|−→vx | =
600cos30o + 40cos20o e tem componente y que mede |−→ay | − |−→vy | = 600sen30o − 40sen20o.
Portanto, a direc¸a˜o real de voo e´ igual a 90o−arctg600sen30o−40sen20o
600cos30o+40cos20o
e a velocidade indicada
no solo e´ |−→a +−→v | = √(600sen30o − 40sen20o)2 + (600cos30o + 40cos20o)2.
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