Geometria analitica UERJ prova1versao1

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Geometria Anal´ıtica - Prova 1
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Crite´rio de avaliac¸a˜o: pontos sera˜o descontados, sem possibilidade de reavaliac¸a˜o futura, devido a
(1) palavras e/ou frases estranhas a` Matema´tica, (2) desenvolvimento de explicac¸a˜o (demonstrac¸a˜o,
justificativa) e/ou ca´lculo nume´rico feitos sem clareza de racioc´ınio e sem etapas indicadas correta-
mente, (3) falta de ordem no desenvolvimento de cada questa˜o (va´ do in´ıcio ao fim sem interrupc¸a˜o)
e (4) qualquer rasura (cada descumprimento custara´ 1 ponto). Respeite estas observac¸o˜es e boa sorte!
1— (2 pontos) Prove cada uma das afirmac¸o˜es:
1.1— −→u +−→x = −→u +−→y ⇒ −→x = −→y .
1.2— −→x +−→u = −→v ⇔ −→x = −→v −−→u .
1.3— O oposto de −→u +−→v e´ −−→u −−→v .
1.4— Se −→u e −→v sa˜o de mesmo sentido, enta˜o −→u = |−→u ||−→v |−→v .
2— (2 pontos) Sejam A = (3, 1, 5) e B = (5, 3, 1). Mostre que para cada P = (x, y, z) ∈
(A,B) existe um u´nico r ∈ R tal que −→AP = r
1+r
−→
AB. Depois, determine P tal que r = 3
5
.
3— (2 pontos) Descreva o procedimento que determina a distaˆncia de ponto P = (3, 5, 3) a`
reta de equac¸a˜o vetorial X = (1, 2, 1) + a(1, 6, 5) e mostre que d(P, r) e´ igual a
√
77
31
.
4— (2 pontos) Considere A = (2, 3, 1), B = (−1, 3, 5) e r : X = (1, 2, 3) + a(1,−1, 1).
Determinar um ponto C sobre r tal que ∆ABC seja retangular.
5— (2 pontos) Calcule a equac¸a˜o vetorial de uma reta r cuja distaˆncia de Π: 3x − 6y +
11z − 31 = 0 seja igual a 5.
1
R E S P O S T A S
1— 1.1— Somando-se o oposto aditivo de −→u a −→u +−→x e a −→u +−→y tem-se −−→u +−→u +−→x =
−−→u +−→u +−→y e enta˜o −→x = −→y .
1.2— −→x + −→u = −→v ⇒ −→x + −→u − −→u = −→v − −→u ⇒ −→x = −→v − −→u . Reciprocamente,−→x = −→v −−→u ⇒ −→x +−→u = −→v −−→u +−→u ⇒ −→x +−→u = −→v .
1.3— −→u +−→v − (−→u +−→v ) = −→0 e −→u +−→v −−→u −−→v = −→0 , enta˜o −(−→u +−→v ) = −−→u −−→v .
1.4— Visto que −→u e −→v sa˜o de mesma direc¸a˜o, existe a ∈ R tal que −→u = a−→v . Assim,
|−→u | = |a−→v | = |a| |−→v | ⇒ |a| = |−→u ||−→v | . Mas (definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de nu´mero por vetor) −→u e−→v de mesmo sentido indica |a| = a > 0 e enta˜o −→u = |−→u ||−→v |−→v .
Nota: Quem na˜o respondeu corretamente a essas quatro questo˜es, mostrou que na˜o entendeu
os fundamentos da ana´lise vetorial, logo na˜o vai entender Geometria anal´ıtica!
2— Primeiro e´ claro que, para qualquer P ∈ (A,B), existe um r ∈ R tal que −→AP = r−−→PB.
De
−→
AB =
−→
AP +
−−→
PB decorre
−→
AB =
−→
AP + 1
r
−→
AP = 1+r
r
−→
AP e
−→
AP = r
1+r
−→
AB. Muito simples!
Claro tambe´m (definic¸a˜o de soma de ponto e vetor) que P = A + r
1+r
−→
AB = (3, 1, 5) +
r
1+r
(2, 2,−4). Para r = 3
5
, tem-se P = (15
4
, 7
4
, 7
2
).
3— Tome dois quaisquer pontos A,B ∈ r; a distaˆncia de P ate´ r corresponde a` altura de
∆ABP , relativamente a
←→
AB, e e´ igual a |
−→
AB∧−→AP |
|−→AB| . Escolhendo a = 0 para A e a = 1 para B,
temos
−→
AB = (1, 6, 5) e
−→
AP = (2, 3, 2). Ca´lculo direto conduz a` d(P, r) =
√
77
31
.
4— Basta buscar por valor(es) de a tal que
−−→
AX.
−−→
BX = 0. Ora,
−−→
AX = (a− 1,−a− 1, a+2),−−→
BX = (a + 2,−a− 1, a− 2) e o produto escalar determina 3a2 + a− 5 = 0 e a = −3±
√
69
6
.
Substitua a na equac¸a˜o vetorial da reta e o resultado sa˜o C1 = (
9+
√
69
6
, 5 +
√
69, 21+5
√
69
6
),
C2 = (
9−√69
6
, 5−√69, 21−5
√
69
6
) ∈ r tais que ∆ABC1 e ∆ABC2 sa˜o retos!
5— Vamos ver primeiro uma ide´ia: comece escolhendo A = (x0, y0, z0) ∈ Π qualquer.−→n = (3,−6, 11) ⊥ Π determina −→v = 5 −→n|−→n | = 1√166(15,−30, 55) medindo 5 e perpendicular
a Π. Enta˜o, B = A + −→v = (x0, y0, z0) + 1√
166
(15,−30, 55) e´ um ponto no espac¸o que dista
5 de Π. Basta agora escolher C = (x1, y1, z1) ∈ Π com o qual se considera −→AC e enta˜o
r : (x, y, z) = (x0, y0, z0) +
1√
166
(15,−30, 55) + a(x1− x0, y1− y0, z1− z0) sera´ uma reta paralela
a Π distante 5 unidades.
Agora e´ simples: para A = (1, 2, 40
11
), C = (2, 1, 31
11
), tem-se X = ( 166+15
√
166
166
, 332−30
√
166
166
,
6640+605
√
166
1826
)+a(1,−1,− 9
11
) (a ∈ R) percorrendo uma reta r paralela a Π e que dista 5 unidades.
Nota: como todo o procedimento depende da escolha arbitra´ria de A,C ∈ Π, e´ bem evidente
que existem infinitas retas distantes 5 de Π. Acima foi determinada uma e so´ uma delas.
2