Lista14-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #14
1. Ratifique a fo´rmula
dn+1
dxn+1
(xn lnx) =
n!
x
, x > 0, n = 1, 2, . . .
2. Encontre, se poss´ıvel, o ma´ximo e mı´nimo absolutos das func¸o˜es dadas nos intervalos
indicados.
(i) f(x) = 3x + 2, [−3, 5];
(ii) f(x) = 2x2 − 4x− 6, (0, 5);
(iii) f(x) = ln 3x + x−2, (0, 10];
(iv) f(x) = x(x2 + 2)−1, [−1, 4];
(v) f(x) = x
√
1− x, [0, 1];
(vi) f(x) = 1 + 3(x− 2)2/3, [0, 4];
(vii) f(x) = x(x2 − x + 1)−1, (−∞,∞);
(viii) f(x) = x2/3(x− 2)2, [1, 3];
(ix) f(x) = tgx + arctgx, [−1, 1].
3. Encontre constantes a, b e c de modo que o ponto (0, 1) pertenc¸a ao gra´fico da func¸a˜o
f(x) = ax2 + bx + c e que (1,−2) seja um ma´ximo relativo de f .
4. Um fazendeiro deseja cercar um campo retangular com 800m de arame. O campo deve
margear um rio retil´ıneo de modo que o lado correspondente ao rio na˜o necessita de
arame. Quais deveraim ser as dimenso˜es do retaˆngulo de modo que a a´rea do campo
seja ma´xima.
5. Se um retaˆngulo esta´ inscrito em um c´ırculo de raio 10, encontre suas dimenso˜es nos
casos abaixo:
(i) a a´rea do retaˆngulo deve ser ma´xima;
(ii) o per´ımetro do retaˆngulo deve ser ma´ximo.
6. Uma tela de projec¸a˜o (plana) tem 10m de altura. A tela comec¸a a uma altura de 3m
do solo. A qual distaˆncia da tela um observador teria visa˜o ma´xima.
7. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito na elipse 4x2 + y2 = 16.
8. Qual ponto da reta 2x− 3y = 3 esta´ mais pro´ximo do ponto (1, 4)?
9. Uma janela consiste de um retaˆngulo montado por um semi-c´ırculo. Se o per´ımetro da
janela e´ 6m, quais sa˜o as dimenso˜es da janela que permitira˜o uma maior entrada de
luminosidade?
10. Quais deveriam ser as dimenso˜es de um setor circular de per´ımetro 24m e a´rea ma´xima.
11. Encontre o valor de x que maximiza o produto xy sujeito a` condic¸a˜o 3x + y = 6.
12. Encontre o ponto sobre a reta 2x + 2y = 1 que esta´ mais pro´ximo da origem.
13. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo de x2y sobre o c´ırculo x2 + y2 = 1.
14. Ache as dimenso˜es do maior retaˆngulo inscrit´ıvel em um semi-c´ırculo de raio 10.
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