Lista18-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #18
1. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo usando, principalmente, tudo o que voceˆ aprendeu
sobre derivac¸a˜o:
f(x) = x3 − 3x2 + 3x g(x) =
√
x2 − 4 h(x) = x
2
x + 1
f(x) =
x4
4
− 3x
2
2
+ 2x + 1 g(x) =
x3
x2 + 2
h(x) =
x3 − x + 1
x2
f(x) = x4 − 2x2 g(x) = x− 1
x2
h(x) =
x2 − x + 1
x2
f(x) =
3
√
x3 − x g(x) =
√
x2 + 2x + 5 h(x) =
4x + 3x2
1 + x2
f(x) =
lnx
x
g(x) =
x
lnx
h(x) = e2x − ex
2. Dado um triaˆngulo retaˆngulo de catetos 3 e 4, determine o retaˆngulo de maior a´rea nele
inscrito, de modo que um dos lados esteja contido na hipotenusa.
3. Dois ve´rtices de um retaˆngulo R esta˜o sobre o eixo x e os outros dois sobre o gra´fico
de f(x) = x(1 + x2)−1, x > 0. Considere o cilindro que se obte´m girando o retaˆngulo R
sobre o eixo x. Determine o retaˆngulo R de modo que o volume do cilindro seja o maior
poss´ıvel.
4. Use derivadas para deduzir que o ponto da reta ax+ by+ c = 0 mais pro´ximo do ponto
(x1, y1), dista exatamente |ax1 + by1 + c|(a2 + b2)−1/2 de (x1, y1).
5. Dado que cosh a = 17/8 e que a > 0, encontre o valor das outras 5 func¸o˜es hiperbo´licas
no ponto a.
6. Idem quando o dado e´ ta˜o somente senh a = −9/40.
7. Encontre a reta tangente ao gra´fico de f(x) = xcoshx + 3 no ponto (0, 3).
8. Encontre a reta normal ao gra´fico de g(x) = 3xcosh 2x− senhx no ponto (0, 0).
9. Comprove, geometricamente ou analiticamente, cada uma das afirmac¸o˜es abaixo:
(i) f(x) = tghx e´ uma func¸a˜o ı´mpar;
(ii) g(x) = sechx e´ uma func¸a˜o par;
(iii) coshx ≥ 1, x ∈ R;
(iv) |tgh 2x| < 1, x ∈ R;
(v) 0 < sechx ≤ 1, x ∈ R;
(vi) limx→−∞ sechx = 0;
(vii) coshx > senhx, x ∈ R;
(viii) A func¸a˜o y = coshx na˜o possui inversa;
(ix) limx→∞(coshx− senhx) = 0;
(x) h(x) = x cossechx e´ uma func¸a˜o par.
10. Deduza que (coshx + senhx)51 = cosh 51x + senh 51x. Sugesta˜o: e´ um truque.
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