Projeto estrutural de edificios - José Samuel Giongo

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO: 
 
PROJETO ESTRUTURAL DE EDIFíCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOSÉ SAMUEL GIONGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, Fevereiro de 2007 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 Este texto fornece algumas indicações a serem seguidas na elaboração de projetos 
de estruturas de edifícios usuais em concreto armado. O trabalho foi desenvolvido 
procurando atender as disciplinas relativas a Estruturas de Concreto, ministradas no Curso 
de Engenharia Civil da Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 
 O capítulo um analisa a concepção estrutural; no dois são estudadas as ações que 
devem ser consideradas no projeto; o capítulo três discute a escolha da forma estrutural 
em função de projeto arquitetônico; no capítulo quatro são apresentados os tipos de 
análise estrutural que devem ser realizadas; no capítulo cinco é apresentada, de modo 
sistemático, os critérios para projeto, dimensionamento e detalhamento de lajes maciças e, 
finalmente, no capítulo seis é desenvolvido, de modo didático, um projeto de pavimento-
tipo de edifício. O exemplo é simples e serve para um primeiro contato do leitor com o 
projeto da estrutura, sendo analisadas apenas as lajes do pavimento-tipo. 
 Neste trabalho, textos elaborados por colegas e pesquisadores são aqui utilizados. 
Assim, são dignos de nota: 
 José Roberto Leme de Andrade - Estruturas correntes de concreto armado - Parte I, 
Notas de Aula editadas pela EESC – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas; 
 Márcio Roberto Silva Corrêa - Aperfeiçoamento de modelos usualmente 
empregados no projeto de sistemas estruturais de edifícios, Tese de Doutorado, defendida 
na EESC - USP; 
 Libânio Miranda Pinheiro - Concreto armado: Tabelas e ábacos (EESC, 2003); 
 Patrícia Menezes Rios - Lajes retangulares de edifícios: associação do cálculo 
elástico com a teoria das charneiras plásticas, Dissertação de Mestrado, defendida na 
EESC - USP; 
 José Fernão Miranda de Almeida Prado - Estruturas de edifícios em concreto 
armado submetidas a ações verticais e horizontais, Dissertação de Mestrado, defendida na 
EESC - USP; 
 Edgar Bacarji - Análise de estruturas de edifícios: projeto de pilares, Dissertação de 
Mestrado, defendida na EESC - USP. 
 Para esta edição – Fevereiro de 2007, fez-se revisão da edição anterior – Agosto de 
2005. 
 A revisão do texto do capítulo 6 foi feita pelo Professor Doutor José Luiz Pinheiro 
Melges, Professor na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – UNESP, na época (1996) 
estagiário da disciplina SET 158 - Estruturas Correntes de Concreto Armado II, pelo 
Programa de Aperfeiçoamento de Ensino - PAE. 
 Para a versão, publicada em fevereiro de 2001, foi feita revisão e correção do texto. 
Essa revisão contou com a colaboração do Professor Doutor Romel Dias Vanderlei, da 
Universidade Estadual de Maringá, na época estagiário da disciplina SET 404 - Estruturas 
de Concreto A, no primeiro semestre de 2001, pelo Programa de Aperfeiçoamento de 
Ensino - PAE. 
 O texto de Julho de 2005 contou com o trabalho do Professor Doutor Rodrigo 
Gustavo Delalibera, das Faculdades Logatti, na época aluno de doutorado no 
Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, 
estagiário da disciplina SET 404 - Estruturas de Concreto A, no primeiro semestre de 2004, 
pelo Programa de Aperfeiçoamento de Ensino – PAE. 
 Esta edição contempla as indicações da NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de 
concreto, em vigor desde Março de 2003 e com edição revisada em Março de 2004. 
 Atualmente os projetos estão sendo feitos pelos escritórios com assistência de 
programas computacionais que, a partir do projeto arquitetônico, permitem o estudo da 
forma estrutural, determinação das ações a considerar, análise estrutural, 
dimensionamento, verificação dos estados limites de serviço e detalhamento. 
 Este texto tem portanto a finalidade de introduzir o estudante de engenharia civil à 
arte de projetar as estruturas de concreto armado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Janeiro de 2007 
 
i
Sumário 
 
1. Concepção estrutural 
1.1 Introdução 1 
1.1.1 Generalidades 1 
1.1.2 Identificação dos elementos estruturais 2 
1.1.2.1 Elementos lineares 4 
1.1.2.2 Elementos bidimensionais 7 
1.1.2.3 Elementos tridimensionais 13 
1.1.2.4 Sistemas estruturais compostos de elementos 13 
1.2 Descrição da estrutura de um edifício 17 
1.2.1 Generalidades 17 
1.2.2 Disposição dos elementos estruturais 18 
1.3 Arranjo estrutural 18 
1.4 Sistemas estruturais usuais 21 
1.4.1 Subsistemas horizontais 21 
1.4.2 Subsistemas verticais 23 
1.5 Idealização das ações 25 
1.6 O modelo mecânico 26 
1.7 Custo da estrutura 28 
 Referências bibliográficas 30 
 
2. Ações a considerar nos projetos de edifícios 
2.1 Introdução 33 
2.1.1 Generalidades 33 
2.1.2 Ações permanentes 33 
2.1.2.1 Ações permanentes diretas 33 
2.1.2.2 Ações permanentes indiretas 33 
2.1.3 Ações variáveis 34 
2.1.3.1 Ações variáveis normais 34 
2.1.3.2 Ações variáveis especiais 34 
2.1.4 Ações excepcionais 34 
2.2 Valores das ações permanentes 35 
2.2.1 Ação permanente de componentes utilizados em edifícios 36 
2.2.1.1 Peso próprio de alvenaria revestida de um tijolo furado 37 
2.2.1.2 Peso próprio de vários materiais usualmente empregados 38 
2.2.1.3 Exemplo de consideração de ações permanentes em lajes 39 
2.2.1.4 Peso próprio de paredes não definidas no projeto 43 
2.2.1.5 Cálculo dos esforços solicitantes de lajes com ação de 
 paredes definidas no projeto 44 
2.3 Ações variáveis normais 44 
2.3.1 Consideração das ações variáveis normais nos pilares 46 
2.3.2 Exemplo de consideração de ações variáveis em lajes 46 
2.4 Ação do vento 46 
2.4.1 Cálculo das forças devidas ao vento em edifícios 47 
2.4.2 Procedimento de cálculo 47 
2.4.3 Cálculo dos esforços solicitantes 47 
2.5 Efeitos dinâmicos 47 
2.6 Exemplo de cálculo das forças por causa do vento 47 
2.6.1 Velocidade característica do vento 48 
2.6.2 Velocidade básica do vento 48 
2.6.3 Fator topográfico 48 
2.6.4 Fator s2 49 
2.6.5 Fator estatístico s3 49 
2.6.6 Velocidades característica do vento 49 
2.6.7 Pressão dinâmica 49 
2.6.8 Determinação dos coeficientes de arrasto (ca) 50 
2.6.8.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área 50 
2.6.8.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área 50 
2.6.9 Determinação das forças relativas ao vento 51 
2.6.9.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área 51 
Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Sumário ii
2.6.9.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área 51 
2.7 Outras ações 52 
2.7.1 Variação da temperatura 52 
2.7.2 Ações dinâmicas 53 
2.7.3 Ações excepcionais 53 
2.7.4 Retração 53 
2.7.5 Fluência 53 
 Referências bibliográficas 53 
 
3.
Escolha da forma da estrutura 
3.1 Aspectos gerais 55 
3.2 Anteprojeto da forma da estrutura de um edifício 55 
3.2.1 Dimensões mínimas dos elementos estruturais 56 
3.2.1.1 Lajes 56 
3.2.1.2 Vigas e vigas-parede 56 
3.2.1.3 Pilares e pilares-parede 57 
3.2.1.4 Paredes estruturais 58 
3.2.1.5 Fundações 58 
3.2.2 Dimensões econômicas para pré-dimensionamento 
 de elementos estruturais 58 
3.2.3 Escolha das posições dos elementos estruturais 59 
3.2.4 Pré-dimensionamento da estrutura dos pavimentos 64 
 Referências bibliográficas 70 
 
4. Análise estrutural 
4.1 Considerações iniciais 71 
4.2 Estabilidade global de edifícios 72 
4.2.1 Parâmetro de instabilidade α 73 
4.2.2 Coeficiente γz 77 
4.2.3 Análise de estruturas de nós móveis 78 
4.2.4 Consideração da alvenaria 80 
4.3 Esforços solicitantes por causa de imperfeições globais 81 
4.4 Ações horizontais 82 
4.4.1 Considerações iniciais 82 
4.4.2 Modelos para determinação dos esforços solicitantes 83 
4.4.2.1 Modelos de pórticos planos 83 
4.4.2.2 Modelo tridimensional 84 
4.4.3 Métodos simplificados 85 
4.5 Valores das ações a serem considerados nos projetos 86 
4.5.1 Valores representativos das ações 86 
4.5.1.1 Valores de cálculo 86 
4.5.1.2 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último 87 
4.6 Combinações das ações 88 
4.6.1 Combinações a considerar 88 
4.6.1.1 Combinações últimas 88 
4.6.1.2 Combinações de serviço 89 
 Referências bibliográficas 91 
 
5. Lajes maciças 
5.1 Introdução 93 
5.2 Exemplos de esquemas estáticos para lajes maciças 94 
5.2.1 Laje isolada, apoiada em vigas no seu contorno 94 
5.2.2 Duas lajes contíguas 95 
5.2.3 Lajes em balanço 96 
5.3 Tipos de condições de vinculação para lajes isoladas 96 
5.4 Condições de vinculação diferentes das indicadas nas tabelas 99 
5.5 Vãos efetivos das lajes 100 
5.6 Altura útil e espessura 101 
5.7 Cálculo dos esforços solicitantes 102 
5.7.1 Reações de apoio 102 
5.7.1.1 Exemplo 1 104 
5.7.1.2 Exemplo 2 105 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Janeiro de 2007 
 
iii
5.7.2 Cálculo mediante tabelas 106 
5.7.2.1 Exemplo 1 108 
5.7.2.2 Exemplo 2 109 
5.7.2.3 Exemplo 3 110 
5.8 Cálculo dos momentos fletores 111 
5.8.1 Equação diferencial da superfície elástica 111 
5.8.2 Momentos fletores e compatibilização 117 
5.8.3 Cálculo mediante tabelas 118 
5.8.3.1 Exemplo 1 118 
5.8.3.2 Exemplo 2 119 
5.8.3.3 Exemplo 3 120 
5.8.4 Cálculo dos momentos fletores finais 121 
5.9 Esforços solicitantes em lajes com ação linearmente distribuída – 
 paredes sobre lajes 123 
5.9.1 Lajes armadas em duas direções 123 
5.9.2 Lajes armadas em uma direção 123 
5.9.2.1 Parede na direção perpendicular a armadura principal 123 
5.9.2.2 Parede paralela à armadura principal 124 
5.10 Dimensionamento das lajes maciças 127 
5.10.1 Verificação das tensões tangenciais 127 
5.10.1.1 Lajes sem armadura para força cortante 127 
5.10.2 Verificação das tensões normais - cálculo das armaduras 128 
5.10.2.1 Cálculo das armaduras longitudinais de tração 128 
5.11 Distribuição das armaduras de flexão 133 
5.11.1 Armaduras junto à face inferior da laje (positivas) 134 
5.11.2 Armadura junto à face superior da laje ( negativas ) 134 
5.11.3 Momentos volventes 136 
5.12 Verificação dos estados limites de serviço 136 
5.12.1 Estado limite de deformação excessiva 136 
5.12.1.1 Estado limite de formação de fissura 136 
5.12.1.2 Estado limite de deformação 137 
5.12.1.3 Estado limite de fissuração 139 
 Referências bibliográficas 142 
 
6. Exemplo de projeto de pavimento de edifício 
6.1 Introdução 143 
6.2 Escolha da forma estrutural 144 
6.3 Verificação das dimensões indicadas na planta arquitetônica 145 
6.4 Cálculo das distâncias entre as faces das vigas 146 
6.5 Dimensionamento das lajes 148 
6.5.1 Vinculação, vãos teóricos, espessuras das lajes 148 
6.5.2 Desenho da forma estrutural 150 
6.6 Ações nas lajes 151 
6.6.1 Ações permanentes diretas 151 
6.6.2 Ação relativa ao enchimento na laje L02 152 
6.6.3 Ação das paredes na laje L02 153 
6.6.4 Ações variáveis normais 153 
6.6.5 Ações atuantes na laje L03 153 
6.7 Cálculo dos esforços solicitantes 154 
6.8 Cálculo e detalhamento das armaduras 157 
6.9 Verificação das tensões tangenciais 162 
6.10 Verificação dos estados limites de serviço 163 
6.10.1 Momento de fissuração 163 
6.10.2 Verificação dos estados limites de deformação excessiva 164 
6.10.3 Verificação das aberturas das fissuras 171 
 Referências bibliográficas 176 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 1
1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
1.1.1. GENERALIDADES 
 
 O concreto armado é um material que pela sua própria composição se adapta a 
qualquer forma estrutural atendendo, portanto, a inúmeras concepções arquitetônicas, 
como atestam as edificações existentes pelo País. 
 Como exemplos marcantes podem ser citados os edifícios públicos construídos 
em concreto armado na cidade de Brasília, nos quais os arquitetos Oscar Niemeyer e 
Lúcio Costa tiveram todas as suas concepções arquitetônicas atendidas com projetos 
estruturais compatíveis. 
 Nos casos dos edifícios residenciais ou comerciais, as estruturas em concreto 
armado são projetadas em função da finalidade da edificação e da sua concepção 
arquitetônica. 
 A estrutura portante para edifícios residenciais ou comerciais pode ser 
constituída por elementos estruturais de concreto armado; de concreto protendido ou 
por uma associação dos dois materiais; alvenaria estrutural - armada ou não; por 
associação de elementos metálicos para pórticos e grelhas com painéis de laje de 
concreto armado, com fechamento em alvenaria; e, com elementos pré-fabricados de 
argamassa armada. Em algumas regiões do País se encontra a utilização de estruturas 
de madeira na construção de edifícios de pequena altura. 
 Em algumas edificações a estrutura portante em concreto armado é aparente, isto 
é, olhando-se para ela se percebem nitidamente as posições dos pórticos e das grelhas 
que devem sustentar as ações aplicadas. Em outras edificações, depois da obra 
terminada, só se notam os detalhes arquitetônicos especificados no projeto, pois todos 
os elementos estruturais ficam incorporados nas paredes de fachadas e divisórias. 
 A decisão para se projetar a estrutura portante de um edifício utilizando uma das 
opções citadas, depende de fatores técnicos e econômicos. Entre eles pode-se 
destacar a facilidade, no local, de se encontrar os materiais e equipamentos 
necessários para a sua construção, além da capacidade do meio técnico para 
desenvolver o projeto do edifício. 
 Neste trabalho se discutem as indicações para projetos de estruturas em concreto 
armado, de edifícios residenciais ou comerciais, com estrutura constituída por pórticos 
e grelhas
moldadas no local. Apresentam-se, também, as indicações para projetos de 
painéis de lajes nervuradas moldadas no local e parcialmente pré-moldadas. 
 A escolha do tipo de estrutura portante para edifícios residenciais e comerciais 
depende de fatores essencialmente econômicos, pois as condições técnicas para se 
desenvolver o projeto estrutural e as condições para a construção são de 
conhecimento da engenharia de estruturas e de construções. 
 São analisadas as estruturas de edifícios residenciais ou comerciais constituídos 
por pórticos verticais e grelhas horizontais, com as respectivas lajes, em concreto 
armado moldado no local. 
 As fundações podem ser, de acordo com o tipo de terreno, em tubulões ou 
estacas (fundações profundas) ou sapatas (fundações rasas). As ligações entre os 
pilares e os tubulões ou estacas são feitas pelos blocos de coroamento. 
 Os cálculos dos esforços solicitantes atuantes em estruturas de edifícios de 
concreto armado podem ser feitos por processo simplificado, que considera os 
elementos estruturais separadamente, ou por processo mais elaborado, que considera 
o conjunto de vigas e lajes como grelha e o conjunto de vigas e pilares como pórtico 
plano ou pórtico espacial. 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 2
 Os processos simplificados são aceitos pelas normas nacionais, que indicam 
correções que devem ser feitas para se considerar a segurança de cada elemento 
estrutural e do edifício como um todo. Assim, por exemplo, podem-se calcular os 
esforços solicitantes em vigas contínuas sem considerar a ligação com os pilares 
internos desde que as indicações da norma brasileira NBR 6118:2003 sejam 
respeitadas. Com essa simplificação os momentos fletores podem ser determinados 
por processo expedito, como por exemplo o Processo de Cross. 
 Processo de cálculo dos esforços solicitantes mais elaborado, com uso de 
programa computacional deve levar em conta a continuidade do painel. O mesmo deve 
ocorrer com as vigas que são consideradas como grelhas carregadas com as reações 
de apoio das lajes determinadas elasticamente e com a consideração das alvenarias. 
Os esforços solicitantes nas vigas e nos pilares, quando submetidos às ações verticais 
como também as horizontais (vento), podem ser determinados considerando o efeito 
de pórtico. A NBR 6118:2003 indica que se analise a estrutura do edifício com as ações 
oriundas do desaprumo global. Entre os esforços solicitantes por causa da ação do 
vento e do desaprumo, a norma indica que se considerem os esforços de maior 
intensidade. 
 
1.1.2 IDENTIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
 Nos edifícios usuais de concreto armado os elementos estruturais, que compõem 
o sistema estrutural global, são constituídos pelas lajes, vigas e pilares ou a união 
destes elementos, como por exemplo, as escadas que são compostas por lajes e vigas. 
Os pilares, junto ao nível do terreno ou abaixo dele se houver subsolo, são apoiados 
em sapatas diretas ou blocos sobre estacas para transferir as ações para o solo. 
 Cada elemento estrutural deve ter função compatível com os esforços solicitantes 
e sua segurança tem que ser garantida com relação aos Estados Limites Últimos e de 
Serviço. O arranjo dos elementos estruturais é muito importante para a segurança da 
estrutura e deve ser compatível com o projeto arquitetônico. 
 Para se realizar o arranjo estrutural é preciso conhecer os elementos e o seu 
comportamento estrutural, tornando-se necessário classificá-los. 
 Vlassov [1962] indica uma classificação dos elementos estruturais fundamentais 
seguindo critério geométrico, ao qual pode ser associado o comportamento do 
elemento em função de sua posição na estrutura. 
 Além disso, é possível associar ao elemento estrutural os critérios da Mecânica 
das Estruturas com os quais são determinados os esforços solicitantes. 
 No critério geométrico faz-se a comparação da ordem de grandeza das três 
dimensões características [l1], [l2] e [l3] dos elementos estruturais, surgindo a seguinte 
classificação. 
 
 a. elementos lineares de seção delgada - são os elementos que têm a espessura 
(b) muito menor que a altura (h) da seção transversal e, esta muito menor que o 
comprimento (l). Caracterizam-se como elementos de barras, como pode ser visto na 
figura 1.1a. 
 Como exemplos podem ser citados os elementos estruturais lineares de 
argamassa armada. Argamassa Armada é um tipo particular de concreto armado cujas 
peças têm espessuras menores do que 40mm, conforme indicado na NBR 1259:1989. 
 
 b. elementos lineares de seções não delgadas - são os elementos que têm a 
espessura (b) da mesma ordem de grandeza da altura (h) da seção transversal e, 
estas bem menores que o comprimento (l1). As barras são elementos que atendem 
essa definição, conforme figura 1.1-b. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 3
 Os elementos lineares de seção não delgada, nas estruturas dos edifícios, são as 
vigas, os pilares e, se houverem, os tirantes. As vigas e os pilares são diferenciados 
pelo tipo de solicitação: as vigas são solicitadas essencialmente à flexão e os pilares 
solicitados à flexão composta. 
 
 c. elementos bidimensionais - são os elementos estruturais que têm as suas 
dimensões em planta (l1 e l2) da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a 
terceira dimensão que é a espessura (h), como mostrado na figura 1.1-c. São 
elementos estruturais de superfície. 
 Como exemplos podem ser citados as lajes dos pavimentos dos edifícios, as 
paredes dos reservatórios paralelepipédicos, as lajes das escadas e as paredes de 
arrimo necessárias quando o edifício tem subsolo destinado a garagens. 
 
 d. elementos tridimensionais - são aqueles que têm as três dimensões (l1, l2 e l3) 
da mesma ordem de grandeza conforme figura 1.1-d. Exemplos de elementos 
tridimensionais nos edifícios são as sapatas responsáveis por transferir as ações 
atuantes nos pilares para o terreno, quando este tem resistência suficiente em 
camadas próximas (até 2,0m) do nível do piso de menor cota. Podem ser adotadas 
fundações profundas - estacas ou tubulões – exigindo, portanto, blocos para 
transferirem as ações dos pilares para camadas profundas do terreno. 
 
 
a) 
 
b) 
c) 
 
d) 
Figura 1.1 - Identificação dos elementos estruturais 
[Fusco, 1976] 
 
 Segundo Andrade [1982], para efeito de orientação prática pode-se considerar da 
mesma ordem de grandeza valores das dimensões cuja relação se mantenha em 1/10. 
 Na classificação apresentada, embora completa do ponto de vista geométrico, 
não se estabelece o comportamento dos elementos estruturais. Isso pode ser notado 
com relação aos elementos lineares de seção não delgada, quando foram citados 
como exemplos vigas e pilares, que fazendo parte dessa classificação geométrica 
diferem com relação às ações que a eles são aplicados. 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 4
 Para facilitar o entendimento far-se-á uma descrição de tipos de elementos 
estruturais, usualmente encontrados em estruturas de edifícios, atendendo a 
classificação geométrica associando ao comportamento estrutural. 
 
1.1.2.1 Elementos lineares 
 
 Os elementos lineares, de seção delgada ou não, são caracterizados, segundo a 
mecânica das estruturas como elementos de barras. Podem, portanto, ser submetidos 
a solicitações normais e tangenciais. As solicitações normais são específicas das 
barras submetidas à compressão uniforme, flexão composta - normal ou oblíqua, flexão 
simples ou tração simples. 
 Nas estruturas de edifícios as barras submetidas essencialmente à flexão são as 
vigas, que também estão solicitadas a tensões tangenciais oriundas da ação da força 
cortante e, se for o caso, momento torçor. Os pilares são submetidos à flexão 
composta. Os pilares são identificados, segundo as suas posições no desenho
de 
forma do pavimento tipo como sendo de canto, submetidos à flexão composta oblíqua, 
de extremidade, submetidos, simplificadamente a flexão normal composta, e, 
intermediário, submetidos à compressão centrada. As barras submetidas à tração 
simples ou flexo-tração são os tirantes que têm a sua segurança verificada levando-se 
em conta apenas à contribuição das barras de aço, pois no estado limite último à 
participação do concreto solicitado à tração é desprezada. 
 No modelo estrutural mecânico idealizado para o sistema estrutural real, as vigas 
têm a finalidade de servir de apoio para as lajes absorvendo, portanto as ações a elas 
transmitidas. As vigas por sua vez distribuem as ações para os pilares. Os esforços 
solicitantes podem ser determinados considerando o efeito de grelha, embora eles 
possam ser calculados supondo-as isoladas, isto sem considerar o efeito de grelha. 
 Com relação às ações horizontais atuantes nos edifícios, o sistema resistente é 
constituído pelos pórticos verticais, pilares e vigas que, além de absorverem a ação do 
vento, contribuem para a estabilidade global. 
 A figura 1.2 mostra o desenho da forma estrutural do pavimento-tipo de um 
edifício, onde pode ser visto que é constituído por quatro lajes maciças L01, L02, L03 e 
L04, todas com 10cm de espessura. As reações de apoio nas lajes são as ações 
atuantes nas vigas que, por sua vez, aplicam suas ações nos pilares. O 
comportamento estrutural das lajes deve levar em conta o monolitismo existente nas 
ligações entre elas. Assim, elas podem ser consideradas engastadas entre si desde 
que haja rigidez para isto; em caso contrário considera-se a menos rígida engastada na 
laje contígua e a mais rígida apoiada na viga. 
 A consideração de vinculação entre as lajes depende também das rigidezes das 
vigas do pavimento. No caso de grande deformabilidade das vigas não ocorre 
momento fletor tracionando as fibras superiores das lajes (momento fletor negativo), 
sendo que nesta situação fica conveniente considerar as lajes apoiadas nas vigas. 
 Deste modo dispõem-se apenas de armaduras posicionadas junto às faces 
superiores das lajes com a finalidade de limitar as aberturas das fissuras. Estas 
armaduras não têm a responsabilidade de absorver momentos fletores oriundos das 
ligações entre as lajes. 
 A figura 1.2 representa a forma estrutural do pavimento-tipo do edifício exemplo. 
O desenho foi realizado posicionando-se o observador no andar i - 1 e olhando para o 
andar i. Isto se faz necessário pois, se o observador ficasse posicionado no andar e 
olhando para baixo, as arestas das vigas deveriam ser representadas por traços não 
contínuos, com exceção das arestas externas das vigas de borda que estariam sendo 
vistas pelo observador. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 5
 
 FORMA – TIPO 
 
Figura 1.2 - Forma estrutural de um pavimento - tipo de edifício 
 
 A figura 1.3 apresenta o desenho do corte vertical dos pavimentos-tipo, corte este 
realizado pelo plano AA, conforme indicado na figura 1.2, perpendicular ao plano dos 
pavimentos. Pode-se, nesta figura, visualizar os elementos lineares (barras) vigas e 
pilares necessários para transferir as ações atuantes nas lajes dos pavimentos. 
 As ações atuantes são as ações permanentes diretas, que são os pesos próprios 
dos elementos da construção, os pesos dos materiais de acabamento e de todos os 
equipamentos fixos, e as ações variáveis normais que são ações relativas a utilização 
da edificação tais como pessoas, móveis, veículos e etc. Nas estruturas dos edifícios 
devem ser sempre consideradas as forças atuantes pela ação de vento, absorvidas 
pelos pórticos verticais constituídos pelas vigas e pilares da edificação. 
 Deste modo percebe-se a importância dos elementos estruturais de barras - vigas 
e pilares - na segurança das estruturas de concreto armado destinadas a edifícios. As 
vigas normalmente estão submetidas a ações uniformemente distribuídas, embora 
possam, em casos que o projeto exija, receber ação concentrada por causa da 
necessidade de se apoiar viga em viga, o que lhes dá uma situação de elementos 
estruturais submetidos a esforços de flexão - momento fletor e força cortante. 
Os pilares, em virtude da consideração de pórtico plano ou espacial, ficam 
submetidos a esforços de flexo-compressão - momento fletor e força normal. Com a 
consideração de ação horizontal têm também solicitação de força cortante. 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 6
 
 
 CORTE A 
 ESC. 1:75 
Figura 1.3 - Corte transversal dos pavimentos de um edifício 
 
 Como exemplo de elementos estruturais em argamassa armada podem ser 
citadas as telhas de coberturas dos edifícios da Fábrica de Lacticínios de São Carlos 
(figura 1.4) e do Departamento de Arquitetura e Planejamento - EESC-USP (figura 1.5), 
demolido para dar lugar ao edifício da administração do Instituto de Física de São 
Carlos. 
 Hanai [1992] descreve que em 1974 o Prof. Frederico Schiel, do Departamento de 
Engenharia de Estruturas - EESC-USP, projetou para a Fábrica de Laticínios vigas de 
cobertura em argamassa armada para vão livre de 21.000mm, com balanços laterais 
de 2.500mm e 5.500mm com altura da seção transversal típica de 620mm. Notar na 
figura 1.4 que as espessuras das almas são iguais a 24mm, caracterizando elementos 
lineares de seção delgada. A altura da mesa superior da seção transversal é variável, 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 7
ocupando posições diferentes de acordo com a variação do diagrama de momentos 
fletores. Por outro lado, esta variação permite escoamento de águas pluviais. 
 
 
b) SEÇÃO TRANSVERSAL 
 
Figura 1.4 - Cobertura da Fábrica de Lacticínios São Carlos 
[Hanai, 1990] 
 
 A cobertura do Departamento de Arquitetura e Planejamento – EESC - USP 
(Figura 1.5), projeto dos professores da EESC – USP, na época, Arq. Antônio 
Domingos Bataglia, Eng. João Carlos Barreiro e Arq. Carlos Augusto Welker, com 
participação do Prof. Schiel, atende a vão livre de 12.000mm, com elementos em forma 
de V com projeções das almas no plano horizontal igual a 1.000mm e no vertical igual a 
600mm, conforme figura 1.5. De acordo com Bataglia, citado por Hanai [1992], ”o 
projeto proposto foi o de fazer a montagem da placa dobrada pela junção ‘in loco’ das 
bordas de peças prismáticas pré-moldadas em forma de V. Cada placa tem duas linhas 
de apoio e, conforme o bloco a ser coberto, balanços em uma das bordas”. 
 
1.1.2.2 Elementos Bidimensionais 
 
 Os elementos bidimensionais são elementos de superfície, onde, como já visto, 
duas das dimensões, medidas ao longo da superfície média, são maiores que a 
espessura. Quando a curvatura na superfície média for nula os elementos estruturais 
bidimensionais podem ser chamados de placas ou chapas, em caso contrário, ou seja, 
quando a curvatura for diferente de zero os elementos são chamados de cascas. 
 O elemento estrutural bidimensional é chamado de placa quando a ação 
uniformemente distribuída é aplicada perpendicularmente ao seu plano e, quando esta 
ação for aplicada paralelamente ao plano é chamado de chapa. Nas estruturas de 
concreto armado estes elementos são chamados de lajes e paredes respectivamente. 
 
 a. lajes 
 
 As lajes, que são placas de concreto armado, são normalmente horizontais e, nas 
estruturas dos edifícios, responsáveis por receber as ações verticais - permanentes ou 
acidentais - atuantes nas estruturas dos pavimentos e das coberturas. 
 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 8
 
 
Figura 1.5 - Cobertura no Campus USP - São Carlos [Hanai, 1990] 
 
 Nas estruturas de edifícios usuais as lajes representam, no conjunto
total da 
edificação, um consumo de concreto da ordem de 50% do volume total. Assim, é de 
suma importância a sua análise como elemento estrutural por, além do consumo que 
representa, estar sempre presente na composição estrutural. 
 As lajes podem ser maciças ou nervuradas (Figura 1.6), moldadas no local ou 
pré-fabricadas ou ainda podem ser parcialmente pré-fabricadas. 
 As lajes maciças são aquelas que ao longo de toda a superfície a espessura é 
mantida constante. Nas lajes nervuradas essa espessura é descontínua; a laje 
nervurada é, portanto, constituída por nervuras distribuídas nas duas direções e por 
uma mesa ligada as nervuras. 
 As lajes maciças ou as nervuradas moldadas no local exigem, portanto, a 
construção de uma estrutura auxiliar normalmente construída em madeira que sirva de 
fôrma. Há necessidade também de cimbramentos que pode ser em estruturas de 
madeira ou metálica. Com o alto custo da madeira e analisando a questão ambiental, 
mais recentemente têm sido utilizadas para a moldagem de lajes nervuradas fôrmas 
constituídas por materiais metálicos e fibra de vidro. 
 Quando, por exigência arquitetônica, for previsto forro plano há necessidade de 
fôrma na face inferior das lajes, dispõem-se blocos que podem ser cerâmicos, de 
concreto leve, de isopor, de plástico, ou cilindros de papelão envolvidos em filme 
plástico. 
 Com a finalidade de se economizar fôrma, inclusive a posicionada junto à face 
inferior da laje, pode ser adotada como solução estrutural para os pavimentos as lajes 
pré-fabricadas, que podem ser maciças ou nervuradas. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 9
 
 
Figura 1.6 - Perspectiva de parte de um edifício [Mac Gregor, 1988] 
 
 As lajes maciças pré-fabricadas (figura 1.7) são constituídas por painéis de 
pequena espessura, da ordem de 30mm, com largura de 330mm e comprimento em 
função do menor vão da laje determinado de acordo com a da forma estrutural. A 
armadura na direção do vão é posicionada por ocasião da construção do elemento pré-
fabricado e as barras têm comprimento maior do que o elemento, com a finalidade de 
ancorá-las corretamente nas vigas de apoio. A armadura na outra direção é 
posicionada, na obra, junto à face superior do elemento pré-fabricado. 
 Os elementos pré-fabricados são providos de uma treliça, posicionada ao longo 
do plano médio que os tornam mais rígidos, possibilitando manuseio e transporte com 
segurança e, além disso, permite melhor ligação do concreto lançado na obra com o 
concreto do elemento, funcionando como conectores. 
 
 
Figura 1.7 - Laje maciça pré – fabricada [Catálogo Lajotec] 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 10
 
 As lajes nervuradas pré-fabricadas, conforme mostrada na figura 1.8, têm a parte 
inferior da nervura pré-fabricada e é fornecida em forma de T - invertido ou em forma 
de seção retangular com treliça espacial. A seção T - invertido e a treliça têm a 
finalidade de enrijecer o elemento com vistas ao transporte e posicionamento na obra. 
Entre os elementos pré-fabricados são posicionados blocos cerâmicos ou de isopor de 
altura compatível com a altura indicada para a laje nervurada. Depois de posicionadas 
e cimbradas corretamente, faz-se a concretagem das nervuras e da mesa da laje 
nervurada. 
 Como pode ser notado nas figuras 1.7 e 1.8 este processo construtivo elimina a 
fôrma e diminui consideravelmente a quantidade de cimbramentos propiciando 
economia global da obra. 
 A decisão de se adotar lajes pré-fabricadas nas estruturas dos edifícios deve levar 
em conta análises estruturais e de custos. Nos edifícios de muitos andares, por 
exemplo, mais do que cinco, deve ser analisada a conveniência de adotá-las, pois há 
que se pensar no transporte dos elementos pré-fabricados, que é feito por elevadores 
de obra. Este fato pode trazer acréscimo de custo e principalmente de segurança na 
obra. 
 Todas estas variáveis devem ser analisadas de comum acordo entre o 
engenheiro projetista da estrutura, o proprietário e o engenheiro da firma construtora; 
só depois desta análise é que se deve optar pela utilização de laje pré-fabricada 
levando-se em conta a disponibilidade de fornecimento na região onde a obra será 
construída. 
 
 
 
Figura 1.8 - Laje nervurada com parte da nervura pré-fabricada 
[Catálogo Lajes Paoli] 
 
 As lajes pré-fabricadas podem ser também em elementos protendidos (figura 1.9) 
de largura de 1.000mm nas espessuras de 100mm, 150mm e 200mm para vãos entre 
vigas de 6.000mm, 8.500mm e 11.000mm respectivamente. Estes valores são 
indicados para lajes de pisos e obtidos em catálogo da Associação Brasileira de 
Construção Industrializada (1986). As ligações entre os elementos são feitos por 
conectores metálicos soldados na obra. Nesse caso os elementos podem ser auto-
portantes, não sendo necessários cimbramentos. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 11
 
Figura 1.9 - Laje pré - fabricada protendida [ABCI, 1986] 
 
 Pode ser adotado em projetos de edifícios como solução para os pavimentos as 
lajes sem vigas, que são aquelas que se apóiam diretamente nos pilares, estando a 
eles diretamente ligadas. Na ligação entre a laje e os pilares pode haver os capitéis, 
que são troncos de prismas ou de cones (se colunas) em concreto armado, projetados 
para se diminuir as tensões de cisalhamento e evitar a punção da laje na região do 
pilar. Figueiredo Filho [1989] chama de laje sem viga aquelas sem capitel, conforme 
mostrado na figura 10, e, laje cogumelo as lajes sem vigas porém com capitéis, figura 
1.11. 
 
 
 
Figura 1.10 - Laje sem vigas 
[Figueiredo Filho, 1989] 
 
 
 
Figura 1.11 - Laje cogumelo 
[Figueiredo Filho, 1989] 
 
 A solução estrutural em laje sem vigas apresenta como vantagem significativa o 
fato de haver economia de fôrma com relação às vigas, exigindo fôrmas para os pilares 
e lajes. Na verificação da segurança do edifício atenção especial deve ser dada à ação 
do vento e estabilidade global, pelo fato de não haver vigas que participem dos pórticos 
que enrijecem a estrutura. 
 
 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 12
 b. paredes 
 
 Em princípio todo elemento estrutural, bidimensional, isto é, que tenha duas das 
dimensões maiores que a terceira (espessura), posicionado paralelamente ao plano 
vertical é chamado de parede, sendo identificado nos desenhos e memórias de cálculo 
pela sigla PAR seguida de um número de ordem e das suas dimensões - espessura e 
altura. 
 As paredes são chapas e, conforme já visto, são elementos estruturais 
bidimensionais com ação agindo paralelamente ao plano médio. As paredes são, 
portanto, chapas de concreto armado e com apoio contínuo, isto é, o apoio da parede 
se dá ao longo de toda a base. 
 Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticais 
apoiadas de modo contínuo em toda a sua base, sendo que o comprimento da seção 
transversal é maior do que cinco vezes a largura. 
 Exemplos de paredes são as paredes de reservatórios paralelepipédicos para 
água enterrados e apoiados diretamente sobre o solo, com a laje de fundo também 
trabalhando como fundação. As reações de apoio das lajes de tampa e de fundo 
transmitidas às paredes são ações uniformemente distribuídas e atuam paralelamente 
ao plano médio. 
 Na figura 1.6 pode-se notar que entre o nível superior da fundação direta e a face 
superior do nível do térreo há uma parede que tem dupla finalidade: deve conter o 
empuxo de terra, em função do desnível - efeito de placa e receber a ação das lajes do 
térreo - efeito de chapa, neste caso uma parede. 
 
 c. vigas-parede 
 
 As vigas-parede são estruturas laminares planas verticais apoiadas isoladamente, 
isto é têm apoios
discretos, ou sejam, blocos de fundações, sapatas ou pilares. A NBR 
6118:2003 define vigas-parede aquelas que a medida do vão é menor do que três (3) 
vezes a maior dimensão da seção transversal (altura). 
 Como exemplo de viga parede podem ser citadas as paredes de reservatório 
paralelepipédico - figura 1.12 - pois além de trabalharem como placa (laje vertical) para 
receber o empuxo de água, trabalham como chapa - viga parede, pois recebem as 
reações de apoio das lajes de tampa e de fundo. 
 No projeto de estruturas deste tipo, vale a superposição dos efeitos e, portanto, a 
parede do reservatório deve ter a segurança verificada como placa e como chapa. As 
armaduras determinadas para as paredes devem atender as situações de placa e de 
chapa. 
 
 d. cascas 
 
 São as estruturas bidimensionais não planas e são elementos resistentes pela 
forma e, não pela massa, normalmente curva que têm sido utilizadas na construção de 
coberturas de grandes vãos, reservatórios com grande capacidade de armazenamento 
e silos. 
 Na figura 1.13a está mostrada a forma de uma torre de refrigeração de água para 
usina termonuclear; a figura 1.13-b representa um reservatório de regularização para 
abastecimento de água; a figura 1.13c é relativa a um silo para armazenamento de 
grãos ou reservatório para líquidos; a figura 1.13d se refere a uma edificação destinada 
a ginásio de esportes ou reservatório cilíndrico. 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 13
1.1.2.3 Elementos Tridimensionais 
 
 a. elementos de fundação 
 
 Em função da resistência do solo onde se apóia a estrutura, escolhe-se o tipo de 
fundação. Sapatas são adotadas quando nas proximidades do nível no qual deve ser 
locado o pavimento de menor cota, em relação ao nível original do terreno, a 
resistência do solo é considerada satisfatória. As sapatas (Figura 1.14a) são elementos 
tridimensionais e têm a finalidade de transferir para o terreno as ações que são 
aplicadas ao pilar. A área de contato entre a sapata e o terreno é calculada em função 
da tensão admissível do solo, determinada por investigação geotécnica. 
 Quando o perfil do terreno indicar o uso de estacas, cuja transferência de ações é 
feita para o terreno pela resistência lateral e resistência de ponta, há necessidade de 
se transmitir as ações atuantes no pilar para as estacas. Essa transmissão é feita pelo 
bloco de concreto armado (Figura 1.14b) interposto entre o pilar e as estacas. 
 
 
 
CORTE HORIZONTAL 
 
 
 
CORTE LONGITUDINAL BB 
 
CORTE TRANSVERSAL AA 
 
 
Figura 1.12 - Forma estrutural de reservatório paralelepipédico 
 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 14
 
 
Figura 1.13 - Sistemas estruturais em cascas [Proença, 1986] 
 
 
 a) b) 
Figura 1.14 - Elementos de fundação 
 
 b. blocos de transição 
 
 Alguns terrenos não mobilizam resistência lateral, inviabilizando a utilização de 
estacas como solução para a fundação. Adota-se, então, fundação em tubulões que 
têm a finalidade de transferir as ações atuantes no pilar para níveis do terreno onde a 
resistência é compatível com este tipo de fundação. Essa decisão também é tomada 
em função da magnitude da ação atuante no pilar e do fator econômico. 
 É feito um alargamento de base em forma de tronco de cone com a finalidade de 
diminuir a tensão que está atuando no fuste do tubulão para compatibilizá-la com a 
resistência do solo no nível considerado. A transferência da ação do pilar para o 
tubulão é feita por bloco de concreto interposto entre o pilar e o tubulão. 
 Nos edifícios às vezes pode ocorrer a impossibilidade de se manter a posição de 
tramos de pilar entre andares, isto é, não é possível manter o alinhamento do eixo 
vertical do pilar. Isso ocorre pelo fato de, em função da distribuição arquitetônica de 
andares consecutivos, não ser possível manter o alinhamento. Há necessidade, 
portanto, de se projetar um bloco de transição para transferir a ação do tramo superior 
do pilar para o tramo inferior. O projeto estrutural do bloco de transição é feito 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 15
considerando-se modelo que segue o caminho das tensões. Quando este caminho é 
desconhecido há necessidade de análise experimental. 
 
 c. consolos 
 
 Consolos podem ser definidos como vigas de pequeno vão em balanço com 
relação entre vão e altura menor do que 1,0, segundo indicação de Leonhardt [1978]. 
Estes elementos estruturais se comportam como elementos tridimensionais e resistem 
às ações aplicadas mobilizando resistência ao cisalhamento. 
A sua ocorrência nas estruturas se dá como adendos aos pilares nos quais não é 
possível transferência direta das ações. Por exemplo, em edifícios industriais onde há 
exigência de se prever a existência de ponte rolante, ou em pilares pré-fabricados 
como indicado na figura 1.15 para apoio das vigas. 
 
1.1.2.4 Sistemas estruturais compostos de elementos 
 
 Existem sistemas estruturais correntes em estruturas de edifícios que são 
compostos por dois elementos de comportamentos estruturais diferentes. É o caso, por 
exemplo, conforme já comentado, dos reservatórios paralelepipédicos onde as paredes 
têm função de lajes submetidas à ação da água representada por uma ação 
triangularmente distribuída e, de viga parede em virtude das reações de apoio das lajes 
de tampa e de fundo. 
 
 
 
Figura 1. 15 - Consolos em pilares pré-fabricados. [ABCI, 1986] 
 
 Outros sistemas estruturais são compostos por elementos estruturais 
geometricamente diferentes, que são os casos das escadas e muros de arrimo. 
 
 a. escadas 
 
 As escadas são compostas por lajes que se constituem nos lances das escadas 
que, por sua vez, se apóiam nas vigas que podem ser posicionadas nas suas 
extremidades. Vários são os tipos estruturais possíveis para as escadas, tipos estes 
definidos em função do projeto arquitetônico, tais como escadas constituídas de 
degraus isolados com viga central. A figura 1.16 mostra uma escada em lances 
adjacentes constituída por lajes que se apóiam nas vigas e estas, por sua vez, 
transferem as suas ações para os pilares. 
 Ao se moldarem as lajes da escada devem ser moldados também os degraus que 
a constituem. Em edificações mais simples é possível se construírem os degraus em 
alvenaria de tijolos, o que implica em menor ação nas lajes da escada, um pouco de 
economia com fôrmas, porém modificando o processo construtivo. 
 
 b. muros de arrimo 
 
 Os muros de arrimo são estruturas destinadas a contenção de terrenos. Estão, 
portanto submetidos a empuxo de terra. Analisando a parede em contato com o terreno 
na figura 1.6, percebe-se que ela pode sofrer deslocamento horizontal e tombamento. 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 16
Nestas condições há necessidade de uma sapata com a finalidade de equilibrar a ação 
do momento de tombamento. A parede vertical tem o comportamento de placa, isto é 
laje submetida a uma ação linearmente variável e determinada em função do tipo de 
terreno. O comportamento da sapata também é de placa, porém apoiada sobre base 
que pode ser considerada elástica. 
 
 
PLANTA 
 
 
 
VISTA AA 
 
CORTE BB 
 
Figura 1.16 - Forma estrutural de escada em lances adjacentes 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 17
1.2 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO 
 
 
1.2.1 GENERALIDADES 
 
 As posições ocupadas pelos elementos estruturais, vigas e pilares, devem estar 
de acordo com o projeto arquitetônico. O projeto estrutural deve atender todas as 
exigências quanto a transferência de ações e segurança indicada para edificações
específicas e, também, estar em harmonia com o ambiente que o cerca. No caso de 
edifícios construídos com elementos pré-fabricados os elementos isolados devem ser 
arranjados de tal modo a se obter um sistema estrutural único. Para edifícios moldados 
no local, ao se escolher o arranjo estrutural, procura-se considerar o processo 
construtivo adotado, pois, ao construí-lo por partes, deve ser verificada a segurança 
das ligações dos elementos estruturais e das partes da edificação prontas. 
 A estrutura do edifício tem que resistir globalmente na direção horizontal o 
deslocamento por causa das ações horizontais atuantes. Essa idéia está associada ao 
conceito de rigidez espacial, onde a edificação tem deslocamentos tão pequenos que 
possam ser desprezados quando comparados com valores limites para os 
deslocamentos. Isso significa que ao se aplicar uma ação a um dos elementos 
estruturais do edifício, todos os demais elementos contribuem na capacidade da 
estrutura de absorvê-la. 
 Os elementos estruturais isolados, lajes, vigas, pilares e paredes estruturais, dos 
edifícios devem ter resistência mecânica, estabilidade, rigidez e resistência à fissuração 
e deslocamentos excessivos para poderem contribuir de modo efetivo na resistência 
global do edifício. 
 A consideração da contribuição espacial da estrutura do edifício permite construir 
estruturas mais seguras e econômicas. Por outro lado, a consideração de estrutura 
espacial para o modelo mecânico leva a um maior trabalho de determinação dos 
esforços solicitantes por ser uma estrutura altamente hiperestática. Esta situação exige 
equipamento de computação e programas compatíveis com a consideração de pórtico 
espacial. 
 A estrutura resistente de um edifício de vários andares é constituída pelos 
elementos de barras verticais - pilares, elementos de barras horizontais - vigas, 
elementos de placas horizontais - lajes e, se forem necessárias para melhorar a 
resistência á ação do vento, chapas verticais constituídas pelos pilares paredes. 
 Basicamente as ações verticais, que atuam nas lajes dos vários andares e, que 
são constituídas pelas ações permanentes diretas e ações variáveis normais, são 
transferidas para as vigas, que por sua vez, após receberem as ações permanentes 
das alvenarias, se houverem, as distribuem por flexão aos pilares. Os pilares têm a 
finalidade de receber as ações das vigas dos vários andares e distribuí-las às 
fundações. Alem disso, contribui para a resistência das ações horizontes e estabilidade 
global. 
 As ações horizontais, na grande maioria dos edifícios construídos em território 
nacional até esta data, são por causa da ação do vento. Em localidades onde há a 
ocorrência de abalos sísmicos é necessária a sua consideração, sendo que um dos 
modelos mecânicos adotados é o de pórtico com forças horizontais aplicadas nos nós. 
Outros modelos mecânicos mais elaborados levam em conta considerações dinâmicas. 
 Todos os elementos estruturais citados são responsáveis por absorver as ações 
horizontais, pois embora a ação do vento ocorra nas fachadas dos edifícios, há uma 
distribuição destas por ação das paredes de alvenaria ou elemento de fachada para as 
vigas e pilares de extremidade, e destes para os pilares internos. As lajes trabalham 
como diafragmas horizontais, por possuir grande rigidez no seu plano e sendo 
considerada, portanto, como elemento de corpo rígido. 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 18
1.2.2 DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
 As disposições dos elementos estruturais devem atender as condições peculiares 
do arranjo arquitetônico e as condições de segurança estrutural do edifício. 
 As ações que solicitam uma estrutura de edifício são: peso próprio da estrutura, 
peso próprio das paredes divisórias, com os respectivos acabamentos, e as de 
utilização, adotadas em função da finalidade do ambiente arquitetônico. As alvenarias 
de fechamento ou divisórias são ações que podem ser consideradas linearmente 
distribuídas. As ações de peso próprio das lajes e seus revestimentos são 
consideradas uniformemente distribuídas por unidade de área; o mesmo ocorre com as 
ações de utilização. 
 As ações horizontais relativas ao vento devem ser consideradas nas estruturas de 
edifícios. 
 Com essas considerações em mente, o engenheiro projetista da estrutura deve 
procurar arranjar os elementos estruturais de tal modo a gerar condições de resistência 
às ações verticais e horizontais e, ainda, posicioná-los sem provocar interferências no 
arranjo arquitetônico. A disposição dos elementos deve garantir, também, a capacidade 
da estrutura com relação à estabilidade global. 
 As posições dos pilares são escolhidas de tal modo que a distância entre pilares 
consecutivos e que recebam ações de uma mesma viga, não provoque a necessidade 
de altura excessiva para a viga, pois há necessidade de atender as dimensões 
indicadas pelo projeto arquitetônico para caixilhos, janelas e portas. Do mesmo modo 
se cuida para não ter lajes com vãos efetivos muito grandes, o que gera lajes com 
espessuras elevadas e, portanto, com grande consumo de concreto. 
 Corrêa (1991) indica que a idealização do arranjo estrutural está intimamente 
associada ás ações presentes no edifício já que o objetivo básico do sistema estrutural 
é coletá-las e controlar-lhes o fluxo. 
 De acordo com essa idéia é possível considerar o sistema estrutural dividido em 
subsistemas horizontais e verticais. Os subsistemas horizontais são constituídos pelas 
lajes, que são elementos bidimensionais que funcionam como diafragmas e como 
elementos de ligação entre os elementos estruturais verticais. Os subsistemas verticais 
recebem as ações verticais transmitidas pelos subsistemas horizontais e resistem às 
ações horizontais (vento). 
 
 
1.3 ARRANJO ESTRUTURAL 
 [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] 
 
 Um dos pontos mais delicados do projeto estrutural consiste em escolher os 
elementos a serem utilizados e arranjá-los de maneira eficiente. 
 Quando o engenheiro estrutural começa a conceber a estrutura que garantira a 
forma do edifício, ele precisa decidir se algumas partes da construção, que estarão 
presentes independentemente da estrutura escolhida, participarão do sistema 
estrutural. É o caso, por exemplo, das alvenarias, que podem ser utilizadas apenas 
com a função de fechar e delimitar espaços ou como elementos estruturais. Excluindo-
se a hipótese da estrutura do edifício ser concebida em alvenaria estrutural, as paredes 
de alvenaria, em geral, são tratadas como mais um agente externo que carrega a 
estrutura. Neste caso, a capacidade resistente de tais elementos, mobilizada pela 
interação com a estrutura sadia, como se ilustra na figura 1.17 contribui como uma 
reserva de segurança, cuja importância é mais acentuada no enrijecimento dos 
subsistemas verticais para a transmissão de ações laterais á base da edificação. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 19
 
 
Figura 1.17.- Alvenaria mobilizada como elemento resistente 
 
 Outro aspecto a ser observado é o da definição de hierarquia dos subsistemas 
estruturais. Por exemplo, uma treliça projetada para suportar um telhado na cobertura 
de um edifício tem importância reduzida quando comparada a de um pórtico que 
participe do conjunto de painéis de contraventamento da estrutura e que funcione na 
captação das ações dos pisos. Como a treliça possui uma função específica e 
localizada, ela pode ser destacada do conjunto ao se analisar a resposta global da 
estrutura do edifício quando submetido a ações laterais como a do vento. Como a 
participação da treliça é pequena, bem como a sua influência sobre a maneira como as 
ações se distribuem entre os diversos painéis de contraventamento, a sua exclusão 
não prejudica os resultados e simplifica o modelo. É evidente
que o estudo do 
comportamento dessa treliça deve ser feito, incluindo-se a ação do vento sobre o 
telhado, se for o caso. Só que esse estudo se desenvolve, em geral, considerando-se a 
treliça isoladamente, como estrutura auxiliar que se apóia sobre outros elementos 
estruturais, sem a necessidade de agregá-los ao modelo. Tais elementos aparecem 
apenas como condições de contorno. 
 A idealização do arranjo estrutural está intimamente associada às ações 
presentes no edifício já que o objetivo básico do sistema estrutural é coletá-las e 
controlar-lhes o fluxo. Em geral, as ações verticais de piso e cobertura são coletadas 
em subsistemas horizontais bidimensionais que funcionam também como diafragmas e 
conectores dos elementos dispostos na vertical. Os subsistemas verticais, por sua vez, 
recolhem as ações verticais transmitidas pelos subsistemas horizontais e resistem às 
forças horizontais. A definição dos subsistemas horizontais e verticais é feita 
simultaneamente uma vez que os mesmos são interdependentes. Distâncias entre os 
elementos verticais estão condicionadas pelas dimensões e formas dos elementos 
dispostos na horizontal, que por sua vez têm limites definidos pela ocupação de espaço 
pelo subsistema horizontal em comparação com os pés-direitos definidos e a altura 
total do edifício. Essa altura condiciona as dimensões dos elementos verticais e 
horizontais, pois em geral quanto maior a altura maiores são as solicitações verticais e 
horizontais. Para se conferir maior resistência ao sistema estrutural, pode-se optar por 
aumentar dimensões de peças, reduzir vãos ou promover um maior numero de 
ligações entre os vários elementos estruturais. A necessidade de reduzir vãos pode 
ferir a concepção arquitetônica, assim como o aumento da dimensão de uma peça 
pode ser fisicamente impossível em função de disponibilidade de espaço, ou até 
mesmo de necessidades estéticas. Em resumo: o problema tem como característica 
fundamental a complexidade, por causa do número de variáveis presentes e da 
multiplicidade de soluções possíveis. 
 A concepção do arranjo estrutural envolve a idealização das ligações dos diversos 
elementos estruturais entre si e com o meio externo que lhes serve de apoio. Alguns 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 20
requisitos importantes devem ser observados para que a idealização seja eficiente. Em 
primeiro lugar devem-se garantir ligações suficientes para que não haja a formação de 
mecanismos. Em segundo lugar deve-se atentar para um ponto de grande relevância: 
as ligações previstas devem ser exeqüíveis e devem representar da melhor maneira 
possível aquelas que realmente ocorrerão. Este fato é de especial delicadeza, pois o 
afastamento entre o arranjo ideal e o arranjo real destrói a representatividade do 
modelo assumido, e todo o controle sobre o fenômeno em análise. 
 Um exemplo muito ilustrativo é apresentado em Fusco [1976]. Observe-se o pórtico 
plano, concebido em concreto armado, representado na figura 1.18. Admite-se que 
haja engastamento perfeito nas seções E e F. Para que o engastamento seja realizado, 
o pórtico é ligado monoliticamente a blocos rígidos de fundação. Para que se tenha o 
engaste perfeito é necessário que as seções E e F não tenham nenhuma mobilidade 
no plano. Se o terreno tiver capacidade de absorver as solicitações, com recalques 
desprezíveis, os engastes idealizados se realizam. Caso o terreno seja adensável o 
esquema inicialmente planejado se altera, e as ligações com o terreno de fundação se 
aproximam de articulações. 
 
 
 
Figura 1.18 - Exemplo de pórtico apoiado em terreno adensável 
 
 Aproveitando-se o exemplo anterior imagine-se que as condições do terreno sob o 
bloco fixado em E sejam tais que, diante das solicitações presentes, a imobilização da 
seção E esteja garantida. Admita-se, também, que o terreno sob o bloco em F permita 
rotação, porém oferecendo certa resistência apreciável. Neste caso um esquema 
possível seria o que se apresenta na figura 1.19. 
 
 
 
Figura 1.19 - Exemplo de vinculação 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 21
1.4 SISTEMAS ESTRUTURAIS USUAIS 
 [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] 
 
 Como já se observou a escolha do sistema estrutural a se adotar para um 
determinado edifício e um problema de grande complexidade. Porém, como uma 
infinidade de soluções já foram experimentadas, em situações muito variadas, algumas 
delas estão consagradas e se tornaram as mais usuais. Dentre elas algumas são aqui 
apresentadas a título de ilustração. 
 
1.4.1 SUBSISTEMAS HORIZONTAIS 
 
 Têm como funções estruturais básicas: 
 - Coletar forças gravitacionais e transmiti-las para os elementos verticais; o 
comportamento é predominantemente de flexão. 
 - Distribuir as ações laterais entre os diversos subsistemas verticais resistentes, 
comportando-se como diafragmas. 
 A concepção geometricamente mais simples consiste em uma placa que coleta as 
ações gravitacionais distribuídas em sua superfície e as transmite diretamente aos 
pilares. A placa usualmente é uma laje de concreto (armado ou protendido), que pode 
necessitar de concentração de material nas regiões de ligação aos pilares para o 
aumento de sua capacidade resistente. Este é o subsistema laje plana ou laje 
cogumelo, ilustrado na figura 1.20. 
 
 
 
Figura 1. 20 - Lajes 
 
 Outras concepções são possíveis com a combinação de placas e barras 
horizontais. Estas funcionam como enrijecedores do subsistema horizontal e auxiliares 
na transmissão de ações aos pilares. A distribuição da rigidez adicional pode ser feita 
com uma grande densidade de barras que possuem seções transversais reduzidas 
(nervuras) ou com uma pequena densidade de barras de seções transversais de maior 
área (vigas). Das inúmeras opções de composição placa-barra algumas são ilustradas 
nas figuras 1.21, 1.22 e 1.23. 
 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 22
 
 
Figura 1.21 - Pavimentos com lajes e vigas 
 
 
 
Figura 1.22 - Pavimento em laje nervurada e vigas 
 
 
 
Figura 1.23 - Pavimento em grelha 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 23
 Uma opção alternativa e a utilização simultânea de materiais diferentes, como os 
subsistemas placa sobre vigas mostrados na figura 1.24. 
 
 
 
Figura 1.24 - Pavimento em laje moldada no local e vigas metálicas. 
 
1.4.2 SUBSISTEMAS VERTICAIS 
 
 Têm como funções estruturais básicas: 
 
 -Suportar os subsistemas horizontais coletando as ações gravitacionais e 
transmitindo-as para as fundações. 
 
 -Compor com os subsistemas horizontais os painéis resistentes às ações laterais. 
 
 De forma resumida podem ser entendidos como arranjos de barras e folhas 
compondo os seguintes tipos básicos: 
 
 -pilares: barras verticais contínuas 
 
 -pórticos: arranjo de barras predominantemente horizontais (vigas) e verticais 
(pilares), conectadas de modo a permitir interação de forças e momentos fletores (nós 
rígidos). 
 
 -paredes: folhas planas de comportamento preponderante de chapa, ou painéis 
bidimensionais treliçados de grande rigidez em seu plano. 
 
 -núcleos: arranjo tridimensional de folhas ou de painéis treliçados que, 
geralmente, envolvem as regiões de fluxo humano vertical no edifício (escadas e 
elevadores). 
 
 Muitas combinações dos tipos básicos são possíveis. Desde a concepção 
geometricamente mais simples, como a utilização exclusiva de pilares agrupados por 
ligações a lajes planas, até as mais complexas, como as mega-estruturas tubulares 
reforçadas externamente com grandes painéis treliçados. Algumas dessas 
combinações são ilustradas na figura 1.25. 
 A ousadia de arquitetos e engenheiros tem permitido que a demanda por edifícios
cada vez mais altos nos grandes centros populacionais seja atendida. Quanto mais 
altos os edifícios, maiores as solicitações presentes, com ênfase nas oriundas de 
ações laterais que podem ser dominantes na definição do sistema estrutural. 
Observando-se soluções de sucesso, utilizadas na prática da Engenharia de 
Estruturas, pode-se organizar um quadro que, sem a pretensão de encerrar o assunto, 
busca associar o número de pavimentos de um edifício com os sistemas estruturais 
adotados por LIN [1981], TARANATH [1988], AÇOMINAS [1979], Margarido [1986]. É o 
que se apresenta na tabela 1.1, buscando contemplar as estruturas concebidas em 
aço, concreto armado ou protendido e a combinação destes materiais. 
 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 24
 
 
 Pilares Treliça Inter Pavimento Pórticos Núcleos 
 
 
 Treliça Passante Pórticos e Paredes Tubos Modulares Tubo Treliçado 
 Associados 
 
Figura 1. 25 - Alguns subsistemas verticais 
 
 Analisando a tabela 1.1 pode-se perceber que para os edifícios usuais, até 15 
pavimentos, é possível adotar-se para sistema estrutural pavimento constituído por 
lajes maciças e vigas e como subsistema vertical pilares. Se a altura for um pouco 
maior, por exemplo, 20 pavimentos, ter-se-á a necessidade de contar com, além de 
pórticos, paredes com a finalidade de absorver as ações horizontais (vento). 
 
Tabela 1.1 - Sistemas estruturais para edifícios 
 
NÚMERO DE PAVIMENTOS SISTEMA 0 20 40 60 80 100 120 
Laje plana e pilares 
Laje plana, pilares e paredes 
Treliça interpavimento 
Pórtico 
Núcleo rígido 
Pórtico com reforço diagonal 
Paredes e pórticos associados 
Treliça passante 
Tubo externo 
Tubo externo e núcleo interno 
Tubos modulares 
Mega estrutura em tubos treliçados 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 25
Para um número maior de pavimentos deve-se utilizar a região dos elevadores 
para construir um núcleo rígido de concreto armado, sendo que as paredes que 
definem a área dos elevadores serão substituídas pelos elementos estruturais do 
núcleo. Evidentemente o núcleo será provido de aberturas para se poderem dispor as 
portas dos elevadores. 
 
 
1.5 IDEALIZAÇÃO DAS AÇÕES 
 [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] 
 
 Durante o projeto da estrutura de um edifício trabalha-se com uma previsão das 
ações que estarão presentes quando essa estrutura entrar em funcionamento. Essa 
previsão, amparada em prescrições normalizadas, é feita com base na funcionalidade 
do edifício, no arranjo em estudo (incluindo pré-dimensionamento das peças), nos 
materiais a serem empregados, nas dimensões da construção e na interação do 
edifício com o meio ambiente. 
 As ações podem ser de natureza estática ou dinâmica. Sempre que possível, 
ações que variam no tempo são aproximadas (idealizadas) por ações estáticas 
equivalentes como nos casos de ações acidentais, rajadas do vento, distúrbios 
sísmicos, etc. 
 Sejam diretas (forças) ou indiretas (deformações impostas) as ações utilizadas no 
projeto são sempre aproximações que buscam simplificar o problema. 
 É importante observar que em muitos casos o projetista tem opções alternativas 
para idealizar uma determinada ação. 
 Tome-se, a título de ilustração, o caso de uma viga biapoiada que serve de 
suporte para uma parede de alvenaria conforme se mostra na figura 1.26. O esquema 
usual consiste em considerar a ação da parede sobre a viga como uma força vertical 
linearmente distribuída com taxa uniforme. 
 
 
Figura 1.26 - Parede sobre viga - ação usual 
 
 Alternativamente, levando-se em conta o efeito arco no comportamento do 
conjunto parede-viga, o esquema de carregamento da viga pode ser expresso por 
forças verticais e horizontais junto aos apoios, como se esboça na figura 1.27. 
 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 26
 
 
Figura 1.27 - Parede sobre viga - ação alternativa 
 
 Outro exemplo ilustrativo é o de paredes de alvenaria apoiadas em uma laje. O 
carregamento das paredes sobre a laje pode ser expresso por forças verticais 
distribuídas sobre a área de contato ou, no caso em que as paredes se espalham por 
toda a laje, é usual idealizar-se o carregamento como sendo uma força vertical 
uniformemente distribuída sobre a superfície total da laje. 
 A ação de paredes de alvenaria pode ser considerada linearmente distribuída na 
laje quando esta for considerada armada em uma direção, isto é, quando o maior vão 
teórico for maior que duas vezes o menor. 
 
 
1.6 O MODELO MECÂNICO 
 [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] 
 
 O projetista estrutural não analisa a estrutura real, mas uma versão idealizada 
que constituí o modelo mecânico, conforme pode ser visto na Figura 1.28. 
 O modelo mecânico engloba todas as idealizações adotadas pelo engenheiro e se 
expressa por um conjunto de relações matemáticas que interligam as variáveis 
importantes do fenômeno físico em estudo. 
 O sistema estrutural idealizado é apenas um substituto do sistema real, e como tal 
inclui aproximações. É imprescindível que o projetista tenha habilidade e 
conhecimentos suficientes para que o modelo seja capaz de representar, de forma 
satisfatória, o sistema físico real e de produzir resultados cuja aproximação seja 
conhecida. 
 Em geral, quanto maior a representatividade do modelo tanto mais elaborado ele 
poderá ser. Essa maior elaboração pode ser alcançada resumidamente por: 
 -aumento da complexidade das teorias que exprimem o comportamento dos 
elementos estruturais e dos materiais componentes; 
 -integração de um maior número de elementos estruturais no modelo ao invés de 
legar a cada um uma função estrutural específica, em modelos isolados; 
 -adoção de domínios geométricos mais abrangentes tal como a inclusão do solo e 
das fundações em conjunto com a superestrutura do edifício no modelo. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 27
 E atraente a idéia de se conceber um modelo para a estrutura de um edifício com 
grande requinte, combinando-se os seus diferentes elementos estruturais que, em 
conjunto, apresentam um comportamento integrado complexo. 
 A constante busca de realização dessa idéia é anotada em ENGEL [1981] como 
um dos mais notáveis e importantes desenvolvimentos da Engenharia de Estruturas 
atual, incentivada pela nova dimensão aberta pelos computadores eletrônicos aos 
métodos numéricos. 
 
 
Figura 1. 28 - Modelo da estrutura 
 
 Essa busca justifica-se o tratamento do sistema estrutural integrado confere ao 
modelo a capacidade de representar propriedades resistentes que esse sistema 
possui, inerentes ao trabalho conjunto dos vários elementos estruturais, muitas das 
quais são usualmente desprezadas. Além de exprimir melhor o comportamento da 
estrutura é possível, com segurança, produzir soluções mais econômicas. 
 Muitas vezes surgem dificuldades na utilização dos modelos mais sofisticados, 
relacionadas á complexidade matemática do problema em si e também ao volume de 
operações e dados envolvidos em sua solução. O projetista pode esbarrar, por 
exemplo, em limites de capacidade do equipamento eletrônico á sua disposição, ou na 
falta de "software" adequado à análise da situação que se apresenta. 
 O que não se deve perder de vista é a necessidade constante de melhoria dos 
modelos, o que muitas vezes pode ser alcançado com os recursos disponíveis ao 
projetista. 
 Um simples problema de interseção de duas vigas em ponto não apoiado em pilar 
é mais bem representado com a compatibilização de flechas do que com a hipótese de 
que uma das vigas serve de apoio rígido para a mais
flexível, ou de menor inércia ou 
outro critério duvidoso aplicado regularmente em escritórios de projeto. 
Em resumo: a implementação do modelo deve ser uma preocupação constante 
do profissional responsável para que a interdependência das ações e respostas da 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 28
 estrutura cada vez mais possa ser mais bem representada. 
 
 
1.7 CUSTO DA ESTRUTURA 
 
 O custo da estrutura em concreto armado moldado no local para edifícios 
convencionais resulta da ordem de 20% a 25% do custo total considerando a obra 
pronta para utilização. 
 Nestes índices deve ser levados em conta o tipo de fundação adotado, que pode 
ser em sapatas, estacas - de concreto moldado no local, concreto pré-fabricado, 
metálicas, ou tubulões moldados no local, que por sua vez podem ser moldados a céu 
aberto ou a ar comprimido. 
 A título de ilustração apresenta-se a tabela 1.2, elaborada por Mascaro (1985), 
onde são anotados os custos de cada etapa da construção de um edifício de dez 
andares, destinados a apartamentos residenciais, com pavimento térreo, sem 
garagens, construído entre as divisas laterais do terreno e com fundações em sapatas 
apoiadas em terreno de boa qualidade. Analisando-a pode-se perceber que para este 
caso o custo para construir a estrutura de concreto armado é da ordem de 25%. 
 Evidentemente cada edifício tem seu custo particular, pois condições específicas 
do terreno exigem solução única para a fundação, o mesmo ocorre se o terreno possui 
desníveis o que indica a necessidade de muros de arrimo em concreto armado. 
Dependendo do tipo de acabamento que o arquiteto indique para o projeto, o que 
muitas vezes está ligado ao padrão financeiro dos moradores, ter-se-á custo 
compatível. Como acabamento pode-se pensar nos caixilhos, portas, azulejos, pisos, 
aparelhos sanitários, tipo de aquecimento de água, aquecimento de ambientes, 
refrigeração, quantidade de elevadores, piscinas, saunas, salão de jogos, salas de 
leitura e de festas e etc. 
 Elaborada pelo mesmo autor já citado, mostra-se a tabela 1.3 onde os custos 
parciais são reorganizados em itens que se referem aos custos para construção dos 
planos horizontais, do plano vertical e das instalações. Os serviços envolvidos nestes 
subitens estão citados na tabela na coluna composição. Na tabela consideram-se as 
porcentagens de custos relativos à estrutura de concreto armado, alvenarias de 
vedação e instalações. 
 A análise da tabela 1.3 mostra que do custo para se construir os planos 
horizontais 20% do custo total da obra é destinado à estrutura de concreto armado - 
lajes, vigas e fundações. Para os planos verticais 4% do custo total é consumido com a 
estrutura resistente - pilares e paredes de contraventamento 
 No custo do concreto armado estão envolvidos os custos dos materiais que o 
compõem (pedra britada, areia, cimento, aditivos e adições), as barras e os fios de aço 
que formam as armaduras, os materiais para montar as fôrmas para moldagem de 
todos os elementos estruturais, os custos dos andaimes, os custos com mão de obra 
para preparação das fôrmas e dos materiais e custos de lançamento, adensamento, 
cura e desforma. 
 Cada um dos custos parciais incide no custo total por unidade de volume com 
porcentagens da ordem dos valores indicados: 
 
concreto: (C15, preparado com betoneira) 24,08% 
aço: (CA-50, 100 kg/m3) 27,87% 
Fôrma: (12 m2 /m3 de concreto) 42,34% 
Andaimes: 0,56% 
lançamento e aplicação do concreto: 5,16% 
Total 100,00% 
 Observação: A NBR 6118:2003 indica que, para estruturas de concreto armado, a 
resistência característica mínima do concreto é de 20MPa (C20). 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 29
Tabela 1.2 - Custo de construção das diferentes etapas 
[Mascaró, 1985] 
 
ITEM 
PORCENTAGEM 
SOBRE O CUSTO 
TOTAL ( % ) 
 
OBSERVAÇÕES 
Canteiro 
de 
Obras 
 
5,09 
Amortização dos equipamentos 0,44%; trabalhos 
preliminares 0,48%; previdência 1,25%; seguros 
e vigilância 2,26% e gastos diversos 0,66%. 
 
Fundações 
 
4,48 
Considera o caso de fundações diretas, ou seja, 
por sapatas independentes ou, em alguns casos 
vinculadas. 
Estrutura resistente 
(sem fundações) 
20,13 Compreende: lajes, vigas pilares e paredes de 
contraventamento. 
 
Contrapisos 
 
2,22 
Compreende os contrapisos sobre o terreno 
natural, ou dos banheiros e outros contrapisos 
em geral. 
Alvenaria 
e 
Impermeabilizações 
 
8,72 
O gasto em impermeabilização é pequeno e 
chega aproximadamente, a 0,3% (incluindo a 
cobertura) 
Acabamentos 
Verticais 
 
14,49 
Compreende: rebocos exteriores 3,49%; rebocos 
interiores 5,2%; revestimentos 1,65%; 
pintura 3,18% e rodapés 0,93%. 
Acabamentos 
Horizontais 
 
6,99 
Compreende: forros 2,06% 
terraços acessíveis 0,71%; 
soleiras 0,42% e pisos 3,8% 
Esquadrias 
Internas e 
Externas 
 
14,14 
Compreende: esquadrias 
internas de madeira 8,2%; 
externas metálicas 5,32% e vidros 0,61% 
Instalação Sanitária e 
Contra Incêndio 
8,22 Compreende os aparelhos das instalações 
Instalação 
de Gás 
 
4,69 
Compreende os aparelhos das instalações 
Instalação 
Elétrica 
 
5,45 
Compreende bombas de 
elevação de água. 
Elevadores 
Instalações 
 Contra Incêndio 
 
4,79 
Compreende elevadores para 
4 pessoas: 45m/min; Portas telescópicas; 
Comando simples, sem memória 
Compactador de Lixo 0,59 
 
Tabela 1.3 - Custo segundo pavimentos horizontais 
[Mascaró, 1985] 
Classificação 
do elemento 
Composição Porcentagem Total Parcial 
 
 
Elementos formados por 
planos horizontais 
.parte horizontal da 
 estrutura resistente, 
 fundações 
.contrapisos 
.acabamentos horizontais 
 
 
20,58 
2,22 
6,99 
 
 
 
 
29,79% 
 
 
Elementos formados por 
planos verticais 
.parte vertical da 
 estrutura resistente, 
.alvenaria e 
 isolamento 
.acabamentos verticais 
.esquadrias interna e externa 
 
4,03 
 
8,72 
14,49 
14,14 
 
 
 
 
 
41,37% 
Instalações 
(cujos custos são 
 semi-independentes 
 das dimensões do 
 edifícios) 
.instalação sanitária e 
 contra incêndio. 
.instalação de gás 
.instalação elétrica 
.elevadores 
.compactador de lixo 
 
8,22 
4,69 
5,45 
4,79 
0,59 
 
 
 
 
 
23,74% 
Canteiro de obra 5,09% 
Capítulo 1 - Concepção Estrutural 30
 Os preços são atualizados semanalmente por Pini Sistemas, em São Paulo - 
Capital, e inclui os custos dos materiais, mão de obra, equipamentos e leis sociais que 
incidem em 126,80% (22 de março de 1993) e com BDI de 15%. 
 Os custos das fôrmas incidem em torno de 40% do preço final das estruturas de 
concreto armado requerendo, portanto, um estudo apurado da forma estrutural da 
edificação com a finalidade de se obter o máximo de economia possível neste item. 
 As fôrmas, bem como o cimbramento, devem ser projetadas prevendo-se o 
máximo de reaproveitamento possível, sendo a padronização um dos aspectos mais 
importantes. Nos casos de lajes nervuradas, por exemplo, pode-se utilizar como fôrmas 
das nervuras e das mesas, materiais inertes como blocos de isopor, concreto celular, 
plásticos, etc., em substituição as fôrmas metálicas ou de madeira. 
 Os custos com mão-de-obra podem ser reduzidos, adotando-se no projeto 
estrutural detalhes simples e padronizados. 
 As armaduras para as lajes podem ser constituídas por telas soldadas, adquiridas 
no comércio nas dimensões dos painéis de lajes de tal modo a evitar perdas. As barras 
e os fios de aço utilizados nas vigas e pilares podem ser comprados de firmas 
especializadas em fornecê-las dobradas e montadas. 
 
 
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1986. Anais. São Paulo, EPUSP, 1986. p.39-70. 
 
19.ENGEL, H. Sistemas estruturais. São Paulo, Hemus, 1981. 
 
20.MASCARÓ, J.L. O custo das decisões arquitetônicas. São Paulo, Nobel, 1985. 
 
21.CONSTRUÇÃO SÃO PAULO, Pini, fevereiro, 1994. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 33
2. AÇÕES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFÍCIOS 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
 
2.1.1 GENERALIDADES 
 
 A NBR 8681:2002, define ações como sendo as causas que provocam o 
aparecimento de esforços solicitantes ou deformações nas estruturas. Diz ainda que, 
do ponto de vista prático, as forças e as deformações impostas pelas ações são 
consideradas como se fossem as próprias ações. É corrente a designação de ações 
indiretas para as deformações impostas e de ações diretas para as forças. 
 O EUROCODE 2[1989] define ações como sendo forças ou cargas aplicadas 
nas estruturas, podendo ser diretas, por exemplo, o peso próprio da estrutura ou 
indiretas, por exemplo, as deformações em virtude do efeito de variação de 
temperatura, recalques de apoios, retração. 
 A NBR 6118:2003 indica que na análise estrutural deve ser considerada a 
influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a 
segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites 
últimos e os de serviço. 
 De acordo com a NBR 8681:2003, as ações que atuam nas estruturas podem 
ser subdivididas em: ações permanentes, ações variáveis, ações excepcionais e 
cargas acidentais. 
 
2.1.2 AÇÕES PERMANENTES 
 
 As ações permanentes são aquelas que ocorrem nas estruturas com valores 
constantes ou de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente toda 
a vida da construção. As ações permanentes podem ser diretas ou indiretas. 
 
2.1.2.1 Ações permanentes diretas 
 
 As ações permanentes diretas são assim consideradas aquelas oriundas dos 
pesos próprios dos elementos da construção, incluindo-se o peso próprio da estrutura e 
de todos os elementos construtivos permanentes, os pesos dos equipamentos fixos e 
os empuxos relativos ao peso próprio de terras não removíveis e de outras ações 
permanentes sobre a estrutura aplicadas. 
 Em casos particulares, por exemplo, reservatórios e piscinas, os empuxos 
hidrostáticos também podem ser considerados permanentes. 
 Entre as ações permanentes diretas, no caso de estruturas de edifícios, podem 
ser incluídos os pesos próprios dos elementos de concreto armado, os pesos próprios 
dos pisos e revestimentos e das paredes divisórias que podem ser em alvenaria de 
tijolos. 
 
2.1.2.2 Ações permanentes indiretas 
 
 Nos casos de estruturas de concreto as ações permanentes indiretas podem ser 
consideradas como as forças de protensão em peças de concreto protendido, os 
recalques de apoio por causa de deslocamentos dos elementos estruturais que servem 
de apoio ou por recalques do solo e retração dos materiais. A retração é uma ação 
importante no caso de elementos estruturais protendidos ou de pequena espessura. 
 
 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 34
2.1.3 AÇÕES VARIÁVEIS 
 
 São as que ocorrem nas estruturas com valores que apresentam variações 
significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. São as ações de 
uso das construções (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos), bem como seus 
efeitos (forças de frenação, de impacto e centrífugas), efeitos do vento, das variações 
de temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e das pressões hidrostáticas e 
hidrodinâmicas. 
 Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, as 
ações variáveis são classificadas em normais ou especiais. 
 
2.1.3.1 Ações variáveis normais 
 
 São aquelas com probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que 
sejam obrigatoriamente consideradas no projeto estrutural. 
 Neste caso se incluem as ações variáveis normais, também chamadas cargas 
acidentais, que atuam nas estruturas dos edifícios, mais precisamente sobre as lajes 
dos pavimentos que são relativas ao uso por pessoas que a utilizam, mobiliário, 
veículos, bibliotecas, etc. 
 
2.1.3.2 Ações variáveis especiais 
 
 São consideradas ações variáveis especiais as ações sísmicas ou cargas 
acidentais de intensidade especiais. 
 Como cargas acidentais especiais podem ser citadas como exemplos aquelas 
constituídas por caminhões preparados para transporte de componentes de turbinas 
para usinas hidrelétricas. As pontes e viadutos das estradas de tráfego normal são 
projetadas para os veículos - tipos especificados nas normas brasileiras. Nos casos 
daquele tipo de transporte os projetos das pontes devem ser revistos, antes de se 
autorizar a viagem e, se for o caso, as estruturas precisam ser reforçadas. O conjunto 
das ações em um elemento estrutural de ponte é chamado de trem-tipo. 
 
2.1.4 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
 
 São aquelas que têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade 
de ocorrência durante a vida da construção, mas que precisam ser consideradas nos 
projetos de determinadas estruturas. 
 São as ações decorrentes
de causas como: explosões, choques de veículos, 
incêndios, enchentes ou sismos excepcionais. 
 Nas estruturas de edifícios os choques de veículos podem ocorrer nas áreas de 
manobras das garagens e os incêndios devem ser considerados com probabilidade 
compatível com o tipo de utilização da obra, tais como indústrias de produtos químicos. 
 A NBR 8681:2002 considera que os incêndios, ao invés de serem tratados como 
causa de ações excepcionais, também podem ser levados em conta por meio de 
redução da resistência dos materiais constitutivos da estrutura. 
 Para estruturas de concreto existe norma específica para projeto de estrutura 
resistente ao fogo. Cuidados especiais devem ser tomados com relação ao cobrimento 
das barras da armadura. 
 Com relação à segurança contra incêndio em edifícios os projetos arquitetônicos 
prevêem que as escadas devem ser enclausuradas, cujo acesso é feito por duas portas 
corta-fogo, sendo que entre as duas portas fica uma antecâmara com duto de fumaça, 
para proteger a escada em caso de incêndio. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 35
2.2 VALORES DAS AÇÕES PERMANENTES 
 
 A NBR 6120:1980 prescreve que este tipo de ação é constituída pelo peso 
próprio da estrutura e todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes. 
 No caso de edifícios as ações permanentes são constituídas pelos pesos 
próprios dos elementos estruturais - lajes, vigas, pilares, blocos ou sapatas de 
fundações, dos elementos de vedação, das paredes de alvenaria - com os vários tipos 
de tijolos que podem ser usados na edificação, caixilhos com vidros ou divisórias de 
vidros. Os elementos de revestimento de paredes, argamassas, azulejos, pedras 
decorativas, madeiras e etc., também devem ter seu peso próprio considerado na 
avaliação das ações dos revestimentos verticais. 
 Para os revestimentos horizontais devem ser considerados os revestimentos na 
face inferior das lajes e os contrapisos e os pisos que podem ser de madeira, cerâmico, 
pedras, carpetes, etc. 
 Os contrapisos são feitos em argamassa de cimento e areia e têm a finalidade 
de corrigir as imperfeições, com relação ao nível superior das lajes, oriundas da 
concretagem. A execução do contrapiso demanda custos adicionais na obra, tais como: 
material argamassa, custo de transporte e de mão de obra para fazer a argamassa e 
aplicá-la. 
 Algumas empresas têm se preocupado em melhorar o processo de moldagem 
das lajes com a finalidade de evitar a execução do contrapiso, portanto, com economia 
significativa na obra, otimizando tempo e recursos financeiros. 
 Existem edifícios destinados à moradia ou comercial, com melhor cuidado 
arquitetônico, onde existem ambientes destinados a jardins internos. O projeto 
arquitetônico deve especificar os detalhes para que se possa, no projeto estrutural, 
definir claramente as ações relativas às jardineiras e lagos artificiais, etc. Lembra-se 
que um metro cúbico de terra tem massa de 1800kg. Dependendo do porte das plantas 
que compõem o projeto de jardinagem a sua massa assume significado especial na 
consideração das ações. 
 A NBR 6120:1980 especifica que na falta de determinação experimental, o 
projetista de estruturas pode adotar os pesos específicos aparentes dos materiais de 
construção indicados na Tabela 2.1. 
 Na tabela são listados os valores relativos aos materiais mais comuns. 
 É interessante notar que se for especificado, para um determinado ambiente 
arquitetônico, piso de madeira de ipê róseo de 2cm de espessura, o seu peso por 
unidade de área será de 0,20 kN/m2, se, por outro lado, for especificado mármore, na 
mesma espessura, o peso passa a ser de 0,56 kN/m2, ou seja, uma diferença de 
180%. Com isso, se pretende justificar o pleno conhecimento que o engenheiro 
projetista deve ter de todos os materiais de acabamento, para não cometer erro de 
avaliação nas ações de peso próprio. 
 Para situações específicas, como por exemplo, a utilização de blocos de 
concreto celular como vedação de alvenarias, deve ser consultado catálogo do 
fabricante, ou seu departamento técnico, pois para a composição do carregamento total 
da alvenaria há necessidade de se conhecer o peso específico do material. 
 Muitos dos componentes das edificações são constituídos pela composição de 
outros, por exemplo, os caixilhos metálicos e de madeira. Para determinar as suas 
ações permanentes nas estruturas é necessário compor os pesos dos materiais, isto é, 
acrescentar ao peso de aço ou madeira o peso dos vidros que compõem o caixilho. 
 Na falta de dados normalizados ou de catálogos de fabricantes de componentes 
de construção há necessidade de se determinar experimentalmente os seus pesos 
próprios. 
 
 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 36
 TABELA 2.1 - Peso específico dos materiais de construção 
 
Materiais Peso específico aparente kN/m3 
Rochas 
Arenito 
Basalto 
Gneiss 
Granito 
Mármore e Calcário 
26 
30 
30 
28 
28 
Blocos 
Artificiais 
Blocos de argamassa 
Cimento amianto 
Lajotas cerâmicas 
Tijolos furados 
Tijolos maciços 
Tijolos sílico-calcários 
22 
20 
18 
13 
18 
20 
Revestimentos 
e concretos 
Argamassa de cal, cimento/areia 
Argamassa de cimento e areia 
Argamassa de gesso 
Concreto simples 
Concreto armado 
19 
21 
12,5 
24, 
25 
Madeiras 
Pinho, cedro 
Louro, imbuia, pau óleo 
Guajuvirá, guatambu, grápia 
Angico, cabriuva, Ipê róseo 
5 
6,5 
8 
10 
Metais 
Aço 
Alumínio e ligas 
Bronze 
Chumbo 
Cobre 
Ferro Fundido 
Estanho 
Latão 
Zinco 
78,5 
28 
85 
114 
89 
72,5 
74 
85 
72 
Materiais 
Diversos 
Alcatrão 
Asfalto 
Borracha 
Papel 
Plástico em folhas 
Vidro plano 
12 
13 
17 
15 
21 
28 
 
 
2.2.1 AÇÃO PERMANENTE DE COMPONENTES UTILIZADOS EM EDIFÍCIOS 
 
 Nos edifícios usualmente são utilizadas alvenarias de tijolos furados ou maciços 
assentes com argamassa de cimento, cal e areia, que posteriormente são revestidos 
com argamassa, que recebem como acabamento massa corrida e posteriormente são 
pintadas. Os revestimentos de cozinhas e banheiros podem ser em peças de pedra - 
granito ou mármore - ou azulejos. Os pisos podem ser em pedras, madeira ou carpete 
de tecido. 
 Os blocos artificiais para alvenarias são especificados por norma própria ou pelo 
Manual Técnico da ABCI [1987], e são adotados no projeto arquitetônico de acordo 
com a sua concepção e em função do conforto térmico e acústico que se pretende. 
Condições técnicas e econômicas devem ser analisadas nestas decisões. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 37
 Para as coberturas podem ser usadas estruturas metálicas ou de madeiras, com 
telhas que podem ser cerâmicas, de fibrocimento ou de chapas metálicas. 
 Da exposição feita pode-se perceber que para os projetos estruturais as ações 
permanentes variam de acordo com os tipos de materiais utilizados. É possível, então, 
organizar-se uma tabela com os pesos próprios dos vários materiais de construção que 
normalmente estão envolvidos no projeto. 
 É conveniente que os valores dos pesos próprios dos materiais estejam 
referidos por unidade de área, pois, deste modo, ao se determinar o valor da ação de 
uma alvenaria atuante sobre uma viga do edifício, basta multiplicar a altura da alvenaria 
por este peso por unidade de área para se obter o carregamento na viga por unidade 
de comprimento. 
 Estas ações de peso próprio são determinadas considerando os pesos 
específicos aparentes indicados na tabela 2.1. 
 
2.2.1.1 Peso próprio de parede de alvenaria revestida de um tijolo furado 
 
 Neste item, e a título de exemplo, será determinado o peso próprio de uma 
alvenaria de tijolos furados,
assentes de tal modo a se constituir em parede de uma 
vez, isto é, um tijolo, revestida com argamassa mista - cimento, cal e areia com 20mm 
de espessura. O assentamento dos tijolos será com a mesma argamassa, com 
camadas de 10mm de espessura entre as fiadas horizontais e, com mesma medida 
entre as faces verticais dos tijolos. 
 Os blocos cerâmicos para paredes têm as seguintes dimensões: largura 90mm, 
altura 190mm e comprimento de 190mm. 
 Como pode ser visto na Tabela 2.1 os pesos específicos dos tijolos furados 
(blocos artificiais) é de 13kN/m3 e da argamassa de cal, cimento e areia é de 19kN/m3. 
 A figura 2.1 representa uma parede, nas condições citadas, de 1m de largura 
por 1m de altura, constituindo, portanto, 1m2 de área. Como a largura do bloco 
cerâmico é de 19cm e tem 2cm de argamassa de revestimento em cada face, a 
espessura final da alvenaria é de 23cm. 
 Pode ser visto na figura 2.1 que para se construir uma parede de alvenaria em 
tijolos furados, de uma vez (ou de um tijolo), são necessários 50 tijolos. A massa dos 
50 tijolos é dada por: 
 
 50 . ( 0,19 . 0,19 . 0,09 ) . 13 = 2,11kN/m2 
 
 Para computar o peso próprio da argamassa de assentamento basta determinar 
o volume de argamassa - na direção horizontal e vertical - e multiplicar pelo peso 
específico da argamassa, resultando: 
 
 10 . ( 0,19 . 0,01 . 1,00 ) . 19 + 
 
 5 . ( 0,19 . 0,01 . 1,00 ) . 19 = 0,54kN/m2 
 
 O valor do peso de reboco, em ambas as faces da parede, é determinado por: 
 
 2 . ( 0,02 . 1,00 . 1,00 ) . 19 = 0,76kN/m2 
 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 38
 
Figura 2.1 - Parede de um tijolo furado com revestimento 
 
 Portanto, o peso de 1m2 de alvenaria de um tijolo furado, revestida com 2cm de 
argamassa em cada face, é igual a: 
 
 3,41kN/m2 
 
 Na determinação deste valor já se imaginou que a resultante de cada ação 
parcial estava dividida por 1m. 
 Nos casos de se utilizar outros tipos de blocos para constituir as paredes ou 
outras dimensões de revestimento este procedimento deve ser repetido, o mesmo 
ocorrendo quando há revestimento constituído por pedras ou azulejos. 
 Nestes casos os materiais que os compõem devem estar especificados no 
projeto arquitetônico e a partir deste dado o peso próprio pode ser calculado ou 
fornecido por catálogo do fabricante do produto. 
 
2.2.1.2 Peso próprio de vários materiais usualmente empregados 
 
 Pode ser organizada uma tabela (2.2) com os pesos por unidade de área (1m2) 
para os principais materiais utilizados nos edifícios usuais para alvenarias, enchimentos 
de lajes rebaixadas, forros, coberturas, fôrmas, esquadrias e caixilhos. 
 Os valores indicados na tabela 2.2 foram obtidos consultando catálogos e 
referências bibliográficas pertinentes. Na falta de dados a respeito do peso próprio de 
materiais de construção o engenheiro projetista deve determiná-los de maneira 
criteriosa, se necessário até realizando ensaios. 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 39
Tabela 2.2 - Ações permanentes por unidade de área 
 
ITEM MATERIAL AÇÃO
kN/m2 
PAREDES 
Tijolos maciços, com 25cm de 
espessura 
Tijolos maciços, com 15cm de 
espessura 
Tijolos furados, com 23cm de 
espessura 
Tijolos furados, com 13cm de 
espessura 
Tijolos de concreto, com 23cm de 
Espessura 
Tijolos de concreto, com 13cm de 
Espessura 
Tijolos de concreto celular, com 23cm 
Tijolos de concreto celular, com 13cm 
 
4,0 
 
2,5 
 
3,2 
 
2,2 
 
3,5 
 
2,2 
0,8 
0,5 
COBERTURAS 
Com telhas cerâmicas, 
c/madeiramento 
Com telhas de fibrocimento, 
c/madeira. 
Com telhas de alumínio e 
Estrutura de aço 
Com telhas de alumínio e 
Estrutura de alumínio 
 
1,2 
 
0,4 
 
0,3 
 
0,2 
FORROS 
Com painéis de gesso, com estrutura 
de madeira e aço 
Com blocos sólidos de gesso 
 
0,5 
0,7 
CAIXILHOS 
Com estrutura de alumínio, com 
vidros 
Com estrutura de aço, com vidros 
 
0,2 
0,3 
TELHAS De fibrocimento tipo Canalete 43 De fibrocimento tipo Canalete 90 
0,28 
0,25 
 
Na tabela 2.2 nas ações das paredes estão incluídas as relativas aos pesos das 
argamassas de assentamento (1cm) e de revestimento (1,5cm em cada face). Nas 
coberturas foram considerados as massas das telhas úmidas por causa da ação da 
chuva. 
 
2.2.1.3 Exemplo de consideração de ações permanentes em lajes 
 
 No exemplo que será desenvolvido pretende-se determinar as ações atuantes 
nas lajes do projeto. 
 A figura 2.2 apresenta parte do pavimento - tipo de um edifício destinado a salas 
para escritórios, onde se pode notar que o projeto prevê para cada conjunto a 
existência de salas, copa, dois banheiros e um terraço. 
Na figura 2.3 mostra-se o desenho da forma estrutural prevista para atender as 
exigências de segurança e de transferência das ações atuantes neste pavimento-tipo. 
O sistema estrutural adotado é constituído por pilares, que recebem as ações das vigas 
- tipo que, por sua vez, servem de apoio para as lajes maciças. As lajes L01, L03 e L05 
têm apenas ações uniformemente distribuídas, a laje L02, além da ação uniformemente 
distribuída recebe a ação linearmente distribuída representada pelas paredes que 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 40
dividem os dois banheiros e estes da copa. A L03 é responsável por receber as ações 
atuantes no terraço, é uma laje em balanço, portanto suas bordas são livres, isto é, não 
têm o apoio de vigas. Para servir de parapeito, há uma parede de 1,0 m de altura em 
todo o contorno do terraço (ver figura 2.2). 
 Na figura 2.3, para uma perfeita identificação, os elementos estruturais foram 
indicados por letras seguidas do número de ordem do elemento. 
 De acordo com a NBR 7191:1982 a designação dos elementos estruturais é feita 
com os seguintes símbolos: 
 
LAJES L DIAGONAIS D 
VIGAS V SAPATAS S 
PILARES P BLOCOS B 
TIRANTES T PAREDES PAR 
 
 
 
Figura 2.2 - Desenho da planta arquitetônica 
 
 A numeração das lajes é feita iniciando pela laje mais afastada do observador e 
à sua esquerda, prosseguindo para a direita, e, posteriormente, a partir da esquerda, 
numerando aquelas perpendiculares a plano vertical mais próximo do observador. O 
número posicionado abaixo, separado por um traço, representa a espessura (h) da laje 
medida em centímetros. 
 A numeração das vigas é feita inicialmente para as dispostas paralelamente ao 
eixo x e mais afastadas do observador, e prosseguindo-se por alinhamentos 
sucessivos, até atingir a mais próxima do observador. Para as vigas dispostas 
paralelamente ao eixo y, tomando-se como referência um sistema cartesiano de eixos 
no desenho da forma estrutural, parte-se do lado esquerdo, por fileiras sucessivas, até 
atingir o lado direito da forma estrutural. Junto de cada viga devem ser indicadas as 
suas dimensões: o primeiro número representa a largura (b) e o segundo a altura (h), 
ambos em centímetros. 
 Para os pilares a numeração é feita partindo-se do canto superior esquerdo do 
desenho de forma para a direita, em linhas sucessivas. Junto a identificação colocam-
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 41
se as dimensões da seção transversal. É usual usar-se um traço posicionado logo 
abaixo da identificação com as medidas em centímetros. A primeira representa a 
menor dimensão e a segunda o comprimento da seção transversal. Alguns projetista e 
sistemas computacionais escrevem primeiro a medida hx paralela ao eixo x e depois da 
barra inclinada (/) a dimensão hy, independentemente de qual das duas for a menor 
dimensão. 
 
 
 
Figura 2.3 -Desenho da forma estrutural 
 
 a.
Determinação das ações permanentes diretas para as lajes L01, L03 e L05 
 
 As ações permanentes diretas são constituídas pelos pesos próprios dos 
seguintes materiais: concreto armado da laje; camada de regularização, em argamassa 
de cimento e areia; piso, que neste exemplo foi adotado tacos de ipê róseo e 
revestimento do forro, em argamassa de cal, cimento e areia 
 As dimensões da laje, da camada de regularização, do piso e do revestimento 
do forro estão anotadas na figura 2.4. 
 
 
Figura 2.4 - Dimensões para cálculo dos pesos próprios 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 42
 As forças relativas aos pesos próprios são calculadas por unidade de área. Com 
os pesos específicos dos materiais definidos na tabela 2.1 determinam-se, para as 
lajes L01, L04 e L05: 
 
Peso próprio da laje: 0,100.25 = 2,500 kN/m2 
Peso próprio da regularização: 0,025.21 = 0,525 kN/m2 
Peso próprio do piso: 0,020.10 = 0,200 kN/m2 
Peso próprio do forro: 0,015.19 = 0,285 kN/m2 
 TOTAL: = 3,510 kN/m2 
 
 b. Determinação das ações permanentes diretas para a laje 02 
 
 A laje L02 está, neste projeto, sendo considerada rebaixada, como pode ser 
visto na figura 2.3 que representa a forma estrutural do pavimento tipo. É necessário 
assim proceder para permitir a instalação do sistema hidráulico de esgotos. Se a opção 
for por laje não rebaixada, isto é, no mesmo nível das demais, há necessidade de se 
prever forro falso, em gesso normalmente, para que as instalações não apareçam para 
o observador posicionado sobre a laje L02 do andar inferior. 
 Normalmente os rebaixos (figura 2.5) são cheios com entulhos obtidos na 
própria construção. Neste projeto optou-se por preencher o rebaixo com tijolos furados, 
os mesmos que são usados nas alvenarias, com dimensões de 90mm x 190mm x 
190mm. 
 Como a altura do rebaixo é de 20cm, o centímetro que falta pode ser preenchido 
com a argamassa de regularização. Lembrando que o peso específico do tijolo furado é 
de 13kN/m, como pode ser visto na tabela 2.1, a ação por unidade de área, relativa ao 
enchimento resulta: 
 
 0,19 . 13 + 0,01 . 19 = 2,66 kN/m2 
 
 Para a laje L02 há que se considerar, além das ações indicadas para as lajes 
L01, L04 e L05, a ação das paredes de alvenaria mostradas na figura 2.1. 
 A ação das paredes pode ser suposta uniformemente distribuída na área da laje, 
considerando para cálculo da área da laje os comprimentos medidos de centro a centro 
de vigas, isto é, e considerando a figura 2.3, as distâncias entre as vigas V01 e V02 
(medida lx) e entre as vigas V05 e V06 (medida ly). 
 As medidas lx e ly são iguais a 337,5cm e 371,5cm, respectivamente. 
 Para se determinar a resultante da ação da parede deve-se calcular a área total 
das paredes que solicitam a laje L02, resultando: 
 
 (3,15 + 2,47) (2,80 - 0,10) . 2,2 = 33,38kN 
 
sendo, no primeiro termo as expressões entre parênteses representam o somatório dos 
comprimentos das paredes (ver figura 2.2) e a medida do pé direito do andar, 
respectivamente e, o valor 2,2 é o peso próprio de uma parede de alvenaria de 1/2 
tijolo furado, já se computando a argamassa de assentamento e de revestimento nas 
duas faces. 
 Dividindo a resultante pela área calculada com os vãos teóricos, determina-se a 
ação na laje L02 relativa às paredes de alvenaria (ação permanente direta), ou seja: 
 
 2kN/m2,65
53,375.3,72
33,38 = 
 
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 Para cálculo da resultante da parede não foram descontados os vãos das 
portas, o que é um procedimento usual deste que não modifique em muito o valor da 
resultante. 
 A ação total na laje L02 fica igual a: 
 
 3,51 + 2,66 + 2,65 = 8,82 kN/m2 
 
 c. Determinação das ações permanentes diretas para a laje L03 
 
 Para a laje L03 segue-se o mesmo raciocínio utilizado na outras lajes para se 
determinar as ações oriundas do peso próprio, ou seja: 
 
Peso próprio da laje: 0,100.25 = 2,500 kN/m2 
Peso próprio da regularização: 0,025.21 = 0,525 kN/m2 
Peso próprio do piso: 0,005.18 = 0,090 kN/m2 
Peso próprio do forro: 0,015.19 = 0,285 kN/m2 
 TOTAL: = 3,400 kN/m2 
 
 Para o piso da laje L03 foi considerado um revestimento em peças cerâmicas 
com 5mm de espessura, por ser um ambiente (terraço) sujeito as intempéries. 
 Como a L03 é uma laje em balanço a ação de peso próprio da mureta paralela a 
maior dimensão da edificação será considerada como uma ação linearmente 
distribuída na borda (figura 2.6). 
 
 Figura 2.5 – Ação no rebaixo Figura 2.6 - Laje L03 
 
 A mureta será construída em alvenaria de meio tijolo maciço com 1m de altura, 
resultando: 
 
 gpp,mur = 1,00 . 2,5 = 2,5 kN/m 
 
 As ações por causa das muretas perpendiculares à viga V04 (figura 2.3) serão 
consideradas uniformemente distribuídas em uma área definida pelo vão teórico do 
balanço, neste caso lx = 108,5cm, e por um comprimento chamado largura colaborante 
(b) a ser definido por ocasião do estudo das lajes maciças, no capítulo 5. 
 
2.2.1.4 Peso próprio de paredes não definidas no projeto 
 
 A NBR 6120:1980 diz que para a determinação da ação de paredes divisórias, 
em que sua posição não esteja definida no projeto arquitetônico, o cálculo de pisos 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 44
com suficiente capacidade de distribuição transversal da carga, quando não for feito 
por processo exato, pode ser admitido, além dos demais carregamentos, como uma 
ação uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço 
do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1kN/m2. 
 Este caso se aplica quando o projeto arquitetônico deixa a decisão de locar as 
paredes na obra em função da utilização do ambiente arquitetônico. Normalmente isto 
ocorre em edifícios destinados a escritórios onde, dependendo dos tipos de 
profissionais que irão ocupá-los, há distribuições de ambientes diferenciados. 
 
2.2.1.5 Cálculo dos esforços solicitantes de lajes com ação de paredes definidas no 
projeto 
 
 No exemplo consideraram-se as ações das paredes como sendo uma ação 
uniformemente distribuída. Este procedimento é usual quando não se dispõem de 
processo mais elaborado para a determinação dos esforços solicitantes, por exemplo, 
aqueles baseados em procedimentos numéricos. 
 
2.3 AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS 
 
 As ações variáveis normais são aquelas que atuam na estrutura em função de 
sua utilização, tais como pessoas que habitam a edificação, mobiliário, materiais 
diversos, equipamentos, veículos, etc. 
 Estas ações são verticais e consideradas atuando no piso das edificações, isto 
é, nas lajes, que são estruturas planas, e, são supostas uniformemente distribuídas e 
os seus valores mínimos são os indicados na NBR 6120:1980. 
 A tabela 2.3 apresenta os valores mínimos para as ações que devem ser 
consideradas nos projetos de edifícios residenciais e comerciais destinados a 
escritórios. 
 Para projetos de edifícios com outras finalidades deve ser consultada a referida 
norma ou outras específicas. 
 A NBR 6120:1980 prescreve ainda que, nos compartimentos destinados a ações 
especiais, como arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes, etc., 
não é necessária uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se 
considere um acréscimo de 3kN/m2 no valor da ação acidental. A análise das massas 
dos equipamentos deve ser feita pelo projetista. 
 No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, o 
peso dos materiais armazenados pode ser obtido considerando os pesos específicos 
aparentes indicados na NBR 6120:1980. Essas ações são importantes para os projetos 
de silos para armazenamento de produtos. 
 No
caso de balcões e sacadas com acesso público deve ser prevista a mesma 
ação uniformemente distribuída atuante no ambiente com a qual se comunicam e, 
ainda, uma ação horizontal de 0,8kN/m na altura do corrimão e uma ação vertical 
mínima de 2kN/m. Estas duas últimas ações também devem ser consideradas nos 
parapeitos de balcões e sacadas. 
 Para as escadas constituídas de degraus isolados, considera-se uma ação 
concentrada de 2,5kN, aplicada na posição mais desfavorável. Essa ação não deve ser 
considerada na composição de ações para as vigas que suportem os degraus. Para as 
vigas que suportam os degraus, nas composições de suas ações, consideram-se as 
ações de peso próprio, peso próprio do piso e revestimento, corrimão e ação variável 
normal. Normalmente estas vigas que suportam escadas de degraus isolados ficam 
submetidas à ação de momento torçor. Lembra-se que as tensões tangenciais oriundas 
da força cortante e do momento torçor se somam. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 45
Tabela 2.3 - Valores mínimos das ações variáveis normais 
 
AMBIENTE ARQUITETÔNICO Ação 
kN/m2 
Casas de Máquinas 
(incluindo a massa das máquinas) a ser 
determinada em cada caso, 
porém com o valor mínimo de 
 
 
7,5 
Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público 
3 
2,5 
Edifícios 
Residenciais 
Dormitórios, sala, copa, cozinha e 
banheiro. 
Dispensa, área de serviço e 
Lavanderia 
 
1,5 
 
2 
Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público 
3 
2,5 
Escolas 
Anfiteatro com assentos fixos 
Corredor e sala de aula 
Outras salas 
 
3 
2 
Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2 
Forros Sem acesso a pessoas 0,5 
Galerias de Arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 
 
3 
Galerias deLojas A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 
 
3 
Garagens e 
estacionamentos 
Para veículos de passageiros ou 
semelhantes com carga máxima de 
25kN por veículo 
 
3 
Ginásio de 
Esportes 
 5 
Terraços 
Sem acesso ao público 
Com acesso ao público 
Inacessível a pessoas 
2 
3 
0,5 
 
 Nos casos de edifícios com garagens em pavimentos térreos ou outros 
pavimentos, há necessidade de se considerar a ação de veículos conforme indicado na 
tabela 2.3. Estas ações devem ser majoradas de um coeficiente ϕ determinado do 
seguinte modo: 
 sendo l o vão de uma viga ou o vão menor de uma laje; sendo lo = 3m para o 
caso das lajes e l0 = 5m para o caso das vigas, têm-se: 
 
 ϕ = 1,00 quando l ≥ lo 
 1,43o ≤=ϕ l
l quando l ≤ lo 
 
 Quando estiverem sendo analisados os pavimentos sujeitos às ações de 
veículos, o valor da ação indicada na tabela 2.3 que é de 3kN/m2 deve ser multiplicada 
pelo coeficiente de majoração ϕ determinado como exposto. 
 Esse coeficiente não deve ser considerado na determinação das ações em 
paredes e pilares, e sim para as lajes e vigas do pavimento considerado. 
 
 
 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 46
2.3.1 CONSIDERAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS NOS PILARES 
 
 A NBR 6120:1980 sugere que na avaliação das ações nos pilares e nas 
fundações de edifícios destinados a escritórios, residências e casas comerciais as 
ações acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 
2.4. De nenhum modo estas reduções podem ser feitas quando a edificação for 
destinada a depósitos. 
 Para efeito de aplicação dos valores de redução indicados o pavimento do 
edifício destinado a forro deve ser considerado como piso para efeito de contabilidade 
do número de pisos que atuam sobre o tramo de pilar analisado. 
 
Tabela 2.4 - Redução das ações acidentais 
 
Número de Pisos que atuam 
sobre o elemento 
Redução percentual das 
cargas acidentais (%) 
1,2 e 3 
4 
5 
6 ou mais 
0 
20 
40 
60 
 
2.3.3 EXEMPLO DE CONSIDERAÇÃO DE AÇÕES VARIÁVEIS EM LAJES 
 
 Retomando o exemplo do item 2.2.1.3 lembra-se que o edifício em estudo é 
destinado a escritórios e, portanto, de acordo coma tabela 2.3 a ação variável normal - 
ação acidental - a considerar é igual a 2,0kN/m2 em todas as lajes. 
 A laje L03, por ser destinada a receber as ações relativas a um terraço com 
acesso público deve ser considerada, além da ação uniformemente distribuída, a 
mureta na extremidade carregada com as ações linearmente distribuídas indicadas no 
item 2.3 e, mostradas na figura 2.6. 
 Com a finalidade de organizar os cálculos é conveniente montar a tabela 2.5 que 
resume todas as ações consideradas no projeto, quais sejam: peso próprio das lajes, 
revestimentos e pisos, ações de alvenarias, enchimentos e as ações variáveis normais. 
 
Tabela 2.5 - Ações finais nas lajes do exemplo 
 
 
Laje 
 
 
h 
 
Peso 
Próprio 
 
Piso + 
Revesti
mento 
 
Alve-
naria 
 
Outras
Ações 
Perma-
nentes
Diretas
(g) 
Ações 
Variá-
veis 
Normais
(q) 
 
 
Total 
 
 
Obs.: 
 cm kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 
L01 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50 
L02 10 2,5 1,0 2,65 2,60 8,75 2,0 10,75 
L03 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50 
L04 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50 
L05 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50 fig.2.5
 
 
2.4 AÇÃO DO VENTO 
 
 A NBR 6118:2003 indica que a consideração da ação de vento nas estruturas é 
obrigatória e recomenda que devem ser determinadas com as prescrições da NBR 
6123:1988. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 47
2.4.1 CÁLCULO DAS FORÇAS RELATIVAS AO VENTO EM EDIFÍCIOS 
 
 A NBR 6123:1988 prescreve que as forças relativas ao vento atuantes em uma 
edificação devem ser calculadas separadamente para: 
 
 a. elementos de vedação e suas fixações (telhas, vidros, esquadrias, painéis de 
vedação, etc.); 
 
 b. partes da estrutura (telhados, paredes, etc.); 
 
 c. estrutura como um todo. 
 
2.4.2 PROCEDIMENTO DE CÁLCULO 
 
 A NBR 6123:1988 estabelece que para estruturas de edifícios paralelepipédicos 
o projeto deve levar em conta: 
 
 a. as forças de vento agindo perpendicularmente a cada uma das fachadas; 
 
 b. as excentricidades causadas por vento agindo obliquamente ou por efeitos de 
vizinhança. Os momentos de torção são calculados considerando estas forças agindo 
com as excentricidades, em relação ao eixo geométrico, dadas na norma. 
 
2.4.3 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 Para a determinação dos esforços solicitantes por causa da ação do vento em 
estruturas reticulares, as ações podem ser consideradas como concentradas no nível 
de cada laje. Para este caso é necessário que se determine o quinhão de carga em 
cada pórtico, que varia de acordo com a sua rigidez. O processo de cálculo é 
apresentado no capítulo 4. Podem ser determinados considerando modelo de pórtico 
espacial, para o qual se precisa de programa computacional adequado. 
 
2.5 EFEITOS DINÂMICOS 
 
 Não são comuns casos de edifícios de concreto armado usuais sensíveis aos 
efeitos dinâmicos do vento, destacando-se aqueles cujas formas se assemelham a 
círculos, elipses, triângulos e retângulos com uma dimensão em planta predominante 
sobre a outra e, que sejam esbeltos e flexíveis. Sendo necessário análise específica 
deve ser feita. 
 
2.6 EXEMPLO DE CÁLCULO DAS FORÇAS POR CAUSA DO VENTO 
 
 No exemplo determinam-se as forças estáticas relativas à ação do vento em um 
edifício paralelepipédico, com dimensões em planta de 15m por 30m e com 60m de 
altura, isto é, com 20 andares, conforme pode ser visto na figura 2.7. 
 A destinação é de edifício residencial e deve ocupar um terreno plano, em 
localização afastada da região central da cidade e tem casas de baixa altura ao seu 
redor. Para se determinar a velocidade básica do vento, informa-se
que o edifício fica 
na cidade de São Carlos, SP. 
 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 48
 
 
Figura 2.7 - Planta e vista do edifício do exemplo 
 
Os coeficientes para a determinação das forças relativas ao vento são obtidas 
na NBR 6123:1988 - Forças devidas ao vento em edificações. 
 As forças estáticas por causa do vento são determinadas considerando a 
velocidade básica do vento, dadas pelas isopletas de velocidade básica (Vo) fornecidas 
na norma citada e, desenhadas sobre o mapa do Brasil. O coeficiente S1 leva em conta 
o fator topográfico, o coeficiente S2 representa a rugosidade do terreno, leva em conta 
as dimensões em planta da edificação e sua altura sobre o terreno e, o S3 é o fator 
estatístico que considera o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação. 
 Estes coeficientes multiplicados pela velocidade básica do vento fornecem a 
velocidade característica do vento. Como o coeficiente S2 depende da altura da 
edificação considerada a velocidade característica do vento é determinada em função 
desta altura. 
 Assim, a pressão dinâmica é determinada para as alturas da edificação 
considerada, já que ela é linearmente variável da base da edificação até seu nível 
superior. 
 Os coeficientes de arrasto (Ca) são determinados para corpos de seção 
constante ou fracamente variável e, são calculados em função das relações entre as 
medidas em planta dos lados da edificação e entre a altura e estas. 
 
2.6.1 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO 
 
 A velocidade característica do vento é determinada pela expressão, de acordo 
com a NBR 6123:1988: 
 
 Vk = V0 . S1 . S2 . S3 ( m/s ) 
 
2.6.2 VELOCIDADE BÁSICA DO VENTO 
 
 A velocidade básica do vento, para o caso deste exemplo e, determinada para a 
região da cidade de São Carlos, SP de acordo com as isopletas de velocidade é: 
 
 V0 = 45 m/s 
 
2.6.3 FATOR TOPOGRÁFICO 
 
 Como a edificação fica localizada em terreno plano ou fracamente acidentado o 
fator topográfico é: 
 
 S1 = 1,0 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 49
2.6.4 FATOR S2 
 
 Este fator considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, as dimensões 
da edificação e altura sobre o terreno. Para este caso do exemplo esta sendo 
considerado que em função da rugosidade do terreno - terreno plano - Categoria III. 
Com relação à classe da edificação está sendo considerada Classe C, pois representa 
todas as edificações, ou parte delas, para a qual a maior dimensão horizontal ou 
vertical da superfície frontal exceda 50 metros. 
 Em função destas considerações determinam-se os fatores S para três alturas 
do edifício, conforme figura 2.7. 
 
 
Para h = 10m -----> S2 = 0,88 
 
Para h = 30m -----> S2 = 1,00 
 
Para h = 50m -----> S2 = 1,06 
 
 
Figura 2. 8 
 
2.6.5 FATOR ESTATÍSTICO S3 
 
 
 O fator estatístico considera o grau de segurança requerido e a vida útil prevista 
para a edificação. Neste caso do exemplo foi considerado edificação do Grupo 2, isto é, 
edificação para residências, resultando: 
 
 S3 = 1,0 
 
2.6.6 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO 
 
 Com a expressão do item 2.6.1 determinam-se as velocidades características do 
vento para as alturas consideradas, ou seja, para 10m, 30m e 50m, resultando: 
 
Vk,10 = 45 . 1,0 . 0,88 . 1,0 = 39,6 m/s 
 
Vk,20 = 45 . 1,0 . 1,00 . 1,0 = 4,50 m/s 
 
Vk,30 = 45 . 1,0 . 1,06 . 1,0 = 47,7 m/s 
 
 
2.6.7 PRESSÃO DINÂMICA 
 
 A pressão dinâmica é dada pela expressão: 
 
 ]N/m[V.0,613q 22kw = 
 
 sendo que, para as três alturas consideradas, multiplicando-se pelas 
velocidades características calculadas e, modificando a unidade da força para 
quilonewton, resultam: 
 
 qw,10 = 0,96 kN/m2 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 50
 
 qw,30 = 1,24 kN/m2 
 
 qw,50 = 1,39 kN/m2 
 
2.6.8 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE ARRASTO ( Ca ) 
 
 Considerando que l1 é a largura da edificação, isto é, a dimensão horizontal 
perpendicular à direção do vento e l2 é a profundidade, ou seja, a dimensão na direção 
do vento e, h é a sua altura, pode-se determinar o coeficiente de arrasto em função 
destas grandezas geométricas. 
 Os coeficientes de arrasto são determinados na NBR 6123:1988 para as 
relações l1/l2 e h/l1, por meio de ábaco próprio. 
 As considerações geométricas para este exemplo são dadas pela figura .2.9. 
 
 
 
Figura 2.9 - Direções do vento para cálculo de Ca 
 
2.6.8.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área 
 
 No caso da figura 2.9-a as dimensões a considerar são: 
 
 l1 = 15 m e l2 = 30 m 
 
 Ou seja, com h = 30 m, resulta: 
 
 
4,0
15
60h
0,5
30
15
2
1
==
==
l
l
l
 
 
 Com estes valores e consultando a NBR 6123:1988 resulta para coeficiente de 
arrasto, para vento agindo perpendicularmente à fachada de menor área o valor: 
 
 Ca = 1,03 
 
2.6.8.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área 
 
 No caso da figura 2.9-b as dimensões a considerar são: 
 
 l1 = 30 m e l2 = 15 m 
 
 Ou seja, com h = 30 m, resulta: 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 51
 
 
2,0
30
60h
2,0
15
30
2
1
==
==
l
l
l
 
 
 Com estes valores e consultando a NBR 6123:1988 resulta para coeficiente de 
arrasto, para vento agindo perpendicularmente à fachada de maior área o valor: 
 
 Ca = 1,38 
 
 
2.6.9 DETERMINAÇÃO DAS FORCAS RELATIVAS AO VENTO 
 
 As forças em virtude do vento são consideradas uniformemente distribuídas para 
cada segmento de altura da edificação de 20m, neste exemplo. O módulo da força é 
calculado pela expressão: 
 
 w = Ca . qw . l1 
 
 Lembrando que l1 é a dimensão da área da fachada da edificação medida 
segundo o plano horizontal, o valor a força relativa ao vento já fica determinada por 
unidade de comprimento. 
 
2.6.9.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área 
 
 Sendo q igual aos valores calculados no item 2.6.6 e com os coeficientes de 
arrasto recém determinados, vem: 
 
 w0,20 = 1,03 . 0,96 . 15 = 14,8 kN/m 
 
 w20,40 = 1,03 . 1,24 . 15 = 19,2 kN/m 
 
 w40,60 = 1,03 . 1,39 . 15 = 21,5 kN/m 
 
 
 a) b) 
Figura 2.10 - Distribuição das forças de vento - Fachada de menor área 
 
2.6.9.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área 
 
 Analogamente ao calculado no item anterior, vem: 
 
 w0,20 = 1,38 . 0,96 . 30 = 39,7 kN/m 
 
 w20,40 = 1,38 . 1,24 . 30 = 51,3 kN/m 
Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 52
 
 w40,60 = 1,38 . 1,39 . 30 = 57,6 kN/m 
 
 
 
Figura 2.11 - Distribuição das forcas por caus do vento - Fachada de menor área 
 
2.7 OUTRAS AÇÕES 
 
 Entre as ações a serem consideradas, se for o caso, em estruturas de edifícios 
encontram-se: variação de temperatura, retração e fluência do concreto, choques, 
vibrações, ações repetidas e, ainda, aquelas provenientes de deslocamentos de apoio 
e processos construtivos, se as condições de projeto assim determinarem. 
 
2.7.1 VARIAÇÃO DA TEMPERATURA 
 
Para as variações uniformes de temperatura da estrutura, causada globalmente 
pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada 
uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos 
elementos estruturais que a compõem. 
De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: 
 
a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, 
deve
ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 
15ºC; 
 
b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios 
inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que 
essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; 
 
c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm 
admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. 
A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% 
da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. 
Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências 
construtivas prescritas por esta Norma para que sejam minimizados os efeitos das 
variações de temperatura sobre a estrutura da construção. 
As variações não uniformes de temperatura nos elementos estruturais em que a 
temperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme, precisam 
ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode 
ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que 
a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja 
inferior a 5ºC. 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 53
2.7.2 AÇÕES DINÂMICAS 
 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou 
vibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das 
solicitações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos 
elementos estruturais de acordo com o indicado na NBR 6118:2003. 
 
2.7.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, 
cujos efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas 
ações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normas 
brasileiras específicas. 
 
2.7.4 RETRAÇÃO 
 
 O valor da retração do concreto depende de fatores como: umidade relativa do 
ambiente, consistência do concreto quando do lançamento e espessura fictícia do 
elemento. A NBR 6118:2003 estabelece que para as peças de concreto armado nos 
casos correntes a deformação específica pode ser suposta igual a -15 x 10-5. 
 
2.7.5 FLUÊNCIA 
 
 A fluência ou deformação lenta ocorre quando há ações de longa duração 
atuando na estrutura. 
 No caso de pilares esbeltos (λ > 90), sua consideração é obrigatória, podendo 
ser feita pelo método da excentricidade equivalente, admitindo-se que todos os 
carregamentos são de curta duração e introduzindo-se uma excentricidade 
suplementar de primeira ordem. 
 
 
2.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6118:2003 Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6120:1980: Cargas para 
o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6123:1988: Forças 
devidas ao vento em edificações, Rio de Janeiro, 1988. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 7191:1982 Execução de 
desenhos para obras de concreto simples ou armado. Rio de Janeiro, 1982. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 8681:1984: Ações e 
segurança nas estruturas. Rio de Janeiro, 1984. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA CONSTRUÇÃO INDUSTRIALIZADA, Manual técnico 
de pré-fabricados de concreto. São Paulo, ABCI/Projeto, 1987. 
 
COMMISSION OF THE EUROPEAN COMMUNITIES. Eurocode n.2: Design of 
concrete structures. (EC2-1989). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 55
3. ESCOLHA DA FORMA DA ESTRUTURA 
 
 
3.1 ASPECTOS GERAIS 
 
 A escolha da forma da estrutura de um edifício depende do projeto arquitetônico 
proposto. Usualmente os edifícios, exclusivamente residências, são constituídos pelos 
seguintes pavimentos: subsolo - destinado à área de garagem; pavimento térreo - 
destinado à recepção, salas de estar, de jogos, de festas, piscinas e área para 
recreação; pavimento-tipo - destinado aos apartamentos, com os vários cômodos 
previstos no projeto. Em alguns projetos os ambientes sociais se localizam na 
cobertura do edifício, requerendo um projeto estrutural compatível para o pavimento de 
cobertura. 
 Nos casos de edifícios comerciais constituídos por pavimentos-tipo, o projeto 
arquitetônico feito para esta finalidade é pouco alterado, ou seja, deve ser destinado o 
subsolo para área de garagem, térreo para recepção e acesso a elevadores e escada, 
pavimentos-tipo com distribuição arquitetônica compatível com a finalidade do edifício. 
 Existem casos de edifícios com utilização mista, isto é, parte dele é de utilização 
comercial, por exemplo, do primeiro ao quarto andar e, os andares seguintes são de 
utilização residencial. Usualmente, nesse caso, as distribuições arquitetônicas dos 
andares-tipo não são compatíveis, exigindo posições diferentes para os pilares em 
cada andar-tipo. 
 As áreas destinadas a garagens, que normalmente são localizadas no subsolo, 
e em alguns projetos no subsolo e no pavimento térreo, determinam posições de 
pilares compatíveis com áreas de manobras e de estacionamentos o que, em alguns 
casos, não são compatíveis com a distribuição de pilares estudada para o pavimento-
tipo. Nessa situação é usual projetar-se uma estrutura de transição, responsável por 
transferir as ações dos pilares posicionados de acordo com o projeto arquitetônico do 
andar tipo para pilares posicionados segundo a compatibilidade com os projetos 
arquitetônicos do andar térreo e do subsolo. 
 
 
3.2 ANTEPROJETO DA FORMA DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO 
 
 Para realizar o anteprojeto da forma da estrutura de um edifício é necessário, 
como já enfatizado, posicionar os pilares de tal modo que não ocorra interferência com 
o projeto arquitetônico e de instalações. As dimensões dos elementos estruturais não 
devem, também, interferir com as paredes de alvenarias ou outros materiais. 
 Assim, neste capítulo discutem-se subsídios para iniciar o projeto de estruturas. 
As dimensões mínimas dos elementos estruturais são indicadas por normas nacionais 
e internacionais e devem ser adotadas na fase de anteprojeto. É claro que outros 
fatores estão envolvidos como ações que irão atuar na estrutura, vão de vigas e lajes, 
que como se sabe intervém nas intensidades dos esforços solicitantes, que para serem 
equilibrados pelos esforços resistentes exigirão seções transversais avantajadas. 
 No caso de estruturas complementares de edifícios tais como reservatórios 
paralelepipédicos, escadas, muros de arrimo, paredes estruturais, blocos de fundação, 
critérios outros devem ser analisados como cobrimentos das armaduras a serem 
adotados por causa da possibilidade de percolação de água que pode afetar a 
durabilidade do elemento. 
 Assim, são apresentadas as dimensões mínimas de alguns elementos 
estruturais indicadas na NBR 6118:2003 e também se analisam critérios econômicos 
para projeto estrutural de edifício construído em concreto armado. 
 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 56
 
3.2.1 Dimensões mínimas dos elementos estruturais 
 
3.2.1.1 Lajes 
 
 A NBR 6118:2003 prescreve para espessuras mínimas de lajes maciças de 
edifícios, em função da utilização, os seguintes valores: 
 
a.- 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
b.- 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
c.- 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN; 
d.- 12 cm para
lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
e.- 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, 
l/42 para lajes de piso biapoiadas, 
l/50 para lajes de piso contínuas; 
f.- 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo. 
 
Para as lajes nervuradas a NBR 6118:2003 indica que a espessura da mesa, 
quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 
da distância entre nervuras e não menor que 3 cm. 
O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas 
de diâmetro máximo 12,5 mm. 
A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm. 
Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de 
compressão. 
Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes 
condições: 
 
a.- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm, 
pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do 
cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje; 
 
b.- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm, 
exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao 
cisalhamento como vigas; permitem-se essa verificação como lajes se o espaçamento 
entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média das nervuras forem 
maior que 12 cm; 
 
c.- para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maiores 
que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de 
vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. 
 
3.2.1.2 Vigas e vigas-parede 
 
 A NBR 6118:2003 indica que a seção transversal das vigas não deve apresentar 
largura menor que 12 cm, e das vigas-parede menor que 15 cm. Estes limites podem 
ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais 
sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 57
a.- alojamento das armaduras, e suas interferências com as armaduras de 
outros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos 
nesta Norma; 
 
b.- lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931:2003 – 
Execução de estruturas de concreto. 
 
3.2.1.3 Pilares e pilares-parede 
 
A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19cm. 
Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19cm e 
12cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento 
por um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela 3.1. Em qualquer 
caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360cm2. 
 
Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn 
 
b ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
sendo: 
γn = 1,95 – 0,05b 
b é a menor dimensão da seção transversal do pilar. 
O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu 
dimensionamento. 
 
Pilares-parede são elementos de superfície plana, usualmente dispostos na 
vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por 
uma ou mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma 
dessas superfícies, a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas 
consideradas na seção transversal do elemento estrutural. 
 Na maioria dos casos dos pilares de edifícios as ações nos pilares são aplicadas 
excentricamente, de tal modo que para o dimensionamento do pilar há necessidade de 
se considerar uma excentricidade inicial (ei). Pode-se dizer que, na maioria dos casos, 
os pilares de edifícios estão submetidos à flexão oblíqua composta, em função da 
consideração da vinculação das vigas com os pilares e, das posições destas em 
relação aos eixos principais da seção transversal dos pilares. 
 A NBR 6118:2003 indica que para verificação da resistência dos pilares, em 
função das solicitações, deve ser considerada uma excentricidade acidental (ea), para 
levar em conta o possível desvio do eixo da peça durante a construção, por causa do 
desaprumo ou falta de retilinidade do eixo do pilar, em relação à posição prevista no 
projeto. 
 Nos casos dos pilares em que o índice de esbeltez (λ = le / i) for menor do que 
λ1 = 35 não há necessidade de se considerar o efeito das deformações, oriundas dos 
efeitos de segunda ordem. 
 Quando o índice de esbeltez for maior do que λ1 = 35, obrigatoriamente deve-se 
levar em conta o efeito das deformações, sendo que o cálculo abrange tanto o caso de 
ruptura a compressão do concreto ou deformação plástica da armadura como a ruína 
por instabilidade, pelos processos indicados a seguir. 
Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas 
no caso de postes com força normal menor que 0,10fcd Ac, o índice de esbeltez pode 
ser maior que 200. 
 
 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 58
3.2.1.4 Paredes estruturais 
 
 As espessuras das paredes estruturais devem ter as dimensões adotadas à 
semelhança dos pilares-parede. Nos casos em que o comprimento da seção horizontal 
for menor do que cinco (5) vezes a espessura, a peça será considerada como pilar, em 
caso contrário, isto é, comprimento maior que cinco (5) vezes a espessura a parede 
deve ser calculada como elemento comprimido ou flexo-comprimido por faixas de 
comprimento unitário. 
 
3.2.1.5 Fundações 
 
 Para as fundações rasas constituídas por sapatas diretas, as dimensões em 
planta das sapatas são determinadas em função de critérios de resistência do terreno 
sobre o qual se apóia o edifício. A altura da sapata deve ser determinada em função do 
tipo de consideração que se faça de sapata rígida ou flexível. 
 Nos casos de ser necessário adotar fundação profunda (estacas ou tubulões), as 
dimensões dos blocos de coroamento dependem das quantidades e dos diâmetros das 
estacas que se adotar para cada pilar. As alturas dos blocos também dependem da 
consideração de flexibilidade. 
 
3.2.2 DIMENSÕES ECONÔMICAS PARA PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE 
 ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
 Para efeito de análise econômica dos elementos estruturais, é conveniente 
analisar lajes, vigas e pilares separadamente. 
 As lajes quanto mais esbeltas, isto é, quanto menor for a espessura, mais 
econômica será. Existe um limite indicado pela verificação dos estados limites último e 
de serviço. Embora seja possível se construir lajes com pequena espessura, que 
atenda essas condições, o desconforto para o usuário é sensível ao se caminhar sobre 
elas. A vibração pode definir um estado limite de serviço. Além disso, há que se 
atenderem as espessuras mínimas indicadas pela NBR 6118:2003. 
 Alguns critérios práticos podem ser enumerados com a finalidade de orientar o 
pré-dimensionamento das lajes de edifícios. Esses critérios que relacionam as 
resistências dos elementos estruturais e a economia de material foram analisados, por 
CEOTTO [1985]. 
 Se a laje for armada em duas direções, isto é, se a relação entre os vãos 
efetivos maior e menor for menor do que 2, a espessura da laje pode ser adotada entre 
os limites de um cinqüenta ávos (1/50) e um quarenta ávos (1/40) do vão teórico 
menor. Se a relação entre os vãos for maior que 2, esses limites se modificam para um 
quarenta e cinco ávos (1/45) e um trinta ávos (1/30) do menor vão. 
 Os vãos considerados econômicos podem ser adotados em torno de 4m, 
resultando aproximadamente áreas de 15 m2 a 20 m2. 
 As taxas de armaduras devem resultar entre 2,4 quilos a 3,2 quilos de aço por 
unidade de área e 28 quilos a 53 quilos de aço por unidade de volume de laje. Esses 
valores alteram muito pouco quando se aumenta o valor da resistência característica 
do concreto. 
 As
lajes ficam geometricamente definidas pelas posições ocupadas pelas vigas 
no pavimento, decorrendo daí que os valores indicados serão atendidos por estudo 
compatível para as posições das vigas. 
 As vigas, segundo critérios econômicos, não devem ultrapassar valores entre 
um treze ávos (1/13) a um onze ávos (1/11) do vão livre nos casos de vãos internos; 
para os vãos externos podem-se adotar valores entre um onze ávos (1/11) a um nove 
ávos (1/9) do vão livre. Só nos casos em que o projeto arquitetônico indique, se 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 59
projetam vigas contínuas com alturas dos tramos diferentes, podendo-se, portanto, 
tomar como indicativo para as alturas das vigas o valor de um décimo (1/10) do vão 
livre. 
 Para cada viga deve-se prever área de influência de lajes com valores 
compreendidos entre 3,5m a 4,2m de laje por unidade de comprimento de viga. 
 As taxas de armaduras das vigas consideradas econômicas devem resultar 
entre 80kg a 105kg por unidade de volume. A utilização de concretos com maior 
resistência característica não afeta de modo significativo à economia na estrutura das 
vigas. 
 Ao se posicionarem os pilares na planta do andar-tipo deve-se localizá-los a 
uma distância entre 4,5m e 5,5m sempre que possível. 
 Os pilares devem resistir às ações verticais transmitidas pelas vigas, como 
também as horizontais oriundas das ações de vento. As posições dos pilares na 
estrutura devem ser compatíveis com a arquitetura do edifício. Normalmente, para 
haver essa compatibilização, os pilares são adotados com seção retangular, embora os 
pilares robustos sejam mais econômicos. 
 No caso de pilares, em contraposição ao indicado para lajes e vigas, o aumento 
da resistência característica do concreto é significativo com relação ao melhor 
aproveitamento da seção transversal. 
 A área de influência econômica deve resultar entre 15m2 a 20m2 de área de 
pavimento por pilar. 
 As taxas geométricas de armaduras consideradas econômicas devem resultar 
entre 2% a 3%, com consumo de aço compreendido entre 130kg a 220kg por unidade 
de volume de concreto, no primeiro pavimento. As seções transversais adotadas no 
tramo de pilar entre primeiro e segundo pavimentos podem ser mantidas até a 
cobertura. Com isso se pode prever para os pavimentos-tipo conjuntos de fôrmas que 
não sofrerão acréscimos nos comprimentos das vigas por ocasião das moldagens. 
 Esses critérios econômicos aqui enumerados são oriundos de observações 
gerais de projetos estruturais já realizados e de observações práticas de construções 
de obras de edifícios residenciais e comerciais. Cada projeto deve ser analisado 
cuidadosamente com relação ao comportamento estrutural e com relação aos custos 
de construção. 
 Na fase de projeto precisa ser verificado com as empresas construtoras e 
empreendedoras as facilidades de se conseguir os materiais na região da obra e, 
assim, avaliar os custos com transportes. O mesmo deve ser feito com relação mão de 
obra disponível na região. 
 
 
3.2.3 ESCOLHA DAS POSIÇÕES DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
 Analisa-se neste texto o projeto da estrutura em concreto armado moldado no 
local de um edifício residencial. O projeto arquitetônico é convencional, isto é não exige 
a utilização de sofisticados procedimentos de cálculo estrutural. 
 Com as indicações citadas nos itens anteriores e com as que se seguem, 
procura-se definir a forma da estrutura de concreto armado localizando as posições dos 
pilares, definindo as vigas e, por conseguinte, demarcando as lajes. 
 O projeto da forma da estrutura deve ser desenvolvido procurando-se 
compatibilizar o projeto estrutural com o projeto arquitetônico. Neste aspecto torna-se 
importante analisar todos os detalhes e indicações do projeto arquitetônico para 
perfeita compreensão. 
 É preciso lembrar que o projeto completo de um edifício envolve outros projetos 
que não só o de estruturas. Assim, é preciso analisar os anteprojetos de instalações 
hidráulicas e elétricas, de som, de ar condicionado, de paisagismo e jardinagem, etc. 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 60
 Desse modo é preciso cuidado ao se determinar as posições dos pilares e 
conseqüente definição das vigas e lajes para que não ocorra interferência com os 
demais projetos. 
 As várias áreas técnicas envolvidas no projeto costumam fazer anteprojetos que, 
posteriormente são analisados em conjunto para que se estudem as compatibilizações 
necessárias. A título de exemplo, pode-se citar o cuidado que se deve ter ao verificar a 
localização de vigas nas regiões de banheiros e área de serviço, sendo que o 
engenheiro que cuida do projeto hidráulico, muito provavelmente, procurou localizar 
pontos para passagem de dutos de esgoto e instalações de água fria e quente. 
 É conveniente, antes de se iniciar o anteprojeto da forma da estrutura, analisar o 
projeto arquitetônico, verificando medidas dos compartimentos, espessuras das 
paredes e tipos de pisos que serão empregados. A análise das possíveis interferências 
entre as posições dos pilares nos vários andares, isto é, subsolo, térreo, pavimentos-
tipo, cobertura, casa-de-máquinas dos elevadores e reservatórios para água elevados 
e enterrados (no subsolo), deve ser feita por comparação entre as várias plantas 
arquitetônicas. 
 A forma da estrutura começa a ser delineada a partir do posicionamento dos 
pilares, compatibilizando-os com a planta arquitetônica do pavimento-tipo. 
 Normalmente a área destinada à escada e aos elevadores são comuns em 
todos os andares e nesta área, em níveis diferentes, ficam a casa de máquinas para os 
elevadores e os reservatórios elevados, não havendo, nessas regiões, interferências no 
posicionamento dos pilares. Pode-se também adotar pilares-parede na região dos 
elevadores, com a finalidade de se melhorar a resistência do edifício com relação às 
ações horizontais (ação do vento). 
 Procuram-se localizar os demais pilares, mantendo um alinhamento entre eles 
com a finalidade de gerar pórticos que possam ser solicitados por ações horizontais. 
 Além de se procurar manter, em uma mesma direção, as distâncias econômicas 
já indicadas, é conveniente posicioná-los coincidindo com as paredes divisórias 
apresentadas na planta arquitetônica. Deve-se ter em conta que afastamentos 
exagerados entre os pilares exigirão vigas com altura significativa, o que deve ser 
evitado por motivos já discutidos no item anterior. 
 Praticamente, quando se posicionam os pilares, as localizações das vigas ficam 
também definidas. Não é necessário projetar uma viga coincidindo com cada parede, 
pois é possível carregar lajes com ações linearmente distribuídas representadas por 
paredes. As ações oriundas das paredes podem também ser suportadas por lajes e, 
nesses casos, a ação de parede pode ser considerada linearmente distribuída sobre a 
laje. Nos casos de lajes armadas em uma direção, os esforços solicitantes são 
determinados em função da direção da parede em relação a direção da armadura 
principal. Nos casos de lajes armadas em duas direções pode-se fazer, ainda, uma 
consideração simplificada, sendo as ações das paredes admitidas uniformemente 
distribuídas sobre as lajes. 
 As vigas podem ser localizadas em posições tais que se faça necessário apoiá-
las em outras vigas. Esse procedimento é perfeitamente aceitável, desde que, ao 
detalhar as armaduras das vigas não se esqueça de prever a colocação de armaduras 
de suspensão (na região da ligação entre as vigas). 
 O desenho da forma da estrutura, na fase de anteprojeto, pode ir sendo feito de 
modo mais definitivo à medida que essas considerações forem sendo atendidas. Em 
um primeiro estudo do anteprojeto pode-se colocar papel transparente (vegetal ou 
arroz) sobre o desenho da planta arquitetônica do pavimento-tipo, o que facilita
a 
compatibilização entre os projetos estrutural e arquitetônico. Em comparação com 
projetos de edifícios de mesmo porte, realizados anteriormente, pode-se, para efeito de 
desenho, dar uma ordem de grandeza para as dimensões dos pilares compatíveis com 
as ações aplicadas. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 61
 Os desenhos podem ser feitos com auxílio de computador, a partir do projeto 
arquitetônico dos pavimentos, em arquivo eletrônico, sendo que, ao se locarem os 
pilares, definirem-se as posições das vigas e, por conseguinte, das lajes, os desenhos 
arquitetônicos podem ser apagados, salvando apenas o desenho da forma estrutural 
do pavimento estudado. 
 As vigas podem, depois de localizados os pilares, ser desenhadas cuidando-se 
para posicioná-las de tal modo a ficarem embutidas nas paredes. Para isso é preciso 
verificar quais são as suas dimensões e se há essa possibilidade. Ao posicioná-las 
lembra-se que elas têm a finalidade de delimitar as lajes, e que devem ter as 
dimensões econômicas já citadas. 
 As vigas têm, ainda, as funções de suportarem as ações geradas pelas paredes, 
as transferidas pelas lajes e, se for o caso, fazerem parte dos pórticos que devem 
resistir às ações horizontais oriundas do efeito do vento. 
 Quanto as vigas, as larguras são adotadas em função da necessidade de, na 
maioria dos projetos, compatibilizá-las com as espessuras acabadas das paredes de 
alvenaria, conforme pode ser visto nas figuras 3.1. Normalmente as paredes externas 
são construídas em alvenaria de um tijolo, e as internas em alvenaria de meio tijolo. 
Como os tijolos de oito furos têm dimensões de 9cm x 19cm x 19cm, pode-se definir 
para espessura total das paredes de um tijolo 23cm e 13cm para as de meio tijolo. Isto 
significa considerar 2,0cm de revestimento de argamassa de cada lado da parede. 
 Adota-se, se possível, para as vigas internas, que fazem parte de um andar-tipo 
de um edifício, larguras medindo 10cm, quando se deseja que a viga fique embutida 
em uma parede de 13cm, ou seja, de meio-tijolo - figura 3.1.b. Quando houver 
necessidade de espessuras maiores, como alternativa, parte da viga fica aparente ou 
se indica ao projetista da arquitetura, uma parede interna de um tijolo - figura 3.1a e 
3.1c. Às vezes se faz necessário adotar viga com largura de 10cm para parede de um 
tijolo com a finalidade de se permitir a colocação de tubulação para instalação 
hidráulica posicionadas na face da viga e embutida na parede de um tijolo - figura 3.1b 
e 3.1c. 
 Para as paredes externas também se adotam vigas com espessuras da ordem 
de 10cm de espessura, embora as alvenarias tenham 23cm de espessura. 
 Os elementos estruturais fletidos conforme mostrado na figura 3.1 podem ter 
interferência com os dutos hidráulicos, devendo-se prever furos nas vigas, na direção 
transversal e na direção da espessura no caso de lajes. Os elementos estruturais 
devem ter as suas seguranças verificadas por causa das aberturas. A NBR 6118:2003 
indica critérios para as aberturas em lajes e vigas que devem ser considerados. 
Lembra-se que nas vigas as forças cortantes com maior intensidade ocorrem juntos 
aos apoios nos casos de forças uniformemente distribuídas e os momentos fletores 
negativos também ocorrem junto ao apoios e os positivos em regiões da vigas 
próximas da região central. Assim sendo o projetista deve verificar as seguranças das 
seções transversais com muito cuidado. 
 As alturas das vigas dos pavimentos-tipo não devem ultrapassar a distância de 
piso-a-piso menos a altura das portas e caixilhos, que usualmente é de 2,10m. 
 O desenho do anteprojeto da forma da estrutura para o pavimento - tipo, 
realizado em papel transparente e em escala compatível com a adotada para as 
plantas arquitetônicas dos demais pavimentos, deve ser comparado com estes para se 
verificar se há interferência das posições dos pilares no pavimento-tipo com os demais 
pavimentos. 
 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 62
 
 
Figura 3.1 - Posições das vigas em relação às paredes 
[Andrade, 1985] 
 
 Ao se definirem as dimensões dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, 
blocos de fundação e demais elementos estruturais) os cobrimentos das barras da 
armadura, que é a distância do plano tangente a barra, paralelo a face do elemento, 
deve ser adotado em função das condições de exposição do elemento ao meio 
ambiente. A NBR 6118:2003 prescreve os valores mínimos indicados na tabela 3.2 em 
função da classe de agressividade ambiental indicada na tabela 3.3. 
 As espessuras dos elementos estruturais, por exemplo, de uma viga, deve ter 
dimensão tal que leve em conta os cobrimentos das armaduras, as espessuras das 
barras dos estribos e o conveniente alojamento das barras longitudinais necessária 
para absorver a força resultante de tração. 
As dimensões das vigas devem ser definidas, ainda, em função de previsão dos 
valores dos esforços solicitantes de cálculo que devem ser sempre menores que os 
resistentes de cálculo. As verificações dos estados limites de serviço devem sempre 
ser atendidas. Fazem parte dos estados limites de serviço os estados limite de 
formação de fissuras (ELS-F), limite de aberturas das fissuras (ELS-W) e de 
deformação excessiva. 
Se as posições dos pilares no pavimento-tipo interferirem em áreas destinadas a 
garagens no subsolo, ou com algum outro ambiente social no térreo, há necessidade 
de se prever um pavimento de transição. Esse pavimento pode ser o do andar térreo 
ou o primeiro andar-tipo. 
 Essa estrutura de transição normalmente requer vigas, chamadas de vigas de 
transição, de grandes dimensões, já que as ações a transferir têm ordem de grandeza 
superior quando comparadas com as ações atuantes nas vigas-tipo, isto é, as que 
pertencem aos andares-tipo. 
 Quando não há interferência entre as posições dos pilares nos vários andares, 
não é necessário projetar-se estrutura de transição, o que gera economia, pois o seu 
custo é significativo em função do volume de concreto utilizado. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 63
Tabela 3.2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento 
nominal para ∆c=10mm 
 
Classe de agressividade ambiental (tabela 3.3)
I II III IV3) 
Tipo de estrutura 
 
Componente 
ou elemento Cobrimento nominal 
mm 
Laje2) 20 25 35 45 
Concreto armado Viga/Pilar 25 30 40 50 
Concreto 
protendido1) Todos 30 35 45 55 
1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, 
sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, por causa dos riscos de 
corrosão fragilizante sob tensão. 
 
2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com 
revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais 
como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências 
desta tabela podem ser substituídas por valores nominais dados por: cnom ≥ φ barra, cnom ≥ φ feixe = φn
= φ √n e cnom ≥ 0,5 φ bainha, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm. 
 
3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, 
condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente 
agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45mm. 
 
Tabela 3.3 - Classes de agressividade ambiental 
 
Classe de 
agressividade 
ambiental 
(CAA) 
Agressividade 
Classificação geral do 
tipo de ambiente para 
efeito de projeto 
Risco de deterioração 
da estrutura 
I Fraca Rural Submersa insignificante 
II Moderada Urbana 1) 2) Pequeno
III Forte Marinha 
1) 
Industrial 1) 2) Grande 
IV Muito forte Industrial 
1) 2) 
Respingo de maré Elevado 
1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (classe 
anterior) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de 
serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto 
revestido com argamassa e pintura). 
 
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (classe anterior) em: obras em 
regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura 
protegidas de chuva em ambientes predominantes secos, ou regiões onde chove raramente. 
 
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento 
em indústrias de celulose e papes, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
 
 A figura 3.1 mostra as posições das vigas em relação as paredes de alvenarias. 
Nos casos da figuras a, b e c podem ser vistas vigas de mesma espessura dos tijolos, 
menor que a espessura dos tijolos e maior, respectivamente. Nas figuras d, e e f são 
analisados os casos de tubulações que podem ser destinadas a águas pluviais ou 
esgoto, notando-se nas figuras e e f posições adequadas para forro falso ou laje 
rebaixada. 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 64
 Lembra-se que, para os elementos estruturais vigas ou lajes que tenham 
interferência de dutos, as seguranças das seções devem ser cuidadosamente 
verificadas com relação aos esforços solicitantes nesta seções. 
 
3.2.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA DOS PAVIMENTOS 
 
 A partir das análises iniciais realizadas no projeto em estudo é possível se 
prever qual a alternativa mais viável da forma da estrutura entre as opções analisadas.
 Faz-se necessário elaborar desenhos que retratem a forma da estrutura para 
cada pavimento, inclusive com a finalidade de tornar cada vez mais claro o raciocínio 
do projetista acerca da estrutura, como já descrito anteriormente. 
 As dimensões dos elementos estruturais (vigas e pilares) precisam ser 
avaliadas, nesta fase de anteprojeto, pois para a determinação dos esforços 
solicitantes finais as inércias dos elementos são dados necessários para qualquer 
processo de cálculo estático. 
 As dimensões finais dos elementos estruturais só serão consideradas definitivas 
na fase de projeto, quando as dimensões adotadas serão verificadas na fase de 
dimensionamento. 
 Para projetistas com larga experiência em projetos estruturais de edifícios o pré-
dimensionamento de elementos estruturais pode ser feito, como já se informou 
anteriormente, por comparação com outro projeto já realizado, desde que as 
dimensões sejam compatíveis. 
 Em primeira instância, para projetistas iniciantes, as sugestões citadas no item 
anterior para lajes e vigas podem ser seguidas. 
 Para o pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares pode ser 
utilizado o processo das áreas de influência, que é um processo prático, consagrado 
pelo meio técnico e que fornece bons resultados, quando há certa uniformidade nas 
medidas dos vãos. 
 A rotina seguida para pré-dimensionamento dos pilares, segundo suas áreas de 
influência, consiste em dividir o desenho da forma da estrutura do pavimento em 
estudo, por exemplo, o pavimento-tipo, em áreas da superfície do pavimento, 
entendendo-se que todas as ações que estão agindo nesta área devem ser absorvidas 
pelo pilar. 
 Em função de sua posição na estrutura os pilares podem ser identificados como 
sendo de canto, de extremidade e interno. Se considerar estrutura constituída por 
grelhas e pórticos, os pilares de canto ficam, na maioria dos casos, submetidos à flexão 
oblíqua composta, os de extremidade ficam submetidos à flexão normal composta e os 
internos podem ser considerados submetidos à compressão centrada. 
 Para efeito de pré-dimensionamento os pilares podem ser considerados 
submetidos à compressão centrada, sendo que as excentricidades oriundas dessas 
considerações são levadas em conta pela majoração da ação obtida pelo processo das 
áreas, por um coeficiente adotado praticamente, e que considera também as 
excentricidades acidentais e de segunda ordem. 
 A rotina para o pré-dimensionamento de pilares, que a seguir se expõe, foi 
elaborada seguindo trabalho de Pinheiro [1985]. 
 
 a. Áreas de influência 
 
 Para a determinação das áreas de influência para cada pilar, o pavimento é 
dividido em figuras geométricas, constituídas por retângulos (ou polígonos), sendo que 
cada uma delas compreende as ações que, presumivelmente, se deslocam para ele. 
 Por ser um processo prático de previsão de ações nos pilares, exige do 
projetista uma visão apurada do caminho das ações, de conhecimento dos processos 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 65
estáticos de determinação dos esforços solicitantes e conhecimento de soluções 
estudadas anteriormente para outros edifícios. 
 Para a determinação das figuras geométricas dividem-se as distâncias (l = vão 
efetivo) entre os centros dos pilares pela reta que passa por um ponto contido no 
intervalo (0,45l a 0,55l) sendo que estes limites são adotados em função da posição 
do pilar na estrutura, a saber: 
 
 a1. 0,45 l - adotado no caso de pilar de extremidade ou de canto na direção da 
menor dimensão do pilar; 
 
 0,45 l - adotado no caso de pilar interno quando na direção considerada, o 
vão consecutivo ou suas ações superarem em 20% o valor correspondente ao do vão 
em questão. 
 
 a2. 0,55 l - complemento do vão dos casos anteriores; 
 
 a3. 0,50 l - adotado no caso de pilar de extremidade ou de canto na direção da 
maior dimensão do pilar e para pilar interno quando, na direção considerada, o vão 
consecutivo e suas ações não diferem muito do valor correspondente ao vão em 
questão. 
 Em função das posições dos pilares e da forma do pavimento em estudo o 
intervalo citado deve ser ampliado para (0,40 l ; 0,60 l) ou até valores maiores. 
 Nos casos de edifícios com balanços, deve-se considerar, para determinação da 
área de influência, a área do balanço acrescida das respectivas áreas das lajes 
adjacentes, com o vão nesta direção dividido ao meio. 
 Nas situações de pavimentos com pilares muito desalinhados ou com 
distribuição irregular de vãos e ações, os resultados obtidos, segundo esse processo, 
podem não ser compatíveis com os finais esperados. 
 A título de exemplo, apresenta-se o pavimento da figura 3.2 que ao se 
determinam as áreas de influência para os pilares, usaram-se os procedimentos 
indicados anteriormente. 
 
 b. Ação total por andar 
 
 No computo final para a determinação das ações nos pilares, na fase de pré-
dimensionamento, devem ser levadas em conta as ações permanentes diretas 
representadas pelos pesos próprios da estrutura de concreto, ou sejam, das lajes, 
vigas e dos pilares, dos pesos próprios dos revestimentos de forro, das camadas de 
argamassa de regularização, dos pisos e pesos próprios das paredes divisórias, 
geralmente em alvenaria de tijolos furados e, por fim, das ações variáveis normais. 
 Para edifícios residenciais usuais, essa ação uniformemente distribuída pode ser 
adotada entre 10 kN/m2 a 12 kN/m2.. Esses limites foram considerados pela 
observação de projetos de edifícios realizados pelo meio técnico. 
 Para cada projeto em particular, o valor da ação uniformemente distribuída, que 
é usada no pré-dimensionamento é facilmente levantada, procedendo-se como a seguir 
se expõem. 
 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 66
 
 
Figura 3.2 - Áreas de influencia 
[Pinheiro, 1985] 
 
 Analisam-se as ações que atuam em uma área de influência genérica, 
verificando-se os tipos de paredes (um tijolo ou meio tijolo e tipo de tijolo) que 
influenciam a ação final nesta
área. Os pesos próprios dos elementos de concreto 
armado são levados em conta imaginando-se uma laje maciça, fictícia, com 17cm de 
espessura, de área idêntica à área de influência. Supõe-se que esse volume de 
concreto armado seja relativo ao volume das vigas, lajes e de um tramo do pilar em 
questão, quando estiverem com suas dimensões definidas pelo projetista. 
 O valor adotado de 17cm para a espessura da laje fictícia resulta da observação 
dos projetos de edifícios já elaborados e com suas viabilidades técnico - econômicas 
verificadas. Este valor está relacionado com os edifícios usuais, em caso contrário 
avaliação detalhada da espessura fictícia deve ser feita. 
 A figura 3.3 representa as ações que atuam em uma área de influência de uma 
laje fictícia onde se adotou a espessura de 17cm. As espessuras indicadas para o 
revestimento do forro, contrapiso e piso foram adotadas em função do observado em 
obras quando se utilizam argamassa mista e argamassa de cimento e areia 
respectivamente. Em caso do projeto prever outro tipo de material, por exemplo, gesso 
como revestimento do forro e não se utilizar contrapiso, estas ações não devem ser 
consideradas. 
 
 
Figura 3.3 - Ações na laje fictícia 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 67
 As ações podem ser compostas separadamente, para cada área de influência, 
seguindo a tabela indicada e, com as ações da figura 3.3. A ação variável normal deve 
ser determinada em função da utilização da região da área de influência. 
 
 Tipo de ação Resultante 
 (kN/m2) 
 
 peso próprio do concreto armado: 0,17 x 25 = 4,25 
 
 revestimento do forro: 0,015 x 19 = 0,29 
 
 argamassa de regularização: 0,03 x 21 = 0,63 
 
 piso, tacos de ipê: 0,02 x 10 = 0,20 
 
 paredes: (depende do projeto arquitetônico) = 
 
 ação variável normal (dormitório): = 1,50 
 
 Os pesos específicos dos materiais usados nas tabelas são os indicados na 
NBR 6120:1980. Para o revestimento do forro está se supondo que será feito com 
argamassa de cimento, cal e areia (19kN/m3) e a argamassa de regularização, se 
houver, será composta de cimento e areia (21kN/m3) já servindo para assentamento do 
piso. Para o piso está se imaginando que será de tacos de ipê. A título de comparação 
o peso específico do granito é indicado na norma citada como sendo de 28kN/m3. 
 O peso específico do concreto armado é considerado igual a 25kN/m3 e do 
concreto simples é de 24kN/m3. 
 Os pesos próprios das paredes podem ser calculados determinando-se as áreas 
das paredes, contidas na área de influência e, fazendo-se o produto do somatório dos 
comprimentos pela altura e, multiplicando-se o resultado pelo peso da parede por 
unidade de área, peso esse a considerando revestida. O revestimento pode ser de 
reboco ou, no caso de alvenarias externas, outro tipo previsto no projeto arquitetônico, 
por exemplo, pedras mármore, granito ou pastilhas. 
 Para se obter a contribuição da ação das paredes na área de influência basta 
dividir o produto citado por esse valor. 
 Realizar esse trabalho para cada área de influência pode demandar tempo do 
projetista em detrimento de análises mais importantes. Aconselha-se que se façam 
apenas três avaliações, se determine a média e, com ela, se carreguem as demais 
áreas de influência. 
 Nos casos de edifícios com distribuição irregular de pilares e com ações 
diferentes das usuais, aconselha-se proceder como indicado para todas as áreas de 
influência. 
 
 c. Ação total nos pilares 
 
 Determinada a ação por unidade de área prevista para os diversos tipos de 
pavimento do edifício, pode-se obter as ações em cada pilar, no andar em que for 
necessário fazer o pré-dimensionamento, multiplicando-se o seu valor pela área de 
influência e pelo número de pavimentos acima do andar em questão. 
 As ações relativas a cobertura podem ser levadas em conta considerando-se 
para avaliação da ação uniformemente distribuída 70% da ação considerada para o 
andar-tipo. 
 A ação total avaliada para cada pilar pode ser feita pela seguinte expressão: 
 
 N*ki = (n + 0,7) . (g + q) . Ai [3.1] 
 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 68
 sendo, n é o número de andares acima do tramo de pilar para o qual se quer 
fazer o pré-dimensionamento, g + q é a ação avaliada por unidade de área e Ai é a 
área de influência para o pilar. 
 Nos casos de edifícios com andares de áreas de influência diferentes, por 
exemplo, andar térreo, deve-se computar as suas contribuições acrescentando-as na 
expressão anterior, isto se o tramo de pilar considerado ficar abaixo deste andar. 
 Os pilares que fizerem parte da estrutura resistente da casa de máquinas dos 
elevadores e dos reservatórios elevados, normalmente os pilares junto aos elevadores 
e escada, devem ter as ações oriundas destas estruturas computadas. Essas ações 
podem ser avaliadas pelo processo das áreas com as ações variáveis normais (q) 
adotadas a partir das indicações da NBR 6120:1980. 
 Em alguns edifícios o último pavimento pode ser a céu aberto, com ocupação 
social, incluindo sauna, piscina, salão de jogos, jardins, bar, etc. Nesse caso as ações 
variáveis normais devem ser avaliadas para cada caso e para cada área de influência. 
Faz-se necessário, portanto, compor outra expressão que substitua a ação de 
cobertura, que naquele caso foi considerada 70% da ação de um pavimento-tipo. 
 
 e. Pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares 
 
 Para efeito de pré-dimensionamento as seções transversais dos pilares, nos 
tramos considerados, são avaliadas os imaginado submetidos à compressão axial, 
suposta centrada, embora se saiba que nas condições de projeto, os pilares são 
submetidos, também, a esforços de flexão. 
 Essas solicitações de flexão são levadas em conta, multiplicando-se a ação de 
pré-dimensionamento dos pilares, por coeficientes adotados em função da posição dos 
pilares e, que já levam em conta o coeficiente de segurança (γf). 
 Bacarji [1993] indica os seguintes valores para o coeficiente α: 
 
 Posição do pilar Coeficiente (α) 
 
 Interno 1,8 
 
 extremidade 2,2 
 
 canto 2,5 
 
 A ação final para pré-dimensionamento dos pilares pode ser indicada pela 
expressão: 
 
 N*d = α . N*k [3.2] 
 
 Ambas as ações estão anotadas com asteriscos (*) para lembrar que são ações 
de pré-dimensionamento, e não representam as forças normais características e de 
cálculo que serão determinadas por ocasião do dimensionamento final dos pilares do 
projeto. 
 
 f. Cálculo das seções transversais dos pilares 
 
 A NBR 6118:2003, no item que trata do dimensionamento e esforços resistentes 
no estado limite último das peças isoladas submetidas à compressão por força normal, 
estabelece que o dimensionamento ou verificação das seções transversais deve ser 
feito com a consideração de uma excentricidade (ea) por conta do desaprumo e falta de 
retilinidade, ocorrida durante a moldagem do pilar. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 69
 Prescreve também que, quando o índice de esbeltez (λ) da barra for maior do 
que um valor particular λ1, deve-se considerar a ação de um momento fletor 
complementar (M2d), de segunda ordem, que deve ser acrescentado ao momento fletor 
de primeira ordem calculado com a excentricidade acidental indicada. 
 Pode o pilar, ainda, em função da posição (pilar de canto ou de extremidade) 
que ocupa na estrutura, estar submetido
à ação de um momento fletor inicial. 
 Fica difícil de avaliar todas essas excentricidades que devem ser consideradas 
na fase de pré-dimensionamento. Essas excentricidades são levadas em conta por 
meio do coeficiente já indicado no item anterior. 
 O pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares é feito, portanto, 
supondo-os submetidos à compressão simples, com força suposta centrada. 
 Para os pilares a menor taxa de armadura que pode ser adotada é 0,8% e a 
maior são 4%. Para o limite superior está sendo computado a região de emenda das 
barras por traspasse. É usual, nesta fase de ante-projeto, adotar-se para essa taxa 
valores entre 3% e 3,5% . 
 O cálculo da seção transversal do pilar considerando a fase de pré-
dimensionamento é feito, no estado limite último, igualando-se a solicitação de cálculo 
com a resistência de cálculo. 
 Assim, pode-se escrever: 
 
 N*d = Rcc + Rsc [3.3] 
 
 sendo, Rcc é a resultante das tensões de compressão no concreto e Rsc é a 
resultante das tensões de compressão na armadura longitudinal. 
 A expressão anterior pode ser escrita do seguinte modo: 
 
 N*d = 0,85 . fcd (Ac - As ) + As . σs2 [3.4] 
 
 sendo, fcd é a resistência de cálculo do concreto à compressão, Ac é a área da 
seção transversal do pilar, As é a área da seção transversal da armadura longitudinal 
comprimida e σs2 é a tensão nas barras da armadura do pilar relativa a deformação 
especifica do aço de 0,2%. 
 Essa tensão é obtida nos diagramas tensão - deformação indicados na 
NBR6118:2003, em função do tipo de aço adotado no projeto, normalmente CA-50. 
 Dividindo os dois membros da expressão anterior por Ac, e lembrado que a 
relação As / Ac é igual taxa geométrica de armadura longitudinal (ρs) e fazendo 
N*d/Ac = σid (tensão ideal de cálculo), resulta: 
 
 σid = 0,85 . fcd + ρs (σs2 - 0,85 fcd) [3.5] 
 
 Pode-se, por ser pequena a área de armadura em relação à área da seção de 
concreto, considerar a área da seção transversal igual a área de concreto comprimida, 
isto é, a área da seção transversal subtraída a área de aço, resultando: 
 
 σid = 0,85 . fcd + ρs . σs2 [3.6] 
 
 É conveniente organizar tabelas de σid em função de ρs para as resistências de 
cálculo do concreto à compressão e aço CA-50. Essas tabelas facilitam o trabalho de 
determinação da tensão ideal de cálculo em função da taxa de armadura adotada no 
pré-dimensionamento. 
 As tabelas foram originalmente desenvolvidas para cálculo das áreas das 
seções transversais das armaduras de pilares na fase de dimensionamento. Nessa 
fase deve-se levar em conta as excentricidades já citadas. 
Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 70
 
 g. Organização dos cálculos 
 
 Com a finalidade de facilitar os cálculos de pré-dimensionamento dos pilares de 
edifícios esses podem ser organizados por meio de tabelas. 
 A título de sugestão pode-se montar a tabela 3.4 a seguir indicada, reservando-
se uma página de memorial de cálculo para cada nível considerado. 
 Nessa tabela são listados os cálculos parciais, como foram expostos neste item 
e, na mesma seqüência, as dimensões da seção transversal dos pilares no nível 
considerado. 
 Os cálculos de previsão das seções transversais dos pilares podem, também, 
ser organizados por planilha eletrônica facilitando e ordenando a memória de cálculo. 
 
Tabela 3.4 - Tabela para pré-dimensionamento dos pilares 
PROJETO: ______________________________________________________________________ 
 
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕES DOS PILARES: ________________________________ 
 
NÍVEL: _________________ 
PILAR 
Área de 
Influência 
 
Ai 
(m2) 
Carga por 
Andar 
 
N*k 
(kN) 
Carga Total 
 
 
n.(p.Ai) 
(kN) 
Carga Total de 
Cálculo 
 
N*d=α.N*k 
(kN) 
Taxa de 
Armadura 
 
ρs 
Tensão 
Ideal 
 
σid 
(MPa) 
Área da Seção 
Transversal 
do Pilar 
Ac 
(cm2) 
Dimensões 
do Pilar 
 
a . b 
(cm.cm) 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de 
estruturas concreto. Rio de Janeiro. 2003. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6120:1980 - Cargas para 
cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro. 1980. 
 
CEOTTO, L.H. - Superestruturas de Edifícios Comerciais e Residências: Análise 
sucinta de duas alternativas, EESC USP - Notas aula para Exame de Qualificação. 
(1985) 
 
ANDRADE, J.R.L. Estruturas de concreto armado - 2.a parte, EESC-USP - Curso de 
Especialização em Estruturas, 1985. 
 
PINHEIRO, L.M. Noções sobre pré-dimensionamento de Estruturas de Edifícios - 
EESC-USP - Curso de Especialização em Estruturas, 1985. 
 
BACARJI, E. Análise de estruturas de edifícios: projeto de pilares, EESC-USP, 
Dissertação de mestrado (Orientador: Libânio Miranda Pinheiro), 1993 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 71
4. ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 A determinação dos esforços solicitantes atuantes nos elementos de uma 
estrutura de concreto armado é feita considerando-os submetidos às ações atuantes, 
nas situações de serviço na fase de construção. 
 No caso de edifícios, como já visto, nas lajes agem as ações permanentes e as 
ações variáveis normais. Determinadas as reações de apoio das lajes, que são as 
ações atuantes nas vigas do edifício (lei da ação e reação), pode-se, depois de 
determinadas todas as outras ações atuantes nas vigas, por meio de processo de 
análise de estruturas de barras, determinarem os esforços solicitantes. Processo 
simplificado indicado na NBR 6118:2003 também pode ser usado para determinar os 
esforços solicitantes nas vigas e nos pilares. 
 Conhecidos todos os esforços solicitantes atuantes nos elementos estruturais, 
realizam-se as verificações de segurança – dimensionamento considerando os estados 
limites últimos e de serviço (estados limites de formação de fissuras, de abertura de 
fissuras e deformação excessiva). 
 Para as estruturas de barras - vigas e pilares - em um edifício, os esforços 
solicitantes podem ser calculados considerando-se vários modelos. O modelo mais 
simples é o da viga contínua, no qual se considera a viga sem ligação rígida com os 
pilares, desde que se façam as correções indicadas na NBR 6118:2003. 
 Modelo melhor elaborado é aquele em que se associam à estrutura vários 
pórticos planos, formados pelos pilares e vigas dos vários pavimentos do edifício. 
 O modelo que se aproxima com maior fidelidade da estrutura real é o que 
considera as estruturas de barras fazendo parte de um pórtico tridimensional. 
 Existem programas desenvolvidos para microcomputador que fornecem os 
esforços solicitantes nas vigas e pilares de edifícios, quer quando atuam as ações 
verticais quer quando se consideram as ações horizontais. O modelo de pórtico 
tridimensional que pode ser utilizado, desde que o usuário tenha autorização, é o 
SAP2000. No caso de se adotar como modelo pórticos planos têm-se utilizado, 
principalmente na Escola de Engenharia de São Carlos - USP, os programas 
desenvolvidos pelos Professores Márcio Roberto Silva Corrêa e Márcio Antonio 
Ramalho, PPLAN - Pórtico Plano e GPLAN - Grelha Plana. 
 Quando o modelo adotado for o de viga contínua pode, por exemplo, ser usado 
o Processo de Cross. Lembra-se que existe programa para máquinas calculadoras e 
para computador que permitem calcular os esforços solicitantes em vigas contínuas. 
 Os momentos fletores nas barras verticais (pilares) determinados quando atuam 
as ações verticais são chamados de primeira ordem. Quando o edifício for de grande 
altura ele apresenta deslocamentos, quando submetidos às ações horizontais - vento, 
que geram momentos fletores de segunda ordem, podendo levá-la
a uma situação de 
instabilidade da edificação. 
 Quando forem estudadas as verificações de segurança de barras comprimidas 
de concreto armado (pilares), serão analisados critérios de segurança com relação à 
instabilidade das barras (instabilidade local), que se chama de flambagem se a 
instabilidade for provocada por força centrada. 
 Os Códigos Modelos dos Comitês Eurointernacional do Concreto (1990) e 
Federation Internacional du Beton (1999) indicam parâmetros que, se observados, o 
efeito de segunda ordem não precisa ser considerado. 
 A NBR 6118:2003 também apresenta verificações semelhantes, como será 
estudado a seguir. 
Capítulo 4 - Análise estrutural 72
 O texto deste capítulo foi escrito em parte por José Fernão Miranda de Almeida 
Prado (1994) em sua dissertação de mestrado orientada pelo autor. 
 
 
4.2 ESTABILIDADE GLOBAL DE EDIFÍCIOS 
 
 Nos edifícios em concreto armado a atuação simultânea das ações verticais e 
horizontais provocam, inevitavelmente, deslocamentos laterais dos nós da estrutura. 
Esse efeito denomina-se não-linearidade geométrica e pressupõe, a princípio, um 
equilíbrio na posição deslocada, o que implica no aparecimento de esforços solicitantes 
adicionais (ou de 2.a ordem global) em vigas e pilares. 
 Além disso, nas barras da estrutura os eixos não se mantêm retilíneos, surgindo 
nas mesmas esforços solicitantes locais de 2.a ordem. Esses esforços, em geral, 
afetam somente solicitações ao longo da barra, e não serão analisados neste item. 
 Outra questão que deve ficar bem clara é referente à não-linearidade física do 
material concreto armado. A curva tensão-deformação do concreto não é linear, não 
permanecendo constante o valor do módulo de elasticidade (Ec). Não obstante, 
também, os valores dos momentos de inércia (Ii) das seções transversais das barras 
variam com as intensidades das solicitações, em virtude do aparecimento de fissuras 
nos elementos estruturais. Vê-se em suma que os módulos de rigidez representados 
pelo produto EcIi não são constantes. 
 Essa não-linearidade física presente nas estruturas de concreto deve 
obrigatoriamente ser levada em conta se houver a necessidade da consideração dos 
momentos fletores de 2.a ordem. 
 Ao analisar uma estrutura é possível perceber se ela é mais ou menos sensível 
aos efeitos de segunda ordem, dependendo, portanto, da sua rigidez global. 
 A análise da estabilidade global da estrutura de um edifício avalia a 
"sensibilidade" da mesma em relação aos efeitos de 2.a ordem. Essa "sensibilidade" é 
tradicionalmente medida por um coeficiente α, introduzido por BECK (1966) e, 
posteriormente, denominado parâmetro de instabilidade por FRANCO (1985). 
 O modelo proposto por BECK (1966) só era válido dentro do regime elástico e 
considerava um pilar de seção constante, engastado na base e livre no topo, submetido 
a uma ação vertical uniformemente distribuída ao longo de toda a sua altura (por 
exemplo, o seu peso-próprio), como mostra a figura 4.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
E, I, A : constantes 
 
Figura 4.1 - Modelo proposto por BECK (1966) para cálculo do parâmetro α 
 
 Desse modo, o parâmetro α para esse pilar ficou definido pela expressão 4.1. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 73
 α = H Fv
EI
 [4.1] 
 
 sendo: 
 
 H : altura total do pilar; 
 
 Fv : ação vertical total no pilar; 
 
 EI : módulo de rigidez da seção transversal do pilar. 
 
 De acordo com teoria desenvolvida, para valores de α inferiores a 0,6 os 
momentos fletores adicionais que solicitam esse pilar, por causa da posição deslocada 
(2.a ordem), seriam menores do que 10% dos já existentes em 1.a ordem. Sendo assim, 
esses momentos fletores adicionais poderiam ser desprezados no dimensionamento do 
pilar, por terem pouca influência. 
 Em resumo, para BECK (1966), o parâmetro α servia como uma referência para 
julgamento da deformabilidade do pilar. 
 Mais tarde, essa teoria pode ser estendida a estruturas de edifícios usuais, 
considerando-os como "colunas de pavimentos-tipo", o que acaba por conferir às ações 
verticais um caráter uniformemente distribuído ao longo da altura, como no pilar 
inicialmente idealizado. 
 Assim, as estruturas nas quais, em virtude da rigidez às ações horizontais, os 
deslocamentos laterais são pequenos e por decorrência os esforços de 2.a ordem 
globais também (menores que 10% dos esforços de 1.a ordem), são chamadas de 
estruturas de nós fixos ou, com algum exagero de linguagem, estruturas indeslocáveis. 
Nesse caso não há a necessidade de se considerar os esforços solicitantes relativos à 
posição deformada. 
 Já as estruturas para as quais esses deslocamentos conduzem a esforços de 
2.a ordem globais importantes (maiores que 10% dos esforços de 1.a ordem) são 
chamadas de estruturas de nós móveis, ou estruturas deslocáveis. 
 Uma análise da deformabilidade da estrutura do edifício pode então ser feita 
segundo as considerações acima. 
 Usualmente, dois índices aproximados são utilizados para verificar a 
possibilidade de dispensa da consideração dos esforços de 2.a ordem globais, ou seja, 
para classificar as estruturas de edifícios como sendo de nós fixos ou de nós móveis. 
Um deles é o parâmetro de instabilidade α, cuja idealização já se comentou, sendo o 
outro o coeficiente γz. 
 
4.2.1 PARÂMETRO DE INSTABILIDADE α 
 
 Considerando a teoria de BECK (1966), o valor do parâmetro de instabilidade α 
para as estruturas de edifícios é dado pela expressão 4.2. 
 
 ( )α = H
Nk
EI eq
 [4.2] 
 
 sendo: 
 
 H : altura total do edifício, medida a partir do topo da fundação ou de um nível 
muito pouco deslocável do subsolo; 
 
 Nk : somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a partir do nível 
considerado para o cálculo de H), com valor característico; 
 
Capítulo 4 - Análise estrutural 74
 (EI)eq : módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção 
constante engastado na base e livre no topo. 
 
 Na determinação do módulo de rigidez equivalente deve-se contar com toda a 
estrutura de contraventamento do edifício, ou seja, com o conjunto de elementos 
estruturais (geralmente pórticos e pilares-parede) que, por causa da sua elevada 
rigidez, absorvem a maior parte das ações horizontais. 
 Para determinar o valor representativo do módulo de rigidez equivalente a 
melhor opção é verificar o deslocamento do topo do edifício quando submetido a uma 
ação lateral uniformemente distribuída, segundo um modelo tridimensional. Associa-se, 
então, à estrutura um elemento linear (pilar) de seção constante, engastado na base e 
livre no topo, com altura igual a do edifício que, sujeito à mesma ação, apresente 
deslocamento idêntico. Isso é feito considerando a linha elástica do elemento linear de 
seção constante, mostrado na figura 4.2. 
 
 
 
 
 
 
 
E, I, A : constantes 
 
Figura 4.2 - Linha elástica de pilar com rigidez equivalente 
 
 Assim, a equação da linha elástica, conhecida da mecânica das estruturas, 
fornece o valor do módulo de rigidez EI do pilar equivalente, segundo a expressão 4.3. 
 
 EI q H
a
=
4
8
 [4.3] 
 
 sendo: 
 
 q : ação lateral uniformemente distribuída (geralmente é adotado um valor 
 unitário); 
 
 H : altura total do edifício; 
 
 a : deslocamento do topo do edifício quando submetido à ação lateral de valor 
 igual a q. 
 
 Esse valor de EI encontrado é o chamado módulo de rigidez equivalente (EI)eq 
do edifício, a ser utilizado para o cálculo do parâmetro de instabilidade α. 
 Outra opção para a estimativa do módulo de rigidez equivalente (EI)eq é a 
consideração de um modelo bidimensional, sem dúvida bem menos trabalhoso. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios
– Setembro de 2006 75
 Esse modelo vem tendo grande aceitação no meio técnico, exatamente por 
conduzir a resultados muito próximos aos do modelo tridimensional. Entretanto, precisa 
ser idealizado com critério, cuidado e os resultados analisados corretamente. 
 O processo consiste na associação plana de painéis, do mesmo modo como se 
procede para a determinação dos esforços solicitantes no edifício quando submetido a 
ações horizontais. Todos os pórticos e pilares-parede que contribuem para o 
contraventamento na direção analisada são posicionados seqüencialmente num plano 
e interligados em cada pavimento por barras rotuladas em suas extremidades, as quais 
simulam a presença das lajes atuando como um diafragma rígido. Essas barras 
rotuladas, como também todas as vigas, devem ser consideradas no modelo com 
elevada área de seção transversal, para que não ocorra deformação axial nas mesmas, 
o que ocasionaria deslocamentos diferentes ao longo de uma mesma linha horizontal 
da associação, ou seja em pontos de um mesmo pavimento, o que pela hipótese do 
diafragma rígido não aconteceria. Para as vigas, os momentos de inércia utilizados 
devem ser os reais. 
 A figura 4.3 ilustra uma associação plana de painéis. 
 
 
 
Figura 4.3 - Associação plana de painéis 
 
 Neste modelo fica bem claro o quanto é importante a consideração, na fase de 
projeto, de sistemas aporticados que conferem maior rigidez à estrutura do edifício. 
 O módulo de rigidez equivalente calculado para a associação plana de painéis 
terá valor menor do que se utilizado o modelo tridimensional, com contraventamento 
em direções ortogonais. O modelo plano fica, portanto, a favor da segurança. 
 Determinado o módulo de rigidez equivalente, seja por qualquer dos modelos 
descritos, o parâmetro de instabilidade α tem seu valor calculado segundo a expressão 
4.2. 
 A estrutura em questão poderá ser considerada de nós fixos (dispensa da 
consideração dos esforços de 2.a ordem globais) se o valor de α não exceder um 
limite, chamado de αlim , definido em função dos valores dos esforços de 2.a ordem 
serem inferiores a aproximadamente 10% dos de 1.a ordem. 
 Considerando a formulação para instabilidade das estruturas chega-se à 
conclusão de que um valor fixo igual a 0,6 como limite para α (proposto por BECK, em 
1966, para o caso de um pilar engastado na base e livre no topo) não é satisfatório 
para edifícios usuais com qualquer número de pavimentos. 
 Em trabalho apresentado no Colóquio sobre Estruturas de Concreto realizado na 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, VASCONCELOS (1987) propõe que o 
valor limite para α seja dado pela expressão 4.4. 
 
 ( )n144,0lim 10.44,088,02,11 −−=α [4.4] 
Capítulo 4 - Análise estrutural 76
 
 sendo: 
 
 n : número de pavimentos do edifício. 
 
 O valor da expressão acima converge para 0,8 quando n ≥13. Desta maneira 
pode-se tomar αlim = 0,8 para n ≥ 13, utilizando a expressão indicada por 
VASCONCELOS (1987) somente quando n < 13. 
A NBR 6118:2003 indica que uma estrutura reticulada simétrica pode ser 
considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α (expressão 
4.5) for menor que o valor α1, indicado a seguir. O Código Modelo do CEB-FIP (1990) 
indica os mesmos limites. 
 
)I/(ENH cciktot=α [4.5] 
 
sendo: 
 
α1=0,2+ 0,1n se: n ≤ 3 
 
α1=0,6 se: n ≥ 4 
 
sendo: 
 
n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou 
de um nível pouco deslocável do subsolo; 
 
Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um 
nível pouco deslocável do subsolo; 
 
Nk é o somatório de todas as ações verticais atuantes na estrutura (a partir do 
nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico; 
 
EciIc representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na 
direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, 
ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o 
valor da expressão EciIc de um pilar equivalente de seção constante. 
 
Na análise de estabilidade global pode ser adotado o valor do módulo de 
elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial dado por: 
 
Eci = 5.600 (fck)0,5 [4.6] 
 
O valor de Ic deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. 
A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada do modo indicado, ou 
sejam, calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a 
ação do carregamento horizontal; calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção 
constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot , tal que, sob a ação 
do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo. 
 A NBR 6118:2003 sugere que o valor αlim = α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em 
geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios com pórticos associados a pilares-
parede. Ele pode ser aumentado para α1 = 0,7 no caso de contraventamento 
constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para α1 = 0,5 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 77
quando só houver pórticos. Isso ocorre em virtude das diferenças entre as formas 
deformadas do edifício, relacionadas com a presença desses elementos. 
 Como define esse mesmo texto, pilares-parede são elementos de eixo vertical 
submetidos preponderantemente à compressão, nos quais a maior dimensão da seção 
transversal supera em pelos menos quatro vezes a menor dimensão. 
 Freqüentemente, há edifícios em que elevadores e escadas são envolvidos por 
pilares-parede com grande rigidez. Nessas situações pode ocorrer que, considerando 
somente o somatório das rigidezes das seções brutas desses elementos como sendo o 
valor de (EI)eq para cálculo do parâmetro de instabilidade α, se obtenha α ≤ αlim, 
satisfazendo a condição para não levar em conta no dimensionamento os efeitos de 2.a 
ordem. No caso de existirem esses elementos (comumente chamados de núcleos 
estruturais) isso deve ser sempre verificado, pois se pode evitar a consideração do 
modelo global da estrutura, reduzindo o trabalho e o tempo gasto no projeto. 
 Havendo a necessidade de se considerar os esforços de 2.a ordem, deve-se 
avaliar ainda se esses não apresentam valores muito elevados o que implicaria na 
conveniência de se alterar a estrutura. Isso pode ser feito analisando-se a magnitude 
do parâmetro α. 
 
4.2.2 COEFICIENTE γz 
 
 O coeficiente γz também é usado para avaliar a sensibilidade da estrutura de um 
edifício aos efeitos da não-linearidade geométrica, estimando a magnitude dos esforços 
de 2.a ordem em relação aos esforços de 1.a ordem. 
 Essa estimativa pode ser feita a partir dos resultados de uma análise em 1.a 
ordem, sem a consideração da não-linearidade física dos materiais (comportamento 
elástico-linear). 
 A NBR 6118:2003 indica que o valor do coeficiente γz é calculado pela expressão 
4.7. 
 
 
d,tot,1
dtot
z
M
,M1
1
∆−
=γ [4.7] 
 
 sendo: 
 
 M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as 
forças horizontais, da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em 
relação à base da estrutura; 
 
 ∆Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, 
na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos 
horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise em 1.a ordem. 
 
 Os valores de cálculo das ações são obtidos a partir dos valores característicos, 
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação (γf). Esses coeficientes 
estão relacionados a três parcelas: 
 
 γf = γf1 . γf2 . γf3 [4.8] 
 
 sendo: 
 
 γf1 : considera a variabilidade
das ações; 
Capítulo 4 - Análise estrutural 78
 
 γf2 : considera a simultaneidade das ações; 
 
 γf3 : considera as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das 
 solicitações. 
 
 Conforme análise feita por FRANCO (1991), para o cálculo do coeficiente γz 
resulta uma combinação das três parcelas acima tal que γf = 1,0 para as ações 
verticais. 
 Os deslocamentos horizontais do edifício são obtidos supondo comportamento 
elástico-linear, e utilizando modelo tridimensional ou plano (associação plana de 
painéis). 
 Supondo válida a hipótese do deslocamento dos pavimentos como um 
diafragma rígido e admitindo-se que não haja torção global no edifício pode-se, 
simplificadamente, obter o valor de ∆Mtot,d procedendo-se à soma dos produtos das 
ações verticais totais de cálculo atuantes em cada pavimento pelo seu respectivo 
deslocamento calculado com as ações horizontais de cálculo. 
 Outra opção, que também conduz a bons resultados, é admitir ∆Mtot,d como 
sendo o produto de toda a ação vertical de cálculo do edifício pelo deslocamento do 
pavimento situado em sua altura média. 
 Também é interessante comentar que, para o cálculo do valor de γz, a ação 
horizontal aplicada à estrutura pode ter qualquer valor (por exemplo, unitário) uma vez 
que este afeta na mesma proporção os valores de M1,tot,d e ∆Mtot,d (modelo linear), os 
quais ocupam posição de denominador e numerador, respectivamente, na expressão 
do coeficiente em questão. Entretanto, o cálculo do valor real da ação horizontal de 
vento, obtido segundo a NBR 6123:1988 - Forças Devidas ao Vento em Edificações, já 
antecipa uma tarefa que deverá ser solicitada em etapas seguintes do projeto. 
 Considera-se a estrutura como sendo de nós fixos se γz ≤ 1,1 (que corresponde 
aproximadamente à avaliação dos esforços de 2.a ordem serem inferiores a 10% dos 
de 1.a ordem), e de nós móveis em caso contrário. 
 Como já foi dito, nas estruturas de nós fixos o efeito de 2.a ordem global pode 
ser desprezado, devendo-se somente analisar os esforços de 2.a ordem ao longo das 
barras comprimidas (2.a ordem local). 
 Caso uma estrutura seja considerada de nós móveis, pode-se tentar alterá-la, 
revendo a posição de pilares, aumentando as seções de alguns elementos estruturais 
ou mesmo incluindo pilares-parede junto a elevadores e escadas, visando obter γz ≤ 1,1 ou α ≤ αlim. 
 A simples inclusão de pilares-parede com grande rigidez como a solução 
imediata não deve ser feita antes do estudo das demais alternativas, pois isto 
freqüentemente leva a um maior consumo de concreto e aço, bem como a dificuldades 
adicionais de execução. 
 Aliás, torna-se conveniente alterar a estrutura se o valor do coeficiente γz indicar 
que os esforços de 2.a ordem apresentam valores elevados. 
 Justamente por essa possível necessidade de alteração da estrutura é que uma 
avaliação da estabilidade global deve ser feita ainda na fase de definição da forma 
estrutural (fase de anteprojeto). 
 
4.2.3 ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS 
 
 Nas estruturas de nós móveis a análise dos esforços deve obrigatoriamente 
considerar os efeitos de 2.a ordem global e da não linearidade física. Deve ficar 
assegurado que para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo não 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 79
ocorra perda de estabilidade nem tão pouco esgotamento da capacidade resistente de 
cálculo das seções mais solicitadas. 
 Os efeitos de 2.a ordem devem ser considerados por modificações apropriadas 
na matriz de rigidez da estrutura, pensando-se em utilizar uma análise matricial, por 
exemplo o Processo dos Deslocamentos. 
 Entretanto, para estruturas de edifícios usuais pode-se utilizar o Processo P-∆, 
que conduz a resultados muito bons. 
 A idéia deste processo é aplicar na estrutura indeformada as ações horizontais e 
verticais , verificando a posição deformada. Num segundo passo, aplica-se sobre a 
estrutura deformada obtida essas mesmas ações, tendo-se então uma nova posição. 
E, assim por diante, até se observar uma convergência dos valores de deformação do 
edifício, o que indicaria que a estrutura é estável. Os esforços obtidos na posição 
deformada convergente serão os esforços finais, incluindo os de 2.a ordem. 
Obviamente que essa posição final deformada deve obedecer a valores que não 
comprometam os estados limites de utilização (deformação excessiva e abertura de 
fissuras). 
A NBR 6118:2003 indica que análise não-linear de 2.a ordem, pode ser feita por 
uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, que 
consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração 
adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 
0,95γz. Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3. 
 VASCONCELOS (1987) propõe outro fator de majoração, variável com o número 
de pavimentos, e válido quando α ≤ 1,0. Esse fator k é dado pela expressão 4.6. 
 
 
η






−



α
β
+=
.0,1
.2,1
0,10,1k
2
 [4.9] 
 
 sendo: 
 
 α : parâmetro de instabilidade; 
 
 β : 2,8 - 1,1 . e -0,22.n , sendo n = número de pavimentos; 
 
 η:coeficiente dado em função do número de pavimentos, segundo a tabela 4.1. 
 
Tabela 4.1 - Coeficiente η em função do número de pavimentos n 
 
n 1 2 3 4 5 10 20 >20 
η 0,60 0,92 1,07 1,20 1,27 1,39 1,46 1,52 
 
 Obs.: Para valores intermediários entre n = 5 e n = 20 deve-se fazer interpolações 
lineares. 
 Já a não-linearidade física do material deve ser levada em conta por 
considerações adequadas sobre ductilidade, fissuração e deformabilidade. A 
deformabilidade dos elementos pode ser calculada com base nos diagramas tensão-
deformação dos materiais. 
 Entretanto, há uma maneira aproximada de se considerar a não linearidade 
física, como indicado na NBR 6118:2003 para análise dos deslocamentos horizontais 
da estrutura, tomando-se como rigidez das vigas e pilares os seguintes valores 
reduzidos: 
Capítulo 4 - Análise estrutural 80
 
 Lajes: (EI)sec = 0,3 . Eci . Ic 
 
 Vigas; (EI)sec = 0,4 . Eci . Ic nos casos de A’s ≠ As 
 
 (EI)sec = 0,5 . Eci . Ic nos casos de A’s = As 
 
 Pilares: (EI) sec = 0,8 . EcI . Ic 
 
 Ic : momento de inércia da seção bruta. 
 
Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas 
e pilares e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: 
 
(EI)sec = 0,7 EciIc [4 10] 
 
Os valores de rigidez assim adotados são aproximados e não podem ser usados 
para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da 
modelagem. 
 Lembra-se que esses valores reduzidos são aproximados e devem variar com a 
taxa de armadura. 
 
4.2.4 CONSIDERAÇÃO DA ALVENARIA 
 
 Os esforços de 2.a ordem globais ocorrem por causa da posição deformada da 
estrutura, que surge principalmente perante as ações horizontais de vento. Entretanto, 
essas ações só conseguem solicitar a estrutura de um edifício, deformando-a; existindo 
elementos de fechamento entre vigas e pilares, ou sejam, as paredes de alvenaria 
obstruindo o vento, a deformabilidade do pórtico poderá ser alterada. 
 Levando em conta essas considerações, lembra-se que se a alvenaria é 
necessária a existência da sua ação estará presente na capacidade de absorção 
enrijecendo, portanto, o sistema de pórticos do edifício. A figura 4.4 ilustra o que ocorre 
em um painel de pórtico solicitado por ação horizontal. 
 
 
Figura 4.4 - Contribuição da alvenaria para o enrijecimento dos painéis de pórtico 
 
 A consideração da contribuição da alvenaria em cada painel de pórtico poderia 
ser feita, por exemplo, modelando-a como uma barra de rigidez tal que simule seu 
efeito
de travamento, como mostrado na figura 4.4. 
 Sem dúvida, novos modelos de pórtico tridimensional e associação plana de 
painéis que contemplassem essa idéia apresentariam deslocamentos horizontais 
menores, indicando o aparecimento de esforços de 2.a ordem reduzidos (parâmetro de 
instabilidade α e coeficiente γz com valores mais baixos). 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 81
 Dentre as várias propriedades de uma alvenaria que influenciariam seu 
desempenho nessa função de enrijecimento dos pórticos estão o tipo e a qualidade do 
material, com relevante importância. 
 Assim sendo, em obras com pouco controle de qualidade torna-se perigoso 
contar com a colaboração da alvenaria. 
 Como engenheiros, os projetistas estruturais devem ter conhecimento dessa 
colaboração e, ao mesmo tempo, saber avaliar a conveniência de usufruí-la em cada 
um de seus projetos. 
 
 
4.3. ESFORÇOS SOLICITANTES POR CAUSA DE IMPERFEIÇÕES GLOBAIS 
 
 Nas estruturas de edifícios formadas por pórticos e pilares-parede devem ser 
consideradas as imperfeições geométricas dos eixos das peças verticais na estrutura 
sem ação, ou seja por causa do desaprumo. 
 A NBR 6118:2003 indica que na análise global das estruturas, contraventadas 
ou não, deve ser considerado, um desaprumo dos elementos verticais conforme 
indicado na figura 4.5, com valor o angula de inclinação θa calculado pela expressão 
4.11. 
 
 
Figura 4.5 - Desaprumo em pórtico plano 
 
 θ θa n=
+
1
1 1
2
 [4.11] 
 
 sendo: 
 
 n : número de pilares contínuos do pórtico; 
 
 θ1 1100 0 005= 〉. , (rad)l ; 
 
 sendo: 
 
θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos; 
 
θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; 
 
θ1max ≤ 1/200. 
 
 l : altura da estrutura, em metros. 
Capítulo 4 - Análise estrutural 82
 
A NBR 6118:2003 indica que o efeito do desaprumo mínimo não deve 
necessariamente ser superposto ao efeito do vento. Entre os dois, vento e desaprumo, 
pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido por aquele 
que provoca o maior momento total na base da construção. 
 Como já citado anteriormente, quando a estrutura for considerada de nós móveis 
permite-se, em alguns casos, considerar os esforços de 2.a ordem globais a partir da 
majoração (por γz) dos esforços de vento e dos oriundos do desaprumo. 
 Os esforços de vento são as ações horizontais reais, enquanto os do desaprumo 
podem ser encarados como provenientes de ações horizontais fictícias 
correspondentes à inclinação acidental. 
 As ações horizontais fictícias ∆Hi para cada nível de um pórtico são mostradas 
na figura 4.6, sendo determinadas pela expressão 4.8. 
 
 
 
Figura 4. 6 - Ações horizontais fictícias em pórtico por causa do desaprumo 
 
 ∆Hi Vij
j
n
tg a= =
∑
1
. θ [4.12] 
 
sendo: 
 
 n : número de pilares contínuos do pórtico; 
 
 Vij : ação vertical aplicada ao pilar j somente pelo andar i; 
 
 θa : ângulo de desaprumo do pórtico, em radianos. 
 
 Obs.: Em se tratando de ângulos muito pequenos, como é o caso do ângulo de 
desaprumo, é perfeitamente razoável considerar tgθa ≅ θa, em radianos. 
 Fazendo isso para todos os pórticos de uma direção tem-se a ação total 
horizontal fictícia para essa direção, que somada a real (do vento) pode ser majorada a 
fim de se levar em conta, de maneira aproximada, os efeitos de 2.a ordem. 
 
4.4 AÇÕES HORIZONTAIS 
 
4.4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 A análise da estrutura para determinar os esforços solicitantes provenientes de 
ações horizontais por causa do vento requer estudo cuidadoso. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 83
 Por exemplo, em relação ao tipo de análise das ações de vento em uma 
estrutura é muito comum a seguinte frase: "uma análise estática pode ser feita para 
edifícios baixos, que são aqueles tais que uma análise dinâmica não se faz 
necessária". 
 Sem dúvida, apesar de comum, esta não é uma definição muito clara. Mas 
afinal, quando uma análise dinâmica se faz necessária em edifícios altos? Ora, o que 
são edifícios altos? Pode ser dito que são aqueles para os quais uma análise estática 
não reproduz de modo satisfatório os efeitos das ações de vento. 
 De maneira resumida e definitiva, dever-se-ia sempre proceder a uma análise 
dinâmica, uma vez que somente a observação de seus resultados permite avaliar se 
ela se faz necessária ou não. 
 A própria NBR 6118:2003 não contem um texto ao tratar das ações de vento, 
indicando somente que os esforços solicitantes por causa do vento devem ser 
considerados e determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123:1988, 
permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras 
específicas. 
 A análise da ação de vento sobre estruturas de edifícios é de difícil abordagem 
por envolver aspectos determinísticos e probabilísticos. 
 A NBR 6123:1988 - Forças Devidas ao Vento em Edificações indica como 
quantificar a ação de vento em estruturas de edifícios, normalmente aplicada 
estaticamente. Na verdade, uma parcela correspondente a aproximadamente 50% da 
ação indicada por essa norma deveria ser considerada como uma ação flutuante 
atuando dinamicamente. 
 Sendo assim, o problema está em modelar de maneira correta a introdução 
dessas ações flutuantes (dinâmicas) sobre a estrutura do edifício. 
 Nos casos usuais de projetos de edifícios é feita análise estática por conta da 
ação do vento, realizando-se análise dinâmica nos casos de edifícios muito altos ou 
com geometria específica por exemplo aqueles cujas dimensões apresentam um lado 
muito menor que o outro. 
 
4.4.2 MODELOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 Estimada a ação horizontal de vento atuante na estrutura criam-se condições 
para determinar os esforços solicitantes em vigas e pilares. 
 Se para as ações verticais existem modelos chamados de simplificados, como 
por exemplo o de viga contínua indicado na NBR 6118:2003, que com análises rápidas 
conduzem a resultados até certo ponto bons, isso não acontece quando se trata de 
ações horizontais. 
 Nesse caso, os modelos ditos simplificados só conduzem a resultados razoáveis 
para estruturas com pórticos regulares e sem quaisquer "perturbações", como por 
exemplo pilares-parede com grande rigidez localizados junto a elevadores ou escadas 
(comumente chamados de núcleos estruturais), ou mesmo vigas de transição. 
 Além disso não são análises rápidas, envolvendo cálculos com grande número 
de equações. 
 Sendo assim, o mais indicado é considerar análises feitas por modelos de 
pórticos planos ou tridimensional com auxílio de computador e programas difundidos no 
meio técnico. 
 
4.4.2.1 Modelo de pórticos planos 
 
 Este tipo de análise pode ser feita por uma associação plana de painéis, 
posicionando-se os pórticos e pilares-parede da direção analisada seqüencialmente 
num plano e interligando-os em cada pavimento por barras rotuladas em suas 
Capítulo 4 - Análise estrutural 84
extremidades. Essas rótulas são essenciais para que não haja a introdução de 
momentos fletores adicionais nos pórticos. 
 A presença das lajes atuando, por hipótese, como um diafragma rígido (rigidez 
infinita em seu plano) provoca uma compatibilidade de deslocamentos em qualquer 
ponto do pavimento quando presentes as ações horizontais. 
 Assim, as barras rotuladas de interligação dos pórticos, como também as vigas, 
devem ser introduzidas no modelo com elevada área da seção transversal para que 
não ocorra deformação axial nas mesmas, o que ocasionaria deslocamentos 
diferenciados ao longo de uma mesma linha horizontal da associação, contrariando a 
hipótese do diafragma rígido. 
 É necessário salientar que para as
vigas somente deve-se alterar a área da 
seção transversal mantendo-se as características geométricas reais, como por exemplo 
o momento de inércia. 
 A associação plana de painéis assim idealizada é então submetida às ações 
horizontais de vento integrais atuantes na face do edifício perpendicular à direção a 
que pertencem os pórticos, sendo obtidos os esforços solicitantes em vigas e pilares 
com o uso de programas computacionais que se utilizem, por exemplo, do Processo 
dos Deslocamentos. 
 A figura 4.76 ilustra um modelo de associação plana de painéis. 
 
 
 
Figura 4. 7 - Modelo de associação plana de painéis 
 
 Em virtude da fissuração, inevitáveis em estruturas de concreto armado, é 
razoável ainda considerar uma inércia reduzida para vigas e pilares, a fim de simular a 
perda real desta. 
 O valor dessa redução deve estar em torno de 20% para os pilares e 60% para 
as vigas, onde a fissuração é maior, e estas são as reduções adotadas pela 
NBR6118:2003, conforme indicado no item 4.2.3. 
 Outro aspecto a destacar é referente ao efeito geométrico de torção global do 
edifício quando o vento atua em uma direção que não apresenta simetria estrutural. 
Naturalmente, os resultados de esforços solicitantes gerados pelo modelo de 
associação plana de painéis não contemplam esse efeito. 
 Os momentos torçores em vigas também não aparecem nos resultados deste 
modelo. 
 
4.4.2.2 Modelo tridimensional 
 
 Um modelo tridimensional utilizado na determinação dos esforços solicitantes 
relativos às ações horizontais de vento, e, também, a ação vertical, em edifícios 
constitui-se em um poderoso instrumento de análise. 
 Levando em conta a tridimensionalidade aparecem os efeitos geométricos de 
torção global, com possibilidade inclusive de introdução do vento em quaisquer 
direções. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 85
 As diferenças entre os resultados de uma análise tridimensional e os de outra 
que considere apenas pórticos planos devem estar relacionadas aos momentos 
torçores em vigas e ao acoplamento de painéis perpendiculares, presentes somente na 
primeira. 
 Os momentos de torção nas vigas podem ser diminuídos pela redução dos 
momentos de inércia à torção (It) das barras do modelo. Lembra-se aqui que as vigas 
de concreto armado, por serem de pequena espessura no caso de edifícios resistem 
poucos às tensões tangenciais, considerando que às de torção devem ser somadas as 
relativas à força cortante. 
 Também a idéia da redução dos momentos de inércia em vigas e pilares para 
simular o efeito da fissuração continua válida. 
 Quanto aos deslocamentos do edifício submetido às ações de vento esse 
modelo apresenta valores menores e mais representativos, já que considera o 
contraventamento em direções ortogonais. 
 
4.4.3 MÉTODOS SIMPLIFICADOS 
 
 Em edifícios usuais de concreto armado a resistência às ações horizontais de 
vento fica a cargo do conjunto de painéis verticais (pórticos), e eventualmente, de 
pilares-parede isolados com grande rigidez, comumente chamados de núcleos 
estruturais. Quando necessários, os núcleos estruturais normalmente envolvem 
elevadores ou escadas. 
 A estrutura é então suposta formada por um conjunto de pórticos verticais e 
núcleos interconectados por lajes horizontais. Admite-se que as ações de vento sejam 
aplicadas pelas paredes externas a essas lajes, as quais se deslocariam como chapas 
rígidas em seus planos distribuindo para pórticos e núcleos em cada nível uma parcela 
da ação aplicada. 
 Simplificadamente, para se proceder a uma estimativa dos esforços solicitantes 
nesses elementos há a necessidade de se avaliar primeiro as parcelas da ação de 
vento absorvidas por cada um deles. 
 Uma maneira de se proceder a essa avaliação da distribuição da ação de vento 
entre os painéis de contraventamento é definida por STAMATO (1978). Pela teoria 
descrita por ele, pórticos e núcleos estruturais receberiam quinhões de ações 
proporcionais às suas rigidezes em cada nível, afetados de uma possível torção global 
por causa da excentricidade da resultante da ação transversal de vento em relação ao 
"centro de gravidade" das rigidezes dos elementos resistentes (centro elástico). 
 Na verdade STAMATO (1978) utiliza um tratamento discreto, considerando que 
os esforços transmitidos aos painéis são ações concentradas no nível dos pavimentos. 
Naturalmente que nesse caso um tratamento contínuo, como o feito por MANCINI 
(1973), traz resultados mais precisos. O número discreto de lajes seria substituído por 
um meio contínuo, ficando os esforços transmitidos a um painel continuamente 
distribuídos. 
 Os pórticos com elementos de seção aproximadamente uniforme ao longo da 
altura têm rigidez praticamente constante. Nos locais onde houver viga de transição, 
naturalmente a rigidez será maior. Os pórticos são considerados rígidos ao momento 
fletor e deformáveis por força cortantes. 
 Já os núcleos estruturais têm uma rigidez maior nas imediações da base, 
apresentando neste local uma maior participação na absorção de ações horizontais. 
São considerados rígidos à força cortante e deformáveis por momento fletor. 
 Um fato incontestável diz respeito ainda à presença dos núcleos estruturais. 
Esse tipo de elemento, pela sua elevada rigidez, absorve uma parcela muito grande 
das ações horizontais, via de regra muito maior do que as recebidas por pórticos. 
Capítulo 4 - Análise estrutural 86
 Por isso os núcleos estruturais necessitam de elementos de fundação com alto 
consumo de concreto, encarecendo a obra. Assim, núcleos estruturais são adotados 
em último caso, quando a estrutura adotada só com pórticos apresenta índices que 
indicam falta de estabilidade global do edifício. 
 Quando há somente a presença de pórticos é relativamente comum utilizar-se o 
critério simplista das faixas de carga (ou áreas de influência) para determinar as 
parcelas de ações absorvidas por cada um deles. Esse critério não leva em conta as 
rigidezes dos pórticos, nem tão pouco a excentricidade da resultante da ação de vento, 
e por isso não deve ser utilizado. 
 Determinada a distribuição de ações horizontais entre os painéis de 
contraventamento, no caso de pórticos pode-se partir para uma estimativa dos esforços 
solicitantes em suas vigas e pilares. 
 
 
4.5 VALORES DAS AÇÕES A SEREM CONSIDERADAS NOS PROJETOS 
 
 Nos projetos as ações representadas pelos esforços solicitantes devem ser 
considerados com os coeficientes de ponderação para cada estado limite considerado: 
último ou de serviço. 
 Recordando o estado limite último deve garantir à estrutura segurança ao 
colapso, com todas as suas possibilidades de ocorrência. Estado limite de serviço deve 
ter as seguintes situações verificadas: limite de fissuração, com as hipóteses se 
determina o valor do momento de fissuração; de deformação, que verifica as 
deformações que geram deslocamentos nos elementos fletidos e limite de abertura de 
fissuras, com as hipótese verificam-se limites para as aberturas de fissuras. 
 Para a verificação dos estados limites a NBR 6118:2003 indica o que segue. 
 
4.5.1 VALORES REPRESENTATIVOS DAS AÇÕES 
 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
 
a) os valores característicos; 
 
b) valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as 
ações excepcionais; 
 
c) valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: 
 
 - nas verificações de Estados Limites Últimos, quando a ação considerada se 
combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir dos 
valores característicos pela expressão ψ0Fk, que considera muito baixa a probabilidade 
de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis 
de naturezas diferentes; 
 
- nas verificações
de Estados Limites de Serviço. Estes valores reduzidos são 
determinados a partir dos valores característicos pelas expressões ψ1Fk e ψ2Fk, que 
estimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, de uma ação que 
acompanha a ação principal. 
 
4.5.1.1 Valores de cálculo 
 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores 
representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf dado 
pela expressão 4. 13. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 87
 
γf = γf1 γf2 γf3 [4.13] 
 
sendo: 
 
γf1 considera a variabilidade das ações; 
 
γf2 considera a simultaneidade de atuação das ações; 
 
γf3 considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente 
considerados, e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações. 
 
4.5.1 2 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU) 
 
Os valores base para verificação são os apresentados nas tabelas 4. 2 e 4. 3, 
para γf1. γf3 e γf2, respectivamente. 
Para as paredes estruturais com espessura inferior a 19cm e não inferior a 
12cm, e para os pilares com menor dimensão inferior a 19cm, o coeficiente γf deve ser 
majorado pelo coeficiente de ajustamento γn . Esta correção se deve ao aumento da 
probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção. 
 
Tabela 4. 2 - Coeficiente γf = γf1. γf3 
[NBR 6118:2003] 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis 
(q) 
Protensão 
(p) 
Recalques de 
apoio e retração 
Combinações 
de ações 
D1) F G T D F D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou de 
construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
D = desfavorável, F = favorável, G = geral, T = temporária. 
1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, 
especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
 
 
Tabela 4. 3 - Valores do coeficiente γf2 
[NBR 6118:2003] 
γf2 Ações ψo ψ11) ψ2 
Locais em que não há predominância de 
pesos de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, nem de 
elevadas concentrações de pessoas 2) 
0,5 0,4 0,3 
Locais em que há predominância de pesos 
de equipamentos que permanecem fixos por 
longos períodos de tempo, ou de elevada 
concentração de pessoas 3) 
0,7 0,6 0,4 
Cargas 
acidentais de 
edifícios 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,6 0,6 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 
1) Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23. 
2) Edifícios residenciais. 3) Edifícios comerciais e de escritórios. 
 
 
Capítulo 4 - Análise estrutural 88
Os valores das tabelas 4. 3 e 4. 4 podem ser modificados em casos especiais, 
de acordo com a NBR 8681:2002. 
 O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesma 
origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A 
única exceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido. 
 
4.5.1 3 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite de serviço (ELS) 
 
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de 
serviço é dado pela expressão 4.14: 
 
γf = γf2 [4.14] 
 
sendo γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tabela 4.4): 
 
γf2 = 1 para combinações raras; 
γf2 = ψ1 para combinações freqüentes; 
γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes. 
 
4.6 COMBINAÇÕES DAS AÇÕES 
 
 A NBR 6118:2003 indica que, as ações que podem atuar simultaneamente em 
uma estrutura devem ser combinadas de tal modo a permitir determinar os efeitos mais 
desfavoráveis atuantes nas seções transversais críticas. As combinações devem ser 
feitas com os valores de cálculo das solicitações, obtidas pelos valores característicos 
multiplicados pelos respectivos coeficientes de ponderação γf. Os índices do coeficiente de ponderação são alterados de forma que resultem 
γg, γq,, γp, γε, relativos, respectivamente, às ações permanentes, ações variáveis, 
protensão e para os efeitos de deformações impostas. Os seus valores são 
empregados de acordo com o tipo de combinação feita. 
 A NBR 8681:2002 classifica as combinações das ações em: combinações 
últimas normais, combinações últimas especiais ou de construção e combinações 
últimas excepcionais. As combinações normais são aquelas relativas às ações 
provenientes do uso da construção (para edifícios, ações permanentes e variáveis); as 
combinações especiais incluem as ações variáveis especiais, cujos efeitos superam em 
intensidade os efeitos produzidos pelas ações variáveis comuns da edificação (no caso 
de edifícios, o vento); as combinações excepcionais decorrem da necessidade de se 
considerarem ações excepcionais que provoquem efeitos catastróficos (abalos 
sísmicos, por exemplo). 
 Apresentam-se a seguir as expressões das combinações das ações para a 
determinação da situação crítica. 
 
4.6.1 COMBINAÇÕES A CONSIDERAR 
 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm 
probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, 
durante um período pré estabelecido. 
A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados 
os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura e a verificação da segurança em relação 
aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em 
função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente. 
 
4.6.1.1 Combinações últimas 
 
Uma combinação última pode ser classificada em normal, especial ou de 
construção e excepcional. 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 89
a.- Combinações últimas normais 
 
Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável 
principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas 
como secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme 
NBR 8681:2002. 
 
a.1- Combinações últimas especiais ou de construção 
 
Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável 
especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis 
com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores 
reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2002. 
 
a.2.- Combinações últimas excepcionais 
 
 Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável 
excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações 
variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus 
valores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2002. 
 
a.3- Combinações últimas usuais 
 
Para facilitar a visualização, essas combinações estão dispostas na tabela 4. 5. 
 
4.6.1.2 Combinações de serviço 
 
São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura e devem ser 
verificadas como estabelecido a seguir. 
 
a.- quase-permanentes 
 
Podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações 
excessivas. 
 
b.- freqüentes 
 
Se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de 
fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser 
consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas 
decorrentes de vento ou temperatura que podem
comprometer as vedações. 
 
c.- raras 
 
Ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação do Estado Limite de Formação de 
Fissuras. 
 
A NBR 6118:2003 para facilitar a visualização indica na tabela 4.6 as 
combinações de serviço usuais. 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 - Análise estrutural 90
Tabela 4.5 – Combinações últimas [NBR 6118:2003] 
Combinações 
últimas (ELU) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Esgotamento da 
capacidade resistente para 
elementos estruturais de 
concreto armado 1) 
Fd = γgFgk + γεgFεgk + γq (Fq1k + Σ ψojFqjk) + γεq ψoε Fqk 
Esgotamento da 
capacidade resistente para 
elementos estruturais de 
concreto protendido 
Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensão 
como carregamento externo com os valores Pkmáx e Pkmin para a 
força desfavorável e favorável respectivamente, conforme 
definido na seção 9. 
Normais 
Perda do equilíbrio como 
corpo rígido 
S (Fsd) ≥ S (Fnd) 
Fsd = γgs Gsk + Rd 
Fnd = γgn Gnk + γq Qnk - γqs Qs,min, sendo: Qnk = Q1k + Σ ψoj Qjk 
Especiais ou de 
construção Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + γq (Fq1k + Σ ψoj Fqjk) + γεq ψoε Fεqk 
Excepcionais Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + Fq1exc + γq Σ ψoj Fqjk + γεq ψoε Fεqk 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última 
Fgk representa as ações permanentes diretas 
Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk 
Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal 
γg, γεg, γq, γεq – ver tabela 4.3 
ψoj, ψoε - ver tabela 4.4 
Fsd representa as ações estabilizantes 
Fnd representa as ações não estabilizantes 
Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante 
Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver 
Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante 
 m 
Qnk=Q1k + Σ ψojQjk 
 j=2 
Qnk é o valor característico das ações variáveis instabilizantes 
Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal 
ψoj Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido. 
Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação 
variável instabilizante 
1) No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes 
seja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que 
consideram γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 91
Tabela 4. 6 – Combinações de serviço [NBR 6118:2003] 
Combinações 
de serviço 
(ELS) 
 
Descrição 
 
Cálculo das solicitações 
Combinações 
quase-
permanentes 
de serviço 
(CQP) 
Nas combinações quase-
permanentes de serviço, todas as 
ações variáveis são consideradas 
com seus valores quase-
permanentes ψ2 Fqk 
Fd, ser = Σ Fgi,k + Σ ψ2j Fqj,k 
Combinações 
freqüentes de 
serviço (CF) 
Nas combinações freqüentes de 
serviço, a ação variável principal Fq1 
é tomada com seu valor freqüente ψ
1 Fq1k e todas as demais ações 
variáveis são tomadas com seus 
valores quase-permanentes ψ2 Fqk 
Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + 
+ Σ ψ2j Fqjk 
Combinações 
raras de 
serviço (CR) 
Nas combinações raras de serviço, 
a ação variável principal Fq1 é 
tomada com seu valor característico 
Fq1k e todas as demais ações são 
tomadas com seus valores 
freqüentes Ψ1 Fqk 
Fd,ser = Σ Fgik + Fq1k + Σ ψ1j Fqjk 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço 
Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas 
ψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS 
ψ2 é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
ALMEIDA PRADO, J. F. M. de (1995) Estruturas de edifícios em concreto armado 
submetidas a ações verticais e horizontais. São Carlos. USP – EESC. (Dissertação de 
Mestrado). 
 
 BECK, H. & KONIG, G.(1967). Restraining forces in the analysis of tall buildings. 
Symposium on Tall Buildings, Proceedings, Pergamon Press, Oxford. 
 
COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON Code model CEB-FIP pour les 
structures en béton. Paris, 1990. 
 
FÉDÉRACION INTERNATIONALE DU BÉTON (fib/CEB-FIP). Structural Concrete. Fib 
Bulletin, números 1 a 3 (3 volumes). Lausane, Suissa, 1999 
 
 FUSCO, P. B. (1981). Estruturas de concreto armado - solicitações normais. Editora 
Guanabara Dois, Rio de Janeiro. 
 
 MAC GREGOR, J. E. & HAGE, S. E. (1977). Stability analysis and design of concrete 
frames. J. Structural Division, ASCE. 
 
RAMALHO, M.A.; CORRÊA, M.R.S. Sistema LASER de análise estrutural. In: 
SIMPÓSIO NACIONAL DE TECNOLOGIA DA CONSTRUÇÃO, 5., "Software para o 
Projeto do Edifício", São Paulo, EPUSP, 15-16 out.1987. Anais. 
 
Capítulo 4 - Análise estrutural 92
 STAMATO, M.C. (1981). Distribuição das Cargas do Vento entre Painéis de 
Contraventamento. Publicação EESC -USP, São Carlos. 
 
 VASCONCELOS, A. C. (1987). Como especificar a segurança quando há efeitos de 
segunda ordem a considerar. Colóquio sobre estabilidade global de estruturas de 
concreto armado. Porto Alegre(RS), UFRGS. 
Contraventamento. Publicação EESC -USP, São Carlos. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
93
5. LAJES MACIÇAS 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
 As placas são elementos estruturais bidimensionais, pois duas das dimensões 
são bem maiores que a terceira (espessura) e as ações agem perpendicularmente ao 
plano médio. Quando as placas forem moldadas em concreto armado elas são 
chamadas de lajes. 
 Nas estruturas dos edifícios as lajes têm importância preponderante no consumo 
de concreto, que é da ordem de 50% do volume total consumido para construir o 
edifício. 
 As lajes são submetidas essencialmente a esforços solicitantes de flexão, 
momentos fletores e forças cortantes. As ações são as permanentes - peso próprio, 
pesos próprios do contrapiso, piso e revestimento da face inferior da laje (forro do 
andar inferior) e de paredes divisórias, se for indicado no projeto arquitetônico, e, ação 
variável normal, isto é, ação de utilização. No caso de edifícios a ação variável normal 
é especificada pela NBR 6120:1980 - Cargas para o cálculo de estruturas de 
edificações, em função da utilização do ambiente arquitetônico que ocupa a região da 
laje em análise, e já estudada no capítulo 2. 
 Montoya et al. [2001], considera que as lajes são delgadas se a relação entre a 
espessura (h) e a menor dimensão (lx), for menor que 1/5, podendo aparecer 
importantes tensões de membrana que se superpõe com as tensões normais oriundas 
da flexão. 
 A NBR 6118:2003 indica que quando a relação h/lx for maior que 1/3, as placas 
são consideradas espessas, aparecendo um estado triaxial de tensões. 
 As lajes podem ser classificadas quanto a: 
 
 a. forma 
 O contorno pode ser poligonal ou circular. 
 
 b. disposição dos apoios 
 As lajes podem ser isoladas apoiadas no contorno ou contínuas e armadas em 
uma ou duas direções. 
 
 c. tipos de apoios 
 Os apoios podem ser realizados em pilares (lajes sem vigas ou lajes cogumelo) 
ou ao longo de vigas. 
 
 d. vinculação junto aos apoios 
 As lajes podem ser consideradas apoiadas no contorno ou podem ser 
consideradas engastadas em laje contígua, quando for o caso. 
 
e. tipos de ações 
 As ações podem ser pontuais, uniformemente distribuídas ou linearmente 
variáveis.
Para a determinação dos esforços solicitantes a NBR 6118:2003 permite o 
cálculo pelos métodos clássico e da ruptura. 
 O método clássico considera a teoria da elasticidade, supõem que o material 
que compõem as lajes é homogêneo, isótropo e de comportamento linear. O método 
da ruptura é fundamentado na teoria da plasticidade e considera o material como um 
corpo rígido-plástico perfeito. A aplicação do método da ruptura às lajes resultou na 
Teoria das Charneiras Plásticas. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
94
 Os resultados obtidos com a teoria das charneiras plásticas permitem analisar 
as lajes nas proximidades da ruptura estando, inclusive, mais de acordo com o 
processo de verificação da segurança com relação aos estados limites últimos. 
 O método clássico, que resultou no cálculo elástico das lajes não deve ser 
abandonado, pois analisa as lajes em serviço, prestando-se para verificar os estados 
limites de utilização. 
 Neste trabalho se utilizam as hipóteses do método plástico para determinação 
das reações de apoio e do método elástico para determinação dos momentos fletores. 
 
5.2 EXEMPLOS DE ESQUEMAS ESTÁTICOS PARA LAJES MACIÇAS 
 
 A NBR 6118:2003 indica que as lajes maciças podem ser consideradas como 
isoladas, fazendo-se a compatibilização dos momentos fletores atuantes nas bordas de 
lajes contíguas, nos casos de estruturas que há predominância da força permanente e 
face das forças variáveis normais (g > q). Processo para determinar os momentos 
fletores finais atuantes nas lajes será estudado no item 5.8.4. 
 O cálculo dos esforços solicitantes, por tabelas práticas, é feito considerando as 
lajes isoladas, com as vinculações das bordas supostas apoiadas ou engastadas 
perfeitamente. Entretanto, o monolitismo oriundo do processo construtivo garante uma 
continuidade às lajes de um determinado pavimento. É preciso determinar critérios que 
permitem fixar, para cada laje do painel, as condições de vinculação de modo a poder 
tratá-las dentro das restrições impostas pelos processos em questão. 
 A abordagem completa de todos os fatores que podem intervir no 
estabelecimento de tais critérios, bem como a identificação de todas as situações 
particulares que possam ocorrer, seria complicada, além de cansativa. Por isso 
preferiu-se a apresentação de alguns exemplos, de modo a ilustrar a maneira como 
são tratadas as situações correntes. [Andrade, 1990] 
 
5.2.1 LAJE ISOLADA APOIADA EM VIGAS NO CONTORNO 
 
 A figura 5.1 mostra um pavimento de edifício constituído por uma única laje 
maciça apoiada em vigas no contorno. 
 
Figura 5.1 - Laje isolada [Andrade, 1990] 
 
 Admitindo-se a laje engastada nas vigas, resultam momentos de engastamento 
que nas vigas geram momentos (reação) uniformemente distribuídos. As vigas giram, 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
95
porque têm pequena rigidez à torção. Solidariamente, as lajes também giram, 
desaparecendo a condição inicialmente admitida de engastamento perfeito (giro nulo). 
 Conclui-se que nesse caso a laje deve ser admitida como simplesmente apoiada 
nas vigas, com a possibilidade, portanto de giro na sua borda. 
 As vigas acompanham esse giro sem que seja desfeita a ligação monolítica 
"laje-viga", isto é sem aparecimento de fissuras exageradas e ainda sem solicitação 
importante da viga à torção. Com momento fletor de pequena intensidade e, portanto, 
pequenas tensões, a viga gira o suficiente para acompanhar o giro da laje. 
 
 
5.2.2 DUAS LAJES CONTÍGUAS 
 
 A figura 5.2 apresenta a forma de um pavimento de edifício constituído por duas 
lajes maciças de espessuras sensivelmente diferentes e assim consideradas para 
efeito deste exemplo. 
 
 
 
Figura 5.2 - Lajes contínuas, em uma direção 
[Andrade, 1990] 
 
 Tratando-se de lajes contíguas, o estudo das condições de vinculação deve 
levar em conta tanto a existência das vigas como a continuidade do painel de lajes. 
 Mesmo admitindo vãos aproximadamente iguais para as duas lajes deste 
exemplo, as mesmas têm rigidezes diferentes entre si, por serem as espessuras 
diferentes. 
 A laje menos rígida e as vigas podem, igualmente, ceder e girar, concluindo-se 
que a laje mais rígida deve ser considerada apoiada, inclusive no lado comum a ambas 
as lajes. Inversamente, a laje menos rígida deve ser considerada engastada. 
 A existência das vigas não altera a conclusão, do ponto de vista dos giros, de 
modo que as duas lajes são consideradas "contínuas" entre si e simplesmente 
apoiadas nas vigas. 
 Com este exemplo foi mostrado de modo sucinto um critério para análise da 
vinculação das lajes. Casos de lajes com diferenças de nível, lajes apoiadas em vigas 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
96
de grande rigidez ou lajes contínuas de tipo diferente, podem ser analisadas de 
maneira análoga. 
 Se as lajes tiverem a mesma espessura, ambas devem ser consideradas 
engastadas na direção do lado comum. 
 Deve-se, entretanto, prestar atenção à outra possibilidade completamente 
diferente, que é a situação dos momentos de engastamento das lajes serem 
necessários ao equilíbrio. É o caso do exemplo seguinte. 
 
 
5.2.3 LAJE EM BALANÇO 
 
 A laje da figura 5.3 tem três bordas livres, isto é, lados da laje onde não existem 
vigas de borda. A única viga é a V01 que deve garantir a condição estática para a laje. 
 
 
 
Figura 5.3 - Laje em balanço 
[Andrade, 1990] 
 
 Neste caso qualquer que seja a rigidez da laje, ou da viga, a laje é considerada 
sempre engastada, e a viga fica solicitada à ação de um momento uniformemente 
distribuído, gerando tensões tangenciais oriundas da torção necessárias ao equilíbrio 
estrutural. Deslocamentos excessivos são evitados adotando-se espessuras e 
dimensões convenientes para os elementos envolvidos. 
 Note-se também a existência de uma nervura de pequena altura nas bordas da 
laje, a qual pode ocorrer em função de detalhes impostos pelo projeto arquitetônico. 
Sendo de pequena altura a nervura tem pequena rigidez e não deve ser admitida como 
apoio para a laje. O esquema estático é o de uma laje com um lado engastado na viga 
e os demais lados livres, isto é sem apoio. 
 Concluindo: em um painel de lajes contínuas, após uma análise desse tipo pode-
se delinear a configuração das condições de apoio. 
 
 
5.3 TIPOS DE CONDIÇÕES DE VINCULAÇÃO PARA LAJES ISOLADAS 
 
 Para cada tipo de condição de vinculação das lajes se atribuí um número que a 
identifique, inclusive com relação ao tipo de ação a que está submetida. 
 Observando as tabelas 2.5.a a 2.5.e, elaborados pelo Professor Líbânio Miranda 
Pinheiro, no trabalho "Concreto Armado: Tabelas e Ábacos - EESC-USP", versão de 
1993, percebe-se que elas foram feitas para tipos de lajes com condições de 
vinculação diferentes, para ações uniformemente distribuídas. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
97
 Do tipo 1 até tipo 6, convencionou-se que lx é o menor vão efetivo, qualquer que 
seja a condição de vinculação. Daí a necessidade de alguns tipos de vinculação ser 
subdivididos em A ou B. Por exemplo, lajes tipo 4A e 4B. 
 Na laje 4A, lx é paralelo aos dois lados engastados e, na laje 4B lx é paralelo 
aos dois lados apoiados. 
 Para cada laje se define um sistema local de eixos coordenados. O eixo das 
abscissas (x) é paralelo ao lado lx e o das ordenadas (y) é paralelo ao lado ly (o maior 
lado), conforme pode ser observado na figura 5.4. Quando, no projeto das lajes, se 
utilizam tabelas diferentes das consultadas neste trabalho, especial atenção deve ser 
dada à convenção adotada pelo autor da tabela. 
 
 
 
 
Figura 5.4 - Lajes tipo 4A e 4B 
 
 Para os 6 tipos de lajes, PINHEIRO [1993] adaptou coeficientes
calculados por 
BARES [1970] para a relação (λ = ly / lx) entre os lados variando: 
 
 1,0 ≤ λ = ly / lx ≤ 2,0 
 
 Considera-se que se a relação de lados for menor do que 2,0 a laje é armada 
em duas direções, isto é, as armaduras posicionadas nas duas direções têm a mesma 
ordem de grandeza. 
 Se λ > 2,0 considera-se que a laje é armada em uma direção, isto é, armada na 
direção do vão menor (lx). Neste caso a armadura de maior área é posicionada 
paralelamente ao menor vão. Na direção do vão maior posiciona-se armadura 
chamada de distribuição, com área mínima indicada na NBR 6118:2003. 
 Os esforços solicitantes - momentos fletores e forças cortantes - são calculados 
para uma viga com largura unitária (bw = 1m) com a mesma condição de vinculação 
dos lados paralelos a ly. 
 O exemplo da figura 5.5 indica uma laje com três bordas apoiadas e uma 
considerada engastada em laje contígua, que garante esta situação. O lado engastado 
é paralelo ao maior vão efetivo da laje. Como a relação entre os vãos teóricos é maior 
do que 2, não há necessidade de se recorrer a tabelas para cálculo dos esforços 
solicitantes, embora este caso, de λ ≥ 2,0, seja contemplado nas Tabelas de Pinheiro. 
 Os esforços solicitantes para uma viga engastada e apoiada no lado oposto, de 
vão lx,, quando associada a uma laje maciça de mesma condição de vinculação, são 
dados pelas expressões que seguem: 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
98
 
xx
x
x
x
'
x
x'
x
)qg(,v
,
)qg(m
)qg(,v)qg(m
ll
ll
+=+=
+=+=
40
2214
60
8
2
2
 
 
 A largura da viga deve ser considerada igual a um (1) metro, conforme mostrado 
na figura 5.5. Os momentos fletores de índice “x” têm planos de ação paralelos ao lado 
lx e as reações de apoio de mesmo índice atuam em bordas da laje paralelas ao lado 
ly. As reações de apoio atuantes nos lados paralelos a lx podem ser determinadas 
usando a Tabela de PINHEIRO [1993], para o tipo de laje compatível, para λ = 2. O 
momento fletor na direção do eixo y não precisa ser calculado, pois a NBR 6118:2003 
indica que para lajes armadas em uma direção deve-se dispor de armadura de 
distribuição como será mostrado no item relativo a critérios de armação de lajes. 
 
 
 
Figura 5.5 - Esforços solicitantes em laje armada em uma direção 
 
 Os esforços solicitantes na direção do eixo y são avaliados para laje 
considerando-se uma laje fictícia com mesma condição de vinculação da laje em 
questão, porém, com relação entre os vãos teóricos igual a 2,0. Os coeficientes para 
cálculo dos esforços solicitantes na direção do maior vão efetivo são os encontrados 
nas respectivas tabelas, força cortante e momento fletor, para λ = 2,0. 
 Observa-se que na tabela 2.5a, laje tipo 2B, os coeficientes com índice y 
para λ > 2,0 são iguais aos de λ = 2,0. Os de índice x foram adaptados em função dos 
fatores de multiplicação e dos denominadores das expressões com as quais se 
calculam os esforços solicitantes. 
 As tabelas para as lajes tipos 7, 8, 9 e 10 foram elaboradas considerando uma 
borda livre e submetidas à ação uniformemente distribuída na área da laje. 
 Nestes casos o eixo x é paralelo ao lado la e o eixo y é paralelo ao lado de vão 
efetivo lb. Notar que nos quatro tipos lb é paralelo ao lado da laje com borda livre. 
 Os esforços solicitantes são indicados pelas letras m para momento fletor por 
unidade de largura (1m) e v para força cortante ou reação de apoio na mesma unidade. 
Os índices x ou y indicam os planos de ação dos momentos fletores ou o lado 
que ocorrem as reações de apoio - x para os lados paralelos a ly e y para os lados 
paralelos a lx. 
 Quando os momentos fletores ocorrem em lados engastados eles são indicados, 
com plica ('), por exemplo, m'x para designar o momento fletor, com plano de ação 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
99
paralelo ao lado lx e provocando tração na face superior da laje, na ligação desta com 
a contígua. 
 Para os coeficientes, apresentados nas Tabelas de Pinheiro, adotam-se as 
mesmas convenções. Os coeficientes com os quais se calculam as reações de apoio 
são anotados com a letra grega ν (ni) e os coeficientes para momento fletor µ (mi). 
 
 
5.4 CONDIÇÕES DE VINCULAÇÃO DIFERENTES DAS INDICADAS NAS TABELAS 
 
 Como pode ser visto nas tabelas para determinação dos momentos fletores, os 
lados das lajes foram considerados totalmente apoiados, engastados ou com borda 
livre, procurando abranger casos usuais de projetos. Ao se analisar as condições de 
vinculação das lajes de um pavimento é comum deparar-se com lajes com um lado 
parcialmente engastado e parcialmente apoiado, como pode ser observado na figura 
5.6. Essa situação não é contemplada pelas tabelas, exigindo do projetista um critério 
específico para a determinação dos esforços solicitantes neste caso. Lembra-se que 
nos casos de critérios que levam a valores aproximados, estes devem ser justificados 
pensando-se na segurança estrutural. 
 A laje mostrada na figura 5.6 apresenta um dos lados com condições de 
vinculação diferentes. Um processo aproximado para cálculo dos esforços solicitantes 
é o que a seguir se expõe. 
 Se a laje for armada em duas direções, e se ly1 ficar entre ly/3 e (2/3). ly, os 
esforços solicitantes podem ser calculados considerando-se ora o lado em questão 
todo engastado ora todo apoiado. Os esforços solicitantes considerados para o 
dimensionamento serão os de maior módulo. 
 Esse procedimento significa adotar no primeiro caso laje tipo 3 e no segundo laje 
tipo 2A, no exemplo. 
 Se ly1 for menor do que ly/3 considera-se esse lado todo apoiado; se ly1 for 
maior do que 2. ly/3 considera-se o lado em questão todo engastado. 
 No caso da laje do exemplo ser armada em uma direção, podem ser 
consideradas duas faixas unitárias, posicionadas nas duas regiões com condições de 
vinculação diferentes. As armaduras nessas regiões também serão diferentes. Este 
critério, quando a laje for considerada armada em uma direção, prevê a divisão fictícia 
da laje em duas, conforme indicado na figura 5.6. Para avaliar os esforços solicitantes 
na direção do maior vão efetivo, podem-se determinar os coeficientes nas tabelas para 
relação entre os vãos igual a 2,0, procurando associar à laje real com aquelas típicas 
para as quais foram montadas tabelas auxiliares. 
 É importante lembrar que os critérios de aproximação para casos não usuais, 
devem ser cuidadosamente analisados pelo projetista da estrutura, com a finalidade de 
resolver o problema proposto, porém, atendendo sempre os requisitos de segurança 
estrutural. 
 O exemplo mostrado na figura 5.6 pode ser encontrado, nos casos práticos, 
quando a laje em análise pode ser considerada engastada em laje contígua apenas na 
região de comprimento ly1 e, no complemento ly2 só é possível considerar apoio. 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
100
 
 
Figura 5.6 - Laje com condições de vinculações diferentes 
 
5.5 VÃOS EFETIVOS DAS LAJES 
 
 A NBR 6118:2003 indica que, quando os apoios puderem ser considerados 
suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado 
pela seguinte expressão: 
 
lef = l0 + a1 + a2 [5.1] 
 
Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados 
pelos valores apropriados de ai, indicado na figura 5.7, sendo: 
 
 a1 igual ao menor valor entre (t1 e h) e 
 
a2 igual ao menor valor entre (t2 e h). 
 
 Na maioria dos casos usuais de lajes de edifícios, pode-se considerar como vão 
efetivo a distância entre os centros dos apoios (vigas) que têm, nos projetos usuais de 
edifícios, larguras medindo entre 10cm a 20cm. 
 Nos casos de lajes apoiadas em vigas de transição, que são vigas de grande 
largura, faz-se
necessário aplicar a regra citada. 
l l l 
 
 
a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário 
Figura 5.7 – Vão efetivo [NBR 6118:2003] 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
101
 A figura 5.8 mostra os casos de lajes isoladas, contínuas e em balanço com as 
indicações da NBR 6118:2003 para cálculo de vãos efetivos. 
 
 
 
Figura 5.8 – Vãos efetivos das lajes 
 
 
5.6 ALTURA ÚTIL E ESPESSURA 
 
 A NBR 6118:2003 prescreve as espessuras mínimas de lajes maciças de 
edifícios, em função da utilização, conforme indicado no capítulo 3 deste texto. 
 Claudinei Pinheiro Machado, sugere a seguinte expressão para pré-
dimensionamento da altura útil (d): 
 
 d0 = (2,5 – 0,1 . n) l* 
 
 sendo l* o menor valor entre o vão efetivo lx e 0,7 ly; 
 
 lx é a medida do menor vão efetivo; 
 
 n = número de bordas engastadas; 
 
 os vãos efetivos são medidos em metros; 
 
 d0 em centímetros. 
 
 Ishitani et al. (2001) indica que as espessuras das lajes maciças podem ser pré-
dimensionadas, considerando: 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
102
 
 h = 2,5% lx 
 
 sendo lx a medida do menor vão efetivo. 
 
 A espessura adotada no projeto deve ser verificada, do ponto de vista dos 
estados limites último e de serviço. 
 A altura útil (d) é a indicada na figura 5.9 onde podem ser vistas as barras das 
armaduras nas duas direções. O cobrimento (c) é medido a partir da barra mais 
próxima da face do elemento estrutural. 
 
 
 
Figura 5.9 - Altura útil e altura total 
 
 Os valores dos cobrimentos a serem adotados em função das condições de 
agressividade do meio ambiente estão indicados na NBR 6118:2003 e no capítulo 3. 
 As espessuras das lajes devem atender os valores mínimos indicados na NBR 
6118:2003 e neste texto mostradas no item 3.2.1.1. 
 
 
5.7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 Havendo disponibilidade de equipamento computacional e programas para 
análise de placas contínuas, os esforços solicitantes podem ser determinados 
considerando a continuidade entre lajes e, mais precisamente, as ligações com as 
vigas e suas deformabilidades e deslocabilidades. Esses programas são escritos 
considerando os processos dos elementos finitos, dos elementos de contorno e 
analogias de grelhas. 
 A NBR 6118:2003 permite que, quando houver predominância de forças 
permanentes, as lajes vizinhas em um pavimento de lajes maciças podem ser 
consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos fletores 
atuantes nas bordas, em função das condições de vinculação adotadas. A 
compatibilização de modo aproximado será estudada no item 5.8.4. 
 
5.7.1 REAÇÕES DE APOIO 
 
 Considere-se uma placa retangular simplesmente apoiada no seu perímetro 
(Figura 5.10a). Admita-se que os apoios forneçam vínculos unilaterais, isto é, que os 
apoios somente mobilizem reações dirigidas de baixo para cima. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
103
 
 
Figura 5.10 - Laje retangular simplesmente apoiada 
 
 Sob a ação de força uniformemente distribuída no sentido de cima para baixo, 
por exemplo, verifica-se que os cantos das placas deslocam-se dos apoios (Figura 
5.10b). 
 Nas lajes de concreto, por causa do monolitismo existente entre lajes e vigas, 
verifica-se que as bordas permanecem retilíneas. Isto significa que os apoios fornecem 
vínculos bilaterais, ou seja, ao longo das bordas mobilizam reações nos dois sentidos. 
 Convencionando-se as reações dirigidas de baixo para cima como positivas, 
junto aos cantos da placa haverá reações negativas. O diagrama das reações de apoio 
ao longo de uma borda de uma placa retangular, sob a ação de uma ação 
uniformemente distribuída, é ilustrado na figura 5.11a. 
 No entanto, aplicando-se a Teoria das Placas Delgadas, com a sua formulação 
usual, em lugar das reações negativas, distribuídas junto aos cantos (Figura 5.11a), 
obtém-se a distribuição aproximada, indicada na Figura 5.11b. 
 
 
 
Figura 5.11 - Distribuição das reações de apoio 
 
 Para o cálculo das vigas de apoio, seria extremamente trabalhoso adotar-se o 
diagrama indicado na Figura 5.11b. Usualmente, partindo-se de uma simplificação, 
admite-se distribuição uniforme, ou seja, consideram-se reações médias, sem as 
reações de canto (Figura 5.11c). Esta simplificação conduz a resultados contra a 
segurança para o apoio em questão. Uma alternativa que se aproxima bastante da 
distribuição correta é ilustrada na Figura 5.11d, sendo levadas em conta as reações de 
canto e, em relação ao procedimento usual, o trabalho de cálculo não e aumentado 
praticamente. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
104
 Para a determinação exata da distribuição das reações de apoio da placa, deve-
se levar em conta a flexibilidade das vigas, o que pode ser feito empregando-se o 
processo dos elementos finitos ou dos elementos de contorno, ambos com auxílio de 
programa computacional. 
 O cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com ação 
uniformemente distribuída pode ser feito, considerando as indicações da 
NBR6118:2003, cujo texto é exposto a seguir, a partir da determinação aproximada das 
linhas de plastificação da laje obtidas com as condições de vinculação dos lados. 
 As reações em cada apoio são correspondentes às ações atuantes nos 
triângulos trapézios determinados pela formação das charneiras plásticas 
correspondentes à análise feita com os critérios de análise plástica indicados na NBR 
6118:2003. 
 Permite-se, quando a análise plástica não for realizada, as charneiras podem ser 
aproximadas por retas inclinadas, na planta da laje, a partir dos vértices com os 
seguintes ângulos: 
 
45o entre dois apoios de mesmo tipo, isto é quando para o vértice concorrem 
apoios considerados ambos engastados ou ambos apoiados; 
 
60o a partir do apoio engastado quando o outro for considerado simplesmente 
apoiado; 
 
 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre. 
 
 Este procedimento, sugerido pela NBR 6118:2003, foi inspirado no 
comportamento da laje em regime plástico. Para um refinamento de cálculo, a 
determinação das reações de apoio deve ser feita em regime elástico, uma vez que as 
ações, geralmente, se transferem das lajes para as vigas com a estrutura trabalhando 
elasticamente. 
 
5.7.1.1 Exemplo 1 
 
 Calcular as reações de apoio da laje L1, sabendo que a ação total é 
g+q=6kN/m2. 
 A laje do exemplo tem lados paralelos ao menor vão efetivo engastado e o outro 
com borda livre; os lados paralelos ao maior vão efetivo, um é apoiado e ouro 
engastado. Uma das bordas é considerada livre, isto é sem viga apoiando essa borda 
da laje por uma decisão arquitetônica. 
 
 
 
Figura 5.12 - Exemplo laje tipo 12 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
105
 Determinam-se as áreas A1, A2 e A3: 
 
 
2,60my
1,10mx
1,90mx
 4,5yy
3,0xx
1,73xx
x
y
60tg
y
x
45tg
2
2
1
21
21
2
1
2
1o
1
1o
=
=
=
=+
=+
=
=
=
 
 
 
m/kN7,5v
m/kN0,9v
m/kN2,5v
m85,2A;m75,6A;m91,3A
'
y
'
x
x
2
3
2
2
2
1
=
=
=∴
===
 
 
5.7.1.2 Exemplo 2 
 
 Para a laje da figura, determinar as reações de apoio. 
 Dados: g + q = 6,0 kN/m2. 
 Esta laje do exemplo é considerada engastada em três lados consecutivos e 
uma borda é considerada apoiada. Nota-se que um lado engastado e outro apoiado 
são paralelos ao maior vão efetivo, definindo uma laje tipo 5A, de acordo com o 
adotado por PINHEIRO (1993). 
 
 
 
Figura 5.13 - Exemplo, laje tipo 5A 
 
 Usando o critério da NBR 6118:2003,
obtém-se 4 superfícies conforme indicado 
na figura. Calculando as alturas dos triângulos e trapézios, podem-se determinar as 
áreas das superfícies e a partir daí as reações de apoio. 
 
 
50,4
1x10,1x)70,050,4(
2
1x0,6
A
)qg(v
y
1
x 

 +=+= l 
 
 vx = 3,81 kN/m 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
106
 
4,50
1x0,70)x1,90(4,5
2
16,0x
A
q)(gv
y
2'
x 

 +=+= l 
 
 v’x = 6,59 kN/m 
 
 
3,00
1xx3,0x1,9
2
16,0x
A
q)(gv
x
3'
y 

=+= l 
 
 v’y = 5,70 kN/m 
 
 
5.7.2 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS 
 
 Como se pode notar no desenvolvimento dos exemplos, o trabalho de cálculo 
das reações de apoio em lajes maciças é repetitivo, sendo viável a montagem de 
tabelas auxiliares para tornar o cálculo expedito. É possível também a montagem de 
programa para microcomputador com a mesma finalidade. 
 Foram desenvolvidas tabelas para o cálculo das reações de apoio para as lajes 
com condições de vinculações tipos de 1 a 6, perfazendo 9 casos, lembrando que 
alguns precisaram ser desdobrados em dois, em função de se adotar lx o menor vão 
efetivo da laje. 
 A tabela 2.3a, apresentada em PINHEIRO [1993] - Concreto Armado: Tabelas e 
Ábacos mostram as expressões com as quais se determinam os coeficientes, para 
cada tipo de vinculação, com os quais se calculam as reações de apoio. 
 As reações de apoio são determinadas pela expressão típica: 
 
 
10
)qg(v l+υ= 
 
 sendo: 
 
 ν : dado pelas expressões da tabela 2.3a; 
 
 (g+q), l /10 : fator de multiplicação; 
 
 l = menor vão da laje. 
 
 As tabelas 2.3b e 2.3c foram montadas para os casos das lajes com relação 
entre vãos teóricos (λ = ly / lx) entre 1,0 e 2,0. Para os casos de lajes armadas em uma 
direção usam-se as linhas onde se encontra indicado λ > 2,0, ou se associam à laje 
faixas de vigas de largura unitária com as mesmas condições de vinculação da laje na 
direção perpendicular ao menor vão teórico. 
 A seguir indica-se como a tabela para a laje tipo 1 foi elaborada. 
 Usando o critério da NBR 6118:2003, traçam-se as retas formando, com os 
vértices, os ângulos de 45º pois os quatro lados são considerados apoiados. Conforme 
pode ser visto na figura 5.13 resultam dois trapézios e dois triângulos de áreas iguais, 
respectivamente. 
 Considerando 1,0 ≤ λ = ly / lx ≤ 2,0, podem-se calcular as reações de apoio para 
a laje tipo 1, procurando determinar expressões válidas para qualquer λ no intervalo 
indicado. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
107
 Na montagem das expressões matemáticas para a determinação das reações de 
apoio vx e vy procurou-se escrevê-las em função do menor vão teórico da laje (lx) e, 
logicamente, em função da ação total uniformemente distribuída (g + q). 
 
 
 
Figura 5.14 - Reações de apoio, laje simplesmente apoiada 
 
 Assim sendo a expressão com a qual se calcula a reação de apoio, atuante nos 
lados paralelos ao lado ly, em uma laje apoiada nas quatro bordas, resulta: 
 
 [ ]
y
x
xyyx
1
2
)(
2
1)qg(v l
llll 
⋅−+
 ⋅+= 
 
 
y
x
xyx
1
2
)2(
2
1)qg(v l
lll −+= 
 
 A expressão final para cálculo de vx deve ter fator de multiplicação (g+q) (lx/10) 
o que sugere multiplicar e dividir o segundo membro da expressão por 10. 
 
 Portanto: 
 
 
2
10)
2
1(
10
)qg(v
y
xx
x l
ll −+= 
 
 A expressão com a qual se calcula a reação de apoio vx, atuante ao longo dos 
apoios paralelos a ly pode ser escrita por: 
 
 


λ−+=
5,25
10
)qg(v xx
l
 
 
e para vy tem-se: 
 
 
x
x
xy
1)
22
1)(qg(v l
ll+= 
 
 10)
4
1(
10
)qg(v xy
l+= 
 
 2,5
10
q)(gv xy
l+= 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
108
 Resultando para νy o valor 2,5, constante para qualquer relação entre os lados ly 
e lx. 
 
5.7.2.1 Exemplo 1 
 
 Para a laje com condição de vinculação tipo 1 calcular os coeficientes νx e νx 
para os valores de λ indicados, conforme mostrados na tabela a seguir. 
 
λ νx νy 
1,00 
1,30 
1,75 
2,00 
2,00 
2,50 
3,08 
3,57 
3,75 
5,00 
2,50 
2,50 
2,50 
2,50 
2,50 
 
 Sugere-se ao leitor conferir estes valores calculados com os indicados na tabela 
2.3b elaborada por Pinheiro [1993]. 
 Se a laje for armada em uma direção λ = ly / lx > 2,0, na direção do menor vão 
(lx) calculam-se os esforços solicitantes, considerando faixas de vigas com bw = 1m e 
com a mesma condição de vinculação. Assim as reações de apoio ficam iguais a: 
 
 v= (g+q) . lx / 2. 
 
 
 
Figura 5.15 - Laje armada em uma direção 
 
 Sendo: 
 
 ( )
10
10.
2
.qgv xx
l+= 
 
 ( )
2
10.
10
.qgv xx
l+= 
 
e, portanto, νx = 5,0, conforme indicado na coluna 1, λ > 2,0, para laje tipo 1, das 
Tabelas de Pinheiro. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
109
 As reações de apoio atuantes nas bordas de menor comprimento, as que levam 
índice y, podem ser avaliadas usando as tabelas considerando λ = 2,0. 
 
5.7.2.2 Exemplo 2 
 
 Calcular as reações de apoio da laje do exemplo 2, item 5.7.1.2, usando as 
tabelas de Pinheiro [1993]. 
 
 Solução: 
 
 1) Identificação do tipo de laje 
 
 Tipo 5A, pois ly é paralelo ao lado apoiado, tabela 2.3c. 
 
 2) Determinação dos coeficientes / reações 
 
 50,1
00,3
50,4
x
y ===λ l
l
 
 
 m/kN50,450,2
10
0,30,6v50,2 xx ===υ 
 kN/m6,593,66
10
3,06,0v3,66υ 'x
'
x === 
 
 kN/m5,713,17
10
3,06,0v3,17υ 'y
'
y === 
 
 Comparação entre os resultados: 
 
 vx v’x v’y 
NBR 6118:2003 3,8 6,6 5,7 
Tabela 4,5 6,6 5,7 
 
 Como se pode notar há diferença entre os resultados obtidos pelo processo da 
NBR 6118:2003 e com os coeficientes obtidos na Tabela elaborada por Pinheiro [1993]. 
 O processo com o qual se montaram as tabelas segue o mesmo roteiro prescrito 
pela NBR 6118:2003 porém, nas tabelas para os casos em que há engastamento se 
fizeram correções para os valores obtidos pelo processo da Norma. 
 Essa correção leva em conta a possível situação de não ocorrer o engastamento 
por falha de construção, ou seja, deficiência no posicionamento das barras da 
armadura junto à face superior da laje ou falha de concretagem. 
 Analisando a situação de vinculação dos lados ly, e isolando uma faixa de laje 
de largura unitária, percebe-se que se a condição de engastamento não ocorrer de 
modo integral, a reação de apoio do lado apoiado irá aumentar. Este fato acarreta 
deficiência de ação na viga onde se encontra o lado apoiado da laje. Esta situação 
preserva a viga de acréscimo de ação se o engastamento da laje não funcionar 
convenientemente, conforme figura 5.16. 
 Os coeficientes indicados nas tabelas 2.3b e 2.3c, anotados com asterisco (*) 
foram obtidos considerando-se os alívios pela metade. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
110
 As expressões com as quais se obtém os coeficientes para o cálculo das 
reações de apoios indicadas na tabela 2.3a, Pinheiro [2003], não estão afetados desse 
alívio. 
 
 
Figura 5.16 - Cálculo das reações por tabelas 
 
 Na figura 5.16 mostram-se as reações de apoio calculadas usando o processo 
da NBR 6118:2003. 
 Se não houvesse engastamento as reações de apoio seriam: 
 
 
2
vv
v
'
xNBR
'
xNBR
AP
+= 
 
 O alívio gerado pelo engastamento no lado apoiado é dado por: 
 
 
2
vv
v
'
xNBR
'
xNBR'
xNBR
+= 
 
 Resultando para o cálculo da reação de apoio usando a tabela, com o alívio 
considerado pela metade a seguinte expressão: 
 
 

 +−+=
2
vv
v
2
1vv xNBR
'
xNBR'
NBRxNBRxTABx 
 
 A equação anterior pode ser
transformada em equação dos coeficientes de 
multiplicação, resultando: 
 
 

 +−υ+υ=υ
2
vv
2
1 xNBR
'
xNBR'
NBRxNBRxTABx 
 
5.7.2.3 Exemplo 3 
 
 Para a laje do exemplo 2 calcular os coeficientes ν para λ = 1,0. 
 
 Solução: 
 
 Usando a tabela 2.3a, laje tipo 5.a. (PINHEIRO, 1993): 
 
 λ=υλ=υ 5,2;3
6
5 '
NBRxNBRx 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
111
 Para: λ = 1,0 
 
 νx NBR = 1,44 
 
 ν‘ x NBR = 2,50 
 
 Usando a expressão anterior vem: 
 
 
71,1
2
44,150,250,2
2
144,1
TABx
TABx
=υ


 +−+=υ
 
 
 Esse valor confere com o valor indicado na tabela 2.3c, laje tipo 5.A - λ=1,0. 
 
 
5.8 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES 
 
5.8.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA SUPERFÍCIE ELÁSTICA 
 
 A teoria clássica de placas delgadas, baseada na teoria de Kirchchoff, interpreta 
suficientemente bem o comportamento das lajes que apresentam relação 
espessura/menor vão entre 1/5 e 1/100. As lajes usuais de edifícios possuem essa 
relação entre 1/40 e 1/60, atingindo até 1/80. Uma descrição concisa dos fundamentos 
do método é apresentada neste item. Para uma análise mais detalhada deste assunto, 
existe ampla bibliografia, encontrando em TIMOSHENKO (1970) sua obra clássica. 
 Supõe-se que a placa é constituída de material homogêneo e isótropo e 
comporta-se linearmente (segue a lei de Hooke). A ação p = [g + q](x,y), normal ao 
plano da placa, pode ser distribuída com qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A 
deformada da placa pode ser definida pela função w(x,y), que determina os 
deslocamentos verticais dos pontos (x,y) do plano médio da mesma. Dessa forma, 
admite-se que os pontos do referido plano médio têm apenas deslocamentos verticais, 
pequenos em relação à espessura da placa, e que as retas normais ao plano médio 
permanecem perpendiculares à superfície deformada do mesmo (os deslocamentos 
horizontais são desprezíveis). 
 A convenção adotada supõe tensões normais positivas, quando provocam 
tração na face inferior do elemento, e tensões tangenciais positivas (sempre tomando a 
face inferior como referência), se coincidem com o sentido positivo dos eixos. Os 
esforços são considerados positivos quando os momentos fletores provocam tração 
nas fibras inferiores, os momentos volventes têm seu vetor emergente da face 
considerada e as forças cortantes tendem a girar o elemento no sentido horário, 
olhando o eixo da esquerda para direita. 
 Os esforços solicitantes atuantes num elemento genérico da placa estão 
indicados na figura 5.17. 
 As expressões relativas aos esforços solicitantes estão indicados a seguir. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
112
 
 
Figura 5.17 - Esforços solicitantes em um elemento de placa 
 
 ∫= 2/h 2/hx dzv = força cortante por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo x. 
 
 ∫= 2/h 2/hy dzv = força cortante por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo y. 
 
 ∫ σ= 2/h 2/h xx zdzm = momento fletor por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo x (em torno de y). 
 
 ∫ σ= 2/h 2/h yy zdzm = momento fletor por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo y (em torno de x). 
 
 ∫ τ−= 2/h 2/h xyyxyx zdzmm = momento torçor por unidade de comprimento. 
 
 Fazendo-se o equilíbrio das forças verticais, obtém-se: 
 
 0dxdy
v
vdxvdydxvvdyvdy.dx.p
y
y
yy
x
x
xx =



∂
∂++−



∂
∂++− 
 
 p
vv
y
y
x
x −=



∂
∂+



∂
∂ [5.2] 
 
 Da condição de equilíbrio de momentos fletores em torno do eixo x, resulta 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
113
 
0dydx
m
mdym
dxdy
m
mdxmdxdydy
v
v
2
dydydxvv
2
dydyv
2
dydy.dx.p
x
xy
xyxy
y
y
yy
y
y
y
x
x
xx
=



∂
∂++−
+



∂
∂+−+



∂
∂++
+



∂
∂++−
 
 
 



∂
∂+



∂
∂=
x
xy
y
y
y
mm
v [5.3] 
 
 Analogamente, para o equilíbrio de momentos fletores em torno de y. 
 
 



∂
∂−



∂
∂=
y
xy
x
x
x
mmv [5.4] 
 
 Agrupando-se as três equações acima numa só, encontra-se uma equação que 
relaciona momentos fletores e ação: 
 
 p
y
m
yx
m
2
x
m
2
y
2
xy
2
2
x
2
−=∂
∂+∂∂
∂−∂
∂ [5.5] 
 
 É interessante relacionar os deslocamentos com a ação. Para tal, é necessário 
encontrar as expressões que ligam os momentos fletores com as curvaturas 2
2
2
2
y
w,
x
w
∂
∂
∂
∂
 
e com a torção 
yx
w2
∂∂
∂ . Pode-se iniciar analisando as deformações, a partir de um 
elemento genérico de placa, que sofre uma deformação elástica. Indicam-se por u e v 
as componentes do deslocamento de um ponto genérico, segundo as direções x e y, 
respectivamente. A partir da figura 5.17, sendo u e v as componentes do deslocamento 
do ponto 0 e ∂∂
u
x
dx o acréscimo infinitesimal (de ordem superior), da função u, em 
virtude do incremento dx da variável x, a deformação relativa εx, resulta, 
 
 
x
u
dx
dx
x
u
dx
dx
x ∂
∂=∂
∂
=∆=ε [5.6] 
 
 Analogamente, chega-se a 
 
 
y
v
y ∂
∂=ε [5.7] 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
114
 
 
Figura 5.18 - Componentes do deslocamento segundo x e y 
 
 A variação do ângulo reto, formado pelos segmentos OP e OR, vale 
 
 
x
v
y
u
xy ∂
∂+∂
∂=γ [5.8] 
 
 Nota-se que os deslocamentos de um ponto genérico da placa são funções da 
cota z considerada (figura 6.19) e, em conseqüência da flexão, valem 
 
 
x
uzu ∂
∂−= [5.9] 
 
 
y
wzv ∂
∂−= 
 
 
 
Figura 5. 19 - Descolamento de um ponto genérico da placa 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
115
 Voltando às expressões das deformações, obtém-se 
 
 2
2
x x
uz ∂
∂−=ε 
 
 2
2
y
y
wz ∂
∂−=ε [5.10] 
 
 
yx
uz2
2
xy ∂∂
∂−=γ 
 
 Sabendo-se que o material é isótropo, com módulo de deformação longitudinal E 
e coeficiente de Poisson ν, têm-se as seguintes relações entre tensões e deformações: 
 
 )(
E
1
yxx νσ−σ=ε 
 
 )(
E
1
xyy νσ−σ=ε [5.11] 
 
 
G
xy
xy
τ=γ 
 
 )(
1
E
yx2x υε+ευ−=σ 
 
 )(
1
E
xy2y υε+ευ−=σ [5.12] 
 
 xyxyxy )1(2
E.G γυ+=γ=τ 
 
 Substituindo-se os valores das deformações dadas pelas equações (5.10), 
resultam 
 z
y
w
x
w
1
E
2
2
2
2
2x 



∂
∂ν+∂
∂
υ−=σ 
 
 z
x
w
y
w
1
E
2
2
2
2
2y 



∂
∂ν+∂
∂
υ−=σ 
 
 z
yx
w
1
E 2
xy ∂∂
∂
ν+=τ 
 
 Bastam introduzir os valores das tensões, dados pelas equações (5.12), nas 
expressões que definem os esforços, para relacionar os momentos fletores e volventes 
com as curvaturas da placa. 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
116
 dzz
w
w
x
w
1
Ezdzm 22
2
2
2
2
2/h
2/h
2/h
2/hxx 



∂
∂ν+∂
∂
µ−−=σ∫ ∫ 
 [5.13] 
 



∂
∂ν+∂
∂−= 2
2
2
2
x
y
w
x
wDm 
 
 
 dzz
x
w
y
w
1
Ezdzm 22
2
2
2
2
2/h
2/h
2/h
2/hyy 



∂
∂ν+∂
∂
ν−−=σ∫ ∫ 
 [5.14] 
 



∂
∂ν+∂
∂−= 2
2
2
2
y
x
w
y
wDm 
 
 
 dzz
ty
w
1
Ezdzm 2
22/h
2/h
2/h
2/hxyxy 



∂∂
∂
ν−−−=τ∫ ∫ 
 [5.15] 
 



∂∂
∂ν−−=
yx
w)1(Dm
2
xy 
 
 com, 
 
 =ν−= )1(12
EhD 2
3
 rigidez a flexão da placa, equivalente à rigidez EI das vigas, 
 
 E = módulo de deformação longitudinal, 
 
 h = espessura, 
 
 ν = coeficiente de Poisson. 
 As forças cortantes podem ser relacionadas com as curvaturas, utilizando-se as 
expressões (5.2) e (5.3), sendo substituídos os valores dos momentos. 
 
 2
3
2
3
3
3
x
yx
w)1((D
yx
w
x
wDv ∂∂
∂ν−−



∂∂
∂ν+∂
∂−= 
 
 



∂∂
∂ν+∂
∂−= 2
3
3
3
x
yx
w
x
wDv [5.16] 
 
 
yx
w)1(D
yx
w
y
wDv 2
3
2
3
3
3
y ∂∂
∂ν−−



∂∂
∂ν+∂
∂−= 
 [5.17] 
 
 



∂∂
∂ν+∂
∂−=
yx
w
y
wDv 2
3
3
3
y 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
117
 Substituindo-se as expressões dos momentos fletores (5.13), (5.14) e (5.15) na 
equação (5.4), resulta a conhecida equação de Lagrange ou equação das placas: 
 
 
D
P
y
w
yx
w
x
w =++ 4
4
22
4
4
4
2 ∂
∂
∂∂
∂
∂
∂ [5.18] 
 
 As condições de contorno da equação diferencial (5.18) dependem dos 
diferentes tipos de apoio. Assim, por exemplo, quando se trata de uma borda reta 
paralela ao eixo y, ter-se-á, em função das condições dessa borda, as seguintes 
condições de contorno: 
 
 a. borda engastada - o deslocamento vertical e a rotação são nulos: 
 
 0
x
w,0w =∂
∂= 
 
 b. borda simplesmente apoiada - o deslocamento vertical e o momento fletor são 
nulos: 
 
 0
y
w
x
wDm,0w 2
2
2
2
x =



∂
∂ν+∂
∂−== 
 
 c. borda livre - o momento fletor e a reação na borda são nulos: 
 
 0,0 =∂
∂−=
y
m
vm xyxx 
 
 Obtida a função w, os esforços solicitantes são calculados pelas equações 
(5.13) a (5.17). 
 Normalmente, não é fácil encontrar uma função w( x,y ) que satisfaça a equação 
diferencial das placas e atenda às condições de contorno. Para tal, recorre-se a 
soluções aproximadas, obtendo-se w como uma soma de funções elementares que 
satisfaçam as condições de contorno. 
 O processo de integração da Equação de Lagrange só pode ser aplicado a 
alguns poucos casos de formas de placas e condições de contorno. Uma alternativa 
mais geral e o uso de diferenças finitas para a integração numérica, conduzindo a 
resolução de um sistema de equações lineares. 
 Tais métodos foram bastante utilizados para a montagem de tabelas (ver, por 
exemplo, BARES (1970). Para o caso de placas com formas mais complexas, com 
regiões de diferentes espessuras, com aberturas, com carregamentos de distribuição 
não usual, ou com condições de apoio variadas, os métodos anteriores não possuem, 
em geral, aplicação prática. Podem-se recorrer, então, ao método dos elementos 
finitos, elementos de contorno ou analogia de grelha. 
 
5.8.2 MOMENTOS FLETORES E COMPATIBILIZAÇÃO 
 
 A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, 
é bastante trabalhosa. No entanto, há várias tabelas já elaboradas, destacando-se as 
de Czerny, Bares e Kalmanock. 
 Quando se analisa um pavimento composto por várias lajes, as dificuldades que 
se apresentam no estudo de funcionamento das lajes contínuas residem, basicamente, 
na consideração do engastamento nos apoios internos, onde há continuidade. Nesses 
apoios, o engaste não e rigorosamente perfeito; na verdade, ocorrem engastamentos 
parciais. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
118
 Nos casos usuais, podem-se supor as lajes contínuas perfeitamente engastadas 
nas lajes adjacentes. Em geral, porém, as lajes de um pavimento diferem nas 
condições de apoio, nos vãos ou nos carregamentos, resultando em momentos fletores 
negativos diferentes, em um mesmo vínculo. Deve-se proceder à compatibilização dos 
momentos fletores. Alguns autores recomendam adotar, para esse momento negativo, 
o maior valor entre a média dos dois momentos fletores e 80% do maior. Esse critério é 
razoável quando os momentos fletores negativos, entre as lajes vizinhas, são de 
mesma ordem de grandeza. 
 Após a compatibilização dos momentos negativos, devem-se corrigir os 
momentos fletores positivos relativos à mesma direção. Para que em serviço, o 
comportamento da laje seja o mais próximo possível do relativo ao regime elástico, a 
correção dos momentos fletores positivos é feita integralmente, ou seja os momentos 
no centro da laje devem ser aumentados ou diminuídos adequadamente, de acordo 
com a variação do respectivo momento negativo, após a compatibilização. 
 
5.8.3 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS 
 
 Para cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares utilizam-se as tabelas 
elaboradas por Pinheiro (1993), que são: 
 
 -2.5a a 2.5e nos casos de ações uniformemente distribuídas; 
 
 -2.6a a 2.6e nos casos de ações linearmente variáveis. 
 
 As tabelas foram adaptadas por Pinheiro e Wolfensberger de trabalho de 
BARES (1970) - Tablas para el calculo de placas y vigas pared. 
 Os momentos fletores são calculados pela expressão: 
 
 
100
)qg(m
2l+µ= 
 
 sendo, l é o menor vão teórico da laje. 
 
 As convenções adotadas para os coeficientes, e portanto para os momentos 
fletores, são os seguintes: 
 
 mx - momento fletor por unidade de largura (1m) com plano de ação paralelo ao 
eixo x, ou seja, vetor momento com direção paralela ao eixo y, que provoca tração nas 
fibras inferiores da laje, e com valor máximo na região central. 
 
 m'x - idem, que provoca tração nas fibras superiores da laje, e com valor 
máximo na região central dos apoios. 
 
 Se a laje tiver borda livre os coeficientes e os momentos recebem o índice b, 
indicando que eles ai ocorrem, e que atuam paralelamente ao lado com borda livre 
(mxb) e / ou (m'xb). 
 
5.8.3.1 Exemplo 1 
 
 Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura 
5.20, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2. 
 Trata-se de uma laje tipo 9, sendo que os coeficientes são apresentados na 
Tabela 2.5e, elaborada por PINHEIRO [1993]. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
119
 
 
Figura 5.20 - Momentos fletores na laje tipo 9 
 
 Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo la é perpendicular à borda livre e 
ao lado engastado, lb é, portanto, paralelo à borda livre e ao lado engastado. 
 Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar a relação 
entre os vão efetivos, obtendo-se: 
 
 1,50
3,0
4,5
γ
b
a === l
l 
 
 Portanto, os momentos fletores atuantes na laje resultam: 
 
 1,37kNm/m
100
3,02,54x6,0m
2
x == 
 
 6,66kNm/m12,33x0,54m'x == 
 
 4,59kNm/m8,50x0,54my == 
 
 6,64kNm/m12,29x0,54myb == 
 
 Na figura 5.20 se mostram as posições das armaduras, também por unidade de 
largura (cm2/m), para absorver os respectivos momentos fletores. 
 
 
5.8.3.2 Exemplo 2 
 
 Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura 
5.21, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2. 
 Trata-se de uma laje tipo 5A sendo que os coeficientes são apresentados na 
Tabela 2.5c, elaborada por PINHEIRO [1993]. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 120
 
 
FIGURA 5.21 - Momentos fletores na laje tipo 5A 
 
 Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo lx é o menor entre os dois vãos 
teóricos e, portanto, ly é o maior. 
 Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar
a relação 
entre o lado maior e o menor: 
 
 λ = ly / lx = 4,50 / 3,00 = 1,50 
 
 Portanto, os momentos fletores atuantes na laje resultam: 
 
 2,28kNm/m
100
3,04,23x6,0m
2
x == 
 
 5,10kNm/m9,44x0,54m'x == 
 
 1,31kNm/m2,43x0,54my == 
 
 4,27kNm/m7,91x0,54m'y == 
 
5.8.3.3 Exemplo 3 
 
 Calcular os momentos fletores para a laje da figura 5.22 submetida a um 
carregamento linearmente variável, em uma parede de reservatório paralepipédico. A 
ação de maior intensidade, atuante na face inferior da parede é igual a 27,6kN/m2. A 
tabela com a qual se determinam os coeficientes é a 2.6b, laje tipo 16 [PINHEIRO 
(1993)]. 
 O vão perpendicular à base da parede é la e, portanto, paralelo à ação atuante. 
 A altura de água é de 2,875m e o peso específico da água é 10kN/m3. 
 
 A relação entre os vão efetivos é dada por: 
 
 γ = la / lb = 3,00 / 4,50 = 0,67 
 
 Os momentos fletores resultam: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
121
 5,22kNm/m
100
3,02,10x27,6m
2
x == 
 
 12,27kNm/m5,35x2,48m'x == 
 
 2,55kNm/m1,03x2,48my == 
 
 8,75kNm/m3,53x2,48m'y == 
 
 Na figura 5.22 mostram-se os planos de ação dos momentos fletores, as 
respectivas armaduras têm as mesmas direções. 
 
 
Figura 5. 22 - Momentos fletores na laje tipo 16 
 
 A parede do reservatório paralelepipédico deste exemplo, submetida à ação da 
água armazenada, deve ser considerada engastada na laje de fundo e paredes, 
perpendiculares a esta e apoiando na laje de tampa. Estas considerações são feitas 
em função do tipo de estrutura. 
 
5.8.4 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES FINAIS 
 
 A NBR 6118:2003 permite, simplificadamente, adotar para dimensionamento da 
armadura junto a face superior de lajes contíguas o maior valor de momento fletor 
negativo ao invés de equilibrar os momentos diferentes atuantes em borda comum. 
 Querendo compatibilizar os momentos fletores negativos calculados ao longo de 
apoios comuns de lajes consideradas engastadas, o procedimento pode ser o que 
segue. 
 Os momentos fletores negativos podem ser compatibilizados considerando o 
maior entre os seguintes valores: 
 
'
E
'
D
'
D
'
D
'
E
'
E
'
D
'
E
mm se m0,8
ou
mm se m0,8
ou
2
mm
>⋅
>⋅
+
 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 122
 Os momentos fletores positivos devem ser corrigidos em função da correção dos 
momentos fletores negativos. 
 Dois casos típicos devem ser considerados conforme figura 5.23: 
 
 a. vão extremo - soma-se ao momento fletor positivo my da laje L01 a metade 
da variação ocorrida no momento fletor negativo (∆m’E / 2). 
 
 b. vão intermediário: soma-se ao momento fletor positivo my, laje L02, a média 
das variações ocorridas nos momentos fletores negativos, isto é, (∆m'e+∆m’d)/2. 
 
 Quando há diminuição do valor do momento fletor positivo, não é usual se fazer 
correção; a favor da segurança, o momento fletor positivo é mantido com este valor 
para o dimensionamento. 
 Para se efetuar essa compatibilização é necessário que algumas restrições 
sejam feitas: 
 
 - que as ações variáveis normais (q) não sejam maiores do que as ações 
permanentes diretas (g); 
 
 - que todas as lajes sejam solicitadas simultaneamente; 
 
 - que as lajes tenham vãos teóricos e rigidezes próximas entre si. 
 
 As indicações anteriores podem ser seguidas, pois as restrições não ocorrem na 
maioria dos edifícios residenciais e comerciais usuais. 
 
Figura 5.23 - Compatibilização dos momentos fletores [Andrade, 1993] 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
123
5.9 ESFORÇ0S SOLICITANTES EM LAJES COM AÇÃO LINEARMENTE 
 DISTRIBUÍDA - PAREDES SOBRE LAJES. 
 
5.9.1 LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES 
 
 No caso de lajes armadas em duas direções é usual se considerar a ação por 
causa da parede como uma ação permanente uniformemente distribuída na laje. 
 Calcula-se a resultante do carregamento, multiplicando-se a área de parede pelo 
peso de parede por unidade de área e, dividindo-se este valor por lx e ly e obtém-se o 
valor da ação uniformemente distribuída em virtude da ação de parede que deve ser 
considerada para o cálculo dos esforços solicitantes. 
 
 Assim, têm-se: 
 
 Gpar = Apar x gpar/m
2 
 
 Ação total na laje: 
 
 
yx
parGqg ll++ 
 
 
 
Figura 5.24 - Parede sobre laje em duas direções 
 
5.9.2 LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
 
 O cálculo dos esforços solicitantes depende da posição da parede em relação à 
armadura principal. A armadura principal em lajes armadas em uma direção é paralela 
ao menor vão. 
 
5.9.2.1 Parede na direção perpendicular a armadura principal 
 
 Para facilitar o cálculo dos esforços solicitantes separa-se a laje em duas partes: 
uma em que se deve levar em conta o efeito da parede e outra sendo este efeito não 
ocorre, agindo apenas a ação uniformemente distribuída (ver figura 5.25). 
 A condição de vinculação das faixas unitárias é a mesma da laje em estudo. Os 
esforços solicitantes são calculados considerando uma viga de um único tramo com 
ações concentradas e uniformemente distribuídas (g+q). 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 124
 
 FPAR = hPAR x gPAR / m
2 
 
Figura 5.25 - Parede perpendicular à armadura principal 
 
5.9.2.2 Parede paralela à armadura principal 
 
 Para as lajes armadas em uma direção a NBR 6118:1978 indica o seguinte 
processo simplificado para cálculo dos esforços solicitantes: 
 
 -Sob ação de força aplicada na área com largura b será solicitada apenas uma 
faixa de largura b*w , chamada largura útil, sendo b e b*w determinados segundo a 
direção perpendicular à armadura principal. 
 
 
 
Figura 5.26 - Distribuição da ação [NBR 6118:1978] 
 
 -b*w depende da posição da ação e da seção estudada bem como do esforço 
solicitante que estiver sendo considerado. 
 
 -b é a projeção, no plano médio da laje, da largura da parede, conforme 
mostrado na figura 5.25. 
 
 -quando b for maior ou igual ao vão efetivo l da laje faz-se sempre b*w = b. 
 
 -caso contrário, isto é, quando b for menor do que o vão efetivo l faz-se b*w 
igual aos valores indicados a seguir: 
 
 a. para momentos fletores positivos 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
125
 )b(1)a(2abb 11w ll
l −−+=∗ 
 b. para momentos fletores negativos 
 
 )b(1)a(2abb 11w ll
l −−+=∗ 
 
 c. para forças cortantes 
 
 )b(1abb 1w l−+=
∗ 
 
 d. para momentos fletores em lajes em balanço 
 
 )b(11,5abb 1w l−+=
∗ 
 
 e. para forças cortantes em lajes em balanço 
 
 )b(10,5abb 1w l−+=
∗ 
 
 Sendo l, o menor vão efetivo da laje armada em uma direção. 
 
 
Figura 5.27 - Ação concentrada em laje armada em uma direção [NBR 6118:1978] 
 
 Para forças distribuídas ao longo de todo o vão e em faixas de pequena largura 
(b << l), como é o caso das paredes de alvenaria nos edifícios, o formulário anterior 
pode ser adaptado para o seguinte (Figura 5.27): 
 
 a. para momentos fletores positivos e cortantes: 
 
 l
2
1bw =∗ 
 
 b. para momentos fletores negativos, inclusive em balanços: 
 
 l
4
3bw =∗ 
 
 c. para forças cortantes, em balanços 
 
 l
4
1bw =∗ 
Capítulo 5 - Lajes maciças 126
 
Figura 5. 28 - Adaptação para o caso de paredes 
 
 Evidentemente os valores de b*w são limitados pelas dimensões da laje na outra 
direção, isto é: para cada lado do centro da ação, na direção perpendicular a direção 
principal, a metade da largura útil (0,5 b*w) não pode exceder os limites da laje 
existente (Figura 5.29).
Além disso é necessário que a armadura de distribuição, por metro, seja no 
mínimo a fração (1 - 0,8 b/b*w) da armadura principal. Esta armadura deve se estender 
sobre toda a largura útil, acrescida dos comprimentos de ancoragem. 
 Observe-se que quando b < l a referida fração aproxima-se da unidade, e a 
armadura de distribuição recomendada é praticamente igual a armadura principal, o 
que parece exagerado. Pode-se, nesse caso, reduzir a área da armadura de 
distribuição multiplicando-se o resultado anterior pela relação entre a ação aplicada na 
área reduzida e a ação total, respeitando-se o mínimo estabelecido na NBR 6118:2003, 
ou seja, um quinto da armadura principal ou 0,9 cm2/m. Com relação ao espaçamento 
máximo entre barras da armadura adota-se 33 cm, quando se tratar de armadura na 
direção secundária no caso de laje armada em uma direção. 
 
 
Figura 5.29 - Parede próxima da borda da laje 
 
 Para o cálculo dos esforços solicitantes também, neste caso, se faz a distinção 
da região com consideração da parede (região de área b*w . lx) e região sem 
consideração da parede. 
 Na região onde não se considera a ação da parede, o comportamento é de faixa 
unitária - viga de bw unitário - com mesma vinculação da laje e com ação 
uniformemente distribuída oriunda das ações permanentes e acidental. 
 Na região da largura colaborante (b*w) a ação uniformemente distribuída a 
considerar é dada por: 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
127
 ]/[/ 2
2
mkN
b
mgA
qg
xw
PARPAR
l×
×++ ∗ 
 As armaduras principais devem ser calculadas para os respectivos momentos 
fletores que agem nas várias regiões. O mesmo deve ocorrer com as verificações das 
tensões tangenciais oriundas da força cortante. 
 
 
5.10 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES MACIÇAS 
 
5.10.1 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS 
 
 As lajes maciças, com relação à capacidade de absorver forças cortantes, se 
constituem exceções ao princípio geral de que a segurança dos elementos estruturais 
em concreto armado no estado limite último, qualquer que seja a espécie de 
solicitação, não poderá depender da resistência à tração do concreto. 
 Essas exceções têm fundamento em resultados experimentais observando-se 
que as lajes conseguem mobilizar um esquema de resistência à força cortante que, 
para pequenas intensidades de solicitação, permite dispensar armadura transversal. 
De fato, nas lajes, as fissuras não atravessam toda a largura da seção transversal, e 
sendo em geral mais espaçadas e menos abertas que nas vigas, resultam diagonais 
comprimidas rígidas e engastadas no banzo comprimido. Além disso, pelo fato de se 
ter em geral lajes maciças com pequena espessura, os braços de alavanca (distância 
entre as resultantes de tração nas barras da amadura e a de compressão) são 
pequenos, o que inibe o prolongamento das fissuras e, conseqüentemente enrigece as 
diagonais comprimidas. 
 A NBR 6118:2003 indica os seguintes critérios para verificação da segurança de 
lajes maciças e elementos lineares com bw ≥ 5d submetidos à ação de força cortante. 
 
5.10.1.1 Lajes sem armadura para força cortante 
 
As lajes maciças podem prescindir de armadura transversal para resistir as 
forças de tração oriundas da força cortante, quando a força cortante de cálculo 
obedecer à expressão: 
 
 VSd ≤ VRd1 
 
A força resistente de projeto ao cisalhamento é dada pela expressão: 
 
 VRd1 = [ τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp ] bw d 
 
sendo: 
 
τRd = 0,25 fctd 
 
fctd = fctk, inf / γc 
 
ρ1 = As1 / bw d, não maior que 0,02 
 
 σcp = NSd / Ac 
 
 k é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
 
k = 1 para elementos nos quais 50% da área da armadura inferior não chega 
até o apoio; 
 
 k = 1,6 - d não menor que k = 1, com d em metros, para os demais casos; 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 128
 τrd é a resistência de cálculo à tração do concreto; 
 As1 é a área da armadura de tração que se estende até o apoio não menos que 
um comprimento d + lb,nec além da seção considerada, com lb,nec definido com os 
critérios da NBR 6118:2003 e figura 5.30; 
 
bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d. 
 
b,necl
45° 45°
d
b,necl
SdV
A Ast st
45
°
lb,nec SdV
Seção Considerada
d
A sl
 
Figura 5.30 – Comprimento de ancoragem necessário 
 
 A distribuição longitudinal dessa armadura ao longo da laje deve respeitar as 
condições de deslocamento do diagrama de md com al = 1,5.d. 
 
bw é a largura mínima da seção transversal ao longo da altura útil d; 
 
NSd é a força longitudinal na seção em virtude da protensão ou força axial, 
considerando a força de compressão como positiva. 
 
5.10.1.2 Lajes com armadura para força cortante 
 
Aplicam-se os critérios estabelecidos para vigas de concreto armado. 
A resistência das barras dos estribos pode ser considerada com os seguintes 
valores máximos, sendo permitida interpolação linear: 
 
- fywd = 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; 
 
- fywd = 435 MPa, para lajes com espessura maior que 35 cm. 
 
5.10.2 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS - CÁLCULO DAS ARMADURAS 
 
5.10.2.1 Cálculo das armaduras longitudinais de tração 
 
 As armaduras para as lajes maciças com a finalidade de absorver os momentos 
fletores são calculadas com o mesmo roteiro desenvolvido para vigas. 
 Adota-se, agora, bw igual à unidade, isto é, bw = 100cm para haver 
compatibilidade com as unidades usadas nas tabelas de kc e ks. 
 Conhecendo-se md , determina-se: 
 
d
2
c m
d100k = 
 Escolhendo-se a resistência característica para o concreto e o tipo do aço com o 
qual se vai armar a laje, determina-se ks, na Tabela 5.1. A área necessária de 
armadura é dada por: 
 
 ]m/cm[
d
mkA dss
2= 
 
 A Tabela 5.2 é usada quando há necessidade de armadura dupla na laje, isto é 
quando md . mdlim, ou seja quando a posição relativa da linha neutra βx > βxlim. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
129
Tabela 5.1 - Valores de kc e ks 
Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples 
Armadura simples 
d
2
w
c M
db
=k (cm2/kN) 
d
s
s M
dAk = (cm2/kN) 
Domínio 
 
 
βx=x/d 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 CA-50 CA-60 
0,02 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019 
0,04 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,019 
0,06 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,020 
0,08 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020 
0,10 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,020 
0,12 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,020 
0,14 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,020 
0,16 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,020 
0,18 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,021 
0,20 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,021 
0,22 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,051 0,025 0,021 
0,24 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,051 0,025 0,021 
0,259 4,4 3,6 3,0 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,026 0,021 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
0,28 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,022 
0,30 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,022 
0,32 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,022 
0,34 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,022 
0,36 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,022 
0,38 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,023 
0,40 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,027 0,023 
0,42 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,055 0,028 0,023 
0,44 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,023 
0,46 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,023 
0,48 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,024 
0,50 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,058 0,029 0,024 
0,52 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2
1,1 1,0 0,058 0,029 0,024 
0,54 2,4 2,0 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,029 0,024 
0,56 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,030 0,025 
0,585 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,060 0,030 0,025 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
0,60 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 
0,628 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,062 0,031 
0,64 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 
0,66 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063 
0,68 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063 
0,70 2,0 1,6 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,064 
0,72 2,0 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,065 
0,74 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,065 
0,76 2,0 1,6 1,3 1,1 1,1 0,9 0,8 0,066 
0,772 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,067 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Elaborada por José Samuel Giongo. Observações: 
 As resistências do concreto estão de acordo com a NBR 6118:2003 e NBR 8953:1992. 
 As categorias das barras de aço seguem as indicadas na NBR 7480:1996. 
 Foi adotado diagrama retangular de tensões no concreto, com altura da parte da seção transversal 
comprimida y = 0,8 . x. Os coeficientes de ponderação para os materiais foram adotados: concreto γc = 1,4 
e barras de aço γs = 1,15. Se no dimensionamento da seção transversal for adotado γc ≠ 1,4, deve-se 
multiplicar o numerador da expressão de kc por 1,4/γc. 
 O valor do momento fletor de cálculo é Md = γf . Mk. 
 Condições de dutilidade da NBR 6118:2003 para seções transversais de apoio ou de ligações: 
 βx = x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35MPa; 
 βx = x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35MPa. 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 130
Tabela 5. 2 - Valores de ks2 e ksc 
Dimensionamento de seções retangulares submetidas a flexão simples 
Armadura dupla 
 
 
 Expressões para cálculo dos momentos fletores atuantes nas seções: 
 
 
clim
2
 1d k
b.d
=M ddd MMM 12 −= 21 ssst AAA += 
 
 Expressões para cálculo das áreas das armaduras: 
 
 
d
M
kA dss 11 = 'dss dd
M
kA −=
2
22 '
d
scsc dd
M
kA −=
2 
 
 kclim e ks são correspondentes aos valores de βxlim, indicados na Tabela 1. 
 
 Os coeficientes de ponderação (γs) para as barras de aço foram adotados iguais a 1,15. 
 
 As categorias das barras de aço seguem as indicadas na NBR 7480:1996. 
ks2 = 1/fyd (cm2 / kN) 
Categoria do aço CA-25 CA-50 CA-60 
ks2 0,046 0,023 0,019 
 
ksc = 1/σsc , em cm2/kN, 
coeficiente referente às posições relativas limites da linha neutra (βxlim) 
Categoria do aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
h
'd
 βx,lim.dut 
 
fck > 35MPa 
 
0,40 
βx,lim.dut 
 
fck ≤ 35MPa 
 
0,50 
βx,34 
 
 
 
0,772 
βx,lim.dut 
 
fck > 35MPa 
 
0,40 
βx,lim.dut 
 
fck ≤ 35MPa 
 
0,50 
βx,34 
 
 
 
0,628 
βx,lim.dut 
 
fck > 35MPa
 
0,40 
βx,lim.dut 
 
fck ≤ 35MPa 
 
0,50 
βx,34 
 
 
 
0,585 
0,05 0,046 0,046 0,046 0,023 0,023 0,023 0,019 0,019 0,019 
0,10 0,046 0,046 0,046 0,023 0,023 0,023 0,019 0,019 0,019 
0,15 0,046 0,046 0,046 0,024 0,023 0,023 0,024 0,021 0,019 
0,20 0,046 0,046 0,046 0,036 0,027 0,023 0,036 0,027 0,024 
0,25 0,082 0,046 0,046 0,082 0,041 0,029 0,082 0,041 0,032 
Elaborada por José Samuel Giongo. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
131
5.10.2.2 Verificação das áreas de armaduras longitudinais mínimas e máximas 
 
Considerando que as lajes maciças armadas nas duas direções têm 
mecanismos resistentes diferentes dos apresentados pelos elementos lineares fletidos, 
os valores mínimos das áreas das barras das armaduras positivas podem ser 
reduzidos. 
Para melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão, assim como controlar a 
fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva aderente dados na 
Tabela 5.3. A NBR 6118:2003 aconselha que a armadura deva ser constituída 
preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas. 
 
Tabela 5.3 - Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
 
Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas 
Armaduras negativas ρs ≥ ρmin 
Armaduras positivas de lajes armadas nas 
duas direções ρs ≥ 0,67 ρmin 
Armadura positiva (principal) de lajes 
armadas em uma direção ρs ≥ ρmin 
Armadura positiva (secundária) de lajes 
armadas em uma direção 
As/s ≥ 20 % da armadura principal 
As /s ≥ 0,9 cm2/m 
ρs ≥ 0,5 ρmin 
Sendo: ρs = As / bw . h. = As/bw h. 
 
 Os valores de ρmin são os mesmos considerados para as armaduras 
longitudinais das vigas, conforme Tabela 5.4, sendo que ωmín é a taxa geométrica 
mínima calculada pelo quociente da área geométrica da armadura multiplicada pela 
resistência de escoamento de cálculo da armadura e a área de concreto multiplicada 
pela resistência de cálculo do concreto. 
 
Tabela 5.4 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas 
 
Valores de ρmin*(%) Forma da 
seção fck ωmín 20 25 30 35 40 45 50 
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15.
Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ρmín dado. 
 
O valor máximo da área de armadura de flexão para lajes deve respeitar o limite 
considerado para vigas, sendo que a NBR 6118:2003 indica que a soma das áreas das 
armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que 4% Ac 
calculada na região fora da zona de emendas. 
 A área de armadura mínima para a taxa geométrica mínima (ρs), com ρs dado na 
Tabela 5.2 é dada por: 
 
 ]m/cm[ h15,0hb
100
A 2w
s
mins =ρ= 
 
pois, a largura da laje é igual a 1m = 100cm. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 132
 Lembra-se que na maioria dos casos de lajes não é usual considerar-se armadura 
dupla, isto é área de barras da armadura na região comprimida. Esta situação se faz 
necessária quando o valor da posição relativa da linha neutra é maior que o valor limite 
da posição relativa da linha neutra entre os domínios de deformações 3 e 4. 
 As disposições das barras das armaduras devem ser tais que se garanta o 
posicionamento durante a concretagem. Para isso devem ser usados espaçadores que 
podem ser em argamassa de cimento e areia moldados na obra ou de plásticos. 
 O diâmetro de qualquer das barras destinada a armar as lajes maciças não pode 
ser maior que um oitavo da sua espessura, isto é: 
 
 
8
h≤φ [cm] 
 
As barras da armadura principal de flexão em lajes maciças devem ser 
detalhadas com espaçamento no máximo igual às 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor 
desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. 
A armadura secundária de flexão, ou armadura de distribuição, deve 
corresponder à porcentagem de armadura igual ou superior a 20% da porcentagem da 
armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 
33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das 
barras da armadura principal. Lembra-se que armadura secundária em laje armada em 
duas direções é aquela disposta na direção do vão efetivo maior e que lajes armadas 
em uma direção, isto é quando o vão efetivo maior é maior do que duas vezes a 
medida do voa efetivo menor, necessitam de armadura de distribuição na direção do 
maior vão. 
Nas bordas livres e junto às aberturas das lajes maciças devem ser respeitadas 
as prescrições mínimas indicadas na figura 5.31. 
 
 
 
Figura 5.31 – Detalhes das barras das armaduras em bordas livres e aberturas 
[NBR 6118:2003] 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de
2006 
 
 
133
5.11 DISTRIBUIÇÃO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO 
 
5.11.1 ARMADURAS JUNTO A FACE INFERIOR DA LAJE (POSITIVAS) 
 
 Quando o projeto é realizado com assistência de programa computacional, que 
fornece os diagramas de isomomentos das lajes do pavimento, para fazer o arranjo das 
barras das armaduras basta cobrir os diagramas e promover a correta ancoragem das 
barras. 
 Quando for adotado procedimento que considera as lajes isoladas podem ser 
seguidos os procedimentos a seguir estudados. 
 Os arranjos das barras das armaduras devem ser feitos de modo a cobrir a 
superfície onde atuam os momentos fletores. Como em geral as tabelas para a 
determinação de tais momentos fletores só fornecem valores correspondentes às 
faixas centrais, uma distribuição rigorosa torna-se impraticável. Em vista disso, existem 
processos simplificados para efetuar essa distribuição, e que para os casos correntes, 
resultam bastante eficiente. É o caso do exemplo indicado esquematicamente na 
Figura 5.30, onde se vê uma distribuição que se pode qualificar aceitável, aplicável a 
lajes de grandes vãos (nas faixas laterais ambas as armaduras são reduzidas à 
metade). 
 
 
 
Figura 5.32 - Lajes simplesmente apoiada - momentos e armaduras 
[Andrade, 1993] 
 
 Nos casos de lajes de dimensões comuns, não há necessidade de tal variação 
na armadura. A distribuição, para os vários casos de vinculação, pode ser 
esquematizada como mostra a figura 5.31, sendo que em cada faixa lateral apenas 
uma armadura é reduzida à metade, exceto nos cantos da laje. 
 Deve-se notar que a distribuição das armaduras procura seguir a distribuição 
dos momentos fletores em função da condição de vinculação das lajes. 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
134
 
Figura 5. 32 - Distribuição otimizada de armadura 
[Andrade, 1993] 
 
 As regiões centrais das lajes ficam armadas com As , enquanto as zonas laterais 
ficam armadas com As/2, apenas em uma direção. 
 Em todos os esquemas de armadura já estão incluídos os comprimentos de 
ancoragem das barras da armadura. 
 
5.11.2 ARMADURA JUNTO A FACE SUPERIOR DA LAJE (NEGATIVAS) 
 
 Aqui vale o mesmo comentário feito pelo primeiro parágrafo do item 5.11.1 a 
respeito dos diagramas de isomomentos. Não sendo disponíveis esses diagramas, a 
seguir se estudam procedimentos quando se consideram as lajes isoladas para a 
determinação dos esforços solicitantes. 
 A NBR 6118:2003 não indica condições para se definirem os comprimentos das 
barras ou fios posicionados nas faces superiores das lajes nas regiões entre lajes 
contíguas. Por analogia poder-se-ia adotar os comprimentos indicados para as barras 
posicionadas sobre os apoios (pilares) de lajes sem vigas, que é igual a 0,25 l, sendo l 
o vão efetivo. 
 Análise mais completa é apresentada na NBR 6118:1978 que indica o seguinte 
critério: 
 
 "quando não se determinar o diagrama exato dos momentos fletores negativos, 
em lajes retangulares de edifícios com ação distribuída e q < g as barras da armadura 
principal sobre os apoios deverão estender-se de acordo com o diagrama triangular de 
momentos fletores (considerado já deslocado) de base igual ao valor adiante indicado: 
 
 a. em lajes atuando em duas direções ortogonais: 
 
 - em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três bordas livremente 
apoiadas ou engastadas: 0,25 do menor vão efetivo; 
 
 - nos dois lados de um apoio de laje contínua: 0,25 do maior dos vãos teóricos 
menores das lajes contíguas. 
 
 b. em lajes atuando numa só direção 
 
 - em uma só borda engastada: 0,25 do vão efetivo." 
 
 A Figura 5.32 mostra o procedimento a ser seguido no caso de lajes continuas. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
135
 O diagrama de momento fletores deve ser coberto da mesma forma que para 
vigas, inclusive do ponto de vista de ancoragem. Observa-se, porém, que bastam dois 
tipos de barras. 
 Mesmo nas bordas admitidas simplesmente apoiadas, é conveniente dispor 
alguma armadura negativa com o intuito de limitar as aberturas das fissuras. 
 Quando se tratar de lajes contínuas que no lado comum foram consideradas 
com diferentes condições de apoio (por exemplo, lajes de rigidezes muito diferentes), a 
armadura negativa que vem da laje considerada engastada deve prolongar-se na laje 
vizinha, pelo menos até o ponto onde se possa prever que o momento fletor negativo, 
na direção considerada, mude de sinal. 
 Analisando a figura 5.32 pode-se perceber que a barra número 1, distribuída a 
cada s de espaçamento, perfazendo a área as (cm
2/m), deve ser prolongada de 10.φ 
além do ponto de momento nulo, resultando para comprimento total da barra o valor: 
 
 2 .0,25 l2 + 2 . 10.φ 
 
 É possível absorver o mesmo momento fletor com duas barras de comprimentos 
iguais porém defasadas em relação ao eixo da viga. As posições destas barras se 
repetem a cada 2 . s de espaçamento e os comprimentos das barras resultam 
 
 0,25 l2 + 0,125 l2 + 2 . 10 . φ 
 
 
 
Figura 5. 33 - Distribuição das armaduras negativas 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
136
5.11.3 MOMENTOS VOLVENTES 
 
 Outro ponto a ser observado é o da armadura especial a ser disposta nos cantos 
simplesmente apoiados, cujo objetivo é resistir diretamente aos chamados momentos 
volventes. Quando for o caso, isto é, em situações nas quais o projetista considere 
importante a presença de tal armadura, esta pode ser distribuída como mostra a figura 
5.34. Esclarecendo: os cantos consideram-se suficientemente armados ao se 
detalharem, abrangendo um quadrado de lado igual a 1/5 do lado menor da laje, duas 
armaduras - uma, superior, paralela a diagonal e outra, inferior, a ela perpendicular - 
ambas iguais, por unidade de largura, a armadura do centro da laje na direção mais 
armada. A armadura inferior pode ser substituída por uma armadura em duas direções 
iguais, em cada direção, a armadura do centro da laje na direção mais armada. Esta 
recomendação de armadura de canto não consta da NBR 6118:2003. 
 
 
 
Figura 5. 34 - Armadura para os cantos das lajes apoiadas 
 
5.12 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
 
5.12.1 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA 
 
 A NBR 6118:2003 indica que as verificações dos estados limites de serviço para 
lajes devem ser feitas atendendo as hipóteses do Estádio II, ou seja as seções 
transversais das lajes devem ser consideradas fissuradas. 
 Indica, ainda, que os critérios para as verificações dos estados limites de serviço 
devem ser adotados os mesmos indicados para vigas. 
 
5.12.1.1. Estado limite de formação de fissura 
 
O valor do momento fletor de fissuração pode ser calculado pela expressão 
aproximada 5.19. Ao ser atingido esse momento no elemento estrutural fletido entende-
se que há grande probabilidade de iniciar a abertura de fissura, nos caos em que Mr ≤ 
Md. 
 
 
t
0ct
r y
IfαM ⋅⋅= (5.19)
 
sendo: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
137
α = 1,5 para seções retangulares, no caso de lajes maciças bw = 1m; 
 
yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; 
 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
 
fct é a resistência à tração direta do concreto, adotada igual a fctk,inf para o 
estado limite de formação de fissuras; 
 
ou seja, de acordo com a NBR 6118:2003: 
 
fct = fctk,inf = 0,7 fctm = 0,7 . 0,3 . fck2/3 , em megapascals 
 
 
5.12.1.2. Estado limite de deformação 
 
 Para avaliação do momento de inércia a se considerar no cálculo da flecha 
imediata deve-se verificar o valor do momento fletor de fissuração (Mr). Se ele for 
menor ou igual que o valor do momento fletor de cálculo em
serviço Md,ser a hipótese a 
adotar é a do Estádio I, em caso contrário, ou seja, Md,ser > Mr adotam-se as hipóteses 
para o Estádio II, pois há a possibilidade de se formarem fissuras no elemento 
estrutural fletido. 
O valor do módulo de elasticidade secante Ecs, dado pela expressão 5.20 
sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. 
 
 Ecs = 0,85 . 5.600 fck1/2 (5.20)
 
 
a.- Flecha imediata em vigas (lajes) de concreto armado 
 
Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar a 
expressão de rigidez equivalente dada a seguir : 
 
ccsII
3
a
r
c
3
a
r
cseq I.EI.M
M
1IM
ME)EI( ≤






−+=













 
 
sendo: 
 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
 
III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II, 
calculado com: 
 
 
cs
s
e E
E=α 
 
sendo Es = 210GPa e Ecs (módulo de elasticidade secante do concreto) 
calculado com a expressão 5.20 (NBR 6118:2003); 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
138
Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo 
no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, 
para a combinação de ações considerada nessa avaliação; 
 
Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, calculado com a 
expressão 5.19 (NBR 6118:2003) cujo valor deve ser reduzido à metade no 
caso de utilização de barras lisas; 
 
No cálculo de Mr, fct é a resistência à tração direta do concreto, adotada igual a 
fctm para verificação do estado limite de deformação excessiva, dado por: 
 
 3/2ckctm f3,0f ⋅= (em MPa) 
 
b.- Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado 
 
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função 
da fluência, podem ser calculadas de maneira aproximada pela multiplicação da flecha 
imediata pelo fator αf dado pela expressão: 
 
 
sendo: 
 
 
 
sendo: 
 
ξ é um coeficiente função do tempo, que deve ser calculado pela expressão 
seguinte, se t ≤ 70 meses, ou obtido diretamente na tabela 5.5: 
 
0,32t)t0,996(.0,68(t) =ξ para t ≤ 70 meses 
 
 ξ(t) = 2 para t > 70 meses 
 
 
Tabela 5.5 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo 
 
Tempo (t) 
meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70
Coeficiente 
ξ (t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
 
sendo: 
 
t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
 
ρ′+
ξ∆=α
501f
′
=ρ′
bd
As
)t()t( 0ξ−ξ=ξ∆
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
139
t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. 
No caso de parcelas da carga de longa duração ser aplicadas em idades 
diferentes pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir : 
 
 
sendo: 
 
Pi são as parcelas de carga; 
 
t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses. 
 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por 
(1 + ξf). 
 
5.12.1.3. Estado limite de fissuração 
 
Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa 
aderente (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro de bainhas), que 
controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do 
concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 
7Φ do contorno do elemento da armadura (ver figura 5.35). A armadura de pele Φi da 
viga, na sua zona tracionada, necessária para vigas com altura maior do que 60cm, 
limite a abertura de fissuras na região Acri correspondente. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.35 - Concreto de envolvimento da armadura 
 
O valor da abertura de fissuras, w, determinada para cada parte da região de 
envolvimento, é a menor dentre as obtidas pelas expressões que seguem : 
 
 
 
sendo: σsi, φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento em exame. 
 
sendo: 
 
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi; 
 
i
i0i0
P
tP
t Σ
Σ=
ctm
si
si
si
i
i
f
3
E5,12
w
σσ
η
φ=



 +ρ
σ
η
φ= 454
E5,12
w
risi
si
i
i
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
140
Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra φi considerada; 
 
φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
 
ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de 
bainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri); 
 
σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, 
calculada no Estádio II. 
 
Nos elementos estruturais com protensão, σsi é o acréscimo de tensão, no 
centro de gravidade da armadura, entre o estado limite de descompressão e o 
carregamento considerado. Deve ser calculada no Estádio II considerando toda 
armadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas. 
O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e 
despreza a resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação αe 
entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15. 
η1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, 
devendo ser adotados os valores de η1 para passiva e ηp1 para ativa (ver 9.3.2). 
Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a 
condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de fissuras 
calculada na região das barras mais tracionadas for verificada e exista uma armadura 
lateral que atenda a área mínima de armadura longitudinal de tração. 
O controle da fissuração, sem a verificação da abertura de fissuras, pode ser 
feito sem a avaliação do valor da abertura de fissuras, atendendo a verificação do 
estado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o 
concreto armado e 0,2 mm para o concreto com armaduras ativas). Um elemento 
estrutural (no caso deste item, lajes maciças) deve ser dimensionado respeitando as 
restrições da tabela 5.6 quanto ao diâmetro máximo (φmax) e ao espaçamento máximo 
(smáx) das armaduras, bem como as exigências de cobrimento (item 7) e de armadura 
mínima. A tensão σs deve ser determinada no Estádio II. 
 
Tabela 5.6 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento, 
com barras de alta aderência 
 Valores máximos 
Tensão na barra Concreto sem armaduras ativas 
σs (MPa) φmáx (mm) smáx (cm) 
160 32 30 
200 25 25 
240 16 20 
280 12,5 15 
320 10 10 
360 8 6 
 
 Os limites para as aberturas das fissuras e das flechas são os indicados na NBR 
6118:2003. 
 
5.12.1.1.Exercício 1 
 
 Pretende-se construir a laje da figura com espessura de 9cm. Sabendo-se que 
as ações uniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificar 
essa possibilidade atendendo as condições dos estados limites de serviço. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
141
 
 
Figura 5.36 – Figura do exercício 1 
 
 
5.12.1.2 Exercício 2 
 
 A laje maciça cujas condições de contorno e vãos teóricos estão indicados na 
figura e foi pré-dimensionada com espessura de 8cm. Sabendo-se que as ações 
uniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificar os 
critérios da NBR 6118:2003 com relação aos estados limites últimos. 
 
 
Figura 5. 37 – Figura do exercício 2 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
1.. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:1978 Projeto e 
execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978. 
 
 
2. ASSOCIAÇÃO
BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003. 
 
 
3.. ANDRADE, J.R.L. Estruturas correntes de concreto armado: 1. parte. São Carlos, 
EESC-USP, 1982. 
 
 
4. ISHITANI, H., MARTINS, A. R., PELLEGRINO NETO, J., BITTENCOURT, T. N. 
Estruturas de Concreto I (Notas de Aula). Escola Politécnica - USP ,2000. 
 
5. JIMÉNEZ MONTOYA, P., GARCIA MESEGUER, A., MORÁN CABRÉ, F. Hormigon 
Armado. 14. ed. Barcelona: Gustavo Gili, 2000. 2v. 
 
 
6. PINHEIRO, L.M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos:EESC-USP, 1986. 
 
 
7. RIOS, P.M. Lajes retangulares de edifícios: associação do cálculo elástico com a 
teoria das charneiras plásticas. São Carlos, 1991. Dissertação (Mestrado) - Escola 
de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
142
 
8. BAREŠ. Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona, Gustavo Gili. 
538p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
143
6. EXEMPLO DE PROJETO DE PAVIMENTO DE EDIFÍCIO 
 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
 
 Este exemplo foi elaborado pelo Engenheiro Carlos Roberto Gutiérrez Reiner, 
durante o desenvolvimento de pesquisa com bolsa de monitoria na EESC - USP, ano 
de 1990, com orientação do autor. Para esta edição o trabalho foi revisto e 
complementado com as indicações da NBR 6118:2003. 
 Com este exemplo pretende-se sedimentar os conceitos expostos nos textos dos 
capítulos anteriores. Aqui será tratado o projeto de um pavimento - tipo de edifício. 
Procurou-se desenvolvê-lo de modo mais didático possível, com a finalidade de 
apresentar a rotina para os projetos da forma estrutural do pavimento - tipo e das lajes 
maciças. 
 A forma estrutural é projetada em função das dimensões indicadas na planta de 
arquitetura do pavimento - tipo proposto. 
 O edifício destina-se a salas para escritórios, sendo que cada conjunto possui três 
salas, dois banheiros e uma copa. Tem também um terraço no qual o acesso de 
pessoas é possível. A figura 6.1 apresenta a distribuição arquitetônica dos ambientes, 
bem como as medidas indicadas para cada compartimento. 
 
 
Figura 6. 1 - Planta arquitetônica do pavimento - tipo 
 
C
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 144
 Os demais equipamentos necessários ao funcionamento do edifício não estão 
mostrados no desenho da planta arquitetônica do pavimento - tipo, sem prejuízo do 
aprendizado. Lembra-se que os edifícios possuem áreas de circulação, elevadores, 
escada com respectivo acesso e proteção em caso de incêndio, garagens e etc. 
 
6.2 ESCOLHA DA FORMA ESTRUTURAL 
 
 A figura 6.2 mostra a localização dos pilares e das vigas com conseqüente 
definição geométrica das lajes. Nota-se que os pilares ficam embutidos nas paredes de 
alvenaria externas, pois elas têm espessuras de 23cm e os pilares têm as menores 
dimensões iguais a 20cm. As espessuras das vigas (bw) são de 11cm, com isto elas 
ficam embutidas nas paredes de meio tijolo que são as paredes internas. 
 Pode-se notar, comparando as figuras 6.1 e 6.2, que as paredes que separam os 
banheiros e estes da copa ficam apoiadas diretamente sobre a laje L02. As demais 
paredes se apóiam sobre as vigas. A laje L03 que recebe as ações do terraço tem a 
borda esquerda livre, isto é, não há viga de apoio junto a esta borda. E, faceando com 
esta borda, há uma mureta de 1,0m de altura destinada a servir como parapeito. 
 Todas as vigas são normais, pois, as suas faces superiores coincidem com as 
faces superiores das lajes. 
 
 
Figura 6. 2 - Posição dos pilares, vigas e lajes 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
145
 A laje L02 foi considerada rebaixada para permitir a distribuição de dutos 
hidráulicos, sendo que posteriormente receberá enchimento de tijolos furados 
justapostos para permitir a igualdade dos níveis dos pisos acabados dos ambientes. 
Atualmente é preferível prever forro falso no banheiro do andar inferior. 
 Para se elaborar o desenho da localização dos pilares, vigas e lajes, o observador 
foi colocado no andar inferior olhando para cima, isto é, olhando para o andar para o 
qual se quer mostrar a forma estrutural. Lembra-se que no caso do desenho da planta 
arquitetônica do andar - tipo o observador está posicionado no próprio andar e olhando 
para baixo. 
 
6.3 VERIFICAÇÃO DAS DIMENSÕES INDICADAS NA PLANTA ARQUITETÔNICA 
 
 Antes de se definirem as medidas da forma estrutural, isto é, as distâncias entre 
as faces das vigas, é conveniente verificar se as dimensões fornecidas na planta 
arquitetônica estão corretas. 
 As alvenarias são constituídas de tijolos furados de 10cm de espessura, 20cm de 
comprimento e 20cm de altura. Os revestimentos de argamassa das paredes são de 
1,5cm em cada face. Desse modo as paredes de um tijolo têm espessuras de 23cm e 
as de meio tijolo têm 13cm. 
 Analisando as dimensões dos ambientes arquitetônicos vistos no corte AA' (figura 
6.3) nota-se que a dimensão externa do edifício é de 792cm. Fazendo-se o somatório 
das dimensões das paredes e dos compartimentos deve-se chegar ao mesmo valor. 
 
 
Figura 6.3 - Conferência das medidas segundo o corte AA' 
 
 Têm-se as seguintes dimensões, seguindo-se da esquerda para a direita, no corte 
AA': 
 
 13 + 90 + 23 + 280 + 13 + 100 + 13 + 247 + 13 = 792cm 
 
 Nota-se, portanto, que as medidas indicadas estão corretas. O mesmo 
procedimento deve ser feito para os demais cortes. Caso não se verificasse a 
igualdade, procurar-se-ia determinar qual medida está incorreta. Não sendo possível 
detectar o erro, deve-se entrar em contato com o arquiteto projetista e consultá-lo 
sobre as medidas corretas. 
 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 146
6.4 CÁLCULO DAS DISTÂNCIAS ENTRE AS FACES DAS VIGAS 
 
 Como foi visto as espessuras das vigas são de 11cm e elas ficam embutidas 
dentro das paredes. As vigas internas têm seu plano médio coincidindo com o plano 
médio das paredes e, as externas têm as suas faces externas posicionadas junto à 
face externa das paredes, como pode ser observado na figura 6.4. 
 
 
 
Figura 6.4 - Corte BB' - posições de vigas, lajes e paredes 
 
 Para se determinar as distâncias entre as faces das vigas, quando estas têm seus 
planos médios coincidindo com os planos médios das paredes, basta somar às 
distâncias entre as paredes, fornecidas na planta arquitetônica, as respectivas 
espessuras dos revestimentos de argamassa. No caso de não haver esta coincidência 
há que se analisar cada caso como se pode notar na figura 6.4. 
 Na figura 6.4 estão mostradas as posições das vigas, vistas no corte BB' e as 
respectivas posições das paredes. Pode-se notar que é um simples problema 
geométrico. 
 As distâncias calculadas no corte BB' são transferidas para o desenho da forma 
estrutural do pavimento - tipo mostrado na figura 6.6. 
 Na figura 6.4 nota-se que os revestimentos das vigas internas têm 1,0cm de 
espessura e das paredes respaldadas junto a elas têm 1,5cm. No caso da laje L03, 
para se determinar a largura livre da laje deve-se considerar a distância da face externa 
da laje até a face externa da viga V04. 
 O mesmo procedimento é feito para as demais distâncias entre faces de vigas, 
como por exemplo, as vistas pelo corte CC', como está mostrado na figura 6.5. 
 A parede de meio tijolo que separa os dois banheiros está mostrada na figura 6.5, 
inclusive com as medidas internas dos ambientes para se perceber que a distância 
entre as faces das vigas V01 e V02 são determinadas considerando-se as medidas 
indicadas no projeto arquitetônico.
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
147
 
 
Figura 6.5 - Corte CC' - posições de vigas, lajes e paredes 
 
 Como mostra o desenho da forma estrutural do pavimento - tipo na figura 6.6, 
pode-se notar que as posições das vigas estão compatíveis com as posições das 
paredes de alvenaria, ficando nelas embutidas, portanto não ficarão visíveis quando a 
obra estiver pronta. Deve ser lembrado que na região dos banheiros há necessidade de 
se prever o posicionamento de dutos de 100mm de diâmetro para atender ao projeto 
hidráulico. Por isto optou-se por adotar vigas, junto às paredes externas, com 11cm de 
espessura, podendo posicionar os dutos faceando com as vigas. Os pilares foram pré-
dimensionados com a menor dimensão de 20cm e a maior com 50cm em função do 
número de andares e, para pré-dimensionamento, foi usado o processo das áreas de 
influência. 
 As vigas foram todas adotadas com 11cm de espessura e pré-dimensionadas 
com 50cm de altura, conforme indicado na figura 6.9. É conveniente, sempre que 
possível, adotar o menor número de variações de altura de vigas e de lajes para um 
pavimento - tipo. Com isto padronizam-se as fôrmas e os cimbramentos. 
 Com as dimensões da forma estrutural do pavimento - tipo já definidas, pode ser 
iniciado o dimensionamento das lajes maciças. 
 A laje L02 está submetida à ação das paredes de alvenaria que separam os dois 
banheiros e estes da circulação e da copa. 
 Neste exemplo, contrariando o que é feito nos projetos usuais, optou-se por fazer 
a laje L02 rebaixada, para permitir a instalação dos dutos de esgoto, por motivo 
exclusivamente didático. 
 Assim, para a laje L02 deve-se considerar uma ação permanente uniformemente 
distribuída determinada em função do peso próprio do enchimento. Para este exemplo 
foi adotado enchimento de tijolos maciços. 
 A laje L03, como será visto, foi considerada armada em uma direção, em função 
da relação entre os vãos e foi considerada em balanço. 
 O dimensionamento das lajes maciças segue a rotina vista no capítulo 5. São 
feitos os cálculos dos vãos efetivos, das espessuras das lajes, das ações atuantes, dos 
esforços solicitantes, da verificação da resistência à força cortante, cálculo das áreas 
das armaduras e o detalhamento final. 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 148
 
Figura 6.6 - Forma do pavimento-tipo - distâncias entre as faces das vigas 
 
6.5 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES 
 
6.5.1 VINCULAÇÕES, VÃOS EFETIVOS, ESPESSURAS DAS LAJES 
 
 A NBR 6118:2003 não indica nenhum critério para a avaliação das alturas de 
elementos estruturais fletidos na fase de pré-dimensionamento. Portanto, o caminho é 
adotar dimensões compatíveis conforme as sugeridas no capítulo 3 e, depois dos 
elementos dimensionados, verificar os estados limites de serviço. Se verificadas as 
flechas e aberturas de fissuras limites, então as dimensões adotadas na fase de pré-
dimensionamento foram adequadas. 
 Para a estimativa das espessuras das lajes foi usado o critério indicado por 
Ishitani et al. (2001), conforme estudado no capítulo 5, que sugere que as espessuras 
das lajes maciças podem ser pré-dimensionadas, considerando-as iguais a h = 2,5% lx, 
sendo lx a medida do menor vão efetivo. 
 A figura 6.7 apresenta as condições de vinculação adotadas para as lajes. A laje 
L03 em balanço, embora tenha duas vigas posicionadas paralelamente ao menor vão, 
o vão maior é muito maior que o vão menor, e foi considerada engastada nas lajes L01 
e na L04. Por suas vezes as lajes L01 e L04 foram consideradas apoiadas na viga V04; 
elas não podem ser consideradas engastadas na L03, por esta ser em balanço. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
149
 A laje L02 foi considerada rebaixada, portanto a condição de vinculação é de laje 
isolada e, assim, simplesmente apoiada nas vigas do contorno. As lajes L01 e L04, no 
lado comum podem ser consideradas engastadas entre si, pois há a possibilidade de 
virem a ter espessuras próximas, por tratar-se de lajes com vão efetivos de dimensões 
e de ações semelhantes. O mesmo ocorre entre as lajes L04 e L05. 
 Na figura 6.7 estão indicados os valores dos vãos efetivos que foram 
considerados como sendo as distâncias entre os centros dos vãos das vigas nas 
direções consideradas. 
 Os vão efetivos das lajes podem ser calculados com os critérios da NBR 
6118:2003 e apresentados no item 5.5 deste trabalho. 
 Prática corrente tem sido adotar laje engastada em outra laje quando as alturas 
forem iguais ou próximas; considerando-se como espessuras próximas quando a 
diferença entre elas for de até 3cm. Quando a diferença for maior, considera-se a laje 
de menor espessura engastada na de maior espessura e, a de maior espessura é 
considerada apoiada na viga, isto no lado comum. 
 
 
Figura 6.7 - Vãos efetivos e condições de vinculação das lajes 
 
 A tabela 6.1 foi organizada para otimizar os cálculos das espessuras das lajes do 
projeto. 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 150
Tabela 6.1 - Cálculo das espessuras das lajes 
 
Laje Tipo ℓy (cm) 
ℓx 
(cm) λ x100
5,2 l h(cm) 
adotada
d 
(cm) 
L01 2A 337,5 302,5 1,12 7,56 8 6,5 
L02 1 372,5 337,5 1,10 8,44 10 8,5 
L03 9 710,0 108,5 0,15 2,71 8 6,5 
L04 3 372,5 302,5 1,23 7,56 8 6,5 
L05 2A 372,5 372,5 1,00 9,31 8 6,5 
 
 A NBR 6118:2003 indica espessura mínima de 7cm para lajes de piso. A altura 
útil (d) igual a 6,5cm foi calculada a partir dos valores da tabela 3.2, deste texto, com a 
condição de que quando houver adequado controle de qualidade e rígidos limites de 
tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotada uma 
redução de 5mm no valor do cobrimento. A exigência de controle rigoroso deve ser 
escrita claramente nos desenhos do projeto. 
 Na avaliação da altura útil (d) deve ser consideradas a espessura do cobrimento 
(1,5cm) e metade do diâmetro das barras da armadura que, por ser esperado valor 
pequeno, não foi considerado neste projeto. Assim, a altura útil foi avaliada por: 
 
 d = h - 1,5cm 
 
 As faces superiores das lajes L03 e L01 e L04 não são coincidentes; a laje L03 
deve ser rebaixada, em relação às outras de no mínimo 2cm, para impedir a entrada de 
água nos ambientes internos. A figura 6.8 mostra este detalhe. 
 
 
 
Figura 6.8 - Diferença de nível entre as lajes L03 e L01 e L04 
 
6.5.2 DESENHO DA FORMA ESTRUTURAL 
 
 A forma estrutural do pavimento - tipo já pode ser desenhada, nesta fase de 
anteprojeto, pois já se dispõem dos pré-dimensionamentos dos elementos estruturais. 
Terá caráter de projeto quando todas as dimensões dos elementos estruturais - lajes, 
vigas e pilares tiverem as suas seguranças com relação aos estados limites últimos e 
de serviço verificados. 
 Na figura 6.9 os elementos estruturais estão convenientemente identificados, 
segundo as indicações da NBR 7191:1982 e, apresentam cortes verticais que mostram 
os níveis das lajes. Os cortes foram rebatidos no plano horizontal do pavimento-tipo, 
respeitando-se a convenção que o observador vê o desenho de frente ou pela direita. 
Os cortes verticais podem ser mostrados fora do desenho da forma em planta, para 
isto se faz necessário transportá-los e rebatê-los no plano horizontal (da folha de 
desenho). 
 No desenho da forma estrutural do pavimento - tipo precisa constar todas as 
informações que possibilitem a execução da estrutura na obra. Assim, os elementos 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
151
estruturais devem ter as suas dimensões indicadas claramente. Desenhos adicionais 
de detalhes particulares
devem ser feitos se necessários. 
 
 
 
Figura 6. 9 - Forma estrutural do pavimento - tipo 
 
 
6.6 AÇÕES NAS LAJES 
 
6.6.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS 
 
 As ações permanentes diretas são as constituídas pelos pesos próprios da laje e 
dos materiais de revestimentos. Sobre a laje deve haver uma camada de regularização 
em argamassa de cimento e areia que serve também para assentamentos dos tacos de 
madeira de ipê róseo, adotado neste projeto. Na face inferior da laje deve-se ter um 
revestimento em argamassa de cal, cimento e areia que receberá massa corrida e 
pintura. A figura 6.10 apresenta um corte da laje com estas indicações desenhadas 
com as espessuras adotadas. 
 Os pesos próprios dos materiais que compõem a laje quando acabada podem ser 
determinados multiplicando-se as suas espessuras pelos respectivos pesos específicos 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 152
aparentes, indicados na NBR 6120:1980 ou convenientemente calculados e 
apresentados no capítulo 2. 
 
 
 
Figura 6. 10 - Corte da laje - materiais de acabamento 
 
 No caso do exemplo, em kN / m2 , têm-se: 
 
 peso próprio da laje: 0,080 . 25 = 2,000 2,000 
 
 revestimentos: 
 
 argamassa de regularização: 0,025 . 21 = 0,525 
 
 piso - ipê róseo : 0,020 . 10 = 0,200 
 
 revestimento do forro: 0,015 . 19 = 0,285 1,010 
 
 
6.6.2 AÇÃO RELATIVA AO ENCHIMENTO NA LAJE L02 
 
 
 A figura 6.11 mostra o detalhe do enchimento em tijolos furados justapostos que 
receberão uma camada de argamassa de regularização de 5cm, pois os tijolos têm 
20cm de altura. 
 O peso próprio do enchimento, por unidade de área, resulta: 
 
 gpp,tij = 0,20 . 13 = 2,60 
 
 gpp,arg = 0,05 . 19 = 0,95 
 
 genchimento = 3,55 kN/m2 
 
 
 
Figura 6. 11 - Ação relativa ao enchimento da laje L02 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
153
6.6.3 AÇÃO DAS PAREDES NA LAJE L02 
 
 Atuando na laje L02 há a ação das paredes de alvenaria de meio tijolo furado que 
compõem os ambientes arquitetônicos indicados na figura 6.1. Como a laje L02 é 
considerada armada em duas direções é possível considerar as ações das alvenarias 
como uma ação suposta uniformemente distribuída, por unidade de área, na laje L02. 
Para isto basta determinar a área das paredes, multiplicá-la pelo peso próprio de um 
metro quadrado de alvenaria pronta (ver tabela 2.2) para se obter a resultante do 
carregamento, que é dividido pelos vãos efetivos da laje. 
 Assim tem-se: 
 
 ( ) ( )
3,3753,725
2,20,082,772,473,15g alv.pp ⋅
⋅−⋅+= 
 
 2alv.pp 2,65kN/mg = 
 
 Para determinação desta ação não foram descontados os vãos das portas que 
separam os ambientes. 
 
6.6.4 AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS 
 
 A NBR 6120:1980, conforme pode ser visto no capítulo 2, indica que para 
escritórios deve ser considerada uma ação variável normal de 2 kN/m2 . 
 A tabela 6.2 apresenta as ações calculadas para cada laje. 
 
Tabela 6.2 - Ações atuantes nas lajes 
 
 
h 
 
Peso 
Próprio 
 
 Piso 
 + 
Revesti- 
mento 
 
 
Alvena- 
ria 
 
 
Outras 
Ações 
Perma-
nentes 
Diretas 
(g) 
Ações 
Variá- 
veis 
Normais 
(q) 
 
 
Total 
 
 
 
LAJE 
 
cm 
 
KN/m2 
 
kN/m2 
 
kN/m2 
 
kN/m2 
 
kN/m2 
 
kN/m2 
 
kN/m2 
 
 
 
Obs. 
L01 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0 
L02 10 2,5 1,0 2,65 3,55 9,70 2,0 11,7 
L03 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0 
L04 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0 
L05 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0 
 
6.6.5 AÇÕES ATUANTES NA LAJE L03 
 
 Há que se considerar na laje L03, além das ações uniformemente distribuídas, 
ação linearmente distribuída em virtude do peso próprio da mureta de 1,0 m de altura 
construída em alvenaria de meio tijolo, dado pelo produto da altura da mureta pelo 
peso de parede por unidade de área, resultando: 
 
 gpp,mur = 1,0 . 2,2 = 2,2 kN/m 
 
 Devem ser consideradas duas ações variáveis normais; uma horizontal de 
0,8kN/m e uma vertical de 2,0kN/m, com a finalidade de levarem em conta a 
possibilidade de pessoas apoiadas no parapeito, conforme indica a NBR 6120:1980. 
 A figura 6.12 mostra as ações consideradas na laje L03. 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 154
 
Figura 6. 12 - Ações na laje L03 
 
6.7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 Os esforços solicitantes podem ser calculados com as planilhas de cálculo 
mostradas nas figuras 6.14 - reações de apoio e 6.15 - momentos fletores. 
 As verificações de segurança estrutural das lajes são feitas considerando os 
Estados Limites Últimos e de Serviço. Os coeficientes de ponderação majoração das 
ações permanentes e variáveis podem não ser iguais, pois dependem das 
combinações a serem consideradas. Os esforços solicitantes devem, então, serem 
calculados separadamente para as ações permanentes e variáveis. Neste projeto 
assim se procedeu no cálculo dos momentos fletores, pois os coeficientes de 
ponderação das ações para as verificações dos Estados Limites de Serviço são 
diferentes. 
 Portanto, na figura 6.15 – momentos fletores, indicam-se os valores dos 
momentos fletores relativos às ações permanentes e variáveis somadas e os 
momentos fletores calculados para estas ações consideradas separadamente. 
 Para ambos as determinações dos valores das forças cortantes e momentos 
fletores nas lajes consideradas isolada utilizaram-se as tabelas para cálculo dos 
esforços solicitantes em lajes retangulares, submetidas à ação uniformemente 
distribuídas, elaboradas por Pinheiro [1993]. Exceção ao uso das tabelas fica para a 
laje L03 que é uma laje armada em uma direção e está, além disto, submetida a uma 
ação linearmente distribuída no contorno que atua juntamente com a ação 
uniformemente distribuída por unidade de área. 
 Como a laje L03, embora tenha duas vigas paralelas ao menor lado e, seja uma 
laje tipo 9 (ver Pinheiro, 1993) a relação entre o vão perpendicular ao lado engastado e 
o vão paralelo a este é menor do que 0,3, indicando que ela é uma laje armada na 
direção do menor vão e, mobiliza momento fletor que traciona a face superior. 
 Considerando as ações uniformemente distribuídas na laje L03 - g = 3,0 kN/m2 e 
g = 2,0 kN/m2 (ver tabela 6.2) e as linearmente distribuídas indicadas na figura 6.12, 
podem ser calculados os esforços solicitantes atuantes na direção do menor vão, 
resultando: 
 
 momento fletor: 
 
 m'x = m'x,gk + m'x,qk 
 
 m'x = [3,0 . 1,0852/ 2 + 2,2 . 1,035] + [2,0 . 1,0852/ 2 + 2,0 . 1,035 + 0,8 . 1,00] 
 
 m'x = 4,04 + 4,04 
 
 m'x = 8,08 kN.m / m 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
155
 força cortante: 
 
 v'x = 5,0 . 1,085 + 2,2 + 2,0 = 9,63 kN / m 
 
 As reações de apoio da laje L03 junto das vigas V01 e V03 podem ser calculadas 
pelo processo das áreas, resultando um triângulo conforme indicado na figura 6.13. A 
reação vy na laje resulta: 
 
 vy = [ ( 1,085 . 0,625 ) / 2 ] . 5,0 / 1,085 = 1,56 kN/m 
 
 
 
Figura 6. 13 - Reação vy na laje L03 
 
 Os momentos fletores negativos m'x = m'x,gk + m'x,qk atuantes nas lajes L01 e L04; 
L04 e L05 foram compatibilizados com as indicações do item 5.8.4, deste trabalho, 
lembrando que é adotado o maior valor entre a média dos momentos fletores ou 0,8 
vez o maior deles. Os momentos fletores negativos compatibilizados substituem os 
momentos fletores calculados para as lajes supostas isoladas e, com eles se 
determinam as áreas das armaduras posicionadas nas faces superiores das lajes.
Os 
momentos fletores positivos também foram compatibilizados toda vez que eles 
sofreram acréscimos em função da diminuição do momento fletor negativo. 
 As reações de apoio indicadas na figura 6.14 atuantes nas lajes provocam 
tensões tangenciais de máxima intensidade nas bordas das lajes. A NBR 6118:2003 
indica que para não haver armadura transversal (estribos) na laje a força cortante de 
cálculo (VSd) deve ser menor do que a força cortante resistente do concreto (VRd1), 
conforme estudado no capítulo 5. 
 As reações de apoio serão, em uma fase posterior do projeto, as ações atuantes 
nas vigas, além das ações de peso próprio e de paredes se assim o projeto 
arquitetônico indicar. 
 Os cálculos dos esforços solicitantes - reações de apoio e momentos fletores nas 
lajes isoladas, podem ser feitos por meio de tabelas como alternativa às planilhas de 
cálculo, mostradas nas figuras 6.14 e 6.15. 
 Optou-se por apresentar aqui apenas os cálculos usando os esquemas 
geométricos, que são cópias em traço unifilar da forma estrutural do pavimento - tipo, 
por serem de fácil entendimento e por ficarem mais visíveis os planos de ação dos 
momentos fletores e as bordas onde atuam as reações de apoio das lajes. 
 Na figura 6.14 são calculadas as reações de apoio das lajes e na figura 6.15 os 
momentos fletores iniciais e os finais já compatibilizados. 
 Nessas figuras, nas intersecções dos eixos coordenados anotam-se as ações 
uniformemente distribuídas nas lajes, escrevem-se os coeficientes com os quais se 
calculam as forças cortantes e os momentos fletores, determinados nas tabelas de 
PINHEIRO [1993] e BARES [1970], e de acordo com os fatores de multiplicação 
indicados efetuam-se os cálculos dos esforços solicitantes. De acordo com as 
convenções já estudadas no capítulo 5, os esforços solicitantes são anotados como 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 156
indicado nas figuras 6.14 e 6.15. Ambas apresentam, nas partes inferiores das páginas, 
as indicações do modo como os esforços são calculados e convenientemente anotados 
no desenho da própria laje. 
 
 
 
Figura 6. 14 - Reações de apoio atuantes nas lajes [Andrade, 1982] 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
157
 
 
 
Figura 6. 15 - Momentos fletores atuantes nas lajes 
 [Andrade, 1982] 
 
6.8 CÁLCULO E DETALHAMENTO DAS ÁREAS DAS ARMADURAS 
 
 As determinações das áreas das seções transversais das barras das armaduras 
foram feitas com as indicações do item 5.10.2, deste trabalho. Foram usadas as tabela 
5.1, capítulo 5, e, para facilitar o cálculo, organizaram-se as tabelas 6.3 e 6.4 para 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 158
determinação das armaduras positivas - posicionadas junto à face inferior e das 
armaduras negativas - posicionadas junto à face superior das lajes, respectivamente. 
 Neste exemplo considerou-se concreto C20 e aço categoria CA-50. 
 As áreas de armaduras mínimas foram respeitadas, lembrando-se que elas foram 
adotadas iguais a 0,15% . bw . h, ou seja, 0,15 . h, por considerar-se bw igual a 100cm, 
conforme indicado na NBR 6118:2003 e tabela 5.3 deste texto. 
 Valores limites para os espaçamentos entre as barras (2h ou 20cm, o menor 
valor) também foram considerados. 
 A NBR 6118:2003 indica, conforme indicado na tabela 5.3 que a área das barras 
da armadura secundária ou de distribuição deve ter taxa geométrica ρs ≥ 20 % da área 
das barras da armadura principal e, também, ρs ≥ 0,5 ρmin e, ainda a área das barras da 
armadura secundária deve atender as /s ≥ 0,9 cm2/m. Entre as três indicações se adota 
a que fornecer maior área de armadura secundária. 
 Os detalhamentos das armaduras são apresentados na figura 6.16, onde pode 
ser visto, para cada tipo de barra a sua quantidade, comprimento parcial e 
comprimento final. Os comprimentos das barras da armadura negativa foram 
determinados com os critérios indicados no item 5.11.2, deste trabalho. 
 As verificações das ancoragens nos apoios internos e de extremidade seguiram 
as indicações da NBR 6118:2003 e já analisadas em tópico já lecionado na disciplina. 
 Quando se determina o comprimento da armadura negativa do balanço deve-se 
lembrar que ele é calculado dando-se ao diagrama de momento fletor um 
deslocamento al, que no caso de lajes é de 1,5 d, segundo indica a NBR 6118:2003, e 
calcula-se o comprimento de ancoragem que deve ser considerado para as barras. O 
comprimento parcial das barras, medido a partir do centro da viga V04 é da ordem de 
1,5 vez o vão efetivo do balanço. 
 
 
Tabela 6. 3 - Armaduras junto à face inferior da laje 
ADOTADO 
LAJE 
h 
 
cm 
d 
 
Cm 
mk 
 
kN.cm/m
md 
 
kN.cm/m 
kc 
 
cm2/kN
ks 
 
cm2/kN
as,cal 
 
cm2/m 
φ 
mm 
s 
cm 
as 
cm2/m 
 
OBS.
L01 8 6,5 174 244 17,3 0,024 0,90 5 15 1,33 as min
 191 268 15,8 0,024 0,99 5 15 1,33 as min
L02 10 8,5 666 893 7,8 0,024 2,63 6,3 12 2,62 
 569 797 9,1 0,024 2,25 6,3 14 2,25 
L04 8 6,5 172 241 24,6 0,024 0,89 5 15 1,33 aS min
 119 167 35,5 0,023 0,59 5 15 1,33 as min
L05 8 6,5 291 407 14,5 0,024 1,50 5 14 1,43 -5%
 202 283 20,9 0,024 1,04 5 14 1,43 as min
 
 
Tabela 6.4 - Armaduras junto à face superior da laje 
ADOTADO 
LAJE 
h 
 
cm 
d 
 
cm 
mk 
 
kN.cm/
m 
md 
 
kN.cm/m 
kc 
 
cm2/kN
ks 
 
cm2/kN
as,cal 
 
cm2/m 
φ 
mm 
s 
cm 
as 
cm2/m 
 
OBS
. 
L03 8 6,5 808 1.131 3,7 0,026 4,52 8 11 4,55 
L01/L04 8 6,5 390 546 7,7 0,024 2,02 6,3 15 2,10 
L04/L05 8 6,5 494 692 6,7 0,025 2,66 8 18 2,78 
 
 A figura 6.16 apresenta o detalhamento das armaduras posicionadas junto à 
face inferior da laje (armaduras positivas). São mostradas, para cada direção da laje, 
apenas uma barra representativa do conjunto. Essa figura representa a vista vertical da 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
159
barra, rebatida no plano horizontal e em verdadeira grandeza. As setas indicam que as 
barras em questão devem ser posicionadas entre as faces das vigas indicadas por 
elas. Por exemplo, a barra N1 deve ser distribuída na laje LO2, na direção y, 
posicionadas uma a cada 14cm, entre as faces das vigas V01 e V02. A quantidade de 
barras, que o armador deve cortar e desenhar de acordo com o indicado na figura, é 
calculada tomando-se a distância entre as faces das vigas V01 e V02, que é de 
326,5cm, dividir por 10, que é o espaçamento entre as barras, e subtrair a unidade, 
pois as barras próximas das vigas V01 e V02 ficam afastadas destas 10cm. 
 Esse procedimento deve ser repetido para todas as barras do pavimento. Os 
ganchos nas extremidades das barras, quando se tratar de apoios de extremidade, 
precisam ter a medida da projeção no plano vertical igual à altura da laje (h) subtraída 
de duas vezes a espessura do cobrimento (superior e inferior). 
 Além das indicações do número da barra, devem ser indicadas: a quantidade de 
barras, o diâmetro, o espaçamento entre as barras e comprimento total. Os 
comprimentos parciais servem para o armador dobrar as barras na bancada de serviço. 
O respectivo desenho indica o correto posicionamento da barra na fôrma, como pode 
ser visto para a barra N4, onde as distâncias de 15cm das faces internas das vigas V04 
e V05 devem ser respeitados, pois envolvem critérios de ancoragem nos apoios 
extremos e verificados de acordo com as indicações da NBR 6118:2003. 
 
 
 
Figura 6. 16 - Detalhamento das armaduras junto à face inferior 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 160
 A figura 6.17 apresenta o detalhamento das barras das armaduras posicionadas 
junto à face superior da
laje (armaduras negativas). As armaduras principais são 
aquelas posicionadas perpendicularmente as vigas. Nas direções paralelas às vigas 
mostram-se as barras de distribuição (armaduras secundárias), cujas áreas são iguais 
a 1/5 da área da armadura principal, e, neste exemplo de projeto, porém não menor 
que 0,9 cm2/m, conforme indicado na NBR 6118:2003. As barras das armaduras de 
distribuição têm também a finalidade de posicionar corretamente as barras das 
armaduras negativas. 
 As barras devem ser adequadamente desenhadas para o bom entendimento 
dos detalhes e correta execução na obra. Assim, seguiram-se as mesmas indicações 
vistas nos desenhos das armaduras positivas. Lembra-se que aquelas barras da 
armadura ficam posicionadas junto à face superior da laje. 
 As armaduras inferiores devem ficar afastadas da face da fôrma da laje por 
espaçadores moldados em argamassa, aos quais são incorporados segmentos de 
arame recozido para poder amarrar os espaçadores às barras. As suas espessuras são 
iguais aos cobrimentos requeridos para as armaduras. É possível utilizarem 
espaçadores plásticos industrializados. 
 As armaduras negativas são posicionadas por espaçadores feitos com sobras 
de barras, usualmente chamados de caranguejos. 
 Durante o lançamento do concreto, cuidados devem ser tomados para evitar que 
as armaduras negativas mudem de posição, em virtude do lançamento do concreto e 
do movimento de operários no local. 
 
 
Figura 6. 17 - Detalhamento das armaduras junto à face superior. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
161
 A tabela 6.5 - Tabela de armaduras, ou Tabela de "ferros" como conhecida por 
alguns, tem a finalidade de ordenar, pelos números indicados nos desenhos, as barras 
das armaduras, mostrando os diâmetros, as quantidades e os comprimentos - unitários 
e total. Os comprimentos unitários são os comprimentos retificados das barras e os 
totais são os produtos da quantidade de barras pelos comprimentos unitários. Essa 
tabela tem a finalidade de orientar o armador sobre os cortes das barras, que são feitos 
independentemente dos detalhes de dobramento e posicionamento das barras nas 
fôrmas. As barras são cortadas como indicado na tabela e, em outra operação, 
dobradas de acordo com os desenhos indicados nas figuras 6.16 e 6.17. São, 
posteriormente, levadas para as fôrmas das lajes do pavimento-tipo e ai posicionadas 
conforme desenhos para posterior concretagem. 
 A tabela 6.6 - Resumo de armaduras, neste caso para o aço categoria CA-50, 
deve indicar os comprimentos totais para um determinado diâmetro, isto é, o somatório 
dos comprimentos totais indicados na tabela de armaduras, e a massa total, para um 
determinado diâmetro. O resumo serve para indicar ao engenheiro da obra os 
diâmetros e as quantidades das várias barras que devem ser adquiridas na execução 
do pavimento-tipo, motivo deste exemplo. 
 
Tabela 6.5 - Tabela de armaduras 
Comprimentos 
No Diâmetro (mm) Quantidade Unitário 
(cm) 
Total 
(m) 
01 6,3 25 396 99,00 
02 5 21 322 67,62 
03 5 25 392 98,00 
04 5 23 320 73,60 
05 5 20 392 78,40 
06 5 18 357 64,26 
07 6,3 39 362 141,18 
08 5 25 396 99,00 
09 8 63 256 161,28 
10 8 19 168 31,92 
11 6,3 18 138 24,84 
12 5 7 292 20,44 
13 5 12 700 84,00 
14 5 8 362 28,96 
 
Tabela 6.6 - Resumo de armaduras (Aço: CA-50) 
φ 
(mm) 
Comprimento 
(m) 
Massa / m 
(kg / m) 
Massa Total + 10% 
(kg) 
5 614 0,16 108 
6,3 265 0,25 73 
8 193 0,40 85 
 Total ( kg ) 266 
 
 Os detalhamentos das armaduras costumam ser feitos depois das verificações 
indicadas nos itens 6.9 e 6.10, pois se houverem modificações os detalhamentos não 
precisam ser refeitos. 
 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 162
6.9 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS 
 
 Faz-se a seguir a verificação da capacidade resistente à força cortante da seção 
transversal (bw = 100cm e h = 10cm) para a força cortante de maior valor, que é vx para 
a laje L02, cujo módulo é 10,78 kN. 
 Segue-se aqui a rotina vista no item 5.10.1. 
 
 a. cálculo da força cortante solicitante de cálculo: 
 
 VSd = 1,4 . 10,78 = 15,1kN/m 
 
 Para não haver necessidade de se dispor armadura transversal o valor da força 
cortante solicitante de cálculo não pode ser maior do que a força cortante resistente de 
cálculo sem armadura transversal (VRd1) calculada pela expressão seguinte: 
 
 VRd1 = [ τRd . k . (1,2 + 40 . ρ1) + 0,15 . σcp ] . bw . d 
 
 b. cálculo de τRd 
 
 3/2ck
c
ctm
cc
inf,ctk
ctdRd f3,07,0
125,0f7,0125,0
f
25,0f25,0 ⋅⋅⋅γ⋅=⋅⋅γ⋅=γ⋅=⋅=τ 
 
 assim, para C20, resulta: 
 
 23/2ckRd cm/kN76,2MPa276,0200375,0 ==⋅=τ 
 
 c. cálculo de k 
 
k = 1,6 - dpara elementos em que a totalidade da armadura longitudinal chega 
até os apoios e não menor do que 1 
 
 sendo d = h – 1 = 10 – 1,5 = 8,5cm = 0,085m 
 
 k = 1,6 – 0,085 = 1,52 
 
 d. cálculo de ρ1 
 
na laje L02, sendo 2,62 cm2/m (φ 6,3 c/12) a área de armadura na direção x 
calculada para absorver o momento fletor mx = 6,66kN/m, vem: 
 
 ρ1 = 2,62 / (100 . 8,5) = 0,0031 
 
 e. cálculo de σcp 
 
 σcp = NSd / Ac = zero 
 
NSd = zero, pois não há força de protensão na laje (ela tem armadura passiva), e, 
também, não há força força normal atuando na laje. 
 
 f. bw = 100cm e d = 8,5cm 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
163
 g. Substituindo na expressão de VRd1, vem: 
 
 VRd1 = [2,76 . 1,52 . (1,2 + 40 . 0,0031) + 0,15 . zero ] 100 . 8,5 
 
 VRd1 = 5,55 . 850 = 4717,5kN = 47,2kN/m 
 
 h. conclusão 
 
como VSd = 14,5kN/m < VRd1 = 47,2kN/m não há necessidade de dimensionar 
armadura transversal para absorver as tensões de tração oriundas da força 
cortante. 
 
 Sugere-se ao leitor fazer a verificação da força cortante para as lajes do projeto 
com 8cm de espessura. 
 
6.10 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
 
6.10.1 Momento de fissuração 
 
 Os estados limites de serviço que precisam ser verificados para as lajes são: o 
estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF), para o qual são adotados os 
critérios indicados para vigas, considerando a possibilidade de fissuração (hipóteses do 
Estádio II), e os estados limites de formação de fissuras (ELS-F) e de abertura das 
fissuras (ELS-W), também considerando as hipóteses indicadas para a verificação de 
elementos lineares (vigas). 
 Com as hipóteses do estado limite de formação de fissuras pode-se calcular o 
momento de fissuração (Mr) pela seguinte expressão aproximada, escrita considerando 
o Estádio Ib. 
 
 
sendo: 
 
α = 1,2 para seções T ou duplo T; 
 
α = 1,5 para seções retangulares; 
 
yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; 
 
I0 é o momento de inércia da seção bruta de concreto igual a Ic; 
 
fct = fctk,inf = 0,7.fctm = 0,7.0,3.fck2/3 
 
 Para as lajes do projeto com espessuras de 8cm, resistência característica do 
concreto de 20MPa e considerando: 
 
 α = 1,5, pois a seção transversal é retangular com bw = 100cm e h = 8cm; 
 
 yt = h / 2 = 4cm; 
 
t
0ct
r y
IfαM ⋅⋅=
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 164
 Ic = ( bw h3 ) / 12 = ( 100 . 83 ) / 12 = 4.266,7cm4; 
 
 fct = 0,7 . 0,3 . 202/3 = 1,55MPa = 0,155kNcm2; 
 
 e, substituindo na expressão de mr vem: 
 
 mr = 248kNcm = 2,48kNm 
 
 Analogamente para a laje L02 com 10cm de espessura o momento de 
fissuração resulta: 
 
 mr = 387,5kNcm = 3,88kNm 
 
6.10.2 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA (ELS-DEF) 
 
Nos casos de lajes maciças a NBR 6118:2003 indica que para a verificação dos 
estado limite
de deformação excessiva são usados os mesmos critérios adotados para 
a verificação de vigas, considerando a possibilidade de fissuração (Estádio II). 
A verificação dos valores limites estabelecidos na NBR 6118:2003 para a 
deformação da estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos 
estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações 
indicadas na norma, pode ser realizada por modelos que considerem a rigidez efetiva 
das seções do elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da 
armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as 
deformações diferidas no tempo. 
A NBR 6118:2003 lembra que a deformação real da estrutura depende também 
do processo construtivo, assim como das propriedades dos materiais (principalmente 
do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no instante de sua efetiva 
solicitação. Em face da variabilidade dos parâmetros citados, existe variabilidade das 
deformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de 
deslocamentos dadas pelos processos analíticos que se adota neste exemplo 
conforme indicado na norma citada. 
Para a avaliação aproximada da flecha em lajes, seguindo os critérios de vigas, a 
NBR 6118:2003 indica que o modelo da estrutura pode admitir o concreto e o aço como 
materiais de comportamento elástico e linear. As deformações específicas nas seções 
ao longo do elemento estrutural podem ser determinadas no Estádio I desde que os 
esforços solicitantes não superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II, 
em caso contrário. 
 Para o cálculo utiliza-se o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido na 
NBR 6118:2003, sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. 
 Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar a 
expressão de rigidez equivalente (Fórmula de Branson) dada a seguir: 
 
ccsII
3
a
r
c
3
a
r
cseq I.E.IM
M1IM
ME(EI) ≤






−+=






















 
 
sendo: 
 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
 
III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II; 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
165
 
Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no 
vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para 
a combinação de ações considerada nessa avaliação; 
 
Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser 
reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas, calculado, de acordo 
com a NBR 6118:2003, com a resistência à tração do concreto dada por: 
 
3/2
ckctmct f3,0ff ⋅== (em MPa); 
 
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto. 
 
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da 
fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha 
imediata pelo fator αf dado pela expressão: 
 
sendo: 
 
sendo: 
 
ξ é um coeficiente função do tempo, que deve ser calculado pela expressão 
seguinte, se t ≤ 70 meses, ou obtido diretamente na tabela 5.7: 
 
0,32t)t0,996(.0,68(t) =ξ para t ≤ 70 meses 
 
ξ(t) = 2 para t > 70 meses 
 
Tabela 6.7. - Valores do coeficiente ξ em função do tempo 
 
Tempo (t) 
Meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70
Coeficiente 
ξ (t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
 
sendo: 
 
t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
 
t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. 
 
No caso de parcelas da carga de longa duração ser aplicadas em idades 
diferentes pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir : 
 
ρ′+
ξ∆=α
501f
bd
A
ρ
'
s=′
)t()t( 0ξ−ξ=ξ∆
i
i0i0
P
tP
t Σ
Σ=
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 166
sendo: 
 
Pi são as parcelas de carga; 
 
t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses. 
 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf). 
 
 Para os casos usuais de projetos estruturais de edifícios pode-se considerar, 
para cálculo do deslocamento adicional diferido, o tempo t0 igual a um mês com valor 
do coeficiente ξ(t0) igual a 0,68 e, o tempo t maior ou igual a 70 meses, 
aproximadamente 6 anos, com coeficiente ξ(t) igual a 2. O tempo inicial de 1 mês, 
aproximadamente 28 dias, considera que o cimbramento foi retirado e, portanto, a 
estrutura está em serviço. Assim o valor de ∆ξ resulta: 
 
 ∆ξ = 2 - 0,68 = 1,32 
 
 Para levar em conta o efeito da fissuração nas lajes maciças Correa (1991) 
indica que o valor do deslocamento inicial precisa ser multiplicado por 1/0,54, o que 
equivale a considerar que o momento de inércia da seção fissurada é 54% do valor do 
momento de inércia da seção plena. 
 Lembrando que a flecha final é a flecha inicial multiplicada por ∆ξ e reduzindo-se 
no valor do momento de inércia da seção integra multiplicando o valor da flecha inicial 
por 1/0,54, pode-se calcular, para cada laje, o valor da flecha final por: 
 
 af = ai . (1/0,54) . ∆ξ 
 
 ou seja, substituindo, pode-se escrever: 
 
 af = ai . (1/0,54) . 1,32 
 
 e, portanto: 
 
 af = ai . 2,5 
 
 Para verificação deste estado de serviço Ma é o momento fletor na seção crítica 
do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e 
momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa 
avaliação. No projeto em questão precisam ser verificadas as flechas em lajes de um 
pavimento-tipo de edifício, sendo que os valores dos momentos fletores relativos as 
ações permanentes e acidentais estão mostrados na Figura 6.18. 
 A combinação para a verificação das deformações está indicada no capítulo 4 
deste trabalho ou na NBR 6118:2003, que prescreve para combinações de serviço, 
particularmente para verificação do estado limite de deformação excessiva a 
combinação quase permanente. Nessa combinação o momento fletor de cálculo é a 
soma do momento fletor característico relativo as ações permanentes acrescido do 
momento fletor relativo às ações variáveis multiplicado pelo coeficiente γf2 = ψ2, 
descrita pela seguinte expressão: 
 
 Md,ser = ∑ mgik + ∑ ψ2j mqik 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
167
 sendo ψ2 igual a 0,3 nos casos de locais em que não há grande predominância 
de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 
elevada concentração de pessoas, condição típica de edifícios residenciais. 
 
 
Figura 6. 18 – Momentos fletores relativos às ações permanentes e acidentais. 
 
 Os deslocamentos iniciais das lajes podem ser calculados com as expressões 
deduzidas pela Mecânica das Estruturas em função das ações uniformemente 
distribuídas que permanentes (g) e variáveis (q). 
 Assim, a expressão anterior pode ser escrita como: 
 
 (g + q)ser = gk + ψ2 qk 
 
 A expressão típica com a qual se determina o valor do deslocamento inicial pode 
ser escrita como: 
 
 3hcsE
4
x
serq)(g100
α a
⋅
⋅+⋅= l 
 
 O módulo de deformação secante do concreto adotado na verificação é 
calculado, de acordo com a NBR 6118:2003, pela expressão: 
 
 5,0ckcics f600.585,0E85,0E ⋅⋅=⋅= (em MPa) 
 
 No caso do projeto foi adotado concreto C20 resultado para valor do módulo: 
 
 Ecs = 21.287MPa = 2.128,7kN/cm2 
 
 Nas lajes em que o momento de cálculo de serviço for menor que o momento de 
fissuração, já calculado no item 6.10.1, o momento de inércia a considerar
é o da seção 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 168
plena, em caso contrário, ou seja, quando o momento de cálculo de serviço for maior 
que o momento de fissuração há que se fazer a redução de 54% no momento de 
inércia, conforme já explicado. 
 Para facilitar os cálculos das flechas nas lajes do pavimento-tipo do projeto 
organizou-se a tabela 6.7a, na qual são listados: os valores dos momentos fletores 
relativos às ações permanentes e variáveis (Tabela 6.18), combinações de momentos 
fletores e das ações, coeficiente (α) da teoria elástica das lajes e determinado em 
função das condições de apoio e da relação entre os vãos efetivos, deslocamento 
inicial, deslocamento inicial em função da rigidez da seção transversal, não fissurada e 
fissurada, flecha e deslocamento limite (lx / 250). Os valores de α podem ser 
encontrados nas tabelas de Bares (1970) e de Pinheiro (1993). 
 
Tabela 6.7a - Estados limites de deformações excessivas das lajes do projeto 
 
Laje mgk 
(kNm/m) 
mqk 
(kNm/m) 
md,ser 
(kNm/m) 
Momento 
de 
Inércia 
(g+q)ser
[kN/m2] α 
ℓx 
(m) 
ai 
(cm) 
ai,Eieq 
(cm) 
afinal 
(cm) 
alim 
(cm) 
1,04 0,70 1,25 L01 
1,03 0,69 1,24 
Ix 3,60 4,33 3,025 0,12 - 0,16 1,21 
5,59 1,14 5,86 L02 4,72 0,97 5,01 Ieq 9,80 5,74 3,375 0,36 0,66 0,87 1,35 
1,03 0,69 1,24 L04 0,71 0,47 0,85 Ix 3,60 3,51 3,025 0,10 - 0,13 1,21 
1,47 0,98 1,76 L05 1,21 0,81 1,45 Ix 3,60 3,26 3,725 0,21 - 0,28 1,49 
 
 A laje L03, considerada em balanço, com a condição de vinculação e ações 
indicados no item 6.6.5 e figura 6.12, está submetida ao momento fletor de cálculo de 
serviço, calculado por, : 
 
 

 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 1,00,81,0352,0
2
1,0852,0ψ1,0352,2
2
1,0853,0m
2
2
2
serd, 
 
 resultando: 
 
 5,25kNm4,050,34,04m serd, =⋅+= 
 
 O momento de fissuração é calculado pela expressão: 
 
 
t
cct
r y
Ifm ⋅⋅α= 
 
sendo: 
 
α = 1,5 para seções retangulares; 
 
yt = 4cm, é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; 
 
o momento de inércia da seção bruta de concreto é igual a, 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
169
4
3
c cm267.412
8100I =⋅= 
 
a resistência à tração do concreto, para verificação do estrado limite de 
deformação excessiva, é a resistência média, calculada de acordo com a NBR 
6118:2003; 
 
kNm22,0MPa2,2203,0f3,0f 3/23/2ckm,ct ==⋅=⋅= 
 
Portanto, o valor do momento de fissuração para o estado limite de deformação 
excessiva resulta: 
 
 kNm52,3kNcm352
4
267.422,05,1Mr ==⋅⋅= 
 
 Como md,ser = 5,25kNm é maior do que mr = 3,52kNm o momento de inércia a 
ser adotado nos cálculos é o momento de inércia equivalente (Ieq), calculadas com a 
expressão de Branson, conforme indicado na NBR 6118:2003. 
 
 O momento de inércia no Estádio II é calculado pelas expressões: 
 
 [ ]2IIse
3
IIw
II xdAα3
xb
I −⋅+⋅= 
 
 sendo a posição da linha neutra no Estádio II calculada por: 
 
 [ ] zeroxdAαxb
2
1
IIse
2
IIw =−⋅⋅−⋅ 
 
 O valor de αe é calculado pelo quociente entre os módulos de deformação das 
barras de aço e o módulo de deformação secante do concreto, que para esse caso do 
projeto vale: 
 
 9,87
21.287
210.000
E
E
α
cs
s
e === 
 
 Para os dados da laje L03 obtém-se, com bw = 100cm, as = 4,55cm2 (Tabela 6.4) 
e d = 6,5cm: 
 
 xII = 1,92cm 
 
 III = 1.178cm4 
 
 O valor da rigidez equivalente calculada com a expressão indicada na NBR 
6118:2003: 
 
 ccsII
3
a
r
c
3
a
r
cseq I.E.IM
M1IM
ME(EI) ≤






−+=














 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 170
 
 e, substituindo convenientemente os valores já calculados resulta: 
 
 ccs
2
33
eq IEcm/kN512.489.4.1.1785,25
3,521267.4
25,5
52,37,1282.(EI) ⋅≤=



 

−+⋅


⋅=






 
 
 Considerando as ações indicadas no item 6.6.5 e figura 6.12 e adotando as 
expressões deduzidas pela Mecânica das Estruturas para a flecha na extremidade de 
uma viga em balanço (bw = 100cm), e para as ações permanentes, variáveis normais e 
acidentais (pessoas apoiadas na mureta) pode-se escrever: 
 
 
eq
3
ser
eq
4
seri (EI)
1Q)(G
3
1
(EI)
1q)(g
8
1a ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅= ll 
 
 A combinação quase permanente das ações de serviço uniformemente 
distribuídas na laje por unidade de área considerando as intensidades das ações 
atuantes na laje L03 vem: 
 
 22ser cm0,00036kN/3,6kN/m2,00,33,0q)(g ==⋅+=+ 
 
 que, calculando a ação por unidade de comprimento por se tratar o elemento 
estrutural de laje como viga de largura unitária (1m), resulta: 
 
 2ser 0,036kN/cm1000,00036q)(g =⋅=+ 
 
 Para as ações linearmente distribuídas na borda da laje L03 resulta: 
 
 0,028kN/cm2,8kN/m2,00,32,2Q)(G ser ==⋅+=+ 
 
 Por unidade de largura resulta: 
 
 2,8kN/cm1000,028Q)(G ser =⋅=+ 
 
 Substituindo os valores das ações na expressão com a qual se calcula o 
deslocamento inicial vem: 
 
 
)(3.200.667
1(108,5)(2,8)
3
1
)(3.200.667
1(108,5)(0,036)
8
1a 34i ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 
 
 resultando portanto, para valor do deslocamento inicial: 
 
 0,41cm0,270,14ai =+= 
 
 Lembrando que o deslocamento final precisa ser multiplicado por 2,5 para levar 
em conta as ações de longa duração, resulta: 
 
 1,0cm2,50,41ai =⋅= 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
171
 Considerando que para vigas em balanço a flecha limite precisa obedecer a: 
 
 0,9cm
250
108,52
250
2
a efelim =⋅=⋅= ll 
 
 Como a flecha final considerando as ações ao longo do tempo é maior do que o 
deslocamento limite indicado na NBR 6118:2003 e, portanto, o estado limite de 
deformação excessiva da laje L03 não é verificado. Há que se tomar a decisão de 
projeto de aumentar a espessura da laje para, por exemplo, 10cm e refazer os cálculos 
para essa laje. Alternativa é prever contraflecha convenientemente calculada, na fase 
construtiva. 
 Alguns pesquisadores e projetistas de estruturas de concreto como coeficiente 
majorador dos deslocamentos iniciais consideram o valor 2 e não 2,5 como justificado 
neste texto, o que significa considerar um valor maior para o módulo de deformação do 
concreto, assim o valor da flecha avaliada ao longo do tempo resulta menor (0,57 x 2 = 
1,14cm). 
 
6.10.3 VERIFICAÇÃO DAS ABERTURAS DAS FISSURAS (ELS-W) 
 
 Esta verificação é feita para as lajes em que os momentos calculados com as 
combinações de serviço para esta verificação forem maiores que os momentos de 
fissuração, pois há possibilidade da tensão na fibra mais tracionada ultrapassar a 
resistência à tração do concreto. 
O estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) é verificado com a combinação 
freqüente de ações conforme indicado na NBR 6118:2003 e considerando a expressão 
seguinte. 
 
∑ ∑++= qjk2jq1k1gikservd, Fψ.FψFF 
 
No caso das lajes do projeto nas quais as ações uniformemente distribuídas são 
as permanentes e as variáveis diretas os momentos fletores de serviço são calculados 
por: 
 
kq,1kg,servd, .MψMM += 
 
com ψ1 = 0,4, conforme dito na NBR 6118:2003, para a combinação indicada. 
 
 Lembra-se que o momento de fissuração resultou igual a mr = 2,48kNm para as 
lajes L01, L03 L04 e L05, com 8cm de espessura, e para a laje L02, com 10cm de 
espessura, o momento de fissuração resultou mr = 3,88kNm. 
 Considerando os valores dos momentos fletores calculados para as ações 
permanentes e variáveis normais indicadas na figura 6.18 pode-se montar a tabela 5.8 
em que se
anotam os valores dos momentos de serviço com os quais de fazem as 
verificações das aberturas das fissuras, os momentos de fissuração e o valor da 
abertura das fissuras e o valor limite das aberturas. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 172
Tabela 6.8 – Estados limites de aberturas de fissuras das lajes do projeto 
 
Laje mgk (kNm/m) 
mqk 
(kNm/m)
md,ser 
(kNm/m)
mr 
(kNm/m)
wk 
(mm) 
wlim 
(mm) 
1,04 0,70 1,32 L01 
1,03 0,69 1,31 
2,48 ----- wk < wlim 
5,59 1,14 6,05 L02 4,72 0,97 5,11 3,88 
0,126 0,4 
1,03 0,69 1,31 L04 0,71 0,47 0,90 2,48 ----- wk < wlim 
1,47 0,98 1,86 L05 1,21 0,81 1,53 2,48 ----- wk < wlim 
 
 No caso da laje L03 que é em balanço e, portanto, armada em uma direção, o 
momento de serviço para verificação das aberturas das fissuras resulta: 
 
 

 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 1,00,81,0352,0
2
1,0852,0ψ1.0352,2
2
1,0853,0m
2
1
2
serd, 
 
 Que substituindo com ψ1 = 0,4, resulta: 
 
5,66kNm4.050,44,04m serd, =⋅+= 
 
 Esse valor é maior que o momento de fissuração mr = 2,48kNm e, então, há 
necessidade de verificar se o valor característico da abertura das fissuras (wk) é menor 
do que o valor limite da abertura (wlim). 
 Para as lajes indicadas na tabela 5.8 é preciso verificar a abertura das fissuras 
para a laje L02, pois os momentos fletores md,ser,x e md,ser,y são maiores que o 
momento de fissuração mr. 
 Como visto o capítulo 5 pode-se usar apenas uma das expressões indicadas na 
NBR 6118:2003, pois se o valor da abertura das fissuras ficarem menor do que o valor 
da abertura limite, não há necessidade de se verificar o valor da abertura característica 
de fissura com a segunda expressão. 
 As expressões com as quais se calculam as aberturas características de fissuras 
são: 
 
 
ctm
si
si
si
1
i
1 f
3σ
E
σ
η12,5
w ⋅⋅⋅
φ= 
 
 45]
ρ
4[
E
σ
η12,5
w
risi
si
1
i
2 +⋅⋅⋅
φ= 
 
com, σsi, Φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento em exame, sendo: 
 
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra Φi; 
 
Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra de diâmetro Φi considerada; 
 
iφ é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
173
ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de 
bainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri); 
 
σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, 
calculada no Estádio II. 
 
O cálculo no Estádio II, que admite comportamento linear dos materiais e 
despreza a resistência à tração do concreto, pode ser feito considerando a relação αe 
entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15. 
Nas expressões transcritas da NBR 6118:2003, ηi é o coeficiente de conformação 
superficial da armadura considerada, devendo ser adotados os valores de η1 para 
passiva e ηp1 para ativa, conforme indicados na NBR 6118:2003. 
 No projeto, para determinar a tensão nas barras das armaduras das lajes, é 
necessário calcular o valor do momento de inércia considerando a seção transversal 
com deformações compatíveis (III) com as do Estádio II, que para isto é preciso 
determinar a posição da linha neutra no mesmo estádio (xII), cujas expressões, 
deduzidas a partir das hipóteses da Mecânica das Estruturas, são escritas a seguir. 
 
a.- Posição da linha neutra considerando o Estádio II 
 
[ ] 0xd.Aα
2
x..xb IIseIIIIw =−− 
 
b.- Momento de Inércia considerando o Estádio II 
 
 2IIse
3
w
II ]x[dAα3
xbI −⋅⋅+⋅= 
 
c.- Tensão nas barras das armaduras das lajes considerando a hipóteses do 
Estádio II 
 
II
IIservd,e
si I
)x.(d.Mα
σ
−= 
 
6.10.3.1 Verificação das aberturas das fissuras (ELS-W) para a laje L02 
 
 Para a laje L02 (h = 10cm) tem-se que o momento de fissuração é igual a: 
 
3,88kNmMr = 
 
 A combinação de momentos fletores calculados pra as ações permanentes e 
acidentais, de acordo com a tabela 6.8 resulta: 
 
6,05kNmmM servdx,a == 
 
 O momento de inércia considerando a seção plena é igual a: 
 
4
3
c 8333,33cm12
10100I =⋅= 
 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 174
 O módulo de deformação secante do concreto resulta: 
 
21287MPa56000,85E 0,5cs =⋅= 
 
 O momento de inércia no Estádio II é calculado com a seqüência indicada 
anteriormente e depende da área de armadura calculada com as hipóteses do estado 
Limite Último de acordo com a Tabela 6.2, para o momento de cálculo na direção do 
eixo x, igual a: 
 
 asx = 2,62cm2/m 
 
 Substituindo os valores na expressão seguinte, determina-se a posição da linha 
neutra no Estádio II, assim: 
 
[ ] 0x5,8.2,6251
2
x.100.x IIIIII =−− 
 
que resulta: 
 
xII = 2,2cm 
 
 Portanto, o momento de inércia no Estádio II resulta: 
 
 2
3
II ]2,2[8,562,2513
2,2001I −⋅⋅+⋅= 
 
 ou seja: 
 
 III = 1.915cm4 
 
A tensão nas barras da armadura na laje L02 na direção do eixo x resulta: 
 
99MPa29,9kN/cm2
1915
2,2)(8,560515
σ 2s ==−⋅⋅= 
 
Para a verificação das aberturas de fissuras usa-se a expressão a seguir, com os 
valores necessários indicados. 
 
ctm
si
si
si
i
i
f
3σ
E
σ
125.η
w ⋅⋅φ= 
 
 O valor de 2,25η1 = é de acordo com a NBR 6118:2003 considerando aço CA-50 
com conformação superficial compatível com este valor; o módulo de deformação do 
aço é igual a 210000MPaEs = e a resistência média à tração do concreto C20 é 
calculada por: 
 
22/3
ckctm 0,221kN/cm2,21MPa0,3.ff === 
 
 Assim, substituindo os valores calculados anteriormente na primeira expressão 
com a qual se calcula o valor da abertura característica da fissura, resulta: 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 
 
 
175
 
0,126cm
0,221
29,53
21000
29,5
2,2512,5
6,3wk =

 ⋅⋅⋅⋅= 
 
 Que é menor do que a abertura limite de fissuras indicada na NBR 6118:2003 de 
0,4mm, portanto, as fissuras que ocorrerão na laje L02 não serão consideradas 
prejudiciais à estrutura. Portanto, a laje L02 atende as condições da Norma com 
relação ao ELS-W. 
 
6.10.3.2 Verificação das aberturas das fissuras (ELS-W) para a laje L03 
 
 Para a laje L03 (h = 8cm) tem-se que o momento de fissuração é igual a: 
 
2,48kNmMr = 
 
 A combinação de momentos fletores calculados pra as ações permanentes e 
acidentais, de acordo com valor calculado anteriormente é: 
 
5,66kNmmM servdx,a == 
 
 O momento de inércia considerando a seção plena é igual a: 
 
4
3
c cm67,266412
8100I =⋅= 
 
 O momento de inércia no Estádio II é calculado com a seqüência indicada 
anteriormente e depende da área de armadura calculada com as hipóteses do estado 
Limite Último de acordo com a Tabela 6.2, para o momento de cálculo na direção do 
eixo x, igual a: 
 
 asx = 4,55cm2/m 
 
 Substituindo os valores na expressão seguinte, determina-se a posição da linha 
neutra no Estádio II, assim: 
 
[ ] 0x5,6.4,5551
2
x.100.x IIIIII =−− 
 
que resulta: 
 
xII = 2,4cm 
 
 Portanto, o momento de inércia no Estádio II resulta: 
 
 2
3
II ]4,2[6,555,4513
4,2001I −⋅⋅+⋅= 
 
 ou seja: 
 
 III = 1.608cm4 
Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 176
 
A tensão nas barras da armadura na laje L02 na direção do eixo x resulta: 
 
217MPa1,7kN/cm2
1608
2,4)(6,515.566
σ 2s ==−⋅= 
 
 Assim, substituindo os valores calculados anteriormente na primeira expressão 
com a qual se calcula o valor da abertura característica da fissura, resulta: 
 
0,09mm
0,221
21,73
21000
21,7
2,2512,5
8,0wk =

 ⋅⋅⋅⋅= 
 
 Que um valor menor do que a abertura limite de fissuras indicada na NBR 
6118:2003 de 0,4mm, portanto, as fissuras que ocorrerão na laje L03 não serão 
consideradas prejudiciais à estrutura. Portanto, a laje L03 atende as condições da 
Norma com relação ao ELS-W. 
 No caso das aberturas características das fissuras calculadas com a expressão 1 
ficarem acima da abertura limite, calculam-se as aberturas com expressão 2. 
 
45]
ρ
4[
E
σ
η12,5
w
risi
si
1
i
2 +⋅⋅⋅
φ= 
 
 Na terceira fração dessa expressão interfere o valor da taxa de armadura passiva 
(ρri) em relação a área da região de envolvimento (Acri). Portanto, é necessário 
determinar a posição relativa da linha neutra (βx) no Estado Limite Último, e determinar 
as distâncias das faces do tirante em relação ao eixo da barra, definindo-se, assim, a 
área da região de envolvimento (Acri), e, por conseguinte a taxa ρri. 
 Se com ambas as verificações as aberturas das fissuras ficarem maiores que a 
limite é necessário modificar a espessura do elemento estrutural, neste caso da laje. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
1. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2004. 
 
2. ANDRADE, J. R. L. Estruturas correntes de concreto armado: 1. parte. São Carlos, 
EESC-USP, 1982. 
 
3. ISHITANI, H., MARTINS, A. R., PELLEGRINO NETO, J., BITTENCOURT, T. N. 
Estruturas de Concreto I (Notas de Aula). Escola Politécnica - USP ,2000. 
 
3. PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos.EESC-USP, 1993. 
 
4. BAREŠ, R. (1970) Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona, 
Editorial Gustavo Gili, S.A.