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CAPfTULO
10
METODOSDEINTEGRACAO
10.1 INTRODUC;AO. AS FORMULAS BAslCAS
Come<;:ando com as constantes e as sete fun<;:oes familiares x, £? , In x, sen x, cos x, arc sen x
e arc tg x e , partin do del as , construindo todas as combina<;:oes fini tas possi veis dessas fun<;:oes por
meio das opera<;:oes algebricas e do processo de formar uma fun<;:ao de fun<;:ao , geramos a classe
dasfunfoes elementares. Assim ,
e uma fun<;:ao elementar. Essas fun<;:oes sao, com freqiiencia , ditas terem a forma fechada, pois
elas podem ser anotadas em f6rmulas explicitas envolvendo somente urn numero fmito de fun<;:oes
familiares.
E claro que 0 problema de calcular a derivada de urna fun<;:ao elementar pode sempre ser
resolvido por uma aplica<;:ao sistematica das regras desenvolvidas nos capitulos anteriores, e essa
derivada e sempre urna fun<;:ao elementar. No entanto , 0 problema da integra<;:ao - que e , em
geral , muito mais importante - e bern diferente e nao tern uma solu<;:ao tao nitida.
Como sabemos, 0 problema de calcular a integral indefinida de uma fun<;:ao f(x) ,
J f(x) dx = F(x), (I)
468
Metodos de integrar,:iio 469
e equivalente a determinar urna funyao F(x) tal que
d
dx F(x) = I(x). (2)
E verdade que tivemos sucesso em integrar urna boa quantidade de funyoes elementares por
inversao de f6rmulas de derivayao. Mas isto nao nos leva muito longe, pois corresponde a urn
pouco rna is que calcular a integral (1) sabendo, de antemao, a resposta (2).
o ponto principal e este : nao existe nenhum procedimento sistematico que possa ser
sempre aplicado a urna funyao elementar qualquer e levar, passo a passo, a uma resposta garantida
em forma fechada. De fato, pode ser que nem haja uma tal resposta. Por exemplo , a funyao
f(x) = e-x' parece bastante simples, mas sua integral
(3)
nao se encontra na classe das funyoes elementares. Essa asseryao e mais que simples constatayao
da incapacidade atual dos matematicos de integrar (3). E a afumayiio de urn teorema profundo
de que niio existe nenhurna funyiio elementar cuja derivada seja e-x ' *. Retornaremos a esse
assunto na Seyiio 10.8.
Mesmo que tudo isto pareya desencorajador, niio deve se-lo. Ha muito mais coisas que podem
ser feitas no carninho · da integrayiio do que sugerimos ate agora , e e muito importante que os
estudantes adquiram certas habilidades tecnicas para efetuar integrayoes sempre que elas sejam
possiveis. 0 fato de que a integrayiio deve ser considerada mais como arte que como urn processo
sistematico a torna, na verdade, mais interessante que a derivayiio. E mais parecido com resoluyiio
* Que nao haja compreensiio imperfeita. A integral indefinida (3) existe, pois a func;:iio F(;c) definida por
e uma fun~ao perfeitarnente respeitavei com a propriedade de que
d
- F(x) = e-x' . dx
(Veja as equa~5es (12) e (13) da Se~iio 6.7.) 0 que e provado e que niio existe uma maneira de expressar
F(;c) como func;:iio eiementar.
470 Ctilculo com Geometria Analttica
de quebra-cabeyas , pois ha menos certeza e mais espayo para a engenhosidade individual. Muitos
estudantes acham isto urna mudanya agtadavel com relayao as rotinas que tomam urn tanto
enfadonhas algumas partes da Matematica.
Como a integrayao e 0 inverso da derivayao , nosso ponto de partida deve ser urna pequena
tabela de padroes de integrais obtida invertendo as formulas de derivayao dos capitulos anteriores.
Tabelas muito mais extensas que a dada a seguir estao disponiveis em bibliotecas e, com a ajuda
dessas tabelas , a maioria dos problemas deste capitulo pode ser resolvida por simples procura. No
entanto , os estudantes devem compreender que , se seguirem tal caminho , iraQ frostrar 0 proposito
pretendido de desenvolver suas proprias habilidades. Por esse motivo nao faremos uso de tabelas de
integrais alem da pequena list a dada abaixo " Em vez dis so , insistimos em que os estudantes
concentrem seus esforyos em ganhar urna compreensao clara dos vanos metodos de integrayao e
em aprender como aplica-Ios.
AMm do metoda da substituiyao , ja familiar ao leitor , ha tres metodos principais de integra-
yao a serem estudados neste capitulo : reduyao a integrais trigonometricas; decomposiyao em
frayoes parciais; e integrayao por partes. Esses metodos permitem-nos transformar urna dada
integral de muitas maneiras. 0 objetivo dessas transformayOes e sempre quebrar a integral dada
nurna soma de partes mais simples , que podem ser integradas imediatamente por meio de formulas
familiares . Os estudantes devem , portanto , estar certos de que tenham memorizado completamente
todas as formulas basicas seguintes. Essas formulas de vern ser tao bern aprendidas que , quando urn
de nos delas necessite , surjam na cabeya quase que ·involuntariamente , como 0 nome de urn amigo
un du =--+ c ~ un+1
n +l
(n ,= - 1)
2 ~ du - = In u + c
u
3 ~ e" du = e" + c
4 ~ cos u du = sen u + c
5 ~ sen u du = - cos u + c
6 ~ sec2 u du = tg u + c
7 ~ cosec2 u du = -cotg u + c
8 ~ sec u tg u du = sec u + c
9 ~ cosec u cotg u du = -cosec u + c
Merodos de integrafiio 471
10 J du u r:;;==~ = arc sen - + c ../a2 - u2 a
11 J du 1 u -:--~ = - arc tg - + c a2 + u2 a a
12 J tg u du = -In (cos u) + c
13 J cotgudu=ln(senu)+c
14 J sec u du = In (sec u + tg u) + c
15 J cosec u du = -In (cosec u + cotg u) + c
As ultimas quatro f6rmulas sao novas e completam nossa lista de integrais das seis funyoes
trigonometricas. As f6rmulas 12 e 13 podem ser encontradas por processo direto :
J
t d
J
sen II du J d(cos u) I ( ) g u u = = - = - n cos u + c
cos U cos u
e
J J
COSUdU Jd(SenU)
cotgu du = = = In (sen u) + c.
sen u sen u
Muitos acham que a maneira mais faci! de se lembrar dessas f6rmulas e pensar nesse processo. A
f6rmula (14) pode ser encontrada com urn truque engenhoso: se multiplicarmos 0 integrando por
1 = (sec u + tg u)j( sec u + tg u) , entao , obtemos
J
d
J
(sec u + tg u) sec u du J (sec2 u + sec u tg u) du
secu u = =
sec u +tgu secu+tgu
J
d(Secu+tg u)
= + =In (secu+tgu)+c.
sec u tg u
Urn truque analogo produz a f6rmula (15) .
Repetimos: essas 15 f6rmulas constituem 0 fundamento sobre 0 qual todo 0 capitulo
repousa e elas devem ser memorizadas.
. 472 Ca/cu/o com Geometria Ana/ftica
10.2 o MeTODO DA SUBSTITUICAO
No metodo da substitui9ao introduzimos a variavel auxiliar u como urn novo simbolo para
uma parte do integrando na esperan9a de que sua diferencial du va responder por alguma outra
parte e, por meio disso , reduzir a integral completa a urna forma facilmente reconhecivel.
o sucesso do uso desse metodo depende da escolha de uma substitui9ao adequada, e esta, por
sua vez , depende da capacidade de ver num relance qual parte do integrando e a derivada de
alguma outra parte .
Daremos diversos exemplos para ajudar os estudantes a reverem 0 procedimento e para
que se certifiquem de que 0 compreenderam completamente.
Exemplo 1 Calcule J x e-x 2 dx.
Solu9ao Se pusermos u = - x 2 , entao du = -2x dx, x dx = -1 /2 du e
Sera notado que inserimos a constante de integra9ao somente na Ultima etapa. Rigorosamente
falando , isto e incorreto ; mas nos , de proposito , cometeremos esse pequeno erro a fim de evitar 0
atravancamento das etapas anteriores com repetidos c. Salientamos tambem que essa integral
e facil de ser calculada mesmo que a integral semelhante fe-x'dx seja impossivel. A razao disso
e obviamente a presen9a do fator x, que e essencialmente (isto e, a menos de urn fator constante)
a derivada da potencia _x2 •
Exemplo 2 Calcule
J cos xdx .J l + sen x '
Solu9lio Notamos aqui que cos x dx e a diferencial de sen x e tambem de 1 + sen x. Assim, se
pusermos u = 1 + sen x, du = cos x dx e
J cos x dx = J du = J U - 1/2 du '.J;:::1 =:+=s=e=n=x .fU
U 1/ 2
=- = 2.fU =
2.J I +sen x + c.
t
Metodos de integrafiio 473
Exemplo 3 Calcule
J dx x ln x
Solu~o 0 fato de que dx/x e a diferencial de In x sugere a substitui'Yao u = In x; logo ,
du =dx/x e
J dx J du - - = - = In u = In (In x) + c. x ln x u .
Exemplo 4 Calcule
J dx .J9 - 4x 2 '
Solu~lio Pomos u = 2x, de modo que du = 2dx e
J dx 1 J dll 1 u 1 2x --;;:===; = - = - arc sen - = - arc sen --+ c . .J9 - 4x 2 2 .J9 - u2 2 3 2 3
Exemplo 5 Calcule
J x dx .J9 - 4x 2 '
Solu~lio Aqui 0 fato de que 0 x no numerador e essencialmente a derivada da expressao
9 - 4x 2 que esta dentro do radical'sugere a substitui'Yao u = 9 - 4x2 . Entao du = 8x dx e
J x dx = -.!. J du = -.!. J U-1/ 2 du .J9 - 4x 2 8 fU 8
1 U1/2 1 1
= ---=-- fU = -- .J9 - 4x 2 + c.
8 ! 4 4
474 Oilwlo com Geometria Analftica
Em qualquer problema particular de integrayao a escolha da substituiyao e uma questao de
tentativa e erro, guiada pela experiencia. Se nossa prime ira substituiyao nao der certo, nao devemos
hesitar em descarta-la e tentar uma outra. 0 Exemplo 5 e semelhante em aparencia ao Exemplo 4
e poderia ser pensado que a me sma substitui~ao funcionasse de novo , mas, como vimos , e preciso
uma substituiyao completamente diferente.
Podemos estabelecer a validade do metodo da substituiyao como se segue , mostrando que
e , na realidade , a regra da cadeia para derivadas vista de forma inversa. A essencia do metodo
e a seguinte : comeyamos com uma integral complicada da forma
J f [g(x) ]g'(x) dx. (1)
Se pusermos u = g(x) , entao du = g '(x) dx, e a integral tomara a nova forma
J feu) dll.
Se pudermos integrar essa nova integral , de modo que
J feu) du = F(u) + c, (2)
entao , como u = g(x), devemos ser capazes de integrar (1), escrevendo
J f [g(x) ]g'(x) dx = F [g(x) ] + c. (3)
Tudo que e necessario para justificar nosso procedimento e no tar que (3) e urn resultado correto ,
por causa de
d
dx F[g(x )] = F'[g(x) ]g'(x) = f [g(x) ]g'(x)
pel a regra da cadeia.
o metodo da substituiyao se aplica tanto a integrais definidas quanta a indefmidas. 0
requisito crucial e que os limites de integrayao devem ser convenientemente trocados quando
e feita a substituiyao. Isto po de ser expresso como se segue:
f f [g(x) ]g'(x) dx = i d feu) du,
Metodos de integra(:iio 475
onde c = g(a) e d = g(b). A prova utiliza (2) e (3) e duas aplica90es do Teorema Fundamental
do Clilculo ,
f f [g(x) ]g'(x) dx = F[g(b)] - F[g(a) ]
= F(d) - F(c) = ld f(u) duo
Assim, uma vez que a integral original e transformada numa integral mais simples na variavel u, a
avalia9ao numeric a pode ser efetuada inteiramente em termos de u , desde que os limites de
integra9ao sejam tambem corretamente mudados .
Exemplo 6 Ca1cule
Inl 3 sen x dx o cos2 X .
Solulj:3o Pomos u = cos x, de modo que du = - sen x dx. Observe que u = I quando x = 0
e u = 1/2 quando x = 11 /3. Trocando tanto a variavel de integra9ao como os limites de integra-
9ao , obtemos
Inl3 sen x dx _ J 1/2 -du _ 1 ]1 /2 _ _ ----=-2- - - 2- - - - 2 - I - l. o cos X 1 U U 1
Essa tecnica elimina a necessidade de voltar as variaveis originais para a avalia9ao numerica final .
Problemas
Calcule as seguintes integrais:
1. J £1-=-2~\· £l \. 2. J 2x £l\' (4.r2 - If·
3. J In xdx
x[ I + (In X)2]· 4. J cos x esen x dx.
5. J sen 2x dx. 6. J xdx
-116 - x 4 •
476 Colculo com Geometria Analftica
7. J cotg (3x -1)dx. 8. J sen x cos x dx.
9. JX/\2 + I dx. 10. J dx x+2'
II. J e5x dr. 12. Jx cos x2 dx.
l3. J cosec2 (3x + 2) dx. 14. J dx x2 + 16'
IS. t dx
-3 ~3 - 2x' 16. J (x3 + 1)2 dx.
17. J sen x dx ~ I - cos x' 18.
J (2x+ I) dx
x2 + x+ 2 .
19. J earc tg ,. . 20. J sen -IX d' +2d~\.
.JX .\. I x x
21. J sec 5x tg Sx dx. 22 . J d\
. r~·
23. J In xdx. 24. J sen .~ dx.
x cos- x
2S. In'2 cos x d>..· .
o 1 + sen x 26. J cos 3x dx.
27. J exdx ~I - e2x ' 28. J dx cos 2x
29. J sen2 x cos x dx. 30. 13 tg 2 jx sec2 tx d::o.:.
3I. J Ie: d~rx' 32. J cos (I: x) dx.
33. J tg 3x dx. 34. J sec2 x dx . ~ I + tg x .
3S. J 4.nlx ~X2 + I' 36. J e
IX dx
-IX'
37. J exdx 1+ e2x' 38. J arc sen x ~ JJ - x2
39. J (eX + I)6eX dx. 40. J 6x2e-x l dx.
41. J sec2 5x dx. 42. J cotg 4x dx.
43. J cosec 2x cotg 2x dx. 44. i 3 2xdx
2 x2 - 3'
Metodos de integra9iio 477
Calcule cada uma das seguintes integrais definidas fazendo uma substituiyao conveniente e
mudando os lirnites de integrayao.
45. r (2x+ 1) dx.
1 ,jX2 + X + 2 46.
1~/4
o tg2 x sec2 X dx.
f ',jln X dX . l~/3 47. 48. o sec3x tg xdx.
1 x
49. E facil ca1cular cada uma das seguintes integrais para urn valor particular de n . Ache esse
valor e efetue a integrayao . Por exemplo, e facil calcular J x n sen x 2 dx para n = 1:
(a) I xn eX< dx.
(c) Ixn In x d:c.
f x senx2 dx = - t cos x 2 + C.
(b) Jxn cos x 3 d,'.
(d) Jxn sec2 IX dx .
10.3 ALGUMAS INTEGRAlS TRIGONOMETRICAS
Nas duas seyoes seguintes abordaremos diversos metodos para reduzir uma dada integral
a uma integral que envolva funyoes trigonometricas. Portanto , sera uti! ampJiar nossa habilidade
em calcular integrais trigonometricas.
Vma potencia 'de uma funyao trigonometrica multiplicada por sua diferencial e facil de
ser integrada. Assim ,
f sen3 x cos x dx = fsen 3 x d(sen x)= {- sen4 x + c
e
f tg2 X sec 2 x dx = f tg 2 X d( tg x) = t tg3 X + c.
Outras integrais trigonometricas podem, com freqiiencia, ser reduzidas a problemas desse tipo ,
utilizando identidades trigonometricas adequadas.
478 Cdlculo com Geometria Analftica
Comeyamos considerando integrais da forma
J sen m X cosn x dx, (1)
onde urn dos expoentes e urn inteiro positivo impar. Se n e fmpar, fatoramos cos x dx, que e
d(sen x) ; e como sobra urna potencia par de cos x podemos usar a identidade cos2 x = 1 - sen2 x
para exprimir a parte restante do integrando inteiramente em termos de sen x. E , se m e impar,
fatoramos sen x dx, que e -d(cosx), e usamos a identidade sen2 x = 1 - cos2x de mane ira analoga.
Os dois exemplos seguintes ilustram esse procedimento.
Exemplo 1
Exemplo 2
J sen 2 x cos3 X dx = J sen 2 x cos 2 X cos x dx
= J sen2 x(1 - sen2 x) d(sen x )
= J (sen2 x - sen4 x ) d(sen x)
= t sen 3 x - * sen 5 x + c.
J sen 3 x dx = J sen 2 x sen x dx
= - J (I - cos2 x) d(cos x )
= - cos x + t cos3 X + c.
Se urn dos expoentes em (1) for urn inteiro positiv~ impar muito grande, pode ser necessario
usar 0 Teorema do Binomio de Newton, em tal caso, urn usc explicito do metodo da substituiyao
po de ser desejavel , para efeito de clareza. Por exemplo , toda potencia positiva impar de cos x , seja
grande ou pequena, tern a forma
COS2n+1 X = cos2n X cos X = (cos2 x )n cos X = (1 -sen2 x )n cos x,
Metodos de integrafiio 479
onde n e urn inteiro nao-negativo. Se pusennos u = sen x e du = cosx dx, entao
J COS2n+1 X dx = J (1 - sen2 x)n cos x dx
= J (1 - u2)n duo
Se necessario, a expressao (1- ul)n pode ser expandida, aplicandO-se 0 Teorema do Binornio de
Newton, eo polin6rnio resultante em u e facil de ser integrado , tenno a tenno.
Se ambos os expoentes em (1) sao inteiros pares nao-negativos , e necessario mudar a fonna
do integrando, utilizando as f6rmulas do angulo-metade .
cos2 8 = -!-( I + cos 28) e sen l 8 = t(1 - cos 28). (2)
Esperamos que os estudantes tenham memorizado completamente essas f6nnulas importantes ,
mas, se foram esquecidas, podem ser facilmente recuperadas somando e subtraindo as identidades
cos2 8 +sen l 8 = I,
cos2 8 - sen 2 8 = cos 28.
A aplica9ao de (2) sera mostrada nos exemplos seguintes.
Exemplo 3 A f6nnula do angulo-metade para 0 co-seno permite-nos escrever
J cos2 X dx = t J (1 + cos 2x) dx = -!-J dx + t J cos 2x dx
= tx + t J cos 2x d(2x) = tx + t sen 2x + c.
Desejando expressar esse resultado
em tennos da variavel x (em vez de 2x), usamos a f6rmula
do angulo duplo sen 2x = 2sen x cos x e escrevemos
J cos2 X dx = tx + t sen x cos x + c.
480 Calculo com Geometria Analftica
Exemplo 4 Duas aplicayoes sucessivas da f6rmula do angulo-metade para 0 co-seno dao
Logo,
cos4 X = (cos2 X)2 = t( 1 + cos 2X)2 = *( 1 + 2 cos 2x + cos2 2x )
= H1+ 2 cos 2x + t (1 + cos 4x) ]
= t + t cos 2x + t cos 4x.
f cos4 X dx = tx + * sen2x + -n sen4x + c .
. Como esses exemplos mostram, 0 valor das formulas do angulo-metade (2) para esse trabalho
esta no fato de que elas nos permitem reduzir 0 expoente por urn fator 1/2 as expensas de
multiplicar 0 angulo por 2, 0 que e uma considenivel vantagem conseguida a urn custo
muito baixo.
Exemplo 5 Utilizando as duas formulas do angulo-metade , temos
f 2 2 d f 1 - cos 2x 1 + cos 2x d sen x cos x x = 2 . 2 x
= * f (1 - cos2 2x ) dx = * f [1 - t (1 + cos 4x)] dx
= t f dx - t f cos 4x dx = tx - -n sen 4x + c.
Tambem podemos achar essa integral combinando os resultados dos Exemplos 3 e 4:
f sen2 x cos2 x ·dx = f (1 - cos2 x ) cos2 X dx
= f cos2 X dx - f cos4 X dx
= t x + * sen2x - t x - * sen2x - "* sen4x
= tx - "* sen 4x + c.
A seguir consideramos integrais da forma
f t~m x sed! x dx,
Metodos de integra~tfo 481
onde n e urn inteiro positivo par ou m e urn inteiro positivo irnpar. Nosso trabalho e baseado
no fato de que d(tg x) = sec2x dx e d(sec x ) = sec x tgx dx, alem de explorarmos a identidade
tg2x + 1 = sec2 x. Sera suficiente urn exemplo ilustrando cada caso para mostrar 0 metodo geral.
Exemplo 6
Exernplo 7
J tg4 X sec6 x dx = J tg4 X sec4 x sec2 x dx
= J tg4 X (tg2 X + 1)2 d(tg x)
= J tg4 x(tg4x + 2 tg2x +l ) d(tg x)
= J (tg8 X + 2 tg6 X + tg4 x ) d(tgx )
J tg3 X sees x dx = J tg 2 X sec 4 x sec x tg x dx
= J (see2 x' - 1) sec4 x d(see x)
= J (see6 x - see4 x) d(sec x)
= + sec 7 x - t seeS x + c.
De maneira essencialmente identica podemos manipular integrais da forma
J cotgm x cosecn x dx,
onde n e urn inteiro positivo par ou m e um inteiro positivo impar . Nossos instrumentos nesses
casos sao as f6rmulas d( cotg x ) = - cosec2 x dx e d( cosec x ) = - cosec x cotg x dx e, quando
necessario , usamos a identidade 1 + cotg2 X = cosec2 x .
482 Calculo com Geometria Ana[(tica
Uma outra abordagem frutifera as integrais trigonometricas e expressar cada funyao que
aparece na integral em termos de senos e co·senos unicamente.
Exemplo 8 Ja sabemos de nosso trabalho com derivadas que
J sec x tg x dx = sec x + c.
No entanto, essa formula pode tambem ser obtida diretamente , escrevendo
J J
1 sen x J sen x dx
sec x tg x dx = - - -- dx = 2.
cos X cos x cos x
Se agora fizermos u = cos x, donde du = - sen x dx, entao temos
Problemas
J sec x tg x dx = J sen x dx cos2 X
= J -du = ..!. = _1_ = sec x + c.
£12 U cos X
Calcule cada uma das seguintes integrais:
L Isen 2 x dx. 2. I sen4 x dx.
4. I cos2 3x dx. 5. I sen3 x cos2 x dx.
7. J cos) x dx. 8. 1~/2 o sen3 x cos) x dx.
10. J sen3 5x cos 5x dx. 11. Jsen 2 3xcos2 3xdx.
13. 1~/4 o sec4 x dx. 14. J dx
cos2 x
16. I cosec4 x dx .. 17. I cotg2 x dx.
19. J dx
sen 2 4x· 20. J cotg
2 5x cosec4 5x dx.
22. J tg2 x cos x dx. 23. I sen 3x cotg 3x dx.
3. I cos6 X dx.
6. I sen 2 x cos5 X dx.
9. J .jsenx cos3 x dx.
12. J dx
sen x cos x·
15. I tgS x sec3 x dx.
18. I cotg3 x dx.
21. J 1 + cos 2x d . sen2 2x J~ .
Metodos de integra~iio 483
24. Calcule f tgx dx (que ja conhecemos) pelo metodo do Exemplo 7.
25. Use a identidade tg2 x = sec2x - 1 para calcular
(a) J tg2 x dx,
(b) J tg3 x dx,
f tg4 x dx,
f tgS x dx,
J tg6 x dx;
J tg7 X dx.
26. Sendo n urn inteiro positivo qualquer ;;. 2, mostre que
J tg n-I x J tg nx dx = ---' - tg n-2 x dx. n-[
Esta chama-se formula de redu¢o porque ela reduz 0 problema de integrar tgn x ao problema
de integrar tt-2x. .
27 . Calcule 0 volume do solido de revoluyao gerado quando a regiao indicada sob cada uma das
seguintes curvas e girada ao redor do eixo x:
(a) y =sen x,O";;x";;7T;
(b) y=secx , 0";;x";;7T/4;
(c) y = tg 2x, O";;x ..;; 7T/8;
(d) y = cos2 x, 7T/2";;x";; 7T.
28. Calcule 0 comprimento da curvay = In(cos x) entre x = 0 e x = rr/4.
29. Calcule f sec3x dx explorando a observayao de que sec3 x aparecera obviamente na derivada
de sec x tgx .
30. Calcule f cosec3x dx adaptando as ideias sugeridas no Problema 29 .
. 10.4 SUBSTITUICOES TRIGONOMETRICAS
Uma integral que envolve uma das seguintes expressOes radicais Ja 2 - x2 , Ja 2 + x2 ou
..;xr-.... 2 -_-a"""2 (onde a e uma constante positiva) po de , muitas vezes , ser transformada numa integral
trigonomcHrica familiar , utilizando-se uma substituiyao trigonometrica adequada ou uma mudanya
de variavel.
484 Ctilculo com Geometria Analftica
Hci tres casos que dependem das identidades trigonometricas.
1 - sen 2 (J = COS 2 (J,
1 + tg2 (J = sec 2 (J ,
sec2 (J - 1 = tg2 (J.
Se a integral dada envolver Ja 2 - x2 , entao mudamos da variavel x para (J . Assim
x = a sene substitui por a cos e.
(1)
(2)
(3)
(4)
pois a2 - x 2 = a2 - a2 sen2 (J = a2 (l - sen2 (J ) = a2 cos2 (J. Analogamente , se a integral dada
envolver Ja 2 + x2 , entao , pela identidade (2), vemos que
x = a tg e substitui por a sec e, (5)
pois a2 + x 2 = a2 + a2 tg2 (J = a2 (1 + tg2 (J) = a2 sec2 (J ; finalmente , se envolver Jx 2 - a2 , entao,
pela identidade (3), teremos que
x = a sec e substitui par a tg e. (6)
pois x 2 - a2 = a2 sec2 (J - a2 = a2 (sec2 (J - 1) = a2 tg2 (J. Ilustraremos esses procedimentos com
exemplos.
Exemplo 1 Calcule
J
.Ja2 - Xl
---dx.
X
Solu~o Essa integral e do primeiro tipo, logo , escrevemos
x =asen e, dx = a cos e de, .Jal - x 2 = a cos e.
Metodos de integra~iio 485
Entao
f ~ d - f a cos e e de - f cos
2
e de
x x - a sen e a cos - a sen e
=af 1 :~~2 e de=a f (cosecO-senO)dO ·
= -a In (cosec 0 + cotg 0) +a cos O. (7)
Isto completa a integra9ao e devemos agora escrever a resposta em termos da varia vel original x.
Fazemos isto rapidamente e com facilidade desenhando wn triangulo retangulo (Fig. 10.1)
~,
~
Figura 10.1
cujos lados SaO indicados da maneira mais simples, que seja consistente com a equayao x = a sen 0
ou sen 0 = x/a. Essa figura revela imediatamente que
cosece =!!..
x'
.Ja2 - x2
cotge =---
x
e
.Ja2 - x 2
cos e = ,
a
logo, por (7), temos
f
.Ja2 - x2 (a + .Ja2 - X2)
x _ dx = .J a2 - x2 - a In x + c.
Exemplo 2 Calcule
f dx .Ja2 + x2'
Solu~o Temos aqui wna integral do segundo tipo; logo, escrevemos
x = a tg 0, dx = a sec2 e de,
486 Ctilculo com Geometria Analftica
Isto leva a que
J dx = J a sec
2
e de = J sec e de
J a2 + x 2 a sec e
= In (sec e + tg 6).
A equayao de substituiyao x =a tg e ou tg (j = x /a e desenhada na Fig. 10.2,
e dessa figura obtemos
21' a
Figura 10.2
Ja2 + x 2
sece=---
a
e
Portanto , continuamos 0 calculo em (8), escrevendo
---=In +c' f dx ( J a2 + x 2 + x) Ja2 + x 2 a
= In (Ja2 + x 2 + x) + c.'
Os estudantes notarao , em virtude de
x
tg e =-.
a
( Ja
2+\2 + \) In ~ , =In Oa2 +x2 +x) -Ina,
_ (8)
,
,
(9)
(1 0)
que a constante - In a foi agrupada junto com a constante de integrayao c' , e a quantidade
- In a + c ' e entao reescrita como c. Usualmente nao nos importamos em fazer distinyoes
notacionais entre uma constante de integrayao e outra, pois elas sao completamente arbitrarias ;
mas a fizemos aqui, com 0 objetivo de tomar clara a transiyao de (9) para (10).
Exemplo 3 Calcule
f ..JX2 - a2 --- dx. x
Mhodos de integrafiio 487
Solu~o Essa integral e do terceiro tipo; logo, escrevemos
Entlio
x
= a sec 8, dx = a sec 8 tg 8 d8, ..Jx2 - a2 = a tg 8.
f ~ dx = f a tg 8 a sec 8 tg 8 d8 x a sec e
= a f tg2 e d8 = a f (sec2 8 - 1) de
= a tg 8 - a8.
Nesse caso, nossa equa~lio de substitui~lio sec 8 = x/a e desenhada na Fig. 10.3,
que revela que
..Jx2 - a2
tg8=---
a
Figura 10.3
e
..Jx2 - a2 8 = arc tg .
a
A integral desejada pode, portanto , ser escrita como
f ..JX2 - a2 vx2 a2 x dx = ..J x2 - a2 - a arc tg + c. a .
488 Calculo com Geometria Analftica
Ha um aspecto nesses cruculos que nao levamos em conta. Em (4) escrevemos tacitamente
.J 1 -sen2 e = cos e
sem conferir a exatidao do sinal algebtico. Isto foi feito com pouco cuidado, pois cos e e, as vezes,
negativo e, as vezes, positivo. Entretanto, a variavel e, que nesse caso e arc sen x/a, e restrita ao
intervalo -rr/2 ::;;;; e ::;;;; rr/2, e nesse intervalo cos e e nao-negativo, como admitimos. Comentanos
anruogos se aplicam para as substitui~oes (5) e (6).
Exemplo 4 . Como ilustra9ao concreta do uso desses metod os , determinamos a equa9ao da
tractriz. Essa famosa curva pode ser definida como se segue : e a trajetoria de urn objeto arrastado
ao longo de urn plano horizontal por urn fio de comprimento constante quando a outra extrerni-
dade do fio se move ao longo de uma reta do plano. (A palavra "tractriz" provem do latim
tractum, significando draga.)
Suponha que 0 plano seja 0 plano xy e 0 objeto comece no ponto (a ,0) com a outra
extrernidade do fio na origem. Se esta se move para cima no eixo y (Fig. 10.4, a esquerda),
a (a, 0)
Figura 10.4
o fio sera sempre tangente Ii curva , e 0 comprimento da tangente entre 0 eixo yeo ponto de
contato sera sempre igual a a. 0 coeficiente angular da tangente e portanto dado pela formula
dy ~
dx x
separando as variaveis e usando 0 resultado do Exemplo 1, temos
J .Ja2 - x2 (a + .Ja2 - X2) Y = - x dx = a In x - .J a2 - x2 + c.
Metodos de integrafiio 489
Como y = 0 quando x = a, vemos que c = 0; logo ,
( a + ../a
2
- X2) Y = a In x - ../ a2 - x 2
e a equa9ao da tractriz, ou pelo menos da parte mostrada na figura .
Se a extremidade do fio move-se para baixo no eixo y, entao uma outra parte da curva e
gerada; e se essas duas partes sao giradas ao redor do eixo y, a superficie resultante na forma de
"cometa dupla" (Fig. 10.4, a direita) chama-se pseudo-esfera. No ramo da Matematica que trata
da geometria da's superficies, a pseudo-esfera e urn modelo para a versao de Lobachevsky de
Geometria nao-euclidiana. E uma superficie de curvatura constante negiitiva, e a soma dos angulos
de qualquer triiingulo da superficie e menor que 1800 .
I
Uma outra curva famosa cuja equa9ao pode ser determinada por esses metodos de integra9ao
e a cateruiria, que e a curva formada por urn cabo flexivel pendurado entre dois pontos fixos.
as detalhes sao urn pouco complicados, e faremos a discussao no Apendice A.6.
Aos procedirnentos de substitui9ao descritos nesta se9ao pode ser dada uma justifica9ao geral
ou uma prova semelhante a que foi dada na Se9ao 10.2. as estudantes interessados em tais
assuntos acharao os detalhes no Apendice B.8.
Problemas
Calcule cad a uma das seguintes integrais :
1. J ../a2 - x 2 2. J x 2dx 3. J d~ 4 J dx 2 dx.
../4 -x2' (a2 + X2)2' X . x2../a2 + x 2'
J x 3 dx 6. J dx 7. J dx J dx S.
../9 - x 2' x../a2 - x 2' x../a2 + x 2' 8. ~ . x x
9. J dx
../x2 - a2'
10. J dx
X3../X2 - a2' 11. J ../a2+x2~. 12. J x 3dx a2 + x 2'
J a2 ~X2' J dx -13. 14. J ../a2 + x 2 J x 3../a2 + x 2 dx. (a2 - x 2)3/2' 15. ~. 16. x
17. J ../x2 - a2 18. J dx J x 2../a2 - x 2dx. J (1 - 4X2)3/2 ~. 2 dx. (x2 - a2)3/2' 19. 20. x
490 Ctilculo com Geometria Analftica
As seguintes .integrais seriam normalmente calculadas de modo diferente , mas , dessa vez, calcule-as
utilizando substituiyoes trigonometricas.
21. J x dx
J4 - x 2'
22. J x dx (a2 - X2)3/2 .
23 . J dx
a2 + x 2' 24.
J xdx
4 + x 2'
25. J xJ9 - x 2 dx. 26. J Ja2~ x2'
27. J xdx
J9 + x 2'
28. J xdx h 2 -4 '
29. Use integrayao para mostrar que a area de urn cfrculo de raio a e rra2 •
30. Num cfrculo de raio a, uma corda distando b unidades do centro corta uma fatia do
circulo chamado segmento. Determine uma formula para a area desse segmento.
31. Se a circunferencia (x - b)2 + y2 = a2 (0 < a < b) e girada ao redor do eixo y, 0 s6lido
de revoluyao resultante chama-se taro (veja 0 Problema 11 da Seyao 7.3). Use 0 metoda
da casca para calcular 0 volume de sse toro .
32. Calcule 0 comprimento da parabola y =x 2 entre x = 0 e x = 1. Sugestao: use 0 resultado
do Problema 29 da Seyao 10.3.
33 Calcule 0 comprimento da curva y = In x entre x = 1 e x = VB.
34. A regiao dada sob cada uma das seguintes curvas e girada ao redor do eixo x. Calcule 0
volume do solido de revoluyao.
X 3/ 2 (a) y = r-y-;-; entre x = 0 e x = 4.
"X· + 4 1 .
(b) y = x 2 + 1 entre x = 0 e x = I.
(c) y = V4 - x 2 entre x = 1 e x = 2.
Metodos de integrofiio 491
10.5 COMPLETANDO 0 QUADRADO
Na Seyao lOA utilizamos substituiyoes trigonometricas para calcular integrais con tendo
Ja 2 - x 2 , Ja2 + x 2 e J:X2 - a2 . (0 caso J-a 2 - x 2 obviamente nao tern interesse .) Pelo
artificio algebrico de completar 0 quadrado, podetnos e-stender esses metodos para integrais
envolvendo 'polinomios quadniticos genericos e suas raizes quadradas , isto e, expressoes da forma
ax2 + bx + c e Jax 2 + bx + c. Lembramos aos estudantes que 0 processo de completar 0
quadrado baseia-se no simples fato de que
essa igualdade revela que 0 segundo membro e urn quadrado perfeito (0 quadrado de x + A) ,
pois seu termo constante e 0 quadrado da metade do coeficiente de x.
Exemplo 1 Calcule
J (x+ 2) dx .J3 + 2x - x 2 '
Solu~o Como 0 coeficiente do termo x 2 sob 0 radical e negativo , substituimos os termos
contendo x entre parenteses precedido por urn sinal de menos, deixando espayo para completar
o quadrado,
3 + 2x - x 2 = 3 - (x2 - 2x + ) = 4 - (x2 - 2x + 1)
= 4 - (x - 1)2 = a2 - u2,
onde u=x-l e a=2. Como x=u+l , temos dx=du e x+2=u+3 e, portanto ,
J (x + 2) dx - J (u + 3) du - J U dll + 3 J du .J3 + 2x - x 2 .Ja2 - u2 .Ja2 - u2 .Ja2 - u2
= - .J a2 - u2 + 3 arc sen ...!!...
a
= - .J3 + 2x - x 2 + 3 arc sen ( x - 1) -2- + c.
492 Ctilculo com Geometria Analttica
Exemplo 2 Calcule
J dx . x 2 + 2x+ 10·
Solu~o Completamos 0 quadrado nos termos con tendo x e escrevemos
x 2 + 2x + 10 = (x2 + 2x + ) + 10 = (x2 + 2x + 1) + 9
= (x + 1)2 + 9 = u2 + a2,
on de u = x + 1 e a = 3. Agora temos du = dx ou dx = du, logo
Exemplo 3 Calcule
Solu~iio Escrevemos
J xdx ../x2 - 2x + 5·
x 2 - 2x + 5 = (x2 - 2x + ) + 5 = (X2 - 2x + 1) + 4
= (x - 1)2 + 4 = tl2 + a2,
onde u = x-I e a = 2. Entao x = u + 1, (]x = du e temos
J x dx J (u + 1) du J u du J du ../ x 2 - 2x + 5 = . ../ u2 + a2 = ../ u2 + a2 + ../ u2 + a2 •
A segunda integral aqui foi considerada no Exemplo 2 da Se~ao 10.4. Assim temos
J du = In (u + ../u2 + a2), ../u2 + a2
Metodos de integra~iio 493
e, portanto,
J x dx = ..Ju2 + a2 + In (u + ..Ju2 + a2) .Jx2 - 2x+ 5
= ..J x 2 - 2x + 5 + In (x - I + ";'X """"2 ----:;2:-x-+~5·) + c.
Exemplo 4 Ca1cule
Solu~o
J dx .Jx2 - 4x - 5 '
Aqui nos temos
x 2 - 4x - 5 = (X2 - 4x + ) - 5 = (x2 - 4x + 4) - 9
= (x - 2)2 - 9 = u2 - a2,
onde u = x - 2 e a = 3. Usando 0 resultado do Problema 9 da Sefi:ao 10.4 (ou obtendo rapida-
mente a formula necessaria por meio da mudanfi:a u = a sec (I) completamos 0 caIculo:
J -;=:;=d=.x=-=== J dll = In (li + ..Ju2 - a2) ..Jx2 - 4x - 5 ..Ju2 -a2
= In (x - 2 + .Jx2 - 4x - 5) + c.
Se uma integral envolve a raiz quadrada de urn polinomio de terceiro , quarto ou maior
grau, entao pode-se provar que nao existe qualquer metoda geral para efetuar a integrafi:ao.
Abordaremos algumas
integrais desse tipo na Sefi:ao 10.8.
494 C~/cu/o com Geometria Ana/ttica
Problemas
Calcule as seguintes integrais.
I. I dr )2x - x 2 ' 2. I dx )5 + 4x- x 2 '
3. I dx
x 2 + 4x + 5 ' 4.
I dx
x 2 - x + I'
5. I (x + I) dx ) 2>: - x 2 . 6. I (x + 3) dx )5 + 4x - x 2 '
7. I x 2 d.r )6x - x 2 ' 8. I (x- I) dx /,(2 + 4x + 5 '
9. I (x+ 7) dx
x 2 + 2x + S ' 10.
I )x2 + 2x - 3
x+ 1 dx.
II. I d.r )x2 - 2x - 8' 12. I dx )5 + 3x - 2x2 '
13. I dx )4x2 + 4x + 17' 14. I (4x+ 3) dx (x2 - 2x + 2)3/2 .
15. I dx (x2 - 2x - 3)3/2 ' 16. I dx (x + 2»)x2 + 4x + 3 '
10.6 0 METODO DAS FRACOES PARCIAIS
Recordamos que uma fun~ao racional e urn quociente de dois polinomios. Considerando-se
que 1 pode ser denominador tal quociente, vemos que os pr6prios polinomios estao incluidos
entre as fun~oes racionais. Como sabemos, as fun~5es racionais simples
2x + 1, x
x 2 ' x' x 2 + l '
e
x 2 + 1
tern as seguintes integrais:
X2 +X, , In x,
x
11n (X2 + 1), e arc tgx.
Metodos de integrafiio 495
Nosso prop6sito nessa se'rao e descrever urn procedimento sistematico para calcular a integral de
qualquer fun'rao racional; descobriremos que essa integral pode sempre ser expressa em termos
de polinornios , fun'roes racionais, logaritmos e arco tangentes. A ideia bcisica e decompor uma
dada fun'rao racional nurna soma de fra'roes simples (chamadas frafoes parciais) , que podem
ser integradas pOI metodos abordados anteriormente .
Vma fun'rao racional chama-se propria se 0 grau do numerador e menor que 0 grau do
denorninador. Caso contrario, ela se diz impropria. Por exemplo ,
x
(x - 1)(x + 2)2
sao pr6prias , enquanto
e
e
x 2 + 2
X ( X 2 - 9)
2x 3 - 3x 2 + 2x - 4
x 2 +4
sao impr6prias. No caso em que a fun'rao a integrar seja urna fun'rao racional impr6pria, e
essencial come'rar fazendo divisoes ate obter urn resto cujo grau e men or que 0 do denominador.
Ilustraremos 0 procedimento com a segunda fun'rao impr6pria apresentada como exemplo.
A divisao resulta
2x - 3
x 2 + 412x 3 - 3x 2 + 2x - 4
2x 3 + 8x
- 3x 2 - 6x - 4
- 3x 2 - 12
- 6x+ 8
Resumindo : a fun'rao racional em questao pode ser escrita na forma
2x 3 - 3x 2 + 2x - 4 - 6x + 8
x2 + 4 = 2x - 3 + x2 + 4 . (1)
Aplicando esse processo, toda fun'rao racional impr6pria p(x)/Q(x) pode ser expressa como a
soma entre urn polinornio e uma fun'rao racional pr6pria ,
P(x) I' _. R(x)
Q(x) = po mOITIlO + Q(x) , (2)
496 Calculo com Geometria AnaUtica
onde 0 grau de R(x) e menor que 0 de Q(x). No caso particular de (1), essa decomposi~ao por
meio de uma divisao permite-nos efetuar a integra~ao bern facilmente, escrevendo
J 2X3 - 3x 2 + 2x - 4 d - 2 6 J x dx J dx x2 + 4 x - x - 3x - x2 + 4 + 8 x2 + 4
x
= x 2 - 3x - 3 In (X2 + 4) + 4 arc tg 2" + c.
No caso geral (2), essas observa~oes revelam que podemos restringir nossa aten~ao as fun~Oes
racionais proprias, pois a integra~ao de polinomios e sempre facil. Essa restri~ao e nao so
conveniente mas tambem necessaria, pois as discussOes seguintes aplicam-se somente as fun~oes
racionais proprias.
Em Algebra elementar aprendemos como reduzir fra~oes a urn mesmo denominador. Agora
devemos aprender como inverter esse processo e separar uma dada fra~ao numa soma de fra~oes
tendo denominadores mais simples. Esse procedimento chama-se decomposiriio em fraroes
parciais.
Exemplo 1 E claro que
_ 3_ + _ 2_ = 3(x + 3) + 2(x - 1) = -:--_5x....,.+_7......".,.
x - I x +3 (x-I)(x+3) (x - I)(x +3) (3)
No processo inverso come~amos com 0 segundo membro de (3) como nossa fun~ao racional
dada e procuramos constantes A e B tais que
5x+7 =~+~
(x - I)(x +3) x -I x +3· (4)
(Com 0 objetivo de compreender 0 metodo, suponhamos , por urn instante , que nao saibamos
que A = 3 e B = 2 funcionam.) Se eliminarmos as fra~oes em (4), multiplicando por (x - 1)
(x + 3), temos
5x + 7 = A(x + 3) + B(x - 1) (5)
ou
5x -r 7 = (A + B)x + (3A - B ). (6)
Metodos de integrafiio 497
Como (6) deve ser urna identidade em x, podemos achar A e B igualando os coeficientes de
mesma potencia de x. Obtemos urn sistema de duas equac;:oes a duas inc6gnitas A e B,
.{ A +B=S
3A -B= 7, cuja soluc;:ao e A = 3, B = 2.
Ha urn outro modo conveniente de encontrar A e B, utilizando (5) diretamente . Como (5)
deve valer para todo x, deve valer em particular para x = I (0' que elimina B) e para x = -3
(0 que elimina A). Resurnidamente ,
x = I : S + 7 = A( I + 3) + 0,
x = -3: - IS+ 7 =0+B(-3-1 ),
4A = 12,
-4B = - 8,
A = 3:
B= 2.
Esse metodo e mais rapido que parece e po de ser efetuado por inspec;:ao. Qualquer que seja 0
metodo que utilizemos para deterrninar A e B , (4) torna-se
-:--_S-,-x,-:+_7-:--:-:- = _ 3 _ + _ 2_
(x - I)(x + 3) x -I x + 3 '
l; esta e a decomposic;:ao da func;:ao racional do primeiro membra em frac;:oes parciais. Natural-
mente , 0 prop6sito dessa decomposic;:ao e perrnitir-nos integrar a func;:ao dada ,
J (x ~~)7/+ 3) dx = J C'( ~ 1 + x ! 3) dx
= 3 In (x - I) + 2 In (x + 3) + c.
o tipo de expansao usada em (4) fun cion a da me sma mane ira sob circunstancias mais gerais ,
como se segue :
Seja p(x)/Q(x) uma func;:ao racional pr6pria cujo denominador e urn polinomio de grau
n. Se Q(x) pode ser fatorado completamente em fatores lineares distintos x - r1 , x - r2 , .'"
x-rn,entaoexistem n constantes A 1, A 2,._,An taisque
(7)
498 Calculo com Geometria Analftica
As eonstantes dos numeradores podem ser determinadas por urn dos metodos sugeridos no
Exemplo 1; eompletando esse processo, a decomposiyao em frayoes parciais (7) forneee urn
modo flieil de integrar a funyao racional dada.
Exemplo 2 Calcule
J 6X2 + 14x - 20 dx. x 3 - 4x
Solu~o Fatoramos 0 denominador escrevendo x 3 - 4x = x(x 2 - 4) = x(x + 2)(x - 2).
Portanto, temos uma decomposiyao da forma
6x 2 + 14x - 20 6x2 + 14x ~ 20 ABC
--,.----- = = - + --+ -- ,
x 3 - 4x , x(x + 2)(x - 2) x x + 2 x - 2 (8)
onde A, Bee sao eonstantes a determinar. Para determinar essas constantes, eliminamos as
frayoes em (8), 0 que dli
6x2 + 14x - 20 = A(x + 2)(x - 2) + Ex(x - 2) + Cx(x + 2).
Pondo x = 0, - 2,2 (este e 0 segundo metodo do Exemplo 1), vemos facilmente que A = 5,
B = -3 e C= 4 , logo , (8) se torna
6x2t 14x - 20 =~ __ 3_+_4_
x 3 - 4x x x + 2 x - 2 .
Temos portanto
J 6X2 + 14x - 20 x 3 _ 4x dx = 5 In x - 3 In (x + 2) + 4 In (x - 2) + c.
Teoricamente todo polinomio Q(x) com coeficientes reais pode ser fatorado completamente em
fatores line ares e quadraticos reais, alguns dos quais podem ser repetidos *.
* Essa aImn~ao e uma conseqtiencia do Teorema Fundamental da Algebra, que e abordado na Se"ao 14.12
(Volume 11).
Metodos de integrafQO 499
Na pratica, essa fatorayao e dificil de ser efetuada para polinomios de grau maior ou igual a 3,
exceto em casos particulares. Todavia, vamos adrnitir que is to esteja feito e vejamos como a
decomposiyao (7) ·deve ser alterada, levando em conta as circunstancias mais gerais que podem
ocorrer.
Se urn fator linear x - r ocorre com multiplicidade m , entao 0 correspondente termo
A/(x - r) na decomposiyao (7) deve ser substituido por uma soma da forma
~+~+
x - r (x - r)2
Urn fator quadratico x 2 + bx + c de multiplicidade 1 da origem a urn (mico termo
Ax +B
x 2 + bx + c'
se esse fator quadratico ocorre com multiplicidade m enHio origina uma soma da forma
A1x +B1 + A2x +B2 +
x 2 + bx + C (x2 + bx + C)2
+ Amx +Bm
(x2 + bx + c)m .
Assim completamos 0 assunto: a teoria garante que toda funyao racional propria pode ser
expandida nurna soma de frayoes parciais da mane ira descrita acima * .
Exemplo 3 Calcule
J 3 X 3 - 4x
2
- 3x + 2
4 2 dx. x - x
Soluy3o Temos
*
3x 3 - 4x 2 - 3x + 2 3x 3 - 4x 2 - 3x +
2
X 4 - x 2 X 2(X + I)(x - I)
ABC D
= x + x 2 + X + 1 + x -I .
Essa afuma~o chama-se Teorema lias Frafoes ParciJIis e sera provada no Apendice B.9. Os estudantes
notarao que a descri~o acima da decomposi~o ern frayoes parciais pressupoe que 0 coeficiente da
potencia mais alta de x ern Q(x) e 1; isto sempre pode ser arranjado por urn ajuste algebrico simples.
500 Oilculo com Geometria Ana[(tica
Eliminando as frayoes, ternos a identidade
3x3 - 4x 2 - 3x + 2 = Ax(x + 1 )(x - 1) + B(x + 1 )(x - 1)
Fazendo
x=O: ternos
x = 1: ternos
x=-l: ternos
2=-B,
-2= W ,
-2=-2C,
+ Cx2(x - 1) + Dx 2(x + 1).
B=-2 ;
D=-l;
C=l.
Igualando os coeficientes de x 3 , obternos
3 = A + C + D, logo A = 3.
Nossa decornposiyao em frayoes parciais e, entao ,
3x3 - 4x2 - 3x + 2 3 2 1 1
------:----:--- = - - - + -----
X 4 - x 2 X x 2 X + 1 x -I '
logo
J
3X3 - 4x2 - 3x + 2 2
4 2 dx = 3 In x + - + In (x + 1) - In (x - 1) + c.
x -x x .
Exernplo 4 Calcule
J 2X3 + x
2 + 2x - 1
X 4 - 1 dx.
Solu\!8o Ternos
2x3 + x 2 + 2x - 1 2x 3 + x 2 + 2x - 1
X 4 - 1 (x + 1 )(x - 1 )(x 2 + 1)
=~+~+Cx+ D
x + 1 x -I x 2 + 1 '
logo
Fazendo
Metodos de integra(:iio 501
2x3+ x 2+2x -1 = A(x -I )(x2 + 1)+ B(x+ 1)(x2 + I)
x= 1: temos 4 =4B,
x=-I: temos -4 = -4A,
x=o: temos -1 = -A + B - D,
+ Cx(x2 - I) + D (x2 - I).
B = 1;
A = 1;
D=l.
Igualando os coeficientes de x 3 , temos
2 = A + B + C, logo C = o.
Portanto nossa decomposi~ao em fra~oes parciais e
2x3 + x 2 + 2x - 1 1 1 1
------- = --+ --+--X4 - 1 x + 1 x -I x 2 + 1 '
logo
f 2X3 + X2 + 2x - 1 X4 _ 1 dx = In (x + I) + In (x - I) + arc tg x + c.
Como comentario final , salientamos que todas as fra~oes parciais que podem aparecer tern a forma
A
(x - r)n
Ax+ B
n = 1, 2, 3, ... ou (x2 + bx + c)n'
Fun~oes do primeiro tipo podem ser integradas usando a substitui~ao u = x - r, e e claro que os
resultados sao sempre fun~6es racionais ou logaritmicas. Vma fun~ao do segundo tipo na qual
os polinomios quadraticos Xl + bx + c nao tern fatores lineares , is to e, as raizes de
Xl + bx + C = 0 sao completas , pode ser integrada completando 0 quadrado e fazendo uma
substitui~ao adequada. Quando isto e feito, temos integrais das formas
502 Oilculo com Geometria Ana/(tica
A primeira destas e 1/2 In(u 2 + k 2) se n = 1 e (u 2 + k2)1-n/2(1 - n) se n> 1. Quando n = 1,
a segunda integral e dada pela f6rmula
J du I u2 + k2 = k arc tg k' u
o caso n > 1 pode ser reduzido ao caso n = 1, par aplicayao repetida daf6rmula de reduriio
Enunciamos essa f6rmula complicada com 0 prop6sito de mostrar que as unicas funyoes que
surgem do procedimento de reduyao indicado sao funyoes racionais e arco tangente. A pr6pria
f6rmula pode ser verificada por derivayao ou obtida pelos metodos da pr6xima seyao.
Essa discussao mostra que a integral de qualquer funyao racional pode ser expressa em
. termos de polinomios, funyOes racionais , logaritmos e arco tangentes. 0 trabalho detalhado pode
ser muito penoso , mas pelo menos 0 caminho que deve ser seguido e nitidamente visivel.
Problemas
1. Expresse cada uma das seguintes funyoes racionais impr6prias como soma de urn polinomio
e uma funyao racional pr6pria e integre:
x 2 (a) --;
x-I
(d) .x+ 3.
x+2'
x 2 -1 '
(e) x2 + I'
Calcule cada urna das seguintes integrais:
2. J 12x - 17 d x. (x-I)(x-2) 3.
J . 14x- 12 d
2X2 - 2x- 12 x .
4. JIO-2X x2 + 5x dx. 5. J 2x+ 21 dx. x 2 -7x
6. J 9x2 - 24x + 6 d x3 - 5x2 + 6x x. 7. J x 2 + 46x- 48 x3 + 5x2 - 24x dx.
Metodos de integrafiio 503
8. J 16x2 + 3x - 7 dx.
x3- x 9.
J 4x2 + 11x-117
3 2 dx.
X + lOx - 39x
10. J 6x2 - 9x+ 9 x3 _ 3x 2 dx. 11. J -4x2 - 5x- 3 3 2 dx. x +2x + x
12. J 4x2 + 2x + 4 dx.
x 3 + 4x 13.
J 3x2 -.\+ 4
x 3 + 2x2 + 2x dx.
14. Use frar;:oes parciais para obter a formula
J ~=J...ln a+x a2 - x 2 2a a - x'
Calcule tarnbem essa integral por substituir;:ao trigonometrica e verifique que as duas
respostas coincidem.
15. Na Ser;:ao 10.1, a formula
J sec u du = In (sec u + tg u)
foi obtida com urn truque. Deduza-a integrando
por frar;:oes parciais.
16. Calcule
(a) J 3 sen e de .
cos2 e - cos e - 2 '
J cos u du 1 - sen2 u
J 5et dt (b) e21 +e l -6'
17 No Problema 14 da Ser;:ao 8.5 foi afirmado que a equar;:ao diferencial
dx
- = kab(A - x)(B - x) dt ' A =1= B,
504 Cdlculo com Geometria Analftica
tern
B(A - x) = ekab(A-B)1
A(B - x)
como solU9ao , tal que x = 0 quando t = O. Determine essa solU9ao usando fra90es parciais.
18. Verifique a formula de redu9ao (9) derivando 0 primeiro termo da direita.
10.7 INTEGRACAO POR PARTES
Quando escrevemos a formula da derivada de ·um produto (a regra do produto) na nota9ao
de diferencial, temos
d(uv) = u dv + v du ou u dv = d(uv) - v du,
e, por integra9ao , obtemos
J u dv = uv - J v duo (1)
Essa formula fornece urn metoda de calcular I u dv no caso em que a segunda integral Iv.du e
mais facil de calcular. 0 metodo chama-se integra{:iio por partes e , com freqiiencia, funciona
quando todos os outros metodos falham.
Exemplo 1 Calcule
f x cos x dx.
Solu~o Fazendo
u = x, dv = cosxdx,
teremos
du = dx, v =senx ,
Metodos de integrofiio 505
Aplicando (1) , obtemos
J x cos x dx = x sen x - J sen x dx.
Tivemos sorte, pois a integral da direita e faci! o Temos, portanto ,
J x cos x dx = x sen x + cos x + C.
Vale a pena notar nesse exemplo que poderfamos ter escolhido u e dv de modo diferente. Se
fizessemos
u = cos x, dv ~ x dx,
entao du = -senx dx,
e usando (1) obterfamos
J x cos x dx = tx2 cos X + t J x 2 sen x dx.
Essa equar,;ao esta correta, mas e completamente inutil como meio de resolver nosso problema , pois
a segunda integral e mais diffcil que a primeira. Insistimos que os estudantes aprendam com a
experiencia e usem tentativa e erro tao inteligentemente quanto possivel na escolha de u e dv .
Os estudantes devem tambem se sentir liVIes para abandonar urna escolha que nao parece funcionar
e partir rapidamente para uma outra escolha que oferer,;a mais esperanr,;a de sucesso.
o metodo da integrar,;ao pOI partes se aplica particularmente bern aos produtos de diferentes
tipos de funr,;oes , tais, como x cos x no Exemplo 1, que e urn produto de urn polinomio por uma
funr,;ao trigonometrica. Ao utilizar esse metodo , a diferencial dada deve ser pensada como urn
produto u. dv. A parte chamada dv deve ser algo que possamos integrar , e a parte chamada
u deve ser usualmente algo que e simplificado por derivar,;ao , como no nosso exemplo seguinte.
Exemplo 2 Calcule f In x dx.
Solu~o Aqui nossa unica escolha e
u = In x , dv = dx,
506 Cdlculo com Geometria Ana/(tica
logo
e temos
dx du=-
x'
v = x,
J In x dx = x In x - J x ~ = x In x - x + c.
Em alguns casos e necessario efetuar duas ou mais integrayoes por partes, sucessivamente.
Exemplo 3 Calcule J x 2iX dx.
-Solu~o Fazendo
dv = eX dx,
en tao
du = 2xdx,
e (1) nos da
(2)
Aqui a segunda integral e mais facil que a primeira, e assim nos sentimos encorajados para
continuar da mesma maneira. Quando integramos a segunda integral por partes , com
u = x, dv = eX d.,,(,
. de modo que
du= dx,
entao temos
Metodos de integrafiio 507
Quando esta e inserida em (2), nosso resultado fmal e
As vezes aeonteee de a integral da qual partimos apareeer uma segunda vez durante a
integrarrao por partes e . nesse easo , com frequencia e possivel isolar essa integral por cilgebra
elementar.
Exemplo 4 Caleule
JeX cos X dx.
Solu~o Por eonvenieneia denotamos essa integral por J Se pusermos
dv = eos x dx,
enta~
du = eX dx, v = sen x,
e a apliearrao de (1) fornece
J = eX sen x - J eX sen x dx. (3)
Agora ehegamos a uma parte interessante desse problema. Embora a nova integral nao seja mais
flieil que a anterior , verifica-se que e proveitoso aplicar 0 mesmo metodo para a nova integral.
Assim, fazemos
du = sen x dx ,
de modo que
du = eX dx, v= -cos x,
508 C41culo com Geometrill Analftica
e obtemos
J eX sen x dx = - eX cos x + J ex cos x dx. (4)
A integral a direita e J, novamente; logo, podemos escrever (4) como
J eX sen x dx = -eX cos x + J. (5)
A despeito das aparencias , nao estamos num circulo vicioso, pois , substituindo (5) em (3), temos
J = eX sen x + eX cos x - J.
Agora e facil isolar J, escrevendo
2J = ex senx + eX cos x ou J = t(eX sen x + eX cos x),
e tudo que resta e acrescentar a constante de integrayao:
J eX cos x dx = teX(senx + cos x) + c.
o metodo desse exemplo e, muitas vezes, utilizado para fazer uma in-tegral depender de uma
integral mais simples do mesmo tipo e assim obter lima formula de reduriio conveniente cuja
aplicayao repetida leve ao clilculo da integral dada.
Exemplo 5 Determine uma f6rmula de reduyao para
I n = fsenn x dx.
Soluyio Integramos por partes com
u = senn-1x, du = senx dx ,
e assim
du = (n -1)senn- 2 x cos x dx, v= -cos x,
Metodos de integra9iio 509
e, portanto ,
In = -senn-l x cos x + (n - 1) J senit-2 X cos2 X dx
= -':"'senn-l X cos X + (n - 1) J senn-2 x(l -sen2 x) dx
= -senn- 1 X cos X + (n - 1) J senn-2 X dx - (n - 1) J senn X dx
= -senn-l x cos x + (n - 1) In-2 - (n - 1) I n.
Transpomos agora 0 termo envolvendo ln e obtemos
nJn = -sen n- 1 x cos x + (n - 1)Jn-2,
de modo que
I n - 1 1 =--senn- 1 xcos .x +--J 2
n n n n-'
ou, equivalentemente ,
J I n-1J sen n X dx = -nsenn-l x cos x + -n- senn-2 x dx.
A formula de reduyao (6) permite-nos reduzir de 2 0 expoente de sen x.
repetida dessa formula podemos , 'portanto, reduzir fmalmente I n para 10 ou
n seja par ou impar. Mas ambas integrais sao faceis de calcular :
(6)
Por aplicayao
11 , con forme
10 = J sen 0 x dx = J dx = x e 11 = J sen x dx = -cos x.
Por exemplo , com n = 4 , temos
J sen4 x dx = - t sen3x cos x + 1 J sen 2 x dx,
510 elilculo com Geometria Analftica
ecom n=2,
J sen2 x dx = -1 senx cos x + 1 J dx
= - 1 senx cos x + !x.
Portanto,
J sen4 x dx = - t sen3,x cos X + -i(- 1 sen x cos x + !x)
= - t sen3 X cos X - i sen x cos X + ix + c.
o mesmo resultado pode ser obtido por tecnicas anteriores, dependendo do uso repetido das
f6gnulas do angulo-metade, mas os metodos que acabamos de ver sao mais eficientes para
expoentes grandes. No nosso pr6ximo exemplo ilustraremos uma outra maneira pela qual podemos
usar a f6rmula de reduyao (6).
Exemplo 6 Calcule
1"/2 o sen8 X dx .
Sol~o Por conveniencia, escrevem~
Pela f6rmula (6), temos
1 ]1<12 n - 1 1 "/2
. In = --senn- I X cos X + -- senn-2 X dx,
non 0
logo
Metodos de integra(:iio 511
Aplicamos essa f6rmula para n = 8, depois repetimos para n = 6, n = 4, n = 2:
Portanto,
Observa~o 1 A formula de redu9ao (6) pode tambem ser usada para estabelecer uma das
formulas mais fascinantes da Matematica, 0 produto infinito de Wallis para rr/ 2:
7r 224466
-=-'-'-'-'-'-
2 3 3 5 5 7
Para os detalhes da prova, veja 0 Apendice A.5 do Volume II.
Observa~o 2 Na Se9ao 9 .5 apresentamos af6rmula de Leibniz para rr/4:
7r \ \ \
-=\-- + --- +
435 7
Para os estudantes interessados em detalhes pouco conhecidos da historia da Matematica ,
descrevemos no Apendice A.6 do Volume II a maneira usada pelo proprio Leibniz para descobrir
sua formula com uma aplica9ao muito engenhosa da integra9ao por partes.
Problemas
Calcule cada uma das seguintes integrais pelo metodo da integra9ao por partes:
1. Ix In x dx. 2. I arc tgx dx.
3. Ix arc tgx dx. 4. Ixe= dx.
5. I eX sen x dx. 6. I e= cos bx dx.
7. I Ji - x2 dx. 8. I arc sen x dx.
9. f x arc sen x dx. 10. 1~/2 o x sen x dx.
II. f x cos (3x - 2) dx. 12. f arc tgx d 2 x.
X
512 Oilculo com Geometria Anal(tica
13. Ix sec2 X dx.
15. I In (a2 + x 2) dx.
17. J I:X dx.
14. Isen(lnx)dx.
16. Ix2 1n (x + 1) dx.
18. J (In X)2 dx.
19. A regiao sob a curva y = cos x entre x = 0 e x = rr/2 e girada ao redor do eixo y. Ca1cule
o volume do solido resultante.
20. Calcule I (arc senx)2 dx. Sugestao: faya a substituiyao y = arc senx .
21. Se p(x) e um polinornio, mostre qtle
J P(x)eX dx = (P - P' + P" - P'" + .. . )e x .
N.os dois problemas seguintes, deduza uma formula de reduyao e apbque-a ao(s) caso(s)
particular(es) indicado(s).
22.
(a) J cos" x dx = ~ sen x COSn-1 X + n: 1 J COSn-2 X dx.
(b) 1" /2 cos7 x dx.
(c) i~/2 cos8 X dx.
23. (a) I(ln x)" dx = x(ln x)" - nI(ln X)n-I dx.
(b) I(ln x)~ dx.
24. A regiao sob a curva y = sen x entre x = 0 e x = rr e girada ao redor do eixo y. Calcule
o volume do solido resultante (a) pelo metodo da casca, (b) pelo metodo da arruela.
25. A curva do Problema 25 e girada ao redor do eixo x. Calcule a area da superficie de
revoluyao resultante .
Metodos de integrariio 513
10.8 (OPCIONAL) FUNCOES CUJAS INTEGRAlS NAo PODEM SER
EXPRESSAS COMO FUNCOES ELEMENTARES
Ate aqui descrevemos todos os metodos-padrao de integrayao que se espera que 0 estudante
conheya. Faltam algumas tecnicas adicionais de menor importancia, e duas delas serao resumida-
mente esboyadas nos problemas abaixo ; mas , para a maioria dos objetivos pniticos, alcanyamos 0
Hm dessa estrada particular.
Apesar dos muitos sucessos alcanyados pelos metodos deste capitulo , certas integrais sempre
resistiram a toda tentativa de expressa-las em termos de funyoes elementares, como, por exemplo ,
J e-x2 dx, J eX J cos x 2 dx, -dx,
x
J dx
In x' J ../sen x dx, J se~ x dx.
Ha tambem as chamadas integrais elipticas , das quais
J ../ 1 - x 3 dx e J dx ../ 1 - X4
sao exemplos *.
No seculo XIX, foi Hnalmente provado pelo grande mate matico frances Liouville e seus discipulos
<l,ue 0 problema de resolver essas integrais em termos de funyOes elementares nao e meramente
dificil - e, na verdade , impossivel.
Toda a profundidade das ideias de Liouville nao pode ser avaliada num curso de Ca1culo.
Todavia, e bern possivel ter alguma impressao de como essas ideias funcionam sem necessaria-
mente empreender urn longo program a de estudo preliminar. Entre outras coisas, Liouville
descobriu e provou 0 seguinte teorema:
*
Se f(x) e g(x) sao funroes racionais e g(x) niio e constante e se ff(x)eg(X) dx e uma funriio
elementar, entiio essa integral iJeve ter a forma
Jf(x)eg(X) dx = R(x) eg(x)
para algumafunriio racional R(x).
Em geral, uma integral eliptica e qualquer integral da forma J R (X, y)dx, onde Rex, y)e uma fun~ao
raciona! de duas varhiveis x, y e onde yea raiz quadrada de urn polinomio de 3C? ou 4C? grau em x. 0
nome "integral eliptica" e usado porque uma integral desse tipo aparece no problema de achar 0 compri-
mento de uma elipse.
514 Colculo com Geometria Analftica
llustramos 0 valor de sse teorema usando-<> para provar que a integral
(1)
nao e elementar (isto e, nao pode ser expressa em termos de funyoes elementares). Suponha,
ao contnirio, que essa integral seja elementar. Entao , pelo Teorema de Liouville, teremos que
J
eX
- dx = R(x)eX
x
para alguma funyao racional R. Mas isto significa que
logo,
eX d x = dx R(x)eX ou
eX
= R(x)ex + R '(x)ex
x
.!. = R(x) +R'(x)
x
(2)
ComoR(x) e racional, podemos escreve-la na forma R(x) = P(x) /Q(x) , onde P(x) e Q(x) sao
polinomios sem fator comum. Sabemos que
logo , (2) fica sendo
que e equivalente a
ou
x
R '(x) = Q(x)P'(x) - P(x)Q'(x)
Q2(X)
P(x)
Q(x)
Q(x )P'(x) - P(x )Q'(x)
Q2(X)
Q2(x)
=xp(x)Q(x) +x(Q(x)P'(x) - P(x)Q'(x »
Q(x)(Q(x) - x P(x) - xP'(x» = - x P(x)Q'(x ). (3)
Metodos de integra~iio 515
Nosso objetivo e chegar a uma contradiyao a partir de (3); fazemos da seguinte maneira: seja xn
a maior potencia de x que pode ser fatorada do polinomio Q(x), de modo que Q(X) = XnQl(X),
onde Q 1 (x) e urn polin6mio tal que Q 1 (0) =1= 0. N6s primeiro observamos que n > 0, pois,
se n = 0, enta~ Ql (0) = Q(O) =1= 0, e terfamos que x = ° reduz 0 29 membro de (3) a zero, mas
nao 0 19 membro, 0 que nao pode ocorrer, pois (3) e uma identidade em x. Isto implica dois
fatos que necessitamos a fim de obter nossa contradiyao final. Primeiro, P(O) =1= 0, pois P(x) e
Q(x) nao tern fator comum e, portanto, x nao pode ser urn fator de p(x) . Segundo, temos
Q'(x) = xnQ;(x) + nxn-1Ql(X)
= xn-1[xQ;(x) + nQl(x)] ;
e como 0 polinornio entre colchetes tern urn valor nao-nulo quando x = 0, sabemos que xn- 1
e a maior potencia de x que pode ser fatorada de Q '(x). Esses dois fatos implicam que xn e
a maior potencia de x que pode ser fatorada do polinomio do 29 membro de (3). No entanto
xn + 1 pode ser fatorada do 1 C? membro. Essa contradiyao leva-nos a conc1usao de que (2) e
impossivel, logo, a integral (1) nao e elementar.
Observa~ao 1 Sabemos de nosso trabalho na Seyao 6.7 que , para todo integrando continuo,
a integral defmida
F(x) = LX f (t) dt (4)
existe e tern a propriedade de que
d
dx F(x) = f(x). (5)
Como (5) e equivalente a
J f (x ) dx = F(x),
vemos que a integral indefinida de toda funyao continua existe. Entretanto, esse fato nao tern
nada a ver com 0 problema da possibilidade de a integral ser expressa em termos de funyoes
elementares. Quando tal expressao nao e possivel, a formula (4) pode ser pensada como urn
metodo legitimo e, as vezes, util de criar novas funyoes. Por exemplo, a funyao nao-clementar
de x definida por
- e-r' 12 dt 1 Ix
J2ic 0 .
516 C61culo com Geometria Anal(tica
tern aplicayoes importantes na teoria da probabilidade e, por essa razao, foi estudada e tabulada.
Desse modo, adquiriu urn certo "status" de "funyao conhecida".
Observa~o 2 E flicil ver que
toma-se J dl In l
com a substituiyao t = ex; para x = In t, dx = dt/t e, portanto ,
J eX dx - J t dl - J dt x In t t In t
Como sabemos que a III integral nao e elementar, e claro que a 2? integral tambem nao serA
elementar. Vale a pena notar isto, pois a funyao de x definida por
[x dl
)2 'Int (6)
tern grande importancia na Teoria dos Nfuneros Primos e 0 comportamento dessa funyao para
valores grandes de x tern sido estudado exaustivamente por mais de urn seculo . [0 litp.ite inferior
de integrayao em (6) foi escolhido como 2 , a fun de evitar 0 ponto t = 1, onde In t = O. ]
Problemas
1. Considere uma integral da forma J R(sen x, cos x) dx, on de 0 in te gr an do e uma funyao
racional de sen x e cos x. Mostre que a substituirrao
z = tg tx
converte essa integral na integral de uma funyao racional de z, que pode , entao , ser calculada
com procedimentos de rotina. Sugestao: mostre que
1
sec2 - x = 1 + Z2 2 '
2z
sen x = 1 + Z2'
cos X = cos 2 - x =--(
1 ) 1 - Z2
2 1 + Z2'
e
2dz
dx= 1 + Z2'
2. Use 0 metodo do Problema 1 para achar
J dx (a) 2+cosx; (b) J sen x dx . 2 + sen x
3. Use 0 metodo do Problema 1 para calcular
(a) f sec x dx; (b) f tg x dx.
Metodos de integra(:iio 517
Expresse suas respostas na forma usual [isto e , In(sec x + tg x) e -InC cos x)] .
4. Use 0 metodo do Problema 1 para obter as seguintes f6rmulas:
(a) J dx - J 2dz .
a + b sen x - az2 + 2bz + a'
(b) J dx = J 2dz .
a + b sen x + c cos x (a - C)Z2 + 2bz + (a + c)'
J sen x dx J 4z dz (c) I + senx = (I + z)2(l + Z2);
(d) J cos x dx = J (I - Z2) dz .
I + cos x 1+ Z2
Uma substituipio racionalizante e uma mudan9a de varhivel que elimina radicais ou expoentes
fraciomirios. Ache as seguintes integrais utilizando essa ideia:
5. J dx,--. Sugestao: fa9a u = JX.
I + vx
6. J JX+ I dx.
JX-I
7 J dx Sugestao: fa"a u = 'iX.
. JX+VX ' T
518
15.
Ctilculo com Geometria Anal(tica
8. I 3fXdx 9. I~dx. 4(1 + x 3/4)' I+x
10. I x
2
/3 11. I VX I +x dx. -rx dx. I + x
12. I dx
x(l - VX)· 13. I -.Ix + 2 dx x+3 .
14. I {J\+ I dx.
A integral eliptica particular
chama-se integral eliptica de jq especie. Mostre que cada urna das seguintes integrais pode
ser transformada nessa forma por meio da substitui9ao indicada:
(a) I dx = I du , u = sen x -
-.l1-klsen2x -.I(I-u2)(I-k2u'2) ,
(b) J dx = J du u=senx
-.lcos 2x -.1(1 - u2)(1 - 2u2)' ,
(c) J ~= 2 I du u=sen.!.x
-.lcos x -.1(1 - u2)(1 - 2u2) , 2 '
(d) J dx = J2 [J du I
-./cos x - eos Q -.I( I - u2)( I - k2u2) , U = sen "2 x e
1 k = cosec "la .
16. Considere a integral da parte (b) do Problema 15,
f dx f dx -.leos 2x = -.II - 2 sen2 x ·
M~todos de integrariio 519
Mostre que a substitui9ao u = tg x transforma essa integral na integral eliptica particular
J du ,)1 - u4 '
17. Se p e q sao nfuneros racionais , mostre que a integral
(*)
e elementar em cad a urn dos seguintes casos:
(a) p e urn inteiro (Sugestao: se q = min com n > 0 , fa9a 1 - n = un .);
(b) q e urn inteiro;
( c) p + q e urn inteiro [Sugestao:
o mate matico russo Chebyshev provou que estes sao os unicos casos para os quais a integral
(*) e elementar. Portanto ,
JFx ~ 1 - x dx, J Vi,) 1 - x dx, J ~ x - x 2 dx
nao sao elementares.
18. Use 0 Teorema de Chebyshev enunciado no Problema 17 para provar que nenhurna das
seguintes integrais e elementar :
(a) Nl - x 3 dx;
(b) Nl - x4 dx;
(c) f,)1 - xn dx, onde n e urn inteiro qualquer > 2;
(d) J ~, onde n e urn inteiro qualquer > 2; 1 - xn
520 Cdlculo com Geometria Anaiftica
19. Use 0 Problema 17 para provar que
(a) J"; sen x dx nao e elementar (Sugestao: fa9a u = sen2 x.);
(b) J serRx dx~ onde p e urn numero racional, e elementar se e somente se p e urn inteiro;
(c) J serRx cosqx dx, on de p e q sao nUmeros racionais , e elementar se e somente se p
ou q e urn inteiro impar ou p + q e urn inteiro par.
10.9 . (OPCIONAL) INTEGRACAO NUMERICA
Do ponto de vista te6rico, 0 principal valor do c:ilculo e intelectual - ajuda·nos a
compreender as conexoes subjacentes entre os fen6menos naturais. Entretanto, todos os que
utilizam 0 c:ilculo como urn instrumento pnitico na Ciencia ou Engenharia devem enfrentar
ocasionalmente a questao de como a teoria pode ser aplicada para produzir metod os uteis de
efetuar c:ilculos numericos reais.
Nesta se9ao, consideramos 0 problema de computar 0 valor numerico de uma integral
definida
f f(x) dx (1)
com qualquer grau desejado de precisao. A fim de encontrar 0 valor de (1) usando a formula
f f(x) dx = F(b) - F(a), (2)
devemos ser capazes de achar a integral indefinida F(x ) e de calcular seus valores em x = a e
x =:= b. Quando isto nao e possivel , a f6rmula (2) nilo tern uso pnitico. ·Essa abordagem falha
inclusive para integrais aparentemente simples, tais como
e - dx I5 eX I x '
pois nao existem fun90es elementares cujas derivadas sejam ";sen x e ex/x (veja a Se9ilo 10.8).
Metodos de integrofiio 521
Nosso objetivo aqui e descrever dois metodos de computar 0 valor numerico de (1) tao
acuradamente quanta desejarmos, com procedimentos simples que podem ser aplicados
independentemente de podermos encontrar a expressao para a integral indefmida. As f6rmulas
que desenvolveremos usam somente aritmetica simples e os valores de [(x) num nfunero fmito
de pontos do intervalo [a. b]. Em comparayao com 0 uso das somas aproximadoras que sao
utilizadas na definiyao de · integral (veja a Seyao 6.4), as f6rmulas desta seyao sao mais eficientes
no sentido de que dao uma precisao muito melhor para a mesma quantidade de trabalho
computacional.
A Regra do Trapezia
Seja 0 intervalo [a. b] dividido em n partes iguais pelos pontos xo. Xl •.. .• xn de Xo = a
a xn = b. Sejam Yo. Yl •...• Y n os correspondentes valores de Y = [(x). N6s entao aproximamos
a area entre [(x) e 0 eixo x, para xk-l .;;; x .;;; xk' pelo trapezio cuja aresta superior eo
segmento que une os pontos (xk-1' Yk-1) e (xk' Yk) (Fig. 10.5).
A area desse trapezio e, obviamente ,
Se escrevermos
Figura 10.5
b-a t.x = Xk - X'- =--~-l n '
(3)
(4)
e somarmos as expressoes (3) para k = 1, 2, ... , n. teremos a f6rmula para 0 valor aproximado da
integral
f f(x) dx ~ (~ Yo + Yl + Y2 + ... + Yn-l + ~ Yn ) !:u.
522 Oilculo com Geometria Analftica
Cada urn dos y, exceto 0 primeiro eo ultimo, ocorrem duas vezes, e isto explica a diferen9a entre
seus coeficientes e os demais. Essa f6rmula chama-se regra do trapezio.
Exemplo 1 Use a regra do trapezio com n = 4 para calcular urn valor aproximado da integral
LI .J! - x 3 dx.
Aquiy = f(x) = ~ e Xo = 0, Xl = 1/4, X2 = 1/2, X3 = 3/4, X4 = 1.
Podemos computar os y facilmente usando uma tabela de raizes quadradas :
Yo = 1,
YI = JY = '1'0,984= 0,992 ,
Y2 = ,[{ = '1'0 ,875 = 0 ,935,
Y3 = "* = '1'0,578= 0,760,
Y4 = 0.
Pela regra do trapezio , temos, portanto ,
11 1 o .) 1 -:- x 3 dx ;:;: '4 (0,500 + 0,992 + 0,935 + 0,760 + 0,000) = 0,797.
Regra de Simpson
Nosso segundo metodo baseia-se num artificio mais engenhoso que aproximar cada peda90
pequeno da curva por urn segmento de reta. Desta vez aproximamos cada peda90 por urna parte
de urna parabola que "se ajusta" a curva da maneira que irernos descrever.
Novamente dividimos 0 intervalo [a, b] ern n partes iguais , mas agora exigimos que n seja
urn inteiro par. Considere os tres primeiros pontos xo, Xl, X2 e os correspondentes pontos sobre
a curva y = f(x) (Fig. 10.6). -
\
\
\
\
\
Yo Y l
Figura 10.6
I
I
Metodos de integrar;iio 523
Se esses pontos nao forem colineares , existini uma (mica parabola com eixo vertical e que passa
por todos esses tres pontos. Para ver isto, lembre-se de que a equa9ao de qualquer parabola com
eixo vertical tern a forma y = p(x) , onde p(x) e urn polinomio quadratico, e observe que esse
polinomio pode sempre ser escrito na forma
(5)
Escolhemos as constantes a, b, c para fazer com que a parabola passe pelos tres pontos em
considera9ao , como esta indicado na figura. Tres condi90es sao necessarias:
Em x =xo ,
Em x = x l'
Em X = X2,
a = Yl;
(6)
(7)
Podemos isolar as constantes bee nas equa90es (6) e (7). Entretanto, convem usar a defmi9ao
(4) de!:::.x e 0 fato de que a = Yl para escrever essas equa90es na forma
das quais obtemos
- b ~x + C ~X2 = Yo - Yl ,
b ~x + C ~X2 = Y2 - Y l ,
(8)
524 Ctilculo com Geometria AnaUtica
Consideramos que a parabola (5) seja uma boa aproxima9ao a curva Y = f(x) no intervalo
[xo. Xl] e computamos essa parte da integral (1); portanto,
Expressando esse resultado em termos de 6x , obteremos
Lembrando que a = Yl , podemos escrever (8) na forma
o mesmo procedimento pode ser aplicado em cada urn dos intervalos [X2' X4], [X4. X6], .. .
Somando os resultados chegamos a formula para 0 caIculo aproximado da integral
Jb 1 a f(x) dx ~ "3 (Yo + 4Yl + 2.1"2 + .. . + 4Yn- l + Yn) ~x,
que se chama regra de Simpson. Salientamos especificamente a estrutura da expressao entre
parenteses: Yo e Y n ocorrem com coeficiente 1; os Y com indices pares ocorrem com
coeficiente 2; e os Y com indices impares ocorrem com coeficiente 4.
Todo estudo serio de urn metodo de caIculo aproximado deve inc1uir uma estimativa
detalhada da grandeza do erro cometido, de modo que 0 conhecimento definido do nivel de
precisao atingido seja estimado. Nao prosseguiremos aqui com esse assunto, mas simplesmente
enunciaremos que 0 erro na regra·de Simpson e sabido ser no maximo
M(b - a) ~ 4
180 x, (9)
onde M eo valor maximo de f4)(x) sobre [a. b].
Metodos de integrafiio 525
Exemplo 2 Use a regra de Simpson com n = 4 para calcular urn valor aproximado para
a integral
Desta vez temos X o = 0 , Xl
manter os caIculos em ordem:
Pela regra de Simpson obteremos
12 dx o 1 +x4 ·
I/2,x2 = I,x3 = 3/2,x4 = 2. Uma simples tabela ajuda-nos a
Yo= 1
Yl = # =0,941
Y2 = t = 0,500
Y3 = * =0,165
Y4 = n = 0,059
Yo = 1,000
4Yl = 3,764
2Y2 = 1,000
4Y3 = 0,660
Y4 = 0,059
6,483
12 dx 1 o 1 + X 4 ~ "6 (6,483)= 1,081.
Os estudantes que possuem calculadoras e gostam de trabalhar com elas tern pouca oportu-
nidade de desenvolver suas habilidades num curso de CaIculo , pois 0 CaIculo trata principaImente
de ideias e muito pouco de caIculos numericos. No entanto , os metodos e problemas desta seyao
fornecem uma profusao de materia-prima para essas calculadoras ociosas.
Problemas
1. Obviamente
11 2 o .fX dx = "3 = 0,666 . . .
Calcule 0 valor dessa integral aproximadamente com n = 4 usando
526 Ctilculo com Geometria Analftica
(a) a regra do trapezio (lembre-se de que V2 = 1,414 ... e..j3 = 1,732 ... );
(b) a regra de Simpson.
Como as duas regras sao igualmente faceis de aplicar e a regra de Simpson e, em geral, mais
precisa, a regra do trapezio e usada , raras vezes, em computa90es praticas.
2. Obviamente,
f" Jo sen x dx = 2.
Calcule 0 valor dessa integral aproximadamente usando a regra de Simpson com . n = 4.
3. 0 valor exato de
nao e conhecido. Ache urn valor aproximado usando a regra de Simpson com n = 4.
4. 0 valor exato de
f s eX - d.\"
I X
nao e conhecido. Use a regra de Simpson com n = 4 para achar urn valor aproximado.
5. 0 valor exato de
nao e conhecido, mas, com 10 casas decimais, e 0,8820810351. Calcule essa integral aproxi-
madamente usando a regra de Simpson com n = 4.
6. Ache urn valor aproximado de In 2 usando 0 fato de que
f2 dx In2 = -I X
e aplicando a regra de Simpson com n = 4. (Com 10 casas decimais, In 2 = 0,693 1471806.)
Metodos de integrar;iio 527
7. Use a f6rmula
para achar urn valor aproximado de 1T usando a regra de Simpson com n = 4 (com 10
casas decimais, 1T = 3,1415926535).
8. Suponha que os tres pontos da curva na deduyao da regra de Simpson sejam colineares.
Use (8) para mostrar que nesse caso c = 0 e conc1ua que, com essa hip6tese , a curva
atraves dos pontos e uma reta em vez de uma parabola.
9. A regra de Simpson e designada como sendo exatamente correta se [(x) e urn polinomio
quadratico. E urn fato notavel que ela da tambem urn resultado exato para polinornios
cubicos. Prove isto. Sugestao: observe que e suficiente estabelecer a afirmayao para
n = 2; dai prove-a para a funyao [(x) = x 3 ; depois estenda 0 resultado para qualquer
polin6rnio cubico.
10. Use a f6rmula (9) para provar a aflrmayao do Problema 9.
Problemas Suplementares do Capitulo 10
Se~ao 10.2
Calcule cada urna das seguintes integrais:
1. I -I3x +.5 dx. 2. I(ln -;6 dx.
3. I 6xdx 4. I e1/x dx 1 + 3x2' 2 • x
5. I cos (I - 5x) dx. 6. I sen x sen (cos x) dx.
7. I sec.JX tg .JX dx
.JX 8.
I x 3 dx
-11 - x 8 '
9. I 2xdx 1 +x4 ' 10. I x2+ 5 x2 +4 dx.
528 Ctilculo com Geometria Analttiea
11. J cotg 4x dx. 12. J dx
sen2x'
13. J dx
x(ln X)2' 14. J /~x·
15. J sec2xdx . 16. J IOx4ex' dx. tgx
17. J ex - 5) sen -2- dx. 18. J cosec2 (2 --.: x) dx.
19. I6X2 cotg x 3 cosec x 3 dx. 20. I sec2 x dx
.J I - tg2 x .
21. J dx
x [ I + (In X)2)' 22. I cotg rrx dx.
23. J dx (3x + 5)2 ' 24. I tg x sec4 x dx.
25. J dr 3 - 2x' 26. I (eX+ 2x) dx eX+ x2 - 2 .
27 . JX2 cos (I + x3) dx. 28. I sen (2 - x) dx.
29. J x cosec 2 (x2 + 1) dx. 30. J dx .
.J3 - 4x2
31. J cos x dx 1+ sen2 x 32. I dx 1+ 4x2 '
33. J dx tg 2x . 34. I(cOSeC X- 1)2 dx.
35. I arc tgx dx I +x2 . 36. I 3,)3x- 2 dx.
37. J dx 2x+ I ' 38. I (eX
- e-X) dx . eX + e-X
39. I ex!3 dx. 40. J dx
sec 2x'
41. I sec2 (senx) dx. 42. J (cosec x - cotg x) cosec x dx.
sec x
M~todos de integra(:iio 529
43. J dx Ji - 25x2' 44. J 16 :;5x2'
45. J sec x tg x dx l+sec2x' 46. J(I + sec X)2 dx.
47. J (In;2 dx. 48. J cosxdx
sen· x .
49. J sen xdx I + cos x · 50.
J 6 cosec· x dx .
I -3 cotgx
51. J dx e3x ' 52. J ex cos eX dx.
53. J sen (I: x) dx . 54. J cosec· IX dx IX
55. J cosec I/x cotg I/x dx.
x 2
56. J 4dx
:3 + 4x2'
57. J e2x dx 58. J xdx ) + e4x' sen x2'
59. J x 3../2 + X4 dx. 60. J xdx
../2 -Xl'
6l. J (I + eX) dx. 62. J xex2 dx. eX + x
63 . J 2dx rex' 64. f x sen (I - x2) dx.
65. f dx
sen2 x
66. f dx
../4 - 9x2'
67. f x tgx2 dx. 68. f sec2 x dx
..ftiX .
69. J xdx ) + x2' 70. f 2e 2x dx.
71. f xe3x2- 2 dx. 72. f 3x2 sen x 3 dx.
73. f sec x (sec x + tgx)dx. 74. f x2dx 9 + x 6 '
75. fX2/3../ I + X5/3·dx. 76. f 4x3 dx I + x 4 '
530 Ctilculo com GeometriJI Analftica
77. J sec2 x e tgx dx.
79. J (I + cos X)4 sen x dx . .
81. J cos (tg x) sec2 x dx.
78. Jx sec2 x2 dx.
i 80. J (I + cos x) dx
x +sen x .
Calcule cada uma das seguintes integrais definidas, fazendo uma substitui~ao ·adequada e mudando
os lirnites de integra~1io:
83. l lit2 2x dx
o oJ! - x 4' 84.
i1; o x sen x2 dx.
1~/4 1"/2 cos x dx
. 85. cotg 2x cosec2 2x dx . 86.
~/8 o 1 +sen 2 x
87. 14 2X.JX2 + 9 dx. 88. 13 xdx
o .Jx2 + 16'
Se~o 10.3
Calcule cad a uma das seguintes integrais:
89. J sen 2 5xdx . 90. J cos4 3x dx.
91. J cos2 7x dx. 92. J sen6 x dx.
93. J sens x cos2 x dx. 94. J sens xdx.
95. J cos3 4x dx. '96. J cos3 2x sen2x dx.
97. f cos3 xdx.
sen4 x
98. J senS xdx
• .Jcos x .
99. J sen 3/S x cos x dx. 100. J sen 2 x cos4 x dx.
101. J sec6 x dx. 102. J co~x ·
Metodos de integrafiio 531
103 J tg3 X sec? X dx. 104. J cotg4 X dx.
105. J cotg5 x dx. 106. J sen~3x'
107. J (sec 3x + cosec 3x)2 dx. 108. J dx
sec x tgx .
Se~o 10.4
Calcule cada uma das seguintes integrais:
109. J '/3 - x 2 dx. 110. J dx (a2 + X2)3/2 .
J x 2 dx 112. J '/4 - 9x2 I II dx.
a2 + x 2' x
113. J x 3,/ a2 - x 2 dx . 114. J x 3dx
'/a2 + x 2' J '/a2 + x 2 J dx 115. 2 dx. 116.
x2'/a2 - x 2' x
117. J dx
x4'/a2 - x 2' 11.8.
J dx
x2 + x 4'
119. J x2dx (a2 + X2)2' 120. J x 3(a2 - X))3/2 dx.
121. J x 2'/: - 9 ' 122. J '/x2 - 1 dx.
123. J (1 - ~2)3/2' 124. J x2dx
'/a2 + x 2'
125. J dx
x'/9 + 4x2'
126. J dx
'/9 - (x - 1)2'
127. J x 2 dx (a2 - x 2)3/2 . 128. J dx x4'/a2 + x 2'
129. J x 2 dx (a2 + X2)3/2 . 130. J '/a2 - x 2 .x4 dx.
131. J x2 dx .
'/x2 - a2
J x 3dx 132. (X2 _ a2)3/2'
532 Calculo com Geometrio Analttica
Se~ao 10.5
Calcule cada uma das seguintes integrais:
133. J dx
../65 - 8x-x2 · 134.
135. J dx
5x2 + lOx + 15· 136.
137. J dx
../2 + 2x - 3x2 . 138 .
139. J x 2 dx
../2x - x 2· 140 .
141. J dx 3x 2 - 6x+ 15 · 142.
143. J dx (x -I )../x2 -2x -3 · 144.
145. J (3x + 7) dx .
../x2 + 4x+ 8
146 .
147. J (2x - 3) dx (x 2 + 2x - 3)3/2. 148.
Se~o 10.6
Calcule cada uma das seguintes integrais:
149. J ;6x + 69 dx.
x - x - 12
J 3x- 56 150. x 2 + 3x _ 28 dx.
J -8x- 16 151. 4x2 _ 1 dx.
152. J 12x - 63 dx.
x2- 3x
J 3X2 - 10x- 60 153. x 3 + x 2 _ 12x dx.
J dx
../1 + 4x - x 2 •
J (3x - 5) dx
x 2+ 2x + 2·
J (1 - x) dx
../8 + 2x - x 2 ·
J xdx
../x2 - 4x + 5·
J (3x+4)dx.
hX+X2
J (2x- 5) dx.
../4x - x 2
J ../x2 + 2x + 2 dx.
J ../x2 - 2x dx.
Metodos de integro(:iio 533
154. J 8x2 + 55x ~ 25
x3 - 25x dx. 155.
J _2X2 - 18x+ 18
Xl - 9x dx.
..
156.
J 4x 2 - 2x - 108 dx
x3 + 5x2 - 36x . 157.
J - 3x3 + x2 + 2x + 3
x" + x3 ' dx.
158. J 9x 2 - 35x + 28 dx
x3 - 4x2 + 4x . 159.
J x 2 - 5x - 8
x3 + 4x2 + 8x dx.
160. J 3x2 - 5x+ 4
x3 - x 2 + X - I dx.
Se~o 10.7
Calcule as integrais dos Problemas 161 a 176 pelo metodo de integrayao par partes.
161. J x 2 arc tgx dx. 162. J x 2 cosx dx.
163. J cos (In x) dx. 164. J x sen2 xdx.
165. J x 3 cos x dx. 166. J../I +x2dx.
167. J Inxdx (x + 1)2' 168.
J xeX dx
(x + 1)2 '
169. J x
3 dx
../ 1 + x2'
170. J x(x + 3)10 dx.
17l. J eax sen bx dx. 172. J xn In x dx (n "* ~ 1).
173. J X l!.>.:. 174. J x 2 sen x dx.
eX
175. J ~le-2x dx. 176. J In (x + ../x2 + a2)dx.
177. Calcule a area sob a curva y = sen -.IX de x = 0 a x = 7T2 •
534 Ctilculo com Geometria Analttica
178. Calcule a integral utilizando a identidade
. x
3
= x (l + x 2 - 1) = x.h + x 2 _ X
oj 1 + x 2 oj 1 + x 2 oj 1 + x 2
Certifique-se de que sua resposta confere com 0 resultado do Problema 169.
179. Calcule a integral
partes.
(a) utilizando a substitui9ao u =...;a=x e (b) por
180. Utilize a integra9ao por partes para mostrar que
J oj a2 - x 2 dx = xoJ a2 - x 2 + J x
2
dx.
oJa2 - x 2
Escreva x 2 = - (- x 2 ) = - (a2 - x 2 - a2 ) no numerador da segunda integral e dai obtenha
a formula -
J oJa2 - x 2 dx = t xoJa2 - x 2 + ta2 J dx oJa2 - x 2
= tx oJa2 - x 2 + ta2 arc sen ~ + c.
a
181. Utilize 0 metodo do Problema 180 para obter a f6rmula
J (a2 - X 2)" dx
= x (a2 - X2)" + 2a2n J ( 2 _ 2)n-1 d
2n + 1 2n + 1 a x x.
*182. Utilize a ideia do Problema 181 para obter a f6rmula (9) da Se9ao 10.6,
Metodos de integrafiio 535
. Nos proximos tres problemas deduza a formula de redu~ao dada e aplique-a ao caso particular
indicado.
J
xm+l(ln x)n n J . .
183. (a) xm(ln xY dx = m + 1 - m + 1 xm(ln x)n-l dx.
(b) Ix 5(ln).Ydx.
184. (a) J xnefJX dx = ± xneax ~ ~ J xn-1eax dx.
(b) Ix 3e-2x dx.
185. (a) J seen x dx = _ 1_ secn- 2 X tg X + n - 2 J secn- 2 X dx.
n- 1 n-I
(b) I sec3 X dx (veja 0 Problema 29 da Se~ao 10.3).
CAPfTULO
11
OUTRAS APLICACOES DE INTEGRACAO
11.1 0 CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DISCRETO
A malOna das ideias deste capitulo baseia-se no conceito fisico simples de centro de
gravidade. Como veremos , esse conceito tern implica90es geometricas , sen do possivel usa-Io para
se obter uma n09ao razoavel de "centro" de uma figura geometrica generica. Nesta se9ao
introdut6ria, nos limitamos'a descrever os conceit os sem fazer uso de integra9ao.
Come9amos considerando duas crian9as de pesos W I e W 2 sentadas a distancias d l e d2 ,
respectivamente , do ponto de apoio de uma gangorra (Fig. 11.1).
Figura 11.1
Como sabemos', cada crian9a pode tentar fazer 0 lado em que esta sentada ir para baixo
movendo-se para mais longe do ponto de apoio. 0 equilIbrio ocorre quando
(1)
Esse princlPIO foi descoberto por Arquimedes e e conhecido como a Lei da Alavanca. Se
estabelecermos urn eixo horizontal com sua origem no ponto de apoio e 0 sentido positivo para
a direita , entao (1) pode ser escrita na forma
536
Outras aplicafoes de integrafiio 537
ou
Estendemos agora essa discussao considerando 0 eixo x como uma barra horizontal sem
peso com fulcro no ponto p (Fig. 11.2)
\V4 \V2 W] W3
0 X4 X 2 Xl X3 P
Figura 11.2
considerando que n pesos wk estiio colocados nos pontos xk' k = 1, 2, ... n. Pela Lei de
Arquimedes, esse sistema de pesos estani em equilibrio ao redor de p quando
n
De modo mais geral , estando ou nao 0 sistema em equiHbrio , a soma ~ wk(xk - p) mede a
k=l
tendencia do sistema de girar no sentido honirio ao redor do fulcrop . Essa soma recebe 0 nome
de momento do sistema em rela9ao a p. 0 sistema esta em equilibrio quando 0 momenta e nulo.
Suponha que os pesos wk e suas posi90es sejam dados de modo arbitrario; movendo-se 0 fulcro
p, sera facil deterrninarmos 0 ponto x em que 0 sistema estara em equilibrio, isto e, a posi9ao
do fulcro em que 0 momenta do sistema em rela9ao a esse fulcro sera zero. A condi9ao que
x
deveni obedecer e
Desenvolvendo-se essa expressao obtemos
ou
logo,
(2)
Esse ponto x onde 0 equillbrio e alcan9ado chama-se centro de gravidade do sistema de pesos
dado.
538 Ctilculo com Geometria Analitica
Recordemos que 0 peso de urn corpo na superficie da Terra e simplesmente a forya exercida
sobre 0 corpo pela atrayao gravitacional da Terra e e, portanto , dado pela formula de Newton
F = mg, onde mea massa do corpo e g e a acelerayao devido a gravidade (aproximadamente
9 ,8 metros por segundo por segundo). Transferindo essa ideia para a discussao acima, teremos
wk = m kg, on de mk e a massa do k.esimo corpo. A formula (2) pode , portanto , ser escrita como
x = "L. mkgxk = "L.mkxk
"L.mkg "L.mk · (3)
Tendo-se afastado da discussao a influencia da gravidade , ou seja, tendo-se substituido os pesos
wk em (2) pelas massas mk em (3) , 0 ponto x passa a se chamar centro de massa do sistema.
E facil estender essas ideias a urn sistema de massas m k localizadas em pontos (Xkl Yk)
num plano xy horizontal (Fig. 11.3).
/
/
/
//
/
/
y
/112»-___ _
/
/ /111
--x----)'" (xI .Y! )
I /
// Y I
/
x .
Figura 11.3
Defmimos 0 momento desse sistema em relayao ao eixo y por
(4)
que e a soma de cada urna das massas multiplicada por sua distancia orientada ao eixo y . Se
pensarmos no plano xy como uma bandeja hroizontal sem peso, como sugere a figura, entao,
em linguagem fisica, a condiyao My = 0 significa que essa bandeja com a dada distribuiyao de
massas estara em equillbrio quando pousada num fio de navalha ao longo do eixo y. Analoga-
mente , 0 momenta do sistema em relayao ao eixo x e definido por
(5)
Os estudantes devem observar cuidadosamente a troca dos x e y nas formulas (4) e (5) ; para
computar My usamos os x e para computar Mx usamos os j . Denotando a massa total
das particulas do sistema por m, ou seja,
Outras aplicafOes de integraft10 539
entao 0 centro de massa do sistema e definido como sendo 0 ponto (x, )I), para 0 qual
_ "Lmkxk My
x =---=-
"Lmk m
(6)
e
- "Ll?7kYk lvlx )'=--=-.
"Lmk m
(7)
o centro de mass a de nosso sistema pode ser interpretado de duas maneiras. Primeiro , escrevendo
as equayoes (6) e (7) na forma
e my = Mx,
vemos que (x, y) e 0 ponto em que poderiamos imaginar concentrada toda a massa m do sistema
obtendo-se 0 mesmo momento total em relayao a ambos os eixos. A segunda interpretayao se
obtem escrevendo-se (6) e (7) nas formas
e
Considerando 0 nosso sistema da maneira descrita , isto e, como uma distribuiyao de mass as nurna
bandeja horizontal , sem peso , essas equayoes . revelam que a bandeja estani em equilibrio ao se
apoiar sobre urn fio de navalha ao longo de qua/quer reta que passe por (x, y)_ Portanto estara
em equilIbrio tambem se for apoiada na ponta de urna agulha colocada exatamente no ponto
(x,y).
N a discussao precedente , 0 sistema de coordenadas xy na Fig. 11.3 foi urn referencial
util para desenvolvermos as icleias. No entanto , considerando-se 0 significado fisico do centro
de massa , fica claro que a localizayao desse ponto e completamente determinada pelas proprias
massas e suas posiyoes individuais , nao dependendo do particular sistema de coordenadas utilizado
para assinalar essas posiyoes. Como con sequencia pratica , conc1u{mos dai que , em qualquer
situayao especifica, temos total liberdade de escolha do sistema de coordenadas. Assim escolhe-
remos aquele que , nas circunstancias de cada problema , nos pareya 0 mais conveniente .
540 Ctilculo com Geometria Analftica
11.2 CENTROIDES
As ideias discutidas na Se9ao 11.1 se aplicam a sistemas discretos de particulas localizadas
em urn nfunero fmito de pontos de urn plano. Agora veremos como a integra9ao pode ser
utilizada para generalizar essas ideias a urna distribui9ao continua de massas numa regiao R
do plano xy (Fig. 11.4).
y
dA ; fix) dx
R
x x
x
Figura 11.4
Imaginamos R como sendo urna folha fma de material homogeneo - digamos , uma
chapa metilica uniforme - cuja densidade superficial [) (= massa por unidade de area) seja
constante. Para defmir 0 momenta dessa chapa em rela9ao ao eixo y, consideramos uma faixa
fma vertical de altura [(x) e espessura dx, cuja posi9ao na regiao e especificada pela variavel x
. (Fig. 11.4, a esquerda). A area dessa faixa e [(x) dx e sua massa e [) [(x) dx . Podemos considerar
que toda a sua mass a esteja essencialmente a uma mesma distancia (x) do eixo y. Portanto , seu
momenta em rela9ao a esse eixo e x[) [(x ) dx. 0 momenta total da chapa em rela9ao ao eixo y e
en tao. obtido fazendo-se com que a faixa va se deslocando atraves da regiao , ou seja, com x
variando de a ate b, integrando-se ou somando-se - todas essas pequenas "parcelas" do
momenta
My = f xb/(x ) dx . (1)
Essa formula pode ser deduzida construindo-se laboriosamente somas aproximadoras e depois
calculando 0 limite dessas somas , obtendo-se (1) pela defini9ao de integral. No en tanto , preferimos
continuar no espirito do Capitulo 7 , e a discussao anterior fomece uma outra ilustra9ao do poder
da abordagem leibniziana da integra9ao descrita na Se9ao 7.1.
Analogamente , 0 momento da chapa em rela9ao ao eixo x e obtido considerando faixas
horizontais fmas de comprimento g(y) e espessura dy (Fig. 11 .4 , a dire ita) e e dado pel a formula
M x = 1 d y<5g(y) dy.
Gutras aplicafoes de integrafiio 541
A massa total da chapa pode evidentemente ser expressa de duas maneiras ,
m = f bf(x) dx = i d bg(y) dy.
o centro de massa (x, y) da chapa e agora definido por
x= f xbf(x) dx = ~
l b m a bf(x) dx
e
y= id ybg(y) dy = Mx
[d m Jc bg(y) dy
Essas formulas tern 0 seguinte aspecto notavel : como a densidade {j e considerada constante ,
ela pode ser retirada do integrando e eliminada por cancelamento. As formulas para x e y
tornam-se
x= f xf(x) dx
f f(x) dx e
_ i d yg(y) dy
y = ld g(y) dy (2)
Cada denominador e obviamente a area total da regiao, e os numeradores podem ser encarados
como os momentos dessa area em torno do eixo y e do eixo x, respectivamente . 0 centro de
massa e, portanto , determinado somente pela configura9ao geometrica da regiao R e nao
depende da densidade de massa dessa regiao. Por essa razao, 0 ponto (x, y) chama~e centr6ide
da regiao , significando "ponto assemelhado a centro". Os exemplos e problemas que se seguem
tornarao claro que essa terminologia e bern adequada ao conceito geometrico que ela
quer descrever.
Sera conveniente para nosso trabalho na proxuna se9ao simplificarmos ainda mais as
formulas (2) . No caso de x, a area da faixa vertical fma e urn elemento de area no sentido dado
nas Se90es 7.1 e 7.2; logo , esse elemento de area sera dA =f(x)dx; e, no caso de y , te'mos
analogamente dA = g(y )dy para a area da faixa horizontal fma. As formulas (2) podem, portanto ,
ser escritas na forma
542 Calculo com Geometria Analftica
- IxdA
x=--
IdA e
- IydA
y = I dA . (3)
Enfatizarnos que dA nessas formulas e visto como a area de urna faixa fina paralela ao eixo
apropriado; essa nota<;:ao gar ante que todos os pontos da faixa estarao essencialmente a urna
mesma distiincia do correspondente eixo. Esta subentendido tarnbem que 0 processo de integra<;:ao
expresso e desenvolvido na regiao em considera<;:ao. Os limites de integra<;:ao estao deliberadarnente
omitidos e realmente nao necessitarn ser indicados , a menos que estejarnos efetuando cci1culos
efetivos em urn caso especifico.
Exemplo 1 Calcule 0 centro ide de urn retiingulo.
Solu<;:ao Se 0 retiingulo tern altura h e base b, entao podemos colo car 0 sistema de coordena-
das de modo que a origem esteja no canto inferior esquerdo e 0 ponto (b, h) esteja no canto
superior dire ito (Fig. 11 .5).
h ---......---__ (b , h)
dA = h dx
x
.,-- dx b x
Figura 11.5
Como a area desse retiingulo e hb, temos
Exatarnente da me sma mane ira , encontrarnos y = th; logo 0 centroide e 0 ponto (tb, th), que e
obviarnente 0 centro do retiingulo .
Outras aplicat;oes de integrat;iio 543
Em geral, parece que 0 centr6ide de uma reglao devera estar numa linha de simetria da.
regiao, se tal linha existir. E facil ver que isto e verdade: seja L uma reta de simetria de uma
regiao R;· podemos escolher essa reta na posi~ao do eixo y (Fig. 11.6).
L
I
Figura 11.6
x
Desejamos nos convencer de que x = 0. Se dA e urn elemen to fino de area vertical na posi~ao x,
entao, por simetria , existe urn elemento de area correspondente na posi~ao -x ; e como
xdA + (-x)dA = 0 , temos
J xdA =0, e, portanto, x = f xdA =0 fdA .
(E claro que este e apenas urn argumento heuristico e esta longe de ser uma prova matematica,
mas e suficiente por enquanto para nossos prop6sitos. Nao e dificil converter esse argumento
em uma prova legitima se desejarmos enfrentar 0 problema.) Alem disso , se uma regiao tern
duas retas de simetria distintas, entao a conclusao que acabamos de obter indica que 0
centr6ide deve estar sobre ambas as retas e e, portanto , 0 ponto de interse~ao dessas retas.
Consequentemente, nos casos em que uma figura tern urn "centro" no sentido usual da palavra,
o centro coincide com 0 centr6ide. No entanto, como mostra 0 nosso pr6ximo exemplo, os
centr6ides sao facilmente calculados para muitas regi6es que ordinariamente sao consideradas
como nao tendo centros. Desse ponto de vista, 0 centr6ide de uma regiao e uma generaliza~ao
de centro de uma figura geometrica.
Exemplo 2 Determine 0 centr6ide da regiao do primeiro quadrante limitada pelos eixos e pela
curva y = 4 - x 2 (Fig. 11.7).
544 Cizlculo com Geometria Ana[(tica
.1'
4
Figura 11.7
Solu~o Usando a faixa vertical da figura , vemos que a area da regiao e
logo
I x dA 3 (2 3 [ 1 J2 3 x = - A- = 16 J 0 x( 4 - x 2) dx = 16 2x 2 - '4 X 4 0 = '4 '
Analogamente , usando uma faixa horizontal (nao esta mostrada na figura) , temos
y =--=- y.J4 - y dy, - Iy dA 3 i4
A 16 0
Para calcular essa integral , fazemos a substituiyao u = 4 - Y. Assim y = 4 - u e dy = - du; os
novos iimites de integrayao serao 4 e 0 :
y = - y.J4 - y dy = - U 1/ 2(4 - u)(- du) 3 i4 3 10
16 0 16 4
3 i4 3 [8 2 J4 = - (4U1/2 - U 3/ 2) du = - - U3/ 2 - _ £15/ 2
16 0 16 3 5 0
_ 3 (64 64) _ 8
-- --- --
16 3 5 5 '
Outras aplicafoes de integrafiio 545
Aqui a integra9ao e urn pouco complicada porque usa uma faixa horizontal , e isto nos for9a
a resolver a equa9ao da curva para x em termos de y. Portanto , descrevemos urn metodo
altemativo para computar y que usa a faixa vertical mostrada na figura e 0 resultado do
Exemplo 1. Como 0 centr6ide dessa faixa retangular coincide com seu centro, 0 momenta
da faixa em rela9ao ao eixo x e i y dA = ~ y2 dx e, portanto,
que e 0 resultado ja obtido.
Algumas palavras a mais sobre centr6ides. Abordamos centr6ides de regi6es planas. Podemos
facilmente falar do centr6ide de urn arco no plano xy ou de uma regiao no espa90 tridimensional.
As defini90es e as f6rmulas sao analog as ao que ja fizemos, e nao aborreceremos os estudantes com
explana90es detalhadas .. Entretanto, observamos que para determinar -0 centr6ide de urn arco
(Fig. 1 1.8)
y
x
Figura 11.8
pode ser util pensar no arco como urn peda90 de fio curvado com densidade constante 1 (= massa
por unidade de comprimento), de modo que a massa de urn peda90 de fio e simplesmente seu
comprimento. Entendendo ds como 0 comprimento do elemento de arco no sentido da Se9ao 7.5,
temos
- Ixds
x =--
Ids
e
_ Iyds
y = Ids· (4)
546 Ctilculo com Geometria Analftica
Cada denominador e 0 comprimento do arco e os nurileradores sao , respectivamente , os momentos
do arco em relayao ao eixo y e ao eixo x .
Problemas
Calcule 0 centr6ide da regiao plana R limitada por :
1. y = x 2, Y = 0, x = 2.
2. y = 4x - x 2 e y = x.
3. y = Ja2- x2 e y =O.
4. y =sen x e y =O(O~ x ~n).
5. x 2 = ay e y = a.
6. x 2 = ay e y2 = 0.:(.
7. y = :VX, y = 0, x = 8.
8. x 2 + y2 = a2 e x + J' = a (primeiro quadrante).
9. x 2 + .v2 = a2, x = a, y = a.
10. y =l/x, y =O,x =l , e x =2.
11. Sabe-se da Geometria elementar que as 3 medianas de urn triangulo se interceptam num
ponto que esta a 2/3 do caminho que vai de cada vertice ao ponto medio do lado oposto.
Mostre que esse ponto e 0 centr6ide do triangulo.
12. Determine 0 centr6ide da parte do primeiro quadrante da cur va x 2/3 + y2/3 = a2/3
13. Calcule 0 centr6ide do arco semicircular y = va2 - x 2 •
14. 0 semicirculo sob y = Jb 2 - x2 e removido do semicirculo sob y = Ja 2 - x2 , onde
b < a . Determine 0 centr6ide da regiao restante. Calcule 0 limite de y quando b 4 a e
compare com 0 resultado do Problema 13.
15. Seja y = [(x) uma funyao nao-negativa defmida no intervalo a ~ x ~ b. Se a regiao limi-
tada por essa curva, 0 eixo x e as retas x = a, x = b for girada ao redor do eixo x, mostre
que 0 s6lido de revoluyao resultante teni seu centr6ide sobre 0 eixo x com
_ i b Xf(X)2 dx
x ="'-"::----f f(x)2 dx
16. Utilize 0 resultado do Problema 15 para determinar 0 centr6ide de (a) urn cone com altura
h e raio da base r; e (b) urn hemisferio de raio a.
Outras aplica(:oes de integra(:iio 547
11.3 OS TEOREMAS DE PAPPUS
Dois belos tearemas geometricos relacionando centr6ides com s6lidos e superffcies de
revoluc,:ao faram descobertos no seculo IV A.D. por Pappus de Alexandria , 0 ultimo dos grandes
matematicos gregos.
Primeiro Teorema de Pappus Considere uma regiiio plana que esta inteirarnente de urn lado
de uma reta do planQ. Se essa regiiio e girada ao redor da reta que desempenha a funrao de
eixo, entao 0 volume do solido gerado dessa maneira e igual ao produto da area da regiiio
pela distdncia percorrida pelo centroide ao redor do eixo.
Essa afirmac,:ao e facil de provar usando-se 0 seguinte argumento: considere 0 eixo x como
eixo de revoluc,:ao. (Fig. 11 .9) .
v
.@
i:c
I
I
I
Figura 11.9
Entao a distancia y do centr6ide a esse eixo e definida par
- JydA Jy dA y =--=-- .
JdA A
Essa expressao e equivalente a
Ay = J ydA
ou a
A . 2ny = J 2nydA.
x
Tudo que e necessario agora e observar que essa equac,:ao e exatamente a asserc,:ao do teorema, pois
2rry e a distancia percorrida pelo centr6ide e a integral- do 29 membro e 0 volume do s6lido
calculado pelo metodo da casca.
548 Calculo com Geometria Analftica
Exemplo 1 Calcule 0 volume do toro gerado ao girar urn circulo de raio a ao redor de uma reta
de seu plano que esta a uma distancia b de seu centro , onde b > a (Fig. 11.10).
Figura 11.10
Solu~o 0 centr6ide do circulo e seu centro , e este percorre uma distancia 2rrb ao redor do
eixo . A area do circulo e rra 2 ; logo , pelo Primeiro Teorema de Pappus , 0 volume do toro e
(Veja 0 Problema 31 da Se~ao 10.4.)
Segundo Teorema de Pappus Considere um area de uma eurva plana que esta inteiramente
num dos lados de uma reta desse plano. Se esse area e girado ao redor dessa reta, que desem-
penha a funriio de eixo, entiio a area da superfieie gerada dessa maneira e igual ao produto
do eomprimento do area pela distaneia pereorrida pelo eentr6ide ao redor do eixo.
A prova e analoga a dada acima. Novamente tomamos 0 eixo x como sendo 0 eixo de
rota~ao (Fig. 11.11),
y
-+
,
I
I
I
I
.\. I\'
I·
I
I
__ --L
Figura 11.11
x
Outras aplica~i5es de integra~iio 549
e comeyamos com a defmiylio da distancia y de sse eixo ao centr6ide do arco ,
- Jyds Jyds y=-"-=--
Jds s'
que e equivalente a
sy = J y ds
ou
s . 2ny = J 2ny ds.
E novamente esta e exatamente a asserylio
do teorema, pois a integral do 2<? membro e a area da
superficie de revoluyao.
Exemplo 2 Com a ajuda de sse teorema, e facil ver que a area de superf{cie do toro descrito no
Exemplo 1 e
A = 2nQ . 2nb = 4n2ab.
Alem de sua beleza estetica , os teoremas de Pappus slio uteis em duas situayoes. Quando os
centr6ides slio conhecidos por considerayoes de simetria - como nos exemplos apresentados - ,
podemos utilizar esses teoremas para encontrar volumes e areas. E tambem, quando volumes e
areas sao conhecidos, podemos, com frequencia, utilizar esses teoremas no sentido inverso,
para determinar a localizaylio dos centr6ides. Ambos os tip os de aplicayao ser~o ilustrados nos
problemas.
Problemas
1. Use as conhecidas f6rmulas V = ~ rra 3 e A = 4rra2 para 0 volume e a area de superffcie de
uma esfera de raio a com 0 objetivo de localizar 0 centr6ide de (a) a regiao semicircular sob
y = Ja 2 - x 2 , (b) 0 arco y = va 2 - x 2 • Compare com os Problemas 3 e 13 da Seyao 11.2.
550 Cdlculo com Geometria Analftica
2. Use os centr6ides encontrados no Problema 1 para calcular respectivamente 0 volume e a
area quando a regiao semicircular e 0 arco sao girados ao redor da reta y = 1 .
3. Pelo Problema 10 da Se~ao 7.5 , 0 comprimento total da curva X 2 / 3 + y2/3 = a2 / 3 e 6a. Use
esse fato e 0 resultado do Problema 12 da Se~ao 11.2 para calcular a area da superficie
gerada ao girar essa curva ao redor de (a) 0 eixo x; (b) a reta x + y = a.
4. Urn quadrado de lade a e girado ao redor de um eixo que 0 intercepta num dos vertices
mas em nenhum outro vertice , e que esta em seu plano. Qual deve ser a posiyao do eixo
para produzir 0 maior volume do s6lido de revolu~ao resultante? Qual 0 maior volume?
Qual a correspondente area da superficie?
5. Urn hexagono regular com lade a e girado ao redor 'de urn de seus lados. Qual 0 volume
do s6lido de revolu~ao resultante? Qual a area da superficie desse s6lido?
6. 0 hexagono regular do Problema 5 e girado ao redor de urn eixo de seu plano que passa
por um vertice e e perpendicular a reta que passa pelo vertice e pelo centro. Calcule 0 volume
e a area da superficie do s6lido de revoluyao resultante.
7. Use 0 Prirneiro Teorema de Pappus para calcular (a) 0 volume de urn cilindro com altura h
e raio da base r, (b) 0 volume de urn cone com altura h e raio da base r .
8. Sabe-se, da Geometria Elementar, que rrrL e a area lateral de urn cone com raio da base r
e geratriz L. Obtenha essa f6rmula como conseqiiencia do Segundo Teorerna de Pappus.
11.4 MOMENTO DE INERCIA
Considere urn «orpo rigido girando ao redor de urn eixo fIxo . Por exemplo , 0 corpo pode
ser uma esfera s6lida gipando ao redor de urn diametro ou urn cubo s6lido balan~ando para a frente
e para tras como um pendulo ao redor de urn eixo horizontal ao longo de uma de suas arestas. Para
estudarmos 'movimentos dessa especie , e necessario introduzir 0 conceito de momenta de inercia
do corpo em rela~ao a urn eixo. Nosso objetivo nos pr6ximos paragrafos e nao s6 definir esse
conceito mas tambem explicar seu significado intuitivo , de modo que os estudantes possam
compreender por que e irnportante .
Quando um corpo rigido se move numa reta, todas as particulas que 0 constituern se movem
num mesmo sentido com a mesma velocidade. Por outr~ lado, quando urn corpo rigido gira ao
redor de urn eixo , suas particulas componentes se movem em circulos de raios diferentes, com
velocidades diferentes , e , por essa razao , e de se supor que 0 problema de descrever tal movimento
do corpo seja mais dificil. Afortunadamente, no entanto , essa situayao e rnais simp'les do que possa
parecer, e verifica-se ser possivel estudar corpos que giram usando ideias e f6rmulas que sao
completamente anaIogas aquelas ja familiares nos movimentos lineares.
Outras aplicafoes de integrQfiio 551
Comeyamos com urn breve resumo das f6rmulas lineares. Considere uma particula de massa
m se movendo numa reta (Fig. 11.12).
Figura 11.12
Considerando-se que sua posiyao seja dada pela viuiavel s, entao v = ds/dt e a = dv/dt sao,
respectivamente, a velocidade e a acelerayao . Uma forya F agindo sobre a partfcula se relaciona
com a acelerayao de acordo com a Segunda Lei de Movimento de Newton,
F=ma ou 1 a=-F.
m
(1)
A segunda forma dessa equayao e util por expressar claramente a ideia de que a acelerayao da
particula e provocada pela forya e e proporcional a essa forya. Essa forma nos ajuda tambem a
ver a massa m da partfcula como medida de sua capacidade de resistir a acelerayao: para uma
mesma forya F quanta maior for m, menor sera a.
Agora considere uma particula de mass a m girando ao redor de urn eixo numa circunfe-
rencia de raio r (Fig. 11.13).
Figura 11.13
Se sua posiyao angular e dada pelo angulo 8 medido a partir de alguma direyao nxada, entao
w = d8/dt e a = dw/dt sao a velocidade angular e aceierafiio angular. Essas grandezas angulares
sao relacionadas com as correspondentes grandezas lineares s, v e a, quando medidas ao longo
da trajet6ria circular , por meio das equayoes s = r8, v = rw e a = r<l . 0 efeito de toryao da
forya tangencial F e medido por seu torque T = Fr, que e 0 produto da forya pela distancia de
sua linha de ayao ao eixo. Vimos que a forya produz uma acelerayao linear de acordo com a
equayao (1). Exatamente da mesma maneira , 0 torque produz acelerayao angular de acordo com
a correspondente equayao
552 Calculo com Geometria Analftica
T=Ja, (2)
on de a constante de proporcionalidade J chama-se momenta de inercia. J pode ser encarada
como uma medida da capacidade de 0 sistema resistir a ac~lerayao angular, e nesse sentido ~ 0
anaIogo angular da massa.
Essas observayoes descrevem 0 papel conceitual do momento de inercia. Para descobrir 0
que essa defrniyao deve ser a Hm de ajusta-Ia a esse papel , transformamos (2) substituindo
T por Fr e 0: por ajr e de po is substituindo F por rna:
Fr=J!!:.
r'
mar= J!!:..
r
A Ultima equayao revela que J deve ser dado pela formula
(3)
Nesta seyao estamos interessados principalmente em aprender como usar a integrayao para calcular
o momenta de inercia em relayao a urn dado eixo de uma folha frna e uniforme de material com
densidade constante 0 (= massa por unidade de area) . Pode ser uti! imaginar tal folha como uma
chapa frna de metal homogeneo. Nosso metoda e dividir a chapa mentalmente num grande numero
de pedacinhos de tal maneira que cada pedayo possa ser tratado como wna partfcula a qual a
formula (3) pode ser aplicada. Determinamos entao 0 momenta de inercia total por' integrayao
- ou soma dos momentos de inercia individuais de todos esses pedayos.
Exemplo 1 Vma chapa retangular frna e uniforme tern lados a e b e densidade /). Calcule
seu momenta de in~rcia em relayao ao eixo que divide ao meio os dois lados de comprimento a.
(Fig. 11.14).
y
dx
b x
r--
x
----~--a------__
Figura 11.14
Ou tras aplicafoe s de in tegrafiio 553
Solu~o Introduza urn sistema de coordenadas como indicado na figura , com 0 eixo y como
o eixo de rotayao. Concentramos nossa atenyao sobre a faixa vertical fina mostrada na figura
porque todos os seus pont os estao essencialmente a uma mesma distancia x do eixo de rotayao.
o momento de inercia dessa faixa ao redor do ei~o x e x 2 • 8 bdx, logo 0 momento de inercia
total da chapa e
I = x 2 • bb dx = bb - x 3 Ja
l 2 [ 1 Jal 2
-a12 3 - a _
= bb [J..- a3 - ( - J..- a3)J = J..- ba3b 24 24 12' (4)
E costume escrever 0 momenta de inercia de forma a destacar a massa total M . Nesse caso ,
M= 8ab, logo
Duas faixas verticais fmas em posiyoes simetricas em relayao ao eixo de rotayao tern 0 mesmo
momento de inercia. Na equayao (4) poderiamos portanto ter escrito a integral na forma
J
al2
1= 2 x 2 • bb dx =
a .
o que possibilita urn c:ilculo urn
pouco mais simples.
Exemplo 2 Vma chapa circular fina e uniforme tern raio a e massa M. Calcule seu momenta
de inercia em relayao a urn diiimetro .
Soluyiio Introduza eixos de coordenadas como se mostra na Fig. 11.1 S.
)'
Figura 11.15
554 Ctilculo com Geometria Analftica
Se a densidade da chapa e denotada par 0 , entao 0 momenta de inercia da faixa indicada em
rela9ao ao eixo y e
x 2 • <52y dx = x 2 • <52,ja2 - x 2 dx,
logo, 0 momento de inercia total e
1=2 La x 2 • 02.Ja2 - x 2 dx = 40 La x 2 .Ja2 - x 2 dx.
Para calcular essa integral , fazemos a substitui9ao trigonometrica x = a sen () , de modo que
dx= a cos e de
e
(Como sempre , os estudantes devem verificar os detalhes omitidos nesses calculos.)
Exemplo 3 Ca1cule 0 momenta de inercia da chapa circular do Exemplo 2 em rela9ao ao eixo que
passa pelo centro e e perpendicular a chapa.
Solu~o Desta vez 0 eixo deve ser imaginado como se estivesse se projetando para fora do papel
a partir do centro do circulo (Fig. 11.16)
Figura 11.16
Outras aplica(:oes de integra(:iio 555
e dividimos a area em aneis finos com centros no centro do circulo (Fig. 11.16).0 momenta
total de inercia e, portanto ,
1= f 1' 2 • 02n:r dr = 2n:o [ ± r4 J:
= ~0n:a4 = ~Ma2.
Observa~iio 1 Recordamos que uma particula de massa m movendo-se com velocidade v
tern energia cinetica dada pela f6rmula
e tambem que essa energia e a quantidade de trabalho que de ve ser transferida para que a
particula pare. Por outro lado, se a particula gira numa circunfen?ncia de raio r, entao v =rw e
temos
e novamente este e 0 trabalho exigido para parar a particula que esta rodando . Comparando essas
formulas reforyamos a ideia de que 0 momenta de inercia I exerce no movimento circular 0 papel
exercido pela massa m no movimento linear.
Observa~iio 2 Alem de sua importancia relacionada com a fisica de corpos em rotayao , 0
momenta de inercia tern tambem aplicayoes significativas em engenharia de estruturas, onde se
sabe que a rigidez de uma viga e proporcional ao momenta de inercia de uma seyao transversal
da viga em relayao ao eixo horizontal que passa por seu centroide.
Problemas
1. Vma chapa ret angular fina e uniforme de massa M tern lados a e b . Ca1cule seu momenta
de inercia em relayao a urn dos lados de comprimento b.
2. Vma chapa frna e uniforme de massa M e limitada pe1a cur va y = cos x e 0 eixo x entre
. x = - 1T12 e x = 1T12. Ca1cule seu momenta de inercia em relayao ao eixo y .
3. Ca1cule 0 momento de inercia de uma chapa triangular fina e uniforme de massa M, altura
h e base b em relayao a sua base.
556 Calculo com Geometriiz Analftica
4. Calcule 0 momenta de inercia da chapa triangular do Problema 3 em rela9ao ao eixo paralelo
a·sua base e que passa pelo vertice oposto.
5. Uma chapa circular fina e uniforme tern raio a e massa M. Calcule seu momento de inercia
em rela9ao a urn eixo tangente a chapa. .
6. Calcule 0 momenta de inercia de urn arame rete uniforme de massa M e comprimento a
em rela9ao a urn eixo perpendicular ao arame em uma das extremidades.
7. Urn ' arame uniforme de massa M e entortado para formar uma circunferencia de raio a.
Calcule seu momenta de inercia em rela~o a urn diametro.
8. Calcule 0 momento de inercia de urn cilindro s6lido uniforme de massa M, altura h e raio
a em rela9ao a seu eixo. Sugestao : use 0 metoda das cascas.
9. Calcule 0 momenta de inercia de urn cone s6lido uniforme de mass a M, altura h e raio
da base a em rela9ao a seu eixo.
10. Calcule 0 momenta de inercia de urna esfera s6lida uniforme de massa M e raio a em
rela9ao a urn diametro.
11. Se 0 momenta de inercia de urn corpo de massa M em rela9ao a urn dado eixo e 1= M r2 ,
entao 0 nfunero r chama·se raio de rotafiio do corpo ao redor do eixo. Ele e a distancia do
eixo, a urn ponto no qual toda a massa do corpo poderia estar concentrada, sem alterar seu
momenta de inercia. Nos Problemas 8 a 10, calcule 0 raio de rota9ao em rela9ao aos eixos
indicados (a) do cilindro , (b) do cone , (c) da esfera.
Problemas Suplementares do Capitulo 11
Se9ao 11.1
1. Considere a distribui9ao plana de particulas cujo centro de massa (x, y) e definido pelas
equa90es (6) e (7) da Se9ao 11.1. Se Ax + By + C = 0 e qualquer reta do plano, entao
podemos supor (introduzindo urn fator, caso necessario) que A 2 + B2 = 1; e, pelo Problema
Suplementar 21 do Capitulo 1, vemos que a distancia orientada dessa reta a (xk' Yk) e
positiva para os pontos situados em urn lade da reta e negativa para os pontos situados no
outro.
Outras aplica(:oes de integra(:iio 557
(a) Mostre que toda a massa m = "Emk do sistema pode ser concentrada no centro de
massa (x, ·y) sem alterar 0 momenta total "Emkdk em relarrao a reta considerada.
(b) Use a parte (a) para mostrar que 0 momenta total em relarrao a qualquer reta que passa
por (x,y) e nulo.
2. Considere de novo a distribuirrao plana de particulas apresen tada no Problema 1.
(a) Se os eixos forem transladados (Fig. 11.17),
y
(a , b)
\
b
a
P= (x ,y ) = (X, Y)
-----"1
I
I
I
I
I
I
Figura 11.17
x
x
entiio as coordenadas antigas e as coordenadas novas de um ponto fixo P estarao
ligadas pelas equarroes de transformarrao
x = X+a, y = Y+ b.
Calcule 0 centro de massa do novo sistema de coordenadas e mostre que e 0 mesmo
ponto anterior.
(b) Se os eixos forem rodados de um angulo e (Fig. 11.18),
y P= (x , y) = (x . n
~ le\
I \
Figura 11.18
x
558 Ctilculo com Geometria Analftica
entao as coordenadas antigas e as coordenadas novas de urn ponto- fixo P serao ligadas
pelas equa90es de transforrna9ao.
x = X cos () - Y sen () e y = X sen () + Y cos ().
Mostre que 0 centro de massa, quando calculado no novo sistema de coordenadas, e 0
mesmo ponto anterior.
(c) Deduza que a localiza9ao do centro de massa e independente do sistema de coorde-
nadas usado para calcUla-lo.
Se~io 11.2
3. Calcule 0 centroide da regiao plana R lirnitada por
(a) y=X2 e y=x;
(b) y = 2x 2 e y = X 2 + 1;
(c) y=2x-x2 e y '=O;
(d) y=X_X4 e y=O;
(e) y3 =x2 e y=2;
(f) y = x 3 e y = 4x (x ~ 0);
(g) y = eX, y = -eX, x = 0 e x = 1.
*4. ' Calcule 0 centr6ide da parte da curva y = x 2 que esta entre x = 0 e x = b.
Se~o 11.3
5. Con sid ere um retiingulo corn altura 2a e base 2b colocado no plano xy corn seus lados
, paralelos aoseixos e seu centro no ponto (0, c), onde c ~ Ja 2 + b2 • Se esse retiingulo for
girado no sentido anti-horario de um iingulo () ao redor do ponto (0, c) e entao girado de
urn giro completo ao redor do eixo x, mostre que 0 volume e a area.de superficie do solido
de revoluyao resultante serao os mesmos para todos os valores de () . Quais sao eles?
6. Urn hexagono regular inscrito nacircunferencia x 2 + y2 = 1 tern urn de seus vertices no
ponto (1, 0). Girando 0 hexagono ao redor da reta 3x + 4y = 25, calcule 0 volume e a area
de superficie do s6lido de revoluyao resultante.
Outras aplica~oes de integra~iio 559
Se~ao 11.4
7. Mostre que 0 momento de inercia de uma chapa fina e uniforme do plano xy em relayao
ao eixo perpendicular a esse plano e passando pela origem e igual a soma de seus moment os
de inercia em rela~ao aos dois eixos coordenados. Use esse fato para deterrninar 0 momento
de inercia de uma chapa quadrada fina e uniforme de massa M e lado a em relayao ao eixo
que passa pelo seu centro e e perpendicular a seu plano.
8. Uma chapa fina e uniforme de massa M tern a curva
como sua fronteira. Use 0 metoda do Problema 7 para determinar seu momenta de inercia
em relayao ao eixo que passa pela origem e e perpendicular a seu plano.
9. Considere uma chapa fina e uniforme de mass a M no plano xy. Seja 1 seu momenta de
inercia em relayao a urna reta L nesse plano
e seja 10 seu momenta de inercia em relayao a
uma reta Lo que passa pelo centr6ide e e paralela a L. Mostre que
on de d e a distancia entre L e Lo (este e 0 chamado Teorema dos EixosParalelos).
Sugestao: coloque 0 sistema de coordenadas de tal modo que Lo seja 0 eixo y e L seja a
reta x =d.
*10. Considere urn corpo s6lido uniforme de massa M no espayo tridimensional. Seja 1 0
momenta de inercia em relayao a uma reta L e seja 10 seu momenta de inercia em relayao
a urna reta Lo que passa pelo centr6ide e e paralela a L. 0 Teorema do Eixo Paralelo estabe-
lecido no Problema 9 vale exatamente da me sma forma:
on de d e a distancia entre L e Lo. Estabeleya esse fato e aplique-o para deterrninar 0
momenta de inercia de (a) uma esfera s6lida uniforme de massa M e raio a em relayao a
urna tangente; (b) urn cubo s6lido uniforme de massa M e aresta a em relayao a uma aresta.
(Sugestao: veja 0 Problema 7.)
CAPfTULO
12
FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRAlS IMPROPRIAS
12.1 INTRODUCAO. 0 TEOREMA DO VALOR MEDIO
No pr6ximo volume necessitaremos de metodos melhores para calcular limites do que os
que dispomos ate agora. Conseqiientemente, nosso prop6sito principal neste capitulo e 0 de
compreender os tipos de problemas de limites que aparecem e dominar os instrumentos que
possibilitarao resolver esses problemas com 0 maximo de eficiencia.
Na Seyao 2.5 vimos que 0 limite de urn quociente e 0 quociente dos limites, no seguinte
sentido : se
entao
limf(x) = L e lim g(x) = M,
x- a x-a
lim f(x) = !::..
x- a g(x) M' (I)
sendo M =1= O. Infelizmente, no entanto, muitos dos mais importantes limites sao da forma (1) em
que tanto L = 0 como' M= O. Quando is to acontece, a f6rmula (1) nao serve para calcular 0 valor
do limite, e deste se diz ter a forma indeterminada % em x = Q. A expressao "forma indetermi-
nada" e usada porque, n'esse caso, 0 limite da esquerda de (1) pode muito bern existir, mas nada
pode ser conclufdo acerca de seu valor sem urn prosseguimento das investigayoes. Tal situayao
e mostrada nos quatro exemplos
560
x
x'
X
x3 '
x sen l/x
x
Formas indeterminadas e integrais impr6prias 561
cada urn dos quais e quociente de duas funyoes que tendem a zero quando x -+ O. Vemos, a partir
desses exemplos, cancelando os x do numerador e do denominador , que tal quociente pode
ter 0 limite 1 ou a ou 00, ou pode nem mesmo ter limite , finito ou infinito.
As formas indeterminadas podem, as vezes, ser calculadas usando artificios algebricos
simples. Por exemplo ,
3x2 - 7x+ 2 lim----...,--
x - 2 x2 + 5x - 14 (2)
tern a forma indeterminada 0/0, e esse limite e f.lcil de calcular fatorando e cancelando,
. 3x2 - 7x + 2 . (x - 2)(3x - 1) . 3x - 1 5 hm = lim = lim -- = - .
x"'- 2 x2 + 5x - 14 x-2 (x - 2)(x + 7) x-2 X + 7 9
Em outros casos sao exigidos metodos mais complicados. Assim 0 limite
Ii sen x m--
x- o x
(3)
e uma outra forma indeterminada do tipo 0/0 , e na Seyao 9.2 foi utilizado urn argumento geome-
trico para mostrar que 0 valor desse importante limite e 1. Relacionad6 a isto, salientamos 0 fato
sugestivo de que 0 limite (3) pode tambem ser calculado notando-se que e a derivada da funyao
sen x emx = 0:
Ii sen x Ii sen x - sen a m -- = m ----:--
x-o X x-o X - a
= .!!.... sen x] = cos x] = cos a = 1.
dx .... 0 x-O
De fato , toda derivada
f'(a) = lim f(x) - f(a)
x-a x - a (4)
e uma forma indeterrninada do tipo 0/0, pois 0 numerador e 0 denominador da frayao da direita
tendem ambos a zero quando x tende a a *.
* Os estudantes devem examinar a formula (4) junto com urn esbo~o conveniente, para se convencer de que
essa formula pode ser tomada como a defmiyao da derivada de uma fun~ao arbitrana f(x) num ponto
x = a. Nao tivemos ocasiao de usar essa versao da defini~ao antes, mas ela sera particularmente
conveniente para nosso trabalho no presente capitulo .
562 Ctilculo com Geometria Analttica
Essas observac,:oes sugerem que existe uma estreita relac,:ao entre formas indeterminadas e
derivadas. Mas, para compreender essa relac,:ao, e necessario primeiro compreender 0 Teorema do
Valor Medio .
Esse teorema diz que se uma func,:ao y = f(x) e defmida e continua num intervalo fechado
a < x < b e derivavel 'em todos os pontos do interior a < x < b, entao existe pelo menos urn
numero c entre a e b tal que
ou , equivalentemente ,
!'(c) = J (b) - J(a) ,
b-a
J (b ) - J(a) = J'(c)(b - a).
Essa asserc,:ao e melhor compreendida em linguagem geometrica (Fig. 12.1).
y
Declive = f(b) - t(a)
b - a
I
I
I
I
I
I I
.Decliye = r (c)
a c b
Figura 12.1
x
Geometricamente seu significado e que em algum ponto do grafico entre as extremidades do
segmento a reta tangente e paralela a corda que une essas extremidades. Desse ponto de vista, 0
teorema parece obviamente verdadeiro , e e diflcil po-Io em duvida; mas , na verdade , e urn teorema
fundamental cuja validade depende fortemente das hip6teses enunciadas.
Em nosso trabalho tentamos evitar a delonga nas partes te6ricas do Calculo. Aqui, no
entanto, devemos fazer uma excec,:ao, porque 0 fato central deste capitulo (a regra de L'Hospital,
na proxima sec,:ao) nao pode ser cornpreendido a menos que conhec,:amos pelo menos 0 que diz 0
Teorema do Valor Medio . Uma discussao completa desse teorema, com todas as provas necessarias,
e fomecida no Apendice BA. Esse apendice esta a disposic,:ao dos estudantes que desejam pesquisar
mais profundamente os fundamentos te6ricos do Ca1culo; aqueles cujos interesses nao estao nessa
direc,:ao podem omiti-Io sem quaisquer conseqiiencias serias.
Formas indeterminadas e integrais improprios 563
12.2 A FORMA INDETERMINADA 0/0. REGRA DE L'HOSPITAL
Observamos anteriormente que existe uma estreita relafi:ao entre formas indeterminadas
e derivadas. Comefi:amos explorando essa relafi:ao com 0 seguinte teorema simples: se f(x) e g(x)
siio ambas iguais a zero em x = a e tern derivadas nesse ponto, entao
lim f(x) = j'(a) = j'(x) ]
x - a g(x ) g'(a) g'(x ) x-a'
(1)
sendo que g'(a) *' O. Para provar esse teorema, e suficiente usar f(a) = 0 e g(a) = 0 para escrever
como queriamos.
f(x ) = f (x ) - f(a)
g(x ) g(x) - g(a)
[f(x) - f(a)) / (x - a) ~ j' (a)
[g(x) - g(a)) /(x - a) g' (a) ,
Como exemplos da aplicafi:ao de (1), calculamos facilmente os limites (2) e (3) da
Sefi:ao 12.1:
e
Como outro exemplo temos
. 3x2 - 7 x + 2 6x - 7] 5 ~~ x2 + 5x - 14 = 2x + 5 r-c2 ="9
hm -- = -- = cos 0 = 1. . sen x cos x]
x- o x 1 x-O
lim tg 6x = 6 sec2 6X] = ~ = 3
x-a e2x - 1 2e2x x-O 2 '
resultado que obteriamos com dificuldade por qualquer outr~ metodo.
(2)
(3)
(4)
A formula (1) exige a existencia das derivadas das funfi:0es f(x) e g(x) unicamente no
ponto x = a. Em outros pontos essas funfi:0es nao precisam ter derivadas nem mesmo ser
continuas. No entanto, se as derivadas existem num intervalo ao redor de a e sao continuas em a,
en tao podemos obter a formula (1) de outra maneira, aplicando 0 Teorema do Valor Medio
separadamente no numerador e no denominador
564 Ctilculo com Geometria Analftica
f(x) , f(x) - f(a) f'(cl)(x - a) f'(cl) f'(a)
g(x) = g(x) - g(a) = g'(C2)(X - a) = g'(c2) --+ g'(a) ,
(5)
quando x -+a. Aqui Cl e C2 estao entre x e a, logo ambas tendem a a quando x -+a.
Que prop6sito e almejado ao dar uma segunda prova alternativa da formula (1) quando a
prime ira prova e perfeitamente satisfat6ria? A questao e a seguinte: a formula (1) e urn born
instrumento para se ter, mas e ainda somente de valor limitado , porque acontece com frequencia
nos problemas em que consider amos que !' (a) = g I (a) = 0 e, nesse caso, 0 segundo membro de
(1) nao tern significado. Entretanto, podeinos usar nossa segunda prova para superar essa
dificuldade. Suponha
que Cl e C2 em (5) possam ser tornados iguais, de modo que a primeira
parte de (5) possa ser escrita como
f(x) = f(x) - f(a) f'(c)
g(x) g(x) - g(a) = g'(C) ,
(6)
com C entre x e a. Entao , ao formar 0 limite quando x -+ a, (6) permite-nos substituir 0
quociente
f(x)
g(x) pelo quociente
f'(x)
g'(X) .
A regra de L 'Hospital diz que, sob certas condiyoes facilrnente satisfeitas, essa substituiyao e
legitima, isto e,
lim f(x) = lim f'(x)
x-a g(x) x-a g'(x) ,
(7)
supondo-se que 0 limite do segundo membro exista. Os estudantes de vern se lembrar de que
/(a) = g(a) = 0; tambem mencion!l1Ylos que mesmo que os limites ordimirios sejam usualmente
buscados em (7), os limites laterais sao permitidos*.
* Para aqueles estudantes que estao interessados na prova da regra de L'Hospital, explicamos aqui tao breve-
mente quanto possivel os detalhes do racioclnio que sustenta (7). Admitimos - como enunciado - que
[(a) = g(a) = 0, que x tende a a de urn lado' ou de outro e que nesse lado as fun~oes [(x) e g(x) satis[azem
as seguintes tres condi~oes: (i) ambas sao continuas em algum intervalo fechado I tendo a como extremi-
dade; (ii) ambas sao derivaveis no interior de I; e (iii) g'(x) *- 0 no interior de I . Com essas hipoteses, (6) e
uma conseqiiencia imediata de uma extensao tecnica do Teorema do Valor Medio, conhecido como 0
Teorema do Valor Medio Generalizado; e se a x e agora permitido tender a a do lado em questiio, entao
(7) segue de-(6) como indicado acima. Os estudantes tenazes que gostam de saber tudo encontrarao uma
prova do Teorema do Valor Medio Generalizado no Apendice B.4.
Formas indeterminadas e integrais impr6prias 565
A regra de L'Hospital tern esse nome em homenagem ao mate matico frances - urn discipulo
de John Bernoulli - que a publicou em seu livro Analyse des infiniment petits (paris , 1696), que
foi 0 primeiro livro-texto de CaIculo que gozou de grande popularidade exercendo
grande infiuencia,
Exemplo 1 No inicio desta serrao , calculamos os limites (2) , (3) e (4) utilizando a f6rmula (I) ,
Esses.limites tambem podem ser calculados usando a regra de L'Hospital (7) : '
, 3x2 - 7 x + 2 , 6x - 1 5 hm =lIm---=-
x-2 x 2 + 5x - 14 x- 2 2x + 5 9 '
I, sen x I' cos x 1 Im--= Im --= ,
x- a X x-a 1
lim tg 6x = lim 6 sec2 6x = 3,
x- a e2x - 1 x - a 2e2x
A razao pela qual (7) funciona tao bern nesses problemas e que , em cada caso , 0 segundo limite
existe "'e e faci! de ser encontrado por insperrao, pois as funrrOes envolvidas sao continuas, 0 ponto
que desejamos salientar aqui e que 0 que se consegue com (1) pode-se conseguir com (7) com a
mesma facilidade , Mas como 0 pr6ximo exemplo mostra, (7) e urn instrumento muito mais
poderoso ,com freqtiencia funciona quando (1) nao funciona em absoluto.
Exemplo 2 A regra de L'Hospital (7) mostra sua importancia em problemas de limite tais como
I
, 1 - cos x
1m 2 '
x- a X
Aqui a f6rmula (1) nao serve , como vemos a partir da impossibilidade de realizarrao do ca1culo
pretendido
I, 1 - cos x sen x] 1m =--
x - a x 2 2x-<,=0
o
0'
A razao dessa impossibilidade e que (1) pressup5e que g'(a) =I=- 0 , e essa condirrao nao e satisfeita,
Entretanto, por (7) temos
I, l-cos x I ' sen x 1m 2 = Im--,
x - a X x- Q 2x
566 Calculo com Geometria Analf!ica
se 0 segundo limite existir. Mas esse segundo limite e de novo do tipo 0/0 , logo a regra de
L'Hospital se aplica uma segunda vez e perrnite-nos continuar tentando obter a resposta correta ,
I· 1 - cos x I· sen x I. cos x 1 1m = 1m--= 1m--=-
x- o x2 x-a -2x x- o 2 2·
Urn outro limite que se comporta dessa maneira e
_ vx + 1-(1 + tx) _ t(x + 1)-1/2_ t
11m 2 ~ 11m .=..:..---'----=-
x- o X x- a 2x
-- . - t(x + 1)-3{2 1
= lim =--
x-o 2 8·
as limites do Exemplo 2 ilustram a grande vantagem que a regra de L'Hospital (7) tern sobre
a formula (1) : e valida sempre que 0 limite , a direita , existe , nao importando se g '(a) e nulo ou
nao. Assim, como mostram esses problemas-, se rea) ~ g '(a ) = 0 , en tao obtemos novamente uma
indeterminayao % e podemos aplicar a regra de L'Hospital uma segunda vez ,
lim f(x) = lim f'(x) = lim f"(x)
x- a g(x) x- a g' (x) x- a gil (x) ,
supondo que 0 ultimo limite exista. Na pnitica, as funyoes que encontramos neste livro satisfazem
a~ condiyoes necessarias para a aplicayao da regra de L'Hospital. Portanto aplicamos a regra quase
rotineiramente , continuando a derivar 0 numerador e- 0 denominador separadamente ate nos
livrarmos da forma % em x = a. Tao logo uina ou outra (ou ambas) dessas derivadas seja
diferente de zero em x = a , devemos parar de derivar e calcular 0 ultimo limite por algum metodo
direto.
Exemplo 3 Uma tentativa descuidada de aplicayao da regra de L'Hospital pode conduzir a urn
resultado incorreto , como no calculo de
A resposta correta e
lim sen 4x = lim 4 cos 4x = ~ = 2
x- o 2x + 3 x-o 2 2·
Formas indeterminadas e integra is improprias 567
Nesse problema 0 numerador e 0 denominador da funcrad dada nao sao ambos iguais a zero em
x = 0; logo a regra de L'Hospital nao e aplicavel.
Nosso metoda funciona exatamente da mesma maneira para limites em que x ~ 00; isto e,
se f(x) ~ 0 e g(x) ~ 0 quando x ~ 00, entao
lim f(x) = lim f'(x)
x-o> g(x) X -O> g'(x)' (8)
se 0 limite , a direita , existe. Para verificar isto , fazemos x = l it e observamos que t ~ 0+
(lembre-se de que a notacrao significa que t tende a zero pela direita). Em resumo, a regra de
L'Hospital nos da agora
lim f(x) = lim f(l/t) = lim f'(x) dx/dt
X - O> g(x) 1-0+ g(l/t) 1-0+ g'(x) dx/dt'
que e (8) ap6s dx/dt ter sido eliminado por simplificacrao.
Finalmente , em ambas as formas da regra de L'Hospital , expressas nas formulas (7) e (8)
e facil ver que 0 procedimento permanece valido se 0 valor do limite, a direita , e 00 ou _00.
Problemas
Calcule os seguintes limites :
1 I· sen3x . Im--.
x-o sen x
3. lim 2 x - 2 .
x-26x - lOx - 4
5 I· .Jx + 9 - 3 . 1m .
x-o X
r J..)x + 1 - (1 + !x)
7. x~ x2
. eX - I-x
9. hm 2
x-a X
2.
4.
6 .
8.
10.
r Inx Im--.
x-I x-I
lim
eX - e-X
sen 5x x-o
lim 4x
3
- 5x+ I
x-I lnx
lim arc sen 3x
x-a x
. eX- I-x hm .
x-a I - cos 1CX
568 Calculo com Geometria Analftica
11. lim x
3
12. . e2x - I lIm---.
x-v senx-x x-o sen 5x
13. I" 3x 1m--. 14. lim In (tgx)
x-v tg x x -1C/4 sen x - cos x
sen2 x + 8x 16. lim ";X - 2 - 2 15. lim
x 2 - 36 x-o e2x - 1 x-6
17. lim x-senx 18. I" In (cos 2x) 1m ( )2
x-o:x - tg x X -It X-1T.
I" l/x 20. . ax - b
x
19. Im---. lIm---. x-~ sen 1T./x x-o x
tg 2x- 2x 3 21. lim 22. Ii senx
x-O x-senx x~sen3 x·
23. sen 2x - 2 sen x 24. I" VX- 1 lim . Im~.
x-o sen 3x - 3 senx x-I x- 1
25.
. (e X - 1)3
11m
x-o (x - 2)eX + x + 2
26. Na Fig. 12.2, P e um ponto sobre uma circunferencia com centro 0 e raio a. 0 segmento
AQ e igual ao arco AP, e a reta PQ intercepta a reta OA em B. Mostre que OB tende
a 2a quando P tende a A ao longoda circunferencia. Sugestao : !::, QAB e semelhan te ao
!::'PRB.
Q
----~-+--~~~~ A
B
Figura 12.2
27. No Problema 26 , seja fee) a area do triangulo ARP e seja g(e) a area da regiao que
permanece ap6s 0 triangulo ORP ser removido do setor OAP. Determine f6rmulas para
as funyoes fee) e g(O) e calcule limo .... of(O)/g(O).
Formas indeterminadas e integrais improprias 569
28. A regra de L'Hospital (7) funciona exatamente da mesma maneira se as condi<;:oes
I(a) = g(a) = 0 sao substituidas pel as condi<;:oes lim I (x) = lim g(x) = o. Explique. Use
essa ideia para calcular
. (1 + X)l/X - e
hm .
x- o x
29. A f6rmula
f'(x) = lim I(x + h) - I(x)
h- O h
e uma versao da defini<;:ao de derivada. Tratando 0 lado dire ito como uma forma indetermi-
nada , deduza essa f6rmula a partir da regra de L'Hospital .
12.3 OUTRAS FORMAS INDETERMINADAS
Para certas aplica<;:oes e irnportante saber que a regra de L'Hospital permanece valida para
formas indeterminadas do tipo 00/ 00. Isto e, 0 numerador e 0 denominador do quociente I (x )/g(x)
tomam-se ambos infinitos quando x -+ a, entao
lim I(x) = lim f'(x)
x-a g(x) x - a g'(x) ' (1 )
se 0 limite a direita exi~te. 0 argumento e urn pouco artificial e e esbo<;:ado na Observa<;:ao 2, de
modo que aqueles que desejarem podem nao 0 estudar. Da mesma maneira abordada na
Se<;:10 12.2, 810 admitidos limites unilaterais e (1) estende-se irnediatamente para 0 caso em que
x -+ 00. T~mbem permanece valida se 0 limite a direita e 00 ou --'Xl.
Exemplo 1 Mostre que
. :xI' 0 hm-=
X - CI) eX (2)
para toda constante p.
5 70 Gilculo com Geometria Ana/(tica
Solu~o Iniciamos observando que se p ~ 0 , enUio esse limite nao e uma forma indeterminada
e seu valor, e facil de ver, e zero. Por outro lado , quando p > 0 , 0 limite e obviamente urna forma
indeterminada do tipo 00/00: A regra de L'Hospital (1) para 0 caso em que x ~ 00 da, portanto ,
. xP . pxIrI [1m ---:; = hm --x- '
x-a:; e X - I"./C e
caso 0 limite a direita exista; continuamos esse processo passo a passo, reduzindo 0 expoente de
x a zero ou a urn nfunero negativo . Assirn fica provada a expressao (2) seguindo-se as observa~5es
sobre esse tipo de indetermina~ao. Esse exemplo nos da urn discernimento importante sobre a
natureza da fun~ao exponencial. Quando x ~ 00 eX cresce mais rapido que qualquer potencia
de x, por maior que seja 0 expoente , e, portanto , mais rapido que qualquer polinomio.
Exemplo 2 Mostre que
1· In x 0 1m--=
x - oc xP (3)
para toda con stante p > 0.
Solu~o Esse limite e evidentemente urna forma indeterminada do tipo 00/00; logo, pela regra
de L'Hospital, temos
lim In x = lim l/x = lim _1_ = 0
x-~ xP x-~ pxIrI x-~ pxP .
Expresso em palavras , (3) revela que quando x ~ 00, In x cresce mais devagar que qualquer
potencia positiva de x, por menor que seja.
Discutirnos anteriormente os limites (2) e (3) usando metodos particulares (Se~5es 8.3
e 8.4). Nosso trabalho presente a respeito desses limites importantes e evidentemente preferivel ,
porque 0 metodo poderoso de anlilise baseado na regIa de L'Hospital estende-se facilmente a
muitos lirnites semelhantes.
As express5es
0· 00, 00 - 00, 0° , 000 ,
Formas indeterminadas e integrais impr6prias 571
sao outros tipos de formas indeterminadas que as vezes aparecem. 0 produto f(x)g(x), onde urn
fator tende a zero e 0 outro torna-se infinito (0 ' 00), pode ser reduzido a % ou a 00/00, levando-se
o reciprocQ de urn fator ao denominador. A diferen9a entre duas func;:6es que crescem indefmi-
darnente (00 - 00) pode, com frequencia,ser transformada em uma forma mais conveniente. Uma
potencia y = f(x)g(x) que produz uma forma indeterminada de urn dos outros tipos e melhor
tratada tomando-se logaritmos:
In y = Inf(x)K<x} = g(x) Inf(x). (4)
Isto reduz 0 problema a forma mais familiar 0 ' 00; como y = elny , usarnos entao a continuidade
da funyao exponencial para inferir que lim y = lim elny = elim lIly. llustraremos nos exemplos
seguintes 0 que vimos acima.
Exemplo 3 Calcule
lim xln x.
x-o+
(5)
SoIu~o Aqui x deve tender a zero por valores positiv~s, pois 10 x e defmido apenas para x
positiv~s. Como In x -+ - 00 quando x -+ O+, e claro que (5) e uma forma indeterminada do
tipo 0, 00. 0 valor desse limite nito e 6bvio, pois, quando x -+ 0+, nao .. podemos dizer se 0
produto x 10 x e mais influenciado pela pequenez de x ou pela grandeza (em valor absoluto)
de In x. No entanto, podemos converter facilmente 0 limite em uma forma indeterminada do
tipo 00/00 e aplicar a regra de L 'Hospital (1). Assim,
1' · 1 l' In x I' I/x l' ( ) 0 1m x n x = 1m -- = 1m --2 = 1m - x = .
x-o+ x-o+ I/x x- o+ -I/x x-o+
Como vemos, a pequenez de x domina 0 comportarnento do produto x 10 x perto de x = O.
Exemplo 4 Calcule
lim (sec x - .tgx), .
X- 7[/ 2
(6)
Solu~o Este e do tipo 00 - 00, Convertemos: essa expressao em uma forma indeterminada do
tipo % e aplicarnos a regra de L'Hospital.
. ( ) . (I sen x ) hm sec x - tgx = lim -----
X-7[/ 2 X-7[/2 cos X cos x
li I. - sen x . - cos x = m = hm ---=,0.
x-,,/2 cos X X-7[/2 -sen x
572 Calculo com Geometria Analftica
&emplo 5 Calcule limx _ o+ xx.
Solu~o Esse limite e do tipo 00 e 0 reduzimos ao tipo mais simples 0 . 00, tomando logarit-
mos. P.ara fazer isto de modo mais conveniente, escrevemos y = xX e observamos que
ln y =ln xx = x ln x --+O quando x-+O+,
opelo Exemplo 3. Isto nos revela que
XX = y = e lny --+ e O = I ,
pela continuidade da fun~ao exponencial. Portanto , temos
Exemplo 6 Calcule limx _ oo X l Ix.
lim XX = I .
x- o+
Solu~o Esse limite e do tipo 000 . Escrevemos y =xl/x e observamos que
ln x In y = In X lIx = - --+ 0 quando
x
pelo Exemplo 2. Dai temos que
X lIx = Y = e lny --+ e O = I ,
ou,o que e equivalente,
lim x l Ix = I.
Exemplo 7 Mostre que
lim (I + ax)I IX = eQ
x-o
para toda constante a.
x-+oo ,
(7)
(8)
(9)
Formas indeterminadas e integrais improprias 573
Solu~ao Se a = 0 , esse limite nao e uma forma indeterminada e a afirma~ao e evidentemente
verdadeira, porque ambos as lados tern a valor 1. Se a =F 0 , a limite e uma forma indeterminada
do tipo I""! Nesse caso , escrevemos y = (1 + ax )l /x e observamos que
I· I I' In (l + ax) I' a/(l + ax) 1m n y = 1m = 1m = a.
x- o x- o x x- a 1
Isto implica
(1 + ax)l /X = y = e1ny -+ ea,
que e (9).
Observa~ao 1 0 uso da regra de L 'Hospital. Como todo procedimento matematico , a regra de
L'Hospital deve ser usada inteligentemente e nao de modo puramente mecanico. Devemos tentar
controlar a mau habito de aplicar automaticamente a regra de L'Hospital a todo e qualquer
problema de limites que apare9a. Com freqiiencia, ha urn modo mais faci! , como , par exemplo , a
usa dos limites familiares au de transforma90es algebricas simples.
(a) 0 limite
. 6x5 - 2 hm -.,---...,--
x-~ 2x5 + 3x2 + 4
e do tipo 00/00 e pode ser calculado pelo usa repetido da regra de L'Hospital . Mas e muito mais
simples dividir a nurnerador e a denominador par X S e escrever
(b) 0 limite
6x5 - 2 . 6 - 2/x5
2x5 + 3x2 + 4 2 + 3/x3 + 4/x5
. sen3 x l!m--
x- a x3
6-0
2 + 0 + 0 = 3.
e do tipo 0/0. A regra de L'Hospital pode ser aplicada e funciona, mas e muito mais faci!
observar que
574 Colado com Geometria Analftica
poisja sabemos que (senx)/x ~ 1 quando x ~ O.
(c) 0 limite
1. ../x2 + 1 1m---
x - oo X
e do tipo 00/00, e a aplicayao da regra de L'Hospital da
1· .JX2 + 1 l' X/.JX2 + 1 I' ---==x= 1m = 1m = 1m--, x-~ X x-~ 1 x-~ .Jx2 + 1 lim ,jx2 + 1/x
Estamos de volta ao limite com 0 qual comeyamos e nao chegamos a lugar nenhum. No entanto , e
muito facil inserir 0 denominador no radical e escrever
Observayao 2 0 argumento da regra de L'Hospital (1), no caso 00/00, po de ser esboyado resumi-
damente como se segue. Suponha que f(x) e g(x) tomam-seinfmitas quando x ~ a e que
f'(x) /g'(x) -+ L. Queremos mostrar que tambem f(x)/g(x) -+ L. Para x suficientemente pr6ximo
de a do lado em questao (Fig. 12.3) , f'(x) /g '(x) pode ser feita tao pr6xima quanta desejarmos
de L entre x e a.
x
•
c x
•
Figura 12.3
a
•
Se x esta entre x e a e se f(x) e g(x) devem satisfazer as condiyoes simples (i) a (iii) expostas
no rodape da Seyao 12.2 , entao
I(x) - I(X) = p (e)
g(x) - g(X) g'ee)
para algum c 'entre x ex. Como c esta tambem entre x e a, sabemos que !Cc)!gtc} esta
pr6ximo de L. Agora mantenha x flXO e faya x -+ a. Entao f(x) e g(x) crescem muito ,
f(X)/f(x) e g(x)/g(x) tomam-se muito pequenos
e
Fonnas indeterminodas e integrais imprbprias 575
f(x) - f(X) = f(x) [ 1 - f(X)/f(x) ]
g(x) - g(X) g(x) 1 - g(X)/g(x)
esta proximo de [(x) /g(x). Segue-se que [(x)/g(x) esta proximo de !'(c)/g'(c), que , por sua vez ,
esta proximo de L , e assim [(x )/g(x) esta proximo de L quando x esta proximo de a , e isto
e 0 que desejavamos estabelecer.
Problemas
Calcule os seguintes limites por qualquer metodo:
I. I" 18x
3
x~ 3 + 2x2 - 6x 3 • 2.
I" In (In x)
x~ In x .
3. lim
tg x
4. li In x
2
m--
x- nl2 I + sec x x-'" .fX
,5.
tg x
6. · x
2
lim--. lim tf3x' x-n/2 tg 3x x-'"
7. lim lox 8. · (In X)IO hm---.
X- O+ cosec x x-'" x
9. lim In (sen
2x) 10. lim x cotg x.
x-O+ Inx x-o
II. I" 1 12. lim (n: - 2x) tg x . 1m xsen -.
x-'" X x-"/2
13. lim (x 2 - l)e-x'. 14. lim x 3e-x.
x-'" x-'"
15. lim e-xln x. 16. ~~ x(~ - arc tgx) . x-'"
17. lim sen x In x. 18. lim x2 cosec (5 sen2 i).
x-O+ x-O
19. ,( X2 X2) 20. · C 1) hm ----- hm ---- .
x- .", . x-l x+l' x-o x sen x
21. . C 1) I" (1 1 ) hm ---- . 22. 1m ----
x-o X eX - 1 x- I x- 1 In x .
23. lim (senx)X. 24. lim (tg x)sen X.
x-O+ x-O+
576 Calculo com Geometrio Analftica
25. lim x tgx . 26. lim xx'.
x- O+ x-o+
27. lim (eX - l)x. 28. lim .xIn(I+x).
x-o+ x-o+
29. lim (sen x)senx. 30. lim (1 - cos X)I-COSX.
x- o+ x-o
31. lim (In X) I/X. 32. lim (tg x)cosx.
x-~ x-n/2-
33. lim (1 + eOX)I/x, a > O. 34. lim (x + e x)2/x.
x-~ x-~
35 . lim (1 + ax)I/X, a > O. 36. lim (1 + XIOO)I/X.
x-~ X-O>
37. lim (cos X)I/X. 38. lim (sen x)tgx .
x-o x-n/2
39 . lim XI/(I - x2l. 40. lim (cos JXy/x.
x-I x-o+
41. A despeito da evidencia acumulada nos Problemas de 23 a 30 , as formas indeterminadas do
tipo 00 nem sempre tern 0 valor 1. Mostre isto calculando
onde p e uma constante nao-nula .
lim XP/lDX,
x- o+
42. (a) Esboce 0 gnifico da fun9ao y = [(x) definida por
{
e- I /X2
f(x) = 0 se x oF 0, se x = O.
(b) Mostre que liffix_ o x-ne- l /x2 = 0 para todo inteiro n.
(c) Mostre que [(x) defmida em (a) tern uma derivada n.esima fn)(x) para todo inteiro
positiv~ n e todo x oF O. [Nao pedimos uma fOrmula geral para fn)(x), mas os
estudantes devem levar os c31culos 0 suficieritemente longe para mostrar que [(n)(x)
e sempre dada por uma f6rmula de urn certo tipo , envolvendo certos coeficientes
constantes. ]
(d) Use as partes (b) e (c) para mostrar que [(n)(O) = 0 para todo inteiro positivo n.
*43 . Quando x -+ 0+, mostre que
mas que
1
cotgx - - -+ 0
x
e
Formas indeterminadas e integrais impr6prios 577
1
cotg x + - -+ 00
x '
44. Use (4) no texto (p. 571 ) para explicar por que 1° , 01 eO"" nao sao formas indeterminadas.
12.4 INTEGRAlS IMPROPRIAS
Quando escrevemos uma integral definida ordinaria como foi definida no Capitulo 6 ,
f f(x) dx, (1)
admitimos que os lirnites de integra9ao sao numeros finitos e que 0 integrando [(x) e urna fun9ao
continua no intervalo limitado a :;;;; x :;;;; b. Se [(x) > 0 , estamos completamente farniliarizados
com a ideia de que a integral (1) representa a area da regiao sombreada (Fig. 12.4, a esquerda).
d I I
I -I
I I
I I
1 I ___ 00
---.--I a b
Figura 12.4
578 Clilculo com Geometria Ana/(tica
No Capitulo 14 (Volume II) sera necessario considerar as charnadas integra is improprias
da forma
i= I(x) dx, (2)
em que 0 limite superior e infinito e 0 integrando I(x) e suposto ser continuo no intervalo
ilimitado a';:;;;x < 00*.
Definimos a integral (2) da maneira natural sugerida na Fig. 12.4 , a direita ; isto e ,
integrarnos de a ate urn limite superior finito porem variavel t e depois fazemos t tender a
00 e definimos (2) por
1= I(x) dx = lim l 'I(X) dx. a /-00 a
Se 0 limite existe e tern urn valor fmito , a integral impropria diz-se convergir ou ser convergente,
e esse valor e atribuido a ele . Caso contrario, a integral e charnada divergente. Se I(x) ;;;. 0, el).tao
(2) pode ser encarada como a area da regiao ilimitada (Fig. 12.4, a direita). Nesse caso , a area
da regiao e finita ou infmita conforme a integral impropria (2) convirja ou divirja.
Exemplo 1
{= e-X di = lim l' e-X dx = lim [-e-Xlb = lim (-J, + 1) = l. Jo t- = 0 / - 00 1- 00 e
Essa integral impropria converge , porque 0 limite existe e e fmito .
Os estudantes , muitas vezes , tendem a abreviar esse calculo escrevendo
1= 1 e X dx = [- e-xl~ = - ~ + 1 = 1, o e
em vez de escrever os limites como fizemos no Exemplo 1. Essa abrevia~ao rararnente causa
quaisquer dificuldades reais. Entretanto ,' nesta se~ao escreveremos sempre os limites a fim de
enfatizar que integrais improprias sao delinidas como iimites.
* A palavra "impropria" e usada em virtude da " impropriedade" no limite superior de integra~iio . Se dese-
jarmos, podemos falar de (1) como uma integral propria, porque niio tern impropriedades, mas isto niio e
nem necessario nem costumeiro.
Formas indeterminadas e integrais improprias 579
Exemplo 2
J~ dx . J' dx . [ 1 J' . (1 ) "2=lIm "2=lIm -- =lim --+ 1 = 1. I X I-~ I X I-~ X I I-~ t
Essa integral impr6pria tambem converge .
Exemplo 3
JOO dx . JI dx . . - = lim - = lim [In xlI = lim In t = 00 . 1 X /-0::; 1 X ( - 00 {-X
Essa integral diverge , pais 0 limite e infinito.
Exemplo 4
[ 00 cos x dx = lim . [ I cos x dx = lim sen t Jo t-~ Jo l-~
- que nao existe. Essa integral diverge , pois 0 limite nao existe.
Nosso exemplo seguinte generaliza os Exemplos 2 e 3 e contem informa~ao especffica que
sera necessaria no Capitulo 14 (Volume II).
Exemplo 5 Se p e uma constante positiva , mostre que a integral impr6pria
converge se p > 1 e diverge se p .;;;; 1.
Solu~o o caso p = 1 foi visto no Exemplo 3; logo , admitimos que p oF 1. Nesse caso temos
-=lim -=lIm--JOO dx . JI dx . [ x1-P ] 1 I xP 1_00 I xP 1_00 1 - P I
. [t l - P -IJ
=hm =
1_ 00 I- p {P: 1
sep < 1,
sep > 1
o que completa a prova.
580 Cdlculo com Geometria Ana/(tica
Consideremos 0 significado geometrico do Exemplo 5 examinando a Fig. 12.5.
I
Y =xp,p> o
I
r = -
. x
Figura 12.5
Quando e permitido ao expoente p decrescer por valores maiores que 1 (por exemplo, p = 4,3,
2, 1, 5 etc.), entao e facil ver que 0 grafico de y = 1/x P a dire ita de x = 1 sobe; tambem, 0
caIculo mostra que a area da regiao ilimitada sob 0 grafico cresce mas permanece finita. Quando
p atinge 1 essa area toma-se de repente infmita e permanece infinia para todos os valores de
p < 1. E de fato notavel que uma regiao de extensao infinita possa ter uma area finita , como
acontece aqui quando p > 1. Comentaremos esse fenomeno na Observa9ao 1.
Urn outro tipo de integral impr6pria aparece quando 0 integrando I(x) e continuo num
intervalo limitado da forma a ~ x < b, mas torna-se infinito quando x tende a b (Fig. 12.6).
a b
Figura 12.6
Nesse caso podemos in tegrar de a a urn limite superior varia vel t menor que b. Essa integral
e uma fun9ao de t e podemos agora perguntar se essa fun9ao tern limite quando t tende a b.
Se for assim, usamos esse limite como defini9ao da integral impr6pria de 1(X) de a a b:
l b I(x) dx = lim l '/(X) dx. a t-b a
Formas indeterminadas e integrais impr6pri11s 581
Como anteriormente, essa integral chama-se convergente, se 0 limite existe e e finito, e
divergente, caso contnirio.
Exemplo 6
--=lim --=lim[-2~]b il dx i' dx ° ~ I-I o ~ I-I
= lim [-2JI=( + 2] = 2.
I - I
Essa integral impr6pria evidentemente converge.
Ha varios tipos de integrais improprias que mencionamos s6 brevemente porque as ideias
sao essencialmente as mesmas que aquelas ja descritas.
Se a impropriedade de uma integral ocorre no limite inferior, usamos t como 0 limite
inferior e entao fazemos t tender a - 00 ou a a, de acordo com 0 caso.
Se 0 integrando se
comporta mal em diversos pontos, entao a integral impr6pria - se existir - e obtida dividindo-se
o intervalo original em subintervalos.
Finalmente , se [(x) e continua em toda areta, entao escrevemos , por de[iniriio,
L~ f(x) dx = J~ f(x) dx + i~ f(x) dx,
onde a convergencia para a integral impr6pria a esquerda significa que ambas as integrais a direita
convergem. Vma integral de - 00 a 00 pode ser quebrada em qualquer ponto finito conveniente da
mesma forma como 0 fizemos no ponto x = o.
Exemplo 7
f~ dx fO dx {'" dx
_ « 1 + x2 = _= 1 + x2 + Jo 1 + x2
= hm --+hm --. fO dx . i' dx
1--= I 1 + x2 I-~ ° 1 + x2
= lim [arc tg x] ; + lim [arc tg x] ~
l--!JC 1- 00
. . ( rr) rr
= ,~~'" (-arc tg l) + ~:..~arc t g l = - - 2 + 2 = rr.
582 Ctilculo com Geometria Analftica
Observa~ao 1 Os estudantes podem ainda estar ceticos quanto a possibilidade de uma reglao
de extensao infinita poder ter uma area finita. Se e assim , entao 0 seguinte exemplo pode ajudar.
Considere a regiao sob a curva y = 1/2x para O";;;x < 00. Essa regiao e sombreada na Fig. 12.7
e evidentemente tern uma area menor que a area conjunta de todos os retiingulos mostrados na
figura. Mas esses retangulos tern base 1 e alturas 1, 1/ 2, 1/4, 1/ 8, ... , e assim sua area conjunta e
exatamente
Figura 12.7
1 + 1 + ± + i + ... = 2.*
Segue-se que a regiao sombreada - de extensao infmita! - tern area finita menor que 2. A area
dessa regiao pode mesmo ser calculada exatamente; e
1'" dx· . l'dx . l' ~ = lIm ~ = hm e-x1n2 dx o 2 1- '" 0 2 1-'" 0
= lim --- e-x1n2 . [1 J'
1-'" In 2 0
. [ 1 1 1 J 1
= ~~ - In 2 . 2r + In 2 = In 2 .
Observa~ao 2 De maneira geral , integrais impr6prias exercem urn papel mais substancial em
Matematica superior do que no CaIculo. Mencionamos dois exemplos importantes (mas nao
prosseguimos 0 estudo neste livro) para dar aos estudantes alguma ideia do que estamos falando.
* Esta e uma serie geometrica infinita de uma especie estudada, com freqiiencia, nos CUISOS de Algebra
do segundo grau. Discutiremos essas series, com mais detalhes, no Capitulo 13 (Volume II ).
Formas indeterminadas e integrais impr6prias 583
(a) A integral irnpr6pria
(0 simbolo a esquerda e a letra maiuscula gama, do alfabeto grego) chama-se funriio gama. Esta
e uma fun9ao muito interessante que e estudada em Ca!culo avanrrado. Tern numerosas aplicarroes
em Fisica , Geometria, Teoria dos Numeros e em outras partes da Matematica pura.
(b) A integral irnpr6pria
F(p) = i~ e-PX f(x) dx
tern muitas aplicarroes no estudo de circuitos eltHricos , membranas vibrantes , condurrao do calor
e resolurrao de certos tipos de equarroes diferenciais. E uma funrrao de p associada com a funrrao
dada f(x) e se chama transformada de Laplace de f(x).
Problemas
Em cada urn dos seguintes problemas , determine se a integral irnpr6pria converge ou nao e ache
seu valor se convergir:
1. i~ e-2x dx. ~. l~ dx
o (1 + X)3'
3. l~ dx
8 X4/ 3' 4. i~ sen x dx.
5. - sen - dx. f~ 1 1
I x 2 X
6. i~ dx
e xln x ·
7. i~ dx
e x(ln X)2' 8. i~ e-X cos x' dx.
9. i~ (x - l)e-x dx. 10 . f~(~- ~X~3)dX.
11. f~ dx
I x(x + 2)' 12.
i~ dx
3 x~16 + x2 '
13. 121n xdx
o IX' 14. f dx o 4-x2 '
15. L~ Ixle-x1 dx. 16. J~ e-X cos x dx.
584 Ctilculo com Geometria Analftica
17. Seja p uma constante positiva. Determine 0 valor de p para 0 qual a integral impr6pria
{I dx
Jo xP
e convergente e aqueles para os quais e divergente.
18. Considere a regiao sob 0 gnifico de y = 1/x para x ;;;. 1. Embora essa regiao tenha area
infinita, mostre que 0 s6lido de revoluyao obtido girando essa regiao ao redor do eixo x
tern volume finito e calcule esse volume.
19. Considere a regiao do primeiro quadrante sob a curva y = 1/(x + 1)3. Ache 0 volume do
s6lido de revoluyao gerado ao redor (a) do eixo x, (b) do eixo y.
20. A regiao sob a curva y = 4/(3x 3 / 4 ) para x;;;. 1 e girada ao redor do eixo x. Ache 0 volume
do s6lido de revoluyao gerado dessa maneira.
21. Mostre que a area de superflcie do s6lido de revoluyijo descrita no Problema 20 e infinita.
Como resultado desses caIculos, vemos que urn contentor com a forma dessa superficie
pode se encher de tinta (ele tern volume [mito), mas , no entanto, sua superflcie interna nao
pode ser pintada (ele tern area de superflcie infinita). Sugestao: use a desigualdade 6bvia
para mostrar que
area de superficie
22. Se a > 0 e 0 grafico de y = ax 2 + bx + c esta inteiramente acima do eixo x, mostre que
Jx dx 2n - x ax2 + bx + c = .j 4ac - b2 .
23. (Urn teste de comparafiio.) Sejam [(x) e g(x) funyoes continuas com a propriedade que
o ,;([(x) ,;(g(x) para a ,;( x < 00. Mostre que
(a) se J~g(x)d.., converge , entao J~/(x)d.., tambemconverge;
(b) se J~/(x) dx diverge, entao J~ g(x) dx tambem diverge .
Formas indeterminadas e integrais impr6prias 585
24. Use 0 teste de comparayao do Problema 23 para determinar se cada uma das seguintes
integrais converge ou diverge:
(a) ('" dx . )1 ';x3+5'
(c) 1'" COS·
3
5X dx;
2 X
(b) 1'" (x 6 - 0-1/7 dx;
*(d) J.'" In 2X dx.
~ x
Problemas Suplementares do Capitulo 12
Se~o 12.2
Calcule os seguintes limites:
1 I· sen 5x .lm--.
x-o sen 2x
° A-2 + X - 30
3. hm .rx::::l .
x-5 x- 1 - 2
° x-4 5. hm Vx+4 ° •
x-4 x+ 4 - 2
7. r tg (2x - 4) 1m
x-2 x 3 - 8
9. lim Vx + 1- (l + tx)
x-o 3x2
11 1
° In (x - 2)
. 1m .
x-3+ (x - 3)2
13. lim sen x 3
x-o x-senx
° ellx - 1 15. hm---
ox-'" sen I/x'
17 1° 1- cos x .lm---
x-o xsenx
19 1° arc sen x .lm--
x-o+sen 23x'
2 r In (x - 1)
· ~ x-2 .
4.lim~
x-1 I-xl'
6 1° xl + 2x- 3 · 1m
x--3 2x2 + 3x - 9'
8. lim X
3 +x2-2
x-I Inx
10. lim Vx+ I6-(2+-hx)
x-o x2
12 1° x sen (senx)
· 1m .
x-o 1 - cos (senx)
° ex' - 1 14. lim--.
x-o xsenx
16 1° arc tgx . 1m .
x-o+ 1 - cos 2x
18 Ii vx:::I6
. m 4r
x-16+ vx-2
10 2 cos x - 2 + x
2
20. 1m ---:--;--
x-o 3x4
586 Oilculo com Geometria Analftica
21. lim I -senx ')x 22. r -1m---x-nl2 cos X
x-o arc tg x
23. lim 33,)x- 1-x- I r In x
3(x - 2)2 24. 1m---. x-2 x -I X2 _ X
sen2 x + 2 cos x - 2 lim sen x - tg x 25. lim 2 . 26.
x-o cos x - x sen x - I
x-o xJ
27.
. cos x - I + 1X2
sen x 2 -sen2 x 11m 28. lim x-o X4
x - o X4
29. lim
eX + e-X - 2
ilm 1 + cos x 30.
x-o I - cos 4x x-n (x - n)2
31 . lim x
J + 3e l- x - 4
lim x -sen x
x -In x- I 32. x-I x-o x tg x
33. lim x
2 tg x 1 - cos2 x 34. lim x-O tg x-x
x-o x 2
35 . r In (x + I) 36. lim I - cos 2.Ja x }!!b eJx - I .
x-O 2x2
37 . . x
lO
- I x -sen x ilm-9--· 38 . lim x-I x - I
x-O 1 - cos x
39. r x - arc tgx lim sen
2 x 1m 3 • 40.
x -o x x-n I + cos 5x
41. . tg 2 ( 1/ x) ilm 2 •
x - '" In (I + 4/x)
42. Considere 0 setor circular de raio 1 mostrado na Fig. 12.8.
B
c
o ~--~----~----~
Figura l2.8
Formas indeterminadas e intewais impr6prias 587
o ponto C e a interse<;:ao das retas tangentes em A e B . Se r(O) e a area do triiingulo
ABC e g(O) e a area da regiao que permanece quando 0 triiingulo DAB e removido do setor ,
calcule lime_ of(8)/g(8).
43 . Mostre que
] . X2 sen (I /x) 1m ---'--'-
x- o X
e uma forma indeterminada do tipo % que existe mas nao pode ser calculada pel a regra
de L'Hospital. Qual 0 valor desse limite? Este exemplo mostra que a regra de L'Hospital e
falsa?
44. Use a regra de L 'Hospital para estabe lecer as seguintes f6rmulas para 0 calculo direto da
segunda derivada :
( ) j ., ) I' j'(x + 211) - 2I(x + II) + f(x) a '(x = 1m .
A-O h2 '
(b) I"(x) = lim f (x + 11) - 2j
h
(:) + f(x - h) .
h-O
45. Se n e urn inteiro positivo , mmtre que
I
. I1Xn+1 - (n + I)xn + 1 n(/1 + 1) 1m =----'-------'.
,- I (x - 1)2 2
(Sobre 0 significado desse result ado urn tanto quanta estranho , veja 0 Problema 46.)
46 . Se n e urn inteiro positivo e x =I=- 1, a f6rmula
I + x + x2 + x3 + ... + XII = 1 - xll+1 = xll+1 - 1
I- x x - I
588 Ctilculo com Geometria Anaiftica
e familiar desde a Algebra elementar. Derive-a para obter
1 + 2x + 3x2 + ... + nJ.-n-1 = rzxn+1 - (n + I).x" + 1
(x - 1)2
e entao tome limites quando x tender ale use 0 Problema 45 para obter a formula
(*)
*47 . Multiplique a equayao (*) no Problema 46 por x , derive etc ., e dessa forma obtenha
a formula
F + 22 + 32 + ... + 2 _ n(n + 1)(2n + I)
n - 6 .
Ses:ao 12.3
Calcule os seguintes limites por qualquer metodo :
8
"
3X2 + 9 4. Im---. x-~ X + eX
I' 2 + sec x 1m
x -31f/ 2 ' tg x 50.
I' x+lnx 52. 1m 1
x-'" x n x
I, In (senx) 54. 1m ( 2)' x-o+ In sen x
56. lim In (In x)
x-'" IX
58. lim x2 In x,
x-o+
60. lim x 2el / x ,
x- o+
62. lim tg x In x.
x-o+
49 I
, In(1-2x)
_ 1m .
x- t- tg 7rX
, In x 100
'51. hm ~rx .
x-co 'IX
I. Inx 53. 1m --.
x- o+ cotgx
I. In x 55 . x~ e2x .
, xeX
57. hm-"
X - c.I eX
59. lim:xl' In x, p > O.
x-o+
61. lim x senE. , p =1= 0,
x-co x
63. lim ' ( x -!!.) tg 3x,
X-1f/2 2
Formas indeterminadas e integra is impr6priLls 589
64. lim (2x - n) sec x. 65 . lim tg x In (senx).
x-nl2 x-tr.!2
66. lim x(e1/X - 1). 67. lim sen x In (sen x) .
x-~ x-o+
68. 11m ----. C I)
x-o x 2 x senx ' 69. I' (I 2 ) 1m --x-o I - cos X x 2 '
70. J" [ I + x I] 1m --
x-o In (1 + x) x' 71. J" [I I ] 1m ---x-o In (I + x) eX - I .
72. lim '(x - .Jx2 + x). 73 . lim X·senx .
x-oc x-o+
74. lim (sen x)tgx . 75. lim (ex - I)senx.
x-o+ x-o+
76. lim (.1'2 - I)X-l. 77. lim (cos x)C05.<.
x - 1+ X-7r!2 -
78. lim (I - tg X)I-tgX. 79. lim (x + sen x) tgx .
x-n/4- x- o+
80. lim (In x)senlx-l) 81. lim [In (I + x)y.
x -l+ x- o+
82. lim xax., b> O. 83. lim x"X (XXX = x (xxlj.
x- o+ x- o+
84. lim (x + e=)blx. 85. lim (I + XP)I /X, p > O.
x-~ x-~
86. lim ( I + x)e-x. :87. lim (I + cosecx)sen'x.
x-~ x- o+
88. ( Iy lim (cosecxY· lim 1+- . 89.
x-o x x-o+
90. lim (cotgxY· 91. lim Xn(l+l lx).
x- o+ x-~
92. lim (I - 2X) 3/X. 93. lim (I + ~r
x-o X -QD X
( Iyx lim (eX + 3X)IIX , 94. lim 1+- . 95.
x -co x x-.o
96. lim ( I + 2x)cotgx. 97. lim (I + 3x)cosecx.
x-o x-o
98. lim (cos 2X)I IX'.
x-o
590 Colculo com Geometria Analftica
99. Mostre que
1. x + senx Im---
x- oo X
e uma forma indeterminada do tipo 00/00. 0 limite existe mas nao pode ser encontrado
pela regra de L'Hospital. Qual 0 valor desse limite?
100. Ache 0 valor que a deve ter se
lim (x + a)X = 4.
x-~ x - a
Seyao 12.4
Determine se cad a uma das seguintes integrais converge ou nao e ache seu valor caso convirja:
101. i~ e- 3x dx. 102. lZ dx 3 •
S x
103. lZ dx
4 xIX
104. lZ x2 dx
o x3 + l'
105 . iZ e X sen x dx. 106. iZ xe-X dx.
107. lZ x dx
o X4 + 1 . 108 . !Z xe- x2 dx.
109. lZ dx
2 4 + x2' 110. lZ dx 2 x2 - 1 .
111. l Z x2 dx 112 lZ Inx dx.
o ex" • x
113. lZ dx
• x In x../ln x ·
114. l~ dx
o vex'
11 5. i n'2 dx In'2 dx . 1 -sen x 116. o senx
117. 12 1n x dx. 118. r 8dx
o x o ../16 - x2 •
119. f xdx
o ../9 - x2 '
Formas indeterminadas e integrais improprias 591
120. Seja puma constante positiva. Determine os valores de p para os quais a integral impr6pria
11 dx o (I - xY'
e convergente e aqueles para os quais e divergente .
121. Mostre que a regiao do primeiro quadrante sob a curva y = 1/(x + 1)2 tern uma area finita
mas nao tern urn centr6ide.
122. Se x e uma constante positiva , mostre que
1x ,., 11x , o e-a-.,· dx = a 0 e- X • d\".
Sem realizar qualquer tipo de integrayao, use esse fato para mostrar que 0 centr6ide da
regiao entre a curva y = e-a2x2 eo eixo x e (0, ..[ff4) ..
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