Derivada-Construcao-de-Graficos

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Introduc¸a˜o
Nesta aula vamos esquematizar um roteiro para a construc¸a˜o de
gra´ficos.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Roteiro
Seja uma func¸a˜o f . Para esboc¸ar o seu gra´fico podemos seguir os
passos:
1 Identificar o dom´ınio de f .
2 Determinar os pontos de intersec¸a˜o do gra´fico de f com os
eixos.
3 Verificar se existem ass´ıntotas verticais ou horizontais.
4 Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento.
5 Estudar a concavidade do gra´fico.
Observac¸a˜o
A reta y = a e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico de f se
lim
x→∞ f (x) = a.
Ja´ a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical ao gra´fico de f se
lim
x→a f (x) =∞, limx→a− f (x) =∞ ou limx→a+ f (x) =∞.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Roteiro
Seja uma func¸a˜o f . Para esboc¸ar o seu gra´fico podemos seguir os
passos:
1 Identificar o dom´ınio de f .
2 Determinar os pontos de intersec¸a˜o do gra´fico de f com os
eixos.
3 Verificar se existem ass´ıntotas verticais ou horizontais.
4 Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento.
5 Estudar a concavidade do gra´fico.
Observac¸a˜o
A reta y = a e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico de f se
lim
x→∞ f (x) = a.
Ja´ a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical ao gra´fico de f se
lim
x→a f (x) =∞, limx→a− f (x) =∞ ou limx→a+ f (x) =∞.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Roteiro
Seja uma func¸a˜o f . Para esboc¸ar o seu gra´fico podemos seguir os
passos:
1 Identificar o dom´ınio de f .
2 Determinar os pontos de intersec¸a˜o do gra´fico de f com os
eixos.
3 Verificar se existem ass´ıntotas verticais ou horizontais.
4 Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento.
5 Estudar a concavidade do gra´fico.
Observac¸a˜o
A reta y = a e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico de f se
lim
x→∞ f (x) = a.
Ja´ a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical ao gra´fico de f se
lim
x→a f (x) =∞, limx→a− f (x) =∞ ou limx→a+ f (x) =∞.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) =
x2 + 1
x + 2
.
Note que o dom´ınio dessa func¸a˜o e´ R \ {−2}.
Para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo y basta
calcular f (0). O que nesse caso e´ f (0) = 12 .
Ja´ para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo x no´s temos
que resolver a equac¸a˜o f (x) = 0. E´ fa´cil perceber que nesse caso a
equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real, o que significa que o gra´fico de f
na˜o toca o eixo x .
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) =
x2 + 1
x + 2
.
Note que o dom´ınio dessa func¸a˜o e´ R \ {−2}.
Para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo y basta
calcular f (0). O que nesse caso e´ f (0) = 12 .
Ja´ para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo x no´s temos
que resolver a equac¸a˜o f (x) = 0. E´ fa´cil perceber que nesse caso a
equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real, o que significa que o gra´fico de f
na˜o toca o eixo x .
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) =
x2 + 1
x + 2
.
Note que o dom´ınio dessa func¸a˜o e´ R \ {−2}.
Para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo y basta
calcular f (0). O que nesse caso e´ f (0) = 12 .
Ja´ para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo x no´s temos
que resolver a equac¸a˜o f (x) = 0. E´ fa´cil perceber que nesse caso a
equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real, o que significa que o gra´fico de f
na˜o toca o eixo x .
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) =
x2 + 1
x + 2
.
Note que o dom´ınio dessa func¸a˜o e´ R \ {−2}.
Para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo y basta
calcular f (0). O que nesse caso e´ f (0) = 12 .
Ja´ para determinar a intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo x no´s temos
que resolver a equac¸a˜o f (x) = 0. E´ fa´cil perceber que nesse caso a
equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real, o que significa que o gra´fico de f
na˜o toca o eixo x .
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
A reta x = −2 e´ uma ass´ıntota vertical, pois
lim
x→−2−
x2 + 1
x + 2
= −∞.
Ale´m disso, note que
lim
x→−2+
x2 + 1
x + 2
= +∞.
Na˜o ha´ ass´ıntotas horizontais, pois
lim
x→+∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→+∞(x − 2) +
5
x + 2
= +∞,
lim
x→−∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→−∞(x − 2) +
5
x + 2
= −∞.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
A reta x = −2 e´ uma ass´ıntota vertical, pois
lim
x→−2−
x2 + 1
x + 2
= −∞.
Ale´m disso, note que
lim
x→−2+
x2 + 1
x + 2
= +∞.
Na˜o ha´ ass´ıntotas horizontais, pois
lim
x→+∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→+∞(x − 2) +
5
x + 2
= +∞,
lim
x→−∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→−∞(x − 2) +
5
x + 2
= −∞.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
A reta x = −2 e´ uma ass´ıntota vertical, pois
lim
x→−2−
x2 + 1
x + 2
= −∞.
Ale´m disso, note que
lim
x→−2+
x2 + 1
x + 2
= +∞.
Na˜o ha´ ass´ıntotas horizontais, pois
lim
x→+∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→+∞(x − 2) +
5
x + 2
= +∞,
lim
x→−∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→−∞(x − 2) +
5
x + 2
= −∞.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
A reta x = −2 e´ uma ass´ıntota vertical, pois
lim
x→−2−
x2 + 1
x + 2
= −∞.
Ale´m disso, note que
lim
x→−2+
x2 + 1
x + 2
= +∞.
Na˜o ha´ ass´ıntotas horizontais, pois
lim
x→+∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→+∞(x − 2) +
5
x + 2
= +∞,
lim
x→−∞
x2 + 1
x + 2
= lim
x→−∞(x − 2) +
5
x + 2
= −∞.
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Para estudar os intervalos de crescimento ou de decrescimento no´s
precisamos calcular a primeira derivada de f . Nesse caso, obtemos
f ′(x) =
x2 + 4x − 1
(x + 2)2
.
Devemos agora estudar o sinal da primeira derivada.
Intervalos de crescimento: (−∞, −2−√5) e (−2 +√5, +∞).
Intervalo de decrescimento: (−2−√5, −2 +√5).
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Para estudar os intervalos de crescimento ou de decrescimento no´s
precisamos calcular a primeira derivada de f . Nesse caso, obtemos
f ′(x) =
x2 + 4x − 1
(x + 2)2
.
Devemos agora estudar o sinal da primeira derivada.
Intervalos de crescimento: (−∞, −2−√5) e (−2 +√5, +∞).
Intervalo de decrescimento: (−2−√5, −2 +√5).
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Para estudar os intervalos de crescimento ou de decrescimento no´s
precisamos calcular a primeira derivada de f . Nesse caso, obtemos
f ′(x) =
x2 + 4x − 1
(x + 2)2
.
Devemos agora estudar o sinal da primeira derivada.
Intervalos de crescimento: (−∞, −2−√5) e (−2 +√5, +∞).
Intervalo de decrescimento: (−2−√5, −2 +√5).
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Para estudar a concavidade no´s precisamos calcular a segunda
derivada de f . Nesse caso, obtemos
f ′′(x) =
10
(x + 2)3
.
Devemos agora estudar o sinal da segunda derivada.
Concavidade para baixo: (−∞, −2).
Concavidade para cima: (−2, +∞).
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Para estudar a concavidade no´s precisamos calcular a segunda
derivada de f . Nesse caso, obtemos
f ′′(x) =
10
(x + 2)3
.
Devemos agora estudar o sinal da segunda derivada.
Concavidade para baixo: (−∞, −2).
Concavidade para cima: (−2, +∞).
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio
Para estudar a concavidade no´s precisamos calcular a segunda
derivada de f . Nesse caso, obtemos
f ′′(x) =
10
(x + 2)3
.
Devemos agora estudar o sinal da segunda derivada.
Concavidade para baixo: (−∞, −2).
Concavidade para cima: (−2, +∞).
Construc¸a˜o de Gra´ficos
Exerc´ıcio