prova_p1_calc3_2008_2_eng

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2008 © Todos os direitos reservados – DMM/IM/UFRJ 
30 de setembro de 2008 
1a Prova Unificada 
Cálculo-III 
 
 
 
1. Calcular a integral dupla da função 
y
xeyxf
y
2ln
),( = sobre o domínio 
Ω = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1; ex ≤ y ≤ e }. 
 
2. Calcular ∫
Ω
Ω+ dyx 22 , onde Ω = { (x, y) | x2 + y2 ≥ 1; x2 + y2 ≤ 2x }. 
3. Calcular o volume do sólido V = { (x, y, z) | z ≤ ;33 22 yx + zzyx 2222 ≤++ }. 
 
4. Calcular a integral de linha da função =F ( ex(cosy – 1), 1 – ex seny ) sobre a curva 
 
C: x = x(t), y = y(t), com ponto inicial A(0,0) e ponto final B(1,1). 
 
5. Calcular o trabalho do campo vetorial 



−+
−
−+
−= 2222 )1(,)1(
1
yx
x
yx
yF nos 
seguintes casos: 
 
a) sobre qualquer circunferência com centro (0,1) no sentido anti-horário; 
b) sobre elipse 1
1119
22
=+ yx no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
Observações importantes: 
 
• Os alunos deverão levar um documento de identidade original válido e com foto. 
• Antes da prova o professor responsável distribuirá os cadernos de prova, previamente preenchidos, nas carteiras 
da sala. Cada aluno deverá sentar na carteira onde se encontra o seu caderno de provas. 
• O aluno deve responder a primeira questão da prova na primeira folha da prova, a segunda questão na segunda 
folha e assim por diante. Os alunos que responderem às questões em folhas incorretas não terão estas questões 
corrigidas. 
• Os alunos não poderão se ausentar da sala de prova durante a prova. 
• Não é permitido ( nem será necessário ) o uso de calculadoras. 
• O material deverá ser colocado na mesa do professor ou, caso não haja espaço, em local fora do alcance dos 
alunos. Junto com o aluno deve ficar somente borracha, lápis, lapiseira e caneta. Se algum aluno for pego com 
material adicional, independente de ter consultado ou não, o caso será tratado como consulta indevida, pois 
todos foram avisados que o material deve ficar fora do alcance do aluno. 
• Não é permitido o uso de celular, nem mesmo como relógio. Eles devem ser mantidos desligados. 
• Não é permitida consulta a qualquer fonte. 
• A duração da prova sera informada ao seu início. 
• As provas poderão ser resolvidas a lápis e/ou caneta. 
• Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega terá, imediatamente, atribuído grau zero na prova. O 
mesmo ocorrerá com o aluno que facilitar a consulta do colega. Casos mais graves, envolvendo algum tipo de 
fraude, serão punidos de forma prevista na Lei. 
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30 de setembro de 2008 
1a Prova Unificada 
Cálculo-III 
 
 
Gabarito da Prova: 
1. ( ).
2
1
2
1
lnlnln 11
ln
0
22
1
0
2 eedyexdxy
edydy
y
xedxd
y
xe e
e
y
e y ye
e
yy
x
−====Ω ∫∫ ∫∫∫∫
Ω
 
2. x = r cosφ, y = r senφ; 1 ≤ r ≤ 2cosφ; - π/3 ≤ φ ≤ π/3; 
∫ ∫∫ +=Ω+=
Ω
3
0
cos2
1
2222 2
π ϕ
ϕ rdryxddyxI . 
( ) ( )
.
9
232
9
2
8
3
2
3
3
16
9
2
3
1
3
16
9
21
3
161cos8
3
22
3
0
3
3
0
2
3
0
3
3
0
cos2
1
2
πππϕϕ
πϕϕϕϕϕ
π
πππ ϕ
−=−


 −=−

 −=
−−=−== ∫∫∫ ∫
sensen
dsensenddrrdI
 
3. x = r senθ cosφ, y = r senθ senφ, z = cosθ; π/6 ≤ θ ≤ π/2; 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 < r ≤ 2cosθ; 
.
4
3
16
9
3
4cos
3
4coscos
3
162 6
2
4
2
6
3
2
6
cos2
0
2 ππθπθθπθθπ ππ
π
π
π
π
θ
===−== ∫∫ ∫∫ ddrrdsendV
V
 
4. ;
x
Qsenye
y
P y
∂
∂=−=∂
∂ ;, Q
y
P
x
=∂
Φ∂=∂
Φ∂
 Φ(x,y) = ex cosy – ex + y; 
I = Φ(1,1) – Φ(0,0) = e cos1 – e + 1. 
5-a. .20,,cos:;,;1, 2222 πγ ≤≤==+
−=+=−== tsentytxyx
xQ
yx
yPyyxx 
.2)cos(
2
0
2
0
22 π
ππ
γ
−=−=−−=+ ∫∫∫ dtdtttsendyQdxP 
5-b. ( ) ;)1()1( )1()1( 1 22222
22
22 x
Q
yx
x
xyx
yx
yx
y
yy
P
∂
∂=



−+
−
∂
∂=
−+
−+=



−+
−
∂
∂=∂
∂ 
.20 π
γ
−=++=+ ∫∫ dyQdxPQdyPdx
C