Cap29

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Bruno Mendes
em 31/05/2013
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Exercícios cap29

UERJ
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m.
Exercı´cios Resolvidos de Teoria Eletromagne´tica
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı´sica Teo´rica
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
29 Circuitos Ele´tricos 2
29.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
29.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
29.2.1 Trabalho, energia e FEM . . . . 2
29.2.2 Diferenc¸as de potencial . . . . . 2
29.2.3 Circuitos de malhas mu´ltiplas . 4
29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas 7
29.2.5 Circuitos RC . . . . . . . . . . 9
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
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29 Circuitos Ele´tricos
29.1 Questo˜es
Q 29-1.
� Na˜o. O sentido convencional da fem e´ sempre do
terminal negativo para o terminal positivo da bateria, in-
dependentemente do sentido da corrente que atravessa a
bateria.
Q 29-4.
� Para medir a fem use um voltı´metro com uma re-
sisteˆncia elevada e ligue os terminais do aparelho aos
terminais da bateria sem nenhum outro circuito conec-
tado a` bateria. Para medir a resisteˆncia interna da bate-
ria, utilize uma pequena resisteˆncia em se´rie juntamente
com um amperı´metro (tambe´m em se´rie). A seguir mec¸a
a ddp � atrave´s dos terminais da bateria e a corrente � ,
que passa no circuito se´rie considerado. Calcule a re-
sisteˆncia interna da bateria mediante a seguinte relac¸a˜o:
�����	��
���
29.2 Problemas e Exercı´cios
29.2.1 Trabalho, energia e FEM
E 29-2.
Uma corrente de � A e´ mantida num circuito por uma
bateria recarrega´vel cuja fem e´ de � V, durante � minu-
tos. De que quantidade diminui a energia quı´mica da
bateria?
� A energia quı´mica da bateria e´ reduzida de uma quan-
tidade ��������� , onde � e´ a carga que passa atrave´s dela
num tempo ������� minutos e � e´ a fem da bateria. Se �
for a corrente, enta˜o �ﬀ���ﬁ��� e
�������ﬂ�ﬃ����� !�#"%$& '�ﬃ��$( !� min $*) �,+ seg
min -
� .,
/.102.3+54167
Note que foi necessa´rio converter o tempo de minutos
para segundos para as unidades ficarem corretas.
P 29-4.
Uma determinada bateria de automo´vel cuja fem e´ de
.�8 V tem uma carga inicial de .�85+ A 9 h. Supondo que
a diferenc¸a de potencial entre seus terminais permanec¸a
constante ate´ que a bateria esteja completamente descar-
regada, por quantas horas ela podera´ fornecer energia na
taxa de .:+;+ W?
� Se < e´ a taxa com a qual a bateria entrega energia e
��� e´ o tempo, enta˜o ���=�><?��� e´ a energia entregue
num tempo ��� . Se � e´ a carga que passa atrave´s da bate-
ria no tempo ��� e � e´ a fem da bateria, enta˜o �����@��� .
Igualando-se as duas expresso˜es para � e resolvendo-se
para ��� , temos
���A�
���
<
�
 B.38,+ A 9 h $( B.38 V $
.3+,+ W
��.&CD
 C horas 
29.2.2 Diferenc¸as de potencial
P 29-5.
Na Figura 29-18, �DE#�F.38 V e �HGI�KJ V. Qual e´ o sen-
tido da corrente no resistor? Que fem esta´ realizando
trabalho positivo? Que ponto, " ou L , apresenta o mais
alto potencial?
� O sentido da corrente e´ anti-hora´rio, determinado pe-
lo sentido da fonte “resultante” de fem: � res ���DEM���HGN�
.�8%��Jﬃ��C V.
A fonte que realiza trabalho positivo e´ a que tem o mes-
mo sentido da fonte “resultante”; neste caso e´ a fonte
�
E . Se tivessemos mais fontes no circuito, todas as que
tivessem o mesmo sentido da fonte “resultante” e´ que
fariam trabalho positivo.
Chamando de �DO e �DP o potencial no ponto " e L , res-
pectivamente, temos, pela “regra da fem”, ao ir do ponto
" ao ponto L passando atrave´s das fontes
�
ORQ
.38#�SJI�@�
PNT
ou seja
�
O
�?�
P
�K�UCWVX+
T
o que implica ser �MP�Y��DO .
E 29-8.
Suponha que as baterias na Fig. 29-19 ao lado tenham
resisteˆncias internas desprezı´veis. Determine: (a) a cor-
rente no circuito; (b) a poteˆncia dissipada em cada re-
sistor e (c) a poteˆncia de cada bateria e se a energia e´
fornecida ou absorvida por ela.
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� (a) Seja � a corrente no circuito e suponhamos que
ela seja positiva quando passamos da direita para a es-
querda de ZﬀE . Usando a lei de Kirchhoff das malhas:
�DE[���ﬂZ#G\���ﬂZﬀE[���HG]��+ . Ou seja
�^�
�DE_�2�HG
Z EAQ Z G
�
.�8 V ��� V
C_` Q Ja`
��+D
 � A 
O fato de termos obtido um valor positivo para a cor-
rente indica que o sentido arbitrado inicialmente foi o
sentido correto da corrente.
(b) A poteˆncia dissipada pelo resistor Z1E e´
< E �� !+7
b� A $ G cC_`U$��d. W T
enquanto que a dissipada pelo resistor Z#G e´
< G �� !+7
b� A $ G 'Ja`U$��@8 W 
(c) Se � representar a corrente que passa atrave´s de uma
bateria com � de fem, enta˜o a bateria fornece energia a
uma taxa <F�K�ﬂ� desde que a corrente e a fem estejam
na mesma direc¸a˜o. A bateria absorve energia a uma ta-
xa <>�K�ﬂ� se a corrente e a fem estiverem em direc¸o˜es
opostas. Para �7E a poteˆncia e´
<
E
�� '+D
 � A $& ﬁ.�8 V $���� W
e para �HG ela e´
<eG%�� '+D
 � A $& '� V $a��f W 
Na bateria . a corrente esta´ na mesma direc¸a˜o que a fem
de modo que esta bateria fornece energia para o circuito.
A bateria esta´ descarregando-se. A corrente na bateria 8
flui na direc¸a˜o contra´ria da fem, de modo que a bateria
absorve energia. Portanto, ela esta´ carregando-se.
E 29-9.
Uma bateria de automo´vel com uma fem de 12 V e uma
resisteˆncia interna de +D
 +;+5CN` esta´ sendo carregada com
uma corrente de �5+ A. (a) Qual a diferenc¸a de potencial
entre seus terminais? (b) A que taxa a energia esta´ sendo
dissipada como calor na bateria? (c) A que taxa a ener-
gia ele´trica esta´ sendo convertida em energia quı´mica?
(d) Quais sa˜o as respostas dos itens (a), (b), (c) quan-
do a bateria e´ usada para suprir �5+ A para o motor de
arranque?
� (a)
�W� � �	���ﬂ
� .�8#�X g�5+*$( '+D
 +,C*$A�K.3+ Volts 
(b)
< � �
G
� g�5+*$
G
 !+7
 +5Ch$^��.:+;+ Watts 
(c)
< � �i�
� ﬁ.38;$( g�5+;$A�@�,+;+ Watts 
(d) Parecem-se ser as mesmas. Mas acho que na˜o en-
tendi a questa˜o... Na˜o parece fazer sentido perguntar-se
isto. Pensar...
E 29-10.
Na Figura 29-20 o potencial no ponto < e´ de .:+;+ V.
Qual e´ o potencial no ponto j ?
� Precisamos determinar primeiramente o sentido e o
valor da corrente no circuito, para enta˜o poder deter-
minar a queda de potencial devida a cada uma das re-
sisteˆncias. O sentido da corrente e´ aquele imposto pela
bateria mais forte: a de .3�5+ V: sentido anti-hora´rio. O
valor da corrente e´ obtido usando a lei das malhas, de
Kirchhoff. Partindo do ponto j e seguindo no sentido
anti-hora´rio temos:
.��5+a�k8l�h�k�5+a�Wf,�M��+
T
ou seja �A�@8,+ A 
Tendo este valor, partimos novamente do ponto j no
sentido anti-hora´rio, descobrindo facilmente que
�Dm
Q
.3�,+#�S8�0	85+I�n�DoqpK.3+,+ V 
Portanto
�
m
�d�ﬀ.3+ V 
Sugesta˜o: refac¸a o problema indo de j para < , pore´m
aplicando a lei de Kirchhoff das malhas no sentido
hora´rio. Sera´ que suas respostas finais podera˜o depen-
der do sentido escolhido?
E 29-11.
Na Fig. 29-21, o trecho de circuito "]L absorve �,+ W
de poteˆncia quando e´ percorrido por uma corrente �^�d.
A no sentido indicado. (a) Qual a diferenc¸a de poten-
cial entre " e L ? (b) O elemento r na˜o tem resisteˆncia
interna. Qual e´ a sua fem? (c) Qual e´ a sua polaridade?
� (a) Como <K���ﬁ�DOsP
, temos:
�
OsP
�
<
�
�
�,+ W
. A
�n�5+ Volts 
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(b) Chamando-se de t um ponto qualquer que fique en-
tre o resistor Z e o elemento r , temos
�MOsu��@�DO2�?�Du����ﬂZv�d. A 0	8ﬀ`X�@8 Volts 
Portanto a fem do elemento r sera´
�w�@�MOsP?�?�DOsu����,+1�S8ﬀ��C;J Volts 
(c) Subtraia e some � u ao valor de � O �?� P obtendo
�MOw�?�MP
x y{z |
}~
�@�MOw�?�Mu
x y{z |
G
Q �MuX�S�MP
x y(z |
4
Portanto �MuYF�DP , ou seja, o terminal L e´ o terminal
negativo.
P 29-15.
(a) Na Fig. 29-23, que valor deve ter Z para que a cor-
rente no circuito seja de . mA? Considere �DE�8 V,
�HG%�nf V e 
lE]��
:G#�nf#` . (b) Com que taxa a energia
te´rmica aparece em Z ?
� (a) Supondo que uma corrente � circula no circuito no
sentido anti-hora´rio e aplicando a lei das malhas no sen-
tido hora´rio, a partir de um ponto “a” localizado entre
os dois terminais positivos das fontes de fem, obtemos
�%�2�HG
Q
�ﬂ
:G
Q
�Z
Q
�g
lE
Q
�7E� �
�ﬂ
3G
Q
�ﬂ
lE
Q
�Z � �HG\�2�DE
 B.:+HŁ:$& 'f
Q
f;$
Q
.:+HŁ&Z � f1�?81��.
.:+
Ł
Z � +7
 ,,C
Z � ,,C%`#
(b)
<]���
G
Zn�� B.:+
Ł
$
G
 !,5Ch$A��D
 ,C�0�.:+
M4 Watts 
P 29-20.
� (a) Sendo � a corrente no circuito, a ddp na bateria
. e´ � E ��q���ﬂ
 E e para que seja nula e´ preciso que
�
E
��^�
E . A lei de Kirchhoff das malhas diz-nos que
8l�?�X�ﬂ
E
�X�ﬂ
G
�X�Z�+ . Substituindo-se ���=�l
 E
nesta expressa˜o nos fornece Zv��
 E ��
 G .
(b) Como Z tem que ser positivo, precisamos ter 
�EY
:G . A ddp atrave´s da bateria com a maior resisteˆncia
interna pode ser anulada atrave´s de uma escolha apro-
priada de Z . A ddp atrave´s da bateria com a menor re-
sisteˆncia interna na˜o pode ser anulada.
P 29-22.
(a) Na Fig. 29-5a, mostre que a taxa na qual a energia
e´ dissipada em Z como energia te´rmica e´ um ma´ximo
quando Z�=
 . (b) Mostre que esta poteˆncia ma´xima
vale <K��� G H cC;
5$ .
� (a) A corrente no circuito e´ dada pela relac¸a˜o
�A�
�
 Q Z
Com ela vemos que a expressa˜o < !Z1$ que da´ a energia
te´rmica liberada em func¸a˜o de Z e´:
< 'Zﬀ$����
G
Zn�
�
G
Z
 c
 Q Zﬀ$
G
Para encontrar o valor procurado de Z vamos procu-
rar o ponto maximo da curva < 'Zﬀ$ . O ponto de in-
flexa˜o de < !Zﬀ$ e´ obtido como raiz da primeira derivada:

<]

Zv��+ . Ou seja, da equac¸a˜o

<

Z
�
�
G
 c
Q
Zﬀ$
G
�
8l�
G
Z
 '
Q
Zﬀ$
Ł
�
�
G
 c
Q
Zﬀ$
Ł	
Q
Z��?85Z%��+D
Desta equac¸a˜o veˆ-se facilmente que a raiz procurada e´
ZF��
 . NOTA: para garantir que a poteˆncia seja real-
mente ma´xima e´ preciso ainda investigar-se a segunda
derivada de < 'Zﬀ$ ! Fac¸a isto.
(b) A poteˆncia ma´xima liberada e´:
< 'Zv��
5$a���
G
ﬀ�
�
G
 c
Q
5$
G
�
�
G
C;
29.2.3 Circuitos de malhas mu´ltiplas
E 29-29.
Na Fig. 29-24 determine a corrente em cada resistor e a
diferenc¸a de potencial entre  e  . Considere �DE%�v� V,
�
G
�@� V, �
Ł
��C V, Z E �K.3+,+]` e Z G �@�,+%` .
� Aplicando a Lei das Malhas, no sentido anti-hora´rio,
nas duas malhas indicadas obtemos:
�DE[���HG\�2�
Ł
���G&Z#G� +
T
�U�BEZﬀE
Q
�HG� +
T
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que fornecem
�BE�
�HG
Z E
�
�
.3+,+
��+D
 +*� A
�G�
�1�?�#�2C
�5+
���N+7
 +,� A 
Note que � G tem sentido contra´rio ao que foi arbitra-
do inicialmente no problema. Para encontrarmos a
diferenc¸a de potencial entre os pontos  e  computa-
mos as quedas de tensa˜o desde  ate´  :
�M Q C Q �ﬀ�n�  
De onde descobrimos que: �M%�?�  �� Volts.
E 29-33.
Duas laˆmpadas, uma de resisteˆncia Z E e a outra de re-
sisteˆncia Z G , Z E Y�Z G esta˜o ligadas a uma bateria (a)
em paralelo e (b) em se´rie. Que laˆmpada brilha mais
(dissipa mais energia) em cada caso?
� (a) Seja � a fem da bateria. Quando as laˆmpadas sa˜o
conectadas em paralelo a diferenc¸a de potencial atreve´s
delas e a mesma e e´ a mesma que a fem da bateria. A
poteˆncia dissipada pela laˆmpada . e´ <^ER�� G 5Z1E e a
poteˆncia dissipada pela laˆmpada 8 e´ MGW��� G lZ#G . Co-
mo Z1E e´ maior que Z%G , a laˆmpada 8 dissipa energia a
uma taxa maior do que a laˆmpada . , sendo portanto a
mais brilhante das duas.
(b) Quando as laˆmpadas sa˜o conectadas em se´rie a
corrente nelas e´ a mesma. A poteˆncia dissipada pela
laˆmpada . e´ agora < E �� G Z E e a poteˆncia dissipada
pela laˆmpada 8 e´ < G �@� G Z G . Como Z E e´ maior do que
Z
G , mais poteˆncia e´ dissipada pela laˆmpada . do que pe-
la laˆmpada 8 sendo agora a laˆmpada . a mais brilhante
das duas.
E 29-35.
Nove fios de cobre de comprimento  e diaˆmetro

esta˜o
ligados em paralelo formando um u´nico condutor com-
posto de resisteˆncia Z . Qual devera´ ser o diaˆmetro t de
um u´nico fio de cobre de comprimento  , para que ele
tenha a mesma resisteˆncia?
� De acoˆrdo com a Eq. 15 do Cap. 28, a resisteˆncia dos
9 fios juntos e´
ZK�¡ 

,"
�  

5¢

G
lC
T
onde " e´ a a´rea de cada fio individual.
A resisteˆncia de um fio u´nico equivalente, com mesmo
comprimento  e´
Z#£U�  

¢it
G
lC
Para que tenhamos Z��Z £ vemos que e´ preciso ter-se
t��f

, que e´ a resposta procurada.
P 29-39.
Dispo˜e-se de um certo nu´mero de resistores de .:+¤` ,
cada um deles capaz de dissipar somente . W. Que
nu´mero mı´nimo de tais resistores precisamos dispor nu-
ma combinac¸a˜o se´rie-paralelo, a fim de obtermos um
resistor de .3+%` capaz de dissipar pelo menos � W?
� Divida os resistores em ¥ grupos em paralelo, sendo
cada um destes grupos formado por um arranjo em se´rie
de ¦ resistores. Como todos os resistores sa˜o iguais, a
resisteˆncia equivalente e´
.
Z total
�
¥
¦iZ
Como desejamos que Z total �KZ , precisamos escolher
¦��¥ .
A corrente em cada resistor e´ a mesma e temos um total
de ¦ G deles, de modo que a poteˆncia total dissipada e´
< total ��¦
G
< , sendo < a poteˆncia dissipada por apenas
um resistor. ´E pedido que < total Y§�,< , onde <¨�.
W. Portanto, precisamos que ¦ G seja maior que � . O
menor nu´mero inteiro satisfazendo esta condic¸a˜o e´ f , o
que fornece o nu´mero mı´nimo de resistores necessa´rios:
¦
G
�� , ou seja, treˆs ramos em paralelo, cada ramo con-
tendo treˆs resistores em se´rie.
P 29-40.
� (a) Estando conectadas em paralelo, na˜o apenas a ddp
sobre as duas baterias e´ a mesma como tambe´m a cor-
rente � (positiva para a esquerda) que circula por elas e,
portanto, 8l� a corrente que circula em Z . A regra das
malhas nos fornece �	�2�ﬂ
#�S85�ﬂZv��+ , de modo que
�A�
�
Q
8,Z
A poteˆncia dissipada e´
<d���
G
Zn�
�
G
Z
 c
Q
8,Z1$
G
O valor ma´ximo e´ obtido colocando-se igual a zero a
derivada de < em relac¸a˜o a Z :

<

Z
�
�
G
 c
Q
85Zﬀ$
G
�
C;�
G
Z
 c
Q
85Zﬀ$
Ł
�
�
G
 '
%�?85Zﬀ$
 c
Q
8,Zﬀ$
Ł
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Desta u´ltima expressa˜o verificamos que < tem um va-
lor extremo (que tanto pode ser um ma´ximo quanto um
mı´nimo), para Zv��
,58 .
Para verificar que para ZK��
,,8 o valor de < realmente
e´ ma´ximo, voceˆ ainda precisa calcular

G
<]

Z
G
e ve-
rificar que tal derivada e´ negativa para Z�§
5,8 . Na˜o
deixe de conferir e, principalmente, perceber bem que
nos problemas de ma´ximo e mı´nimo, e´ sempre impres-
cindı´vel o ca´lculo da segunda derivada antes de se poder
afirmar a natureza das soluc¸o˜es.
(b) A taxa ma´xima de dissipac¸a˜o de energia e´ obtida
substituindo-se Zv��
5,8 na expressa˜o da poteˆncia:
< max �
�
G
,,8
 g8l
5$
G
�
�
G
J5
P 29-46.
Na Fig. 29-33, �DEv��f V, �HGd�©. V, ZﬀEK����` ,
Z#GS�8` , Z
Ł
�Cª` e as duas baterias sa˜o ideiais.
(a) Qual e´ a taxa de dissipac¸a˜o de energia em ZﬀE ? Em
Z#G ? Em Z
Ł
? (b) Qual e´ a poteˆncia da bateria . ? e da
bateria 8 ?
� (a) Usando a lei das malhas e a lei dos no´s obtemos o
sistema de treˆs equac¸o˜es envolvendo as treˆs inco´gnitas
�
E , � G e �
Ł
:
�7E_���
Ł
Z
Ł
���ﬁE(Z1E� +
T
�hG
Q
�G&Z#GU���ﬁE(Z1E� +
T
�
Ł
� �
EAQ
�
G
Resolvendo estas equac¸o˜es, encontramos:
�
E
�
�DE(Z%G
Q
�HG&Z
Ł
ZﬀE{Z#G
Q
Z1E(Z
Ł
Q
Z#G&Z
Ł
�
�
.3
A T
�G�
�
E
Z
E
�2�
G
 'Z
E�Q
Z
Ł
$
ZﬀE{Z#G
Q
Z1E(Z
Ł
Q
Z#G&Z
Ł
�
f
.3
A
T
�
Ł
�
�DEl 'ZﬀE
Q
Z%G3$^���hG:Z1E
Z
E
Z
G_Q
Z
E
Z
Ł
Q
Z
G
Z
Ł
�
J
.3
A 
A poteˆncia dissipada em cada resistor e´
<
E
���
G
E
Z
E
� +D
 f,C;� W T
<
G
���
G
G
Z
G
� +D
 +*�5+ W T
<
Ł
���
G
Ł
Z
Ł
� +D
b«5+, W 
(b) As poteˆncias fornecidas sa˜o:
<AE�
Q
�
Ł
�DEU�K.;
 8,�,f W
<G� �X�G(�HG]�K�N+D
¬.��5J W 
O resultado para a segunda fonte e´ negativo pois a cor-
rente �G percorre-a no sentido contra´rio ao sentido de
sua fem.
Observe que .;
 8,�,fﬀ��+D
 f,C;� Q +7
 +;�5+ Q +7
/.3�,J , como de-
veria ser.
P 29-50.
� (a) O fio de cobre e a capa de alumı´nio esta˜o conec-
tados em paralelo, de modo que a ddp sobre eles e´ a
mesma e, portanto,
��Z#q���O^Z%O T
onde o subı´ndice ‘C’ refere-se ao cobre e ‘A’ ao
alumı´nio. Para cada um dos fios sabemos que Z®�
 h¯
(" , ou seja,
Z

�° 

¯
¢i
G
T
Z
O
�  
O
¯
¢� !
G
�S
G
$
T
que substituidas em ��Z#q���O^Z%O fornecem
�
 


G
�
�O
 
O

G
�S
G
Resolvendo esta equac¸a˜o juntamente com a equac¸a˜o
�^���
Q
�
O , onde � e´ a corrente total, obtem-se
�ﬂ �

G
 
��
 !
G
�S
G
$
 
wQ

G
 
O
�O �
 g
G
�S
G
$
 
��
 !
G
�S
G
$
 
wQ

G
 
O
Numericamente, encontramos para o denominador o va-
lor de f7
/.:+�0�.:+

E
}
`q9:¥
Ł
, e
�ﬂ?��.,
/.,. A
T
�OS��+D
 J;,f A 
(b) Considere o fio de cobre. Sendo �±�±.�8 Volts a
ddp, usamos a expressa˜o
�����AZ%q�
�

 

¯
¢i
G
T
de onde obtemos
¯
�
¢i
G
�
�

Z

�d.38,� metros 
P 29-51.
� Primeiro, devemos obter uma func¸a˜o Z1E, c²$ que
fornec¸a o valor da resisteˆncia do pedac¸o de Z ~ que esta´
em paralelo com Z , bem como Z#G, c²$ , que fornec¸a a
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resisteˆncia do pedac¸o restante de Z ~ , de modo que te-
nhamos sempre Z ~ p³ZﬀEl '²$ Q Z#G, c²$ , qualquer que
seja o valor de ² .
O enunciado do problema informa que a resisteˆncia Z ~
e´ uniforme, isto e´, varia linearmente de + a Z ~ . Portanto,
ZﬀEl c²$´�
²
¯
Z
~
T
Z#G, c²$´� Z
~
�SZ1E, c²$a�§);.U�
²
¯
-
Z
~
T
onde ² deve ser medido na mesma unidade que
¯
, por
exemplo, em centı´metros.
Chamando-se de ZNµ o paralelo de Z com Z E temos
ZNµ�¶Z#Z E 7 'Z Q Z E $ e, consequentemente, a re-
sisteˆncia equivalente total Z]· do circuito e´
Z · ��Z µ
Q Z#G]��Z
µ
Q�¸ .U�
²
¯ﬃ¹
Z
~
Como a corrente fornecida pela bateria e´ a mesma cor-
rente que passa tanto atrave´s de Z#G quanto do paralelo
Z
µ , vemos facilmente que a diferenc¸a de potencial �Mº
sobre Z (que obviamente coincide com �E sobre ZﬀE )
pode ser obtida da relac¸a˜o
��
�
Z
·
�
�
º
Z
µ
 ﬂ�
�
E
Z
µ
$
T
ou seja,
�
º
�
Z
µ
Z
·
��
A poteˆncia pedida e´ enta˜o:
<eº �
�
G
º
Z
�
.
ZK»
�eZ#ZﬀE&7 'Z
Q
ZﬀE($
 ﬁ.U��²
¯
$BZ
~
Q
Z1Z1E:H !Z
Q
Z1E&$�¼
G
T
que, simplificada, fornece o resultado final
<
º
�
.3+,+;Z� '�i²5Z
~
$
G
 B.:+;+,ZIlZ
~
Q
.3+5²��²
G
$
G
T
onde ² deve ser medido em centı´metros.
P 29-52.
A Fig. 29-11a (pg. 143) mostra .38 resistores, cada um de
resisteˆncia Z , formando um cubo. (a) Determine Z1E
Ł
,
a resisteˆncia equivalente entre as extremidades da dia-
gonal de uma face. (b) Determine Z1EB½ , a resisteˆncia
equivalente entre as extremidades da diagonal do cubo.
(Veja o Exemplo 29-4, pg. 143.)
� (a) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e f , o
‘truque’ e´ perceber que temos os pontos 8 e C no mes-
mo potencial, bem como os pontos � e J esta˜o no mesmo
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o
altere as correntes. .....
Longos ca´lculos....: Z E
Ł
��f,ZI�C .
(b) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e « , o ‘tru-
que’ e´ perceber que temos os pontos C e � no mesmo
potencial, bem como os pontos f e � esta˜o no mesmo
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o
altere as correntes. .....
Longos ca´lculos....: Z Eﬁ½ �@�5ZIl� .
29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas
P 29-56.
Qual e´ a corrente, em termos de � e Z , indicada pe-
lo amperı´metro " na Fig. 29-41? Suponha que a re-
sisteˆncia do amperı´metro seja nula e a bateria seja ideal.
� Chamemos de a o terminal positivo da bateria, de b o
terminal negativo, de c o terminal do amperı´metro que
esta´ ligado entre 85Z e Z e, finalmente, de d o terminal
do amperı´metro que esta´ ligado entre Z e Z .
Chamemos de �ﬁE a corrente que flui atrave´s de 8,Z de
a para c. Analogamente, de �ﬂG a corrente fluindo de a
para d. Finalmente, chamemos de �O a corrente que flui
atrave´s do amperı´metro, indo de d para c. Assim, a cor-
rente de c para b sera´ �BE
Q
�O , enquanto que a corrente
de d para b sera´ �G%�q�O . Estas informac¸o˜es devem ser
colocadas sobre a Figura do problema, para simplificar
o uso da lei das malhas.
Verifique que a corrente que sai e que entra nos termi-
nais da bateria tem o mesmo valor, � EUQ � G , como na˜o
poderia deixar de ser.
Da lei das malhas, aplicada aos circuitos bacb e badb
obtemos duas equac¸o˜es independentes:
�

��� � 8,Z%�BE
Q
Z� '�BE
Q
�OA$
� Z#�G
Q
ZW '�ﬂG\���OA${
Ale´m disto, temos que
�M(¾©� 8,Z#�ﬁE
�M(¿À� Z#�G5
Pore´m, como a resisteˆncia do amperı´metro (suposto
ideal aqui) e´ nula, sabemos que �DO¨pÁ�¾¿��Â+ , ou
seja, que
�M(¾[p@�(¿;
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Estas treˆs u´ltimas equac¸o˜es implicam termos
�ﬂGN�n8l�BE
que, substituido na expressa˜o acima para �M  nos permi-
te determinar que � E �n8l�7 g«5Z1$ e que, finalmente,
�O2�
�
«5Z
P 29-58.
� A corrente em Z G e´ � . Seja � E a corrente em Z E e
suponha-a para baixo. De acordo com a lei dos no´s, a
corrente no voltı´metro e´ �s�w� E , para baixo. Aplicando a
lei das malhas no lac¸o da esquerda
obtemos
�	���Z%G\���BE{ZﬀE[���g
ﬀ��+D
Aplicando a mesma lei no lac¸o da direita temos
�BE(Z1E[�� c�e�2�BE&$ﬁZﬀÃq��+D
Resolvendo estas equac¸o˜es encontramos
��
ZﬀE
Q
Z1Ã
Z1Ã
�
ElT
que quando substituida na primeira das equac¸o˜es acima
fornece-nos
�	�
 !Z
EaQ
Z
Ã
$& 'Z
G_Q
l$
Z1Ã
�ﬁE
Q
ZﬀE[�BEU��+
T
ou seja
�
E
�
�ÄZﬀÃ
 'Z
E�Q
Z
Ã
$( 'Z
G_Q
5$
Q
Z
E
Z
Ã
A leitura no voltı´metro sera´, portanto, �ﬁE(Z1E , que e´ dada
por
 'f7
 + V $& !�7
 +W0�.:+
Ł
$( g8,�,+;$
 !f,+,+
Q
.:+;+;$& !8,�,+
Q
�H
 +�02.3+
Ł
$
Q
 g8,�5+*$( g�H
 +�0�.:+
Ł
$
expressa˜o esta que nos fornece o valor
�BE{ZﬀE� .,
/.38 Volts 
A corrente na auseˆncia do voltı´metro pode ser obtida da
expressa˜o de �BE{ZﬀE no limite ZﬀÃ?ÅÇÆ :
�BE{ZﬀEU�
�ÄZ
E
ZﬀE
Q
Z%G
Q
�
 'fD
 + V $( !8;�5+#`U$
8,�,+%`
Q
f;+,+]`
Q
.:+;+]`
� .,
/.3� Volts 
O erro fracional e´
Erro �
.,
/.3�%�X.,
/.38
.,
/.3�
��+D
 +;f,+ T
ou seja, f1È .
P 29-63.
A ponte de Wheatstone. Na Fig. 29-44 ajustamos o valor
de Z1É ate´ que os pontos  e  fiquem exatamente com
o mesmo potencial. (Verificamos esta condic¸a˜o ligan-
do momentaneamente um amperı´metro sensı´vel entre 
e  ; se estes pontos estiverem no mesmo potencial, o
amperı´metro na˜o defletira´.) Mostre que, apo´s essa ajus-
tagem, a seguinte relac¸a˜o e´ va´lida:
Z#Êﬃ�@Z É
Z G
ZﬀE
� Chamando de �Ë a corrente que passa de Z E para Z G
e de � ¿ a corrente que passa de Z É para Z%Ê , temos, su-
pondo �  �@�M :
�ﬂË*Z
E
���
¿
Z
É e �Ë*Z G ��� ¿ Z#Ê7
Portanto, da raza˜o entre estas duas expresso˜es encontra-
mos o resultado pedido.
� Procedimento sugerido por um aluno: Seja �BE a cor-
rente em ZﬀE e Z%G e considere-a positiva quando apontar
na direc¸a˜o do ponto “a” ao passar por ZﬀE . Seja �G a cor-
rente em Z1É e Z Ê , considerando-a positiva quando ela
apontar na direc¸a˜o do ponto “b” ao passar por Z#É . Com
esta convenc¸a˜o a regra da malhas fornece
 'ZﬀE
Q
Z%G3$�BE_�X !Z
Ê
Q
Z1É($�G]��+7
 gÌ,$
Como os pontos “a” e “b” esta˜o no mesmo potencial,
temos �BE{ZﬀE�Í�ﬂG:Z#É . Esta u´ltima equac¸a˜o nos da´
�G�>�BE{ZﬀE3lZ1É , que quando substituida na equac¸a˜o (*)
acima produz
 'ZﬀE
Q
Z%G3$h�BEN�d !Z
Ê
Q
Z1É{$
Z
E
Z%G
�ﬁEl
donde tiramos facilmente Z Ê ��Z1ÉZ%GllZﬀE .
P 29-64.
Se os pontos  e  na Fig. 29-44 forem ligados por um
fio de resisteˆncia 
 , mostre que a corrente no fio sera´
�A�
�a 'Z1É_��Z
Ê
$
 !Z
Q
8l
5$( !Z
É�Q
Z%Ê*$
Q
8,Z
É
Z#Ê
T
onde � e´ a fem da bateria ideal. Suponha que Z1E��
Z#G#�nZ e que Z ~ �v+ . Esta fo´rmula e´ consistente com
o resultado do Problema 63? e do 56?
�
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29.2.5 Circuitos RC
E 29-66.
Quantas constantes de tempo devem decorrer ate´ que um
capacitor em um circuito Zﬀr esteja carregado com me-
nos de . % de sua carga de equilı´brio?
� A equac¸a˜o que rege a carga de um capacitor e´
�1�nr#�a B.N��Î]Ï,Ð
Ñ*Ò
$��nr#�a B.U��ÎeÏ,Ð
Ó
$
onde Ô e´ a constante de tempo. A carga de equilı´brio e´
atingida para ���vÆ , valendo enta˜o �ﬀ��r#� . Portanto
.3+,+#�Õ.
.:+,+
r#�2�nr#�a B.U��ÎeÏ,Ð
Ó
$ T
ou seja, Ö/×

.U��+D
 ;lM�d�UCM
 �;+;�1�K�U�lÔ , fornecendo
����CM
 �;+;�^Ô7
E 29-68.
� (a) Basta igualar-se as duas expresso˜es para a carga
num capacitor:
�À� rﬀ�
� r#�
)
.U��Î

·'ØÙ
-
T
de onde tiramos que
�	�?�
�
��Î;
·'ØÙ
T
ou seja
�
�
Ô
� ln ) .�8#�S�
.38Ú-
� ln «
.38	Û
�N+D
 �,f,D
Desta expressa˜o, para �A��.,
 fI0	.3+
Ü
segundos, encon-
tramos
Ô�
.,
 f�02.3+
Ü
+7
b�5f;
Û
8H
 CD.�8\Ý s 
(b)
rd�
Ô
Z
�
87
 CM.38ﬃ02.3+
Ü
.��ﬃ0�.:+
Ł
�@+7
/.:�D.%0S.3+
Þ F 
P 29-69.
Um capacitor com uma diferenc¸a de potencial de .:+;+ V
e´ descarregado atrave´s de um resistor quando uma cha-
ve entre eles e´ fechada no instante �ﬃ�+ . No instante
���.3+ s a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor
e´ . V. (a) Qual e´ a constante de tempo do circuito? (b)
Qual e´ a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor no
instante ���K.l« s?
� (a) A diferenc¸a de potencial � atrave´s das placas do
capacitor esta´ relacionada a` carga � na placa positiva pe-
la relac¸a˜o ����,,r , onde r e´ a capacitaˆncia. Como a
carga em um capacitor que se descarrega e´ controlada
por ��d� ~ Î

·'Ø�Ù
, onde � ~ e´ a carga no instante �U��+ e
Ô e´ a constante de tempo, isto significa que
� '�B$a���
~
�*
·'Ø�Ù
T
onde � ~ p�� ~ 5r e´ a diferenc¸a de potencial existente no
instante inicial. Portanto
Ô�d�
�
ln !�[5� ~ $
���
.3+
ln

.lh.:+;+l Û
87
¬.l« s 
(b) Para ���d.l« s, ��Ô�d.l«,,8H
/.�«
Û
«h
 J,f e obtemos
���n�
~
Î

·'Ø�Ù
�� B.:+;+;$HÎ

½&ß
�Ł
Û
f7
 ,�W0�.:+

G V 
P 29-71.
Um capacitor de .]Ý F com uma energia inicial armaze-
nada de +7
b� J e´ descarregado atrave´s de um resistor de
. M ` . (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual
o valor da corrente atrave´s do resistor no momento em
que a descarga inicia? (c) Determine �M , a voltagem
atrave´s do capacitor, e �Mº , a voltagem atrave´s do resis-
tor, em func¸a˜o do tempo. (d) Expresse a taxa de gerac¸a˜o
de energia te´rmica no resistor em func¸a˜o do tempo.
� (a) A energia armazenada num capacitor e´ àA³�
�
G
~
H g8,rﬀ$ , onde r e´ a capacitaˆncia e � ~ e´ a carga inicial
na placa. Portanto
�
~
��á 8;rIà

�
á
87 B.ﬀ02.3+
Ü
F $& '+7
b� J $
� .ﬀ0�.:+
Ł C
� . mC 
(b) A carga em func¸a˜o do tempo e´ �ﬀ��� ~ Î

·'Ø�Ù
, onde Ô
e´ a constante de tempo. A corrente e´ a derivada da carga
em relac¸a˜o ao tempo:
��d�

�

�
�
�
~
Ô
Î;
·'Ø�Ù
[O sinal negativo e´ necessa´rio pois a corrente de descar-
ga flui no sentido oposto ao sentido da corrente que fluiu
durante o processo de carga.]
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A corrente inicial e´ dada pela expressa˜o acima no ins-
tante �A��+ : � ~ �@� ~ �Ô . A constante de tempo e´
Ôk�@Zﬀrv�� ﬁ.I0�.:+ Ü F $( ﬁ.ﬀ0�.:+ Ü `U$��d. s 
Portanto
�
~
�
.ﬀ0�.:+
Ł
C
. s
��. mA 
(c) Substitua �1�@� ~ Î

·cÙ
em �Mq���,,r obtendo enta˜o
�D] c�B$a�
�
~
r
Î;
·'ØÙ
�
.ﬀ02.3+
Ł
C
.ﬀ02.3+
Ü
F
Î,
·'Ø&â E s ã
� ﬁ.ﬀ0�.:+;Ł:$^Î;
· V
T
onde � e´ medido em segundos.
Substitua �^�� '� ~ lÔD$HÎ

·'Ø�Ù
em � º ���Z , obtendo
�DºU '�B$´�
�
~
Z
Ô
Î;
·'Ø�Ù
�
 B.I0�.:+
Ł
C $& ﬁ.ﬀ0�.:+
Ü
`U$
 B. s $
Î

·'Ø&â
E s ã
� B.I0�.:+
Ł
$HÎ

· V
T
com � medido em segundos.
(d) Substitua �A�� !� ~ �ÔD$HÎ

·'Ø�Ù
em <d���
G
Z , obtendo
< c�B$´�
�
G
~
Z
Ô
G
Î,
G
·'Ø�Ù
�
 ﬁ.ﬀ0�.:+
Ł
C $ G B.ﬀ02.3+
Ü
`U$
 B. s $ G
Î

G
·'Ø&â
E s ã
� ﬁ.3$7Î

G
· W
T
novamente com � medido em segundos.
P 29-72.
Um resistor de f M ` e um capacitor de .UÝ F esta˜o liga-
dos em um circuito de uma u´nica malha com uma fonte
de fem com ���@C V. Apo´s . s de feita a ligac¸a˜o, quais
sa˜o as taxas nas quais: (a) a carga do capacitor esta´ au-
mentando; (b) a energia esta´ sendo armazenada no ca-
pacitor; (c) a energia te´rmica esta´ aparecendo no resistor
e (d) a energia
esta´ sendo fornecida pela fonte de fem?
� (a) A carga na placa positiva do capacitor e´ dada por
�ﬀ��r#�
»
.U�SÎ

·'Ø�Ù
¼
T
onde � e´ a fem da bateria, r e´ a capacitaˆncia, e Ô e´ a
constante de tempo capacitiva. O valor de Ô e´
Ô�@Zﬀrv�� 'fW0�.:+
Ü
`U$( ﬁ.ﬃ02.3+
Ü F $��@f s 
Para �A�d. s temos
�
Ô
�
. s
f s
Û
+D
 f;f,f
e a taxa com a qual a carga esta´ aumentando e´

�

�
�
r#�
Ô
Î;
·'Ø�Ù
�
 B.ﬀ02.3+
Ü
F $& cC V $
f s
Î;
~
ß
ŁŁ�Ł
Û
D
 �;��02.3+H
½ C/s 
Observe que ‘Coulombs/segundo’ e´ a definic¸a˜o de
Ampe`re, a unidade de corrente.
(b) A energia armazenada no capacitor e´ dada por àA?�
�
G
H g8,rﬀ$ e sua taxa de carga e´

à 

�
�
�
r

�

�
Para �A�d. s temos
�¶� r#�
»
.U�SÎ

·'Ø�Ù
¼
� ﬁ.ﬃ02.3+
Ü F $( 'C V $
»
.U��Î

~
ß
Ł�ŁŁ
¼
Û
.,
/.:f�0�.:+
Ü C T
de modo que

à�

�
� )
.,
/.:f�0�.:+
Ü
C
.ﬀ0�.:+
Ü
F -
 'D
 �;��02.3+H
½ C/s $
Û
.,
 +,J�0�.:+7Ü W 
(c) A taxa com a qual a energia esta´ sendo dissipa-
da no resistor e´ dada por <�´� G Z . A corrente e´
D
 �;��02.3+

½ A, de modo que
<K�� 'D
 �;�ﬃ0�.:+

½ A $ G 'fW0�.:+ Ü `U$
Û
8H
ä«�CW0�.:+
Ü W 
(d) A taxa com a qual a energia e´ fornecida pela bateria
e´
�ﬂ�w�d !7
b�,��0�.:+7
½ A $& cC V $
Û
fD
 J*8ﬃ0�.:+7Ü W 
A energia fornecida pela bateria e´ ou armazenada no
capacitor ou dissipada no resistor. O princı´pio da
conservac¸a˜o da energia requer que
�g�w�

à�_

�
Q
�
G
Z�
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Os valores nume´ricos acima satisfazem o princı´pio de
conservac¸a˜o, como se pode verificar facilmente.
P 29-78.
No circuito da figura abaixo, �2�K.;
 8 kV; rd���7
b�%Ý F;
ZﬀE�Z#Gª�§Z
Ł
�+D
b«5f M ` . Com r completamente
descarregado, a chave å e´ subitamente fechada ( �a�n+ ).
(a) Determine as correntes atrave´s de cada resistor para
����+ e ���nÆ . (b) Trace um gra´fico que descreva quali-
tativamente a queda do potencial � G atrave´s de Z G desde
�%��+ a �]�FÆ . (c) Quais sa˜o os valores nume´ricos de
� G em �ﬃ�=+ e ���æÆ . (d) Deˆ o significado fı´sico de
���nÆ no presente problema.
� (a) Em ����+ o capacitor esta´ completamente des-
carregado e a corrente no ramo do capacitor e´ a que
terı´amos se o capacitor fosse substituido for um fio con-
dutor. Seja � E a corrente em Z E ; tome-a positiva quando
aponta para a direita. Seja � G a corrente em Z G , positiva
quando apontar para baixo. Seja �
Ł
a corrente em Z
Ł
,
positiva quando apontar para baixo.
Usando a lei dos no´s e a lei das malhas obtemos
Lei dos no´s ç �ﬁEU���G Q �
Ł
T
Malha esquerda ç �	�2�BE{ZﬀE[���G(Z%G#��+
T
Malha direita ç �ﬂG:Z%GN�2�
Ł
Z
Ł
�@+7
Como todas as resisteˆncias sa˜o iguais, podemos des-
prezar os subı´ndices, escrevendo apenas Z , onde Zp
ZﬀEN��Z#G%��Z
Ł
.
A u´ltima das treˆs equac¸o˜es acima nos diz que �
Ł
�§�ﬂG
resultado que, substituido na primeira das equac¸o˜es aci-
ma, nos da � G ��� E ,8 . Com isto tudo, na˜o e´ difı´cil agora
usar-se a equac¸a˜o do meio para obter-se que
�BE[�
85�
f,Z
�
87 ﬁ.;
 8�0�.:+
Ł
V $
fM '+7
ä«lf�0�.:+
Ü
`U$
Û
.,
/.ﬀ0�.:+
Ł A
e, consequentemente, que
�
G
���
Ł
�
�
f;Z
�
.,
b8ﬃ0�.:+
Ł
V
fD '+D
b«5fﬃ0�.:+
Ü
`U$
Û
�7
 ��0�.:+
M4 A 
Em ���nÆ o capacitor estara´ completamente carrega-
do sendo portanto zero a corrente no ramo que conte´m
o capacitor. Enta˜o �ﬁEU���G e a lei das malhas fornece
�	���ﬁE{Z1E[���G&Z#G]��+ T
o que nos fornece a soluc¸a˜o
�BEU���GN�
�
85Z
�
.,
b8�02.3+
Ł
V
87 !+7
ä«lf�02.3+
Ü
`U$ Û
J7
b8�02.3+HM4 A 
(b) Considere a placa superior do capacitor como sen-
do positiva. Isto e´ consistente com a corrente que
flui em direc¸a˜o a esta placa. As leis dos no´s e das
malhas sa˜o �BEd���ﬂG Q �
Ł
, �n�d�BE{Z�d�BE{Zè�´+ , e
�I !�,5rﬀ$]���
Ł
Z Q �G(Z¡�Ç+
. Use a primeira equac¸a˜o
para substituir �BE na segunda e obter �ª�28l�G(Z��w�
Ł
Zn�
+ . Portanto �ﬂG§� c�K��
Ł
Zﬀ$H g85Zﬀ$ . Substitua es-
ta expressa˜o na terceira equac¸a˜o acima obtendo enta˜o
�I !�,5rﬀ$\�d '�
Ł
Zﬀ$
Q
 c�,8,$\�d '�
Ł
ZI58,$�¨+ . Substitua
agora �
Ł
por

�,

� obtendo
�
Ł
�

�

�Äé
f,Z
8

�

�
Q
�
r
�
�
8
Como na˜o e´ difı´cil de reconhecer, esta e´ a equac¸a˜o de
um circuito Zﬀr em se´rie, exceto que a constante de tem-
po e´ Ô?�>f,Zﬀr158 e a diferenc¸a de potencial aplicada e´
�^58 . A soluc¸a˜o e´, portanto,
�H '�B$��
r#�
8
»
.U�SÎ

G
·'Ø&â
Ł
ºs
ã
¼
A corrente no ramo que conte´m o capacitor e´
�
Ł
 '�B$a�

�

�
�
�
f,Z
Î;
G
·'Ø(â
Ł
ºs
ã
A corrente no ramo do centro e´
�G, c�B$��
�
85Z
�
�
Ł
8
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enquanto que a diferenc¸a de potencial ao atravessar-se
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Gra´fico de �MG; '�B$ : fac¸a-o voceˆ mesmo, usando a equac¸a˜o
acima!! ´E uma curva que parte do valor ê5G%���lf , cres-
cendo assimpto´ticamente para o valor �,8 .
(c) Para ���n+ , o fator exponencial Î

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 8�0�.:+
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http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 11 de 12
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m.
Para ���vÆ , o fator exponencial Î

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b8�02.3+
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8
�@�,+;+ V 
(d) O significado fı´sico de “tempo infinito” e´ um certo
intervalo de tempo suficientemente grande para que se
possa considerar como sendo zero o valor da corrente
que circula no ramo contendo o capacitor. Tal intervalo
de tempo devera´ ser muitas vezes maior que a constante
de tempo caracterı´stica do circuito em questa˜o.
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 12 de 12
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