apostila matematica versao 2012

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

F
A
C
U
L
D
A
D
E
D
E
C
IÊ
N
C
IA
S
S
O
C
IA
IS
A
P
L
IC
A
D
A
S
D
E
B
E
L
O
H
O
R
IZ
O
N
T
E
P
r
o
f
.
P
a
u
l
a
d
e
C
a
m
p
o
s
O
l
iv
e
ir
a
B
elo
H
orizon
te,
16
d
e
fevereiro
d
e
2012.
L
ista
d
e
F
ig
u
r
a
s
3.1
R
1
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
a
cada
elem
ento
do
conjunto
A
corresp
onde
um
único
elem
ento
do
conjunto
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
3.2
R
3
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
a
cada
elem
ento
do
conjunto
A
corresp
onde
um
único
elem
ento
do
conjunto
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
3.3
R
2
não
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
o
elem
ento
4
do
conjunto
A
p
ossui
dois
corresp
ondentes
em
B
(2
e
−
2).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
3.4
R
4
não
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
o
elem
ento
6
do
conjunto
A
não
p
ossui
corresp
ondente
em
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
3.5
C
onvenção
de
um
a
função
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
3.6
E
sb
oços
de
funções
quadráticas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
110
4.1
R
eceita
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
120
4.2
C
usto
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
120
4.3
R
eceita
T
otal
e
C
usto
T
otal
no
M
esm
o
P
ar
de
E
ixos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
120
4.4
F
unção
D
em
anda
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
122
4.5
F
unção
D
esp
esa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
124
4.6
F
unção
O
ferta
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
125
5.1
N
otação
de
L
ogaritm
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
5.2
C
ondições
de
E
xistência
dos
L
ogaritm
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
136
S
u
m
á
r
io
1
R
ev
isão
1
1.1
N
úm
eros
N
aturais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1.1.1
N
úm
eros
P
rim
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1.2
N
úm
eros
Inteiros
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1.2.1
Introdução
aos
N
úm
eros
Inteiros
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1.2.2
A
O
rigem
dos
Sinais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1.2.3
O
C
onjunto
Z
dos
N
úm
eros
Inteiros
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
1.2.4
M
áxim
o
D
ivisor
C
om
um
-
M
D
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
1.2.4.1
T
écnica
para
o
C
álculo
do
M
D
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
1.2.5
M
ínim
o
M
últiplo
C
om
um
-
M
M
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
1.2.5.1
T
écnica
para
o
C
álculo
do
M
M
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
1.3
N
úm
eros
R
acionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
1.3.1
Introdução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
1.3.2
A
Idéia
de
N
úm
ero
F
racionário
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
1.3.3
F
rações
E
quivalentes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
1.3.4
O
p
erações
com
F
rações
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
1.3.4.1
A
dição
e
Subtração
de
N
úm
eros
F
racionários
.
.
.
.
.
.
.
9
1.3.4.2
M
ultiplicação
de
N
úm
eros
F
racionários
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
1.3.4.3
D
ivisão
de
N
úm
eros
F
racionários
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
1.3.5
F
rações
e
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
1.3.5.1
O
P
ap
el
das
F
rações
e
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
1.3.5.2
E
lem
entos
H
istóricos
Sobre
os
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
.
.
.
12
1.3.5.3
F
rações
e
N
úm
eros
D
ecim
ais(P
otências
de
10)
.
.
.
.
.
.
.
13
1.3.5.4
L
eitura
de
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
1.3.6
T
ransform
ando
F
rações
em
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
1.3.7
T
ransform
ando
N
úm
eros
D
ecim
ais
em
F
rações
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
1.3.8
P
ropriedades
dos
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
1.3.8.1
M
ultiplicação
p
or
um
a
p
otência
de
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
1.3.8.2
D
ivisão
p
or
um
a
p
otência
de
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
1.3.9
O
p
erações
com
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
1.3.9.1
A
dição
e
Subtração
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
1.3.9.2
M
ultiplicação
de
núm
eros
decim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
1.3.9.3
D
ivisão
de
núm
eros
decim
ais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
1.3.10
D
ízim
a
P
eriódica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
1.3.10.1
A
geratriz
de
um
a
dízim
a
p
eriódica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
1.3.10.2
A
G
eratriz
de
um
a
D
ízim
a
Sim
ples
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
1.3.10.3
A
G
eratriz
de
um
a
D
ízim
a
C
om
p
osta
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
1.3.10.4
D
ica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
1.4
N
úm
eros
Irracionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
1.5
N
úm
eros
R
eais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
1.6
P
otenciação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
1.6.1
A
lgum
as
P
articularidades
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
1.6.2
C
onvenções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
1.6.3
O
utras
C
onvenções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
1.6.4
P
ropriedades
da
P
otenciação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
1.6.4.1
M
ultiplicação
de
P
otências
de
M
esm
a
B
ase
.
.
.
.
.
.
.
.
23
1.6.4.2
D
ivisão
de
P
otências
de
M
esm
a
B
ase
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
1.6.4.3
P
otência
de
P
otências
de
M
esm
a
B
ase
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
1.6.4.4
P
otência
com
E
xp
oente
N
egativo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
1.7
E
xpressões
N
um
éricas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
1.8
R
azões
e
P
rop
orções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
1.8.1
R
azões
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
1.8.1.1
R
azões
E
quivalentes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
1.8.2
P
rop
orções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
1.8.2.1
P
ropriedade
F
undam
ental
das
P
rop
orções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
1.8.2.2
P
ropriedades
G
erais
das
P
rop
orções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
1.8.2.3
N
úm
eros
D
iretam
ente
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
1.8.2.4
N
úm
eros
Inversam
ente
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
1.8.3
G
randezas
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
1.8.3.1
G
randezas
D
iretam
ente
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
1.8.3.2
G
randezas
Inversam
ente
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
1.9
R
egra
de
T
rês
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
1.9.1
R
egra
de
T
rês
Sim
ples
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
1.9.2
R
egra
de
T
rês
C
om
p
osta
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
1.10
P
orcentagem
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
1.10.1
T
axa
P
ercentual
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
1.10.2
P
roblem
as
de
P
orcentagem
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
1.11
E
xpressões
A
lgébricas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
1.11.1
M
onôm
io
ou
T
erm
o
A
lgébrico
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
1.11.2
O
p
erações
com
M
onôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
1.11.2.1
A
dição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
1.11.2.2
Subtração
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
1.11.2.3
M
ultiplicação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
1.11.2.4
D
ivisão
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
1.11.2.5
P
otenciação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
1.11.3
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
1.11.3.1
A
dição
de
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
1.11.3.2
Subtração
de
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
1.11.3.3
M
ultiplicação
de
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
1.11.4
P
rodutos
N
otáveis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
1.11.4.1
Q
uadrado
da
Som
a
de
D
ois
T
erm
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
1.11.4.2
Q
uadrado
da
D
iferença
de
D
ois
T
erm
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
1.11.4.3
P
roduto
da
Som
a
P
ela
D
iferença
de
D
ois
T
erm
os
.
.
.
.
.
53
1.11.5
F
atoração
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54
1.11.5.1
F
ator
C
om
um
em
E
vidência
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
1.11.5.2
A
grupam
ento
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
56
1.11.5.3
D
iferença
de
D
ois
Q
uadrados
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
1.11.5.4
T
rinôm
io
Q
uadrado
P
erfeito
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
1.11.6
Sim
plificação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
1.12
E
quações
do
1
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
1.12.1
P
rocesso
de
R
esolução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
1.13
Inequação
do
1
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
1.14
Sistem
as
de
E
quações
do
1
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
1.14.1
M
étodos
de
R
esolução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
1.14.1.1
M
étodo
da
Substituição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
1.14.1.2
M
étodo
da
A
dição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
64
1.15
E
quações
do
2
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
1.15.1
P
rocesso
de
R
esolução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
1.15.1.1
E
quações
C
om
pletas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
1.15.1.2
E
quações
Incom
pletas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
1.16
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
2
C
on
ju
n
tos
75
2.1
C
onceitos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
75
2.2
C
onjuntos
U
nitários
e
C
onjuntos
V
azios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
2.3
C
onjuntos
Iguais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
2.4
Sub
conjuntos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
2.5
C
onjuntos
N
um
éricos
Im
p
ortantes
(R
evisão)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
2.5.1
C
onjunto
dos
N
úm
eros
N
aturais
-
N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
2.5.2
C
onjunto
dos
N
úm
eros
Inteiros
-
Z
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
2.5.3
C
onjunto
dos
N
úm
eros
R
acionais
-
Q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
2.5.4
C
onjunto
dos
N
úm
eros
Irracionais
-
I
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
2.5.5
C
onjunto
dos
N
úm
eros
R
eais
-
R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
2.6
Sub
conj.
D
efinidos
p
or
um
a
P
ropriedade
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
2.7
O
p
erações
com
C
onjuntos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
2.7.1
U
nião
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
2.7.2
Interseção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
82
2.7.3
D
iferença
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
2.7.4
C
om
plem
entação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
2.8
Sub
conjuntos
de
R
etas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
88
2.8.1
O
p
erações
com
Sub
conjuntos
de
R
etas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
2.8.1.1
E
X
E
M
P
L
O
S
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
90
2.9
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92
3
F
u
n
çõ
es
99
3.1
D
efinição
e
N
otações
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99
3.1.1
V
alor
N
um
érico
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
3.1.2
D
om
ínio
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
3.1.3
Im
agem
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
103
3.2
G
ráfico
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
103
3.2.1
P
lano
C
artesiano
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
103
3.2.2
F
unção
C
onstante:
f
(x
)
=
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104
3.2.3
F
unção
L
inear:
f
(x
)
=
a
x
+
b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
3.2.3.1
C
aracterísticas
Im
p
ortantes
da
F
unção
L
inear
.
.
.
.
.
.
.
105
3.2.3.2
R
epresentação
G
ráfica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
3.2.3.3
E
quação
da
R
eta
D
ados
D
ois
P
ontos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
106
3.2.3.4
E
quação
da
R
eta
dados
um
P
onto
e
o
C
oeficiente
A
ngular
108
3.2.3.5
Interseção
de
D
uas
F
unções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
3.2.4
F
unção
Q
uadrática:
f
(x
)
=
a
x
2
+
bx
+
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
3.2.4.1
C
aracterísticas
Im
p
ortantes
da
F
unção
Q
uadrática
.
.
.
.
109
3.2.4.2
R
epresentação
G
ráfica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
110
3.3
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
112
4
A
p
licaçõ
es
d
e
F
u
n
çõ
es
115
4.1
R
eceita
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
4.2
C
usto
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
116
4.3
L
ucro
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
117
4.3.1
P
onto
de
E
quilíbrio
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
118
4.3.2
E
xem
plo
C
om
pleto
E
nvolvendo
R
eceita,
C
usto
e
L
ucro
T
otal
.
.
.
.
118
4.4
D
em
anda
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
4.4.1
E
xem
plo
de
D
em
anda
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
4.5
O
ferta
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
124
4.5.1
E
xem
plo
de
O
ferta
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
125
4.6
L
ei
da
O
ferta
e
da
P
rocura
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
126
4.7
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
128
5
L
ogaritm
os
133
5.1
Introdução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
133
5.2
D
efinição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
134
5.3
C
ondições
de
E
xistência
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
5.4
P
ropriedades
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
136
5.4.1
P
ropriedade
do
produto
do
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
136
5.4.2
P
ropriedades
do
quociente
do
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
5.4.3
P
ropriedade
da
p
otência
do
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
5.4.4
P
ropriedade
da
raiz
de
um
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
5.4.5
P
ropriedade
da
m
udança
de
base
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
138
5.4.6
U
m
outro
exem
plo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
138
5.5
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
C
a
p
ít
u
l
o
1
R
e
v
isã
o
1
.1
N
ú
m
e
r
o
s
N
a
t
u
r
a
is
O
conjunto
dos
núm
eros
naturais
é
representado
p
ela
letra
m
aiúscula
N
e
estes
núm
eros
são
construídos
com
os
algarism
os:
0,1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
que
tam
b
ém
são
conhecidos
com
o
algarism
os
indo-arábicos.
N
o
século
V
II,
os
árab
es
invadiram
a
Índia,
difundindo
o
seu
sistem
a
num
érico.
E
m
b
ora
o
zero
não
seja
um
núm
ero
natural
no
sentido
que
tenha
sido
proveniente
de
ob
jetos
de
contagens
naturais,
irem
os
considerá-lo
com
o
um
núm
ero
natural
um
a
vez
que
ele
tem
as
m
esm
as
propriedades
algébricas
que
os
núm
eros
naturais.
N
a
verdade,
o
zero
foi
criado
p
elos
hindus
na
m
ontagem
do
sistem
a
p
osicional
de
num
eração
para
suprir
a
deficiência
de
algo
nulo.
N
a
sequência
considerarem
os
que
os
naturais
têm
início
com
o
núm
ero
zero
e
escreverem
os
este
conjunto
com
o:
N
=
{
0,1,2,3,4,5,6,...}
R
epresentarem
os
o
conjunto
dos
núm
eros
naturais
com
a
letra
N
.
A
s
reticências
(três
p
ontos)
indicam
que
este
conjunto
não
tem
fim
.
N
é
um
conjunto
com
infinitos
núm
eros.
E
xcluindo
o
zero
do
conjunto
dos
núm
eros
naturais,
o
conjunto
será
representado
p
or:
N
∗
=
{
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
1
.1
.1
N
ú
m
e
r
o
s
P
r
im
o
s
U
m
n
ú
m
ero
p
rim
o
é
u
m
n
ú
m
ero
n
atu
ral
com
ex
atam
en
te
d
ois
d
iv
isores
n
atu
rais
d
istin
tos,
sen
d
o
estes
u
m
o
n
ú
m
ero
1
e
o
ou
tro
ele
m
esm
o.
A
ssim
,
são
n
ú
m
eros
p
rim
os:{
2,3,5,7,9,11,13,17,19,23,29,31,···}
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
V
ejam
os
os
exem
plos
a
seguir,
onde
D
(n)
indica
todos
os
divisores
de
n
.
E
x
em
p
los:
a)
1
não
é
prim
o
p
ois
D
(1)
=
{1}
b
)
2
é
prim
o
p
ois
D
(2)
=
{1,
2}
c)
3
é
prim
o
p
ois
D
(3)
=
{1,
3}
d
)
5
é
prim
o
p
ois
D
(5)
=
{1,
5}
e)
7
é
prim
o
p
ois
D
(7)
=
{1,
7}
f)
14
não
é
prim
o
p
ois
D
(14)
=
{1,2,7,14}
O
b
se
rv
a
ç
ã
o
:
1
não
é
prim
o
p
ois
tem
ap
enas
1
divisor
e
todo
núm
ero
natural
p
ode
ser
escrito
com
o
o
produto
de
núm
eros
prim
os,
de
form
a
única.
1
.2
N
ú
m
e
r
o
s
In
t
e
ir
o
s
1
.2
.1
In
t
r
o
d
u
ç
ã
o
a
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
In
t
e
ir
o
s
N
a
ép
oca
do
R
enascim
ento,
os
m
atem
áticos
sentiram
cada
vez
m
ais
a
necessidade
de
um
novo
tip
o
de
núm
ero,
que
pudesse
ser
a
solução
de
equações
tão
sim
ples
com
o:
x
+
2
=
0,
2x
+
10
=
0,
4y
+
4
=
0
A
s
C
iências
precisavam
de
sím
b
olos
para
representar
tem
p
eraturas
acim
a
e
abaixo
de
0
o
C
,
p
or
exem
plo.
A
strônom
os
e
físicos
procuravam
um
a
linguagem
m
atem
ática
para
expressar
a
atração
entre
dois
corp
os.
Q
uando
um
corp
o
age
com
um
a
força
sobre
outro
corp
o,
este
reage
com
um
a
força
de
m
esm
a
intensidade
e
sentido
contrário.
M
as
a
tarefa
não
ficava
som
ente
em
criar
um
novo
núm
ero,
era
preciso
encontrar
um
sím
b
olo
que
p
erm
itisse
op
erar
com
esse
núm
ero
criado,
de
m
odo
prático
e
eficiente.
1
.2
.2
A
O
r
ig
e
m
d
o
s
S
in
a
is
A
idéia
sobre
os
sinais
vem
dos
com
erciantes
da
ép
oca.
O
s
m
atem
áticos
encontraram
a
m
elhor
notação
para
expressar
esse
novo
tip
o
de
núm
ero.
V
eja
com
o
faziam
tais
com
erciantes:
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.2.
N
Ú
M
E
R
O
S
IN
T
E
IR
O
S
Sup
onha
que
um
deles
tivesse
em
seu
arm
azém
duas
sacas
de
feijão
com
10
kg
cada.
Se
esse
com
erciante
vendesse
num
dia
8
K
g
de
feijão,
ele
escrevia
o
núm
ero
8
com
um
traço
(sem
elhante
ao
atualsinalde
m
enos)
na
frente
para
não
se
esquecer
de
que
no
saco
faltava
8
K
g
de
feijão.
M
as
se
ele
resolvesse
desp
ejar
no
outro
saco
os
2
K
g
que
restaram
,
escrevia
o
núm
ero
2
com
dois
traços
cruzados
(sem
elhante
ao
atual
sinal
de
m
ais)
na
frente,
para
se
lem
brar
de
que
no
saco
havia
2
K
g
de
feijão
a
m
ais
que
a
quantidade
inicial.
C
om
essa
nova
notação,
os
m
atem
áticos
p
oderiam
,
não
som
ente
indicar
as
quantidades,
m
as
tam
b
ém
representar
o
ganho
ou
a
p
erda
dessas
quantidades,
através
de
núm
eros,
com
sinal
p
ositivo
ou
negativo.
1
.2
.3
O
C
o
n
ju
n
t
o
Z
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
In
t
e
ir
o
s
D
efinim
os
o
conjunto
dos
núm
eros
inteiros
com
o
a
reunião
do
conjunto
dos
núm
eros
naturais,
o
conjunto
dos
op
ostos
dos
núm
eros
naturais
e
o
zero.
E
ste
conjunto
é
denotado
p
ela
letra
Z
(Z
ahlen
=
núm
ero
em
alem
ão).
E
ste
conjunto
p
ode
ser
escrito
p
or:
Z
=
{
...,−
4,−
3,−
2,−
1,0,1,2,3,4,...}
E
x
e
m
p
lo
s
d
e
su
bco
n
ju
n
to
s
d
o
co
n
ju
n
to
Z
a)
C
onjunto
dos
núm
eros
inteiros
excluído
o
núm
ero
zero:
Z
∗
=
{
...,−
4,−
3,−
2,−
1,1,2,3,4,...}
b
)
C
onjunto
dos
núm
eros
inteiros
não
negativos:
Z
+
=
{
0,1,2,3,4,...}
c)
C
onjunto
dos
núm
eros
inteiros
não
p
ositivos:
Z
−
=
{
...,−
4,−
3,−
2,−
1,0}
1
.2
.4
M
á
x
im
o
D
iv
is
o
r
C
o
m
u
m
-
M
D
C
C
onsiderem
os
os
conjuntos
dos
divisores
resp
ectivam
ente
dos
núm
eros
40
e
16.
D
(40)
=
{1,
2,
4,
5,
8,
10,
20,
40}
D
(16)
=
{1,
2,
4,
8,
16}
O
bservando
que
D
(40)∩
D
(16)
=
{1,
2,
4,
8},
p
odem
os
afirm
ar
que:
I)
O
s
divisores
com
uns
de
40
e
16
são
1,
2,
4,
8.
II)
O
m
aior
divisor
com
um
de
40
e
16
é
8.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
E
ntão,
o
núm
ero
8
é
cham
ado
m
áxim
o
divisor
com
um
de
40
e
16,
que
será
representado
p
or
M
D
C
(40,
16)
=
8.
D
aí
p
odem
os
dizer
que:
D
ad
os
2
ou
m
ais
n
ú
m
eros,
n
ão
sim
u
ltan
eam
en
te
n
u
los,
ch
am
a-se
m
áx
im
o
d
iv
isor
com
u
m
d
esses
n
ú
m
eros
o
m
aior
d
os
seu
s
d
iv
isores
com
u
n
s.
1.2.4.1
T
é
c
n
ic
a
p
a
r
a
o
C
á
l
c
u
l
o
d
o
M
D
C
V
am
os
determ
inar
o
m
áxim
o
divisor
com
um
de
60
e
24.
Já
sab
em
os
que:
D
(60)
=
{1,
2,
3,
4,
5,
6,
10,
12,
15,
20,
30,
60}
D
(24)
=
{1,
2,
3,
4,
6,
8,
12,
24}
D
(60)∩
D
(24)
=
{1,
2,
3,
4,
6,
12}
M
D
C
(60,24)
=
12.
A
gora,
vam
os
obter
o
M
D
C
p
ela
técnica
de
d
ecom
p
osição
em
fatores
p
rim
os.
I)
D
ecom
p
õe-se
cada
núm
ero
em
fatores
prim
os.
II)
o
M
D
C
será
o
produto
dos
fatores
com
uns,cada
um
deles
elevado
ao
m
enor
exp
oente.
60
2
30
2
15
3
5
5
1
24
2
12
2
6
2
3
3
1
60
=
2
2×
3×
5
24
=
2
3×
3
}
−→
M
D
C
(60,24)
=
2
2×
3
=
12
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.2.
N
Ú
M
E
R
O
S
IN
T
E
IR
O
S
1
.2
.5
M
ín
im
o
M
ú
lt
ip
l
o
C
o
m
u
m
-
M
M
C
C
onsiderem
os
os
conjuntos
dos
m
últiplos
resp
ectivam
ente
dos
núm
eros
6,
8
e
12.
M
(6)
=
{0,
6,
12,
18,
24,
30,
36,
42,
48,
54,
60,...}
M
(8)
=
{0,
8,
16,
24,
32,
40,
48,
56,
64,
72,
80,...}
M
(12)
=
{0,
12,
24,
36,
48,
60,
72,
84,...}
O
bservando
que
M
(6)∩
M
(8)∩
M
(12)=
{0,
24,
48,...},
p
odem
os
afirm
ar
que:
I)
O
s
m
últiplos
com
uns
de
6,
8
e
12
são
0,
24,
48,...
II)
O
m
enor
m
últiplo
com
um
,
diferente
de
zero,
de
6,
8
e
12
é
24.
E
ntão,o
núm
ero
24
é
cham
ado
m
ínim
o
m
últiplo
com
um
de
6,8
e
12,que
será
representado
p
or
M
M
C
(6,8,12)
=
24.
D
aí
p
odem
os
dizer
que:
D
ad
os
2
ou
m
ais
n
ú
m
eros,
d
iferen
tes
d
e
zero,
ch
am
a-se
m
ín
im
o
m
ú
ltip
lo
com
u
m
d
esses
n
ú
m
eros
o
m
en
or
d
os
seu
s
m
ú
ltip
los
com
u
n
s,
d
iferen
tes
d
e
zero.
1.2.5.1
T
é
c
n
ic
a
p
a
r
a
o
C
á
l
c
u
l
o
d
o
M
M
C
P
odem
os
determ
inar
o
M
M
C
de
2
ou
m
ais
núm
eros
diferentes
de
0,
p
elo
processo
de
d
ecom
p
osição
em
fatores
p
rim
os,
conform
e
a
seguinte
regra:
I)
D
ecom
p
õe-se
cada
núm
ero
em
fatores
prim
os.
II)
o
M
D
C
será
o
produto
de
todos
os
fatores
com
uns
e
não
com
uns,
cada
um
deles
elevado
ao
m
aior
exp
oente.
6
2
3
3
1
8
2
4
2
2
2
1
12
2
6
2
3
3
1
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
6
=
2×
3
8
=
2
3
12
=
2
2×
3 }
−→
M
M
C
(6,8,12)
=
2
3×
3
=
24
D
e
m
odo
prático,
as
decom
p
osições
são
feitas
sim
ultaneam
ente,
p
ois
desta
m
aneira
já
se
obtém
os
fatores
com
uns
e
não
com
uns
com
o
m
aior
exp
oente,
conform
e
o
exem
plo:
6,
8,
12
2
3,
4,
6
2
3,
2,
3
2
3,
1,
3
3
1,
1,
1
24
M
M
C
(6,8,12)
=
2
3×
3
=
24
1
.3
N
ú
m
e
r
o
s
R
a
c
io
n
a
is
H
á
3000
antes
de
C
risto,
os
geôm
etras
dos
faraós
do
E
gito
realizavam
m
arcação
das
terras
que
ficavam
às
m
argens
do
rio
N
ilo,
para
a
sua
p
opulação.
M
as,
no
p
eríodo
de
junho
a
setem
bro,
o
rio
inundava
essas
terras
levando
parte
de
suas
m
arcações.
L
ogo
os
proprietários
das
terras
tinham
que
m
arcá-las
novam
ente
e
para
isso,
eles
utilizavam
um
a
m
arcação
com
cordas,
que
seria
um
a
esp
écie
de
m
edida,
denom
inada
estiradores
de
cordas.
A
s
p
essoas
utilizavam
as
cordas,
esticando-as
e
assim
verificavam
quantas
vezes
aquela
unidade
de
m
edida
estava
contida
nos
lados
do
terreno,
m
as
raram
ente
a
m
edida
dava
correta
no
terreno,
isto
é,
não
cabia
um
núm
ero
inteiro
de
vezes
nos
lados
do
terreno;
sendo
assim
eles
sentiram
a
necessidade
de
criar
um
novo
tip
o
de
núm
ero
-
o
núm
ero
fracionário,
onde
eles
utilizavam
as
frações.
1
.3
.1
In
t
r
o
d
u
ç
ã
o
À
s
vezes,
ao
tentar
partir
algo
em
p
edaços,
com
o
p
or
exem
plo,
um
a
pizza,
nós
a
cortam
os
em
partes
que
não
são
do
m
esm
o
tam
anho.
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
L
ogo
isso
daria
um
a
grande
confusão,
p
ois
quem
ficaria
com
a
parte
m
aior?
O
u
quem
ficaria
com
a
parte
m
enor?
É
lógico
que
alguém
sairia
no
prejuízo.
P
en
sem
os
n
este
ex
em
p
lo:
D
ois
irm
ãos
foram
juntos
com
prar
chocolate.
E
les
com
praram
duas
barras
de
chocolate
iguais,
um
a
para
cada
um
.
Iam
com
eçar
a
com
er
quando
chegou
um
a
de
suas
m
elhores
am
igas
e
vieram
as
p
erguntas:
Q
uem
daria
um
p
edaço
para
a
am
iga?
Q
ualdeveria
ser
o
tam
anho
do
p
edaço?
E
les
discutiram
e
chegaram
à
seguinte
conclusão:
P
ara
que
nenhum
dos
dois
com
esse
m
enos,
cada
um
daria
m
etade
do
chocolate
para
a
am
iga.
•
V
ocê
concorda
com
esta
divisão?
P
or
quê?
•
C
om
o
você
p
oderia
resolver
esta
situação
para
que
todos
com
essem
partes
iguais?
•
O
que
você
acha
desta
frase:
Q
uem
parte
e
reparte
e
não
fica
com
a
m
elhor
parte,
ou
é
b
ob
o
ou
não
tem
arte.
•
E
lem
entos
gerais
para
a
construção
de
frações
1
.3
.2
A
Id
é
ia
d
e
N
ú
m
e
r
o
F
r
a
c
io
n
á
r
io
R
elacionando
núm
eros
racionais
com
frações,um
núm
ero
racionalé
o
que
p
ode
ser
escrito
na
form
a:
mn
onde
m
e
n
são
núm
eros
inteiros,sendo
que
n
deve
ser
não
nulo,isto
é,
n
deve
ser
diferente
de
zero.
F
reqüentem
ente
usam
os
m
/n
para
significar
a
divisão
de
m
p
or
n
.
C
om
o
p
odem
os
observar,
núm
eros
racionais
p
odem
ser
obtidos
através
da
razão
(em
L
atim
:
ratio=
razão=
divisão=
quociente)
entre
dois
núm
eros
inteiros,
razão
p
ela
qual,
o
conjunto
de
todos
os
núm
eros
racionais
é
denotado
p
or
Q
.
A
ssim
,
é
com
um
encontrarm
os
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
na
literatura
a
notação:
Q
=
{
m
/n
:
m
e
n
em
Z
,
n
d
if
eren
te
d
e
zero}
Q
uando
há
interesse,
indicam
os
Q
+
para
entender
o
conjunto
dos
núm
eros
racionais
p
ositivos
e
Q
−
o
conjunto
dos
núm
eros
racionais
negativos.
O
núm
ero
zero
é
tam
b
ém
um
núm
ero
racional.
P
ara
expressar,m
atem
aticam
ente,um
a
parte
ou
algum
as
partes
iguais
de
um
todo,vam
os
usar
um
par
ordenado
de
núm
eros
naturais.
P
ara
representar
os
elem
entos
que
não
são
tom
ados
com
o
partes
inteiras
de
algum
a
coisa,
utilizam
os
o
ob
jeto
m
atem
ático
denom
inado
fração.
E
ntão,cham
a-se
fração
todo
par
ordenado
de
núm
eros
naturais,com
o
segundo6=
0,onde:
•
o
prim
eiro
núm
ero
indica
quantas
partes
estam
os
tom
ando
do
inteiro.
•
o
segundo
núm
ero
indica
em
quantas
partes
iguais
o
inteiro
foi
dividido.
N
um
a
fração,
o
prim
eiro
núm
ero
cham
a-se
n
u
m
erad
or
e
o
segundo
núm
ero
cham
a-se
d
en
om
in
ad
or;
am
b
os
constituem
os
term
os
de
um
a
fração.
A
ssim
:
N
a
fração
12
,
1
é
o
num
erador
e
2
é
o
denom
inador.
N
a
fração
35
,
3
é
o
num
erador
e
5
é
o
denom
inador.
O
conjunto
dos
núm
eros
naturais
que
não
inclui
o
zero,
tendo
em
vista
que
zero
foi
um
núm
ero
criado
para
dar
significado
nulo
a
algo,
é
representado
p
elo
conjunto
N
∗
será
representado
p
or:
N
∗
=
{
1,2,3,4,5,6,7,...}
A
ssim
,
todos
os
núm
eros
naturais,
diferentes
de
zero,
representam
em
partes
foi
dividido
o
inteiro,
ou
seja,
representam
os
denom
inadores.
O
s
núm
eros
que
não
representam
partes
inteiras,
m
as
que
são
partes
de
inteiros,
constituem
os
núm
eros
racionais
não-negativos,
aqui
representados
p
or
Q
+
,
onde
esta
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
letra
Q
significa
quociente
ou
divisão
de
dois
núm
eros
inteiros
naturais.
Q
+
= {
0,...,
14
,...,
12
,...,1,...,2,... }
1
.3
.3
F
r
a
ç
õ
e
s
E
q
u
iv
a
l
e
n
t
e
s
D
uas
frações
são
equivalentes
se
representam
a
m
esm
a
parte
do
inteiro.
U
m
a
fração
eq
u
ivalen
te
é
ob
tid
a
m
u
ltip
lican
d
o-se
ou
d
iv
id
in
d
o-se
(q
u
an
d
o
p
ossível)
os
term
os
d
e
u
m
a
fração
p
or
u
m
m
esm
o
n
ú
m
ero
n
atu
ral,
d
iferen
te
d
e
zero.
E
x
em
p
los:
a)
12
=
24
→
1×
2
2×
2
=
24
b
)
12
=
36
→
1×
3
2×
3
=
36
c)
68
=
34
→
6÷
2
8÷
2
=
34
d
)
1620
=
45
→
16÷
4
20÷
4
=
45
1
.3
.4
O
p
e
r
a
ç
õ
e
s
c
o
m
F
r
a
ç
õ
e
s
1.3.4.1
A
d
iç
ã
o
e
S
u
b
t
r
a
ç
ã
o
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
F
r
a
c
io
n
á
r
io
s
T
em
os
de
analisar
dois
casos:
1
o
C
aso
:
D
en
om
in
ad
ores
Igu
ais
P
ara
som
ar
ou
su
b
trair
fraçõ
es
com
d
en
om
in
ad
ores
igu
ais,
b
asta
con
servar
o
d
en
om
in
ad
or
e
som
ar
ou
su
b
trair
os
n
u
m
erad
ores.
E
x
em
p
los:
a)
47
+
27
=
4
+
2
7
=
67
b
)
57 −
27
=
5−
2
7
=
37
c)
25
+
125
=
2
+
12
5
=
145
d
)
199 −
119
=
19−
11
9
=
89
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
2
o
C
aso
:
D
en
om
in
ad
ores
D
iferen
tes
P
ara
som
ar
ou
subtrair
frações
com
denom
inadores
diferentes,
um
a
solução
é
obter
frações
equivalentes,
de
denom
inadores
iguais
ao
M
M
C
dos
denom
inadores
das
frações.
A
ssim
,
P
ara
som
ar
ou
su
b
trair
fraçõ
es
com
d
en
om
in
ad
ores
d
iferen
tes,
p
rim
eiro
calcu
le
o
M
M
C
,
trasform
e
as
fraçõ
es
em
fraçõ
es
eq
u
ivalen
tes
com
o
d
en
om
in
ad
or
en
con
trad
o
n
o
M
M
C
,
e
assim
p
ro
ced
a
com
o
n
a
som
a
ou
su
b
tração
p
ara
d
en
om
in
ad
ores
iq
u
ais:
con
serve
o
d
en
om
in
ad
or
(M
M
C
)
e
som
e
ou
su
b
traia
o
n
u
m
erad
or.
E
x
em
p
lo
1
:
Som
ar
as
frações
45
e
52
.
P
rim
eiro
calculam
os
o
M
M
C
entre
5
e
2,que
neste
caso
é
a
m
ultiplicação
dos
dois
denom
inadores,assim
obtem
os
M
M
C
(5,2)
=
10.
D
ep
ois,
transform
am
os
as
frações
em
frações
equivalente,
dividindo
o
resultado
encontrado
no
M
M
C
(5,2)
p
elos
denom
inadores
e
m
ultiplicando
p
elos
num
eradores
corresp
ondentes:
45
=
?10
→
(10÷
5)×
4
=
8→
810
52
=
?10
→
(10÷
2)×
5
=
25→
2510
E
ncontradas
as
equações
equivalentes
fazem
os
a
som
a,
conform
e
o
1
o
caso,
conservam
os
o
denom
inador
e
som
am
os
o
num
erador.
810
+
2510
=
8
+
25
10
=
3310
E
x
em
p
lo
2
:
Subtrair
as
frações
712
e
1115
.
P
rim
eiro
calculam
os
o
M
M
C
entre
12
e
15,
com
o
na
seção
1.2.5,
assim
M
M
C
(12,15)
=
60.
D
ep
ois,
transform
am
os
as
frações
em
frações
equivalente,
dividindo
o
resultado
encontrado
no
M
M
C
(12,15)
p
elos
denom
inadores
e
m
ultiplicando
p
elos
num
eradores
corresp
ondentes:
712
=
?60
→
(60÷
12)×
7
=
35→
3560
1115
=
?60
→
(60÷
15)×
11
=
44→
4460
E
ncontradas
as
equações
equivalentes
fazem
os
a
subtração,
conform
e
o
1
o
caso,
conservam
os
o
denom
inador
e
subtraim
os
o
num
erador.
1
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
3560 −
4460
=
35−
44
60
=
−
960
R
e
su
m
in
d
o
:
utilizam
os
o
M
M
C
para
obter
as
frações
equivalentes
e
dep
ois
som
am
os
norm
alm
ente
as
frações,
que
já
terão
o
m
esm
o
denom
inador,
ou
seja,
utilizam
os
o
caso
1.
1.3.4.2
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
F
r
a
c
io
n
á
r
io
s
P
ara
m
u
ltip
licarm
os
n
ú
m
eros
fracion
ários,
d
evem
os
m
u
ltip
licar
n
u
m
erad
or
p
or
n
u
m
erad
or
e
d
en
om
in
ad
or
p
or
d
en
om
in
ad
or.
E
x
em
p
los:
a)
83 ×
43
=
8×
4
3×
3
=
329
b
)
−
52 ×
43
=
−
5×
4
2×
3
=
−
20
6
=
−
206
=
−
103
1.3.4.3
D
iv
is
ã
o
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
F
r
a
c
io
n
á
r
io
s
P
ara
d
iv
id
irm
os
n
ú
m
eros
fracion
ários,
d
evem
os
efetu
ar
u
m
a
m
u
ltip
licação
d
e
fraçõ
es,
con
sid
eran
d
o
q
u
e
a
p
rim
eira
fração
é
m
u
ltip
licad
a
p
ela
segu
n
d
a
fração
in
vertid
a
(ou
seja,
o
n
u
m
erad
or
p
assa
p
ara
d
en
om
in
ad
or
e
o
d
en
om
in
ad
or
p
ara
n
u
m
erad
or).
E
x
em
p
los:
a)
8343
=
83 ×
34
=
2412
=
2
b
)
119207
=
119 ×
720
=
77
180
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1
.3
.5
F
r
a
ç
õ
e
s
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
1.3.5.1
O
P
a
p
e
l
d
a
s
F
r
a
ç
õ
e
s
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
A
s
frações
decim
ais
e
núm
eros
decim
ais
p
ossuem
notória
im
p
ortância
cotidiana.
T
ais
conceitos
são
usados
em
m
uitas
situações
práticas,
em
b
ora,
m
uitas
vezes
passem
desp
ercebidas.
Indo
ao
sup
erm
ercado
com
prar
1/2
K
g
de
café
p
or
R
$
2,80
e
pagan
do
a
com
pra
com
um
a
nota
de
R
$
5,00,
obtém
-se
R
$
2,20
de
troco.
N
este
exem
plo,
p
odem
os
observar
o
uso
de
frações
e
núm
eros
decim
ais.
A
través
deste
tip
o
de
com
pra,
usam
os
o
conceito
de
fração
decim
al
juntam
ente
com
o
sistem
a
de
p
esagem
(1/2
K
g),
núm
eros
decim
ais
juntam
ente
com
o
sistem
a
m
onetário.
M
uitas
outras
situações
utilizam
de
frações
e
núm
eros
decim
ais.
1.3.5.2
E
l
e
m
e
n
t
o
s
H
is
t
ó
r
ic
o
s
S
o
b
r
e
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
H
oje
em
dia
é
com
um
o
uso
de
frações.
H
ouve
tem
p
o,
p
orém
que
as
m
esm
as
não
eram
co-nhecidas.
O
hom
em
introduziu
o
uso
de
frações
quando
com
eçou
a
m
edir
e
representar
m
edidas.
O
s
egíp
cios
usavam
ap
enas
frações
que
p
ossuíam
o
núm
ero
1
dividido
p
or
um
núm
ero
inteiro,
com
o
p
or
exem
plo:
1/2,
1/3,
1/4,
1/5,...
T
ais
frações
eram
denom
inadas
frações
egíp
cias
e
ainda
hoje
têm
m
uitas
aplicações
práticas.
O
s
babilônios
usavam
em
geral
frações
com
denom
inador
60.
É
provável
que
o
uso
do
núm
ero
60
p
elos
babilônios
se
deve
ao
fato
que
é
um
núm
ero
m
enor
do
que
100
com
m
aior
quantidade
de
divisores
inteiros.
O
s
rom
anos,
p
or
sua
vez,
usavam
constantem
ente
frações
com
denom
inador
12.
P
rovavelm
ente
os
rom
anos
usavam
o
núm
ero
12
p
or
ser
um
núm
ero
que
em
b
ora
p
equeno,
p
ossui
um
núm
ero
expressivo
de
divisores
inteiros.
C
om
o
passar
dos
tem
p
os,
m
uitas
notações
foram
usadas
para
representar
frações.
A
atual
m
aneira
de
representação
data
do
século
X
V
I.
O
s
núm
eros
decim
ais
têm
origem
nas
frações
decim
ais.
P
or
exem
plo,a
fração
1/2
equivale
à
fração
5/10
que
equivale
ao
núm
ero
decim
al
0,5.
Stevin
(engenheiro
e
m
atem
ático
holandês),
em
1585
ensinou
um
m
étodo
para
efetuar
todas
as
op
erações
p
or
m
eio
de
inteiros,
sem
o
uso
de
frações,
no
qualescrevia
os
núm
eros
1
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
naturais
ordenados
em
cim
a
de
cada
algarism
o
do
num
erador
indicando
a
p
osição
ocupada
p
ela
vírgula
no
num
eral
decim
al.
E
ste
m
étodo
foi
aprim
orado
e
em
1617
N
apier
prop
ôs
o
uso
de
um
p
onto
ou
de
um
a
vírgula
para
separar
a
parte
inteira
da
parte
decim
al.
P
or
m
uito
tem
p
o
os
núm
eros
decim
ais
foram
em
pregados
ap
enas
para
cálculos
astronôm
icos
em
virtude
da
precisão
prop
orcionada.
O
s
núm
eros
decim
ais
sim
plificaram
m
uito
os
cálculos
e
passaram
a
ser
usados
com
m
ais
ênfase
ap
ós
a
criação
do
sistem
a
m
étrico
decim
al.
1.3.5.3
F
r
a
ç
õ
e
s
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
(P
o
t
ê
n
c
ia
s
d
e
1
0
)
D
entre
todas
as
frações,
existe
um
tip
o
esp
ecial
cujo
denom
inador
é
um
a
p
otência
de
10.
E
ste
tip
o
é
denom
inado
fração
decim
al.
E
xem
plos
de
frações
decim
ais,
são:
1/10,
3/100,
23/100,
1/1000,
1/100
T
oda
fração
decim
al
p
ode
ser
representada
p
or
um
núm
ero
decim
al,
isto
é,
um
núm
ero
que
tem
um
a
parte
inteira
e
um
a
parte
decim
al,
separados
p
or
um
a
vírgula.
A
fração
127/100
p
ode
ser
escrita
na
form
a
m
ais
sim
ples,
com
o:
127
100
=
1,27
onde
1
representa
a
parte
inteira
e
27
representa
a
parte
decim
al.
E
sta
notação
sub
entende
que
a
fração
127/100
p
ode
ser
decom
p
osta
na
seguinte
form
a:
127
100
=
100
+
27
100
=
100
100
+
27
100
=
1
+
0,27
=
1,27
A
fração
8/10
p
ode
ser
escrita
na
form
a
0,8,onde
0
é
a
parte
inteira
e
8
é
a
parte
decim
al.
A
qui
observam
os
que
este
núm
ero
decim
al
é
m
enor
do
que
1
p
orque
o
num
erador
é
m
enor
do
que
o
denom
inador
da
fração.
1.3.5.4
L
e
it
u
r
a
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
P
ara
ler
núm
eros
decim
ais
é
necessário
prim
eiram
ente,
observar
a
localização
da
vírgula
que
separa
a
parte
inteira
da
parte
decim
al.
E
x
em
p
los:
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
•
0,6:
Seis
décim
os
•
0,37:
T
rinta
e
sete
centésim
os
•
0,189:
C
ento
e
oitenta
e
nove
m
ilésim
os
•
3,7:
T
rês
inteiros
e
sete
décim
os
•
13,45:
T
reze
inteiros
e
quarenta
e
cinco
centésim
os
•
130,824:
C
ento
e
trinta
inteiros
e
oitocentos
e
vinte
e
quatro
m
ilésim
os.
1
.3
.6
T
r
a
n
s
f
o
r
m
a
n
d
o
F
r
a
ç
õ
e
s
e
m
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
P
odem
os
escrever
a
fração
decim
al
1/10
com
o:
0,1.
E
sta
fração
é
lida
“um
décim
o".
N
otam
os
que
a
vírgula
separa
a
parte
inteira
da
parte
fracionária.
U
m
a
outra
situação
nos
m
ostra
que
a
fração
decim
al
231/100
p
ode
ser
escrita
com
o
2,31,que
se
lê
da
seguinte
m
aneira:
“dois
inteiros
e
trinta
e
um
centésim
os".
E
m
geral,
transform
a-se
um
a
fração
decim
al
em
um
núm
ero
decim
al
fazendo
com
que
o
num
e-rador
da
fração
tenha
o
m
esm
o
núm
ero
de
casas
decim
ais
que
o
núm
ero
de
zeros
do
denom
inador.
N
a
verdade,
realiza-se
a
divisão
do
num
erador
p
elo
denom
inador.
P
or
exem
plo:
a)
130/100
=
1,30
b
)
987/1000
=
0,987
c)
5/1000
=
0,005
1
.3
.7
T
r
a
n
s
f
o
r
m
a
n
d
o
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
e
m
F
r
a
ç
õ
e
s
T
am
b
ém
é
p
ossível
transform
ar
um
núm
ero
decim
al
em
um
a
fração
decim
al.
P
ara
isto,
tom
a-se
com
o
num
erador
o
núm
ero
decim
al
sem
a
vírgula
e
com
o
denom
inador
a
unidade
(1)
seguida
de
tantos
zeros
quantas
forem
as
casas
decim
ais
do
núm
ero
dado.
C
om
o
exem
plo,
tem
os:
a)
0,5
=
5/10
b
)
0,05
=
5/100
c)
2,41
=
241/100
d
)
7,345
=
7345/1000
1
.3
.8
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
Z
e
ro
s
a
p
ó
s
o
ú
ltim
o
a
lg
a
rism
o
sig
n
ifi
ca
tiv
o
:
U
m
núm
ero
decim
al
não
se
altera
quando
se
acrescenta
ou
se
retira
um
ou
m
ais
zeros
à
direita
do
últim
o
algarism
o
não
nulo
de
sua
parte
decim
al.
P
or
exem
plo:
1
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
a)
0,5
=
0,50
=
0,500
=
0,5000
b
)
1,0002
=
1,00020
=
1,000200
c)
3,1415926535
=
3,141592653500000000
d
)
20
=
20,00000
1.3.8.1
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
p
o
r
u
m
a
p
o
t
ê
n
c
ia
d
e
1
0
P
ara
m
ultiplicar
um
núm
ero
decim
al
p
or
10,
p
or
100,
p
or
1000,
basta
deslocar
a
vírgula
para
a
direita
um
a,
duas,
ou
três
casas
decim
ais,
de
acordo
com
o
núm
ero
de
zeros.
E
x
em
p
los:
a)
7,4×
10
=
74
b
)
7,4×
100
=
740
c)
7,4×
1000
=
7400
1.3.8.2
D
iv
is
ã
o
p
o
r
u
m
a
p
o
t
ê
n
c
ia
d
e
1
0
P
ara
dividir
um
núm
ero
decim
al
p
or
10,
100,
1000,
etc,
basta
deslocar
a
vírgula
para
a
esquerda
um
a,duas,três,...
casas
decim
ais
tam
b
ém
de
acordo
com
a
quantidade
de
zeros.
E
x
em
p
los:
a)
247,5÷
10
=
24,75
b
)
247,5÷
100
=
2,475
c)
247,5÷
1000
=
0,2475
1
.3
.9
O
p
e
r
a
ç
õ
e
s
c
o
m
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
1.3.9.1
A
d
iç
ã
o
e
S
u
b
t
r
a
ç
ã
o
P
ara
efetuar
a
adição
ou
a
subtração
de
núm
eros
decim
ais
tem
os
que
seguir
alguns
passos:
a)
Igualar
a
quantidade
de
casas
decim
ais
dos
núm
eros
decim
ais
a
serem
som
ados
ou
subtraídos
acrescentando
zeros
à
direita
de
suas
partes
decim
ais.
b
)
E
screver
os
num
erais
observando
as
colunas
da
parte
inteira
(unidades,
dezenas,
centenas,
etc),
de
form
a
que:
i)
o
algarism
o
das
unidades
de
um
núm
ero
deverá
estar
em
baixo
do
algarism
o
das
unidades
do
outro
núm
ero,
ii)
o
algarism
o
das
dezenas
de
um
núm
ero
deverá
estar
em
baixo
do
algarism
o
das
dezenas
do
outro
núm
ero,
iii)
o
algarism
o
das
centenas
deverá
estar
em
baixo
do
algarism
o
das
centenas
do
outro
núm
ero,
etc),
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
iv
)
a
vírgula
deverá
estar
debaixo
da
outra
vírgula,
e
v
)
a
parte
decim
al
(décim
os,
centésim
os,
m
ilésim
os,
etc)
de
form
a
que
décim
os
sob
décim
os,
centésim
os
sob
centésim
os,
m
ilésim
os
sob
m
ilésim
os,
etc.
c)
R
ealizar
a
adição
ou
a
subtração.
E
x
em
p
los:
a)
0,24
+
7,1
0,
24
+
7,
1
⇒
0,
24
+
7,
10
7,
34
b
)
3,4
+
11,175
3,
4
+
11,
175
⇒
3,
400
+
11,
172
14,
572
c)
20−
17,15
20
-
17
,15
⇒
20,
00
-
17,
15
3,
85
d
)
103,50−
88,5
103,
50
-
88,
5
⇒
103,
50
-
88,
50
15,
00
1.3.9.2
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
d
e
n
ú
m
e
r
o
s
d
e
c
im
a
is
P
odem
os
m
ultiplicar
dois
núm
eros
decim
ais
transform
ando
cada
um
dos
núm
eros
decim
ais
em
frações
decim
ais,
realizar
a
m
ultiplicação
de
num
erador
p
or
num
erador
e
denom
inador
p
or
denom
inador,
e
dep
ois
novam
ente
transform
á-los
em
núm
eros
decim
ais,
dividindo
o
num
erador
p
elo
denom
inador.
O
u,
p
odem
os
tam
b
ém
m
ultiplicar
os
núm
eros
decim
ais
com
o
se
fossem
inteiros
e
dar
ao
produto
tantas
casas
quantas
forem
as
casas
do
m
ultiplicando
som
adas
às
do
m
ultiplicador.
E
x
em
p
los:
a)
2,24×
1,7
224
100 ×
1710
=
3808
1000
=
3,808
ou
2,24
×
1,7
1568
+
224
3,808
1
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
b
)
3,15×
0,25
315
100 ×
25
100
=
7875
10000
=
0,7875
ou
3,15
×
0,25
1575
+
630
0,7875
1.3.9.3
D
iv
is
ã
o
d
e
n
ú
m
e
r
o
s
d
e
c
im
a
is
C
om
o
visto
anteriorm
ente,
se
m
ultiplicarm
os
tanto
o
dividendo
com
o
o
divisor
de
um
a
divisão
p
or
10,
100
ou
1000,
o
quociente
não
se
alterará.
U
tilizando
essas
inform
ações
p
oderem
os
efetuar
divisões
entre
núm
eros
decim
ais
com
o
se
fossem
divisões
de
núm
eros
inteiros.
A
ssim
,
dividendo
e
divisor
terão
ap
enas
um
a
casa
decim
al,
logo
m
ultiplicam
os
am
b
os
p
or
10
para
que
o
quociente
não
se
altere.
A
ssim
tanto
o
dividendo
com
o
o
divisor
serão
núm
eros
inteiros.
N
a
prática,
dizem
os
que
"cortam
os"a
vírgula.
E
x
em
p
los:
a)
7,65÷
1,8
=
7,65
1,8
=
7,65×
100
1,8×
100
=
765
180
=
4,25
b
)
0,1÷
23,458
=
0,1
23,458
=
0,1×
1000
23,458×
1000
=
100
23458
=
0,0043
1
.3
.1
0
D
íz
im
a
P
e
r
ió
d
ic
a
U
m
a
d
ízim
a
p
erió
d
ica
é
u
m
n
ú
m
ero
real
d
a
form
a:
m
,n
pppp...
on
d
e
m
,
n
e
p
são
n
ú
m
eros
in
teiros,
sen
d
o
q
u
e
o
n
ú
m
ero
p
se
rep
ete
in
d
efi
n
id
am
en
te,
razão
p
ela
q
u
al
u
sam
os
os
três
p
on
tos:
...
ap
ós
o
m
esm
o.
A
p
arte
q
u
e
se
rep
ete
é
d
en
om
in
ad
a
p
e
río
d
o.
E
m
alguns
livros
é
com
um
o
uso
de
um
a
barra
sobre
o
p
eríodo
ou
um
a
barra
debaixo
do
p
eríodo
ou
o
p
eríodo
dentro
de
parênteses,
m
as,para
nossa
facilidade
de
escrita,usarem
os
reticências.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
E
x
em
p
los:
a)
0,3333333...
=
0,3
b
)
1,6666666...
=
1,6
c)
12,121212...
=
12, 12
d
)
0,9999999...
=
0,9
e)
7,1333333...
=
7,1 3
U
m
a
d
ízim
a
p
erió
d
ica
é
sim
p
le
s
se
a
p
arte
d
ecim
al
é
form
ad
a
ap
en
as
p
elo
p
erío
d
o.
A
lgu
n
s
ex
em
p
los
são:
0,333333...
=
0,(3)
=
0,3
3,636363...
=
3,(63)
=
3,63
U
m
a
d
ízim
a
p
erió
d
ica
é
co
m
p
o
sta
se
p
ossu
i
u
m
a
p
arte
q
u
e
n
ão
se
rep
ete
en
tre
a
p
arte
in
teira
e
o
p
erío
d
o.
P
or
ex
em
p
lo:
0,83333333...
=
0,8
3
0,72535353...
=
0,7253
1.3.10.1
A
g
e
r
a
t
r
iz
d
e
u
m
a
d
íz
im
a
p
e
r
ió
d
ic
a
D
ada
um
a
dízim
a
p
eriódica,
qual
será
a
fração
que
dá
origem
a
esta
dízim
a?
É
p
ossível
determ
inar
a
fração
(núm
ero
racional)
que
deu
origem
a
um
a
dízim
a
p
eriódica.
E
sta
fração
é
cham
ada
de
geratriz
da
dízim
a
p
eriódica.
1.3.10.2
A
G
e
r
a
t
r
iz
d
e
u
m
a
D
íz
im
a
S
im
p
l
e
s
A
geratriz
d
e
u
m
a
d
ízim
a
sim
p
les
é
u
m
a
fração
q
u
e
tem
p
ara
n
u
m
erad
or
o
p
erío
d
o
e
p
ara
d
en
om
in
ad
or
tan
tos
n
oves
q
u
an
tos
forem
os
algarism
os
d
o
p
erío
d
o
(lem
b
ran
d
o
q
u
e
p
erío
d
o
é
a
p
arte
q
u
e
rep
ete).
E
x
em
p
los:
1
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
a)
0,777...
=
79
O
p
eríodo
é
o
valor
7,
que
é
form
ado
p
or
ap
enas
um
dígito,
p
or
isso,
ap
enas
um
algarism
o
9
no
denom
inador.
b
)
0,2323...
=
2399
O
p
eríodo
é
o
valor
23,que
é
form
ado
p
or
dois
dígitos,p
or
isso,tem
os
dois
algarism
os
9
no
denom
inador.
c)
3,7575...
=
3
+
0,7575...
=
3
+
7599
=
297
+
75
99
=
372
99
N
este
caso
tem
os
um
a
parte
inteira,
o
valor
3,separam
os
a
parte
inteira
da
racional,
geram
os
a
fração
da
parte
p
eriódica
e
então
fazem
os
a
som
a
das
duas
partes,
utilizando
M
M
C
.
1.3.10.3
A
G
e
r
a
t
r
iz
d
e
u
m
a
D
íz
im
a
C
o
m
p
o
s
t
a
A
geratriz
d
e
u
m
a
d
ízim
a
com
p
osta
é
u
m
a
fração
d
a
form
a
nd
,
on
d
e
n
é
form
ad
a
p
ela
p
arte
n
ão
p
erió
d
ica
segu
id
a
d
o
p
erío
d
o,
m
en
os
a
p
arte
n
ão
p
erió
d
ica.
d
tan
tos
n
oves
q
u
an
tos
forem
os
algarism
os
d
o
p
erío
d
o
segu
id
os
d
e
tan
tos
zeros
q
u
an
tos
forem
os
algarism
os
d
a
p
arte
n
ão
p
erió
d
ica.
E
x
em
p
los:
a)
0,12525...
=
125−
1
990
=
124
990
O
p
eríodo
é
o
valor
25,
que
é
form
ado
p
or
dois
dígitos
(25),
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
1,
assim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
125
(parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo)
m
enos
1
(parte
não
p
eriódica),
no
denom
inador
colocam
os
dois
noves,
referentes
ao
p
eríodo
(25)
e
um
zero
referente
à
parte
não
p
eriódica
(1).
b
)
0,04777...
=
047−
04
900
=
43
900
O
p
eríodo
é
o
valor
7,
que
é
form
ado
p
or
um
dígito
(7),
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
04,
assim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
47
(parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo)
m
enos
4
(parte
não
p
eriódica),
no
denom
inador
colocam
os
um
nove,
referentes
ao
p
eríodo
(7)
e
dois
zeros
referentes
à
parte
não
p
eriódica
(04).
c)
3,23555...
=
3
+
0,23555...
=
3
+
235−
23
900
=
3
+
212
900
=
2700
+
212
900
=
2912
900
N
este
caso
tem
os
um
a
parte
inteira,
o
valor
3,separam
os
a
parte
inteira
da
racional,
geram
os
a
fração
da
parte
p
eriódica
e
então
fazem
os
a
som
a
das
duas
partes,
utilizando
M
M
C
.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1.3.10.4
D
ic
a
Q
uando
tem
os
um
a
dízim
a
p
eriódica
com
parte
inteira
p
odem
os
utilizar
o
m
étodo
da
geratriz
para
dízim
a
com
p
osta,
com
a
diferença
que
para
a
parte
inteira
não
adicionam
os
zeros
ao
denom
inador.
E
x
em
p
los:
a)
3,7575...
=
375−
3
99
=
372
99
O
p
eríodo
é
o
valor
75
e
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
3,
que
neste
caso
é
inteiro.
A
ssim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
375,
que
representa
a
parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo
subtraím
os
a
parte
não
p
eriódica
3
e
no
denom
inador
colocam
os
dois
noves
que
referem
ao
núm
ero
de
algarism
os
do
p
eríodo
e
não
adicionam
os
zeros
p
ois
a
parte
p
eriódica
não
é
inteira.
b
)
3,23555...
=
3235−
323
900
=
2912
900
O
p
eríodo
é
o
valor
5
e
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
323,
que
neste
caso
contém
um
núm
ero
inteiro
(3).
A
ssim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
3235,que
representa
a
parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo
subtraíndo
a
parte
não
p
eriódica
(323)
e
no
denom
inador
colocam
os
um
nove
que
refere
ao
núm
ero
de
algarism
os
do
p
eríodo
(5)
e
adicionam
os
som
ente
dois
zeros,
p
ois
a
parte
p
eriódica
é
form
ada
p
or
um
a
parte
inteira
e
outra
não
inteira,
a
parte
não
inteira
é
o
valor
23
com
dois
algarism
os
e
p
or
isso
tem
os
dois
zeros
no
denom
inador.
1
.4
N
ú
m
e
r
o
s
Ir
r
a
c
io
n
a
is
C
om
o
já
pudem
os
ver
os
racionais
são
aqueles
núm
eros
que
p
odem
ser
escritos
em
form
a
de
fração,
onde
o
num
erador
é
um
núm
ero
inteiro
e
o
denom
inador
tam
b
ém
é
um
núm
ero
inteiro
diferente
de
zero.
A
ssim
,
aqueles
núm
eros
que
não
conseguim
os
escrevê-los
em
form
a
de
fração
são
cham
ados
de
núm
eros
irracionais.
O
conjunto
dos
núm
eros
irracionais
é
form
ado
p
elos
núm
eros
decim
ais
não-exatos,
não
p
eriódicos
e
raízes
não-exatas.
T
am
b
ém
aparecem
neste
conjunto
algum
as
constantes
b
em
conhecidas
com
o
o
núm
ero
pi
e
o
núm
ero
de
E
uler
(e=
2,718).
2
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.5.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
E
A
IS
1
.5
N
ú
m
e
r
o
s
R
e
a
is
Q
ualquer
núm
ero
racional
ou
irracional
é
cham
ado
de
núm
ero
real.
P
odem
os
dizer,
p
ortanto
que
núm
ero
real
é
todo
núm
ero
decim
al,
finito
ou
infinito.
D
esta
form
a,
todo
o
núm
ero
que
conhecem
os
é
um
núm
ero
real.
1
.6
P
o
t
e
n
c
ia
ç
ã
o
A
p
otên
cia
é
u
m
p
ro
d
u
to
d
e
fatores
igu
ais
à
b
ase,
sen
d
o
tom
ad
os
tan
tos
fatores
q
u
an
to
for
o
ex
p
o
en
te.
a
n
=
n
f
a
t
o
r
e
s
︷
︸︸
︷
a×
···×
a,
on
d
e
a
é
a
b
ase
e
n
é
o
ex
p
o
en
te.
E
x
em
p
lo
:
2
5
=
5
fa
to
res
︷
︸︸
︷
2×
2×
2×
2×
2
=
32,
onde
2
é
a
base,
5
o
exp
oente
e
32
a
p
otência
(resultado
da
op
eração
p
otenciação).
1
.6
.1
A
l
g
u
m
a
s
P
a
r
t
ic
u
l
a
r
id
a
d
e
s
P
otên
cia
com
ex
p
o
en
te
ím
p
ar:
con
serva
sin
al
d
a
b
ase
S
im
b
olicam
en
te:
(−
a
)
m
=
−
a
m
e/ou
a
m
=
a
m
P
otên
cia
com
ex
p
o
en
te
p
ar:
resu
ltad
o
p
ositivo
S
im
b
olicam
en
te:
(−
a
)
m
=
a
m
e/ou
a
m
=
a
m
E
x
em
p
los:
a)
11
3
=
11×
11×
11
=
1331
b
)
3
2
=
3×
3
=
9
c)
(−
3)
2
=
(−
3)×
(−
3)
=
9
d
)
10
4
=
10×
10×
10×
10
=
10000
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
e)
(−
10)
4
=
(−
10)×
(−
10)×
(−
10)×
(−
10)
=
10000
f)
4
3
=
4×
4×
4
=
64
g
)
(−
4)
3
=
(−
4)×
(−
4)×
(−
4)
=
−
64
h
)
7
3
=
7×
7×
7
=
343
i)
(−
7)
3
=
(−
7)×
(−
7)×
(−
7)
=
−
343
1
.6
.2
C
o
n
v
e
n
ç
õ
e
s
C
onsideram
os
2
1,
3
1,
4
1,
5
1,
...,2
0,
3
0,
4
0,
5
0,
...,
com
o
p
otências
e
convencionam
os:
2
1
=
2,
3
1
=
3,
4
1
=
4,
5
1
=
5,
...,2
0
=
1,
3
0
=
1,
4
0
=
1,
5
0
=
1,
...,
isto
é:
Q
u
alq
u
er
n
ú
m
ero
elevad
o
ao
ex
p
on
te
1
(u
m
)
é
igu
al
à
b
ase.
S
im
b
olicam
en
te:
a
1
=
a
E
x
em
p
los:
a)
5
1
=
5
b
)
8
1
=
8
c)
(−
3)
1
=
−
3
d
)
(−
7)
1
=
−
7
Q
u
alq
u
er
n
ú
m
ero,
d
iferen
te
d
e
0,
elevad
o
ao
ex
p
on
te
0
(zero)
é
igu
al
à
1(u
m
).
S
im
b
olicam
en
te:
a
0
=
1,
a6=
0
O
B
S
:
N
ão
ex
iste
0
0
E
x
em
p
los:
a)
5
0
=
1
b
)
8
0
=
1
c)
(−
3)
0
=
1
d
)
(−
7)
0
=
1
1
.6
.3
O
u
t
r
a
s
C
o
n
v
e
n
ç
õ
e
s
P
otên
cia
d
e
b
ase
0(zero)
e
ex
p
o
en
te
d
iferen
te
d
e
zero
é
igu
al
a
0.
S
im
b
olicam
en
te:
0
n
=
0,
n
6=
0
O
B
S
:
N
ão
ex
iste
0
0
2
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.6.
P
O
T
E
N
C
IA
Ç
Ã
O
E
x
em
p
los:
a)
0
2
=
0
b
)
0
3
=
0
c)
0
4
=
0
d
)
0
5
=
0
U
m
a
p
otên
cia
d
e
b
ase
1
é
sem
p
re
1
S
im
b
olicam
en
te:
1
n
=
1
E
x
em
p
los:
a)
1
2
=
1
b
)
1
3
=
1
c)
1
4
=
1
d
)
1
5
=
1
Q
u
alq
u
er
p
otên
cia
d
e
10
é
igu
al
ao
algarism
o
1
segu
id
o
d
e
tan
tos
zeros
q
u
an
tas
forem
as
u
n
id
ad
es
d
o
ex
p
o
en
te.
S
im
b
olicam
en
te:
10
0
=
1,
10
1
=
10,
10
2
=
100,
10
3
=
1000,
...
E
x
em
p
los:
a)
10
0
=
1
b
)
10
1
=
10
c)
10
2
=
100
d
)
10
3
=
1000
e)
10
4
=
10000
f)
10
5
=
100000
g
)
10
6
=
1000000
h
)
10
7
=
10000000
i)
10
8
=
100000000
1
.6
.4
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
d
a
P
o
t
e
n
c
ia
ç
ã
o
A
s
propriedades
seguintes
são
válidas
para
p
otências
com
base
p
ertencente
aos
núm
eros
reais
e
exp
oente
inteiro.
1.6.4.1
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
d
e
P
o
t
ê
n
c
ia
s
d
e
M
e
s
m
a
B
a
s
e
B
asta
con
servar
a
b
ase
e
som
ar
os
ex
p
o
en
tes:
S
im
b
olicam
en
te:
a
m
·
a
n
=
a
m
+
n
E
x
em
p
los:
a)
10
4×
10
3
=
10
4
+
3
=
10
7
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
b
)
a×
a
4×
a
2
=
a
1
+
4
+
2
=
a
7
c)
(−
7)
2×
(−
7)
=
(−
7)
2
+
1
=
(−
7)
3
d
)
(−
3)
2×
(−
3)
1×
(−
3)
0
=
(−
3)
2
+
1
+
0
=
(−
3)
3
=
−
27
1.6.4.2
D
iv
is
ã
o
d
e
P
o
t
ê
n
c
ia
s
d
e
M
e
s
m
a
B
a
s
e
B
asta
con
servar
a
b
ase
e
su
b
trair
os
ex
p
o
en
tes:
S
im
b
olicam
en
te:
a
m
÷
a
n
=
a
m
−
n
E
x
em
p
los:
a)
2
5÷
2
3
=
2
5−
3
=
2
2
=
4
b
)
10
6÷
10
2
=
10
6−
2
=
10
4
=
10000
c)
(−
3)
6÷
(−
3)
3
=
(−
3)
6−
3
=
(−
3)
3
=
−
27
d
)
(−
7)
1
0÷
(−
7)
8
=
(−
7)
1
0−
8
=
(−
7)
2
=
49
1.6.4.3
P
o
t
ê
n
c
ia
d
e
P
o
t
ê
n
c
ia
s
d
e
M
e
s
m
a
B
a
s
e
B
asta
con
servar
a
b
ase
e
m
u
ltip
licar
os
ex
p
o
en
tes:
S
im
b
olicam
en
te:
(a
m
)
n
=
a
m
×
n
E
x
em
p
los:
a)
(2
2)
3
=
2
2×
3
=
2
6
=
64
b
)
(2 −
2)
(−
5
)
=
2
(−
2
)×
(−
5
)
=
2
1
0
=
1024
c)
(10
2)
3
=
10
2×
3
=
10
6
=
1000000
d
)
(3
3)
3
=
3
3×
3
=
3
9
=
19683
1.6.4.4
P
o
t
ê
n
c
ia
c
o
m
E
x
p
o
e
n
t
e
N
e
g
a
t
iv
o
T
o
d
o
n
ú
m
ero
elevad
o
a
u
m
ex
p
o
en
te
n
egativo
é
igu
al
a
u
m
a
fração
on
d
e
o
n
u
m
erad
or
é
sem
p
re
a
u
n
id
ad
e
e
o
d
en
om
in
ad
or
é
o
m
esm
o
n
ú
m
ero
elevad
o
ao
m
esm
o
ex
p
o
en
te,
p
orém
com
sin
al
p
ositivo.
S
im
b
olicam
en
te:
a −
m
= (
1a )
m
,
a6=
0
2
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.7.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
N
U
M
É
R
IC
A
S
E
x
em
p
los:
a)
3 −
2
=
13 2
=
19
b
)
(−
4) −
3
=
1
(−
4)
3
=
−
164
c)
5 −
3
=
15 3
=
1125
d
)
(−
2) −
6
=
1
(−
2)
6
=
164
T
o
d
a
fração
elevad
a
a
u
m
ex
p
o
en
te
n
egativo
é
igu
al
à
su
a
fração
in
versa
elevad
a
ao
ex
p
o
en
te
p
ositivo.
S
im
b
olicam
en
te: (
ab )
−
m
= (
ba )
m
,
a
,b6=
0
E
x
em
p
los:
a) (
25 )
−
2
= (
52 )
2
=
254
b
) (
23 )
−
1
= (
32 )
1
=
32
c) (
−
34 )
−
3
= (
−
43 )
3
=
−
6427
d
) (
−
58 )
−
2
= (
−
85 )
2
=
−
6425
1
.7
E
x
p
r
e
ssõ
e
s
N
u
m
é
r
ic
a
s
N
o
cotidiano,
m
uitas
vezes
usam
os
expressões
sem
p
erceb
er
que
as
m
esm
as
representam
expressões
num
éricas.
N
um
a
pap
elaria,quando
calculam
os
o
preço
de
um
caderno
som
ado
ao
preço
de
duas
canetas,
usam
os
expressões
com
o
1,90
+
2×
2,50,
onde
5,90
representa
o
preço
do
caderno
e
2,50
o
preço
de
cada
caneta.
E
x
p
ressão
n
u
m
érica
é
u
m
a
seq
ü
en
cia
d
e
op
eraçõ
es
fu
n
d
am
en
tais:
d
iv
isão,
m
u
ltip
licação,
su
b
tração
e
ad
ição,
q
u
e
p
o
d
em
ser
agru
p
ad
as
com
o
u
so
d
e
p
arên
teses,
colch
etes
e
ch
aves.
U
m
a
ex
p
ressão
é
d
ita
n
u
m
érica
q
u
an
d
o
p
ossu
i
ap
en
as
n
ú
m
eros
em
su
as
op
eraçõ
es.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
P
ara
calcular
corretam
ente
qualquer
expressão
num
érica,
é
necessário
ob
edecer
algum
as
prioridades.
E
ntão,
devem
os
ter
em
m
ente
que
devem
os
fazer
os
cálculos
na
seguinte
ordem
:
1
o:
P
arênteses
(
);
2
o:
C
olchetes
[
];
3
o:
C
haves
{
};
4
o:
P
otência
e/ou
raiz,
na
ordem
em
que
aparecem
;
5
o:
M
ultiplicação
e/ou
divisão,
na
ordem
em
que
aparecem
;
6
o:
Som
a
e/ou
subtração,
na
ordem
em
que
aparecem
.
E
x
em
p
lo
1
:
2
+
{
5[3−
(5−
10)
+
1]+
4}−
3
D
e
acordo
com
a
ordem
apresentada,
devem
os
com
eçar
com
a
op
eração
que
se
encontra
dentro
dos
parênteses:
5−
10
=
−
5,
ficando
assim
a
expressão:
2
+
{
5[3−
(−
5)
+
1]+
4}−
3
C
om
o
tem
os
um
sinal
negativo
do
lado
de
fora
do
parênteses,
tem
os
de
inverter
o
sinal
de
dentro,
deixando
a
expressão
da
seguinte
form
a:
2
+
{
5[3
+
5
+
1]+
4}−
3
Seguindo
a
ordem
estab
elecida,
tem
os
de
resolver
as
op
erações
que
estão
dentro
dos
colchetes:
2
+
{
5[9]+
4}−
3
C
om
o
não
é
apresentado
nenhum
sinal
antes
do
colchete,
trata-se
de
um
a
m
ultiplicação,
5[9]
=
5×
9
=
45,
assim
:
2
+
{
45
+
4}−
3
A
próxim
a
op
eração
a
ser
feita
é
a
que
se
encontra
dentro
das
chaves:
2
+
{
49}−
3
C
om
o
o
sinal
do
lado
de
fora
das
chaves
é
p
ositivo,
conserva-se
o
sinal
de
dentro:
2
+
49−
3
A
gora,
resolve-se
prim
eiro
a
adição,
p
ois
esta
aparece
em
prim
eiro
lugar:
51−
3
e
p
or
últim
o
a
subtração,
dando
assim
o
resultado
da
expressão:
48
2
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
E
x
em
p
lo
2
: [(
12 )(
−
23 )
− (
−
43 )]
2÷ (
32 )
−
1
R
esolve-se
prim
eiro
a
m
ultiplicação
entre
parênteses
e
o
parênteses
que
se
encontra
ap
ós
o
sinal
de
divisão:
[(
−
26 )
− (
−
43 )]
2÷ (
23 )
Sim
plifica-se
a
fração
26
p
or
2,
restando
13 :
[(
−
13 )
− (
−
43 )]
2÷ (
23 )
R
etira-se
os
parênteses,
sinal
p
ositivo
m
antém
sinal
de
dentro
e
sinal
negativo
inverte-se
sinal
de
dentro:
[−
13
+
43 ]
2÷ (
23 )
R
esolve-se
a
subtração
[
33 ]
2÷ (
23 )
Sim
plifica-se
a
fração
33 ,
chegando-se
ao
resultado
1:
[
1 ]
2÷ (
23 )
E
leva-se
o
1
ao
exp
oente
2
resultando
ao
próprio
1:
1÷
23
D
ivisão
com
fração,
m
antém
-se
a
prim
eira
e
m
ultiplica-se
p
ela
segunda
invertida:
11 ×
32
F
az-se
a
m
ultiplicação
direta,
num
erador
p
or
num
erador
e
denom
inador
p
or
denom
inador,
e
assim
chegam
os
ao
resultado
final:
32
1
.8
R
a
z
õ
e
s
e
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
1
.8
.1
R
a
z
õ
e
s
A
nalise
as
situações
seguintes:
S
itu
ação
1
:
R
icardo,
M
aria
C
láudia
e
N
ivaldo
colecionam
selos.
O
álbum
do
R
icardo
tem
240
selos,
o
de
M
aria
C
láudia
tem
120
e
o
de
N
ivaldo
tem
40.
E
stá
claro
que
R
icardo
p
ossui
m
ais
selos
que
M
aria
C
láudia
e
esta
m
ais
que
N
ivaldo.
O
núm
ero
de
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
selos
de
R
icardo
é
o
dobro
de
M
aria
C
láudia,
ou
seja,
o
quociente
entre
o
núm
ero
de
selos
dele
e
dela
é
2.
n
o¯
selos
d
e
R
ica
rd
o
n
o¯
selos
d
e
M
.
C
la´
u
d
ia
=
240
120
=
2
O
núm
ero
de
M
aria
C
láudia
é
o
triplo
do
de
N
ivaldo,
ou
seja,
o
quociente
entre
os
núm
eros
de
selos
dela
e
dele
é:
n
o¯
selos
d
e
M
.
C
la´
u
d
ia
n
o¯
selos
d
e
N
iv
a
ld
o
=
120
40
=
3
N
os
dois
casos
observam
os
que
o
quociente
indica
m
uito
b
em
quanto
um
a
coleção
é
m
aior
que
a
outra.
S
itu
ação
2
:
U
m
autom
óvel
A
,m
ovido
a
gasolina,consom
e
24
litros
de
com
bustível
para
ir
de
um
a
cidade
a
outra.
U
m
autom
óvel
B
,
m
ovido
a
álcool
gasta
36
litros
de
com
bustível
para
fazer
o
m
esm
o
p
ercurso.
É
evidente
que
B
gasta
m
ais
que
A
,
m
as
quanto?
O
quociente
entre
o
com
bustível
gasto
p
or
B
e
p
or
A
:
a´
lcool
d
e
B
g
a
solin
a
d
e
A
=
3624
=
1,5
O
quociente
indica
que
para
cada
litro
de
com
bustível
gasto
p
or
A
,
o
carro
B
gasta
1,5
litros
de
com
bustível.
O
C
arro
A
,em
relação
à
quantidade
de
com
bustível
gasto,
é
m
ais
econôm
ico
que
o
B
.
P
udem
os
notar
nas
duas
situações
anteriores
que
o
quociente
de
um
núm
ero
p
or
outro
serve
m
uito
b
em
para
com
pará-los.
N
a
M
atem
ática
o
quociente
de
dois
núm
eros
é
cham
ado
de
ra
zã
o.
R
azão
en
tre
d
u
as
gran
d
ezas
é
o
q
u
o
cien
te
in
d
icad
o
d
os
n
ú
m
eros
q
u
e
m
ed
em
essas
gran
d
ezas
n
u
m
a
m
esm
a
u
n
id
ad
e.
A
razão
de
dois
núm
eros
ou
a
razão
entre
dois
núm
eros
é
indicada
p
or
a
:
b
ou
ab
que
se
lê
“razão
de
a
para
b
"ou
“razão
entre
a
e
b
"ou
“a
está
para
b
".
O
prim
eiro
núm
ero
é
cham
ado
de
an
teced
en
te
e
o
segundo
de
con
seq
ü
en
te.
1.8.1.1
R
a
z
õ
e
s
E
q
u
iv
a
l
e
n
t
e
s
D
izem
os
que
as
razões,
12
,
24
,
36
,
510
,
...
2
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
são
equivalentes
e
se
indica:
12
∼
24
∼
36
∼
510
E
stas
razões
são
equivalentes
p
ois
indicam
a
m
esm
a
relação,
ou
seja,
ao
obterm
os
um
núm
ero
decim
al
(dividirm
os
num
erador
p
or
denom
inador)
encontrarem
os
o
m
esm
o
valor.
E
x
em
p
lo
:
C
alcular
a
razão
equivalente
a
25
cujo
conseqüente
seja
30.
Solução:
25
=
x30
P
erceb
e-se
que
o
denom
inador
foi
m
ultiplicado
p
or
6,
então
para
se
obter
a
razão
equivalente
a
25
basta
m
ultiplicar
o
num
erador
tam
b
ém
p
or
6:
25
=
2×
6
5×
6
=
1230
1
.8
.2
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
A
razão
de
12
para
4
e
124
,
que
é
igual
a
3.
A
razão
de
18
para
6
e
186
,
que
é
igual
a
3.
A
ssim
sendo,
as
razões
124
e
186
exprim
em
o
m
esm
o
quociente
3.
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
as
razões
124
e
186
são
iguais,
ou
seja,
124
=
186
.
D
u
as
razõ
es
são
igu
ais
q
u
an
d
o
elas
ex
p
ressam
q
u
o
cien
tes
igu
ais.
U
m
a
igualdade
entre
duas
razões
é
cham
ada
um
a
prop
orção.
P
or
exem
plo,
as
razões
124
e
186
são
iguais.
A
igualdade
124
=
186
é
um
a
prop
orção
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
D
ad
o
q
u
atro
n
ú
m
eros
a,
b,
c
e
d,
to
d
os
d
iferen
tes
d
e
zero,
d
izem
os
q
u
e
form
am
n
essa
ord
em
u
m
a
p
ro
p
o
rç
ã
o
q
u
an
d
o
a
razão
ab
é
igu
al
à
razão
cd ,
ou
seja:
ab
=
cd
L
ê-se
“a
está
p
ara
b
assim
com
o
c
está
p
ara
d
”.
1.8.2.1
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
F
u
n
d
a
m
e
n
t
a
l
d
a
s
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
T
om
em
os
p
or
exem
plo,
a
prop
orção
124
=
186
,
sab
em
os
que
para
reconhecer
a
validade
ou
não
de
um
a
prop
orção,
usam
os
a
propriedade
de
que
“nas
razões
iguais,
os
produtos
do
antecedente
de
um
a
p
elo
conseqüente
da
outra
são
iguais”,
ou,
“o
produto
das
m
ultiplicações
cruzadas
são
iguais”,
logo:
12
�� ❄
❄ ❄
❄ ❄
❄ ❄
❄ ❄
❄ ❄
18
⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧
4
6
12×
6
︸︷︷︸
e
x
tr
e
m
o
s
=
4×
18
︸ ︷︷︸
m
e
io
s
E
sta
propriedade,
que
serve
para
reconhecer
a
validade
ou
não
de
um
a
prop
orção,
é
cham
ada
de
p
ro
p
ried
a
d
e
fu
n
d
a
m
en
ta
l
e
p
ode
ser
assim
enunciada:
E
m
to
d
a
p
rop
orção
ab
=
cd
o
p
ro
d
u
to
d
os
ex
trem
os
(a×
d)
é
igu
al
ao
p
ro
d
u
to
d
os
m
eios
(b×
c),
ou
seja,
(a×
d
)
=
(b×
c).
1.8.2.2
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
G
e
r
a
is
d
a
s
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
V
am
os
ver
nesta
seção
algum
as
propriedades
das
prop
orções
que
p
odem
ser
úteis
na
resolução
de
exercícios.
1
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
som
a
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
prim
eiro
term
o
assim
com
o
a
som
a
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
terceiro.
E
m
sím
b
olos:
3
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
se
ab
=
cd
,
então
a
+
b
a
=
c
+
d
c
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7
+
2
7
=
21
+
6
21
,
ou
seja,
97
=
2721
2
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
som
a
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
segundo
term
o
assim
com
o
a
som
a
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
quarto.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a
+
b
b
=
c
+
d
d
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7
+
2
2
=
21
+
6
6
,
ou
seja,
92
=
276
3
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
diferença
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
prim
eiro
term
o
assim
com
o
a
diferença
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
terceiro.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a−
b
a
=
c−
d
c
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7−
2
7
=
21−
6
21
,
ou
seja,
57
=
1521
4
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
diferença
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
segundo
term
o
assim
com
o
a
diferença
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
quarto.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a−
b
b
=
c−
d
d
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7−
2
2
=
21−
6
6
,
ou
seja,
52
=
156
5
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
som
a
dos
antecedentes
está
para
a
som
a
dos
conseqüentes
assim
com
o
qualquer
antecedente
está
para
o
seu
conseqüente.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a
+
c
b
+
d
=
ab
e
a
+
c
b
+
d
=
cd
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7
+
21
2
+
6
=
72
,
ou
seja,
288
=
72
6
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,a
diferença
dos
antecedentes
está
para
a
diferença
dos
conseqüentes
assim
com
o
qualquer
antecedente
está
para
o
seu
conseqüente.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a−
c
b−
d
=
ab
e
a−
c
b−
d
=
cd
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7−
21
2−
6
=
72
,
ou
seja, −
14
−
4
=
72
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1.8.2.3
N
ú
m
e
r
o
s
D
ir
e
t
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
O
bserve
os
núm
eros
da
sucessão,
2,6,10,18
O
bserve
agora
os
núm
eros
da
sucessão
1,3,5,9
V
ocê
notou
certam
ente
que
os
núm
eros
da
prim
eira
sucessão
são
exatam
ente
os
dobros
dos
núm
eros
da
segunda,
ou
seja,
o
quociente
de
cada
term
o
da
prim
eira
sucessão
p
elo
tem
o
corresp
ondente
da
segunda
é
sem
pre
o
m
esm
o
(é
2).
21
=
63
=
105
=
189
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
os
núm
eros
da
sucessão
2,
6,
10,
18
são
d
ireta
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is
aos
núm
eros
da
sucessão
1,
3,
5,
9
e
que
o
fator
de
prop
orcionalidade
é
2.
O
s
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a
,b,c,d
,e,...
são
d
ire
ta
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
aos
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a ′,b ′,c ′,d ′,e ′,...
q
u
an
d
o
as
razõ
es
(os
q
u
o
cien
tes)
d
e
cad
a
term
o
d
a
p
rim
eira
su
cessão
p
elo
term
o
corresp
on
d
en
te
d
a
segu
n
d
a
su
cessão
são
to
d
os
igu
ais:
aa ′
=
bb ′
=
cc ′
=
dd ′
=
ee ′
=
...
O
valor
d
esses
q
u
o
cien
tes
é
ch
am
ad
o
fa
to
r
d
e
p
ro
p
o
rc
io
n
a
lid
a
d
e.
1.8.2.4
N
ú
m
e
r
o
s
In
v
e
r
s
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
O
bserve
os
núm
eros
da
sucessão,
2,3,4,6
3
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
O
bserve
agora
os
núm
eros
da
sucessão
12,8,6,4
V
ocê
notou
certam
ente
que
o
produto
de
cada
term
o
da
prim
eira
sucessão
p
elo
term
o
corresp
ondente
da
segunda
é
sem
pre
o
m
esm
o
(é
24).
2×
12
=
3×
8
=
4×
6
=
6×
4
N
ote
ainda
que
o
quociente
de
cada
term
o
da
prim
eira
sucessão
p
elo
inverso
do
term
o
da
segunda
é
sem
pre
o
m
esm
o:
2112
=
318
=
416
=
614
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
os
núm
eros
da
sucessão
2,
3,
4,
6
são
in
versa
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is
aos
núm
eros
da
sucessão
12,
8,
6,
4
e
que
o
fator
de
prop
orcionalidade
é
24.
O
s
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a
,b,c,d
,e,...
são
in
v
e
rsa
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
aos
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a ′,b ′,c ′,d ′,e ′,...
q
u
an
d
o
os
p
ro
d
u
tos
d
e
cad
a
term
o
d
a
p
rim
eira
su
cessão
p
elo
term
o
corresp
on
d
en
te
d
a
segu
n
d
a
su
cessão
são
to
d
os
igu
ais:
a×
a ′
=
b×
b ′
=
c×
c ′
=
d×
d ′
=
e×
e ′
=
...
O
valor
d
esses
p
ro
d
u
tos
é
ch
am
ad
o
fa
to
r
d
e
p
ro
p
o
rc
io
n
a
lid
a
d
e.
N
ote
q
u
e
isto
eq
u
ivale
a
afi
rm
ar:
as
razõ
es
(q
u
o
cien
tes)
d
e
cad
a
term
o
d
a
p
rim
eira
su
cessão
p
elo
in
verso
d
o
term
o
corresp
on
d
en
te
d
a
segu
n
d
a
su
cessão
são
to
d
as
igu
ais:
a1a ′
=
b1b ′
=
c1c ′
=
d1d ′
=
e1e ′
=
...
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1
.8
.3
G
r
a
n
d
e
z
a
s
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
1.8.3.1
G
r
a
n
d
e
z
a
s
D
ir
e
t
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
P
ense
na
seguinte
situação:
R
enata
está
na
padaria
do
“seu
Joaquim
”
e
pretende
com
prar
uns
biscoitos
deliciosos
que
custam
R
$
2,00
cada.
Q
uanto
R
enata
vai
gastar?
B
em
,
tudo
vaidep
ender
do
núm
ero
de
biscoitos
com
prados.
A
tab
ela
abaixo
m
ostra
com
o
p
odem
variar
o
núm
ero
de
biscoitos
e
o
preço.
n
o¯
de
biscoitos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
preço(R
$)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
V
ocê
observa
que
o
núm
ero
de
biscoitos
que
R
enata
p
ode
com
prar
é
va
riá
vel
e
que
R
enata
p
ode
gastar
um
a
quantia
va
riá
vel.
E
ntretanto,
você
observa
que
a
quantia
gasta
é
sem
pre
igual
ao
núm
ero
de
biscoitos
com
prados
vezes
2.
A
razão
entre
o
núm
ero
de
biscoitos
e
seu
preço
é
sem
pre
a
m
esm
a:
12
=
24
=
36
=
48
=
···
=
1224
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
a
gra
n
d
eza
núm
ero
de
biscoitos
e
a
gra
n
d
eza
preço
dos
biscoitos
são
gra
n
d
eza
s
d
ireta
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is.
D
u
as
gran
d
ezas
variáveis
são
ch
am
ad
as
d
e
g
ra
n
d
e
za
s
d
ire
ta
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
q
u
an
d
o
a
razão
en
tre
os
valores
d
a
p
rim
eira
gran
d
eza
e
os
valores
corresp
on
d
en
tes
d
a
segu
n
d
a
é
sem
p
re
a
m
esm
a.
1.8.3.2
G
r
a
n
d
e
z
a
s
In
v
e
r
s
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
P
ense
agora
na
seguinte
situação:
R
enata
com
prou
120
biscoitos
na
padaria
do
“seu
Joaquim
”,
levou
para
casa
e
distribuiu
para
os
irm
ãos,
dando
a
m
esm
a
quantidade
para
todos.
Q
uantos
biscoitos
cada
um
ganhou?
A
qui
tam
b
ém
a
resp
osta
vai
dep
ender
do
núm
ero
de
irm
ãos
de
R
enata.
A
tab
ela
abaixo
m
ostra
com
o
varia
o
núm
ero
de
biscoitos
dep
endendo
do
núm
ero
de
irm
ãos.
3
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.9.
R
E
G
R
A
D
E
T
R
Ê
S
n
o¯
de
irm
ãos
1
2
3
4
5
6
n
o¯
de
biscoitos
120
60
40
30
24
20
V
ocê
observa
que
o
núm
ero
de
biscoitos
dados
a
cada
irm
ão
é
va
riá
vel
e
que
o
núm
ero
de
irm
ãos
que
R
enata
p
ode
ter
tam
b
ém
é
va
riá
vel.
E
ntretanto,
você
observa
que
o
núm
ero
de
irm
ãos
vezes
o
núm
ero
de
biscoitos
dados
a
cada
um
é
sem
pre
120:
1×
120
=
2×
60
=
3×
40
=
4×
30
=
5×
24
=
6×
20
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
a
gra
n
d
eza
núm
ero
de
irm
ãos
e
a
gra
n
d
eza
núm
ero
de
biscoitos
são
gra
n
d
eza
s
in
versa
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is.
D
u
as
gran
d
ezas
variáveis
são
ch
am
ad
as
d
e
g
ra
n
d
e
za
s
in
v
e
rsa
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
q
u
an
d
o
a
p
ro
d
u
to
en
tre
os
valores
d
a
p
rim
eira
gran
d
eza
e
os
valores
corresp
on
d
en
tes
d
a
segu
n
d
a
é
sem
p
re
a
m
esm
o.
1
.9
R
e
g
r
a
d
e
T
r
ê
s
M
uitas
vezes
estam
os
diante
de
problem
as
que
envolvem
grandezas
diretam
ente
ou
inversam
ente
prop
orcionais.
P
ara
sua
resolução
é
m
uito
im
p
ortante
conhecer
a
regra
prática
cham
ada
regra
d
e
três.
1
.9
.1
R
e
g
r
a
d
e
T
r
ê
s
S
im
p
l
e
s
É
um
a
regra
prática
que
nos
p
erm
ite
com
parar
duas
grandezas
prop
orcionais,
A
e
B
,
relacionando
dois
valores
de
A
e
dois
valores
de
B
.E
ssas
grandezas
form
am
um
a
prop
orção
em
que
se
conhecem
três
term
os
e
o
quarto
é
o
procurado.
A
regra
de
três
sim
ples
consiste
em
m
ontarm
os
um
a
tab
ela,
colocando
cada
coluna,
ordenadam
ente,
os
valores
da
m
esm
a
grandeza
e,
daí,
obterm
os
um
a
equação.
E
ssa
equação
terá
“a
m
esm
a
form
a”
da
tab
ela
quando
as
grandezas
forem
diretam
ente
prop
orcionais.
N
o
caso
de
grandezas
inversam
ente
prop
orcionais,
a
“m
ontagem
”
da
equação
será
feita
invertendo-se
a
razão
de
um
a
das
grandezas.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
E
x
em
p
lo
1
:
C
inco
m
etros
de
um
tecido
custam
R
$
8,00.
Q
uanto
custam
nove
m
etros
desse
m
esm
o
tecido?
com
prim
ento(m
)
preço(R
$)
59 y
8x y
A
s
grandezas
consideradas
são
diretam
ente
prop
orcionais
(aum
entando-se
o
com
prim
ento,
aum
enta-se
tam
b
ém
o
preço,
p
or
esse
m
otivo
as
setas
ficaram
para
o
m
esm
o
lado).
D
aí:
59
=
8x
⇒
5x
=
9·8
⇒
5x
=
72
⇒
x
=
725
⇒
x
=
R
$
14,40
E
x
em
p
lo
2
:
T
rês
torneiras
com
pletam
ente
ab
ertas
enchem
um
tanque
em
1
hora
e
30
m
inutos.
Q
uantas
torneiras
iguais
a
essas
seriam
necessárias
para
encher
o
m
esm
o
tanque
em
54
m
inutos?
tem
p
o(m
in)
n
o¯
de
torneiras
9054 x
3x y
A
s
grandezas
consideradas
são
inversam
ente
prop
orcionais
(dim
inuindo-se
o
tem
p
o
para
encher
o
tanque,
precisa-se
de
m
ais
torneiras,
p
or
esse
m
otivo
as
setas
ficaram
um
a
para
cim
a
e
outra
para
baixo).
D
aí:
5490
=
3x
⇒
54x
=
90·3
⇒
54x
=
270
⇒
x
=
270
54
⇒
x
=
5
torn
eira
s
E
x
em
p
lo
3
:
A
produção
de
um
a
tecelagem
é
de
8000
m
etros
de
tecido/dia.
C
om
a
adm
issão
de
m
ais
300
op
erários,
a
indústria
passou
a
produzir
14000
m
etros
de
tecido/dia.
Q
ual
era
então
o
núm
ero
de
op
erários
antes
da
adm
issão?
C
ham
arem
os
de
x
o
núm
ero
de
funcionários
antes
da
adm
issão.
n
o¯
de
op
erários
m
etros/dia
x
x
+
300 y
8000
14000 y
A
s
grandezas
consideradas
são
diretam
ente
prop
orcionais
(aum
entando-se
a
produção
aum
enta-se
o
n
o¯
de
op
erários,
p
or
esse
m
otivo
as
setas
ficaram
para
o
m
esm
o
lado).
D
aí:
8000
14000
=
x
x
+
300
⇒
14000x
=
8000·
(x
+
300)
⇒
14000x
=
8000x
+
2400000
⇒
6000x
=
2400000
⇒
x
=
2400000
6000
⇒
x
=
400
opera´
rios
3
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.9.
R
E
G
R
A
D
E
T
R
Ê
S
E
x
em
p
lo
4
:
P
ara
transp
ortar
certo
volum
e
de
areia
para
um
a
construção
foram
utilizados
30
cam
inhões,
carregados
com
4m
3
de
areia
cada
um
.
A
dquirindo-se
cam
inhões
com
capacidade
para
5m
3
de
areia,quantos
cam
inhões
seriam
necessários
para
fazer
tal
serviço?
n
o¯
de
cam
inhões
m
3
de
areia
30x y
45 x
A
s
grandezas
consideradas
são
inversam
ente
prop
orcionais
(aum
entando-se
a
quantidade
de
m
3
de
areia
transp
ortada
p
or
cada
cam
inhão,
precisar-se-á
de
m
enos
cam
inhões
para
o
serviço,
p
or
esse
m
otivo
as
setas
ficaram
para
lados
op
ostos).
D
aí:
30x
=
54
⇒
5x
=
30·
4
⇒
5x
=
120
⇒
x
=
1205
⇒
x
=
24
ca
m
in
h
o˜es
1
.9
.2
R
e
g
r
a
d
e
T
r
ê
s
C
o
m
p
o
s
t
a
É
um
a
regra
prática
utilizada
na
resolução
de
problem
as
envolvendo
um
a
grandeza
com
p
osta
1.
A
regra
de
três
com
p
osta
é
realizada
da
seguinte
m
aneira:
•
M
ontam
os
um
a
tab
ela,
colocando
em
cada
coluna,
ordenadam
ente,
os
valores
de
cada
grandeza.
•
V
erificam
os
se
a
grandeza
que
contém
a
incógnita
(x)com
p
orta-se
com
prop
orcionalidade
direta
ou
inversa,
em
relação
a
cada
um
a
das
outras
(quando
sup
õe-se
constantes
as
dem
ais
grandezas).
•
C
aso
haja
dep
endência
inversa,
invertem
os
os
elem
entos
da
resp
ectiva
coluna.
•
M
ontam
os
a
equação,
relacionando
a
grandeza
que
contém
a
variável
x
com
as
dem
ais
grandezas.
E
x
em
p
lo
1
:
T
rês
op
erários,trabalhando
durante
6
dias,produzem
400
p
eças.
Q
uantas
p
eças
desse
m
esm
o
tip
o
produzirão
sete
op
erários,
trabalhando
9
dias?
n
o¯
de
op
erários
n
o¯
de
dias
n
o¯
de
p
eças
37
69
400
x
V
am
os
com
parar
a
grandeza
que
contém
a
variável
“n
o¯
de
p
eças”
a
cada
um
a
das
outras:
•
P
rim
eiram
ente
colocarem
os
um
a
seta
na
variável
“n
o¯
de
p
eças”.
1É
u
m
a
gran
d
eza
qu
e
varia
em
d
ep
en
d
ên
cia
com
d
u
as
ou
m
ais
gran
d
ezas
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
n
o¯
de
op
erários
n
o¯
de
dias
n
o¯
de
p
eças
37
69
400
x y
•
Sup
ondo
o
n
o¯
de
dias
constante,
ou
seja,
com
o
se
o
n
o¯
de
dias
não
estivesse
presente
no
problem
a,
assim
com
o
n
o¯
de
op
erários
aum
entando
o
n
o¯
de
p
eças
produzidas
tam
b
ém
aum
enta,
p
or
isso,
estas
grandezas
são
diretam
ente
prop
orcionais
e
as
setas
ficam
para
o
m
esm
o
lado.
n
o¯
de
op
erários
n
o¯
de
p
eças
37 y
400
x y
•
Sup
ondo
o
n
o¯
de
op
erários
constante,
ou
seja,
desconsidere
a
existência
desta
variável,
com
o
n
o¯
de
dias
aum
entando
o
n
o¯
de
p
eças
produzidas
tam
b
ém
aum
enta,
p
or
isso,
estas
grandezas
são
diretam
ente
prop
orcionais
e
as
setas
ficam
para
o
m
esm
o
lado.
n
o¯
de
dias
n
o¯
de
p
eças
69 y
400
x y
•
Juntando
todas
as
variáveis,
tem
os:
n
o¯
de
op
erários
n
o¯
de
dias
n
o¯
de
p
eças
37 y
69 y
400
x y
•
P
ara
resolver
o
problem
a
colocam
os
em
form
a
de
fração
os
dados
relativos
a
variável
que
contém
a
incógnita
“x
”
e
igualam
os
à
m
ultiplicação
em
fração
das
outras
variáveis,
seguindo
a
direção
das
setas,
deste
m
odo:
400
x
=
37 ×
69
•
A
gora
é
só
resolver
e
achar
o
valor
de
“x
”:
400
x
=
37 ×
69
⇒
400
x
=
1863
⇒
18x
=
63·400
⇒
18x
=
25200
⇒
x
=
25200
18
⇒
x
=
1400
p
eças.
E
x
em
p
lo
2
:
U
m
ciclista
p
ercorre
120
km
em
2
dias,
dirigindo
3
horas
p
or
dia.
E
m
quantos
dias
p
ercorrerá
500
km
viajando
5
horas
p
or
dia?
km
rodado
horas
p
or
dia
n
o¯
de
dias
120
500
35
2x
•
V
am
os
com
parar
a
grandeza
que
contém
a
variável
“n
o¯
de
dias”
a
cada
um
a
das
outras,
p
or
isso
colocarem
os
um
a
seta
nesta
variável:
3
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.10.
P
O
R
C
E
N
T
A
G
E
M
km
rodado
horas
p
or
dia
n
o¯
de
dias
120
500
35
2x y
•
Sup
ondo
o
a
quantidade
de
horas
viajada
p
or
dia
constante,
com
o
n
o¯
de
km
aum
entando
o
n
o¯
de
dias
tam
b
ém
aum
enta,
p
or
isso,
estas
grandezas
são
diretam
ente
prop
orcionais
e
as
setas
ficam
para
o
m
esm
o
lado.
km
rodado
n
o¯
de
dias
120
500 y
2x y
•
Sup
ondo
o
n
o¯
de
km
constante,com
o
n
o¯
de
horas
viajadas
p
or
dia
aum
entando
o
n
o¯
de
dias
para
p
ercorrer
o
m
esm
o
p
ercurso
dim
inui,p
or
isso,estas
grandezas
são
inversam
ente
prop
orcionais
e
as
setas
ficam
para
lados
op
ostos.
horas
p
or
dia
n
o¯
de
dias
35 x
2x y
•
Juntando-se
todas
as
variáveis
tem
os:
km
rodado
horas
p
or
dia
n
o¯
de
dias
120
500 y
35 x
2x y
•
P
ara
resolverm
os
o
problem
a
colocam
os
os
dados
referentes
à
variável
que
contém
a
incógnita
“x
”
e
igualam
os
as
outras
seguindo
a
direção
das
setas,
assim
igualam
os
o
n
o¯
de
dias
à
m
ultiplicação
do
n
o¯
de
km
rodados
p
elo
inverso
do
n
o¯
de
horas
p
or
dia,
assim
:
2x
=
120
500 ×
53
•
A
gora
é
só
resolver
e
achar
o
valor
de
“x
”:
2x
=
120
500 ×
53
⇒
2x
=
600
1500
⇒
600x
=
2·
1500
⇒
600x
=
3000
⇒
x
=
3000
600
⇒
x
=
5
dias.
1
.1
0
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
Sab
em
os
que
cada
núm
ero
racional
p
ode
ser
representado
p
or
m
uitas
frações,
todas
equivalentes
entre
si.
P
or
exem
plo,
as
frações:
12
,
24
,
36
,
48
,
510
,...
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
são
diferentes
form
as
de
representar
o
m
esm
o
núm
ero
racional.
Sab
em
os
tam
b
ém
que
cada
núm
ero
racional
p
ode
ser
representado
p
or
um
núm
ero
decim
al.
P
or
exem
plo:
12
=
0,5,
34
=
0,75,
35
=
0,6,
47
100
=
0,47
A
passagem
da
fração
para
o
num
erador
decim
al
é
feita
dividindo-se
o
num
erador
p
elo
denom
inador
da
fração.
P
or
sua
vez,cada
num
eraldecim
alequivale
a
um
a
fração
decim
al,
ou
seja,
a
um
a
fração
cujo
denom
inador
é
um
a
p
otência
de
10.
0,5
=
510
,
0,25
=
25
100
,
0,6
=
610
,
0,47
=
47
100
1
.1
0
.1
T
a
x
a
P
e
r
c
e
n
t
u
a
l
É
m
uito
freqüente
ouvir-se
frases
com
estas:
“G
rande
liqüidação,
40%
de
desconto...”
“E
m
tal
país,
o
índice
de
alfab
etização
é
de
90%
...”
“E
m
m
eu
serviço,
ganho
10%
de
com
issão...”
A
prim
eira
sentença
significa
que
sobre
cada
R
$
100,00
de
com
pras
é
feita
um
a
redução
de
R
$
40,00;
a
segunda,
em
cada
100
habitantes
do
país,
90
são
alfab
etizados;
a
terceira,
sobre
cada
R
$
100,00
da
m
ercadoria
vendida
ganho
R
$
10,00,...
U
m
a
fração
cu
jo
d
en
om
in
ad
or
é
100,
é
ch
am
ad
a
d
e
fra
ç
ã
o
ce
n
te
sim
a
l.
São
exem
plos
de
frações
centesim
ais:
7100
,
19
100
,
30
100
,
80
100
,
115
100
,
201
100
É
claro,
que
as
frações
centesim
ais
(com
o
qualquer
fração)
p
odem
ser
representadas
p
or
num
erais
decim
ais.
P
or
exem
plo,
as
frações
acim
a
p
odem
ser
assim
representadas:
0,07
0,19
0,30
0,80
1,15
2,01
4
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.10.
P
O
R
C
E
N
T
A
G
E
M
E
xiste,
entretanto,
um
a
outra
form
a
de
representar
as
frações
centesim
ais,
m
uito
usada
no
com
ércio
e
nas
atividades
econôm
icas
em
geral,
que
é
a
seguinte:
7100
=
7%
(leia:
sete
p
or
cento)
19
100
=
19%
(leia:
dezenove
p
or
cento)
30
100
=
30%
(leia:
trinta
p
or
cento)
115
100
=
115%
(leia:
cento
e
quinze
p
or
cento)
201
100
=
201%
(leia:
duzentos
e
um
p
or
cento)
C
ada
um
dos
num
erais
7%
,
19%
,
30%
,
etc
é
cham
ado
de
taxa
p
orcentual.
A
s
taxas
p
orcentuais
p
odem
não
ser
dadas
p
or
núm
eros
inteiros.
E
x
em
p
los:
3,5%
4,7%
62,3%
.
N
esses
casos
devem
os
dar
a
seguinte
interpretação:
3,5%
=
3,5
100
=
35
1000
4,7%
=
4,7
100
=
47
1000
62,3%
=
62,3
100
=
623
1000
1
.1
0
.2
P
r
o
b
l
e
m
a
s
d
e
P
o
r
c
e
n
t
a
g
e
m
O
s
problem
as
de
p
orcentagem
são
resolvidos
p
or
m
eio
de
um
a
regra
de
três
sim
ples
e
direta.
E
x
em
p
lo
1
:
A
o
com
prar
um
a
televisão
de
R
$
1000,00,
obtive
um
desconto
de
12%
.
Q
ual
foi
o
desconto?
E
ste
problem
a
é
equivalente
a
este
outro:
“Q
uanto
é
12%
de
R
$
1000,00?
P
ara
resolver
este
problem
a
form
a-se
a
seguinte
regra
de
três:
R
$
%
1000
x y
100
12 y
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1000
x
=
100
12
⇒
100x
=
1000×
12
⇒
100x
=
12000
⇒
x
=
12000
100
⇒
x
=
120
reais
de
desconto
.
E
x
em
p
lo
2
:
A
o
com
prar
um
ob
jeto
cujo
preço
era
de
R
$
200,00,
obtive
um
desconto
de
R
$
30,00.
Q
ual
foi
a
taxa
de
desconto?
E
ste
problem
a
é
equivalente
a
este
outro:
“R
$
30,00
é
quanto
de
R
$
200,00?”
P
ara
resolver
este
problem
a
form
a-se
a
seguinte
regra
de
três:
R
$
%
200
30 y
100
x y
200
x
=
100
x
⇒
200x
=
30×
100
⇒
200x
=
3000
⇒
x
=
3000
200
⇒
x
=
15%
.
E
x
em
p
lo
3
:
A
o
com
prar
um
ob
jeto
obtive
o
desconto
de
R
$
80,00.
Q
ual
o
preço
do
ob
jeto
se
a
taxa
de
desconto
é
20%
?
E
ste
problem
a
é
equivalente
a
este
outro:
“R
$
80,00
é
20%
de
que
quantia?”
F
orm
ando
um
a
regra
de
três
sim
ples:R
$
%
80x y
20
100 y
80x
=
20
100
⇒
20x
=
80×
100
⇒
20x
=
8000
⇒
x
=
8000
20
⇒
x
=
400
reais.
1
.1
1
E
x
p
r
e
ssõ
e
s
A
l
g
é
b
r
ic
a
s
1
.1
1
.1
M
o
n
ô
m
io
o
u
T
e
r
m
o
A
l
g
é
b
r
ic
o
T
o
d
o
p
ro
d
u
to
d
e
n
ú
m
eros
reais,
ex
p
resso
ou
n
ão
p
or
variáveis
(letras);
é
ch
am
ad
o
e
x
p
re
ssã
o
m
o
n
ô
m
ica
ou
ab
rev
iad
am
en
te
m
on
ôm
io
ou
te
rm
o
a
lg
é
b
rico.
4
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
A
ssim
,
são
m
onôm
ios
ou
term
os
algébricos:
3x
;
a
2b;−
10x
y
2;
12
a
;−
34
x
y
; √
2x
N
um
m
onôm
io
destacam
os:
a)
o
fator
constante
ou
parte
num
érica,
cham
ado
co
efi
cien
te
n
u
m
érico
.
b
)
a
variávelou
produto
das
variáveis,inclusive
seus
exp
oentes,cham
ado
p
arte
literal.
A
ssim
,
p
or
exem
plo:
M
onôm
io
C
oeficiente
P
arte
L
iteral
2x
2
x
3a
b
3
a
b
−
5x
2
-5
x
2
12 a
2b
2c
12
a
2b
2c
C
om
o
1
é
o
elem
ento
neutro
da
m
ultiplicação,
tem
os:
+
1x
=
x
−
1a
=
−
a
+
1x
y
2
=
x
y
2
−
1a
2b
3
=
−
a
2b
3
O
bservações:
a)
Se
um
m
onôm
io
tem
coeficiente
zero,
representa
sem
pre
o
núm
ero
real
zero,
neste
caso,
receb
e
o
nom
e
de
m
on
ôm
io
n
u
lo
.
E
x
em
p
los:
0x
=
0;
0a
2b
=
0;
0x
y
3
=
0
b
)
T
odo
núm
ero
real
é
um
m
onôm
io
sem
parte
literal.
E
x
em
p
los:
2;−
12 ; √
3
c)
D
ois
m
onôm
ios
são
iguais
se
têm
o
m
esm
o
valor
num
érico
para
quaisquer
valores
dados
às
variáveis.
E
x
em
p
los:
3x
2y
e
62 y
x
2
D
ois
ou
m
ais
m
on
ôm
ios
ou
term
os
são
ch
am
ad
os
sem
elh
an
tes
q
u
an
d
o
têm
a
m
esm
a
p
arte
literal
ou
n
ão
têm
p
arte
literal.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
A
ssim
,
os
m
onôm
ios
a
seguir
são
sem
elhantes
p
ois
têm
a
m
esm
a
parte
literal:
2x
e−
3x
2a
2b;−
12 a
2b;−
5a
2b
−
4x
3;
2x
3;−
34 x
3
2pq
2
e−
75 pq
2
a
m
;−
2a
m
;−
13 a
m
8;
9;
15
O
s
m
onôm
ios,
a
seguir,
não
são
sem
elhantes
p
ois
não
têm
a
m
esm
a
parte
literal:
2x
2
e
3x
5a
2b
e
5a
b
−
12 x
3y
2
e
2x
2y
3
1
.1
1
.2
O
p
e
r
a
ç
õ
e
s
c
o
m
M
o
n
ô
m
io
s
1.11.2.1
A
d
iç
ã
o
P
ara
ad
icion
ar
term
os
sem
elh
an
tes,
som
am
os
os
co
efi
cien
tes
e
con
servam
os
a
p
arte
literal.
E
x
em
p
los:
a)
3x
+
7x
=
(3
+
7)x
=
10x
b
)
15y
+
23y
=
(15
+
23)y
=
38y
c)
2x
2
+
x
2
=
(2
+
1)x
2
=
3x
2
d
)
2a
b
+
35 a
b
=
(2
+
35 )a
b
=
1
35 a
b
1.11.2.2
S
u
b
t
r
a
ç
ã
o
P
ara
su
b
trairm
os
term
os
sem
elh
an
tes,
su
b
trairm
os
os
co
efi
cien
tes
e
con
servam
os
a
p
arte
literal.
E
x
em
p
los:
a)
3x−
7x
=
(3−
7)x
=
−
4x
b
)
10y−
3y
=
(10−
3)y
=
7y
c)
2x
2−
x
2
=
(2−
1)x
2
=
x
2
d
)
2a
b−
35 a
b
=
(2−
35 )a
b
=
75 a
b
4
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
1.11.2.3
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
P
ara
m
u
ltip
licarm
os
d
ois
m
on
ôm
ios
d
evem
os
ob
ed
ecer
a
segu
in
te
regra:
I)
C
alcu
la-se
o
p
ro
d
u
to
d
os
co
efi
cien
tes
n
u
m
éricos;
II)
C
alcu
la-se
o
p
ro
d
u
to
d
as
p
artes
literais,
ap
lican
d
o
a
p
rop
ried
ad
e
d
o
p
ro
d
u
to
com
p
otên
cias
d
e
m
esm
a
b
ase.
E
x
em
p
los:
a)
(5a
2b
3)·
(−
3a
b
2x
)
=
[(5)·
(−
3)]·[a
2·
a
]·[b
3·b
2]·x
=
−
15a
3b
5x
b
)
(−
6a
bc)·
(4a
2b)
=
[(−
6)·(4)]·
[a·a
2]·
[b·
b]·
c
=
−
24a
3b
2c
c)
(−
13 a
x
3)·
(−
12 a
4x
)
=
[(−
13 )·
(−
12 )]·
[a·a
4]·
[x
3·
x
]
=
16 a
5x
4
1.11.2.4
D
iv
is
ã
o
P
ara
d
iv
id
irm
os
d
ois
m
on
ôm
ios
d
evem
os
ob
ed
ecer
a
segu
in
te
regra:
I)
C
alcu
la-se
o
q
u
o
cien
te
d
os
co
efi
cien
tes
n
u
m
éricos;
II)
C
alcu
la-se
o
q
u
o
cien
te
d
as
p
artes
literais,
ap
lican
d
o
a
p
rop
ried
ad
e
d
o
q
u
o
cien
te
com
p
otên
cias
d
e
m
esm
a
b
ase.
E
x
em
p
los:
a)
(−
12a
5b
3)÷
(4a
2b
2)
=
[(−
12)÷
(4)]·
[a
5÷
a
2]·
[b
3÷
b
2]
=
−
3a
3b
b
)
(−
5x
3y
)÷
(−
2x
y
)
=
[(−
5)÷
(−
2)]·
[x
3÷
x
]·
[y÷
y
]
=
52 x
2
c)
(−
23 a
2bx
2)÷
(
43 a
bx
5)
=
[(−
23 )÷
(
43 )]·[a
2÷
a
]·[b÷
b]·[x
2÷
x
5]
=
[(−
23 )·(
34 )]·a·x −
3
=
−
a
2
x
3
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1.11.2.5
P
o
t
e
n
c
ia
ç
ã
o
P
ara
elevarm
os
à
u
m
a
p
otên
cia
u
m
m
on
ôm
io
d
evem
os
ob
ed
ecer
a
segu
in
te
regra:
I)
C
alcu
la-se
a
p
otên
cia
d
os
co
efi
cien
tes
n
u
m
éricos;
II)
C
alcu
la-se
a
p
otên
cia
d
as
p
artes
literais,
ap
lican
d
o
a
p
rop
ried
ad
e
d
a
p
otên
cia
d
e
u
m
a
p
otên
cia.
E
x
em
p
los:
a)
(−
2a
b
3x
2)
3
=
(−
2)
3·
(a
)
3·
(b
3)
3·
(x
2)
3
=
−
8a
3b
9x
6
b
)
(3x
2y
3)
3
=
(3)
3·
(x
2)
3·
(y
3)
3
=
27x
6y
9
c)
(−
x
2y
5z
3)
5
=
(−
x
2)
5·
(y
5)
5·(z
3)
5
=
−
x
1
0y
2
5z
1
5
1
.1
1
.3
P
o
l
in
ô
m
io
s
U
m
p
olin
ôm
io
é
u
m
a
ex
p
ressão
algéb
rica
form
ad
a
p
or
som
as
d
e
m
on
ôm
ios.
E
x
em
p
los:
a)
3x
+
7y
b
)
a
2
+
2a−
3b−
35
c)
2x
2−
8x−
1
1.11.3.1
A
d
iç
ã
o
d
e
P
o
l
in
ô
m
io
s
D
en
om
in
am
os
som
a
d
e
d
ois
ou
m
ais
p
olin
ôm
ios
ao
p
olin
ôm
io
q
u
e
se
ob
tém
ad
icion
an
d
o
to
d
os
os
term
os
d
os
p
olin
ôm
ios
d
ad
os.
Só
p
odem
os
adicionar
term
os
sem
elhantes
e,
essa
op
eração
será
feita
sobre
os
coeficientes,
m
antendo-se
a
parte
literal.
O
bserve
que,
se
não
houver
term
o
sem
elhante
para
op
erar,
ele
ap
enas
será
rep
etido.
4
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
1
o:
E
lim
inam
os
os
parênteses,
que
neste
caso
são
precedidos
p
elo
sinal
de
“m
ais”
(+
,
ou
sem
sinal)
conservando
os
sinais
dos
term
os
que
estão
dentro
dos
parênteses.
2
o:
R
eduzim
os
os
term
os
sem
elhantes.
E
x
em
p
lo
1
:
D
ados
os
p
olinôm
ios:
A
=
3a
+
4b−
c
e
B
=
a−
7b
+
8c,indicam
os
a
som
a
A
+
B
com
o
segue:
A
+
B
=
(3a
+
4b−
c)
+
(a−
7b
+
8c)
V
am
os
calcular
essa
som
a:
1
o:
E
lim
inar
os
parênteses:A
+
B
=
3a
+
4b−
c
+
a−
7b
+
8c
2
o:
R
eduzir
os
term
os
sem
elhantes:
A
+
B
=
(3a
+
a
)
+
(4b−
7b)
+
(−
c
+
8c)
A
+
B
=
4a−
3b
+
7c
C
olocando
em
um
a
form
a
prática,
observe
a
colocação
dos
term
os
sem
elhantes
um
sob
o
outro:
A
→
3a
+
4b
−
c
+
B
→
a
−
7b
+
8c
A
+
B
→
4a
−
3b
+
7c
E
x
em
p
lo
2
:
D
ados
os
p
olinôm
ios
A
=
x
2−
2x
+
1,
B
=
3x
2−
1,
C
=
−
2x
+
3,
vam
os
calcular
a
som
a
A
+
B
+
C
:
A
+
B
+
C
=
(x
2−
2x
+
1)
+
(3x
2−
1)
+
(−
2x
+
3)
=
x
2−
2x
+
1
+
3x
2−
1−
2x
+
3
=
(1
+
3)x
2
+
(−
2−
2)x
+
(1−
1
+
3)
=
4x
2−
4x
+
3
F
orm
a
prática:
A
→
x
2
−
2x
+
1
+
B
→
3x
2
−
1
+
C
→
−
2x
+
3
A
+
B
+
C
→
4x
2
−
4x
+
3
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1.11.3.2
S
u
b
t
r
a
ç
ã
o
d
e
P
o
l
in
ô
m
io
s
D
en
om
in
am
os
d
iferen
ça
d
e
d
ois
p
olin
ôm
ios
ao
p
olin
ôm
io
q
u
e
se
ob
tém
su
b
train
d
o
o
segu
n
d
o
d
o
p
rim
eiro.
C
om
o
na
adição,
a
subtração
tam
b
ém
só
p
ode
ser
feita
com
term
os
sem
elhantes,
sendo
essa
op
eração
feita
sobre
os
coeficientes,
m
antendo-se
a
parte
literal.
N
ovam
ente,
observe
que,
se
não
houver
term
o
sem
elhante
para
op
erar,
ele
ap
enas
será
rep
etido.
1
o:
E
lim
inam
os
os
parênteses,
que
neste
caso
são
precedidos
p
elo
sinal
de
“m
enos”
(−
),
trocando
os
sinais
de
todos
os
term
os
que
estão
dentro
dos
parênteses.
2
o:
R
eduzim
os
os
term
os
sem
elhantes.
E
x
em
p
lo
1
:
D
ados
os
p
olinôm
ios:
A
=
3a
+
4b−
c
e
B
=
a−
7b
+
8c,
indicam
os
a
subtração
A
−
B
com
o
segue:
A
−
B
=
(3a
+
4b−
c)−
(a−
7b
+
8c)
V
am
os
calcular
essa
som
a:
1
o:
E
lim
inar
os
parênteses:A
+
B
=
3a
+
4b−
c−
a
+
7b−
8c
2
o:
R
eduzir
os
term
os
sem
elhantes:
A
+
B
=
(3a−
a
)
+
(4b
+
7b)
+
(−
c−
8c)
A
+
B
=
2a−
11b−
9c
C
olocando
em
um
a
form
a
prática,
observe
a
colocação
dos
term
os
sem
elhantes
um
sob
o
outro:
A
→
3a
+
4b
−
c
−
B
→
−
a
+
7b
−
8c
A
+
B
→
2a
+
11b
−
9c
4
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
E
x
em
p
lo
2
:
D
ados
os
p
olinôm
ios
A
=
x
2−
2x
+
1,
B
=
3x
2−
1,
C
=
−
2x
+
3,
vam
os
calcular
a
som
a
A
−
B
−
C
:
A
−
B
−
C
=
(x
2−
2x
+
1)−
(3x
2−
1)−
(−
2x
+
3)
=
x
2−
2x
+
1−
3x
2
+
1
+
2x−
3
=
(1−
3)x
2
+
(−
2
+
2)x
+
(1
+
1−
3)
=
−
2x
2
+
0x−
1
=
−
2x
2−
1
F
orm
a
prática:
A
→
x
2
−
2x
+
1
−
B
→
−
3x
2
+
1
−
C
→
+
2x
−
3
A
−
B
−
C
→
−
2x
2
+
0x
−
1
A
−
B
−
C
→
−
2x
2
−
1
1.11.3.3
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
d
e
P
o
l
in
ô
m
io
s
M
o
n
ô
m
io
×
M
o
n
ô
m
io
O
p
ro
d
u
to
d
e
d
ois
m
on
ôm
ios
é
o
m
on
ôm
io
cu
jo
co
efi
cien
te
é
o
p
ro
d
u
to
d
os
co
efi
cien
tes
d
os
m
on
ôm
ios
d
ad
os
e
cu
ja
p
arte
literal
é
o
p
ro
d
u
to
d
as
p
artes
literais
d
eles.
E
x
em
p
los:
a)
(3x
2y
2)(2x
3)
=
3·
2·
x
2·
x
3·y
2
=
6x
5y
2
b
) (
65
a
b
2 )(
−
152
a
2b
3 )
=
65 · (
−
152 )
·
a·a
2·
b
2·
b
3
=
−
9010
a
3b
5
=
−
9a
3b
5
M
o
n
ô
m
io
×
P
o
lin
ô
m
io
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
N
a
m
u
ltip
licação
d
e
u
m
m
on
ôm
io
p
or
u
m
p
olin
ôm
io
ap
licam
os
a
p
rop
ried
ad
e
d
istrib
u
tiva:
m
u
ltip
licam
os
o
m
on
ôm
io
p
or
to
d
os
os
term
os
d
o
p
olin
ôm
io
e
ad
icion
am
os
os
resu
ltad
os.
E
x
em
p
lo
1
:
(3x
)·
(4x
+
5)
=
3x
66
88
·
(
4x
+
5
)
=
3x·
4x
+
3x·
5
=
12x
2
+
15x
E
x
em
p
lo
2
:−
x
2·
(x
2−
3x
+
4)
=
−
x
2
66
55
66
·
(
x
2
−
3x
+
4
)
=
(−
x
2·
x
2)
+
(−
x
2)·
(−
3x
)
+
(−
x
2)·
4
=
−
x
4
+
3x
3−
4x
2
P
o
lin
ô
m
io
×
P
o
lin
ô
m
io
P
ara
m
u
ltip
licarm
os
d
ois
p
olin
ôm
ios,
m
u
ltip
licam
os
cad
a
term
o
d
e
u
m
d
eles
p
or
to
d
os
os
term
os
d
o
ou
tro
e
ad
icion
am
os
os
resu
ltad
os.
O
p
olin
ôm
io
ob
tid
o
é
d
en
om
in
ad
o
p
ro
d
u
to
d
os
p
olin
ôm
ios
d
ad
os.
E
x
em
p
lo
1
:
(2x
+
3)·
(3x−
4)
=
(
2x
55
66
+
3
&&
&&
)
·
(
3x
−
4
)
=
2x·
3x
+
2x·
(−
4)
+
3·
3x
+
3·
(−
4)
=
6x
2−
8x
+
9x−
12
=
6x
2
+
x−
12
5
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
E
x
em
p
lo
2
:
(x
2−
2)·
(x
2
+
3x−
1)
=
(
x
2
55
55
66
−
2
&&
''
&&
)
·
(
x
2
+
3x
−
1
)
=
x
2·
x
2
+
x
2·3x
+
x
2·
(−
1)
+
(−
2)·
x
2
+
(−
2)·
3x
+
(−
2)·(−
1)
=
x
4
+
3x
3−
x
2−
2x
2−
6x
+
2
=
x
4
+
3x
3−
3x
2−
6x
+
2
1
.1
1
.4
P
r
o
d
u
t
o
s
N
o
t
á
v
e
is
P
ro
d
u
tos
n
otáveis
são
resu
ltad
os
d
e
m
u
ltip
licaçõ
es
d
e
p
olin
ôm
ios
em
q
u
e
a
resp
osta
é
con
h
ecid
a
sem
ser
n
ecessário
realizar
a
m
u
ltip
licação
term
o
a
term
o.
1.11.4.1
Q
u
a
d
r
a
d
o
d
a
S
o
m
a
d
e
D
o
is
T
e
r
m
o
s
O
quadrado
da
som
a
de
dois
term
os
a
e
b
é
indicado
p
or:
(a
+
b)
2.
P
ara
fazer
esse
cálculo
basta
m
ultiplicar
a
+
b
p
or
a
+
b:
(a
+
b)
2
=
(
a
77
77
+
b
$$
$$
)
·
(
a
+
b
)
=
a·
a
+
a·b
+
b·a
+
b·
b
=
a
2
+
a
b
+
ba
+
b
2
C
om
o
a
b
=
ba,
tem
os
a
b
+
a
b
=
2a
b,
assim
:
=
a
2
+
2a
b
+
b
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
R
egra
P
rática
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2a
b
+
b
2
1 o¯
term
o
2 o¯
term
o
qu
a
d
ra
d
o
d
u
a
s
v
ezes
qu
a
d
ra
d
o
d
o
o
prod
u
to
d
o
1 o¯
term
o
d
os
term
os
2 o¯
term
o
D
aqui
p
odem
os
tirar
a
seguinte
regra:
O
q
u
ad
rad
o
d
a
som
a
d
e
d
ois
term
os
é
igu
al
ao
q
u
ad
rad
o
d
o
p
rim
eiro,
m
a
is
d
u
as
vezes
o
p
ro
d
u
to
d
o
p
rim
eiro
p
elo
segu
n
d
o,
m
ais
o
q
u
ad
rad
o
d
o
segu
n
d
o.
E
x
em
p
los:
a)
(x
+
3)
2
=
x
2
+
2·
x·3
+
3
2
=
x
2
+
6x
+
9
b
)
(2x
+
1)
2
=
(2x
)
2
+
2·2x·
1
+
1
2
=
4x
2
+
4x
+
1
c)
(5x
+
3y
)
2
=
(5x
)
2
+
2·
2x·
3y
+
(3y
)
2
=
25x
2
+
30x
y
+
9y
2
d
)
(2x
y
+
4)
2
=
(2x
y
)
2
+
2·
2x
y·
4
+
4
2
=
4x
2y
2
+
16x
y
+
16
1.11.4.2
Q
u
a
d
r
a
d
o
d
a
D
if
e
r
e
n
ç
a
d
e
D
o
is
T
e
r
m
o
s
O
quadrado
da
diferença
de
dois
term
os
a
e
b
é
indicado
p
or:
(a−
b)
2.
P
ara
fazer
esse
cálculo
basta
m
ultiplicar
a−
b
p
or
a−
b:
(a−
b)
2
=
(
a
66
77
−
b
$$
$$
)
·
(
a
−
b
)
=
a·
a
+
a·
(−
b)
+
(−
b)·
a
+
(−
b)·
(−
b)
=
a
2−
a
b−
ba
+
b
2
C
om
o
a
b
=
ba,
tem
os−
a
b−
a
b
=
−
2a
b,
assim
:
=
a
2−
2a
b
+
b
2
5
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
R
egra
P
rática
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2a
b
+
b
2
1 o¯
term
o
2 o¯
term
o
qu
a
d
ra
d
o
d
u
a
s
v
ezes
qu
a
d
ra
d
o
d
o
o
prod
u
to
d
o
1 o¯
term
o
d
os
term
os
2 o¯
term
o
D
aqui
p
odem
os
tirar
a
seguinte
regra:
O
q
u
ad
rad
o
d
a
som
a
d
e
d
ois
term
os
é
igu
al
ao
q
u
ad
rad
o
d
o
p
rim
eiro,
m
e
n
o
s
d
u
as
vezes
o
p
ro
d
u
to
d
o
p
rim
eiro
p
elo
segu
n
d
o,
m
ais
o
q
u
ad
rad
o
d
o
segu
n
d
o.
E
x
em
p
los:
a)
(x−
3)
2
=
x
2−
2·x·
3
+
3
2
=
x
2−
6x
+
9
b
)
(2x−
1)
2
=
(2x
)
2−
2·
2x·
1
+
1
2
=
4x
2−
4x
+
1
c)
(5x−
3y
)
2
=
(5x
)
2−
2·
2x·
3y
+
(3y
)
2
=
25x
2−
30x
y
+
9y
2
d
)
(2x
y−
4)
2
=
(2x
y
)
2−
2·
2x
y·4
+
4
2
=
4x
2y
2−
16x
y
+
16
1.11.4.3
P
r
o
d
u
t
o
d
a
S
o
m
a
P
e
l
a
D
if
e
r
e
n
ç
a
d
e
D
o
is
T
e
r
m
o
s
O
produto
da
som
a
p
ela
diferença
de
dois
term
os
a
e
b
é
indicado
p
or:
(a
+
b)·
(a−
b).
P
ara
fazer
esse
cálculo
basta
m
ultiplicar
a
+
b
p
or
a−
b:
(a
+
b)·
(a−
b)
=
(
a
77
77
+
b
$$
$$
)
·
(
a
−
b
)
=
a·
a
+
a·(−
b)
+
b·
a
+
(−
b)·
(b)
=
a
2−
a
b
+
ba−
b
2
C
om
o
a
b
=
ba,
tem
os−
a
b
+
a
b
=
0,
assim
:
=
a
2−
b
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
R
egra
P
rática
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
1 o¯
term
o
2 o¯
term
o
qu
a
d
ra
d
o
qu
a
d
ra
d
o
d
o
d
o
1 o¯
term
o
2 o¯
term
o
D
aqui
p
odem
os
tirar
a
seguinte
regra:
O
p
ro
d
u
to
d
a
som
a
p
ela
d
iferen
ça
d
e
d
ois
term
os
é
igu
al
ao
q
u
ad
rad
o
d
o
p
rim
eiro
m
e
n
o
s
o
q
u
ad
rad
o
d
o
segu
n
d
o
term
o.
E
x
em
p
los:
a)
(x
+
3)(x−
3)
=
x
2−
3
2
=
x
2−
9
b
)
(2x
+
1)(2x−
1)
=
(2x
)
2−
1
2
=
4x
2−
1
c)
(5x
+
3y
)(5x−
3y
)
=
(5x
)
2−
(3y
)
2
=
25x
2−
9y
2
d
)
(2x
y
+
4)(2x
y−
4)
=
(2x
y
)
2−
4
2
=
4x
2y
2−
16
1
.1
1
.5
F
a
t
o
r
a
ç
ã
o
P
ara
fatorar
um
p
olinôm
io
precisam
os
descobrir
quais
fatores
devem
ser
m
ultiplicados
de
m
odo
que
o
resultado
seja
o
p
olinôm
io
dado.
a
form
a
fatorada
é
o
produto
indicado
desses
fatores.
F
atorar
u
m
a
ex
p
ressão
algéb
rica
con
siste
em
tran
sform
ar
essa
ex
p
ressão
n
u
m
p
ro
d
u
to
d
e
p
olin
ôm
ios
ou
d
e
p
olin
ôm
ios
e
m
on
ôm
ios.
E
studarem
os
a
seguir
alguns
casos
de
fatoração
de
p
olinôm
ios.
5
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
1.11.5.1
F
a
t
o
r
C
o
m
u
m
e
m
E
v
id
ê
n
c
ia
O
bserve
o
p
olinôm
io
a
b
+
a
c.
E
le
é
form
ado
de
dois
term
os
a
b
e
a
c
que
apresentam
em
com
um
o
fator
a.
P
ela
propriedade
distributiva,
sab
em
os
que:
a
b
+
a
c
=
a·
(b
+
c)
O
produto
a·(b
+
c)
é
a
fo
rm
a
fa
to
ra
d
a
do
p
olinôm
io
dado.
N
a
form
a
fatorada,dizem
os
que
o
fa
to
r
co
m
u
m
a
está
colocado
em
e
v
id
ê
n
c
ia
.
Q
u
an
d
o
os
term
os
d
e
u
m
p
olin
ôm
io
ap
resen
tam
u
m
fator
com
u
m
,
p
o
d
em
os
colo
cá-lo
em
ev
id
ên
cia
ob
ten
d
o
u
m
a
form
a
fatorad
a
d
o
p
olin
ôm
io.
E
x
em
p
lo
1
:
V
am
os
fatorar
k
x
+
k
y
+
k
z.
O
fator
com
um
a
todos
os
term
os
é
k.
D
ividindo
o
p
olinôm
io
p
or
k,
obtem
os:
x
+
y
+
z
C
olocando
k
em
evidência,
tem
os:
k
x
+
k
y
+
k
z
=
k·
(x
+
y
+
z)
P
ara
verificarm
os
se
estam
os
corretos,
basta
efetuar
a
m
ultiplicação
k·(x
+
y
+
z).
k·
(x
+
y
+
z)
=
k
99
<<
;;
·
(
x
+
y
+
z
)
=
k
x
+
k
y
+
k
z
E
x
em
p
lo
2
:
F
atorar
x
2
+
3x.
x
2
+
3x
=
x
·
(
x
+
3
)
f
a
tor
x
2
:
x
3x
:
x
com
u
m
E
x
em
p
lo
3
:
F
atorar
20a
2x
4
+
12a
3x
2−
4a
4x.
P
ara
fazer
a
fatoração
com
pleta
é
preciso
colocar
todos
os
fatores
com
uns
em
evidência.
Se
caso
um
a
variável
aparecer
em
todos
os
term
os
com
exp
oentes
diferentes,ela
é
p
osta
em
evidência
elevada
ao
m
enor
exp
oente
apresentado.
Q
uando
há
coeficientes
num
éricos,
costum
am
os
colocar
o
M
D
C
(M
áxim
o
D
ivisor
C
om
um
)
em
evidência.
E
ssas
observações
são
m
ostradas
a
seguir:
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
20a
2x
4
+
12a
3x
2−
4a
4x
=
4a
2x
·
(
5x
3
+
3a
x
−
a
2
)
f
a
tor
20a
2x
4
4a
2x
12a
3x
2
4a
2x
4a
4x
4a
2x
com
u
m
1.11.5.2
A
g
r
u
p
a
m
e
n
t
o
P
o
d
em
os
fatorar
certos
p
olin
ôm
ios
agru
p
an
d
o
os
seu
s
term
os
d
e
tal
m
an
eira
q
u
e:
1
o:
em
cad
a
gru
p
o
h
a
ja
u
m
fator
com
u
m
;
2
o:
fatoran
d
o
cad
a
gru
p
o,
ob
serva-se
q
u
e
eles
ap
resen
tam
u
m
n
ovo
fator
com
u
m
q
u
e,
ao
ser
colo
cad
o
em
ev
id
ên
cia,
com
p
leta
a
fatoração.
O
bserve
os
term
os
do
p
olinôm
io:
a
x−
m
x
+
a
y−
m
y
O
s
dois
prim
eiros
term
os
apresentam
o
fator
com
um
x
e
os
dois
últim
os
o
fator
com
um
y.
V
am
os
agrupar
os
term
os
colocando
em
evidência
os
fatores
com
uns:
(a
x−
m
x
)
+
(a
y−
m
y
)
=
x·
(a−
m
)
+
y·
(a−
m
)
T
em
os
a
som
a
de
dois
produtos.
N
esses
produtos,
(a−
m
)
é
o
fator
com
um
.
C
olocando
(a−
m
)
em
evidência
tem
os:
(a−
m
)·
(x
+
y
)
E
x
em
p
lo
1
:
F
atorar:
a
x
+
a
y
+
bx
+
by
a
x
+
a
y
+
bx
+
by
=
(a
x
+
a
y
)
+
(bx
+
by
)
=
a·
(x
+
y
)
+
b·
(x
+
y
)
=
(x
+
y
)·
(a
+
b)
E
x
em
p
lo
2
:
F
atorar:
x
2
+
x
y−
x−
y
x
2
+
x
y−
x−
y
=
(x
2−
x
)
+
(x
y−
y
)
=
x·
(x−
1)
+
y·
(x−
1)
=
(x−
1)·
(x
+
y
)
5
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
E
x
em
p
lo
3
:
F
atorar:
a
x−
a−
3x
+
3
a
x−
a−
3x
+
3
=
(a
x−
a
)−
(3x−
3)
=
a·
(x−
1)−
3·
(x−
1)
=
(x−
1)·
(a−
3)
L
em
bre-se
que
efetuando
a
m
ultiplicação
indicada,o
resultado
deve
dar
o
p
olinôm
io
inicial.
U
se
esse
fato
para
verificar
se
a
resp
osta
está
correta.
1.11.5.3
D
if
e
r
e
n
ç
a
d
e
D
o
is
Q
u
a
d
r
a
d
o
s
V
ocê
sab
e
quando
um
m
onôm
io
é
quadrado
p
erfeito?
U
m
m
on
ôm
io
é
d
en
om
in
ad
o
q
u
ad
rad
o
p
erfeito
q
u
an
d
o
ele
é
igu
al
ao
q
u
ad
rad
o
d
e
ou
tro
m
on
ôm
io.
E
x
em
p
los:
1
)
x
2
é
quadrado
p
erfeito,
p
ois
x
2
=
(x
)
2.
2
)
16a
2
é
quadrado
p
erfeito,
p
ois
16a
2
=
(4a
)
2.
3
)
y
4
é
quadrado
p
erfeito,
p
ois
y
4
=
(y
2)
2.
4
)
x
4y
1
2
é
quadrado
p
erfeito,
p
ois
x
4y
1
2
=
(x
2y
6)
2.
A
expressão
a
2−
b
2
representa
a
diferença
de
dois
quadrados
a
2
e
b
2.
A
diferença
de
dois
quadrados
é
um
produto
notável.
Sab
em
os
que
a
2−
b
2
é
igual
ao
produto
da
som
a
(a
+
b)
p
ela
diferença
(a−
b),
isto
é:
a
2−
b
2
=
(a
+
b)·
(a−
b)
A
ssim
,
(a
+
b)·(a−
b)
é
a
form
a
fatorada
de
a
2−
b
2.
A
form
a
fatorad
a
d
e
u
m
a
d
iferen
ça
d
e
q
u
ad
rad
os
é
o
p
ro
d
u
to
d
a
som
a
p
ela
d
iferen
ça
d
as
b
ases
d
ele
n
a
ord
em
d
ad
a
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
E
x
em
p
lo
1
:
a
2−
b
2
a
2−
b
2
=
(a
+
b)(a−
b)
E
x
em
p
lo
2
:
x
2−
9
x
2−
9��
=
x
2−
3
2
=
(x
+
3)(x−
3)
3
2
E
x
em
p
lo
3
:
16a
2−
1
16a
2
��
−
1��
=
(4a
)
2−
1
2
=
(4a
+
1)(4a−
1)
(4a
)
2
1
2
E
x
em
p
lo
4
:
a
4−
b
4
a
4��
−
b
4��
=
(a
2)
2−
(b
2)
2
=
(a
2
+
b
2)(a
2−
b
2)
=
(a
2
+
b
2)(a
+
b)(a−
b)
(a
2)
2
(b
2)
2
1.11.5.4
T
r
in
ô
m
io
Q
u
a
d
r
a
d
o
P
e
r
f
e
it
o
O
trinôm
io
a
2
+
2a
b
+
b
2
é
denom
inado
trinôm
io
quadrado
p
erfeito,
p
orque
é
igual
ao
quadrado
do
binôm
io
a
+
b:
a
2
+
2a
b
+
b
2
=
(a
+
b)
2
O
trinôm
io
a
2−
2a
b
+
b
2
tam
b
ém
é
um
trinôm
io
quadrado
p
erfeito,
p
orque
é
igual
ao
quadrado
do
binôm
io
a−
b:
a
2−
2a
b
+
b
2
=
(a−
b)
2
(a
+
b)
2
é
a
form
a
fatorada
do
trinôm
io
a
2
+
2a
b
+
b
2.
(a−
b)
2
é
a
form
a
fatorada
do
trinôm
io
a
2−
2a
b
+
b
2.
5
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.11.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
A
L
G
É
B
R
IC
A
S
R
econ
h
ecem
os
u
m
trin
ôm
io
q
u
ad
rad
o
p
erfeito
e
ob
tem
os
su
a
form
a
fatorad
a
n
otan
d
o
q
u
e:
1
o:
tem
três
term
os;
2
o:
d
ois
d
e
seu
s
term
os
são
q
u
ad
rad
os
p
erfeitos
a
2
e
b
2;
3
o:
o
ou
tro
term
o
é
m
ais,
ou
m
en
os,
d
u
as
vezes
o
p
ro
d
u
to
d
as
b
ases
(+
2a
b
ou
−
2a
b).
O
sin
al
d
este
term
o
(+
ou
-)
é
m
an
tid
o
n
a
form
a
fatorad
a
((a
+
b)
2
ou
(a−
b)
2,
resp
ectivam
en
te).
E
x
em
p
lo
1
:
x
2
+
10x
+
25
��
x
2
+
10x
+
25��
=
x
2
+
2·
5·
x
+
5
2
=
(x
+
5)
2
5
2
E
x
em
p
lo
2
:
a
2−
6a
b
+
9b
2
��
a
2−
6a
b
+
9b
2��
=
x
2−
2·
a·
3b
+
(3b)
2
=
(a−
3b)
2
(3b)
2
E
x
em
p
lo
3
:
9a
2x
2−
6a
x
+
1
��
9a
2x
2
��
−
6a
x
+
1��
=
(3a
x
)
2−
2·
3a
x·
1
+
1
2
=
(3a
x−
1)
2
(3a
x
)
2
1
2
1
.1
1
.6
S
im
p
l
if
ic
a
ç
ã
o
Já
sab
em
os
que
o
quociente
de
dois
núm
eros
reais
p
ode
ser
escrito
na
form
a
fracionária.
D
a
m
esm
a
form
a,
p
odem
os
assim
representar
o
quociente
de
duas
expressões
p
olinôm
ias.
E
ntão,
tem
os
a
definição:
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
F
raçõ
es
algéb
ricas
é
u
m
q
u
o
cien
te
d
e
d
u
as
ex
p
ressõ
es
p
olin
ôm
ias,
in
d
icad
a
n
a
form
a
fracion
ária.
A
ssim
,
são
frações
algébricas:
x
2−
y
2
x
+
a
5a
x
8y
a
b
3x
1
x−
y
C
om
o
as
expressões
p
olinôm
ias
que
constituem
os
term
os
da
fração
representam
núm
eros
reais,
valem
para
as
frações
algébricas
as
m
esm
as
propriedades
das
frações
aritm
éticas.
A
ssim
:
I)
Se
o
num
erador
e
o
denom
inador
são
expressões
p
olinôm
ias
iguais,
a
fração
é
igual
a
1.
E
x
em
p
los:
a)
3a3a
=
1
b
)
2x
y
2x
y
=
1
c)
a
+
2b
a
+
2b
=
1
II)
M
ultiplicando-se
ou
dividindo-se
o
num
erador
e
o
denom
inador
de
um
a
fração
p
or
um
m
esm
o
núm
ero,
diferente
de
zero,
obtém
-se
um
a
fração
equivalente
à
fração
dada,
inclusive
fazendo
com
que
os
term
os
da
fração
m
udem
de
sinal.
E
x
em
p
los:
a)
8a
2·
5
6x·
5
=
40a
2
30x
b
)
12x÷
4
8y÷
4
=
3x2y
c)
2a·
(−
1)
−
3x·
(−
1)
=
−
2a
3x
III)
Se
o
num
erador
for
divisível
p
elo
denom
inador,
a
fração
algébrica
é
igual
a
um
m
onôm
io
ou
p
olinôm
io.
E
x
em
p
los:
a)
12a
2
4a
=
3a
b
)
x
2
+
2x
+
1
x
+
1
=
(x
+
1)
2
x
+
1
=
x
+
1
c)
x
2−
4x
+
4
x−
2
=
(x−
2)
2
x−
2
=
x−
2
d
)
x
2−
4
x
+
2
=
(x
+
2)(x−
2)
x
+
2
=
x−
2
P
ara
sim
p
lifi
carm
os
u
m
a
fração
algéb
rica
tem
os
d
e
d
iv
id
ir
o
n
u
m
erad
or
e
o
d
en
om
in
ad
or
d
a
fração
p
or
d
iv
isores
com
u
n
s.
6
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.12.
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
D
O
1
o
G
R
A
U
E
x
em
p
los:
a)
12a
2bx
2
8a
x
3
=
612·6a·
a·
b·6x
2
68·6a·6x
2·
x
=
3a
b
2x
b
)
2m
m
2
+
m
=
2·6m
6m
··(m
+
1)
=
2
m
+
1
c)
a
2−
x
2
a
2
+
2a
x
+
x
2
=
(a−
x
)6(a
+
x
)
(a
+
x
) 62
=
a−
x
a
+
x
1
.1
2
E
q
u
a
ç
õ
e
s
d
o
1
o
G
r
a
u
U
m
a
eq
u
ação
com
u
m
a
in
cógn
ita
x
e
con
ju
n
to
u
n
iverso
R
é
d
en
om
in
ad
a
eq
u
a
ç
ã
o
d
o
1
o
g
ra
u
,
se
p
u
d
er
ser
red
u
zid
a
através
d
e
op
eraçõ
es
elem
en
tares
à
form
a:
a×
x
+
b
=
0
em
q
u
e
a
e
b
são
n
ú
m
eros
reais
e
a6=
0
N
a
equação
a×
x
+
b
=
0,
tem
os:
•
x
é
a
in
cógn
ita
;
•
a
é
o
coefi
cien
te;
•
b
é
o
term
o
in
d
epen
d
en
te.
1
.1
2
.1
P
r
o
c
e
s
s
o
d
e
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
C
h
am
a-se
solu
ção
ou
raiz
d
e
u
m
a
eq
u
ação
a
u
m
valor
real
q
u
e,
su
b
stitu
íd
o
n
a
eq
u
ação,
a
torn
e
verd
ad
eira
P
ara
obter
com
facilidade
a
solução
de
um
a
equação
do
1
o
grau,
p
odem
os
utilizar
o
processo
dedutivo,
que
consiste
em
iso
la
r
a
v
a
riá
v
e
l
x
,
rea
liza
n
d
o
p
a
ra
isto
o
p
e
ra
ç
õ
e
s
in
v
e
rsa
s
n
a
o
rd
e
m
in
v
e
rsa
.
E
x
em
p
lo
1
:
2x−
10
=
0
O
bserve
que
no
1
o
m
em
bro
da
equação
que
a
m
ultiplicação
tem
prioridade
sobre
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
6
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
a
subtração.
P
ara
isolar
x,
devem
os
desfazer
essas
op
erações
na
ordem
inversa:
prim
eiro
a
subtração
e
dep
ois
a
m
ultiplicação.
P
ara
desfazer
a
subtração,
utiliza-se
sua
inversa
que
é
a
adição.
Som
ando
em
am
b
os
os
m
em
bros
o
núm
ero
10:
2x−
10
+
10
=
0
+
10⇒
2x
=
10.
P
ara
desfazer
a
m
ultiplicação,
utilizam
os
sua
inversa
que
é
a
divisão.
D
ividindo
am
b
os
os
m
em
bros
p
elo
núm
ero
2:
2x2
=
102
.
L
ogo,
a
solução
da
equação
2x−
10
=
0
é
x
=
5.
E
x
em
p
lo
2
:
3x−
15
=
0
•
3x−
15
+
15
=
0
+
15⇒
3x
=
15,
som
a-se
15
em
am
b
os
os
m
em
bros;
•
3x3
=
153
⇒
x
=
5,
divide-se
am
b
os
os
m
em
bros
p
or
3.
E
x
em
p
lo
3
:
P
opularm
ente,
troca-se
os
valores
de
m
em
bro,
invertendo
suas
op
erações:
•
2(x
+
1)−
3(x−
5)
=
5(x
+
1),
prim
eiro
elim
ina-se
os
parênteses:
•
2x
+
2−
3x
+
15
=
5x
+
5,
então
passa-se
tudo
que
tem
“x"para
o
1
o
m
em
bro
e
o
que
não
tem
“x"para
o
2
o
m
em
bro:
•
2x−
3x−
5x
=
5−
2−
15,
realiza-se
as
op
erações
p
ossíveis
para
reduzir:
•
−
6x
=
−
12,
m
ultiplica-se
os
dois
m
em
bros
p
or−
1:
•
6x
=
12,
passa-se
o
6
para
o
2
o
m
em
bro
dividindo:
•
x
=
126
,
realiza-se
a
op
eração:
•
x
=
2,
assim
a
solução
é
x
=
2.
1
.1
3
In
e
q
u
a
ç
ã
o
d
o
1
o
G
r
a
u
U
m
a
in
eq
u
ação
com
u
m
a
in
cógn
ita
x
e
o
con
ju
n
to
u
n
iverso
R
é
d
en
om
in
ad
a
in
eq
u
ação
d
o
1
o
grau
se
p
u
d
er
ser
red
u
zid
a,
através
d
e
op
eraçõ
es
elem
en
tares,
a
u
m
a
d
as
form
as:
a
x
+
b
<
0,
a
x
+
b
>
0,
a
x
+
b≤
0,
a
x
+
b≥
0,
em
q
u
e
a
e
b
são
n
ú
m
eros
reais
e
a6=
0.
A
s
inequações
são
resolvidas
de
form
a
sem
elhante
às
equações:
tra
n
sfo
rm
a
-se
ca
d
a
in
equ
a
çã
o
em
o
u
tra
m
a
is
sim
p
les
e
equ
iva
len
te,
a
té
qu
e
o
co
n
ju
n
to
so
lu
çã
o
fi
qu
e
evid
en
te.
E
x
em
p
lo
1
:
R
esolver
a
inequação:
3x−
12≤
0:
•
P
assa-se
som
ando
o
12
para
o
2
o
m
em
bro:
3x≤
12;
•
P
assa-se
dividindo
o
3
para
o
2
o
m
em
bro:
x≤
123
;
•
R
ealiza-se
a
op
eração:
x≤
4
6
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.14.
SIST
E
M
A
S
D
E
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
D
O
1
o
G
R
A
U
•
S
=
{
x∈
R|x≤
4}
E
x
em
p
lo
2
:
R
esolver
a
inequação:
4x
+
5≥
2x−
9:
•
4x−
2x
≥
−
9−
5
(passou-se
o
que
tinha
x
para
o
1
o
m
em
bro,
e
o
que
não
tinha
x
para
o
2
o
m
em
bro);
•
2x≥
−
14
(realizou-se
as
op
erações)
•
x≥
−
14
2
(passou-se
o
2
dividindo
o
2
o
m
em
bro);
•
x≥
−
7;
•
S
=
{
x∈
R|x≥
−
7}
E
x
em
p
lo
3
:
R
esolver
a
equação:−
3x
>
6
•
N
este
caso,
tem
-se
de
m
ultiplicar
am
b
os
os
m
em
bros
p
or−
1,
obtendo
assim
3x
<
−
6
(quando
m
ultiplica-se
p
or−
1
inverte-se
o
sinal
de
desigualdade,
e
então
resolve-se
o
restante
norm
alm
ente),
•
x
<
−
63
,
(passou-se
o
3
dividingo
o
2
o
m
em
bro);
•
x
<
−
2;
•
S
=
{
x∈
R|x
<
−
2}
1
.1
4
S
ist
e
m
a
s
d
e
E
q
u
a
ç
õ
e
s
d
o
1
o
G
r
a
u
D
u
as
sen
ten
ças
m
atem
áticas
d
o
tip
o
x
+
y
=
5
e
4x−
y
=
10
form
am
u
m
siste
m
a
q
u
an
d
o,
e
som
en
te
q
u
an
d
o
p
ro
cu
rar
o
p
ar
com
u
m
(x
,y
)
q
u
e
d
eve
satisfazer
am
b
as.
N
esse
caso,
u
sa-se,
p
ara
in
d
icar
o
sistem
a,
d
a
m
an
eira
ab
aix
o.
{
x
+
y
=
5
4x
−
y
=
10
1
.1
4
.1
M
é
t
o
d
o
s
d
e
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
1.14.1.1
M
é
t
o
d
o
d
a
S
u
b
s
t
it
u
iç
ã
o
{
x
+
y
=
5
4x
−
y
=
10
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
6
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
T
om
a-se
um
a
dessas
equações
(a
prim
eira,
p
or
exem
plo)
e
dela
obtem
os
a
expressão
do
valor
de
um
a
das
incógnitas
(x,
p
or
exem
plo):
x
+
y
=
5⇔
x
=
5−
y
E
ssa
expressão
do
valor
de
x
substituirá
a
incógnita
x
na
2
a
equação.
4x−
y
=
10
⇔
4(5−
y
)−
y
=
10
⇔
20−
4y−
y
=
10
⇔
−
4y−
y
=
10−
20
⇔
−
5y
=
−
10
(−
1)
⇔
5y
=
10
⇔
y
=
105
⇔
y
=
2
Substituindo
y
=
2
na
expressão
do
valor
de
x:
x
=
5−
y⇒
x
=
5−
2⇒
x
=
3
P
ortanto,
a
solução
é
o
par
(3,2).
V
erificação:
x
+
y
=
5⇒
3
+
2
=
5
(verdadeiro)
4x−
y
=
10⇒
4·
3−
2
=
10⇒
12−
2
=
10
(verdadeiro)
1.14.1.2
M
é
t
o
d
o
d
a
A
d
iç
ã
o
E
ste
processo
consiste
na
elim
inação
de
um
a
das
incógnitas
p
ela
adição
das
duas
equações
do
sistem
a.
O
bserve
que,no
sistem
a
a
seguir,p
ela
adição
das
equações
m
em
bro
a
m
em
bro,
um
a
das
incógnitas
foi
elim
inada,
p
ois
os
coeficientes
dessa
incógnita
(y)
são
sim
étricos
(m
esm
o
valor,
p
orém
sinais
contrários).

x
+
6y
=
5
4x
−
6y
=
10
5x
=
15
L
ogo,
x
=
3.
A
ssim
,
agora
basta
substituir
o
valor
de
x
em
qualquer
um
a
das
equações:
x
+
y
=
5
3
+
y
=
5
y
=
5−
3
y
=
2
E
assim
a
solução
é
o
par
(3,2).
Q
uando
os
coeficientes
não
são
sim
étricos,
deve-se
em
pregar
alguns
artifícios
de
cálculo
6
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.14.
SIST
E
M
A
S
D
E
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
D
O
1
o
G
R
A
U
baseados
nas
propriedades
das
op
erações.
C
om
o
p
or
exem
plo,
no
sistem
a
a
seguir:
{
3x
+
14y
=
−
8
4x
+
3y
=
5
N
esse
caso,não
tem
-se
valor
sim
étrico,em
nenhum
a
das
incógnitas,nem
ao
m
enos
sim
etria
p
or
sinal.
A
ssim
,
para
se
elim
inar
a
incógnita
x,
m
ultiplica-se
os
term
os
da
prim
eira
equação
p
or
4
e
os
term
os
da
segunda
equação
p
or−
3
(p
oderia
ser
tam
b
ém
,−
4
e
3,
ou
ainda
se
fosse
elim
inar
a
incógnita
y,
m
ultiplicar-se-ia
a
prim
eira
equação
p
or
3
e
a
segunda
p
or
14,
sendo
que
um
a
das
duas
deveria
ter
sinal
negativo
para
com
pletar
a
sim
etria).
{
3x
+
14y
=
−
8
(4)
4x
+
3y
=
5
(−
3)
A
ssim
,

612x
+
56y
=
−
32
−
612x
−
9y
=
−
15
+
47y
=
−
47⇒
y
=
−
1
Substituindo
y
=
−
1
em
um
a
das
equações
do
sistem
a
preparado,
tem
-se:
3x
+
14y
=
−
8
3x
+
14(−
1)
=
−
8
3x−
14
=
−
8
3x
=
−
8
+
14
3x
=
6
x
=
63
x
=
2
P
ortanto,
a
solução
é
o
par
(2,−
1).
V
erificação:
3x
+
14y
=
−
8⇒
3·
2
+
14·(−
1)
=
−
8⇒
6−
14
=
−
8
(verdadeiro)
4x
+
3y
=
5⇒
4·
2
+
3·
(−
1)
=
5⇒
8
+
(−
3)
=
5⇒
8−
3
=
5
(verdadeiro)
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
6
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1
.1
5
E
q
u
a
ç
õ
e
s
d
o
2
o
G
r
a
u
C
h
am
a-se
eq
u
ação
d
o
2
o
grau
to
d
a
eq
u
ação
d
a
form
a
a
x
2
+
bx
+
c
=
0,
on
d
e
a,
b
e
c
são
n
ú
m
eros
reais
e
a6=
0
•
a
é
o
co
efi
cien
te
d
e
x
2;
•
b
é
o
co
efi
cien
te
d
e
x;
•
c
é
o
co
efi
cien
te
in
d
ep
en
d
en
te;
•
x
é
a
variáveil
real.
E
q
u
a
ç
ã
o
a
b
c
x
2−
5x
+
6
=
0
1
-5
6
−
x
2
+
12x−
15
=
0
-1
1
2
-1
5
x
2−
100
=
0
1
0
-1
0
0
3x
2
+
12x
=
0
3
1
2
0
4x
2
=
0
4
0
0
−
2x
2−
7x
+
12
=
0
2
-7
1
2
Q
uando
todos
os
coeficientes
forem
não
nulos,
a
equação
é
denom
inada
eq
u
a
ç
ã
o
co
m
p
le
ta
do
2
o
grau.
C
h
am
a-se
raiz
d
e
u
m
a
eq
u
ação
d
o
2
o
grau
o
n
ú
m
ero
real,
q
u
e,
su
b
stitu
íd
o
n
o
lu
gar
d
a
in
cógn
ita,
torn
a
a
sen
ten
ça
m
atem
ática
verd
ad
eira.
1
.1
5
.1
P
r
o
c
e
s
s
o
d
e
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
1.15.1.1
E
q
u
a
ç
õ
e
s
C
o
m
p
l
e
t
a
s
N
esse
caso,
o
m
elhor
processo
de
determ
inação
das
soluções
da
equação
é
a
solução
geral
dada
p
or:
6
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.15.
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
D
O
2
o
G
R
A
U
x
=
−
b±
√
∆
2a
,
on
d
e
∆
=
b
2−
4a
c
S
e
∆
>
0,
a
eq
u
ação
tem
d
u
as
raízes
reais
d
iferen
tes.
S
e
∆
=
0,
a
eq
u
ação
tem
d
u
as
raízes
reais
igu
ais.
S
e
∆
<
0,
a
eq
u
ação
n
ão
ad
m
ite
raízes
reais.
E
x
em
p
lo
1
:
R
esolva
a
equação:
x
2−
5x
+
6
=
0
•
C
alcula-se,
prim
eiro,
o
valor
de
∆
,
sendo
nesta
equação
a
=
1,
b
=
−
5,
c
=
6.
A
ssim
,
∆
=
b
2−
4a
c⇒
∆
=
(−
5)
2−
4·
1·
6⇒
∆
=
25−
24
=
1
•
A
gora,
encontra-se
o
valor
de
x:
x
=
−
b±
√
∆
2·
a
⇒
x
=
−
(−
5)±
√
1
2·
1
⇒
x
=
5±
1
2
⇒
x ′
=
5−
1
2
=
42
=
2
e
x ′′
=
5
+
1
2
=
62
=
3
E
x
em
p
lo
2
:
R
esolva
a
equação:
x
2−
7x
+
12
=
0
•
C
alcula-se,
prim
eiro,
o
valor
de
∆
,sendo
nesta
equação
a
=
1,
b
=
−
7,
c
=
12.
A
ssim
,
∆
=
b
2−
4a
c⇒
∆
=
(−
7)
2−
4·
1·12⇒
∆
=
49−
48
=
1
•
A
gora,
encontra-se
o
valor
de
x:
x
=
−
b±
√
∆
2·
a
⇒
x
=
−
(−
7)±
√
1
2·
1
⇒
x
=
7±
1
2
⇒
x ′
=
7−
1
2
=
62
=
3
e
x ′′
=
7
+
1
2
=
82
=
4
1.15.1.2
E
q
u
a
ç
õ
e
s
In
c
o
m
p
l
e
t
a
s
P
ara
um
a
equação
de
2
o
G
rau
se
cham
ada
de
incom
pleta,
precisam
os
que
b
=
0
ou
c
=
0
ou
b
=
c
=
0.
A
ssim
,
as
form
as
gerais
das
equações
incom
pletas
são:
a
x
2
+
bx
=
0
a
x
2
+
c
=
0
a
x
2
=
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
6
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1
o
C
aso
:
E
quações
do
tip
o
a
x
2
+
bx
=
0,
onde
b6=
0
e
c
=
0.
T
em
os
a
x
2
+
bx
=
0
F
atorando
x:
x
(a
x
+
b)
=
0
U
m
p
ro
d
u
to
d
e
d
ois
fatores
é
n
u
lo,
ou
seja,
igu
al
a
zero,
q
u
an
d
o:
x
=
0
⇔
x
=
0→
é
u
m
a
raiz
ouax
+
b
=
0
⇔
x
=
−
ba →
é
ou
tra
raiz
L
ogo,
S
=
{
0,−
ba }
E
x
em
p
lo
:
R
esolva
a
equação
x
2−
3x
=
0.
•
x ′
=
0;
•
x ′′
=
−
ba
=
−
−
31
=
3
2
o
C
aso
:
E
quações
do
tip
o
a
x
2
+
c
=
0,
onde
b
=
0
e
c6=
0.
T
em
os
a
x
2
+
c
=
0.
Isolando
a
variável
x,
vem
:
a
x
2
=
−
c⇒
x
2
=
−
ca ⇒
x
=
± √
−
ca
L
ogo,
x ′
=
− √
−
ca
e
x ′′
= √
−
ca .
O
b
s.:
A
equação
terá
raízes
reais
som
ente
se
c
<
0,
e
neste
caso
serão
sem
pre
sim
étricas.
E
x
em
p
lo:
R
esolva
a
equação
4x
2−
16
=
0.
•
x ′
=
− √
−
ca
=
− √
−
(−
16)
4
=
− √
164
=
− √
4
=
−
2
•
x ′′
= √
−
ca
= √
−
(−
16)
4
= √
164
=
√
4
=
2
3
o
C
aso
:
E
quações
do
tip
o
a
x
2
=
0,
se
b
=
0
e
c
=
0,
as
duas
raízes
serão
nulas,
ou
seja
x
=
0
T
em
os
a
x
2
=
0,
isolando
a
variável
x,
vem
x
2
=
0a
⇒
x
2
=
0⇒
x
=
± √
0⇒
x
=
0
P
ortanto,
neste
caso,
x ′
=
0
e
x ′′
=
0
6
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.16.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
1
.1
6
E
x
e
r
c
íc
io
s
1.
C
onverta
em
núm
eros
decim
ais:
a)
34
b
)
83
c)
511
d
)
11
200
e)
2775
f)
5099
g
)
13
125
h
)
150
i)
76
j)
1874
k
)
45
l)
120
m
)
13
n
)
2344
o
)
1013
p
)
1643
q
)
1533
r)
1535
s)
140
154
t)
29
145
2.
E
screva
na
form
a
fracionária
os
seguintes
núm
eros:
a)
0,75
b
)
32,17
c)
0,0432
d
)
0,017
e)
3,292
f)
14,001
g
)
4,12
h
)
110,431
i)
213,79
j)
0,421
k
)
0,555...
l)
0,666...
m
)
2,333...
n
)
12,777...
o
)
0,431818...
p
)
4,59222...
q
)
12,344343...
r)
0,777...
s)
3,4545...
t)
0,853434...
u
)
2,033...
v
)
5,1432121...
w
)
0,001616...
x
)
1,2022...
y
)
0,0415415...
3.
C
alcule
o
valor
das
expressões
num
éricas:
a)
45
(3
+
0,4)−
3,21
b
)
0,22(11−
0,3)
+
47
c)
43
+
75 (
12
+
49 )
−
15
d
) (
4311
+
110 )
· (
178 −
25 )
e)
1
4,3
+
0,25
+
4
f)
45 (
73 −
1 )
29 −
3
g
)
−
3−
√
4
2(2)
h
)
8−
5
+
√
16
2(−
1)
i) {
4
+
2 [
3
2−
14 (
23 −
18 )
+
2 ]
+
1
6 }
+
1
j)
3 {−
1
+
12 [−
13
+
14 (1−
13 )−
1 ]−
1 }
k
)
1− [(
1−
13 )
− (
1−
34 )]
l) [
12
+ (
1−
34 ×
49 )]×
37
m
) [(
2−
54 )
×
23
+
25 ]÷ (
1
+
45 )
n
) [(
1−
12 )
2
+ (
1−
34 )
2 ]×
45
o
) [
1− (
13 −
16 )]÷ [(
16
+
12 )
+
32 ]
p
) [(
12
+
13 )
− (
1−
56 )]
+
23
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
6
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
4.
R
esolva
os
seguintes
problem
as:
a)
Sab
e-se
que
8kg
de
café
cru
resultam
em
6kg
de
café
torrado.
Q
uantos
kg
de
café
cru
devem
ser
levados
ao
forno
para
obterm
os
27kg
de
café
torrado?
b
)
U
m
autom
óvel
p
ercorreu
300km
com
20
litros
de
gasolina.
Q
uantos
km
esse
autom
óvel
p
ercorre
com
ap
enas
1
litro
de
gasolina?
c)
D
esejo
ler
um
livro
de
400
páginas.
N
as
prim
eiras
duas
horas,
consegui
ler
25
páginas.
C
ontinuando
nesse
ritm
o,
em
quantas
horas
lerei
o
livro
inteiro?
d
)
P
ara
transp
ortar
certo
volum
e
de
areia
para
um
a
construtora
foram
utilizados
30
cam
inhões,carregados
com
4m
3
de
areia
cada
um
.
A
dquirindo-se
cam
inhões
com
capacidade
para
5m
3
de
areia,
quantos
cam
inhões
seriam
necessários
para
fazer
tal
serviço?
e)
U
m
a
árvore
de
4,2m
de
altura
projeta
um
a
som
bra
de
3,6m
.
N
o
m
esm
o
instante,
outra
árvore
projeta
um
a
som
bra
de
2,8m
.
Q
ual
a
altura
da
segunda
árvore?
f)
U
m
terreno
retangular
tem
12m
de
com
prim
ento
e
15m
de
largura.
Se
dim
inuirm
os
2m
no
com
prim
ento
do
terreno,
quantos
m
etros
devem
os
aum
entar
na
largura
para
que
a
área
p
erm
aneça
a
m
esm
a?
g
)
A
distância
entre
duas
cidades
é
de
800km
.
U
m
trem
com
velocidade
constante
p
ercorreu
em
3
horas
os
prim
eiros
120km
.
Q
uanto
tem
p
o
levará
para
p
ercorrer
os
km
s
restantes?
h
)
U
m
a
placa
de
chum
b
o
de
8cm
de
com
prim
ento
e
6cm
de
largura
p
esa
36g.
Q
uanto
p
esará
outra
placa
do
m
esm
o
m
aterial
e
da
m
esm
a
esp
essura,
só
que
quadrada,
com
10cm
de
lado?
i)
N
um
a
fazenda,
3
cavalos
consom
em
210kg
de
alfafa
durante
7
dias.
P
ara
alim
entar
8
cavalos
durante
10
dias,
quantos
kg
de
alfafa
serão
necessários?
j)
Se
20
op
erários
levam
10
dias
para
levantar
um
m
uro
de
2m
de
altura
e
25m
de
com
prim
ento,
quantos
dias
levarão
15
op
erários
para
construir
um
outro(da
m
esm
a
largura),
m
as
com
3m
de
altura
e
40m
de
com
prim
ento?
k
)
C
erta
m
áquina,
trabalhando
12h
p
or
dia,
consom
e,
em
30
dias,
9780kg
de
carvão.
Q
ual
o
custo
do
carvão
gasto
p
or
essa
m
áquina
durante
90
dias,
sab
endo
que
nesse
p
eríodo
trabalhou
12h
e
30m
in
p
or
dia
e
que
cada
tonelada
de
carvão
custou
R
$
800,00.
l)
27
op
erários,
trabalhando
8h
diárias,
durante
15
dias,
fizeram
um
m
uro
de
20m
de
com
prim
ento,
1,80m
de
altura
e
30cm
de
esp
essura.
Q
uantos
op
erários
seriam
necessários
para
a
construção
de
outro
m
uro
de
30m
de
com
prim
ento,
2m
de
altura,
e
27cm
de
esp
essura,
se
eles
trabalhassem
9h
p
or
dia,
durante
18
dias?
7
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.16.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
5.
R
esolva
os
problem
as:
a)
C
om
prei
um
autom
óvel
p
or
R
$
20000,00.
A
lgum
tem
p
o
dep
ois,
vendi-o
com
um
prejuízo
de
15%
.
D
e
quanto
foi
o
m
eu
prejuízo?
b
)
U
m
a
conta
no
valor
de
R
$
7500,00
foi
paga
com
atraso
e
sofreu
u
m
a
m
ulta
de
20%
.
Q
ual
o
valor
da
m
ulta?
c)
O
salário
de
um
a
p
essoa
era
de
R
$
1400,00
até
ser
prom
ovida
e
receb
er
um
aum
ento
de
20%
.
D
e
quanto
foi
o
aum
ento
de
seu
salário?
d
)
N
a
eleição
do
grêm
io
de
um
a
escola,
votaram
1500
alunos,
dos
quais
75%
votaram
na
chapa
A
.
Q
uantos
alunos
votaram
nessa
chapa?
e)
N
um
a
cidade,o
preço
da
passagem
de
ônibus
era
R
$
40,00
e
sofreu
um
aum
ento
de
R
$
5,00.
Q
ual
a
taxa
de
aum
ento?
f)
A
o
com
prar
um
eletrodom
éstico
p
or
R
$
150,00
obtive
um
desconto
de
R
$
18,00.
Q
ual
a
taxa
de
desconto?
g
)
E
m
um
a
escola,
as
1120
alunas
representam
56%
do
total
de
alunos.
Q
ual
é
esse
total?
h
)
D
ep
ositei
em
um
a
caderneta
de
p
oupança
R
$
800,00.
D
ep
ois
de
um
m
ês
m
eu
saldo
era
de
R
$
980,00.
Q
ualfoia
taxa
p
ercentual
de
rendim
ento
da
p
oupança
naquele
m
ês.
i)
U
m
a
p
eça
de
tecido
de
30m
de
com
prim
ento,
ap
ós
ficar
algum
as
horas
de
m
olho,encolheu
e
ficou
com
29,7m
.
Q
ualfoia
taxa
p
ercentualde
encolhim
ento
desse
tecido?
j)
U
m
fio
de
aram
e
subm
etido
a
alta
tem
p
eratura
aum
entou
0,3%
do
seu
com
prim
ento,
atingindo
36,05m
.
Q
ual
o
com
prim
ento
do
fio
antes
do
aquecim
ento.
6.
R
eduza
em
term
os
sem
elhantes
as
seguintes
expressões
algébricas:
a)
(4b
+
3c−
a
)
+
(4a−
3b−
2c)
b
)
(5a
b−
3c
+
4d
)
+
(−
2d
+
3c−
4a
b)
c)
(x
y−
3x
2
+
1)
+
(3
+
5x
2−
3x
y
)
d
)
(5x
y−
x
3+
4y
)+
(5
+
2x
3−
4y−
6x
y
)
e)
(x
y
3−
2x
y
+
1)−
(4x
y
+
5
+
2x
y
3)
f)
(x
2
+
2x
y
+
3y
2)−
(x
2−
2x
y
+
3y
2)
g
)
(10x
+
20y
)−
(5x
+
5y
)
h
)
(−
x
3
+
2x
y
+
4)−
(2x
3
+
2x
y
+
8)
i)
(4
x
2−
3
y
+
x
y
)+
(3
y−
x
y
+
2
x
2)−
(x
y−
x
2)
j)
−
2(x−
y
+
z
2)+
4(z
2+
y−
x
)+
(1−
x−
y
)
k
)
(3x−
2y
)
+
(3y−
x
)−
[3x−
(4y−
x
)]
l)
3
x
2−
x
y−
{
2
x
2−
x
y
+
[z
2−
(x
y−
y
2−
x
2
)]+
z
2
+
y
2}
m
)
(5a
)(−
7c)
n
)
(4a
2b)(−
7a
b
2)
o
)
(−
5x
y
3)(−
7x
3y
)
p
)
(x
+
y
4)(x
+
1)
q
)
(x
2
+
2y
)(3x−
2y
)
r)
4x
2(3x−
2y
+
5)
s)
x
y
(x
2−
y
2)
t)
(x
2y−
3x
y
2)(4x
y
)
u
)
(8x
2)÷
(4x
2)
v
)
(x
y
)(4x
y
2)
w
)
(5x
2y
3
+
4x
4y−
3x
y
2)÷
(2x
y
)
x
)
(12x
3y
5−
16x
4y
3
+
20x
5y
2)÷
(4x
2y
)
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
7
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
7.
C
alcule
o
valor
das
p
otências:
a)
2
3
b
)
(−
2)
3
c)
2
0
d
)
2 −
5
e) (
25 )
4
f)
(2
3)
2
g
) (
12 )
−
3
h
)
3
7
3
7
i)
((−
1)
3)
4
j)
(0,5)
3
k
)
(−
0,1)
3
l)
−
(−
1)
3
8.
U
sando
as
regras
de
produtos
notáveis,
determ
ine:
a)
(x
+
1)
2
b
)
(2x
+
5)
2
c)
(1
+
2y
)
2
d
)
(3x
+
4y
)
2
e)
(3a
+
x
)
2
f)
(x
2
+
5)
2
g
)
(1−
x
2)
2
h
)
(5x
2−
3y
)
2
i)
(x−
1)
2
j)
(1−
2y
)
2
k
)
(3x−
5y
)
2
l)
(4
+
x
)(4−
x
)
m
)
(x−
3y
)(x
+
3y
)
n
)
(1−
3x
)(1
+
3x
)
o
)
(−
3
+
5x
)(3
+
5x
)
p
)
(5y
2−
1)(5y
2
+
1)
q
)
(a
+
2b)(a−
2b)
r)
(a
2−
b)(a
2
+
b)
9.
F
atorar
as
expressões
seguintes:
a)
3a
+
3b
b
)
6x
y
2−
3x
2y
+
12x
3y
c)
a
x
+
by
+
bx
+
a
y
d
)
12a
2−
3a−
20a
b
+
5b
e)
9a
2−
6a
+
1
f)
a
2x
4−
2a
b
2x
2y
+
b
4y
2
g
)
x
2
+
6x
y
+
9y
2
h
)
25x
2−
10x
+
1
i)
p
2−
2p
+
1
j)
4x
2−
x
y
2
+
3x
k
)
x
4−
3x
2
l)
4x
y−
3x
2y
2
+
10x
3y
m
)
7x
y
+
21x
z
+
2h
y
+
6h
z
n
)
x
y−
2x−
6
+
3y
o
)
42x
3y−
70x
2y−
6x
+
10
p
)
36x
2−
9
q
)
16y
4−
4x
2
r)
a
4−
b
4
s)
1−
x
2
t)
x
2−
1
u
)
x
2
+
6x
+
9
v
)
x
2
+
2x
+
1
w
)
x
2−
2x
+
1
x
)
x
2−
8x
+
16
y
)
4x
2−
4x
y
+
y
2
10.
Sim
plifique
as
expressões
seguintes:
a)
4x
+
6
2
b
)
3x
2
+
9x
3x
c)
16x
y
2−
24x
2y
x
y
d
)
3x
4−
10x
2
x
5−
x
2
e)
x
2−
9
x−
3
f)
x
2−
16
x
+
4
g
)
x
+
7
x
2−
49
h
)
x
2−
9
x
2−
6x
+
9
i)
(x
+
3)
2
x
2−
9
j)
x
2−
36
(x−
6)
2
k
)
2x−
2
(x−
1)
2
l)
x
2−
36
x
2
+
6x
m
)
x−
1
x
+
1
+
x
+
1
x−
1
n
)
y−
z
x
+
w
÷
y
2−
z
2
x
2−
w
2
o
) (
3a
2bc
5x
y
2 )
2÷
−
6a
3b
4c
2
25x
2y
3z
2
7
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.16.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
11.
D
eterm
ine
a
raiz
das
equações
abaixo:
a)
x−
10
=
10−
x
b
)
3(x−
1)
+
4(x−
2)
=
3
c)
x−
2
=
10−
2x
d
)
5(1−
2x
)
=
3x
+
4−
12
e)
5(1−
4x
)
+
3x−
7
=
−
2(x
+
1)
f)
x−
3(x−
1)
=
2−
3(x
+
1)
g
)
3x
=
9
h
)
−
2x
=
18
i)
4x
=
−
27
j)
0,24x
=
0,72
k
)
10
+
x
=
9−
2x
l)
x
[1
+
2(3−
1)]
=
4x−
7
m
)
4
+
[x−
(2
+
1)
2
+
1]
=
6−
x
(1−
2)
2
n
)
6(2x
+
4)
=
9
o
)
4−
10x
25
=
15
p
)
10x
+
4
6
=
8x−
20
4
q
)
4
5x
+
1
=
9
10x
+
6
12.
R
esolva
as
desigualdades
seguintes:
a)
5x≥
20
b
)
10x≥
100
c)
2x≤
8
d
)
3x≤
6
e)
−
4x≥
16
f)
−
2x≤
10
g
)
−
5x≥
−
10
h
)
5(x−
1)
+
2
<
2(x
+
2)−
1
i)
3(x−
1)
+
2
<
3(x
+
1)
+
x
j)
2−
15x
<
5
+
3(x
+
1)
13.
R
esolva
as
equações
abaixo:
a)
x
2−
5x
+
6
=
0
b
)
x
2
+
7x
+
10
=
0
c)
x
2−
2x
+
10
=
0
d
)
−
x
2
+
10x−
21
=
0
e)
x
2−
4x
+
4
=
0
f)
4x
2
+
4x
+
4
=
0
g
)
x
2
+
x
=
−
1
h
)
3x
2
=
5x−
10
i)
x
2
=
−
x
j)
x
2
=
16
k
)
5x
2
+
1
=
0
l)
x
2
=
0
m
)
3x
2
=
27
n
)
x
2−
4x
=
3x
+
8
o
)
x
2−
3x
=
2x−
6
p
)
2x
(x
+
1)
=
0
q
)
x
2−
12
=
0
r)
3x
2
+
21x
=
0
s)
24x−
6x
2
=
0
t)
2x
2−
6x
=
4x−
12
u
)
x
2−
6x
+
10
=
0
v
)
2x
2−
3x
+
1
=
0
w
)
(x−
2)(x
+
3)
=
5x−
10
x
)
(x
+
3)
2
=
16
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
7
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
14.
R
esolva
os
sistem
as
abaixo:
a) {
2x
+
y
=
57
x
−
y
=
3
b
) {
x
+
y
=
6
x
−
y
=
2
c) {
3x
−
y
=
5
x
+
2y
=
4
d
) {
2x
−
3y
=
9
5x
+
4y
=
11
e) {
2x
+
5y
=
12
3x
+
2y
=
7
f) {
2x
−
y
=
1
2x
+
3y
=
21
g
) {
2x
+
3y
=
4
5x
+
3y
=
10
h
) {
3x
+
5y
=
2
4x
−
7y
=
30
i) {
x
−
y
=
4
2x
+
y
=
8
j) {
7x
+
3y
=
1
x
−
3y
=
7
k
) {
4x
−
y
=
5
10x
−
2y
=
11
l) {
5x
−
y
=
16
7x
+
3y
=
18
7
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
C
a
p
ít
u
l
o
2
C
o
n
ju
n
t
o
s
2
.1
C
o
n
c
e
it
o
s
N
a
linguagem
usual,
são
sinônim
os
de
conjunto:
coleção,
classe,
grup
o,
fam
ília,
etc.
O
s
conjuntos
são
indicados,
na
m
aioria
das
vezes,
p
or
letras
m
aiúsculas
A
,
B
,
C
,
...
e
p
odem
ser
representados
p
or
d
iagram
as,p
ela
n
om
eação
de
seus
elem
entos,um
a
um
,colocados
entre
chaves
ou
p
ela
p
rop
ried
ad
e
d
e
seu
s
elem
en
tos.
D
ia
g
r
a
m
a
s
A
:
conjunto
das
vogais
B
:
conjunto
dos
núm
eros
pares
m
enores
que
10
C
:
conjunto
de
instrum
entos
m
usicais
N
o
m
e
a
ç
ã
o
e
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
A
=
{a,
e,
i,
o,
u}
(os
elem
entos
do
conjunto
são
a,
e,
i,
o,
u)
ou
A
=
vogais
(propriedade
dos
elem
entos
do
conjunto:
vogais)
B
=
{0,
2,
4,
6,
8}
(elem
entos
do
conjunto
são
0,
2,
4,
6,
8)
ou
B
=
núm
eros
pares
m
enores
que
10
(propriedade
dos
elem
entos
do
conjunto:
núm
eros
pares
m
enores
que
10)
C
=
{pianista,
bateirista,
guitarrista}
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
P
ara
indicar
que
um
elem
ento
p
ertence
a
um
dado
conjunto
usa-se
o
sím
b
olo∈
que
se
lê:
p
erten
ce.
E
x
em
p
los:
a∈
{a,
e,
i,
o,
u};
4∈
{0,
2,
4,
6,
8};
b
6∈
{a,
e,
i,
o,
u};
56∈
{0,
2,
4,
6,
8}.
Im
p
o
rta
n
te
!
N
a
nom
eação
dos
elem
entos
de
um
conjunto,
usa-se
reticências,
quando
se
conhece
a
propriedade
e
o
núm
ero
é
m
uito
grande.
E
x
em
p
lo
:
{0,
2,
4,
6,
8,
...},
conjunto
dos
núm
eros
naturais
pares.
2
.2
C
o
n
ju
n
t
o
s
U
n
itá
r
io
s
e
C
o
n
ju
n
t
o
s
V
a
z
io
s
C
onsiderem
os
os
seguintes
conjuntos:
A
=
{satélites
naturais
da
T
erra}
B
=
{núm
eros
pares
m
enores
do
que
1}
C
=
{planetas
cujos
nom
es
com
eçam
p
ela
letra
“A
"
}
D
=
{notas
m
usicais
que
p
ossuem
a
letra
“g"
}
V
em
os
que
os
conjuntos
A
e
B
p
ossuem
um
só
elem
ento,
a
L
u
a
e
o
núm
ero
0
,
resp
ectivam
ente.
A
ssim
,
um
con
ju
n
to
u
n
itário
é
aquele
que
p
ossui
um
único
elem
ento,
com
o
os
conjuntos
A
e
B
.
V
em
os
que
os
conjuntos
C
e
D
não
p
ossuem
elem
entos,isto
é,são
conjuntos
sem
elem
entos.
L
ogo,
um
con
ju
n
to
vazio
é
aquele
conjunto
que
não
p
ossui
elem
entos,
e
é
representado
p
or
um
dos
sím
b
olos
∅
ou
{
}.
A
T
E
N
Ç
Ã
O
:
o
conjunto
vazio
N
U
N
C
A
deve
ser
representado
p
or
{∅
},
p
ois
este
é
um
conjunto
que
contém
o
sím
b
olo
que
representa
o
vazio.
7
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.3.
C
O
N
JU
N
T
O
S
IG
U
A
IS
2
.3
C
o
n
ju
n
t
o
s
Ig
u
a
is
C
onsiderem
os
os
conjuntos
A
=
{a,
m
,
o,
r}
e
B
=
{r,
o,
m
,
a}
com
o
se
vê,
todos
os
elem
entos
de
A
p
ertencem
a
B
e
todos
os
elem
entos
de
B
p
ertencem
a
A
,
isto
é,
os
conjuntos
p
ossuem
os
m
esm
os
elem
entos.
D
iz-se,
p
or
isso,
que
esses
conjuntos
são
iguais
e
escreve-se
A
=
B
.P
ara
dois
ou
m
ais
conjuntos
serem
iguais
é
necessário
que
os
conjuntos
p
ossuam
os
m
esm
os
elem
entos,
não
necessariam
ente
na
m
esm
a
quantidade
e
na
m
esm
a
ordem
.
P
orém
,
para
dois
conjuntos
serem
considerados
diferentes,
basta
que
haja
um
único
elem
ento
que
p
ertença
a
um
conjunto
e
não
p
ertença
ao
outro.
E
x
em
p
lo
:
Sejam
A
=
{núm
eros
pares
m
enores
que
10}
e
B
=
{0,
2,
4,
6,
8}
⇒
A
=
B
(o
sím
b
olo⇒
lê-se
“im
plica")
A
negação
de
A
=
B
indica-se
p
or
A
6=
B
,
que
lê-se
“A
é
diferente
de
B
".
2
.4
S
u
b
c
o
n
ju
n
t
o
s
T
om
em
os
os
conjuntos:
A
=
{1,
2,
3}
e
B
=
{1,
2,
3,
4}.
O
bserva-se
que
todos
os
elem
entos
de
A
p
ertencem
a
B
,diz-se,
neste
caso,
que
“A
está
con
tid
o
em
B
"(A
⊂
B
)
ou
“B
con
tém
A
"(B
⊃
A
).
Q
uando
se
diz
que
“A
está
contido
em
B
"p
ode-se,
tam
b
ém
,
dizer:
“A
é
parte
de
B
"ou
ainda
“A
é
sub
conjunto
de
B
".
P
ara
se
indicar
que
A
é
sub
conjunto
de
B
escreve-se:
A
⊂
B
que
se
lê:
“A
está
con
tid
o
em
B
"
ou
“A
é
sub
conjunto
de
B
".
P
ara
se
indicar
que
B
contém
A
indica-se
B
⊃
A
.
A
negação
de⊂
(está
contido)
é6⊂
-
“não
está
contido".
A
negação
de⊃
(contém
)
e6⊃
-
“não
contém
".
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
7
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
Im
p
o
rta
n
te
!
a)
T
odo
conjunto
é
sub
conjunto
de
sim
esm
o.
A
⊂
A
,p
ois
todo
elem
ento
de
A
p
ertence
a
A
.
b
)
O
conjunto
vazio
é
considerado
sub
conjunto
de
qualquer
conjunto.
∅
⊂
A
.
c)
O
s
sím
b
olos∈
e6∈
relacionam
elem
ento
com
conjunto.
d
)
O
s
sím
b
olos
=
,⊂
,6⊂
,⊃
e6⊃
relacionam
conjunto
com
conjunto,
e
os
sím
b
olos∈
e
6∈
relacionam
um
elem
ento
a
um
conjunto.
2
.5
C
o
n
ju
n
t
o
s
N
u
m
é
r
ic
o
s
Im
p
o
r
ta
n
t
e
s
(R
e
v
isã
o
)
2
.5
.1
C
o
n
ju
n
t
o
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
N
a
t
u
r
a
is
-
N
O
con
ju
n
to
d
os
n
ú
m
eros
n
atu
rais
é
form
ad
o
p
elos
n
ú
m
eros
in
teiros
p
ositivos
m
ais
o
zero.
N
=
{
0,1,2,3,4,5,6,···}
2
.5
.2
C
o
n
ju
n
t
o
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
In
t
e
ir
o
s
-
Z
O
con
ju
n
to
d
os
n
ú
m
eros
in
teiros
é
form
ad
o
p
elos
n
ú
m
eros
in
teiros
p
ositivos
e
n
egativos
m
ais
o
zero.
Z
=
{···
,−
4,−
3,−
2,−
1,0,1,2,3,4,···}
7
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.5.
C
O
N
JU
N
T
O
S
N
U
M
É
R
IC
O
S
IM
P
O
R
T
A
N
T
E
S
(R
E
V
ISÃ
O
)
2
.5
.3
C
o
n
ju
n
t
o
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
R
a
c
io
n
a
is
-
Q
O
con
ju
n
to
d
os
n
ú
m
eros
racion
ais
é
form
ad
o
p
elos
n
ú
m
eros
q
u
e
p
o
d
em
ser
escritos
em
form
a
d
e
fração.
Q
=
{
x|x
=
ab }
N
a
d
efi
n
ição
acim
a
a
e
b
n
ão
n
ú
m
eros
in
teiros,
sen
d
o
q
u
e
b6=
0.
F
azem
p
arte
d
este
con
ju
n
to
os
n
ú
m
eros
in
teiros,
d
ízim
as
p
erió
d
icas
e
d
ecim
ais
fi
n
itos.
2
.5
.4
C
o
n
ju
n
t
o
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
Ir
r
a
c
io
n
a
is
-
I
O
con
ju
n
to
d
os
n
ú
m
eros
irracion
ais
é
form
ad
o
p
elos
n
ú
m
eros
d
ecim
ais
n
ão-ex
atos,
n
ão
p
erió
d
icos
e
raízes
n
ão
ex
atas.
2
.5
.5
C
o
n
ju
n
t
o
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
R
e
a
is
-
R
O
con
ju
n
to
d
os
n
ú
m
eros
reais
é
form
ad
o
p
or
to
d
os
os
n
ú
m
eros
q
u
e
con
h
ecem
os,
ou
seja,
é
a
u
n
ião
d
os
con
ju
n
tos
d
os
n
ú
m
eros
racion
ais
(Q
)
e
d
os
irracion
ais
(I).
R
epresentação
dos
conjuntos
num
éricos
através
de
diagram
as:
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
7
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
2
.6
S
u
b
c
o
n
j.
D
e
f
in
id
o
s
p
o
r
u
m
a
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
U
m
sub
conjunto
definido
p
or
um
a
propriedade
é
aquele
conjunto
que
faz
parte
de
um
outro
conjunto
m
aior,
e
que
existe
um
a
propriedade
com
um
as
seus
elem
entos
que
os
distinguem
dos
dem
ais.
E
x
em
p
lo
:
A
=
{
1,3,5,···},
este
conjunto
é
form
ado
p
or
núm
eros
naturais
ím
pares,
logo
a
propriedade
que
o
distingue
do
conjunto
dos
núm
eros
naturais
é
que
ele
só
p
ossuielem
entos
ím
pares.
P
odem
os
representar
com
o:{
x∈
N|x
m
pa
r}.
B
=
{···
,−
4,−
3,−
2,−
1},
este
conjunto
é
form
ado
p
or
núm
eros
inteiros
m
enores
que
zero,logo
a
propriedade
que
o
distingue
do
conjunto
dos
núm
eros
inteiros
(conjunto
m
aior)
é
que
só
tem
elem
entos
negativos.
A
ssim
,
p
odem
os
representar
com
o:{
x∈
Z|x
<
0}.
2
.7
O
p
e
r
a
ç
õ
e
s
c
o
m
C
o
n
ju
n
t
o
s
2
.7
.1
U
n
iã
o
A
união
de
dois
ou
m
ais
conjuntos
é
o
conjunto
form
ado
p
or
todos
os
elem
entos
p
ertencentes
a
esses
conjuntos,
sem
rep
etição.
N
otação:
A
∪
B
A
∪
B
:
{x|
x∈
A
ou
x∈
B
}
E
x
em
p
lo
:
A
:
{0,
2,
4,
6,
8,
10};
B
=
{0,
1,
3,
7,
10}
e
C
=
{3,
5}
A
∪
B
:
{0,
1,
2,
3,
4,
6,
7,
8,
10}
A
∪
C
:
{0,
2,
3,
4,
5,
6,
8,
10}
B
∪
C
:
{0,
1,
3,
5,
7,
10}
A
∪
B
∪
C
:
{0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
10}
P
R
O
P
R
IE
D
A
D
E
S
a)
A
∪
B
=
B
∪
A
(cum
utativa);
b
)
(A
∪
B
)∪
C
=
A
∪
(B
∪
C
)
(associativa);
c)
A
∪
A
=
A
;
d
)
A
∪
∅
=
A
.
8
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.7.
O
P
E
R
A
Ç
Õ
E
S
C
O
M
C
O
N
JU
N
T
O
S
C
onjuntos
N
ão-D
isjuntos
C
onjuntos
D
isjuntos
A
∪
B
A
∪
C
B
∪
C
A
∪
B
∪
C
C
om
o
p
odem
os
ver,
para
realizar
um
a
união
em
form
a
de
diagram
as
de
V
enn,
basta
m
arcam
os
as
áreas
corresp
ondentes
aos
conjuntos
envolvidos.
C
om
o
p
or
exem
plo,
se
querem
os
A
∪
B
,
basta
m
arcam
os
a
área
corresp
ondente
a
A
e
dep
ois
com
plem
entarm
os
com
a
área
corresp
ondente
a
B
,
no
caso
de
haver
interseção(áreas
com
uns
aos
dois
conjuntos)
entre
conjuntos
basta
m
arcar
a
área
um
a
única
vez.
Se
desejam
os
A
∪
B
∪
C
,
m
arcam
os
as
áreas
corresp
ondentes
aos
três
conjuntos,e
se
houver
interseção
entre
dois
ou
três
conjuntos,
m
arcam
os
a
área
som
ente
um
vez.
A
T
E
N
Ç
Ã
O
:
quando
dizem
os
m
arcar
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
8
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
a
área
corresp
ondente
a
A
,
m
arcam
os
toda
a
área
referente
a
A
,
m
esm
o
que
p
or
esta
área
passem
outros
conjuntos,
é
com
o
se
os
outros
conjuntos
fossem
invisíveis.
2
.7
.2
In
t
e
r
s
e
ç
ã
o
A
interseção
de
dois
ou
m
ais
conjuntos
é
o
conjunto
form
ado
p
or
todos
os
elem
entos
com
uns
a
esses
dois
conjuntos,ou
seja,é
o
conjunto
form
ado
p
elos
elem
entos
que
aparecem
nestes
conjuntos
ao
m
esm
o
tem
p
o.
N
otação:
A
∩
B
A
∩
B
:
{x|
x∈
A
e
x∈
B
}
E
x
em
p
lo
:
A
:
{0,
2,
4,
6,
8,
10};
B
=
{0,
1,
3,
7,
10}
e
C
=
{3,
5}
A
∩
B
:
{0,
10}
A
∩
C
:
{
}
ou
∅
B
∩
C
:
{3}
A
∩
B
∩
C
:
{
}
ou
∅
P
R
O
P
R
IE
D
A
D
E
S
:
a)
A
∩
B
=
B
∩
A
(cum
utativa);
b
)
(A
∩
B
)∩
C
=
A
∩
(B
∩
C
)
(associativa);
c)
A
∩
A
=
A
;
d
)
A
∩
∅
=
∅
;
e)
A
∪
(B
∩
C
)
=
(A
∪
B
)∩
(A
∪
C
)
(distributiva);
f)
A
∩
(B
∪
C
)
=
(A
∩
B
)∪
(A
∩
C
)
(distributiva).
P
ara
conseguirm
os
a
interseção
de
dois
conjuntos,
que
estão
representados
p
or
diagram
as,
basta
observar
e
m
arcar
a
àrea
que
p
ertence
aos
dois
conjuntos
ao
m
esm
o
tem
p
o,
é
com
o
se
m
arcássem
os
os
dois
conjuntos
separadam
ente
e
dep
ois
colocássem
os
um
sobrep
ondo
o
outro
criando
um
a
área
“m
ais
escura".
A
ssim
,
um
a
dica
para
encontrarm
os
a
interseção,
p
or
exem
plo
A
∩
B
,
seria
m
arcar
o
conjunto
A
com
linhas
verticais
e
o
conjunto
B
com
linhas
horizontais,
assim
se
houver
interseção,
esta
ficará
tanto
com
as
linhas
verticais
quanto
com
as
horizontais,
form
ando
um
cruzam
ento
de
linhas,
a
área
onde
estiver
com
esse
cruzam
ento
é
a
interseção
entre
A
e
B
.
A
T
E
N
Ç
Ã
O
:
novam
ente
quando
falam
os
de
A
∩
B
,
esquecem
os
a
existência
dos
outros
conjuntos,
com
o
se
só
existissem
os
conjuntos
de
interesse.
8
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.7.
O
P
E
R
A
Ç
Õ
E
S
C
O
M
C
O
N
JU
N
T
O
S
C
onjuntos
N
ão-D
isjuntos
C
onjuntos
D
isjuntos
A
∩
B
A
∩
C
B
∩
C
A
∩
B
∩
C
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
8
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
2
.7
.3
D
if
e
r
e
n
ç
a
É
o
conjunto
form
ado
p
or
todos
os
elem
entos
p
ertencentes
a
A
e
que
não
p
ertencem
a
B
,
ou
seja,se
houver
elem
entos
com
uns
a
A
e
B
,estes
elem
entos
não
p
ertencerão
ao
conjunto
A
−
B
.
N
otação:
A
−
B
A
−
B
:
{x|
x∈
A
e
x6∈
B
}
E
x
em
p
lo
:
A
:
{0,
2,
4,
6,
8,
10};
B
=
{0,
1,
3,
7,
10}
e
C
=
{3,
5}
A
−
B
:
{2,
4,
6,
8}
A
−
C
:
{0,
2,
4,
6,
8,
10}
B
−
A
:
{1,
3,
7}
B
−
C
:
{0,
1,
7,
10}
C
−
A
:
{3,
5}
C
−
B
:
{5}
A
−
B
−
C
:
{2,
4,
6,
8}
B
−
A
−
C
:
{1,
7}
C
−
A
−
B
:
{5}
N
o
caso
de
realizarm
os
um
a
diferença
com
conjuntos
representados
p
or
diagram
as,é
com
o
se
m
arcássem
os
o
prim
eiro
conjunto
e
dep
ois
apagássem
os
a
área
que
p
ertence
tam
b
ém
ao
outro
conjunto.
P
or
exem
plo,
A
−
B
,
m
arcam
os
a
área
corresp
ondente
a
A
e
dep
ois
retiram
os
a
área
que
p
ertence
a
B
,
assim
sobrarão
ap
enas
os
elem
entos
que
p
ertencem
a
A
e
que
não
p
ertencem
a
B
.
A
T
E
N
Ç
Ã
O
:
m
ais
um
a
vez,
se
houver
interseções
com
outros
conjuntos
a
não
ser
os
de
interesse,
é
com
o
se
eles
não
existissem
,
fossem
invisíveis.
C
onjuntos
N
ão-D
isjuntos
C
onjuntos
D
isjuntos
A
−
B
8
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.7.
O
P
E
R
A
Ç
Õ
E
S
C
O
M
C
O
N
JU
N
T
O
S
C
onjuntos
N
ão-D
isjuntos
C
onjuntos
D
isjuntos
B
−
A
A
−
C
C
−
A
B
−
C
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
8
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
C
onjuntos
N
ão-D
isjuntos
C
onjuntos
D
isjuntos
C
−
B
A
−
B
−
C
B
−
A
−
C
C
−
A
−
B
8
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.7.
O
P
E
R
A
Ç
Õ
E
S
C
O
M
C
O
N
JU
N
T
O
S
2
.7
.4
C
o
m
p
l
e
m
e
n
t
a
ç
ã
o
É
o
conjunto
form
ado
p
or
todos
os
elem
entos
que
não
p
ertencem
a
A
,
em
relação
aos
conjuntos
apresentados,
ou
seja,
referente
à
união
dos
conjuntos
presentes.
N
otação:
A
A
:
{x|
x6∈
A
}
E
x
em
p
lo
:
A
:
{0,
2,
4,
6,
8,
10};
B
=
{0,
1,
3,
7,
10}
e
C
=
{3,
5}
A
:
{1,
3,
5,
7},
B
:
{2,
4,
5,
6,
8},
C
:
{0,
1,
2,
4,
7,
8,
10}
A
com
plem
entação
de
um
conjunto
representado
p
or
um
diagram
a
de
V
enn,
é
toda
a
área
que
está
fora
deste
conjunto,
é
com
o
se
m
arcássem
os
todos
os
conjuntos
envolvidos
e
dep
ois
apagássem
os
toda
a
área
que
corresp
onde
ao
conjunto
do
qual
quer
se
sab
er
o
com
plem
ento.
A
ssim
,se
tem
os
os
conjuntos
A
,
B
e
C
,para
encontrarm
os
o
com
plem
entar
de
A
,
basta
m
arcarm
os
todos
os
conjuntos
e
dep
ois
apagar
a
área
que
corresp
onde
ao
A
.
C
onjuntos
N
ão-D
isjuntos
C
onjuntos
D
isjuntos
ABC
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
8
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
2
.8
S
u
b
c
o
n
ju
n
t
o
s
d
e
R
e
ta
s
O
s
su
b
con
ju
n
tos
d
e
retas
são
in
tervalos
d
os
n
ú
m
eros
reais.
S
ão
caracterizad
os
p
or
d
esigu
ald
ad
es
e
rep
resen
tad
os,
geralm
en
te,
com
u
m
a
reta
on
d
e
são
rep
resen
tad
os
o
in
tervalo
com
os
seu
s
ex
trem
os.
D
entre
os
intervalos
reais,
alguns
m
erecem
um
a
consideração
esp
ecial.
Sejam
a
e
b
dois
núm
eros
reais,
com
a
<
b,
e
considerem
os
os
seguintes
intervalos:
•
O
prim
eiro
sub
conjunto
é
cham
ado
de
intervalo
fechado
de
extrem
os
a
e
b.
•
O
segundo
sub
conjunto
é
cham
ado
de
intervalo
ab
erto
de
extrem
os
a
e
b.
•
O
terceiro
e
quarto
sub
conjuntos
são
cham
ados
de
intervalos
sem
i-ab
ertos
à
esquerda
e
à
direita,
resp
ectivam
ente.
8
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.8.
SU
B
C
O
N
JU
N
T
O
S
D
E
R
E
T
A
S
•
O
s
intervalos
restantes
são
cham
ados
de
intervalos
infinitos.
C
om
estes
sub
conjuntos
p
odem
os
fazer
todas
as
op
erações
citadas
na
seção
anterior.
2
.8
.1
O
p
e
r
a
ç
õ
e
s
c
o
m
S
u
b
c
o
n
ju
n
t
o
s
d
e
R
e
t
a
s
•
U
n
ião(A
∪
B
):
sub
conjunto
form
ado
p
or
todo
o
intervalo
p
ertencente
a
A
m
ais
o
intervalo
p
ertencente
a
B
,
sem
rep
etir.
D
e
form
a
prática,
basta
p
egarm
os
o
sub
conjunto
A
e
adicionarm
os
a
parte
de
B
que
ainda
não
se
encontra
no
intervalo.
D
ica:
para
representar
em
retas
reais
o
sub
conjunto
gerado
p
ela
união
de
dois
sub
conjuntos,
quando
se
tem
interseção
entre
estes
conjuntos,
basta
com
eçar
p
elo
m
enor
valor
extrem
o
à
esquerda,
e
term
inar
no
m
aior
valor
extrem
o
à
direita,
m
antendo
suas
representações
(ab
erto
ou
fechado).
C
aso
não
haja
interseção
basta
representar
os
dois
sub
conjuntos
de
interesse
na
m
esm
a
reta
real.
•
In
terseção(A
∩
B
):
sub
conjunto
form
ado
p
elo
intervalo
com
um
a
A
e
B
,
ou
seja,
que
p
ertence
aos
dois
conjuntos
ao
m
esm
o
tem
p
o.
D
e
form
a
prática,
basta
representarm
os
a
parte
dos
dois
sub
conjuntos
que
aparecem
“coloridas”
ao
m
esm
o
tem
p
o.
D
ica:
para
representar
em
retas
reais
o
sub
conjunto
gerado
p
ela
interseção
de
dois
sub
conjuntos,
basta
com
eçar
p
elo
m
aior
valor
extrem
o
à
esquerda
e
term
inar
no
m
enor
valor
extrem
o
à
direita,m
antendo
suas
representações
(ab
erto
ou
fechado).
C
aso
não
haja
interseção
basta
representar
a
reta
real
sem
intervalos,
p
ois
este
será
o
conjunto
vazio
(∅
).
•
D
iferen
ça(A−
B
):
sub
conjunto
form
ado
p
elo
intervalo
de
A
que
não
p
ertence
a
B
.
D
e
form
a
prática,
basta
representarm
os
a
parte
de
A
que
não
aparece
“colorida”
em
B
.
D
ica:
para
representar
em
retas
reais
o
sub
conjunto
gerado
p
or
um
a
diferença,
prim
eiro
reproduza
o
conjunto
A
,
logo
ap
ós
“apague”
de
A
todos
os
elem
entos
que
p
ertencem
a
B
,
inclusive
o
extrem
o,
se
este
p
ertencer
a
B
,
isto
quando
houver
interseção.
Q
uando
não
houver
interseção,
a
diferença
é
dada
p
elo
próprio
A
.
•
C
om
p
lem
en
tação(A
):
sub
conjunto
form
ado
p
elo
intervalo
que
não
p
ertence
a
A
.
D
e
form
a
prática,
basta
representar
em
um
a
reta
real
todo
o
com
plem
entar
de
A
.
D
ica:
para
representar
em
retas
reais
o
sub
conjunto
gerado
p
ela
com
plem
entação,
prim
eiro
torne
toda
a
reta
real
um
intervalo
e
dep
ois
apague
a
parte
p
ertencente
a
A
.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
8
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
2.8.1.1
E
X
E
M
P
L
O
S
Sejam
os
seguintes
sub
conjuntos
de
reta:
U
nião,
intersecção
e
diferença,
entre
A
,
B
e
C
.
P
ara
entender
direitinho
com
o
funcionam
estas
op
erações
para
sub
conjuntos
de
retas,
leia
as
explicações
contidas
na
Seção
2.8.1.
9
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.8.
SU
B
C
O
N
JU
N
T
O
S
D
E
R
E
T
A
S
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
9
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
2
.9
E
x
e
r
c
íc
io
s
1.
N
om
eando
seus
elem
entos,
determ
ine
o
conjunto
dos:
(a)
núm
eros
naturais
ím
pares
m
enores
que
15;
(b)
núm
eros
naturais
pares
m
enores
que
20;
(c)
m
eses
do
ano
que
com
eçam
com
a
letra
m
;
(d)
dos
E
stados
brasileiros
que
com
eçam
com
a
letra
“a";
(e)
núm
eros
pares
m
aiores
que
6
e
m
enores
que
10;
(f)
núm
eros
naturais
m
enores
que
7;
(g)
dos
m
eses
do
ano
que
com
eçam
com
a
letra
“a";
(h)
dos
E
stados
brasileiros
não
banhados
p
elo
m
ar;
(i)
dos
núm
eros
pares
com
preendidos
entre
10
e
20;
(j)
dos
professores
de
seu
p
eríodo;
(k)
dos
núm
eros
naturais
m
aiores
ou
iguais
a
16
e
m
enores
ou
iguais
a
20;
(l)
das
letras
da
palavra
“m
atem
ática";
(m
)
das
letras
da
palavra
“F
acisaB
H
".
2.
D
ados
os
conjuntos
determ
inados
p
elos
seus
elem
entos,
expressá-los
p
or
m
eio
de
um
a
propriedade
com
um
:
(a)
A
=
{0,
1,
2,
3,
4}
(b)
B
=
{0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7}
(c)
C
=
{12,
14,
16,
18}
(d)
D
=
{dó,
re,
m
i,
fá,
sol,
lá,
si}
(e)
E
=
{1,
3,
5,
7,
...}
(f)
F
=
{-5,
-4,
-3,
-2,
-1,
0}
(g)
G
=
{a,
e,
i,
o,
u}
(h)
H
=
{sol,
si}
(i)
I
=
{0,
2,
4,
6,
8,
...}
(j)
J
=
{...,
-9,
-7,
-5,
-3,
-1}
(k)
K
=
{P
ará,
P
araíba,
P
araná,
P
ernam
buco,
P
iauí}
9
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.9.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
3.
C
om
pletar,
as
sentenças
abaixo,
com
um
dos
sím
b
olos∈
ou
6∈
de
m
odo
que
fiquem
sem
pre
verdadeiras:
(a)
cachorro
.....{anim
ais
m
am
íferos}
(b)
4
..............{núm
eros
ím
pares}
(c)
ler
.......................{verb
os}
(d)
fá
...............
{notas
m
usicais}
(e)
b
........................{vogais}
(f)
gato
......................{réptil}
(g)
A
lagoas
.{E
stados
do
N
ordeste
do
B
rasil}
(h)
13
...............{núm
eros
pares}
(i)
estudar
.............{substantivo}
(j)
zero
...........{núm
eros
ím
pares}
(k)
18
{núm
eros
pares
m
enores
que
20}
4.
N
om
eando
seus
elem
entos,
determ
ine
o
conjunto
e
diga
se
ele
é
unitário
ou
vazio:
(a)
dos
núm
eros
ím
pares
m
aiores
que
3
e
m
enores
que
7;
(b)
dos
núm
eros
pares
m
aiores
que
8
e
m
enores
que
10;
(c)
dos
núm
eros
ím
pares
m
enores
que
2
e
m
aiores
que
0;
(d)
dos
núm
eros
pares
m
aiores
que
2
e
m
enores
que
4;
(e)
dos
E
stados
brasileiros
da
R
egião
C
entro-O
este
banhados
p
elo
m
ar;
(f)
das
notas
m
usicais
que
com
eçam
com
a
letra
“l";
(g)
das
capitais
da
R
epública
F
ederativa
do
B
rasil;
(h)
dos
professores
de
M
atem
ática
de
seu
p
eríodo;
(i)
das
letras
que
se
rep
etem
na
palavra
“P
ernam
buco";
(j)
dos
planetas
cujos
nom
es
com
eçam
com
a
letra
“T
".
5.
D
izer
se
os
conjuntos
são
iguais
(=
)
ou
diferentes
(6=
):
(a)
A
=
{b,
o,
l}
e
B
=
{o,
l,
b};
(b)
A
=
{0,
1,
2,
5,
7}
e
B
=
{0,
2,
3,
5,
7};
(c)
A
=
{núm
eros
naturais
m
aiores
que
5
e
m
enores
que
10}
e
B
=
{5,
6,
7,
8,
9};
(d)
A
=
{núm
eros
ím
pares
com
preendidos
entre
10
e
20}
e
B
=
{11,
13,
15,
17,
19};
(e)
A
=
{letra
da
palavra
casca}
e
B
=
{a,
c,
s}
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
9
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
6.
U
tilizando
um
dos
sím
b
olos
=
,⊂
,⊃
,6⊂
e6⊃
relacione
os
conjuntos:
(a)
{p
ortos
brasileiros}
.....{Santos};
(b)
{m
ilho}
.................{cereais};
(c)
{0,1,2}
...............{1,
2,
3,
4};
(d)
{0,
2,
4,
6}
....{0,
1,
2,
3,
4,
5,
6};
(e)
{rios
do
B
rasil}
..{A
m
azonas,
São
F
rancisco};
(f)
{cachorros}
.{anim
ais
m
am
íferos};
(g)
{alfab
eto}
...............{vogais};
(h)
{1,
5,
9,
13}
........{1,
3,
5,
7,...};
(i)
∅
.....................{1,
2,
3,
4};
(j)
{0,
2,
4,
6,...}
................{0};
(k)
{0,
1,
2}
................{1,
2,
0};
(l)
∅
..............................∅
;
(m
)
A
=
{a,
b}
...........B
=
{b,
a};
(n)
A
=
{m
ineiros}
.B
=
{brasileiros};
(o)
A
=
{c,
a,
s,
o}
..B
=
{s,
a,
c,
o};
(p)
A
=
{alfab
eto}
B
=
{a,
e,
i,
o,
u};
(q)
A
=
{2,
0,
1,
3}
B
=
{2,
5,
0,
1,
7};
(r)
A
=
{núm
eros
pares}
..B
=
{13};
(s)
A
=
∅
.............B
=
{0,
1,
2};
(t)
A
=
{1}
.........B
=
{0,
2,
4,
6};
(u)
A
=
{1,
3,
5,
7,...}
B
=
{0,
1,
2,
3,
4,
5,...};
(v)
A
=
{0,
1,
2,
3,
4,
5,...}
B
=
{0,
2,
4,
6,...}.
7.
E
screva
todos
os
sub
conjuntos
do
conjunto:
(a)
{1,2};
(b)
{1,
2,
3};
(c)
{a,
b,
c};
(d)
{a,
e,
i,
o,
u};
(e)
{1,
5,
8,
10};
(f)
{-9,
-7,
-3};
(g)
{-5,
-4,
-3,
-2,
-1};
(h)
{piano,
harpa,
violão};
(i)
{dó,
ré,
m
i,
fá};
(j)
{Júlio,
A
lb
erto,
C
ássio,
F
ernando};
(k)
{M
inas
G
erais,
São
P
aulo,
R
io
de
Janeiro,
E
spírito
Santo};
(l)
{triângulo,
quadrado,
retângulo,
trap
ézio}.
9
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.9.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
8.
D
ados
os
conjuntos
•
A
=
{-4,
-1,
0,
2,
6,
8,
13},
•
B
=
{-3,
-2,
0,
1,
3,
4,
}
•
C
=
{0,
2,
3,
5,11,
13,
14}
determ
ine:
(a)
A
∪
B
(b)
A
∩
B
(c)
A
∪
C
(d)
A
∩
C
(e)
B
∩
C
(f)
B
∪
C
(g)
(A
∩
B
)∪
C
(h)
(A
∪
B
)∩
C
(i)
(A
∩
B
)∩
C
(j)
(A
∪
B
)∪
C
(k)
(A
−
C
)∪
B
(l)
(A
∪
B
)−
C
(m
)
(B
−
A
)∩
C
(n)
(A
∩
C
)−
B
(o)
C
−
A
−
B
(p)
A
−
B
−
C
(q)
B
−
A
−
C
(r)
(A
∩
B
)−
C
(s)
(C
∩
B
)−
A
(t)
(A
∪
C
)−
B
9.
M
arque
a
área
desejada
da
figura
para
os
itens
abaixo:
(a)
A
∪
B
(b)
A
∩
B
(c)
A
∪
C
(d)
A
∩
C
(e)
A
∪
D
(f)
A
∩
D
(g)
B
∪
C
(h)
B
∩
C
(i)
B
∪
D
(j)
B
∩
D
(k)
(A
∩
B
)∪
C
(l)
(A
∪
B
)∩
C
(m
)
(A
∩
B
)∩
C
(n)
(A
∪
B
)∪
C
(o)
(A
−
B
)∩
(C
−
D
)
(p)
(C
−
A
)∩
(D
−
B
)
(q)
(A
∪
B
)∪
(C
∪
D
)
(r)
(A
∩
B
)∪
(C
∩
D
)
(s)
(A
∩
B
)∩
(C
∩
D
)
(t)
(A
∪
B
)∩
(C
∪
D
)
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
9
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
2.
C
O
N
JU
N
T
O
S
10.
M
arque
a
área
desejada
da
figura
para
os
itens
abaixo:
(a)
A
∪
B
(b)
A
∩
B
(c)
A
∪
C
(d)
A
∩
C
(e)
B
∩
C
(f)
B
∪
C
(g)
(A
∩
B
)∪
C
(h)
(A
∪
B
)∩
C
(i)
(A
∩
B
)∩
C
(j)
(A
∪
B
)∪
C
(k)
(A
−
C
)∪
B
(l)
(A
∪
B
)−
C
(m
)
(B
−
A
)∩
C
(n)
(A
∩
C
)−
B
(o)
C
−
A
−
B
(p)
A
−
B
−
C
(q)
B
−
A
−
C
(r)
(A
∩
B
)−
C
(s)
(C
∩
B
)−
A
(t)
(A
∪
C
)−
B
11.
M
arque
a
área
desejada
da
figura
para
os
itens
abaixo:
(a)
A
∪
B
(b)
A
∩
B
(c)
A
∪
C
(d)
A
∩
C
(e)
A
∪
D
(f)
A
∩
D
(g)
B
∪
C
(h)
B
∩
C
(i)
B
∪
D
(j)
B
∩
D
(k)
(A
∩
B
)∪
C
(l)
(A
∪
B
)∩
C
(m
)
(A
∩
B
)∩
C
(n)
(A
∪
B
)∪
C
(o)
(A
−
B
)∩
(C
−
D
)
(p)
(C
−
A
)∩
(D
−
B
)
(q)
(A
∪
B
)∪
(C
∪
D
)
(r)
(A
∩
B
)∪
(C
∩
D
)
(s)
(A
∩
B
)∩
(C
∩
D
)
(t)
(A
∪
B
)∩
(C
∪
D
)
9
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2.9.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
12.
U
sando
sub
conjuntos
de
reta,
represente:
A
=
[−
1,4)
B
=
[2,7)
C
=
(3,8)
U
tilize
os
sub
conjuntos
anteriores
para
realizar
as
op
erações
a
seguir:
(a)
A
∪
B
(b)
A
∩
B
(c)
A
∪
C
(d)
A
∩
C
(e)
B
∪
C
(f)
B
∩
C
(g)
(A
∩
B
)∪
C
(h)
(A
∪
B
)∩
C
(i)
(A
∩
B
)∩
C
(j)
(A
∪
B
)∪
C
(k)
(A
−
C
)∪
B
(l)
(A
∪
B
)−
C
(m
)
(B
−
A
)∩
C
(n)
(A
∩
C
)−
B
(o)
C
−
A
−
B
(p)
A
−
B
−
C
(q)
B
−
A
−
C
(r)
(A
∩
B
)−
C
(s)
(C
∩
B
)−
A
(t)
(A
∪
C
)−
B
13.
U
sando
sub
conjuntos
de
reta,
represente:
A
=
[−
2,5)
B
=
(0,8]
C
=
[3,10]
U
tilize
os
sub
conjuntos
anteriores
para
realizar
as
op
erações
a
seguir:
(a)
A
∪
B
(b)
A
∩
B
(c)
A
∪
C
(d)
A
∩
C
(e)
B
∪
C
(f)
B
∩
C
(g)
(A
∩
B
)∪
C
(h)
(A
∪
B
)∩
C
(i)
(A
∩
B
)∩
C
(j)
(A
∪
B
)∪
C
(k)
(A
−
C
)∪
B
(l)
(A
∪
B
)−
C
(m
)
(B
−
A
)∩
C
(n)
(A
∩
C
)−
B
(o)
C
−
A
−
B
(p)
A
−
B
−
C
(q)
B
−
A
−
C
(r)
(A
∩
B
)−
C
(s)
(C
∩
B
)−
A
(t)
(A
∪
C
)−
B
14.
U
sando
sub
conjuntos
de
reta,
represente:
A
=
[−
2,∞
)
B
=
(−∞
,8]
C
=
[−
5,3]
U
tilize
os
sub
conjuntos
anteriores
para
realizar
as
op
erações
a
seguir:
(a)
A
∪
B
(b)
A
∩
B
(c)
A
∪
C
(d)
A
∩
C
(e)
B
∪
C
(f)
B
∩
C
(g)
(A
∩
B
)∪
C
(h)
(A
∪
B
)∩
C
(i)
(A
∩
B
)∩
C
(j)
(A
∪
B
)∪
C
(k)
(A
−
C
)∪
B
(l)
(A
∪
B
)−
C
(m
)
(B
−
A
)∩
C
(n)
(A
∩
C
)−
B
(o)
C
−
A
−
B
(p)
A
−
B
−
C
(q)
B
−
A
−
C
(r)
(A
∩
B
)−
C
(s)
(C
∩
B
)−
A
(t)
(A
∪
C
)−
B
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
9
7
C
a
p
ít
u
l
o
3
F
u
n
ç
õ
e
s
3
.1
D
e
f
in
iç
ã
o
e
N
o
ta
ç
õ
e
s
O
conceito
de
função
é
um
dos
m
ais
im
p
ortantes.
É
com
um
nos
depararm
os
com
situações
onde
o
valor
de
um
a
quantidade
dep
ende
de
outra.
C
om
o
p
or
exem
plo:
•
A
dem
anda
de
um
certo
produto
p
ode
dep
ender
de
seu
preço
de
m
ercado;
•
O
lucro
de
um
a
em
presa
p
ode
dep
ender
de
sua
receita
e
de
seu
custo;
•
O
tam
anho
de
um
a
criança
p
ode
dep
ender
de
sua
idade;
•
A
quantidade
de
p
oluentes
no
ar
p
ode
dep
ender
do
núm
ero
de
carros
e
indústrias
da
região;
•
O
tem
p
o
que
você
gasta
de
sua
casa
ao
trabalho
p
ode
dep
ender
da
sua
velocidade.
M
uitas
vezes,
tais
relações
p
odem
ser
representadas
(m
odeladas)
através
de
funções
m
atem
áticas.
E
ntão
p
odem
os
definir:
F
u
n
ção
é
u
m
a
regra
q
u
e
asso
cia
cad
a
ob
jeto
d
e
u
m
con
ju
n
to
D
a
ex
atam
en
te
u
m
ob
jeto
d
e
u
m
ou
tro
con
ju
n
to
I.
U
m
a
outra
definição:
D
ad
os
d
ois
con
ju
n
tos
D
e
E
n
ão-vazios,
d
izem
os
q
u
e
a
relação
f
d
e
D
em
E
é
fu
n
ção
se,
e
som
en
te
se,
p
ara
q
u
alq
u
er
valor
d
e
x
p
erten
cen
te
ao
con
ju
n
to
D
,
ex
iste,
em
corresp
on
d
ên
cia,
u
m
ú
n
ico
y
p
erten
cen
te
a
E
.
E
x
em
p
lo
:
V
am
os
considerar
algum
as
relações
representadas
p
elos
diagram
as
de
flechas
e
ver
quais
delas
representam
um
a
função:
C
A
P
ÍT
U
L
O
3.
F
U
N
Ç
Õ
E
S
F
igura
3.1:
R
1
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
a
cada
elem
ento
do
conjunto
A
corresp
onde
um
único
elem
ento
do
conjunto
B
.
F
igura
3.2:
R
3
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
a
cada
elem
ento
do
conjunto
A
corresp
onde
um
único
elem
ento
do
conjunto
B
.
F
igura
3.3:
R
2
não
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
o
elem
ento
4
do
conjunto
A
p
ossui
dois
corresp
ondentes
em
B
(2
e
−
2).
F
igura
3.4:
R
4
não
é
um
a
função
de
A
em
B
,
p
ois
o
elem
ento
6
do
conjunto
A
não
p
ossui
corresp
ondente
em
B
.
C
ostum
am
os
representar
as
funções,
em
geral,
p
elas
letras
f,
g,
h.
N
um
a
função
f
de
A
em
B
,
adotam
os
as
seguintes
convenções,
conform
e
a
F
igura
3.5.
F
igura
3.5:
C
onvenção
de
um
a
função
•
P
ara
indicar
que
f
é
um
a
função
de
A
em
B
,
escrevem
os
f
:
A
→
B
;
•
O
conjunto
A
é
cham
ado
de
d
om
ín
io
da
função
f;
•
O
conjunto
B
é
cham
ado
de
con
tra-d
om
ín
io
da
função
f;
•
Se
(x
,y
)∈
f
é
a
im
agem
de
x
ou
de
que
y
é
o
valor
de
f
no
p
onto
x
e
escrevem
os
y
=
f
(x
)
,
que
lê-se:
y
é
iqual
a
f
de
x.
1
0
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3.1.
D
E
F
IN
IÇ
Ã
O
E
N
O
T
A
Ç
Õ
E
S
3
.1
.1
V
a
l
o
r
N
u
m
é
r
ic
o
d
e
u
m
a
F
u
n
ç
ã
o
O
valor
n
u
m
érico
d
e
u
m
a
fu
n
ção
f(x
)
o
valor
q
u
e
a
variável
y
assu
m
e
q
u
an
d
o
a
variável
x
é
su
b
stitu
íd
a
p
or
u
m
d
eterm
in
ad
o
valor
q
u
e
lh
e
é
atrib
u
íd
o.
E
x
em
p
lo
1
:
C
onsiderando
a
função
f
(x
)
=
2x
2
+
1,
tem
os:
•
f
(1)
=
2·
(1)
2
+
1
=
2·
1
+
1
=
2
+
1
=
3
(a
im
agem
de
1
p
ela
função
f
é
f
(1)
=
3.
•
f
(−
2)
=
2·
(−
2)
2
+
1
=
2·
4
+
1
=
8
+
1
=
9
(a
im
agem
de−
2
p
ela
função
f
é
f
(−
2)
=
9.
•
f
(3)
=
2·
(3)
2
+
1
=
2·
9
+
1
=
18
+
1
=
19
(a
im
agem
de
3
p
ela
função
f
é
f
(3)
=
19.
C
om
o
x
representa
todos
os
elem
entos
do
dom
ínio
da
função,
o
seu
valor
varia.
C
om
o
para
cada
elem
ento
x
do
dom
ínio
há
um
a
im
agem
y
no
contradom
ínio,
o
valor
de
y
tam
b
ém
varia,
e
varia
na
dep
endência
de
x.
E
x
em
p
lo
2
:
C
onsiderando
a
função
f
(x
)
=
−
3
+
5x
+
2x
2,
tem
os:
•
f
(0)
=
−
3
+
5·
0
+
2·
0
2
=
−
3
+
0
+
2·0
=
−
3
+
0
+
0
=
−
3
(a
im
agem
de
0
p
ela
função
f
é
f
(0)
=
−
3
•
f
(1)
=
−
3
+
5·
1
+
2·
1
2
=
−
3
+
5
+
2·
1
=
−
3
+
5
+
2
=
4
(a
im
agem
de
1
p
ela
função
f
é
f
(1)
=
4
•
f
(−
1)
=
−
3
+
5·(−
1)
+
2·(−
1)
2
=
−
3−
5
+
2·1
=
−
3−
5
+
2
=
−
6
(a
im
agem
de
-1
p
ela
função
f
é
f
(−
1)
=
−
6
3
.1
.2
D
o
m
ín
io
d
e
u
m
a
F
u
n
ç
ã
o
O
D
om
ín
io
d
e
u
m
a
fu
n
ção
é
o
con
ju
n
to
d
e
to
d
os
os
valores
reais
p
ara
os
q
u
ais
as
op
eraçõ
es
in
d
icad
as
n
a
fu
n
ção
são
p
ossíveis
d
e
serem
calcu
lad
as
e
resu
lta
em
u
m
n
ú
m
ero
real.
P
ara
determ
inarm
os
esse
conjunto,
é
preciso
ob
edecer
duas
prem
ícias
básicas
da
m
atem
ática,
que
cham
am
os
de
C
O
N
D
IÇ
Õ
E
S
D
E
E
X
IS
T
Ê
N
C
IA
,
lem
brando
que
tratarem
os
som
ente
com
núm
eros
reais.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
0
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
3.
F
U
N
Ç
Õ
E
S
a)
E
m
u
m
a
fração,
d
en
om
in
ad
or
d
eve
ser
S
E
M
P
R
E
d
iferen
te
d
e
Z
E
R
O
(6=
0),
p
ois
n
ão
ex
iste
d
iv
isão
p
or
zero;
b
)
E
m
u
m
a
raiz
d
e
ín
d
ice
p
ar,
o
rad
ican
d
o
d
eve
ser
sem
p
re
m
aior
ou
igu
al
a
Z
E
R
O
(≥
0),
p
ois
n
ão
ex
iste
raiz
d
e
ín
d
ice
p
ar
d
e
u
m
n
ú
m
ero
n
egativo.
E
x
em
p
los:
D
eterm
ine
o
dom
ínio
das
funções
abaixo:
a)
f
(x
)
=
x
3−
3x
2
+
2x
+
1
N
este
caso,
não
há
qualquer
restrição,
p
ois
não
p
ossui
divisões
e
nem
raízes.
A
ssim
o
seu
dom
ínio
é
D
=
{
x∈
R}.
b
)
f
(x
)
=
1
2x−
1
N
este
caso,
devem
os
ob
edecer
à
prim
eira
restrição
de
não
haver
divisão
p
or
zero,
e
assim
o
denom
inador
tem
de
ser
diferente
de
zero:
f
(x
)
=
2
2x-1
6=
0
⇒
2x−
16=
0⇒
2x6=
1⇒
x6=
12
L
ogo:
D
=
{
x∈
R|x6=
12 }
c)
f
(x
)
=
√
x−
2
N
este
caso,
devem
os
ob
edecer
à
segunda
restrição
de
não
haver
raiz
de
índice
par
de
núm
eros
reais
negativos:
f
(x
)
= √
x-2
≥
0⇒
x−
2≥
0⇒
x≥
2
L
ogo:D
=
{
x∈
R|x≥
2}
d
)
f
(x
)
=
1−
x
√
4
+
x
.
N
este
caso,devem
os
ob
edecer
às
duas
restrições,
p
ois
tem
os
um
a
raiz
de
índice
para
de
núm
eros
reais
no
denom
inador.
A
ssim
,
o
valor
de
dentro
da
raiz
só
p
oderá
ser
m
aior
que
zero,
p
ois
se
for
igual
a
zero
estaria
desob
edecendo
a
prim
eira
restrição:
f
(x
)
=
1−
x
√
4+
x
>
0
⇒
4
+
x
>
0⇒
x
>
−
4
L
ogo:D
=
{
x∈
R|x
>
−
4}
1
0
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3.2.
G
R
Á
F
IC
O
D
E
U
M
A
F
U
N
Ç
Ã
O
3
.1
.3
Im
a
g
e
m
d
e
u
m
a
F
u
n
ç
ã
o
A
cada
elem
ento
x
p
ertencente
ao
dom
ínio
de
um
a
função
y
=
f
(x
)
corresp
onde
um
único
valor
de
y
do
contra-dom
ínio
desse
função,
denom
inado
im
agem
de
x
p
ela
função
f
.
A
im
agem
de
um
valor
x
é
obtida
achando-se
o
valor
num
érico
dessa
função
no
p
onto
x
conform
e
a
Seção
3.1.1.
3
.2
G
r
á
f
ic
o
d
e
u
m
a
F
u
n
ç
ã
o
3
.2
.1
P
l
a
n
o
C
a
r
t
e
s
ia
n
o
N
ão
p
odem
os
falar
em
gráficos
antes
de
falar
em
P
L
A
N
O
C
A
R
T
E
S
IA
N
O
.
U
m
p
lan
o
cartesian
o
é
form
ad
o
p
elo
p
ro
d
u
to
cartesian
o
d
e
d
u
as
retas
reais,
q
u
e
se
in
tercep
tam
n
o
p
on
to
0
d
e
cad
a
u
m
a,
on
d
e
u
m
a
é
ch
am
ad
a
d
e
E
IX
O
-X
e
a
ou
tra
d
e
E
IX
O
-Y
.
A
ssim
,
o
p
lan
o
é
form
ad
o
p
or
to
d
os
os
p
ares
ord
en
ad
os
(x
,y
),
on
d
e
a
p
rim
eira
co
ord
en
ad
a
d
o
p
ar
sem
p
re
se
refere
a
x
e
a
segu
n
d
a
a
y.
E
x
em
p
lo
:
M
arque
os
seguintes
p
ontos
no
plano
cartesiano:
A
=
(0,0),
B
=
(2,−
4),
C
=
(−
7,3),
D
=
(5,7),
E
=
(−
3,−
9),
F
=
(0,−
6),
G
=
(4,0).
O
s
pares
ordenados
(x
,y
)
do
plano
cartesiano
X
×
Y
são
representados
p
elas
interseções
entre
as
verticais,
traçadas
p
elos
elem
entos
de
X
,
e
as
horizontais,
traçadas
p
elos
elem
entos
de
Y
.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
0
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
3.
F
U
N
Ç
Õ
E
S
3
.2
.2
F
u
n
ç
ã
o
C
o
n
s
t
a
n
t
e
:
f
(x
)
=
k
S
eja
k
u
m
n
ú
m
ero
real
q
u
alq
u
er,
essa
fu
n
ção
é
aq
u
ela
q
u
e
rep
resen
ta
sem
p
re
o
m
esm
o
valor
p
ara
f
(x
),
in
d
ep
en
d
en
te
d
o
valor
d
e
x.
S
u
a
rep
resen
tação
gráfi
ca
é
u
m
a
reta
p
aralela
ao
eix
o-x
e
q
u
e
p
assa
p
elo
p
on
to
f
(x
)
=
k.
E
x
em
p
los:
−
1
0
−
5
0
5
1
0
−10 −5 0 5 10
x
y
y =
 2
2
−
1
0
−
5
0
5
1
0
−10 −5 0 5 10
x
y
y =
 −
2
−
2
−
1
0
−
5
0
5
1
0
−10 −5 0 5 10
x
y
y =
 5
5
−
1
0
−
5
0
5
1
0
−10 −5 0 5 10
x
y
y =
 −
5
−
5
1
0
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3.2.
G
R
Á
F
IC
O
D
E
U
M
A
F
U
N
Ç
Ã
O
3
.2
.3
F
u
n
ç
ã
o
L
in
e
a
r
:
f
(x
)
=
a
x
+
b
S
en
d
o
a,
b
con
stan
tes
reais,
tais
q
u
e
a
6=
0,
ch
am
a-se
fu
n
ção
lin
ear
ou
fu
n
ção
d
e
1
o
grau
,
to
d
a
fu
n
ção
real
d
o
tip
o:
f
(x
)
=
a
x
+
b
3.2.3.1
C
a
r
a
c
t
e
r
ís
t
ic
a
s
Im
p
o
r
t
a
n
t
e
s
d
a
F
u
n
ç
ã
o
L
in
e
a
r
D
om
ín
io:
o
dom
ínio
de
um
a
função
linear
é
o
conjunto
dos
núm
eros
reais:
D
:{
x∈
R};
Im
agem
:
a
im
agem
de
um
a
função
linear
é
o
conjunto
dos
núm
eros
reais:
I
m
:{
x∈
R};
R
ep
resen
tação
gráfi
ca:
é
um
a
reta
não-paralela
a
qualquer
dos
eixos
coordenados;
C
o
efi
cien
te
an
gu
lar:
é
o
coeficiente
a
e
indica
a
inclinação
da
reta;
C
o
efi
cien
te
lin
ear:
é
o
coeficiente
b
e
indica
o
p
onto
onde
a
reta
intercepta
o
eixo-y;
F
u
n
ção
C
rescen
te:
a
função
linear
é
crescente
quando
o
coeficiente
angular
é
p
ositivo
(a
>
0),
que
significa
que
a
m
edida
que
o
valor
x
aum
enta,
o
valor
y
cresce;
F
u
n
ção
D
ecrescen
te:
a
função
linear
é
decrescente
quanto
o
coeficiente
angular
é
negativo
(a
<
0),
que
significa
que
a
m
edida
que
o
valor
x
aum
enta,
o
valor
y
decresce;
3.2.3.2
R
e
p
r
e
s
e
n
t
a
ç
ã
o
G
r
á
f
ic
a
P
ara
p
oderm
os
fazer
o
gráfico
de
um
a
função
linear
precisam
os
inicialm
ente
de
dois
p
ontos,
p
ois
através
de
dois
p
ontos
é
p
ossível
traçar
um
a
única
reta.
A
ssim
,
escolhem
os
quaisquer
dois
valores
para
x,
substituím
os
na
função
e
então
encontram
os
o
valor
de
y,
e
assim
tem
os
dois
p
ontos
p
elos
quais
traçarem
os
a
reta.
U
m
a
característica
m
uito
im
p
ortante
da
função
linear
é
que
a
variação
do
y
é
sem
pre
a
m
esm
a
quando
o
x
varia
de
um
a
unidade.
A
variação
do
y
é
sem
pre
igual
ao
coeficiente
angular
a.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
0
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
3.
F
U
N
Ç
Õ
E
S
O
utra
característica
m
uito
im
p
ortante
é
o
coeficiente
b,
ele
indica
o
valor
de
y
quando
o
x
=
0,
e
para
qualquer
outro
valor
de
x
ele
p
erm
anece
inalterado.
E
x
em
p
lo
1
:
y
=
2x
+
3
(função
crescente)
x
y
=
2x
+
3
0
y
=
2·0
+
3
=
0
+
3
=
3
2
y
=
2·2
+
3
=
4
+
3
=
7
−
1
0
−
5
0
5
1
0
−10 −5 0 5 10
x
y
y =
 2 * x +
 3
3
−
1.5
0
3
2
7
E
x
em
p
lo
2
:
y
=
−
4x
+
8
(função
decrescente)
x
y
=
−
4x
+
8
1
y
=
−
4·
1
+
8
=
−
4
+
8
=
4
2
y
=
−
4·
2
+
8
=
−
8
+
8
=
0
−
1
0
−
5
0
5
1
0
−10 −5 0 5 10
x
y
y =
 −
4 * x +
 8
8
2
1
4
2
0
3.2.3.3
E
q
u
a
ç
ã
o
d
a
R
e
t
a
D
a
d
o
s
D
o
is
P
o
n
t
o
s
D
a
m
esm
a
form
a
que
precisam
os
de
dois
p
ontos
para
traçar
um
a
reta,
se
tiverm
os
quaisquer
dois
p
ontos
p
odem
os
determ
inar
a
equação
da
reta.
O
ob
jetivo,
aqui,
é
determ
inar
a
equação
da
reta,
y
=
a
x
+
b,
que
passa
p
or
esses
dois
p
ontos.
Q
uando
não
sab
em
os
a
equação
da
reta,
quer
dizer
que
não
sab
em
os
os
valores
de
a
e
b
da
reta
y
=
a
x
+
b.
P
ara
descobrirm
os
esses
valores
basta
substituirm
os
os
p
ontos
nesta
equação,
com
os
dois
p
ontos
terem
os
duas
equações
de
prim
eiro
grau
diferentes
e
desejam
os
sab
er
os
valores
de
a
e
b
que
satisfazem
essas
duas
equações
ao
m
esm
o
tem
p
o,
ou
seja,
terem
os
de
resolver
um
sistem
a
de
equações
do
1
o
grau.
E
x
em
p
lo
1
:
C
alcule
a
equação
da
reta
que
passa
p
elos
p
ontos
P
1
=
(1,3)
e
P
2
=
(3,7).
R
e
so
lu
ç
ã
o
:
P
rim
eiram
ente
substituím
os
os
p
ontos
na
equação
a
x
+
b
=
y,
lem
brando
que
a
prim
eira
coordenada
sem
pre
representa
x
e
a
segunda
y
P
1
=
(1,3)⇒
a·
1
+
b
=
3⇒
a
+
b
=
3
P
2
=
(3,7)⇒
a·
3
+
b
=
7⇒
3a
+
b
=
7
A
ssim
,
tem
os
o
seguinte
sistem
a:{
a
+
b
=
3
3a
+
b
=
7
1
0
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3.2.
G
R
Á
F
IC
O
D
E
U
M
A
F
U
N
Ç
Ã
O
N
esse
caso,
p
odem
os
resolver
p
elo
m
étodo
da
adição,
o
qual
será
de
m
ais
fácil
resolução
p
orque
o
valor
de
b
não
m
udará
de
um
a
equação
para
a
outra.
E
ntão
para
aplicarm
os
este
m
étodo
basta
que
m
ultipliquem
os
um
a
das
equações
p
or−
1.
(Sugestão:
m
ultiplique
aquela
que
o
valor
de
a
for
m
enor.)
{
a
+
b
=
3
(−
1)
3a
+
b
=
7
A
ssim
,

−
a
−
6b
=
−
3
3a
+
6b
=
7
2a
=
4
T
em
os
então
2a
=
4⇒
a
=
42 ⇒
a
=
2.
Substituindo
a
=
2
em
um
a
das
equações
do
sistem
a
preparado,
tem
-se:
a
+
b
=
3
2
+
b
=
3
b
=
3−
2
b
=
1
A
ssim
,
a
equação
da
reta
é
y
=
2x
+
1
.
E
x
em
p
lo
2
:
C
alcule
a
equação
da
reta
que
passa
p
elos
p
ontos
P
1
=
(3,8)
e
P
2
=
(2,10).
R
e
so
lu
ç
ã
o
:
P
rim
eiram
ente
substituím
os
os
p
ontos
na
equação
a
x
+
b
=
y,
lem
brando
que
a
prim
eira
coordenada
sem
pre
representa
x
e
a
segunda
y
P
1
=
(3,8)⇒
a·3
+
b
=
8⇒
3a
+
b
=
8
P
2
=
(2,10)⇒
a·
2
+
b
=
10⇒
2a
+
b
=
10
A
ssim
,
tem
os
o
seguinte
sistem
a:{
3a
+
b
=
8
2a
+
b
=
10
N
esse
caso,
p
odem
os
resolver
p
elo
m
étodo
da
adição,
o
qual
será
de
m
ais
fácil
resolução
p
orque
o
valor
de
b
não
m
udará
de
um
a
equação
para
a
outra.
E
ntão
para
aplicarm
os
este
m
étodo
basta
que
m
ultipliquem
os
um
a
das
equações
p
or−
1.
(Sugestão:
m
ultiplique
aquela
que
o
valor
de
a
for
m
enor.)
{
3a
+
b
=
8
2a
+
b
=
10
(−
1)
A
ssim
,

3a
+
6b
=
8
−
2a
−
6b
=
−
10
a
=
−
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
0
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
3.
F
U
N
Ç
Õ
E
S
Substituindo
a
=
−
2
em
um
a
das
equações
do
sistem
a
preparado,
tem
-se:
3a
+
b
=
8
3·
(−
2)
+
b
=
8
−
6
+
b
=
8
b
=
8
+
6
b
=
14
A
ssim
,
a
equação
da
reta
é
y
=
−
2x
+
14
.
3.2.3.4
E
q
u
a
ç
ã
o
d
a
R
e
t
a
d
a
d
o
s
u
m
P
o
n
t
o
e
o
C
o
e
f
ic
ie
n
t
e
A
n
g
u
l
a
r
N
este
caso,
tem
os
um
p
onto
e
o
coeficiente
angular,
a,
e
precisam
os
descobrir
a
equação
da
reta,
y
=
a
x
+
b
que
passa
p
or
eles,
ou
seja,
falta
descobrirm
os
o
valor
de
b.
P
ara
isso,
substituím
os
todos
os
valores
dados
na
m
esm
a
equação
e
encontram
os
o
valor
de
b,
que
será
a
única
incógnita
da
equação.
E
x
em
p
lo
1
:
C
alcule
a
equação
da
reta
que
passa
p
elo
p
onto
P
1
=
(3,8)
e
cujo
coeficiente
angular
é
-2.
Substituindo
a
=
−
2,
x
=
3
e
y
=
8
na
equação
geral
a
x
+
b
=
y,
tem
os:
−
2·
3
+
b
=
8
−
6
+
b
=
8
b
=
8
+
6
b
=
14
A
ssim
,
a
equação
da
reta
é
y
=
−
2x
+
14
.
E
x
em
p
lo
2
:
C
alcule
a
equação
da
reta
que
passa
p
elo
p
onto
P
1
=
(2,7)
e
cujo
coeficiente
angular
é
2.
Substituindo
a
=
−
2,
x
=
3
e
y
=
8
na
equação
geral
a
x
+
b
=
y,
tem
os:
2·
2
+
b
=
7
4
+
b
=
7
b
=
7−
4
b
=
3
A
ssim
,
a
equação
da
reta
é
y
=
2x
+
3
.
1
0
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3.2.
G
R
Á
F
IC
O
D
E
U
M
A
F
U
N
Ç
Ã
O
3.2.3.5
In
t
e
r
s
e
ç
ã
o
d
e
D
u
a
s
F
u
n
ç
õ
e
s
A
interseção
de
duas
funções,
é
aquele
p
onto
que
p
ertence
às
duas
funções
ao
m
esm
o
tem
p
o,
é
neste
p
onto
que
as
duas
funções
se
interceptam
entre
si.
A
ssim
,
o
p
onto
de
interseção
é
o
m
esm
o
para
as
duas
funções,
e
isso
significa
que
o
valor
de
x
e
de
y
são
iguais
para
as
duas
funções.
A
ssim
,
para
acharm
os
este
p
onto
basta
que
igualarm
os
as
suas
equações,
p
ois
am
bas
são
da
form
a
y
=
a
x
+
b
e
o
valor
y
é
igual
para
as
duas.
E
x
em
p
lo
:
C
alcule
o
p
onto
de
interseção
das
funções
y
=
2x
+
3
e
y
=
−
3x−
7.
R
e
so
lu
ç
ã
o
:
D
evem
os
igualar
as
duas
funções
e
resolver
a
equação
resultante:
2x
+
3
=
−
3x−
7
2x
+
3x
=
−
7−
3
5x
=
−
10
x
=
−
105
=
−
2
A
gora,
substituím
os
o
valor
de
x
em
qualquer
um
a
das
duas
equações
para
acharm
os
o
valor
de
y
corresp
ondente:
y
=
2x
+
3
=
2·
(−
2)
+
3
=
−
4
+
3
=
−
1
L
ogo,
o
p
onto
de
interseção
das
retas
y
=
2x
+
3
e
y
=
−
3x−
7
é
P
I
=
(−
2,−
1).
3
.2
.4
F
u
n
ç
ã
o
Q
u
a
d
r
á
t
ic
a
:
f
(x
)
=
a
x
2
+
bx
+
c
S
en
d
o
a,
b,
c
con
stan
tes
reais,
tais
q
u
e
a6=
0,
ch
am
a-se
fu
n
ção
q
u
ad
rática
ou
fu
n
ção
d
e
2
o
grau
,
to
d
a
fu
n
ção
real
d
o
tip
o:
f
(x
)
=
a
x
2
+
bx
+
c
3.2.4.1
C
a
r
a
c
t
e
r
ís
t
ic
a
s
Im
p
o
r
t
a
n
t
e
s
d
a
F
u
n
ç
ã
o
Q
u
a
d
r
á
t
ic
a
D
om
ín
io:
o
dom
ínio
de
um
a
função
linear
é
o
conjunto
dos
núm
eros
reais:
D
:{
x∈
R};
Im
agem
:
a
im
agem
de
um
a
função
linear
é
o
conjunto
dos
núm
eros
reais:
I
m
:{
x∈
R};
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
0
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
3.
F
U
N
Ç
Õ
E
S
R
ep
resen
tação
gráfi
ca:
é
um
a
curva
denom
inada
paráb
ola;
S
in
al
d
e
a:
é
o
coeficiente
a
que
indica
para
onde
a
paráb
ola
será
voltada:
a
<
0
voltada
para
baixo;
a
>
0
voltada
para
cim
a.
S
in
al
d
e
∆
o
valor
de
∆
indica
o
núm
ero
de
p
ontos
que
cortam
o
eixo-x,
p
ois
são
as
raízes
da
função
que
tornam
y
=
0:
∆
>
0
paráb
ola
corta
o
eixo-x
em
2
p
ontos,
ou
seja
a
função
tem
duas
raízes
reais
diferentes.
∆
=
0
paráb
ola
corta
o
eixo-s
em
1
p
onto,
ou
seja,
a
função
tem
duas
raízes
reais
iguais.
∆
<
0
paráb
ola
não
corta
o
eixo-x,
ou
seja,
a
função
não
tem
nenhum
a
raiz
real.
V
alor
d
e
c
é
o
p
onto
onde
a
função
corta
o
eixo-y,
ou
seja,
x
=
0.
N
a
F
igura
3.6,
tem
os
um
esquem
a
m
ostrando
esb
oços
de
gráficos
de
funções
quadráticas
de
acordo
com
o
valor
de
a
e
de
∆
:
F
igura
3.6:
E
sb
oços
de
funções
quadráticas
3.2.4.2
R
e
p
r
e
s
e
n
t
a
ç
ã
o
G
r
á
f
ic
a
P
ara
representarm
os
graficam
ente
um
a
paráb
ola
precisam
os
m
arcar
no
plano
cartesiano
seus
principais
p
ontos,
e
então
traçarm
os
a
curva
que
liga
estes
p
ontos.
P
rincipais
p
ontos
de
um
a
função
quadrática:
I)
C
ruzam
ento
com
o
eixo-x:
(x ′,0)
e
(x ′′,0).
O
s
valores
de
x ′
e
x ′′
são
dados
resolvendo
a
equação
de
2
o
grau
dada
quando
1
1
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3.2.
G
R
Á
F
IC
O
D
E
U
M
A
F
U
N
Ç
Ã
O
fazem
os
y
=
0,
ou
seja
a
x
2
+
bx
+
c
=
0
,
para
isso
precisam
os
calcular:
∆
=
b
2−
4a
c
x
=
−
b±
√
∆
2a
II)
V
értice:
V
=
(x
v ,y
v ).
A
s
coordenadas
do
vértice
são
dadas
p
or:
x
v
=
−
b
2a
e
y
v
=
−
∆4a
E
x
em
p
lo
1
:
R
epresente
graficam
ente
a
função:
y
=
x
2−
6x
+
8.
•
C
ruzam
ento
com
o
eixo-x:
∆
=
(−
6)
2−
4·
1·
8
=
36−
32
=
4
x
=
−
(−
6)±
√
4
2·
1
=
6±
2
2
,
assim
:
x ′
=
6−
2
2
=
42
=
2⇒
(2,0)
x ′′
=
6
+
2
2
=
82
=
4⇒
(4,0)
•
V
értice:
x
v
=
−
(−
6)
2·
1
=
62
=
3
y
v
=
−
4
4·
1
=
−
44
=
−
1
L
ogo
V
=
(3,−
1).
E
x
em
p
lo
2
:
R
epresente
graficam
ente
a
função:
y
=
−
x
2
+
10x−
16.
•
C
ruzam
ento
com
o
eixo-x:
∆
=
(10)
2−
4·(−
1)·(−
16)
=
100−
64
=
36x=
−
(10)±
√
36
2·
(−
1)
=
−
10±
6
−
2
,
assim
:
x ′
=
−
10−
6
−
2
=
−
16
−
2
=
8⇒
(8,0)
x ′′
=
−
10
+
6
−
2
=
−
4
−
2
=
2⇒
(2,0)
•
V
értice:
x
v
=
−
(10)
2·
(−
1)
=
−
10
−
2
=
5
y
v
=
−
36
4·
(−
1)
=
−
36
−
4
=
9
L
ogo
V
=
(5,9).
N
os
gráficos
acim
a,
estão
representados
tam
b
ém
os
p
ontos
onde
x
=
0,
ou
seja,
o
p
onto
que
corta
o
eixo-y,
que
será
sem
pre
o
coeficiente
c.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
1
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
3.
F
U
N
Ç
Õ
E
S
3
.3
E
x
e
r
c
íc
io
s
1.
C
alcule
os
valores
indicados
das
funções
abaixo:
(a)
f
(x
)
=
3x
2+
5x−
2;f
(1),
f
(0),
f
(−
2)
(b)
f
(x
)
=
(2x
+
1)
3;f
(−
1),
f
(0),
f
(1)
(c)
f
(x
)
=
x
+
1x ;f
(−
1),
f
(1),
f
(2)
(d)
f
(x
)
=
x
x
2
+
1
;f
(2),
f
(0),
f
(−
1)
(e)
f
(x
)
=
√
x
2
+
2x
+
4;f
(2),
f
(0),
f
(−
4)
(f)
f
(x
)
= √
(x
+
1)
3;f
(0),
f
(−
1),
f
(8)
(g)
f
(x
)
=
1
√
(2x−
1)
3 ;f
(1),
f
(5),
f
(13)
2.
D
eterm
ine
o
dom
ínio
das
funções
abaixo:
(a)
f
(x
)
=
x
3−
2x
2
+
2x
+
5
(b)
f
(x
)
=
x
2
+
5
x
+
2
(c)
f
(x
)
=
x
+
1
x
2−
x−
2
(d)
f
(x
)
=
2x−
1
x
2
+
2x
+
5
(e)
f
(x
)
=
√
3−
x
(f)
f
(x
)
=
√
3x
+
8
(g)
f
(x
)
=
2x
+
1
√
3x−
12
(h)
f
(x
)
=
x−
1
x
2
+
2
(i)
f
(x
)
=
6x
+
8
(j)
f
(x
)
=
3x
2
+
10x
+
1
(k)
f
(x
)
=
9−
x
2
(l)
f
(x
)
=
3x
5−
x
2
+
x−
7
(m
)
f
(x
)
=
2
1−
x
(n)
f
(x
)
=
x
+
1
x
(o)
f
(x
)
=
x
2−
10
9
(p)
f
(x
)
=
√
2x−
10
(q)
f
(x
)
=
3
√
x
2−
9
(r)
f
(x
)
=
1
−
6x
+
18
(s)
f
(x
)
=
√
x
+
4
(t)
f
(x
)
=
6
√−
4x
+
3
(u)
f
(x
)
=
√
2x−
3
1−
5x
3.
M
arque
os
seguintes
p
ontos
no
plano
cartesiano:
(a)
A
=
(-1,-1)
(b)
B
=
(2,2)
(c)
C
=
(0,0)
(d)
D
=
(10,10)
(e)
E
=
(1,-1)
(f)
F
=
(-2,1)
(g)
G
=
(3,2)
(h)
H
=
(-4,-2)
(i)
I
=
(5,-3)
(j)
J
=
(-6,3)
(k)
K
=
(7,4)
(l)
L
=
(-8,-4)
(m
)
M
=
(9,-5)
(n)
N
=
(-10,5)
(o)
O
=
(-1,6)
(p)
P
=
(2,-6)
(q)
Q
=
(-3,-7)
(r)
R
=
(4,7)
(s)
S
=
(-5,8)
(t)
T
=
(6,-8)
1
1
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3.3.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
4.
R
epresente
graficam
ente
as
funções
abaixo:
(a)
y
=
2x−
6
(b)
y
=
8
(c)
y
=
5−
3x
(d)
y
=
2x
(e)
y
=
−
2x
+
4
(f)
y
=
−
6
(g)
y
=
10−
2x
(h)
y
=
−
3x
(i)
y
=
3x
+
6
(j)
y
=
4x−
8
(k)
y
=
−
x
+
1
(l)
y
=
4x−
3
5.
E
screva
a
equação
da
reta
que
passa
p
elos
seguintes
p
ontos:
(a)
P
1
=
(0,0)
e
P
2
=
(2,4)
(b)
P
1
=
(0,3)
e
P
2
=
(8,3)
(c)
P
1
=
(0,20)
e
P
2
=
(12,0)
(d)
P
1
=
(2,10)
e
P
2
=
(8,1)
(e)
P
1
=
(2,−
3)
e
P
2
=
(0,4)
(f)
P
1
=
(−
1,2)
e
P
2
=
(2,5)
(g)
P
1
=
(0,0)
e
P
2
=
(2,6)
6.
E
screva
a
equação
da
reta
que
passa
p
elo
p
onto
P
e
têm
coeficiente
angular
a:
(a)
P
=
(0,0)
e
a
=
−
2
(b)
P
=
(2,7)
e
a
=
0,5
(c)
P
=
(3,10)
e
a
=
−
1
(d)
P
=
(7,1)
e
a
=
0
(e)
P
=
(−
1,2)
e
a
=
2/3
(f)
P
=
(5,−
2)
e
a
=
−
1/2
(g)
P
=
(0,0)
e
a
=
3
(h)
P
=
(3,5)
e
a
=
0,5
(i)
P
=
(0,5)
e
a
=
−
0,2
(j)
P
=
(0,20)
e
a
=
2
(k)
P
=
(8,8)
e
a
=
−
1
(l)
P
=
(−
2,1)
e
a
=
5
7.
R
epresente
graficam
ente
as
funções
quadráticas
abaixo:
(a)
y
=
4−
x
2
(b)
y
=
−
x
2
+
8x−
17
(c)
y
=
x
2
+
1
(d)
y
=
x
2
+
3x−
10
(e)
y
=
−
x
2
+
3x−
10
(f)
y
=
x
2−
3x−
10
(g)
y
=
x
2
+
8x
+
16
(h)
y
=
x
2−
10x
+
27
(i)
y
=
−
x
2
+
10x−
16
(j)
y
=
−
x
2
+
6x
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
1
3
C
a
p
ít
u
l
o
4
A
p
l
ic
a
ç
õ
e
s
d
e
F
u
n
ç
õ
e
s
4
.1
R
e
c
e
ita
T
o
ta
l
Seja
q
a
quantidade
de
um
certo
produto
que
está
a
venda
p
or
um
certo
preço
P
V
,dizem
os
que:Rece
ita
T
o
ta
l
é
o
valor
receb
id
o
p
ela
ven
d
a
d
e
u
m
a
q
u
an
tid
ad
e,
q,
a
u
m
p
reço,
p.
A
ssim
,
con
stru
ím
os
a
fu
n
ção
receita
total:
R
T
=
P
V ×
q
on
d
e
P
V
é
o
p
reço
d
e
ven
d
a
d
o
p
ro
d
u
to
e
q
é
a
q
u
an
tid
ad
e
ven
d
id
a.
O
valor
da
receita
total
dep
ende
da
quantidade
de
produtos
vendidos,
sendo
que
quanto
m
ais
produtos
vendidos
a
um
preço
fixo
P
V
,
m
aior
o
valor
da
receita.
A
função
receita
total
é,
na
m
aioria
das
vezes,
um
a
função
linear,
a
qual
é
representada
graficam
ente
p
or
um
a
reta.
E
x
em
p
lo
:
Sup
onha
que
você
venda
canetas
a
R
$
2,00.
Q
ual
será
sua
receita
total
se
forem
vendidas:
10
can
etas:
2,00×
10
=
20,00
15
can
etas:
2,00×
15
=
30,00
200
can
etas:
2,00×
200
=
400,00
P
ortanto,
a
cada
caneta
vendida
você
receb
e
R
$
2,00.
E
ntão,
sua
função
receita
total
será:
R
T
=
2×
q,
ou
seja,
será
2
(de
R
$
2,00)
vezes
a
quantidade
de
canetas
vendidas.
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
4
.2
C
u
st
o
T
o
ta
l
D
a
m
esm
a
form
a
que
você
ganha
vendendo,
para
produzir
você
gasta.
E
sse
gasto
é
cham
ado
de
custo.
O
seu
custo
total
é
com
p
osto
p
or
dois
tip
os
de
custos:
fixo
e
variável.
C
u
sto
F
ix
o
é
o
valor
gasto
m
esm
o
q
u
e
vo
cê
n
ão
p
ro
d
u
za
n
en
h
u
m
a
p
eça.
É
aq
u
ele
referen
te,
p
or
ex
em
p
lo,
ao
alu
gu
el,
águ
a,
en
ergia,
segu
ro,
etc.
É
d
en
otad
o
p
or
C
F
.
C
u
sto
V
a
riá
v
e
l
é
o
valor
gasto
p
ara
p
ro
d
u
zir
as
p
eças
q
u
e
vo
cê
d
eseja
ven
d
er.
E
ste
cu
sto
é
d
iretam
en
te
p
rop
orcion
al
à
q
u
an
tid
ad
e
p
ro
d
u
zid
a.
E
assim
,
tem
os
a
p
arte
d
o
cu
sto
variável
com
o
u
m
a
fu
n
ção
lin
ear:
C
V
=
P
C ×
q
on
d
e
P
C
é
o
p
reço
d
e
p
ro
d
u
ção
d
o
p
ro
d
u
to
e
q
é
a
q
u
an
tid
ad
e
p
ro
d
u
zid
a.
A
ssim
,
definim
os
a
função
C
usto
T
otal:
C
u
sto
T
o
ta
l
é
o
valor
total
gasto
p
ara
se
p
ro
d
u
zir
os
p
ro
d
u
tos.
O
cu
sto
total
é
d
ad
o
p
ela
som
a
d
o
cu
sto
fi
x
o
ao
cu
sto
variável:
C
T
=
C
F
+
C
V
⇒
C
T
=
C
F
+
P
C ×
q
E
x
em
p
lo
:
Sup
onha
que
você
tenha
um
gasto
fixo
de
R
$
148,00,
o
qual
engloba
aluguel,
água,
energia,
etc.,
e
um
gasto
variável
que
a
cada
caneta
produzida
você
gaste
R
$
1,20.
Q
ual
a
seu
custo
se
forem
produzidas:
10
can
etas:
148
+
1,20×
10
=
148
+
12
=
160,00
15
can
etas:
148
+
1,20×
15
=
148
+
18
=
166,00
200
can
etas:
148
+
1,20×
200
=
148
+
240
=
388,00
A
ssim
,
verificando
as
definições
acim
a,
tem
os
que
o
custo
fixo
é
C
F
=
148,00
e
o
custo
variável
1,20×
q,
ou
seja,
a
cada
caneta
produzida
você
tem
um
custo
de
R
$
1,20.
P
ortanto,
o
custo
total
é
dado
p
or
C
T
=
C
F
+
C
V
⇒
C
T
=
148
+
1,20×
q.
1
1
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.3.
L
U
C
R
O
T
O
T
A
L
4
.3
L
u
c
r
o
T
o
ta
l
E
m
um
a
em
presa,
o
que
se
quer
ter
é
sem
pre
o
lucro.
E
com
o
é
calculado
esse
lucro?
L
u
c
ro
é
o
valor
q
u
e
sob
ra
d
as
ven
d
as
q
u
an
d
o
vo
cê
cob
re
os
seu
s
gastos.
O
u
seja,
o
lu
cro
é
d
ad
o
p
ela
d
iferen
ça
en
tre
o
q
u
e
vo
cê
receb
e
e
o
q
u
e
vo
cê
gasta.
O
b
s.:
S
e
o
valor
d
essa
d
iferen
ça
for
n
egativo,
q
u
er
d
izer
q
u
e
ao
in
vés
d
e
lu
cro
h
ou
ve
p
reju
ízo.
L
u
c
ro
T
o
ta
l
é
a
fu
n
ção
gerad
a
p
ela
d
iferen
ça
en
tre
as
fu
n
çõ
es
R
eceita
T
otal
(receb
id
o)
e
o
C
u
sto
T
otal(gasto).
L
T
=
R
T −
C
T
E
x
em
p
lo
:
V
oltem
os
ao
exem
plo
das
canetas,
qual
o
lucro
ou
prejuízo,
quando
forem
produzidas
e
vendidas,
sendo
calculados
R
T −
C
T
,
considerando
as
receitas
e
os
custos
obtidos
anteriorm
ente:
10
can
etas:
20−
160
=
−
140,
prejuízo
de
R
$
140,00.
15
can
etas:
30−
166
=
−
136,
prejuízo
de
R
$
136,00.
200
can
etas:
400−
388
=
12,
lucro
de
R
$
12,00.
A
função
lucro
total
é
dada
p
ela
diferença
entre
as
funções
receita
total
e
custo
total:
L
T
=
R
T
−
C
T
=
2,00q
−
(148
+
1,20q)
=
2,00q
−
148−
1,20q
=
0,80q
−
148
L
ogo,
a
função
L
ucro
T
otal
é
L
T
=
0,80q−
148.
Se
quiserm
os
sab
er
o
valor
do
lucro
para
um
a
determ
inada
quantidade
sem
que
saibam
os
o
valor
da
receita
e
do
custo
individual,
basta
substituir
o
valor
da
quantidade
na
função
L
ucro
T
otal.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
1
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
E
x
em
p
lo
:
V
am
os
fazer
para
as
m
esm
as
quantidades
até
aqui
analisadas:
10
can
etas:
L
T
=
0,80q−
148
=
0,80×
10−
148
=
8−
148
=
−
140,
prejuízo
de
R
$
140,00.
15
can
etas:
L
T
=
0,80q−
148
=
0,80×
15−
148
=
12−
148
=
−
136,
prejuízo
de
R
$
136,00.
200
can
etas:
L
T
=
0,80q−
148
=
0,80×
200−
148
=
160−
148
=
12,
lucro
de
R
$
12,00.
4
.3
.1
P
o
n
t
o
d
e
E
q
u
il
íb
r
io
É
ch
am
ad
o
d
e
p
on
to
d
e
eq
u
ilíb
rio
o
valor
d
a
q
u
an
tid
ad
e
q
u
e
sen
d
o
p
ro
d
u
zid
a
e
ven
d
id
a,
n
ão
d
á
lu
cro
e
n
em
p
reju
ízo,
ou
seja,
o
q
u
e
vo
cê
receb
e
é
igu
al
ao
q
u
e
vo
cê
gasta
(R
T
=
C
T ).
A
ssim
,
costu
m
am
os
calcu
lar
o
p
on
to
d
e
eq
u
ilíb
rio
fazen
d
o
a
fu
n
ção
L
u
cro
T
otal
ser
igu
al
a
zero.
L
T
=
0
E
x
em
p
lo
:
N
o
exem
plo
das
canetas,
quantas
canetas
teriam
de
ser
vendidas
para
que
fosse
atingido
o
p
onto
de
equilíbrio?
A
função
L
ucro
T
otal
para
este
problem
a
era
L
T
=
0,80q−
148,
igualam
os
o
lucro
total
a
zero
(L
T
=
0)
e
calculam
os:
L
T
=
0⇒
0,80q−
148
=
0⇒
0,80q
=
148⇒
q
=
148
0,80
⇒
q
=
185
O
u
seja,
seria
necessário
vender
185
canetas
para
que
a
receita
cubra
os
gastos,
ou
seja,
não
haja
lucro
e
nem
prejuízo.
4
.3
.2
E
x
e
m
p
l
o
C
o
m
p
l
e
t
o
E
n
v
o
lv
e
n
d
o
R
e
c
e
it
a
,
C
u
s
t
o
e
L
u
c
r
o
T
o
t
a
l
V
im
os
nas
seções
anteriores
que
R
eceita,
C
usto
e
L
ucro
T
otal
são
inteiram
ente
ligadas
um
a
a
outra.
A
ssim
,
nessa
seção
irem
os
fazer
um
exem
plo
onde
utilizarem
os
as
três
funções
em
conjunto.
1
1
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.3.
L
U
C
R
O
T
O
T
A
L
E
x
em
p
lo
:
U
m
fa
b
rica
n
te
v
e
n
d
e
ca
d
e
ira
s
p
o
r
R
$
1
1
0
,0
0
ca
d
a
.
O
c
u
sto
to
ta
l
co
n
siste
e
m
u
m
a
ta
x
a
fi
x
a
d
e
R
$
7
5
0
0
,0
0
so
m
a
d
a
a
o
c
u
sto
d
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
d
e
R
$
6
0
,0
0
p
o
r
ca
d
e
ira
.
P
rim
eiram
ente
tem
os
de
retirar
as
inform
ações
do
problem
a:
P
V
=
110,
preço
de
venda
da
cadeira.
C
F
=
7500,
taxa
fixa.
P
C
=
60,
preço
de
produção.
C
V
=
60×
q,
preço
de
produção
vezes
um
a
quantidade
genérica.
a)
C
o
n
stru
a
a
s
fu
n
ç
õ
e
s
rece
ita
,
lu
c
ro
e
c
u
sto
to
ta
l.
F
u
n
ção
R
eceita
T
otal:
R
T
=
P
V ×
q,
substituindo
o
valor
de
p
dado
no
problem
a
tem
os
R
T
=
110q
.
F
u
n
ção
C
u
sto
T
otal:
C
T
=
C
F
+
C
V
,
substituindo
p
elos
valores
dados
no
problem
a
tem
os
C
T
=
7500
+
60q
.
F
u
n
ção
L
u
cro
T
otal:
L
T
=
R
T −
C
T ,
substituindo
p
elas
funções
encontradas,
tem
os:
L
T
=
110q−
(7500
+
60q)⇒
L
T
=
110q−
7500−
60q⇒
L
T
=
50q−
7500
.
b
)
Q
u
a
n
ta
s
u
n
id
a
d
e
s
o
fa
b
rica
n
te
p
rec
isa
v
e
n
d
e
r
p
a
ra
a
tin
g
ir
o
p
o
n
to
d
e
eq
u
ilíb
rio
?
O
p
onto
de
equilíbrio
é
onde
o
L
T
=
0,
ou
seja,
não
há
lucro
nem
prejuízo,
assim
tem
os:
L
T
=
0⇒
50q−
7500
=
0⇒
50q
=
7500⇒
q
=
7500
50
⇒
q
=
150
.
O
u
seja,
seria
necessário
vender
150
cadeiras
para
que
não
houvesse
lucro,
m
as
tam
b
ém
não
houvesse
prejuízo.
c)
S
e
fo
re
m
v
e
n
d
id
a
s
1
0
0
ca
d
e
ira
s,
q
u
a
l
se
rá
o
lu
c
ro
o
u
p
re
ju
ízo
d
o
fa
b
rica
n
te
?
N
este
caso,
tem
os
um
a
quantidade
fixa
de
100
cadeiras
e
desejam
os
sab
er
se
haveria
lucro
ou
prejuízo,
assim
,
basta
substituirm
os
a
quantidade
na
função
L
ucro
T
otal
para
obterm
os
o
valor
desejado:
L
T
=
50q−
7500⇒
L
T
=
50×
100−
7500⇒
L
T
=
5000−
7500⇒
L
T
=
−
2500
.
O
u
seja,se
forem
som
ente
100
cadeira,o
fabricante
teria
um
prejuízo
de
R
$
2500,00.
d
)
Q
u
a
n
ta
s
ca
d
e
ira
s
o
fa
b
rica
n
te
p
rec
isa
v
e
n
d
e
r
p
a
ra
o
b
te
r
u
m
lu
c
ro
d
e
R
$
1
2
5
0
,0
0
?
N
este
caso,tem
os
o
valor
do
lucro
totaldesejado
e
desejam
os
sab
er
quala
quantidade
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
1
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
precisaria
ser
vendida
para
se
obter
esse
valor,logo
utilizarem
os
novam
ente
a
função
lucro
total,
fazendo
L
T
=
1250
e
encontrando
o
valor
de
q
que
satisfaz
a
função:
L
T
=
1250,
logo
com
o
L
T
=
50q−
7500,substituindo
L
T
=
1250
na
fórm
ula,
tem
os:
50q−
7500
=
1250⇒
50q
=
1250
+
7500⇒
50q
=
8750⇒
q
=
8750
50
⇒
q
=
175
.
O
u
seja,
seria
preciso
vender
175
cadeiras
para
se
ter
um
lucro
total
de
R
$
1250,00.
e)
C
o
n
stru
a
,
n
o
m
e
sm
o
p
a
r
d
e
e
ix
o
s,
o
s
g
rá
fi
co
s
d
a
s
fu
n
ç
õ
e
s
rece
ita
e
c
u
sto
.
A
s
funções
receita
e
lucro
total
são
funções
lineares,
assim
suas
representações
gráficas
são
em
form
a
de
reta.
L
em
brando
da
Seção
3.2.3,precisam
os
de
dois
valores
de
quantidades
q
para
obterm
os
um
a
reta.
Sugestão:
utilize
q
=
0
e
q
=
p
onto
de
equilíbrio.
P
rim
eiro
vam
os
fazer
o
gráfico
das
funções
receita
e
custo
total
separadam
ente,
sendo
a
F
igura
4.1
a
receita
total
e
a
F
igura
4.2
o
custo
total.
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
0 5000 10000 15000 20000
q
R$
R
E
C
E
IT
A
 T
O
T
A
L
150
16500
q
R
T
=
110q
0
R
T
=
110·
0
=
0
150
R
T
=
110·
150
=
16500
F
igura
4.1:
R
eceita
T
otal
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
0 5000 10000 15000
q
R$
C
U
S
T
O
 T
O
T
A
L
150
16500
q
C
T
=
7500
+
60q
0
C
T
=
7500
+
60·
0
=
7500
+
0
=
7500
150
C
T
=
7500
+
60·
150
=
7500
+
9000
=
16500
F
igura
4.2:
C
usto
T
otal
Juntando-se
os
dois
em
um
m
esm
o
par
de
eixos
tem
os
a
F
igura
4.3.
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
0 5000 10000 15000 20000
q
R$
R
E
C
E
IT
A
 T
O
T
A
L
 X
 C
U
S
T
O
 T
O
T
A
L
R
T
 =
 11
0 * q
 e
 C
T
 =
 750
0 +
 6
0 *q
P
R
E
JU
ÍZ
O
L
U
C
R
O
P
E
150
16500
L
T
 =
 5
0
 * q
 −
 7
5
0
0
F
igura
4.3:
R
eceita
T
otal
e
C
usto
T
otal
no
M
esm
o
P
ar
de
E
ixos
1
2
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.4.
D
E
M
A
N
D
A
D
E
M
E
R
C
A
D
O
4
.4
D
e
m
a
n
d
a
d
e
M
e
r
c
a
d
o
A
D
em
an
d
a
d
e
M
ercad
o
d
e
u
m
d
eterm
in
ad
o
b
em
é
a
q
u
an
tid
ad
e
d
esse
b
em
q
u
e
os
con
su
m
id
ores
p
reten
d
em
ad
q
u
irir
n
u
m
certo
in
tervalo
d
e
tem
p
o.
A
função
dem
anda
de
um
b
em
é
dep
endente
de
várias
variáveis,
entre
elas:
•
P
reço
p
or
unidade
do
produto;
•
R
enda
do
consum
idor;
•
P
reços
de
b
ens
substituídos;
•
G
astos
e
outros.
P
ara
fim
de
sim
plificação,
sup
onha
que
todas
as
variáveis
m
antenham
-se
constantes,
exceto
o
preço
unitário
(p)
do
próprio
produto,
verifica-se
que
a
dem
anda
dep
ende
inversam
ente
do
preço
do
produto,
ou
seja,
quando
o
preço
é
baixo
tem
os
alta
dem
anda
e
quando
o
preço
é
alto
tem
os
baixa
dem
anda.
A
ssim
,
o
conceito
de
função
dem
anda,
aqui,
será:
A
fu
n
ção
d
em
an
d
a
é
a
fu
n
ção
q
u
e
asso
cia
u
m
p
reço
p
à
d
em
an
d
a
D
(p).
O
b
s.:
P
ara
q
u
e
h
a
ja
d
em
an
d
a
é
n
ecessário
q
u
e
p
>
0
e
D
(p)
>
0.
4
.4
.1
E
x
e
m
p
l
o
d
e
D
e
m
a
n
d
a
d
e
M
e
r
c
a
d
o
S
u
p
on
h
a
q
u
e
a
d
em
an
d
a
d
e
m
ercad
o
d
e
u
m
p
ro
d
u
to,
q
u
e
é
ven
d
id
o
em
p
acotes
d
e
10k
g,
seja
d
ad
a
p
or
D
(p)
=
4000−
50p.
C
alcu
le
o
q
u
e
se
p
ed
e:
a)
D
e
te
rm
in
e
o
in
te
rv
a
lo
d
e
v
a
ria
ç
ã
o
d
e
p.
D
eterm
inar
o
intervalo
de
variação
de
p
é
determ
inar
os
valores
de
p
para
os
quais
existe
dem
anda
D
(p).
V
im
os
na
seção
anterior
que
para
que
haja
dem
anda
é
necessário
que
p
>
0
e
D
(p)
>
0,
assim
já
tem
os
o
lim
ite
inferior
do
preço,
ou
seja,
o
preço
tem
de
ser
m
aior
que
zero.
A
gora,
precisam
os
determ
inar
o
lim
ite
sup
erior
e
para
isso
vam
os
utilizar
a
outra
restrição
(D
(p)
>
0).
Sab
em
os
p
elo
enunciado
do
problem
a
que
D
(p)
=
4000−
50p
e
este
valor
tem
de
ser
m
aior
que
zero,
logo
se
D
(p)
>
0
então
4000−
40p
>
0:
4000−
50p
>
0⇒
−
50p
>
−
4000(−
1)⇒
50p
<
4000⇒
p
<
4000
50
⇒
p
<
80
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
2
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
E
ncontram
os,
então,
que
o
preço
p
tem
de
estar
entre
0
e
80,
ou
seja,
0
<
p
<
80
.
b
)
R
e
p
re
se
n
te
e
ssa
fu
n
ç
ã
o
g
ra
fi
ca
m
e
n
te
.
A
função
dem
anda,
neste
caso,
é
tam
b
ém
um
a
função
linear.
C
om
o
vim
os
na
Seção
3.2.3,
é
necessário
dois
valores
de
p
para
p
oderm
os
traçar
a
reta
de
dem
anda.
Sugiro
que
sejam
utilizados
os
lim
ites
do
intervalo
de
variação
de
p,
p
ois
assim
terem
os
o
início
e
o
fim
da
reta.
p
D
(p)
=
4000−
50p
0
D
(0)
=
4000−
50·
0
=
4000−
0
=
4000
80
D
(80)
=
4000−
50·
80
=
4000−
4000
=
0
O
bserve
que
os
p
ontos
(0,4000)
e
(80,0)
ficaram
“ab
ertos",
p
ois
o
intervalo
de
variação
de
p
não
os
inclui
(0
<
p
<
80).
0
2
0
4
0
6
0
8
0
0 1000 2000 3000 4000
p
Demanda
80
4000
F
igura
4.4:
F
unção
D
em
anda
c)
D
e
te
rm
in
e
o
v
a
lo
r
d
a
d
e
m
a
n
d
a
p
a
ra
p
=
R
$
600,00
e
p
=
R
$
40,00.
N
este
caso,tem
os
os
valores
para
o
preço
(p
=
R
$
600,00
e
p
=
R
$
40,00)
e
desejam
os
sab
er
qual
a
dem
anda
associada
a
eles.
N
o
prim
eiro
caso,
p
=
R
$
600,00,
não
existe
dem
anda
(D
(600)
=
∄),
p
ois
p
=
R
$
600,00
está
fora
do
intervalo
de
variação
de
p
(0
<
p
<
80).
N
o
segundo
caso,
p
=
R
$
40,00,
basta
substituir
o
valor
40
no
lugar
de
p
na
função
dem
anda:
D
(40)
=
4000−
50×
40⇒
D
(40)
=
4000−
2000⇒
D
(40)
=
2000
.
d
)
A
q
u
e
n
ív
e
l
e
sta
rá
o
p
reç
o
se
a
d
e
m
a
n
d
a
fo
r
d
e
3
5
0
0
p
a
co
te
s?
N
esta
questão,
tem
os
o
valor
da
dem
anda
(D
(p)
=
3500),
e
desejam
os
sab
er
o
valor
de
p
que
satisfaz
a
função,
ou
seja,
o
preço
que
faz
a
dem
anda
ser
de
3500
pacotes.
P
ortanto,
basta
igualar
a
função
dem
anda
a
3500
e
terem
os
o
valor
de
p
corresp
ondente:
D
(p)
=
3500⇒
4000−
50p
=
3500⇒
−
50p
=
3500−
4000⇒
−
50p
=
−
500(−
1)
⇒
50p
=
500⇒
p
=
500
50
⇒
p
=
10
.
C
oncluím
os
que,
se
p
=
10
há
um
a
dem
anda
de
3500
pacotes.
e)
A
q
u
e
p
reç
o
a
d
e
m
a
n
d
a
se
rá
m
e
n
o
r
q
u
e
1
0
0
0
p
a
co
te
s?
N
este
caso,
tem
os
que
o
valor
da
dem
anda
deverá
ser
m
enor
que
1000
pacotes,
ou
seja,
D
(p)
<
1000,
desejam
os
encontrar
o
preço
que
satisfaça
essa
sentença,para
isto,basta
resolverm
os
a
inequação
gerada
p
ela
questão:
1
2
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.4.
D
E
M
A
N
D
A
D
E
M
E
R
C
A
D
O
D
(p)
<
1000⇒
4000−
50p
<
1000⇒
−
50p
<
1000−
4000⇒
−
50p
<
−
3000(−
1)
⇒
50p
>
3000⇒
p
>
3000
50
⇒
p
>
60
,
m
as
tem
os
de
lem
brar
que
o
preço
tem
um
lim
ite
sup
erior,
assim
,
para
que
a
dem
anda
seja
m
enor
que
1000
pacotes
o
preço
tem
de
estar
entre
60
e
80,
ou
seja,
60
<
p
<
80
.
f)
A
q
u
e
p
reç
o
a
d
e
m
a
n
d
a
se
rá
m
a
io
r
q
u
e
3
0
0
0
p
a
co
te
s?
N
este
caso,
tem
os
que
o
valor
da
dem
anda
deverá
ser
m
aior
que
3000
pacotes,
ou
seja,
D
(p)
>
3000,
desejam
os
encontrar
o
preço
que
satisfaça
essa
sentença,para
isto,basta
resolverm
os
a
inequação
gerada
p
ela
questão:
D
(p)
>
3000⇒
4000−
50p
>
3000⇒
−
50p
>
3000−
4000⇒
−
50p
>
−
1000(−
1)
⇒
50p
<
1000⇒
p
<
1000
50
⇒
p
<
20
,
m
as
tem
os
de
lem
brar
que
o
preço
tem
um
lim
ite
inferior,assim
,para
que
a
dem
anda
seja
m
aior
que
3000
pacotes
o
preço
tem
de
estar
entre
0
e
20,
ou
seja,
0
<
p
<
20
.
g
)
D
e
te
rm
in
e
a
fu
n
ç
ã
o
d
e
sp
e
sa
d
o
co
n
su
m
id
o
r.
A
desp
esa,
ou
custo,
do
consum
idor
será
o
valor
pago
p
or
cada
unidade
vezes
a
quantidade
que
ele
consom
e.
A
gora,lem
bre-se
que
a
dem
anda
é
a
quantidade
que
o
consum
idor
procura
com
prar,
a
função
desp
esa
do
consum
idor
será
então
a
dem
anda
vezes
o
preço,
ou
seja,
D
e (p)
=
D
(p)×
p.
A
ssim
,
no
nosso
exem
plo,
tem
os:
D
e (p)
=
D
(p)×
p⇒
D
e (p)
=
(4000−
50p)×
p⇒
D
e (p)
=
4000p−
50p
2
O
bserve
que
a
função
desp
esa
do
consum
idor
só
existirá
se
a
dem
anda
existir,
então
essa
função
só
vale
para
o
intervalo
de
variação
de
p
da
dem
anda,
ou
seja,
para
o
intervalo
0
<
p
<
80.
h
)
R
e
p
re
se
n
te
a
fu
n
ç
ã
o
d
e
sp
e
sa
g
ra
fi
ca
m
e
n
te
.
V
am
os
representar
a
função
D
e (p)
=
4000p−
50p
2
graficam
ente,
observe
que
a
função
desp
esa
do
consum
idor
é
um
a
função
quadrática,
então
tem
os
que
seguir
os
passos
da
Seção
3.2.4.
•
C
ruzam
ento
com
o
eixo-p:
∆
=
(−
4000)
2−
4·
(−
50)·
0
=
16000000
p
=
−
(4000)±
√
16000000
2·
(−
50)
=
−
4000±
4000
−
100
,
assim
:
p ′
=
−
4000−
4000
−
100
=
−
8000
−
100
=
80⇒
(80,0)
p ′′
=
−
4000
+
4000
−
100
=
0
−
100
=
0⇒
(0,0)
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
2
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
•
V
értice:
p
v
=
−
(4000)
2·
(−
50)
=
−
4000
−
100
=
40
D
e
v
=
−
(16000000)
4·
(−
50)
=
−
16000000
−
200
=
80000
L
ogo
V
=
(3,−
1).
O
bserve
novam
ente
que
os
lim
ites
do
intervalo
de
variação
ficam
“ab
ertos".
0
2
0
4
0
6
0
8
0
0 20000 40000 60000 80000
p
Despesa
80
0
F
igura
4.5:
F
unção
D
esp
esa
4
.5
O
f
e
r
ta
d
e
M
e
r
c
a
d
o
A
O
ferta
d
e
M
ercad
o
d
e
u
m
b
em
,
n
u
m
certo
in
tervalo
d
e
tem
p
o,
é
a
q
u
an
tid
ad
e
d
e
b
en
s
q
u
e
os
ven
d
ed
ores
d
esejam
oferecer
ao
m
ercad
o.
A
função
dem
anda
de
um
b
em
é
dep
endente
de
várias
variáveis,
entre
elas:
•
P
reço
p
or
unidade
do
produto;
•
P
reço
dos
insum
os
utilizados
na
produção;
•
T
ecnologia
utilizada.
1
2
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.5.
O
F
E
R
T
A
D
E
M
E
R
C
A
D
O
P
ara
fim
de
sim
plificação,
sup
onha
que
todas
as
variáveis
m
antenham
-se
constantes,
exceto
o
preço
unitário
(p)
do
próprio
produto,
verifica-se
que
a
oferta
dep
ende
diretam
ente
do
preço
do
produto,
ou
seja,
quando
o
preço
é
baixo
tem
os
baixa
oferta
e
quando
o
preço
é
alto
tem
os
alta
oferta.
A
ssim
,
o
conceito
de
função
oferta,
aqui,
será:
A
fu
n
ção
oferta
é
a
fu
n
ção
q
u
e
asso
cia
u
m
p
reço
p
à
oferta
S
(p).
O
b
s.:
P
ara
q
u
e
h
a
ja
oferta
é
n
ecessário
q
u
e
S
(p)
>
0,
e
o
p
reço
(p)
tem
u
m
lim
ite
su
p
erior.
4
.5
.1
E
x
e
m
p
l
o
d
e
O
f
e
r
t
a
d
e
M
e
r
c
a
d
o
S
u
p
on
h
a
q
u
e
a
oferta
d
e
m
ercad
o
d
e
u
m
p
ro
d
u
to,
seja
d
ad
a
p
or
S
(p)
=
2p−
30,
com
p≤
130.
C
alcu
le
o
q
u
e
se
p
ed
e:
a)
A
p
a
rtir
d
e
q
u
e
p
reç
o
h
a
v
e
rá
o
fe
rta
?
O
bservam
os
na
definição
de
função
oferta
que
para
haver
oferta,
esta
tem
de
ser
m
aior
que
zero,
ou
seja,
S
(p)
>
0,
através
deste
fato
vam
os
descobrir
a
partir
de
que
preço
haverá
oferta:
S
(p)
>
0⇒
2p−
30
>
0⇒
2p
>
30⇒
p
>
302
⇒
p
>
15
.
A
ssim
,
som
ente
haverá
oferta
para
preços
acim
a
de
R
$
15,00.
b
)
R
e
p
re
se
n
te
g
ra
fi
ca
m
e
n
te
a
fu
n
ç
ã
o
o
fe
rta
.
A
função
oferta,
neste
caso,
é
tam
b
ém
um
a
função
linear.
C
om
o
vim
os
na
Seção
3.2.3,
é
necessário
dois
valores
de
p
para
p
oderm
os
traçar
a
reta
de
oferta.
Sugiro
que
sejam
utilizados
os
lim
ites
do
intervalo
de
variação
de
p,
p
ois
assim
terem
os
o
início
e
o
fim
da
reta.
p
S
(p)
=
2p−
30
15
S
(15)
=
2·
15−
30
=
30−
30
=
0
130
S
(130)
=
2·
130−
30
=
260−
30
=
230
O
bserve
que
o
p
onto
(15,0)
ficaram
“ab
erto",
p
ois
o
intervalo
de
variação
de
p
não
o
inclui
(15
<
p≤
130).
0
2
0
4
0
6
0
8
0
1
0
0
1
2
0
1
4
0
0 50 100 150 200 250
p
Oferta
1
5
2
3
0
1
3
0
2
3
0
F
igura
4.6:
F
unção
O
ferta
c)
A
q
u
e
p
reç
o
a
o
fe
rta
se
rá
d
e
1
0
0
u
n
id
a
d
e
s?
N
esta
questão,
tem
os
o
valor
da
oferta
(S
(p)
=
100),
e
desejam
os
sab
er
o
valor
de
p
que
satisfaz
a
função,
ou
seja,
o
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
2
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
preço
que
faz
a
oferta
ser
de
100
unidades.
P
ortanto,
basta
igualar
a
função
oferta
a
100
e
terem
os
o
valor
de
p
corresp
ondente:
S
(p)
=
100⇒
2p−
30
=
100⇒
2p
=
100
+
30⇒
2p
=
130⇒
p
=
1302
⇒
p
=
65
.
C
oncluím
os
que,
se
p
=
65
há
um
a
oferta
de
100
unidades.
d
)
A
q
u
e
p
reç
o
a
o
fe
rta
se
rá
m
a
io
r
q
u
e
1
5
0
u
n
id
a
d
e
s?
N
este
caso,
tem
os
que
o
valor
da
oferta
deverá
ser
m
aior
que
150
unidades,
ou
seja,
S
(p)
>
150,
desejam
os
encontrar
o
preço
que
satisfaça
essa
sentença,para
isto,basta
resolverm
os
a
inequação
gerada
p
ela
questão:
S
(p)
>
150⇒
2p−
30
>
150⇒
2p
>
150
+
30⇒
2p
>
180
⇒
p
>
1802
⇒
p
>
90
,
m
as
tem
os
de
lem
brar
que
o
preço
tem
um
lim
ite
sup
erior,
assim
,
para
que
a
oferta
seja
m
aior
que
150
unidades
o
preço
tem
de
estar
entre
90
e
130,
ou
seja,
90
<
p≤
130
.
e)
A
q
u
e
p
reç
o
a
o
fe
rta
se
rá
m
e
n
o
r
q
u
e
2
0
0
u
n
id
a
d
e
s?
N
este
caso,
tem
os
que
o
valor
da
oferta
deverá
ser
m
enor
que
200
pacotes,
ou
seja,
S
(p)
<
200,
desejam
os
encontrar
o
preço
que
satisfaça
essa
sentença,para
isto,basta
resolverm
os
a
inequação
gerada
p
ela
questão:
S
(p)
<
200⇒
2p−
30
<
200⇒
2p
<
200
+
30⇒
2p
<
230
⇒
p
<
2302
⇒
p
<
115
,
m
as
tem
os
de
lem
brar
que
o
preço
tem
um
lim
ite
inferior,
assim
,
para
que
a
oferta
seja
m
enor
que
200
pacotes
o
preço
tem
de
estar
entre
15
e
115,
ou
seja,
15
<
p
<
115
.
4
.6
L
e
i
d
a
O
f
e
r
ta
e
d
a
P
r
o
c
u
r
a
O
p
reço
d
e
m
ercad
o
p
d
e
u
m
p
ro
d
u
to
in
d
ica
o
n
ú
m
ero
d
e
u
n
id
ad
es
q
u
e
o
fab
rican
te
d
eseja
ven
d
er,
assim
com
o
o
n
ú
m
ero
d
e
u
n
id
ad
es
q
u
e
o
fab
rican
te
d
eseja
ven
d
er,
assim
com
o
o
n
ú
m
ero
d
e
u
n
id
ad
es
q
u
e
o
con
su
m
id
or
d
eseja
com
p
rar.
N
a
m
aioria
d
os
casos,
à
m
ed
id
a
q
u
e
o
p
reço
p
d
e
m
ercad
o
au
m
en
ta,
a
oferta
S
(p)
au
m
en
ta
e
a
d
em
an
d
a
D
(p)
d
im
in
u
i.
1
2
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.6.
L
E
I
D
A
O
F
E
R
T
A
E
D
A
P
R
O
C
U
R
A
O
p
reço
d
e
eq
u
ilíb
rio
d
e
m
ercad
o
(P
E
)
é
o
p
reço
p
ara
o
q
u
al
a
d
em
an
d
a
e
a
oferta
d
e
m
ercad
o
coin
cid
em
(D
(p)
=
S
(p)).
A
q
u
an
tid
ad
e
corresp
on
d
en
te
ao
p
reço
d
e
eq
u
ilíb
rio
é
a
q
u
an
tid
ad
e
d
e
eq
u
ilíb
rio
d
e
m
ercad
o
(Q
E
).
Se
para
um
a
determ
inada
quantidade,
a
oferta
for
m
aior
que
a
procura
haverá
excesso
do
produto,
caso
contrário,
haverá
escassez
do
m
esm
o.
E
x
em
p
lo
1
:
D
adas
as
funções
dem
anda
de
m
ercado
D
(p)
=
60−
3p
e
a
oferta
S
(p)
=
−
20
+
5p,
com
p
≤
20,
determ
ine
o
preço
de
equilíbrio
(P
E
)
e
a
corresp
ondente
quantidade
de
equilíbrio
(Q
E
).
R
e
so
lu
ç
ã
o
:
P
ara
determ
inarm
os
o
preço
de
equilíbrio,
precisam
os
igualar
a
oferta
e
a
dem
anda:
D
(p)
=
S
(p)⇒
60−
3p
=
−
20
+
5p⇒
−
3p−
5p
=
−
20−
60⇒
−
8p
=
−
80(−
1)
⇒
8p
=
80⇒
p
=
808
⇒
p
=
10
.
A
gora,
para
determ
inarm
os
a
quantidade
de
equilíbrio,
basta
substituir
o
preço
de
equilíbrio
na
função
da
dem
anda
ou
da
oferta:
D
(10)
=
60−
3×
10⇒
D
(10)
=
60−
30⇒
D
(10)
=
30
O
u
seja,
P
E
=
10
e
Q
E
=
30.
E
x
em
p
lo
2
:
A
gora
sup
onha
as
m
esm
as
funções
do
E
x
em
p
lo
1
,
para
um
preço
p
=
15
haverá
excesso
ou
escassez
de
produtos?
R
e
so
lu
ç
ã
o
:
P
ara
determ
inarm
os
se
haverá
excesso
ou
escassez
devem
os
prim
eiro
substituir
esse
preço
nas
duas
funções
determ
inando
assim
a
dem
anda
D
(15)
e
S
(15):
D
(15)
=
60−
3×
15⇒
D
(15)
=
60−
45⇒
D
(15)
=
15
S
(15)
=
−
20
+
5×
15⇒
S
(15)
=
−
20
+
75⇒
S
(15)
=
55
N
este
caso,
com
o
a
oferta
é
m
aior
que
a
dem
anda
em
40
produtos
(S
(15)−
D
(15)
=
40),
há
excesso
de
40
produtos.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
2
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
4
.7
E
x
e
r
c
íc
io
s
1.
U
m
a
fábrica
de
m
óveis
vende
m
esas
p
or
R
$70,00
cada.
O
custo
total
de
produção
consiste
de
um
sobretaxa
de
R
$8.000,00
som
ada
ao
custo
de
produção
de
R
$30,00
p
or
m
esa.
(a)
C
onstrua
as
funções
receita
e
custo
e
lucro
total.
(b)
Q
uantas
unidades
o
fabricante
precisa
vender
para
atingir
o
p
onto
de
nivelam
ento?
(c)
Se
forem
vendidas
250
m
esas,
qual
será
o
lucro
ou
prejuízo
do
fabricante?
(d)
Q
uantas
unidades
o
fabricante
precisa
vender
para
obter
um
lucro
de
R
$6000,00
(e)
C
onstrua,
no
m
esm
o
par
de
eixos,
os
gráficos
das
funções
receita
e
custo.
2.
U
m
artesão
têm
um
gasto
fixo
de
R
$600,00
e,
em
m
aterial,
gasta
R
$25,00
p
or
unidade
produzida.
Se
cada
unidade
for
vendida
p
or
R
$175,00:
(a)
C
onstrua
as
funções
receita
e
custo
e
lucro
total.
(b)
Q
uantas
unidades
o
artesão
precisa
vender
para
atingir
o
p
onto
de
nivelam
ento?
(c)
Q
uantas
unidades
o
artesão
precisa
vender
para
obter
um
lucro
de
R
$450,00
(d)
C
onstrua,
no
m
esm
o
par
de
eixos,
os
gráficos
das
funções
receita
e
custo.
3.
U
m
grup
o
de
am
igos,
que
m
oraram
nos
E
U
A
,
deseja
m
ontar
um
curso
de
inglês.
E
les
observaram
que,
teriam
um
gasto
fixo
m
ensal
de
R
$1.680,00
e,
gastariam
ainda
R
$
24,00,
em
m
ateriais
e
pagam
ento
de
professores,
p
or
aluno.
C
ada
aluno
deverá
pagar
R
$40,00.
(a)
Q
uantos
alunos
o
curso
necessita
ter
para
que
não
haja
prejuízo?
(b)
Q
ual
será
o
lucro
ou
prejuízo
do
curso,
se
obtiverem
70
alunos?
(c)
Q
uantos
alunos
o
curso
precisa
ter
para
atingir
um
lucro
de
R
$592,00?
(d)
C
onstrua,
no
m
esm
o
par
de
eixos,
os
gráficos
das
funções
receita
e
custo.
4.
U
m
a
fábrica
vende
com
putadores
a
R
$
1900,00.
A
fábrica
têm
um
gasto
fixo
de
R
$14000,00
e,
em
m
aterial,
gasta
R
$1200,00
p
or
unidade
produzida.
(a)
C
onstrua
as
funções
receita
e
custo
e
lucro
total.
(b)
Q
uantas
unidades
a
fábrica
precisa
vender
para
atingir
o
p
onto
de
nivelam
ento?
(c)
Se
forem
vendidas
50
unidades,
qual
será
o
lucro
ou
prejuízo
do
fabricante?
(d)
C
onstrua,
no
m
esm
o
par
de
eixos,
os
gráficos
das
funções
receita
e
custo.
5.
U
m
a
editora
vende
um
livro
a
R
$
110,00.
A
editora
têm
um
gasto
fixo
de
R
$10000,00
e,
em
m
aterial,
gasta
R
$60,00
p
or
unidade
produzida.
(a)
C
onstrua
as
funções
receita
e
custo
e
lucro
total.
(b)
Q
uantas
unidades
a
fábrica
precisa
vender
para
atingir
o
p
onto
de
nivelam
ento?
1
2
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.7.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
(c)
Se
forem
vendidas
150
unidades,
qual
será
o
lucro
ou
prejuízo
do
fabricante?
(d)
C
onstrua,
no
m
esm
o
par
de
eixos,
os
gráficos
das
funções
receita
e
custo.
6.
U
m
a
fábrica
de
calculadoras
têm
um
gasto
fixo
de
R
$10000,00
e,
em
m
aterial,
gasta
R
$160,00
p
or
unidade
produzida.
Se
cada
unidade
for
vendida
p
or
R
$240,00.
(a)
C
onstrua
as
funções
receita
e
custo
e
lucro
total.
(b)
Q
uantas
unidades
a
fábrica
precisa
vender
para
atingir
o
p
onto
de
nivelam
ento?
(c)
Se
forem
vendidas
100
unidades,
qual
será
o
lucro
ou
prejuízo
do
fabricante?
(d)
C
onstrua,
no
m
esm
o
par
de
eixos,
os
gráficos
das
funções
receita
e
custo.
7.
N
um
restaurante,
a
m
oqueca
é
servida
p
or
R
$10,00
e
o
preço
da
cerveja
é
de
R
$1,80.
E
m
outro,
a
m
oqueca
é
servida
p
or
R
$12,00,
m
as
a
cerveja
custa
R
$1,40.
A
che
um
critério
para
decidir
qual
restaurante
você
irá,
se
forem
levadas
em
conta
ap
enas
considerações
de
ordem
financeira
e
sup
ondo
que
você
p
eça
ap
enas
um
a
m
oqueca.
8.
U
m
b
om
b
eiro
hidráulico
cobra
um
a
taxa
de
R
$31,00
e
m
ais
R
$2,60
a
cada
m
eia
hora
de
trabalho.
U
m
outro
cobra
R
$25,00
e
m
ais
R
$3,20
a
cada
m
eia
hora.
A
che
um
critério
para
decidir
que
b
om
b
eiro
cham
ar,
se
forem
levadas
em
conta
ap
enas
considerações
de
ordem
financeira.
9.
U
m
a
agência
de
aluguelde
carros
cobra
um
a
diária
de
R
$
25,00
m
ais
R
$
0,30
p
or
quilôm
etro
rodado.
(a)
E
xpresse
o
custo
de
alugar
um
carro
dessa
agência
p
or
um
dia
em
função
do
núm
ero
de
quilôm
etros
dirigidos
e
construa
o
gráfico.
(b)
Q
uanto
custa
alugar
um
carro
para
um
a
viagem
de
200
km
de
um
dia?
(c)
Q
uantos
quilôm
etros
foram
p
ercorridos
se
o
custo
do
aluguel
diário
foi
de
R
$
45,20?
10.
Sup
onha
que
a
dem
anda
de
m
ercado
de
um
produto,
seja
dada
p
or
D
(p
)
=
45−
5
p
unidades,
onde
p
é
o
preço
p
or
unidade
do
b
em
.
(a)
D
eterm
ine
o
intervalo
de
variação
de
p.
(b)
R
epresente
essa
função
graficam
ente.
(c)
D
eterm
ine
o
valor
da
dem
anda
para
p
=
R
$
5,00.
(d)
A
preço
a
dem
anda
será
de
30
pacotes?
(e)
A
que
preço
a
dem
anda
será
m
enor
ou
igual
a
10
pacotes?
(f)
A
que
preço
a
dem
anda
será
m
aior
ou
igual
a
35
pacotes?
(g)
D
eterm
ine
a
função
desp
esa
do
consum
idor
e
a
represente
graficam
ente.
11.
A
dem
anda
de
m
ercado
de
um
certo
produto,que
é
vendido
em
galões,é
dada
p
ela
seguinte
função
D
(p
)
=
8000−
100
p.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
2
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
4.
A
P
L
IC
A
Ç
Õ
E
S
D
E
F
U
N
Ç
Õ
E
S
(a)
D
eterm
ine
o
intervalo
de
variação
de
p.
(b)
R
epresente
graficam
ente
a
função
dem
anda
(c)
C
alcule
os
valores
da
dem
anda
corresp
ondentes
aos
preços
p
=
R
$
40,00,
p
=
R
$
50,00
e
p
=
R
$
75,00.
(d)
A
que
preço
a
dem
anda
será
de
4.500
galões?
(e)
A
que
preços
a
dem
anda
será
m
enor
que
2.000
galões?
(f)
A
que
preços
a
dem
anda
será
m
aior
que
5.000
galões?
(g)
A
que
preços
a
dem
anda
ficará
entre
5.500
e
6.500
galões?
(h)
D
eterm
ine
a
função
desp
esa
do
consum
idor.
(i)
R
epresente
a
função
desp
esa
graficam
ente.
12.
A
dem
anda
de
m
ercado
de
um
certo
produto
é
dada
p
ela
função
D
(p
)
=
2400−
20
p.
(a)
D
eterm
ine
o
intervalo
de
variação
de
p.
(b)
R
epresente
essa
função
graficam
ente.
(c)
D
eterm
ine
o
valor
da
dem
anda
para
p
=
R
$
50,00.
(d)
A
preço
a
dem
anda
será
de
400
pacotes?
(e)
A
que
preço
a
dem
anda
será
m
enor
ou
igual
a
1000
pacotes?
(f)
A
que
preço
a
dem
anda
será
m
aior
ou
igual
a
2000
pacotes?
(g)
D
eterm
ine
a
função
desp
esa
do
consum
idor
e
a
represente
graficam
ente.
13.
Sup
onha
que
a
dem
anda
de
m
ercado
de
um
produto
seja
dada
p
or
D
(p
)
=
36−
p
2,
onde
p
é
o
preço
p
or
unidade.
(a)
D
eterm
ine
o
intervalo
de
variação
de
p.
(b)
R
epresente
essa
função
graficam
ente.
(c)
D
eterm
ine
o
valor
da
dem
anda
para
p
=
R
$
2,00.
(d)
D
eterm
ine
o
valor
da
dem
anda
para
p
=
R
$
3,00.
(e)
D
eterm
ine
o
valor
da
dem
anda
para
p
=
R
$
5,00.
(f)
A
que
preço
a
dem
anda
será
de
20
produtos?
14.
Seja
a
oferta
de
m
ercado
de
um
a
utilidade
dada
p
or
S
(p
)
=
−
200
+
2
p,com
p≤
R
$270
,00
(a)
A
partir
de
que
preço
haverá
oferta?
(b)
C
onstrua
o
gráfico
da
função.
(c)
Q
ual
o
valor
da
oferta
se
p
=
R
$
270,00?
(d)
A
que
preço
a
oferta
será
de
180
unidades?
(e)
A
que
preços
a
oferta
será
m
aior
que
150
unidades?
1
3
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
4.7.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
(f)
A
que
preços
a
oferta
será
m
enor
que
250
unidades?
(g)
P
ara
que
preços
a
oferta
ficará
entre
200
e
300
unidades?
15.
Seja
a
oferta
de
m
ercado
de
um
a
utilidade
dada
p
or
S
(p
)
=
−
30
+
2
p,
com
p≤
R
$100,00:
(a)
A
partir
de
que
preço
haverá
oferta?
(b)
C
onstrua
o
gráfico
da
função.
(c)
Q
ual
o
valor
da
oferta
se
p
=
R
$
27,00?
(d)
A
que
preço
a
oferta
será
de
80
unidades?
(e)
A
partir
de
que
preço
a
oferta
será
m
enor
que
150
unidades?
(f)
P
ara
que
preços
a
oferta
ficará
entre
20
e
70
unidades?
16.
C
onsidere
a
oferta
dada
p
ela
função
S
(p
)
=
p
2−
64,
com
p≤
20.
(a)
A
partir
de
que
preço
haverá
oferta?
(b)
Q
ual
o
valor
da
oferta
para
p
=
R
$
20,00?
(c)
A
que
preço
a
oferta
será
de
297
unidades?
(d)
A
que
preço
a
oferta
será
de
57
unidades?
(e)
T
race
o
gráfico
da
curva
oferta.
17.
Q
uando
o
preço
de
um
certo
produto
for
de
p
reais,
um
lojista
esp
era
oferecer
S
(p
)
=
4
p
+
300
produtos,
enquanto
a
dem
anda
local
é
de
D
(p
)
=
2
p
+
480.
(a)
P
ara
que
preço
de
m
ercado
a
oferta
será
igual
a
dem
anda
local?
(b)
Q
uantos
produtos
serão
vendidos
p
or
este
preço?
(c)
Se
o
preço
for
de
R
$
20,00,
haverá
excesso
ou
escassez
do
produto?
D
e
quanto?
(d)
C
onstrua
os
dois
gráficos
no
m
esm
o
par
de
eixos.
18.
A
s
funções
oferta
e
procura
de
um
determ
inado
produto
são
dadas
p
or
S
(p
)
=
p
2
+
3
p−
70
e
D
(p
)
=
410−
p,
resp
ectivam
ente.
(a)
P
ara
que
preço
de
m
ercado
a
oferta
será
igual
à
dem
anda?
(b)
Q
uantos
produtos
serão
vendidos
p
or
este
preço?
(c)
Se
o
preço
for
de
R
$25,00
haverá
excesso
ou
escassez
do
produto?
D
e
quanto?
(d)
C
onstrua
os
dois
gráficos
no
m
esm
o
par
de
eixos.
19.
D
eterm
ine
o
preço
e
a
quantidade
de
equilíbrio
nos
seguintes
casos:
(a)
D
=
34−
5
p
,
S
=
−
8
+
2
p
(b)
D
=
10−
0
,2
p
,
S
=
−
11
+
12
p
(c)
D
=
32−
p
2
,
S
=
p
2−
18
(d)
D
=
56−
p
2
,
S
=
p
2−
16
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
3
1
C
a
p
ít
u
l
o
5
L
o
g
a
r
it
m
o
s
5
.1
In
t
r
o
d
u
ç
ã
o
O
conceito
de
logaritm
o
foi
introduzido
p
elo
m
atem
ático
escocês
John
N
apier
(1550-1617)
e
ap
erfeiçoado
p
elo
inglês
H
enry
B
riggs
(1561-1630).
A
descob
erta
dos
logaritm
os
deveu-se
sobretudo
à
grande
necessidade
de
sim
plificar
os
cálculos
excessivam
ente
trabalhosos
para
a
ép
oca,
principalm
ente
na
área
da
astronom
ia,
entre
outras.
A
través
dos
logaritm
os,
p
ode-se
transform
ar
as
op
erações
de
m
ultiplicação
em
som
a,
de
divisão
em
subtração,
entre
outras
transform
ações
p
ossíveis,
facilitando
sobrem
aneira
os
cálculos.
N
a
verdade,
a
idéia
de
logaritm
o
é
m
uito
sim
ples,
e
p
ode-se
dizer
que
o
nom
e
logaritm
o
é
um
a
nova
denom
inação
para
exp
oente,
conform
e
verem
os
a
seguir.
C
onsidere
as
seguintes
p
erguntas:
1
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
3
para
se
obter
81?
2
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
2
para
se
obter
132 ?
3
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
4
para
se
obter−
16?
4
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
5
para
se
obter
0?
5
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
0
para
se
obter
2?
6
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
1
para
se
obter
3?
V
ocê
deve
estar
p
ensando:
-
M
as
isso
eu
resolvo
com
exp
onenciais!!!
O
logaritm
o
serve
para
resp
onder
isso!
E
stas
p
erguntas
p
oderiam
ser
interpretadas
m
atem
aticam
ente
da
seguinte
form
a:
1
a)
log
3
81
=
x,
onde
x
é
o
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base
3
para
obterm
os
81,
2
a)
log
2
132
=
x,
onde
x
é
o
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base
2
para
obterm
os
132 ,
3
a)
log
4 −
16
=
x,
onde
x
é
o
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base
4
para
obterm
os−
16,
C
A
P
ÍT
U
L
O
5.
L
O
G
A
R
IT
M
O
S
4
a)
log
5
0
=
x,
onde
x
é
o
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base
5
para
obterm
os
0,
5
a)
log
0
2
=
x,
onde
x
é
o
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base
0
para
obterm
os
2,
6
a)
log
1
3
=
x,
onde
x
é
o
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base
1
para
obterm
os
3.
V
am
os
analisar
prim
eiram
ente
os
dois
prim
eiros
casos
1
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
3
para
se
obter
81?
O
u
seja:
3
x
=
81⇔
log
3
81
=
x.
Se
fatorarm
os
o
núm
ero
81,
verificam
os
que
ele
é
igual
a
3×
3×
3×
3
=
3
4.
A
ssim
,
tem
os
que
3
x
=
81
=
3
4,
logo
x
=
4,
que
é
representado
p
or
log
3
81
=
4.
2
a)
A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
2
para
se
obter
132 ?
O
u
seja,
2
x
=
132 ⇔
log
2
132
=
x.
Se
fatorarm
os
o
núm
ero
32,verificam
os
que
ele
é
iguala
2×
2×
2×
2×
2
=
2
5.
A
ssim
,tem
os
que
2
x
=
132
=
12
5 .
U
tilizando
a
seguinte
propriedade
da
p
otenciação
a −
n
=
1a
n
tem
os:
12 5
=
2 −
5
e
desta
form
a
conclui-se
que
2
x
=
132
=
2 −
5,
logo
x
=
−
5,
que
é
representado
p
or
log
2
132
=
−
5.
N
o
terceiro
caso,
"A
que
exp
oente
x
se
deve
elevar
o
núm
ero
4
para
se
obter−
16?",
ou
seja,
log
4 −
16
=
x.
T
em
os
que
o
4
é
um
núm
ero
p
ositivo,
assim
se
m
ultiplicam
os
ele
p
or
ele
m
esm
o,
o
resultado
sem
pre
será
p
ositivo,
o
que
nos
leva
a
concluir
que
não
há
nenhum
exp
oente
que
p
ossa
fazer
com
que
4
x
seja
negativo.
L
ogo,
com
o
não
existe
um
núm
ero
real
x
que
verifique
4
x
=
−
16,
dizem
os
que
não
existe
log
4 −
16.
A
contece
o
m
esm
o
nos
três
últim
os
casos.
N
o
quarto
caso,não
há
nenhum
núm
ero
real
x
capaz
de
tornar
a
m
ultiplicação
de
5
p
or
5,
x
vezes
igual
a
zero,
logo
log
5
0
=
∄.
N
o
quinto
caso,
a
m
ultiplicação
de
x
zeros,
sem
pre
será
zero,
não
atingindo
nunca
o
valor
2,
assim
log
0
2
=
∄.
N
o
sexto
e
últim
o
caso,
tem
os
que
a
m
ultiplicação
de
x
‘uns’
será
sem
pre
1,
e
nunca
assum
irá
o
valor
3,
logo
log
1
3
=
∄.
5
.2
D
e
f
in
iç
ã
o
N
ote
que,
anteriorm
ente,
dissem
os
que
x
é
o
exp
oente
de
b,
e
na
F
igura
5.1
está
escrito
que
x
é
o
lo
g
a
ritm
o.
Isso
acontece
p
ois
o
L
O
G
A
R
IT
M
O
É
U
M
E
X
P
O
E
N
T
E
.
A
gora,
com
esta
breve
introdução,
p
odem
os
escrever
um
a
prim
eira
definição
de
logaritm
o:
1
3
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5.3.
C
O
N
D
IÇ
Õ
E
S
D
E
E
X
IST
Ê
N
C
IA
L
ogaritm
o
d
e
u
m
n
ú
m
ero
N
,
n
a
b
ase
b
,
é
o
n
ú
m
ero
x
ao
q
u
al
d
evem
os
elevar
a
b
ase
b
p
ara
ob
term
os
N
(ver
F
igu
ra
5.1).
F
igura
5.1:
N
otação
de
L
ogaritm
os
5
.3
C
o
n
d
iç
õ
e
s
d
e
E
x
ist
ê
n
c
ia
N
ão
p
odem
os
sair
escrevendo
logaritm
o
de
qualquer
núm
ero
em
qualquer
base.
N
esta
seção
verem
os
quais
as
condições
que
a
base,
o
logaritm
ando
e
o
logaritm
o
devem
satisfazer
para
term
os
um
logaritm
o.
E
xistem
algum
as
regras
para
que
o
logaritm
o
exista,
são
as
con
d
içõ
es
d
e
ex
istên
cia
d
os
logaritm
os
ou
d
om
ín
io
d
os
logaritm
os
(F
igura
5.2).
P
ara
m
ostrar
quais
são
estas
condições,vam
os
ver
um
E
X
E
M
P
L
O
E
R
R
A
D
O
para
cada
restrição
existente,
para
que
você
veja
o
absurdo
que
seria
se
elas
não
existissem
.
E
x
em
p
lo
1:
Q
uanto
vale
log
5 −
125?
O
u
seja,
querem
os
sab
er
qual
o
exp
oente
que
devem
os
elevar
o
núm
ero
5
para
obterm
os
o
núm
ero−
125.
N
ós
vim
os
na
introdução
que
não
há
valor
para
este
exp
oente,
p
ois
a
qualquer
exp
oente
que
elevarm
os
o
núm
ero
5
o
resultado
será
p
ositivo.
P
or
causa
deste
tip
o
de
absurdo
há
um
a
restrição
quanto
ao
sinal
do
logaritm
ando:
P
R
IM
E
IR
A
C
O
N
D
IÇ
Ã
O
D
E
E
X
IS
T
Ê
N
C
IA
(logaritm
an
d
o):
O
logaritm
o
d
eve
ser
u
m
n
ú
m
ero
p
ositivo.
V
eja
q
u
e
esta
p
rim
eira
restrição
já
in
clu
i
o
fato
d
e
q
u
e
o
logaritm
an
d
o
d
eve
ser
d
iferen
te
d
e
Z
E
R
O
.
P
ara
con
fi
rm
ar,
ex
p
erim
en
te
en
con
trar
o
logaritm
o
d
e
Z
E
R
O
n
a
b
ase
5
(log
5
0).
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
3
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
5.
L
O
G
A
R
IT
M
O
S
E
x
em
p
lo
2:
Q
uanto
vale
log−
4
4?
E
log
1
4?
E
ainda,
log
0
4?
N
estes
casos,querem
os
sab
er
qualo
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base−
4
para
obterm
os
4,qualo
exp
oente
que
devem
os
elevar
a
base
1
para
obterm
os
4
e
qualo
exp
oente
devem
os
elevar
a
base
0
para
obterm
os
4.
O
lhando
com
cuidado
vem
os
que,não
há
exp
oente
que
torne
nenhum
destes
casos
p
ossíveis.
A
base
1
elevada
a
qualquer
exp
oente
será
sem
pre
igual
a
1,
a
base
Z
E
R
O
elevada
a
qualquer
exp
oente
será
sem
pre
Z
E
R
O
e
a
base−
4
se
elevada
a
um
exp
oente
par
daria
um
resultado
p
ositivo,
m
as
não
há
um
exp
oente
que
a
torne
igual
a
4.
A
ssim
,
com
esses
três
exem
plos
sobre
a
base
do
logaritm
o
tem
os
a
segunda
condição
de
existência:
S
E
G
U
N
D
A
C
O
N
D
IÇ
Ã
O
D
E
E
X
IS
T
Ê
N
C
IA
(b
ase):
A
b
ase
d
eve
ser
u
m
n
ú
m
ero
p
ositivo
d
iferen
te
d
e
1.
N
ote
q
u
e
é
d
ito
q
u
e
a
b
ase
d
eve
ser
u
m
n
ú
m
ero
p
ositivo,
ou
seja,
n
ão
p
o
d
e
ser
Z
E
R
O
tam
b
ém
.
R
esum
indo,
através
da
F
igura
5.2,
as
três
condições
de
existência
são:
F
igura
5.2:
C
ondições
de
E
xistência
dos
L
ogaritm
os
5
.4
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
5
.4
.1
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
d
o
p
r
o
d
u
t
o
d
o
l
o
g
a
r
it
m
o
S
e
en
con
trarm
os
u
m
logaritm
o
d
o
tip
o:
log
a
(x×
y
)
d
evem
os
resolvê-lo,
som
an
d
o
o
logaritm
o
d
e
x
n
a
b
ase
a
e
o
logaritm
o
d
e
y
tam
b
ém
n
a
b
ase
a
.
log
a
(x×
y
)
=
log
a
x
+
log
a
y
E
x
em
p
lo:
log
2 (32×
16)
=
log
2
32
+
log
2
16
=
5
+
4
=
9
1
3
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5.4.
P
R
O
P
R
IE
D
A
D
E
S
5
.4
.2
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
d
o
q
u
o
c
ie
n
t
e
d
o
l
o
g
a
r
it
m
o
C
aso
o
logaritm
o
seja
d
o
tip
o
log
a (x
÷
y
),
d
evem
os
resolvê-lo
su
b
train
d
o
o
logaritm
o
d
o
n
u
m
erad
or
n
a
b
ase
a
p
elo
logaritm
o
d
o
d
en
om
in
ad
or
tam
b
ém
n
a
b
ase
a
.
log
a
(x÷
y
)
=
log
a
x−
log
a
y
E
x
em
p
lo:
log
5 (625÷
125)
=
log
5
625−
log
5
125
=
4−
3
=
1
5
.4
.3
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
d
a
p
o
t
ê
n
c
ia
d
o
l
o
g
a
r
it
m
o
Q
u
an
d
o
u
m
logaritm
o
estiver
elevad
o
a
u
m
ex
p
o
en
te,
n
a
p
róx
im
a
p
assagem
esse
ex
p
o
en
te
irá
m
u
ltip
licar
o
resu
ltad
o
d
esse
logaritm
o,
d
a
segu
in
te
form
a:
log
a
x
m
=
m
×
log
a
x
E
x
em
p
lo:
log
3
81
2
=
2×
log
3
81
=
2×
4
=
8
5
.4
.4
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
d
a
r
a
iz
d
e
u
m
l
o
g
a
r
it
m
o
E
ssa
p
rop
ried
ad
e
é
b
asead
a
em
ou
tra,
q
u
e
é
estu
d
ad
a
n
a
p
rop
ried
ad
e
d
a
rad
iciação,
ela
d
iz
o
segu
in
te:
n
√
x
m
=
x
mn
E
sta
p
rop
ried
ad
e
é
ap
licad
a
se
acon
tecer
d
e
ap
arecer:
log
a
n
√
x
m
,
d
esta
form
a
en
con
tram
os:
log
a
n
√
x
m
=
log
a
x
mn
=
mn
×
log
a
x
E
x
em
p
lo:
log
2
3
√
16
2
=
log
2
16
23
=
23 ×
log
2
16
=
23 ×
4
=
83
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
3
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
5.
L
O
G
A
R
IT
M
O
S
5
.4
.5
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
d
a
m
u
d
a
n
ç
a
d
e
b
a
s
e
U
tilizam
os
a
propriedade
da
m
udança
de
base
quando
para
calcular
um
logaritm
o
precisam
os
utilizar
um
a
tábua
de
logaritm
os
ou
um
a
calculadora.
N
orm
alm
ente
as
calculadoras
p
ossuem
a
função
logarítm
ica
nas
base
10
e
na
base
ex
p.
D
esta
form
a
devem
os
transform
ar
a
base
em
questão
em
base
10
ou
ex
p.
P
ara
fazerm
os
a
m
u
d
an
ça
d
e
log
a
x
p
ara
a
b
ase
b,
d
evem
os
d
iv
id
ir
o
logaritm
o
d
o
logaritm
an
d
o(x
)
n
a
b
ase
b
p
elo
logaritm
o
d
a
an
tiga
b
ase,
n
o
caso
a
,
tam
b
ém
n
a
b
ase
b.
D
a
segu
in
te
form
a:
log
a
x
=
log
b
x
log
b
a
E
x
em
p
lo:
V
am
os
passar
log
4
8,
para
a
base
2.
log
4
8
=
lo
g
2
8
lo
g
2
4
=
32
5
.4
.6
U
m
o
u
t
r
o
e
x
e
m
p
l
o
Sup
onha
que
querem
os
sab
er
o
valor
de
log
5
72,
e
para
isso
p
ossuím
os
a
inform
ação
de
que
log
5
2
=
0
,4307
e
log
5
3
=
0
,6826.
B
asta
fatorarm
os
o
valor
72
e
aplicarm
os
as
propriedades
descritas
anteriorm
ente
e
fazer
as
devidas
substituições.
log
5
72
=
log
5
(2
3×
3
2)
=
log
5
2
3
+
log
5
3
2
=
3×
log
5
2
+
2×
log
5
=
3×
0
,4307
+
2×
0
,6826
=
1
,2921
+
1
,3652
=
2
,6573
1
3
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5.5.
E
X
E
R
C
ÍC
IO
S
5
.5
E
x
e
r
c
íc
io
s
I)
C
alcule
os
seguintes
logaritm
os:
1)
log
8
4096
2)
log
3
729
3)
log
1
2
1728
4)
log
1
6
4096
5)
log
5
0
,00032
6)
log
2
0
,0625
7)
log
14
4
5
√
4
3
8)
log
2
0
0
,000125
9)
log
8
512
10)
log
3
2187
11)
log
1
1
1331
12)
log
1
5
3375
13)
log
5
0
,0016
14)
log
2
0
,03125
15)
log
15
5
5
√
5
3
16)
log
2
0
0
,0025
17)
log
2
4096
18)
log
9
729
19)
log
1
2
20736
20)
log
4
4096
21)
log
5
0
,000064
22)
log
2
0
,0625
23)
log
14
4
5
√
4
3
24)
log
2
0
0
,00000625
25)
log
9
6561
26)
log
3
243
27)
log
1
3
2197
28)
log
1
5
3375
29)
log
5
0
,0000128
30)
log
2
0
,125
31)
log
14
4
7
√
4
5
32)
log
2
0
0
,0025
II)
C
onsiderando
log
5
2
=
0
,4307
e
log
5
3
=
0
,6826,
calcule:
1)
log
5
8
2)
log
5
12
3)
log
5
72
4)
log
5 √
2
5)
log
5 √
108
6)
log
5
8
1
√
3
7)
log
5
8 √
27
8)
log
5
2592
9)
log
5
32
10)
log
5
36
11)
log
5
216
12)
log
5
3
√
2
13)
log
5 √
72
14)
log
5
2
4
3
√
3
15)
log
5
9 √
128
16)
log
5
5184
III)
C
onsiderando
log
6
2
=
0
,3869
e
log
6
3
=
0
,6131,
calcule:
1)
log
6
32
2)
log
6
36
3)
log
6
216
4)
log
6
3
√
2
5)
log
6 √
72
6)
log
6
2
4
3
√
3
7)
log
6
9 √
128
8)
log
6
5184
9)
log
6
8
10)
log
6
12
11)
log
6
72
12)
log
6 √
2
13)
log
6 √
108
14)
log
6
8
1
√
3
15)
log
6
8 √
27
16)
log
6
2592
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
3
9