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Aula 3 Matrizes, vetores e autovalores Multiplicação de vetores por matrizes: Outros exemplos: Vetores “especias”: os autovetores e seus autovalores Os autovalores são, respectivamente: 2, -1 e 1. Polarização Esta propriedade foi inicialmente analisada no contexto do eletromagnetismo clássico. Nesta teoria, está associada à relação de fase e amplitude entre as componentes do campo elétrico associado à onda em questão. A polarização gera fenômenos curiosos, produzidos de forma bastante natural. Análise do experimento Se os polarizadores são colocados perpendicularmente um em relação ao outro, não há passagem de luz. Este experimento pode ser refinado a ponto de se deixar passar UM fóton por vez. Nesse caso, sabemos que cada fóton passa “inteiro”, ou não passa. Um determinado fóton irá ou não passar pelo polarizador? A resposta é: saberemos APENAS a probabilidade de um determinado fóton passar, dada pelo ângulo ϕ entre a direção de polarização do fóton e a do polarizador: P = |cos ϕ|2 Matrizes associadas à polarização Podemos associar a seguinte matriz ao processo de polarização: Os vetores que representam os estados de polarização vertical e horizontal podem ser representados, respectivamente por: com autovalores 1 e -1, respectivamente. Os demais estados de polarização ficam representados por onde ϕ é o ângulo entre a direção vertical e o estado de polarização de um dado fóton. O módulo quadrado do produto escalar do vetor que representa um dado estado e o vetor de polarização vertical (por ser aquele associado ao ângulo ϕ) dá a probabilidade de passagem de um determinado fóton. Superposição e vetores O efeito de superposição, manifestado claramente nos fenômenos de interferência, se apresenta como uma das marcas de todas as partículas. A propriedade de soma de vetores representa este fenômeno. Esta, entre outras, foi uma das motivações que levaram os cientistas a caracterizar os estados dos diversos sistemas por vetores. Com essa abordagem, finalmente, foi desenvolvida uma teoria que descreve de forma precisa diversos fenômenos da escala atômica à macroscópica. De fato, é preciso deixar claro que não serão apenas os vetores de ⎥N (números reais, dimensão N) a representar estes estados. Trata-se de uma classe maior, inspirada nos espaços euclideanos, chamados espaços vetorias. Da mesma forma, em lugar das costumeiras matrizes que atuam sobre os vetores de ⎥N teremos um tipo de objeto atuando nestes espaços vetorias, chamados operadores. Princípios da mecânica quântica 1- Todos os sistemas são descritos por vetores em espaços que caracterizam a propriedade em estudo. 2- As quantidades mensuráveis serão descritas por operadores atuando nos vetores de estado apropriados. 3- As medidas possíveis de cada quantidade serão aquelas dadas pelos autovalores do operador asociado. 4- Dado um sistema caracterizado por um vetor v, a probabilidade de se encontrar a medida α, autovalor correspondente ao autovetor vα, será dada pelo modulo quadrado do produto escalar entre estes dois vetores. |v.vα|2 5- Se é obtido o valor α como medida para um dado sistema, seu estado após tal medida será vα, autovetor associado ao autovalor α. 6- A equação que descreve a evolução temporal de um sistema é conhecida por equação de Schrödinger. H é o operador correspondente à energia total do sistema. Observações O postulado 1 não representa grande novidade com relação à ciência clássica. Os postulados 2 e 3 carregam boa parte da “novidade” associada à mecânica quântica. Note-se que os operadores poderão ter tanto uma parte discreta quanto contínua, ou ambos, dependendo de sua natureza matemática. Os postulados 4 e 5 embora pareçam simples conseqüência dos dois anteriores, de fato, são independentes deles. Ambos, porém, podem ser vistos como “exigências experimentais” destes dois anteriorers. A partir do postulado 6 é possível se estabelecer a ponte com a ciência clássica, pois podemos mostrar que tal equação aplicada aos sistemas macroscópicos tratados na mecânica clássica, de fato, se transforma nas equações usadas classicamente. Esse fato é conhecido como “princípio da correspondência”. A teoria quântica aqui descrita foi iniciada em 1925 por Heisenberg (1901-1976) e Schrödinger (1887-1961), sendo posteriormente desenvolvida, em diversos aspectos, por Dirac (1902-1984), Pauli (1900-1958), Born (1882-1970), entre alguns outros nomes.
