AULA 3

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MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
AULA 3 
•A escolha de uma origem é completamente arbitrária, uma vez que cada 
ponto do reticulado cristalino é idêntico. 
ORIGEM DO SISTEMA DE COORDENADAS 
MUITAS ESTRUTURAS CRISTALINAS DIFERENTES 
 – 
 É CONVENIENTE DIVIDIR EM GRUPOS 
– 
DE ACORDO COM AS CONFIGURAÇÕES DE SUAS CÉLULAS 
 
• Está baseado na geometria da célula unitária, na forma 
do paralelepípedo apropriado para a célula unitária. 
• É estabelecido uma sistema de coordenadas x, y e z: 
 
 
•A geometria da célula unitária é completamente definida em 
termos de 6 parâmetros: os 3 comprimentos de arestas a, 
b e c, e os 3 ângulos α, β, γ. 
 
 Estes estão indicados na Figura e são às vezes 
denominados parâmetros de rede de uma estrutura 
cristalina. 
 
• Têm sido encontrados cristais tendo 7 diferentes possíveis combinações de 
a,b e c e a, b e g, cada um dos quais representa um distinto sistema cristalino. 
 
• Estes 7 sistemas 
cristalinos são cúbico, 
tetragonal, hexagonal, 
ortorrômbico, 
romboédrico, 
monoclínico e triclínico. 
 
 
• As correlações de parâmetro de rede e o esboço da célula unitária 
está representado na Tabela próxima. 
 
• O sistema cúbico, para o qual a = b = c e α = β = γ = 90º, tem o mais 
alto grau de simetria. 
A simetria mínima é exibida pelo sistema triclínico, de vez que a ≠b ≠ c e 
α ≠ β ≠ γ. 
•OS 7 SISTEMAS 
CRISTALINOS 
AS 14 REDES DE BRAVAIS 
•Dos 7 sistemas cristalinos 
podemos identificar 14 tipos 
diferentes de células unitárias, 
conhecidas com redes de 
Bravais. 
•Cada uma destas células 
unitárias tem certas 
características que ajudam a 
diferenciá-las das outras células 
unitárias. 
•Além do mais, estas 
características também 
auxiliam na definição das 
propriedades de um material 
particular. 
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DIREÇÕES NOS CRISTAIS 
 
• São representadas 
 entre 
colchetes=[uvw] 
• Família de direções: 
<uvw> 
 
COORDENADAS DE PONTOS 
•A posição de qualquer ponto localizado no interior de uma célula 
unitária pode ser especificada em termos de sua coordenadas, 
calculadas como múltiplos,fracionários dos comprimentos das 
arestas das células unitárias (em termos de a, b e c). 
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
É definida como uma linha entre 2 pontos, ou um vetor. 
As seguintes etapas são utilizadas na determinação dos 3 índices 
direcionais: 
1) Um vetor de comprimento conveniente é posicionado tal que ele passe 
através da origem do sistema coordenado. 
 
2) O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos é 
determinado; estes comprimentos são medidos em termos das dimensões da 
célula unitária a, b e c. 
 
3) Estes 3 números são multiplicados ou divididos por um fator comum a fim de 
reduzi-los aos menores valores inteiros. 
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
 
4) Os 3 índices, não separados por vírgula, são contidos entre 
colchetes, da seguinte maneira: [u v w]. 
 
•Os números inteiros u, v e w correspondem às projeções reduzidas 
ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. 
•Para cada um dos 3 eixos, existirão coordenadas tanto positivas 
quanto negativas. Assim, são também possíveis índices negativos 
que são representados por uma barra sobre o apropriado índice. 
 
 
 
 _ 
 Por exemplo, a direção [1 1 1] teria uma componente na 
direção - y. 
As direções [100],[110] e [111] são direções comuns; elas estão 
traçadas na célula unitária da Figura. 
12 
DIREÇÕES NOS CRISTAIS 
 
• São representadas 
entre colchetes= [hkl] 
• Quando passa pela 
origem 
 
EXEMPLO: 
x(2) 
DIREÇÕES PARA O SISTEMA 
CÚBICO 
• A simetria desta estrutura permite que as 
direções equivalentes sejam agrupadas para 
formar uma família de direções: 
• <100> para as faces 
• <110> para as diagonais das faces 
• <111> para a diagonal do cubo 
<100> 
<111> 
<110> 
15 
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC 
 
• No sistema CCC os átomos 
se tocam ao longo da 
diagonal do cubo, que 
corresponde a família de 
direções <111>; 
• Então, a direção <111> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema ccc 
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC 
 
• No sistema cfc os átomos se 
tocam ao longo da diagonal 
da face, que corresponde a 
família de direções <110>; 
 
• Então, a direção <110> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema CFC 
 
Filme 22 
PLANOS CRISTALINOS 
 Por quê são importantes? 
· Para a deformação plástica 
 A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento 
dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento 
tende a acontecer preferencialmente ao longo de planos direções 
específicos do cristal. 
· Para as propriedades de transporte 
 Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o 
transporte de elétrons e/ou acelera a condução nestes planos, e, 
relativamente, reduz a velocidade em planos distantes destes. 
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PLANOS CRISTALINOS 
• São representados de maneira similar às 
direções 
• São representados pelos índices de Miller = 
(hkl) 
• Planos paralelos são equivalentes tendo os 
mesmos índices 
 
1) Se o plano passar através da selecionada origem, 
quer um outro plano paralelo deve ser construído 
dentro da célula unitária por uma apropriada 
translação, quer uma nova origem deve ser 
estabelecida no vértice de uma outra célula 
unitária. 
 
2) Neste ponto o plano cristalográfico ou 
interceptará cada um dos 3 eixos ou será 
paralelo a algum dos eixos; o comprimento da 
interseção do plano com cada eixo é 
determinado em termos dos parâmetros da 
rede a, b e c; 
 
 
 
 
3) Os valores inversos desses números são 
calculados. Um plano que seja paralelo a um eixo 
pode ser considerado como um intercepto infinito, e, 
portanto, um índice zero. 
 
4) Se necessário, estes 3 números são mudados 
para resultar o conjunto dos mínimos inteiros por 
multiplicação ou divisão usando um fator 
comum. 
 
5) Finalmente, os índices inteiros, não separados 
por vírgulas, são colocados dentro de parêntesis, 
assim: (hkl). 
 
21 
PLANOS CRISTALINOS 
PLANOS CRISTALINOS 
Planos (010) 
• São paralelos aos eixos x 
e z (paralelo à face) 
• Cortam um eixo (neste 
exemplo: y em 1 e os 
eixos x e z em ) 
• 1/ , 1/1, 1/  = (010) 
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PLANOS CRISTALINOS 
Planos (110) 
• São paralelos a um eixo 
(z) 
• Cortam dois eixos 
(x e y) 
• 1/ 1, 1/1, 1/  = (110) 
PLANOS CRISTALINOS 
Planos (111) 
 
• Cortam os 3 eixos 
cristalográficos 
• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111) 
ARRANJOS ATÔMICOS 
 
O arranjo atômico para um plano cristalográfico, depende da 
estrutura cristalina. 
 Os planos atômicos (110) para estruturas cristalinas CFC e CCC 
estão representados nas Figuras abaixo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.10 (a) Célula unitária CFC de esfera reduzida com o plano 
(110). (b) Empacotamento atômico num plano (110) CFC. 
Correspondentes posições de 
átomos a partir de (a) são indicadas. 
 
Células unitárias de esfera reduzida estão também incluídas 
Note-se que o empacotamento atômico é diferente para 
cada caso. 
 
Os círculos representam átomos que ficam nos planos 
cristalográficos como poderiam ser obtidos a partir de 
uma fatia fina tomada através dos centros das esferas 
rígidas de tamanho pleno. 
Figura 3.11(a) Célula unitária CCC de esfera reduzida com o plano 
(110). (b) Empacotamento atômico de um plano (110) CCC. 
Correspondentes posições a partir de (a) são indicadas. 
Uma
‘família’ de planos contém todos 
aqueles planos que são cristalograficamente 
equivalentes – que possuem o mesmo 
empacotamento atômico; e uma família é 
designada por índices que são colocados 
entre chaves, tal como {100}. 
Por exemplo, nos cristais cúbicos da família 
de planos {110}: 
28 
FAMÍLIA DE PLANOS {110} 
É paralelo à um eixo 
29 
FAMÍLIA DE PLANOS {111} 
Intercepta os 3 eixos 
30 
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA POR 
DIFRAÇÃO DE RAIO X 
Raíos-x tem comprimento de onda 
similar a distância interplanar 
 
0,1nm 
31 
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA POR 
DIFRAÇÃO DE RAIO X 
O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO: 
Quando um feixe de raios x é 
dirigido à um material cristalino, 
esses raios são difratados pelos 
planos dos átomos ou íons 
dentro do cristal 
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DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA POR 
DIFRAÇÃO DE RAIO X 
DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
LEI DE BRAGG 
n= 2 dhkl.sen 
 É comprimento de onda 
N é um número inteiro de ondas 
d é a distância interplanar 
 O ângulo de incidência 
dhkl= a 
 (h2+k2+l2)1/2 
Válido 
para 
sistema 
cúbico 
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TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO 
• Técnica do pó: 
– É bastante comum, o material a ser 
analisado encontrar-se na forma de pó 
(partículas finas orientadas ao acaso) que 
são expostas à radiação x monocromática. 
–O grande número de partículas com 
orientação diferente assegura que a lei de 
Bragg seja satisfeita para alguns planos 
cristalográficos 
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DIFRATOGRAMA