47739-ENERGIA_CINÉTICA_E_TRABALHO

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ENERGIA CINÉTICA E TRABALHO
CAPÍTULO 7
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Introdução
A energia é um dos focos mais importantes da física.
A obtenção e o uso eficiente de energia é um dos temas mais recorrentes em pesquisas científicas.
Todo movimento requer energia para existir.
Atravessar o oceano Atlântico de avião, transportar equipamento até o último andar de um edifício ou para uma estação espacial e arremessar uma bola requer energia.
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Guerras foram e são travadas por fontes de energia.
Guerras já foram decididas com armas de alta liberação de energia.
Mas qual o significado físico da palavra energia?
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O que é energia?
O conceito de energia é muito amplo e difícil de definir.
Tecnicamente: energia é uma grandeza escalar associada ao estado de um ou mais objetos.
Se uma força muda o estado de um dos objetos do sistema, sua energia varia.
Se a energia for atribuída corretamente a um sistema é possível prever seu comportamento.
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Lei da conservação da energia: a energia pode ser convertida de uma forma em outra ou transferida de um corpo ao outro, mas a quantidade total de energia do universo é sempre a mesma.
Neste capítulo será estudada uma forma de energia: cinética e uma forma de transferência de energia: trabalho.
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Energia cinética
Está associada ao estado de movimento de um objeto.
Quanto maior a velocidade do objeto, maior a sua energia cinética.
Para um objeto de massa m e velocidade v (muito menor que a velocidade da luz), a sua energia cinética é dada por:
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No sistema internacional, a unidade de energia cinética seria kgm2/s2.
Esta unidade é denominada joule (J).
Assim: 1 J = 1 kgm2/s2.
James Prescott Joule, físico inglês que viveu no século XIX , foi o inventor da máquina a vapor.
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Exercício 7.1
Uma conta com uma massa de 18 g está se movendo no sentido positivo do eixo x. A partir do instante t = 0, em que a conta está passando pela posição x = 0 com uma velocidade de 12 m/s, uma força constante passa a agir sobre a conta. A figura a seguir indica a posição da conta em vários instantes. A conta para momentaneamente em t = 3,0 s. Qual é a energia cinética da conta em t = 10,0 s?
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Trabalho
Se você aplica uma força a um objeto, a velocidade e a energia cinética dele pode aumentar ou diminuir.
Esta mudança deve-se à transferência de energia entre você e o objeto.
Quando há transferência de energia através de uma força, diz-se que esta força realizou um trabalho (W) sobre o objeto.
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Definição: Trabalho (W) é a energia transferida para um objeto ou de um objeto através de uma força que age sobre ele.
Se a energia é transferida para o objeto, o trabalho é positivo.
Se a energia é transferida do objeto, o trabalho é negativo.
Realizar trabalho sobre um corpo significa transferir energia para este corpo.
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A unidade de medida de trabalho é a mesma de energia, o joule (J).
Não há transferência de matéria durante a realização de um trabalho.
Se o objeto que recebe a força não se desloca não há realização de trabalho.
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Trabalho e energia cinética
Seja uma cota que pode se mover sem atrito ao longo de um eixo x horizontal.
Uma força constante F é aplicada sobre a cota, inclinada de um ângulo .
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Da 2ª lei de Newton, temos que:
Fx = m ax
Ao sofrer um deslocamento de módulo d, a velocidade da cota muda de v0 para v.
Como a força é constante, a aceleração também será.
Desta forma podemos escrever:
v2 = v02 + 2 ax d
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Isolando ax, temos:
ax = ½ (v2 –v02)/d 
Substituindo na 2ª lei, temos:
Fx = ½ m (v2 –v02) /d ou
Fx d = ½ mv2 – ½ mv02
Os termos da direita é a variação da energia cinética da cota.
O termo da esquerda representa a ação da força que produz esta variação.
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Como esta mudança é provocada pela realização de trabalho pela forca F, temos que:
W = Fx d
A única componente que realiza trabalho durante um deslocamento é a componente paralela a ele.
Como Fx = F cos , temos que:
W = F d cos 
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Uma outra forma de escrever o trabalho realizado por uma força constante é:
Esta equação só é válida se o objeto se comportar como uma partícula.
O trabalho pode ser positivo (se 0° ≤  < 90°), negativo (se 90°<  ≤ 180°) ou nulo (se  = 90°).
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O trabalho é positivo se a componente da força está no mesmo sentido do deslocamento.
O trabalho é negativo se a componente da força está no sentido oposto do deslocamento.
O trabalho é nulo se a força não possui componente está na direção do deslocamento.
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O trabalho total realizado por duas ou mais forças é igual à soma algébrica dos trabalhos individuais.
Teorema do trabalho e energia cinética: a variação da energia cinética de um corpo é numericamente igual ao trabalho realizado sobre ela.
W = ∆K = Kf – Ki.
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Exercício 6.2
A figura a seguir mostra uma vista superior de três forças horizontais atuando em uma caixa que estava inicialmente em repouso e passou a se mover sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F1 = 3,00 N, F2 = 4,00 N e F3 = 10,0 N, e os ângulos indicados são 2 = 50,0° e 3 = 35,0°. Qual é o trabalho total realizado sobre a caixa pelas três forças nos primeiros 4,00 m de deslocamento? 
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Exercício 6.3
Um bloco de gelo flutuante é colhido por uma correnteza que lhe aplica uma força de 16,0 N e orientação fixa, fazendo com que ele sofra um deslocamento .
Qual é o ângulo entre a força e o deslocamento se a variação da energia cinética do bloco é de 50 J?
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Trabalho realizado pela força gravitacional
Seja um corpo de massa m arremessado para cima com uma velocidade v0. 
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Durante a subida, a força gravitacional realiza trabalho sobre o corpo durante um deslocamento d.
A energia cinética do corpo é reduzida até se anular no ponto mais alto da trajetória.
Como a força gravitacional é constante, podemos calcular o trabalho realizado por ela por meio de:
W = F d cos .
Como F = Fg = m g, temos:
W = mgd cos .
Na subida,  = 180° e o trabalho se torna:
W = - mgd.
A força gravitacional remove energia cinética do corpo.
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Na descida, a força é paralela ao deslocamento. Portanto:
W = mgd.
A força gravitacional agora adiciona energia cinética ao objeto.
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Trabalho realizado para levantar e baixar um objeto
Uma partícula é levantada pela aplicação de uma força F.
Durante o deslocamento para cima, esta força realiza um trabalho Wa positivo sobre a partícula.
A força gravitacional realiza um trabalho Wg negativo sobre ela.
A força F tende a fornecer energia ao corpo, enquanto a força gravitacional tende a remover energia da partícula.
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Pelo teorema da energia cinética, temos que:
∆K = Kf – Ki = Wa +Wg.
Esta equação também é válida na descida do objeto.
Neste caso porém, o trabalho da força gravitacional tende a fornecer energia para o corpo.
Já o trabalho da força aplicada tende a retirar energia cinética do corpo.
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Se o objeto está em repouso antes e depois do levantamento, temos que:
Kf – Ki = Wa +Wg = 0 
ou
Wa = – Wg.
Este resultado também é válido se Kf = Ki ≠ 0.
Nestas condições, temos:
Wa = mgd cos .
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Se o movimento é para cima: = 180° e 
Wa = mgd.
Se o movimento é para baixo:  = 0° e 
Wa =  mgd.
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Estas equações são válidas independentemente do módulo da força aplicada, que pode variar durante o deslocamento d.
Exercício 6.4
Na figura abaixo, uma força horizontal Fa de módulo 20,0 N é aplicada a um livro de psicologia de 3,00 kg enquanto ele desliza sobre uma rampa de inclinação  = 30,0°, subindo sem atrito por uma distância d = 0,500 m.
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Nesse deslocamento, qual é o trabalho total realizado sobre o livro por Fa, pela força gravitacional e pela força normal?
Se o livro parte do repouso no início do deslocamento, qual é a sua velocidade final?
Trabalho realizado por uma força elástica
Seja um bloco preso a uma mola relaxada.
Se o bloco for puxado para a direita, ele é puxado
para a esquerda pela mola.
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A força exercida pela mola é denominada força restauradora.
Se a mola for comprimida, empurrando-se o bloco para a esquerda, a mola exerce uma força sobre o bloco para a direita.
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Lei de Hooke: a força Fs da mola é proporcional ao deslocamento d em relação à posição de equilíbrio:
O sentido da força é sempre oposto ao do deslocamento da extremidade livre da mola.
A constante k é denominada constante elástica ou constante de força.
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Quanto maior o valor de k, mais rígida é a mola.
Se for adotado um eixo x paralelo à maior dimensão da mola com a posição de equilíbrio em x = 0, temos que:
Fx = kx.
A força elástica é uma força variável, sendo função da posição F(x).
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O trabalho realizado por uma força elástica
Hipóteses simplificadoras:
A mola não possui massa;
A mola é ideal e obedece à lei de Hooke;
Não há atrito entre o bloco e o piso.
Suponha que o bloco é colocado em movimento por um impulso para a direita.
A força elástica realiza trabalho sobre ele, reduzindo sua energia cinética.
Podemos calcular este trabalho usando W = F d cos ?
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Não, pois a força elástica varia com a posição
Como fazer, então?
Dividimos o deslocamento entre xi e xf em muitos deslocamentos pequenos ∆x.
No interior destes pequenos deslocamentos, a força praticamente não varia.
Podemos usar a referida equação para calcular o trabalho realizado pela força elástica dentro de cada pequeno deslocamento.
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Como  = 180°, temos que o trabalho da força no primeiro trecho é  Fx1∆x.
No segundo trecho, o trabalho é  Fx2∆x e assim sucessivamente.
O trabalho total realizado pela força elástica de xi a xf é dado por:
Ws≈  Fxj ∆x
onde j = 1, 2, 3, ...
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Para o cálculo ser exato é necessário tomar o limite ∆x0.
Desta forma, temos que:
Como Fx = kx, temos que:
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De onde temos que:
O trabalho Ws pode ser positivo ou negativo dependendo se a transferência total da energia ser da mola para o bloco ou do bloco para a mola.
Ws > 0 para xf < xi.
Ws < 0 para xf > xi.
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O trabalho é nulo se xf = xi.
Se xi = 0, temos que:
Suponha que, agora, alguém desloque o bloco ao longo do eixo x pela aplicação de uma força Fa sobre ele.
Durante o deslocamento, a força aplicada realiza um trabalho Wa e a força elástica realiza um trabalho Ws.
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A variação da energia cinética do bloco é:
∆K = Kf – Ki = Wa + Ws
Se o objeto está em repouso antes e depois do deslocamento, temos que:
Wa +Ws = 0 
ou
Wa = – Ws.
Este resultado não é válido se o bloco não estiver em repouso antes e depois do deslocamento.
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Exercício 6.5
Um bloco de 250 g é deixado cair em uma mola vertical, inicialmente relaxada, com uma constante elástica k = 2,5 N/cm. O bloco fica acoplado à mola, comprimindo-a em 12 cm até parar momentaneamente. Nesta compressão, que trabalho é realizado sobre o bloco:
Pela Fg?
Pela Fs?
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c) Qual é a velocidade do bloco imediatamente antes de se chocar com a mola?
d) Se a velocidade no momento do impacto é duplicada, qual é a compressão máxima da mola?
Respostas:
0,29 J
- 1,8 J.
3,5 m/s
0,23 m.
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Trabalho realizado por uma força variável genérica
Seja uma conta que pode deslizar sem atrito ao longo de um fio.
Suponhamos que a força é sempre paralela ao eixo x e seu sentido não se altera.
Suponhamos ainda que o módulo da força varia apenas com a posição e não com o tempo.
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A força varia com a posição de acordo com o gráfico abaixo:
O trabalho realizado pela força F(x) entre xi e xf não pode ser obtido de W = F d cos.
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Dividimos a área sob a curva em muitas faixas estreitas de largura ∆x.
Se ∆x é pequeno, a força F(x) pode ser considerada constante no interior deste intervalo.
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O trabalho realizado pela força num certo intervalo j é obtido de:
∆Wj = Fj,méd ∆ x.
Este trabalho é numericamente igual à área sob a faixa retangular j.
O trabalho total realizado pela força F(x) pode ser aproximado por:
W   ∆Wj =  Fj,méd ∆ x.
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A precisão da aproximação pode ser melhorada pela redução de ∆x.
O trabalho total pode ser obtido exatamente a partir do limite:
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Este limite representa a integral da função F(x) entre xi e xf:
Geometricamente, este trabalho é numericamente igual à área sob a curva F(x).
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Análise tridimensional
Seja uma partícula sujeita a uma força do tipo: 
Sendo que suas componentes podem variar com a posição da partícula.
Suporemos que Fx só varie com x, Fy só varie com y e Fz só varie com z.
Esta força atua durante o deslocamento:
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O trabalho realizado pela força F durante o deslocamento dr é:
O trabalho realizado sobre a partícula pela força F durante o deslocamento de ri a rf é:
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Teorema do trabalho e energia cinética com uma força variável
Seja uma partícula de massa m movendo-se ao longo de um eixo x e sujeita a uma força F(x).
O trabalho realizado pela força F(x) sobre a partícula no deslocamento de xi a xf é:
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Que pode ser reescrita como:
Pela regra da cadeia, temos que:
Logo: 
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Integrando, temos que:
Que se resume ao teorema da energia cinética:
W = Kf – Ki = ∆K 
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Exercício 6.6
Uma lata de sardinha é deslocada ao longo do eixo x, de x = 0,25m até x = 1,25 m, por uma força cujo módulo é dado por:
com x em metros e F em newtons. Qual é a variação da energia cinética da lata?
Resposta: 0,090 J.
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Exercício 6.7
A única força que age sobre um corpo de 2,0 kg quando ele se desloca ao longo de um eixo x varia da forma indicada na figura abaixo. 
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Dados Fs = 4,0 N e a velocidade do corpo em x = 0 sendo 4,0 m/s.
Qual é a energia cinética do corpo em x = 4,0 m?
Para que valor de x o corpo possui uma energia cinética de 8,0 J?
c) Qual é a energia cinética máxima do corpo entre x = 0 e x = 5,0 m?
Respostas:
8,0 J
4,0 m
18 J
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Potência
Taxa temporal de realização de trabalho.
A potência média de uma força que realiza um trabalho W num intervalo ∆t é:
A potência instantânea é definida por:
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Unidade S.I. para potência: joule/segundo (J/s) = watt (W).
1 W = 1 J/s
No sistema britânico, usa-se o pé-libra por segundo (ftlb/s), sendo:
1 W = 0,738 ftlb/s
Outra unidade muito comum utilizada para potência é o horsepower (hp), sendo:
1 hp = 746 W
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O trabalho pode ser expresso no produto de uma unidade de potência por uma unidade de tempo.
Uma unidade muito comum para trabalho e energia é o quilowatt-hora (1 kWh), sendo:
1 kWh = 3,60 x 106 J = 3,60 MJ.
A potência também pode ser escrita em função da força e da velocidade da partícula.
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Para uma partícula que se move sobre uma linha reta (eixo x) sujeita a uma força F, podemos escrever:
Que também pode ser expresso como:
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Exercício 6.8
Em um certo instante, um objeto que se comporta como uma partícula sofre a ação de uma força 
quando a sua velocidade é
Qual é a taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho sobre o objeto?
 R: 28 W
Em outro instante, a velocidade tem apenas a componente y. Se a força não muda e a potência instantânea é – 12W, qual é a velocidade do objeto neste instante? 
R: 6,0 m/s
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