Resolução de Sistemas

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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS
LINEARES USANDO A 
FATORAÇÃO LU
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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS USANDO A FATORAÇÃO LU
FATORAÇÃO LU
Dada uma matriz A = [aij], de ordem n, “fatorar” esta 
matriz é escrever duas outras matrizes, L e U, tais que:
 A = LU 
Exemplo:
 Matriz A: 1 0 1
 3 2 – 1 
 – 2 1 – 1 
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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS USANDO A FATORAÇÃO LU
m21 = – 3 1 0 1
L2 ← L2 + (- 3)L1 0 2 – 4
 – 2 1 – 1 
m31 = 2 1 0 1
L3 ← L3 + (+ 2)L1 0 2 – 4
 0 1 – 1 
*
m32 = – 0,5 1 0 1
L3 ← L3 + (- 0,5)L2 0 2 – 4 = U 
 0 0 3
Matriz L: 1 0 0
m21 = – 3 3 1 0 
 – 2 0,5 1
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS USANDO A FATORAÇÃO LU 
*
Observa-se que:
 1 0 0 1 0 1 1 0 1
 LU = 3 1 0 . 0 2 – 4 = 3 2 – 1 = A
 – 2 0,5 1 0 0 3 – 2 1 – 1
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS USANDO A FATORAÇÃO LU 
*
Exemplo:
Matriz A: - 1 1 1
 3 2 - 1 
 5 0 - 3
Triangularização: 
m21 = 3 - 1 1 1 
L2 ← L2 + ( 3 )L1 0 5 2
 5 0 - 3 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS USANDO A FATORAÇÃO LU 
*
m31 = 5 - 1 1 1 
L3 ← L3 + ( 5 )L1 0 5 2
 0 5 2
m32 = -1 - 1 1 1 
L3 ← L3 + ( - )L2 0 5 2
 0 0 0
ATENÇÃO: A última matriz tem uma linha nula, logo ela 
 não pode ser fatorada em L e U.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS USANDO A FATORAÇÃO LU 
*
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO DE UM SISTEMA USANDO FATORAÇÃO LU.
I) LK = B → obtendo-se K
II) UX = K → obtendo-se a solução do sistema
Exemplo: (usar duas casas decimais)
 2x1 + x2 + x3 = 0
 x1 + 2x2 = 1
 3x1 – x2 – 3x3 = – 1 
 
*
Resolução:
Matriz A: Matriz B:
A = 2 1 1 B = 0 
 1 2 0 1 
 3 – 1 – 3 – 1 
Triangularização da matriz A:
m21 = – 0,5 2 1 1 
L2 ← L2 + (– 0,5)L1 0 1,5 – 0,5 
 3 – 1 – 3 
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO DE UM SISTEMA USANDO FATORAÇÃO LU.
*
m31 = – 1,5 2 1 1 
L3 ← L3 + (– 1,5)L1 0 1,5 – 0,5 
 0 – 2,5 – 4,5
m32 = 1,67 2 1 1 
L3 ← L3 + (1,67)L2 0 1,5 – 0,5 = U
 0 0 – 5,3
Matriz L: 
L = 1 0 0 
 0,5 1 0 
 1,5 – 1,67 1
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO DE UM SISTEMA USANDO FATORAÇÃO LU.
*
→ Sistema LK = B: 
 1 0 0 k1 0 k1 = 0 
 0,5 1 0 . k2 = 1 → k2 = 1 
 1,5 – 1,67 1 k3 –1 k3 = 0,67 
→ Sistema UX = K:
 2 1 1 x1 0 x1 = – 0,24 
 0 1,5 – 0,5 . x2 = 1 → x2 = 0,62 
 0 0 – 5,3 x3 0,67 x3 = – 0,13 
A solução do sistema é: X = – 0,24 
 0,62
 – 0,13
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO DE UM SISTEMA USANDO FATORAÇÃO LU.
*
FATORAÇÃO LU 
COM ESTRATÉGIA DE 
PIVOTEAMENTO PARCIAL
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LK = B’ → obtendo-se K, 
onde B’ é uma matriz de permutação.
II) UX = K → obtendo-se a solução do sistema 
 3x1 – 4x2 + x3 = 9
 x1 + 2x2 + 2x3 = 3
 4x1 – 3x3 = – 2 
 
FATORAÇÃO LU COM ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO PARCIAL
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Resolução:
Matriz A: Matriz B:
A = 3 - 4 1 B = 9 
 1 2 2 3 
 4 0 – 3 – 2 
Triangularização da matriz A:
 4 0 - 3 
L1 ↔ L3 1 2 2 
 3 – 4 1 
FATORAÇÃO LU COM ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO PARCIAL
*
 m21 = – 0,25 4 0 - 3 
L2 ← L2 + (- 1/4)L1 0 2 2,75
 3 - 4 1
m31 = - 0,75 4 0 - 3 
L3 ← L3 + ( - 0,75)L1 0 2 2,75 
 0 - 4 3,25
FATORAÇÃO LU COM ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO PARCIAL
*
L 2 ↔ L3 4 0 - 3 
 0 - 4 3,25
 0 2 2,75 
m32 = 0,5 4 0 - 3 
L3 ← L3 + 0,5 L2 0 - 4 3,25 = U
 0 0 4,38 
Matriz L: 
 1 0 0 
 L = 0,25 1 0 
 0,75 - 0,5 1
FATORAÇÃO LU COM ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO PARCIAL
*
→ Sistema LK = B’: 
 1 0 0 k1 - 2 k1 = - 2 
 0,25 1 0 . k2 = 9 → k2 = 9,5
 0,75 - 0,5 1 k3 3 k3 = 9,25 
→ Sistema UX = K:
 4 0 - 3 x1 - 2 x1 = 1,08 
 0 - 4 3,25 . x2 = 10,5 → x2 = - 0,66 
 0 0 4,38 x3 8,75 x3 = 2,11
A solução do sistema é: X = 1,08 
 - 0,66
 2,11
FATORAÇÃO LU COM ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO PARCIAL