Aula coordenadas

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Clique para editar o estilo do título mestre
Clique para editar o estilo do subtítulo mestre
*
*
*
Coordenadas Polares
*
*
*
OBS:
Na prática, o sistema de coordenadas polares é usado em sistemas de navegação e sistemas de radares onde se deseja expressar distâncias e orientações a partir de um ponto central.
*
*
*
OBS:
*
*
*
Introdução 
Definir o Sistema de Coordenadas Polares.
-Fixados um ponto O do plano e uma semi-reta ŌĀ de origem O, podemos localizar qualquer ponto P do plano.
Para isso é suficiente conhecermos a distância do ponto ao polo, r = dist. (P,O) e o ângulo, θ, entre os vetores OP. E um vetor na direção e sentido do eixo polar. 
*
*
*
Coordenadas Polares
r : coordenada polar ou raio polar do ponto.
θ : argumento ou coordenada angular.
*
*
*
A reta que passa pelo pólo e é perpendicular ao eixo polar chama-se “ eixo 90°”
O ângulo θ é um ângulo de rotação do eixo polar ( semi-reta ŌĀ) até coincidir com a semi-reta ŌP
Se esse movimento feito no sentido anti-horório, consideremos θ positivo. Se esse movimento é feito no sentido horário, consideremos θ negativo.
*
*
*
Visão geral 
Sentido anti-horário ( + )
Sentido horário ( - )
*
*
*
Resumo
Assim, (r,θ) e (- r,θ ) estão na mesma reta que passa pelo polo, à distância ׀r׀ do pólo, mas em lados opostos em relação ao pólo. 
*
*
*
Vocabulário
O = pólo
ŌĀ = eixo polar ou reta polar
R = raio vetor ou raio polar do ponto P
θ=ângulo vetorial ou ângulo polar do ponto P
As coordenadas polares de um ponto P no plano são escritas na forma ( r,θ ).
*
*
*
Exemplos:
*
*
*
r² = x² + y²
Senθ = cateto oposto = y
 Hipotenusa r
Cosθ = cateto adjacente = x
Hipotenusa r
y = r. Senθ x = r. cosθ
Relação entre coordenadas cartesianas e polares
*
*
*
Relação entre coordenadas cartesianas e polares.
*
*
*
EXEMPLO
- Transformar coordenada cartesiana em coordenada polar.
(1,1) 
-
 
*
*
*
EXEMPLO
Transformar coordenada polar em coordenada cartesiana.
*
*
*
CONJUNTO ABRANGENTE
É o conjunto de todos as equações equivalentes a de uma curva C:f(r,θ ) = 0
E(C) = { f [ (-1)k . r, θ + k) ]=0; kZ
EX: C1: r = 2 C2 : r. cos(θ)
f(r,θ) = r -2 = 0
f [ (-1)k.r – 2=0]
Para k par, temos k = 2n, n Z
f [ (-1)2n.r – 2=0], Assim r = 2
Para k ímpar, temos k = 2n+1, n Z
f [ (-1)2n+1.r – 2=0], Assim r = -2
Logo E(C1) = { r = -2 e r = 2}
*
*
*
C2 : r. cos(θ)
f(r,θ) = r. cosθ – 2 = 0
f [ (-1)k.r , θ + k .]=(-1)k . r.cos( θ + k)-2=0
Para k = 2n
(-1)k.r → r, cos (θ + k) → cos(θ)
Para k = 2n + 1
(-1)k.r→ -r → cos (θ + k) → -cos(θ)
E(C2) = { r.cos(θ) = 2}
*
*
*
INTERSEÇÃO DE CURVAS EM COORDENADAS POLARES
Dadas as curvas C1:f (r,θ ) = 0 e C2: g (r,θ ), podemos obter os pontos de interseções se:
1- determinar o conjunto interseção de uma curvas;
2- resolver todos o sistemas formados por uma das equações fixadas e cada uma das equações do conjunto abrangentes.
*
*
*
Ex: C1: r = 3 e C2: r = 6.cos(θ) 
A(C1) = { (-1)n. r = 3, nZ } = { -3,3}
Resolver o sistema: 
r = 3 r = -3
r = 6.cos(θ) r = -6.cos(θ) 
Subst:
cos(θ)= ½ e cos(θ) = - ½
Logo, P1( 3, /3) P2( -3, - /3)
*
*
*
OBS:
 Um ponto P pode ter mais de uma representação em coordenadas polares visto que (r,θ) e (r,θ+2k) representam o mesmo ponto.
 Quando r<0 teremos que (r,θ)=(|r|,θ+). Assim, (r,θ) e (-r,θ) estão na mesma reta que passa pelo pólo,à distância |r| do pólo, mas em lados opostos ao pólo.
(-2,30º)=(2,210º)
*
*
*
Simetrias
 O fato de sabermos se uma dada curva é, ou não, simétrica em relação a um ponto(ou a um eixo) é, sem sombra de dúvida, muito útil ao esboço dessa curva.
*
*
*
Simetria ao eixo polar
, 
(r,θ) é simétrico a (r,-θ)
*
*
*
Simetria ao eixo à 90o
(r,θ) é simétrico a (r,-θ)
*
*
*
Simetria com relação ao pólo
(r,θ) é simétrico a (r,+θ)
*
*
*
Resumimos estes resultados na seguinte tabela:
*
*
*
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS EM COORDENADAS POLARES
*
*
*
Exemplo
Mostrar que os pontos P1(3,/6) , P2(7,/3) e P3(3,/2) são os vértices de um triângulo isósceles.
*
*
*
Traçado de Curvas em Coordenadas Polares
1. Determinar as interseções com o eixo polar e o eixo a 90◦;
— eixo polar: fazemos θ = nπ, n  Z;
— eixo a 90◦: fazemos θ = n.π/2,, n  Z e ímpar;
— pólo: fazemos r = 0 na equação da curva para obter θ.
*
*
*
2. Determinar a simetria do lugar geométrico
—Uma curva é simétrica em relação ao eixo polar se obtemos uma equação equivalente à curva dada, por pelo menos uma das seguintes substituições:
θ por −θ ou, ainda, −θ por π − θ e r por −r ;
*
*
*
— Uma curva é simétrica em relação ao a 90◦ se obtemos uma equação equivalente à curva dada, por pelo menos uma das seguintes substituições:
 θ por π − θ ou, ainda, θ por −θ e r por −r 
— Uma curva é simétrica em relação ao pólo se obtemos uma equação equivalente à curva
dada, por pelo menos uma das seguintes substituições:
 θ por π + θ ou, ainda, r por −r .
*
*
*
3.A extensão do lugar geométrico: estudamos aqui o intervalo de variação de r na equação dada.
4. O cálculo das coordenadas de um número suficiente de pontos a fim de se obter um gráfico adequado.
5. Transformar a equação dada em sua forma polar em sua forma retangular.
*
*
*
Ex: Traçar o gráfico da curva C: 1+2cosx
*
*
*
*
*
*
Construir o gráfico de r=1+cosθ
Cardióide
*
*
*
*
*
*
R=1+2cos(t)
*
*
*
ESPIRAL DE ARQUIMEDES r =a.θ,a R*
*
*
*
Rosáceas 
r = a sen(nθ) ou r = a cos(nθ), n inteiro positivo, a≠0. 
Se n é par, o gráfico consiste de 2n laços. 
Se n é ímpar, o gráfico consiste de n laços. 
Observe que se n = 0 ou n =±1, obtém-se equações de circunferências ou o pólo (caso r = a sen(nt) ). 
*
*
*
ROSÁCEA r=2cos(3t)
*
*
*
Rosácea r = 2.cos(4θ)
*
*
*
*
*
*
Limaçons 
r = a + b sen(θ) ou r = a + b cos(θ), n inteiro positivo, a≠0 e b≠0. 
Se |a|<|b| apresentam laço. 
Se a = b recebem o nome de cardióide pelo formato de coração da curva. 
*
*
*
Lemiscatas 
r2 = ± a cos(2θ) ou r2 = ± a sen(2θ)