Exercícios Resolvidos sobre FORÇA E MOVIMENTO II

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas
professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova.
Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o.
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Contents
6 Forc¸as e Movimento – II 2
6.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
6.2.1 Propriedades do Atrito . . . . . 2
6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Ve-
locidade Limite . . . . . . . . . 5
6.2.3 Movimento Circular Uniforme . 6
6.2.4 Problemas Adicionais . . . . . 8
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam1.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
6 Forc¸as e Movimento – II
6.1 Questo˜es
Q 6-10
Cite bla-bla-bla...
�
6.2 Problemas e Exercı´cios
6.2.1 Propriedades do Atrito
E 6-1 (6-1 na 6 � edic¸a˜o)
Um arma´rio de quarto com massa de ��� kg, incluindo
gavetas e roupas, esta´ em repouso sobre o assoalho. (a)
Se o coeficiente de atrito esta´tico entre o mo´vel e o cha˜o
for ��� ��� , qual a menor forc¸a horizontal que uma pessoa
devera´ aplicar sobre o arma´rio para coloca´-lo em movi-
mento? (b) Se as gavetas e as roupas, que teˆm �
	 kg
de massa, forem removidas antes do arma´rio ser em-
purrado, qual a nova forc¸a mı´nima?
� (a) O diagrama de corpo livre deste problema tem
quatro forc¸as. Na horizontal: apontando para a direita
esta´ a forc¸a aplicada � , para a esquerda a forc¸a de atrito
�
. Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a nor-
mal 
 do piso, para baixo a forc¸a ��� da gravidade.
Escolhando o eixo � na horizontal e o eixo � na vertical.
Como o arma´rio esta´ em equilı´brio (na˜o se move), a se-
gunda lei de Newton fornece-nos como componentes �
e � as seguintes equac¸o˜es
����� �
���
fffi�
�ffifl
�
���
Donde vemos que ��� � e ff!� �ffifl .
Quando � aumenta, � aumenta tambe´m, ate´ que � �
"$#
ff
. Neste instante o arma´rio comec¸a a mover-se.
A forc¸a mı´nima que deve ser aplicada para o arma´rio
comec¸ar a mover-se e´
�%�
"
#
ff&�
"
#
�ffifl
�('
��� ���*)
'
�+�,)
'.-
� /+)
�10
�*� N �
(b) A equac¸a˜o para � continua a mesma, mas a massa e´
agora �+�
�
�
	
�10
/ kg. Portanto
�%�
"$#
�2fl
�('
��� �+�,)
'30
/,)
'.-
� /+)
�
�
0
� N �
P 6-2 (6-3 na 6 � )
Um jogador de massa � � 	 - kg escorrega no campo
e seu movimento e´ retardado por uma forc¸a de atrito
� �
��	4� N. Qual e´ o coeficiente de atrito cine´tico "65
entre o jogador e o campo?
� Neste problema, o diagrama de corpo livre tem ape-
nas treˆs forc¸as: Na horizontal, apontando para a es-
querda, a forc¸a
�
de atrito. Na vertical, apontando para
cima temos a forc¸a normal 
 do solo sobre o jogador, e
para baixo a forc¸a �7� da gravidade.
A forc¸a de atrito esta´ relacionada com a forc¸a normal
atrave´s da relac¸a˜o
�7�
"65
ff
. A forc¸a normal
ff
e´ obtida
considerando-se a segunda lei de Newton. Como a com-
ponete vertical da acelerac ca˜o e´ zero, tambe´m o e´ a
componente vertical da segunda lei de Newton, que nos
diz que
fffi�
�ffifl
�
���
ou seja, que ff8� �ffifl . Portanto
"
5
�
�
ff
�
�
�2fl
�
��	4�
'
	
-
)
'9-
� /,)
�
��� :��;�
E 6-8 (6-5 na 6 � )
Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de �*�
kg, para moveˆ-la sobre o cha˜o, com uma forc¸a de 0*0 �
N. O coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� <,� . (a) Qual o
mo´dulo da forc¸a de atrito? (b) Qual a acelelrac¸a˜o da
caixa?
� (a) O diagrama de corpo livre tem quatro forc¸as. Na
horizontal, apontando para a direita temos a forc¸a � que
a pessoa faz sobre a caixa, e apontando para a esquerda
a forc¸a de atrito
�
. Na vertical, para cima a forc¸a normal
 do piso, e para baixo a forc¸a ��� da gravidade.
A magnitude da forc¸a da gravidade e´ dada por �8�
"
5
ff
, onde " 5 e´ o coeficiente de atrito cine´tico. Como a
componente vertical da acelerac¸a˜o e´ zero, a segunda lei
de Newton diz-nos que, igualmente, a soma das compo-
nentes verticais da forc¸a deve ser zero: ff(� �ffifl � � , ou
seja, que ff&� �2fl . Portanto
�7�
"$5
ff&�
"$5
�2fl
�%'
��� <,�*)
'
�,�*)
'9-
� /,)
�
�=/
-
N �
(b) A acelerac¸a˜o e´ obtida da componente horizontal da
segunda lei de Newton. Como �1���7� ��> , temos
>
�
� �?�
�
�
0,0
�
�
�=/
-
�*�
�
���@�4: m/s A*�
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
E 6-11 (6-9 na 6 � )
Uma forc¸a horizontal
� de � 0 N comprime um bloco
pesando � N contra uma parede vertical (Fig. 6-18). O
coeficiente de atrito esta´tico entre a parede e o bloco e´
��� : , e o coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� � . Suponha que
inicialmente o bloco na˜o esteja em movimento. (a) O
bloco se movera´? (b) Qual a forc¸a exercida pela parede
sobre o bloco, em notac¸a˜o de vetores unita´rios?
� (a) O diagrama de corpo isolado consiste aqui de qua-
tro vetores. Na horizontal, apontando para a direita,
temos a forc¸a
�
e apontando para a esquerda a forc¸a
normal
ff
. Na vertical, apontando verticalmente para
baixo temos o peso �2fl , e apontando para cima a forc¸a
de atrito � .
Para determinar se o bloco cai, precisamos encontrar a
magnitude � da forc¸a de fricc¸a˜o nevessa´ria para mante-
lo sem acelerar bem como encontrar a forc¸a da parede
sobre o bloco. Se ��� " # ff o bloco na˜o desliza pela
parede mas se ��� "$# ff o bloco ira´ deslizar.
A componente horizontal da segunda lei de Newton re-
quer que
� � ff �
� , de modo que � � ff � � 0 N
e, portanto, " #
ff � '
��� :,)
'
�
0
)
�
	��
0
N. A componente
vertical diz que � � �ffifl � � , de modo que �7� �2fl � �
N.
Como ��� " # ff , vemos que o bloco na˜o desliza.
(b) Como o bloco na˜o se move, � � � N e ff � � 0 N.
A forc¸a da parede no bloco e´
���
�(� ff��
	 ��� �(' �
�
0
��	
�
�
) N �
NOTE: os resultados sa˜o radicalmente diferentes se por
engano usassemos " 5 em vez de "$# !
P 6-17 (6-11 na 6 � )
Um trabalhador deseja empilhar um monte de areia, em
forma de cone, dentro de uma a´rea circular. O raio do
cı´rculo e´ � e nenhuma areia vaza para fora do cı´rculo
(Fig. 6-22). Se "�� e´ o coeficiente de atrito esta´tico en-
tre a camada de areia da suprfı´cie inclinada e a camada
imediatamente abaixo (sobre a qual a camada superior
pode deslizar), mostre que o maior volume de areia que
pode ser empilhado desta forma e´ � "�� �����4< . (O volume
de um cone e´ ���ff�4< , onde � e´ a a´rea da base e � a altura
do cone.)
� A secc¸a˜o reta do cone e´ um triaˆngulo iso´sceles (tem
dois lados iguais) cuja base mede 0 � e cuja altura e´ � .
Como a a´rea da base e´ fixa, o problema consiste em
ir-se depositando areia de modo a fazer � ter o maior
valor possı´vel. Ao ir-se depositando areia a inclinac¸a˜o
da superfı´cie lateral aumenta, ate´ tornar-se ta˜o grande
que toda areia que for adicionada comec¸a deslizar.
Desejamos determinar a maior altura � (i.e. a maior
inclinac¸a˜o) para a qual a areia na˜o deslize.
Para tanto consideramos o diagrama de corpo isolado de
um gra˜o de areia na situac¸a˜o imediatamente de que a su-
perfı´cie possa deslizar. Sobre tal gra˜o atuam treˆs forc¸as:
a forc¸a fi
�
�2fl da gravidade, a forc¸a nornal ff e a forc¸a
� do atrito
que impede o gra˜o de deslizar. Como o gra˜o
na˜o desliza, sua acelerac¸a˜o e´ zero.
Escolhemos como eixo � um eixo paralelo a` superfı´cie e
apontando para baixo, como eixo � um eixo apontando
na mesma direc¸a˜o da normal ff , e chamamos de fl o
aˆngulo que a superfı´cie lateral faz com a base. Com
estas escolhas, as componente � e � da segunda lei de
Newton sa˜o dadas, respectivamente, por
�2fl sen fl
� � �
�
fffi�
�2fl�ffi! #"�fl
�
���
Para que o gra˜o na˜o deslize devemos ter
���
"
�
ff
. Isto
significa ter-se
�ffifl sen fl
�
"
�
�2fl�ffi! $"
fl
isto e´ tan fl
�
"
�
. A superfı´cie do cone tera´ a maior
inclinac¸a˜o (e, simultaneamente, a maior altura) quando
tan fl
�
"%�
�
Entretanto, da figura vemos que � � � tan fl � � "�� .
Como a a´rea da base e´ � � �&� A , temos, finalmente,
que
'(�
�(�
<
�
�
"%�
���
<
�
P 6-22 (6-13 na 6 � )
Uma caixa de :*/ kg e´ puxada pelo cha˜o por uma corda
que faz um aˆngulo de �=�#) acima da horizontal. (a) Se o
coeficiente de atrito esta´tico e´ ��� � , qual a tensa˜o mı´nima
necessa´ria para iniciar o movimento da caixa? (b) Se
"
5
�
��� <+� , qual a sua acelerac¸a˜o inicial?
� (a) O diagrama de corpo isolado tem quatro forc¸as.
Apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de fl �
�
�
) com a horizontal temos a tensa˜o * na corda. Hor-
izontalmente para a esquerda aponta a forc¸a de atrito
�
.
Na vertical, para cima aponta a forc¸a normal 
 do cha˜o
sobre a caixa, e para baixo a forc¸a �7� da gravidade.
Quando a caixa ainda na˜o se move as acelerac¸o˜es sa˜o
zero e, consequentemente, tambe´ o sa˜o as respectivas
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
componentes da forc¸a resultante. Portanto, a segunda
lei de Newton nos fornece para as componente horizon-
tal e vertical as equac¸o˜es, respectivamente,
�
ffi! #"�fl
��� �
���
�
sen fl
	 fffi�
�2fl
�
���
Esta equac¸o˜es nos dizem que � ��� ffi! #"�fl e que ff �
�2fl
���
sen fl .
Para a caixa permanecer em repouso
�
tem que ser
menor do que " # ff , ou seja,
�
ffi! #"�fl
�
"$#
'
�ffifl
���
sen fl,) �
Desta expressa˜o vemos que a caixa comec¸ara´ a mover-
se quando a tensa˜o � for tal que os dois lados da
equac¸a˜o acima compemsem-se:
�
ffi! #"�fl
�
"$#
'
�ffifl
���
sen fl,) �
donde tiramos facilmente que
� �
"$#
�2fl
ffi $"�fl
	
"$# sen fl
�
'
���@�*)
'
:*/+)
'.-
� /+)
ffi $" �
�
)
	
���@� sen �=�
)
�
<,�4� N �
(b) Quando a caixa se move, a segunda lei de Newton
nos diz que
�
ffi $"�fl
��� �
��> �
ff 	��
sen fl
�
�ffifl
�
���
Agora, pore´m temos
�7�
"$5
ff&�
"$5
'
�ffifl
���
sen fl,) �
onde tiramos
ff
da segunda equac¸a˜o acima. Substi-
tuindo este
�
na primeira das equac¸o˜es acima temos
�
ffi $"�fl
�
"
5
'
�2fl
���
sen fl,)
�
��> �
de onde tiramos facilmente que
>
�
� '
ffi $" fl
	
"
5 sen fl,)
�
�
"
5
fl
�
'
<*�*�+)
'
ffi! #" �=�$)
	
��� <+� sen �=�$) )
:*/
� '
��� <,�,)
'.-
� /+)
�
�*� < m/s A4�
Perceba bem onde se usa " # e onde entra " 5 .
P 6-24 (6-15 na 6 � )
Na Fig. 6-24, A e B sa˜o blocos com pesos de �*� N e 0,0
N, respectivamente. (a) Determine o menor peso (bloco
C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedi-
lo de deslizar, sabendo que o coeficiente " � entre A e a
mesa e´ ���
0
. (b) Se o bloco C for repentinamente reti-
rado, qual sera´ a acelerac¸a˜o do bloco A, sabendo que " 5
entre A e a mesa e´ ��� �=� ?
� (a) Aqui temos DOIS diagramas de corpo isolado. O
diagrama para o corpo B tem apenas duas forc¸as: para
cima, a magnitude da tensa˜o � na corda, e para baixo
a magnitude fi�� do peso do bloco B. O diagrama para
o corpo composto por A+C tem quatro forc¸as. Na hor-
izontal, apontando para a direita temos a tensa˜o � na
corda, e apontando para a esquerda a magnitude � da
forc¸a de atrito. Na vertical, para cima temos a normal ff
exercida pela mesa sobre os blocos A+C, e para baixo o
peso fi��
	 , peso total de A+C.
Vamos supor que os blocos esta˜o parados (na˜o aceler-
ados), e escolher o eixo � apontando para a direita e o
eixo � apontando para cima. As componentes � e � da
segunda lei de Newton sa˜o, respectivamente,
� �?� �
���
fffi�
fi��
	
�
���
Para o bloco B tomamos o sentido para baixo como
sendo positivo, obtendo que
fi��
��� �
���
Portanto temos que
� �
fi�� e, consequentemente, que
�7��� �
fi�� . Temos tambe´m que
ff!�
fi
�
	 .
Para que na˜o ocorra deslizamento, e´ necessa´rio que �
seja menor que "%� ff , isto e´ que fi � � "%� fi��
	 . O menor
valor que fi �
	 pode ter com os blocos ainda parados e´
fi��
	
�
fi��
"%�
�
0*0
���
0
�
�*�=� N �
Como o peso do bloco A e´ �*� N, vemos que o menor
peso do bloco C e´
fi�	
�
�,� �
�
�*�
�
:,: N �
(b) Quando existe movimento, a segunda lei de New-
ton aplicada aos dois diagramas de corpo isolado nos
fornece as equac¸o˜es
� � � �
fi��
fl
> �
ff8�
fi��
�
���
fi��
��� �
fi
�
fl
> �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
Ale´m destas, temos � � " 5 ff , onde ff � fi�� (da
segunda equac¸a˜o acima). Da terceira acima tiramos
� �
fi �
� '
fi � �=fl�) > . Substituindo as duas u´ltimas ex-
presso˜es na primeira equac¸a˜o acima obtemos
fi �
�
fi �
fl
>
�
" 5
fi��
�
fi��
fl
> �
Isolando > encontramos, finalmente,
>
�
fl
'
fi �
�
" 5
fi�� )
fi �
	
fi��
�
'9-
� /,)��
0,0 � '
��� �
�*)
'
�*��)��
�*�
	 0*0
� 0
� < m/s A4�
Perceba bem onde entra " � e onde se usa " 5 .
6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velocidade Limite
P 6-30 (6-19 na 6 � )
O bloco � da Fig. 6-30 pesa 	��,� N. O coeficiente de
atrito esta´tico entre o bloco e a superfı´cie horizontal e´
���
0
� . Determine qual o peso ma´ximo do bloco � para o
qual o sistema ainda permanece equilibrado.
� No no´ onde o peso fi�� esta´ aplicado temos treˆs forc¸as
aplicadas: (i) o peso fi � , para baixo, (ii) uma forc¸a � ,
para a direita, fazendo um aˆngulo fl
�
<*��) com a hor-
izontal, (iii) uma forc¸a ��� , apontando horizontalmente
para a esquerda, na direc¸a˜o do corpo � . Para que na˜o
haja movimento, tais forc¸as devem equilibrar-se. Por-
tanto, escolhendo o eixo � horizontal e o eixo � verti-
cal, encontramos para as componentes � e � , respectiva-
mente,
���
ffi $"�fl
��� �
�
���
sen fl
�
fi
�
�
���
Por outro lado, no corpo � temos quatro forc¸as apli-
cadas: fi � , ff , �
�
e a forc¸a
� de atrito. Esta forc¸as
esta˜o dispostas de modo que as componentes � e � nos
fornec¸am as seguintes equac¸o˜es adicionais:
�
�
�?� �
���
ff �
fi
�
�
���
Eliminando-se as duas tenso˜es � e �
�
obtemos ex-
presso˜es que fornecem
�
e
ff
em termos de fi � e fi � .
Devemos enta˜o escolher fi�� de modo que �7� "%� ff .
Do primeiro conjunto de equac¸o˜es obtemos
�
�
�
fi�� � tan fl��
Substituindo-a na primeira das equac¸o˜es do segundo
conjunto de equac¸o˜es obtemos
�7�
fi�� � tan fl��
O bloco � permanecera´ parado quando � � "�� ff . O
maior valor possı´vel para fi � sera´ aquele para o qual
fi �
tan fl
�
"%�
fi � �
donde obtemos
fi��
�
"%�
fi � tan fl
� '
���
0
�*)
'
	��,�=)
'
tan <,� ) )
�
�=�*� N �
P 6-31 (6-21 na 6 � )
O corpo � na Fig. 6-31 pesa � � 0 N e o corpo � pesa < 0
N. Os coeficientes de atrito entre � e o plano inclinado
sa˜o "��
�
���
�*: e " 5
�
���
0
� . Determine a acelerac¸a˜o do
sistema se (a) � estiver inicialmente em repouso, (b) �
estiver se movendo para cima no plano inclinado e (c)
� estiver se movendo para baixo.
�
P 6-43 (6-33 na 6 � )
Calcule a forc¸a da viscosidade sobre um mı´ssil de �*<
cm de diaˆmetro, viajando na velocidade de cruzeiro de
0
�4� m/s, a baixa altitude, onde a densidade do ar e´ �*� 0
kg/m � . Suponha 	 � ��� 	4� .
� Use a Eq. 6-18 do livro texto:
��
 �
�
0�	�� ��
A
�
onde � e´ a densidade do ar, � e´ a a´rea da secc¸a˜o reta do
mı´ssil, 
 e´ a velocidade do mı´ssil, e 	 e´ o coeficiente
de viscosidade. A a´rea e´a dada por � � �&� A , onde
�
�
��� �*<#�
0 �
���
0
:,� m e´ o raio do mı´ssil. Portanto,
�
�
�
0
'
���@	*�*)
'
�*�
0
)
'
�$)
'
���
0
:+�*)
A
'90
�*�,)
A
�
:��
0��
� �
� N �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
6.2.3 Movimento Circular Uniforme
E 6-47 (6-37 na 6 � )
Se o coeficiente de atrito esta´tico dos pneus numa
rodovia e´ ��� 0 � , com que velocidade ma´xima um carro
pode fazer uma curva plana de ��	 � � m de raio, sem der-
rapar?
� A acelerac¸a˜o do carro quando faz a curva e´ 
�A���� ,
onde 
 e´ a velocidade do carro e � e´ o raio da curva.
Como a estrada e´ plana (horizontal), a u´nica forc¸a que
evita com que ele derrape e´ a forc¸a de atrito da estrada
com os pneus. A componente horizontal da segunda lei
de Newton e´ � � � 
�A ��� . Sendo ff a forc¸a normal da
estrada sobre o carro e � a massa do carro, a compo-
nente vertical da segunda lei nos diz que
ff8�
�ffifl
�
� .
Portanto,
ff �
�2fl e " �
ff �
" �
�2fl . Se o carro na˜o
derrapa,
� �
"
�
�2fl . Isto significa que 
 A �
�
�
"
�
fl , ou
seja, que 
 � � " � �;fl .
A velocidade ma´xima com a qual o carro pode fazer a
curva sem deslizar e´, portanto, quando a velocidade co-
incidir com o valor a´ direita na desigualdade acima, ou
seja, quando
 max
���
"
�
�;fl
�
� '
���
0
�,)
'
� 	��@�*)
'.-
� /,)
�
�,� m/s �
E 6-55 ( � na 6 � )
No modelo de Bohr do a´tomo de hidrogeˆnio, o ele´tron
descreve uma o´rbita circular em torno do nu´cleo. Se o
raio e´ ��� <
�
�=���
� �
m e o ele´tron circula :�� :
�
� �
���
vezes
por segundo, determine (a) a velocidade do ele´tron, (b)
a acelerac¸a˜o do ele´tron (mo´dulo e sentido) e (c) a forc¸a
centrı´peta que atua sobre ele. (Esta forc¸a e´ resultante
da atrac¸a˜o entre o nu´cleo, positivamente carregado, e o
ele´tron, negativamente carregado.) A massa do ele´tron
e´
-
� �,�
�
�=��� �
�
kg.
�
E 6-56 (6-41 na 6 � )
A massa � esta´ sobre uma mesa, sem atrito, presa a
um peso de massa 	 , pendurado por uma corda que
passa atrave´s de um furo no centro da mesa (veja Fig. 6-
39). Determine a velocidade escalar com que � deve se
mover para 	 permanecer em repouso.
� Para 	 permanecer em repouso a tensa˜o
�
na corda
tem que igualar a forc¸a gravitacional 	 fl sobre 	 . A
tensa˜o e´ fornecida pela forc¸a centrı´peta que mante´m �
em sua o´rbita circular: � � � 
 A ��
 , onde 
 e´ o raio
da o´rbita. Portanto, 	 fl � � 
 A ��
 , donde tiramos sem
problemas que
��
	 fl�
�
�
P 6-62 (6-43 na 6 � )
Um estudante de :,/ kg, numa roda-gigante com ve-
locidade constante, tem um peso aparente de �,�4� N no
ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto
mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade
da roda-gigante dobrar?
Atenc¸a˜o: observe que o enunciado deste prob-
lema na quarta edic¸a˜o do livro fala em “peso
aparente de �*: kg”, fazendo exatamente aquilo
que na˜o se deve fazer: confundir entre si, peso e
massa.
A origem do problema esta´ na traduc¸a˜o do livro.
O livro original diz que “um estudante de �=�*� li-
bras” ....“tem um peso aparente de � 0 � libras”.
O tradutor na˜o percebeu que, como se pode
facilemente ver no Apeˆndice F, “libra” e´ tanto
uma unidade de massa, quanto de peso. E e´ pre-
ciso prestar atenc¸a˜o para na˜o confundir as coisas.
Assim, enquanto que as �=�*� libras referem-se a
uma massa de :,/ kg, as � 0 � libras referem-se a
um peso de �*�*� N.
� (a) No topo o acento empurra o estudante para cima
com uma forc¸a de magnitude
���
, igual a �*�*� N. A Terra
puxa-o para baixo com uma forc¸a de magnitude fi , igual
a :*/4fl
� '
:,/,)
'9-
� /,)
�
:*:,: N. A forc¸a lı´quida apontando
para o centro da o´rbita circular e´ fi � ��� e, de acordo
com a segunda lei de Newton, deve ser igual a � 
�A ��� ,
onde 
 e´ a velocidade do estudante e � e´ o raio da o´rbita.
Portanto
�
�A
�
�
fi
�?��� �
:*:*:
�
�*�*�
�
�*�=: N �
Chamemos de ��� a magnitude da forc¸a do acento sobre
o estudante quando ele estiver no ponto mais baixo. Tal
forc¸a aponta para cima, de modo que a forc¸a lı´quida que
aponta para o centro do cı´rculo e´
�
�
�
fi . Assim sendo,
temos
�
�
�
fi
�
� 
A
��� , donde tiramos
�
�
�
�
+A
�
	
fi
�
�*�=:
	
:,:*:
�
	4/
0
N �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
que correspondem a uma massa aparente de
�
� �
� �
fl
�
	4/
0
-
� /
�
	
-
� 	 kg �
(b) No topo temos fi � ��� � � 
�A���� , de modo que
� � �
fi
�
�
+A
�
�
Se a velocidade dobra, � 
 A �
� aumenta por um fator de
� , passando a ser �*�=: � � � �+:4� N. Enta˜o
� � �
:,:*:
�
�+:4�
� 0
�
0
N �
correspondendo a uma massa efetiva de
�
� �
� �
fl
�
0
�
0
-
� /
� 0
��� : kg �
P 6-65 (6-45 na 6 � )
Um avia˜o esta´ voando num cı´rculo horizontal com uma
velocidade de �+/*� km/h. Se as asas do avia˜o esta˜o incli-
nadas �,�#) sobre a horizontal, qual o raio do cı´rculo que
o avia˜o faz? Veja a Fig. 6-41. Suponha que a forc¸a
necessa´ria seja obtida da “sustentac¸a˜o aerodinaˆmica”,
que e´ perpendicular a` superfı´cie das asas.
� O diagrama de corpo isolado do avia˜o conte´m duas
forc¸as: a forc¸a �7� da gravidade, para baixo, e a forc¸a
�
, apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de fl
com a horizontal. Como as asas esta˜o inclinadas �,�
)
com a horizontal, a forc¸a de sustentac¸a˜o e´ perpendicular
as asas e, portanto, fl
� -
�#)
�
�,�#)
�
�4�#) .
Como o centro da o´rbita esta para a direita do avia˜o, es-
colhemos o eixo � para a direita e o eixo � para cima.
A componente � e � da segunda lei de Newton sa˜o, re-
spectivamente,
�
ffi! #"�fl
�
�
+A
�
�
�
sen fl
�
�ffifl
�
���
onde � e´ o raio da o´rbita. Eliminando � entre as duas
equac¸o˜es e rearranjando o resultado, obtemos
�
�
�A
fl
tan fl��
Para 
�
�,/,� km/h � � <,< m/s, encontramos
�
�
'
� <,<,) A
-
� /
tan �4� )
� 0
�
0��
� �
� m �
NOTE: existe forc¸a horizontal na˜o-equilibrada, pois sem
ela o avia˜o na˜o teria como fazer a curva! Em out-
ras palavras, a soma das componentes horizontais neste
problema na˜o pode ser nula.
P 6-70 (6-47 na 6 � )
A Fig. 6-42 mostra uma bola de �*� <4� kg presa a um eixo
girante vertical por duas cordas de massa desprezı´vel.
As cordas esta˜o esticadas e formam os lados de um
triaˆngulo equila´tero. A tensa˜o na corda superior e´ de
<+� N. (a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a
bola. (b) Qual a tensa˜o na corda inferior? (c) Qual a
forc¸a resultante sobre a bola, no instante mostrado na
figura? (d) Qual a velocidade da bola?
� (a) Chame de � 5 e � � as tenso˜es nas cordas de cima
e de baixo respectivamente. Enta˜o o diagrama
de corpo
isolado para a bola conte´m treˆs forc¸as: para baixo atua
o peso ��� da bola. Para a esquerda, fazendo um aˆngulo
fl
�
<*�#) para cima, temos *�� . Tambe´m para a esquerda,
pore´m fazendo um aˆngulo fl � <,� ) para baixo, temos a
forc¸a *�� . Como o triaˆgulo e´ equila´tero, perceba que o
aˆngulo entre *�� e *�� tem que ser de :*� ) sendo fl , como
mostra a figura, a metade deste valor.
Observe ainda que a relac¸a˜o entre as magnitudes de *��
e *�� e´
�
5
� � �
, pois *�� deve contrabalanc¸ar na˜o ape-
nas o peso da bola mas tambe´m a componente vertical
(para baixo) de * � , devida a´ corda de baixo.
(b) Escolhendo o eixo horizontal � apontando para a es-
querda, no sentido do centro da o´rbita circular, e o eixo
� para cima temos, para a componente � da segunda lei
de Newton
�
5
ffi! #"�fl
	 � �
ffi! #"�fl
�
�
+A
�
�
onde 
 e´ a velocidade da bola e � e´ o raio da sua o´rbita.
A componente � e´
�
5 sen fl
��� �
sen fl
�
�ffifl
�
���
Esta u´ltima equac¸a˜o fornece a tensa˜o na corda de baixo:
� � ���
5
�
�ffifl � sen fl . Portanto
�
�
�
<+�
�
'
�*� <4��)
'.-
� /+)
sen <*�
)
�
/�� 	
� N �
(c) A forc¸a lı´quida e´ radial para a esquerda com magni-
tude
��� �(' �
5
	��
�
)
ffi! $" fl
�('
<,�
	
/��@	 �+)�ffi $" <,�
)
�
<�	��
-
N �
(d) A velocidade e´ obtida da equac¸a˜o � � � � 
+A ��� ,
observando-se que o raio � da o´rbita e´ (tan fl �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 8
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45
'
�,�@	$�
0
) ��� , veja a figura do livro):
�
�
�*� 	 �
0
tan <*�
)
�
�,� � 	 m �
Portanto
� 
�
� �
�
�
'
�*� ��	*)
'
<+	��
-
)
�,� <*�
�
:�� �+� m/s �
6.2.4 Problemas Adicionais
6-72 (6-20 na 6 � )
Uma forc¸a
�
, paralela a uma superfı´cie inclinada �
� )
acima da horizontal, age sobre um bloco de �+� N, como
mostra a Fig. 6-43. Os coeficientes de atrito entre o
bloco e a superfı´cie sa˜o "�� � ��� � e " 5 � ��� <*� . Se o
bloco inicialmente esta´ em repouso, determine o mo´dulo
e o sentido da forc¸a de atrito que atua nele, para as
seguinte intensidades de P: (a) � N, (b) / N, (c) �=� N.
�
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 8