Cap1

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GEOMETRIA DESCRITIVA 
DESIGN-BASED LEARNING Prof. Dr. Fábio Gonçalves Teixeira Prof. Dr. Régio Pierre da Silva 
 
 
 
 
2006 -2013 
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Parte I 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
3 
INTRODUÇÃO Geometria Descritiva é a ciência de base matemática que estuda a representação gráfica dos elementos do espaço projetados sobre dois ou mais planos. Deste modo permite a solução de problemas tridimensionais com o auxílio da geometria plana, e possui aplicações na indústria e nas artes. O estudo da Geometria Descritiva tem como objetivo principal o desenvolvimento do raciocínio tridimensional e consequente aprimoramento da percepção espacial1, indispensáveis à criatividade e à inteligência necessárias para a concepção de projetos. Este objetivo é alcançado quando existe uma total compreensão do espaço tridimensional e de sua representação em um domínio bidimensional. A Geometria Descritiva (GD) constitui uma das bases teóricas dos cursos de Engenharia, Arquitetura, Desenho Industrial, além dos cursos de Matemática, Geologia e Artes Plásticas. Os conceitos de GD adquiridos são aplicados nas demais disciplinas destes cursos e, principalmente, no decorrer da atividade profissional, pois essas profissões exigem um alto grau de pensamento lógico e a capacidade de pensar em três dimensões. É importante lembrar que o aprendizado da GD, por se tratar de um assunto totalmente novo para o aluno, pois geralmente não faz parte do currículo das disciplinas do ensino médio, exige paciência e dedicação. A segurança e o amadurecimento se adquirem com a prática. 
SÍNTESE HISTÓRICA A Geometria Descritiva foi concebida por Gaspard Monge (Figura 1) quando este era professor na 
École Militaire de Mézières na França, no período de 1765 a 1789 (STRUIK 1992, p.235). No princípio, a Geometria Descritiva foi utilizada para resolver problemas de projeto e na construção de fortificações, sendo considerada assunto de interesse da defesa nacional (BOYER 1974, p.346). Essa disciplina foi ensinada por Monge na École Polytechnique e mais tarde na École Normale, ambas situadas na França. A partir das lições na École Normale é que foi publicado o primeiro livro sobre o assunto, em 1795, com o título Géométrie Descriptive: Leçons donnés aux écoles normales (BOYER 1974, p.350). 
 
Figura 1: Imagem de Gaspard Monge, o criador da Geometria Descritiva. 
Fonte: http://www.profcardy.com/geodina/descritiva.php Segundo Deforge (1981 apud Ulbricht, S. 1998, p.19), a Geometria Descritiva obteve grande sucesso na Europa continental, sendo publicado um livro de Sylvestre François Lacroix, em Berlim no ano de 1806 e, posteriormente, nos Estados Unidos da América, em 1821, foi adaptada ao ensino. Na Inglaterra, o método de Monge somente foi adotado em 1862. 
 1 Percepção espacial considerada como o perfeito entendimento dos objetos e da situação visualizada. 
A 
4 A Geometria Descritiva foi introduzida no Brasil a partir da criação da Academia Real Militar, na cidade do Rio de Janeiro em 1810. Em Portugal, esta disciplina não era ensinada nas academias militares, nem nas universidades, apesar de seu conhecimento desde 1795 (Miranda, 2001, p.26). Através da Carta Régia de 4 de dezembro de 1810, o príncipe regente, D. João VI, apresenta o currículo, as referências, prescrições dos programas e dos compêndios a serem elaborados pelos professores, além de citar os autores que serviriam de base para a concepção do material didático a ser produzido para posterior utilização na Academia Real Militar (Miranda, 2001, p.31). 
 
Figura 2: Foto de sala de aula de Geometria Descritiva (1896-1897). 
Fonte: http://www.space.gatech.edu/danshiki/Tower/IntPhotos.html Para a disciplina de Geometria Descritiva, o autor indicado foi Gaspard Monge. Aliás, como salienta Cunha (1986, p.138), a maioria dos autores indicados para compor os compêndios das disciplinas era de origem francesa. A Geometria Descritiva era uma disciplina de segundo ano de todos os cursos de ciências exatas (Matemática, Engenharia, Geografia e Topografia) e formação de oficiais (Artilharia e Engenharia) oferecidos pela Academia Real Militar, junto com resoluções das equações (álgebra superior), geometria analítica, cálculo diferencial e integral e desenho. Em 1811, foi designado o segundo tenente José Vitorino dos Santos e Souza como professor para assumir a cadeira de Geometria Descritiva. Este professor preparou seu compêndio a partir da tradução da única obra específica sobre Geometria Descritiva existente na época, que era Géométrie Descriptive de Gaspard Monge. Sua contribuição está no prefácio de seu livro, cujo título em português era 
Elementos de Geometria Descritiva: com aplicações às artes. No qual apresenta a importância e os objetivos da Geometria Descritiva, a quem o livro se destina e, principalmente, a metodologia de ensino a ser utilizado na disciplina (MIRANDA, 2001). Conforme a tradução do professor José Vitorino, a importância da Geometria Descritiva era incentivar a indústria francesa da época, que sofria com a hegemonia da indústria inglesa no século XVIII (MIRANDA, 2001). Para Monge, os dois principais objetivos da Geometria Descritiva eram: 
• representar através de desenhos bidimensionais os objetos tridimensionais que são susceptíveis de definição rigorosa (linguagem para quem concebe o projeto, dirige a execução ou executa diferentes partes do trabalho) ; 
• inferir, a partir da descrição exata dos objetos, informações sobre a sua forma e posição. 
5 
METODOLOGIA O ensino tradicional de Geometria Descritiva tem caráter axiomático e dedutivo, exigindo um nível de abstração inadequado aos iniciantes na “arte”, o que dificulta o aprendizado desta ciência. Este trabalho utiliza uma metodologia inovadora para o ensino de geometria descritiva, no sentido de vincular esta ciência ao seu objetivo original: o Projeto. Desta forma, as técnicas de representação, projeções e métodos descritivos têm como enfoque principal a solução de problemas de projeto. O uso da aprendizagem baseada em projetos (Design-based learning) é uma tendência nas modernas escolas de Engenharia, Design e Arquitetura que, além de proporcionar maior objetividade no processo de ensino-aprendizagem, estimula o trabalho em equipe e a interdisciplinaridade. A metodologia proposta está apoiada em dois pilares fundamentais: um novo enfoque na apresentação dos conteúdos, baseado em objetos sólidos e situações concretas, e uma nova metodologia de ensino, onde os alunos utilizam os conceitos de geometria descritiva no desenvolvimento de projetos. 
PROGRAMA DO CURSO O curso de Geometria Descritiva a partir da nova abordagem metodológica proposta será desenvolvido, em termos conceituais, segundo o programa abaixo: 1. Sistemas projetivos e de representação plana; 2. Sistema de projeção cilíndrico ortogonal: representação de sólidos; Sistemas de coordenadas; tipos de projeção (verdadeira grandeza, reduzida e acumulada) e suas relações com o sistema de coordenadas; 3. Mudança de Sistema de Referência para alterar a posição de visualização; determinação de perspectivas, de vistas e de verdadeiras grandezas e distâncias; 4. Interseções entre planos e sólidos e entre reta e sólidos: determinação e seu uso na geração de formas para solução de problemas de projeto; seções planas; 5. Planificação da superfície de sólidos: Determinação de verdadeiras grandezas de faces; rotação e rebatimento; 6. Construção de modelos de sólidos a partir da planificação de sua superfície; 7. Sólidos com superfícies curvas: Retilíneas desenvolvíveis; 8. Sólidos com superfícies curvas: Retilíneas não-desenvolvíveis; 9. Sólidos com superfícies curvas: Revolução; 10. Sólidos com superfícies curvas: Helicoidais. 
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SISTEMAS PROJETIVOS ários dispositivos naturais de representação têm como princípio de funcionamento a projeção de um objeto tridimensional sobre um meio bidimensional.
Um bom exemplo disso é o olho humano2 (Figura 3a) que utiliza a projeção de objetos do espaço em um domínio bidimensional, a retina. As sombras projetadas também são exemplos naturais de projeção dos objetos sobre um plano horizontal, o chão. 
 
 
(a) (b) 
Figura 3: Exemplos onde o processo de projeção consiste no princípio funcional de dispositivos: a) Corte de modelo 3D de um 
olho humano. b) Projetor. O homem apropriou-se do princípio da projeção no desenvolvimento de seus próprios dispositivos para a representação bidimensional dos objetos do espaço. Entre estes dispositivos, estão as câmeras fotográficas e os projetores (Figura 3b) em geral. Antes destas invenções, porém, os conceitos de projeção já eram utilizados na elaboração de um sistema gráfico de representação de objetos tridimensionais, sendo que os primeiros textos que mencionam este assunto datam de meados do século XIV. A compreensão de um sistema projetivo é facilitada quando se adota um exemplo prático, como o conjunto formado por um projetor de slides e uma parede na qual será projetada uma imagem. É possível afirmar que a imagem foi obtida através de um feixe de luz que parte da lâmpada interna do projetor de slides e que passa através de cada um dos pontos do slide, e acaba por projetar-se como uma imagem na parede. Neste exemplo podemos distinguir claramente os elementos que compõem o sistema projetivo: 
• A lâmpada do projetor configura o centro de projeção, ponto do qual parte o feixe de retas que formará a imagem do objeto; 
• O feixe de raios de luz é constituído por retas projetantes, que formam, neste caso, um cone de projeção; 
• O slide3 representa o objeto a ser projetado; 
• A parede, por sua vez, representa o plano onde será projetada a imagem do objeto, denominado plano de projeção; 
• Por fim, existe a própria imagem vista na parede, a qual pode ser designada como projeção ou 
imagem do objeto. 2 Outros animais possuem aparelhos visuais tão ou mais complexos que o olho humano, independentemente da escala evolutiva. 3 Este exemplo foi escolhido pela sua facilidade didática, mas é preciso levar em consideração a simplificação decorrente desta escolha. Nela o objeto também pode ser considerado bidimensional. 
V 
7 Estes cinco elementos (centro de projeção, retas projetantes, objeto, plano de projeção e projeção ou imagem) são fundamentais para a compreensão de um sistema projetivo e algumas de suas características são responsáveis pela diferenciação entre pelo menos três sistemas projetivos distintos. 
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS PROJETIVOS A forma da projeção depende das posições relativas dos três elementos: plano, objeto e centro de projeção. Conforme o tipo de projeção gerada e a posição relativa entre os elementos, é possível classificar os sistemas projetivos em dois tipos básicos: Sistema de Projeção Central ou Cônico e Sistema de Projeção Cilíndrico. 
Sistema de Projeção Central ou Cônico No Sistema de Projeção Central, a distância entre o centro de projeção e o objeto é finita e compatível com a ordem de grandeza das dimensões do objeto. Neste caso, existe um ângulo não desprezível entre as projetantes, o que causa distorções na projeção. Estas distorções são chamadas de efeito perspectivo. A visão humana, as câmeras fotográficas e filmadoras, projetores e a luz projetada a partir de uma lâmpada são exemplos de sistemas projetivos cônicos. 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 4: a) Sistema de Projeção Cônico ou Central. b) Perspectiva cônica. Este tipo de sistema projetivo é a base teórica para a construção das chamadas perspectivas cônicas. A perspectiva cônica é o desenho perspectivo mais próximo da visão humana, daí a sua utilização frequente em representações com objetivos realísticos em aplicações variadas como Design, Arquitetura, Publicidade e Artes Plásticas. As projeções ou imagens geradas por este tipo de sistema projetivo não servem para aplicações onde haja necessidade de precisão, pois as há distorções na forma e nas medidas de ângulos e comprimentos. Estas distorções são chamadas de efeito perspectivo, no qual elementos mais próximos do observador (Centro de Projeção) se projetam maiores do que elementos mais afastados, mesmo que suas medidas reais sejam as mesmas. 
Sistema de Projeção Cilíndrico Um sistema projetivo é dito cilíndrico quando a distância entre o centro de projeção e o objeto é tão grande em relação às dimensões do objeto a ser projetado que pode ser considerada infinita. Desta forma, as projetantes tornam-se paralelas. Uma característica importante deste tipo de sistema projetivo está nas características das distorções produzidas na imagem ou projeção. Faces paralelas ao plano de projeção projetam-se em verdadeira grandeza, o que facilita as aplicações onde a precisão é importante, como em projeto. Não há distorção quanto a posição de arestas e planos, ou seja, retas paralelas, projetam-se paralelas. Tal característica é importante para a correta compreensão das formas. Os sistemas de projeção cilíndricos podem ser classificados em dois tipos segundo a posição relativa de projetantes e plano de projeção: Sistema de Projeção Cilíndrico Oblíquo e Sistema de Projeção Cilíndrico Ortogonal. 
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Sistema de Projeção Cilíndrico Oblíquo Em um Sistema de Projeção Cilíndrico Oblíquo, as projetantes paralelas formam um ângulo diferente de 90° com o plano de projeção (Figura 5a), isto faz com que a projeção dos objetos seja distorcida em relação ao objeto, isto é, a projeção pode ser maior, menor ou igual ao tamanho do objeto. Neste tipo de Sistema Projetivo, as faces paralelas ao plano de projeção são projetadas em verdadeira grandeza (VG), o que amplia seu espectro de aplicações. No entanto, devido a distorções que podem ser imprevisíveis nas demais dimensões, seu uso fica restrito a desenhos perspectivos. Este tipo de sistema projetivo está associado às chamadas perspectivas oblíquas como a perspectiva Cavaleira (Figura 5b) e a perspectiva Cabinet, muito utilizadas em Engenharia e Arquitetura. 
 fonte: german wikipedia. 
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Kavalierperspektive.PNG 
(a) (b) 
Figura 5: a) Sistema de Projeção Cilíndrico Oblíquo. b) Perspectiva cavaleira a 45º. 
Sistema de Projeção Cilíndrico Ortogonal Em um Sistema de Projeção Cilíndrico Ortogonal as projetantes paralelas formam um ângulo de 90° com o plano de projeção (Figura 6a). Por se tratar de um sistema cilíndrico, as faces paralelas ao plano projetam-se em verdadeira grandeza e as distorções das faces obliquas dependem, única e exclusivamente, da posição das mesmas em relação ao Plano de Projeção, sendo proporcionais ao cosseno do ângulo com o mesmo. Uma projeção nunca é maior que o objeto e as reduções são proporcionais aos ângulos dos elementos (retas e planos) em relação ao plano de projeção. Assim, existe uma relação biunívoca entre a projeção e o objeto real definida por uma equação matemática. Por esta razão, o sistema cilíndrico ortogonal é a base para toda a Geometria Descritiva e para o Desenho Técnico, duas áreas onde a precisão e verdadeira grandeza são elementos fundamentais. 
 
(a) (b) 
Figura 6: a) Sistema de Projeção Cilíndrico Ortogonal. b) Perspectiva axonométrica. Este tipo de Sistema Projetivo também é utilizado para a obtenção das chamadas perspectivas axonométricas (Figura 6b), como a isométrica, que apresenta reduções idênticas nas três direções principais do objeto. 
9 
SISTEMA DE DUPLA PROJEÇÃO (MÉTODO DE MONGE) Com o uso de Sistemas de Projeção Cilíndricos Ortogonais, é possível obter representações exatas de objetos planos, desde que os mesmos estejam posicionados paralelos ao plano de projeção. No entanto, quando se desejam representar objetos tridimensionais, só são possíveis representações exatas de faces paralelas ao plano de projeção. Considerando estas propriedades dos Sistemas de Projeção Ortogonal, Gaspar Monge propôs um sistema de dupla projeção,
constituído por planos ortogonais entre si, sendo um plano horizontal e outro frontal. Além disso, esta abordagem permite a adição de tantos planos quantos necessários, criando um sistema de projeções múltiplas. A Figura 7apresenta um conjunto de sólidos de diferentes formas geométricas e suas projeções ou vistas em um sistema de múltiplos (3) planos de projeção ortogonais entre si. É possível verificar que alguns objetos diferentes possuem projeções iguais em determinados planos de projeção. Portanto, fica fácil compreender que, dependendo da geometria, determinados objetos necessitam de mais de duas vistas para que possam ser perfeitamente compreendidos. 
 
 
Figura 7: Exemplos de sólidos em um sistema de múltiplas projeções. No sistema de projeção com vários planos de projeção como o mostrado na figura 7, nota-se a representação de eixos, os quais correspondem aos eixos de coordenadas cartesianos. O sistema ainda apresenta uma configuração tridimensional, a qual só pode ser compreendida em uma vista em perspectiva, como as da Figura 7. No entanto, como o objetivo é representar objetos em um 
10 único plano, há a necessidade de planificar todo o sistema e, assim, representar somente as projeções dos objetos. Este processo de planificação é feito através do rebatimento dos planos considerando as interseções entre os mesmos com os eixos de rotação. A Figura 8 mostra uma sequência de imagens onde é feita a planificação do sistema. 
 (a) (b) (c) 
 (e) (f) 
Figura 8: Planificação do sistema de projeção mongeano - Épura. A Figura 8f mostra o sistema de projeção mongeano planificado com as projeções do objeto representadas e alinhadas, o que é uma característica importante para o correto entendimento do objeto e das relações entre as projeções. O sistema de projeção planificado recebe, tradicionalmente, o nome de Épura e a sua representação convencional varia bastante, conforme o autor. Neste trabalho, é proposta uma convenção mais próxima da representação usual dos Sistemas de Referência cartesianos, com ênfase nos eixos coordenados x, y e z. Ainda na Figura 8f, é possível observar que o eixo x está orientado para a esquerda, o que é o contrário da representação usual em geometria plana. Isto ocorre devido ao processo de planificação, mas é uma representação coerente considerando um sistema de referência do tipo mão direita. Nota-se também que aparecem dois eixos y, pois considerando-se três planos de projeção, o rebatimento do plano lateral, que corresponde aos eixos yz, gera uma cópia do eixo y. Neste curso, o sistema de projeção padrão será constituído por dois planos, horizontal e vertical. Havendo necessidade conforme a geometria estudada, outros planos serão acrescentados. 
 
z 
x y 
y 
11 
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA A representação em épura segue a mesma lógica do sistema mongeano de representação, utilizando a representação explícita dos eixos coordenados do sistema de projeção planificado, como mostra a Figura 8f. Desta forma, a partir das coordenadas cartesianas de um ponto, é possível representar as suas projeções em épura. A representação das projeções de um ponto é feita com pares de coordenadas, conforme o plano de projeção. Para representar uma projeção no plano horizontal, utilizam-se as coordenadas x e y. A projeção no plano frontal é feita com as coordenadas x e z. É possível, ainda, construir uma projeção no plano lateral a partir das coordenadas y e z. A representação de sólidos facetados é feita a partir das representações de seus vértices, os quais são pontos. Os pontos são definidos pelos seus nomes (letras romanas maiúsculas) e pelas suas coordenadas. Assim, um ponto P(30,20,30) pode ser representado em épura segundo a Figura 9. 
 
Figura 9: Representação das projeções de um ponto em épura. Como é possível observar, as projeções recebem o nome do ponto e um índice que identifica o tipo de projeção: 1 para projeção horizontal (PH), 2 para projeção frontal (PF). As projeções são ligadas por linhas (Linhas de Chamada), as quais devem ser finas (0,3mm). Os pontos são representados por pequenas cruzes de espessura média (0,5mm), assim como as linhas dos eixos. A representação de um ponto em épura deve ser feita a partir da marcação das coordenadas da seguinte forma: a) Marcar a coordena x, também conhecida como abscissa sobre o eixo x ou linha de terra; b) Nesta posição, traçar a linha de chamada perpendicular à linha de terra com uma linha fina; c) Marcar a coordenada y sobre a linha de chamada com uma cruz, considerando a origem no cruzamento com a linha de terra e a direção positiva para baixo, a mesma da seta y; d) Marcar a coordenada z sobre a linha de chamada com uma cruz, considerando a origem no cruzamento com a linha de terra e a direção positiva para cima, a mesma da seta z; e) Escrever os nomes das projeções colocando os índices: 1 para y e 2 para z. A representação de pontos permite extrapolar para a representação de segmentos de reta a partir da representação dos pontos das extremidades. A representação de um segmento de reta é feita traçando, em cada plano de projeção, segmentos de reta que unem as projeções de mesmo índice dos pontos da extremidade do segmento. Assim, a representação de um segmento de reta AB é feita representando as projeções dos pontos A e B (A1 e A2 e B1 e B2) e, em seguida, são traçados segmentos de reta que unem A1 e B1, para formar a projeção horizontal do segmento, e A2 e B2, formando a projeção frontal do segmento AB. A Figura 10 (a e b) apresenta um exemplo de onde é 

x y 
z 
P1 
P2 
1 
2 
3 
12 representado o segmento AB, conhecendo-se as coordenadas dos pontos de extremidade: A(50,20,30) e B(20,50,50). Da mesma forma, é possível representar figuras planas, como polígonos, a partir dos seus lados, que são segmentos de retas. Ainda na Figura 10 (c e d), é acrescentado um novo ponto na épura, C(30,10,20), de forma a compor um triângulo com os pontos A e B. As projeções do triângulo sã desenhadas conectando as projeções de vértices de mesmo índice, formando a projeção horizontal, com os vértices de índice 1, e a projeção frontal, com os vértices de índice 2. 
 
(a) (b) 
 
(c) (d) 
Figura 10: Exemplo de representação de segmento de reta a partir das coordenadas dos pontos das suas extremidades e de um 
polígono a partir dos vértices de seus lados. Neste caso, os pontos A, B e C, onde A(50,2030), B(20,50,50) e C(30,10,20). a) 
Marcação das projeções dos pontos; b) Marcação das projeções do segmento traçando segmentos retos que unem as 
projeções de mesmo índice; c) Marcação do ponto C e d) Marcação do triângulo unindo por segmentos retos as projeções de 
mesmo índice. 
A1 
A2 
B1 
B2 
A1 
A2 
B1 
B2 
A1 
A2 
B1 
B2 
C1 
C2 
A1 
A2 
B1 
B2 
C1 
C2 
x 
y 
z P2 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
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PERTINÊNCIA Pertinência tem origem em pertencer. Assim, em Geometria Descritiva o estudo da pertinência tem o objetivo de verificar se um ponto pertence a uma reta ou a um plano ou, ainda, se uma reta pertence a um plano. Este conceito é um dos conceitos fundamentais da GD, pois todas todas as 
PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA Um ponto está contido ou pertence a uma reta se as projeções do ponto estão contidas nas projeções da reta. Por exemplo: dado um segmento AB, encontrar o ponto P sobre o mesmo de coordenada z=40mm. A solução deste problema consiste em traçar uma linha a 40mm da linha de terra sobre o plano xz e verificar o encontro desta linha com a projeção frontal do segmento. Este conceito está intimamente ligado ao conceito de interseção, pois esta linha, na verdade, é um plano paralelo ao plano horizontal com cota de 40mm. A interseção do plano com a linha define o ponto procurado. 
 
(a) (b) 
Figura 11: Exemplo de determinação de um ponto contido em segmento de reta sabendo a sua coordenada Z. a) Traçar uma 
linha paralela à linha de terra
na projeção frontal com uma distância igual à cota do ponto procurado, determinado a projeção 
frontal do ponto na interseção da linha com a projeção da reta. b) Traçar uma linha de chamada da projeção encontrada até a 
outra projeção da reta no plano de projeção ortogonal, determinando a projeção horizontal do ponto procurado. 
PERTINÊNCIA DE PONTO À PLANO E RETA À PLANO O conceito de pertinência de reta a plano depende do conceito de pertinência de ponto a plano e o conceito de pertinência de ponto a plano depende do conceito de pertinência de reta a plano. Assim, é possível afirmar que: 
• uma reta pertence a um plano quando possui dois de seus pontos sobre o plano; 
• um ponto pertence a um plano quando está sobre uma reta do plano. Trata-se de uma relação circular, mas é facilmente entendida observando como exemplo um polígono. A Figura 12 apresenta um triângulo com vértices ABC e um ponto P de projeção P2. Como determinar a projeção P1 sabendo que P pertence ao plano do triângulo ABC? A solução para este problema de pertinência também está diretamente relacionada ao conceito de interseção. Segundo o conceito de pertinência de ponto a plano, se P pertence a ABC, é possível traçar uma reta de ABC que contém P. Assim, é traçada uma reta qualquer que passa sobre P2 e cruza os lados de ABC 
A1 
A2 
B1 
B2 
P2 
A1 
A2 
B1 
B2 
P2 
P1 
40 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
14 (Figura 12a). Deste modo, segundo o conceito de pertinência de reta a plano, se esta reta é uma projeção de uma reta do plano, os pontos (I2 e J2) onde ela cruza as projeções do plano são projeções de pontos que pertencem ao plano. Assim, traçando uma linha de chamada por I2 até cruzar A1B1, é encontrada a Projeção I1 e traçando uma linha de chamada por J2 até cruzar B1C1, é encontrada a Projeção J1 (Figura 12b). O segmento I1J1 é a projeção horizontal do segmento IJ, pertencente ao plano. Portanto, se P pertence a este segmento do plano, P1 deve estar sobre I1J1 na mesma linha de chamada de P2 (Figura 12d). 
 
(a) (b) 
 
 (c) (d) 
Figura 12: Pertinência de reta a plano. 
P2 
A1 
A2 
B1 
B2 
C1 
C2 
P2 
A1 
A2 
B1 
B2 
C1 
C2 
I2 
J2 
I2 
J2 
I1 
J1 
P2 
A1 
A2 
B1 
B2 
C1 
C2 
I2 
J2 
I1 
J1 
 P2 
A1 
A2 
B1 
B2 
C1 
C2 
I2 
J2 
I1 
J1 
P2 
P1 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
15 
EXEMPLO 1 É possível realizar a representação em épura de objetos sólidos conhecendo-se as coordenadas de seus vértices assim como as regras de conexão de suas faces (conectividades) as quais definem faces e arestas. A representação das projeções de um sólido é feita a partir da lista de vértices com as suas coordenadas e a lista de faces com suas conectividades. O sentido das conectividades deve ser, em geral, aquele que produz normais que apontem para o exterior do sólido seguindo a regra da mão direita. A seguir, é apresentado o Exemplo 1, um sólido facetado que deve ter suas projeções em épura representadas. A Figura 13 apresenta a lista de vértices e a tabela de conectividades. 
Pontos X Y Z 
A 10 10 10 
B 10 40 10 
C 60 40 10 
D 60 10 10 
E 60 10 30 
F 60 40 30 
G 40 10 50 
H 40 40 50 
I 10 10 50 
J 10 40 50 
 
Faces 0 1 2 3 4 
1 A B C D 
 2 A D E G I 
3 I G H J 
 4 A I J B 
 5 H G E F 
 6 F E D C 
 7 J H F C B 
 
Figura 13: Lista de vértices e lista de faces de um sólido facetado. Primeiramente, são representados os vértices nas duas ou três vistas. Em seguida, as faces são representadas unindo os vértices em cada vista, conforme a lista de conectividades. A Figura 14Figura 13a mostra a representação dos vértices em três planos de projeção. A Figura 13b apresenta o sólido completo representado nas duas vistas: superior (projeção horizontal) e anterior (Projeção frontal). A partir das projeções, é possível entender o formato do sólido no espaço tridimensional. A Figura 15 apresenta o sólido da Figura 14 em perspectiva em conjunto com as suas projeções, onde é possível observar a coerência das mesmas com a forma do sólido. 
 
(a) (b) 
Figura 14: Representação de um sólido em épura: a) Representação dos vértices; b) Representação das faces a partir das 
conectividades. 
G2≡H2 I2≡J2 
E2≡F2 
D2≡C2 
A2≡B2 
A1≡I1 
B1≡J1 
G1 
H1 C1≡F1 
D1≡E1 A1≡I1 
B1≡J1 
G1 
H1 C1≡F1 
D1≡E1 
G2≡H2 I2≡J2 
E2≡F2 
D2≡C2 A2≡B2 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
16 
 
(a) (b) 
Figura 15: Sólido do Exemplo1. 
TIPOS DE PROJEÇÃO É possível observar que, conforme o plano de projeção analisado, as faces e arestas do sólido apresentam-se em diferentes posições e formas. Faces e arestas paralelas ao plano de projeção projetam-se em verdadeira grandeza (VG). Faces e Arestas oblíquas a um plano de projeção projetam-se reduzidas (PR). Faces e arestas perpendiculares a um plano de projeção projetam-se acumuladas (PA). A Figura 16 mostra algumas ocorrências de diferentes tipos de projeções de arestas do sólido do Exemplo 1. A Figura 16a destaca uma aresta FH do sólido, a qual se projeta reduzida no plano horizontal (PH) de projeção e em verdadeira grandeza no plano frontal (PF) de projeção. A Figura 16b mostra duas arestas (EF e GH) com projeções acumuladas no PF e projeções em VG no PH e, ainda, uma aresta correspondente à diagonal EH que se projeta reduzida nos dois planos de projeção. 
 
 
(a) (b) 
Figura 16: Tipos de projeções de arestas. 
VG 
PR 
VG 
PA 
VG 
PA 
VG 
PA 
VG 
PA 
VG 
PR 
PR 
PR 
PR 
PR 
α 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
17 É importante compreender algumas relações importantes entre os tipos de projeção para retas e segmentos de reta, as quais estão diretamente relacionadas com a posição destas no espaço e em relação ao sistema de referência. As relações mais comuns para as projeções de uma reta são: 
• se uma projeção é paralela à linha de terra, a projeção no plano ortogonal é, necessariamente, uma VG pois isto significa que a reta é paralela a este plano de projeção e, neste caso, o ângulo entre o a reta e o plano de projeção ortogonal é o mesmo entre a VG e a linha de terra; 
• se uma projeção é acumulada, a projeção no plano ortogonal, necessariamente, é VG e perpendicular à linha de terra por que uma PA indica que a reta é perpendicular ao plano em que acumula, portanto é paralela a todo plano ortogonal, projetando-se em VG nos mesmos; 
• se as duas projeções não estão acumuladas e nenhuma é paralela à linha de terra, significa que ambas são reduzidas. 
 
 
(a) (b) 
Figura 17: Exemplos de ocorrências de diferentes tipos de projeção de faces. No caso de planos, também há relação importantes entre os tipos de projeção e a posição do plano no espaço tridimensional. A Figura 17 mostra algumas ocorrências de diferentes tipos de projeção de faces planas para o sólido do Exemplo 1. A Figura 17a mostra uma face perpendicular ao PF, onde se projeta acumulada, e inclinada em relação ao PH, onde ela se projeta reduzida. A Figura 17b destaca uma face perpendicular ao PH, onde se projeta acumulada e paralela à linha de terra, o que assegura que a face é paralela ao PF, onde ser projeta em VG. As principais relações para as projeções de planos, como as faces de um sólido, são: 
• se um projeção é acumulada, significa que o plano é perpendicular a este plano de projeção e o ângulo entre a PA e a linha de terra é o ângulo entre o plano e o plano de projeção ortogonal; 
• se uma projeção um plano é acumulada e paralela à linha de terra, a projeção no plano ortogonal é VG, pois significa que o plano em questão é paralelo ao plano de projeção ortogonal ao plano onde está cumulado, portanto se projeta em VG; 
PA 
PR 
VG 
PA 
VG 
PA 
PA 
PR 
α 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
18 
• se
o plano não tem projeção acumulada, significa que ambas são projeções reduzidas, pois projeções em VG só ocorrem em conjunto com PA paralelas à linha de terra. A partir das posições das faces (planos) e arestas (retas) em relação ao sistema de projeção é possível classificar estes elementos, utilizando uma nomenclatura que é tradicional na Geometria Descritiva. Mas, muito mais importante que a nomenclatura utilizada é o correto entendimento das características dos objetos e das suas projeções em função das posições ocupadas pelos mesmos. 
 
	Geometria Descritiva
	Design-Based Learning
	2006 -2013
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	Representação em Épura
	Pertinência
	Pertinência de Ponto à Reta
	Pertinência de Ponto à Plano e Reta à Plano
	Exemplo 1
	Tipos de Projeção
	A1≡I1
	B1≡J1
	G1
	H1
	C1≡F1
	D1≡E1
	A1≡I1
	B1≡J1
	G1
	H1
	C1≡F1
	D1≡E1