Geom_Analitica-parte2

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2.6 Gabarito da Lista 1
1. −→w = (−9
7
,
−10
7
)
2. a = 9, b = 8, c = −2
3.
−→
OA = (3,6),
−→
AB = (1,− 14),−−→CB = (5,− 11),−→OA+−−→CB = (8,− 5),−→AB−−→OA =
(−2,− 20)
4. |−→u | = √27, |−→v | = √21,|−→w | = √13,|−→t | = √74,|−→u +−→w |∄
5. |−→u +−→v | = √45, |−→u − 3−→v | = √557
6. a =
1
3
, b =
−18
4
,c = −6
7. P (14,15,− 10)
8. (−2,15), (−12,− 4), (3,− 5), (−6,2).
9. D(−8,− 1,15)
10. Sa˜o paralelos: −→u e −→v , −→u e −→t , −→v e −→t
11. m =
−26
10
=
−13
5
12. (x,0,0),(0,0,z),(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z),(x,y,0),(0,0,z),(0,y,0)
13. a = 9, b = −15
14. D(0,1,0)
15.
−−→
CPm = (
3
2
,
3
2
,− 3),−→u = 2
3
−−→
CPm = (1,1,− 2)
16. P (3,0,0)
17. z = 0, z = −4
18. a = 2, b = −3, c = 1
40
2.7 Produtos de Vetores
2.8 Produto Escalar
Neste cap´ıtulo vamos desenvolver algumas ideias e conceitos relacionados a aˆngulos
e ortogonalidade. O produto escalar entre dois vetores, como o pro´prio nome diz,
resulta em um escalar.
Considere os seguintes vetores ~u = x1~i+y1~j+z1~k e ~v = x2~i+y2~j+z2~k, representamos
~u. ~v, ao nu´mero real
~u · ~v = x1x2 + y1y2 + z1z2
Esta operac¸a˜o entre vetores gera como resultado sempre um nu´mero real e vale
tanto no R2 (no plano) como no R3 (no espac¸o).
Exemplo 25
~u · ~v = (1,− 2,− 1).(−6,2,− 3) = 1(−6) + (−2)(2) + (−1)(−3) = −6− 4 + 3 = −7
Representamos o produto escalar por ~u · ~v, leˆ-se ~u escalar ~v.
Propriedades:
Dados dois vetores, ~u e ~v ∈ Rn e um escalar m ∈ R, temos:
1. ~u · ~v ≥ 0, sera´ nulo se ~u ou ~v for nulo e ~u · ~u = 0 somente se ~u = ~0.
Observe que ~u ·~u ≥ 0, sera´ positivo porque a soma de quadrados sempre resulta
em valores positivos e sera´ igual a zero somente se ~u = 0
2. ~u · ~v = ~v · ~u - O produto escalar e´ comutativo.
3. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w - Distribuitiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o.
4. (m~u) · ~v = m(~u · ~v) = ~u · (m~v) - Associativa
5. ~u · ~u = |~u|2
Perceba que ~u · ~u = (x, y, z) · (x, y, z) = x2 + y2 + z2 e |~u| =
√
x2 + y2 + z2
enta˜o |~u|2 = x2 + y2 + z2 = ~u · ~u
41
Figura 2.18: Aˆngulo entre vetores.
Aˆngulo entre dois vetores: O produto escalar entre os vetores ~u e ~v pode ser
escrito na forma: ~u · ~v = |~u| · |~v|cosθ, onde θ e´ o aˆngulo formado entre ~u e ~v.
Atrave´s desta u´ltima definic¸a˜o de produto escalar, podemos obter o aˆngulo θ
entre dois vetores gene´ricos ~u e ~v, pois ~u · ~v=
{
0 se ~u ou ~v for nulo
|~u| · |~v|cosθ
enta˜o
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v|
desde que nenhum deles seja nulo.
Demonstrac¸a˜o: Aplicando a lei dos cossenos da geometria plana, que estabelece que
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(θ).
Se o triaˆngulo e´ retaˆngulo com os catetos a e b e a hipotenusa c, a lei acima se
reduz ao Teorema de Pita´goras c2 = a2 + b2, enta˜o pela figura abaixo
42
Se c = ~w, b = ~u e a = ~v, temos:
Em notac¸a˜o vetorial |~w|2 = |~u|2 + |~v|2 − 2|~u||~v|cos(θ) - Lei dos cossenos
2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2
Uma vez que ~w = ~u− ~v, a forma de ~w e´ (u1 − v1,u2 − v2,u3 − v3)
Assim,
|~u|2 = (
√
u2
1
+ u2
2
+ u2
3
)2 = u2
1
+ u2
2
+ u2
3
|~v|2 = (
√
v2
1
+ v2
2
+ v2
3
)2 = v2
1
+ v2
2
+ v2
3
|~w|2 = (√(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v2)2)2 = (u1− v1)2+(u2− v2)2+(u3− v3)2
E
|~u|2 + |~v|2 − |~w|2 = 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)
Portanto,
2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2 = 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)
|~u||~v|cos(θ) = (u1v1 + u2v2 + u3v3)
cos(θ) =
(u1v1 + u2v2 + u3v3)
|~u||~v| =
~u · ~v
|~u||~v|
Assim,
θ = cos−1(
~u · ~v
|~u||~v|).
Observac¸a˜o 1
Em relac¸a˜o ao aˆngulo θ:
θ e´ agudo se (0 ≤ θ ≤ 90◦), se e somente se, ~u · ~v > 0.
θ e´ reto (θ = 90◦), se e somente se, ~u · ~v = 0.
θ e´ obtuso (90◦ ≤ θ ≤ 180◦), se e somente se, ~u · ~v < 0.
43
Observac¸a˜o 2
|~u+ ~v|2 = (~u+ ~v)(~u+ ~v) = ~u · ~u+ ~u · ~v + ~v · ~u+ ~v · ~v = |~u|2 + 2~u~v + |~v|2.
Se θ = 90◦, os vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais =⇒ |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2.
Do mesmo modo
|~u− ~v|2 = |~u|2 − 2~u~v + |~v|2
e
|~u+ ~v||~u− ~v| = |~u|2 − |~v|2
Exemplo 26 Encontre o aˆngulo entre ~u = −2~i−~j + ~k e ~v =~i+~j.
Soluc¸a˜o:
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v|
cos(θ) =
(−2,− 1,1) · (1,1,0)√
(−2)2 + (−1)2 + 12 · √12 + 12
cos(θ) =
−3√
12
=
−√3
2
θ = 120◦
Exemplo 27 Encontre o aˆngulo θ entre ~u =~i− 2~j − 2~k e ~v = 6~i+ 3~j + 2~k.
Soluc¸a˜o:
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v|
cos(θ) =
(1,− 2,− 2) · (6,3,2)√
(1)2 + (−2)2 + (−2)2 · √62 + 32 + 22
cos(θ) =
−4√
21
=⇒ θ ≃ 100,95◦
44
Vetores ortogonais (perpendiculares):
Dois vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais se:
~u · ~v = 0.
Exemplo 28 ~u = 3~i−2~j+~k e´ ortogonal a ~v = 2~j+4~k pois ~u ·~v = (3)(0)+(−2)(2)+
(1)(4) = 0.
O ~0 e´ ortogonal a todo vetor ~u, pois ~0 · ~u = (0,0,0) · (3,− 2,1) = 0.
2.8.1 Agora tente resolver!
1. Determinar o vetor −→v , ortogonal ao eixo Oy que satisfaz as condic¸o˜es: −→v ·−→a =
12 e −→v · −→b = 6, onde −→a = (1,2,− 4) e −→b = (−1,2,6).
2. Determine z tal que ~u = (1,− 3,2) e ~v = (5,− 3,z) sejam ortogonais.
3. Encontrar o vetor ~m ortogonal aos vetores ~u = (3,2,− 2) e ~v = (−1,− 3,− 4),
de mo´dulo igual a 6.
4. Determinar para que valores de α e β os vetores ~a = (−2,3,α) e ~b = (β,− 6,2)
sejam:
a) colineares;
b) ortogonais, se α = 2β.
Aˆngulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor: Considere o vetor ~v = x1~i+
y1~j+ z1~k. Chamamos de aˆngulos diretores de ~v os aˆngulos α, β e γ que ~v forma com
os vetores ~i, ~j, ~k como podemos observar pela figura 2.19.
Cossenos diretores de ~v sa˜o os cossenos de seus aˆngulos diretores, isto e´, cos(α),
cos(β), cos(γ). Assim, por exemplo,
cos(α) =
~v ·~i
|~v||~i| =
x
|~v|
os demais seguem de mesma forma.
Exemplo 29 Dados A(2,2,-3), B(3,1,-3) calcular os aˆngulos diretores ~v =
−→
AB.
45
Figura 2.19: Aˆngulos diretores
Soluc¸a˜o:
−→
AB= B − A = (3,1,− 3)− (2,2,− 3) = (1,− 1,0)
Ou seja
−→
AB= 1~i− 1~j + 0~k
Agora vamos calcular seus aˆngulos diretores:
cos(α) =
−→
AB ·~i
|
−→
AB ||~i|
=
x
|
−→
AB |
=
1√
12 + (−1)2 + 02 =
1√
2
=
√
2
2
Enta˜o α = 45◦
cos(β) =
y
|
−→
AB |
=
−1√
12 + (−1)2 + 02 =
−1√
2
=
−√2
2
Enta˜o β = 135◦
cos(γ) =
z
|
−→
AB |
=
0√
12 + (−1)2 + 02 = 0
Enta˜o γ = 90◦.
46
2.8.2 Agora tente resolver!
1. Um vetor forma um aˆngulo de 60◦ e 120◦ com os eixos Ox e Oy. Determinar
suas coordenadas se seu mo´dulo e´ igual a 6.
Vetor projec¸a˜o: Dados dois vetores ~u e ~v, com ~u 6= 0 e ~v 6= 0, queremos
determinar o vetor ~w que e´ a projec¸a˜o do vetor ~u sobre o vetor ~v. As figuras ilustram
duas situac¸o˜es,
Figura 2.20: vetor projec¸a˜o
47
Figura 2.21: vetor projec¸a˜o 2
Observando a figura 2.21, trac¸ando uma reta r paralela ao vetor −→u e considerando
um vetor ortogonal a reta r, com origem no ponto C, percebe-se que vetor −→a , e´ a
projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u . Note que −→b = −→v −−→a , e´ ortogonal a −→u e a −→a .
Com a ideia geome´trica em mente, vamos enunciar a seguinte propriedade:
Dados dois vetores −→u 6= −→O e −→v , existe um u´nico vetor −→a que verifica:
1. −→a ‖−→u
2. −→v −−→a ⊥−→u
O vetor −→a e´ chamado de projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u , e indicamos:
−→a = proj~u~v.
Pela condic¸a˜o (1): −→a = α−→u , e, pela condic¸a˜o (2) (−→v −−→a ) · −→u = 0, se −→a = α−→u ,
temos −→v · −→u − α−→u · −→u = 0, enta˜o
α =
~v · ~u
|~u|2 · ~u
48
proj~u~v =
(
~v · ~u
|~u|2
)
· ~u
Exemplo 30 Encontre a projec¸a˜o ortogonal de ~u = 6~i+3~j+2~k em ~v =~i−2~j−2~k.
Soluc¸a˜o:
~a = proj~v~u =
(
~u · ~v
|~v|2
)
· ~v =
(
(6,3,2) · (1,− 2,− 2)
12 + (−2)2 + (−2)2
)
· (1,− 2,− 2) =
(
6− 6− 4
1 + 4 + 4
)
· (1,− 2,− 2) =
(−4
9
)
· (1,− 2,− 2)
=
(−4
9
,
8
9
,
8
9
)
Exemplo 31 Encontre a projec¸a˜o ortogonal de uma forc¸a ~F = 5~i+2~j em ~v =~i−3~j.
Soluc¸a˜o:
~w = proj~v~u =
(
~u · ~v
|~v|2
)
· ~v =
(
(5,2) · (1,− 3)
12 + (−3)2
)
· (1, − 3) =
(−1
10
)
· (1, − 3) =(−1
10
,
3
10
)
.
2.8.3 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u = (4,7,3),~v = (2,2,1) e ~w = (0,− 5,2) calcule:
a) (~u+ ~v) · ~w.
b) proj~u~v.
c) ~u · (~v − 2~w).
d) proj~u ~w.
2. Associe cada item com uma das afirmac¸o˜es e justifique:
(1) ~u = (−2,3,− 2),~v = (−1,2,4).
(2) ~u = (−1,0,3),~v = (−3,0,1).
49
(3) ~u = (6,3,4),~v = (18,9,12).
( ) ~u e ~v na˜o sa˜o nem paralelos nem ortogonais.
( ) ~u e ~v sa˜o paralelos.
( ) ~u e ~v sa˜o ortogonais.
3. Dados os vetores ~m = (1, − 3,4),~n = (3, − 4,2) e ~o = (−1,1,4), calcular a
projec¸a˜o do vetor ~m na direc¸a˜o do vetor ~n+ ~o.
4. Sabendo que −→v = (4,10,10) e −→u = (1,1,4) calcule a projec¸a˜o ortogonal de −→v
sobre −→u , e decomponha o vetor −→v como soma de dois vetores (−→a e −→b ), sendo
−→a paralelo a −→u , e −→b ortogonal a −→u .
2.9 Produto Vetorial
Dados dois vetores ~u e ~v, estamos em busca de um novo vetor, ortogonal aos
vetores ~u e ~v, denotado por ~u× ~v que denominamos de produto vetorial de ~u e ~v.
Para definirmos o produto vetorial, devemos lembrar da orientac¸a˜o de base positiva
no espac¸o. Considere treˆs vetores ~u, ~v e ~w, como mostra a figura
O conjunto {~u,~v, ~w} nesta situac¸a˜o geome´trica forma uma base de vetores do
espac¸o, pois os vetores sa˜o na˜o coplanares.
Considere a rotac¸a˜o em torno do menor aˆngulo, em torno de O, assim o vetor ~u
e´ o primeiro vetor da base, que tera´ o mesmo sentido do vetor ~v, que sera´ definido
50
como o segundo vetor da base. Se a rotac¸a˜o for no sentido anti-hora´rio a base e´
positiva. Sendo assim {~u,~v, ~w}, e´ positiva.
Vale lembrar que a base canoˆnica e´ representada no sentido positivo, assim
{~i,~j,~k} nessa ordem e´ positiva.
Observac¸a˜o 1: Usando um dispositivo pra´tico.
Figura 2.22: Dispositivo pra´tico no sentido anti-hora´rio.
~i×~j = ~k, de maneira ana´loga, temos que: ~j × ~k =~i e ~k ×~i = ~j .
Ja´ no sentido hora´rio:
~j ×~i = −~k, de maneira ana´loga, temos que: ~i× ~k = −~j e ~k ×~j = −~i .
51
Figura 2.23: Dispositivo pra´tico no sentido hora´rio.
Pelo sentido anti-hora´rio temos o sentido positivo da base: {~i,~j,~k}, {~j,~k,~i} e
{~k,~i,~j}.
No sentido hora´rio {~j,~i,~k}, {~i,~k,~j} e {~k,~j,~i} o sentido da base e´ negativo.
Definic¸a˜o:
Ao contra´rio do produto escalar, que resulta em um escalar, e pode ser definido
tanto como vetores do espac¸o como vetores do plano, o produto vetorial so´ pode
ser definido em vetores do espac¸o ja´ que esta´ ligado essencialmente ao conceito de
orientac¸a˜o no espac¸o.
Representamos o produto vetorial por ~u× ~v, leˆ-se ~u vetorial ~v.
Observac¸a˜o 2:
❼ Se o produto vetorial resultar em um vetor nulo ~0 significa que um dos vetores
e´ nulo ou os vetores sa˜o colineares.
❼ o vetor resultante tem:
i. mo´dulo |~w| = |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).
ii. a direc¸a˜o do vetor resultante ~w e´ simultaneamente ortogonal a ~u e ~v.
iii. o sentido e´ tal que {~u,~v, ~w} e´ dado pela base positiva orientada do espac¸o.
52
Ca´lculo do produto vetorial
Considere a base canoˆnica de R3, {~i,~j,~k}.
Usando a definic¸a˜o de produto vetorial, a observac¸a˜o 1 e sabendo que:
~i×~i = 0
~j ×~j = 0
~k × ~k = 0
O produto vetorial entre ~u = x1~i+ y1~j + z1~k e ~v = x2~i+ y2~j + z2~k, representado
por (~u×~v) sera´ expresso em coordenadas. Vamos obter as coordenadas, estendendo
por linearidade, assim:
~u× ~v = (x1~i+ y1~j + z1~k)× (x2~i+ y2~j + z2~k)
= (x1x2)(~i ×~i) + (x1y2)(~i × ~j) + (x1z2)(~i × ~k) + (y1x2)(~j ×~i) + (y1y2)~j × ~j +
(y1z1)(~j × ~k) + (z1x2)(~k ×~i) + (z1y2)(~k ×~j) + (z1z2)(~k × ~k)
= (x1x2)(0)+(x1y2)(~k)+(x1z2)(−~j)+(y1x2)(−~k)+(y1y2)(0)+(y1z2)(~i)+(z1x2)(~j)+
(z1y2)(−~i) + (z1z2)(0)
Portanto, ~u×~v = (y1z2−z1y2)~i−(x1z2−z1x2)~j+(x1y2−y1x2)~k, que corresponde
ao determinante
~u× ~v =

 ~i ~j
~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2

 =
[
y1 z1
y2 z2
]
~i−
[
x1 z1
x2 z2
]
~j +
[
x1 y1
x2 y2
]
~k
O s´ımbolo que utilizamos acima na˜o e´ um determinante, pois a primeira linha
conte´m vetores e na˜o escalares. No entanto, e´ uma forma de calcular semelhante
ao desenvolvimento do determinante. Esta representac¸a˜o simbo´lica auxilia apenas o
ca´lculo de ~u× ~v em coordenadas.
Propriedades:
i. ~u× ~u = 0
Pela definic¸a˜o de produto vetorial, vemo que |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ) enta˜o |~u×
~u| = |~u||~u|sen(0◦) = 0.
53
ii. ~u× ~u = −~v × ~u
✲✛
❅
❅
❅❘
✻
✲~u−~u
~v
~w
iii. ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w.
Sendo ~u = (x1,y1,z1), ~v = (x2,y2,z2) e ~w = (x3,y3,z3):
~u× (~v + ~w) =
(x1,y1,z1)× ((x2,y2,z2) + (x3,y3,z3)) =
(x1,y1,z1)× (x2 + x3,y2 + y3,z2 + z3) =
(y1(z2+ z3)− z1(y2+y3),−x1(z2+ z3)+ z1(x2+x3),x1(y2+y3)−y1(x2+x3)) =
(y1z2−z1y2+y1z3−z1y3,−x1z2+z1x2−x1z3+z1x3,x1y2−y1x2+x1y3−y1x3) =
(y1z2−z1y2,−x1z2+z1x2,x1y2−y1x2)+(y1z3−z1y3,−x1z3+z1x3,x1y3−y1x3) =
= ~u× ~v + ~u× ~w
iv. (m~u)× ~v = m(~u× ~v)
(m~u)× ~v = (m(x1,y1,z1))× (x2,y2,z2) = (mx1,my1,mz1)× (x2,y2,z2) =
(my1z2 −mz1y2,−mx1z2 + x2mz1,mx1y2 −my1x2) =
m(y1z2 − z1y2,− x1z2 + x2z1,x1y2 − y1x2) = m(~u× ~v)
v. ~u× ~v = 0 se, e somente se, um dos vetores e´ nulo ou se ~u e ~v sa˜o colineares.
Se um dos vetores e´ nulo, teremos no produto vetorial uma linha nula, logo seu
determinante e´ nulo. De mesma forma se os vetores sa˜o colineares, temos duas
linhas do determinante mu´ltiplas, logo o determinante tambe´m e´ nulo.
54
vi. ~u× ~v e´ ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v.
Veja pela base canoˆnica {~i,~j,~k} como o resultado do produto vetorial de cada
par de vetores, resulta sempre no terceiro de tal maneira que este e´ ortogonal
aos outros dois.
vii. |~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2 Identidade de Lagrange.
viii. se ~u 6= 0 e ~v 6= 0 e se θ e´ o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v : |~u×~v| = |~u||~v|sen(θ).
Se |~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2
|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (|~u||~v|cosθ)2
|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2(1− cos2(θ))
|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2sen2(θ)
Portanto: |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).
ix. ~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w
x. Sentido de −→u ×−→v : regra da ma˜o direita:
Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Vetorial: A a´rea de um paralelogramo determinado
pelos vetores ~u e ~v e´ numericamente igual ao comprimento do vetor |~u × ~v| como
podemos observar pela figura.
55
Ca´lculo da a´rea do paralelogramo:
A´rea(ABCD) =(AB)h, onde (AB) =|
−→
AB | = |~u|.
Temos que h=(AD)sen(θ), em que (AD) = |
−→
AD | = |~v|.
Logo, A´rea(ABCD)=|~u||~v|senθ = |~u× ~v|.
Exemplo 32 Dados os vetores ~u = (2,1, − 1), ~v = (−1,1,3), calcular a a´rea do
paralelogramo formado por ~u e ~v.
Solouc¸a˜o:
|~u×~v| =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
2 1 −1
−1 1 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = |~i(3−(−1))−~j(6−(1))+
~k(2−(−1)) = |4~i−5~j+3~k| =
|(4,− 5,3)| =√42 + (−5)2 + 32 = √16 + 25 + 9 = √50 = 5√2 u.a.
Exemplo 33 Calcular a a´rea do triaˆngulo formado pelos pontos A(-1,1,0), B(2,1,-1),
C(-1,1,2).
Soluc¸a˜o: Primeiramente, calcularemos os vetores
−→
AB e
−→
AC.
−→
AB= B − A = (2,1,− 1)− (−1,1,0) = (3,0,− 1)
−→
AC= C − A = (−1,1,2)− (−1,1,0) = (0,0,2)
56
Agora vamos calcular a a´rea do paralelogramo formado por estes vetores:
|
−→
AB ×
−→
AC | =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
3 0 −1
0 0 2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = |~i(0−0)−~j(6−0)+
~k(0−0) = |0~i−6~j+0~k| = |(0,−6,0)|
(2.1)
Portanto, a a´rea do paralelogramo e´ |
−→
AB ×
−→
AC | =
√
(−6)2 = √36 = 6u.a.
Mas, o exerc´ıcio pergunta qual o valor da a´rea do triaˆngulo formado pelo pontos
A, B e C. Conforme a figura a seguir, a a´rea do triaˆngulo e´ exatamente a metade
da
a´rea do paralelograma, ou seja 3 u.a.
2.9.1 Agora tente resolver!
1. Obtenha o vetor −→x tal que −→x · (−→i −−→j ) = 0 e −→x × (−→i + 2−→k ) = −→i − 1
2
−→
k .
2. Dados os vetores ~u = 3~i− 2~j + 4~k e ~v =~i− 3~j − 2~k. Calcule ~u× ~v e |~u× ~v|.
3. Nos itens abaixo, encontre ~u×~v , o mo´dulo (comprimento) e a direc¸a˜o do vetor
unita´rio resultante de :
a) ~u = 2~i− 2~j − ~k,~v =~i− ~k.
b) ~u = 2~i+ 3~j, ~v = −~i+~j.
c) ~u = 2~i− 2~j + 4~k,~v = −~i+~j − 2~k.
4. Sabendo que a a´rea de um paralelogramo e´ 2
√
6 e que os lados do paralelogramo
sa˜o determinados pelos vetores ~u = (3,1, − 1), ~v = (a,0,2), determine o valor
de a.
57
5. Considerando os vetores ~a = (1,2,3),~b = (−1,1,2),~c = (2,−4,3) e ~d = (2,−1,0),
calcular (~a×~b) · (~c× ~d).
6. Dados −→u = (2,− 1,1),−→v = (1,− 1,0) e −→w = (−1,2,2), calcule −→v × (−→w −−→u ).
2.10 Produto Misto
Chama-se produto misto dos vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k, ~v = x2~i + y2~j + z2~k e
~w = x3~i+ y3~j + z3~k, tomados neste ordem, ao nu´mero real ~u · (~v × ~w).
O produto misto de ~u, ~v e ~w tambe´m e´ indicado por (~u,~v, ~w).
Do resultado do produto vetorial: ~v× ~w = (y2z3−z2y3)~i−(x2z3−z2x3)~j+(x2y3−
y2x3)~k
Temos que:
~u · (~v × ~w) = (x1~i+ y1~j + z1~k) · [(y2z3 − z2y3)~i− (x2z3 − z2x3)~j + (x2y3 − y2x3)~k]
Sabendo que o produto escalar de dois vetores ortogonais e´ nulo, so´ teremos
resultados quando houver produto escalar entre o mesmo vetor unita´rio da base
canoˆnica.
x1(y2z3 − z2y3)~i ·~i+ y1(x2z3 − z2x3)~j ·~j + z1(x2y3 − y2x3)~k · ~k =
x1y2z3 − x1z2y3 + y1x2z3 − y1z2x3 + z1x2y3 − z1y2x3 =
x1y2z3 + y1x2z3 + z1x2y3 − (x1z2y3 + y1z2x3 + z1y2x3) =
Logo, o que temos e´:
~u · (~v × ~w) =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
Propriedades:
i. (~u,~v, ~w) = 0 se um dos vetores e´ nulo, se dois deles sa˜o colineares, ou se os treˆs
sa˜o coplanares.
ii. O produto misto independe da ordem circular dos vetores: (~u,~v, ~w) = (~v, ~w, ~u) =
(~w, ~u,~v).
iii. (~u,~v, ~w + ~r) = (~u,~v, ~w) + (~u,~v, ~r)
58
iv. (~u,~v,m~w)=(~u,m~v, ~w)=(m~u,~v, ~w)=m(~u,~v, ~w)
Exemplo 34 Encontre o produto misto ~u,~v, ~w, onde ~u = (3,2,1), ~v = (1,1,1), ~w =
(2,1,1).
Soluc¸a˜o:
~u · (~v × ~w) = 3 + 4 + 1− (2 + 3 + 2) = 8− 7 = 1
Interpretac¸a˜o Geome´trica do Mo´dulo do Produto Misto:
O volume de um paralelep´ıpedo e´ definido pela a´rea da base pela sua altura (Ab · h).
A a´rea da base do paralelep´ıpedo e´ |~u×~v|. Seja θ o aˆngulo entre os vetores e ~u×~v e
~w. Sendo ~u× ~v um vetor ortogonal a` base, a altura sera´ paralela a ele, e , portanto,
h = |~w||cos(θ)|.
Assim,
V = |~u× ~v||~w||cos(θ)|
Fazendo ~u× ~v = ~n,
V = |~n| · |~w||cos(θ)|
Sabendo que ~n · ~w = |~n||~w|cos(θ).
O volume do paralelep´ıpedo e´ definido pelo mo´dulo do produto misto determinado
pelos vetores ~u, ~v e ~w.
V = |~n · ~w| = |(~u× ~v) · ~w|
59
Exemplo 35 Encontre o volume da caixa determinada por ~u = (1,2, − 1), ~v =
(−2,0,3), ~w = (0,7,− 4).
Soluc¸a˜o:
V = |(~u,~v, ~w)| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
−2 0 3
0 7 −4
∣∣∣∣∣∣ = |0+0+14−(0+21+16)| = |14−37| = |−23| =
23u.v.
Observac¸a˜o 3: O volume do tetraedro e´ 1
6
do volume do paralelep´ıpedo.
Exemplo 36 Calcule o volume do tetraedro sabendo que as arestas sa˜o determinadas
pelos vetores ~u = (−1,1,0), ~v = (−1,0,1) e ~w = (3,2,7).
Soluc¸a˜o: V = |(~u,~v, ~w)| = 1
6
∣∣∣∣∣∣
−1 1 0
−1 0 1
3 2 7
∣∣∣∣∣∣ =
1
6
|12| = 2u.v.
Exemplo 37 Verificar se os pontos A(0,1,1), B(1,0,2), C(1, − 2,0) e D(−2,2, − 2)
sa˜o coplanares.
Soluc¸a˜o: Os pontos pertencem ao mesmo plano se os vetores
−→
AB = (1, −
1,1),
−→
AC = (1, − 3, − 1) e −−→AD = (−2,1, − 3) sa˜o coplanares, isto acontece se o
produto misto entre eles e´ zero. Assim,
det
∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
1 −3 −1
−2 1 −3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Duplo Produto Vetorial: Dados os vetores ~u = x1~i+y1~j+z1~k, ~v = x2~i+y2~j+z2~k
e ~w = x3~i+ y3~j+ z3~k, chama-se duplo produto vetorial dos vetores ~u, ~v e ~w ao vetor
~u× (~v × ~w).
Observac¸a˜o: O produto vetorial na˜o e´ associativo: ~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w.
Decomposic¸a˜o do Duplo Produto Vetorial: E´ poss´ıvel decompor o duplo produto
vetorial na diferenc¸a de dois vetores com coeficientes escalares:
~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w
Esta fo´rmula pode ser escrita sob a forma de determinantes:
~u× (~v × ~w) =
∣∣∣∣ ~v ~w~u · ~v ~u · ~w
∣∣∣∣
60
2.10.1 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~a = (3,− 1,1),~b = (1,2,2) e ~c = (2,0,− 3), calcule (~a,~b,~c).
2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores ~u = (2,m,0), ~v = (1, − 1,2) e
~w = (−1,3,− 1) sejam coplanares?
3. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores ~i,~j,~k.
4. Determine o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores ~u = (0, −
1,2), ~v = (−4,2,− 1) e ~w = (3,4,− 2).
5. Calcular o volume do Tetraedro de baseABC e ve´rtice P , ondeA(2,0,0), B(2,4,0), C(0,3,0)
e P (2,− 2,9).
2.10.2 Lista 2
1. Dados os vetores ~u = (2,3,− 1),~v = (4,− 2,− 3), determinar −→x de modo que
4−→x − 2−→v = −→x + (−→u · −→v )−→u .
2. Dados os vetores ~u = (3,− 2,4), ~v = (1,2,− 4), calcular
(a) (3~u− ~v) · (~v − 4~u)
(b) (~u+ 3~v).(~u− ~v)
3. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcular:
(a) (2~u− 3~v) · ~u
(b) (~u+ ~v) · (~v − 4~u)
4. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~u = (2,4,5) sobre o eixo x?
5. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~a = (4,5,− 3) sobre o eixo y?
6. Determinar o vetor −→v paralelo ao vetor −→u = (1,3,− 1) tal que −→v · −→u = 44.
7. Encontre o vetor projv~u:
(a) ~v = 2~i− 4~j +√5~k,~u = −2~i+ 4~j −√5~k
(b) ~v = 10~i+ 11~j − 2~k, ~u = 3~j + 4~k
(c) ~v = 5~j − 3~k, ~u =~i+~j + ~k
61
8. Seja os seguintes vetores ~a = (3,2,2), ~b = (0,1,2) e ~c = (3,1,1). Calcular a
projec¸a˜o do vetor:
(a) ~m = (2~a−~b) sobre ~c.
(b) ~b sobre o eixo Oy ( ou sobre (~j)).
9. Determine o vetor projec¸a˜o de ~u = (2,3,4) sobre ~v = (1,− 1,0).
10. Encontre os aˆngulos entre os vetores:
(a) ~u = 2~i+~j, ~v =~i+ 2~j − ~k
(b) ~u =
√
3~i− 7~j, ~v = √3~i+~j − 2~k
11. Encontre a medida dos aˆngulos do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(-1,0), B(2,1),
C(1,-2).
12. Se ~u = 2~i−~j + 4~k, ~v = 2~i+ 6~j − 2~k e ~w = −2~i+ 2~k, determinar:
(a) |~u× ~w|
(b) (2~v)× (3~u)
(c) (~u× ~w) + (~w × ~v)
13. Dados os pontos A(3,2,1), B(3,0,5) e C(2,-1,-1), determinar o ponto D tal que
(
−→
AD) = (
−→
BC)× (
−→
AC).
14. Dados os vetores ~u = (6,− 2,1) e ~v = (2,− 2,0), calcular:
(a) A a´rea do paralelogramo determinado por ~u e ~v.
(b) A altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor ~v.
15. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo (
−→
AB) = (1, − 1,3) e (
−→
AD) =
(3,− 3,2).
16. Sejam ~u = 5~i−~j +~k, ~v = ~j − 5~k, ~w = −15~i+ 3~j − 3~k. Quais vetores, se e´ que
existem, sa˜o (a) perpendiculares? (b) paralelos? Justifique.
17. Dados os vetores ~u = (2,− 1,3) e ~v = (2,3,3) e ~w = (2,0,− 4), calcular:
(a) (~u,~v,~w)
(b) (~w,~u,~v)
62
18. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:
(a) ~u = (2,2,k) e ~v = (2,0,1) e ~w = (k,4,k).
(b) ~u = (2,k,2) e ~v = (1,0,k) e ~w = (3,− 1,1)).
19. Um paralelep´ıpedo e´ determinado pelos vetores ~u = (3, − 1,4),~v = (2,1,0) e
~w = (−2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa a` base definida pelos
vetores ~u e ~v.
20. Sejam A(2,4,-2), B(6,0,1) , C(3,-2,1) e D(6,1,3) ve´rtices de um tetraedro.
Calcular o volume deste tetraedro.
21. Sejam A(2,1,6), B(4,1,3) , C(1,16,2) e D(3,1,1) ve´rtices de um tetraedro.
Calcular o volume deste tetraedro.
22. Sejam os vetores ~u = (2,1,0), ~v = (1,0,2) e ~w1 = 2~u − ~v, ~w2 = 3~v − 2~u, e
~w3 = ~i +~j + 2~k. Determinar o volume do paralelep´ıpedo definido por ~w1, ~w2,
~w3.
23. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1) , determinar o
valor de m para que seja de 20 u.v o volume do paralelep´ıpedo
determinado
pelos vetores
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD.
24. Dados os vetores na˜o nulos ~u, ~v, ~w, use as notac¸o˜es do produto escalar e do
produto vetorial, conforme seja apropriado:
(a) A projec¸a˜o vetorial de ~u em ~v.
(b) O volume do paralelep´ıpedo determinado por ~u, ~v e ~w.
25. Quatro ve´rtices consecutivos de um paralelep´ıpedo sa˜oA(1, 4, 12), B(6,−8, 14), C(−5, 12, 6)
e D(9, 18, 15). Calcule o volume desse paralelep´ıpedo.
26. Do tetraedro de arestasOA, OB eOC, sabe-se:
−→
OA = (x,3,4),
−−→
OB = (0,4,2),
−→
OC =
(1,3,2). Calcule x para que o volume desse tetraedro seja igual a 2u.v.
27. Encontre o vetor ~u tal que ~u × (~i−~j) = 2(~i +~j − ~k), tal que o mo´dulo de −→u
seja
√
6.
28. Determinar o vetor ~m = (a,b,c), tal que:
~m · (2,3,4) = 9
~m× (−1,1,− 1) = (−2,0,2)
63