Lista de Exercícios 1

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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
Segunda lista de exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica - 2012.1
Prof. Andre´ Contiero
1. Escreva as equac¸o˜es vetorial e parame´trica da reta r : 3x+ 5y − 10 = 0.
2. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ perpendicular a` reta com equac¸a˜o 3x−5y+11 = 0 e que passa pelo ponto
P = (−4, 1).
3. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P = (2, 4) e que forma um aˆngulo de 30o com o eixo-x.
4. Encontre os pontos da reta x+ 3y − 3 = 0 cuja distaˆncia a` origem seja igual a 3.
5. Calcule o aˆngulo formado pelas retas r e s, nos casos:
(a) r : 3x− 5y + 3 = 0 e s : x+ 8y − 4 = 0;
(b) r : y = 4 e s : 7x− 2y − 13 = 0.
6. Determine o valor de m de maneira que a reta 3x+my + 7 = 0 passe pelo ponto P = (3,−2).
7. Descreva o conjunto formado pelos pontos (2t− 1,−t+ 2), onde t varia no conjunto dos nu´meros reais.
8. Mostre que o conjunto dos pontos equidistantes a`s retas r1 : x− 3y = 0 e r2 : 2x− y− 5 = 0 e´ unia˜o de duas
retas. Dica: Tais retas sa˜o as bissetrizes de certos aˆngulos formados por r1 e r2.
9. Considere a reta r : x−3y+10 = 0, encontre a equac¸a˜o da reta que passa por P = (3, 1) e que seja ortogonal
a r.
10. Encontre o ponto da reta r : x− 3y + 10 = 0 que esta´ a` distaˆncia mı´nima do ponto P = (3, 1).
11. Encontre o ponto de intersec¸a˜o entre as treˆs retas: r1 : x − 2y − 10 = 0, r2 : 3x − 4y − 23 = 0 e r3 :
2x+ 10y + 29 = 0.
12. Mostre que um ponto pertence a uma reta se, e somente se, a distaˆncia deste ponto a` reta e´ zero.
13. Mostre que cada uma das coˆnicas determinadas pelas equac¸o˜es abaixo e´ uma circunfereˆncia:
(a) x2 + y2 − 4x− 6y − 3 = 0;
(b) x2 + y2 + 3x+ 9y + 10 = 0.
Dica: Complete quadrados.
14. Achar a equac¸a˜o da circunfereˆncia na qual os pontos A = (1, 9) e B = (−3, 5), sa˜o diametralmente opostos.
15. Determinar a equac¸a˜o da circunfereˆncia que passa pelos pontos (0, 0), (4, 0) e (0, 2).
16. Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia circunscrita ao triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 4), B = (3,−2), C = (7, 2).
17. Determine a equac¸a˜o da el´ıpse cujos focos sa˜o F1 = (0, 0) e F2 = (4, 4) e cujo eixo maior e´ 2a = 8.
18. Encontre os focos da el´ıpse dada pela equac¸a˜o: 4x2 + 9y2 + 16x− 18y − 11 = 0.
19. Encontre os focos da hipe´rbole cuja equac¸a˜o e´ 16x2 − 9y2 + 576 = 0.
20. Em cada um dos casos abaixo encontre as coordenadas do foco e a equac¸a˜o da diretriz da para´bola dada pela
equac¸a˜o:
(a) y2 = 8x;
(b) x2 = 4y.
21. Determine uma translac¸a˜o que transforma a reta r : 3x + 4y = 0 na reta r′ : 3x + 4y − 6 = 0. Quantas
translac¸o˜es transformam r em r′? Interprete geometricamente tal quantidade de translac¸o˜es.
22. Determine uma translac¸a˜o que transforma o ponto (2, 3) no ponto (7,−3). Mostre que so´ existe uma translac¸a˜o
que satisfaz isso.
23. Determine a rotac¸a˜o (no sentido anti-hora´rio) que transforma o vetor −→v = (1, 0) no vetor −→u = (−
√
2
2 ,
√
2
2 ).