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ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Cálculo 
 Prof. Sérgio Santos 
 
ASSOCIAÇÃO TERESINENSE DE ENSINO – ATE. 
FACULDADE SANTO AGOSTINHO – FSA. 
COORDENAÇÃO DE CURSO ENGENHARIA ELÉTRICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE CÁLCULO NÚMERICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TERESINA, FEVEREIRO DE 2013. 
ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Cálculo Numérico 
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IMPORTÂNCIA E OS OBJETIVOS DO CÁLCULO NUMÉRICO 
 
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados 
para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se 
aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto 
precisam ser resolvidos numericamente. 
 
O que isso quer dizer? Vamos tomar um exemplo para entender melhor os objetivos do 
Cálculo Numérico. 
 
Seja um circuito elétrico composto de uma fonte de tensão (uma pilha, por exemplo) e um 
resistor, como ilustrado na Figura 1.1. Digamos que desejamos obter a corrente que circula 
no circuito, dado o valor da tensão V e da resistência R. O primeiro passo é formular um 
modelo matemático para o nosso sistema físico (o circuito), e encontrar a solução do 
problema representado por esse modelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso do circuito da Figura 1.1, o modelo matemático também é bastante simples. 
Utilizando-se a Lei de Kirchoff (não se preocupe com essa lei caso você não a conheça), 
teremos a seguinte equação para o circuito: 
 (1.1) 
 
Esse é o nosso modelo matemático para o circuito (sistema físico). O modelo apresenta uma 
equação bastante simples que tem uma solução exata. Portanto, nosso problema (encontrar 
a corrente elétrica do circuito) pode ser resolvido de maneira exata, cuja solução é dada por: 
 (1.2) 
 
Por exemplo, se V=10 V e R=100 , teremos que i=0,1A. 
 
Como esse problema tem uma solução exata, não é preciso utilizar os métodos do cálculo 
numérico para resolvê-lo. Porém, digamos que outro componente eletrônico seja incluído no 
circuito: um diodo semicondutor. Esse dispositivo tem uma curva característica, isto é, a 
tensão nesse componente em função da corrente, que é dada por: 
 
 (1.3) 
 
onde k e Is são constantes, q é a carga do elétron e T a temperatura do dispositivo. Essa 
equação corresponde ao modelo matemático do diodo (não se preocupe em entender esta 
equação, pois isto é só um exemplo). 
 
Portanto, ao se incluir o diodo no circuito da Figura 1.1, tem-se a seguinte equação 
descrevendo o comportamento da corrente elétrica no circuito: 
 
 (1.4) 
 
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A inclusão desse novo componente no circuito tornou nosso problema mais complicado e de 
difícil solução analítica. O que isso quer dizer? Tornou-se difícil se obter uma expressão para 
i, principalmente quando comparado ao caso anterior, quando tínhamos simplesmente i=V/R. 
 
Como resolver esse problema então? Como obter o valor de i? A solução está na 
utilização de métodos numéricos que serão aprendidos neste curso. 
 
A IMPORTÂNCIA DO CURSO DE CÁLCULO NUMÉRICO 
Ao resolver um problema matemático numericamente, o mais comum é o profissional utilizar 
um pacote computacional. Porém, ele terá que tomar uma série de decisões antes de 
resolver o problema. E para tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de métodos 
numéricos. O profissional terá que decidir: 
 Pela utilização ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para se 
resolver este problema?); 
 Escolher o método a ser utilizado, procurando aquele que é mais adequado para o seu 
problema. Que vantagens cada método oferece e que limitações eles apresentam; 
 Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber exatamente 
o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método 
é aplicado. 
 
OBJETIVOS DO CURSO: 
Os principais objetivos do curso são: 
 Apresentar diversos métodos numéricos para a resolução de diferentes problemas 
matemáticos. Pretende-se deixar bem claro a importância desses métodos, 
mostrando: 
 essência de um método numérico; 
 a diferença em relação a soluções analíticas; 
 as situações em que eles devem ser aplicados; 
 as vantagens de se utilizar um método numérico; 
 e as limitações na sua aplicação e confiabilidade na solução obtida. 
• Melhorar a familiarização e “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu 
lado prático e sua utilidade no dia-a-dia de um engenheiro. Rever conceitos já vistos, 
exercitá-los e utilizá-los de maneira prática; 
• Apresentar ao aluno maneiras práticas de se desenvolver e utilizar métodos numéricos. 
Isso significa mostrar como usar esses métodos numéricos na calculadora e em um 
computador; 
• Treinar o aluno a aprender outros métodos numéricos por conta própria. No seu dia-a-
dia profissional, ele pode se deparar com um problema cuja solução depende de um método 
numérico que não foi visto no curso. Portanto, ele deverá ser capaz de encontrar a literatura 
pertinente, estudar o método e aprender a sua utilização de maneira conceitual e prática 
(usando um aplicativo computacional) por conta própria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 01 – NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 – INTRODUÇÃO 
 
De uma maneira geral, a resolução de um problema de qualquer área do conhecimento 
científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento do fenômeno físico 
envolvido na qual, usando conhecimentos já estabelecidos, buscamos, através de 
simplificações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático que represente, 
com a maior fidelidade possível, o problema que desejamos tratar. Esta etapa é 
caracterizada como fase da modelagem do modelo matemático. 
 
Com o problema representado através de um modelo matemático, buscamos, para a sua 
resolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numérico 
aproximado. 
 
Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um método exato, isto é, um 
método que apresenta a solução exata para o modelo, pelo fato de este envolver um número 
muito grande de operações elementares (adição, multiplicação, subtração e divisão) e, sendo 
estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar
dados, 
podemos cometer erros. 
 
Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo matemático, pela 
resolução através de um método numérico, além dos erros no processamento anteriormente 
mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fato de utilizarmos, para a 
resolução do modelo matemático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada 
como fase de resolução do modelo matemático 
 
Podemos entender as duas fases descritas anteriormente através do esquema representado 
na Figura 1.1. 
 
Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase da resolução 
de um problema. Os erros cometidos devido à mudança da base de processamento, 
os erros de representação, devido ao sistema utilizado pelos computadores para 
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armazenar dados numéricos; os erros de arredondamento e truncamento; e erros 
absolutos e relativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 ERROS NA FASE DA MODELAGEM 
 
 
 
São os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenômeno 
da natureza que estivermos observando possa ser representado por um modelo matemático 
e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis. 
 
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NUMÉRICOS 
 
EXEMPLO 1: FALHA NO LANÇAMENTO DE MÍSSEIS 
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) 
Limitação na representação numérica (24 bits) 
Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento 
 Falha na interceptação de um “Scud” iraquiano 
• Scud atinge base americana 
• 28 mortos 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: EXPLOSÃO DE FOGUETES 
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane) 
Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) 
Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento 
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões 
Explosão logo após lançamento 
• Desenvolvimento de 10 anos 
 
 
 
EXEMPLO 3: AFUNDAMENTO DE PLATAFORMA 
MARÍTIMA (23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – 
Plataforma Sleipner)Parcialmente causada por erro de 
análise no elemento finito 
Prejuízo: U$ 700 milhões 
Plataforma 57000 tons + 40000 tons equipamento, 
200 pessoas 
 
 
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1.3 ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO 
 
São erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por exemplo, um 
computador, para processarmos os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o 
modelo matemático. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade 
limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas 
operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão 
 
Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança de base e 
erros de representação, apresentados a seguir: 
 
1.3.1. ERROS NA MUDANÇA DA BASE 
 
A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numéricos no sistema 
binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos, 
estes são transformados em outra base de representação. 
 
Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de erros, em razão da 
limitação da representação do equipamento computacional que estamos utilizando para o 
processamento dos dados numéricos. 
 
1.3.1.1 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS 
 
Em geral qualquer número pode ser decomposto numa soma dos dígitos que o constitui (d) 
vezes potências da sua base (β) conforme indicado abaixo: 
 
 (N)B = (dndn-1dn-2 ....d0,d-1d-2 .... d-m)β = dnβ
n + dn-1β
n-1 + dn-2β
n-2 + ....+ d0β
0 + d-1β
-1 + d-
2β
-2 + d-mβ
-m 
Onde os dígitos dj pertencem aos números naturais e satisfazem a condição: 0 ≤ dj ≤ (β-1) 
 
Uma base β dispõe dos algarismos entre 0 e (β -1). Assim, a base 8 dispõe dos algarismos 0 
a 7. 
 
Se β = 10, então os dígitos utilizados são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9; 
Se β = 5, então os dígitos utilizados são: 0,1,2,3 e 4; 
Se β = 2, logo os dígitos utilizados são: 0 e 1. 
 
1.3.1.1.1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL OU BASE 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com 
potências de 10. 
 
EXEMPLO 1: 
1537 = (1537)10 = 1 x 10
4-1 + 5 x 104-2 + 3 x 104-3 + 7 x 104-4 = 1 x 103 + 5 x 102 + 3 x 
101 + 7 x 100. 
 
EXEMPLO 2: 
36,189 = (36,189)10 = 3 x 10
1 + 6 x100 + 1 x 10-1 + 8 x 10-2 + 9 x 10-3. 
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EXEMPLO 3: 
6,023 x 1023 = (6,023 x 1023)10 = 6 x 10
23 + 0 x 1022 + 2 x 1021 + 3 x 1020. 
 
EXEMPLO 4: 0,625 = 
 
 
 + 
 
 
 + 
 
 
 = 6 x 10-1 + 2 x 10-2 + 5 x 10-3. 
 
1.3.1.1.1.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Decomponha os seguintes números: 
a) 25384 
b) 7,1469 
c) 52,1236 x 1015 
d) – 0,145 x 1030 
 
1.3.1.1.2. SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO OU BASE 2. 
 
 Nesse caso, todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com 
potência de 2. 
 
EXEMPLO 1: (10111)2 = 1 x 2
4 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 22 + 1 x 20. 
 
EXEMPLO 2: (10,1)2 = 1 x 2
1 + 0 x 20 + 1 x 2-1. 
 
1.3.1.1.2.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Decomponha os seguintes números: 
a) (01101)2 
b) (111,001)2 
 
1.3.2. –CONVERSÃO DE NÚMEROS. 
 
Daremos importância a duas bases, pois a base decimal é a base usada para que o usuário 
se comunique com máquinas de calcular e computadores e a base binária é a base usada 
pelas máquinas nas operações. 
 
 
1.3.2.1. CONVERSÃO DE NÚMERO INTEIRO DA BASE 2 PARA A BASE 10. 
 
EXEMPLO 1: (1100101)2. 
1º passo: Escrever na sua forma polinomial: 
(1101101)2 = 1.26 + 1.25 + 0.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20. 
 
2º passo: Efetuar as operações indicadas, assim resulta: 
1.64 + 1.32 + 0.16 + 1.8 + 1.4 + 0.2 + 1.1 = 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 109 (na base 
10). 
 
EXEMPLO 2: (110,11)2 
(110,11)2 = 1 x 2
2 + 1 x 21 + 0 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 = 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 + 1 x 0,5 + 
1 x 0,25 = 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 6,75 = (6,75)10 
 
1.3.2.1.2. EXERCÍCIO PROPOSTO 
Converta os números abaixo para a base 10 
a) 1111111(2) 
b) 10001(2) 
c) 110011(2) 
d) 10111(2). 
 
1.3.2.2. CONVERSÃO DE NÚMERO INTEIRO DA BASE 10 PARA A BASE 2. 
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a) MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS (PARTE INTEIRA DO NÚMERO) 
1º passo: divide-se o número (inteiro) por 2; 
2º passo: divide-se por 2, o quociente da divisão anterior; 
3º passo: Repete o processo até o último quociente ser igual a 1. 
 
EXEMPLO 1: 23 = (23)10 
 
 
4º passo: escrever o número utilizando o último quociente e mais os restos. 
23 = (10111)2 
 
 
EXEMPLO 2: 2345 
 
 
2345 = (100100101001)2 
 
b) MÉTODO DAS MULTIPLICAÇÕES SUCESSIVAS (PARTE FRACIONÁRIA DO 
NÚMERO) 
1º passo: multiplica-se o número (fracionário) por 2;
2º passo: do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária e a 
parte fracionária é novamente multiplicada por 2; 
3º passo: repete a multiplicação até que a parte fracionária do último produto seja igual a 
zero. 
 
EXEMPLO 3: 0,1875 
 
0,1875 = (0,011)2 
 
 
 
 
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EXEMPLO 4: 0,1 
 
 
Nesse caso concluímos que o número (0,1)10 NÃO tem representação binária finita!!! Por 
mais moderno que seja o computador ele nunca vai saber exatamente o que significa o 
número (0,1)10, pois sua conversão para binário sempre acarretará numa aproximação. 
 
Obs.: O fato de um número não ter representação finita no sistema binário pode acarretar a 
ocorrência de erros aparentemente inexplicáveis nos cálculos dos dispositivos eletrônicos. 
 
1.3.2.2.1. EXERCÍCIO PROPOSTO: 
Converta os números abaixo para a base 2. 
a) 200; 
b) 158,23 
c) 97 
d) 78,78 
e) 0,5225 
 
1.4 ERROS DE REPRESENTAÇÃO 
 
Na construção de um equipamento computacional, uma questão importante a ser 
considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para representar os dados 
numéricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada número é armazenado em 
uma posição que consiste de um sinal que identifica se o número é positivo ou negativo e um 
número fixo e limitado de dígitos significativos. 
De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valores numéricos: 
 
1.4.1. SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE NORMALIZADO 
 
A representação de números reais mais utilizada em máquinas é a do ponto flutuante 
normalizado. Esse número tem três partes: o sinal, a parte fracionária (mantissa) e o 
expoente. 
 
 
Sendo: 
di's : dígitos da parte fracionária, d1 ≠ 0, 0 ≤ di ≤ β-1 
β: base (em geral 2, 10 ou 16), 
t: número de dígitos na mantissa. 
e: expoente inteiro. 
 
com d1 ≠ 0 , pois é o primeiro algarismo significativo de x. 
 
EXEMPLO 1: Considere o número x = 0,2578 x 105, temos: 
a) sina: positivo; 
b) parte fracionária (mantissa): 2578; 
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c) números de dígitos da mantissa (t) = 4; 
d) expoente inteiro (e) = 5; 
e) base(β)= 10. 
 
EXEMPLO 2: Escreva os números reais abaixo em notação de um sistema de aritmética de 
ponto flutuante. 
a) 0,35 = 0,35 x 100 
b) – 5,172 = - (0,5172 x 101) 
c) 0,0123 = 0,123 x 10-1 
d) 5391,3 = 0,53913 x 104 
e) 0,0003 = 0,3 x 10-3 
 
Notação: para representar um sistema numérico em ponto flutuante normalizado, na base β 
com t dígitos significativos e com limites dos expoentes m e M, usamos: 
 
SPF (β; t;m;M). 
 
EXEMPLO 3. Considere o sistema SPF (10; 3; 2; 2), logo 
a) Base (β)= 10 
b) Números de dígitos da mantissa (t) = 3 
c) Expoente mínimo (m) = -2 
d) Expoente máximo (M) = 2 
 
 Neste sistema, um número será representado por: 0.d1d2d3 x 10
e, com -2 < e < 2. 
 
EXEMPLO 4. Considere o sistema SPF (10; 5; 6; 6), logo 
a) β = 10 b) t = 5 c) m = -6 d) M = 6 
 
 Neste sistema, um número será representado por: 0.d1d2d3d4d5 x 10
e, com -6 < e < 6. 
 
 
EXEMPLO 3. Considere o sistema F (10; 3; 2; 2). Representem neste sistema os números 
do exemplo 2. 
a) 0,35 = 0,350 x 100 
b) – 5,172 = - (0,517 x 101) 
c) 0,0123 = 0,123 x 10-1 
d) 5391,3 = 0,539 x 104 – não pode ser representado neste sistema, pois o expoente (e) é 
maior que 2, causando OVERFLOW 
e) 0,0003 = 0,300 x 10-3 – não pode ser representado neste sistema, pois o expoente (e) é 
menor que -2, causando UNDERFLOW. 
 
Um erro de OVERFLOW ocorre quando o número é muito grande para ser representado, já 
um erro de UNDERFLOW ocorre na condição contrária, ou seja, quando um número é 
pequeno demais para ser representado. 
 
Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma genérica por SPF (β; 
t;m;M), temos: 
 
a) O menor positivo exatamente representável, não nulo, é o real formado pela menor 
mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, isto é: 
 
 menor = 0,100.... 0 x βm 
 
 (t -1) vezes. 
 
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b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissa 
multiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é: 
 
 maior = 0,(β -1)(β - 1) ... (β -1) xβM 
 
 t vezes 
 
EXEMPLO 1: Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definidos 
por SPF(10, 4, -5, 5), assim 
a) menor número positivo: 0,1000 x 10-5 
b) maior número positivo: 0,9999 x 105 
 
 
 
 
 
1.4.1.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
01. Escreva os números reais abaixo em notação de um sistema de aritmética de ponto 
flutuante 
a) 14,256 
b) 0,000078 
c) 25789,1 
d) – 0,02078 
 
02. Considere o sistema F (10; 4; 3; 3). Represente neste sistema os números, por 
arredondamento e truncamento 
a) x1 = 4326.24 
b) x2 = - 0,0013223 
c) x3 = 125.64 
d) x4 = 57481.23 
e) x5 = 0.00034 
03. Represente no sistema F(10,3,1,3) os números do exercício acima (item 2). 
 
 
 
 
1.5. NÚMERO APROXIMADO 
Um número X’ é dito uma aproximação para o número exato X se existe uma pequena 
diferença entre eles. Geralmente, nos cálculos os números exatos não são conhecidos e deste 
modo são substituídos por suas aproximações. 
 
Dizemos que X’ é um número aproximado por falta do valor exato X se X’ < X. Se X’ > X 
temos uma aproximação por excesso. 
 
EXEMPLO 1: 
Como 1,41 <√2 < 1,42 temos que 1,41 uma aproximação de √2 por falta e 1,42 uma 
aproximação de √2 por excesso. 
 
1.6. ERROS ABSOLUTO, RELATIVO E PERCENTUAL. 
 
1.6.1. ERRO ABSOLUTO 
DEFINIÇÃO: Seja X o valor exato de uma medida e X’ um valor aproximado. Chamamos de 
ERRO ABSOLUTO referente à medida X (EAX) a diferença entre o valor exato e o valor 
aproximado. Isto é: EAX = X – X’. 
 
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EXEMPLO 1: Seja X = 2 = 1,414213562..., logo 1,41 < 2 < 1,42. Temos também: 
2 – 1,41 = + 0,00421356 ... < 0,01 
2 – 1,42 = - 0,00578644 ... < 0,01 
Então: 
|EAX| = |2 – X’| < 0,01, onde 0,01 é a amplitude do intervalo [1,41; 1,42]. 
 
EXEMPLO 2: Seja = 3,1415926 ..., logo 3,141 < < 3,142 
 - 3,141 = 0,0005926... < 0,001 
 - 3,142 = - 0,0004074... < 0,001 
Então 
|EAX| = | – X’| < 0,001, onde 0,001 é a amplitude do intervalo [3,141; 3,142]. 
 
EXEMPLO 3: Sejam X’ = 30.0000 e Y’ = 1.0000 as aproximações de X = 30.1358 e Y = 
1.1358 respectivamente. 
EAX = 30.1358 – 30.0000 = 0.1358 
EAY = 1.1358 – 1.0000= 0.1358 
 
Os dois erros absolutos são iguais. Qual o mais preciso? 
 
1.6.2. ERRO RELATIVO 
DEFINIÇÃO. Define-se o ERRO RELATIVO de uma grandeza X (ERx), o erro absoluto 
dividido pelo valor aproximado usado para essa grandeza. 
Escrevemos:
ERx = EAx ÷ X’. 
 
EXEMPLO 1: Seja um número X = 20 e um valor aproximado X’ = 20,1. Assim EAx = 20 - 
20,1 = 0,1, logo 
ERx = 0,1 ÷ 20,1 0,00497 = 4,97 x 10
-3. 
 
EXEMPLO 2: Considere um número Y = 0,004 e Y’ = 0,006. 
Assim EAy = 0,004 – 0,006 = - 0,002 
ERy = - 0,002 ÷ 0,006 0,3333, ou seja | -0,3333| = 0,3333. 
 
EXEMPLO 3: Sejam X’ = 30.0000 e Y’ = 1.0000 as aproximações de X = 30.1358 e Y = 
1.1358 respectivamente. 
Assim EAX = 30.1358 – 30.0000 = 0.1358 e EAY = 1.1358 – 1.0000= 0.1358 
Logo. 
ERX = 0.1358 ÷ 30.0000 = 0,00452667 
ERY = 0.1358 ÷ 1.0000 = 0,1358 
 
1.6.3. ERRO PERCENTUAL 
Definição: Define-se o ERRO PERCENTUAL como o erro relativo em percentual. 
EPx = ERx x 100% 
 
1.6.4. MEDIDA DE MAIOR PRECISÃO. 
DEFINIÇÃO. Uma medida Y tem maior precisão que outra medida X se o valor absoluto do 
erro relativo da medida Y for menor que o erro relativo da medida X. 
 ERy < ERx 
 
EXEMPLO 1: Sejam X’ = 30.0000 e Y’ = 1.0000 as aproximações de X = 30.1358 e Y = 
1.1358 respectivamente. Com EAX = 30.1358 – 30.0000 = 0.1358 e EAY = 1.1358 – 1.0000= 
0.1358 
 
ERX = 0.1358 ÷ 30.0000 = 0,00452667 
ERY = 0.1358 ÷ 1.0000 = 0,1358 
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 Aproximação de X é mais precisa, porque ERX < ERY. 
 
1.6.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.6.5.1. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0.00004 para um valor exato de 
0.00005. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso. 
 
 
 
1.6.5.2. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 100000 para um valor exato 
de101000. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso. 
 
 
 
1.6.5.3. Considerando os dois casos acima, onde se obteve uma aproximação com maior 
precisão? Justifique sua resposta 
 
 
 
Com base em f( x + x) – f (x) f’(x)dx, responda as questões abaixo: 
 
1.6.5.4. Sejam a função f(x) = 3x2 – 2x + 4, x = 1 e dx = x = 0,02, calcule: 
a) y = f( x + x) – f (x), com 4 casas decimais; 
b) dy = f’(x)dx; 
c) o erro absoluto (EA) = y – dy. 
 
 
 
 
1.6.5.5. O raio de uma esfera de aço mede 1,5 cm e sabe-se que o erro cometido na 
medição é maior ou igual a 0,1 cm . 
Estimar o erro possível no cálculo do volume da esfera. 
Volume da esfera (Ve) = 4/3 r
3. (use = 3,141) 
 
 
 
 
1.6.5.6. A medida de um lado de um cubo é encontrado com 7 cm, com uma possibilidade de 
erro de 0,01 cm. Encontre o erro aproximado no cálculo do volume desse cubo se essa 
medida do lado fosse usada. 
 
 
 
 
1.6.5.7. Calcule , usando 5 algarismos decimais. 
 
 
 
 
1.6.5.8. Encontre o erro absoluto da questão anterior. 
 
 
 
 
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1.7. TRUNCAMENTO. 
1.7.1. DEFINIÇÃO: Truncar um número na casa di é desconsiderar as casas di+j ( j 
=1,... ). 
 
EXEMPLO 1: Aproximar truncado na quarta casa decimal, sendo = 3,1415926535... 
 
 = 3,1415(parte desconsiderada – 926535 ...) 
 
EXEMPLO 2: Calcule o valor aproximado e0 + e1 + e2 truncado na terceira casa decimal, 
sendo e = 2,718281828 ... 
 
 e0 + e1 + e2 = 2,1780 + 2,7181 + 2,7182 = 1 + 2,718 + 7,389 = 11,107. 
 
1.7.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 
a) Aproximar + + truncado na quarta casa decimal, sendo = 1,414214 ..., = 
1,732051 .... e = 2,236068 ... 
 
 
 
b) Aproximar 2sen72º + cos72º - [(tag72º)/2] truncado na terceira casa decimal, sendo 
sen72º = 0,9511. Cos72º = 0,3090 e tag72º = 3,0777 
 
 
 
1.7.3 ERROS DE TRUNCAMENTO: São erros provenientes de utilização de processos que 
deveriam ser infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor e que, por razões 
práticas, são truncados. 
 
1.8. ARREDONDAMENTO 
1.8.1. DEFINIÇÃO Arredondar um número na casa di é desconsiderar as casas di+j ( j =1, 
..., ) de tal forma que: 
di seja a última casa se di+1<5; 
di + 1 seja a última casa se di+5 5; 
 
EXEMPLO 1: Arredondar na quarta casa decimal, sendo que = 3,1415926535... 
 
 = 3,1416, pois a quarta casa é 5, assim devemos somar 5 + 1 = 6 
 
EXEMPLO 2: Arredondar e na sexta casa décima, sendo que e = 2,718281828... 
 
 e = 2,718281, pois a sexta casa é 1 < 5. 
 
1.8.2 ERROS DE ARREDONDAMENTO: São os erros originados pela representação dos 
números reais utilizando-se apenas um número finito de casas decimais. 
 
Como se sabe, desde a mais simples calculadora até o mais potente computador, utiliza 
apenas um número finito de casas decimais para representar um número real. (número real 
é denominado número de ponto flutuante nas linguagens de programação). 
Dizemos então que os equipamentos eletrônicos utilizam nos cálculos a chamada aritmética 
finita. 
 
1.9. ERROS DE TRUNCAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO 
FLUTUANTE. 
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Num sistema de Aritmética de Ponto Flutuante, a máquina estabelece o número de dígitos da 
mantissa. 
Conforme já foi definido, o truncamento se dá com a eliminação dos dígitos que ultrapassam 
a quantidade de dígitos usada pela máquina. 
 
EXEMPLO 1: Seja então um número X = 0,2342345 x 103 que deve ser truncado no 
quarto algarismo após a vírgula, ou seja, a partir do quinto algarismo deve ser 
desconsiderado. 
Deste modo X’ = 0,2342 x 103, e em consequência: 
EAx = (0,2342345 x 10
3 – 0,2342 x 103 = 0,0000345 x 103 = 0,0345 = 0,345 x 10-1. 
ERx = 0,0345 ÷ 234,2 = 0,00147 ou EPx = 0,147%. 
 
EXEMPLO 2: Seja então um número X = 0,358741 x 103 que deve ser truncado no terceiro 
algarismo após a vírgula. 
Deste modo X’ = 0,358 x 103, e em consequência: 
EAx = (0,358741 x 10
3 – 0,358 x 103 = 0,000741 x 103 = 0,741 = 7,41 x 10-1 . 
ERx = 0,741 ÷ 358 =0,00207 ou EPx = 0,2070%. 
 
1.9.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.9.1.1. Calcule os valores absolutos dos erros absoluto e relativo devido ao truncamento 
num sistema de ponto flutuante que opera com 5 dígitos (mantissa). 
a) 0,231567 x 104 
b) 0,916354211 x 108. 
 
 
 
 
 
1.9.1.2. Faça uma estimativa (limite) dos valores absolutos dos erros absoluto e relativo 
devido ao truncamento em um sistema de ponto flutuante que opera com 3 dígitos, para: 
a) 0,61254 x 102. 
b) 0,214672 x 10-3. 
 
 
 
 
1.10. ERROS DE ARREDONDAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO 
FLUTUANTE 
 
EXEMPLO 1: Para os números X = 0.234587 x 106 e Y = 0.234521 x 106, num sistema que 
opera com 4 dígitos. 
Assim X’ = 0.2346(87) x 106 e Y’ = 0.2345(21) x 106. 
Note que em X’ o dígito 5 foi substituído por 6 pois 8 > 5 e em Y’ foi mantido o dígito 5 pois 2 
< 5. 
 
Para X = 0,234587 x 106, |EAx| = |X – X’| = | 0,234587 x 10
6 – 0,2346 x 106| = |-0,000013 
x 106| = |-0,13 x 102| = 0,13 x 102 
 
Para Y = 0,234521 x 106, |EAy| = |0,234521 x 10
6 – 0,2345 x 106| = 0,000021 x 106 = 0,21 
x 102 
 
Para X, |ERx| = 0,13 x 10
2 ÷ 0,2346 x 106 = 0,55 x 10-4 ou EPx = 0,0055% 
 
Para Y, |ERy | = 0,21 x 10
2 ÷ 0,2345 x 106 = 0,90 x 10-4 ou EPy = 0,0089% 
 
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1.11. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS EM PONTO FLUTUANTE. 
Dizemos então que os equipamentos eletrônicos utilizam nos cálculos a chamada aritmética finita. 
 Nestas operações, o arredondamento é realizado após a cada operação. 
 
Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de ponto 
flutuante com 3 algarismos significativos 
 
 
EXEMPLO 1: (11.4 + 3.18) + 5.05 
 (11.4 + 3.18) = 14.58, arredondando fica 14.6 
 14.6 + 5.05 = 19.65, arredondando fica 19.7 
Assim (11.4 + 3.18) + 5.05 = 19.7 
 
EXEMPLO 2: 11.4 + (3.18 + 5.05). 
 (3.18 + 5.05) = 8.23 
 
 11.4 + 8.23 = 19.63, arredondando fica 19.6 
Assim 11.4 + (3.18 + 5.05) = 19.6 
 
EXEMPLO 3: Sejam os números 0,7139, 0,5321 e 0,438. Suponha-se que as operações a 
seguir sejam processadas em uma máquina com 3 dígitos significativos, efetue: 
a) (0,3139 + 0,5321) – 0,438 
 0,846 – 0,438 = 0,408 
 
b) 0,3139 + (05321 – 0,438) 
 0,3139 + 0,094 =0,408 
 
1.11.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de ponto 
flutuante com 3 algarismos significativos 
a) (4,26 + 9,24) + 5,04 
 
 
 
b) 4,26 + (9,24 + 5,04) 
 
 
 
c) (4210 - 4,99) - 0,02 
 
 
 
 
d) 4210 - (4,99 + 0,02) 
 
1.12. ESTIMATIVA DE ERROS NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DE PONTO FLUTUANTE 
1.12.1. ADIÇÃO: 
 Sejam X = 5, X’ = 4, Y = 22 e Y’ = 20. Temos: 
EAx = 5 – 4 = 1 EAy = 22 – 20 = 2 
ERx = 1 ÷ 4 = 0,25 ERy = 2 ÷ 20 = 0,1 
 
 Qual o valor do erro absoluto e relativo da soma de X e Y? 
EA(x + y) = ( 5 + 22 ) – (4 + 20) = 27 – 24 = 3 = 1 + 2. 
 
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Assim: EA(x + y) = EAx + EAy 
 
ER(x+ y) = 3 ÷ 24 = 0,125. 
 
Com base nos dados acima, calcule o valor de ERx (
 
 
 + ERy (
 
 
) 
ERx (
 
 
 + ERy (
 
 
) = 0,25 (
 
 
 + 0,1 (
 
 
) = 0,25 x 0,16667 + 0,1 x 0,83333 = 
0,041668 + 0,08333 = 0,125. 
 
Assim: ER(x + y) = ERx (
 
 
 + ERy (
 
 
) 
 
1.12.2. SUBTRAÇÃO 
 
Analogamente, 
 
EA(x - y) = EAx - EAy 
 
ER(x - y) = ERx (
 
 
 - ERy (
 
 
) 
 
1.12.3. MULTIPLICAÇÃO 
 
EA(x y) x’ . EAy + y’ . EAx 
 
ER(x y) ERx + ERy 
 
 
 
1.12.4. DIVISÃO 
 
EA(x /y) 
 
 
 
 
ER(x y) ERx - ERy 
 
1.12.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 
1.12.5.1. Considere X = 0.5124 x 104, Y = 0.1230 x 102 e Z = 0.8867 x 103, para um 
sistema aritmético de ponto flutuante com 3 dígitos, calcule os erros absolutos(EA) e relativo 
(ER) ocorridos nas operações, usando no processo de arredondamento. 
a) X + Y 
b) Z.X 
c) 2 .X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO II - ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS 
 
Um problema particularmente importante na Matemática é o de se encontrar um valor para a 
variável livre x, dado um valor de y, tal que f(x) = y. 
 
2.1. DEFINIÇÃO: Dada uma função real f definida e contínua em um intervalo aberto I, 
chama-se de zero desta função em I, a todo r I , tal que f( r ) = 0. 
 
2.2. EXEMPLOS: 
a) 5 é zero da função f(x)= 2x – 10, pois f(5) = 2.5 – 10 = 10 – 10. 
 
b) 2 é zero da função da f(x) = x2 – 5x + 6, pois f(2) = 22 – 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0. 
 
2.3. ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO NO GRÁFICO 
 
Na análise gráfica de f(x), o zero ou raiz de f(x) equivale à abscissa r do ponto onde o gráfico 
de f(x) corta ou tangencia o eixo horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
No gráfico ao lado r1, r2 e r3 são raízes ou zeros de f(x). 
 
2.3.1. EXERCÍCIO PROPOSTO 
 Seja o gráfico de uma função. Tem quantas raízes reais no mínimo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4. OBTENÇÃO DAS RAÍZES REAIS DE QUALQUER EQUAÇÃO 
 
Sabemos que, para algumas equações, como, por exemplo, as equações polinomiais de 
segundo grau, existem fórmulas explícitas que dão as raízes em função dos coeficientes. No 
entanto, caso de polinômios de grau mais alto e no caso de funções mais complicadas, é 
praticamente impossível se achar os zeros exatamente. Por isso, temos de nos contentar em 
encontrar apenas APROXIMAÇÕES para esses zeros. 
 
Há vários métodos que nos ajudam a obter os zeros de uma função com uma precisão 
prefixada. 
 
Estes métodos constam de duas fases: 
 
1ª FASE: - LOCALIZAÇÃO OU ISOLAMENTO DAS RAÍZES. Nesta fase procura-se obter 
um intervalo que contenha a raiz. Usa-se um intervalo para cada raiz. 
 
2ª FASE: - REFINAMENTO. Nesta fase escolhida uma aproximação inicial no intervalo 
estabelecido na 1ª fase, melhorar a aproximação por processo iterativo (usando a 
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aproximação anterior) até que se obtenha uma raiz dentro da aproximação ou precisão 
prefixada. 
 
2.5. ISOLAMENTO DAS RAÍZES: Nesta fase é feita uma análise gráfica e analítica da 
função. É importante ressaltar que sucesso da 2ª fase depende fortemente da precisão desta 
análise. 
 
2.5.1. ANÁLISE GRÁFICA: é utilizada para a separação de raízes, ou seja, determinar o 
intervalo em que se encontra a raiz de uma função. 
Ela consiste em: 
• Escrever f como a diferença de funções g e h, ou seja, f = g − h onde possamos sem muito 
esforço o esboçar os gráficos das funções g e h; 
• Usar f(x) = 0 → g(x) = h(x); 
• Esboçar, da melhor maneira possível, os gráficos de g e h e determinar por inspeção os 
intervalos onde estão os pontos de interseção de g(x) e h(x), ou seja, os pontos onde g( ) 
= h( ). 
 
EXEMPLO 1: Delimitar os zeros da função f(x) = x2 – 2x – 1. 
Solução: 
f(x) = x2 – 2x – 1 x2 = 2x + 1 
Assim temos g(x) = f1(x) = x
2 e h(x)= f2 (x) = 2x + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função f(x) = x2 – 2x – 1 tem dois zeros, um no intervalo (-1,0) e outro no intervalo (2,3). 
 
EXEMPLO 02: Delimitar os zeros da função f(x) = ex + x2 − 2. 
Solução: 
f(x) = 0 → ex + x2 – 2 = 0 → ex = 2 – x2. 
Assim temos g(x) = ex e h(x) = 2 – x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Logo temos um zero de função entre - e 0 e outro entre 0 e , ou seja, (- , 0) e 
 ( 0, ). 
EXEMPLO 3: Delimitar os zeros da função f(x) = ln(x) + x. 
Solução: 
f(x) =0 ln(x) + x = 0 ln(x) = -x 
Assim g(x) = ln(x) e h(x) = -x.
Logo (0, 1). 
 
2.5.1.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Delimitar os zeros das funções abaixo: 
a) f(x) = x3 – 2x + 10. 
X -4 -3 -2 -1 
f(x) 
 
 
 
 
 
b) f(x) = xlnx – 3,2 
X 1 2 3 4 
f(x) 
 
 
 
 
2.5.2. ANÁLISE ANALÍTICA: baseada no teorema: 
TEOREMA 1: 
Seja f uma função contínua num intervalo [a, b]. 
 
Se f (a) . f (b)<0, então existe pelo menos um zero de f (x) entre a e b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O teorema acima afirma que f(a) . f(b) < 0 existirá obrigatoriamente uma raiz no intervalo 
[a, b]. 
 
É evidente que se f(a) . f(b) = 0, pelo menos um dos fatores f(a) e f(b) será uma raiz de 
f(x). 
Entretanto, se f(a) . f(b) > 0 não é garantida a não existência de raízes no intervalo [a, b]. 
 
O teorema acima afirma que f(a) . f(b) < 0 existirá obrigatoriamente uma raiz no intervalo 
[a, b]. 
 
É evidente que se f(a) . f(b) = 0, pelo menos um dos fatores f(a) e f(b) será uma raiz de 
f(x). 
 
Entretanto, se f(a) . f(b) > 0 não é garantida a não existência de raízes no intervalo [a, b]. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Se f(a) . f(b) > podemos ter várias situações: 
a) nenhuma raízes; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) duas raízes; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) uma raiz; 
 
 
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EXEMPLO 1. Seja o gráfico 
 
 
 
 
 
Usando as informações acima e observando o gráfico temos: 
a) Intervalo [a1, b1], f(a1) < 0 e f(b1) > 0  f(a1). f(b1) < 0  existe pelo menos uma raiz no 
intervalo [a1, b1]. 
 
No intervalo r1 é a única raiz no intervalo [a1, b1]. 
 
b) Intervalo [a2, b2], f(a2) = 0 e f(b2) < 0  f(a2). f(b2) = 0. Neste caso a2 ou b2 é raiz. Como 
pode ser notado a2 é raiz de f(x). 
 
c) Intervalo [a3, b3], f(a1) < 0 e f(b1) < 0  f(a1). f(b1) > 0. Apesar de o produto ser positivo 
existem duas raízes no intervalo, r2 e r3. 
 
d) Intervalo [b2, a3], f(b2) < 0 e f(a3) < 0  f(a3). f(b3) > 0 e no intervalo não existem raízes 
de f(x). 
 
OBSERVAÇÃO: uma forma de isolar as raízes de f usando os resultados anteriores é tabelar 
para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x). 
 
EXEMPLO 2: f(x) = x3 – 8x + 6 
 
Calculando f(x) para alguns valores de x temos: 
 
 
 
 
Observando a tabela verifica-se que ocorre mudança de sinal nos intervalos [-4, -3], [0, 1] e 
[2, 3]. Como a função é polinomial do terceiro grau, teremos apenas 1 raiz em cada um dos 
intervalo 
 
EXEMPLO 3. f(x) = 50x3 -65x2 + 26x – 3 
 
 
 
 
 
Observa-se na tabela apenas uma mudança de sinal no intervalo [0, 1]. Pode-se esperar que 
exista 1, ou 2 ou 3 raízes nesse intervalo. 
 
Devido à incerteza, vamos analisar os intervalos onde a função é estritamente crescente ou 
decrescente. Para isso, podemos derivar a função e fazer uma análise da mesma. 
 
Neste caso teremos: f’(x) = 150x2 – 130x + 26. 
Estudando a variação do sinal de f'(x):  = 1302 – 4.150.26 = 1300  
x1 (130 + 36,05)/300 = 0,554 e 
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x2 (130 - 36,05)/300 = 0,31. 
 
Como, na derivada a > 0, teremos f’(x) > 0 (função crescente) para x < 0,31 ou x > 0,554 e 
f’(x) < 0 (decrescente) para 0,31 < x < 0,554. 
 
Vamos completar a tabela com os valores de x e f(x) para 0,31 e 0,554. Temos que: f(0,31) 
 0,303 e f(0,554) - 0,044. 
 
 
 
 
 
 
Da nova tabela pode-se concluir que existe uma raiz em cada um dos intervalos [0, 031], 
[0,31; 0,554] e [0,554; 1]. 
 
2.5.2.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 Seja o gráfico da função f: 
 
 
 
2.5.2.1.1. Complete com > ou < corretamente 
a) f(x1) ...... 0 b) f(x2) ...... 0 c) f(x3) ...... 0 
d) f(x4) ..... 0 e) f(x5) ...... 0 
 
2.5.2.1.2. Complete com > ou < corretamente 
a) f(x1) . f (x2) ...... 0 b) f(x1) . f (x3) ...... 0 
c) f(x1) . f (x5) ...... 0 d) f(x2) . f (x5) ...... 0 
e) f(x3) . f (x4) ...... 0 f) f(x3) . f (x5) ...... 0 
 
Com base no gráfico da função g, responda corretamente as questões abaixo: 
 
 
 
 
 
 
2.5.2.1.3 A função g tem raiz real? 
 
x -1 0 0,31 0,554 1 2 3 
f(x) -144 -3 0,303 -0,044 8 189 840 
sinal - - + - + + + 
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2.5.2.1.4 Sabemos que g(-1) = -1, g(1) = 1 e g(-1) . g(1) < 0, porque esta função não está 
de acordo com o Teorema 1? 
 
2.5.2.1.5. Seja a tabela da função f(x) = x3 – 9x + 3 
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
f(x) -77 -25 3 13 11 3 -5 -7 3 31 83 
Sinal - - + + + + - - + + + 
Com base na tabela, indique os intervalos que contém pelo menos uma raiz. 
 
2.6 – REFINAMENTO 
Existem vários métodos de refinamento de raízes onde se torna possível determinarem 
um valor aproximado para a ou as raízes de uma equação. Em todos eles instruções são 
executadas passo a passo tendo como base o resultado anterior (processos iterativos). 
O processo deve ser continuado até que se atinja um resultado próximo ao esperado ou cujo 
erro seja inferior a um valor conhecido. 
2.7. MÉTODO DE REFINAMENTO 
2.7.1. MÉTODO DA BISSECÇÃO (OU MÉTODO DA DICOTOMIA) 
O princípio fundamental do método da bissecção consiste em localizar a raiz em um intervalo 
[a0, b0], onde a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente, e considerar a 
raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou seja, a raiz será (a0 + b0)/2. Para 
que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas, devemos ter f(a0). f(b0) < 0. Nesta 
consideração o erro cometido será menor ou igual à metade da amplitude do intervalo [a0, 
b0]. 
Assim, o passo inicial no método exige o conhecimento prévio de um intervalo [a0; b0] tal 
que f (a0). f (b0) < 0. De acordo com o teorema de Bolzano, há pelo menos uma solução 
nesse intervalo. A sequência de aproximações {x0;x1;x2;...} é construída de acordo com os 
seguintes passos: 
 
1º passo: as duas aproximações iniciais, a0 e b0, são os extremos do intervalo inicial, a 
partir deles escolhemos o ponto intermediário x0 = 
 
 
 como a nova aproximação. 
 
2º passo: A partir de x0, dividimos o intervalo ao meio, ou seja, o intervalo original é 
dividido em dois subintervalos de mesmo comprimento: 
[a0;x0] e [x0;b]. 
 
Se f(x0) = 0, então x0 é a raiz ou zero da função procurado. 
 
Se f(a) . f(x0) < 0, a raiz procurada está entre “a” e “x0” e repete-se o processo para o 
intervalo
[a, x0]. 
 
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Caso contrário f(x0) . f(b) < 0, a raiz procurada está entre “x0” e “b” e repete-se o processo 
para o intervalo [x0, b]. 
 
 
 
E assim vamos calculando a sequência xk até que seja satisfeito o critério de bk - ak < : 
 
3.1.1. QUANTAS ITERAÇÕES SERÃO NECESSÁRIAS? 
 
 
 
2.7.1.1. ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES 
 
O método da Bisseção permite que seja estimado, a priori, o número mínimo de iterações 
para calcular uma raiz ξ com uma precisão  a partir de um intervalo [a, b]. 
As iterações geram uma sequência de intervalos encaixados da forma 
 
 {[a, b], [a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ..., [an, bn]} 
 
Como cada intervalo gerado, tem tamanho igual à metade do intervalo anterior, tem-se 
 
b1 – a1 = 
 
 
, b2 – a2 = 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
; b3 – a3 = 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
Tendo em vista estes resultados, chega-se a bn – an = 
 
 
. Como se deseja um n tala que bn 
– na < ξ, então 
 
 
 
  
 
 
  -  – n  
 
 n 
 
 
. 
 
EXEMPLO 1: Seja f(x) = e-x – x no intervalo [0,5; 0,75] e = 10-8, temos: 
 
 n 
 
 
 
 
Logo serão necessárias no mínimo 25 iterações para que o método da Bissecção possa atingir 
a precisão desejada. 
 
2.7.1.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2.7.1.2.1; Seja f(x) = e-x – x no intervalo [0,5;0,75] e = 10-4, calcule o número mínimo de 
iterações para que o método possa atingir a precisão desejada. 
 
 
 
 
2.7.1.2.2. Seja f(x) = e-x – x no intervalo [0;1] e = 10-8, calcule o número mínimo de 
iterações para que o método possa atingir a precisão desejada. 
 
 
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2.7.1.3. RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES 
 
EXEMPLO 1: Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x + 3 utilizando o método da bissecção 
e as seguintes condições: I=[0,1], e precisão ε =2x10-3. 
 
Temos r [0,1], ou seja, a0 = 0 e b0 = 1. 
 
1º passo: determinar o número mínimo de iterações: 
 
n 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 8,966, assim n deve ser mínimo 9 iterações 
2º passo: calcular x0 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,5. 
0,5 é a raiz de f? 
 
f(0,5) = -1,375. 
Não, porque |f(0,5) = -1,375|> ε =2x10-3 ou b0 – a0 = 1 > ε =2x10
-3 
 
Assim temos dois intervalos: [0; 0,5] e [0,5; 1]. 
 
A raiz está em que intervalo? 
 
f(0) = 03 – 9.0 + 3 = 3 > 0; 
f(0,5) = 0,53 – 9.0,5 + 3 = 0,125 – 4,5 + 3 = - 1,375 < 0 e 
f(1) = 13 – 9.1 +3 = -5 > 0. 
 
A raiz está no intervalo [0; 0,5], pois f(0) . f(0,5) < 0. Assim a1 = 0 e b1 = 0,5. 
 
3º passo: calcular x1 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,25. 
0,25 é a raiz de f? 
 
f(0,25) = 0,765625 >0 
Não, porque |f(0,25) = 0,765625|> ε =2x10-3 ou b1 – a1 = 0,5 > ε =2x10
-3 
 
Assim temos dois intervalos: [0; 0,25] e [0,25; 0,5]. 
 
A raiz está em que intervalo? 
 
A raiz está no intervalo [0,25; 0,5], pois f(0,25) . f(0,5) < 0. Assim a2 = 0,25 e b2 = 
0,5. 
 
4º passo: calcular x2 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,375. 
0,375 é a raiz de f? 
 
f(0,375) = -0,33226525 <0. 
Não, porque |f(0,375) = - 0,33226525|> ε =2x10-3 ou b2 – a2 = 0,25 > ε =2x10
-3 
 
Assim temos dois intervalos: [0,25; 0,375] e [0,375; 0,5]. 
 
A raiz está em que intervalo? 
 
A raiz está no intervalo [0,25; 0,375], pois f(0,25) . f(0,375) < 0. Assim a3 = 0,25 e 
b3 = 0,375. 
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E assim por diante, 
 
I x1 (x1+ x2/2 x2 f (x1) f(x1+x2)/2 f(x2) ERRO PRECISÃO RAIZ 
0 0,000 0,500 1,000 3,000 -1,375 -1,375 1,000 0,002 
1 0,000 0,500 1,000 3,000 -1,375 -1,375 1,000 0,002 CONTINUA 
2 0,000 0,250 0,500 3,000 0,766 0,766 0,500 0,002 CONTINUA 
3 0,250 0,375 0,500 0,766 -0,322 -0,322 0,250 0,002 CONTINUA 
4 0,250 0,313 0,375 0,766 0,218 0,218 0,125 0,002 CONTINUA 
5 0,313 0,344 0,375 0,218 -0,053 -0,053 0,063 0,002 CONTINUA 
6 0,313 0,328 0,344 0,218 0,082 0,082 0,031 0,002 CONTINUA 
7 0,328 0,336 0,344 0,082 0,014 0,014 0,016 0,002 CONTINUA 
8 0,336 0,340 0,344 0,014 -0,019 -0,019 0,008 0,002 CONTINUA 
9 0,336 0,338 0,340 0,014 -0,002 -0,002 0,004 0,002 CONTINUA 
10 0,336 0,337 0,338 0,014 0,006 0,006 0,002 0,002 0,337 
 
 
EXEMPLO 2: Resolver a equação f(x) = x2 – 5, com = 10-2 = 0,01. 
1º passo: localização e isolamento das raízes. 
x 0 1 2 3 
f(x) -5 -4 -2 1 
sinal - - - + 
 
Tem-se que r (2, 3), ou seja, a0 = 2 e b0 = 3. 
 
com = 10-2 = 0,01. Assim, a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com 
a precisão exigida é: 
 
 n 
 
 
 6,643856. Como n deve ser inteiro, tem-se n= 7. 
 
 Temos: [2,3]  a0 = 2, b0 = 3 
Vamos calcular x0 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 2,5. 
Assim temos dois intervalos: [2; 2,5] e [2,5; 3]. 
 
 
 
 
A raiz está em que intervalo? 
f(2) = 22 – 5 = 4 – 5 = -1 < 0; 
f(2,5) = 2,52 – 5 = 6,25 – 5 = 1,25> 0 e 
f(3) = 32 – 5 = 9 – 5 = 4 > 0. 
A raiz está no intervalo [2; 2,5], pois f(2) . f(2,5) < 0. 
 
x 2 2,5 3 
f(x) -1 1,25 4 
 sinal - + + 
 
 
1ª interação: Temos [2;2,5]  a1 = 2 e b1 = 2,5. 
Vamos calcular x1 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 2,25. 
b - a 
2,5 – 2 = 0,5 0,01 
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Temos os intervalos: [2; 2,25] e [2,25; 2,5] 
f(2,25) = 2,252 – 5 = 5,0625 = 0,0625 > 0 
A raiz está no intervalo [2;2,25], pois f(2) . f(2,25) < 0. 
 
x 2 2,25 2,5 
f(x) -1 0,0625 1,25 
sinal - + + 
 
 
2ª interação: Temos [2;2,25]  a2 = 2 e b2 = 2,5. 
Vamos calcular x2 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 2,125. 
Temos os intervalos: [2; 2,125] e [2,125; 2,25] 
f(2,125) = 2,1252 – 5 = 4,515625 – 5 = -0,484375 < 0 
A raiz está no intervalo [2,125;2,25], pois f(2,125) . f(2,25) < 0. 
 
x 2 2,125 2,25 
f(x) -1 - 0,484375 1,25 
sinal - - + 
 
 
3ª interação: Temos [2,125;2,25]  a3 = 2,125 e b3 = 2,25. 
Vamos calcular x3 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 2,1875. 
Temos os intervalos: [2,125; 2,1875] e [2,1875; 2,25] 
f(2,1875) = 2,18752 – 5 = 4,78515625 – 5 = -0,21484375 < 0 
A raiz está no intervalo [2,1875;2,25], pois f(2,1875) . f(2,25) < 0. 
 
4ª interação: Temos [2,1875;2,25]  a4 = 2,1875 e b4 = 2,25. 
Vamos calcular x4 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 2,21875. 
Temos os intervalos: [2,1875; 2,21875] e [2,21875; 2,25] 
f(2,21875) = 2,218752 – 5 = 4,9228515625 – 5 = -0,0771484375
< 0 
A raiz está no intervalo [2,21875;2,25], pois f(2,21875) . f(2,25) < 0. 
 
 
5ª interação: Temos [2,21875;2,25]  a5 = 2,21875 e b5 = 2,25. 
Vamos calcular x5 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 2,234375. 
Temos os intervalos: [2,1875; 2,234375] e [2,234375; 2,25] 
f(2,234375) = 2,2343752 –5 = 4,992432534375 –5 =-0,00767465625 < 0 
A raiz está no intervalo [2,234375;2,25], pois f(2,234375) . f(2,25) < 0 
 
6ª iteração: Temos [2,234375;2,25]  a6 = 2,234375 e b6 = 2,25. 
Vamos calcular x6 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 2,2421875. 
Temos os intervalos: [2,1875; 2,234375] e [2,234375; 2,25] 
f(2,234375) = 2,2343752 – 5 = 4,992432534375 – 5 = -0,00767465625 < 0 
A raiz está no intervalo [2,234375;2,25], pois f(2,234375) . f(2,25) < 0 
 
I a0 
X0 
=(a0+b0/2 b0 f(a0) 
(f(a0 + 
b0)/2 f(b0) RAIZ ERRO PRECISÃO 
0 2,000 2,500 3,000 
-
1,000 1,250 4,000 CONTINUA 1,000 0,010 
1 2,000 2,250 2,500 
-
1,000 0,063 1,250 CONTINUA 0,500 0,010 
2 2,000 2,125 2,250 - -0,484 0,063 CONTINUA 0,250 0,010 
b - a 
2,25 – 2 = 0,25 0,01 
b - a 
2,25 – 2,125 = 0,125 0,01 
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1,000 
3 2,125 2,188 2,250 
-
0,484 -0,215 0,063 CONTINUA 0,125 0,010 
4 2,188 2,219 2,250 
-
0,215 -0,077 0,063 CONTINUA 0,063 0,010 
5 2,219 2,234 2,250 
-
0,077 -0,008 0,063 CONTINUA 0,031 0,010 
6 2,234 2,242 2,250 
-
0,008 0,027 0,063 CONTINUA 0,016 0,010 
7 2,234 2,238 2,242 
-
0,008 0,010 0,027 2,238 0,008 0,010 
 
 
2.7.1.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2.7.1.4.1. Explique porque nós podemos afirmar, analisando somente o intervalo [-3, 1], que 
existe raiz real da equação x2 –3 = 0, neste intervalo. Podemos afirmar também que existe 
apenas uma raiz neste intervalo? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
2.7.1.4.2 Dada a função f(x) = 3x log x – 2 , analise esta função, sua derivada e o gráfico 
abaixo. Fundamentado neste estudo, responda: 
a) Pode existir mais de uma raiz real para a equação 3xlog (x) – 2? Justifique. 
 
 
 
b) Podemos afirmar que no intervalo [2,3] existe somente uma raiz real, vemos isso bem 
analisando o gráfico. 
Qual teoria discutida em sala nos sustenta esta afirmação quando não temos um gráfico pra 
analisar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.7.1.4.3. Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x + 3 utilizando o método da bissecção e as 
seguintes condições: I=[2,8;2,9], e precisão ε =10-2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.1.4.4. Determine a raiz cúbica de 7 situada no intervalo [1,9;2.0]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.2. MÉTODO ITERATIVO LINEAR – MIL OU MÉTODO DO PONTO FIXO - MPF 
2.7.2.1 - INTRODUÇÃO 
Como já vimos, para utilizar o método da bisseção é necessário que exista um intervalo no 
qual a função troca de sinal. 
 
É claro que existem funções que não satisfazem esta propriedade. Uma função f tal que f(x) 
≥ 0 tem obviamente zeros que não podem ser determinados através do método da 
bissecção. 
 
Por exemplo, a função f(x) = x2 – 6x + 9 ≥ 0, R. 
 
Assim serão necessários outros métodos para se determinar aproximações para os zeros 
nestes casos. 
 
Um desses métodos é o método iterativo linear que como veremos a seguir está intimamente 
ligado ao método das aproximações sucessivas. 
 
2.7.2.2. PONTO FIXO: Dada uma função f : R R, dizemos que R é um ponto fixo de f 
f ( ) = . 
 
EXEMPLO 1: f(x) = x, R é ponto fixo de f. 
 
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EXEMPLO 2: f(x) = x3, = -1, = 0 e = 1 são pontos fixos de f, pois f(-1) = -1, f(0) = 0 
e f(1) = 1. 
 
 f ( ) = 3 = , logo 3 = , ou seja, 3 – = 0 ou ( 2 – 1) = 0 ou = 0 ou 2 – 1 
= 0 ou = -1 ou = 1. 
 
EXEMPLO 3: f(x) = x2 – x, = 0 e = 2 são pontos fixos de f, pois f(0) = 0 e f(2) = 2. 
 
Os pontos fixos acima foram determinados resolvendo-se a seguinte equação: 
 
x2 – x = x x2 – 2x = 0 x (x – 2) = 0 x = 0 ou x = 2. 
 
2.7.2.3. OBJETIVO DO MÉTODO 
Seja f(x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0. 
 
Este método consiste em transformar a equação f(x) = 0 em uma equação equivalente x= 
 (x) e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a sequência {xn} de aproximações para 
pela relação xn+1 = (xn) é tal que f( ) = 0 se e somente se ( ) = . 
 
Transformamos o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um 
ponto fixo de (x). 
 
 
Uma função (x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para a 
equação f(x) = 0. 
 
 
EXEMPLO 1: Seja a equação f(x) = ex + x – 2 = 0. Podemos isolar x, de f(x), de diferentes 
maneiras: 
a) ex + x – 2 = 0 x = 2 – ex, assim 1(x) = 2 – e
x ( função iteração) 
 
b) ex + x – 2 = 0 ex = 2 – x x = ln(2 – x), assim 2(x) = ln(2 – x) 
 
c) ex + x – 2 = 0 x = ex + x – 2 + x x = ex + 2x – 2, assim 2(x) = e
x + 2x – 
2. 
 
 
EXEMPLO 2. Seja a equação f(x) = x2 + x – 6 = 0. Podemos determinar as seguintes 
funções iterações: 
 
a) 1(x) = 6 – x
2 
 
b) 2(x) = 
 
 
c) 3(x) = 
 
 
 ; 
 
d) 4(x) = 
 
 
 
 
Assim, podemos concluir, dada uma equação f(x) = 0, existem infinitas funções iterações 
 (x) para a equação f(x) =0. 
 
Graficamente, uma raiz da equação x = (x) é a abscissa da intersecção da reta y = x e da 
curva y = (x). 
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 Portanto, para certas = (x), o processo pode gerar uma sequência que diverge de . 
 
 
2.7.2.4. DETERMINAÇÃO DA RAIZ 
 
EXEMPLO 1: Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x + 3 =0 com precisão ε =2x10-3. 
Solução: 
1º passo: encontrar uma função iteração: 
x3 – 9x + 3 =0 9x = x3 + 3 x = 
 
 
 
 
2º passo: determinar o chute inicial x0.
Vamos tomar, portanto, 0,5 como nossa hipótese inicial para a raiz r. 
 
 
3º passo: determinar x1 
x1 = (x0) = (0,5), = 
 
 
 + 
 
 
 = 0,0139 + 0,3333 = 0,3472 
 
4º passo: determinar x2 
x2 = (x1) = (0,3472), = 
 
 
 + 
 
 
 = 0,0047 + 0,3333 = 0,3380. 
 
5º passo: determinar x3 
x3 = (x3) = (0,3380), = 
 
 
 + 
 
 
 = 0,0043 + 0,3333 = 0,3376. 
 
6º passo: determinar x4 
x4 = (x4) = (0,3376), = 
 
 
 + 
 
 
 = 0,0043 + 0,3333 = 0,3376. 
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e podemos ver que {xn } não está convergindo para r = 0,3376. 
 
Assim r 0,3376. 
 
EXEMPLO 2: Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x + 3 =0 com precisão ε =2x10-3. 
Solução: 
1º passo: encontrar uma função iteração: 
x3 – 9x + 3 =0 x3 = 9x - 3 x = 
 
 
 
2º passo: determinar o chute inicial x0. 
 
Vamos tomar, portanto, 0,5 como nossa hipótese inicial para a raiz r. 
 
3º passo: determinar x1 
x1 = (x0) = (0,5) = 
 
 = 1,1447. 
 
 
4º passo: determinar x2 
x2 = (x2) = (1,1447) = 
 = 1.9401. 
 
5º passo: determinar x3 
x3 = (x3) = (1,9401) = 
 = 2,4363. 
 
6º passo: determinar x4 
x4 = (x4) = (2,4363) = 
 = 2,6650. 
 
7º passo: determinar x5 
X5 = (x5) = (2,6650) = 
 
 = 2,7583 
 
. 
. 
. 
 
e podemos ver que {xn } não está convergindo para r = 0,5. 
 
 
Desse modo, nem toda função iteração a sequência {xn} converge para r. 
 
 
2.7.2.5. ESCOLHA DA FUNÇÃO ITERAÇÃO 
 
A partir de uma função f(x) podem-se obter várias funções de iteração (x), porém nem 
todas poderão ser utilizadas para avaliar r. 
 
Só deve usar uma (x) que satisfaça o teorema abaixo: 
 
TEOREMA: Seja r I uma raiz da equação f(x) = 0 e (x) uma função contínua e 
diferenciável em I. Se (x) | < 1 para todos os pontos em I e x0 I, então os valores 
dados da equação xn+1 = (xn) convergem para r. 
 
EXEMPLO 1: Sejam a equação f(x) = x2 + x – 6 = 0 e as seguintes funções iterações: 
 
a) 1(x) = 6 – x
2 
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b) 2(x) = 
 
 
c) 3(x) = 
 
 
 ; 
 
d) 4(x) = 
 
 
 
 
Adotando x0 = 1,5, quais das funções iterações acima convergem? 
 
Devemos derivar cada função e substituir o x por x0 = 1,5 e verificar qual o módulo é menor 
que 1. 
 
a) 1(x) = -2x e | 1(1,5)| = | -2 x 1,5| = 3 >1 
 
Calculando os valores de x1, x2, x3 .... 
 
x1= 1(x0) = 1(1,5) = 6 – 1,5
2 = 6 – 2,25 = 3,75; 
 
x2= 1(x1) = 1(3,75) = 6 – 3,75
2 = 6 – 14,0625 = -8,0825; 
 
x3= 1(x2) = 1(-8,0825) = 6 – (-8,0825
2 = 6 – 65,0039 = -59,0039; 
 
e podemos ver que {xn} não está convergindo para x0 = 1,5. 
 
b) 1(x) = 
 
 
 e | 1(1,5)| = 0,2582 < 1. 
 
Calculando os valores de x1, x2, x3 .... 
 
x1= 1(x0) = 1(1,5) = = 2,1213; 
 
x2= 1(2,1213) = = 1,9694; 
 
x3= 1(1,9694) = = 2,0076; 
 
x4= 1(2,0076) = = 1,9981; 
 
x5= 1(1,9981) = = 2,0005; 
 
e podemos ver que {xn} está convergindo para 2.. 
 
2.7.2.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2.7.2.6.1. Ao se aplicar o método do ponto fixo (MPF) à resolução de equação obtivemos os 
seguintes resultados nas iterações indicadas: 
x10 =1,5; x11 =2,24702; x12 = 2,141120; x13 =2,14159; x14 =2,14128; x15 = 2,14151; x16 
=2,14133 e x17 =2,14147; 
 
Este equação tem raiz? Se tiver, qual seria o valor? 
 
 
 
 
 
 
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2.7.2.6.2. Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x + 3 =0 com precisão ε =2x10-3, usando a 
função iteração (x) = 
 
 com x0 = 2,8 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.2.6.3. Considere a função f(x) = x3 – x – 1. Resolva pelo método do ponto fixo ou 
método iterativo linear (MPF) usando a função iteração (x) = 
 
 
 + 
 
 
 e x0 = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.3 - MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA DETERMINAÇÃO DE RAÍZES 
 
O processo consiste em usar como raiz aproximada a raiz da equação da tangente à curva 
f(x), ou seja, a interseção da tangente com o eixo horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se sabe, a equação da tangente à curva f(x) no ponto (x0, y0), onde y0 = f(x0) é: 
 y – f(x0) = f’(x0).(x – x0). 
 
Se a reta tangente intercepta o eixo horizontal no ponto de abscissa x = x1, teremos y = 
f(x1) = 0. 
 
Substituindo os valores (x1, 0) na equação da tangente: 
0 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0)  -f(x0) = f’(x0).x1 – f’(x0).x0  f’(x0).x1 = f’(x0).x0 - f(x0). 
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Dividindo todos os termos por f’(x0) resulta: x1 = x0 - f(x0)/f’(x0) 
 
Considerando este resultado, conclui-se que a função de iteração deste método é da forma: 
 
 xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn), com n = 0, 1, 2, 3 ... 
 
EXEMPLO 1: Resolver a equação f(x) = x2 – 5, com = 10-2 = 0,01 
Solução: 
1º passo: determinar a derivada de f, logo f’(x) = 2x 
2º passo: localização e isolamento das raízes. 
x 0 1 2 3 
f(x) -5 -4 -2 1 
sinal - - - + 
 
Tem-se que r (2, 3) 
3º passo: escolher o x0, vamos escolher x0 = 2,5; 
 
 
4º passo: determinar o x1, x2 .... 
x1 = 2,5 – f(2,5)/f’(2,5) = 2,5 – 1,25/5 = 2,5 – 0,25 = 2,25 
 
x2 = 2,25 – f(2,25)/f’(2,25) = 2,25 – 0,0625/4,5 = 2,25 – 0,014 = 2,236; 
 
x3 = 2,236 – f(2,236)/f’(2,236) = 2,236 – 0,0003/4,472 = 2,236 – 0,000006 = 2,22306; 
 
EXEMPLO 2: Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x + 3 =0 com precisão ε =2x10-3, com 
x0 = 0,5. 
Solução: 
1º passo: determinar a derivada de f, logo f’(x) = 3x2 – 9; 
2º passo: determinar o x1, x2 .... 
 
x1 = 0,5 – f(0,5)/f’(0,5) = 0,5 – (0,5
3 – 9.0,5 + 3)/3.(0,5)2 – 9 = 0,3333; 
 
x2 = 0,3333 – f(0,3333)/f’(0,3333) = 0,33761; 
 
x3 = 0,33761 – f(0,33761)/f’(0,33761) = 0,33761. 
 
2.7.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
2.7.4.1. Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x + 3 =0 com precisão ε =2x10-3, com x0 = 
2,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.4.2. Encontre a raiz da equação f(x)=x5 – 6 =0 com precisão ε =10-4, com x0 = 1,3. 
 
 
 
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2.7.4.3. Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 2x2 – 13x + 10 =0 com precisão ε =10-2, com 
x0 = 4,0. 
.
RESPOSTAS DO CAPÍTULO I 
 
1.3.2.1. 
a) 25384 = 2 x 104 + 5 x 103 + 3 x 102 + 8 x 101 + 4 x 100 
b) 7,1469 = 7 x 101 + 1 x 10-1 + 4 x 10-2 + 6 x 10-3 x 9 x 10-4 
c) 52,1236 x 1015 = 5 x 1015 + 2 x 1014 + 1 x 1013 + 2 x 1012 + 3 x 1011 + 6 x 1010. 
d) – 0,145 x 1030 = - 0 x 1030 + 1 x 1029 + 4 x 1028 + 5 x 1027. 
 
1.3.3.1. 
a) (01101)2 = 0 x 2
4 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 21. 
b) (111,001)2 = 1 x 2
2 + 1 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3. 
 
1.4.1.2. 
a) 1111111(2) = 1 x 2
6 + 1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 1x 64 + 1 x 32 
+ 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127. 
b) 10001(2) = 1 x 2
4 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1 x 16 + 0 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2 + 
1 x 1 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 
c) 110011(2) = 1 x 2
5 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 1 x 32 + 1 x 16 + 0 x 8 
+ 0 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51 
d) 10111(2) = 1 x 2
4 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 
x 1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23. 
 
1.4.2.1. 
a) 200 = (11001000)2 
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b) 158,23 = (10011110)2 
c) 97 = (110000)2 
d) 78,78 = (1001110)2 
e) 0,5225 = (0,10000101110000101000...)2 
 1.6.5.1. 
a) EA = 0.00005 – 0.00004 = 0.00001 
b) ER = 0.00001 ÷ 0,00004 = 0,25 
c) EP = 0,25 x 100 = 25% 
 
1.6.5.2. 
a) EA = 101000 – 100000 = 1000 
b) ER = 1000 ÷ 100000 = 0,01 
c) EP = 0,01 x 100 = 1% 
 
1.6.5.3. No item 2, pois o percentual é menor que o item 1. 
 
1.6.5.4 
a) y = 0,0812 
b) dy = 0,08 
c) EA = 0,012 
 
1.6.5.5. EA = 2.827 cm3 
 
1.6.5.6. EA = 1,4721 
 
1.6.5.7. f( 4,021) 2,00525 
1.6.5.8 EA = 0,00001 
 
 
1.7.2. 
a) + + = 1,4142 + 1,7320 + 2,2360 = 5,3822 
b) 2sen72º + cos72º - [(tag72º)/2] = 2 x 0,9511 + 0,3090+ (3,077 ÷ 2) = 1,9022 + 
0,3090 – 1,5385 = 0,6727. 
 
1.9.1.1 
a) EAx = 0,07000 ERx = 0,30229 x 10
-4. 
b) EAy = 0,42110 x 10
3 e ERx = 0,44851 x 10
-5 
 
 
1.9.1.2 
a) EAx = 0,054 ERx = 0,088 x 10
-2. 
b) EAy = 0,672 x 10
-6 e ERx = 0,314 x 10
-2. 
 
1.11.1. 
a) 18,5 
b) 18,6 
c) 421 
d) 420 
 
1.12.5.1 
a) EA = 0.400 x 101 e ER = 0.779 x 10-1 
b) EA = 0.370 x 101 e ER = 0.370 x 101 
c) EA = 0.800 x 101 e ER = 0.156 x 10-2 
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RESPOSTAS DO CAPÍTULO II 
 
2.3.1. 3 raízes; 
 
2.5.1.1. a) [-3,-2] b) [2,3] 
 
2.5.2.1.1 
a) < b) > c) < d) < e) > 
 
2.5.2.1.2 
a) < b) > c) < d) > e) > f) < 
 
2.5.2.1.3 – Não, porque a função não é contínua. 
 
2.5.2.1.4. Porque a função não é contínua no intervalo [-1, 1]; 
 
2.5.2.1.5. [-4,-3]; [0,1], [2,3]; 
 
2.7.1.2.1. 12 iterações 
 
2.7.1.2.2. 27 iterações. 
 
2.7.1.4.1. f(-3) . f(1) <0; 
 
2.7.1.4.2. Porque o gráfico intercepta o eixo dos x somente num ponto. 
 
2.7.1.4.3. 2,816 
 
2.7.1.4.4. 1,916 
 
2.7.2.6.1. 
 
2.7.2.6.2. 2,816 
 
2.7.2.6.3. 0,3376 
 
2.7.4.1. 2,816 
 
2.7.4.2. 1,431 
 
2.7.4.3. 4,4265