Lista_Otimizacao

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- Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios - Otimizac¸a˜o
1. Encontre o ponto sobre a resta y = 4x+ 7 que esta´ mais pro´ximo da origem.
R: (-28/17,7/17)
2. Se r(x) e´ a receita proveniente da venda de x ı´tens, c(x) e´ o custo da produc¸a˜o de x ı´tens e p(x) = r(x)−c(x) e´ o
lucro sobre a venda de x ı´tens, enta˜o, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse n´ıvel de
produc¸a˜o (x ı´tens) sa˜o dados, respectivamente por drdx ,
dc
dx ,
dp
dx . Suponha que r(x) = 9x, c(x) = x
3 − 6x2 + 15x,
em que x representa milhares de unidades. Ha´ um n´ıvel de produc¸a˜o que maximize o lucro? Se houver, qual e´?
Ha´ um n´ıvel de produc¸a˜o que minimize o custo?
R: Sim: x = 2 +
√
2 mil unidades ou x = 2−√2 mil unidades. Na˜o.
3. Calcule a quantidade de medicamento a` qual o organismo e´ mais sens´ıvel determinando o valor de M 6= 0 que
maximiza a derivada dR/dM , sendo
R = M2
(
C
2
− M
3
)
e C uma constante.
R: M = C/2
4. Quando tossimos, a traque´ia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questo˜es sobre o
quanto deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos.
Considerando algumas hipo´teses razoa´veis sobre a elasticidade da parede da traque´ia e de como a velocidade
do ar pro´ximo a`s paredes e´ reduzida pelo atrito, a velocidade me´dia v do fluxo de ar pode ser modelada pela
equac¸a˜o
v = c(r0 − r)r2cm/s, r0
2
≤ r ≤ r0,
em que r0 e´ o raio, em cent´ımetros, da traque´ia em repouso e c e´ uma constante positiva, cujo valor depende, em
parte, do comprimento da traque´ia. Demonstre que v e´ a maior quando r = 2/3r0, ou seja, quando a traque´ia
esta´ cerca de 33% contra´ıda.
5. Quando o estanho meta´lico e´ mantido abaixo de 13, 2oC, lentamente se torna quebradic¸o e acaba por se esfarelar,
tornando-se um po´ cinza. Um catalisador para uma reac¸a˜o qu´ımica e´ uma substaˆncia que aumenta a velocidade
da reac¸a˜o sem sofrer nenhuma mudanc¸a permanente. Uma reac¸a˜o autocatal´ıtica e´ aquela em que o produto e´
o catalisador de sua pro´pria formac¸a˜o. Quando tanto a substaˆncia original quanto o produto catalisador sa˜o
abundantes, a reac¸a˜o ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, e´ razoa´vel admitir que a velocidade de reac¸a˜o
v = dx/dt e´ proporcional tanto a` quantidade de substaˆncia original quanto a` quantidade de produto. Ou seja,
v pode ser expressa por
v = kx(a− x) = kax− kx2,
sendo x a quantidade de produto, a e´ a quantidade de substaˆncia no in´ıcio e k e´ uma constante positiva. Com
que valor de x a velocidade v apresenta um ma´ximo? Qual o valor ma´ximo de v?
R: x = a/2 e v = ka2/4
6. Um observato´rio sera´ constru´ıdo na forma de um cilindro circular reto com uma abo´boda esfe´rica como cobertura.
Se o custo da construc¸a˜o da abo´boda sera´ duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais devera˜o ser as
proporc¸o˜es mais econoˆmicas do observato´rio supondo que o volume e´ fixo?
R: r0 = [3V/(8pi)]
1/3 e h = 4[V/(9pi)]1/3 − 1/3[3V/pi]1/3.
7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posic¸a˜o no espac¸o descrita em func¸a˜o do tempo pela expressa˜o h(t) = 4t − 5t2,
sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura ma´xima do solo?
R: 0,4 segundos.
8. O produto de dois nu´meros positivos e´ 200. Determine esses nu´meros sabendo que a soma deles tem o menor
valor poss´ıvel.
R: 10
√
2 e 10
√
2.
9. Determine dois nu´meros cuja soma seja 45 e cujo produto seja ma´ximo.
R: 45/2 e 45/2.
1
10. Encontre o ponto da reta de equac¸a˜o y = 3x+ 4 mais pro´ximo do ponto (1, 2). Qual e´ a distaˆncia mı´nima?
R: (-1,7;-1,1) e a distaˆncia e´
√
8, 1.
11. Uma a´rea retangular de 1080m2 sera´ cercada e dividida, tambe´m por meio de cercas, conforme a figura:
Cada metro de cerca externa custa R$9,00 e cada metro da cerca usada nas diviso˜es internas custa R$6,00.
Encontre as dimenso˜es da regia˜o retangular que minimizara˜o o custo total.
R: 36m e 30 m.
12. Determine as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea poss´ıvel que pode ser inscrito na elipse de equac¸a˜o x
2
9 +
y2
4 = 1.
Qual e´ a a´rea desse retaˆngulo?
R: 3
√
2 e 2
√
2, com a´rea igual a 12.
13. A a´rea do piso de uma loja retangular e´ 315m2. De suas quatro paredes de mesma altura, as treˆs laterais devem
ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do prec¸o do metro
quadrado da parede de tijolos. Quais as dimenso˜es da loja que minimizara˜o o custo total do material usado
nessas quatro paredes?
R:
√
210m e 315√
210
m.
14. Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedac¸os, um para formar um quadrado e outro
para formar um triaˆngulo equila´tero. Como se deve cortar o arame para que a soma das a´reas do quadrado e do
triaˆngulo seja: a) ma´xima? b) mı´nima?
R: (a) usar todo o arame para o quadrado. (b) usar 80
√
3
9+4
√
3
cm para o quadrado e 180
9+4
√
3
cm para o triaˆngulo.
15. Um cartaz deve ter uma a´rea de 600 cm2 para a mensagem a ser impressa; as margens no topo e na base devem
cada uma 7,5 cm e de 5 cm nas margens laterais. Determine as dimenso˜es do cartaz para que seja mı´nima as
quantidade de papel usada.
R: largura: 30 cm e altura 45 cm.
16. Dentre todos os triaˆngulos iso´sceles de per´ımetro fixo, mostre que o de maior a´rea e´ o equila´tero.
17. Uma pessoa esta´ no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B na margem oposta, fazendo o
percurso indicado na figura abaixo. Sabendo que pode se deslocar na margem a uma velocidade de 10 m/s e na
a´gua a uma velocidade de 5 m/s, determine o aˆngulo α de modo que ela va´ de A ate´ B no menor tempo poss´ıvel.
Sabe-se que a distaˆncia entre A e B’ e´ 500 m e a largura do rio e´ 300 m.
R: α = pi/3.
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