oticaGeometrica_Capitulo2_FisicaModerna

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Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1 
1 
 Introdução e Conceitos Básicos 
A óptica é um ramo da Física que estuda a 
luz ou, mais amplamente, a radiação 
electromagnética, visível ou não. A óptica explica os 
fenômenos de reflexão, refracção e difracção, a 
interação entre a luz e o meio, entre outras coisas. 
Geralmente a disciplina estuda fenómenos 
envolvendo a luz visível, infravermelha, e 
ultravioleta; entretanto, uma vez que a luz é uma 
onda eletromagnética, fenômenos análogos 
acontecem com os raios X, microondas, ondas de 
rádio, e outras formas de radiação electromagnética. 
A óptica, nesse caso, pode se enquadrar como 
uma subdisciplina do eletromagnetismo. Algums 
fenômenos ópticos dependem da natureza da luz e, 
nesse caso, a óptica se relaciona com a mecânica 
quântica. 
Segundo o modelo para a luz utilizada, 
distingue-se entre os seguintes ramos, por ordem 
crescente de precisão (cada ramo utiliza um modelo 
simplificado do empregado pela seguinte): 
 Óptica geométrica: Trata a luz como um 
conjunto de raios que cumprem o princípio de 
Fermat. O Princípio de Fermat é um princípio 
fundamental da óptica geométrica e diz que o 
caminho seguido por um raio luminoso de um ponto 
A para um ponto B é tal que o tempo decorrido entre 
a partida de A e a chegada a B é estacionário para 
pequenas variações do caminho. 
 Utiliza-se no estudo da transmissão da luz 
por meios homogêneos (lentes, espelhos), a reflexão 
e a refração. 
 Óptica ondulatória: Considera a luz como 
uma onda plana, tendo em conta sua freqüência e 
longitude de onda. Utiliza-se para o estudo da 
difração e interferência. 
 Óptica eletromagnética: Considera a luz 
como uma onda eletromagnética, explicando assim a 
reflexão e transmissão, e os fenômenos de 
polarização e anisotrópicos. 
 Óptica quântica ou óptica física: Estudo 
quântico da interação entre as ondas 
eletromagnéticas e a matéria, no que a dualidade 
onda-corpúsculo joga um papel crucial. 
 
 Teorias sobre a luz 
 
 Primeiras idéias dos gregos 
No século I a.C. Lucrécio, dando 
continuidade às ideias dos primeiros atomistas, 
escreveu que a luz e o calor do Sol eram compostos 
de pequenas partículas. 
 
 Teoria corpuscular da luz 
O físico inglês Isaac Newton, em 1672, 
defendeu uma teoria onde se considerava a luz como 
um feixe de partículas que eram emitidas por uma 
fonte, e que estas atingiam o olho, e assim 
estimulavam a visão. A este modelo, se deu o nome 
de modelo corpuscular da luz. 
 Teoria ondulatória da luz 
O físico francês Jean Bernard Léon 
Foucault, no século XIX, descobriu que a luz se 
deslocava mais rápido no ar do que na água. O 
efeito contrariava a teoria corpuscular de 
Newton, esta afirmava que a luz deveria ter uma 
velocidade maior na água do que no ar. 
James Clerk Maxwell, ainda no século 
XIX, provou que a velocidade de propagação de 
uma onda eletromagnética no espaço, equivalia 
à velocidade de propagação da luz de 
aproximadamente 300.000 km/s. 
Foi de Maxwell a afirmação: 
 A luz é uma "modalidade de energia 
radiante" que se "propaga" através de ondas 
eletromagnéticas. 
 Teoria da dualidade onda partícula 
No final do século XIX, a teoria que 
afirmava que a natureza da luz era puramente 
uma onda eletromagnética, (ou seja, a luz tinha 
um comportamento apenas ondulatório), 
começou a ser questionada. 
Ao se tentar teorizar a emissão fotoelétrica, 
ou a emissão de elétrons quando um condutor 
tem sobre si a incidência de luz, a teoria 
ondulatória simplesmente não conseguia 
explicar o fenômeno, pois entrava em franca 
contradição. 
Foi Albert Einstein, usando a idéia de Max 
Planck, que conseguiu demonstrar que um feixe 
de luz são pequenos pacotes de energia e estes 
são os fótons, logo, assim foi explicado o 
fenômeno da emissão fotoelétrica. 
A confirmação da descoberta de Einstein se 
deu no ano de 1911, quando Arthur Compton 
demonstrou que "quando um fóton colide com 
um elétron, ambos comportam-se como corpos 
materiais." 
 Comprimentos de onda da luz visível 
A luz visível é a parte do espectro com 
comprimentos de onda entre cerca de 400 
nanómetros (abreviando nm) e 800 nm (no ar). 
A luz pode também ser caracterizada pela sua 
frequência. 
Figura 1 - Espectro eletromagnético 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A velocidade da luz 
De acordo com a moderna física teórica, 
toda radiação eletromagnética, incluindo a luz 
visivel, se propaga no vácuo numa velocidade 
constante, comumente chamada de velocidade 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
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da luz, que é uma constante da Física, representada 
por c. No vácuo: 
c f
 
 Alterações na velocidade da luz 
Toda luz propaga-se a uma velocidade finita. 
Até mesmo observadores em movimento 
medem sempre o mesmo valor de c, para a 
velocidade da luz no vácuo, com c = 299.792.458 
metros por segundo (186.282,397 milhas por 
segundo); contudo, quando a luz atravessa alguma 
substância transparente tal com o ar, água ou vidro, 
sofre refracção e sua velocidade é reduzida. Assim 
sendo, n=1 no vácuo e n>1 na matéria. 
 
 Medição da luz 
As seguintes quantidades e unidades são 
utilizadas para medir luz. 
 brilho, medida em watts/cm2 
 iluminância ou iluminação (Unidade SI: 
lux) 
 fluxo luminoso (Unidade SI: lumen) 
 intensidade luminosa (Unidade SI: candela) 
 
 Ondas, Raio e frente de Onda 
 
Uma onda em física é uma perturbação 
oscilante de alguma grandeza física no espaço e 
periódica no tempo. A oscilação espacial é 
caracterizada pelo comprimento de onda e a 
periodicidade no tempo é medida pela freqüência da 
onda, que é o inverso do seu período. Estas duas 
grandezas estão relacionadas pela velocidade de 
propagação da onda. 
Fisicamente uma onda é um pulso 
energético que se propaga através do espaço ou 
através de um meio (líquido, sólido ou gasoso). 
Segundo alguns estudiosos e até agora observado, 
nada impede que uma onda magnética se propague 
no vácuo ou através da matéria, como é o caso das 
ondas ondas eletromagnéticas no vácuo ou dos 
neutrinos através da matéria onde as partículas do 
meio oscilam à volta de um ponto médio, mas não se 
deslocam. 
Exceto pela radiação eletromagnética, e 
provavelmente as ondas gravitacionais, que podem 
se propagar através do vácuo, as ondas existem em 
um meio cuja deformação é capaz de produzir forças 
de restauração através das quais elas viajam e 
podem transferir energia de um lugar para outro sem 
que qualquer das particulas do meio seja deslocada 
permanentemente como acontece num imã; isto é, 
nenhuma massa transportada associada pode anular 
o efeito magnético. Em lugar disso, qualquer ponto 
particular oscila em volta de um ponto fixo. 
Uma onda pode ser longitudinal quando a 
oscilação ocorre na direcção da propagação, ou 
tranversal quando a oscilação ocorre na direcção 
perpendicular à direcção de propagação da onda. 
Pelo princípio de Huygens (físico holandês, 
1629-1695), cada ponto de uma frente de onda, 
num dado instante, pode ser considerado uma fonte 
de ondas secundárias, produzidas no sentido de 
propagação e com a mesma velocidade do meio. 
Podemos dizer que a frente de onda 
anterior é considerada como um gerador de uma 
nova frente de onda, ou ainda que a frente de 
onda separa a região "pertubada"
da região não 
pertubada. Um exemplo básico é o som onde até 
o instante em que as partículas de ar estão em 
repouso não se ouve nada, e só no momento que 
estas partículas são vibradas (uma frente de 
onda empurrando e gerando uma nova frente de 
onda) é que haverá a propagação do som (neste 
caso haverá propagação da energia e não da 
matéria). No caso das ondas eletromagnéticas, 
com sua energia irradiada igualmente em todas 
as direções (circular), haverá um determinado 
instante onde a fase da onda irradiada começará 
a se repetir em todos os pontos, começando uma 
nova frente de onda 
A frente de onda é o lugar geométrico 
de todos os pontos adjacentes que possuem a 
mesma fase de vibração de uma grandeza física 
associada com a onda. 
 
Figura 2.1 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
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Um raio é uma linha reta imaginária na 
direção de propagação de uma onda. 
São linhas retas, perpendiculares às frentes 
de onda. 
 
 Reflexão e Refração 
 
 Reflexão: 
 
Em física o fenômeno da reflexão consiste 
na mudança da direção de propagação da energia, no 
retorno da energia incidente em direção à região de 
onde ela é oriunda, após entrar em contato com uma 
superfície refletora. 
A energia pode tanto estar manifestada na 
forma de ondas como transmitida através de 
partículas. Por isso, a reflexão é um fenômeno que 
pode se dar por um caráter eletromagnético, óptico 
ou sonoro. 
A reflexão difere da refração porque nesta 
segunda, há desvio da energia para meio diverso do 
meio de onde se originou. 
A reflexão pode ser explicada totalmente 
com base em apenas duas leis, de cunho geral. 
Para enuncia-las, é preciso antes definir alguns 
conceitos. 
 A normal é a semi-reta que se origina a 
partir da superfície refletora, situando-se 
perpendicularmente a esta 
 Ângulo de incidência é o ângulo que a 
direção de deslocamento da energia faz com a 
normal 
 Ângulo de reflexão é o ângulo que a direção 
que a energia que é refletida faz com a normal 
 
Assim, as duas leis da reflexão podem ser expressas 
da seguinte maneira: 
 
1. A direção do raio incidente, a normal e a 
direção do raio emergente pertencem a um único 
plano. 
2. O ângulo de incidência tem valor igual ao 
valor do ângulo de reflexão. 
 
 Explanação teórica 
Sendo um fenômeno que encontra 
exemplos em física ondulatória como na física de 
corpos materiais, é natural desconfiar-se que tem 
uma explicação comum aos dois tipos de 
comportamento. 
Historicamente, o primeiro a formular uma 
explicaçao para a reflexão (especificamente, a da 
luz) foi Heron de Alexandria. Utilizando-se do 
princípio aristotélico que diz que a natureza nada faz 
de modo mais difícil, argumentou que a luz percorre 
o menor caminho entre dois pontos quaisquer. 
Como a luz é obrigada a se desviar durante 
o percurso, ainda assim percorre o menor caminho 
entre a fonte e o alvo. A esse princípio de óptica 
geométrica damos o nome de princípio de Heron. 
Muito mais tarde Fermat enunciou 
princípio semelhante. Porém assinalava que o 
tempo era mínimo e não a distância percorrida. 
Esse princípio é conhecido como princípio de 
Fermat. 
Ainda mais tarde, Maupertuis formulou 
pela primeira vez o princípio da menor ação, 
onde então surge a noção de ação. Entretanto, 
dentro do ponto de vista do cálculo das 
variações, melhor seria chamar esse princípio de 
princípio da ação estacionária, já que na 
verdade a condição é de se achar um extremante 
para a funcional ação. 
Mais tarde, sir Hamilton enunciou a 
forma moderna do princípio variacional. 
A reflexão luminosa é a base da 
construção e utilização dos espelhos. 
Os espelhos, tanto planos quanto os 
esféricos, tem larguíssima utlização, e são a 
base dos telescópios refletores, que sofrem de 
menos restrições que os telescópios refratores. 
 
Figura 3 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 4 - Tipos de reflexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Refração: 
 
 ÍNDICE DE REFRAÇÃO 
Índice de refração é uma relação entre 
a velocidade da luz em um determinado meio e 
a velocidade da luz no vácuo (c). Em meios com 
índices de refração mais baixos (próximos a 1) a 
luz tem velocidade maior (ou seja, próximo a 
velocidade da luz no vácuo). A relação pode ser 
descrita pela fórmula: 
c
n
v

 
Onde: c é a velocidade da luz no vácuo 
(c = 3.10
8
 m/s); v é a velocidade da luz no meio; 
De modo geral, a velocidade da luz nos 
meios materiais é menor que c; e assim, em 
geral, teremos n > 1. Por extensão, definimos o 
índice de refração do vácuo, que obviamente é 
igual a 1. Portanto, sendo n o índice de refração 
de um meio qualquer, temos: 
1n 
 
A velocidade de propagação da luz no 
ar depende da frequência da luz, já que o ar é 
um meio material. Porém essa velocidade é 
quase igual a 1 para todasas cores. Ex: índice de 
refração da luz violeta no ar = 1,0002957 e 
índice de refração da luz vermelha no ar = 
1,0002914. Portanto, nas aplicações, desde que 
não queiramos uma precisão muito grande, 
adotaremos o índice de refração do ar como 
aproximadamente igual a 1: 
1n 
 
Como vimos, as cores, por ordem 
crescente de freqüências, são: vermelho, laranja, 
amarelo, verde, azul, anil e violeta. 
A experiência mostra que, em cada 
meio material, a velocidade diminui com a 
frequência, isto é, quanto maior a frequência, 
menor a velocidade. 
vermelho laranja amarelov v v 
 
Portanto como 
c
n
v

, concluímos que o índice 
de refração aumenta com a frequência. Quanto 
maior a frequência, maior o índice de refração. 
Em geral, quando a densidade de um 
meio aumenta, seu índice de refração também 
aumenta. 
Como variações de temperatura e 
pressão alteram a densidade, concluímos que 
essas alterações também alteram o índice de 
refração. No caso dos sólidos, essa alteração é 
pequena, mas para os líquidos, as variações de 
temperatura são importantes, e no caso dos 
gases tanto as variações de temperatura como as 
de pressão devem ser consideradas. 
A maioria dos índices de refração é 
menor que 2; uma exceção é o diamante, cujo 
índice é aproximadamente 2,4. Para a luz 
amarela emitida pelo sódio, sua frequência é f = 
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5 
5090.10
14
Hz e cujo comprimento de onda no vácuo 
é λ = 589nm. Essa é a luz padrão para apresentar os 
índices de refração. 
Consideremos dois meios A e B, de índices de 
refração nA e nB; se nA > nB, dizemos que A é mais 
refringente que B. 
 Continuidade Óptica 
Consideremos dois meios transparentes A e 
B e um feixe de luz dirigindo-se de A para B. Para 
que haja feixe refletido
é necessário que
A Bn n
. 
Quando nA = nB, não há luz refletida e 
também não há mudança na direção da luz ao mudar 
de meio; dizemos que há continuidade óptica. 
Quando temos um bastão de vidro dentro 
de um recipiente contendo um líquido com o mesmo 
índice de refração do vidro, a parte do bastão que 
está submersa, não refletindo a luz, fica "invisível". 
 
 Índice de refração relativo 
Se o índice de refração de um meio A é nA e o índice 
de um meio B é nB, definimos: 
 
nAB: índice de refração do meio A em 
relação ao meio B: 
A
AB
B
n
n
n

 
nBA: índice de refração do meio B em 
relação ao meio A: 
B
BA
A
n
n
n

 
 
Sendo vA e vB as velocidades da luz nos meios A e B, 
temos: 
A B
AB
B A
n v
n
n v
 
 
B A
BA
A B
n v
n
n v
 
 
 LEIS DA REFRAÇÃO 
 
Consideremos dois meios transparentes A e 
B e um feixe estreito de luz monocromática, que se 
propaga inicialmente no meio A, dirigindo-se para o 
meio B. Suponhamos, ainda, que uma parte da luz 
consiga penetrar no meio B e que a luz tenha 
velocidades diferentes no dois meios. Nesse caso, 
diremos que houve Refração. O raio que apresenta 
o feixe incidente é o raio incidente (i), e o raio que 
apresenta o feixe refratado é o raio refratado (r). 
 A primeira lei da Refração 
 
O raio incidente, o raio refratado e a normal, no 
ponto de incidência, estão contidos num mesmo 
plano. 
A normal é uma reta prependicular à superfície no 
ponto de incidência, θA é denominado ângulo de 
incidência e θB, ângulo de refração. 
 
 A segunda lei da Refração 
 
A A B Bn sen n sen 
 
Dessa igualdade tiramos: 
A
BA
B
sen
n
sen



 
A Segunda Lei da Refração foi 
descoberta esperimentalmente pelo holandês 
Willebrord Snell (1591-1626) e mais tarde 
deduzida por Descartes, a partir de sua teoria 
corpuscular da luz. Nos Estados Unidos, ela é 
chamada de Lei de Snell e na França, de Lei de 
Descartes; no Brasil é costume chamá-la de Lei 
de Snell-Descartes. 
Inicialmente a Segunda Lei foi 
apresentada na forma da equação II; no entanto, 
ela e mais fácil de ser aplicada na forma da 
equação I. 
Observando a equação I, concluímos que, onde 
o ângulo for menor, o índice de refração será 
maior. Explicando melhor: 
 
Se: 
A B 
 
, o mesmo ocorre com seus senos: 
A Bsen sen 
 
 
; logo, para manter a igualdade da equação: 
 
B An n
 
 
Ou seja, o menor ângulo θB ocorre no 
meio mais refringente, nB. 
Pelo princípio da reversibilidade, se a 
luz faz determinado percurso, ela pode fazer o 
percurso inverso. Assim, se ela faz o percurso 
XPY, ela pode fazer o percurso YPX. Mas, 
tanto num caso como no outro, teremos: 
 
A A B Bn sen n sen 
 
 
Quando a incidência for normal, não 
haverá desvio e teremos 
0A B  
, e, 
portanto, 
0A Bsen sen  
, de modo que a 
Segunda Lei também é válida nesse caso, na 
forma da equação I: 
B An n
 
 Caso de ângulos pequenos 
Na tabela seguinte, apresentamos 
alguns ângulos "pequenos" expressos em graus 
e radianos, com o respectivo valor do seno e da 
tangente: 
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6 
Observando esta tabela, percebemos que, para um 
ângulo θ, até aproximadamente 10° temos: 
sen tg   
 
quando θ está expresso em radianos. Assim, para 
ângulos pequenos, a Segunda Lei da Refração pode 
ser escrita: 
A A B Bn n 
 
para ângulos em radianos. 
 
Figura 6 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Índice de refração e aspectos 
ondulatórios da luz. 
 
A freqüência da onda não varia quando 
ela passa de um meio para outro. O 
comprimento de onda  da luz geralmente é 
diferente quando a onda passa de um material a 
outro. Ele é menor num material do que no 
vácuo. Assim: 
0
n

 
 
 Quando a luz passa de um material a a 
outro b de índice de refração maior, de modo 
que nb > na, a velocidade da onda diminui. O 
comprimento de onda no segundo material 
0b bn 
no segundo material é então menor 
que o comprimento de onda no primeiro 
material 
0a an 
no primeiro material. Já 
quando o segundo material possui índice de 
refração inferior, de modo que nb < na, a 
velocidade aumenta. Então o comprimento de 
onda b no segundo material é maior do que o 
comprimento de onda a no primeiro material. 
Intuitivamente: quando a velocidade da onda 
diminui, ela é ―comprimida‖ (o comprimento de 
onda torna-se menor); quando a velocidade 
aumente ela se ―dilata‖ (o comprimento de onda 
torna-se menor). 
 
 Reflexão Interna Total 
 
Existem certas circunstâncias em que a 
luz pode ser totalmente refletida de uma 
interface e nenhuma luz ser transmitida, mesmo 
quando o segundo material é transparente, como 
mostra a figura a seguir: 
 
Figura 8 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo° Ângulo rad Seno Tangente 
0 0 0 0 
2 0,035 0,035 0,035 
4 0,070 0,070 0,070 
6 0,105 0,104 0,105 
8 0,140 0,139 0,140 
10 0,174 0,174 0,176 
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7 
 Os raios mostram como isso pode ocorrer; a 
figura contém diversos raios que emanam de uma 
fonte puntiforme dentro de um material a com 
índice de refração na. Os raios incidem sobre a 
superfície de outro material b com índice de refração 
nb, sendo na > nb (Por exemplo, o material a é água e 
o b é o ar). 
 De acordo com a Lei de Snell: 
a
b a
b
n
sen sen
n
 
 
 Como 
1a b a
b
n
sen sen
n
   
; o raio é 
desviado e se afasta para fora da normal. Deve 
portanto existir um valor de a < 90° para o qual a 
Lei de Snell fornece 
1bsen 
e 
90b  
. 
 Isto ocorre com o raio 3 indicado no 
diagrama, ele emerge tangenciando a superfície, 
com um ângulo de refração igual a 90°. 
 Assim, o ângulo crítico para reflexão 
interna total é dado por: 
b
crít
a
n
sen
n
 
 
 Por exemplo, na interface vidro-ar, sabendo 
que o índice de refração do vidro é 1,52: 
1
0.658 41.1
1.52
crít crítsen     
 
 A luz que se propaga no interior será 
totalmente refletida quando ela incidir na interface 
vidro-ar, formando umângulo igual ou superior a 
41.1°. 
 Como refletores, os prismas que usam a 
reflexão interna total apresentam algumas vantagens 
em relação a superfícies refletoras metálicas, como, 
por exemplo, espelhos comuns, que possuem uma 
película metálica depositada sobre o vidro. Se, por 
um lado, nenhuma superfície metálica pode refletir 
100% da luz que sobre ela incide, por outro lado, 
umprisma pode refletir totalmente a lus queincide 
sobre ele. Além disso, as qualidades refletoras de 
um prisma possuem a propriedade adicional de não 
perderem o brilho, com o envelhecimento. 
 
Figura 9 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um prisma com ângulos 45°-45°-90°, 
como indicado na figura é denominado prisma 
de Porro. No prisma, a luz entra e sai, formando 
um ângulo de 90° com a hipotenusa, sendo 
totalmente refletida nas faces menores. O 
ângulo de desvio total entre o raio incidente e o 
raio emergente é 180°. Os binóculos geralmente 
usam uma associação com dois prismas de
Porro, como indicado na figura. 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando um fexe de luz penetra a 
extremidade de uma barra transparente, como 
mostra a figura acima, a luz pode sofrer reflexão 
interna total se o índice de refração da barra for 
maior que o índice de refração do material 
existente em seu exterior. O raio de luz fica 
confinado no interior da barra, mesmo quando a 
barra é curva, desde que a curvatura não seja 
muito acentuada. Essa barra muitas vezes é 
chamada de tubo de luz. Feixes de fibra de vidro 
ou fibras de plásticos podem se comportar de 
modo semelhante, com a vantagem de serem 
flexíveis. Tal feixe pode ser constituído por 
milhares de fibras individuais, cada uma com 
diâmetros da ordem de 0.002 a 0.01 mm. 
Quando as fibras são agrupadas em um feixe, de 
tal modo que uma das extremidades possua a 
mesma geometria da outra, formando imagens 
especulares, o feixe pode transmitir 
umaimagem, como mostra a figura 10: 
 
 Figura 10 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 
Dispositivos feitos com fibras óticas são 
largamente aplicados na medicina, em instrumentos 
chamados de endoscópios, que podem ser 
introduzidos em tubos no organismo e são usados 
para examinar diretamente os brônquios, a bexiga, o 
cólon e outros órgãos. Um feixe de fibras pode ser 
encerrado em uma agulha hipodérmica para estudar 
tecidos e vasos sanguíneos muito afastados da pele. 
As fibras óticas também são aplicadas em 
sistemas de comunicação, nos quais ela pode ser 
usada para transmititr um feixe de laser modulado. 
A taxa com a qual a informação pode ser usada para 
transmitir uma onda (de luz, de rádio ou qualquer 
outro tipo) é proporcional à freqüência. Para 
entender qualitativamente a razão disso, imagine que 
você module, ou seja, modifique a onda cortando 
algumas cristas de onda. Suponha que a crista 
representa dígitos binários, sendo que a crista 
cortada represente o 0 e a crista não modificada o 
algarismo 1. O número de algarismos binários que 
podemos transmitir por unidade de tempo é 
proporcional à freqüência da onda. A luz 
infravermelha e a luz visível possuem freqüências 
muito maiores que a das ondas de rádio, de modo 
que um feixe de laser modulado pode transmitir uma 
quantidade muito grande de informações através de 
um único cabo de fibras óticas. 
Outra vantagem dos sistemas que usam 
cabos de fibras óticas é que eles são isoladamente 
elétricos, não sofrem interferências produzidas por 
relâmpagos e outras fontes, e não permitem que 
correntes indesejadas surjam entre a fonte e o 
receptor. Elas são muito seguras e dificilmene 
apresentam falhas, mas também implicam 
dificuldades para montagem e para fazer junções. 
Em 1952, o físico Narinder Singh Kapany, 
com base nos estudos efetuados pelo físico inglês 
John Tyndall de que a luz poderia descrever um 
trajetória curva dentro de um material (no 
experimento de Tyndall esse material era água), 
pode concluir suas experiências que o levaram à 
invenção da fibra óptica. A fibra óptica é um 
excelente meio de transmissão utilizado em sistemas 
que exigem alta largura de banda, tais como: o 
sistema telefônico, videoconferência, redes locais 
(LANs), etc. Como mencionamos, há basicamente 
duas vantagens das fibras ópticas em relação aos 
cabos metálicos: A fibra óptica é totalmente imune a 
interferências eletromagnéticas, o que significa que 
os dados não serão corrompidos durante a 
transmissão. Outra vantagem é que a fibra óptica 
não conduz corrente elétrica, logo não haverá 
problemas com eletricidade, como problemas de 
diferença de potencial elétrico ou problemas com 
raios. O princípio fundamental que rege o 
funcionamento das fibras ópticas é o fenômeno 
físico denominado reflexão total da luz. Para que 
haja a reflexão total a luz deve sair de um meio mais 
para um meio menos refringente, e o ângulo de 
incidência deve ser igual ou maior do que o 
ângulo limite (também chamado ângulo de 
Brewster) 
As fibras ópticas são constituídas 
basicamente de materiais dielétricos (isolantes) 
que, como já dissemos, permitem total 
imunidade a interferências eletromagnética; 
uma região cilíndrica composta de uma região 
central, denominada núcleo, por onde passa a 
luz; e uma região periférica denominada casca 
que envolve o núcleo. O índice de refração do 
material que compõe o núcleo é maior do que o 
índice de refração do material que compõe a 
casca. 
 Núcleo: O núcleo é um fino filamento de 
vidro ou plástico, medido em micra (1 mm = 
0,000001m), por onde passa a luz. Quanto 
maior o diâmetro do núcleo mais luz ele pode 
conduzir. 
 Casca: Camada que reveste o núcleo. Por 
possuir índice de refração menor que o núcleo 
ela impede que a luz seja refratada, permitindo 
assim que a luz chegue ao dispositivo receptor. 
 Capa: Camada de plástico que envolve o 
núcleo e a casca, protegendo-os contra choques 
mecânicos e excesso de curvatura. 
 Fibras de resistência mecânica: São 
fibras que ajudam a proteger o núcleo contra 
impactos e tensões excessivas durante a 
instalação. Geralmente são feitas de um material 
chamado kevlar, o mesmo utilizado em coletes a 
prova de bala. 
 Revestimento externo: É uma capa que 
recobre o cabo de fibra óptica. 
Existem duas categorias de fibras ópticas: 
Multimodais e Monomodais. Essas categorias 
definem a forma como a luz se propaga no 
interior do núcleo. 
 Multimodais: As fibras multimodais 
possuem o diâmetro do núcleo maior do que as 
fibras monomodais, de modo que a luz tenha 
vários modos de propagação, ou seja, a luz 
percorre o interior da fibra óptica por diversos 
caminhos. As dimensões são 62,5 mm para o 
núcleo e 125 mm para a casca. Dependendo da 
variação de índice de refração entre o núcleo e a 
casca, as fibras multimodais podem ser 
classificadas em : Índice Gradual e Índice 
Degrau. 
 Monomodais: As fibras monomodais são 
adequadas para aplicações que envolvam 
grandes distâncias, embora requeiram 
conectores de maior precisão e dispositivos de 
alto custo. Nas fibras monomodais, a luz possui 
apenas um modo de propagação, ou seja, a luz 
percorre interior do núcleo por apenas um 
caminho. As dimensões do núcleo variam entre 
8 mm a 10 mm, e a casca em torno de 125 mm. 
As fibras monomodais também se diferenciam 
pela variação do índice de refração do núcleo 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 
9 
em relação à casca; classificam-se em Índice Degrau 
Standard, Dispersão Deslocada (Dispersion Shifed) 
ou Non-Zero Dispersion. 
Obs: As fibras ópticas transmitem luz com um 
comprimento de onda invisível ao olho humano. 
Portanto, nunca devemos olhar diretamente para 
uma fibra óptica enquanto ela estiver transmitindo, 
pois corremos o sério risco de ficarmos cego. 
 
Figura 11 - Fibras óticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Estrutura 
 
 
 
 
 
 
(b) Fribra óptica monomodal. 
 
 
 
 
(c) Fibra óptica multimodal 
 
 
 
 
 
 Dispersão 
 A luz branca comum é uma superposição 
de cores cujos comprimentos de onda abrangem 
todo o espectro visível. A velocidade da luz no 
vácuo é a mesma para todos os comprimentos de 
onda, porém, no interior de um material, ela varia 
com o comprimento de onda Portanto, o índice de 
refração de um material depende do comprimento de 
onda. A
dispersão indica como a velocidade da onda 
e o índice de refração dependem de seu 
comprimento de onda. 
A figura a seguir ilustra como varia o 
índice de refração n() para alguns materiais 
comumente usados em ótica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para quase todos os materiais, n aumenta 
quando o comprimento de onda  diminui, ou a 
freqüência f aumenta. Para esses materiais, a luz 
que possui o comprimento de onda maior se 
desloca com velocidade superior àquela que 
possui comprimento de onda menor. 
A figura a seguir mostra um feixe de 
luz branca incidindo em um prisma. O desvio 
produzido pelo prisma aumenta com o aumento 
do índice de refração e da freqüência e com a 
diminuição do comprimento de onda. A luz 
violeta sofre o maior desvio e a luz vermelha é a 
que se desvia menos. As demais cores sofrem o 
desvio entre esses extremos. 
Quando a luz emerge do prisma, ela se 
espalha e as cores são separadas. 
 
Figura 13 - Dispersão luminosa da luz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10 
10 
 
 índice n 
  
 
 
 
 
 Índice np 
  N2 
 
 N1 2 r2 
 1 i2 
i1 
 r1 
 
 
  
 
 O raio luminoso sofre duas refrações: a 
primeira ao entrar na interface entre o meio e o 
prisma: 
1 1i r p
sen n sen n 
 
1
1
i p
r
sen n
sen n



 
 E sofre um primeiro desvio angular 1; e a 
segunda refração: 
2 2i p r
sen n sen n 
 
2
2
r p
i
sen n
sen n



 
 Comparando as expressões: 
2
2
r
i
sen
sen


 1
2 1 2 1
1
i
r i i r
r
sen
sen

         
 
 Ao passar do prisma para o meio, sofrendo 
outro desvio angular 2. 
 Aplicando a geometria, temos: 
1 2   
 
2 2r i
   
 
1 2 1 21 1i r i r
         
 
2 2 2 22 2r i r i
         
 
1 2 2 2i r r i
       
 
1 2 2 2
( )i r i r       
 
1 2i r
     
 
2   
 
 Ao apreciar a beleza do arco-íris, você está 
vendo efeitos combinados de refração e reflexão. O 
Sol está atrás do observador e a luz se refrata para o 
interior de uma gotícula de água: a seguir ela é 
(parcialmente) refletida na parte interna posterior da 
gotícula de água e finalmente refratada, saindo da 
gotícula. A dispersão faz a separação das cores 
como resultado da refração que ocorre em ângulos 
diferentes para as diversas cores. Quando você vê 
um segundo arco íris, está vendo o resultado da 
dispersão e de duas reflexões que ocorrem na 
parte interna posterior da gotícula. Ambos os 
arco-íris, o arco-íris primário e o arco-íris 
secundário, podem ser vistos na figura a seguir. 
 
 Figura 14 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11 
11 
 Polarização 
 
A polarização é uma característica de todas 
as ondas eletromagnéticas. Essa seção descreve 
a luz, contudo, deve-se lembrar que a luz é um 
tipo de onda transversal, formada por campos 
elétrico e magnético, perpendiculares entre si e 
dependentes do tempo, que podem estar em 
algum dos eixos x,y ou z. 
Sempre definimos como direção de 
polarização de uma onda eletromagnética como 
a direção do campo elétrico E e não a direção 
do campo magnético, pois quase todos os 
detetores de ondas eletromagnéticas funcionam 
sob a ação da força elétrica sobre os elétrons do 
material e não pela ação da força magnética. 
 
Figura 15 - (A) Esquema de onda 
eletromgnética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nesse caso, os campos elétricos e 
magnéticos são dados por: 
 
 max ˆ( , )E x t E sen t kx j 

 
 
 max ˆ( , )B x t B sen t kx k 

 
 Nesse caso, a luz é polarizada na 
direção y. 
 
 Filtros Polarizadores 
As ondas produzidas por uma emissora 
de rádio são em geral linearmente polarizadas. 
A antena vertical de um telefone celular emite 
ondas contida num plano horizontal em torno da 
antena e que são polarizadas em uma direção 
vertical (paralela à antena). Se uma antena de 
TV no telhado de uma casa possui um elemento 
horizontal ela capta ondas polarizadas na 
horizontal, se o elemento na antena estiver na 
direção vertical, ela detecta as ondas polarizadas 
verticalmente. 
Para a luz, a situação é diferente. As 
fontes comuns, como as lâmpadas 
incandescentes ou fluorescentes, emitem luz que 
não é polarizada. As ―antenas‖ que são ondas 
luminosas são as moléculas que constituem as 
fontes de luz. A luz emitida por uma única 
molécula, pode ser linearmente polarizada como 
a onda emitida por uma antena de rádio. 
Contudo, qualquer fonte de luz que 
tenha um número extremamente grande de 
moléculas com orientações caóticas, de modo 
que a luz emitida possui ondas polarizadas 
aleatoriamente em todas as direções transversais 
possíveis. Essa luz é chamada de luz natural ou 
luz não polarizada. Para produzir um feixe de 
luz polarizada a partir de um feixe de luz natural 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 
12 
é necessário um filtro análogo ao filtro indicado na 
figura a seguir. 
 
Figura 16 – 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13 
13 
Os filtros usados para polarizar ondas 
eletromagnéticas possuem difrentes detalhes de 
construção, que dependem do comprimento de onda. 
Para microondas, que possuem comprimentos de 
onda da ordem de alguns centímetros, um bom filtro 
polarizador é uma grade de fios condutores 
próximos e paralelos, isolados entre si e igualmente 
espaçados (imagine uma grelha de churrasqueira 
com a moldura de ferro externa substituída por uma 
outra de material isolante.) Os elétrons podem se 
mover livremente ao longo dos fios em resposta a 
uma onda com um campo elétrico E paralelo aos 
fios. A corrente resultante que percorre
os fios 
dissipa calor com uma taxa Ri
2
; a energia dissipada é 
oriunda das ondas, de modo que as ondas que 
atravessam a grade de fios paralelos possuam 
amplitudes menores do que as amplitudes das ondas 
incidentes. As ondas com um campo elétrico E 
perpendicular aos fios atravessam a rede 
praticamente sem nenhuma alteracão, visto que os 
elétrons não podem mover-se através do ar entre os 
fios. Portanto, um feixe de ondas que passa através 
desse tipo de filtro emerge polarizado 
perpendicularmente ao plano dos fios. No caso da 
luz, o filtro polarizador mais comum é conhecido 
como polaróide – nome derivado de uma marca 
registrada Poloroid -, largamente utilizada em óculos 
de sol e como filtros polarizadores em câmeras 
fotograficas. Desenvolvido inicialmente pelo 
cientista americano Edwin H Land, esse material 
possui uma propriedade chamada de dicroísmo, 
uma absorção seletiva na qual um dos componentes 
de onda é absorvido muito mais acentuadamente do 
que o outro. Um filtro polaróide transmite mais de 
80% da intensidade da luz polarizada em uma 
direção paralela a um certo eixo do material, 
chamado de eixo polarizador, porém transmite 
menos de 1% quando a luz é polarizada em um eixo 
perpendicular a esse eixo. Em um tipo comum de 
filtro polaróide, existem longas cadeias de moléculas 
em seu interior orientadas em uma direção paralela 
ao comprimento dessa moléculas desenhando um 
papel análogo ao da grade de fios condutores que 
funcionam como filtro de microondas. 
Um filtro polarizador ideal, chamado 
simplesmente de polarizador, deixa passar 100% da 
luz polarizada que incide sobre ele quando a luz é 
linearmente polarizada na mesma direção do eixo do 
polarizador e bloqueia completamente a luz 
linearmente polarizada na mesma direção do eixo 
polarizador e bloqueia completamente a luz 
linearmente polarizada na direção perpendicular a 
esse eixo. Tal dispositivo é uma idealização 
inatingível, porém é um conceito útil para esclarecer 
idéias básicas. Nas discussões a seguir vamos 
assumir que todo polarizador seja ideal. Na figura 
anterio (c), uma luz não polarizada incide sobre um 
disco polarizador. O eixo do polarizador é indicado 
pela linha inclinada mostrada na figura. O valor de 
E do feixe incidente pode ser decomposto em 
componentes paralelos e perpendiculares ao 
eixo de polarização; somente os componentes 
de E paralelos ao eixo do polarizador são 
transmitidos. Portanto, a luz que emerge do 
polarizador é linearmente polarizada na direção 
paralela ao do eixo do polarizador. 
Quando um feixe de luz não polarizada 
incide sobre um polarizador ideal, como 
indicado na figura 16 (b), a intensidade da luz 
transmitida é exatamente igual a um meio da 
intensidade da luz não-polarizada incidente, 
qualquer que seja a direção do eixo polarizador. 
A explicação é a seguinte: podemos decompor o 
campo E em um componente paralelo e outro 
perpendicular ao eixo do polarizado. Como a 
luz incidente possui estados de polarização 
aleatórios, podemos dizer que, na média, os dois 
componentes são iguais. Como o polarizador 
ideal transmite apenas o componente paralelo ao 
seu eixo, podemos concluir que somentemetade 
da intensidade incidente é transmitida. 
Quando a luz linearmente polarizada 
que emerge de um polarizador incide sobre um 
segundo polarizador, como indicado na figura 
16 (b), considerando um caso geral, em que o 
eixo do segundo polarizador, ou analisador, faz 
um ângulo  com o eixo de polarização do 
primeiro polarizador, podemos decompor a luz 
polarizada transmitida pelo primeiro polarizador 
em duas componentes, um paralela e uma 
perpendicular ao eixo do analisador. 
Somente o componente paralelo, com 
amplitude Ecos, será transmitido pelo 
analisador. A intensidade do feixe transmitido, 
será máxima, quando =00 e será 0 quando 
=900, ou seja,o eixo do polarizador está 
cruzado com do analisador. Para determinar a 
direção da polarização da luz transmitida pelo 
primeiro polarizador, giramos o analisador até 
que a fotocélula mostrada indique intensidade 
igual a 0; nessa posição o eixo do primeiro 
polarizador é perpendicular ao eixo do 
analisador. Para determinar a intensidade 
transmitida para valores intermediários do 
ângulo , esta é proporcional ao quadrado da 
amplitude de onda. A razão entre a amplitude da 
onda transmitida e a amplitude da onda 
incidente é igual a cos; portanto a razão entre 
suas intendidades é cos
2. Logo, a inensidade da 
luz que emerge do analisador é dada pela Lei de 
Malus:, descoberta experimentalmente em 1809 
e vale somente quandoo feixe de luz que incide 
sobre o analisador já está linearmente 
polarizado: 
2
max cosI I 
 
Imax: intensidade máxima da luz 
transmitida. 
I: intensidade transmitida para um dado 
ângulo . 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14 
14 
 Polarização com reflexão 
 
A luz não polarizada pode ser polarizada 
parcial ou totalmente, por meio da reflexão. Na 
figura a seguir, um feixe de luz não polarizada 
incide na superfície de separação entre dois 
materiais transparentes: denomina-se plano de 
incidência o plano que contém o raio incidente, o 
raio refletido e anormal à superfície. 
Figura 17 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contudo, para determinado ângulo de 
incidência, denominado ângulo de polarização p, os 
componentes de E paralelos ao plano de incidência 
são totalmente refratados. 
Para esse mesmo ângulo de incidência, os 
componentes de E perpendiculares ao plano de 
incidência são parcialmente refletidos e 
parcialmente refratados. A luz refletida é, portanto, 
totalmente polarizada em um plano perpendicular ao 
plano de incidência, como indicado. 
A luz refratada é parcialmente polarizada 
em um plano paralelo a esse plano, logo a luz 
refratada é composta pela mistura da luz com o 
campo elétrico paralelo ao plano de incidência, 
cujos componentes são totalmente refratados, 
superpostos com os componentes perpendiculares 
restantes. 
E 1812, o cientista inglês Sir david 
Brewster descobriu que, quando o ângulo de 
incidência é igual ao ângulo de polarização p, o raio 
refletido é perpendicular ao raio refratado. Nesse 
caso, o ângulo de refração b torna-se igual ao 
complemento de p: 
090b p  
 
De acordo com a lei da refração: 
a p b bn sen n sen 
 
 90 cosa p b p b pn sen n sen n    
 
b
p
a
n
tg
n
 
 
(Lei de Brewster para o ângulo de polarização) 
A polarização por reflexão possibilita o 
uso de eficiente de filtros polarizadores em 
óculos de sol. Quando a luz solar é refletida por 
uma supefície horizontal, o plano de incidência 
é vertical e a luz refletida contém 
preponderantemente luz polarizada na direção 
horizontal. Quando a reflexão ocorre na 
superfície lisa do asfalto de uma estrada ou na 
superfície de um lago, ela produz um 
ofuscamento indesejável. A visão pode ser 
melhorada se o excesso de luz reponsável pelo 
ofuscamento for eliminado. O fabricante de 
óculos produz lentes com eixo de polarização na 
direção vertical, de modo que a maior parte da 
luz refletida com polarização horizontal não 
atinja seus olhos. Além disso, os óculos também 
reduzem em cerca de 50% a intensidade global 
da luz não polarizada que incide sobre suas 
lentes. 
Figura 18 – (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Luz circularmente polarizada
e 
elipticamente polarizada. 
Além da luz linearmente polarizada, a 
luz e outras ondas eletromagnéticas podem ser 
circularmente polarizadas ou elipticamente 
polarizadas. Para introduzir esses conceitos, 
vamos retornar mais uma vez aos estudos das 
ondas mecânicas em uma corda esticada. 
Quando duas ondas linearmente polarizadas 
estão em fase e possuem, mesma amplitude e se 
superpõe, como mostra a figura a seguir, cada 
ponto da corda deve possuir simultaneamente os 
deslocamentos y e z iguais em módulo. A onda 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15 
15 
resultante está contida em um plano que forma um 
ângulo de 45
0
 com os planos xy e xz. 
A amplitude da onda resultante é 
2
 
vezes maior do que a amplitude de cada onda 
componente, e a onda resultante é linearmente 
polarizada. 
Figura 19 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas vamos supor agora que as duas ondas 
mencionadas possuam uma diferença de fase de ¼ 
de ciclo. Então o movimento resultante de cada 
ponto corresponde a uma superposição de dois 
movimentos harmônicos simples ortogonais, com 
uma diferença de fase de ¼ de ciclo. O 
deslocamento y de um dado ponto é máximo quando 
o deslocamento z é igual a zero e vice versa. O 
movimento resultante da corda não está mais 
contido em um único plano. Podemos mostrar que 
cada ponto descreve uma circunferência contida em 
um plano paralelo ao plano yz. Os pontos sucessivos 
da corda contém diferença de fase consecutivas e o 
movimento resultante assemelha-se a um 
movimento helicoidal. Isso é mostrado no lado 
esquerdo do polarizador indicado da figura 15. Esse 
tipo particular de superposição de duas ondas 
linearmente polarizadas denomina-se polarização 
circular. Por convenção dizemos que a luz é 
circularmente polarizada direita ou destrógira 
quando o sentido do movimento de uma partícula da 
corda, para um observador que olhe a onda se 
aproximar frontalmente é horário: a luz é 
circularmente polarizada esquerda ou levógira se o 
sentido do movimento é contrário, ou seja, anti-
horário. 
Na figura acima, mostra-se a situação 
análoga para o caso de uma onda eletromagnética. 
Ocorrem a superposiçao de duas ondas senoidais de 
amplitudes iguais, polarizadas ao longo dos eixos y e 
z e com uma diferença de fase de ¼ de ciclo. Na 
onda resultante, o vetor E em cada ponto possui 
módulo constante, porém gira em torno da direção 
de propagação da onda. A figura ilustra o caso de 
uma onda circularmente polarizada destrógira, pois 
quando a onda se aproxima de você o vetor E gira 
para a direita. 
Quando a diferença de fase entre as 
ondas componentes é diferente de um quarto de 
ciclo, ou quando as duas ondas componentes 
possuem amplitudes diferentes, então cada 
ponto da corda, em vez de descrever uma 
circunferência, passa a escrever uma elipse. A 
onda resultante é chamada de elipticamente 
polarizada. 
Para as ondas eletromagnéticas na faixa 
de radiofreqüência, a polarização circular o 
elíptica pode ser produzida usando-se duas 
antenas perpendiculares, alimentadas pelo 
mesmo transmissor, porém com circuitos 
projetados para se produzir diferenças de fase 
apropriadas. No caso da luz, a diferença de fase 
necessária para ser obtida usando-se um 
material com birrefringência, ou seja, aquele 
que possui dois índices de refração para ondas 
polarizadas em planos perpendiculares entre si. 
Um exemplo comum é a calcita (CaCO3). 
Quando um cristal de calcita está orientado 
convenientemente em relação a um feixe de luz, 
não-polarizada, seu índice de refração para um 
comprimento de onda de 589 nm é igual a 1.658 
para uma onda polarizada em certa direção e 
igual a 1.486 para uma onda polarizada em uma 
direção perpendicular à primeira. Quando duas 
ondas com amplitudes iguais e polarizadas em 
planos perpendiculares entre si penetram nesse 
material, elas se propagam no interior desse 
material com velocidades diferentes. . Quando 
elas estão em fase ao penetrar no material, então 
geralmente não estão em fase quando dele 
emergem. Quando o material possui uma 
espessura apropriada suficiente para produzir 
uma diferença de um quarto de ciclo, o cristal 
converte luz linearmente polarizada em luz 
circularmente polarizada. Esse tipo de cristal é 
chamado de lâmina de um quarto de onda ou 
placa de um quarto de onda. Essa placa também 
pode converter luz circularmente polarizada em 
luz linearmente polarizada. Você é capaz de 
demonstrar essa afirmação? 
 
 Fotoelasticidade 
 
Alguns materiais que normalmente não 
exibem birrefringência podem se tornar bir-
refringentes quando submetidos a tensões 
mecânicas. Essa c a base de uma ciência deno-
minada fotoelasticidade. Tensões em vigas, nas 
paredes de caldeiras e nos pilares de uma 
catedral podem ser analisadas construindo-se 
um modelo transparente do objeto, geralmente 
de um material plástico, submetendo o objeto a 
tensões e analisando-o com luz polarizada entre 
um polarizador cruzado com um analisador. 
Distribuições de tensões extremamente 
complicadas podem ser analisadas com esse 
método ótico. 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 16 
16 
 Espalhamento da Luz 
 
O céu é azul. O pôr-do-sol é vermelho. A luz 
do céu é parcialmente polarizada: por isso, quando 
olhamos para o céu usando óculos com lentes 
polaróides notamos que o céu em certas direções 
parece mais escuro do que em outras. Um mesmo 
fenômeno é responsável por todos esses efeitos. 
Ao olhar para o céu durante o dia, a luz que 
você vê é a luz solar que foi absorvida e depois 
retransmitida em muitas direções. Esse fenômeno 
denomina-se espalhamento. (Caso a Terra não 
possuísse atmosfera, o céu seria negro tanto durante 
o dia quanto à noite, tal como um astronauta vê o 
céu em volta da Lua quando ele está no espaço ou 
sobre a superfície lunar: você veria a luz solar 
somente quando olhasse diretamente para o Sol e 
poderia observar as estrelas também durante o dia.) 
A Figura 20 mostra alguns detalhes do processo do 
espalhamento. A luz solar, que não é polarizada, 
incide da esquerda para a direita ao longo do eixo 
Ox e passa acima de um observador que está 
olhando verticalmente de baixo para cima ao longo 
do eixo Oy. (Estamos vendo a cena lateralmente.) 
Considere moléculas do ar atmosférico localizadas 
no ponto O. As cargas elétricas de cada molécula 
oscilam por causa da ação do campo elétrico da luz 
solar. Como a luz é uma onda transversal, a direção 
do campo elétrico de qualquer componente do feixe 
da luz solar permanece sobre o plano yz; e o 
movimento das cargas deve ocorrer sobre esse 
plano. Não existe nenhum campo e, portanto, 
nenhum movimento ao longo do eixo Ox. 
Uma onda de luz com o campo elétrico E 
formando um ângulo  com o eixo Oz obriga as 
cargas elétricas das moléculas a vibrar ao longo da 
direção de E, conforme indicado pelas setas em 
torno de O. Podemos decompor essa vibração em 
uma vibração ao longo do eixo Oy e outra ao longo 
do eixo Oz. Cada componente da luz incidente 
produz o efeito semelhante ao de uma "antena", 
oscilando com a mesma freqüência da luz incidente 
e situada sobre o eixo Oy e sobre o eixo Oz. 
 
Figura 20 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma carga oscilante não irradia na 
direção de sua vibração. Portanto, a "antena" ao 
longo do eixo Oy não emite nenhuma luz para o 
observador que está diretamente
abaixo, embora 
ela emita luz nas outras direções. Assim, a luz 
que atinge o observador deitado é proveniente 
de outras "antenas" moleculares 
correspondentes às cargas que oscilam do eixo 
Oz. Essa luz é linearmente polarizada, com o 
campo elétrico ao longo do eixo Oz. Os vetores 
com setas opostas paralelos ao eixo Oz abaixo 
do ponto O indicado na Figura 20 mostram a 
direção da polarização da luz que incide sobre o 
observador deitado. 
Como o feixe original da luz solar 
passa através da atmosfera, sua intensidade 
diminui à medida que a energia é retirada para a 
luz espalhada. Uma análise rigorosa do processo 
de espalhamento mostra que a intensidade da 
luz espalhada pelas moléculas do ar aumenta 
com a quarta potência da freqüência (é 
inversamente proporcional à quarta potência do 
comprimento de onda). Logo, a razão entre as 
intensidades dos dois extremos do espectro 
visível é dada por (700 nm/400 nm)
4
 = 9,4. 
Fazendo-se uma aproximação, podemos dizer 
que a luz azul é cerca de nove vezes mais 
espalhada do que a luz vermelha. É por isso que 
o céu é azul. 
As nuvens contêm uma concentração 
elevada de gotículas de água e de pequenos 
cristais de gelo que também espalham a luz. Por 
causa disso, a luz que passa através das nuvens 
possui mais centros de espalhamento de tipos 
diferentes do que no caso do céu sem nenhuma 
nuvem. Portanto, a luz com todos os 
comprimentos de onda acaba sendo espalhada, 
de modo que as nuvens parecem brancas. A cor 
do leite é branca pela mesma razão: todas as 
cores são espalhadas por pequenos glóbulos de 
gordura existentes no leite. Se você diluir o leite 
misturando-o com uma quantidade de água 
suficiente, a concentração dos glóbulos de 
gordura passará a ser muito pequena, de modo 
que a cor azul será espalhada mais 
substancialmente do que as outras cores; 
portanto, a solução fortemente diluída será azul 
e não branca. (O leite sem gordura, que também 
contém uma pequena concentração de glóbulos, 
exibe, pela mesma razão, uma cor ligeiramente 
azulada.) 
Perto do pôr-do-sol quando a luz solar 
atravessa uma extensa camada da atmosfera ter-
restre, uma grande quantidade da luz azul é 
removida pelo espalhamento na atmosfera. A 
luz solar sem a cor azul parece ser vermelha ou 
ligeiramente amarela. Isso explica por que você 
geralmente vê a luz solar amarela ou vermelha 
durante o poente (e isso é notado pelo obser-
vador indicado no lado direito da Figura 20.) 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 17 
17 
Como a luz solar é parcialmente polarizada, 
um polarizador pode ser útil na arte fotográfica. 
Você pode obter uma fotografia do céu escuro 
usando um polarizador com um eixo perpendicular à 
direção do eixo com a polarização predominante da 
luz espalhada. A luz mais fortemente polarizada 
provém da parte do céu que está a 90
0
 afastada da 
direção da luz proveniente do Sol — por exemplo, a 
direção diretamente acima de nossa cabeça quando o 
Sol está no levante ou no poente. 
 
 Princípio de Huygens 
 
As leis da reflexão e da refração que 
estudamos anteriormente foram descobertas 
experimentalmente muito tempo antes de a 
natureza ondulatória da luz ser de fato 
comprovada. Contudo, podemos deduzir essas 
leis a partir de considerações ondulatórias e 
mostrar que elas são consistentes com a natureza 
ondulatória da luz. O mesmo tipo de análise que 
faremos aqui será muito importante quando 
estudarmos a ótica física. 
Vamos começar com um princípio 
conhecido como princípio de Huygens. Em 1678 o 
cientista holandês Christian Huygens formulou um 
princípio que permite a construção geométrica de 
uma nova frente de onda a partir de uma frente de 
onda conhecida em um dado instante. Huygens 
afirmou que todos os pontos de uma frente de onda 
podem ser considerados fontes de ondas 
secundárias que se espalham para fora com uma 
velocidade igual à velocidade de propagação da 
onda. A nova frente de onda em um instante 
posterior pode ser determinada construindo-se uma 
superfície que tangencie as ondas secundárias, ou, 
como se costuma dizer, traçando-se a envoltório 
das ondas secundárias. Todos os resultados obtidos 
a partir da aplicação do princípio de Huygens 
também podem ser conseguidos com as equações 
de Maxwell. Logo, ele não é um princípio 
independente, mas de uma ferramenta geralmente 
útil para explicar fenômenos ondulatórios. 
O princípio de Huygens é ilustrado na 
Figura 21. A frente de onda AA' está se deslocando 
para fora de uma fonte, como indicam as pequenas 
setas. Vejamos determinar a forma da frente de onda 
depois de um intervalo de tempo t. Seja v a 
velocidade de propagação da onda; então no 
intervalo de tempo t ela se deslocou de uma 
distância vt. Construímos diversas circunferências 
(interseções das ondas secundárias esféricas com o 
plano) centralizadas nos pontos da frente de onda 
AÃ' com raios vt. A envoltória dessas ondas 
secundárias, que fornece a nova frente de onda, é a 
curva BB'. Estamos supondo que a velocidade v seja 
a mesma em todos os pontos e em todas as direções. 
Para deduzir a lei da reflexão a partir do princípio de 
Huygens, consideramos uma onda plana 
aproximando-se de uma superfície refletora plana. 
 Na Figura 34.27, as linhas AA', OB' e 
NC' representam posições sucessivas das frentes 
de onda que se aproximam da superfície MM'. O 
ponto A da frente de onda AA´ acaba de atingir a 
superfície refletora. Podemos usar o princípio de 
Huygens para determinar a frente de onda 
depois de um intervalo de tempo t. Usando os 
pontos da reta AA´ como centros, podemos 
desenhar diversas ondas secundárias com raios 
vt. As ondas secundárias que se originam na 
extremidade superior de AA´ se espalham até 
encontrar o obstáculo, e a envoltória dessas 
ondas fornece o segmento OB' da nova frente de 
onda. Caso a superfície refletora não existisse, 
as ondas secundárias que se originam na 
extremidade inferior de AA´ se espalhariam de 
modo análogo e atingiriam as posições 
indicadas pelas linhas tracejadas. Em vez disso, 
essas ondas secundárias atingem a superfície 
refletora. 
 A superfície refletora produz uma 
variação da direção dessas ondas secundárias 
que incidem sobre ela, de modo que as ondas 
secundárias que deveriam penetrá-la na 
realidade retornam para o lado esquerdo da 
superfície, como indicam as linhas contínuas. 
A primeira dessas ondas secundárias está 
centralizada no ponto A; a envoltória das 
ondas secundárias que retornam é o segmento 
OB da frente de onda. O traço da frente de 
onda completa nesse instante fornece o ângulo 
definido pela linha BOB'. Um raciocínio 
semelhante permite a construção da linha 
CNC´ para a frente de onda depois de outro 
intervalo de tempo t. 
 
Figura 21 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a geometria plana, o 
ângulo a entre a frente de onda incidente e a 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 18 
18 
superfície é igual ao ângulo entre o raio incidente e 
a normal à superfície, e, portanto, é o ângulo de 
incidência. 
Analogamente, r, é o ângulo de reflexão. 
Para achar a relação entre esses dois ângulos, 
observe a Figura 22. A partir de O desenhamos o 
segmento OP = vt, perpendicular a AA´. O segmento 
OB, por construção, é tangente ao círculo vt com 
centro em A. Desenhando o segmento AQ a partir de 
A até o ponto de tangência,
os triângulos APO e 
OQA são congruentes porque são triângulos 
retângulos que possuem o lado comum AO e o lado 
AQ = OP = vt. Portanto, concluímos que a = r, 
obtendo assim a lei da reflexão. 
Figura 22 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos deduzir a lei da refração fazendo 
um raciocínio semelhante. Na Figura 23 temos uma 
frente de onda plana, representada pela linha reta 
AA'. para a qual o ponto A acaba de incidir sobre a 
interface SS' entre os dois materiais transparentes a e 
b que possuem índices de refração na e nb e nos 
quais as velocidades das ondas são va e vb. (As ondas 
refletidas não são indicadas nessa figura; elas se 
propagam exatamente como indicado na Figura 22). 
Podemos aplicar o princípio de Huygens 
para determinar as posições das frentes de onda 
depois de um intervalo de tempo t. 
Usando os pontos da reta AA' como centros, 
desenhamos diversas ondas secundárias. Aquelas 
que se originam na extremidade superior de AA' se 
deslocam com velocidade va e, depois de um 
intervalo de tempo t, são superfícies esféricas com 
raio vt. Contudo, a onda secundária com origem no 
ponto A se desloca no segundo material com 
velocidade vb, e. depois de um intervalo de tempo t, 
é uma superfície esférica com raio vbt. A envoltória 
das ondas secundárias obtidas a partir da frente de 
onda inicial é a nova frente de onda cuja interseção 
com o plano da página fornece a linha BOB'. Uma 
construção semelhante nos permite traçar a linha 
CPC' depois de um segundo intervalo de tempo t. 
O ângulo a entre a superfície e a frente de 
onda incidente é o ângulo de incidência, e o ângulo 
b, entre a superfície e a frente de onda refratada é o 
ângulo de refração. Para verificar a relação entre 
esses ângulos observe a Figura 23 (b). Desenhe o 
segmento OQ = vat na direção perpendicular a AQ e 
trace o segmento AB = vbt na direção 
perpendicular a BO. 
Pelo triângulo AOQ: 
a
a
v t
sen
AO
 
 
Pelo triângulo AOB: 
b
b
v t
sen
AO
 
 
Combinamos as relações anteriores e 
teremos: 
a a
b b
sen v
sen v



 
Figura 23 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
a a b bn c v n c v  
 
b b a
a a b
n c v v
n c v v
 
 
a b
b a
sen n
sen n



 ou 
a a b bsen n sen n 
 
que reconhecemos como a lei de Snell. Desse 
modo, deduzimos a lei de Snell a partir de uma 
teoria ondulatória. Alternativamente, podemos 
considerar a lei de Snell um resultado 
experimental que define o índice de refração de 
um material; nesse caso, a análise anterior ajuda 
a confirmar a relação v = c/n para a velocidade 
em um material. 
As miragens fornecem outro exemplo 
do emprego do princípio de Huygens. Quando 
os raios solares aquecem a superfície de um 
pavimento ou a areia do deserto, forma-se nos 
arredores da superfície, uma camada quente, 
menos densa, com índice de refração n menor 
do que o índice de refração da camada superior. 
A velocidade da luz nessas áreas da superfície é 
ligeiramente maior do que nas vizinhanças da 
camada superior, e as ondas secundárias de 
Huygens possuem raios um pouco maiores, de 
modo que as frentes de onda se inclinam 
levemente e os raios que se aproximam da 
superfície com ângulos de incidência elevados, 
(próximos de 90°) se encurvaram para cima, 
como indicado na Figura 24. O raio de luz que 
está afastado do solo não sofre quase nenhum 
desvio e se propaga praticamente em linha reta. 
O observador vê o objeto em sua posição 
natural, juntamente com uma imagem invertida 
embaixo dela, como se ela estivesse observada 
refletida por uma superfície horizontal. Mesmo 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 19 
19 
quando a turbulência do ar aquecido impede a 
formação de uma imagem invertida nítida, o cérebro 
do viajante sedento interpreta a imagem como se ela 
estivesse refletida pela superfície do lago. 
 
 
Figura 24 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vidro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 20 
20 
 Introdução 
 
Seu reflexo no espelho do banheiro, a Lua vista 
por meio de um telescópio, os desenhos observados 
em um caleidoscópio; todas essas visões são 
exemplos de imagens. Em cada um desses casos, os 
objetos são vistos em posições aparentes diferentes 
das posições nas quais eles realmente se encontram; 
seu reflexo forma uma imagem do outro lado do 
espelho, a Lua parece estar muito mais próxima 
quando você a observa através do telescópio e um 
objeto visto em um caleidoscópio parece estar em 
diversos lugares ao mesmo tempo. Em cada caso, 
um raio de luz proveniente de um ponto do objeto 
sofre um desvio produzido por reflexão ou refração 
(ou uma combinação dos dois efeitos) e parecem 
divergir de ou convergir para um ponto chamado de 
imagem puntiforme. Nosso objetivo é verificar 
como isso ocorre e estudar os diferentes tipos de 
imagens que podem ser obtidos usando-se um 
dispositivo ótico simples. 
Para entender as imagens e como elas são 
formadas, precisamos apenas do modelo da 
descrição da luz por meio de raios, as leis da 
reflexão e da refração e um pouco de geometria e de 
trigonometria. O papel central desempenhado pela 
geometria em nossa análise é o principal motivo de 
usarmos o nome ótica geométrica para designar o 
estudo da formação de imagens. 
Começaremos pelo espelho plano, um dos 
dispositivos óticos mais simples para a formação de 
imagens. A seguir estudaremos como as imagens 
são formadas por espelhos curvos, por superfícies 
refratoras e por lentes delgadas. Nossos estudos 
servirão de base para entender o funcionamento de 
muitos instrumentos óticos familiares, incluindo a 
máquina fotográfica, a lupa, o olho humano, o 
microscópio e o telescópio. 
 
 REFLEXÃO E REFRAÇÃO EM EMA SUPERFÍCIE PLANA 
 
Antes de discutir o que significa uma imagem, 
inicialmente precisamos do conceito de objeto 
empregado na ótica. Chamamos de objeto qualquer 
coisa da qual emanem raios de luz. Quando a luz é 
emitida pelo próprio objeto dizemos que ele possui 
luz própria — como, por exemplo, o filamento de 
uma lâmpada comum. Alternativamente, depois de 
emitida por uma fonte (como o Sol ou uma 
lâmpada), a luz se reflete no objeto; por exemplo, 
quando você lê este livro, a luz é refletida pelas 
páginas do livro. A Figura l mostra raios de luz 
irradiados em todas as direções por um objeto 
situado no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Espelho plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que um observador veja diretamente o 
objeto é necessário que não haja nenhum 
obstáculo entre o objeto e o olho do observador. 
Note que os raios que partem do objeto chegam 
ao olho do observador formando ângulos 
diferentes; a diferença entre os dois ângulos é 
processada no cérebro do observador
para obter 
uma estimativa da distância entre o observador e 
o objeto. 
O objeto P indicado na Figura 1 denomina-
se objeto puntiforme e é representado por um 
ponto que não possui nenhuma dimensão. Os 
objetos reais que possuem comprimento, largura 
e altura são chamados de objetos estendidos. 
Inicialmente vamos considerar um objeto ideal 
concentrado em um ponto, visto que um objeto 
estendido pode ser um conjunto muito grande de 
objetos puntiformes. 
Suponha que alguns raios provenientes do 
objeto atinjam uma superfície plana refletora 
(Figura 1 (b)). Essa superfície poderia ser a 
fronteira de um material com índice de refração 
diferente, que reflete parte da luz incidente, ou 
então uma superfície metálica polida que reflete 
quase 100% da luz incidente. Vamos sempre 
representar uma superfície refletora como uma 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 21 
21 
linha negra com um sombreado adjacente na parte 
traseira da interface, como na Figura 2. Os espelhos 
usados em banheiros possuem uma fina placa de 
vidro na parte dianteira da superfície refletora para 
protegê-la: desprezaremos o efeito dessa fina placa 
de vidro. 
De acordo com a lei da reflexão, para todo 
raio que atinge a superfície o ângulo de incidência é 
igual ao ângulo de reflexão. Como a superfície é 
plana, a normal é sempre perpendicular à superfície 
em todos os seus pontos e a reflexão é especular. 
Parece que os raios depois de refletidos emanam de 
um ponto P'. Chamamos o ponto P de objeto 
puntiforme e o ponto P' correspondente denomina-se 
imagem puntiforme; dizemos então que a superfície 
refletora forma uma imagem do ponto P. Um 
observador que esteja vendo apenas os raios re-
fletidos pela superfície e que não sabe que está 
vendo uma reflexão pensa que os raios estão 
emanando do ponto onde se forma a imagem P'. A 
imagem puntiforme é portanto um modo 
conveniente de descrever as direções dos diversos 
raios refletidos, assim como o objeto puntiforme P 
descreve as direções dos raios que atingem a 
superfície antes da reflexão. 
Se a superfície indicada na Figura 2 não 
fosse lisa, ocorreria uma reflexão difusa e os raios 
refletidos de diversos pontos da superfície 
possuiriam direções diferentes. Nesse caso não 
haveria a formação de uma imagem puntiforme P' a 
partir da qual os raios parecem emanar. Ao olhar 
para uma superfície metálica comum você não 
consegue ver sua imagem refletida porque 
geralmente essa superfície é rugosa; fazendo o 
polimento do metal você alisa a superfície de modo 
que a reflexão especular se torna possível e vê-se 
uma imagem refletida. 
Uma imagem também é formada por uma 
superfície plana refratora, como indicado na Figura 
3. Os raios provenientes de um ponto P são 
refratados na interface entre dois materiais 
transparentes. Quando os ângulos de incidência são 
pequenos, as direções dos raios depois da refração 
são oriundas de um ponto P', conforme indicado, e 
chamamos novamente P' de imagem puntiforme. 
Mostramos como esse efeito faz com que um objeto 
imerso na água pareça estar mais próximo da 
superfície do que sua posição real (Veja a Figura 2). 
 
Figura 2 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os raios não passam através da 
imagem puntiforme P'. Na verdade quando o 
espelho na Figura 1 é opaco não existe 
absolutamente nenhuma luz em seu lado direito. 
Quando os raios emergentes não passam 
efetivamente no local onde se encontra o objeto, 
dizemos que nesse local se forma uma imagem 
virtual. Mais adiante analisaremos casos para os 
quais os raios passam efetivamente no local 
onde se encontra o objeto — dizemos que nesse 
local se forma uma imagem real. As imagens 
que se formam sobre uma tela de cinema, sobre 
a película de uma máquina fotográfica e sobre 
as retinas dos seus olhos são exemplos de 
imagens reais. 
 
 FORMAÇÃO DA IMAGEM EM UM 
ESPELHO PLANO 
 
Vamos no momento nos concentrar na 
descrição de imagens formadas por reflexão; 
voltaremos ao problema da refração mais 
adiante neste capítulo. Para localizar a imagem 
virtual P' que um espelho plano forma para um 
objeto P usaremos a construção indicada na 
Figura 3. A figura mostra dois raios oriundos de 
um objeto puntiforme P situado a uma distância 
s à esquerda de um espelho plano. 
 
Figura 3- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamaremos s de distância do objeto. O 
raio PV incide ortogonalmente sobre o espelho 
plano (ou seja, ele é perpendicular à superfície 
do espelho) e retorna na mesma direção do raio 
original. 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 22 
22 
O raio PB forma um ângulo 0com o raio PV. 
Ele atinge o espelho plano com ângulo de incidência 
O e se reflete formando o mesmo ângulo com a 
normal. Estendendo os dois raios refletidos para trás 
do espelho, eles se cruzam em um ponto P' situado a 
uma distância s' atrás do espelho. Chamaremos s' de 
distância da imagem. 
A linha que liga P com P' é perpendicular ao 
espelho. Os dois triângulos são congruentes, de 
modo que P e P' possuem distâncias iguais até o 
espelho plano e portanto s e s' possuem módulos 
iguais. A distância entre o espelho e a imagem P' 
formada atrás do espelho é exatamente igual a 
distância na frente do espelho entre o objeto P e a 
superfície do espelho. 
Podemos repetir a construção indicada na 
Figura 3 para qualquer raio que emane do ponto P. 
A direção de qualquer raio refletido é tal que parece 
que ele é oriundo do ponto P', confirmando que P' é 
a imagem de P. Qualquer que seja a posição da 
pessoa que está observando o objeto, ela sempre 
verá a imagem localizada no ponto P'. 
 
 REGRAS DE SINAIS 
 
Antes de prosseguir vamos introduzir algumas 
regras de sinais. Elas podem parecer 
desnecessariamente complicadas para o caso simples 
da imagem formada por um espelho plano, porém 
desejamos formular essas regras de modo que 
possam ser aplicadas para quaisquer situações que 
sejam encontradas mais adiante. Essas situações 
incluem a formação de imagens por meio da 
reflexão ou da refração em interfaces planas ou 
esféricas ou de um par de superfícies refratoras que 
formam uma lente. As regras são: 
1. Regra do sinal para a distância do objeto: 
Quando o objeto está do mesmo lado da luz que 
incide sobre a superfície refletora ou refratora, a 
distância do objeto s é positiva; em caso contrário, é 
negativa. 
2. Regra do sinal para a distância da imagem: 
Quando a imagem está do mesmo lado da luz que 
emerge da superfície refletora ou refratora, a 
distância da imagem s' é positiva; 
em caso contrário, é negativa. 
3. Regra do sinal para o raio de curvatura de 
uma superfície esférica: Quando o centro de 
curvatura Cesta do mesmo lado da luz que emerge 
da superfície refletora ou refratora, o raio de 
curvatura é positivo; em caso contrário, é negativo. 
Para um espelho o lado do raio incidente é 
sempre o mesmo do raio emergente; por exemplo, 
nos dois casos indicados nas figuras 2 e 4 o lado em 
questão é o lado esquerdo. Para a superfície refratora 
indicada na Figuras 2, o lado da luz incidente é o 
lado esquerdo da interface entre os materiais e o 
lado da luz emergente é o direito. 
Na Figura 3 a distância do objeto s é positiva 
porque o objeto puntiforme P está do lado da luz 
incidente sobre a superfície refletora (o lado 
esquerdo). 
A distância da imagem s' é negativa porque
a imagem puntiforme P' não está do lado da luz 
que emerge da superfície refletora (o lado 
esquerdo). As distâncias s e s´ são relacionadas 
por 
s s
 
~ 
Para uma superfície refletora ou 
refratora plana, os raios de curvatura são 
infinitos e, portanto, não fornecem nenhuma 
informação útil; para esses casos na verdade não 
necessitamos da terceira regra. Porém, mais 
adiante neste capítulo, veremos que essa regra 
será extremamente útil quando estudarmos a 
formação de imagens no caso de interfaces 
curvas que refletem ou refratam a luz. 
 
 FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM 
OBJETO - ESPELHO PLANO 
 
Vamos agora considerar um objeto 
estendido com um tamanho definido. Por 
simplicidade geralmente tomamos um objeto 
que possui apenas uma dimensão, tal como uma 
seta estreita orientada paralelamente à superfície 
refletora, como a seta PQ na Figura 5. 
 
Figura 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distância entre o ponto inicial e a 
extremidade da seta indicada desse modo é sua 
altura; na Figura 5 a altura é y. A imagem 
formada por esse objeto estendido é uma 
imagem estendida; cada ponto do objeto possui 
um ponto correspondente da imagem. 
Mostramos dois raios provenientes do ponto Q; 
parece que todos os raios provenientes de Q 
divergem da imagem puntiforme Q' depois da 
reflexão. A imagem da seta é o segmento P'Q', 
com altura y'. Os outros pontos do objeto PQ 
possuem imagens entre os pontos P' e Q'. Os 
triângulos PQV e P'Q'V são congruentes, de 
modo que PQ possui a mesma dimensão e 
orientação da imagem P'Q', logo y = y'. A razão 
entre a altura da imagem e a altura do objeto, 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 23 
23 
y'/y, em qualquer situação de formação de imagem, 
denomina-se ampliação transversal m; ou seja: 
y
m
y


 
(ampliação transversal) 
Logo, para um espelho plano a ampliação 
transversal m é igual a l. Quando você olha para um 
espelho plano, sua imagem possui um tamanho igual 
ao seu. 
Na Figura 5 a seta que representa a imagem 
aponta na mesma direção e no mesmo sentido da 
seta que representa o objeto; dizemos que a imagem 
está em pé, é direita ou então que se trata de uma 
imagem ereta. Nesse caso, y e y' possuem o mesmo 
sinal e a ampliação transversal m é positiva. A 
imagem formada por um espelho plano é sempre 
ereta, de modo que y e y' possuem sempre o mesmo 
sinal e o mesmo módulo; de acordo com a Equação 
da ampliação transversal é sempre dada por m = +1. 
Mais adiante encontraremos situações nas quais 
obtemos uma imagem invertida, ou seja, a seta da 
imagem aponta no sentido oposto à seta que 
identifica o objeto. Para uma imagem invertida, v e 
v' possuem sempre sinais contrários e a ampliação 
transversal m é sempre negativa O objeto indicado 
na Figura 5 possui apenas uma dimensão, sua altura 
y'. A Figura 6 mostra um objeto em três dimensões 
formando uma imagem virtual em três dimensões 
em um espelho plano. O sentido aparente da imagem 
é relacionado com o sentido do objeto do mesmo 
modo que a mão esquerda é relacionada com a mão 
direita. 
 
Figura 6 - 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Você certamente perguntará: "Por que 
a imagem é reversa e troca a direita com a 
esquerda porém mantém o sentido vertical de 
baixo para cima inalterado?" A pergunta é 
embaraçosa! Como se observa na Figura 6 (a), 
tanto a imagem vertical P'Q' quanto a imagem 
horizontal P'S' são indicadas por vetores 
paralelos aos respectivos vetores do objeto e não 
sofrem nenhuma reversão! Somente o vetor que 
indica a imagem frontal de trás para frente PT? 
é que está invertido em relação ao vetor que 
indica o objeto PR. Portanto, seria mais correto 
dizer que um espelho plano reverte apenas o 
sentido de frente para trás na direção frontal em 
relação ao espelho. Para verificar essa formação 
de imagens aponte seus dois polegares ao longo 
de PR e PT?', os dedos indicadores ao longo de 
PQ e P'Q' e. seus dedos médios ao longo de PS 
e P'S'. Para evitar confusão com a definição de 
imagem invertida feita anteriormente, dizemos 
que a imagem obtida por um espelho plano 
constitui uma imagem reversa: objetivamente 
somente ocorre inversão no sentido de frente 
para trás na direção frontal em relação ao 
espelho. A imagem reversa formada por um 
espelho plano de um objeto em três dimensões 
possui o mesmo tamanho do objeto em todas as 
dimensões. A imagem é ereta na direção 
paralela ao espelho. Portanto, um espelho plano 
forma sempre uma imagem ereta porém reversa. 
A Figura 6 (b) fornece um exemplo disso. 
Uma propriedade importante de todas 
as imagens formadas por superfícies refletoras 
ou refratoras é que uma imagem formada por 
uma superfície ou por um dispositivo ótico pode 
servir como um objeto para a formação de outra 
imagem para uma segunda superfície ou dis-
positivo. A Figura 7 fornece um exemplo 
simples. 
Figura 7 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 24 
24 
O espelho l forma uma imagem P, ' de um 
objeto situado no ponto P e o espelho 2 forma outra 
imagem P', cada uma delas do modo que acabamos 
de descrever. Porém, além disso, a imagem P,' 
formada pelo espelho l serve como objeto para o 
espelho 2, que a seguir forma uma imagem desse 
novo objeto no ponto P^' como indicado. 
Analogamente, o espelho l usa a imagem P,' 
formada pelo espelho 2 como um objeto para formar 
uma imagem sobre ele. 
Deixamos para você demonstrar que a 
imagem puntiforme obtida está também no ponto 
P,'. A idéia de que uma imagem formada por um 
dispositivo ótico pode servir como um objeto para a 
formação de outra imagem para um segundo 
dispositivo é de importância fundamental na ótica 
geométrica. Mais adiante neste capítulo usaremos 
essa ideia para localizar a imagem que sofre duas 
refrações sucessivas nas superfícies curvas de uma 
lente; no Capítulo 36 essa ideia nos ajudará a 
entender a formação de imagens em dispositivos, 
contendo combinações de lentes, tais como um 
microscópio ou um telescópio refrator. 
 
 Reflexão em superfície esférica 
 
Um espelho plano produz uma imagem do 
mesmo tamanho do objeto. Porém existem muitas 
aplicações para as quais as imagens e os objetos 
devem possuir tamanhos diferentes. O espelho usado 
pelo dentista gera uma imagem maior do que a do 
objeto e o espelho de monitoramento produzem 
imagem menor do que a do objeto. Existem também 
algumas aplicações de espelhos nas quais se busca 
obter uma imagem real, de modo que a luz passe 
efetivamente pela imagem puntiforme P'; um 
exemplo é o telescópio refletor, no qual se coloca 
uma placa fotográfica para gravar a imagem de uma 
estrela muito distante. Um espelho plano não serve 
para realizar nenhuma dessas tarefas. Ao contrário, 
somente espelhos curvos podem ser usados nessas 
aplicações. 
Vamos considerar o caso especial (e 
analisado facilmente) da formação da imagem d um 
espelho esférico. A Figura 8 mostra um espelho 
esférico com raio de curvatura R com o lado 
côncavo voltado para a luz incidente. O centro de 
curvatura da superfície (o centro da esfera da qual o 
espelho é uma parte) é o ponto e o vértice do 
espelho (o centro da superfície refletora) é o ponto 
V. A linha CV denomina-se eixo ótico. O ponto P é 
um
objeto puntiforme situado sobre o eixo ótico; no 
momento estamos supondo que a distância do ponto 
P até V é maior do que R. 
O raio PV, que passa através do ponto C 
atinge o espelho perpendicularmente e é refletido de 
volta na mesma direção. O raio PB, que forma um 
ângulo a com o eixo, atinge o espelho no ponto B, 
onde os ângulos de incidência e de reflexão são 
designados por  raio refletido intercepta o eixo no 
ponto P'. Mostraremos de modo breve que todos 
os raios provenientes do ponto P interceptam o 
eixo no mesmo ponto P', como na Figura 8 (b), 
desde que o ângulo a seja pequeno. O ponto P' 
é, portanto, a imagem do objeto puntiforme P. 
Diferentemente dos raios refletidos 
indicados na Figura 1, os raios refletidos na 
Figura 8 (b) se interceptam realmente no ponto 
P', a seguir divergem do ponto P' como se eles 
emanassem de uma fonte nesse ponto. Logo, P' 
é uma imagem real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 25 
25 
 
 
 
 
Para entender a utilidade da formação de 
uma imagem real, suponha que o espelho esteja em 
uma sala escura na qual a única fonte de luz seja um 
objeto no ponto P' que emite luz própria. Se você 
colocar uma pequena película fotográfica no ponto 
P', todos os raios de luz proveniente do ponto P que 
se refletem no espelho irão se interceptar no mesmo 
ponto P sobre a película fotográfica; quando for 
revelado, o filme mostrará um ponto brilhante que 
representa a imagem focalizada do objeto situado no 
ponto P. Esse princípio é a base do funcionamento 
de muitos telescópios astronômicos, que utilizam 
grandes espelhos côncavo* para fotografar corpos 
celestes. Quanto ao espelho plano indicado na 
Figura 2, colocai uma película fotográfica no ponto 
P' seria perda de tempo: os raios luminosos não 
passando efetivamente pelo ponto da imagem e ela 
não pode ser gravada na película fotográfica a 
colocada. As imagens reais desempenham um papel 
essencial na fotografia. 
Vamos agora localizar a imagem real P' indicada 
na Figura 8 (b) e provar que todos os raios 
provenientes do ponto P se interceptam no ponto P' 
(desde que o ângulo a seja pequeno). A distância do 
objeto, medida a partir do vértice K é igual a s: a 
distância da imagem, também medida a partir de V, 
é igual a s' e o raio de curvatura do espelho é igual a 
R. Os sinais de s, s' e R são obtidos usando-se as 
regras de sinais mencionadas. O objeto puntiforme P 
está do mesmo lado do raio incidente, logo, de 
acordo com a primeira regra, a distância s é positiva. 
A imagem puntiforme P' está do lado da luz 
refletida; portanto de acordo com a segunda regra, a 
distância também é positiva. O centro de curvatura 
C está do mesmo lado da luz refletida, e assim, de 
acordo com a 3ª regra, a distância R também é 
positiva; R também é sempre positiva quando a 
reflexão ocorre no lado côncavo da superfície. 
Usando agora o seguinte teorema da 
geometria: o ângulo externo de um triângulo é igual 
a soma dos ângulos internos não adjacentes. 
Aplicando esse teorema aos triângulos PBC e P´BC´ 
indicados na figura, teremos: 
   
 
   
 
2    
 
Podemos calcular agora a distância da 
imagem s´. Seja h a altura do ponto B acima do eixo 
ótico e  uma pequena distância entre V e a base 
dessa linha vertical. Escrevendo as expressões para 
as tangentes dos ângulos ,  e : 
; ;
h h h
tg tg tg
s s R
        
 
Essas equações trigonométricas não são de 
solução tão simples como as obtidas no caso do 
espelho plano. Contudo, quando o ângulo  é 
pequeno, os ângulos  e  também são. A 
tangente de um ângulo muito menor do que um 
radiano é aproximadamente igual ao próprio 
ângulo (medido em radianos), de modo que 
podemos substituir nas equações anteriores tg 
por  e assim por diante. Além disso, quando o 
ângulo  é pequeno, é possível desprezar  em 
comparação com s, s' e R. Portanto, para 
ângulos pequenos, obtemos as seguintes 
relações aproximadas: 
; ;
h h h
s s R
    

 
Substituindo esses valores na Equação 
2    
e dividindo por h, obtemos uma 
equação geral envolvendo s, s' e R: 
1 1 2
s s R
 

 
Ou 
1 1 1
s s f
 

 
(relação imagem-objeto, espelho esférico). 
Essa equação não contém o ângulo . 
Logo, todos os raios provenientes do ponto P 
que formam um ângulo suficientemente 
pequeno com o eixo se interceptam no ponto P' 
depois da reflexão; isso demonstra nossa 
afirmação anterior. Tais raios, aproximadamente 
paralelos e próximos do eixo, são chamados de 
raios paraxiais. (A expressão aproximação 
paraxial é em geral usada para a aproximação 
que acabamos de descrever.) Como todos os 
raios refletidos convergem sobre o ponto da 
imagem, um espelho côncavo também é 
chamado de espelho convergente. 
Você deve entender que a Equação 
anterior, bem como outras equações 
semelhantes que vamos deduzir neste capítulo e 
no próximo, é uma relação aproximadamente 
correta. Ela decorre de um cálculo no qual 
empregamos aproximações e vale somente para 
raios paraxiais. Quando o ângulo a que o raio 
forma com o eixo ótico é grande, o ponto P' 
onde os raios interceptam o eixo ótico fica mais 
próximo do vértice do que no caso de raios 
paraxiais. Em conseqüência, um espelho 
esférico, diferentemente de um espelho plano, 
não forma uma imagem puntiforme precisa de 
um objeto puntiforme — a imagem fica 
"borrada". Essa característica de um espelho 
esférico é chamada de aberração esférica. Os 
resultados desanimadores inicialmente obtidos 
pelo Telescópio Espacial Hubble colocado em 
órbita em 1990 foram produzidos em parte por 
erros cometidos na eliminação das aberrações 
esféricas de seu espelho primário (veja a Figura 
9 (a)). 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 26 
26 
O desempenho do telescópio melhorou 
substancialmente após a instalação, em 1993, de 
dispositivos óticos para correção das aberrações 
(veja a Figura 9 (b)). 
Quando o raio de curvatura torna-se 
infinito (R = ), o espelho torna-se plano e a 
Equação anterior se reduz à Equação s = s´ referente 
a uma superfície plana refletora. 
 
Figura 9 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FOCO E DISTANCIA FOCAL 
 
Quando o objeto puntiforme P está muito 
longe do espelho esférico (s = ), os raios incidentes 
são paralelos. (A estrela mostrada na foto da Figura 
9 é um exemplo de objeto distante.) De acordo com 
a Equação anterior, a distância s' para esse caso é 
dada por: 
1 1 2
2
R
s
s R
   

 
Essa situação é indicada na Figura 10 (a). 
O feixe dos raios incidentes paralelos convergem, 
depois da reflexão no espelho esférico, para um 
ponto F situado a uma distância R/2 do vértice do 
espelho. O ponto F para o qual os raios paralelos 
convergem é chamado de foco do espelho: dizemos 
que os raios se encontram no ponto focal. A 
distância entre o foco e o vértice do espelho, 
designada pela letra f, denomina-se distância focal. 
Vemos que entre f e o raio de curvatura R existe a 
relação: 
2
R
f 
 
A situação oposta é indicada na Figura 10 (b). 
Agora o objeto é colocado no ponto focal F. de 
modo que a distância do objeto é dada por .s = f =
R/2. A distância da imagem s' pode novamente ser 
obtida pela Equação: 
2 1 2 1
0 s
R s R s
      
 
 
Quando o objeto está situado sobre o ponto 
focal, os raios refletidos indicados na Figura 10 (b) 
são paralelos ao eixo ótico — eles se encontram 
somente no infinito, logo, a distância da imagem é 
infinita. 
Portanto, as propriedades do foco F de um 
espelho esférico mostram que (l) todo raio que 
incide paralelamente ao eixo ótico é refletido 
passando pelo foco e (2) qualquer raio passando 
pelo foco que incide sobre o espelho é refletido 
paralelamente ao eixo ótico. Para um espelho 
esférico essas afirmações são válidas apenas 
para os raios paraxiais. Para um espelho 
parabólico essas afirmações são exatas sempre: 
essa é a principal razão pelas quais os espelhos 
parabólicos são preferidos nos telescópios 
astronômicos. Espelhos parabólicos e espelhos 
esféricos são usados em lanternas e nos faróis 
dos automóveis para transformar a luz da 
lâmpada em um feixe paralelo. Em algumas 
usinas para aproveitamento da energia solar se 
usa uma grande rede de espelhos planos para 
simular aproximadamente um espelho esférico 
côncavo: a luz solar é coletada pêlos espelhos e 
projetada para o ponto focal, onde são colocadas 
as caldeiras para produzir vapor. (Os conceitos 
de foco e de distância focal também se aplicam 
a lentes, como veremos.) 
Geralmente expressaremos a relação entre 
as distâncias da imagem e do objeto, em termos 
da distância focal: 
1 1 1
s s f
 

 
 
 
Figura 10 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM 
OBJETO - ESPELHO ESFÉRICO 
 
Vamos agora supor que o objeto possua um 
tamanho finito, representado pela seta PQ na 
Figura 11, perpendicular ao eixo ótico CV. A 
imagem de P formada pelos raios paraxiais se 
encontra no ponto P'. A distância do objeto para 
o ponto Q é quase igual à distância do objeto 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 27 
27 
para o ponto P, de modo que a imagem P'Q' é 
aproximadamente reta e perpendicular ao eixo ótico. 
Observe que as setas do objeto e da imagem 
possuem tamanhos diferentes, y e y', 
respectivamente, e que os sentidos das setas estão 
invertidos. Definimos a ampliação transversal m 
como a razão entre a altura da imagem y' e a altura 
do objeto y: 
y
m
y


 
, Como os triângulos PVQ e P´VQ' na Figura 11 são 
semelhantes, obtemos a relação y/s = -y´/s'. O sinal 
negativo é necessário porque a imagem e o objeto 
estão em lados opostos em relação ao eixo ótico: 
quando y é positivo, y' é negativo, e vice-versa. 
Logo, 
y s
m
y s
 
  
 
Quando m é positivo a imagem é ereta ou direita 
em relação ao objeto; quando m é negativo a 
imagem é invertida em relação ao objeto, como 
indica a Figura 11. Para um espelho plano, s = -s', 
logo, y' = y e m = +1; como m é positivo, a imagem 
é ereta, e como |m| = l, a imagem possui o mesmo 
tamanho do objeto. 
 
Figura 11 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO: Embora a razão entre a altura da 
imagem e a altura do objeto seja chamada de 
ampliação, a imagem formada por um espelho ou 
por uma lente pode ser menor, maior ou do mesmo 
tamanho do objeto. Quando ela é menor, o valor 
absoluto da ampliação é menor do que um: |m| < l. A 
imagem formada pelo espelho de um telescópio 
astronômico ou pela lente de uma máquina 
fotográfica é muito menor do que o objeto. 
Para objetos com três dimensões, a razão entre as 
distâncias da imagem e do objeto medidas ao longo 
do eixo ótico é diferente da razão medida 
perpendicularmente ao eixo ótico (a ampliação 
transversal). Em particular, quando m for uma 
fração pequena, a imagem tridimensional de um 
objeto tridimensional ao longo do eixo será muito 
mais reduzida do que transversalmente. A Figura 12 
ilustra esse efeito. Observe que a imagem formada 
por um espelho esférico, assim como a imagem de 
um espelho plano, é sempre reversa ao longo do 
eixo ótico. 
 
Figura 12 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em nossa discussão sobre espelhos 
côncavos, consideramos até o momento apenas 
objetos situados para fora do foco ou sobre o 
foco, de modo que a distância do objeto s ou é 
superior ou é igual ao valor da distância focal f 
(positiva). 
Nesse caso a imagem se forma sempre do 
mesmo lado do espelho que os raios refletidos e 
a imagem é real e invertida. 
Quando um objeto é colocado entre o foco e 
o vértice, de modo que s < f, a imagem resul-
tante é virtual (ou seja, a imagem se forma sobre 
o lado do espelho oposto ao lado onde se 
encontra o objeto), ereta e maior do que o 
objeto. Os espelhos usados pêlos dentistas 
(mencionados no início desta seção) são 
espelhos côncavos; quando o dentista usa o 
espelho, o dente está entre o foco e o espelho e 
ele vê uma imagem real com tamanho maior do 
que o do dente observado. Você pode provar as 
afirmações anteriores sobre espelhos côncavos 
aplicando as equações anteriores. Estaremos 
também aptos para verificar esses resultados, 
quando estudarmos os métodos gráficos para a 
determinação das posições e dos tamanhos dos 
objetos e das imagens. 
 
Exemplo 1 - Imagem formada por um 
espelho côncavo I 
 
Figura 13 - 
 
 
 
 
 
 
 
de lanterna está a uma distância de 10,0 cm em frente a 
um espelho côncavo que forma uma imagem sobre uma 
parede situada a uma distância de 3,00 m do espelho (Figura 
13). (a) Qual é o raio de curvatura e a distância focal do 
espelho? (b) Qual é a altura da imagem sabendo que a altura 
do objeto é de 5,00 mm? 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 28 
28 
 
SOLUÇÃO a) A distância da imagem e a distância do objeto 
são ambas positivas; temos s = 100 cm e s' = 300 cm. De acordo 
com a Equação (35.4), 
1 1 2 1 1 2
19.4
10.0 300
R cm
s s R R
      

 
A distância focal do espelho é f = R/2 = 9.7 cm. 
Em uma lanterna, o filamento da lâmpada é 
geralmente colocado próximo do foco, produzindo 
um feixe de raios aproximadamente paralelos. 
(b) De acordo com a Equação (35.7), a 
ampliação transversal é: 
300
30.0
10.0
y s
m
y s
 
      
 
Como m possui valor negativo, a imagem é 
invertida. A altura da imagem é igual a 30,0 vezes a 
altura do objeto. ou (30.0)(5.00 mm) = 150 mm. 
 
Exemplo 2 - Imagem formada por um espelho 
côncavo II No Exemplo l, suponha que a metade da 
superfície esquerda do espelho seja recoberta por 
uma película não refletora de fuligem. Que efeito 
isso produziria sobre a imagem do filamento? 
 
SOLUÇÃO: Seria natural imaginar que a 
imagem obtida deveria mostrar somente a metade do 
filamento. Contudo, a imagem continua mostrando o 
filamento completo. A explicação pode ser 
encontrada examinando-se a Figura 9 (b). Os raios 
luminosos provenientes de qualquer ponto P do 
objeto são refletidos por todas as partes do espelho e 
convergem sobre a imagem puntiforme 
correspondente situada no ponto P'. Se você 
remover uma parte do espelho ou se recobrir uma 
fração de sua área com 
uma película não refletora, os raios luminosos que 
atingem a superfície refletora restante ainda 
formarão uma imagem de qualquer ponto do objeto. 
O único efeito produzido pela redução da 
área é que a imagem se torna mais fosca porque uma 
quantidade menor de energia luminosa atinge o
ponto onde se encontra a imagem. No presente 
exemplo, a área foi reduzida para a metade do valor 
inicia], portanto o brilho da imagem será 
aproximadamente igual à metade do brilho da 
imagem do exemplo anterior. O aumento da área de 
reflexão produz imagens mais brilhantes: para obter 
imagens razoavelmente brilhantes de estrelas muito 
distantes, os telescópios astronômicos usam 
espelhos que possuem até alguns metros de 
diâmetro. 
 
 Espelho Convexo 
 
Na Figura 14 (a) o lado convexo de um 
espelho esférico está de frente para o feixe incidente. 
O centro de curvatura encontra-se do lado oposto 
dos raios emergentes; de acordo com a terceira regra 
de sinais exposta, R possui valor negativo. O raio PB 
é refletido com o mesmo ângulo de incidência . O 
raio refletido, projetado para trás, intercepta o 
eixo no ponto P'. 
Analogamente ao caso do espelho 
côncavo, todos os raios provenientes de P 
refletidos pelo espelho divergem de um mesmo 
ponto P', desde que o ângulo  seja pequeno. O 
ponto P' é portanto a imagem de P. A distância 
do objeto s é positiva, a distância da imagem y' é 
negativa e o raio de curvatura R é negativo para 
um espelho esférico convexo. 
A Figura 14 (b) mostra dois raios 
divergindo da extremidade da seta PQ e a 
imagem virtual P'Q' da seta. O mesmo 
procedimento usado no caso do espelho 
côncavo é aplicável no caso do espelho 
convexo,R: 
1 1 2
s s R
 

 
e a ampliação transversal é 
y s
m
y s
 
  
 
 
Figura 14 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essas expressões são exatamente iguais 
às equações anteriores obtidas para um espelho 
côncavo; deixamos a demonstração como um 
problema. Portanto, quando usamos 
corretamente as regras de sinais, as equações 
valem tanto para um espelho côncavo quanto 
para um espelho convexo. 
Quando R é negativo (espelho 
convexo), os raios que incidem paralelamente 
ao eixo ótico não passam através do foco F. Ao 
contrário, eles divergem como se estivessem 
emanando de um ponto F situado a uma 
distância f atrás do espelho, como indicado na 
Figura 15 (a). Nesse caso, f é a distância focal e 
F denomina-se foco virtual. A correspondente 
distância da imagem s' é negativa, logo, f e R 
possuem sinais negativos e a Equação f = R/2, 
vale tanto para um espelho côncavo quanto para 
um espelho convexo. Na Figura 15 (b) os raios 
incidentes convergem como se eles fossem 
atingir o foco virtual no ponto F e são refletidos 
paralelamente ao eixo ótico. 
Em resumo, todas as equações obtidas 
para um espelho esférico são válidas tanto para 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 29 
29 
um espelho côncavo quanto para um espelho 
convexo, desde que as regras de sinais sejam usadas 
adequadamente. 
 
Figura 15 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 - Problema da imagem do Papai 
Noel Papai Noel verifica se está sujo de fuligem 
olhando para sua imagem refletida em um enfeite 
prateado brilhante da árvore de Natal situado a uma 
distância de 0.750 m (Figura 16 (a).) O diâmetro do 
enfeite é igual a 7.2 cm. As referências da literatura 
afirmam que Papai Noel é um "velhinho alegre e de 
estatura mediana", de modo que sua altura estimada 
é de l.60 m. Onde se forma e qual é a altura da 
imagem de Papai Noel refletida pelo enfeite. Ela é 
direita ou invertida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 - 
SOLUÇÃO: A superfície do enfeite mais 
próximo do Papai Noel funciona como um espelho 
convexo com raio R = -(7.20 cm)/2 = -3.60 cm e 
distância focal f = R/2 = -1.80 cm. A distância do 
objeto é dada por: 
s = 0.750 m = 75.0 cm. 
De acordo com a Equação: 
1 1 1 1 1 1
s s f s f s
    
 
1 1 1
1.76
1.8 75
s cm
s
    
 
 
Como s' é negativo, a imagem se forma atrás 
do espelho, ou seja, no lado oposto ao dos raios 
emergentes (Figura 16 (b)) sendo uma imagem 
virtual. A imagem se forma na metade da 
distância entre a pane frontal do ornamento e 
seu centro de curvatura. 
A ampliação transversal m é obtida da 
Equação: 
21.76 2.34 10
75
y s
m
y s
        
 
Como m é positivo, concluímos que ela é 
ereta. Ela é apenas cerca de 0.0234 da altura do 
Papai Noel: 
y' = my = (0.0234)(1.6 m)=3,8.10
-2
m = 3.8 
cm. 
 
Quando a distância do objeto í é 
positiva, um espelho convexo sempre forma 
uma imagem virtual, ereta, menor do que objeto 
e reversa. Por essa razão se costuma usar um 
espelho convexo para monitorar o interior de 
lojas para — a fim de observar possíveis furtos, 
nos espelhos colocados em cruzamentos 
perigosos e em espelhos retrovisores com 
"grande angular" de carros e caminhões 
(incluindo aqueles que exibem a frase "objetos 
vistos no espelho estão mais próximos do que 
parecem"). 
 
 Método Gráfico 
 
Nas seções precedentes, usamos as 
equações para definir a posição e o tamanho da 
imagem formada por um espelho. Podemos 
também determinar as propriedades das imagens 
usando um método gráfico simples. Esse 
método consiste em encontrar o ponto de 
interseção de alguns raios particulares que 
divergem de um ponto do objeto (tal como o 
ponto Q indicado na Figura 35.18) e que são 
refletidos pelo espelho. Então (desprezando as 
aberrações), verificamos que todos os raios 
provenientes desse ponto do objeto e que se 
refletem no espelho se interceptam no mesmo 
ponto. Para essa construção sempre escolhemos 
um ponto do objeto que não esteja situado sobre 
o eixo ótico. Os quatro raios geralmente 
desenhados com mais facilidade são indicados 
na Figura 17. Eles são chamados de raios 
principais. 
 
1. Um raio paralelo ao eixo, depois da 
reflexão, passa através do foco F de um 
espelho côncavo ou parece emanar do foco 
(virtual) de um espelho convexo. 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 30 
30 
2. Um raio que passa através do foco F (ou 
que provém do foco) é refletido paralelamente ao 
eixo ótico. 
 
3. Um raio na direção do raio passando pelo 
centro de curvatura C (ou cujo prolongamento 
atinge o centro de curvatura) intercepta a 
superfície perpendicularmente e, portanto, se 
reflete para trás ao longo de sua direção inicial. 
 
4. Um raio que passa pelo vértice V é 
refletido formando ângulos iguais com o eixo 
ótico. 
Método gráfico para localizar a posição da imagem 
formada por um espelho usando um diagrama com 
os raios principais, (a) Espelho côncavo, (b) 
Espelho convexo. 
 
Uma vez encontrada a posição da imagem 
puntiforme pela interseção dos raios principais (l, 2, 
3, 4), podemos desenhar a trajetória de qualquer 
outro raio que emane do objeto puntiforme e 
verificar que ela atinge o mesmo ponto onde se 
forma a imagem. 
 
ATENÇÃO: Embora tenhamos enfatizado os 
raios principais, na verdade qualquer raio que atinge 
o espelho deve passar através de um ponto da 
imagem (para uma imagem real) ou parece emanar 
de um ponto da imagem (no caso da imagem 
virtual). Em geral são usados apenas os raios 
principais porque esses raios são suficientes para 
localizar a imagem. 
 
 Estratégia 
 
1. O diagrama dos raios principais tem na ótica 
geométrica um papel análogo ao desempenhado pelo 
diagrama do corpo livre na mecânica. Em qualquer 
problema que envolva a formação de imagens por 
um espelho, caso você disponha de informações 
suficientes, sempre desenhe antes um diagrama
dos 
raios principais. (O mesmo conselho deve ser 
seguido quando você estudar lentes nas próximas 
seções.) Geralmente é mais conveniente fazer seu 
diagrama orientando os raios incidentes da esquerda 
para a direita. Não trace muitos raios desnecessários; 
é suficiente traçar os raios principais, pois você tem 
informações sobre eles. Um esboço traçado à mão 
livre sem cuidado não fornece bons resultados. 
2. Quando os raios principais não convergem 
para uma imagem puntiforme real, você deve 
prolongá-los em linha reta para trás para localizar 
uma imagem puntiforme virtual, como indicado na 
Figura. Recomendamos que esses prolongamentos 
sejam desenhados com linhas tracejadas. 
3. Preste bastante atenção aos sinais das 
distâncias dos objetos e das imagens, dos raios de 
curvatura e das alturas dos objetos e das imagens. 
Todo sinal negativo para qualquer uma dessas 
grandezas sempre possui significado físico; use 
as equações e as regras de sinais 
cuidadosamente e de modo consistente e elas 
mostrarão a você a solução correta! Lembre-se 
de que a mesma regra de sinais se aplica para os 
quatro casos estudados neste capítulo: reflexão e 
refração em superfícies planas e esféricas. 
 
Exemplo 4 - Espelho côncavo, objeto situado em 
diferentes distâncias: 
 
Um espelho côncavo possui raio de 
curvatura com valor absoluto igual a 20 cm. 
Determine graficamente a imagem de um objeto 
cm forma de seta perpendicular ao eixo do 
espelho para as seguintes distâncias do objeto: 
(a) 30 cm, 
(b) 20 cm, 
(c) 10 cm e 
(d) 5 cm. 
 
Confira a construção calculando o tamanho 
e a ampliação de cada imagem. 
 
Figura 17 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: As construções são indicadas 
nas quatro partes da Figura. Estude cada um 
desses diagramas cuidadosamente. Comparando 
cada raio numerado com a descrição feita 
anteriormente. Convém mencionar diversas 
observações importantes. Inicialmente, na parte 
(b) a distância do objeto ó igual a distância da 
imagem. Para esse caso, o raio 3 não pode ser 
desenhado porque um raio partindo de Q e 
passando pelo centro de curvatura C não atinge 
o espelho. O raio 2 não pode ser desenhado em 
(c) porque um raio partindo de Q c passando por 
F também não atinge o espelho. Para esse caso 
os raios emergentes são paralelos, 
correspondendo a uma imagem que se forma no 
infinito. Em (d) os raios emergentes não 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 31 
31 
possuem nenhum ponto de interseção real; eles 
devem ser estendidos para trás do espelho para 
encontrar a imagem puntiforme virtual Q', o ponto 
do qual os raios parecem divergir. Todo objeto 
situado entre o foco c o vértice de um espelho 
côncavo produz uma imagem virtual e a situação 
indicada em (d) ilustra um exemplo deste caso. 
Medidas realizadas com uma régua apropriada 
fornecem as seguintes distâncias das imagens 
aproximadas: (a) 15 cm; (b) 20 cm; (c)  ou - 
(porque os raios emergentes são paralelos e não 
convergem para nenhuma distância finita); (d) -10 
cm. Para calcular essas distâncias, inicialmente 
notamos que f = R/2 = 10 cm: a seguir usamos a 
Equação: 
(a) 
1 1 1 1 1 1
15
30 10
s cm
s s f s
      
 
 
15 1
30 2
s
m
s
 
    
(invertida) 
(b) 
1 1 1 1 1 1
20
20 10
s cm
s s f s
      
 
 
20
1
20
s
m
s
 
    
(invertida) 
(c) 
1 1 1 1 1 1
10 10
s
s s f s
       
 
 
10
s
m
s
 
    
 
(d) 
1 1 1 1 1 1
10
5 10
s cm
s s f s
       
 
 
10
2
5
s
m
s
 
    
(direita) 
Em (a) e (b) as imagens são reais; em (d) ela é 
virtual. Em (c) a imagem se forma no infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 REFRAÇÀO EM UMA SUPERFÍCIE 
ESFÉRICA 
 
Conforme dissemos, as imagens podem ser 
formadas por reflexão ou por refração. Para 
começar, vamos considerar a refração em uma 
superfície esférica, ou melhor, na interface esférica 
entre dois materiais transparentes com índices de 
refração diferentes. Essa análise pode ser aplicada 
diretamente para alguns sistemas óticos reais, como, 
por exemplo, o olho humano. 
Ela também fornece os fundamentos para o estudo 
das lentes, que geralmente possuem duas superfícies 
esféricas (ou quase esféricas). 
Na Figura 18 uma superfície esférica de raio 
R forma a interface entre dois materiais com 
índices de refração na e nb. A superfície forma 
uma imagem P' de um objeto puntiforme P 
desejamos saber como as distâncias do objeto e 
da imagem (s e s'} são relacionadas. 
 
Figura 18 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicaremos as mesmas regras de sinais 
usadas para o caso de espelhos esféricos. O 
centro de curvatura C está do lado dos raios 
emergentes da superfície, logo, R é positivo. O 
raio PV incide sobre o vértice V na direção 
perpendicular à superfície (ou seja, na direção 
perpendicular ao plano tangente à superfície no 
ponto de incidência V). Ele passa para o outro 
material sem sofrer nenhum desvio. O raio PB, 
que forma um ângulo  com o eixo incide 
formando com a normal da superfície um 
ângulo a, e é refratado formando um ângulo b. 
Os raios emergentes se cruzam no ponto P', a 
uma distância s' do lado direito do vértice. A 
figura foi desenhada para o caso na < nb. As 
distâncias do objeto e da imagem são ambas 
positivas. 
Vamos agora provar que se o ângulo  é 
pequeno, todos os raios provenientes de P se 
interceptam no mesmo ponto P', portanto P' é a 
imagem real de P. Faremos um tratamento 
semelhante ao adotado quando analisamos o 
caso do espelho esférico. Usamos novamente o 
teorema segundo o qual o ângulo externo de um 
triângulo é igual à soma dos ângulos internos 
opostos; aplicando esse teorema aos triângulos 
PBC e P'BC. obtemos 
a   
 
b   
 
De acordo com a lei da refração. 
a a b bn sen n sen 
 
As tangentes dos ângulos ,  e  são dadas 
por: 
; ;
h h h
tg tg tg
s s R
        
 
Para raios paraxiais, a e b são ambos 
pequenos em comparação com um radiano, 
logo, tanto a tangente quanto o seno são dados 
aproximadamente pêlos próprios ângulos 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 32 
32 
(medidos em radianos). Então a lei da refração pode 
ser escrita na forma: 
a a b bn n 
 
Combinando a relação anterior com a primeira 
das equações, 
 ab
b
n
n
   
 
 Substituindo o valor de : 
 a b a bn n n n    
 
 Usando a aproximação tg =  e 
desprezando a distância pequena : 
; ;
h h h
s s R
    

 
 Substituindo, teremos: 
a b b an n n n
s s R

 

 
 Para obter a ampliação transversal, 
observemos a figura 19: 
 
 Figura 19 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenhamos dois raios a partir do ponto Q, um 
através do centro de curvatura C e outro incidente do 
vértice V, Pelos triângulos PQV e P´Q´V, obtemos: 
;a b
y y
tg tg
s s
 

 

~ 
Pela lei da refração:
a a b bn sen n sen 
 
 Para ângulos pequenos: 
;a a b btg sen tg sen     
 
 Achamos:
a bn y n y
s s

 

 
Ou:
a
b
n sy
m
y n s

  
 
(Ampliação transversal, superfície refratora esférica) 
 Para uma superfície refratora plana, 
fazemos R = ; então:
0a b
n n
s s
 

 
Exemplo 5 - Formação da imagem por 
refração I - Uma barra de vidro cilíndrica no ar é 
indicada na figura 20 e possui índice de refração 
igual a 1.52. Uma de suas extremidades foi cortada e 
polida formando uma superfície hemisférica 
com raio R = 2.00 cm. 
(a) Calcule a distância da imagem 
formada por um pequeno objeto situado sobre o 
eixo da barra a uma distância de 8.00 cm à 
esquerda do vértice. 
(b) Determine a ampliação transversal. 
 
Figura 20 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 (a) Como: na = 1.00; nb = 1.52; R = 
2.00cm e s = +8.00 cm: 
 
a b b an n n n
s s R

 

 
1.00 1.52 1.52 1.00
11.3
8.00 2.00
s cm
s

    

 
 (b) 
a
b
n sy
m
y n s

  
 
 
  
  
1.00 11.3
0.929
1.52 8.00
y
m
y

    
 
 A imagem é invertida e ligeiramente 
menor que o objeto. 
 
 Exemplo 6 - Formação da imagem por 
refração II - A barra de vidro do exemplo 
anterior é imersa na água. (índice de refração = 
1.33). As demais grandezas permanecem com 
os mesmos valores. Calcule a distância da 
imagem e a ampliação transversal. 
Figura 20 - 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 (a) Como: na = 1.33; nb = 1.52; R = 
2.00cm e s = +8.00 cm: 
 
a b b an n n n
s s R

 

 
1.33 1.52 1.52 1.33
21.3
8.00 2.00
s cm
s

    

 
 Como s´ é negativo, concluímos que, 
depois que os raios se refratam na superfície, 
eles não convergem, porém parecem divergir de 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 33 
33 
um ponto situado a 21.3 cm à esquerda do vértice. 
 (b) 
a
b
n sy
m
y n s

  
 
 
  
  
1.33 21.3
2.33
1.52 8.00
y
m
y

    
 
 A imagem é direita e maior que o objeto. 
Exemplo 7 - Profundidade aparente em 
uma piscina.O proprietário de uma piscina sabe que 
a profundidade aparente é sempre menor que a real e 
deve identificar com clareza qual é a parte mais 
profunda para que uma pessoa que não sabe nadar 
não mergulhe na parte cuja profundidade seja maior 
que a da altura da pessoa. 
Se um freqüentador da piscina olha 
diretamente para a água na parte em que sua 
profundidade é igual a 2.00 m, qual é a profundidade 
aparente vista por essa pessoa? 
Figura 21 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1.33 1.00
0 0 1.50
2.00
a bn n s m
s s s
       
 
 
 
 Lentes Delgadas 
 
O dispositivo ótico mais familiar e geralmente 
mais usado (depois do espelho plano) é a lente. Uma 
lente é um sistema ótico com duas superfícies 
refratoras. A lente mais simples possui duas 
superfícies esféricas suficientemente próximas para 
desprezarmos a distância entre elas (a espessura da 
lente): chamamos esse dispositivo de lente delgada. 
Se você usa óculos ou lentes de contato quando lê 
você está vendo estas palavras através de lentes 
delgadas. 
Podemos analisar com detalhes as lentes 
delgadas aplicando os resultados referentes à 
refração através de uma única superfície esférica. 
Contudo, faremos essa análise mais adiante visto 
que desejamos inicialmente descrever as 
propriedades das lentes delgadas. 
 
 PROPRIEDADES DAS LENTES 
 
A propriedade característica de uma 
lente do tipo indicado na Figura 35.25 é que 
lodo feixe paralelo ao eixo da lente que passa 
para o outro lado da lente converge para um 
ponto F, (Figura 22) e forma uma imagem real 
nesse ponto. Tal lente é chamada de lente con-
vergente. 
Analogamente, os raios que emanam do 
ponto F emergem da lente formando um feixe 
paralelo (Figura 35.25b). O ponto F é chamado 
de primeiro foco o ponto F, é o secundo foco e a 
distância f (medida a partir do centro da lente) é 
chamada de distância focal. Observe a 
semelhança entre os dois focos de uma lente 
convergente e o foco de um espelho côncavo 
(Figura 22). De modo análogo ao espelho 
côncavo, a distância focal de uma lente 
convergente é definida como uma grandeza 
positiva e esse tipo de lente é também 
conhecido como lente positiva. 
 
Figura 22 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha horizontal central indicada na 
Figura 22 é chamada de eixo ótico, como no 
caso de um espelho esférico. Os centros de 
curvatura das duas superfícies esféricas definem 
o eixo ótico. As duas distâncias focais indicadas 
na Figura 22, ambas designadas por f possuem 
sempre o mesmo valor para uma lente delgada, 
mesmo quando as curvaturas das duas 
superfícies são diferentes. Mais adiante, quando 
deduzirmos nesta seção a relação que envolve f, 
o índice de refração da lente e os raios de 
curvatura das suas superfícies, mostrarão a 
validade do resultado anterior que parece 
surpreendente. 
Como no caso de um espelho côncavo, 
uma lente convergente pode formar a imagem 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 34 
34 
de um objeto estendido. Na Figura 23 indicamos 
como se determina a ampliação transversal e a 
posição da imagem produzida por uma lente delgada 
convergente. Usando a mesma notação e as mesmas 
regras de sinais anteriores, chamaremos de s a 
distância do objeto e de s' a distância da imagem; y é 
a altura do objeto e y' é a altura da imagem. O raio 
QA paralelo ao eixo ótico antes da refração, passa 
através do segundo foco F. O raio QOQ' passa 
através do centro da lente sem sofrer nenhum desvio 
porque (supomos) as duas superfícies estão muito 
próximas e são praticamente paralelas. Existe 
refração quando esse raio entra no material e quando 
sai dele, porém não existe variação apreciável da sua 
direção. 
Os dois ângulos indicados pela letra cena 
Figura 23 são iguais. Portanto, os dois triângulos 
retângulos PQO e P'Q'O' são semelhantes e as 
razões entre os lados correspondentes são iguais. 
Logo, 
 ou 
y y y s
s s y s

   
  
 
(O sinal negativo indica que a imagem está abaixo 
do eixo ótico e y' é negativo.). 
Também os ângulos indicados pela letra β 
são iguais e os dois triângulos retângulos OAF e 
P'Q'F são semelhantes, logo, 
 ou 
y y y s f
f s f y f
  
   
 
 
Igualando agora as equações, dividindo por 
s’ e reagrupando, obtemos 
1 1 1
s s f
 

 
(relação objeto-imagem, lente delgada). 
Essa análise também fornece a ampliação 
transversal m = y'/y para a lente; de acordo com a 
Equação 
s
m
s

 
 
(ampliação transversal, lente delgada). 
 
 
 
 
Figura 23 - 
 
 
O sinal negativo mostra que, quando s e s' 
são ambos positivos, como na Figura 23, a 
imagem é invertida e y e y' possuem sinais 
opostos. 
As equações são fundamentais para as lentes 
delgadas. É com prazer que notamos que elas 
são exatamente iguais às correspondentes 
equações obtidas para espelhos esféricos. Como 
observamos as mesmas regras de sinais usadas 
para espelhos esféricos também são válidas para 
lentes delgadas. Em particular, considere uma 
lente com uma distância focal positiva (uma 
lente convergente). Quando um objeto está fora 
do primeiro foco F, dessa lente (ou seja, quando 
s > f), a distância da imagem s´ é positiva (ou 
seja, a imagem está do mesmo lado dos raios 
emergentes); essa imagem é real e invertida, 
como indica a Figura 23. Um objeto colocado 
entre o vértice e o primeiro foco
de uma lente 
convergente, ou seja, s < f, produz uma imagem 
com valor de s' negativo; essa imagem está 
situada do mesmo lado da lente onde se 
encontra o objeto, ela é virtual, ereta e maior do 
que o objeto. Você pode comprovar essas 
afirmações algebricamente usando as equações 
anteriores; na próxima seção vamos verificá-las 
usando métodos gráficos semelhantes para 
espelhos. 
A Figura 24 mostra como uma lente forma 
uma imagem tridimensional de um objeto 
tridimensional. O ponto R está mais próximo da 
lente do que o ponto Q. De acordo com a 
Equação, a imagem puntiforme R' está mais 
afastada da lente do que a imagem puntiforme f 
e a imagem P'R' aponta no mesmo sentido do 
objeto PR. 
 
Figura 24 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 35 
35 
Note que as setas das imagens P'S' e P'Q' estão 
invertidas em relação aos objetos PS e PQ. 
Vamos comparar a Figura 24 com a Figura 12, 
que mostra a imagem formada por um espelho 
plano. Notamos que a imagem formada pela lente é 
invertida, porém não é reversa, ou seja, ela não está 
disposta de trás para frente ao longo do eixo ótico 
como no caso do espelho plano. Em outras palavras, 
se o objeto é a mão esquerda, sua imagem também é 
outra mão esquerda. Para verificar essa formação de 
imagens aponte seu polegar esquerdo ao longo de 
PR seu dedo indicador esquerdo ao longo de PQ e 
seu dedo médio esquerdo ao longo de PS. A seguir 
gire sua mão de 180° usando seu dedo polegar como 
eixo; essa rotação fará seus dedos coincidirem com 
os segmentos P'Q' e P'S'. Ou seja, dizemos que uma 
imagem invertida é aquela que se obtém mediante 
uma rotação de 180° em torno do eixo ótico da 
lente. 
Até o momento discutimos apenas lentes 
convergentes. A Figura 25 mostra uma lente 
divergente, um feixe de raios paralelos que incide 
sobre a lente diverge depois da refração. A distância 
focal de uma lente divergente é uma grandeza 
negativa e a lente também é chamada de lente 
negativa. Os focos de uma lente negativa estão em 
posições invertidas em relação aos focos de uma 
lente convergente. O segundo foco, F´ de uma lente 
divergente é o ponto a partir do qual os raios que 
estavam originalmente paralelos ao eixo parecem 
divergir depois da refração, como na Figura 25 (a). 
Os raios incidentes que convergem para o primeiro 
foco F1 como indicado na Figura 25 (b) emergem da 
lente formando um feixe paralelo a seu eixo. 
 
Figura 25 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações anteriores podem ser aplicadas para 
qualquer tipo de lente, tanto no caso de lentes 
positivas quanto para lentes negativas. Na Figura 26 
mostramos diversos tipos de lentes convergentes e 
divergentes. Anote a seguinte observação 
importante: Qualquer lente que possua o centro mais 
grosso do que sua periferia é uma lente convergente 
com valor de f positivo; e qualquer lente que possua 
o centro mais fino do que sua periferia é uma lente 
divergente com valor de f negativo (desde que essas 
lentes estejam imersas em um material com índice 
de refração menor do que o índice de refração 
do material da lente). Podemos provar isso 
usando a equação do fabricante de lentes, cuja 
dedução será nossa próxima tarefa. 
 
 Figura 26 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EQUAÇÃO DO FABRICANTE DE 
LENTES 
 
Vamos agora deduzir a Equação com mais 
detalhes e ao mesmo tempo deduzir a equação 
do fabricante de lentes, que fornece uma relação 
entre a distância focal f, o índice de refração n 
do material da lente e os raios de curvatura R1 e 
R2 das superfícies da lente. Usamos o princípio 
de que a imagem formada por uma superfície 
refletora ou refratora pode servir de objeto para 
outra superfície refletora ou refratora. 
Começamos com o problema um pouco mais 
geral de duas interfaces esféricas separando três 
materiais com índices de refração na, nb e nc, 
como indicado na Figura 27. As distâncias do 
objeto e da imagem para a primeira superfície 
são, respectivamente, s1, e s1' e para a segunda 
superfície essas distâncias são s2, e s2'. 
Supomos que a lente seja delgada, de modo 
que a distância t entre as duas superfícies seja 
pequena em comparação com as distâncias do 
objeto e da imagem e que, portanto, f pode ser 
desprezada. Então s2 e s1' possuem o mesmo 
módulo, mas sinais contrários. Por exemplo, se 
a imagem se forma do lado dos raios 
emergentes da primeira superfície, s1' é positivo. 
Contudo, como essa imagem funciona como 
objeto para a segunda superfície, a primeira 
imagem não está do lado incidente dessa super-
fície. Logo, podemos dizer que s2 = -s1´. 
Precisamos usar duas vezes, para cada 
superfície separadamente, a fórmula da superfí-
cie única dada pela Equação. Obtemos as duas 
seguintes relações: 
1 1 1
a b b an n n n
s s R

 

 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 36 
36 
2 2 2
b c c bn n n n
s s R

 

 
Como a lente geralmente está imersa no ar ou no 
vácuo, para o primeiro material e para o terceiro 
material temos na = nc = 1. O segundo índice de 
refração nb é o da lente, que podemos simplesmente 
designar por n. Substituindo esses valores e a 
relação s2 = -s1´ obtemos: 
1 1 1
1 1 1n
s s R

 

 
1 2 2
1 1n n
s s R

  
 
 
Para obter uma relação entre a posição inicial do 
objeto dada por .s', e a posição final da imagem s2´, 
somamos as duas equações anteriores. Com isso 
eliminamos o termo n/s1' e obtemos: 
 
1 2 1 2
1 1 1 1
1n
s s R R
 
    
  
 
Finalmente, imaginando a lente como uma 
entidade única, chama a distância do objeto 
simplesmente de s, e a posição final da imagem, em 
vez s2', será simplesmente designada por s'. Fazendo 
essas substituições encontramos: 
 
1 2
1 1 1 1
1n
s s R R
 
    
 
 
Vamos agora comparar o resultado anterior 
com a outra relação sobre lente delgada. Vemos que 
as distâncias s e s' aparecem nessas duas equações 
exatamente nas mesmas posições; portanto, a 
distância focal/pode ser determinada pela relação: 
 
1 2
1 1 1
1n
f R R
 
   
 
 
(equação do fabricante de lentes). 
 
A relação anterior é chamada de equação 
do fabricante de lentes. No processo da dedução de 
uma nova relação entre a distância do objeto, a 
distância da imagem e a distância focal de uma lente 
delgada, também deduzem uma relação para a 
distância focal da lente em função do índice de 
refração n da lente e dos raios de curvatura R1 e R2 
das superfícies da lente. Essa relação pode ser usada 
para mostrar que todas as lentes indicadas na Figura 
26 (a) são lentes convergentes com distâncias focais 
positivas e que todas as lentes indicadas na Figura 
26 (b) são lentes divergentes com distâncias focais 
negativas. 
Podemos aplicar todas as regras de sinais 
nas equações. Por exemplo, na Figura 27 s, s' e R1 
são positivos, porém R2 é negativo. 
Não é difícil generalizar a Equação para 
situações na qual a lente está imersa em um meio 
com índice de refração maior do que l. 
Desafiamos você a deduzir essa forma mais 
geral da equação do fabricante de lentes. 
Enfatizamos que a aproximação 
paraxial é na verdade apenas uma aproximação! 
Para uma lente esférica, os raios que 
formam ângulos suficientemente grandes com o 
eixo ótico não produzem
o mesmo foco obtido 
pêlos raios paraxiais; trata-se do mesmo tipo de 
problema de aberração esférica que existe em 
espelhos esféricos. Para evitar essa e outras 
limitações das lentes esféricas delgadas, cm 
instrumentos óticos de precisão se usam lentes 
com outras formas geométricas mais complexas. 
 
Exemplo 8 - Determinação da distância 
focal de uma lente: 
(a) Suponha que os valores absolutos 
dos raios de curvatura das superfícies da lente 
indicada na Figura 27 sejam ambos iguais a 10 
cm e que o índice de refração seja n = 1,52. 
Qual é a distância focal f da lente? 
(b) Suponha que os valores absolutos 
dos raios de curvatura das superfícies da lente 
indicada na Figura 25 sejam ambos iguais a 10 
cm e que o índice de refração também seja n = 
1.52. Qual é a distância focal da lente? 
 
SOLUÇÃO: (a) O centro de curvatura 
da primeira superfície está do mesmo lado dos 
raios emergentes, portanto R1 é positivo: 
 
R1 = +10 cm. O centro de curvatura da 
segunda superfície não está do mesmo lado dos 
raios emergentes, portanto R2 é negativo: 
R2 = -10 cm. De acordo com a equação 
do fabricante de lentes: 
 
1 2
1 1 1
1n
f R R
 
   
 
 
 
1 1 1
1.52 1
10 10f
 
   
 
 
f = 9.6 cm. 
Uma vez que f é positivo, trata-se de 
uma lente convergente (como era de esperar, 
porque a parte central da lente é mais grossa do 
que sua periferia). 
(b) O centro de curvatura da primeira 
superfície está do mesmo lado dos raios 
incidentes, portanto R1 é negativo; para a 
segunda superfície, o centro de curvatura está 
do mesmo lado dos raios emergentes, portanto 
R2 é positivo. Assim, R1 = -10 cm e R2 = +10 
cm. Usando novamente a equação do fabricante 
de lentes: 
 
1 1 1
1.52 1
10 10f
 
   
 
 
f = -9.6 cm 
Uma vez que f é negativo, trata-se de 
uma lente divergente (como era de esperar, 
porque a parte central da lente é mais fina do 
que sua periferia). 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 37 
37 
 
 MÉTODO GRÁFICO PARA LENTES 
 
Podemos determinar a posição e o tamanho 
da imagem formada por uma lente delgada mediante 
um método gráfico semelhante ao usado na seção 
para espelhos esféricos. Desenhamos novamente 
alguns raios especiais, chamados de raios principais, 
que divergem de um ponto do objeto que não esteja 
sobre o eixo ótico. A interseção desses raios, depois 
de eles ter passado através da lente, determina a 
posição e o tamanho da imagem. Ao usar o método 
gráfico, consideramos o desvio total do raio como se 
ele ocorresse em um plano vertical passando pelo 
centro da lente, como na Figura 27. Isso é 
consistente com a hipótese de que a distância entre 
as superfícies da lente é desprezível. 
 
Figura 27 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os três raios principais cujas trajetórias 
podem ser facilmente traçadas para lentes são 
indicados na Figura 27: 
 
1. Um raio paralelo ao eixo emerge da lente 
passando através do segundo foco F, de uma lente 
convergente ou parece emanar do segundo foco de 
uma lente divergente. 
 
2. Um raio que passa através do centro da 
lente não sofre nenhum desvio apreciável; no 
centro da lente, as duas superfícies são paralelas; 
portanto o raio emergente entra e sai 
essencialmente na mesma direção. 
 
3. Um raio que passa através do primeiro 
foco f, (ou cujo prolongamento o atinge) emerge 
paralelamente ao eixo ótico. 
 
Quando a imagem é real, a posição da 
imagem puntiforme é determinada pela interseção 
entre qualquer um dos três raios l, 2 e 3 (Figura 27 
(a)). Quando a imagem é virtual, a posição da 
imagem é determinada pela interseção dos 
prolongamentos dos raios emergentes (Figura 
27 (b)). 
 
ATENÇÃO: Lembre que qualquer raio 
que se origina do objeto e atinge a lente passará 
por algum ponto da imagem (no caso da 
imagem real) ou aparentemente se origina de 
um ponto da imagem (no caso da imagem 
virtual). Fizemos um comentário semelhante ao 
abordar a formação da imagem em espelhos. 
Enfatizamos apenas os raios principais porque 
eles são os únicos que você precisa desenhar 
para a determinação da imagem. 
 
A Figura 28 ilustra diversos casos nos 
quais usamos os raios principais para a deter-
minação da imagem para um objeto situado a 
diversas distâncias de uma lente convergente. 
Sugerimos que você estude esses diagramas 
muito cuidadosamente, comparando cada raio 
numerado com a descrição feita anteriormente. 
 
Figura 28 - Determinação da imagem em 
lente convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 38 
38 
É importante observar diversos pontos 
relacionados com a Figura 28. As partes (a), (b) e 
(c) dessa figura ajudam a explicar o que ocorre 
quando focalizamos a máquina fotográfica. Para que 
uma fotografia fique nítida, é necessário que a 
imagem focalizada pela lente se forme sobre o filme 
da máquina fotográfica. Quando um objeto se 
aproxima da máquina fotográfica, a distância entre a 
lente e a imagem real aumenta, de modo que o filme 
deve se afastar da lente (ou melhor, a lente deve se 
afastar do filme). Na Figura 28 (d) o objeto se 
encontra sobre o foco: nesse caso o raio 3 não e 
desenhado porque ele não passa através da lente. 
Parece que os raios que emergem paralelamente da 
lente são provenientes do infinito. Na Figura 28 (e) 
o objeto se encontra entre o foco e o vértice da lente, 
ou seja. a distância do objeto é menor do que a 
distância focal da lente. Os raios emergentes são 
divergentes c se forma uma imagem virtual: sua 
posição é determinada estendendo-se os raios 
emergentes para trás. Nesse caso. a distancia da 
imagem s' é negativa. Note também que a imagem é 
ereta e maior do que o objeto. (Uma lente 
convergente usada dessa maneira denomina-se lente 
de alimento ou lupa simples. A Figura 28 (f) mostra 
um objeto virtual. Os raios incidentes não divergem 
de um objeto real, porém seus prolongamentos 
convergem como se eles se encontrassem na 
extremidade de um objeto virtual O situado do lado 
direito da lente; agora a distância do objeto s é 
negativa. A imagem obtida é real, visto que a 
distância s' é positiva e está localizada entre a lente e 
o segundo foco. Essa situação pode surgir quando os 
raios que atingem a lente na Figura 28 (f) emergem 
de uma outra lente convergente (não indicada na 
figura) situada do lado direito da figura. O último 
exemplo desta seção envolve um objeto virtual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estratégia para a Solução de 
Problemas 
 
1. A estratégia recomendada pode 
também ser aplicada para lentes e sugerimos 
que você faça agora uma revisão daquela 
estratégia. 
Sempre comece com um diagrama dos 
raios principais quando as informações dadas 
permitirem. 
Oriente seu diagrama consistentemente 
fazendo os raios incidirem da esquerda para a 
direita. Para uma lente existem apenas três raios 
principais em comparação com os quatro raios 
principais de um espelho. Não faça apenas um 
esboço dos raios; desenhe os raios com uma 
régua, medindo cuidadosamente as distâncias. 
Desenhe-os como se eles se refratassem no 
plano vertical situado no centro
da lente, como 
indicado na Figura 27. Certifique-se de ter 
usado todos os três raios quando as informações 
permitiram. Para identificar a imagem basta 
localizar a interseção de apenas dois raios 
principais; contudo, se o terceiro raio não passar 
pela mesmo ponto da interseção, provavelmente 
você cometeu um erro. Nesse caso, a 
redundância pode ajudar a descobrir erros. 
2. Quando os raios principais não convergem 
para uma imagem puntiforme real a imagem é 
virtual. Você deve prolongar esses raios em 
linha reta para trás para achar o ponto de 
interseção da imagem virtual, que se encontra 
do lado mesmo lado da lente no qual os raios 
incidem. 
3. As mesmas regras de sinais que usamos 
para espelhos e para uma única superfície 
refratora também são válidas para lentes 
delgadas. Tenha bastante cuidado ao aplicar 
essas regras e interprete os resultados 
corretamente. 
4. Use sempre os dois métodos para 
determinar a posição e o tamanho da imagem, 
ou seja, o método gráfico deve ser confirmado 
pêlos cálculos. Essa é a melhor maneira de 
garantir a consistência dos resultados. 
5. A imagem formada por um espelho ou por 
uma lente pode servir de objeto para outro 
dispositivo ótico. Nesse caso, determine 
cuidadosamente as distâncias do objeto e da 
imagem para essa imagem intermediária; 
certifique-se de ter incluído as distâncias entre 
os dois dispositivos (lentes e/ou espelhos) cor-
retamente 
 
Exemplo 9 - Localização da imagem e 
ampliação usando uma lente convergente. Uma 
lente convergente possui distância tocai igual a 
20 cm. Faça um gráfico para localizar a imagem 
para um objeto cuja distância ate a lente é de: 
(a) 50 cm; (b) 20 cm: (c) 15 cm; (d) -40 cm. 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 39 
39 
Determine a ampliação transversal cm cada caso. 
Confira os resultados calculando a posição da 
imagem c a ampliação a partir das equações dadas. 
 
SOLUÇÃO: Os diagramas dos raios principais 
apropriados são indicados nas figuras 28 (a), 28 (d), 
28 (e) e 28 (f). A partir de medidas feitas nos 
gráficos, as distâncias são aproximadamente 35 cm, 
-∞. -40 cm e 15 cm, e as ampliações são, 
respectivamente: -2/3, +∞, +3 e +1/3. 
De acordo com a Equação: 
1 1 1
s s f
 

 
 achamos os seguintes valores para as posições 
das imagens: 
(a) 
1 1 1
33.3
50 20
s cm
s
   

 
(b) 
1 1 1
20 20
s
s
    

 
(c) 
1 1 1
60
15 20
s cm
s
    

 
(d) 
1 1 1
13.3
40 20
s cm
s
   

 
 
Os resultados obtidos graficamente são 
aproximadamente iguais aos obtidos por meio dos 
cálculos, exceto para o caso (c); a precisão do 
diagrama da Figura 28 (e) é limitada porque os raios 
que se estendem para trás possuem direções 
aproximadamente iguais. Observe que a distância s' 
é positiva para as imagens reais dos casos (a) e (d) é 
negativa para a imagem virtual do caso (c). 
De acordo com a Equação, as ampliações são: 
 (a) 
33.3 2
50 3
m m    
 
 (b) 
20
m m

    
 
 (c) 
60
4
15
m m

    
 
 (d) 
13.3 1
40 3
m m    

 
 
Exemplo 10 - Formação da imagem usando uma 
lente divergente Você dispõe de uma lente delgada 
divergente e verifica que os raios paralelos 
incidentes são espalhados depois de passar pela 
lente, dando a impressão de que emanam de um 
ponto situado a uma distância de 20,0 cm do centro 
da lente. Você deseja usar essa lente para formar 
uma imagem virtual ereta com altura igual a 1/3 da 
altura do objeto. (a) Onde o objeto deve ser 
colocado? (b) Faça um diagrama dos raios 
principais. 
SOLUÇÃO 
(a) A informação sobre os raios paralelos 
incidentes mostra que a distância focal é f = -20,0 
cm. Desejamos que a ampliação transversal seja 
igual a + 4 (o valor positivo foi usado porque o 
objetivo é que a imagem seja ereta.) De acordo 
com a Equação, m = + = -s'/s. portanto ,s' = -
s/3. De acordo com a Equação 
1 1 1 40
40 13.3
3 20 3 3
s
s s cm
s s
          
 
 
A distância da imagem é negativa, portanto o 
objeto e a imagem estão do mesmo lado da 
lente. 
 
(b) A Figura 29 pode ser usada par 
fazer o diagrama solicitado, traçando os raios 
numerados de modo semelhante ao indicado na 
Figura 28. 
 
Figura 29 - Diagrama dos raios 
principais para a formação da imagem em uma 
lente delgada convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11 - Imagem de uma 
imagem. Um objeto com altura igual a 8,0 cm é 
colocado a 12,0 cm à esquerda de uma lente 
convergente com distância focal de 8,0 cm. 
Uma segunda lente convergente com distância 
focal de 6,0 cm é colocada a 36,0 cm à direita 
da primeira lente. Ambas as lentes possuem o 
mesmo eixo ótico. Determine a posição, o 
tamanho e a orientação da imagem final 
produzida por essa combinação de lentes. 
(Combinações de lentes convergentes são 
usadas em microscópios e telescópios,) 
 
SOLUÇÃO: A situação é ilustrada na 
Figura 30. 
 
Figura 30 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 40 
40 
O objeto O se encontra à esquerda do 
primeiro foco F, da primeira lente, de modo que essa 
lente produz uma imagem real I. Os raios luminosos 
que incidem sobre a segunda lente emanam dessa 
imagem como se a imagem I fosse um objeto 
material. Portanto, a imagem formada pela primeira 
lente serve como objeto da segunda lente. 
Na Figura 30 desenhamos os raios 
principais l, 2 e 3 a partir da extremidade superior 
da seta do objeto 
O para determinar a posição da primeira imagem I e 
desenhamos os raios principais l', 2' e 3' a partir da 
extremidade superior da seta da imagem para definir 
a posição da segunda imagem I' formada pela 
segunda lente (embora os raios 2' e 3' não possuam 
existência real no caso presente). Note que a 
imagem final sofreu duas inversões, uma em cada 
lente, de modo que a segunda imagem iI' possui a 
mesma orientação do objeto original. 
Para calcular a posição e o tamanho da 
segunda imagem I', inicialmente precisamos 
determinar a posição e o tamanho da primeira 
imagem I. 
Aplicando para a primeira lente a Equação: 
1 1 1
s s f
 

 
Obtemos: 
'
1'
1
1 1 1
24,0
12 8
s cm
s
    
 
A primeira imagem I está a 24,0 cm à 
direita da primeira lente. A ampliação é dada por: 
m = -(24,0 cm)/( 12,0 cm) = -2.00 
portanto a altura da imagem é: 
(-2.00)(8,0 cm) = -16,0 cm. 
 
A primeira imagem está a 36,0 cm - 24.0 
cm = 12.0 cm à esquerda da segunda lente, de modo 
que a distância do objeto para a segunda lente é 
igual a +12.0 cm. Aplicando para a segunda lente a 
Equação (35.16), obtemos a posição da imagem 
final: 
A imagem final está a 12,0 cm à direita da segunda 
lente e a 48,0 cm à direita da primeira lente. 
A ampliação da imagem produzida pela segunda 
lente é dada por: 
m2 = -(12,0 cm)/( 12,0 cm) = -l .0. 
Portanto a altura da imagem final é 
exatamente a mesma altura da primeira imagem. 
Porém com orientação oposta. Esses 
resultados são também indicados pelo diagrama dos 
raios principais. 
 
 Exemplo 12 - Imagem de uma imagem. 
 
 Na situação descrita no exemplo anterior, a 
segunda lente é deslocada para uma distância de 12 
cm à direita da primeira lente. Para essa nova 
configuração, determine a posição, o tamanho e a 
orientação da imagem final produzida
pela 
combinação dessas duas lentes. 
 
 Figura 31 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1 1 1 1 1 1
4,0
12 6
s cm
s s f s
      
  
 
Ampliação da segunda lente: 
4
5.33
12
m m     

 
Tamanho final da imagem: 
 0.33 16 5.33y m y y cm        
 
Imagem invertida em relação ao objeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 41 
41 
 Instrumentos de Óptica Geométrica 
 Introdução 
 
Nos capítulos precedentes aprendemos os 
fundamentos da formação de imagens usando 
espelhos e lentes. Agora aplicaremos essas idéias em 
alguns dispositivos óticos comuns e explicaremos 
como eles funcionam. Em que aspectos a máquina 
fotográfica é semelhante ao olho humano? Quais são 
as diferenças'? O que deve fazer um fotógrafo ou um 
operador de projetor de cinema para ajustar o "foco" 
do filme? Como pode uma particular combinação de 
duas lentes produzir um microscópio, porém outra 
combinação produzir um telescópio? As respostas a 
essas e outras perguntas podem ser dadas aplicando-
se os princípios básicos sobre espelhos e lentes que 
estudamos. 
O conceito de imagem que serviu de base para o 
entendimento dos dispositivos óticos simples, 
discutidos no Capítulo 35, desempenha papel 
igualmente importante na análise dos instrumentos 
de ótica. Continuamos a orientar nossa análise pelo 
modelo de raios luminosos, portanto este capítulo 
está enquadrado no estudo geral da ótica geométrica. 
 
 CÀMERAS E PROJETORES 
A câmera e o projetor são exemplos de 
dispositivos óticos simples e muito usados na vida 
cotidiana. Eles aplicam princípios óticos 
semelhantes para realizar tarefas complementares. A 
câmera ou máquina fotográfica produz uma pequena 
imagem de um objeto, registrando-a em um filme. 
Esse filme pode, a seguir, ser usado como um objeto 
para um projetor que produz uma imagem ampliada 
desse objeto sobre uma tela. 
 CÂMERAS 
Os elementos básicos de uma câmera ou 
máquina fotográfica são uma lente convergente, uma 
caixa hermética (a palavra "câmera" é de origem 
latina e significa "compartimento fechado"), um 
filme sensível à luz para registrar a imagem e um 
obturador combinado com um diafragma que serve 
de janela para que a luz penetre na câmara fechada e 
atinja a película durante um certo intervalo de tempo 
(Figura 1 (a). A lente forma sobre o filme uma 
imagem invertida real do objeto que está sendo 
fotografado. As lentes das máquinas fotográficas de 
boa qualidade possuem diversos elementos que são 
usados para corrigir diferentes aberrações, incluindo 
a dependência do índice de refração com o 
comprimento de onda e as limitações impostas pela 
aproximação paraxial. (As aberrações das lentes 
serão discutidas depois) Um modelo clássico de 
lentes para máquinas fotográficas é o dispositivo 
"Tessar" da marca registrada Zeiss indicado na 
Figura 1 (b). 
Quando a máquina fotográfica está 
corretamente focalizada, a posição do filme 
corresponde à posição da imagem real formada pela 
lente. A fotografia resultante será tão nítida quanto 
possível. Para uma lente convergente, a 
distância da imagem aumenta quando a 
distância do objeto diminui. Portanto, para 
"focalizar" a máquina fotográfica, a lente deve 
ficar mais próxima do filme para um objeto 
distante e mais afastada do filme quando o 
objeto está próximo da máquina. Geralmente 
isso é feito fazendo-se girar uma montagem com 
rosca que aproxima ou afasta a lente. 
A escolha de uma distância focal/para 
uma dada máquina fotográfica depende do 
tamanho do filme e do ângulo de visão desejada. 
Na Figura 2 as três fotografias foram obtidas 
comum filme de 35 mm, usando a mesma 
máquina fotográfica e focalizando a mesma 
cena na mesma posição, porém empregando 
lentes com diferentes distâncias focais. 
Uma lente com distância focal muito 
grande, denominada lente telefoto, fornece um 
ângulo de visão pequeno e uma imagem grande 
de um objeto distante (tal como a estátua 
mostrada ma figura 2 (c)), a chamada lente 
grande angular é uma lente com distância focal 
pequena, que fornece um ângulo de visão 
grande e uma imagem pequena. 
 
Figura 1 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 42 
42 
Para entender esse comportamento, lembre 
que a distância focal fornece a distância entre a 
imagem e a lente quando o objeto está no infinito. 
Em geral, para qualquer distância do objeto, o uso 
de uma lente com distância focal maior fornece uma 
distância maior para a imagem. Isso também faz 
aumentar a altura da imagem; conforme vimos, a 
razão entre a altura da imagem y' e a altura do objeto 
y (a ampliação transversal) é igual ao módulo da 
razão entre a distância da imagem s' e a distância do 
objeto s. 
y s
m
y s
 
  
 
Para uma lente com distância focal 
pequena, a razão s/s´ é pequena e um objeto distante 
fornece somente uma imagem pequena. Quando 
usamos uma lente com distância focal grande, a 
imagem desse mesmo objeto pode cobrir 
inteiramente a área do filme. Portanto quanto maior 
for a distância focal, menor será o ângulo de visão 
(Figura 2 (d)). 
O ângulo de visão pode ser aumentado 
simplesmente fazendo-se aumentar o tamanho do 
filme. Quando usamos uma máquina fotográfica 
com filme de 35 mm, para o qual a área da imagem 
é igual a 24 mm x 36 mm, uma lente com f = 50 mm 
fornece um ângulo de visão igual a 45°; a lente com 
esse ângulo de visão é chamada de lente "normal". 
Para uma máquina fotográfica que empregue uma 
lente com a mesma distância focal, porém com um 
filme de 60 mm x 70 mm, a lente funciona como 
uma grande angular com um ângulo de visão igual a 
63°. 
A fim de que o filme registre uma imagem 
apropriadamente, a energia total da luz incidente que 
atinge o filme por unidade de área (a "exposição") 
deve ficar situada entre determinados limites. Isso é 
controlado pela velocidade do obturador e pela 
abertura do diafragma. O obturador controla o 
intervalo de tempo durante o qual a luz permanece 
sobre o filme. Esse tempo pode ser ajustado em 
intervalos com um fator igual a dois, geralmente 
desde l s até 1/1000 s. 
A intensidade da luz que atinge o filme é 
proporcional à área vista pela lente da máquina 
fotográfica e à área efetiva da lente. O tamanho da 
área que a lente "vê" é proporcional ao quadrado do 
ângulo de visão da lente e, portanto, ela é 
aproximadamente proporciona a l/f 
2
. A área efetiva 
da lente é controlada por meio do ajuste da abertura 
da lente, ou diafragma, um orifício 
aproximadamente circular com diâmetro variável D; 
portanto a área efetiva é proporcional a D
2
. 
Reunindo esses dois fatores, vemos que a 
intensidade da luz que atinge o filme com uma lente 
particular é proporcional a D
2
/f
2
. A capacidade da 
entrada de luz de uma lente é expressa pêlos 
fotógrafos em termos da razão f/D, chamada de 
número/da lente: 
Distância focal
Diâmetro da abertura
f
f
N
D
 
 
Por exemplo, dizemos que uma lente com 
distância focal f = 50 mm e um diâmetro de 
abertura D =25 mm possui um número/igual a 2, 
ou "uma abertura
de f/2. A intensidade da luz 
que atinge o filme é inversamente proporcional 
ao quadrado do número. 
Para uma lente com diâmetro de abertura 
variável, quando este aumenta de um fator igual 
a 
2
, o número/aumenta de 
1 2
 e a 
intensidade da luz que atinge o filme aumenta 
de um fator 2. As aberturas ajustáveis possuem 
geralmente uma escala com números sucessivos 
(chamada de escala do número/) relacionados 
por fatores de 
2
, tais como: 
f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16, 
e assim por diante. Os números maiores 
correspondem a aberturas e exposições menores 
e cada ponto da escala corresponde a um fator 
igual a 2 na intensidade (veja a Figura 36.3). A 
exposição efetiva (quantidade total da luz que 
atinge o filme) é proporcional ao tempo de 
exposição e à área da abertura. Portanto, f/4 e 
1/500s, f/5 e 1/250s, f/8 e 1/125s são pares de 
valores que correspondem à mesma exposição 
efetiva. 
Muitos fotógrafos usam a chamada 
lente zoom, um conjunto complexo de lentes 
que fornece uma distância focal que varia 
continuamente, em geral em um intervalo 
grande da ordem de 10 até l. As figuras 4 (a) e 
(b) mostram sistemas simples com distâncias 
focais variáveis e a Figura 4 (c) mostra uma 
lente zoom típica de uma máquina fotográfica 
de 35 mm. 
A lente zoom fornece um intervalo de 
imagens com diversas ampliações para um 
mesmo objeto. É um problema muito complexo 
nos projetos de ótica manter a imagem em foco 
e, ao mesmo tempo, um número/constante 
enquanto a distância focal varia. Ao variar a 
distância focal de uma lente zoom típica, dois 
conjuntos de elementos se movem no interior da 
lente e um diafragma abre e fecha. 
O sistema ótico empregado em uma 
câmara que produz imagens para a televisão é 
essencialmente análogo ao sistema ótico da 
máquina fotográfica. O filme é substituído por 
um sistema eletrônico que, no formato usado 
nos Estados Unidos, produz uma varredura da 
imagem com uma série de 525 linhas paralelas. 
O brilho da imagem ao longo dessas linhas é 
traduzido em impulsos elétricos que podem ser 
armazenados em fitas de vídeo ou então 
enviados por ondas eletromagnéticas com 
freqüências da ordem de 100 até 400 MHz. A 
cena inteira é varrida 30 vezes por segundo, de 
modo que são varridas 30 x 525 ou 15.750 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 43 
43 
linhas em cada segundo. Alguns receptores de TV 
emitem um som fraco com altura elevada para essa 
freqüência de varredura (duas oitavas acima do B 
mais elevado do piano). 
 
Figura 3 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Exposição de uma fotografia. 
Uma lente telefoto comum da máquina fotográfica 
de 35 mm possui uma distância focal igual a 200 
mm e intervalos da escala f desde f/5.6 até f/745. 
(a) Qual é o intervalo de diâmetros das aberturas 
correspondentes? 
(b) Qual é o intervalo correspondente para a 
intensidade da imagem no filme? 
 
SOLUÇÃO: (a) De acordo com a Equação: 
 o intervalo de diâmetros é dado por: 
200
36
5.6f
f
D mm
N
  
 
200
4.4
45f
f
D mm
N
  
 
(b) Como a intensidade é proporcional ao 
quadrado do diâmetro, a razão entre a intensidade 
para f/5.6 e para f/45 é: 
2
36
65
4.4
 
 
 
 
Caso o tempo de exposição correio para f/5.6 
seja igual a 1/1000 s, então para f/45 ele será dado 
por: 
(65)(1/1000s) = 1/15s. 
 
 PROJETORES 
 
Um projetor é um dispositivo usado para 
ver diapositivos ou filmes de cinema e seu fun-
cionamento equivale ao inverso da máquina 
fotográfica. Seus elementos essenciais são indicados 
na Figura 5. A luz proveniente de uma fonte (uma 
lâmpada incandescente ou uma lâmpada de arco de 
carbono no caso de um projetor de cinema) 
passa através do filme e uma lente de projeção 
forma sobre uma tela uma imagem real, 
invertida e maior que o filme. Um espelho 
côncavo atrás da lâmpada também ajuda a 
direcionar a luz. As lentes do condensador 
devem ser suficientemente grandes para cobrir a 
área total do filme. A imagem formada sobre a 
tela é sempre real e invertida; por essa razão os 
diapositivos ou slides devem ser sempre 
colocados no interior do projetor em uma 
posição invertida. A posição e o tamanho da 
imagem projetada sobre a tela são determinados 
pela posição e pela distância focal da lente do 
projetor. 
 
 
 
 
Figura 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os retroprojetores usados nas salas de 
aula apresentam um esquema semelhante para 
projetar uma imagem sobre uma tela, porém 
existem duas diferenças importantes (Figura 6 
(a)). Depois de a luz sair da lente do projetor, 
um espelho plano inclinado reflete e inverte a 
imagem de modo que ela possa ser vista sobre a 
tela com a orientação correta. Além disso, a luz 
proveniente da lâmpada é direcionada para a 
lente do projetor por um dispositivo de 
plástico transparente sobre o qual colocamos a 
transparência que desejamos projetar. Esse 
dispositivo de plástico é um exemplo de lente de 
Fresnel. Todas as lentes que descrevemos até o 
momento funcionam com a refração que se dá 
em suas superfícies, nenhuma refração ocorre 
no interior da lente. Se eliminássemos uma parte 
do material do interior da lente, poderíamos 
reduzir sensivelmente o peso de uma lente 
grande. É exatamente isso que a lente de Fresnel 
faz (Figura 6 (b)). Cada segmento circular copia 
o contorno circular correspondente de uma lente 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 44 
44 
comum. Você pode ver esses segmentos 
examinando a superfície do retroprojetor onde 
apoiamos a transparência. As lentes de Fresnel 
geralmente não possuem qualidade muito boa, mas 
são leves e custam pouco, levando em consideração 
seu tamanho. Elas lambem são usadas em sinais de 
trânsitos luminosos, em coletores de luz, em. células 
solares, em lupas planas de bolso, em lâmpadas para 
iluminação e em muitos outros dispositivos. 
 
Figura 6 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Um projetor de diapositivo A 
área de um diapositivo colorido comum de 35 mm é 
igual a 24 mm x 36 mm. Qual é a distância focal da 
lente do projetor necessária para que uma imagem de 
l,2 m x l ,8 m se forme sobre uma tela situada a 5,0 
m da lente? 
 
SOLUÇÃO: Precisamos de uma ampliação 
transversal com módulo dado por (l ,2 m)/(24 mm) = 
50. De acordo com a Equação (35.17), a razão s'ls 
também deve ser igual a 50. (A imagem é real, de 
modo que s' é positivo.) Sabemos que s' = 5,0 m. 
Logo, s = (5,0 m)/50 = 0,10 m. Então, de acordo 
com a Equação (35.16). 
1 1 1 1 1 1
98
0.1 5
f mm
s s f f
      

 
Uma distância focal comum para um projetor 
de diapositivos doméstico é igual a 100 mm; esse 
tipo de lente é fácil de encontrar e poderia ser uma 
escolha apropriada para essa situação. Diversos 
projetores são equipados com lentes do tipo zoom 
a fim de possibilitar um dado intervalo para os 
tamanhos da imagem e de permitir o uso de 
diferentes distâncias entre o projetor e a tela. 
 
 O OLHO 
 
O comportamento ótico do olho é 
semelhante ao da máquina fotográfica. As partes 
essenciais do olho humano, considerado um sistema 
ótico, são indicadas na Figura 7. A forma do olho é 
quase esférica, com diâmetro aproximadamente 
igual a 2,5 cm. 
 
 
 
 
 
 
Figura
7 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A parte frontal é ligeiramente mais 
encurvada e é recoberta por uma membrana 
dura e transparente, a córnea. A região atrás da 
córnea contém um líquido chamado de humor 
aquoso. A seguir vem o cristalino, uma lente em 
forma de cápsula com uma gelatina fibrosa dura 
no centro e progressivamente mais macia à 
medida que se aproxima de sua periferia. A 
lente do cristalino é sustentada por ligações com 
o músculo ciliar, localizado em sua periferia. 
Atrás dessa lente, o olho está cheio de um 
líquido gelatinoso chamado de humor vítreo. Os 
índices de refração do humor vítreo e do humor 
aquoso são ambos aproximadamente iguais a 
1.336, valor quase igual ao índice de refração da 
água. O cristalino, apesar de não ser 
homogêneo, possui um índice de refração de 
1.437. 
Esse valor não é muito diferente do 
índice de refração do humor vítreo e do humor 
aquoso: a maior parte da refração da luz que 
chega ao olho ocorre na superfície externa da 
córnea. 
A refração na córnea e nas 
superfícies da lente produz uma imagem real 
do objeto que está sendo observado. A 
imagem é formada sobre a retina, uma 
membrana sensível à luz situada junto da 
superfície interna da parte traseira do olho. A 
retina desempenha o mesmo papel do filme na 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 45 
45 
máquina fotográfica. Os cones e os bastonetes 
existentes na retina agem como minúsculas 
fotocélulas, que captam a imagem e transmitem os 
impulsos através do nervo ótico para o cérebro. A 
visão é mais precisa em uma pequena região 
central chamada fóvea central, com diâmetro 
aproximado de 0,25 mm. 
A íris se localiza na parte dianteira do 
cristalino. Ela contém uma abertura com diâmetro 
variável denominada pupila que se abre ou se 
fecha para adaptar a entrada da luz de acordo com 
a variação da luminosidade. Os receptores da 
retina também possuem mecanismos de adaptação 
da intensidade. 
Para que um objeto seja visto com bastante 
nitidez, a imagem deve ser formada exata-mente 
sobre a retina. O olho se ajusta para diferentes 
distâncias s do objeto, fazendo alterações na 
distância focal/de sua lente; a distância s' entre a 
lente e a retina não varia. (Compare com a máquina 
fotográfica, na qual a distância focal é fixa, porém a 
distância entre o filme e a lente varia.) Para um olho 
normal, um objeto no infinito é focalizado quando o 
músculo ciliar está relaxado. Para produzir uma 
imagem bem focalizada sobre a retina de um objeto 
próximo, a tensão no músculo ciliar que envolve o 
cristalino aumenta, o músculo ciliar se contrai e o 
cristalino fica mais grosso na parte central fazendo 
diminuir os raios de curvatura de suas superfícies; 
logo, a distância focal diminui. Esse processo é 
chamado de acomodação. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 - 
 
VARIAÇÃO DO PONTO PRÓXIMO 
SEGUNDO A IDADE 
Idade (anos) Ponto próximo (cm) 
10 7 
20 10 
30 14 
40 22 
50 40 
60 200 
 
Os extremos do intervalo para o qual a 
visão distinta é possível são chamados de ponto 
próximo e de. ponto distante. O ponto distante de 
um olho normal se encontra no infinito. A posição 
do ponto próximo depende da capacidade do 
músculo ciliar de reduzir o raio de curvatura do 
cristalino. O intervalo de acomodação diminui 
gradualmente à medida que a pessoa envelhece, pois 
o cristalino aumenta durante a vida (para uma idade 
de 60 anos ele é 50% maior do que aos 20 anos) e os 
músculos ciliares tomam-se menos capazes de 
contrair uma lente maior. Por essa razão, a 
distância do ponto próximo aumenta à medida 
que a pessoa envelhece. Esse aumento da 
distância do ponto próximo recebe o nome 
popular de vista cansada e o nome científico de 
presbiopia. Na Tabela 36. l mostramos alguns 
valores aproximados da posição do ponto 
próximo para o olho normal de uma pessoa 
comum em diversas idades. Por exemplo, uma 
pessoa com 50 anos não consegue focalizar com 
nitidez nenhum objeto que esteja a uma 
distância aproximadamente menor do que 40 cm 
 
Figura 8 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diversos defeitos comuns da visão 
resultam de relações incorretas entre distâncias 
que ocorrem no olho. Um olho normal forma 
sobre a retina uma imagem de um objeto que se 
encontra no infinito quando o olho está relaxado 
(Figura 8 (a)). No olho míope, o globo ocular é 
muito alongado em comparação com o raio de 
curvatura da córnea (ou a córnea é encurvada 
muito fortemente) e os raios de um objeto 
situado no infinito são focalizados antes da 
retina (Figura 8 (b)). Logo, a maior distância 
para a qual um objeto forma uma imagem sobre 
a retina está em um ponto mais próximo do que 
no caso do olho normal. No olho hipermétrope, 
o globo ocular é muito curto ou a córnea não é 
suficientemente encurvada, e, assim, os raios de 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 46 
46 
um objeto situado no infinito são focalizados atrás 
da retina (Figura8 (c)). O olho míope produz uma 
convergência demasiadamente grande dos raios 
paralelos e forma uma imagem antes da retina; o 
olho hipermétrope produz uma convergência 
insuficiente e forma uma imagem depois da retina. 
No astigmatismo a superfície da córnea não 
é esférica, porém é mais encurvada em um dado 
plano do que em outro. Por causa disso, uma reta 
vertical pode formar uma imagem em um plano 
diferente do plano formado pela imagem de uma 
reta horizontal (Figura 9). O astigmatismo pode 
tornar impossível, por exemplo, a focalização 
simultânea das barras verticais e horizontais de uma 
janela. 
 
Figura 9 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos esses defeitos podem ser corrigidos 
mediante o uso de lentes corretoras (óculos ou lentes 
de contato). O ponto próximo de um olho com 
miopia ou presbiopia está mais longe do que o ponto 
próximo de um olho normal. Para ver nitidamente 
um objeto situado na distância normal de leitura 
(geralmente em torno de 25 cm), é necessário o uso 
de uma lente que forme uma imagem situada sobre o 
ponto próximo ou depois dele. Isso pode ser 
conseguido com uma lente convergente (positiva), 
como indicado na Figura 10. Na verdade, a lente faz 
o objeto se deslocar para uma distância mais 
afastada do olho para que a imagem seja focalizada 
sobre a retina. Analogamente, a correção da miopia 
é obtida usando-se uma lente divergente (negativa) 
para fazer o objeto se deslocar para uma distância 
mais próxima do olho do que a distância real do 
objeto, como indicado na Figura 11. 
 
Figura 10 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O astigmatismo é corrigido pelo uso de 
uma lente com superfície cilíndrica. Por exem-
plo, suponha que a curvatura da córnea em um 
plano horizontal seja correia e focalize sobre a 
retina raios provenientes do infinito, porém que 
sua curvatura em um plano vertical seja tão 
grande que a focalização ocorra antes da retina. 
Quando uma lente cilíndrica divergente com 
eixo horizontal é colocada antes do olho, os 
raios no plano horizontal não sofrem nenhuma 
modificação, mas
a divergência adicional dos 
raios no plano vertical faz com que esses raios 
sejam focalizados sobre a retina, como se vê na 
Figura 12. 
As lentes corretivas são geralmente 
descritas em termos da potência, definida como 
o inverso da distância focal expressa em metros. 
A unidade de potência é a dioptria. Portanto, 
uma lente com f'= 0,50 m possui uma potência 
igual a 2,0 dioptrias, f= -0,25 m corresponde a 
uma potência igual a -4,0 dioptrias, e assim por 
diante. Os números em uma receita de óculos 
geralmente referem-se a potências expressas em 
dioptrias. Quando o defeito envolve 
simultaneamente astigmatismo e miopia ou 
hipermetropia, existem três números: um para a 
potência da lente esférica, um para a potência da 
lente cilíndrica e um ângulo para descrever a 
orientação da lente cilíndrica corretora. 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 47 
47 
Exemplo 3 - Correção da hipermetropia. O 
ponto próximo de certo olho hipermétrope está a 
100 cm em frente ao olho. Para ver com nitidez um 
objeto situado a uma distância de 25 cm do olho. 
qual é a lente de contato necessária? 
 
SOLUÇÃO: Desejamos que a lente forme uma 
imagem virtual do objeto em um local 
correspondente ao ponto próximo do olho a uma 
distância de 100 cm do olho. Ou seja, quando s = 25 
cm, s' tem de ser igual a -100 cm. De acordo com a 
equação das lentes delgadas. 
1 1 1 1 1 1
33
25 100
f cm
s s f f
       
 
 
Necessitamos de uma lente convergente com 
distância focal f = 33 cm. A potência correspondente 
é l/(0.33m), ou +3,0 dioptrias. 
 Exige o uso de uma lente convergente 
(distância focal positiva), portanto devemos 
empregar uma lente biconvexa. 
 
Exemplo 4 - Correção da miopia. O ponto 
distante de um certo olho míope está a 50 cm em 
frente ao olho. Para ver com nitidez um objeto 
situado no infinito, qual é a lente necessária para os 
óculos de correção? Suponha que a lente seja usada 
a uma distância de 2.0 cm do olho. 
 
SOLUÇÃO: O ponto distante de um olho 
míope está mais próximo do que o infinito. Para ver 
com nitidez objetos mais afastados do que o ponto 
distante desse olho, é necessário que a imagem 
virtual do objeto se forme a uma distância que não 
seja maior do que o ponto afastado. Suponha que a 
imagem virtual de um objeto no infinito seja 
formada sobre o ponto afastado, a 50 cm do olho e a 
48 cm da lente dos óculos. Ou seja, quando s = °°, 
desejamos que s' seja igual a -48 cm. De acordo com 
: 
1 1 1 1 1 1
48
48
f cm
s s f f
       
  
 
Necessitamos de uma lente divergente 
com distância focal -48 cm = -0,48 m. A potência 
correspondente é igual a -2,1 dioptrias. Você é 
capaz de verificar se, caso fosse usada lente de 
confeito, em vez de óculos, f seria igual a -50 
cm? 
 
 A LUPA 
 
O tamanho aparente de um objeto é 
determinado pelo tamanho da imagem sobre a 
retina. Se o olho não possui nenhuma lente 
adicional, o tamanho depende do ângulo 6 
subtendido pelo objeto no olho, grandeza chamada 
de tamanho angular (Figura 13 (a)). 
 
Para observar um objeto pequeno, tal 
como um inseto ou um cristal, você deve 
colocá-lo mais próximo do olho, de modo que a 
imagem sobre a retina e o ângulo subtendido 
possuam o maior valor possível. Contudo, o 
olho não pode focalizar com nitidez objetos que 
estejam mais próximos do que o ponto próximo, 
de modo que o tamanho de um objeto é máximo 
(ou seja, ele subtende o ângulo máximo) quando 
é colocado sobre o ponto próximo. Nas dis-
cussões apresentadas a seguir, vamos supor que 
o ponto próximo de um observador médio esteja 
situado a 25 cm de distância do olho. 
Uma lente convergente pode servir 
para formar uma imagem virtual maior e mais 
afastada do que o próprio objeto, como indicado 
na Figura 36.13b. Portanto, usando essa lente, o 
objeto pode se deslocar para uma distância mais 
próxima do olho e o tamanho angular da 
imagem pode ser muito maior do que o tamanho 
angular do objeto a uma distância de 25 cm sem 
o uso da lente. Uma lente empregada dessa 
maneira é chamada de lupa, também conhecida 
como lente de aumento ou lupa simples. A 
imagem virtual é vista com mais conforto 
quando colocada no infinito, para que o 
músculo ciliar não fique contraído; nas 
discussões apresentadas a seguir vamos supor 
que isso ocorra. 
Na Figura 13 (a) o objeto está sobre o 
ponto próximo, onde ele subtende um ângulo  
no olho. Na Figura 13 (b) uma lupa colocada em 
frente ao olho forma uma imagem no infinito e 
o ângulo subtendido com auxílio da lupa é '. A 
medida da ampliação fornecida pela lente é dada 
pela razão entre o ângulo '(com a lupa) e o 
ângulo  (sem a lupa). Essa razão é chamada de 
ampliação angular M: 
M




 
(ampliação angular). 
 
ATENÇÃO: Não confunda a 
ampliação angular M com a ampliação 
transversal m. A ampliação angular é a razão 
entre o tamanho angular da imagem e o 
tamanho angular do objeto correspondente; a 
ampliação transversal fornece a razão entre a 
altura da imagem e a altura do objeto 
correspondente. Para a situação indicada na 
Figura 13 (b), a ampliação angular é 
aproximadamente igual a 3x, visto que a 
imagem da formiga subtende um ângulo cerca 
de três vezes maior que o ângulo subtendido 
pela formiga na Figura 13 (a); portanto o olho 
tem a impressão de ver a formiga três vezes 
maior. A ampliação transversal m = -s'/s na 
Figura 13 (b) é infinita porque a imagem se 
forma no infinito; contudo isso não significa que 
o objeto aparente um tamanho infinito quando 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 48 
48 
observado através da lupa! (Foi por essa razão que 
não desenhamos uma formiga infinitamente grande 
na Figura 13 (b).) Ao estudarmos uma lupa, a 
ampliação angular M é um conceito útil, porém a 
ampliação transversal m não é. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcularmos o valor de M, 
inicialmente supomos que os ângulos sejam 
suficientemente pequenos para que cada ângulo (em 
radiano) seja igual a sua tangente ou a seu seno. 
Usando a Figura 13 (a) e desenhando o raio na 
Figura 13 (b) que passa através do centro da lente 
sem sofrer desvio, verificamos que os ângulos  e ' 
são dados por: 
25
y y
f
    
 
 
Combinando essas relações, obtemos: 
25
25
y f
M
y f



  
 
(ampliação angular para uma lupa) 
 
A fórmula obtida sugere que seria possível 
conseguir uma ampliação angular tão elevada que 
fizesse diminuir a distância focal f. Contudo, as 
aberrações de uma lente biconvexa simples (que 
serão discutidas) impõem um limite prático para M 
aproximadamente igual a 3x ou 4x. Caso essas 
aberrações possam ser corrigidas, a ampliação 
angular pode chegar até 20x. Se o objetivo são 
ampliações angulares maiores do que esta, em geral 
é usado um microscópio composto, que será 
discutido na próxima seção. 
 
Exemplo 5 - Dispomos de duas lentes de 
plástico, uma biconvexa e a outra bicôncava, 
cada uma delas com distância focal com valor 
absoluto igual a 10.0 cm. 
(a) Qual das duas lentes pode ser usada 
como uma lupa? 
(b) Qual é a ampliação angular? 
 
 SOLUÇÃO: (a) A formação da imagem 
virtual indicada na (b) De acordo com a equação da ampliação angular: 
 
25
2.5
10
M  
 
 
 O MICROSCÓPIO 
 
Se necessitamos
de uma ampliação 
angular maior do que a que pode ser obtida com 
uma lupa simples, devemos usar um 
microscópio, algumas vezes denominado de 
microscópio composto. Os elementos essenciais 
de um microscópio são indicados na Figura 14. 
Para analisarmos esse sistema, tomamos como 
base o princípio de que a imagem formada por 
um elemento ótico tal como uma lente ou um 
espelho pode servir de objeto para um segundo 
elemento ótico. Já utilizamos esse princípio ao 
deduzirmos a equação das lentes delgadas 
aplicando duas vezes seguidas a equação da 
refração nas duas superfícies da lente; usamos 
novamente esse princípio nos exemplos, para os 
quais a imagem formada por uma lente servia de 
objeto para uma segunda lente. 
 
Figura 14 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 49 
49 
O objeto O é colocado em um ponto 
ligeiramente para fora do primeiro foco F, da 
objetiva, uma lente convergente que forma uma 
imagem I real e maior do que o objeto (Figura 14 
(b)). Em um instrumento projetado adequadamente, 
essa imagem se forma entre o foco F,' e o vértice de 
uma segunda lente convergente, chamada de ocular, 
em um ponto quase sobre seu foco. (Deixamos para 
você explicar a razão pela qual essa imagem deve 
ser formada na parte interna do foco quase sobre 
F1'.) A ocular funciona como uma lupa simples, 
conforme discutido, e forma uma imagem virtual 
final I' do objeto O. A posição da imagem I' pode 
estar situada entre o ponto próximo e o ponto 
distante do olho. Tanto a lente ocular quanto a 
objetiva de um microscópio são lentes compostas 
altamente corrigidas, com diversos elementos óticos; 
contudo, por simplicidade, cada uma dessas lentes é 
indicada aqui como uma única lente delgada 
simples. 
Analogamente ao caso da lupa, o que 
importa para um microscópio é sua ampliação 
angular M. A ampliação angular total de um 
microscópio composto é o produto de dois fatores. O 
primeiro fator é a ampliação transversal m1, da 
objetiva, que determina o tamanho linear da imagem 
real I; o segundo é a ampliação angular M2 da 
ocular, que relaciona o tamanho angular da imagem 
virtual vista através da ocular com o tamanho que a 
imagem real I teria se ela fosse vista sem a ocular. 
O primeiro fator é dado por: 
1
1
1
s
m
s

 
 
Onde s1, é a distância do objeto e s´1 é a distância 
da imagem para a lente objetiva. Em geral, o objeto 
está muito próximo do foco, de modo que a 
distância da imagem s1´ é muito grande em 
comparação com a distância focal f1 da lente 
objetiva. Logo s'1 é aproximadamente igual a/i e 
podemos escrever: 
1
1
1
s
m
f

 
 
A imagem real I está próxima do foco F1' da 
ocular, de modo que, para calcular a ampliação 
angular da ocular, podemos usar a Equação:
2 225M f
 onde f2, é a distância focal da ocular 
(tomada como uma lente simples). A ampliação 
angular total M de um microscópio composto (com 
exceção de um sinal negativo que se costuma 
ignorar) é o produto das duas ampliações 
mencionadas: 
1
1 2
1 2
25s
M m M
f f

 
 
(ampliação angular de um microscópio) 
onde s1´, f1 e f2 são grandezas medidas em 
centímetros. A imagem final é invertida em relação 
ao objeto. 
Os fabricantes de microscópios 
geralmente especificam os valores de m1, e de 
M2 para os componentes do microscópio em vez 
de especificar as distâncias focais da objetiva e 
da ocular. 
A Equação mostra que a ampliação 
angular de um microscópio pode ser aumentada 
usando-se uma objetiva com uma distância focal 
f1, pequena, fazendo-se aumentar o valor de m1 e 
o tamanho da imagem real I. Muitos 
microscópios óticos possuem uma "torre‖ 
giratória com três ou mais objetivas com 
diferentes distâncias focais para que o mesmo 
objeto possa ser visto com diferentes 
ampliações. A ocular também deve possuir uma 
distância focal f2; pequena para se obter o valor 
máximo de M. 
 
 
 
 TELESCÓPIOS 
 
O sistema ótico de um telescópio é 
semelhante ao de um microscópico composto. 
Eu ambos, a imagem formada pela objetiva é 
vista através de uma ocular. A diferença 
essencial é que o telescópio é usado para ver 
objetos grandes situados em distâncias grandes 
e o microscópico é usado para ver objetos 
pequenos situados muito próximos de nós. 
Outra diferença é que muitos telescópios usam 
como objetiva um espelho curvo e não uma 
lente 
Na Figura 15 mostramos um telescópio 
astronômico. Como esse telescópio usa uma 
lente como objetiva, ele é chamado de 
telescópio de refração ou telescópio refrator. A 
lente objetiva forma uma imagem real reduzida 
I do objeto. 
Essa imagem é o objeto para a lente 
ocular, que por sua vez forma uma imagem 
virtual ampliada de I. Os objetos que são visto 
com um telescópio quase sempre estão tão 
afastados do instrumento que a primeira 
imagem I se forma aproximadamente sobre o 
segundo foco da lente objetiva. Se a imagem 
final I’ formada pela ocular está no infinito 
(para a visão mais confortável de um olho 
normal), primeira imagem deve se formar sobre 
o foco da ocular. A distância entre a objetiva e a 
ocular, que é igual ao comprimento do 
telescópio, é portanto a soma f1+f2, das 
distâncias focais, da objetiva e da ocular. 
A ampliação angular M de um telescópio é 
definida como a razão entre o ângulo subtendido 
pela imagem final I' no olho e o ângulo 
subtendido pelo objeto quando visto a olho nu. 
Podemos expressar essa razão em termos das 
distâncias focais da objetiva e da ocular. O 
objeto (não-indicado) subtende um ângulo  na 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 50 
50 
objetiva e deve subentende também essencialmente 
o mesmo ângulo quando a observação é feita a olho 
nu. Além disso, visto que ( olho do observador se 
encontra imediatamente à direita do foco F2', o 
ângulo subtendido no olho pela imagem final é 
aproximadamente igual ao ângulo ’. Como bd é 
paralelo ao eixo ótico, a distância ab é igual a cd e é 
também igual à altura y’da imagem real I. 
 
Figura 15 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os ângulos  e ' são pequenos, eles 
podem ser aproximados pelas respectivas tangentes. 
Pelos triângulos retângulos F1ab e F2'cd, obtemos: 
1 2
y y
f f
 
 
  
 
A ampliação angular M de um telescópio é dada 
pela razão entre a distância focal à objetiva e a 
distância focal da ocular. O sinal negativo mostra 
que a imagem final é invertida. A Equação mostra 
que, para obter uma ampliação angular grande, um 
telescópio deve possuir uma objetiva com distância 
focal F1 grande. Em contraste, vimos que um 
microscópico precisa de uma objetiva com uma 
distância focal pequena. Contudo, um telescópio que 
possua uma objetiva com uma distância focal grande 
deve também ter um diâmetro D grande para que o 
número, dado por f1/D, na seja muito grande; como 
dissemos, um número grande significa um imagem 
sem brilho, com pouca intensidade. Normalmente 
um telescópio não possui muitas objetivas para 
serem trocadas; em vez disso, a variação da 
ampliação angular obtida fazendo-se variar as lentes 
da ocular com diferentes valores da distância focal 
f2. Analogamente ao caso do microscópico, valores 
pequenos de f2 fornecem ampliações angulares 
maiores. 
Uma imagem invertida não oferece nenhuma 
desvantagem
para uma observação astronômica. 
Contudo, quando usamos um telescópio ou 
um binóculo para observar um objeto na Terra, 
desejamos que a imagem não seja invertida. A 
inversão da imagem em um binóculo com prismas é 
obtida por meio de prismas de Porro, 
constituído por um par de prismas com faces a 
45°-45°-90° que produzem reflexão total. Eles 
são inseridos entre a objetiva e a ocular 
conforme indicado na Figura 16. 
 
Figura 16 - Inversão da imagem obtida 
com dois prismas de um binóculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A imagem é invertida pelas quatro 
inversões internas que ocorrem nas faces do 
prisma adjacentes ao ângulo de 45°. 
Os prismas também servem para 
inverter a trajetória dos raios, diminuindo o 
tamanho do instrumento e tomando-o mais 
compacto. Os binóculos geralmente são 
especificados por dois números separados pelo 
sinal de multiplicação, tal como 7 x 50. O 
primeiro número indica a ampliação angular M 
e o segundo revela o diâmetro da lente objetiva 
(em milímetros). O diâmetro serve para 
determinar a capacidade da entrada de luz 
através da objetiva e, portanto, indica o brilho 
da imagem. 
No telescópio refletor (Figura 17), a 
lente objetiva é substituída por um espelho côn-
cavo. Para um telescópio de grandes dimensões, 
esse esquema apresenta muitas vantagens 
teóricas e práticas. Um espelho não apresenta 
inerentemente nenhuma aberração cromática 
(dependência da distância focal com o 
comprimento de onda) e as aberrações esféricas 
(associadas com a aproximação paraxial) são 
mais fáceis de corrigir do que no caso de lentes. 
A superfície refletora é muitas vezes parabólica 
em vez de esférica. O material do espelho não 
tem de ser transparente e pode ser mais rígido 
do que no caso de uma lente, que só pode ser 
suportada em sua periferia. 
Figura 17 - Sistema ótico de um 
telescópio refletor. (a) O primeiro foco; (b) o 
foco newtoniano (um esquema inventado por 
Isaac Newton): (c) o foco de Cassegrain. 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 51 
51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) Hubble. 
 
Os maiores telescópios refletores existentes no 
mundo ate o momento são os telescópio,' Keck, no 
cume da montanha Mauna Kea, no Havaí; cada um 
deles possui um espelho com diâmetro total de 10 m 
montado com 36 elementos refletores 
hexagonais. Lentes com dia metros superiores a 
l m geralmente não são práticas. 
Como a imagem é formada em uma região 
atravessada pêlos raios incidentes, ela só pode 
ser observada bloqueando-se uma parte desses 
raios (Figura 17 (a)); isso só é prático quando o 
telescópio é muito grande. Esquemas 
alternativos usam um segundo espelhos para 
refletir a imagem para a parte lateral ou então 
apresentam um orifício na região central do 
espelho, como indicado nas figuras 17 (b) e 17 
(c). 
Quando um telescópio é usado par 
fazer uma fotografia, a ocular é removida e no 
local onde se forma a imagem real da objetiva 
coloca-se um filme ou um detector. (Algumas 
"lentes" com distâncias focais muito grande 
empregadas em fotografia são na realidade 
telescópios refletores.) Quase todos os 
telescópio refletores usados em pesquisas 
astronômicas nunca empregam oculares. 
A grande importância do Telescópio 
Espacial Hubble (nome dado em homenagem ao 
astrônomo norte-americano Edwin Powell 
Hubble que viveu de 1889 a 1953) está no fato 
de ele estar colocado no espaço, fora da 
atmosfera da Terra. A luz dos astros para chegar 
a ele não precisa passar por nossa atmosfera. 
Toda informação que obtemos de um astro está 
na luz que vem deles. A atmosfera sempre 
"some" com parte dessa informação e é por isso 
que os observatórios astronômicos profissionais 
sempre são construídos em locais bem altos. 
Mesmo assim um telescópio "de solo" somente 
conseguirá momentaneamente uma resolução de 
imagem superior a 1,0 segundo de arco, isso em 
condições atmosféricas extremamente 
adequadas à observação. Com essa resolução 
somos capazes de ver uma bola de futebol a 
51,5 km de distância. A resolução do Hubble é 
cerca de 10 vezes melhor, ou seja, de 0,1 
segundo de arco. Com essa resolução e com a 
ajuda de técnicas de reduções fotográficas 
feitas por computador, podemos distinguir 
separadamente objetos suficientemente 
brilhantes a até menos de dois metros de 
distância um do outro, como os dois faróis de 
um carro que estivesse na Lua. 
 A "potência" de um telescópio está na 
quantidade de luz que ele pode receber 
instantaneamente de um objeto. Quanto maior o 
diâmetro de um telescópio, maior a sua 
"potência". O Hubble é um telescópio refletor 
(seu elemento óptico principal é um espelho) 
com 2,40 metros de diâmetro. Se fosse um 
telescópio de solo ele seria considerado de porte 
médio. (Os 2 maiores telescópios do mundo 
estão no observatório de Mauna Kea no Havaí e 
têm 10 metros de diâmetro cada. Existem 28 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 52 
52 
telescópios maiores que o Hubble, espalhados pelo 
mundo, em funcionamento.) Mais que um 
telescópio, o Hubble é um verdadeiro observatório 
espacial, contendo instrumentação necessária a 
vários tipos de observação. (Contém 3 câmeras, 1 
detector astrométrico e 2 espectrógrafos). Além de 
fotografar os objetos e medir com grande precisão 
suas posições, o Hubble é capaz de "dissecar" em 
detalhes a luz que vem deles. O Hubble está em uma 
órbita baixa, a 600 km da superfície da Terra e gasta 
apenas 95 minutos para dar uma volta completa em 
torno de nosso planeta. A energia necessária para o 
seu funcionamento é coletada por 2 painéis solares 
de 2,4 x 12,1 metros cada. A sua massa é de 11.600 
kg. 
Os objetivos do Hubble podem ser 
resumidos como sendo: Investigar corpos celestes 
pelo estudo de suas composições, características 
físicas e dinâmica; Observar a estrutura de estrelas e 
galáxias e estudar suas formação e evolução; 
Estudar a história e evolução do universo. Para 
atingir seus objetivos a pesquisa do Hubble é 
dividida em Galáxias e Aglomerados; Meio 
Interestelar; Quasares e Núcleos Ativos de Galáxias; 
Astrofísica Estelar; Populações Estelares e Sistema 
Solar. 
(http://www.observatorio.ufmg.br/hubble.htm) 
 
 ABERRAÇÕES DAS LENTES 
 
Uma aberração é qualquer comportamento de 
um espelho ou uma lente que não seguem as 
fórmulas que deduzimos anteriormente. Existem 
basicamente dois tipos de aberrações: 
 
 aberração cromática, que envolve a 
dependência da imagem com o comprimento de 
onda; 
 aberração monocromática, que 
ocorre mesmo no caso de a luz incidente ser 
monocromática (luz com um único comprimento de 
onda). As aberrações das lentes não são produzidas 
por um defeito de fabricação, tal como uma 
irregularidade em sua superfície, ma decorrem 
inevitavelmente das leis da refração em superfícies 
esféricas. 
Todas as aberrações monocromáticas são 
associadas com a aproximação paraxial. Todas as 
deduções que fizemos sobre objetos, imagens, 
distâncias focais e ampliações foram baseadas nessa 
aproximação. Admitimos que todos os raios eram 
paraxiais, ou seja, consideramos todos os raios 
próximos ao eixo ótico formando ângulos muito 
pequenos com o eixo ótico.
Essa condição nunca é 
seguida com precisão. 
Para qualquer lente com uma abertura de 
tamanho finito, o cone de raios que forma uma 
imagem em dado ponto também possui tamanho 
finito. Em geral, quando raios não paraxiais provêm 
de um ponto do objeto, eles não fornecem um único 
ponto na interseção desses raios. 
Por essa razão, a imagem formada por esses 
raios nunca é perfeitamente nítida. A aberração 
esférica consiste na impossibilidade de um 
objeto puntiforme situado sobre o eixo da lente 
convergir para uma imagem puntiforme. Em vez 
disso, os raios convergem para uma região no 
interior de um círculo que possui um raio 
mínimo, chamado de círculo de confusão míni-
ma, e a seguir divergem novamente, como 
indicado na Figura 18. As aberrações corres-
pondentes para um objeto situado fora do eixo 
ótico produzem imagens em forma de cone em 
vez de círculos; esse efeito é chamado de coma. 
Note que, à medida que diminui a abertura 
efetiva da lente (veja a Figura 36. l a), os raios 
que formam ângulos grandes são cortados e 
portanto as aberrações esféricas diminuem. 
 
Figura 18 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As aberrações esféricas também 
ocorrem em espelhos esféricos, como 
discutimos brevemente. Os espelhos usados em 
telescópios astronômicos são geralmente 
parabólicos em vez de esféricos; essa forma 
elimina completamente as aberrações esféricas 
de pontos no eixo ótico. As formas parabólicas 
são mais difíceis de fabricar do que as esféri-
cas. 
Os resultados precários obtidos pelo 
Telescópio Espacial Hubble logo após seu 
lançamento em 1990 foram associados com 
aberrações esféricas, oriundas de erros nas 
medidas durante o processo de fabricação do 
espelho. 
O astigmatismo é uma aberração 
originada de um ponto situado fora do eixo cuja 
formação da imagem dá origem a duas linhas 
situadas em planos perpendiculares entre si. 
Nessa aberração, os raios provenientes 
de um objeto puntiforme convergem a certa dis-
tância da lente formando uma imagem primária, 
que é perpendicular ao plano definido pelo eixo 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 53 
53 
ótico e o objeto. Para outra distância diferente da 
lente, eles convergem formando uma segunda linha, 
chamada de imagem secundária, que é paralela a 
esse plano. Esse efeito é indicado na Figura 19. O 
círculo de confusão mínima (convergência máxima) 
se forma entre essas duas imagens. 
 
Figura 19 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A localização do círculo de confusão 
mínima depende da distância medida transver-
salmente entre o objeto e o eixo ótico bem como da 
distância longitudinal entre o objeto e a lente. Por 
causa desse efeito, os objetos puntiformes situados 
sobre um plano geralmente não produzem uma 
imagem sobre o plano, porém a imagem forma uma 
superfície encurvada. Esse efeito é chamado de 
curvatura de campo. 
Finalmente, verificamos que a imagem de 
uma linha rela que não passa pelo eixo ótico pode 
ser encurvada. Por causa disso, a imagem de um 
cubo centralizado sobre o eixo ótico pode possuir 
forma semelhante a um barril (com lados 
encurvados para fora) ou uma forma contrária (com 
lados encurvados para dentro). Esse efeito, chamado 
de distorção, não é relacionado com a falta de 
nitidez da imagem, porém decorre da variação da 
ampliação transversal com as distâncias ao longo do 
eixo. 
As aberrações cromáticas decorrem da dispersão, 
a variação do índice de refração com o comprimento 
de onda. A dispersão faz com que a lente possua 
diferentes distâncias focais para diferentes 
comprimentos de onda, portanto diferentes 
comprimentos de onda produzem imagens em 
pontos diferentes. A ampliação de uma lente 
também varia com o comprimento de onda; esse 
efeito é relacionado com o aparecimento das cores 
do arco-íris em tomo de imagens formadas em 
binóculos e telescópios de baú custo. Os espelhos 
não sofrem aberrações cromáticas, sendo esse o 
principal motivo do uso de espelhos em telescópios 
astronômicos de grande porte. 
Exemplo 6 - Aberração cromática. Em 
uma lente plano-convexa de vidro sua face plana é 
voltada para o objeto. A outra face tem raio de 
curvatura igual a 30,0 cm. O índice de refração do 
vidro para a luz violeta (comprimento de onda de 
400 nm) é de 1.537 e para a luz vermelha (700 nm) é 
de 1,517. A cor púrpura é uma mistura da cor 
vermelha com a cor violeta. Quando um objeto 
de cor púrpura é colocado a uma distância de 
80,0 cm dessa lente, onde se formam as imagens 
vermelha e violeta? 
 
SOLUÇÃO: (a) usamos a equação das 
lentes delgadas na forma indicada na Equação: 
 
1 2
1 1 1 1
1n
s s R R
 
    
  
 
Nesse caso, aplicando as regras de sinais 
mencionadas na Seção 35.2, obtemos R1 =  e 
R2 = -30.0 cm. Para a luz violeta (n =1,537), 
 
1 1 1 1
1.537 1
80.0 30.0s
 
       
 
185s cm 
 
 
Para a luz vermelha (n = 1,517), 
encontramos s´= 211 cm. A luz violeta sofre 
uma refração maior do que a da luz vermelha e 
sua imagem se forma mais perto da lente. 
Verificamos que uma variação bastante 
pequena de índice de refração produz um 
deslocamento substancial da imagem.