Exercícios Programação logica algoritmos baseados em relações de recorrência (2012-2)

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Universidade Federal de Uberlândia
Bacharelado em Ciência da Computação
Programação Lógica
Exercícios: algoritmos baseados em relações de recorrência
Prof. Marcelo Rodrigues de Sousa
1) Cálculo de 1/x
Sejam a0, a1, ... e c0, c1, ... duas seqüências de números reais, definidas pelas relações de recorrência: 
0
1
2
1
11 





 ipara
cc
caa
ii
iii
cujos valores iniciais são:
10 a , xc  10 e 20  x .
Por manipulação algébrica pode-se mostrar que
x
c
a nn
 1 e, uma vez que nn cc 20 e 10 c , segue-se
que
x
an
n
1lim  .
Faça um programa Prolog que determine o valor de 1/x com 7 casas decimais de precisão.
2) Cálculo de x
Sejam a0, a1, ... e c0, c1, ... duas seqüências de números reais, definidas pelas relações de recorrência:
  0
4
3
2
11
12
1
11







 



ipara
c
cc
caa
i
ii
iii
cujos valores iniciais são:
10 a , xc  10 e 20  x .
Por manipulação algébrica pode-se mostrar que )1( nn cxa  e, uma vez que 00 c , segue-se que
0lim  nn c e xann lim .
Faça um programa Prolog que determine o valor de x com 8 casas decimais de precisão.
3) Aproximação de exp(x)
Os termos das somas
!!2
1
2
i
xx
xs
i
i   são definidos pela relação de recorrência
j
xt
t jj
 1 , onde 0j e o valor inicial 10 t . O limite da série é sabido ser xn
n
es lim .
Dado qualquer número real x, a série converge, isto é, os termos decrescem de tal modo que sua soma
converge a um limite fixado. O erro segundo o qual o valor final difere da verdadeira soma limite é
  



1 !Ki
i
i
x
, que pode ser tornado arbitrariamente pequeno, tomando-se K suficientemente grande. É
usual estabelecer-se como critério para o término a acumulação dos valores não o valor absoluto do último
termo, mas a grandeza de termos relativa à soma total. Esta estratégia requer, todavia, análise mais
acurada da convergência da série, particularmente se seus termos apresentam alternadamente sinais
positivos e negativos. Neste exercício a velocidade de convergência é alta para pequenos valores positivos
de x.
Faça um programa Prolog que determine o valor de xe com 8 casas decimais de precisão.
4) Aproximação de sen(x)
As somas parciais da série )!12()1(!5!3
12
12
53



i
xxx
xs
i
i
i  são definidos pela relação de
recorrência
0
2
)1(
1
2
1 










 jpara
kkj
kk
x
tt
j
jj
ji
e o valores iniciais xt 0 e 10 k . O limite da série é sabido ser )sen(lim xsn
n
 . Neste exercício a
velocidade de convergência é alta para pequenos valores positivos de x, para valores maiores de x deve-se
utilizar de identidades trigonométricas, como por exemplo, )sen()sen( xx   para  2 x .
Faça um programa Prolog que determine o valor de )sen(x com 6 casas decimais de precisão.
5) Aproximação de cos(x)
Faça um programa Prolog que determine o valor de )sen(x com 6 casas decimais de precisão. Para tal
utilize a expansão em série de 
!4!2
)cos(
42 xx
xx
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