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Notas de F T – PARTE 2
Prof. Milton Dall'Aglio Sobrinho
Revisão 1 – 2012/1
CAPÍTULO 1 VISCOSIDADE DOS FLUIDOS E REOLOGIA
1.1. VELOCIDADE DE DEFORMAÇÃO ....................................................................................... 1
1.2. EQUAÇÃO DE NEWTON DA VISCOSIDADE ..................................................................... 3
1.3. MEDIÇÃO DA VISCOSIDADE .............................................................................................. 4
1.4. REOLOGIA ........................................................................................................................... 6
1.5. EXERCÍCIOS ........................................................................................................................ 7
CAPÍTULO 2 EQUAÇÕES BÁSICAS DE TRANSPORTE ................................................................ 9
2.1. DIFUSÃO .............................................................................................................................. 9
Difusão de Calor ................................................................................................................... 9
Difusão de Massa ................................................................................................................. 10
Quantidade de Movimento ................................................................................................... 11
Resumindo ........................................................................................................................... 12
2.2. EXEMPLOS NUMÉRICOS ................................................................................................... 13
2.3. MECANISMO MOLECULAR DA DIFUSÃO ......................................................................... 15
2.4. FLUXO EM MEIOS POROSOS ............................................................................................ 18
2.5. ADVECÇÃO .......................................................................................................................... 19
2.5.1. Ocorrência da advecção ............................................................................................ 19
2.5.2. Equações básicas ...................................................................................................... 21
2.5.3. Mecanismo da Convecção – Camada Limite ............................................................. 25
2.5.4. Coeficientes Locais e Coeficiente Global de Transferência ....................................... 30
2.5.5. Transporte simultâneo de duas grandezas ................................................................. 31
2.6. RADIAÇÃO: UM TIPO ESPECIAL DE TRANSPORTE ........................................................ 33
2.7. CONSIDERAÇOES FINAIS .................................................................................................. 36
2.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 38
CAPÍTULO 3 DIFUSÃO UNIDIMENSIONAL .................................................................................... 41
3.1. UMA EQUAÇÃO MAIS GERAL PARA A DIFUSÃO ............................................................. 41
3.2. BALANÇO DAS GRANDEZAS – Equações de conservação ........................................... 45
3.3. BALANÇO DE CADA GRANDEZA A PARTIR DO BALANÇO GERAL ................................ 50
3.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DO BALANÇO 1-D ............................................................. 51
3.5. ANÁLISE QUALITATIVA DO TRANSIENTE UNIDIMENSIONAL ........................................ 58
3.5.1 Transferência de calor ................................................................................................. 58
3.5.2 Transferência de massa .............................................................................................. 60
3.5.3 Transferência de quantidade de movimento .............................................................. 61
3.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 64
CAPÍTULO 4 DIFUSÃO EM 2 E 3 DIMENSÕES ............................................................................... 71
4.1. FUNDAMENTOS DA DESCRIÇÃO 3-D ............................................................................... 71
4.2. EQUAÇÃO DOS PROCESSOS DIFUSIVOS EM 3 DIMENSÕES ........................................ 73
4.3. RELAÇÃO ENTRE FLUXO E DENSIDADE DE FLUXO ..................................................... 75
4.4. BALANÇO GERAL DAS GRANDEZAS TRANSPORTADAS ............................................... 81
4.4.1 Balanço de C A L O R ................................................................................................. 83
4.4.2 Balanço de M A S S A ................................................................................................. 84
4.4.3 Balanço de ÁGUA SUBTERRÂNEA .......................................................................... 84
4.5. BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ................................................................ 85
4.5.1 Equação diferencial da quantidade de movimento (Navier-Stokes) ........................... 87
4.5.2 Escoamento entre placas paralelas ............................................................................ 90
4.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 93
4.7 DIFUSÃO TRANSIENTE ...................................................................................................... 91
4.7.1 Transientes de sistemas concentrados ....................................................................... 97
4.7.2 Aeração de líquidos bem misturados .......................................................................... 99
4.7.3 Transientes de sistemas distribuídos ........................................................................ 101
4.7.4 Medição das propriedades térmicas com ensaios transientes ................................. 108
4.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................... 110
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA DIFUSÃO ..................................... 113
5.1. SOLUÇÃO NUMÉRICA – DIFERENÇAS FINITAS ............................................................ 113
5.2 REDES DE FLUXO ............................................................................................................. 122
5.3 MÉTODO DO BALANÇO DE ENERGIA ............................................................................ 127
5.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................................................................. 133
CAPÍTULO 6 APLICAÇÃO - TRANSFERÊNCIA DE CALOR ..................................................... 135
6.1 MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ...................................................................... 135
6.2 EXEMPLOS UNIDIMENSIONAIS ....................................................................................... 135
6.3 TRANSFERÊNCIA de CALOR em EDIFICAÇÕES ............................................................ 139
6.4. EFEITO DA INÉRCIA TÉRMICA DAS COBERTURAS ...................................................... 149
6.4.1. Materiais Ativos no controle das temperaturas ........................................................ 152
6.5. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO .......................................................................................... 153
6.6. APLICAÇÃO – Aletas ..........................................................................................................
155
CAPÍTULO 7 APLICAÇÃO – TRANSPORTE DE MASSA ............................................................ 157
7.1 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO .................................................................................................... 157
7.1.1 Equação de Fick da Difusão Molecular ..................................................................... 157
7.1.2 Solução Fundamental da Equação ........................................................................... 157
7.2 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA DIFUSÃO ....................................................................... 162
7.2.1 Lançamento de Massa Instantâneo na Origem ........................................................ 162
7.2.2 Lançamento Fora da Origem .................................................................................... 162
7.2.3 Distribuição Inicial de Massa ..................................................................................... 164
7.2.4 Função Degrau .......................................................................................................... 166
7.2.5 Concentração Fixa na Origem a Partir de t = 0 ........................................................ 167
7.2.6 Concentração Definida em Função do Tempo ......................................................... 169
7.2.7 Fluxo de Massa Definido em Função do Tempo ...................................................... 170
7.2.8 Fonte de Massa Distribuída m(x,t) ............................................................................ 171
7.2.9 Efeito dos Contornos ................................................................................................. 171
7.2.10 Soluções em 2 e 3 Dimensões ............................................................................... 175
7.3 DIFUSÃO COM ADVECÇÃO ............................................................................................. 176
7.3.1 Equações ................................................................................................................... 176
7.3.2 Solução para Difusão Longitudinal ........................................................................... 179
7.3.3 Solução para Difusão Transversal ............................................................................ 181
7.3.4 Solução para Concentração Constante na Origem .................................................. 182
7.3.5 Lançamento Constante na Origem em 3-D .............................................................. 182
7.4 DIFUSÃO TURBULENTA .................................................................................................. 184
7.4.1 Escoamentos Turbulentos ......................................................................................... 185
7.4.2 Escalas de Turbulência ............................................................................................. 186
7.4.3 Espalhamento de um Traçador em Escoamento Turbulento ................................... 187
7.4.4 Difusão em Escoamentos Turbulentos ..................................................................... 189
7.4.5 Valores empíricos da Difusividade Turbulenta .......................................................... 191
7.4.6 Lançamento de efluentes em rios ............................................................................. 193
7.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................. 195
PARTE 2 – PROCESSOS DIFUSIVOS
CAPÍTULO 1
VISCOSIDADE DOS FLUIDOS E REOLOGIA
Quando submetido a uma dada tensão de cisalhamento um fluido deforma-se
porque as suas moléculas começam a deslizar umas em relação às outras com uma
velocidade que é inversamente proporcional a uma constante chamada viscosidade
dinâmica, .. É possível quantificar o deslizamento das camadas do fluido por meio do
conceito da velocidade de deformação.
1.1. VELOCIDADE DE DEFORMAÇÃO
Inicialmente precisamos imaginar como podemos submeter uma camada de fluido
a uma velocidade de deformação controlada. Isso pode ser feito por meio de duas placas
planas paralelas, com fluido entre elas. Um exemplo prático dessa situação ocorre num
mancal cilíndrico com uma pequena folga entre o eixo e o mancal preenchida com um
fluido lubrificante, conforme a Figura 1.1-a.
b) perfil de velocidades
mancal
eixoV
Rr r
t 0 t1 t2 t3
c) deformação de uma) mancal com eixo
elemento de fluido resultante
Figura 1.1: Exemplo de situação com fluido submetido a deformação
FT – 2012/1 - Revisão 1 2
_____ Perfil de Velocidades
O fluido adere às superfícies sólidas, tanto a do mancal parado como a do eixo em
rotação. No interior do fluido, desde que a folga entre o eixo e o mancal seja pequena, irá
se desenvolver um perfil de velocidades linear, conforme mostrado em 1.1-b.
Se pudermos marcar no instante inicial t0 uma linha de tempo com traçador na
forma de um pequeno elemento retangular no interior do fluido, veremos que com o
passar do tempo ocorre uma mudança na sua forma. Esse comportamento pode ser visto
na Figura 1.1-c, para os tempos t1, t2, e t3 , em que o elemento deforma-se
progressivamente porque sua face superior avança com uma velocidade maior que a
inferior.
A Figura 1.2 permitirá definir o ângulo de deformação e apresentar o conceito
de velocidade de deformação.
Figura 1.2: Ângulo e velocidade de deformação num elemento de fluido
As faces superior e inferior do elemento de fluido da fig. 1.1 possuem velocidades
diferentes. A face superior desloca-se mais rapidamente e, ao fim de um intervalo de
tempo t ocorrerá uma deformação (fig. 1.1b), dada pelo ângulo de deformação .
h
x
tgarc
1.1
Supondo um tempo muito pequeno, o ângulo de deformação também será
pequeno, de forma que vale:
h
xtg
1.2
É fácil imaginar que o ângulo cresce com o tempo, sendo que a velocidade com
que ele aumenta é a velocidade de deformação do elemento. Portanto, a velocidade
de deformação é, por definição, a taxa de variação no tempo do ângulo de deformação:
h
V
th
tV
th
x
t
1.3
F
V
x
h
t t + t
ângulo de deformação = velocidade de deformação = / t
FT – 2012/1 - Revisão 1 3
A unidade da velocidade de deformação é s-1.
1.2. EQUAÇÃO DE NEWTON DA VISCOSIDADE
A relação entre a velocidade de deformação e a tensão de cisalhamento necessária
para provocar a deformação foi investigada experimentalmente. Para um grande número
de fluidos descobriu-se que a tensão era diretamente proporcional à velocidade de
deformação. A constante de proporcionalidade foi chamada de viscosidade dinâmica do
fluido, ou seja:
߬ ൌ ߤߛ˙ ൌ ߤ ఋఊఋఊ → ߬ ൌ ߤ
ఋ
ఋ 1.4
no limite, quando a espessura do elemento tende a zero, podemos definir a tensão de
cisalhamento num ponto por meio da derivada da velocidade em função de h:
limఋ→
ఋ
ఋ ൌ
ௗ
ௗ
߬ ൌ ߤ ௗௗ 1.5
Os fluidos que obedecem à relação linear entre tensão de cisalhamento e
velocidade de deformação são chamados de Newtonianos. Os demais, por exclusão, são
chamados de fluidos não newtonianos.
As dimensões da viscosidade dinâmica são obtidas a partir da equação de Newton.
Isolando a viscosidade na equação 1.5 e substituindo as dimensões resulta:
ݑ ൌ ఛೇ
��ሾߤሿ ൌ ிషమಽషభ
ಽ
→ ሾߤሿ ൌ ܨܮିଶܶ ൌ ܯܮିଵܶିଵ
A unidade de viscosidade no SI é Pa.s (N.s/m2), ou kg/m.s, e não possui nome
especial. Ainda se encontra quem use a viscosidade no sistema cgs, denominada
poise (1 d.s/cm2 ou 1 g/cm.s). Um poise é dez vezes menor que um Pa.s.
_____ Relação com o transporte de quantidade de movimento
Observe na Figura 1.1 que a força F é transformada em tensão de cisalhamento na
interface entre a placa superior (eixo) e o fluido, e daí transmite-se para baixo até à placa
inferior (mancal), onde a força reaparece como reação a F. Portanto, a grandeza
transportada tem dimensão de quantidade de movimento por unidade de área por unidade
de tempo. Esta conclusão é obtida da equação dimensional a seguir:
ሾ߬ሿ ൌ ቂிቃ ൌ
ቂಾಽమ ቃ
ሾమሿ ൌ
ቂಾಽ/ ቃ
ሾమሿ
FT – 2012/1 - Revisão 1 4
Assim, podemos dizer que a tensão de cisalhamento é um fluxo de quantidade de
movimento por unidade de área, ou uma densidade de fluxo de quantidade de movimento.
Portanto, concluímos da equação de Newton da viscosidade que ocorrerá um
transporte de quantidade de movimento na direção perpendicular às velocidades, sempre
que houver diferença de velocidades no interior de um fluido. Este é um dos fenômenos
responsáveis pelas características adquiridas por um escoamento. Outro fator importante
é a adesão do fluido às superfícies sólidas ou contornos em contato com o escoamento.
Esta condição é verificada experimentalmente.
_____ Mecanismo da Viscosidade
Sabe-se que a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura e a dos líquidos
diminui. Essa diferença de comportamento pode ser explicada examinando-se o
mecanismo responsável pela viscosidade, composto de coesão e transferência de
quantidade de movimento a nível molecular.
Num líquido as forças de coesão são predominantes devido à menor distância
entre as moléculas. Quando aumenta a temperatura, as distâncias intermoleculares
aumentam, diminuindo a coesão e, portanto, a viscosidade.
Nos gases o comportamento difere porque as forças de coesão são muito
pequenas, devido à distância maior entre as moléculas. A resistência ao movimento
relativo nos gases é oferecida principalmente pelo mecanismo de troca de quantidade de
movimento molecular.
O intercâmbio de quantidade de movimento entre duas camadas com velocidades
relativas diferentes de um fluido ocorre devido à agitação molecular. Qualquer fronteira
entre duas camadas de fluido é continuamente atravessada por moléculas. Este
movimento leva as moléculas mais lentas a se chocarem com as da camada mais rápida,
e vice-versa, originando o aparecimento das forças entre as duas camadas. Como a
agitação molecular cresce com a temperatura, também cresce o número de moléculas
que cruzam a fronteira entre as camadas, causando aumento das forças. Este acréscimo
reflete-se no aumento da viscosidade dinâmica dos gases com a temperatura.
1.3. MEDIÇÃO DA VISCOSIDADE
O método básico para determinação da viscosidade utiliza diretamente a equação
de Newton, aplicando-a a uma situação em que o gradiente de velocidade e a tensão de
cisalhamento são conhecidas. O gradiente é aplicado por meio de cilindros coaxiais com
uma pequena folga preenchida com o fluido. A tensão é determinada a partir da medição
do momento necessário para girar um dos cilindros. O esquema da Figura 1.3 ilustra
esquematicamente o dispositivo.
FT – 2012/1 - Revisão 1 5
Figura 1.3: Viscosímetros rotatórios (esquemático). Fonte: Street, p.490.
No viscosímetro de cilindros concêntricos mede-se o torque necessário para
provocar uma dada velocidade de rotação conhecida. Conhecendo-se a geometria dos
cilindros, pode-se calcular a viscosidade dinâmica. Usando a notação da Figura 1.3 as
equações ficam:
ܶ ൌ ܨܴ ൌ ߬ ሺ2ߨܴ݄ሻ 1.6
sendo que a tensão de cisalhamento é dada pela equação 1.5.
ܶ ൌ ߤ ௗௗ ൈ 2ߨܴ݄ 1.7
A velocidade de deformação w pode ser calculada facilmente quando a folga DR
entre os cilindros, é pequena em relação ao raio R. Nesse caso, desenvolve-se um perfil
linear de velocidades variando entre 0 no cilindro externo e a velocidade tangencial no
cilindro interno. Assim o gradiente fica:
ௗ
ௗ ൌ
ఠோ
௱ோ 1.8
Substituindo 1.7 e 1.8 em 1.6 e resolvendo em função de m obtém-se:
ߤ ൌ ்ఠ
௱ோ
ଶగோమ 1.9
A equação 1.9 mostra que medindo o torque e a velocidade de rotação do cilindro
interno, sendo conhecida a geometria do viscosímetro, pode-se determinar a viscosidade
dinâmica do fluido.
FT – 2012/1 - Revisão 1 6
1.4. REOLOGIA
O estudo da deformação dos fluidos na presença de tensões de cisalhamento é
chamado de Reologia. Fluidos que seguem a equação de Newton possuem uma relação
linear entre a velocidade de deformação e a tensão de cisalhamento e são chamados de
Fluidos Newtonianos. Por oposição, os fluidos que não se enquadram na relação linear
são chamados de Fluidos Não Newtonianos.
Um fluido não newtoniano comum é o creme dental. Ele se comporta como fluido,
escoando para fora do tubo, mas uma pequena porção de pasta pode ser mantida na
ponta do tubo de forma que seria impossível para a água, por exemplo, ou mesmo para o
mel, bastante viscoso.
Os fluidos não newtonianos podem ser divididos em Viscoelásticos, Dependentes
do tempo e Independentes do tempo.
Os dependentes do tempo podem ser Reopéticos ou Tixotrópicos. Os tixotrópicos
têm a viscosidade diminuída com o tempo de aplicação da tensão de cisalhamento. As
tintas são um exemplo de fluido tixotrópico. Os reopéticos aumentam a viscosidade com o
tempo de aplicação da tensão de cisalhamento. Um exemplo é a argila bentonita.
Os fluidos não newtonianos cuja viscosidade não depende do tempo de aplicação
da tensão de cisalhamento podem apresentar ou não uma tensão inicial mínima para
iniciar o movimento. O seu comportamento pode ser resumido no diagrama reológico da
Figura 1.4.
Figura 1.4: diagrama reológico de fluidos newtonianos e não newtonianos independentes do tempo.
Os fluidos viscoelásticos sofrem deformação quando submetidos à tensão
(comportamento viscoso), mas quando a tensão é retirada ocorre uma recuperação
parcial da deformação sofrida (comportamento elástico). Um exemplo é a massa de
farinha de trigo.
Newtoniano
Dilatante
Pseudoplástico
Plástico de Bingham
Velocidade de Deformação (1/s)
Te
ns
ão
de
Ci
sa
lh
am
en
to
(P
a.
s)
FT – 2012/1 - Revisão 1 7
1.5. EXERCÍCIOS
1.4.1 – Faça uma pesquisa na Internet para identificar fluidos não newtonianos de
interesse para a engenharia civil e ambiental.
1.4.2 – Um cilindro de Raio R = 120 mm gira concentricamente dentro de um cilindro fixo
de raio r = 126 mm. Ambos os cilindros têm 350 mm de comprimento. Pede-se calcular a
viscosidade dinâmica () do líquido que preenche o espaço entre os cilindros, sabendo
que um torque de 10 Nm é necessário para uma velocidade angular de 60 rpm.
FT – 2012/1 - Revisão 1 8
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CAPÍTULO 2
EQUAÇÕES BÁSICAS DE TRANSPORTE
2.1. DIFUSÃO
A difusão ocorre devido a uma distribuição desigual da grandeza no meio e
ocorrerá sempre no sentido de buscar a diminuição das diferenças.
Observações experimentais conduzidas desde o século 19 revelaram que o fluxo
difusivos é diretamente proporcional à variação unitária do potencial no espaço e à área
da seção que conduz o fluxo. A forma mais simples da equação, válida apenas para
regime permanente unidimensional em área constante, pode ser escrita como:
L
PACteF
2.1
em que “P” é o potencial do transporte e “P/L” sua variação por unidade de
comprimento na direção do fluxo, ou variação unitária do potencial; “Cte” é a constante de
proporcionalidade, também chamada de Coeficiente Fenomenológico, porque seu valor
depende da grandeza considerada; “A” é a área através da qual passa o fluxo.
As equações fenomenológicas, como seu nome indica, são equações empíricas,
ou seja, obtidas a partir de observação experimental. Isto significa que essas equações
apenas
quantificam o transporte das grandezas, sem explicitar as suas causas,
normalmente associadas a mecanismos moleculares no caso da difusão.
Difusão de Calor
A equação fenomenológica 1-D é conhecida como a equação de Fourier. Um
experimento simples para sua demonstração aparece na figura 2.1. Dois corpos de prova
iguais, de seção constante A e comprimento L são submetidos em suas extremidades a
duas temperaturas diferentes e constantes no tempo.
Banho 1
isolamento
Banho 2
T1
amostra 1 amostra 2
F F
aquecedor
T1T2T2
Figura 2.1: Esquema experimental para estudo da condução de calor
FT – 2012/1 - Revisão 1 10
A temperatura T2 é atingida em função da dissipação de uma potência conhecida
pelo aquecedor elétrico entre as amostras e a temperatura T1 é imposta pelos banhos
termostáticos que atuam como sumidouros do calor transferido. Como as amostras são
iguais cada uma transfere metade da potência dissipada pelo aquecedor elétrico.
Variando-se a potência dissipada, a temperatura dos banhos termostáticos e os materiais
dos corpos de prova pode-se obter facilmente uma grande quantidade de dados. Pode-se
demonstrar que o fluxo de calor transferido é dado por:
L
TAkFq
2.2
Fq = fluxo de calor transferido por condução ( W ou J / s )
k = condutividade térmica ( W / m°C ou W / m K )
T = diferença de temperatura no corpo de prova ( °C ou K )
L = comprimento do corpo de prova ( m )
Comparando-se as equações 2.1 (geral) e a 2.2 (calor) percebe-se que na difusão
de calor o potencial é a temperatura e a constante de proporcionalidade é a
condutividade térmica do material.
Difusão de Massa
Um arranjo experimental relativamente simples para estudar a difusão de massa
pode ser implementado com vapor de água no ar estagnado entre duas placas porosas,
conforme esquema da figura 2.2.
água
sílica gel
sC
oCar
placas
porosas
F
bureta
L
área A
Figura 2.2: Esquema de um experimento para estudar a difusão de massa
No recipiente superior existe pressão negativa, que succiona a água das
mangueiras de alimentação, permitindo que o volume transferido seja determinado pela
leitura do nível na bureta. O ar não penetra na câmara superior devido à tensão superficial
nos poros da placa porosa. A variação da concentração ocorre na camada de ar de
espessura L porque a sílica gel tem a capacidade de absorver toda a umidade que
chega à placa inferior. O equipamento da figura 2.2 permite variar facilmente o
comprimento L e a área exposta das placas porosas. O experimento deve ficar sob
temperatura controlada e a concentração Cs pode ser mudada variando-se a temperatura
do ar.
FT – 2012/1 - Revisão 1 11
A equação que descreve os resultados experimentais na difusão de massa é a
equação de Fick. Para o regime permanente no meio de seção constante da Figura 2.2 os
resultados experimentais mostram que :
L
CADF AB,AA
2.3
FA = fluxo difusivo de massa da substância “A” ; ( kg / s )
CA = concentração do soluto (substância A) no meio (substância B) ; ( kg/m3 )
DA,B = difusividade de A em B ; ( m2/s )
L = comprimento do meio onde se difunde a substância A.
Comparando-se as equações 2.1 (geral) e a 2.3 (massa) vemos que na difusão de
massa o potencial é a concentração e a constante de proporcionalidade é a
difusividade da substância A no meio B. Portanto a difusividade é uma propriedade da
mistura e não da substância que se difunde.
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Imaginemos duas placas paralelas, com fluido entre elas. Um exemplo prático
desta situação é um mancal cilíndrico com uma pequena folga entre o eixo e o mancal
preenchida com um fluido lubrificante, conforme a figura 2.3.
Figura 2.3
F
R
V
mancal
a) mancal deslizante b) perfil de velocidades
mancal
eixoV
L
Com esse exemplo, ao verificarmos que aparece no mancal uma reação R igual à
força F aplicada no eixo e de sentido contrário, podemos dizer que a força foi transferida
pelo fluido entre o eixo e o mancal.
Para ocorrer essa transferência foi necessário que a força F provocasse uma
movimentação nas camadas de fluido e essa movimentação deu origem a uma tensão de
cisalhamento (N/m2 ) no interior do fluido, dada por:
A
F 2.4
onde A é a área de contato entre o eixo e o mancal.
FT – 2012/1 - Revisão 1 12
Percebemos então que os fluidos, por meio do movimento, são capazes de
transferir uma tensão de cisalhamento entre dois pontos. Em nosso exemplo a tensão de
cisalhamento se propagou para o mancal devido à viscosidade do fluido, fazendo surgir
no mancal uma força de igual valor, obrigando-nos a exercer uma reação em sentido
contrário para mantê-lo no lugar.
Verificando as dimensões da grandeza transportada, vemos que:
Área
Tempo
Movimento.Quant
]L[
T
TLM
]L[
TLM
A
F][
22
2
2.5
A tensão de cisalhamento que se propaga representa um fluxo de quantidade de
movimento por unidade de área, ou seja, uma densidade de fluxo.
Comparando a transferência de quantidade de movimento com a difusão de massa
e com a condução de calor parece existir uma grande diferença, visto que há velocidades
de fluido envolvidas. Entretanto, a diferença é só aparente pois o fluido não se desloca
na direção do transporte da quantidade de movimento e o mecanismo molecular
envolvido é semelhante. As moléculas de fluido aderem ao eixo e ao mancal, fato que
pode ser comprovado experimentalmente. Para compatibilizar estes deslocamentos,
desenvolve-se no fluido uma distribuição de velocidades, partindo do zero, junto ao
mancal, até V, junto ao eixo, conforme se vê na figura 2.3b.
Para que o eixo se desloque é necessária uma força. Variando-se a força aplicada
e medindo-se a velocidade resultante, pode-se demonstrar experimentalmente que a
força F é dada pela equação de Newton:
L
VAF
(válida apenas para perfil linear de velocidades) 2.6
em que = viscosidade dinâmica (kg /s m) ou (Pa s)
V = variação da velocidade no fluido (m/s)
L = espessura da camada de fluido (m)
A = área lateral do eixo (m2)
A equação de Newton da viscosidade mostra que ocorrerá um transporte de
quantidade de movimento na direção perpendicular às velocidades, sempre que houver
diferença de velocidades no interior de um fluido. O potencial do transporte é a
velocidade e a constante de proporcionalidade é a propriedade do fluido chamada
viscosidade dinâmica ..
RESUMINDO
A difusão das grandezas (massa, calor ou quantidade de movimento) ocorre
sempre que houver uma força motriz, causada pela distribuição desigual da grandeza no
meio, chamada de “potencial”. A quantidade transportada é proporcional a uma
propriedade característica do meio, e à intensidade da força motriz, dada pelo variação do
FT – 2012/1 - Revisão 1 13
potencial. A difusividade D, a condutividade térmica k e a viscosidade são as
constantes de proporcionalidade que relacionam o gradiente do potencial ao seu
resultado, que é a transferência da grandeza por unidade de tempo, ou Fluxo.
2.2. EXEMPLOS NUMÉRICOS
Exemplo 2.1: Um medidor de condutividade térmica utiliza um aquecedor elétrico entre
duas amostras iguais, conforme a figura. As amostras possuem 50mm de diâmetro e
90mm de comprimento. As chapas metálicas das extremidades são mantidas a
temperatura uniforme Tf = 70°C por meio da circulação de um fluido refrigerante. Todas
as superfícies de contato recebem uma camada de graxa condutora, de forma que podem
ser desprezadas as diferenças de temperatura nas interfaces de contato. Nas amostras
ficam embutidos termopares diferenciais espaçados de 15mm. As faces laterais das
amostras são termicamente
isoladas. Com duas amostras de aço o aparelho consome
0,3A a 100V e os termopares diferenciais indicam T1 = T2 = 25°C. Qual é a
condutividade térmica das amostras?
T1 T2
amostra amostra
Chapa T constante
isolamento
Aquecedor
Análise: As temperaturas das extremidades são mantidas constantes pelo banho
refrigerador e as laterais da amostra são isoladas, de forma que a transferência de calor
através das amostras pode ser considerada unidimensional (1-D) e em regime
permanente. Além disso, as amostras são homogêneas (mesmo K) e de área constante.
Portanto é aplicável a equação 2.2.
L
TAkF
Conhecidos: A = D2/4 = 0,0502/4 = 0,00196m2
T = 25°C (igual nas duas amostras; o problema é simétrico)
L = 0,015m ( distância entre os dois termopares em cada amostra)
F = ? pode ser determinado com os dados fornecidos
k = ? incógnita do problema
A potência inserida pelo aquecedor divide-se igualmente entre as duas amostras, devido
à simetria – amostras iguais e temperaturas iguais nos dois lados. Assim, pode-se
calcular o Fluxo que atravessa cada amostra.
Cálculos:
F = 0,5 R I2 = 0,5 V I = 0,5 100 0,3 = 15 W
Substituindo-se os valores conhecidos na equação 2.2 e resolvendo em função de k
obtém-se k = 4,6W/m°C.
FT – 2012/1 - Revisão 1 14
Resposta: A condutividade térmica das amostras é k = 4,6 W/m°C.
Exemplo 2.2: Um eixo com 25mm de diâmetro desliza num mancal cilíndrico com
velocidade 1,0m/s. O mancal tem uma folga radial de 0,1mm, lubrificada por um óleo com
viscosidade 0,08 N.s/m2. Calcule a força exercida sobre o mancal.
F
F = ?
V
mancal
Perfil de velocidades
1,0 m/s
0,1mm
50 mm
25 mm
Análise: Considerando escoamento laminar do óleo entre o eixo e o mancal, pode-se
adotar um perfil de velocidades linear, devido à pequena folga entre o eixo e o mancal. O
problema tem uma simetria axial, com V = 1,0m/s junto ao eixo e nula junto ao mancal
(adesão do fluido aos contornos sólidos). Sendo o regime permanente pode-se adotar a
equação 2.6 para calcular o fluxo de quantidade de movimento transferido entre o eixo e o
mancal. Rigorosamente falando, não seria possível aplicar a equação 2.6, porque a área
não é constante, ou seja, a superfície do eixo em contato com o óleo é menor que a do
mancal. Mas, como a folga radial (0,1mm) é muito pequena em relação ao raio (12,5mm),
pode-se considerar válida a hipótese de área constante.
Equação 2.6:
L
VAF
Conhecidos: A = 0,025 0,05 = 0,0039m2 (superfície do eixo em contato com o mancal)
V = 1,0m/s
L = 0,0001m (folga radial preenchida pelo fluido)
= 0,08 N.s/m2 (viscosidade do fluido)
Cálculos:
Substituindo os valores na equação 2.6 e resolvendo vem:
F = 0,08 0,0039 (1,0/0,0001) = 3,12 N.
Resposta: A força transmitida ao mancal pelo movimento do eixo é F = 3,12N.
Exemplo 2.3: Um tubo de sílica fundida com 25mm de diâmetro, 2m de comprimento e
parede com espessura 2mm, contém gás hélio a 20°C e pressão absoluta de 4
atmosferas. Sabendo que a difusividade do hélio na sílica é 0,4x10-13 m2/s, calcule o fluxo
de hélio através da parede do tubo. A solubilidade do hélio na sílica fundida é 0,00045
kmol/m3.bar e a massa molecular do gás hélio é MA = 4kg/kmol.
Análise: trata-se de difusão de um gás através de um sólido entre a face interior e exterior
do tubo; como no exemplo anterior a área não é constante, mas pode ser aproximada
pela área interna. Com essas considerações, o problema torna-se unidimensional na
direção radial, podendo ser usada a equação 2.3.
FT – 2012/1 - Revisão 1 15
L
CADF AAB
Conhecidos: A = 0,025 2 = 0,157m2 (área lateral interna do tubo)
DAB = 0,4x10-13 m2/s (difusividade do He na sílica)
L = 0,0025m (espessura da parede do tubo)
CA = ? (variação da concentração em kg/m3)
As concentrações na parede do tubo não foram dadas, mas podem ser calculadas
a partir da solubilidade do gás no sólido SAB = 0,00045 kmol/m3.bar. As pressões interna e
externa são, respectivamente 4 bar e 1 bar (absolutas).
Sabe-se que a concentração é dada por:
CAB (kg/m3) = MA SAB PA, Equação (a)
sendo MA a massa molecular (kg/kmol), SAB a solubilidade do elemento A (gás) no
elemento B (sílica fundida) e PA a pressão do gás (elemento A);
Cálculos:
Com os dados fornecidos pode-se calcular as concentrações do hélio no interior da
parede do tubo com a equação (a).
Tem-se : superfície interna do tubo Ci = 4 x 0,00045 x 4 = 0,0072kg/m3
superfície externa do tubo CE = 4 x 0,00045 x 1 = 0,0018kg/m3
variação da concentração C = 0,0054kg/m3 .
Substituindo-se os valores conhecidos na equação 2.3 tem-se o fluxo de hélio em kg/s:
F = 0,4x10-13 (m2/s) x 0,157 (m2) x 0,0054/0,0025 (kg/m3.m) = 1,36x10-14 kg/s
A perda é praticamente desprezível, devido à baixíssima difusividade do gás hélio na
sílica fundida.
2.3. MECANISMO MOLECULAR DA DIFUSÃO
Calor:
Na difusão de calor ocorre o transporte difusivo de energia de uma região para
outra, como resultado da existência de uma diferença de temperatura entre elas. A
transferência de energia por difusão é conhecida também como transmissão de calor por
condução. A condução do calor tende a igualar a temperatura de um meio, seja ele sólido,
líquido ou gasoso, ocorrendo no sentido das maiores temperaturas para as menores.
Para entender como o calor flui desta maneira podemos recorrer à teoria cinética. A
temperatura de um elemento depende da energia cinética média de suas moléculas, um
dos componentes da energia interna. Quando as moléculas de uma região adquirem uma
energia cinética média maior, isto é percebido macroscopicamente por um aumento de
temperatura. Moléculas de maior energia cinética transferem sua energia para as mais
lentas através de impactos elásticos no caso dos fluidos. No caso dos sólidos a vibração
das moléculas é transmitida às adjacentes por meio de forças intermoleculares de
atração e repulsão. Sempre que houver diferenças de energia cinética entre moléculas de
regiões adjacentes haverá a transmissão desta energia entre as moléculas. O efeito
FT – 2012/1 - Revisão 1 16
macroscópico observável é uma equalização da temperatura. Além deste mecanismo,
existe também transferência de energia através da difusão de elétrons nos materiais
condutores de eletricidade.
Podemos pensar também num modelo analógico para os sólidos, constituído por
massas unidas por molas, que representam a intensidade das forças intermoleculares. Se
as molas forem mais fortes a vibração será propagada mais rapidamente.
Esta habilidade de transmitir a energia em nível molecular resulta na propriedade
observável macroscópica chamada Condutividade Térmica.
A transferência por difusão é o único mecanismo em que o calor é transmitido em
sólidos opacos. Ela também é importante nos fluidos, embora não aconteça de forma
isolada, mas em conjunto com a advecção. Isto porque em fluidos um aumento de
temperatura causa mudanças na massa específica.
Massa:
A difusão de uma determinada substância, sólida líquida ou gasosa, ocorre no
interior de um meio (também sólido, líquido ou gasoso), sempre que ela não se encontrar
uniformemente distribuída, dando origem a gradientes de concentração. Ressalte-se que
no caso de difusão de sólidos em sólidos, além do gradiente é necessário que a
temperatura seja suficientemente elevada.
Para entender como a simples existência de uma diferença de concentração age
como força motora de um transporte de massa, devemos lembrar que as moléculas de
um fluido estão em permanente movimentação aleatória (movimento Browniano),
colidindo umas com as outras, e com qualquer pequena partícula em suspensão no fluido,
descrevendo trajetórias completamente aleatórias. Imagine um
meio com variação na
concentração de uma substância em apenas uma direção. Isto pode ser visualizado na
figura 2.4, em que a substância dissolvida é representada pelos pontos, cujo número é
proporcional à concentração.
Figura 2.4: i - 1 i i + 1
Supondo duas fatias adjacentes quaisquer i e i+1, vemos que, devido ao
movimento aleatório, a probabilidade de que qualquer partícula cruze a fronteira indo da
fatia esquerda para a direita é igual à de que uma partícula da direita venha para a
esquerda.
Imagine para maior clareza que existam 20 moléculas à esquerda e 40 à direita da
fronteira conforme a figura 2.5 e que a probabilidade de que qualquer partícula,
considerada individualmente, ultrapasse a fronteira num intervalo t seja de 20%.
FT – 2012/1 - Revisão 1 17
Após t espera-se que em média 4 (20 x 0.2) moléculas tenham se deslocado para
a direita, e no mesmo tempo, 8 (40 x 0.2) tenham saído da fatia direita para a esquerda.
Ao fim do período t, a diferença de concentração entre as fatias diminuiu, tornando claro
o aspecto fundamental da difusão, que é a transferência de massa no sentido de diminuir
as diferenças de concentração.
Figura 2.5
n = 20 n = 40
tempo t
tempo t + t
n = 20
n = 12
n = 24 n = 36
4
8
Prolongando-se este raciocínio por mais alguns intervalos de tempo, chega-se
facilmente à conclusão de que quanto maior a diferença de concentração entre duas
regiões adjacentes, maior será a transferência de massa. Para uma dada mistura, então,
a transferência de massa por difusão é proporcional à variação da concentração.
Outro ponto interessante do nosso modelo ilustrativo é o valor da probabilidade
usada, que foi arbitrariamente definido. Qualquer mudança no seu valor altera também
em igual proporção a velocidade de transferência. Esta probabilidade simula a
propriedade das misturas chamada Difusividade do elemento A em B, DAB . No exemplo,
a substância dissolvida A é representada pelos pontos, e B (meio) é representado pelas
fatias. A difusividade nos revela com que facilidade uma substância se difunde no meio
Quantidade de movimento:
A tensão de cisalhamento se propagou para o mancal devido à viscosidade do
fluido, fazendo surgir no mancal uma força de igual valor, obrigando-nos a exercer uma
reação em sentido contrário para mantê-lo no lugar.
A viscosidade é uma propriedade observável macroscopicamente que surge como
resultado de dois tipos de interação entre as moléculas: as forças de adesão e o
intercâmbio de quantidade de movimento por meio de colisões.
Nos líquidos predominam as forças de adesão e nos gases, com moléculas mais
distantes, predominam as trocas resultantes de colisões. Isto explica porque os líquidos
tem sua viscosidade diminuída com o aumento da temperatura, pois com a dilatação as
moléculas se afastam, diminuindo a força de atração entre as moléculas. Nos gases essa
adesão também diminui, mas como os choques transmitem a maior parte do fluxo, o
aumento da agitação molecular compensa a diminuição da adesão e a viscosidade
aumenta com a temperatura.
FT – 2012/1 - Revisão 1 18
2.4. FLUXO EM MEIOS POROSOS
Embora seja um transporte advectivo, o escoamento de água em meios porosos
possui uma equação fenomenológica formalmente idêntica à equação dos processos
difusivos. Isto acontece porque o escoamento normalmente é laminar no interior dos
solos, levando a uma relação linear entre velocidade e diferença de carga. Em
escoamentos turbulentos vistos normalmente em FT1 isto não ocorre.
A investigação experimental deste fenômeno utiliza amostras de material poroso
compactados em cilindros chamados permeâmetros. As amostras são submetidas a
diferentes cargas hidráulicas, medidas por piezômetros, conforme esquema da figura 2.6.
O volume de água que atravessa o corpo de prova em um determinado tempo é medido,
determinando-se a vazão.
solo
área A
Q
L
hpiezômetros
Figura 2.6: Esquema experimental básico para o Fluxo em meios porosos
A equação básica que descreve os resultados experimentais para este caso é
conhecida como equação de Darcy.
L
hAKAVQ
2.7
Q = Fluxo de Volume, ou Vazão (m3/s)
V = Velocidade de Darcy ( ou velocidade fictícia ou aparente ) (m/s)
h = variação do potencial total ( ou carga hidráulica ) (m)
A = área total da seção transversal do solo (m2)
K = condutividade hidráulica saturada ou permeabilidade (m/s)
A carga hidráulica total é o potencial do movimento e é definida por:
g
VPzh
2
2
2.8
A velocidade da fórmula é chamada de velocidade fictícia, ou velocidade de Darcy
porque é diferente da velocidade real da água no meio poroso. Isto porque a água se
move no interior dos poros do solo, numa área muito menor que a área total da seção.
FT – 2012/1 - Revisão 1 19
A condutividade hidráulica saturada, ou permeabilidade, depende do tipo de fluido (
no caso, água), da estrutura e grau de compactação do solo (que afeta o tamanho e
quantidade de poros) e da temperatura ( que atua na viscosidade do fluido). Valores de K
variam 12 ordens de grandeza nos solos, rochas e materiais granulares naturais:
Cascalho : 10 -3 a 10 5 m/s
Areia: 10 -6 a 0,01 m/s
Silte: 10 -9 a 10 -5 m/s
Arenito 10 -10 a 10 -6 m/s.
Exemplo 2.4: Uma trincheira de 300m de comprimento deve ser escavada paralelamente
e a 240 m de um rio, conforme a figura. No local existe uma camada de solo permeável
com uma espessura de 4,5m. A condutividade hidráulica do solo é de 4,5m por dia. Se o
nível da água na trincheira deve ser mantido 3m abaixo do nível da água no rio, mas
ainda acima do topo do aqüífero, determine a vazão a ser bombeada para fora da
trincheira.
3m
Rio
Trincheira
Aqüífero - solo permeável
Solo não permeável
Análise:
Pode-se considerar escoamento 1-D com área constante, sendo válida a equação 2.7. A
variação da carga total é a diferença de nível da água entre o rio e a trincheira.
São conhecidos: h = 3,0m
L = 240m
A = 4,5 x 300 = 1350 m2 (área transversal ao fluxo)
K = 4,5 (m/dia) x 1/(3600 x 24 ) (dia/s) = 5.21x10-5 m/s
Cálculos: Substituindo os valores: Q = 5,21x10-5 x 1350 x 3,9/240 = 0,0014 m3/s
Resposta:
A vazão que deve ser retirada da trincheira para manter o nível é 1,4 litros por segundo.
2.5. ADVECÇÃO
2.5.1. Ocorrência da advecção
Os processos advectivos são aqueles em que as quantidades das grandezas são
transportadas mecanicamente no interior de fluidos em movimento.
Os efeitos da advecção de quantidade de movimento são as forças e distribuições
de pressão que ocorrem no interior dos escoamentos e nas fronteiras sólidas de objetos
FT – 2012/1 - Revisão 1 20
em contato com o fluido em escoamento. São estudados pela hidrodinâmica e não
possuem nome especial.
Mesmo no estudo da difusão no interior de corpos sólidos a advecção pode ser
necessária para equacionar uma condição de contorno advectiva, nas faces em que o
sólido está exposto ao fluido. Sempre que existir uma superfície de interface entre um
sólido e um fluido haverá uma condição de contorno advectiva nessa superfície.
Como exemplo pense numa parede plana com difusão 1-D de calor em seu interior.
O calor que vem do interior da parede chega à superfície e é transferido na interface
sólido-fluido, conforme o esquema da figura 2.7. Neste caso, como o movimento do fluido
é provocado pela transferência da grandeza que está sendo transportada temos a
advecção natural.
q
k
Difusão
T s
T ar
Ar aquecido sobe
advecção
Ar frioSuperfície
quente
calor
aquece o ar
F
Figura 2.7: Transferência advectiva de calor numa interface sólido – fluido.
Exemplo de advecção natural
A transferência
de calor por advecção é chamada também de convecção de calor.
No exemplo da figura 2.7 o ar se aquece em contato com a parede quente, fica menos
denso e sobe. O movimento do fluido depende da existência do fluxo de calor e é
provocado por ele. Por isso o fenômeno que ocorre é chamado de advecção natural, ou,
também, convecção natural de calor.
Um exemplo de advecção na transferência de massa ocorre em um solo úmido
transferindo umidade (vapor de água ) para o ar seco, conforme ilustrado pela figura 2.8.
C s
Difusão de massa
ar seco
C o ar úmido
Solo úmido
Figura 2.8: Transferência advectiva de calor e massa numa interface sólido – fluido.
Exemplo de advecção forçada pelo vento
FT – 2012/1 - Revisão 1 21
No exemplo da figura 2.8 já ocorria o escoamento do fluido, independente da
transferência de massa. O fluxo não foi provocado pela transferência de massa. Por isso,
nesse caso, o fenômeno da transferência de massa é uma advecção forçada, ou ainda,
convecção forçada.
A transferência por convecção entre uma superfície e o fluido circundante ocorre
em várias etapas. Em primeiro lugar há uma transferência por difusão da superfície para
as partículas adjacentes do fluido. Essa difusão aumenta a quantidade da grandeza nas
partículas fluidas, que se movem então para outra região, levando consigo quantidades
da grandeza transportada.
No caso do calor, a energia é transmitida por condução para o fluido, que a
armazena através de um aumento de temperatura. Ao se movimentarem, estas partículas
levam o calor para outras regiões, sendo substituídas por outras porções de fluido mais
frias.
A convecção de massa ocorre em micro escala da mesma forma que a convecção
de calor. O transporte inicia-se com difusão molecular de massa para as partículas de
fluido adjacentes, que acumulam esta massa através do aumento de concentração.
Depois, com o movimento, estas porções de fluido são carregadas para longe, sendo
substituídas por outras porções de fluido com menor concentração da substância
advectada.
2.5.2. Equações básicas
A equação fenomenológica utilizada para quantificar a advecção ou convecção é
bastante simples, baseada em ensaios do tipo esquematizado na figura 2.9.
Fluido
Velocidade = V
Potencial = P
Superfície
Potencial = Ps
Área = A s
Figura 2.9: Esquema do ensaio para definir Fluxo Advectivo de uma superfície
Considere uma superfície de área AS com uma diferença de potencial em relação
ao fluido circundante. O sólido é alimentado com um fluxo constante que sai por
convecção para o fluido. Em regime permanente, o fluxo inserido no corpo de prova é
igual ao transferido para o fluido, e pode-se medir o potencial na superfície do corpo de
FT – 2012/1 - Revisão 1 22
prova. Pode-se demonstrar que os dados experimentais ajustam-se a uma equação do
tipo:
)( PPAhF sSconvecção 2.9
em que: h = coeficiente médio de transferência por convecção
As = área total da superfície (m2)
Ps = potencial da superfície
P = potencial do fluido.
Por convenção, quando a transferência se dá do sólido para o fluido, (Ps > P ) o
fluxo é considerado positivo.
Na equação 2.9 o termo h representa uma propriedade conjunta da superfície, do
fluido e da velocidade do escoamento, chamada também de coeficiente global, de
transferência por convecção ou ainda coeficiente de película.
CALOR
Para fluxo de calor o potencial é a temperatura, e o fluxo de calor dissipado pode
ser gerado facilmente com uma resistência elétrica no interior da amostra. A equação 2.9
fica:
)( TTAhF sSc 2.10
com h = coeficiente de película (W/m2°C) ou (W/m2K);
Ts = temperatura da superfície (°C) ou (K);
T = temperatura do fluido (°C) ou (K).
MASSA
Para a transferência de massa o potencial normalmente utilizado é a concentração
volumétrica da substância e a equação básica 2.9 fica:
)( CCAhF sSc 2.11
com h = coeficiente de película ( m/s ) ;
Cs = concentração da substância no fluido junto à superfície (Kg/m3 );
C = concentração da substância no fluido, longe da superfície (Kg/m3 ).
Exemplo 2.5 (calor): O chip microprocessador de um computador pessoal dissipa 20W
de potência e possui uma superfície de contato com o ar de 3,0 x 3,0 cm, resfriada por
convecção forçada por meio de um ventilador auxiliar. Sabendo que o chip não pode
ultrapassar a temperatura de 120°C e que o coeficiente de transferência por convecção é
de 35W/m2.K, verifique se a superfície de contato é suficiente para garantir a segurança
do componente.
Análise:
FT – 2012/1 - Revisão 1 23
Tem-se transferência de calor por convecção de uma superfície com temperatura
uniforme para o ar, podendo ser aplicada a equação 2.11. A resposta depende da
temperatura do ar no interior do gabinete do computador, que não foi fornecida. Será
adotada uma temperatura média de 35°C para o ar.
São conhecidos: TS,máx = 120°C (máxima admitida)
T = 35°C
Tmáx = (120 + 273) – (35 + 273) = 85 K = 85°C
Dimensões do chip (0,03m x 0,03m)
h = 35 W/m2.K
Cálculos:
Superfície em contato com o ar: A = 0,03 0,03 = 0,0009 m2
Substituindo os valores na equação 2.11: FC, máx = 35 0,0009 85 = 2,70 W < 20W.
Resposta: O fluxo transferido com o máximo aquecimento permitido é menor que o fluxo
gerado pelo componente, de forma que seu funcionamento nessas condições é inviável.
Considerações adicionais:
A temperatura necessária para dissipar a potência gerada é dada por:
Fc = 20 = 35 0,0009 T T = 635 K T = 635 + 35 = 670°C.
A temperatura é muito alta e provocará a queima do componente.
A área mínima que seria necessária para a superfície em contato com o ar não
ultrapassar 120°C é dada por:
Fc = 20 = hc Amín Tmáx
Amín = 20 / (35 85) = 0,0067m2 (7,5 vezes maior que a área disponível)
Recomendação prática: A queima do componente será evitada aumentando-se a área de
contato com o ar, com a utilização de aletas.
As aletas são as extensões da superfície de contato com o ar que podem ser
observadas nos dissipadores de calor empregados nos microcomputadores. A área
necessária de aletas no dissipador é maior que a área mínima calculada acima porque a
superfície da aleta nunca fica a uma temperatura uniforme, é mais fria à medida que se
afasta do bloco em contato com o componente. O cálculo do calor dissipado por uma
aleta será visto mais adiante.
Comentários adicionais: Na utilização do equipamento deve-se considerar ainda que o
coeficiente de película pode diminuir (por exemplo, pelo desgaste dos mancais do
ventilador) e que a temperatura interna do gabinete pode aumentar (por exemplo, pela
obstrução das entradas de ar pelo pó acumulado). Por isso, na prática, é adotada uma
área maior, por segurança.
Exemplo 2.6 (massa): O nível de água num tanque evaporimétrico diminuiu 15mm ao
longo de 10 horas de observação, num dia ventoso em que a temperatura média do ar foi
de 25°C e a umidade relativa foi UR = 20%. Durante a medição a temperatura média da
água no tanque foi de 22°C. Estime o coeficiente médio de transferência de vapor de
água para a atmosfera, em m/s, para as condições do experimento.
FT – 2012/1 - Revisão 1 24
Análise:
Trata-se de um problema de convecção forçada de vapor de água a partir da superfície do
tanque de medição de evaporação. O potencial é a concentração de vapor de água no ar.
A diferença de potencial existe porque junto à superfície o ar encontra-se na umidade de
saturação (UR = 100%) a 22°C e no ar é dada pela umidade relativa. Entretanto,
precisamos inicialmente transformar os dados de umidade relativa em concentração de
vapor de água em kg/m3 para uso na equação 2.11.
Cálculo das concentrações de vapor:
A pressão de saturação
esat em mmHg é encontrada na literatura, em função da
temperatura. Consultando a Tabela 5.1, pg 87 do livro “Hidrologia Aplicada”, de Villela e
Mattos (1975), obtém-se:
- esat (22°C) = 19,83 mm de Hg
- esat (25°C) = 23,76 mm de Hg
Com esses dados pode-se calcular as pressões parciais do vapor d’água:
es = UR esat = 19,83 mm de Hg (saturado na superfície da água, UR = 1)
e = 0,2 esat = 4,752 mm de Hg (no ar, umidade relativa 20% UR = 0,2)
A transformação das pressões parciais em concentrações é feita pela equação dos
gases perfeitos:
e Vol = n R T e Vol = (mV/Mv) R T
sendo R a constante universal dos gases (R = 8,314 J/K mol) e “n” o número de moles do
gás, n = (mv/Mv) em que mv é a massa de vapor contida no volume e Mv é a massa
molecular da água (Mv = 18,016 10-3 kg/mol). Assim, pode-se escrever:
v = mv/Vol = e / (Rv T)
em que Rv é a constante particular do gás (vapor de água), Rv = R/Mv .
Para utilizar as pressões parciais na equação da massa específica é necessário
converter os valores para Pascais (1 Pa = 1N/m2), multiplicando os valores pelo peso
específico do mercúrio (Hg = 133280N/m3).
288,133)()(001,0)()( 32 HgHg mmpm
N
mm
mmmp
m
Ne
Substituindo-se todos os dados na equação da massa específica, acima, vem:
Superfície: Cs = v,s = 19,83 133,280 /[ (8,314/18,016 10-3) (22+273)]
Cs = 19,41 10-3 kg/m3.
Ar : C = v, = 4,752 x133,280 /[ (8,314/18,016x10-3) (25+273)]
C = 4,6 10-3 kg/m3.
Cálculo do coeficiente de película:
Antes, calculamos o fluxo de vapor evaporado em kg/s. Como não foi fornecida a
área da superfície, calculamos para área unitária.
Fv = (massa evap/tempo) = água (Vol. evap/tempo) = 1000 x 0,015 x 1/(10 x 3600)
Fv = 4,17 x 10-4 kg/s
FT – 2012/1 - Revisão 1 25
Finalmente , podemos substituir os valores na equação da advecção.
Fv = h As (Cs - C) 4,17 x 10-4 = h x 1 (19,41 – 4,6) x 10-3 h = 0,028m/s.
Resposta: o coeficiente de transferência de massa por advecção no processo de
evaporação nas condições dadas foi 0,028 m/s.
Comentários adicionais: O coeficiente depende das condições reinantes no dia, podendo
variar com a temperatura e umidade do ar e com a temperatura da água na superfície,
conforme visto nas fórmulas usadas para calcular as concentrações de vapor de água no
ar. O coeficiente pode variar também com a velocidade média do vento, que diminui a
camada limite, conforme será visto no próximo item.
2.5.3. Mecanismo da Convecção – Camada Limite
A convecção é um modo de transferência de calor composto por dois mecanismos.
Além da transferência de energia devido ao movimento aleatório das moléculas (difusão)
existe energia sendo carreada pelo movimento macroscópico do fluido (advecção).
Assim, dando início ao processo advectivo sempre há uma difusão, o que explica
porque a velocidade do fluido aumenta o coeficiente de película (h). Quanto maior a
velocidade, menor o tempo de contato para que a difusão aumente o potencial das
partículas de fluido, antes que sejam levadas. Resulta então um gradiente maior, visto
que a porção de fluido é substituída por outra de menor potencial, antes que tenha tempo
de elevar o valor do potencial. Assim, maiores velocidades de fluido implicam em maior
fluxo por advecção. Essa relação entre velocidade e coeficiente de película é melhor
compreendida ao levarmos em conta o conceito de camada limite.
_____conceito de camada limite
Quando um fluido escoa sobre uma superfície sólida surge uma região com baixas
velocidades junto à superfície, chamada de camada limite. Devido à adesão das
moléculas de fluido ao sólido, na superfície a velocidade do fluido é nula. A viscosidade
faz com que a velocidade aumente rapidamente à medida que nos afastamos da
superfície. Essa região de variação rápida da velocidade define a camada limite. Devido
às baixas velocidades e à presença próxima do contorno sólido, as perturbações do
movimento são amortecidas e o escoamento na camada limite torna-se laminar. Fora da
camada limite temos o chamado núcleo não perturbado do escoamento. Nesta região o
perfil de velocidades é uniforme, e a presença do contorno sólido não causa efeitos no
escoamento.
Na figura 2.10 vemos o crescimento da camada limite de velocidades a partir da
borda de ataque de uma placa plana.
Quando o escoamento não perturbado for turbulento, o crescimento progressivo da
camada limite pode levar a uma espessura crítica em que não é mais possível manter o
escoamento laminar e forma-se uma camada limite turbulenta. Os vórtices do
FT – 2012/1 - Revisão 1 26
escoamento turbulento penetram então na camada limite que começa a crescer mais
rapidamente com as trocas macroscópicas de quantidade de movimento nos turbilhões. O
escoamento laminar persiste numa pequena região próxima ao contorno, formando a
subcamada laminar, onde predomina a condução (difusão molecular). Entre a
subcamada laminar e a camada limite turbulenta aparece uma região de transição, a
camada amortecedora.
TurbulentaTransiçãoLaminar
Sub camada Laminar
Camada Amortecedora
Camada Turbulenta
x
Figura 2.10: desenvolvimento da camada limite sobre uma placa plana
Existem outras definições, mas a espessura da camada limite, , pode ser
definida de forma prática como a distância a partir do contorno onde V = 0,99V, sendo V
a velocidade na região fora da camada limite.
O número de Reynolds local é usado para determinar quando a camada limite se
torna turbulenta. É definido como:
xVRex , 2.12
sendo x a distância a partir da borda inicial do contorno e = / é a viscosidade
cinemática do fluido.
O Rex que ocorre na transição entre a camada limite laminar e a turbulenta
depende muito da intensidade da turbulência do escoamento, mas em condições usuais
na engenharia, pode-se adotar o valor de 3,2 105 como o limite para iniciar-se a
transição para a camada limite turbulenta.
O conceito da camada limite de velocidades explica porque a contribuição do
processo difusivo domina nas camadas mais próximas à superfície, onde as velocidades
são mais baixas. Na interface sólido – fluido (z = 0) temos velocidade nula, devido à
aderência das partículas fluidas. Assim, apenas a difusão molecular pode ocorrer na
interface entre o sólido e o fluido.
Portanto, a advecção inicia-se sempre com a difusão entre o sólido e a
primeira camada de fluido.
FT – 2012/1 - Revisão 1 27
A figura 2.11 ilustra o conceito para o caso de uma parede vertical. Na região
imediatamente em contato com o fluido a velocidade é praticamente nula, e todo o
transporte ocorre por difusão entre as camadas de fluido. À medida que nos afastamos da
parede, dentro da camada amortecedora, a parcela carregada por advecção cresce em
importância relativa, até que prevalece apenas a advecção.
Figura 2.11: desenvolvimento da camada limite sobre uma placa vertical, ilustrando o progressivo
aumento do fluxo transportado por convecção.
Essa natureza dupla do mecanismo da advecção permite relacionar a densidade
de fluxo à espessura da camada limite laminar. Em locais em que a camada limite é
pequena, ocorre uma grande variação do potencial em um comprimento pequeno, ou seja
P/L é muito grande. Em locais onde a espessura da camada limite é grande ocorre o
inverso, pois a mesma diferença de potencial ocorre numa distância grande (P/L é
pequeno), e a densidade de fluxo diminui.
_____camada limite térmica
Ao considerar o escoamento de um fluido sobre a superfície aquecida de um
sólido, conforme a figura 2.12, surge o conceito de camada limite térmica, formada pela
região onde a diferença de temperaturas é inferior a 99% da diferença total entre a
temperatura do fluido no núcleo não perturbado e a temperatura da superfície.
Sub camada Laminar
FK
FC
FC
FC
FK
FK
Camada Amortecedora
Camada Limite Turbulenta
Sólido
Perfil de Velocidade
FT – 2012/1 - Revisão 1 28
Escoamento
q c
Ts
Too
T ( z )u ( z )
uoo
zz
distribuição
de temperaturadistribuiçãode velocidade
superfície quente
Camada limite
térmica
t
Figura 2.12: camadas limite térmica e de velocidades na convecção
A contribuição do movimento do fluido surge devido ao crescimento da camada
limite à medida que o escoamento avança para jusante. Assim, o calor que é conduzido
para a camada limite é levado para jusante e para longe da superfície quente, podendo
sair da camada limite de velocidades e ser transferido para o fluido no escoamento não
perturbado.
_____camada limite de concentração
No caso da transferência de massa por advecção a partir da superfície, forma-se
uma camada limite de concentração, em tudo semelhante à camada limite térmica.
Uma situação importante ocorre ao considerarmos o ar seco passando sobre um
lago ou uma área de solo úmido, provocando o fluxo advectivo chamado de evaporação.
O esquema da figura 2.13 mostra o crescimento gradual da camada limite à medida que o
ar seco percorre a superfície úmida. Observe que existe uma região com densidade de
fluxo maior, próximo às áreas de montante, devido à menor espessura da camada limite
nessa região. Esse fenômeno é o chamado “efeito de borda”, ou de fronteira. Com o
aumento da camada limite em direção a jusante, a densidade de fluxo vai diminuindo
gradualmente de maneira assintótica.
z
ar seco
superfície
seca
Coo
z
Camada limite
de vapor d'água
Coo
superfície
saturada
Fc Fc
Figura 2.13: Evaporação de água num lago pelo ar seco. O aumento da camada limite de
concentração diminui o fluxo de massa Fc da evaporação.
FT – 2012/1 - Revisão 1 29
O efeito de borda da camada limite de concentração explica porque pequenas
superfícies, como um tanque evaporimétrico ou uma piscina, possuem evaporação maior
que a observada num lago de grandes dimensões, com água na mesma temperatura.
_____Papel da velocidade do escoamento na advecção
Vimos como a existência da camada limite transforma a convecção num modo de
transferência composto por dois mecanismos. Além da transferência devido ao
movimento aleatório das moléculas (difusão), existe o transporte pelo movimento
macroscópico do fluido (advecção).
Com o conceito da camada limite é possível mostrar também como o aumento da
velocidade do escoamento afeta o coeficiente de transferência por convecção. Na
interface entre o fluido e o sólido todo o calor é transferido por condução no fluido.
0
z
fksc z
Tk'q)TT(h'q 2.13
A equação 2.13 mostra que a densidade de fluxo por advecção q’c (primeiro
membro) é igual à densidade de fluxo por difusão q’k na superfície (último membro).
Assim, quanto menor for a camada limite térmica, maior será o gradiente de temperatura
na superfície e, portanto, maior o coeficiente de transferência por convecção h. Este
mesmo fenômeno ocorre na advecção de massa.
Por outro lado, a camada limite térmica, assim como a de concentração, depende
fortemente do perfil de velocidades. Quanto maior a velocidade menor será a espessura
das camadas limite, tanto a de velocidades quanto a de temperatura ou a de
concentração. Este fato é ilustrado pela figura 2.14.
Ts
Too
uooz
Laminar
Ts
Too
uooz
0
zz
u t
t
Turbulento
0
zz
u
Figura 2.14: diminuição da camada limite com o aumento da velocidade
Das inclinações dos perfis mostrados na figura 2.14 podemos escrever as relações:
turbzlamz z
u
z
u
,0,0
laminar > turbulento
FT – 2012/1 - Revisão 1 30
t
s TT
z
T
0 turbzlamz z
T
z
T
,0,0
2.14
O efeito de diminuição da camada limite ocorre não só na mudança de regime
laminar para turbulento. Mesmo sem mudança do regime, quando aumenta a velocidade,
diminui a espessura das camadas limite térmica e de velocidades.
Exemplo 2.7: Ar a 20°C escoa a pressão atmosférica sobre uma superfície plana a
100°C, em regime permanente. A espessura da camada limite térmica em um
determinado ponto é de 1,5mm. Sabendo que a condutividade térmica do ar é
k = 0,0338 W/m.K, calcule o coeficiente de película para a transferência convectiva de
calor.
Solução:
No ponto considerado o fluxo de calor que deixa a superfície transfere-se por condução
na subcamada limite laminar. Sendo o regime permanente, o fluxo por condução é igual
ao fluxo por convecção entre a superfície e o ar, conforme a equação 2.13 e a
aproximação para a derivada dada na equação 2.14:
q'k = F/A = k T/t = q’c = hc T hc = K/t = 0,0338/0,0015 = 22,5 W/m2°C.
2.5.4. Coeficientes Locais e Coeficiente Global de Transferência
A influência da camada limite e da velocidade local sobre a advecção permitem
imaginar que o fenômeno irá ocorrer com diferentes taxas ao longo da superfície de um
sólido exposto ao fluido. Com isso podemos definir um coeficiente local de transferência
por convecção, que afetará a densidade de fluxo por convecção q’c numa área dAs ,
conforme a equação:
)TT(h'q sc 2.15-a
em que h é o coeficiente local de transferência por convecção, com unidades (W/m2°C). O
coeficiente h varia conforme a localização da área ao longo do corpo sólido e também
com as características do escoamento do fluido.
No caso da advecção de massa a equação é similar:
)( CChJ sC 2.15-b
em que h é o coeficiente local de transferência de massa por advecção, com unidades
(m/s). O coeficiente h, assim como no caso do calor, varia conforme a localização da área
no sólido e com as propriedades do escoamento do fluido.
Usando o conceito de coeficiente local o fluxo total transferido a partir do corpo é
dado por uma integração que permite definir o coeficiente global, ou coeficiente médio:
)()( TTAhFdAhTTF sscAs ssc 2.16
FT – 2012/1 - Revisão 1 31
em que h = coeficiente médio de transferência por convecção.
As s
s
dAh
A
h 1 2.17
2.5.5. Transporte simultâneo de duas grandezas
É comum a ocorrência de trocas de 2 ou mais quantidades. Por exemplo, quando o
ar frio escoa sobre uma placa quente (a superfície do solo, por exemplo), ocorre a troca
simultânea de calor e quantidade de movimento. Se, além disso, o ar estiver seco e a
placa úmida (solo saturado, por exemplo), ocorrerá a troca simultânea de calor, massa e
quantidade de movimento.
Vimos que as espessuras das camadas limite são muito importantes na
quantificação das transferências convectivas.
A camada limite de velocidades depende tanto da viscosidade do fluido quanto
da massa específica do fluido em escoamento. Observe que um fluido pouco viscoso
mas muito leve pode ter uma camada limite maior que um muito viscoso mas bem mais
pesado, nas mesmas condições. A importância dessas duas propriedades pode ser
combinada num único parâmetro que é a viscosidade cinemática = /.
_____definição: Viscosidade Cinemática = /
A viscosidade cinemática tem dimensão [L2/ T]
Da mesma forma, a camada limite térmica dependerá da condutividade térmica k e
da capacidade térmica do fluido. A capacidade de absorver calor por unidade de volume e
por variação unitária de temperatura é mc/Vol = c.
Um fluido com uma dada condutividade k, mas com alta capacidade térmica, não
irá se aquecer tanto e a camada limite térmica ficará pequena. Por outro lado se sua
capacidade de absorver calor for pequena ele irá aquecer-se rapidamente e a camada
limite será grande. A combinação dessas duas variáveis é dada pela difusividade
térmica, = k / c. A difusividade
térmica tem dimensão de [L2/ T].
A espessura da camada limite de concentração depende da difusividade, DAB, da
substância A dissolvida na substância B. Se a difusividade é alta, a espessura da camada
limite cresce rapidamente e vice versa. A difusividade tem dimensões [L2/ T].
Como todas as variáveis influentes possuem as mesmas dimensões, é claro que a
combinação delas fornecerá adimensionais que indicam a importância relativa da
transferência de cada uma das grandezas.
_____ Número de Prandtl (quant. mov. e calor)
k
cPr
2.18
FT – 2012/1 - Revisão 1 32
Adimensional importante quando ocorre transferência simultânea de calor e
quantidade de movimento. Fisicamente expressa a velocidade relativa da propagação da
quantidade de movimento e da energia. Portanto é importante para determinar a relação
entre as espessuras das camadas limites de velocidade e térmica. Para muitos casos Pr é
da ordem de 1, mas pode variar bastante. Metais líquidos, por exemplo, possuem Pr
muito pequenos, enquanto que fluidos viscosos, como óleos, podem ter Pr da ordem de
100.
_____ Número de Lewis (calor e massa)
Dc
k
D
Le
2.19
Adimensional importante quando ocorre transferência simultânea de calor e massa.
Por exemplo, no processo de evaporação em um termômetro de bulbo úmido, utilizado
para determinar a umidade relativa do ar.
_____ Número de Schmidt (quant. mov. e massa)
DD
Sc
2.20
Importante em sistemas isotérmicos com transferência simultânea de massa e
quantidade de movimento. Sc é aproximadamente unitário para gases, mas é grande para
líquidos.
_____relembrando
Existe o processo de convecção natural e forçada, classificados segundo a causa
do movimento do fluido, mas a equação básica 2.9 vale para os dois tipos.
CONVECÇAO NATURAL - o que causa o fluxo de fluido que efetua o transporte são as
diferenças de densidade causadas pela própria difusão da grandeza no fluido. Assim,
por exemplo, o ar que entra em contato com uma parede aquecida, fica menos denso e
sobe, dando início ao processo.
CONVECÇAO FORÇADA - o movimento de transporte é provocado por uma fonte
externa, como um ventilador ou o vento. Essas velocidades são normalmente muito
maiores que as da convecção natural, tornando a convecção forçada mais eficiente.
Esta é a razão pela qual equipamentos que dissipam pouco calor são normalmente
esfriados por convecção natural, enquanto que os de maior potência e tamanho
reduzido em relação ao calor dissipado são refrigerados por convecção forçada.
Por convenção, quando o potencial do corpo sólido é maior que o do fluido o fluxo
advectivo é considerado positivo.
FT – 2012/1 - Revisão 1 33
2.6. RADIAÇÃO: UM TIPO ESPECIAL DE TRANSPORTE
A radiação térmica é a energia emitida por qualquer matéria que estiver a uma
temperatura finita T. A radiação é a única forma de transporte de energia que ocorre
através do vácuo, sem necessitar de um meio físico para ocorrer.
Toda a energia que a Terra recebe do Sol chega por radiação. Essa energia é
responsável por manter o movimento de circulação da atmosfera e o ciclo hidrológico,
transferindo em escala planetária enormes quantidades de massas de ar, de calor e de
umidade. Daí sua importância no estudo da Hidrologia, em que está na base de vários
métodos para determinar a evaporação.
A radiação solar também é uma importante parcela a considerar na análise térmica
de edificações, e sua utilização em sistemas de aquecimento tende a crescer cada vez
mais. Em paredes externas de edificações ocorre simultaneamente a troca de calor por
convecção e absorção da radiação solar, num mecanismo em paralelo.
Em processos de engenharia que envolvem altas temperaturas a radiação pode ser
um mecanismo de troca de energia tão importante quanto a convecção, ou mesmo o mais
importante. Isso ocorre porque a emissão de energia térmica é proporcional à temperatura
absoluta elevada à quarta potência.
Percebe-se então que em vários problemas de interesse para o engenheiro a
radiação térmica estará presente junto com os mecanismos de difusão e advecção. Por
isso, embora não seja um fenômeno de transporte que envolva meios físicos como a
difusão e a advecção, a radiação será abordada em vários tópicos ao longo do curso.
A radiação ocorre como um fenômeno volumétrico nos gases e nos sólidos
semitransparentes, como o vidro. Aparece também como fenômeno de superfície na
maioria dos sólidos e líquidos. Isto porque a radiação emitida internamente é absorvida
pelas moléculas adjacentes, de forma que só a radiação emitida pelas moléculas
próximas à superfície atinge o exterior.
A radiação é caracterizada por seu comprimento de onda (), dado normalmente
em micrômetros (1 m = 10-6m) ou sua freqüência ( f ). Lembrar que c = f, sendo c a
velocidade da luz no meio considerado. Os textos de referência trazem o espectro da
radiação eletromagnética. A parte intermediária do espectro, entre 0,1 e 100m, é a
radiação térmica, de interesse na transferência de calor.
A emissão máxima de radiação térmica a uma temperatura T ocorre de um corpo
negro, ou irradiador perfeito e é dada pela lei de Stefan-Boltzmann
4T
A
F'q rr 2.21
em que Fr é o fluxo de calor emitido por radiação (W), q’r = densidade de fluxo por
radiação (W/m2), T = temperatura absoluta (K) e = 5,67x10-8 W/m2K4 é a constante de
Stefan-Boltzmann.
O corpo negro absorve toda a radiação incidente, independentemente do
comprimento de onda e direção. A radiação emitida por um corpo negro é independente
da direção, ou seja, o corpo negro é um emissor difuso.
FT – 2012/1 - Revisão 1 34
O fluxo emitido por um corpo real é menor que o de um irradiador perfeito e
depende da emissividade ( ) da superfície:
4' Tq r 2.22
A radiação emitida por um corpo depende do comprimento de onda considerado,
constituindo uma distribuição espectral, que varia com o tipo da superfície emissora e
sua temperatura.
Além da distribuição espectral, outra propriedade da radiação emitida diz respeito à
sua direção, visto que uma superfície pode emitir mais numa determinada direção do que
em outras, dando origem a uma distribuição direcional da radiação emitida. Uma
superfície que emite igualmente em todas as direções é chamada de difusa.
Neste texto, a menos que explicitamente registrado, os valores de emissividade
considerados serão a média sobre todo o espectro e todas as direções.
Quando a radiação é recebida pela superfície entra em ação a propriedade
chamada coeficiente de absorção, ou absortividade ( , que relaciona o calor radiante
incidente (qinc) ao absorvido (qabs):
incabs qq 2.23
O valor da absortividade depende da distribuição espectral da radiação incidente,
de forma que um corpo pode ter uma absortividade para a radiação solar e outra diferente
para a radiação emitida por corpos a temperaturas menores. A radiação solar possui um
espectro semelhante ao de um corpo negro a temperatura de 5.800K.
Quando a emissividade e a absortividade são iguais, temos um corpo com
superfície cinzenta.
Quando a radiação incide sobre uma superfície opaca, parte é absorvida e parte é
refletida. A característica que define a quantidade refletida é a refletividade ( ). A
absorção e a reflexão são responsáveis pela percepção da cor das superfícies a baixas
temperaturas. A cor se deve à absorção e a reflexão seletiva de parcelas do espectro da
radiação visível que a tinge a superfície. Uma folha é verde porque a clorofila das células
absorve fortemente os comprimentos de ondas das cores azul e vermelha, refletindo a
verde. Uma superfície parece negra porque absorve todas as componentes visíveis da
radiação.
Entretanto a cor refere-se apenas à reflexão dos comprimentos de onda visíveis e a
refletividade de um
corpo pode ser bastante diferente para outros comprimentos de
ondas. Este é o caso da neve sob a radiação solar. A neve é intensamente refletora na
faixa visível, e portanto totalmente branca, mas absorve fortemente a parcela de ondas
longas, aproximando-se de um corpo negro para o Infra Vermelho.
Quando a superfície é de material transparente existe ainda uma parcela que é
transmitida através do corpo, dada pela transmissividade ( ) do material. Como as
outras propriedades, a transmissividade depende do comprimento de onda considerado.
O vidro é um exemplo de material bem transparente para a radiação solar incidente de
ondas curtas (Ultra Violeta e Visível), sendo opaco aos comprimentos de ondas longas
(Infra-Vermelho) emitidos por superfícies a baixas temperaturas.
O fluxo líquido de calor trocado entre um corpo com superfície a temperatura T1 e
= (superfície cinzenta) e outro à temperatura T2 que o envolve totalmente é dado por:
FT – 2012/1 - Revisão 1 35
)(' 42
4
1
, TT
A
F
q líquidorr 2.24
Numa situação qualquer dois corpos trocam radiação entre si numa taxa que
depende das áreas e da orientação relativa entre elas, dada por um fator de forma F1-2:
)( 42
4
1, TTAF líqr 21F 2.25
Em muitas situações é desejável escrever a troca por radiação com uma equação
semelhante à da convecção:
)(' TTAhAqF srrr 2.26
em que hr é o coeficiente de transferência de calor por radiação térmica, ou coeficiente de
película para radiação.
Igualando as equações 2.25 e 2.26 vemos que o coeficiente global de transferência
de calor por radiação é dado por:
))(()(
)( 2
2
2
121
21
4
2
4
1 TTTT
TT
TThr
2121 FF 2.27
É importante perceber que com a equação 2.26 nós linearizamos a equação da
transferência por radiação, mas, como resultado dessa simplificação, a equação 2.27
mostra que o coeficiente hr vai depender fortemente da temperatura.
Exemplo 2.8: Um forno para assar pizzas está numa sala a 25°C. O coeficiente de
transferência por convecção é 15W/m2°C e a emissividade da parede é 0,8. Calcule o
calor perdido pelo forno, sabendo que a área das paredes externas é 2,5m2 e sua
temperatura é 75°C.
Solução:
Considerando regime permanente e que o forno é menor que a sala onde se encontra e
está totalmente envolvido por ela, podemos utilizar a equação 2.17 para o fluxo por
radiação. O fluxo por convecção é calculado com a equação 2.10.
Fluxo por radiação: FR = A (Ts4 - T4) = 2,5 (m2) x 0,8 x 5,67 x 10-8 (W/m2K4) . . .
. . . x [(75 + 273)4 – (25 + 273)4] (K4) = 769 W
Fluxo por convecção: Fc = hc A (Ts - T) = 15(W/m2°C) x 2,5(m2) x (75 – 25) (°C) = 1875W
Fluxo Total: F = FR + Fc = 1875 + 769 = 2644 W.
Resposta: o calor total perdido pelo forno é 2644W.
Comentários:
A parcela transferida por radiação é menor que a convectiva devido às baixas
temperaturas envolvidas.
Observe que o fluxo convectivo pode ser calculado com as temperaturas em °C,
mas para o cálculo da radiação precisamos utilizar a temperatura absoluta.
FT – 2012/1 - Revisão 1 36
Exemplo 2.9: Uma superfície exposta ao sol recebe uma radiação incidente em ondas
curtas de 800W/m2. A superfície reflete 30% da radiação incidente e é resfriada pelo ar a
25°C com um coeficiente de transferência convectiva de 15W/m2°C. A face inferior está
isolada e a temperatura radiante da atmosfera é de 293K. Calcule a temperatura de
equilíbrio da superfície nessas condições.
Solução:
Como o regime é permanente, o fluxo de calor recebido do sol (ondas curtas) pela
superfície deve ser igual ao fluxo perdido por radiação (ondas longas) e por convecção.
Fincidente = FR + Fc A I = A (Ts4 - T4) + hc A (Ts - T)
Supondo superfície cinzenta ( = ), e dividindo pela área A:
0,7 x 800(W/m2) = 0,7 x 5,67x10-8 (W/m2K4) x [Ts4 – (25 + 273)4] (K4) + . . .
. . . + 15(W/m2K) x (Ts - 25 - 273) (K)
560 = 3,969x10-8 Ts4 – 313 + 15Ts - 4470
3,969x10-8 Ts4 + 15Ts – 5343 = 0 ;
Resolvendo em Ts vem:
Ts = 326,23 K Resposta: A temperatura de equilíbrio é Ts = 53,23°C.
Comentário: aplicando a solução encontrada para Ts na equação original encontram-se os
fluxos por radiação e convecção e novamente verifica-se que a parcela trocada por
radiação é pequena em relação à convecção devido às baixas temperaturas envolvidas:
FR/A = 449,5 W/m2
Fc/A = 4893,5 W/m2
2.7. CONSIDERAÇOES FINAIS
As definições e notações utilizadas, embora coerentes e unificadas, não são ainda
de uso geral, porque permanecem por tradição as definições das áreas de conhecimento
que deram origem à disciplina FT. A difusão de calor, por exemplo, era tradicionalmente
chamada de condução. O principal cuidado a tomar refere-se às definições de fluxo e
densidade de fluxo que, por incrível que pareça, não são unificadas. Uma tendência muito
comum é chamar de fluxo o que nós definimos como densidade de fluxo. Portanto,
atenção às unidades que indicarão sem dúvida do que se trata.
Neste texto e em nossa escola adotou-se uma terminologia coerente com a maioria
dos textos de eletromagnetismo e de hidrodinâmica, que tradicionalmente desenvolveram
a teoria dos campos potenciais. Ela é consistente na medida em que os fluxos sempre
são escalares e as densidades de fluxo sempre são vetores.
Em alguns textos brasileiros recentes encontramos o termo descarga como
equivalente ao nosso fluxo. Assim, a descarga de volume seria a vazão e o fluxo de
volume corresponderia à velocidade. Apesar de consistente, essa nomenclatura
desconsidera que descarga é o termo tradicional para fluxo de massa.
FT – 2012/1 - Revisão 1 37
Existe ainda, particularmente na engenharia química, uma maneira de se referir
aos dois processos fundamentais como difusão. Esses livros usam Difusão Molecular
(=DIFUSÃO) e Difusão Turbulenta ( = CONVECÇÃO ). Na hidráulica, em modelos
ambientais, também há muitos termos consagrados que são tipos especializados de
advecção e convecção.
2.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2.1 Com base na equação básica dos processos difusivos (eq. 2.1) pede-se (a)
identificar os potenciais para o transporte difusivo de massa, calor e quantidade de
movimento; (b) as constantes de proporcionalidade para cada grandeza citada em (a).
2.2 Usando a definição de fluxo de uma grandeza e a lei da homogeneidade
dimensional na equação 2.1 deduza as dimensões para o gradiente de potencial de cada
grandeza e das constantes de proporcionalidade envolvidas. Informe ainda as unidades
no sistema SI.
2.3 Usando a equação básica da convecção de calor (eq. 2.10) e a lei da
homogeneidade dimensional deduza as dimensões e informe as unidades no sistema SI
do coeficiente médio de transferência de calor por convecção.
2.4 Imagine uma barra metálica cilíndrica com diâmetro constante isolada nas laterais e
com as extremidades imersas em banhos térmicos mantidos a temperaturas constantes
T1 e T2, conforme a figura e sendo T1 > T2 pede-se: (a) qual o mecanismo de transporte
envolvido? (b) sabendo que a condutividade térmica k é constante e uniforme ao longo de
toda a barra, o que podemos dizer a respeito da magnitude do fluxo de calor ao longo da
barra? (c) com as hipóteses do item b) o que podemos afirmar sobre a variação do
gradiente da temperatura ao longo da barra? (d) qual a forma da curva da temperatura em
função de x?
T1
Banho 1
isolamento
T2
Banho 2
x
amostra
2.5 Duas placas paralelas estão separadas por um espaço de 6mm, preenchido com um
fluido com massa específica = 800kg/m3. A placa inferior é estacionária e a superior
possui V = 3m/s. Se uma força de 350N por m2 de placa é necessária para manter a
velocidade d placa superior, encontre a viscosidade dinâmica e a viscosidade cinemática
do
fluido entre as placas. Resposta: 0,7 Pa.s ; 0,000875m2/s)
2.6 Um medidor de condutividade térmica utiliza um corpo de prova padrão em série
com duas amostras do material que se quer ensaiar. O conjunto todo é prensado entre
duas chapas mantidas a temperatura constante, de forma que se estabeleça um fluxo de
FT – 2012/1 - Revisão 1 38
calor em regime permanente. Cada uma das amostras possui 50mm de diâmetro e 90mm
de comprimento. Todas as superfícies de contato recebem uma camada de graxa
condutora, de forma que podem ser desprezadas as resistências de contato. Nas
amostras ficam embutidos termopares diferenciais espaçados 15mm entre si. As faces
laterais das amostras são termicamente isoladas, de forma que a transferência de calor
através das amostras pode ser considerada unidimensional. Em um ensaio o termopar
diferencial do corpo de prova padrão indica T2 = 15°C e os termopares das amostras
indicam T1 = T3 = 25°C. Pede-se calcular: a) a condutividade térmica das amostras; b)
o fluxo de calor através do equipamento e c) a diferença de temperaturas entre as duas
chapas, sabendo que o corpo de prova padrão possui condutividade k = 50w/mK.
T1 T2
amostra padrão
Chapa Quente T constante
isolamento térmico
Chapa Fria T cte
amostra
T3
fig. Ex. 2.6
amostra amostra
Chapa T constante
isolamento
Aquecedor
T1 T2
1 2
fig. Ex. 2.7
2.7 Um medidor de condutividade térmica utiliza um aquecedor elétrico entre duas
amostras do mesmo material, mas com tamanhos diferentes, conforme a figura. As
amostras possuem 50mm de diâmetro; a amostra 1 tem 60mm de comprimento e a 2
apenas 45mm. As chapas metálicas são mantidas a temperatura uniforme Tf = 70°C por
meio da circulação de um fluido refrigerante. Todas as superfícies de contato recebem
uma camada de graxa condutora, de forma que podem ser desprezadas as resistências
de contato. As laterais das amostras são isoladas, de forma que a transferência de calor
pode ser considerada 1-D. Sabendo que o aquecedor consome 0,3A a 100V e que sua
temperatura atinge 170°C pede-se determinar: a) a condutividade térmica das amostras;
b) a diferença de temperaturas indicada pelos termopares diferenciais , T1 e T2, com
sensores instalados a 15mm de distância entre si.
2.8 Quando percorrida por uma corrente elétrica I uma barra de metal com seção
retangular (6mm x 15 mm) provoca uma geração de calor à taxa g (w/m3) dada por
g = 1,5 I2 W/m3. Qual será a máxima corrente admissível na barra se a sua temperatura
máxima não puder superar em 30°C a temperatura do ar ambiente? A barra está num
ambiente em que o coeficiente de transferência convectiva do ar é 25W/m2°C. Resposta:
4830A.
2.9 Um corpo cilíndrico com diâmetro de 10cm e altura 15cm é feito de material
metálico com alta condutividade e possui em seu interior uma fonte térmica que gera calor
a uma taxa desconhecida, embora constante no tempo, e 3 termopares distribuídos em
pontos representativos de sua superfície. Quando imerso em um banho termostático
mantido a temperatura de 20°C os termopares indicam Ts1 = 135°C, Ts2 = 115°C e
Ts3 = 120°C. Sabendo que o coeficiente médio de transferência por convecção é
500W/m2°C pede-se calcular o fluxo de calor gerado pela fonte térmica.
FT – 2012/1 - Revisão 1 39
2.10 Uma trincheira de 100m de comprimento deve ser escavada paralelamente e a 140
m de um rio, conforme a figura. No local existem duas camadas de solo permeável
superpostas, conforme a figura. A camada superior tem 3m de espessura com
condutividade hidráulica de 4,0m por dia e a camada inferior tem 1,5m de espessura e
solo com K = 8,5m/dia . Se o nível da água na trincheira deve ser mantido 3,5m abaixo do
nível da água no rio, mas ainda acima do topo do aqüífero, determine a vazão a ser
bombeada para fora da trincheira.
3,5m
Rio
Trincheira
Camada 1
Solo não permeável
Camada2
2.11 Uma trincheira de 100m de comprimento deve ser escavada paralelamente e a
110 m de um rio, conforme a figura. No local existem duas formações de solo permeável,
com 6m de altura, e dispostas lado a lado, conforme a figura. A formação 1 tem
condutividade hidráulica de 4,0m por dia e a formação 2 tem K = 8,5m/dia . Se o nível da
água na trincheira deve ser mantido 3,5m abaixo do nível da água no rio, mas ainda
acima do topo do aqüífero, determine a vazão a ser bombeada para fora da trincheira.
3,5m
Rio
Trincheira
Formação 1
Solo não permeável
Formação 2
40m 70m
2.12 A figura mostra um bloco metálico cilíndrico (k = 50W/m.K) com 0,15m de diâmetro,
com as laterais engastadas em material que pode ser considerado isolante, cuja face
superior é mantida a temperatura constante e com a face inferior exposta ao ar, de forma
que o bloco transfere um fluxo de calor da face superior para a inferior em regime
permanente. Com as demais informações da figura, pede-se: a) Determine o fluxo
transferido; b) calcule a temperatura na face inferior; c) Sabendo que o ar encontra-se a
20°C, calcule o coeficiente médio de transferência de calor por convecção na face inferior.
isolamento
105°C
110°C
0,10m
0,20m
T = 20°C
Ar
h = ?c
Resposta: a) 44,2W; b) 100°C; c) 31,25 W/m2°C
FT – 2012/1 - Revisão 1 40
2.13 A figura mostra uma parede de um forno, com 0,25m de espessura, em alvenaria
(k = 0,7W/m.K), que perde calor para o ar exterior a 20°C por convecção. Sabe-se que a
temperatura externa da parede, em regime permanente, é 55°C, e que o coeficiente
médio de transferência por convecção é 8W/m2°C. Pede-se: a) determine o fluxo
transferido por unidade de área; b) calcule a temperatura na face interior da parede.
Ts,i
Ts,e
0,25m
F
k
Fc
k
T = 20°C
Ar
h = 8 W/m °Cc 2
Interior
do Forno
Resposta: a) 280 W/m2; b) 155 °C.
2.14 Uma chapa de alumínio, com 4mm de espessura, está montada na posição
horizontal e tem a face inferior isolada termicamente. A face superior recebeu um
revestimento especial que absorve 80% da radiação solar incidente ( = 0,8 e = 0,2) e
que tem emissividade () de apenas 0,25. Inicialmente a chapa está a uma temperatura
uniforme Ti = 25°C. A chapa é subitamente exposta ao ar a T = 20°C e à radiação solar
incidente de I = 900W/m2. O coeficiente médio de troca de calor por convecção entre a
superfície e o ar é hc = 20W/m2.K. Dados do alumínio: = 2700kg/m3 e c = 900J/kgK.
Pede-se: a) montar o balanço de energia transiente para a placa; b) calcular a taxa de
variação no tempo da temperatura da placa no instante inicial; c) calcular a temperatura
de equilíbrio da chapa quando for atingida a condição de estado permanente.
Resposta: b) 0,063K/s; c) 326,19K
FT – 2012/1 - Revisão 1 41
CAPÍTULO 3
DIFUSÃO UNIDIMENSIONAL
No capítulo 2 tratamos da difusão na condição mais simples possível para realçar
as características fundamentais dos processos. Foram apresentadas equações que valem
apenas para fluxo em uma única direção, em regime permanente (fluxo constante) e com
área constante (densidade de fluxo constante).
Por exemplo, a transferência de calor através do corpo da figura 3.1, embora em
regime permanente, não pode ser calculada pela aplicação direta da equação 2.2 porque
a densidade de fluxo varia ao longo da peça.
Banho 1
isolamento
Banho 2
T1
amostra 1 amostra 2
F F
aquecedor
T1T2T2
x
L
D1
D2
Densidade de Fluxo (W/m )2
Figura 3.1: Difusão unidimensional de calor – fluxo constante, densidade de fluxo variável
Basta que a área seja variável, ou que a constante de proporcionalidade não seja
uniforme ao longo do corpo para que a equação básica da difusão (eq. 2.1) deixe de ser
aplicável.
3.1. UMA EQUAÇÃO MAIS GERAL PARA
A DIFUSÃO
Para as situações em que a densidade de fluxo varia, a equação básica 2.1 fica da
seguinte forma:
dx
dPACteF 3.1
Diferenças entre a equação 2.1 (mais restrita) e a 3.1 (mais geral):
Diferença 1 - Derivada do potencial no lugar da variação média;
Diferença 2 - Sinal negativo.
A análise das diferenças (e semelhanças) entre as duas equações fica mais fácil se
escrevermos a Densidade de Fluxo a partir da equação 3.1, conforme segue:
dx
dPCte
A
FD 3.2
FT – 2012/1 - Revisão 1 42
_____Diferença 1 – porque uma derivada no lugar da variação média?
Sabemos que a densidade de fluxo é proporcional à variação unitária do potencial,
conforme já vimos no capítulo 2. No exemplo da figura 3.1, o Fluxo é constante; sai do
aquecedor e atravessa a amostra em regime permanente. Entretanto, a área fica cada
vez maior, à medida que nos aproximamos do banho termostático frio.
Vemos que a Densidade de Fluxo é variável. Como a área é cada vez maior, a
densidade de fluxo fica cada vez menor. Esse fato é ilustrado pelo gráfico da densidade
de fluxo D em função de x, na figura 3.1.
Assim, temos a situação exposta no diagrama da figura 3.2:
Este é constante
Esta é cada vez maior
dx
dPCteD
A
F
Portanto este é cada vez menor
Como este não varia,
Este é o único que pode variar
A variação unitária do Potencial
precisa ser uma função do ponto (dP/dx).
CONCLUSÂO
não pode ser uma média única ( P/ L),
1
2
3
4
5
Figura 3.2: Considerações sobre a derivada do potencial (variação local)
O esquema lógico da figura 3.2 esclarece que é necessário usar a derivada do
potencial, que fornece a variação unitária válida em cada ponto, e não o valor médio
sobre toda a amostra, dado por P/L.
_____Diferença 2 – porque surgiu um sinal negativo na fórmula?
Para calcular a variação unitária do potencial como uma função do eixo x,
precisamos ter o potencial descrito como uma função da ordenada x. Para isso é
necessário, em primeiro lugar, definir um eixo x, e um sentido para esse eixo.
Ora, uma derivada tem um valor numérico que depende do sentido do eixo. Isso
fica evidente na definição tradicional da derivada, a partir do limite da variação unitária
para intervalos cada vez menores.
x
)x(P)xx(Plim
dx
dP
x
0
3.3
É necessário pegar o valor do potencial na ordenada maior (x + x) e subtrair o
potencial da ordenada menor. Isso faz com que uma derivada tenha automaticamente um
sinal positivo ou negativo. Veja o esquema da figura 3.3, que define graficamente duas
situações de potencial: crescente e decrescente com a ordenada x. Neste exemplo, a
grandeza transferida é o calor e o potencial é a temperatura.
FT – 2012/1 - Revisão 1 43
x (m)
T (°C)
100
150
200
isolamento
Quente
Frio
D
x (m)
T (°C)
100
150
200
Quente
Frio
D
amostra
(a) (b)
0
dx
Td
0
dx
Td
Figura 3.3: Relação entre a derivada do potencial e o sentido da Densidade de Fluxo
Analisando a figura 3.3, percebemos que a densidade de fluxo possui um sentido.
Isto permite que ela seja tratada como um vetor. O sentido é sempre o de diminuição do
potencial: da esquerda para a direita no caso (a) e da direita para a esquerda no caso (b).
A orientação do eixo permite a atribuição automática de um sentido para o vetor
densidade de fluxo. Este sentido é sempre contrário ao indicado pelo sinal da derivada.
Esta é a razão para o sinal negativo.
Lembrando que a derivada é uma das componentes do vetor gradiente da função,
podemos dizer que o sinal negativo indica que a densidade de fluxo tem sentido contrário
ao do gradiente do potencial.
Resumindo:
- A densidade de fluxo é um vetor
- No caso 1-D este vetor só tem a componente x: iDD x
- O sinal da componente Dx indica o sentido do vetor
- Como a transferência é 1-D, não precisa diferenciar Dx das outras componentes, já
que é a única;
- Por isso, para simplificar, escrevemos Dx = D (mas é um vetor)
- Também para simplificar, carregamos o sinal para a fórmula do Fluxo
- Resultado: o Fluxo carrega um sinal que indica o sentido (mas é um Escalar!)
Pergunta importante: não é incoerente a equação de um escalar ter um sinal que indica o
sentido de um vetor?
Resposta honesta: Sim, é incoerente (mas é prático); é preciso lembrar que é uma
notação simplificada para transporte unidimensional (apenas numa
direção já conhecida).
FT – 2012/1 - Revisão 1 44
Conclusão: Se você se lembrar que o sinal é apenas uma indicação adicional do
sentido em que ocorre o fluxo e que o módulo é dado pela fórmula
sem o sinal, poderá usar a equação sem cometer erros de análise.
_____Exemplo 3.1:
A figura mostra uma barra metálica de 1m de comprimento e seção transversal
retangular, de 1cm x 10cm, engastada em dois blocos de temperatura constante e com as
laterais isoladas. A condutividade térmica do material é k = 20W/m.K. Num determinado
instante o perfil de temperaturas é dado por T(z) = 100 – 50z + 200z2, sendo z em metros
e T em °C. Pede-se a) calcule o fluxo no topo da barra (z = 1m) e informe se é de entrada
ou saída; b) o mesmo para a base da barra (z = 0m); c) calcule a densidade de fluxo
(módulo, direção e sentido) na seção situada a 0,30m da base.
Fig. Ex.3.1
z
Bloco inferior
T = 100°C
Bloco superior
T = 250°C Seção Transversal
0,10m
0,01m
isolamento
k = 20W/m.K
Análise do problema: Embora a área seja constante e a condutividade térmica seja
uniforme, temos uma situação em que o perfil de temperaturas não é uma reta. Isso
ocorre, como será demonstrado mais adiante, porque o regime não é permanente. Assim,
não podemos calcular uma variação unitária média e temos que aplicar a equação 3.1
mais geral.
Solução:
)zz(
dz
d,,
dz
dTAkF 2200501001001020
F = - 0,02 (-50 + 400z) = 1 – 8z
Item a) Fluxo no topo da barra = F (z = 1m) F = - 7W
O sinal negativo indica sentido contrário ao eixo z ( k
)
Da análise da geometria do problema, concluímos que o fluxo no topo é um
Fluxo de Entrada na Barra.
Item b) Fluxo na base da barra = F (z = 0m) F = 1W
O sinal positivo indica sentido do eixo z ( k
)
Da observação da geometria do problema, concluímos que o fluxo na base é um
Fluxo de Entrada na Barra.
FT – 2012/1 - Revisão 1 45
Observe que o primeiro fluxo calculado tem sinal que indica transporte de calor no
sentido negativo do eixo e o segundo fluxo tem sinal que indica transporte no sentido
positivo. Mas os dois fluxos são de entrada na barra. Mais uma vez demonstrando que o
sinal não indica automaticamente se o fluxo é de entrada ou de saída.
Item c) densidade de fluxo D (0,30m)
O gradiente do potencial já foi calculado:
z)zz(
dz
d
dz
dT 4005020050100 2
D = - k dT/dz = - 20 x (-50 + 400z) = 1000 – 8000z (W/m2)
Substituindo z D = 1000 – 8000 x 0,30 D = - 1400 W/m2
Resposta Módulo: 1400 W/m2
Direção: por inspeção, direção do eixo z
Sentido: pelo sinal negativo, contrária ao eixo
Resumindo, a densidade de fluxo em z = 0,3m é o vetor dado por : kkDD x
1400
3.2. BALANÇO DAS GRANDEZAS – Equações de conservação
Na análise do exemplo 3.1 avançamos a dedução de que o regime é transiente
porque o gradiente do potencial não é constante. Essa conclusão decorre da aplicação do
balanço de energia numa seção da barra, conforme será visto neste item. A equação do
balanço é uma ferramenta básica na solução de problemas de transporte de massa, calor
e quantidade de movimento.
____introdução: balanço de energia (calor)
Embora o balanço de quantidades da grandeza
transferida possa ser realizado de
forma geral, pois a equação é a mesma, vamos iniciar com um caso mais concreto, de
transferência de calor (energia térmica).
Para fazer o balanço é necessário primeiro definir a região do domínio que será
estudada (chamada de VC, volume de controle). No problema do exercício 3.1, por
exemplo, podemos tomar toda a barra metálica, de 1m de comprimento, como a região
analisada.
A conservação da energia (1a. Lei da Termodinâmica) se escreve simplesmente:
Energia inicial + Energia recebida – Energia fornecida = Energia Final
EFINAL – EINICIAL = EENTRA + EGERADA ESAI 3.4
A energia recebida pode ser trazida de fora por fluxos de entrada, mas também
pode ser gerada no interior do VC. Calor pode ser gerado no interior do VC por uma
reação química exotérmica, ou por uma resistência elétrica. Exemplo de reação
exotérmica importante na engenharia é o endurecimento do concreto, que ocorre devido a
FT – 2012/1 - Revisão 1 46
hidratação dos compostos do cimento, liberando o chamado calor de hidratação do
concreto.
Considerando que a variação da energia ocorra num intervalo de tempo t,
podemos relacionar as energias aos fluxos durante o intervalo de tempo considerado:
t)FFF(E SGE 3.5
SGE FFFt
E
3.6
A equação 3.6 indica a taxa média de variação da energia no intervalo de tempo
considerado. Considerando o limite para um intervalo de tempo t tendendo a zero,
podemos escrever as variações instantâneas.
SGE
t
FFF
t
Elim
dt
dE
0
3.7
Lembrando que a energia térmica, ou quantidade de calor, é dada em relação a
uma temperatura de referência, pela equação:
E = m c (T – TREF) = c Vol (T – TREF) 3.8
Usualmente, TREF = 0 e a quantidade de calor fica E = m c T.
Para que o regime seja permanente, a energia E (e, portanto, a temperatura T) não
pode variar no tempo.
Regime Permanente 0
td
Ed
0
td
Td
0 SGE FFF
SE FF (se não houver geração interna, FG = 0).
Lembrar que para que o regime seja permanente, a temperatura não pode variar no
tempo, num dado ponto, mas pode variar ao longo do VC, ou seja T = f(s), tomando s
como a direção do transporte (eixo se
). No regime transiente, T = f(s, t).
_____Exemplo 3.2:
Determinar o perfil de temperaturas necessário para que a transferência de calor
através da barra do exemplo 3.1 ocorra em regime permanente.
Análise: Esse tipo de problema é resolvido a partir do balanço de energia.
Precisamos definir um VC genérico, pois tanto na barra inteira quanto em qualquer
subdivisão dela temos que ter fluxos de entrada iguais ao de saída.
FT – 2012/1 - Revisão 1 47
Solução
Vamos inicialmente definir um VC numa posição z qualquer, conforme o esquema
da figura:
z
T = 100°C
T = 250°C
Balanço no VC0
k = 20W/m.K
1,0
T (z) = ?
z + z z
FE
FS
0
td
Ed
VC
z
Esquema do domínio
Do balanço de energia em regime permanente vimos que FE = FS
Mas, como o VC é muito pequeno, podemos aproximar o fluxo na saída em função
do fluxo de entrada:
z
zd
dFFF ES zzd
dFFF EE
Só podemos concluir que o fluxo não varia 0
zd
Fd (1*)
Mas o fluxo é dado pela eq. 3.1. Aplicando a definição do fluxo na relação (1*):
0
zd
TdAk
zd
d
Como a condutividade e a área são constantes e não nulas,
0
zd
Td
zd
dAk 02
2
zd
Td (2*)
Integrando a relação (2*) vem 1Czd
Td (3*)
Integrando novamente a relação (3*) vem: 21 CzCT (4*)
A equação (4*) mostra que a temperatura varia linearmente com z, um resultado já
conhecido.
Para finalizar é necessário determinar as 2 constantes de integração. Para isso são
aplicadas as condições de contorno (C.C.) fornecidas.
C.C. 1: z = 0 T = 100°C;: 100 = 0 + C2 C2 = 100°C
C.C. 2: z = 1 T = 250°C; 250 = C1 1 + 100 C1 = 150°C/m
Resposta Final: O perfil de temperaturas é dado por T(z) = 150 z +100 , sendo z em
(m) e T em (°C).
FT – 2012/1 - Revisão 1 48
____ generalização do balanço para grandeza N qualquer
Como tratamos com pelo menos 3 grandezas, massa, calor e quantidade de
movimento, podemos escrever a equação do balanço de forma genérica. Para isso
chamamos a grandeza de N, e a quantidade da grandeza por unidade de volume de G.
A equação 3.7, para qualquer das grandezas, fica:
SGE FFFdt
dN 3.9
Substituindo na equação 3.9 as relações: N = G Vol = G x A
FE = DE A
FS = DS A
FG = g’ x A
Ax'gA)DD(
td
)AxG(d
SE 3.10
Obs: supondo transferência 1-D na direção x, A é área da seção transversal (plano
y - z) e g’ é a taxa de geração da grandeza por unidade de volume.
Dividindo 3.10 pelo volume do VC, (Vol = G x A ) , temos uma equação válida
para qualquer volume:
'g
x
DD
td
dG SE
3.11
Agora levando o volume ao limite para x tendendo a zero teremos uma equação
válida em um ponto:
'g
x
DD
lim
td
dG SE
x
0
3.12
O primeiro termo do segundo membro é o negativo da derivada da densidade de
fluxo. Assim, temos:
'g
dx
dD
td
dG 3.13
A equação 3.13 é uma das formas da equação da conservação, ou do balanço
diferencial das grandezas transportadas. Relaciona a taxa de variação no tempo da
grandeza com a taxa de variação no espaço da densidade de fluxo. É fácil fixar o seu
significado quando não há geração dentro do VC. Veja os diagramas das figuras 3.4 e
3.5.
A figura 3.4 mostra que, quando a densidade de fluxo diminui com x, a quantidade
armazenada aumenta com o passar do tempo.
FT – 2012/1 - Revisão 1 49
x (m)
D
ED
SD
x
SDED
SE DD entra mais N do
que sai
No tempo t
0
dx
dD
0td
Nd
0
dx
dD
td
dG
Figura 3.4: Diagrama conceitual para o balanço diferencial – fluxo decrescente
A figura 3.5 mostra que, quando a densidade de fluxo aumenta com x, a
quantidade armazenada no material diminui com o passar do tempo.
x (m)
D
ED
SD
x
SDED
0
dx
dD
td
dG
entra menos N
do que sai
No tempo t
SE DD
0dxdD 0tdNd
Figura 3.5: Diagrama conceitual para o balanço diferencial – caso de fluxo crescente
____ balanço explicitando o potencial da grandeza N
A equação 3.13 pode se desenvolvida para mostrar o potencial do transporte da
grandeza. Para isso vamos usar a equação 3.2, da densidade de fluxo, na equação 3.13:
'g
dx
dD
td
dG 'g
dx
dPCte
dx
d
td
dG
'g
xd
PdCte
td
Gd 2
2
3.14
FT – 2012/1 - Revisão 1 50
3.3. BALANÇO DE CADA GRANDEZA A PARTIR DO BALANÇO GERAL
____ Grandeza = Calor
Grandeza N = mcT = Vol c T (Joules; J = N.m)
Definição de G G = N/Vol = c T (J/m3)
Potencial P = T ; temperatura (K ou °C)
Constante Cte = k ; condutividade térmica (W/m.K)
Balanço 1-D:
'g
xd
Tdk
td
)Tc(d 2
2
3.15
_____ Grandeza = Massa de Substância Dissolvida (soluto)
Grandeza N = mA = CA Vol ; A = substância dissolvida (kg)
Definição de G G = N/Vol = CA ; concentração de A (kg/m3)
Potencial P = CA ; concentração de A (kg/m3)
Constante Cte =DAB ; difusividade de A em B (m/s)
Balanço 1-D:
'g
xd
CdD
td
Cd A
AB
A 2
2
3.16
_____ Grandeza = Quantidade de Movimento
Grandeza N = m V = Vol V (kg.m/s)
Definição de G G = N/Vol = V (kg/m2.s)
Potencial P = V ; velocidade (m/s)
Constante Cte = ; viscosidade dinâmica (Pa.s)
Equação do Fluxo
dy
dV
A
F (é diferente no sinal!)
Balanço 1-D:
'g
yd
Vd
td
)V(d xx 2
2
3.17
Algumas situações estranhas acontecem devido ao fato de que o potencial para a
transferência difusiva de quantidade de movimento é a velocidade, portanto um vetor.
Assim, a densidade de fluxo, que é a tensão de cisalhamento ““, atua na perpendicular à
direção do gradiente de velocidade, e deve ser multiplicada por uma área tangente à
velocidade para resultar no fluxo de quantidade de movimento, que é a força transmitida.
Essas singularidades poderiam ser atendidas por uma notação matemática mais rigorosa
do que a adotada neste trabalho introdutório.
FT – 2012/1 - Revisão 1 51
Além disso, o sinal negativo não tem uma razão prática defensável na fórmula da
densidade de fluxo. A tensão de cisalhamento é um esforço interno do fluido, e seu
sentido vai depender de estarmos analisando a ação do fluido sobre um elemento isolado,
ou a reação sobre o fluido da força transmitida ao elemento isolado. Simplificando, ela
aparece com os dois sentidos, dependendo de considerarmos a ação ou a reação em
uma dada camada.
Outra consideração importante é que a variação da quantidade de movimento
envolve o somatório de todas as forças que agem no volume de controle. Por isso, num
caso geral, é preciso acrescentar as outras forças que podem agir sobre o volume de
controle, pela ação do campo gravitacional (peso) e pelo gradiente das pressões (forças
normais de contato).
3.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DO BALANÇO 1-D
_____Exemplo 3.3: parede plana com geração de calor
A figura a seguir mostra uma parede plana de espessura 2L, com geração de calor
uniforme g’ W/m3. A condutividade térmica do material da parede é k W/m.K. As
temperaturas nas duas faces da parede são iguais a TS. Determine a equação para a
distribuição de temperatura no interior da parede.
Análise: trata-se de problema 1-D em regime permanente, com área constante.
Existe simetria em relação ao centro da parede, que possuirá a temperatura máxima. A
partir do balanço de energia num elemento diferencial situado numa ordenada x qualquer,
chega-se à equação do potencial. Este balanço já foi realizado, chegando-se à equação
3.15 e não é necessário repeti-lo.
Fig. Ex.3.3
2L
TSTS
TT
x
Elemento diferencial
x
Balanço de energia
FE FS
g’ A = 1m2
Esquema do domínio 1-D
Solução:
A partir da equação 3.15, considerando o regime permanente, temos:
'g
xd
Tdk
td
)Tc(d 2
2
02
2
'g
xd
Tdk
k
'g
xd
Td 2
2
(1*)
FT – 2012/1 - Revisão 1 52
A equação (1*) contém as condições que o potencial (temperatura) deve satisfazer
ao longo do domínio, em regime permanente. Integrando (1*) vem:
1Cxk
'g
xd
Td
Integrando novamente: 21
2
2
CxCx
k
'gT (2*)
Para determinar as constantes de integração devemos utilizar as condições de
contorno fornecidas.
C.C.1: x = 0 T = Tmax devido à simetria 00 1 Ck
'g
xd
Td C1 = 0.
C.C. 2: x = L T = Ts 222 CLk
'gTs 22 2 Lk
'gTC s
Colocando as duas constantes em (2*):
22
22
L
k
'gTx
k
'gT s
Chegando finalmente a: )xL(
k
'gTT s
22
2
_____ Exemplo 3.4: transferência de quantidade de movimento 1-D
O perfil de velocidades numa camada de fluido newtoniano com espessura “h”
situada entre duas placas planas paralelas e horizontais é dado por:
2z
h
zVVx
em que V é constante. Sabendo que a viscosidade do fluido é pede-se: a) calcule a
tensão de cisalhamento na superfície inferior (z=0); b) o mesmo para a placa superior (z =
h); c) o perfil é compatível com regime permanente?
Análise:
O fluxo de quantidade de movimento se transfere entre duas placas com área
constante. Trata-se de um problema unidimensional que pode ser descrito pela equação
3.2, para o cálculo das densidades de fluxo. A questão sobre o regime pode ser analisada
com a equação 3.13, ou com a eq. 3.17, ambas na ausência de termo fonte.
Solução:
Para o cálculo de usaremos a equação 3.13
)z
h
(Vz
h
zV
zz
Vx 212
Junto à placa inferior (z=0) a tensão fica:
h
V
z
V
z
x
0
(resposta item (a))
Junto à placa superior (z = h), calcula-se :
FT – 2012/1 - Revisão 1 53
)h
h
(V 21 (resposta item (b))
Para verificar se o regime é permanente pode-se verificar, a partir da equação 3.13,
que a densidade de fluxo precisa ser constante:
0
dx
dD
td
dG D = Cte (para regime permanente).
Verifica-se, com as respostas dos itens (a) e (b), que a condição não é satisfeita,
ou seja, a tensão de cisalhamento não é constante ao longo da ordenada z entre as
placas. Portanto, o regime é transiente.
Outra forma de verificar o regime é aplicar a equação 3.17.
2
2
xd
Vd
td
)V(d se regime permanente, 0
td
)V(d 02
2
xd
Vd
Como a viscosidade não é nula, para regime permanente é necessário que:
02
2
xd
Vd .
Com a função dada esta condição não é satisfeita, de forma que o regime não é
permanente.
_____Exemplo 3.5: corpo com área variável
A figura mostra um corpo sólido homogêneo, com simetria axial, de comprimento L
e área da seção transversal variando linearmente com x. O corpo, com condutividade
térmica k, é isolado termicamente nas laterais, e as temperaturas T1 e T2 são mantidas
constantes, de forma que ocorre transferência de calor em regime permanente da face 1
para a 2. Pede-se determinar a equação do perfil de temperaturas T(x) = f(x);
Fig. Ex. 3.5
isolamento Seção 2
x
corpo sólido
Seção 1 k
2T ; A 2
T ; A 1 1
Análise: É um regime permanente que pode ser considerado 1-D. O corpo é
homogêneo, mas a área é variável. Assim, não pode ser aplicada diretamente a equação
3.15 já deduzida para o balanço, porque uma das hipóteses da dedução (área constante)
não foi satisfeita. Entretanto, a equação básica do balanço (eq. 3.7, ou sua forma geral
FT – 2012/1 - Revisão 1 54
3.9) sempre vale, e deverá ser usada num elemento diferencial, numa posição x qualquer,
para chegar à equação do potencial em função de x.
Solução:
Partimos da equação do balanço (3.9) num elemento diferencial, conforme o
esquema a seguir, para concluir que F deve ser constante:
x
Elemento diferencial
x
FE FS
SGE FFFdt
dN ; regime permanente 0
dt
dN
0 SGE FFF ; sem geração SE FF ou F = Constante
Entretanto, F deve satisfazer a equação do fluxo 1-D (eq. 3.1):
dx
dPACteF
dx
dTAkF , para transferência de calor (1*)
A área é função linear de x: A(x) = a + bx ; substituindo na eq. do fluxo (1*) vem
dx
dT)bxa(kF
bxa
dx
k
FdT
(2*)
Com as variáveis separadas em (2*) podemos integrar para obter a função do
potencial T.
bxa dxkFdT (3*)
Fazendo u = a + bx du = bdx
)bxa(ln
b
uln
bu
du
bbxa
dx 111 (4*)
Usando o resultado (4*) na integração de (3*) vem:
1C)bxa(lnkb
FT
Para determinar a constante de integração aplicamos uma condição de contorno.
CC: x = 0, T = T1 11 C)a(lnkb
FT )a(ln
kb
FTC 11
Portanto, a equação do perfil fica:
)a(ln
kb
FT)bxa(ln
kb
FT 1
FT – 2012/1 - Revisão 1 55
])bxa(ln)a(ln[
kb
FTT 1
finalmente, )
bxa
a(ln
kb
FTT 1 que é a solução pedida.
Comentários adicionais:
Observe que o segundo termo é negativo, pois a < a + bx de forma que o termo
entre parêntesis é menor que 1 e o ln é negativo. Assim, T(x) é menor
que T1 para
qualquer x, o que é fisicamente correto.
Para chegar a uma solução numérica seria necessário ainda determinar as
constantes a e b. Para isso aplicamos as condições de contorno válidas para a área do
sólido:
CC1: x = 0, A = A1 a = A1
CC2: x = L; A = A2 A2 = A1 + bL b = (A1 - A2) / L
Então a área é dada por : x
L
AAAA 211
e a temperatura fica:
x
L
AAA
A
AAk
LFTxT
21
1
1
21
1 ln)(
)( explicitando a e b.
_____Exemplo 3.6: aleta com seção transversal constante
A figura mostra uma aleta longa, de comprimento L, engastada num bloco com
temperatura constante no tempo T0. A aleta possui área da seção transversal A
constante, e perde calor pelas laterais, por convecção, para o ar atmosférico a
temperatura T. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é h e a
condutividade térmica do material da aleta é k. Pede-se determinar a equação do perfil de
temperaturas T(x) = f(x) em regime permanente.
Fig. Ex. 3.6
x
x = 0
T
0
Ar
Fc
T
h
x = L
Bloco
Área A
Perímetro P
Fc
Análise: O Fluxo ocorre por difusão, transferindo calor ao longo do eixo da aleta (direção
x), ao mesmo tempo que ocorrem perdas de calor por convecção, ao longo da superfície
lateral da aleta em contato com o ar. Trata-se de um fluxo permanente tridimensional, cuja
distribuição exata é difícil de visualizar. Em linhas gerais, tem-se a temperatura
diminuindo ao longo de x e também do centro da aleta para as faces laterais (direções y e
FT – 2012/1 - Revisão 1 56
z). Entretanto, como os materiais usualmente utilizados em aletas possuem alta
condutividade térmica, pode-se desprezar, com pouco erro, as diferenças de temperatura
entre o centro da aleta e sua superfície. Com essas considerações simplificadoras, o
problema passa a ser descrito como um regime permanente unidimensional. O corpo é
homogêneo, mas a densidade de fluxo é variável, de forma que não pode ser aplicada
diretamente a equação 3.15, já deduzida para o balanço, porque uma das hipóteses da
dedução (densidade de fluxo constante) não foi satisfeita. Entretanto, a equação básica
do balanço (eq. 3.7, ou sua forma geral 3.9) sempre vale, e deverá ser usada num
elemento diferencial, numa posição x qualquer, para chegar à equação do potencial em
função de x.
Solução:
Passo 1: escrever a equação do balanço de energia
Partimos do balanço (eq. 3.9) num elemento diferencial:
x
Elemento diferencial
x
FE FS
Fc
cSGE FFFFdt
dN ; regime permanente 0
dt
dN
0 cSGE FFFF ; sem geração cSE FFF eq. (1*)
Podemos expressar FS em função de FE, tendo em vista que o elemento é
pequeno, como sendo:
x
x
FFF ES
, e usando esse resultado no balanço, eq. (1*), obtemos
0 cFxxd
Fd eq. (2*)
Entretanto, F deve satisfazer a equação do fluxo 1-D (eq. 3.1):
dx
dPACteF
dx
dTAkF , para transferência de calor (4*)
Substituindo a eq. do fluxo por difusão em (3*) vem:
02
2
cFx
dx
TdAk eq. (5*)
Entretanto, o fluxo por convecção é dado por:
)TT(xPhFc , eq. (6*)
sendo P o perímetro e AL = P x é a área lateral de contato do elemento diferencial com o
ar. Usando o resultado (6*) em (5*) vem:
FT – 2012/1 - Revisão 1 57
02
2
)TT(Ak
Ph
xd
Td eq. (7*)
A equação (7*) é uma equação diferencial que deve ser satisfeita em toda a aleta
para que exista a conservação de energia. A equação do perfil é dada pela sua solução.
Passo 2: resolver a equação diferencial do balanço de energia
A equação (7*) é uma EDO que não pode ser resolvida por integração direta,
porque suas variáveis (T e x) não podem ser separadas. A solução inicia-se com uma
transformação de variáveis,
Fazendo: TT dTd e Tdd 22
Com a diferença de temperatura em relação ao ar, , a equação (7*) fica:
02
2
Ak
Ph
dx
d eq. (8*)
Usando o método da equação característica (D2 – hP/kA = 0), obtemos duas soluções
reais para D, ou seja,
Ak
PhD . Chamando as duas soluções de m1 e m2, a teoria
informa que a solução é escrita como: xm
xm eCeC 21 21 , sendo que os valores
de C1 e C2 dependem das condições de contorno do problema.
Passo 3: aplicar as condições de contorno
O problema cita uma aleta longa, o que indica que a temperatura na sua ponta pode ser
considerada igual à do ar. Então, duas temperaturas são conhecidas:
C.C.1: T ( x = 0 ) = T0 000 TT)x(
C.C.2: T ( x = L ) = T 0 )Lx(
Aplicando as condições de contorno chegamos a C1 = 0 e C2 = 0 . Com isso a
solução fica:
Resposta final do problema
xme 0 sendo Ak
Phm .
Comentário final: É interessante comprovar a resposta, substituindo a solução na
equação original (8*). Para isso, notar que
xmem
xd
d 0 e que xmem
xd
d 022
2
FT – 2012/1 - Revisão 1 58
3.5. ANÁLISE QUALITATIVA DO TRANSIENTE UNIDIMENSIONAL
3.5.1 Transferência de calor
Consideremos um sólido homogêneo, com dimensões em x e y muito grandes em
relação à espessura (eixo z). Inicialmente a uma temperatura inicial homogênea Ti, a
chapa tem sua face inferior colocada em contato com uma superfície quente. A face
inferior é subitamente elevada à temperatura T1, enquanto que a face superior é mantida
sempre a Ti, menor que T1, segundo a figura 3.6.
Face superior - Fria
z
x
z
T ( °C )
gradiente
q
a - geometria b - perfil de temperatura
Face inferior - Quente
grad T
T0 Tf
z i
z i+1
TiTi+1
Figura 3.6
Nessa situação desenvolve-se um gradiente do potencial (temperatura T) com a
direção e sentido representados em 3.6.
Pergunta 1: qual o sentido do gradiente?
Observe o perfil de temperatura e faça as contas:
k
z
PPgrad
sendo 0
z
P 3.18
Como a derivada do potencial é negativa para o perfil dado na figura 3.6-b, o
gradiente tem sentido contrário ao eixo z.
Pergunta 2: qual o sentido da densidade de fluxo?
Esta é fácil, basta inverter o sentido do gradiente. O sentido é o do eixo z, ou seja,
a energia está sendo transportada da placa inferior para a superior.
Pergunta 3: o regime é permanente?
Podemos observar que o gradiente não é constante ao longo de z. Isto significa
que o fluxo também está variando no interior do sólido, sendo maior nas camadas
inferiores, diminuindo com a altura z. Isto significa que as temperaturas também irão
variar no tempo, conforme previsto pelo balanço na equação 3.13.
Pergunta 4: a temperatura aumenta ou diminui no tempo?
Já que o perfil é transiente, cabe a seguinte pergunta: a temperatura na placa está
aumentando ou diminuindo ao longo do tempo? Para uma resposta, observar que o
gradiente, e portanto a densidade de fluxo, está diminuindo com z . Com isso uma fatia de
FT – 2012/1 - Revisão 1 59
espessura z recebe um fluxo maior do que o fluxo que transmite para cima. Como
resultado a temperatura irá aumentar com o passar do tempo, em qualquer ponto no
interior da placa.
____ Análise qualitativa do transiente
A evolução dos perfis de temperatura ao longo do tempo é determinada com base
na equação de conservação, utilizando o raciocínio empregado no item anterior.
O perfis de temperatura que se desenvolvem ao longo do tempo são apresentados
na figura 3.7(a). Os fluxos de calor resultantes das distribuições de temperatura serão
também variáveis ao longo da placa, conforme apresentado na figura 3.7(b).
Para um tempo bem pequeno, próximo do momento
em que a temperatura da face
inferior foi aumentada, ainda não houve tempo para que o calor se difundisse por todo o
sólido, e o gradiente é bem grande junto à face inferior, gerando os perfis de temperatura
e fluxo de calor indicados com t~0.
z
Tini T1
t~0
too
t 3
t 2
t 1
z
0
t~0
toot 3t 2
t 1
q'oo
( W/m )2q'( °C )T
a b
Figura 3.7: Evolução no tempo dos perfis de temperatura (a) e da densidade de fluxo (b)
A partir dos perfis de gradiente e densidade de fluxo em t~0, podemos ver que
qualquer fatia horizontal na região já atingida pelo transporte de calor recebe mais calor
do que transmite para a fatia superior. Como resultado, há uma tendência de aumento da
temperatura, com o que diminuem os gradientes nas camadas próximas à face inferior da
placa, e consequentemente os fluxos nessas regiões.
Repetindo este raciocínio, foram montados os perfis para t1, t2, t3 e t da figura 3.7.
A difusão foi se processando na tentativa de igualar as temperaturas ao longo do sólido,
até que se desenvolve, após um tempo suficientemente longo, um fluxo uniforme ao longo
de z, representado pela reta vertical em 3.7b. Nesta situação não há mais variação de
temperatura com o tempo em nenhuma camada no interior do sólido e o regime torna-se
permanente. A condição para que ocorra o regime permanente é que os fluxos que
entram e saem sejam iguais, o que só ocorre com o perfil linear de temperatura, cujo
gradiente é constante. As temperaturas não se tornam iguais porque a face superior está
sendo continuamente resfriada para manter sua temperatura constante.
FT – 2012/1 - Revisão 1 60
3.5.2 Transferência de massa
Imagine o campo de concentração representado na figura 3.8, que se desenvolveu
sobre um solo saturado.
. A concentração da água no ar é o potencial de um fluxo difusivo de vapor d'água
saindo da superfície do solo e umedecendo o ar parado sobre o solo. Este campo de
concentrações tem uma intensidade dada pelo gradiente do potencial, segundo a direção
e sentido indicados na figura 3.8-a.
z
oo
3( kg/m )C
grad C
ba
Solo saturadoC
zi
z i+1
CiCi+1
MF
Csat
SF
EF
z
área A
Figura 3.8: a – perfil de concentração de vapor; b – balanço de massa.
Como sempre, o fluxo ocorre no sentido das concentrações decrescentes (sentido
do eixo z), ou seja, em sentido contrário ao do gradiente de concentração.
O perfil de concentrações mostrado em 3.8-a existe devido à água que está
migrando do solo para o ar. Na situação mostrada na figura ainda há diferenças de
concentração, e portanto o processo difusivo continua, pois o processo difusivo ocorre até
que o potencial torne-se homogêneo no domínio.
Na situação exposta, o gradiente é maior junto à face inferior do que na face
superior da fatia de ar. Segue que, no instante representado na figura, está entrando uma
quantidade maior de vapor do que a que sai, e como conseqüência a fatia ficará mais
úmida ao final do intervalo de tempo considerado.
____ Análise qualitativa do transiente
Imaginando que foi colocada uma placa de um material que absorve totalmente o
vapor, como a sílica gel, a uma altura H, o ar ficará com concentração nula de água em
z = H durante todo o tempo. Imaginando que no tempo t = 0 o ar estivesse com uma
concentração uniforme C, a seqüência de perfis de umidade e de densidade de fluxo de
vapor d'água que ocorrerão até estabelecer-se o regime permanente é análoga à do
problema anterior de difusão de calor, e está representada nas figuras 3.9a e 3.9b.
FT – 2012/1 - Revisão 1 61
z
t~0
too
t 3
t 2
t 1
z
0
t~0
toot 3t 2
t 1
Joo
( kg/sm )2J
CsatooC
3( kg/m )C
H
0
a b
Figura 3.9: Difusão Transiente de vapor de água - Concentração (a) e Densidade de Fluxo (b)
Pergunta importante: mas, porque foi incluído este item se o comportamento na figura 3.9
é exatamente igual ao da difusão do calor (fig. 3.7)?
Resposta honesta: o fato da pergunta ser feita é sinal de que a generalização já foi
compreendida, o que é muito bom.
Conclusão: nossa mente costuma trabalhar do particular (análise isolada dos dois casos
de difusão) para o geral (notação que engloba os dois casos)
3.5.3 Transferência de quantidade de movimento
A lei de Newton da viscosidade foi analisada no capítulo 2. Vale para escoamentos
laminares de fluidos Newtonianos e diz que a tensão de cisalhamento numa face paralela
à direção do escoamento é proporcional ao gradiente da velocidade na direção normal, ou
seja, à velocidade de deformação do fluido. Matematicamente este conceito foi dado pela
equação 2.6, repetida aqui por clareza.
z
V
z
V
z
V xxx
)()(
3.19
em que ““ é a propriedade do fluido chamada de Viscosidade Cinemática, com
dimensão [ L2 / T ].
Já verificamos (eq. 2.5) que a tensão de cisalhamento é uma densidade de fluxo de
quantidade de movimento, o que torna a equação de Newton similar às de Fick e Fourier.
Essa semelhança e outras analogias entre as equações serão discutidas no decorrer
deste item.
____ problema ilustrativo 1-D
Uma situação de grande interesse prático ocorre quando consideramos o fluido
entre duas placas planas bem próximas, de comprimento infinito, movendo-se com
velocidades diferentes, segundo a figura 3.10. Um exemplo da ocorrência desta situação
FT – 2012/1 - Revisão 1 62
é um eixo girando em um mancal lubrificado. Como o espaço livre é muito pequeno nos
mancais em relação à curvatura, a geometria dos problemas é equivalente.
FS
inf
V
V ( m/s )
grad V
a - geometria - 1D b - fluxos na camada considerada
V = 0
Fe
Fsx
z
z
FE
área A supF
R
z
Figura 3.10: Fluxo difusivo de quantidade de movimento
Como resultado da viscosidade do fluido a força F aplicada na placa superior é
transmitida como fluxo de quantidade de movimento através do fluido até a placa inferior.
Para manter a placa inferior parada é preciso aplicar uma reação R à força transmitida,
conforme aparece na figura 3.10 a.
____ balanço da quantidade de movimento
O balanço geral já foi apresentado na equação 3.13, em função das densidades de
fluxo e na equação 3.17, em função do potencial. Entretanto, como notado anteriormente,
algumas diferenças ocorrem pelo fato do potencial ser a velocidade, um vetor. Assim,
para melhor visualizar a análise com a notação de fenômenos de transporte, vamos
primeiro escrever o balanço de quantidade de movimento na forma de equilíbrio de forças
num sistema, usando a 2ª Lei de Newton. A seguir vamos analisar o resultado em
comparação com o previsto pelo balanço geral já apresentado, equação 3.13.
Vamos efetuar este balanço na camada de fluido de espessura z e área A
mostrada na figura 3.10 b.
t
tVttV
m
t
V
m
t
Vm
FFF SEx
)()()(
3.20
t
VV
mA)( tttSE
3.21
As densidades de fluxo podem ser calculadas pela equação da difusão da
quantidade de movimento, a partir da viscosidade e da taxa de variação da velocidade.
Analisando o perfil de velocidades na altura da camada considerada, mostrado na figura
3.10-b, vemos que a tensão de cisalhamento é maior na face superior que na inferior.
Com isso o lado esquerdo da equação 3.21 fica positivo, ou seja, aparece sobre a
FT – 2012/1 - Revisão 1 63
camada uma força no sentido positivo de x. Como o lado direito também deve ser positivo
vemos que a variação da velocidade no intervalo considerado deve ser positiva. Portanto,
a velocidade da camada aumenta no decorrer do intervalo, o que define uma situação
transiente.
Para comparação com o balanço segundo a equação 3.13, vamos dividir a
equação 3.21
pelo volume do elemento isolado.
t
VV
Vol
m
zA
A)( tttSE
t
VV
z
)( tttSE
3.22
Tomando o limite da equação 3.22 para z e t tendendo a zero, obtemos valores
instantâneos, válidos para um ponto:
td
)V(d
zd
d 3.23
em que considerou-se constante. Lembrando que V = G e que = D, para a
quantidade de movimento, vemos que o balanço da equação 3.23 é igual ao da equação
3.13 anterior, a menos do sinal.
Conclusão: a análise da quantidade de movimento tem sinal invertido. Por isso, quando a
densidade de fluxo aumenta com x, a velocidade da camada considerada também irá
aumentar com o decorrer do tempo. Com calor e massa, se a densidade de fluxo aumenta
com x, o potencial diminui com o tempo.
____ Análise qualitativa do transiente
Vamos imaginar que as placas inicialmente paradas foram colocadas em movi-
mento relativo abruptamente, de forma que a placa superior atinge instantaneamente uma
velocidade V em relação à inferior. Repetindo o raciocínio utilizado na apresentação do
balanço de quantidade de movimento no item anterior, e de forma análoga ao já efetuado
com o balanço de massa e de calor, podemos traçar os perfis de velocidade e de
densidade de fluxo conforme a figura 3.11.
z
t~0
too
t 3
t 2
t 1
z
0
t~0
too
t 3
t 2
t 1
oo
( kg/ms )2
Vsup
( m/s )V
H
0
a b
0
Figura 311: Transiente do potencial (a) e do fluxo de quantidade de movimento (b)
FT – 2012/1 - Revisão 1 64
Nos instantes iniciais existe um grande gradiente de velocidade junto à placa
superior, e o restante do fluido ainda não se movimenta; esta situação é descrita pelo
perfil de velocidades t ~0. O gradiente elevado provoca o aparecimento de uma tensão de
cisalhamento alta, e qualquer camada na região afetada está sendo acelerada, pois
recebe um fluxo maior de quantidade de movimento do que o que transmite para as
camadas inferiores (confira pelo gradiente). Como conseqüência o perfil de velocidades
evolui, à medida que passa o tempo, para os representados por t1, t2 e t3. Neles percebe-
se que a quantidade de movimento transferida de cima para baixo propaga-se
gradualmente para todo o fluido, e que as camadas continuam sendo aceleradas, pois o
fluxo de quantidade de movimento que entra é maior do que o que sai de cada camada,
devido ao gradiente decrescente.
À medida que o perfil de velocidades vai ficando menos abrupto com o tempo, o
gradiente vai se tornando mais uniforme, de forma que as acelerações ficam menores e
as camadas mudam cada vez menos de velocidade. Esta situação conduz ao regime
permanente, representado por t.
No regime permanente o perfil de velocidades é linear (gradiente constante),
resultando que a quantidade de movimento que uma camada recebe da camada superior
é a mesma que ela transmite para a inferior. A aceleração é nula e as velocidades são
constantes no tempo. A força efetuada na placa superior propaga-se para a inferior devido
à este fluxo de quantidade de movimento, desenvolvido no fluido através das tensões de
cisalhamento.
3.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4.1 Suponha transferência 1-D de calor por difusão em regime permanente através do
corpo sólido com simetria axial da figura. Supondo propriedades constantes e uniformes
faça um esquema da distribuição de temperaturas ao longo do eixo x, explicando
brevemente seu raciocínio e a forma da curva. Pode-se dizer que a densidade de fluxo na
face 1 é igual à que existe na face 2?
T1 > T2
isolamento
Seção 2
x
corpo sólido
Seção 1
A1 < A2
FT – 2012/1 - Revisão 1 65
3.2 Considere a transferência de calor por difusão, em regime permanente, no sólido
cilíndrico da figura, homogêneo e totalmente isolado nas laterais. Obs: hipótese de fluxo
1-D na direção x.
a
isolamento
b
x
amostra
L L
A1 A2
1 2
Ta > Tb
A1 = 2 A2
L1 = L2
Condutividade = k
a) Sendo o regime permanente, o fluxo que atravessa a seção (a) é diferente do fluxo
que atravessa a seção (b)? Discutir e fundamentar sua resposta.
b) A densidade de fluxo que atravessa a seção (a) é igual à que existe em (b)?
c) Trace um gráfico da densidade de fluxo em função de x.
d) Sabendo que T = 20°C entre a face (a) e a seção com x = L1, calcule T entre as
seções situadas entre x = L1 e x = L1 + L2.
e) Sabendo que Ta = 200°C, calcule Tb e trace um gráfico de T(x).
f) Se k = 50W/m.K e L1 = L2 = 0,20m e A1 = 2 cm2, calcule o fluxo transferido de (a)
para (b).
3.3 Considerando um caso em que k2 = 2k1 e com os demais dados iguais ao do
exercício 3.2 conforme segue: k1 = 50 W/m.K; Ta = 200°C; T = 20°C entre x = 0 e a
seção com x = L1; A1 = 2cm2. Pede-se:
a) Determine T entre as seções situadas entre x = L1 e x = L1 + L2.
b) Trace o perfil de temperaturas em função de x.
c) O que aconteceu com a temperatura na face (b) e com o fluxo em relação ao
exercício anterior? Discuta e explique o resultado.
4.4 Desenhe um perfil de potencial em um campo 1-D em que o potencial aumenta no
sentido positivo do eixo x mas o gradiente diminui.
4.5 Imagine uma transferência difusiva unidimensional na direção do eixo x num meio
homogêneo. Pede-se:
a) traçar um perfil do potencial em que a densidade de fluxo seja positiva e diminua com a
ordenada x;
b) o mesmo para uma densidade de fluxo positiva aumentando com x;
c) quais as condições físicas que devem ser satisfeitas nos contornos e no interior do
meio para ocorrer o transporte em regime permanente com os perfis traçados em “a” e
“b”?
3.6 Imagine que os corpos condutores de calor com seções prismáticas inicial e final
conforme mostradas na coluna à esquerda da figura sejam colocados entre dois banhos
termostáticos mantidos a temperatura constante, um cedendo calor e outro retirando calor
dos corpos, em regime permanente. As laterais são isoladas, de forma que todo fluxo que
penetra no corpo por uma extremidade é retirado pelo banho situado na outra
FT – 2012/1 - Revisão 1 66
extremidade. Na coluna a direita estão alguns diagramas qualitativos de densidade de
fluxo. Relacione cada corpo com a curva de densidade de fluxo correspondente.
A
B
C
D
x
1
2
3
x
7
5
4
6
x
E
D x
D x
3.7 Um tronco de cone maciço de condutividade k
tem a seção transversal circular com área A em m2
dada por A = x3/2 com x em metros. A superfície lateral
é isolada de forma que a transmissão pode ser
considerada por um modelo unidimensional, embora
não seja, rigorosamente falando. Sabe-se que em
regime permanente a base superior, em x1, está a T1 e
a base inferior, em x2, está a T2. Pede-se: (a) - Deduzir
uma expressão para a distribuição de temperatura T(x);
(b) – O fluxo de calor através do cone se x1 = 0,075m,
T1 = 100°C, x2 = 0,225m e T2 = 20°C e o material for
alumínio (k = 230 W/mK).
T1
0
x1
x2
T2
3.8 Dado o corpo com simetria axial da figura com 1m de comprimento, homogêneo,
com transferência de calor em regime permanente, isolado nas laterais, com seção
transversal variando linearmente com x, pede-se:
a) determinar a equação do perfil de temperaturas T(x) = f(x);
b) sendo T1 = 400°C, F = 200W, k = 250W/m.K, determinar T2.
T1 > T2
isolamento
Seção 2
x
corpo sólido
Seção 1
A1 = 0,02 m2
A2 = 0,01 m2
FT – 2012/1 - Revisão 1 67
3.9 Uma barra vertical de aço (k=25W/m.K) com 1m de comprimento e seção
transversal quadrada de 0,05x0,05m está exposta ao ar e suporta em seu topo ( x = 1m)
um bloco que gera calor e mantém uma temperatura estável ao longo do tempo, atuando
como fonte quente. A barra está engastada em x = 0 em outro bloco com temperatura
constante. Sabe-se
que a distribuição de temperaturas ao longo da barra é dada por
T(x) = 100 - 50x + 100x2 (°C), sendo x em metros. Pede-se
a) qual o fluxo de calor retirado da fonte de calor (x = 1,0m) pela barra por difusão;
b) qual o fluxo de calor transferido por difusão na base (x = 0);
c) qual o fluxo transferido ao ar por convecção;
d) sabendo que a temperatura do ar ambiente é de 30°C, estimar um coeficiente médio
de transferência por convecção.
3.10 Calor é conduzido através da barra de seção 0,1mx0,1m da figura. As laterais são
isoladas termicamente. Em um dado instante foi determinado o perfil de temperaturas
dado na figura. Pede-se:
a) montar a equação do balanço de energia para o elemento “i”
b) calcular os fluxos de calor que entram e saem do elemento “i”, usando aproximação
por diferenças finitas
c) qual a taxa de variação no tempo da temperatura do elemento “i”?
x (m)
T (°C)
100
150
200
i - 1 i i + 1
0,10 0,10 0,10
0,10
isolamento
0,10
isolamento
Material da barra = cobre
k = 400 W/mK
= 8900 kg/m3
c = 385 J/kgK
3.11 A figura (a) mostra um perfil de concentração de vapor d´água sobre um solo de
superfície plana que pode ser considerada infinita e a figura (b) realça uma camada de ar
estagnado de espessura z entre as cotas zi e zi+1. Pede-se:
a) Existe fluxo de massa através do ar
em regime permanente? Explique.
b) Indique a direção do gradiente e do
fluxo de massa
c) Informe, justificando sua resposta, se
a camada de ar "i" representada na
figura "b" está umedecendo, secando
ou com umidade constante ao longo
do tempo.
z
oo
3( kg/m )C
ba
C
zi
z i+1
CiCi+1 Csat
SF
EF
z
zi
z i+1
FT – 2012/1 - Revisão 1 68
3.12 Considerando uma barra metálica de seção constante com as duas extremidades
engastadas em dois blocos com temperatura constante T0 e T2L, que atuam como
sumidouros de calor. Pergunta-se quais situações físicas nos contornos laterais da barra
são compatíveis em regime permanente com as curvas de densidade de fluxo 1 e 2 dadas
no gráfico à direita.
2L
1
2 x
L
0
2L
x D xT2LT0
3.13 A figura mostra uma barra de material homogêneo condutor de calor, com seção
quadrada de lado “a” e comprimento 6L. Na parte central há uma região com altura
reduzida para “a/2” seguida de um aumento linear até a altura original. Sabendo que T0 =
T(x = 0) é a máxima temperatura na barra quando ocorre um fluxo “F” de calor em regime
permanente e adotando a hipótese de fluxo 1-D na direção x, o que é aceitável se L >> a,
pede-se:
a) trace um gráfico da densidade de fluxo em função de x;
b) considerando que a diferença de temperaturas no trecho entre x = L e x = 2L é T =
10°C, calcule a condutividade térmica em função das variáveis fornecidas (a, L e F);
c) deduza a equação de T(x) para a região de aumento linear da área (2L x 4L);
.
a
isolamento
x
2L
amostra
a
a
a /2
2L2L
d) com a informação sobre a
diferença de temperaturas do item
“b” calcule T2 entre x = 2L e x =
4L, bem como a diferença total de
temperaturas no corpo.
Resposta: b) FL/(10.a2); d) 27,7°C; 67,7°C
3.14. A figura mostra uma chapa metálica isolada nas laterais e na face inferior,
recebendo radiação uniforme com uma densidade de fluxo I = 2000W/m2 na sua face
superior. A dimensão perpendicular ao desenho é b = 0,40m. A absortividade da chapa é
= 0,8. As laterais estão engastadas em blocos com temperatura constante T0 que atuam
como sumidouros de calor. Usando um balanço de energia e considerando as perdas de
calor por convecção desprezíveis, além da simetria, pede-se:
a) qual o fluxo e a densidade de fluxo que atravessam as seções x = 0 e x = L em regime
permanente?
b) Qual o módulo do gradiente de temperatura na seção x=0 e x = L, sabendo que k =
50W/m.K?
c) Qual a seção com temperatura máxima Tmax ?
FT – 2012/1 - Revisão 1 69
d) Escreva a equação do balanço de energia para um elemento diferencial de
comprimento x, situado entre x = 0 e x = L;
e) A partir do resultado de “d”, determine a equação diferencia que relaciona T(x) a x em
regime permanente;
f) Integrando “e” e considerando as condições de contorno To em x = 0 e Tmax em x = L
determine a equação de T(x) em regime permanente.
T
0
e = 0,05m
b = 0,40m
2L = 1,00m
x
x = 0 x = 2L
I = 2000 W/m2
T
0
isolamento isolamento
3.15. Considere uma chapa de metal com 0,3 x 0,3m, massa total de 3,75kg e calor
específico 2770 J/kg°C. A chapa foi aquecida a 200°C e colocada em contato com o ar
ambiente em suas duas faces, perdendo calor por convecção. Nessas condições foi
medida uma taxa de variação de temperatura dT/dt = - 0,022°C/s, quando o ar estava a
25°C. Pede-se: a) considerando uma distribuição uniforme de temperatura na chapa,
escrever o balanço de energia transiente; b) calcular o coeficiente de transferência por
convecção no instante considerado. (Resposta: 7,25W/m2°C)
3.16 A figura mostra a temperatura em função de x obtida em regime permanente no
centro de duas barras cilíndricas idênticas, de alumínio (k = 237 W/m.K) , com diâmetro
25mm e comprimento 2m, cujas extremidades estão às temperaturas de 200°C e 20°C.
Sabe-se que uma delas está completamente isolada em sua superfície lateral e a outra
possui a superfície em contato com o ar. Pede-se:
a) Identificar a barra em contato com o
ar, justificando;
b) monte o balanço de energia para um
elemento da barra em contato com o
ar;
c) usando as informações do gráfico e
admitindo um elemento finito situado
entre x = 0,10 e x = 0,20m, calcular os
fluxos de entrada e saída, utilizando
aproximação por diferença finita
centrada, com x = 0,10m.
d) com a informação do item "c" estime o
coeficiente de perda de carga por
convecção, admitindo uma tem-
peratura média sobre o elemento
finito.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
FT – 2012/1 - Revisão 1 70
em branco
FT – 2012/1 - Revisão 1 71
CAPÍTULO 4
DIFUSÃO EM 2 E 3 DIMENSÕES
No capítulo anterior tratamos do transporte difusivo na condição unidimensional.
Neste capítulo vamos iniciar a quantificação para domínios bidimensionais e
tridimensionais. Para isto são necessárias inicialmente algumas definições e a introdução
de uma notação mais geral.
4.1. FUNDAMENTOS DA DESCRIÇÃO 3-D
____ Campo e Potencial
Trabalharemos com processos que dependem da distribuição espacial das
grandezas. Por isso, no caso mais geral, precisaremos conhecer a distribuição contínua
do potencial em termos das coordenadas espaciais e temporais.
CAMPO
A distribuição contínua de uma grandeza em um meio, é chamada campo. Um
campo pode ser descrito matematicamente ou não. Hoje são muito comuns as saídas de
modelos de computador com campos descritos por meio de uma escala de cores.
Outra forma comum de representação gráfica dos campos utiliza as linhas
equipontenciais ou de iso-valores para visualizar a distribuição da grandeza. Um exemplo
certamente muito conhecido de representação de campo aparece nos mapas topográficos
planialtimétricos. Podemos considerar as curvas de nível como linhas de iso-valores do
campo potencial gravitacional.
Conforme a grandeza cuja distribuição é descrita pelo campo, temos campos
escalares, vetoriais e tensoriais. Alguns exemplos:
Campos Escalares: temperatura, massa específica, concentração.
Campos Vetoriais: velocidade.
Campos Tensoriais: deformação, tensão.
A figura 4.1 mostra um exemplo de representação de um campo escalar
bidimensional por meio de linhas de isovalores. A figura mostra
as concentrações de
nitrato em mg/L encontradas na água subterrânea do bairro do Ipê em Ilha Solteira.
FT – 2012/1 - Revisão 1 72
Lago
2
2
4
4
6
6
2
4 22
4
6 8
8 610
Figura 4.1: Exemplo de campo escalar - Concentração de Nitrato (mg/L)
no Bairro Ipê. Fonte: Adaptado de Oliveira et al. (1997).
POTENCIAL
No capítulo 2 vimos que a distribuição desigual das grandezas no meio (campos
não uniformes) causa uma força motriz, ou seja, induz um transporte da grandeza através
do meio. Por isto, em termos genéricos, diz-se que um campo representa um Potencial, P.
Lembre-se que a temperatura é um potencial de transferência de calor, a
concentração um potencial de transferência de massa e a velocidade é um potencial da
transferência de quantidade de movimento. Em escoamento subterrâneo, a carga
hidráulica total é o potencial do escoamento da água no solo. A figura 4.2 mostra um
exemplo de representação do campo potencial em um aquífero por meio de seus
isovalores, que são as curvas de carga piezométrica, em metros.
16
12
16
6
8
10 Lago
8
10
12
14
16
18
14
Figura 4.2: Exemplo de campo potencial – Carga piezométrica (m) do aqüífero do
Bairro Ipê. Fonte: Adaptado de Haraguchi (1996).
FT – 2012/1 - Revisão 1 73
As linhas de isovalores de um campo potencial 2-D são chamadas também de
linhas equipotenciais.
INTENSIDADE DE CAMPO
A intensidade de um campo é, por definição, dada pelo gradiente do potencial.
k
z
Pj
y
Pi
x
PPPgradI
4.1
Observe que o gradiente do potencial é um vetor que, por definição, tem direção
perpendicular às linhas equipotenciais e sentido do potencial menor para o maior.
Podemos dizer, com esta notação geral, que as transferências difusivas se dão de
forma proporcional à intensidade de campo potencial.
DENSIDADE DE FLUXO D
Densidade de fluxo é a quantidade da grandeza transferida por unidade de área e
por unidade de tempo. Representa então uma taxa de transferência por unidade de área.
Experimentalmente sabe-se que, nos fenômenos difusivos, a densidade de fluxo é
diretamente proporcional à intensidade do campo I:
PCICD 4.2
em que o coeficiente C é a constante de proporcionalidade ou Coeficiente
Fenomenológico, porque seu valor depende da grandeza considerada.
A densidade de fluxo é um vetor, porque resulta de um escalar multiplicando o
vetor gradiente. A densidade de fluxo é dada por suas componentes cartesianas conforme
segue:
kDjDiDD zyx
4.3
Com as equações 4.1 e 4.2 vemos que as componentes de 4.3 são dadas por:
x
PCDx
y
PCDy
z
PCDz
4.4
Portanto a direção do vetor densidade de fluxo é a direção do gradiente em cada
ponto do campo. O sinal negativo indica que o fenômeno de transferência ocorre sempre
no sentido do decréscimo do potencial (e portanto, em sentido contrário ao sentido do
vetor gradiente que aponta sempre do menor para o maior valor do campo).
4.2. EQUAÇÃO DOS PROCESSOS DIFUSIVOS EM 3 DIMENSÕES
Um processo difusivo geral é descrito pela sua densidade de fluxo, dada pela
equação 4.2. Neste item iremos estudar como ela é aplicada à transferência de massa,
FT – 2012/1 - Revisão 1 74
calor e quantidade de movimento num caso geral de domínio tridimensional e fenômeno
transiente.
____ Equação de Fourier
A lei de Fourier da condução de calor foi estabelecida em 1822. Ela é um exemplo
clássico de descrição empírica, pois foi a base para o desenvolvimento da teoria da
condução de calor, que ocorreu muito tempo antes que a física real do processo
começasse a ser entendida. No caso do calor, a equação geral 4.2 toma a forma:
Tk'qDq
4.5
em que a constante fenomenológica de proporcionalidade e o campo potencial foram
escritos com uma notação comum na transferência de calor:
q’ = densidade de fluxo de calor ( W/m2 ou J / sm2 )
k = condutividade térmica ( W / m°C )
T = temperatura ( °C )
____ Equação de Fick
A equação da difusão de massa foi proposta pelo pesquisador alemão Adolph Fick,
em artigo publicado em 1855:
ABAA CDJD
, 4.6
em que:
JA = densidade do fluxo difusivo de massa da substância “A” ; ( kg / s )
CA = concentração do soluto (substância A) no meio (substância B) ; ( kg/m3 )
DA,B = difusividade de A em B ; ( m2/s ).
O sinal negativo, como sempre, indica que o fluxo ocorre no sentido das
concentrações decrescentes, ou seja, em sentido contrário ao do gradiente de
concentração.
____ Equação de Darcy
A equação da velocidade de percolação de água em meios porosos, conhecida
como equação de Darcy, foi apresentada no capítulo 2 (eq. 2.7). Lembrando que a
velocidade é a densidade de fluxo de volume, num caso geral de escoamento
tridimensional, a equação de Darcy fica:
hKVDVolume
4.7
em que:
V = velocidade de Darcy (ou velocidade fictícia ou aparente) (m/s)
K = condutividade hidráulica saturada ou permeabilidade (m/s)
h = carga hidráulica total, definida na equação 2.6 (m)
FT – 2012/1 - Revisão 1 75
4.3 RELAÇÃO ENTRE FLUXO E DENSIDADE DE FLUXO
Vimos nos capítulos anteriores que o fluxo é o resultado da multiplicação da
densidade de fluxo por uma área. Entretanto, o fluxo é um escalar e não um vetor. Assim,
para usar uma definição mais rigorosa do fluxo é necessário redefinir a relação, usando a
definição vetorial da área e o produto escalar de vetores:
____ Caso Particular: Densidade de Fluxo Constante na Área
SDF
4.8
em que o vetor S
possui módulo igual à área da seção, e direção perpendicular à
superfície.
VISUALIZANDO A EQUAÇÃO 4.8
A melhor forma de entender a equação 4.8 é entender fisicamente o seu significado
com um exemplo fácil de ser visualizado, como o fluxo de massa.
Considere uma parede porosa inferior saturada de água e uma parede superior
contendo sílica gel, uma substância que absorve toda a água e umidade do ar com o qual
entra em contato, conforme a figura 4.3-a. Em regime permanente, cria-se um campo com
variação linear da concentração de vapor de água no ar, conforme o gráfico na fig. 4.3-b.
Parede superior - seca
Parede inferior - saturada
z
x
z
C
Csat0
gradienteFluxo
a - geometria b - perfil de concentrações
Figura 4.3: Difusão unidimensional de vapor de água
No regime permanente da figura 4.3 qualquer superfície horizontal é atravessada
pelo mesmo fluxo de vapor de água, porque toda a água que sai da placa inferior é
absorvida na superior e não existe acúmulo de umidade no ar com o passar do tempo.
Imagine que a densidade de fluxo tenha módulo Dvap = 1 g/sm2. Pela geometria do
problema sua direção é vertical (eixo z) e o sentido é positivo. Imagine agora uma
superfície horizontal qualquer nesse domínio, situada numa cota em que a concentração
de vapor de água seja Cvap g/m3. Se pudéssemos tingir várias partículas de vapor de água
veríamos que seu deslocamento médio é para cima.
A velocidade do vapor de água não depende da área considerada. Assim, imagine
a situação da figura 4.4-a, em que pegamos 1m2 de área e identificamos o volume
hachurado, que passa através da área em um segundo. O volume se desloca com uma
velocidade média dada por uz = z / dt . Essa situação é examinada no caso (a) a seguir:
FT – 2012/1 - Revisão 1 76
L
z
Volume no tempo t
a - área perpendicular a D
Volume no tempo t + dt
CG (t)
CG (t + dt )
D S
b - área com inclinação qualquer
z
S
Vol
Figura 4.4: identificação do volume que atravessa a área S
Caso a) Área perpendicular à densidade de
fluxo:
O fluxo é dado pela massa que atravessa a área em um segundo, que é a
concentração de vapor no volume, Cvap multiplicada pelo volume Vol.= S 1z. Assim
temos:
t
zSC
t
VolC
t
m
F vapvap
vap
vap
1
SDS
t
zCF vapvapvap
em que )()()(; 23 m
skg
s
m
m
kguC
t
zCD zvapvapvap
Entretanto, como os vetores são paralelos nesse caso,
1)(cos SDSD vapvap
de forma que podemos dizer neste caso mais simples que SDFvap
c.q.d.
Caso b) Área com inclinação qualquer
No caso da seção com inclinação qualquer da figura 4.4-b, vemos que o volume
tem forma de trapézio com base z e altura L, ou seja: Vol = zL1.
Lembrando que L = S cos , o fluxo fica:
1)(cos1
S
t
zCL
t
zC
t
VolCF vapvapvapvap
SDFSDF vapvapvap
)(cos c.q.d.
Conclusão:
Como a dedução acima não depende do ângulo , a área poderia ter uma inclinação
qualquer, e fica demonstrado que, quando a densidade de fluxo é constante ao longo
da área, vale:
ADF
FT – 2012/1 - Revisão 1 77
Exemplo 4.1:
Uma trincheira de drenagem intercepta um aquífero numa seção retangular com 2m de altura,
dada em m2 por A = 50 i 25 j . A velocidade de percolação da água na seção considerada
é dada em m/dia por V = 1,5 i 5 j . Calcule o fluxo de volume (vazão) de água a ser
retirada da trincheira, para que a água não se acumule.
Análise:
Trata-se de um caso de densidade de fluxo constante ao longo da área, pois a velocidade não é
função de x ou de y. Assim, deve ser usada diretamente a equação 4.8. O esquema a seguir
permite visualizar a geometria do problema:
A
x
Ay
A = A n
n
A = z L
12,5
25
2
y
12,5
-25
y
x
x
z 0
0
5,0
3,0
V
Área A
Solução: d/mjij,iADF 32751251502550053
Comentários: A solução é teórica porque, na prática, a abertura da vala e o bombeamento irão
alterar as condições de contorno, mudando as cargas e a direção da velocidade nas proximidades
da abertura. Entretanto, o procedimento serve para ilustrar o cálculo, assim como permite
introduzir a discussão sobre o valor negativo do fluxo. Afinal, o que significa este sinal?
____ Sobre o significado do sinal na equação 4.8
Na convenção utilizada na equação unidimensional o sinal do fluxo indicava o sentido do
vetor densidade de fluxo. Na equação 4.8, válida em 2 e 3 dimensões, o sinal indica diretamente
se o fluxo é de entrada ou de saída. Devemos lembrar que o sentido do vetor área é de dentro
para fora, quando são definidas superfícies fechadas.
Toda vez que o ângulo entre os dois vetores for > 90° o produto escalar será negativo.
Isso só ocorre nos fluxos de entrada.
Por outro lado, um ângulo <90° indica uma situação entre os vetores que só ocorre em
áreas de saída. Veja o esquema a seguir com a superfície fechada de um Volume de Controle:
Figura 4.5
A1 A2
D1
D2
2
1
Área de
Área de Saída
Vol.
Entrada Controle
FT – 2012/1 - Revisão 1 78
____ Caso Geral: Densidade de Fluxo Variável
É fácil ver que a equação 4.8 só é valida quando a densidade de fluxo for constante
ao longo da seção. Numa forma geral, quando tanto o valor quanto a direção do vetor
densidade de fluxo variarem ao longo da área o fluxo é expresso pela soma das
contribuições de cada elemento diferencial de área:
AA dsnsDsdsDF )()( 4.9
em que “n” é o versor normal ao elemento diferencial de área ds.
VISUALIZANDO A EQUAÇÃO 4.9
Compreendendo exatamente a equação 4.8 fica mais fácil entender a equação
mais geral 4.9, em que tanto a inclinação da área pode ser variável quanto a densidade
de fluxo. Para isso vamos nos basear na figura 4.6.
Parede seca
Parede saturada
z
x
Área S
Fluxo
3
21
D 1
S 1
D 2
D 3
S2
S3
1Vol
2Vol
3Volz
Figura 4.6: Seção qualquer aproximada por trechos planos
A área S atravessada pelo fluxo que queremos calcular aparece na figura 4.6
aproximada por 3 segmentos planos de áreas S1, S2 e S3. O fluxo difusivo de massa é
aproximado pela somatória de fluxos cruzando cada uma das áreas planas:
)(cosS
t
z
C
t
Vol
CFF ii
i
i,vap
i
i,vapivap
Observe na equação anterior que cada um dos volumes Voli indicados na figura
4.6 (b) é calculado como no caso (b) da figura 4.4, ou seja, como trapézio.
iiivap SDFF
Quando o aumenta o número de áreas planas que aproximam a área S
considerada, a aproximação fica cada vez mais exata até que no limite temos o fluxo
exato dado por:
S
n
i
ii
n
vap sdsDSDF
.)(.lim
1
..eq. 4.9, . c. q. d.
FT – 2012/1 - Revisão 1 79
No exemplo de visualização da equação 4.9 trabalhamos com um fluxo de massa
apenas porque é mais fácil idealizar um volume de vapor de água movendo-se no ar
parado. A equação 4.9 é válida para qualquer fluxo difusivo, seja ele de massa, calor ou
de quantidade de movimento. Uma notação equivalente à da equação 4.9 é:
Ad)A(DF
A
____ A equação 4.9 aplica-se também a fluxos advectivos
Na verdade, vimos em FT1 que a equação 4.9 é válida também para fluxos
advectivos, com pequenas adaptações de notação. O que muda é apenas o cálculo da
densidade de fluxo. Veja os exemplos de fluxo de volume e de grandezas extensivas.
Para o Fluxo de volume, temos:
dA.VQF AVol 4.10
para velocidades perpendiculares à área dA.VQ
A 4.11
e para velocidades constantes ao longo da área AVQ 4.12
As 3 equações anteriores mostram que a velocidade é a densidade de fluxo
advectivo de volume.
Para uma Grandeza extensiva N qualquer, vale:
dA.VF AN 4.13
Analisando a eq. 4.13 vemos que a densidade de fluxo advectivo de uma grandeza
N é “ V
”.
Finalizando devemos ressaltar que no caso do fluxo de quantidade de movimento a
notação matemática rigorosa deve levar em conta que o campo potencial não é escalar, e
sim vetorial, mas o significado físico é o mesmo tratado no exemplo deste item.
O Fluxo através de uma seção qualquer é dado pela
integral do produto escalar entre o vetor densidade de fluxo
e o vetor área ao longo de toda a seção de interesse.
FT – 2012/1 - Revisão 1 80
Exemplo 4.2:
A figura mostra o corte transversal de um corpo
com 1m de espessura na direção z, perpendicular
ao papel, submetido a uma densidade de fluxo
bidimensional dada por D = 200 x i + 50 y j (W/m2).
A condutividade térmica do material é k=50W/m.K.
Pede-se determinar a função T(xy) e o fluxo que
atravessa a seção inferior A1 indicada na figura.
y
x
0,5m 1,5m
1,5m
1,0m A 1
Solução:
a) Cálculo de T(x): Utilizamos as equações 4.3 e 4.4 para escrever:
dx
dTkDx xdx
dT 20050 x
dx
dT 4 122 ctex)x(T
dy
dTkDy ydy
dT 5050 y
dy
dT 1 222
1 ctey)y(T
Dos 2 resultados acima vem:
Cteyx)y,x(T
2
2
2
2
Para determinar a constante de integração seria necessário conhecer a temperatura
em algum ponto, o que não é possível. Entretanto, isto não impede o cálculo do fluxo, pois
a constante não afeta o gradiente do potencial.
(b) cálculo do fluxo
Inicialmente é necessário definir a área A1.em termos vetoriais. Observe o esquema:
Temos:
ndszAd
e também jdAidAAd yx
,
dyzsendszdAx
dxzcosdszdAy
Portanto,
jdxzidyzAd
dAx
dAy
A = dA nd
n
s
dA = z ds
ds
dy
dx
A contribuição da densidade de fluxo na área dA é dada por:
jdxzidyzjyixAdDdF
50200
Efetuando o produto escalar e lembrando que z = 1
dxydyxdF 50200
O fluxo total é a somatória de todas as contribuições ao longo da área A, dada pela
integral de dF:
FT – 2012/1 - Revisão 1 81
51015150 50200,y ,y,x ,xA dxydyxdFF
A integral dupla não pode ser avaliada porque os limites não estão separados. Mas,
sobre o limite de integração dy = dx/2. Isto transforma a integral dupla em simples:
5150 50100,x ,x dxyxF
Ainda não pode ser avaliada porque sobre a área y é função de x. Para resolver,
temos que notar que: x,,y 50750 . Assim, o fluxo fica:
537537
2
7525537100
51
50
251
50
,x,xdxx,xF
,
,
,
,
O Fluxo é F = 37,5W.
4.4. BALANÇO GERAL DAS GRANDEZAS TRANSPORTADAS
Um dos raciocínios chave do capítulo 3 foi o que indica o que acontece com uma
fatia do meio submetida a fluxos diferentes de entrada e saída. Desenvolveremos agora
uma equação geral para descrever o balanço.
Numa determinada região submetida a fluxos de uma grandeza qualquer, temos
que:
Taxa de Variação no tempo = Fluxo de entrada - Fluxo de saída
Vamos considerar que G é a quantidade da grandeza contida em uma unidade de
volume do meio, e que os fluxos serão expressos pela densidade de fluxo D. Por
simplicidade, considere inicialmente uma região com variação bidimensional da densidade
de fluxo, segundo a figura 4.7.
y
x
y
Dy,E
Dx,SDx,E P
Dy,S
x
z
Figura 4.7: Balanço de fluxo difusivo de grandeza extensiva
Quantidade da grandeza no volume:
zyxGN 4.14
Conservação:
FT – 2012/1 - Revisão 1 82
)()( ,,,, SyEySxEx FFFFt
N
4.15
Substituindo a quantidade da grandeza (4.14) e dividindo o balanço (4.15) pelo volume,
temos:
zyx
FF
zyx
FF
t
G SyEySxEx
)()( ,,,, 4.16
Fluxos de entrada:
zx)yy,x(DzxDF yE,yE,y 2 4.17
zy)y,xx(DzyDF xE,xE,x 2 4.18
em que (x, y-y/2) define a seção de entrada na direção y (face inferior na figura 4.7),
visto que o ponto (x,y) fica no meio do elemento de volume. Da mesma forma (x-x/2,y)
define a seção de entrada na direção x (face esquerda na figura 4.7).
Fluxos de saída:
zx)yy,x(DzxDF yS,yS,y 2 4.19
zy)y,xx(DzyDF xS,xS,x 2 4.20
Saldo de fluxos:
Eixo x: zy)y,xx(D)y,xx(DFF xxS,xE,x
22
4.21
Eixo y zx)yy,x(D)yy,x(DFF yyS,yE,y
22
4.22
Dividindo os saldos de fluxos pelo volume e substituindo em 4.16:
y
y
yxD
y
yxD
x
y
x
xDy
x
xD
t
G yyxx
)2,()2,(),2(),2( 4.23
Tomando um limite para x, y, z e t tendendo a zero:
y
D
x
D
t
G yx
4.24
A equação bidimensional pode ser facilmente expandida para um caso geral 3-D:
z
D
y
D
x
D
t
G zyx
4.25
FT – 2012/1 - Revisão 1 83
A equação 4.25 pode ser colocada em notação vetorial, terminando nosso trabalho
de expressar o balanço geral de uma grandeza G com transporte difusivo:
Dt
G
4.26
A equação 4.25 ou sua forma vetorial 4.26 é a equação de variação da grandeza
em um ponto, também chamada equação de conservação, válida para transferência de
qualquer grandeza, já que não precisamos de nenhuma hipótese sobre a sua natureza.
Substituindo em 4.26 a definição de G para as várias grandezas e as definições
para as densidades de fluxo correspondentes teremos equações de conservação válidas
para cada caso particular.
4.4.1 Balanço de C A L O R
Densidade de Fluxo: kDjDiDD zyx
4.27
Equação do Fluxo: k
z
Tkj
y
Tki
x
TkD zyx
4.28
Equação da conservação 3-D:
Definição da grandeza: Tc
Vol
Tcm
G 4.29
)
z
Tk(
z
)
y
Tk(
y
)
x
Tk(
xt
)Tc(
zyx
4.30
Simplificações da equação 3-D:
Meio homogêneo (condutividades não dependem de x,y,z):
2
2
2
2
2
2
z
Tk
y
Tk
x
Tk
t
)Tc(
zyx
4.31
Meio isotrópico kx = ky = kz = k :
)
z
T
y
T
x
T(k
t
)Tc(
2
2
2
2
2
2
4.32
)
z
T
y
T
x
T(
t
T
2
2
2
2
2
2
4.33
Obs: = K / c = difusividade térmica (m2/s)
Regime permanente:
FT – 2012/1 - Revisão 1 84
02
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T 4.34
4.4.2 Balanço de M A S S A:
Equação do Fluxo: k
z
CDj
y
CDi
x
CDD Az,ABAy,ABAx,AB
4.35
Equação da conservação 3-D:
Definição da grandeza: A
A C
Vol
m
G 4.36
)
z
CD(
z
)
y
CD(
y
)
x
CD(
xt
C A
z,AB
A
y,AB
A
x,AB
A
4.37
Simplificações da equação 3-D:
Meio homogêneo (difusividades não dependem de x,y,z):
2
2
2
2
2
2
z
CD
y
CD
x
CD
t
C A
z,AB
A
y,AB
A
x,AB
A
4.38
Meio isotrópico (difusividades iguais em todas as direções):
)
z
C
y
C
x
C(D
t
C AAA
AB
A
2
2
2
2
2
2
4.39
Regime permanente:
02
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
C AAA 4.40
4.4.3 Balanço de ÁGUA SUBTERRÂNEA:
Densidade de Fluxo kVjViVVD zyx
4.41
Equação do Fluxo (Darcy):
k
z
hKj
y
hKi
x
hKD zyx
4.42
Equação da conservação 3-D:
Definição da grandeza:
Vol
mG 4.43
FT – 2012/1 - Revisão 1 85
)
z
hK(
z
)
y
hK(
y
)
x
hK(
xtd
d
zyx
4.44
Simplificações da equação 3-D:
Meio homogêneo (condutividades não dependem de x,y,z):
2
2
2
2
2
2
z
hK
y
hK
x
hK
td
d
zyx
4.45
Meio isotrópico (condutividades iguais em todas as direções):
)
z
h
y
h
x
h(K
td
d
2
2
2
2
2
2
4.46
Regime Permanente:
02
2
2
2
2
2
z
h
y
h
x
h 4.47
4.5 BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A quantidade de movimento será tratada em um item separado, porque o balanço
precisa levar em conta não apenas a variação por transporte difusivo, previsto pela lei de
Newton, mas todas as forças que atuam no volume de controle. Por este motivo, a
analogia completa do conjunto de equações não pode mais ser mantida.
Definição da grandeza: V
Vol
Vm
G 4.48
Densidade de Fluxo Difusivo: kDjDiDD zyx
4.49
A densidade de fluxo difusivo constitui, como sempre, uma tensão de
cisalhamento. A tensão de cisalhamento em uma direção se deve à variação da
velocidade numa direção perpendicular. Assim, podem surgir tensões de cisalhamento na
direção x, sobre o plano xz (chamadas de yx) devido a variações da velocidade Vx na
direção y. A figura 4.8 mostra um esquema da ocorrência de yx .
FT – 2012/1 - Revisão 1 86
Figura 4.8: Variação da componente x da velocidade ao longo do eixo y causa o surgimento da
tensão yx , atuando na direção x nos planos paralelos ao plano x-z.
Pode surgir ainda outra tensão atuando na direção x, mas sobre o plano xy. Para
isso é necessário que a componente Vx varie ao longo do eixo z. Essa componente é
chamada de zx. A figura 4.9 mostra um esquema dessa situação.
Figura 4.9: Variação da componente x da velocidade ao longo do eixo
z causa o surgimento da
tensão zx , atuando na direção x nos planos paralelos ao plano x-y.
Assim como a variação da componente x pode dar origem a duas tensões de
cisalhamento, a variação das componentes y e z dá origem a mais 4 tensões tangenciais.
A notação tem sempre 2 subscritos: o primeiro indica a direção em que varia a
componente da velocidade e o segundo indica a direção em que atua a tensão.
x
Vx= f(y)
y
z yx
x
Vx= f(z)
y
z
zx
FT – 2012/1 - Revisão 1 87
Existe também outra interpretação, equivalente à primeira:
No caso geral podem surgir então 6 componentes de tensões de cisalhamento,
que irão constituir as densidades de fluxo de quantidade de movimento nas 3 direções,
conforme as equações a seguir.
Direção x:: zxyxxD 4.50
Direção y: zyxyyD 4.51
Direção z: yzxzzD 4.52
4.5.1 Equação diferencial da quantidade de movimento (Navier-Stokes)
As forças atuantes no fluido no caso tridimensional tornam-se mais claras com um
esquema do volume de controle diferencial utilizado, conforme a figura 4.10. Na figura
estão representadas as 6 componentes de tensão de cisalhamento, bem como as forças
de pressão normais às superfícies do volume de controle.
FT – 2012/1 - Revisão 1 88
y
Vx,S
Vx,E
P
xz
x
y
x
x
pp
p
x
x
xy
xy
x
xy
x
x
xz
xz
xz
yz
y
y
yx
yx
yx
p
y
y
pp
y
y
y
yz
yz
z
zx
z
z
zx
zx
z
z
pp
p
z
z
zy
zy
zy
z
Vz,E
Vz,S
Figura 4.10: V.C. e termos do balanço diferencial de quantidade de movimento
Verifica-se na figura 4.10 que existem 12 tensões de cisalhamento (forças
tangenciais), sendo 6 nas faces anteriores e 6 nas faces posteriores. As forças normais
aparecem em 6 termos de forças de pressão, sendo 3 das componentes das faces
anteriores e 3 nas posteriores. Além dessas forças de constato atua também a força peso,
não esquematizada na figura. Devemos considerar ainda 6 termos relativos às 3
componentes das velocidades de entrada e 3 de saída no V.C.
Tomando como exemplo as tensões de cisalhamento que atuam na direção x, o
somatório das forças tangenciais fica:
21 FFF x,T 4.53
xyxzF zxyx 1 4.54
xy)z
z
(xz)y
y
(F zxzx
yx
yx
2 4.55
Substituindo 4.55 e 4.54 em 4.53 vem:
xyz)
zy
(F zxyxx,T
4.56
Efetuando agora o somatório das forças de pressão na direção x vem:
zyx
x
pF x,p
4.57
FT – 2012/1 - Revisão 1 89
Mas a somatória das forças é igual à variação da quantidade de movimento. Para
um volume de controle, a variação da quantidade de movimento é a soma da variação
local e da variação convectiva, da mesma forma que no balanço integral já visto em FT1.
A relação sistema - volume de controle nos fornece então:
E,ADVS,ADVVCxx,px,T FF)mV(t
FF
4.58
A variação local na direção x é dada simplesmente por:
zyx)V(
t x
4.59
A variação convectiva é dada pelo fluxo que sai menos o fluxo que entra.
Fluxo que sai:
yxz
z
)VV(
yxVVzxy
y
)VV(
zxVV
zyx
x
)VV(
zyVVF
zx
zx
yx
yx
xx
xxS,ADV
Fluxo que entra:
yxVVzxVVzyVVF zxyxxxE,ADV
Com isso a variação convectiva fica:
zyx
z
)VV(
y
)VV(
x
)VV(F zxyxxxADV
4.60
Usando os resultados parciais 4.56, 4.57, 4.59 e 4.60 no balanço de quantidade de
movimento expresso pela relação sistema – volume de controle, equação 4.58, temos:
z
)VV(
y
)VV(
x
)VV(
)V(
tx
p)
zy
( zxyxxxx
zxyx 4.61
Para concluir o balanço na direção x devemos substituir as tensões de
cisalhamento usando a equação de Newton do fluxo difusivo:
Com isso a equação 4.61 fica:
z
)VV(
y
)VV(
x
)V(
)V(
tx
p)
z
V
y
V
( zxyxxx
xx
2
2
2
2
2
4.62
Desenvolvendo o termo entre parênteses no segundo termo, e considerando a massa
específica constante (escoamento incompressível), vem:
z
V
V
z
VV
y
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
x
p)
z
V
y
V
( xzzx
x
y
y
x
x
x
xxx 22
2
2
2
4.63
FT – 2012/1 - Revisão 1 90
z
V
V
y
V
V)
z
V
y
V
x
V
(V
x
V
V
t
V
x
p)
z
V
y
V
( xz
x
y
zyx
x
x
x
xxx
2
2
2
2
4.64
Para continuar a simplificação da equação é necessário observar que a equação
do balanço de massa devido aos fluxos advectivos (equação da continuidade) fornece,
para escoamento incompressível, a relação (ver FT1):
0
z
V
y
V
x
V zyx 4.65
Com 4.65 em 4.64, e incluindo um termo “X” de força por unidade de volume devido a
ação a distância de campos, como o gravitacional:
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
x
p)
z
V
y
V
( xz
x
y
x
x
xxx
2
2
2
2
X
z
V
V
y
V
V
x
V
V
z
V
y
V
x
p
t
V x
z
x
y
x
x
xxx
2
2
2
2
4.66
A equação 4.66 é o resultado final do balanço da quantidade de movimento na
direção x. Executando as mesmas operações para os balanços nas direções y e z tem-se,
por analogia, com as componentes “Y” e “Z” de ação a distância:
Y
z
V
V
y
V
V
x
V
V
z
V
x
V
y
p
t
V y
z
y
y
y
x
yyy
2
2
2
2
4.67
Z
z
VV
y
VV
x
VV
y
V
x
V
z
p
t
V z
z
z
y
z
x
zzz
2
2
2
2
4.68
As equações 4.66 a 4.68 são formas simplificadas, para constante, das equações
de Navier-Stokes. Também considerou-se que a força normal é apenas devido à pressão
termodinâmica p; esta hipótese causa poucos erros em fluidos pouco viscosos.
Entretanto, encontra-se na bibliografia uma definição mais rigorosa. Por exemplo, na
direção de x tem-se a tensão normal:
)
z
V
y
V
x
V
(
x
V
p zyxxxx
3
22 4.69
4.5.2 Escoamento entre placas paralelas
Vimos no capítulo 3 alguns exemplos em que, partindo do balanço diferencial das
grandezas e integrando a equação resultante chegamos à equação que descrevia o
potencial. Neste item faremos dedução semelhante para o perfil de velocidades num
escoamento bidimensional. Para isso vamos empregar o balanço de quantidade de
movimento na região da entrada do escoamento entre duas placas. A figura 4.11
FT – 2012/1 - Revisão 1 91
apresenta a geometria do problema e o volume de controle para a execução do balanço
esquematizado na figura 4.12.
yVxVo
x
2yo
y
x
Figura 4.11: Escoamento na região de entrada entre placas planas
Figura 4.12: V.C. e densidades de fluxo do balanço diferencial de quantidade de movimento
A soma de forças fica:
xy
y
yx
x
p yx
4.70
O saldo de fluxos de entrada e saída (variação convectiva) é dado por:
xy
y
)VV(
yx
x
)V( yxx
2
4.71
A variação local da quantidade de movimento é:
yx)V(
t x
4.72
Usando a relação sistema – volume
de controle, com os resultados das equações 4.70 a
4.72 e dividindo pelo volume (x y 1) vem:
y
)VV(
x
)V(
)V(
tyx
p yxx
x
yx
2
4.73
Usando a equação de Newton para a tensão de cisalhamento e arranjando,
y
y
yx
yx
yx
x
x
pp
p
Vx 2
y
y
)VV(
VV yxyx
VV yx
x
x
)V(
V xx
2
2
FT – 2012/1 - Revisão 1 92
y
)VV(
x
)V(
y
V
x
p)V(
t
yxxx
x
2
2
2
4.74
Expandindo o termo da variação convectiva
)
y
V
V
y
V
V
x
V
V(
y
)VV(
x
)V( y
x
x
y
x
x
yxx
2
2
E lembrando que, pela continuidade, para escoamento incompressível,
0
y
V
x
V yx 4.75
)
y
V
V
x
V
V(
y
)VV(
x
)V( x
y
x
x
yxx
2
)
y
V
V
x
V
V(
y
V
x
p
t
V x
y
x
x
xx
2
2
4.76
Para regime permanente a variação no tempo é nula:
)
y
V
V
x
V
V(
y
V
x
p x
y
x
x
x
2
2
4.77
A dedução da equação para o eixo y, feita da mesma maneira, mostra que a pressão p
não depende de y, qualquer que seja a seção transversal dada.
____Exemplo 4.3
Encontre a equação do perfil de velocidades para o escoamento completamente
desenvolvido entre duas placas planas paralelas (escoamento de Poiseuille). Calcule a
relação entre a velocidade num ponto qualquer e a velocidade média da seção
considerada.
Solução:
Partindo da equação 4.77 e levando em conta que no escoamento completamente
desenvolvido o perfil não muda mais com a ordenada x, temos que:
0
x
Vx
Com este resultado, a equação da continuidade 4.75 mostra também que
0
y
Vy
Assim a equação 4.77, juntamente com a informação de que p não depende de y é
simplificada neste caso para:
2
2
yd
Vd
xd
pd x 4.78
FT – 2012/1 - Revisão 1 93
Separando as variáveis e integrando 2 vezes, entre Vx = 0 para y = y0 e Vx numa posição
y qualquer temos:
xV xyy Vdyddxdp 0 220 1 xV xyy dVydxd pdy 00 02
0
2
x
y
y
V
xd
pdy
)yy(
xd
pdV x
2
0
2
2
1 4.79
Para a velocidade média temos
30
3
0
3
0
0 0
2
0
2
0 3
1
32
1
2
10 0 y
xd
pd)y
y
(
xd
pddy)yy(
xd
pddyVyV
y y
x
203
1 y
xd
pdV 4.80
Portanto a relação entre a velocidade e a média é:
2
0
1
2
3
y
y
V
Vx 4.81
4.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3.1.1 A massa específica num sistema é dada por = 0,6 + 0,02xy + 0,01y z2. Calcular o
gradiente e o laplaciano de .
3.1.2 Num campo de temperatura dado por T (°C) = 100x + 50yz2 , determine a função
gradiente de temperatura. Calcule o gradiente e a temperatura no ponto (1,0,1).
Identifique os ângulos que o gradiente neste ponto forma com os planos xy e xz.
3.1.3 Os vetores velocidade de escoamento e área numa dada posição do espaço são
dados por: V = 4 i – 6 j + 10 k (m/s) e A = -1 i + 1 j + 1 k (m2). Calcule o fluxo de volume
através da área A. Discuta o resultado.
3.1.4 A velocidade de um fluido num cubo de aresta unitária situado entre a origem e o
ponto (1,1,1) é dada por: V = 10xy i – 5xz2 k (m/s). Calcule o fluxo de volume através de
cada uma das faces do cubo; calcule o fluxo total que entra e o fluxo total que sai.
3.1.5 O perfil de velocidades para escoamento laminar no interior de um tubo de seção
circular de raio R é dado por Vx ( r ) = Vmax (1 – r2 / R2). A partir dessa informação
determine (a) gradiente de velocidade na parede do tubo e (b) tensão de cisalhamento na
parede, sabendo que escoa pelo tubo com diâmetro 10mm um fluido com viscosidade
= 8E-3 Pa.s com velocidade máxima Vmax = 0,2 m/s.
3.1.6 Uma densidade de fluxo de calor é dada por q = 100 i + 50 j (W/m2). Calcule o
fluxo em Watts que atravessa uma superfície dada por A = -0,5 i – 1j (m2).
FT – 2012/1 - Revisão 1 94
3.1.7 Três piezômetros foram instalados em um aqüífero segundo a figura abaixo. Os
dados de carga hidráulica medidos foram os seguintes: piezômetro A, hA = 90m;
piezômetro B, hB = 80m; piezômetro C, hC = 100m. Encontre a direção do escoamento
subterrâneo e determine as componentes do vetor gradiente hidráulico. Considere
variação linear da carga ao longo das linhas entre cada dois piezômetros.
A
y
x
866,03 m
500,00 m
1000 m
B
C
Fig.Ex. 4.6.7
A
C
0,5m
1,0m
45°
B
y
x
1,0m
Isolamento
Isolamento
Fig.Ex.4.6.8
3.1.8 A figura mostra um corte de um corpo em que ocorre transferência 2-D de calor em
regime permanente. O corpo é isolado em todas as faces menos nas áreas A e B. A
dimensão perpendicular ao papel é 1m. Sendo a densidade de fluxo na seção A dada por
D = 0 i + 100j, pede-se:
a) qual o fluxo que atravessa a seção B?
b) qual o módulo da densidade de fluxo na seção B?
c) quais os componentes do vetor densidade de fluxo na seção B?
sendo a seção constante entre C e B e sabendo que a condutividade é
k = 10W/m.K, qual a diferença de temperatura entre C e B?
_____Referências Citadas:
Haraguchi, M.T. Estudo do nível piezométrico de um aqüífero freático por meio de
Krigagem e Cokrigagem. Relatório Final de Iniciação Científica ao PIBIC-CNPq. FEIS-
UNESP, Ilha Solteira, 07/1996.
Oliveira, J.N.O.; Dall’Aglio Sobrinho, M.; Boni, R.C.; Haraguchi, M.T. Monitoramento da
qualidade e avaliação da vulnerabilidade de um lençol freático no município de Ilha
Solteira – SP. Brazilian Journal of Ecology. Rio Claro: , v.1, n.1, p.46 - 49, 1997.
FT – 2012/1 - Revisão 1 95
4.7 DIFUSÃO TRANSIENTE
_____ Sistema concentrado ou distribuído?
Imagine uma parede plana com temperatura uniforme Ti submetida no instante
inicial a um fluido com temperatura constante T. Devido à simetria ocorre uma
transferência de calor transiente 1-D, com o calor sendo transferido por difusão da parte
interna da parede para a superfície, de onde é transferido ao fluido por convecção. Para
que isso ocorra é necessário que existam diferenças de temperatura no interior do sólido.
A figura 4.11 apresenta duas situações possíveis para as distribuições de temperatura ao
longo do tempo.
2L
Parede Plana 1-D
x
y
z Ar
2L
Ti
2L
Ti
T1
T2
T3
T1
T2
T3
( a ) ( b )
R interna alta R interna baixa
Figura 4.11: Transiente de parede plana (a) com resistência interna apreciável e (b) desprezível
A figura 4.11 (a) mostra uma situação em que a difusão no interior da parede
ocorre com resistência apreciável em relação à convecção. É necessário um grande
gradiente de temperatura no interior do sólido para trazer até a superfície o calor que sai
por convecção para o ar. Nesse caso a temperatura é função de x, T = T(x) e tem-se uma
solução distribuída. A solução desse tipo de problema será vista no item 4.6.3.
Na figura 4.11 (b) o calor flui com mais facilidade no interior da parede do que na
interface convectiva. Uma variação muito pequena da temperatura proporciona o
gradiente necessário para trazer o calor para a superfície, de forma que a temperatura no
interior do sólido é praticamente uniforme. Nesse caso apenas uma temperatura média
representa todo o perfil e tem-se a chamada solução concentrada.
Em todos os casos onde for possível, é melhor adotar a solução concentrada
devido a sua simplicidade. Um critério numérico para isso é dado pelo adimensional
chamado número de Biot que será apresentado a seguir.
FT – 2012/1
- Revisão 1 96
_____O número de Biot
O número de Biot é um adimensional que pode ser definido quando ocorre uma
interface convectiva. Por definição o número de Biot representa a relação entre a
resistência à transferência de um fluxo por difusão e por convecção, sendo dado por:
k
LhBi 4.82
O significado físico do número de Biot é ilustrado pelo experimento esquematizado
na figura 4.12. A parede plana com espessura L é atravessada por um fluxo de calor
gerado por uma resistência elétrica colocada em contato com a face esquerda. O fluxo
atravessa a parede plana por difusão e é transferido por convecção para o ar na face
direita, em regime permanente. Como resultado a face esquerda atinge uma temperatura
T1 conforme o perfil da figura 4.12 a). Repetindo-se o ensaio aplicando o mesmo fluxo de
calor, mas com um material de maior condutividade térmica tem-se o perfil da figura 4.12,
com a face esquerda numa temperatura menor.
T1
Ts
L
q'
k
q'
c
T
q'
k 1
material 1
Ts
L
q'
k
q'
c
T
T2
q' k 2
material 2a) b)
Figura 4.12: perfis de temperatura para o mesmo fluxo atravessando dois materiais diferentes
Em regime permanente os fluxos são iguais: FGERADO = FDIFUSÃO = FCONVECÇÃO.
Como a área é a mesma as densidades de fluxo também são iguais: q’ = q’k = q’c.
Portanto, das equações para fluxos difusivos e convectivos, podemos escrever:
)(11 TThL
TT
k sc
s
1
1
k
Lh
TT
TT c
s
s
)(22 TThL
TT
k sc
s
2
2
k
Lh
TT
TT c
s
s
As duas equações acima são relações adimensionais em que o primeiro membro
representa a razão entre as variações de temperatura que ocorrem na difusão e na
convecção e o segundo membro é o número de número de Biot.
FT – 2012/1 - Revisão 1 97
Igualando os fluxos difusivo e convectivo obtemos uma relação adimensional entre
as diferenças de temperatura necessárias para provocar ambos os fluxos. Este
adimensional é o número de Biot, que representa a relação entre a resistência à difusão
no sólido e à convecção na interface. Além disso pode se dizer também, como se observa
do exemplo da figura 4.12, que o número de Biot representa a razão entre as diferenças
de temperaturas no interior do sólido (T – Ts) e na interface entre o sólido e o fluido
(Ts - T), necessárias para transferir o fluxo:
difusãoconvecção RRBi 1
Quando a condutividade k é alta, a resistência à transferência interna de calor é
menor que a da interface convectiva, e o número de Biot é pequeno. Quando a
condutividade do sólido é baixa, ocorre o inverso: o fluxo encontra muito mais resistência
dentro do sólido que na interface e nesse caso o número de Biot é alto.
Para uma dada diferença de temperatura entre a superfície do sólido e o fluido,
quanto menor for o número de Biot, menor será a variação da temperatura no interior do
sólido. Portanto, podemos dizer que números de Biot baixos favorecem a utilização da
solução concentrada.
Na prática adota-se o método concentrado para Bi < 0,1.
4.7.1 Transientes de sistemas concentrados
Considere um corpo sólido com temperatura uniforme igual a Ti que no instante
inicial é imerso em um fluido com temperatura T (fig. 4.13) e começa a perder calor por
convecção pela área superficial As, sendo o coeficiente médio de transferência por
convecção hc.
As
m c
Ti
T
ch
Fs
t > 0t < 0
T Ti=
T = T( t )
Figura 4.13: Transiente de corpo com temperatura homogênea
Do balanço de energia para o corpo tem-se:
SSE FFFdt
dE
FT – 2012/1 - Revisão 1 98
)( TTAhdt
dTcm sc 4.83
observe que se (T - T ) > 0 0
dt
dE o corpo esfria
Fazendo = (T - T ), a diferença entre as temperaturas do corpo e do fluido,
sc Ahdt
dcV
dtd
Ah
cV
sc
Integrando o primeiro membro entre i e e o segundo entre t = 0 e t qualquer:
t
Ah
cV
isc
ln
t
cV
Ah
i
sc
e 4.84
Definindo a constante de tempo térmica como sendo:
tconv
scsc
CRcV
AhAh
cV 1 4.85
em que Rconv = resistência térmica à convecção e Ct = capacitância térmica global do
sólido.
A figura 4.14 mostra como exemplo a evolução da temperatura no tempo de dois
corpos com constantes de tempo diferentes. A temperatura inicial de ambos é Ti = 60°C e
no instante t = 0 foram imersos em fluido com T = 20°C.
Figura 4.14: Esfriamento transiente de dois corpos em função da constante de tempo .
Com a constante de tempo pode-se escrever a variação de temperatura de forma
adimensionalizada:
t
i
e 4.86
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8
Te
m
pe
ra
tu
ra
(°
C
)
tempo (s)
FT – 2012/1 - Revisão 1 99
A equação 4.86 é adimensional. Por isso, descreve a evolução das temperaturas
de qualquer sistema concentrado. Assim, é possível montar um gráfico de /i em função
de t / , válido para qualquer sistema, conforme mostrado na figura 4.15.
Figura 4.15: Gráfico da resposta adimensional de sistemas concentrados
4.7.2 Aeração de líquidos bem misturados
Importantes aplicações em saneamento e qualidade de água dependem do cálculo
do fluxo de oxigênio transferido do ar para a água. A transferência de oxigênio do ar para
corpos de água pode ser tratada com o equacionamento de sistemas concentrados,
desde que exista agitação suficiente do líquido para que a massa de água possa ser
considerada bem misturada, ou seja, com concentração homogênea. A figura 4.16 ilustra
o esquema de um reator para aeração da água com a notação empregada.
C
0)0( CtC ==
Vol
FMsat
C (t) = ?
Figura 4.16: Aeração da água em um tanque bem misturado.
O balanço de massa do oxigênio contido no volume de água é:
SOEO
O FF
td
Md
,, 22
2 EOO Ftd
Cd
Vol ,2
2 4.87
O fluxo de massa de entrada de oxigênio na água é um processo convectivo, dado
pela equação 2.11 (pg.22). Inserindo na equação 2.11 as concentrações na superfície e
no fluido definidas na figura 4.16 temos:
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1 2 3 4
/
i
t /
FT – 2012/1 - Revisão 1 100
)( 22, OsatsEO CCAhF 4.88
Usando 4.88 em 4.87 e simplificando a notação da concentração de O2 para C,
vem:
)( CC
Vol
Ah
td
Cd
sat
s 4.89
A dificuldade do uso do coeficiente de película h na equação 4.89 vem do fato que
a área da superfície total de contato entre a água e o ar, As, normalmente não é
conhecida em problemas de interface líquida deste tipo. Assim, normalmente o fluxo é
escrito em função de um parâmetro global chamado de coeficiente global de transferência
de oxigênio, denotado por KLa.
Vol
AhaK sL )( CCaKtd
Cd
satL 4.90
Observe que o KLa tem dimensões de [1/T] e as unidades no SI são (1/s). Usando
em 4.90 a transformação
td
CCd
td
Cd sat )( temos que:
tdaK
CC
CCd
L
sat
sat
)(
)(
que pode ser integrada para fornecer:
CtetaKCC Lsat )(ln 4.91
Substituindo a condição inicial dada por C = C0 em t = 0 temos que a constante de
integração é dada por Cte = ln(Csat – C0). Usando este resultado em 4.91 vem:
taK
CC
CC
L
sat
sat
)(
)(ln
0
taK
sat
sat Le
CC
CC
)(
)(
0
4.92
Usando a notação = (Csat-C) vemos que a equação 4.92, que descreve o
transiente da oxigenação do líquido no tanque é exatamente igual às equações 4.84 e
4.86. Podemos verificar também que o coeficiente global de transferência de oxigênio
( KLa ) pode ser interpretado como o inverso da constante de tempo do sistema ( ).
Exemplo 4.4: Um reator
(figura 4.17) com KLa = 1/240 s-1 será usado para remover ferro
de uma água de abastecimento por aeração. São necessários 150mg/l de O2 para o
processo de oxidação. Sabendo que a vazão de alimentação é 30l/s e que a água chega
ao reator com 5mg/l de oxigênio, calcular o volume de reator necessário. A concentração
de saturação de oxigênio é de 9mg/l.
Solução:
FT – 2012/1 - Revisão 1 101
Vol = ?C = 9mg/lsat
C (t) = 5mg/l
Q = 30l/sE
C = 5mg/lO2
C = 9mg/lO2
Q = 30l/sS
K La
Figura 4.17: Aeração em reator de mistura completa.
a) Balanço de O2 no reator
t
M
FFFF OInseridoMSaiMConsumidoMEM
2,,,,
Em regime permanente o segundo membro é nulo. Portanto,
0 InsSSConsEE FQCFQC
smgsllmgFCons /4500)/(30)/(150
smgsllmgsllmgFIns /4620)/(30)/(9)/(30)/(54500 (*)
b) Cálculo da transferência de O2 por convecção
VoltCCaKF satLIns ))((
Considerando que todo o oxigênio adicionado será usado pela oxidação do ferro
presente na água, pode-se estimar que a água permanecerá durante a maior parte
do tempo no reator com 5mg/l de oxigênio. Com essa hipótese adotamos
C(t) = 5mg/l, e o fluxo de massa inserido pelo aerador fica:
VolFIns )59(240
1 (**)
Igualando os dois resultados para o fluxo inserido obtém-se Vol = 280 m3.
4.7.3 Transientes de sistemas distribuídos
_____Transferência de Calor
A equação da transferência de calor para um sistema unidimensional transiente de
espessura 2L, conforme apresentado na figura 4.18, com a origem de x no centro da
parede, é :
t
T
x
T
1
2
2
4.93
Sendo
c
k
a difusividade térmica, já definida anteriormente.
FT – 2012/1 - Revisão 1 102
Figura 4.18: Parede com transferência 1-D transiente.
A condição inicial é de temperatura uniforme: T(x,t = 0) = Ti. As condições de
contorno são dadas pela linha de simetria no centro e pela interface convectiva em x = L:
0
0
xxd
Td
]),([
TtLTh
dx
dTk
Lx
4.94
A equação é adimensionalizada com as seguintes transformações:
TT
TT
ii
*
L
xx * Fo
L
tt 2*
4.95
Verifica-se que o termo * representa uma proporção entre o resfriamento (ou
aquecimento) atingido num dado instante e a diferença total de temperaturas. O termo x *
representa uma proporção entre duas distâncias medidas a partir do ponto de maior
temperatura: a primeira até o ponto estudado (x) e a segunda até a superfície (L).
_____ Número de Fourier
Dentre os adimensionais definidos acima destaca-se o número de Fourier, Fo,
que representa um tempo adimensionalizado. Dois sistemas com difusividades térmicas e
dimensões diferentes irão atingir uma dada proporção do resfriamento em tempos
diferentes, mas no mesmo número de Fourier.
Substituindo-se as definições adimensionais da equação 4.95 na equação 4.93 a
equação da difusão fica na forma adimensional:
Fo
*
*x
*
2
2
4.96
Com as variáveis adimensionais a condição inicial fica *(x*,0) = 1, e as condições
de contorno definidas em 4.94 ficam:
0
0
*x*x
* )*t,(*Bi
*x
*
*x
1
1
4.97
2L
Ti
T1
T2
T3
x
Ar: T = Constante∞
FT – 2012/1 - Revisão 1 103
A solução da equação diferencial 4.96, com as condições iniciais e de contorno já
vistas, é dada pela série:
1
*2* )(cos)(exp
n
nnn xFoC 4.98
em que
)2(sen2
sen4
nn
n
nC
; Bitg nn 4.99
As raízes da equação transcedental em 4.99 fornecem os termos i usados na
solução da série em 4.98. Adicionalmente pode-se interpolar o valor a partir da tabela
4.7.1.
Tabela 4.7.1: Valores das raízes da equação 4.99(b)
Para números de Fourier elevados (Fo > 0,2) a solução pode ser aproximada
apenas pelo primeiro termo da série :
)(cos)(exp *1
2
11
* xFoC ; 4.100
Lembrando que a temperatura adimensional do centro da parede (0*), obtida
substituindo-se x* = 0 na equação 4.100, é dada por
)(exp 211
*
0 FoC , a equação 4.100 pode ser escrita como:
)(cos *1
*
0
* x 4.101
O calor Q transferido entre dois instantes é dado por :
*
0
1
1
0
sen1
Q
Q em que )( 00 TTVolcQ i 4.102
k
hLBi 1 2 3 4 khLBi 1 2 3 4
0 0 3,1416 6,2832 9,4248 1 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293
0,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,5801
0,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 2 1,0769 3,6536 6,5783 9,6296
0,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 3 1,1925 3,8088 6,7041 9,7240
0,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 4 1,2646 3,9352 6,8140 9,8119
0,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 5 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928
0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 6 1,3496 4,1116 6,9924 9,9667
0,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 7 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339
0,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 8 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949
0,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 9 1,4149 4,2694 7,1806 10,1502
0,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 10 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003
0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 15 1,4729 4,4255 7,3959 10,3898
0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 20 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117
0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 30 1,5202 4,5615 7,6057 10,6543
0,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 40 1,5325 4,5979 7,6647 10,7334
0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 50 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832
0,6 0,7051 0,3204 6,3770 9,4879 60 1,5451 4,6353 7,7259 10,8172
0,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 80 1,5514 4,6543 7,7573 10,8606
0,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 100 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871
0,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956
FT – 2012/1 - Revisão 1 104
Tendo em vista a importância prática desse tipo de problema distribuído é comum
encontrar diagramas na literatura para resolver graficamente problemas transientes com
diversas configurações geométricas básicas. A título de exemplo apresenta-se a figura
4.19, utilizada para resolver graficamente o problema da parede plana.
Figura 4.19: Solução aproximada para temperatura central na difusão transiente em parede plana
FT – 2012/1 - Revisão 1 105
_____Transferência de massa
Muitos processos industriais necessitam secar corpos sólidos o que normalmente é
feito passando um fluxo de gás inerte sobre a superfície do sólido. O processo de
secagem de corpos úmidos pode ter duas fases, sendo uma em que a taxa de secagem é
constante e outra em que a taxa diminui com o tempo.
A secagem com taxa constante pode ocorrer quando a superfície do sólido está
muito úmida e mesmo quando exposta ao ar ainda permanece úmida por algum tempo.
Nesse caso a maior resistência ao fluxo ocorre na interface gás-líquido e a taxa de
secagem é comandada pelo fluxo máximo de evaporação do líquido.
Quando a superfície começa a apresentar pontos secos a taxa de secagem
começa a diminuir com o tempo, à medida que a difusão do líquido no interior do sólido
começa a ficar mais importante como fator limitante. Nessa situação o ar tem condição de
evaporar mais, mas o líquido não chega à superfície com fluxo suficiente devido à
resistência à difusão interna do sólido.
O processo de secagem continua cada vez mais lentamente até que seja atingida
uma concentração de equilíbrio do líquido no interior do sólido, C. O valor da
concentração final de equilíbrio C depende da temperatura, pressão e umidade relativa
do gás de secagem, e deve ser determinado experimentalmente para cada situação.
O processo de secagem em duas fases pode ser apresentado graficamente
conforme a figura 4.20.
Fmassa
tempo
Fase 1
não limitado
Fornecimento
Fase 2
Com limitação do
fornecimento de massa
para a superfíciesuperfície saturada
Figura 4.20: Evolução
do processo de secagem de corpos sólidos
Durante o período de taxa de secagem decrescente o processo de difusão do
líquido no interior de muitos sólidos não granulares, onde os efeitos de capilaridade forem
pequenos, pode ser representado por uma equação similar à do caso anterior, de
resfriamento de um sólido.
FT – 2012/1 - Revisão 1 106
2
2
xd
CdD
td
Cd
O fluxo de massa convectivo na interface pode ser escrito da forma habitual pela
equação 2.11, com as concentrações do líquido no gás em contato com a superfície (Cg,0)
e num ponto distante do gás secante (Cg,). Repetindo a equação 2.11 por clareza:
)( ,0, ggM CChF
Entretanto, como estamos interessados na concentração no interior do sólido, um
novo coeficiente de transferência convectivo pode ser definido com base na diferença
entre a concentração do líquido na superfície do sólido (C0) e a concentração final de
equilíbrio no interior do sólido (C). A equação 2.11 fica então:
)()( ,0,0 ggM CChCCHF 4.103
Observe que na equação 4.103 é necessário definir um novo coeficiente médio de
transferência por convecção, visto que os valores numéricos das concentrações no sólido
e no ar são diferentes.
Os adimensionais podem ser definidos da mesma forma que no caso do
resfriamento da parede plana, considerando a concentração inicial no sólido Ci:
CC
CC
ii
* ;
L
xx * ; Fo
L
tDt 2* ; 4.104
Como as equações são as mesmas a solução da transferência de calor pode ser
usada para o caso da secagem do sólido. Uma vez determinada a solução adimensional
deve-se utilizar as relações de 4.104 para calcular as concentrações desejadas ao invés
das temperaturas.
Observe que no problema de transferência de massa o conceito do número de Biot
é representado por:
D
LHBi
eriornodifusãonaaresistênci
erfícienaconvecçãodaaresistênci
int
sup 4.105
Exemplo 4.5: Uma prancha de madeira de 5cm de espessura tem um conteúdo de
umidade Ci = 30%, baseado no peso da madeira seca, no início do período de secagem
com taxa decrescente. A umidade de equilíbrio é C = 5% (do peso da madeira seca).
Para evitar deformação na secagem as laterais e as extremidades são cobertas por um
produto que impede a passagem da água. É possível assumir que a resistência superficial
é desprezível, ou seja, (HL/D) e sabe-se que a difusividade da água através da
madeira é D = 3,710-6m2/h. Qual é o tempo de secagem necessário para a peça atingir
10% de umidade, supondo que ela não encolha durante a secagem?
Solução: (usando a figura 4.19)
FT – 2012/1 - Revisão 1 107
Inicialmente calculamos a variação adimensional desejada, que é a ordenada da figura
4.19:
20,0
530
510*
i
O inverso do número de Biot é a outra variável do problema:
01
HL
DBi
Com os dois valores lemos na região ampliada do gráfico o valor do tempo adimensional:
75,0
025,0
107,3
2
6
2
*
t
L
tDt t 126 h
Deixamos a solução numérica como exercício para o leitor.
_____ evaporação e evapotranspiração de solos
Um processo similar ao descrito na figura 4.20 ocorre com a perda de umidade de
solos úmidos, com ou sem vegetação. A evaporação é um fenômeno físico e a
transpiração é a perda de água pelas folhas dos vegetais. A soma dos dois fenômenos
determina a perda de água pelo solo, no processo chamado evapotranspiração, que
será visto em hidrologia.
Quando o solo está bem úmido o processo ocorre na Fase 1, sem limitações
internas. Se o solo não possuir vegetação, tem-se a chamada evaporação potencial.
Caso exista a vegetação contribuindo com a transpiração, tem-se a chamada
evapotranspiração potencial, que é a máxima possível para as condições de um
determinado dia. Usando a nomenclatura de fenômenos de transporte, tanto a
evaporação potencial quanto a evapotranspiração potencial são fluxos de massa limitados
pela interface convectiva.
À medida que o solo começa a secar, as raízes das plantas começam a encontrar
maior dificuldade para retirar a água do solo, diminuindo a transpiração, ao mesmo tempo
em que a difusão da água do interior do solo até a superfície começa a limitar a
evaporação. Nessas condições o processo entra na fase 2, limitada pela resistência ao
transporte no interior do solo, e tem-se a chamada evapotranspiração real. Caso não
exista vegetação, o fluxo de água perdido para o ar é a chamada evaporação real.
A evaporação dos solos não pode ser resolvida com a técnica apresentada neste
item. Os solos apresentam uma complicação adicional pelo fato da difusividade da água
depender do conteúdo de umidade. Como a difusividade deixa de ser uma constante ela
não pode ser retirada do interior da derivada e a equação do processo de transferência
fica:
x
C)C(D
xt
C 4.106
FT – 2012/1 - Revisão 1 108
cuja solução depende da função que relaciona a difusividade à concentração de água no
solo (umidade).
4.7.4 Medição das propriedades térmicas com ensaios transientes
Os métodos mais empregados para a medição da condutividade térmica utilizam o
aquecimento transiente de sondas que injetam um fluxo de calor no meio. Uma das
técnicas utiliza aquecedores longos e finos, que podem ser modelados como fontes
lineares infinitas de calor, cuja teoria será descrita a seguir.
Considerando a sonda como uma fonte linear infinita em meio homogêneo infinito,
o problema reduz-se, devido à geometria cilíndrica, a uma dimensão. Quando um fluxo de
calor é liberado continuamente pela fonte a partir de um instante inicial to, o acréscimo de
temperatura, “T” observado a uma distância r da fonte é dado, segundo Carslaw e
Jaeger (1959)1, por:
t
rEi
k
q)t,r(T
44
2
4.107
em que r = distância da fonte (m)
q = fluxo de calor por unidade de comprimento da sonda (W/m)
= difusividade térmica (m2/s)
k = condutividade térmica (W/mC)
t = tempo (s)
Ei = Integral exponencial, dada pela equação 4.108;
due)y(Ei uy 0 2 4.108
A solução 4.107 pode ser expandida, segundo Carslaw e Jaeger, por:
32222
2 49
1
44
1
4
4
4 t
r
t
r
t
rln)
r
tln(
k
q)t,r(T 4.109
onde = 1,781... exponencial da constante de Euler.
Para tempos grandes, apenas os dois primeiros termos da série são significativos,
de forma que o acréscimo de temperatura pode ser aproximado por:
lnr
tln
k
q)t,r(T 2
4
4
4.110
A equação 4.110 pode ser escrita com a seguinte forma:
1 CARSLAW, H.S. & JAEGER, J.C. - Conduction of heat in solids. Oxford Univ. Press, London, 1959.
FT – 2012/1 - Revisão 1 109
2
4
4 r
lntln
k
q)t,r(T 4.108
Observando-se a equação 4.108 torna-se claro que, para longos intervalos de
tempo, o acréscimo de temperatura é uma função linear de ln(t). Assim, colocando-se em
gráfico os valores de T em função de ln(t), os dados tendem a uma reta cuja inclinação é
m = q/4k. Conhecendo-se o valor da inclinação é possível então calcular-se a
condutividade térmica.
m
/qk 4 4.112
Os mesmos dados podem ser usados para determinar a difusividade térmica
juntamente com a condutividade. Para isso é necessário perceber que a equação 4.111
inclui também um coeficiente linear, podendo ser escrita da seguinte forma:
2
4
r
lnmtlnm)t,r(T 4.113
Chamando o coeficiente linear de “a”, tem-se, a partir da equação 4.113:
2
4
r
lnma 4.114
que pode
ser escrita isolando-se a difusividade como:
m/ae
r
4
2 4.115
Observe que a equação 4.115 usada para determinar a difusividade térmica
depende do raio efetivo da sonda “r”, que não é necessário para calcular a condutividade.
A figura 4.21 apresenta um exemplo de dados experimentais para determinação de
condutividade térmica de uma areia seca, obtidos por Cortez (1997)2. Foram obtidos com
uma sonda linear com 145mm de comprimento, aquecida com potência constante de
3,12W.
2 Cortez, F.A.R. Metodologia de calibração eficiente de sondas térmicas de potência constante para
medição de umidade de solos. Relatório de Iniciação Científica PIBIC-CNPq. Feis-Unesp, Departamento de
Eng. Civil. Ilha Solteira, SP, 1997.
FT – 2012/1 - Revisão 1 110
Figura 4.21: Ensaio de condutividade térmica. Fonte: Cortez (1997).
A figura 4.21 permite observar o ajuste do trecho com comportamento linear,
conforme a equação 4.108. O valor do coeficiente angular ajustado foi de m = 2,933. Com
a potência por unidade de comprimento da sonda, q =21,52W/m, obtém-se um valor para
a condutividade térmica k = 0,584W/m°C.
4.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4.8.1. A figura mostra a temperatura em função de x obtida em regime permanente no
centro de duas barras cilíndricas idênticas, de alumínio (k = 237 W/m.K) , com diâmetro
25mm e comprimento 2m, cujas extremidades estão às temperaturas de 200°C e 20°C.
Sabe-se que uma delas está completamente isolada em sua superfície lateral e a outra
possui a superfície em contato com o ar. Pede-se:
e) Identificar a barra em contato com o
ar, justificando;
f) monte o balanço de energia para um
elemento da barra em contato com o
ar;
g) usando as informações do gráfico e
admitindo um elemento finito situado
entre x = 0,10 e x = 0,20m, calcular os
fluxos de entrada e saída, utilizando
aproximação por diferença finita
centrada, com x = 0,10m.
h) com a informação do item "d" estime
o coeficiente de perda de carga por
convecção, admitindo uma tem-
peratura média sobre o elemento
finito.
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7
ln(t)
T
(°
C
)
ajuste: y = a + mx
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
FT – 2012/1 - Revisão 1 111
4.8.2. Um tanque para tratamento de efluentes com 10 m3 de volume é aerado por
difusores de ar. O tanque foi submetido a um ensaio para determinação da sua
capacidade de aeração. Iniciando com uma concentração em t = 0 de 1mg/L de OD foram
determinados os seguintes valores ao longo do tempo: t = 60s, C = 3,851 mg/L ; t = 120s,
C = 5,963mg/L. Sabendo que a concentração de saturação é 12mg/L pede-se:
a) Calcular o coeficiente de transferência de massa KLa em s-1;
b) Calcule o tempo em que a concentração no tanque atingirá 10mg/L;
c) O Fluxo de OD em mg/s quando a concentração no tanque for de 5mg/L
4.8.3. Um modelo experimental de reator para tratamento aeróbio de efluentes
domésticos tem volume de 1,5m3 e seu coeficiente global de transferência de oxigênio é
KLa = 0,0012 s-1. O reator recebe um esgoto afluente com uma concentração de oxigênio
CO2,E=1mg/l e com uma DBO dada por CDBO,E = 120mg/l. Após o tratamento efetuado
durante o tempo de residência no reator o esgoto sai com uma DBO efluente
CDBO,S = 10mg/l. Sabendo que a concentração de saturação de oxigênio é Csat= 11mg/l e
que o efluente deve sair do reator com uma concentração mínima de O2 dada por
CO2,S = 3mg/l, pede-se:
a) calcular os fluxos de DBO afluente e efluente (FDBO,E e FDBO,S)
b) calcular o fluxo de oxigênio efluente (FO2,E)
c) a vazão de operação prevista para o reator
Observação: lembrar que a DBO é tratada matematicamente como uma concentração,
mas representa fisicamente uma demanda (débito). Assim, um fluxo de DBO que entra
num sistema provoca um fluxo de O2 que sai do sistema, e vice versa.
4.8.4. Verifique a viabilidade de adotar solução transiente considerando sistema
concentrado em uma parede de alvenaria. A parede possui 4,0m 2,90m e espessura
0,12m. O coeficiente médio de convecção é h = 10W/m2K. O dados do material da
parede são: massa específica = 1860 kg/m3; calor específico c = 780 J/kgK e
condutividade térmica k = 0,70 W/ mK.
Resposta: Bi = 0,86, portanto não é viável a solução concentrada
4.8.5. Considerando a parede do exercício 4.8.4 a uma temperatura inicial
Ti = 40°C num ambiente com ar a temperatura Tar = 20°C, calcule o tempo necessário
para a parede (ou o seu centro, caso seja adotado solução distribuída) resfriar 10°C ou
seja, atingir a temperatura de T = 30°C.
Resposta: 2,50h.
4.8.6 Deseja-se calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção quando o
ar flui em torno de uma esfera, por meio da observação da variação da temperatura de
uma esfera de cobre puro. A esfera, com 15mm de diâmetro está inicialmente a 70°C
quando é colocada na corrente de ar a 25°C. Um termopar colocado na superfície externa
da esfera indica a temperatura de 55°C após 70 segundos de exposição da esfera ao
FT – 2012/1 - Revisão 1 112
escoamento. Pede-se a) verificar a validade de se adotar temperatura interna da esfera
uniforme (método concentrado); b) adotando o método concentrado, calcular o coeficiente
de convecção. Dados do cobre: k = 380W/m.K; = 8900 kg/m3; c = 385 J /kg K.
4.8.7. Considere uma chapa de metal com 0,3 x 0,3m, massa total de 3,75kg e calor
específico 2770 J/kg°C. A chapa foi aquecida a 200°C e colocada em contato com o ar
ambiente em suas duas faces, perdendo calor por convecção. Nessas condições foi
medida uma taxa de variação de temperatura dT/dt = - 0,022°C/s, quando o ar estava a
25°C. Pede-se: a) considerando uma distribuição uniforme de temperatura na chapa,
escrever o balanço de energia transiente; b) calcular o coeficiente de transferência por
convecção.
4.8.8. Uma esfera de alumínio com 10cm de diâmetro com temperatura interna T = 150°C
é imersa em óleo a T= 40°C no instante inicial. Pede-se: a) calcule o fluxo perdido por
convecção no instante inicial, sendo hc = 40W/m2°C; b) demonstre a viabilidade de
resolver o transiente por solução concentrada; c) calcule o tempo decorrido até que a
temperatura da esfera seja T = 100°C. Dados do alumínio: = 2770 kg/m3 ; c = 875 J/kgK;
k = 177 W/m.K.
Resposta: a) 138W; b) Bi = 0,011 < 0,1; c) 612s.
FT – 2012/1 - Revisão 1 113
CAPÍTULO 5
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA DIFUSÃO
5.1. SOLUÇÃO NUMÉRICA – DIFERENÇAS FINITAS
___ Aproximação por Diferenças Finitas
A definição de derivada de uma função estabelece que:
x
xfxxf
dx
df
t
)()(
lim
0
5.1
em que x é um infinitésimo. A aproximação numérica para a derivada em um ponto pode
ser obtida por diferenças finitas adotando-se um x pequeno, porém não infinitésimo. A
figura 5.1 expressa o conceito graficamente.
a
bc
f (x)
x x + x
d f
d x
x - x
f (x)
Figura 5.1: Aproximação da derivada por diferenças finitas
Várias aproximações são possíveis, gerando os diferentes “esquemas de discretização”.
esquema regressivo (reta “a”):
x
xxfxf
xd
fd
)()( 5.2a
esquema progressivo (reta “b”):
x
xfxxf
xd
fd
)()( 5.2b
esquema centrado (reta “c”):
x
xxfxxf
xd
fd
2
)()(
5.2c
A derivada segunda é expressa da seguinte forma:
FT – 2012/1 - Revisão 1 114
x
x
xxfxf
x
xfxxf
x
dx
df
dx
df
dx
fd xxxx
)()()()(
22
2
2
5.3
Usando o mesmo raciocínio pode-se aproximar uma derivada no tempo por:
t
tfttf
td
fd
)()( 5.4
___ Aproximação em domínio 2D por Diferenças Finitas
Neste caso tem-se uma função variável no espaço e no tempo, f = f(x,y,t).
Inicialmente apresenta-se uma simplificação da notação. A posição x = ix é dada pelo
índice i subscrito, a ordenada y = jy é dada pelo índice j subscrito. O tempo t = kt é
indicado pelo índice k sobrescrito. Assim, o valor da função f no ponto (x.y) no tempo t é
indicado por f ki,j . A figura 5.2 explicita a notação.
i , j
i
x
i+1 , j
i , j+1
i-1 , j
j
i , j-1
y
i+1
j+1
Figura 5.2: Notação para localizar os pontos no domínio 2-D
No caso de função bidimensional tem-se para as derivadas espaciais:
2
,1,,1
2
2 2
x
fff
x
f k ji
k
ji
k
ji
5.5
2
1,,1,
2
2 2
y
fff
y
f kji
k
ji
k
ji
5.6
e para a derivada no tempo,
t
ff
t
f kji
k
ji
,1, , 5.7
___ Aplicação à equação geral da difusão em 2-D
A equação geral no caso da difusão de calor e de massa foi vista no item anterior. Tem-
se:
22
2 )()(2)(
x
xxfxfxxf
dx
fd
FT – 2012/1 - Revisão 1 115
2
2
2
2
y
T
x
T
c
k
t
T
, transf. de calor, potencial T (temperatura);
2
2
2
2
y
C
x
CD
t
C , transf. de massa, potencial C (concentração).
Empregando a aproximação por diferenças finitas na equação do calor, tem-se:
2
1,,1,
2
,1,,1,
1
, 22
y
TTT
x
TTT
c
k
t
TT kji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
5.8
em que a única incógnita é a temperatura no tempo k+1. Assim, pode-se escrever a
temperatura no ponto no próximo intervalo de tempo como:
2 1,,1,2 ,1,,1,1,
22
y
TTT
x
TTT
c
tkTT
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
jik
ji
k
ji 5.9
___ Simplificação: malha quadrada
Se puder ser adotado um espaçamento igual em x e y na divisão do domínio
x = y a equação pode ser simplificada:
kjikjik jik jik jikjikji TTTTTckxtTT ,1,1,,1,12,1, 4 5.10
Para caso de regime permanente a derivada no tempo é nula e temos:
04 ,1,1,,1,1 kjikjik jik jik ji TTTTT 5.11
A equação 5.11 aplicada a cada nó cuja temperatura é desconhecida gera um linha
de um sistema matricial, [A][T] = [B], que deve ser resolvido numericamente para
obtermos a solução.
Serve para qualquer dos fenômenos estudados, substituindo-se a temperatura pelo
potencial adequado ao problema: Concentração (C) no caso do transporte difusivo de
massa e carga hidráulica total (H) no caso de transporte advectivo em meio poroso
saturado (Darcy). O exemplo numérico deste item esclarece melhor a montagem do
sistema matricial.
Expressando a equação 5.11 em termos da temperatura no ponto ( i , j ) vem:
4
1,1,,1,1
,
jijijijiji
TTTT
T 5.12
em que o índice do tempo foi abolido porque as temperaturas ficam constantes no tempo.
A equação 5.12 expressa a relação entre as temperaturas em um dado nó e nos
vizinhos para que seja satisfeita a equação de Laplace em duas dimensões, discretizada
por diferenças finitas com malha quadrada. A apresentação na forma da eq. 5.2 é útil para
a montagem manual do sistema matricial, porque pode ser representada graficamente de
uma forma bastante conveniente. Também é usada em método iterativo para a solução.
FT – 2012/1 - Revisão 1 116
____ Condições de Contorno
A solução da equação de Laplace num domínio 2-D depende apenas da forma do
domínio e das condições de contorno (C.C.). As condições de contorno podem ser do tipo
temperatura especificada ou fluxo nulo, num contorno isolado termicamente (ou
impermeável no caso da massa). Além dessas duas podem existir ainda fronteiras com o
fluxo pré-determinado por condições exteriores ao domínio. Vamos considerar neste item
apenas os dois primeiros tipos.
A condição de temperatura determinada e constante não necessita tratamento
especial, valendo a equação 5.12 nos pontos adjacentes.
Uma fronteira com fluxo nulo merece uma consideração especial. No caso da figura
a fronteira isolada não admite fluxo na direção x, ou seja:
i , j i+1 , j
i , j+1
i-1 , j
i , j-1
isolado
q' = 0
x
Figura 5.3: CC fronteira isolada
0'
x
Tkqx
0
2
,1,1
,
x
TT
x
T jiji
ji
jiji TT ,1,1
Vimos que a mesma condição de fluxo nulo aconteceria se o domínio fosse
aumentado e existisse um ponto com a mesma temperatura do ponto anterior à fronteira
impermeável. Assim, a temperatura no ponto ( i,j ) da fronteira impermeável em x fica:
4
2 1,1,,1
,
jijijiji
TTT
T 5.13
Desenvolvimento análogo quando a fronteira impermeável é horizontal, impedindo o fluxo
na direção y, leva a:
4
2 1,,1,1
,
jijijiji
TTT
T 5.14
____ Representação gráfica da discretização
As equações 5.12, 5.13 e 5.14 podem ser representadas por uma notação gráfica
que facilita a montagem manual do sistema de equações, conforme a figura 5.4. Nos
esquemas da figura 5.4, os nós são representados por círculos e os coeficientes que
multiplicam as temperaturas de cada nó são representados pelos números dentro de cada
círculo.
.
FT – 2012/1 - Revisão 1 117
4 1
1
1
1
a) ponto interior
4
1
1
2 4 2
1
1
b) fluxo nulo a direita
4 2
2 4
2
2
c) fluxo nulo a esquerda
f) fluxo nulo em cantos
4 1
2
1
d) fluxo nulo acima
4 1
2
1
e) fluxo nulo abaixo
Figura 5.4: representação gráfica da discretização
_____ Exemplo Numérico
Calcule as temperaturas resultantes no domínio 2-D da figura 5.5.
T = 60°C
isolado
i = 0 1 2 3 4
j = 0
2
3
4
1
T = 10°C
Figura 5.5: domínio e C.C. do exemplo numérico
O primeiro passo da solução é definir o tamanho da malha a ser utilizada na
discretização, lembrando que quanto menor a malha, mais precisa será a solução. Essa
etapa já foi contemplada na proposta do exercício.
Com a malha definida deve-se identificar os nós interiores e as condições de
contorno existentes, aplicando-se as discretizações a cada situação, conforme a figura
5.4.
Para “i” e “j” de 1 a 3 temos apenas nós interiores. Abaixo mostramos as equações
dos nós da segunda linha (j=1) e i variando de 1 a 3:
Nó (1,1): 60 + T2,1 + T1,0 + T1,2 – 4T1,1 = 0
Nó (2,1): T1,1 + T3,1 + T2,0 + T2,2 – 4T2,1 = 0
Nó (3,1): T2,1 + 10 + T3,0 + T3,2 – 4T3,1 = 0
Analogamente para as demais linhas, j = 2 e j = 3, obtemos os 9 nós interiores.
FT – 2012/1 - Revisão 1 118
Na primeira linha (j=0) temos CC isolada com fluxo nulo abaixo. Aplica-se a
condição (e) da figura 5.4:
Nó (1,0): 60 + T2,0 + 2T1,1 – 4T1,0 = 0
Nó (2,0): T1,0 + T3,0 + 2T2,1 – 4T2,0 = 0
Nó (3,0): T2,0 + 10 + 2T3,1 – 4T3,0 = 0
Os nós (3,4) e (4,3) são semelhantes, com uma face isolada. O nó (4,4) é de um
elemento com duas faces isoladas (canto). Conforme a figura 5.4 (f):
Nó (4,4): 2T3,4 + 2T4,3 – 4T4,4 = 0
Com as equações de todos os nós temos 15 incógnitas e um sistema de 15
equações que podem ser colocadas na forma matricial conforme mostrado na figura 5.6.
0
60
10
0
60
120
10
0
60
10
0
60
10
0
60
422000
140200
104200000
011410100
000141010
000014001000
000100410100
000010141010000
00001014001000
0000100410100
000010141010
00001014001
0000100410
000020141
00002014
44
43
34
33
32
31
23
22
21
13
12
11
03
02
01
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Figura 5.6: Sistema matricial montado para o exemplo numérico
Com as calculadoras atuais é possível resolver facilmente sistemas matriciais não
muito grandes, como o deste exemplo, chegando-se à solução.
A solução a seguir foi calculada no Excel, usando as “Fórmulas de Matriz”
disponíveis na planilha. Temos a matriz [A]15x15 e o vetor [B]15x1 na figura, 5.6, formando a
equação matricial:
BTA TBA 1
Num primeiro passo calcula-se [A]-1 com a função “MATRIZ.INVERSO” e no
segundo passo utiliza-se a matriz inversa e a fórmulta “MATRIZ.MULT” para achar o vetor
das temperaturas. Não se esqueça que as fórmulas matriciais devem ser entradas na
planilha com a combinação de teclas <CTRL> + <SHIFT> + <ENTER>. Qualquer dúvida
consulte a ajuda on-line disponível no programa.
A solução (temperaturas aproximadas nos nós) é dada na tabela a seguir:
T10 T20 T30 T11 T21 T31 T12 T22 T32 T13 T23 T33 T43 T34 T44
48,3 34,8 16,9 49,1 37,0 22,9 51,3 41,1 27,8 54,9 48,3 37,3 30,3 42,8 36,5
FT – 2012/1 - Revisão 1 119
A apresentação das temperaturas diretamente sobre o domínio, como feito na
figura 5.7, permite visualizar melhor a solução.
1 2 3 4
4
60
60
60
60
10
10
10
60 60 60 42,8 36,5
30,6954,9
51,3
49,1
48,3
48,3 34,8 16,9
22,9
27,8
37,3
41,1
37,0
0
Solução
Solução
Figura 5.7: Solução numérica para as temperaturas nos nós realçados. Demais nós são C.C.
Com as temperaturas determinadas em cada nó da malha é possível também
traçar por interpolação as linhas equipotenciais. Este é um recurso útil para apresentar a
solução de uma forma que pode ser visualizada com facilidade. A figura 5.8 apresenta as
temperaturas da solução apresentada em 5.7 na forma de 5 curvas equipotenciais,
variando de 15°C a 55°C.
Figura 5.8: Curvas equipotenciais (isotérmicas) interpoladas a partir da solução numérica
. Para a construção das linhas equipotenciais como as apresentadas na figura 5.8
normalmente são utilizados programas de interpolação numérica e visualização de dados,
tais como o Surfer.
Solução alternativa com um método iterativo:
A solução iterativa apresentada a seguir é uma técnica numérica muito pouco
eficiente, mas tem a vantagem de dispensar a etapa da montagem do sistema de
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
FT – 2012/1 - Revisão 1 120
equações. Se utilizarmos uma planilha eletrônica para os cálculos esta técnica torna-se
atrativa pela facilidade de entrada de dados.
Para o cálculo iterativo é necessário fazer uma estimativa inicial das temperaturas
dos nós interiores. O diagrama da figura 5.9 (a) mostra as temperaturas adotadas.
Iniciando o cálculo pela primeira linha ( j = 0 ), temos para o primeiro ponto (1,0):
T1,0 = 0,25(60 + 2 x 40 + 20) = 40 : o ponto (1,1) conta 2 vezes (isolado abaixo)
Para o cálculo do próximo (2,0) já consideramos o resultado anterior:
T2,0 = 0,25(40 + 2 x 30 + 10) = 27,5
Novamente incorporamos o resultado de (2,0) no cálculo dos próximos pontos:
T3,0 = 0,25(27,5 + 2 x 10 + 10 ) = 14,4
Com isso termina a primeira linha ( j = 0 ) e a figura 5.9 (b) mostra os resultados nesta
fase do cálculo.
1 2 3 4
2
3
4
1
60
60
60
60
10
10
10
60 60 60 30 20
1040
40
40
30
30 20 10
10
10
20
30
30
0
0
a) Condição Inicial Adotada
1 2 3 4
2
3
4
1
60
60
60
60
10
10
10
60 60 60 30 20
1040
40
40
30
30 20 10
10
10
20
30
30
0
0
b) Após calcular a linha j = 0
40 27,5 14,4
Figura 5.9: temperatura em dois momentos iniciais da solução iterativa
O cálculo segue linha por linha até varrer todo o domínio. O esquema da figura
5.10 (a) mostra os resultados no final da segunda linha ( j = 1 ) e a 5.10 (b), as
temperaturas após o final da terceira linha ( j = 2 ).
1 2 3 4
2
3
4
1
60
60
60
60
10
10
10
60 60 60 30 20
1040
40
42,5
30
15,5
10
20
30
0
0
a) Após calcular a linha j = 1
40 27,5 14,4
27,5
1 2 3 4
60
60
60
60
10
10
10
60 60 60 30
40
43,1
42,5
30
15,5
18,3
20
27,6
0
b) Após calcular a linha j = 2
40 27,5 14,4
27,5
20
10
Figura 5.10: mais dois momentos da solução iterativa
FT – 2012/1 - Revisão 1 121
Após percorrer todas as linhas, retornamos à linha inicial e assim sucessivamente,
sempre incorporando os novos resultados à medida que são calculados.
O cálculo só termina quando a variação de todas as temperaturas calculadas for
menor que um erro máximo admissível (por exemplo, 0,01°C). A figura 5.11 mostra o
resultado final.
1 2 3 4
4
60
60
60
60
10
10
10
60 60 60 43,19 36,94
30,6955,17
51,86
50,12
48,81
49,60 38,14 24,90
25,72
28,95
37,91
42,16
39,04
0
Solução
Figura 5.11: Solução pelo método iterativo com erro máximo 0,01°C
O cálculo iterativo é bastante ineficiente em termos de tempo computacional mas
tem a vantagem de ser facilmente implementado em linguagem de programação. Para
isso é preciso apenas definir a variação máxima permitida entre duas iterações
consecutivas. É interessante verificar também que algumas temperaturas da aproximação
da figura 5.11 estão bastante diferentes das calculadas com a solução matricial,
apresentadas na figura 5.7. Isto ocorre porque o limite de erro adotado na iteração
(0,01°C) foi relativamente alto.
É possível também implantar esse algoritmo diretamente em planilhas Excel,
conforme a figura 5.12. Em negrito estão os pontos com potencial fixo e em itálico os
pontos da fronteira impermeável.
Figura 5.12: implementação da solução iterativa em planilha eletrônica.
FT – 2012/1 - Revisão 1 122
Para que as fórmulas funcionem sem mensagem de erro é necessário alterar a
opção encontrada na caixa de diálogo acessada pela seleção do menu <Ferramentas>
<Opções> <Cálculo> e clicar na opção "Iteração" que normalmente fica em branco. A
figura 5.13 mostra a caixa de diálogo que deve ser ajustada.
Figura 5.13: acionamento da opção que permite usar solução iterativa no EXCEL.
5.2 REDES DE FLUXO
Vimos que a solução numérica permite traçar uma representação bi-dimensional
das Linhas Equipotenciais, como a apresentada na figura 5.8. Cruzando
perpendicularmente cada equipotencial encontram-se as Linhas de Fluxo, paralelas em
todos os pontos ao vetor densidade de fluxo. Essa construção geométrica das
equipotenciais e linhas de fluxo em um domínio recebe o nome de rede de fluxo.
A figura 5.14 mostra um exemplo de rede de fluxo em um corpo sólido.
C.C. T
Equipotencial
Linha de Fluxo
b
C.C. T a
Face isolada
Face isoladaCanal de Fluxo
Figura 5.14: Exemplo de rede de fluxo.
Clicar aqui
FT – 2012/1 - Revisão 1 123
As características gerais de uma rede de fluxo permitem que um problema bi-
dimensional seja resolvido aproximadamente de forma gráfica, desenhando uma rede de
fluxo, conforme se verá neste item.
____ Traçado das Redes de Fluxo
A rede de fluxo de um problema
dado pode ser traçada manualmente, num
processo de tentativa e erro, seguindo algumas regras simples. Uma rede assim
construída, dependendo da habilidade do desenhista, pode fornecer uma solução
bastante aceitável do problema. Para isso as regras são:
- identifique as linhas de fluxo e as linhas equipotenciais que limitam o problema;
lembrar que contornos isolados são linhas de fluxo e contornos com temperatura
constante imposta são equipotenciais;
- comece com um número reduzido de linhas de fluxo, acompanhando a forma
sugerida pelas linhas que limitam o domínio;
- trace as linhas equipotenciais mantendo os cruzamentos com as linhas de fluxo
em ângulos retos e
- procure manter as dimensões em y e x iguais, ou seja, obtendo os “quadrados
curvilíneos”;
- se não for possível, mude o número de linhas de fluxo e recomece.
- após acertar uma rede com pequeno número de quadrados, comece a
subdivisão, sempre seguindo as mesmas regras;
Ao finalizar o processo com uma rede aceitável, você terá M canais de fluxo e N
quedas de potencial e será possível calcular o fluxo total que atravessa o domínio.
____ Cálculo do Fluxo Total utilizando a Rede de Fluxo
Vamos demonstrar as propriedades quantitativas da rede de fluxo com ajuda do
domínio mostrado na figura 5.15. Trata-se de um domínio retangular de 0,30m de largura
por 0,80m de comprimento e com espessura L = 0,10m (perpendicular à página). Devido
à forma retangular do domínio a rede de fluxo fica de traçado muito simples, com
quadrados, conforme mostrado na própria figura 5.15.
100°C 20°C
equipotencial
linha de fluxo
90° 80° 30°
q i q i
Tj Tj+1
M = 3 canais de fluxo
N = 8 quedas de potencial
Face isolada, x = 80m
Figura 5.15: Rede de fluxo em um domínio retangular.
FT – 2012/1 - Revisão 1 124
Como as linhas de fluxo são sempre paralelas ao vetor densidade de fluxo,
nenhum calor pode atravessar uma LF. O resultado é como se os tubos de fluxo fossem
perfeitamente isolados (ou impermeáveis no caso da difusão de massa). Assim, a
quantidade de calor que penetra um tubo de fluxo deve ser igual à que sai no final.
Assim, temos o fluxo total:
M
i
iCalor qF
1
5.15
A contribuição ao Fluxo total fornecida pelo tubo de fluxo “i” é dada por Fourier:
x
j
yiii l
T
LlkqA
x
Tkq
; sendo yx ll e 1 jjj TTT 5.16
lembrando que lx = ly porque a rede é feita de quadrados e que “L” é a dimensão do corpo
perpendicular ao plano da figura.
Como há “N” quedas de potencial, a diferença entre duas equipotenciais quaisquer
é dada pela diferença total dividida por N. Com isso a equação 5.16 fica:
N
T
Lkq Totali
; sendo 21 TTTTotal 5.17
Como todos os tubos de fluxo são iguais, o fluxo total é “M” vezes o fluxo de cada tubo:
i
M
iCalor qMqF
1
TotalCalor TkN
LMF 5.18
____ Conferindo o resultado
Aplicando a equação 5.18 no caso da rede traçada na figura 5.15 o cálculo do fluxo
pela solução da rede de fluxo fica:
F = (3/8) 0,1 k 80 F = 3k W.
Mas o domínio do exemplo da figura 5.15 também pode ser resolvido
analiticamente, pois é muito simples. Tem-se um fluxo 1-D que pode ser resolvido
diretamente pela aplicação da fórmula de Fourier para todo o domínio.
Lk
,
)L,(k
L
TAkF 30
800
20100300
F = 3k W
Como a resposta fornecida pelo método da rede de fluxo coincide com a solução
analítica, demonstra-se que a rede de fluxo apresenta uma solução válida.
Observe também que na solução pelo traçado da rede, usando as equações 5.15 a
5.18, não utilizamos em nenhum momento a informação de que o domínio era retangular,
apenas as regras de construção da rede de fluxo. Portanto, o método baseado na rede de
fluxo será válido para qualquer forma do domínio.
O termo S = ML/N é chamado de fator de forma da rede de fluxo, e pode ser
encontrado na bibliografia para vários problemas práticos importantes.
Observe ainda que para traçar a rede de fluxo não foi necessário conhecer o valor
da condutividade térmica nem dos potenciais nos contornos. Isso indica que a rede só
FT – 2012/1 - Revisão 1 125
depende das proporções do domínio. Um fator de forma S continua válido quando mudam
o material ( variação de k) e/ou as condições de contorno (Temperaturas nas fronteiras).
Exemplo 1: A figura 5.16 mostra um exemplo de rede de fluxo desenhada para um canto
de chaminé retangular.
Linhas de
Simetria
T 1
T 2
T 1
T 2
T jq i
q i
Equipotenciais
"Isotermas"
Linhas de Fluxo
"Adiabáticas"
x
y
y
x
T j
q i
(a)
(b)
(c)
Figura 5.16: Rede de fluxo para uma chaminé retangular. a) domínio; b) rede; c) termos da eq. 5.16
Observe que o fator de forma para a rede traçada na figura é M/N = 5/6 (neste
problema podemos considerar L = 1). Como o domínio da rede é 1/8 do domínio total, é
preciso calcular o fluxo que atravessa a seção do desenho e multiplicar por 8 para obter o
fluxo de calor total que atravessa a seção da chaminé desenhada em (a).
Exemplo 2: Imagine uma chaminé com seção interior circular, conforme a figura 5.17. A
figura 5.18 mostra a solução, também considerando apenas uma parte do domínio total,
devido à simetria.
Ti
Te
Seção simétrica
Figura 5.17: Esquema da chaminé e domínio utilizado para o traçado da rede de fluxo do problema.
FT – 2012/1 - Revisão 1 126
T1
T2
Linha de simetria
e adiabática
Linha de simetria
e adiabática
M = 3
N = 6
Figura 5.18: Rede de fluxo para uma chaminé com seção interior circular.
Para a rede da figura 5.18 o fator de forma é M/N = 3/6. Com o fator de forma e as
condutividades térmicas e temperaturas é possível calcular o fluxo, usando a equação
5.18.
Exemplo 3: A figura 5.19 mostra um domínio em que ocorre o movimento de água do
solo em direção a um poço que retira água de um aqüífero confinado.
bAquífero confinado
Camada impermeável
Camada impermeável
Rebaixamento da
superf. piezométrica
declividade = i
Superf. piezométrica original
Superfície do soloQ
Figura 5.19: Perfil da região de um poço, com a superfície de carga piezométrica original e o
rebaixamento devido à retirada da vazão Q pelo poço.
FT – 2012/1 - Revisão 1 127
A rede de fluxo traçada para o problema do poço desenvolve-se no plano horizontal
(x – y), conforme apresentado na figura 5.20. A Rede de fluxo mostra a área do aqüífero
que fornece água para o poço. Esta região do aquífero que fornece água para o poço é
chamada de zona de captura, e aumenta com a vazão retirada pelo poço.
Linhas
Equipotenciais
Zona de Captura
Linhas
de Fluxo
-xL
+yL
-y L
L = limite da
água que penetra
no poçoy
x
Figura 5.20: Rede de fluxo em um problema de águas subterrâneas.
5.3 MÉTODO DO BALANÇO DE ENERGIA
Na utilização deste método considera-se que cada ponto representa uma região do
domínio que recebe fluxos de calor dos elementos adjacentes e monta-se o balanço. Veja
a figura 5.21.
i i+1
j+1
j
j-1
elemento i, j
i-1
x
y
q
1
q
2
q
3
q
4
Figura 5.21 : balanço de fluxos
Equações:
x
TT
yK
x
TAKq jiji
,,11 1
y
TT
xK
y
TAKq jiji
,1,2 1
x
TT
yK
x
TAKq jiji
,,13 1
y
TT
xK
y
TAKq jiji
,1,4 1
Do balanço temos:
t
Tmc
t
Eqqqq
4321
FT – 2012/1 - Revisão 1 128
Substituindo a massa do elemento e os fluxos:
y
TT
xK
x
TT
yK
y
TT
xK
x
TT
yK
t
TT
ycx jijijijijijjiji
k
ji
k
ji
,1,,,1,1,1,,1,
1
,
pode-se mostrar facilmente que, simplificando a equação anterior, chega-se à mesma
solução resultante da aplicação direta, sobre a equação da difusão, dos esquemas de
diferenças finitas.
O método do balanço em elementos discretos é fácil de empregar em qualquer
domínio, porque não exige a dedução prévia da equação diferencial que rege o problema.
Veja o exemplo da figura 5.22 com condições de contorno convectivas em regime
permanente.
i
j+1
j
j-1
i-1
x
y q
1
q
2
q
3
q
c
Ar
T
ch
Figura 5.22: Elemento com CC convectiva
Balanço: cqqqq 321
y
TTxKq jiji
,1,1 2
y
TTxKq jiji
,1,2 2
x
TT
yKq jiji
,,13
)( , TTyhq jicc
Qualquer sentido dos fluxos é válido para o balanço. O usual é considerar todos os
fluxos entrando. A variação de temperatura usada na fórmula é sempre dada pela
temperatura do ponto de origem menos a de destino. Caso o fluxo seja de saída o T fica
negativo e a fórmula se corrige automaticamente.
_____ Exemplo numérico do método do balanço de energia
Calcule o perfil de temperaturas e o calor transferido pela aleta da figura 5.23, de
liga de alumínio (k = 177 W/mK ) com seção circular com 6mm de diâmetro e 35 mm de
comprimento. O bloco na base da aleta está a 200°C e o ar a 40°C. O coeficiente médio
de transferência por convecção é h = 20W/m2K
Solução:
_____ a) definir a discretização a ser adotada
4 7 mm
35 mm
1 2 3 4 5 6 7 8
6 mm
Figura 5.23: Esquema da aleta com a discretização adotada.
FT – 2012/1 - Revisão 1 129
Os elementos escolhidos possuem tamanhos diferentes. Para os elementos 1 a 6 a
equação é idêntica. O elemento 7 possui diferença no cálculo do gradiente de
temperatura de saída e o elemento 8 possui maior área de convecção.
_____ b) escrever o balanço de energia para todos os elementos
Para os elementos internos 1 a 7 o balanço de energia segue o esquema abaixo à
esquerda e o esquema para o elemento 8, da extremidade, aparece a direita:
ii-1
x
q
1
q
2
q
c
T ch
i + 1
x
1
1 2
elementos 1 a 7
87
q
1
q
c T
ch
x 1= 5,5mm
elemento 8
O balanço de energia para os elementos 1 a 7 fica:
cqqq 21 )(
2
1
1
1
TTAh
x
TTkA
x
TTkA iLciiii
Para o elemento 8 temos : q1 = qc
e a equação perde o segundo termo do primeiro termo.
_____ c) determinação das constantes numéricas do balanço
2511,1
004,0
003,0177 2
x
kA ; para os elementos 2 a 6
5023,2
002,0
003,0177 2
x
kA ; entre a base e o elemento 1
9099,0
0055,0
003,0177 2
x
kA ; para o fluxo entre 7 e 8
001508,0004,0006,020 Lc Ah ; para elementos 1 a 7
00320,0)003,0007,0006,0(20 2 Lc Ah , para elemento 8.
_____ d) Montagem das equações de todos os elementos:
Elemento 1: 2,5023(Tb -T1) +1,2511(T2-T1) = 0,001508(T1-T); com Tb = 200 e T=40;
– 3,754908T1+1,2511T2 = – 500,52032
Elemento 2: 1,2511(T1 – T2) + 1,2511(T3 – T2) = 0,001508(T2 – 40)
1,2511T1 – 2,503708T2 + 1,2511T3 = – 0,06032
Elemento 3: 1,2511T2 – 2,503708T3 + 1,2511T4 = – 0,06032
FT – 2012/1 - Revisão 1 130
Elementos 4 a 6 : equações possuem os mesmos coeficientes do elemento 3
Elemento 7: 1,2511(T6-T7) + 0,9099(T8-T7) = 0,001508(T7-40)
1,2511T6 – 2,162508T7 + 0,9099T8 = –0,06032
Elemento 8: 0,9099(T7-T8) = 0,00320(T8-40)
0,9099T7 – 0,9131T8 = –0,128
_____ e) Montagem da matriz e solução do sistema linear
128,0
06032,0
06032,0
06032,0
06032,0
06032,0
06032,0
52,500
9131,09099,0
9099,01625,22511,1
2511,15037,22511,1
2511,15037,22511,1
2511,15037,22511,1
2511,15037,2.2511,1
2511,15037,22511,1
2511,17549,3
8
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
T
Um método eficiente para resolver matrizes diagonais deste tipo, especialmente
quando o número de elementos é muito grande é utilizar operações de linha e coluna para
transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular superior. Utilizando este
método na matriz anterior obtém-se a seguinte matriz:
Finalmente, resolvendo-se o sistema obtém-se:
192
193
193
194
195
196
198
199
192,372
192,908
193,482
194,241
195,186
196,318
197,638
199,149
8
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
T
_____ f) Cálculo do calor transferido
A determinação do calor transferido pode ser feita calculando-se o fluxo na base ou
integrando os fluxos de convecção perdidos pelos 8 elementos.
192,3722
34,70559
30,64413
36,25474
44,35209
57,06757
79,94284
133,2976
10000000
0,82238-1000000
00,84412-100000
000,81654-10000
0000,77653-1000
00000,71342-100
000000,59952-10
0000000,33319-1
8
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
T
Lembre-se que para
apresentar a resposta
devemos usar apenas os
algarismos significativos!
FT – 2012/1 - Revisão 1 131
O fluxo na base pode ser aproximado numericamente por:
WTT
x
kAF bAleta 204,0)149,199200(5023,2)( 1
Integrando os fluxos convectivos nos 8 elementos temos:
8
1
8
7
1
)40(00320,0)280(001508,0)(
i
iiicAleta TTTTAhF
WFAleta 13,2487,0642,1
Observe como os dois valores são muito diferentes. Nesse caso é preferível o
segundo método de cálculo porque o erro na avaliação por diferenças finitas do gradiente
na base é muito grande. Portanto, a dissipação de calor total da aleta é 2,13W.
Apenas a título de exemplo pode-se calcular a eficiência da aleta, dada pela
relação entre o fluxo que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base
e o fluxo real transferido:
967,0
20,2
13,2
Máximo
Aleta
F
F
No cálculo acima considerou-se a área superficial total da aleta
ATotal = 6,8810-4m2. A eficiência elevada deve-se às altas temperaturas resultantes ao
longo da aleta.
Um exercício interessante é comparar a aproximação numérica aqui obtida com a
solução teórica para aletas curtas, conforme equação apresentada no item 5.6 destas
notas.
_____ Alternativa de Solução Utilizando o Solver do Excel
É possível usar a planilha eletrônica em problemas numéricos simples como o
deste exemplo, usando a ferramenta “Solver”, conforme apresentado na figura 5.24. A
construção da planilha se baseia em atribuir uma célula para a temperatura de cada
elemento. Inicialmente essas temperaturas são adotadas com base em qualquer critério,
preenchendo as células C2 a J2, conforme se vê na figura.
As linhas 5 e 6 foram preenchidas com as constantes numéricas do balanço,
calculadas no item (c) da solução. As equações de cada elemento foram inseridas com
base no item d). A dica é que cada equação foi dividida em Lado Direito (primeiro
membro) e Lado Esquerdo (segundo membro). Esses termos correspondem às células
C8 a J8 (LE) e C9 a J9 (LD). A figura permite observar a equação do LE do elemento 1 na
barra de fórmulas.
Com essa estratégia de construção da planilha é possível calcular o erro da
estimativa inicial em cada elemento, conforme a linha 11. Por exemplo, C11= C8 – C9, e
assim por diante. Se a estimativa das temperaturas for correta o erro (LE-LD) torna-se
nulo para todos os elementos. Portanto, a somatória dos erros de todos os elementos
também se anularia. Tratando-se de uma solução numérica, utilizamos o Solver para
FT – 2012/1 - Revisão 1 132
minimizar a célula E13, que contém a soma dos erros. Para evitar que um erro grande
positivo compense outro erro grande, porém negativo, são usadas as restrições adicionais
das células E15 e E16, limitando o erro em cada elemento.
Figura 5.24: Montagem do problema numérico para uso do Solver
Uma vez montada a solução podemos perceber que qualquer mudança nas
temperaturas indicadas nas células C1 a C8 altera o erro do elemento considerado e
também a soma dos erros. Observe que uma busca manual por tentativas não é tarefa
fácil. Felizmente o Solver é melhor que nós nesta tarefa. A figura 5.25 mostra a tela de
diálogos do Solver em que as informações da planilha são fornecidas.
O caminho dos Menus para abrir o diálogo é “Ferramentas” “Solver”. Se essa
opção não aparecer na sua planilha, provavelmente é porque as ferramentas de análise
não foram carregadas. Para carregá-las selecione os Menus “Ferramentas”
“Ferramentas de Análise” e aparecerá uma caixa de diálogo em que é possível selecionar
o “Solver”, bem como uma série de ferramentas interessantes que normalmente não são
ativadas na instalação padrão do Excel.
Figura 5.25: Diálogo com as informações para disparar o Solver.
FT – 2012/1 - Revisão 1 133
Observe na figura 5.25 que a célula de destino “$E$13” é a que desejamos
minimizar, conforme o botão “Min” selecionado logo abaixo. A célula E13 calcula a
somatória dos erros de todos os elementos. A janela de “Células variáveis” mostra as
células que contêm as temperaturas de cada elemento. O Solver irá atribuir valores a
essas células para atingir o objetivo de minimizar E13.
As restrições adicionais aparecem no quadro inferior. Selecione o botão “Adicionar”
e um diálogo semelhante às demais seleções do Excel aparecerá, permitindo a seleção
da faixa de células dos erros individuais “C11 a J11”, bem como o critério, no primeiro
caso “<=” e a célula para comparação “E15”, que contém o máximo valor aceito para o
erro individual de cada elemento. Repete-se o processo para entrar o mínimo valor
admitido, completando as duas restrições impostas para a solução.
Com a caixa de diálogo de parâmetros completamente especificada, pressione
“Resolver” e aprecie o resultado. Lembre-se que toda solução numérica fornece uma
estimativa aproximada da solução. A solução obtida a partir da solução inicial e
parâmetros fornecidos foi: {199,1; 197,6; 196,2; 195,0; 194,1; 193,3; 192,7; 192,2}, que
corresponde às temperaturas dos elementos. Observe que a solução é próxima da
fornecida pelo sistema matricial.
Como acontece com todo programa, não basta ler, é importante que você
implemente passo a passo esta planilha para compreender e captar todos os detalhes.
5.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5.4.1 Usando a rede de fluxo traçada na figura 5.16 para a chaminé retangular, calcule o
fluxo de calor perdido em 6m de chaminé, sabendo que a temperatura interna é de 80°C e
a externa 25°C. O material da chaminé possui condutividade térmica k = 150W/m.K. Se a
seção interior da chaminé for reduzida em 25% do seu tamanho original haverá mudanças
no fator de forma? Justifique.
5.4.2 Considere a rede de fluxo traçada para a chaminé de seção interna circular, na
figura 5.18. Sabendo que o material possui condutividade térmica k = 150 W/m.K e as
temperaturas interna e externa são, respectivamente, 80°C e 25°C, calcule o fluxo de
calor perdido em 6m de chaminé. Se for construída uma chaminé com o dobro das
dimensões da seção transversal mostrada na figura 5.18, mas com a mesma altura de
6m, mantendo-se as demais condições de contorno, haverá mudança no fluxo de calor
transferido ao exterior? Justifique.
5.4.3. Considere a rede de fluxo bidimensional do poço no aqüífero confinado, na figura
5.20. Sabe-se que a última equipotencial que aparece à direita na figura é de carga
piezométrica H1 =100m e que o poço está com o nível da água na cota piezométrica
H2=80m. Sabendo que o aqüífero possui espessura b = 10m, e condutividade hidráulica K
= 110-6m/s, calcule o fator de forma da rede de fluxo e a vazão Q extraída do poço.
FT – 2012/1 - Revisão 1 134
5.4.4 Um componente eletrônico em forma de disco com D = 15mm está colado sobre
um bloco de alumínio (k = 237 w/m°C) que atua como dissipador de calor. Em pontos
afastados do componente a temperatura do bloco é Tb = 25°C. A temperatura do
componente eletrônico pode ser considerada constante e igual a Tc. A outra superfície do
componente está exposta ao ar com T = 25°C em um escoamento com hc = 25W/m2K.
Sabe-se (Tab. 4.1 Incropera) que foi traçada uma rede de fluxo para esta geometria de
fluxo bidimensional e o fator de forma calculado foi S = 2D (Obs S = ML/N). Qual a
máxima potência admissível para o componente sabendo que sua temperatura, suposta
uniforme, não deve ultrapassar 100°C? Considere desprezível o calor transferido pela
face lateral da pastilha do componente.
5.4.5. A figura mostra trecho de um domínio formado
por dois materiais diferentes, no interior do qual ocorre
difusão bidimensional de calor em regime permanente.
(a) Monte a equação do balanço dos fluxos de calor no
elemento representado pelo ponto (i,j) da figura, para
uma malha quadrada de discretização (x = y); (b)
simplifique a equação para representar a temperatura
(i,j) em função das temperaturas adjacentes. OBS:
Desconsidere a resistência de contato
i,j i+1 , j
i,j+1
i-1,j
i,j-1
material 2; k2
material 1; k1
Fronteira
5.4.6. A figura mostra o corte de um corpo que conduz calor em regime permanente 2-D,
discretizado com y = 1,5x. Parte do contorno está a temperatura constante e parte em
contato com o ar a 20°C, perdendo calor por convecção. O restante é isolado conforme a
figura. A dimensão perpendicular ao papel é 1m e a condutividade térmica é k =
10W/m°C. Utilizando o balanço de energia para cada elemento discretizado representado
pelos nós pede-se deduzir a equação para a temperatura dos nós (1,3); (3,4); (4,2) e
(4,0).
T = 60°C isolado
i = 0 1 2 3 4
j = 0
2
3
4
1
h = 10W/m °C2
FT – 2012/1 - Revisão 1 135
CAPÍTULO 6
APLICAÇÃO - TRANSFERÊNCIA DE CALOR
6.1 MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
T1 T2
T1 T2
Escoamento, T
Ts Too
oo
Ts
qq q
q
1
2
T1
T2
a) Condução b) Convecção c) Radiação
sólidos ou fluido parado de uma superfície para fluido em movimento troca líquida entre 2 superfícies
k c
Figura 6.1: modos de transferência de calor
Para resolver problemas de difusão de calor é necessário definir as condições de
contorno nas fronteiras do domínio. Os três mecanismos básicos de transferência de calor
são a condução (difusão molecular), a convecção (na fronteira com fluidos) e a radiação
térmica.
A condução transfere calor através de sólidos e de fluidos parados. A convecção é
um fenômeno advectivo e ocorre sempre que uma superfície entra em contato com fluidos
(gases ou líquidos) com temperatura diferente. A radiação tem grande importância nos
problemas de transferência de calor em edificações e na natureza devido à radiação
solar. A radiação é transmitida por ondas eletromagnéticas e é a única forma de
transmissão de energia que ocorre através do vácuo.
A convecção irá surgir nos problemas que apresentam interface entre sólido e
fluido, definindo
uma condição de contorno advectiva.
6.2 EXEMPLOS UNIDIMENSIONAIS
___Condução: Resistência Térmica
Imagine uma parede infinita de espessura L com as superfícies interna e externa
com temperaturas uniformes. O resultado é uma densidade de fluxo unidimensional na
direção x, conforme a figura 6.2.
FT – 2012/1 - Revisão 1 136
L
x
y
z q'k
T1
T2
L
q'
k
Parede Plana 1-D
Perspectiva Corte e Perfil
de Temperatura
Figura 6.2: Difusão de calor 1 – D.
Com as informações da figura 6.2 é possível calcular a densidade de fluxo por
condução. Inicialmente calculamos a distribuição de temperaturas T(x). Sabemos tratar-se
de uma reta porque o regime é permanente. Temos:
T(x) = a + b x dT/dx = b
Com as informações do problema, b = (T2 – T1) /L = - (T1 – T2) / L
L
TTk
dx
dTk'q k 21
)TT(
L
AkA'qF kk 21
)W/C(
Ak
LRcom
R
)TT(F k
k
k 21 6.1
A equação 6.1 define a Resistência Térmica Total à Condução Rk O índice “k” refere-
se ao processo por condução. Observe que o Fluxo fica igual à diferença de potencial
dividida pela resistência total.
É possível definir também a Resistência Térmica Unitária, considerando uma área de 1
m2, utilizada para cálculos de densidades de fluxo:
k
F R
TTD
k
21 com )W/Cm(
k
LRk
2 6.2
Atenção porque a notação é a mesma. Para transformar uma resistência térmica unitária
na resistência total é necessário dividir pela área:
)m(A
)W/mC(R
)W/C(R Unitária,kTotal,k 2
2
O inverso da resistência é a Condutância Térmica, Kk (W/°C ou W/m2°C).
FT – 2012/1 - Revisão 1 137
___Convecção: Resistência Térmica
Normalmente uma parede como a do item anterior troca calor com o ar na
superfície, formando uma Condição de Contorno Convectiva. Isto implica que a parede
deve estar mais quente que o ar para que exista a transferência.
Chamando a temperatura na superfície da parede de Ts e a temperatura do ar de T
conforme a figura 6.3, podemos definir a Resistência Térmica à Convecção, Rc .
T1
Ts
L
q'
k
q'
c
T
Figura 6.3: Contorno advectivo.
Fluxo por convecção:
)(' TTAhAqF sccc
c
s
c R
TTF )( 6.3
Resistência:
)/(1 WC
Ah
R
c
c 6.4
Condutância:
)/(1 CWAh
R
K c
c
c 6.5
___Convecção e Radiação
Em paredes externas de edificações pode ocorrer simultaneamente a troca de calor por
convecção e absorção da radiação solar, num mecanismo em paralelo, conforme a figura
6.4.
Ts,e
Ts,i
q'k
q'c,i
Ti
Te
q'c,e
q'
r
Figura 6.4: Radiação e convecção.
Fluxo por radiação:
)(' ,eserrr TTAhAqF
Resistência:
Ah
R
R
TF
r
r
r
r
1 6.6
Fluxo Total:
TAhhFFF crcr )(
FT – 2012/1 - Revisão 1 138
___Analogia Elétrica
O circuito térmico equivalente à parede da figura 6.4 é:
Rc,e
Rc,i
Rr,e
Rk
qr,e
qc,e
qk qc,i
Ti
Ts,iTs,e
Te
Te
Mecanismos em Série: iRR 6.7a
iKK
11
6.7b
Mecanismos em Paralelo: iKK 6.8a
iRR
11
6.8b
___Exercícios
6.2.1) Calcule a resistência térmica na transferência por condução de uma parede
em alvenaria de tijolos (L=0,11m) revestida de reboco interno e externo com 0,02m de
espessura em cada camada.
Dados: tijolo, k = 0,72 W/m°C; argamassa, k = 0,85 W/m°C
6.2.2) Calcule a resistência térmica total da parede do exemplo 1, sabendo que a
parede não recebe radiação solar direta e que os coeficientes globais de transferência por
convecção interno e externo são, respectivamente, hi = 8 W/m2°C e he = 20 W/m2°C
6.2.3) Calcule o Fluxo total transmitido pela parede do exercício anterior, sabendo
que sua área é 9m2 e que as temperaturas externa e interna são, respectivamente, 32°C
e 21°C.
6.2.4) Considere uma parede composta que inclui um painel externo de madeira com
10mm de espessura e na face interna um painel de gesso acartonado também com 10mm de
espessura, separados por uma distância de 100mm. Os painéis são unidos por meio de peças de
madeira que ocupam 20% da área da parede e o espaço restante entre os painéis é preenchido
com um isolamento de fibra de vidro, que ocupa os restantes 80% da área. Pede-se: a) calcular a
resistência térmica total de uma parede de 2,5m de altura por 6,5m de largura b) o fluxo de calor
perdido pela parede quando a temperatura do ar externo é Te = 0°C e a do ar interior é Ti = 20°C;
c) a temperatura Tsi da superfície interna da parede.
Dados:
Condutividades : madeira k1 = 0,15W/m.K; fibra de vidro k2 = 0,04W/m.K;
painel de gesso k3 = 0,20W/m.K
Coeficientes de transf por convecção: interno hi = 4 W/m2°C; externo he = 10 W/m2°C.
FT – 2012/1 - Revisão 1 139
6.3 TRANSFERÊNCIA de CALOR em EDIFICAÇÕES
___Radiação Térmica
Embora outros comprimentos de onda também tenham efeitos térmicos, o termo
“Radiação Térmica” refere-se à parte infravermelha do espectro de radiação incluindo as
seguintes bandas: Onda curta, entre 700 e 2300 nm (nano-metros = 10-9m);
Onda longa, entre 2.300 e 10.000 nm.
O comprimento de onda do espectro de radiação depende da temperatura. Corpos a
temperaturas terrestres normais emitem infravermelho longo, enquanto que o sol emite
infravermelho curto, luz e um pouco de ultravioleta.
Superfícies opacas: a radiação incidente em uma superfície opaca pode ser
parcialmente absorvida e parcialmente refletida, dependendo das propriedades
absortividade () e refletividade ( ), sendo que .
Superfícies transparentes: nesse caso uma parte pode ser transmitida, dependendo da
transmissividade () do corpo. Nesse caso, .
Para uma mesma superfície a emissividade e a absortividade são iguais para um
mesmo comprimento de onda (temperatura), mas ambas variam com o comprimento de
onda. Para facilitar, usaremos emissividade quando a radiação for de onda longa e
absortividade quando a radiação for de onda curta.
Os materiais de construção podem ser divididos em dois grupos bem definidos: os
metálicos, com emissividades entre 0,05 e 0,30; e os não metálicos, com emissividades
entre 0,85 a 0,90. De forma simplificada, podem ser usados os valores seguintes:
= 0,9 para materiais de construção normais
= 0,05 para alumínio polido
= 0,2 para ferro galvanizado
= 0,9 para superfícies escuras-pretas
= 0,2 para superfícies brancas ou metal polido
___Cálculo simplificado do Fluxo em paredes com radiação
A densidade de Fluxo absorvido pela incidência de sol é dada por:
Iqr 6.9
em que I = intensidade de radiação solar incidente em ondas curtas (W/m2). A figura 6.5
apresenta a divisão da radiação em fechamentos opacos, caso da maioria das paredes
comuns.
FT – 2012/1 - Revisão 1 140
I g
Ig
Ig
Radiação solar
Radiação solar
refletida
Parcela absorvida
dissipada p/ o interior
Parcela absorvida
dissipada p/ o exterior
Incidente
Parede opaca
)
h e
K Ig ( 1 -
h e
K Ig
Figura 6.5: Divisão da radiação incidente em fechamentos opacos
O balanço de energia na superfície precisaria ainda considerar a radiação em
ondas longas, tanto a emitida pela parede para a atmosfera quanto a recebida da
atmosfera pela parede. Entretanto, nos cálculos simplificados para fins de avaliação de
cargas térmicas em edificações esse balanço é ignorado.
Com a densidade absorvida em ondas curtas calcula-se um acréscimo de
temperatura equivalente na superfície, dado por:
e
esol
e
sol
r h
IRIT
R
Tq 6.10
em que Re é a resistência pelicular externa da parede ( a mesma usada no cálculo da
fronteira convectiva ), dada em m2°C/W. Portanto, Tsol
pode ser interpretado como o
acréscimo de temperatura necessário no ar externo para transferir por convecção para a
parede um fluxo igual ao absorvido pela superfície.
O conceito não muito natural de Tsol permite calcular facilmente a parcela do calor
absorvido na superfície que é transmitida para o interior através da parede, conforme
segue:
)( iesol
total TTTK
A
F
q 6.11
em que K é a condutância total da parede em (W/m2°C), conforme a equação 6.7. O
cálculo inclui as condições de contorno convectivas em série com as transferências por
condução.
___Exemplos Numéricos
Exemplo 6.3.1) Calcule a densidade de fluxo térmico que atravessa uma parede de
fechamento de tijolo maciço com reboco, com condutância térmica K = 3,57 W/m2°C,
sabendo que a temperatura externa é 33°C, a interna 23°C e que a radiação solar
incidente é I = 715 W/m2.
Solução:
Adotamos = 0,3 (superfície de cor branca) e Re = 0,04 m2°C/W.
FT – 2012/1 - Revisão 1 141
Rc,e Rc,iRk
qc,e qk
qc,i
Ti
Ts,iTs,eT +e TSol
Usando a equação 6.10:
q = K ( I Re + Te – Ti ) = 3,57 (0,3 x 715 x 0,04 +33 – 23 ) = 66,33 W/m2.
Isto significa que 66 watts de calor estão penetrando no ambiente a cada m2 do
fechamento. Observe que, sem considerar a radiação incidente o valor cairia para
35,7 W/m2.
Exemplo 6.3.2) Calcule a densidade de fluxo térmico que atravessa o telhado de uma
residência popular sem forro, como a da figura, coberta com telhas de fibrocimento de
6mm de espessura. Dados: Ti = 28°C; radiação solar incidente I = 815 W/m2;
condutividade térmica da telha de fibrocimento k = 0,41 W/mK; coeficientes de
transferência por convecção externo he = 23 W/m2K e interno hi= 5,8 W/m2K.
te = 32°C
t = ti e
R t 1
Q 1
U 1
t = te +
2L = 6,00
H
2,50
Tsol
Solução:
a) cálculo de TSol : TSol = I Re
Adotamos a absortividade da telha = 0,85, na pior condição (enegrecida pelo tempo)
Re = 1/he = 1/23 = 0,044 m2°C/W.
Tsol = 0,85 x 815 x 0,044 = 30,5°C
b) cálculo da condutância total K
mecanismos em série, segundo a figura:
RTotal = Rc,e + Rk,telha + Rc,i = 1/he + L/ktelha + 1/hi
RTotal = 1/23 + 0,006/0,41 + 1/5,8 °Cm2/W
RTotal = 0,0435 + 0,0146 + 0,1724 = 0,2305 °Cm2/W
Observe que a resistência interna à convecção é a maior barreira ao fluxo de calor.
K = 1/RTotal = 4,34 W/m2°C
c) cálculo da densidade de fluxo
q = K TTotal = K ( TSol + Te - Ti ) q = 150 W/m2
Exemplo 6.3.3) Calcule a redução na densidade de fluxo térmico que penetra na
residência do Exemplo 2 caso seja instalado um forro simples de madeira prensada com
6mm de espessura e condutividade térmica k = 0,14 W/mK. Os demais dados são os
mesmos do caso anterior.
FT – 2012/1 - Revisão 1 142
Solução:
Te = 32°C
T = 28°C i
R t 1
2L = 6,00
2,50
T = Te +Tsol
R t 2
Ta
a) cálculo de TSol : TSol = I Re = 30,5°C (mesmas condições do ex.2)
b) cálculo da condutância total
Trata-se de um circuito térmico com fluxos em série, visto que todo o fluxo que chega ao
ático é transferido para o interior da residência. O esquema é dado abaixo:
Rc,e Rc,iRk
qc,e qk,telha
qc,i
Ta
Ts,iTs,eT +e TSol
Rc,i Rc,iRk
qc,i qk,forro
qc,i
Ti
Tf,iTf,s
RTotal = Rc,e + Rk,telha + Rc,i + Rc,i + Rk,forro + Rc,i
RTotal = 1/he + L/ktelha + 1/hi + 1/hj + L/kforro + 1/hi
RTotal = 1/23 + 0,006/0,41 + 1/5,8 + 1/5,8 + 0,006/0,14 + 1/5,8 °Cm2/W
RTotal = 0,0435 + 0,0146 + 0,1724 + 0,1724 + 0,0429 + 0,1724 = 0,6182 °Cm2/W
K = 1/RTotal = 1,62 W/m2°C
c) cálculo da densidade de fluxo
q = K TTotal = K ( TSol + Te - Ti ) q = 56 W/m2
Conclusão: observa-se que a colocação de um forro simples reduziu a entrada de calor a
cerca de 37% do valor original (sem forro) do exemplo 2, que foi de 150 W/m2 .
Exemplo 6.3.4) Calcule a redução na densidade de fluxo térmico que penetra na
residência do Exemplo 3 caso o ático seja ventilado conforme a figura. Pode-se supor que
a vazão de ar é suficiente para renovar o volume do ático a cada minuto. Os demais
dados são os mesmos do caso anterior. Portanto, TSol = I Re = 30,5°C.
Considere os dados do ar sendo: massa específica = 1,2kg/m3 e calor específico a
pressão constante cP = 1000J/kgºC.
Solução:
a) balanço de energia
Este problema difere dos anteriores porque o balanço de energia no ático possui
um termo advectivo, representado pela energia levada pelo ar quente que deixa o ático.
Assim, o balanço de energia considerando escoamento permanente no ático fica:
2,1 FFF arAdv
FT – 2012/1 - Revisão 1 143
em que F1 é o fluxo que penetra o telhado e F2 é o que chega ao interior através do forro.
Te = 32°C
T = 28°C i
R t 1
T = Te +Tsol
R t 2
Ta
Qe , Te
Ar Frio
Ar Frio
Ar Quente
Qsai , Tsai
Figura: Exemplo 4
b) Cálculo do fluxo advectivo levado pelo ar de ventilação
)(,, eapararparMarAdv TTcQTcFF
Inserimos uma simplificação ao transformar o fluxo de massa do ar para fluxo de
volume (vazão), pois consideramos uma massa específica constante para o ar. A rigor o
ar sai com menor massa específica que entra, pois se aquece no interior do ático. Assim,
os fluxos de massa de entrada e saída são iguais, mas não as vazões de ar.
Vamos introduzir outra simplificação ao considerar a temperatura do ático como
sendo a média entre as temperaturas de entrada e saída:
2
saie
a
TT
T
Com essas duas considerações simplificadoras o fluxo advectivo fica:
61049832832
260
,T,)TT(,)TeTsai(c
Vol
F saiesaip
Ático
arar,Adv *
em que consideramos 2 beirais de 0,50m cada e a inclinação do telhado de 15°,
resultando um volume do ático de 3,28m3.
c) Cálculo dos fluxos F1 e F2 pela analogia elétrica
Fluxo que chega ao ático F1:
O circuito térmico equivalente é o mesmo do Exemplo 2, assim como o valor da
condutância:
Rc,e Rc,iRk
qc,e qk
qc,i
Ta
Ts,iTs,eT +e TSol
Do exemplo 2 temos K = 1/RTotal = 4,34 W/m2°C. Portanto o fluxo é:
sai
saisaie
SoleTelha T,)
T
,(,,)
TT
TT(AKF 7151463
22
3253032257344
21
*
em que se considerou, como no cálculo do fluxo advectivo, 1m de seção do telhado e a
inclinação de 15° para encontrar a área ATelha = 7,25m2.
FT – 2012/1 - Revisão 1 144
O circuito térmico equivalente para determinar o fluxo F2 é o mesmo do Exemplo 3
entre o ático e o interior:
Ta
Rc,i Rc,iRk
qc,i qk,forro
qc,i
Ti
Tf,iTf,s
RTotal = Rc,i + Rk,forro + Rc,i = 1/hi + L/kforro + 1/hi = 1/5,8 + 0,006/0,14 + 1/5,8
RTotal = 0,3877 °Cm2/W K = 1/RTotal = 2,58 W/m2°C
Portanto o fluxo F2 é:
7618574712
2
4815
2
0065822 ,T,)
T(,)TTT(,,TAKF saisaiisaieForro *
Observe que desprezamos os beirais no cálculo da área do forro (6,0 m2).
d) Solução das equações para Tsai e F2
Unindo as três equações marcadas com asterisco (*) no balanço, temos apenas a
temperatura de saída do ar como incógnita.
76185747610498327151463 ,T,,T,T, saisaisai
cuja solução é Tsai = 47,9°C.
Usando este resultado pode-se calcular os fluxos F1 e F2 . Estamos interessados
no fluxo que penetra a residência:
F2 = 7,74 (47,9) – 185,76 F2 = 185 W
Conclusão:
No exemplo 3 calculou-se uma densidade de fluxo no forro, q = 56 W/m2. Para
comparar os resultados é preciso multiplicar pela área do forro considerada no exemplo
AForro = 6m2 , obtendo-se um fluxo total de 336W para cada metro da habitação na direção
perpendicular à do corte mostrado nas figuras.
Portanto o fluxo para o interior reduziu-se para 55% do valor obtido sem
ventilação. A instalação de um forro simples com ático ventilado reduziu a penetração de
calor a apenas 21%
do valor da situação inicial da residência sem forro
___Fechamentos Transparentes: Fator Solar
As principais trocas térmicas em uma edificação ocorrem geralmente nesses
fechamentos, que compreendem janelas, clarabóias e qualquer outro elemento
transparente na arquitetura. A figura 6.6 mostra a divisão da radiação incidente em uma
parede translúcida.
FT – 2012/1 - Revisão 1 145
I g
Ig
Radiação solar
refletida
dissipada
p/ o interior
dissipada
p/ o exterior
Ig
2
Incidente
Parede translúcida
Ig
2
Ig
transmitida
p/ o interior
Figura 6.6: Divisão da radiação incidente em fechamentos translúcidos
Nos fechamentos transparentes ocorrem os três tipos básicos de trocas térmicas.
Com relação à convecção e a condução o tratamento é o mesmo dos fechamentos
opacos. Entretanto, a radiação torna-se o principal fator devido à parcela transmitida
diretamente para o interior, que depende da transmissividade do vidro ( ).
O conceito de Fator Solar (Fs) é usado nesses cálculos. O fator solar de uma
abertura pode ser entendido como a razão entre a densidade de fluxo que penetra e a
que incide. Assim, temos:
Fs = .12
A densidade de fluxo solar que penetra é:
qs = Fs I 6.13
O fator solar é característico de cada tipo de abertura e varia com o ângulo de
incidência da radiação solar. Para o vidro simples, com incidência direta da radiação solar
normal à superfície, o fator solar é aproximadamente 0,87. Isto significa que 87% da
radiação solar incidente numa janela com vidro simples penetra no interior.
___Tabelas de Valores Práticos
Tabela 6.1: Condutância térmica das principais soluções construtivas em uso no Brasil
Elemento Tipo K (W/m2K)
Paredes
Tijolo 6 furos espessura 12,5 cm
Tijolo 6 furos espessura 17 cm (deitado)
Tijolo 8 furos rebocado 12,5 cm
Tijolo 4 furos rebocado 12,5 cm
Tijolo maciço aparente 9 cm
Tijolo maciço rebocado 12 cm
Tijolo maciço rebocado 26 cm
2,39
2,08
2,49
2,59
4,04
3,57
2,45
Janelas Vidro comum 3 mm
5,79
FT – 2012/1 - Revisão 1 146
Tabela 6.1: Continuação - condutância térmica
Elemento Tipo K (W/m2K)
Cobertura
Laje concreto 10cm + fibrocimento (cerâmica)
Verão – não ventilado
Verão – bem ventilado
Inverno – não ventilado
Inverno – bem ventilado
Forro pinus 1 cm + fibrocimento (cerâmica)
Verão – não ventilado
Verão – bem ventilado
Inverno – não ventilado
Inverno – bem ventilado
2,04
2,04
2,86 (2,87)
3,89
2,00 (2,01)
2,00 (2,01)
2,79
3,75
Tabela 6.2: Fator Solar para aberturas
Superfícies Separadoras Tipo Fs
Vidros
Transparente (simples) 3 mm
6 mm
Transparente (duplo) 3 mm
Cinza (fumê) 3 mm
6 mm
Verde 3 mm
6 mm
Reflexivo 3 mm
0,87
0,83
0,75
0,72
0,60
0,72
0,60
0,26-0,37
Películas Reflexiva
Absorvente
0,25-0,50
0,40-0,50
Tijolo de Vidro 0,56
Tabela 6.3: Fator Solar para aberturas com proteções solares
Proteções Solares Tipo Fs
Internas
Cortina translúcida
Cortina semitranslúcida
Cortina opaca
Persiana inclinada 45°
Persiana fechada
0,50 – 0,75
0,40 – 0,60
0,35 – 0,60
0,64
0,54
Externas
Toldo 45° translúcido
Toldo 45° opaco
Venezianas (madeira/plástico)
Esteira de madeira
Venezianas horizontais
Brise horizontal
Light shelf (espelhada)*
“Tampão” de madeira
0,36
0,20
0,09
0,09
0,19
0,25
0,58
0,70
*Com vidro duplo, horizontal, metade da abertura com insolação direta
**Com vidro duplo, branca e a razão largura/espaçamento = 1,0
***Toda a abertura está sombreada
FT – 2012/1 - Revisão 1 147
___Exemplo 6.3.5
Considere uma abertura composta de um vidro simples com 3 mm de espessura, exposta
às mesmas condições do fechamento opaco do exemplo 1. Calcule os fluxos térmicos
para o interior.
Dados: I = 715 w/m2 K = 5,79 W/m2K Fs = 0,87
Te = 33°C Ti = 23°C
Solução:
Densidade de fluxo por condução – q’ = K (Te – Ti) = 5,79 x 10 = 57,9 W/m2
Ganho de energia solar através do vidro – q’s = Fs I = 0,87 x 715 = 622 W/m2
Densidade de fluxo total – q’total = q’ + q’s = 679,9 W/m2.
Percebe-se que o fluxo por condução através do vidro é praticamente igual ao do
fechamento opaco do Exemplo 1 deste item. A grande diferença está na radiação que
atravessa o vidro diretamente. O total é cerca de 8 vezes o que atravessa a parede. Por
isso os fechamentos transparentes são os principais elementos de ganho ou perdas
térmicas nas edificações.
___Proteção Solar de Paredes Opacas
A colocação de um quebra-sol na parte externa de uma parede opaca altera a
divisão da radiação incidente, conforme a figura 6.7, formando um padrão com diversos
termos a serem avaliados.
Na prática de conforto térmico em edificações a densidade de fluxo devido à radiação
pode ser calculada com a mesma equação 6.13 já vista, em que o coeficiente do fator
solar é modificado para adaptar-se à existência do quebra-sol,
e
*
R h
I'q 6.14
em que * é chamado “fator fictício” de absorção da radiação solar de uma parede opaca
protegida por quebra-sol.
I g
Ig
Radiação solar
refletida
dissipada
p/ o interior
Incidente
Parede opaca
dissipada
por ventilação
e dissipada
para o exterior
absorvida
Quebra-sol
Ig y
Ig y
Ig x
x + y = 1
Obs.
Figura 6.7: Proteção solar de paredes opacas - uso de quebra-sol
FT – 2012/1 - Revisão 1 148
Com essa simplificação a densidade de fluxo total fica sendo a soma da densidade
de fluxo resultante da diferença de temperaturas com a parcela da radiação, conforme já
visto na equação 6.10:
)()('
*
ieSolie
e
TTTKTTK
h
IKq 6.15
O valor de * será função das características da proteção solar e varia com a
orientação da parede a ser protegida, com a latitude e com a época do ano. Segundo
Croiset (1972, appud Frota e Schiffer, 1975) * pode ser dado para alguns casos
estudados pela tabela 6.4,
Tabela 6.4: Fator Fictício de absorção da radiação solar de parede opaca com quebra-sol
Tipo do caso *
a) quebra-sol contínuo, vertical, diante de parede vertical, a 30cm, sem
características especiais do material e acabamentos 0,20 a 0,25
b) quebra-sol contínuo, vertical, diante de parede vertical, a 30cm, com R 0,6
m2°C/W, face externa branca e face interna pouco emissiva 0,15 a 0,10
c) quebra-sol de lâminas verticais colocado diante de parede vertical Variável
d) beirais e quebra-sol de lâminas horizontais Variável
e) cobertura com sombreamento de um quebra-sol contínuo, a 30 cm 0,15 a 0,20
f) cobertura com sombreamento de um quebra-sol contínuo, a 30 cm, face
externa clara, face interna pouco emissiva, materialisolante
0,05
___Proteção Solar de Paredes Transparentes
A colocação de um quebra-sol na parte externa de uma parede translúcida altera a
divisão da radiação incidente, conforme a figura 6.8.
I g
Ig
Radiação solar
refletida
dissipada
p/ o interior
Incidente
dissipada
por ventilação
e dissipada
para o exterior
absorvida
Quebra-sol Externo
Ig y
Ig y
Ig x
Parede translúcida
Ambiente Interno
Figura 6.8: Quebra-sol externo – dissipação por ventilação no exterior
FT – 2012/1 - Revisão 1 149
A colocação de uma cortina na parte interna de paredes translúcidas dá origem ao
chamado efeito estufa, conforme a figura 6.9.
I g
Ig
Radiação solar
refletida
dissipada
p/ o interior
dissipada
p/ o exterior
Incidente
Parede translúcida
Ig
2
Ig
dissipada por ventilação
para o interior
Proteção Interna
Figura 6.9: Proteção Interna em paredes translúcidas – Efeito Estufa
Com o quebra-sol externo a quantidade de calor que penetra no ambiente é menor
do que no caso do quebra-sol interno, pois o vidro permite a passagem da maior parte da
radiação incidente em ondas longas, mas não permite a passagem da radiação de ondas
longas emitida pelos corpos aquecidos. Assim, a maior parte da radiação transmitida
através do vidro é dissipada no interior do edifício, o chamado efeito estufa.
Referências bibliográficas consultadas para o item 6.3:
- COSTA, E.C. Conforto Térmico nas Edificações. Boletim Eternit nº. 100, dezembro de 1978.
- FROTA, A.B.; SCHIFER, S.R. Manual de Conforto Térmico. São Paulo, Nobel, 1988.
6.4. EFEITO DA INÉRCIA TÉRMICA DAS COBERTURAS
Uma modelagem transiente simplificada pode ajudar a definir o papel das
coberturas em laje de concreto no desempenho térmico das edificações. A entrada de
calor é modelada por meio de uma função senoidal que descreve a variação periódica de
temperatura ao longo dos ciclos diários.
A figura 6.10 apresenta o esquema adotado, considerando a laje como um semi-
plano infinito.
FT – 2012/1 - Revisão 1 150
x
z
T
)(senTT)z(T o 0
Material
k
c
)t( o
Figura 6.10: Condições de contorno para modelagem de laje de cobertura
A teoria de sistemas dinâmicos mostra que a solução em regime permanente de
um sistema submetido a uma entrada senoidal só pode ser também outra função
senoidal. Com relação à entrada, a solução é atenuada na sua amplitude e sofre um
atraso na sua fase.
A solução para o plano semi-infinito, com variação periódica da temperatura na superfície
é dada a seguir em função da variação de temperatura :
]T)t,z(T[)t,z( ; variação da temperatura 6.16
fasede
atraso
iaçãovarda
amplitude
o
wzsenwzexpT)t,z(
22 6.17
___ Exemplo numérico:
Considere uma laje de concreto submetida à uma temperatura variável segundo
um ciclo diário, dada por:
rd)t(;C)(sen)t,(T
2
12220
com h/rd
24
2 , uma vez que o ciclo é diário.
Calcule a atenuação na variação diária da temperatura proporcionada por lajes de 0,10,
0,20 e 0,30m de espessura e trace um gráfico das temperaturas ao longo do ciclo na face
inferior. Dados do concreto: = 2300 kg/m3; c = 880 J/kg.K; k = 1,4 W/m.K.
Solução:
Calculando inicialmente a difusividade térmica:
h/m,s/mE,
c
k 22 025067
8802300
41
Aplicando-se diretamente a equação 6.17 com os dados numéricos do problema:
025024212025024
1222
,
ztsen
,
zexp)t,z(T 6.18
FT – 2012/1 - Revisão 1 151
A equação 6.18 foi resolvida numericamente para os 3 valores solicitados da espessura
da laje z (0,10; 0,20 e 0,30m), atribuindo-se variação horária do tempo, resultando nos
gráficos mostrados na figura 6.11.
Figura 6.11: Temperaturas ao longo do ciclo diário na face inferior de lajes de concreto
com espessuras de 0,10m; 0,20m e 0,30m.
Observa-se na figura 6.11 que a temperatura máxima na face inferior ocorre com
um atraso de fase em relação à entrada de calor pela superfície superior. Verifica-se
também que quanto mais espessa a laje, maior é a atenuação da variação de
temperatura.
À medida que aumenta a inércia térmica da cobertura (espessura da laje), a
temperatura na face inferior tende para a temperatura média diária, com variações cada
vez menores, mas com atrasos no tempo cada vez maiores. Isso explica a arquitetura
tradicional de regiões desérticas, em que as temperaturas médias são amenas, mas faz
muito frio durante a noite e muito calor durante o dia. A grande inércia térmica, aliada à
baixa ventilação (janelas pequenas), mantém a residência fresca durante o dia e aquecida
durante as horas noturnas.
Em regiões como a de Ilha Solteira, em que a variação diária das temperaturas é pequena
e com uma temperatura média alta, o aumento da inércia, embora relativamente eficiente
para proporcionar conforto durante o dia, impede que a habitação refresque com rapidez
no período noturno, tornando a residência muito desconfortável durante a noite.
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
tempo (horas)
Te
m
pe
ra
tu
ra
(°
C
)
superfície
0,10m
0,20m 0,30m
FT – 2012/1 - Revisão 1 152
Alta inércia térmica
Paredes
Aberturas
T (°C)
tempo (h)
24126 18 6
Externa
Interna
quente
Tmédia
agradável
Tmédia
T (°C)
tempo (h)
24126 18 6
Externa
Interna
Tmédia
agradável
Tmédia
grossas
pequenas
a) Clima desértico
b) Clima tropical
Figura 6.12: Efeito positivo da inércia térmica depende do tipo de clima.
6.4.1. Materiais Ativos no controle das temperaturas
Embora os materiais comuns interajam com o ambiente, eles não têm a
capacidade de alterar as suas características. Atualmente estuda-se a utilização na
construção civil dos chamados materiais ativos, que podem modificar a temperatura do
ambiente que os rodeia, através de interação com o meio. Uma dessas linhas de
pesquisa utiliza os “Phase Change Materials”, (PCM), que são acrescentados à
argamassa de revestimento por meio de microcápsulas, com tamanho entre 0,020 µm e
2000 µm. O material das microcápsulas pode mudar de fase sólida para líquida em
temperaturas controladas, absorvendo a energia da radiação solar na forma de calor
latente, sem propagar calor para dentro da habitação. Como exemplo de PCM utilizado
para armazenamento térmico temos as parafinas, as quais podem ter sua temperatura de
fusão regulada por meio do controle do tamanho da cadeia de átomos de carbono. A
temperatura de fusão pode ir de aproximadamente 20°C com uma cadeia de 15 átomos
de carbono, até cerca de 90°C, com cadeias de 45 átomos.
A maior vantagem dos PCMs é o aumento da inércia térmica sem aumento da
massa da edificação, o que pode representar grande economia na construção.
Exemplo numérico:
Supondo uma faixa de conforto definida entre 20°C e 24°C numa edificação com
fechamento de concreto, cujo calor específico é de 0,92 kj/(kgºC). Admitindo a utilização
FT – 2012/1 - Revisão 1 153
um PCM cujo calor de fusão é H = 200 kj/(kgºC) a 22°C, misturado na proporção de 30%
ao concreto, calcule o aumento da capacidade térmica conseguido. O calor específico da
parafina é cerca de 2 kj/kg°C.
a) capacidade térmica do concreto original:
C1 = cc T = 0,92 4 = 3,7 kj/kg
b) capacidade do concreto com o material PCM
C2 = 0,7 cc T + 0,3 H + 0,3 cPCM T
em que o segundo termo é a capacidade de calor latente e o terceiro o calor sensível do
PCM.
C2 = 0,7 0,92 4 + 0,3 200 + 0,3 2 4 = 65 kj/kg
Portanto, a capacidade térmica do material aumentou de 3,7kj/kg para 65kj/kg, ou
seja, 17 vezes maior.
____ Exemplo de utilização prática de PCM
A utilização na prática fica limitada ao revestimento externo, conforme o esquema
da figura 6.13, para redução de custos e para retardar a entrada de calor na parede. A
figura a seguir mostra uma parede com revestimento de apenas 0,5cm de argamassa
com PCM, que equivale, para fins de inércia térmica, a cerca de 8cm de parede, conforme
o exemplo visto acima.
camada de base ( 0,01m )
camada de acabamento ( 0,005m )
com microcápsulas de PCM
tijolo ( 0,11 m )
Figura 6.13: Exemplo de uso de material PCM em revestimento externo.
6.5. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
6.5.1) Considere uma parede de alvenaria (k = 0,72W/m.K) com 0,15m de espessura
total. A superfície externa tem emissividade �= 0,9 e está submetida a uma radiação
incidente I = 600W/m2. Para diminuir o fluxo de calor que atravessa a parede estão
disponíveis duas alternativas: a) revestimento interno com argamassa isolante de gesso e
vermiculita (k = 0,25 W/m.K ) com 2cm de espessura e b) revestimento externo com uma
folha de alumínio (k = 170W/m.K) com espessura 0,5mm e emissividade = 0,06. Outros
FT – 2012/1 - Revisão 1 154
dados: temperatura externa Te = 32°C, temperatura interna Ti = 26°C; coeficientes de
transferência por convecção externo he = 20W/m2°C, interno hi = 8W/m2°C. Nesta
situação pede-se:
a) calcular a resistência térmica à condução da parede composta original;
b) calcular o acréscimo de temperatura TSol da parede original;
c) calcular o fluxo por m2 de parede na situação original;
d) calcular o fluxo com o revestimento extra de argamassa isolante;
e) calcular o acréscimo de temperatura TSol da parede revestida externamente;
f) calcular o fluxo com o revestimento de alumínio;
6.5.2) Uma edificação possui uma parede de 2,8mx6m com uma abertura de 1,8mx2m, na
qual foi instalado um vidro verde de 6mm de espessura, com fator solar Fs = 0,60m.
Sabe-se que incide radiação solar sobre a parede com uma densidade de fluxo I =
600W/m2. A absortividade da parede pode ser considerada = 0,3 e os coeficientes de
película interno e externo são iguais, hi = he = 5 W/m2°C. Sabe-se que a condutância
térmica para a difusão através da parede é K = 1/ R = 2,5W/m2K e que a condutividade
térmica do vidro é k = 1,4W/m.K. Pede-se:
a) calcular o acréscimo de temperatura TSol ;
b) fluxo de calor através do fechamento opaco (parede);
c) fluxo de calor através do vidro.
FT – 2012/1 - Revisão 1 155
6.6. APLICAÇÃO – Aletas :
Apresentamos aqui apenas uma compilação das fórmulas utilizadas e das soluções
analíticas para os casos mais comuns de aletas, para facilitar a consulta caso necessário.
Equação da transferência de calor em aletas 1-D:
02
2
)TT(Ak
Ph
dx
Td
Calor total transferido pela aleta:
00
xx
baleta dx
dkA
dx
dTkAqq
Efetividade da aleta
b
aleta
Ah
q
Eficiência da aleta
bs
aleta
max
aleta
Ah
q
q
q
Soluções Analíticas para aletas de seção transversal constante:
Mudança de variáveis : T)x(T)x(
constante
Ak
Phm2
Caso 1) Aleta curta com perda de calor pela ponta
Perfil adimensional de temperaturas
mLmkhmL
xLmmkhxLm
b senh)/(cosh
)(senh)/()(cosh
Calor total transferido:
mLmkhmL
mLmkhmLhPkAq baleta senh)/(cosh
cosh)/(senh
FT – 2012/1 - Revisão 1 156
Caso 2) Aleta curta com ponta isolada ou perda desprezível pela ponta:
Perfil adimensional de temperaturas
mLcosh
)xL(mcosh
b
Calor total transferido
mLtghhPkA
mLcosh
mLsenhhPkAq bbaleta
Caso 3) Aleta com ponta com temperatura definida
Perfil adimensional de temperaturas
mLsenh
)xL(msenhmxsenh)/( bL
b
Calor total transferido
mLsenh
/mLcoshhPkAq bLbaleta
Caso 4) Aleta Longa (infinita):
Perfil adimensional de temperaturas
mx
b
e
Calor total transferido
baleta hPkAq
FT – 2012/1 - Revisão 1 157
CAPÍTULO 7
APLICAÇÃO – TRANSPORTE DE MASSA
7.1 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO
A difusão molecular em si não tem muita aplicação direta nos problemas
ambientais, exceto nas escalas microscópicas das reações biológicas e químicas, mas
em muitos casos de dispersão no ambiente os problemas podem ser descritos por meio
de processos análogos à difusão molecular, embora em maior escala.
7.1.1 Equação de Fick da Difusão Molecular
Como já visto em itens anteriores a lei de Fick para difusão molecular em uma
direção é dada por:
x
CDJ
7.1
em que J é a densidade de fluxo de massa da substância dissolvida no meio (kg/m2s), C a
concentração (kg/m3) da substância dissolvida (soluto) e D o coeficiente de difusão
molecular ou Difusividade Molecular (m2/s). Em três dimensões a equação fica:
CD J 7.2
em que J = (Jx ,Jy , Jz ) é o vetor densidade de fluxo de massa.
Aplicando a conservação de massa a um elemento diferencial submetido a fluxos
difusivos deduz-se a equação da difusão, que descreve o espalhamento de massa num
fluido em repouso.
2
2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
CDCD
t
C 7.3
7.1.2 Solução Fundamental da Equação
A solução básica da equação 7.3 descreve o espalhamento de uma massa M
introduzida em t=0 na origem. Essa solução pode ser usada como base para construir
soluções para problemas que envolvem condições iniciais e de contorno mais complexas.
A forma da solução pode surgir da análise dimensional do problema e também pode-se
obter informações úteis sobre as propriedades da solução a partir da análise do
comportamento aleatório das moléculas.
FT – 2012/1 - Revisão 1 158
a) Caminho aleatório das moléculas
Imagine que o movimento de uma molécula da substância injetada seja formado
por uma série de passos aleatórios. Admitindo uma situação unidimensional seriam
passos de tamanho x, ocorrendo a cada intervalo t, para esquerda ou direita, com igual
probabilidade. Após um longo período de tempo, em que ocorreram muitos passos, a
localização mais provável da partícula é na origem, pois o número de passos tende a ser
igual nas duas direções. Entretanto, pelo teorema do limite central, podemos demonstrar
que a localização da partícula no eixo x em um intervalo entre mx e (mx irá seguir
uma distribuição normal com média 0 e variância txt /)( 22 .
Podemos imaginar a relação entre x2 e t vinculada à difusividade, ou seja, à
maior ou menor facilidade com que as moléculas da substância movem-se no fluido.
Assim, tomando o limite para t 0 dado por:
t
xD
t
2
0
)(lim2 , 7.4
podemos escrever, com a distribuição normal, que a probabilidade de uma partícula
situar-se no intervalo entre x e x + dx no tempo t é dada por:
dx
tD
x
tD
dxxdxtxp )
4
(exp
4
1)
2
(exp
2
1),(
2
2
2
7.5
Considerando que todo um conjunto de partículas com massa M esteja movendo-
se aleatoriamente num meio 1-D com seção transversal A, a concentração em qualquer
ponto x num tempo t será proporcional à probabilidade de que qualquer partícula esteja
na seção considerada, ou seja:
)
4
(exp
4
),(
2
tD
x
tDA
MtxC 7.6
A equação 7.6 mostra uma forma possível para a solução da equação diferencial
7.3, compatível com a movimentação aleatória das moléculas. Uma confirmação dessa
solução pode ser obtida com a análise dimensional da equação da difusão.
b) Análise dimensional
A análise dimensional mostra que a concentração C(x,t) só pode depender da
massa M, da área A e de x, t e D. Uma vez que o processo é linear e unidimensional, a
concentração (kg/m3) deve ser proporcional à massa M, suposta uniformemente
distribuída na seção transversal A, dividida por alguma dimensão característica. Como a
difusividade tem unidades (m2/s), podemos concluir que uma alternativa aceitável para a
dimensão característica do problema seria tD . Com essas considerações a análise
dimensional permite escrever a relação seguinte:
)
4
(
4
),(
tD
xf
tDA
MtxC 7.7
FT – 2012/1 - Revisão 1 159
Os termos “4“ e “4” foram acrescentados arbitrariamente, por conveniência, visto
que a análise do comportamento aleatório indica que esses fatores devem aparecer na
solução final.
_____Análise da forma da função f
A análise dimensional é uma técnica poderosa, mas não pode nos dizer nada a
respeito da forma da função “f ” envolvida em 7.7, cuja determinação segue os passos
delineados
a seguir.
A equação da difusão (7.3) pode ser transformada numa equação diferencial
ordinária por meio de uma substituição conveniente de variáveis. Fazendo
tD
x
4
7.8
e substituindo 7.8 e 7.7 na equação da difusão unidimensional (7.3) pode-se obter:
02
ff 7.9
Assim, a equação 7.9 substitui a equação original 7.3 e uma solução para 7.9 será
também solução para a equação original. A solução para 7.9 é dada por:
2
0
eCf 7.10
Esta solução pode ser verificada facilmente por meio da substituição de 7.10 na
equação 7.9, lembrando que a derivada de f em relação a é [-2C0exp(-2)].
Substituindo-se a função f dada em 7.10 na forma prevista pela análise
dimensional, 7.7, tem-se a solução completa dada por:
)
4
(exp
4
),(
2
0 tD
xC
tDA
MtxC 7.11
A solução não está pronta ainda porque a constante de integração C0 precisa ser
determinada. Para isso temos a condição de contorno dada pelo fato da massa total M
permanecer constante ao longo do tempo. Assim,
)
4
(exp
4
),(
2
0 tD
xC
tDA
MdxtxCM 7.12
a solução de 7.12 aponta para C0 = 1, de forma que a solução da equação 1-D da difusão,
fica demonstrada, finalmente, pela equação seguinte:
)
4
(exp
4
),(
2
tD
x
tDA
MtxC 7.13
conforme previsto também pela análise do comportamento aleatório da movimentação
das moléculas.
FT – 2012/1 - Revisão 1 160
c) Características e Propriedades da Solução Básica
A solução fundamental 7.13 descreve uma curva de distribuição gaussiana, com
média nula e variância dada por 2Dt. Os parâmetros são:
tD2,0 2 7.15
em que é a localização do centróide da distribuição de massa resultante do lançamento,
que é independente do tempo considerado. Isto significa que a mancha vai se espalhar
mantendo sempre a máxima concentração no ponto de lançamento e também mantendo
a simetria em relação ao ponto de lançamento.
A variância 2 é uma medida do espalhamento da distribuição. Normalmente o
desvio padrão é utilizado para determinar o espalhamento. Tabelas de distribuição Normal
mostram que aproximadamente 95% da massa situa-se entre 2. Assim, em muitos
problemas práticos uma estimativa simples da largura da nuvem de dispersão pode ser
dada por 4ou 4 (2Dt)1/2.
Outra propriedade usada na prática para computar a difusividade é dada por:
D
td
d 2
2
7.16
Como conseqüência de 7.16 temos que se a variância 12 de uma dada distribuição
de massa for conhecida no tempo t1 e a difusividade D for constante, é possível calcular a
variância em qualquer tempo posterior t2, por:
)(2 12
2
1
2
2 ttD 7.17
_____sobre a condição inicial
A solução fundamental 7.13 vale para a situação em que uma massa M inicial é
lançada na origem no tempo t = 0, na ausência de efeitos de fronteira, ou seja, domínio
infinito. Matematicamente, essa condição inicial é dada por:
)()0,( xMxC 7.14
em que (x ) é a função Delta de Dirac. Fisicamente (x ) representa uma massa unitária
de traçador concentrada num espaço infinitésimo com um concentração infinitamente
grande. O produto M (x ) representa o que acontece quando lançamos uma porção de
solução concentrada de traçador num grande rio, ou seja, uma massa M concentrada
num espaço muito pequeno.
A função delta pode ser imaginada como uma função pulso. A solução 7.13
descreve uma curva gaussiana e converge para um pulso quando o tempo decresce. Isso
pode ser visto no exemplo numérico ilustrado na figura 7.1, calculado com M = 1 kg,
A = 1m2 e D = ¼ m2/s.
FT – 2012/1 - Revisão 1 161
6
5
C (x,t)
4
3
2
1
t = 1 / 36
t = 4 /
t = 1 / 4
1 2 3
x
-2 -1-3
t diminui
Figura 7.1: Redução da Gaussiana a um pulso conforme t diminui. M=1kg, A = 1m2, D = 1/4m2/s.
Exemplo 7.1
Considere um canal retilíneo, com 2m de largura e 0,50m de profundidade,
contendo água parada. O canal possui 200m de comprimento e na sua seção central
foram lançados 10kg de uma substância conservativa. Calcule a concentração numa
seção situada a 20m do ponto de lançamento, e estime a largura total da região afetada
pela substância, 2 dias após o instante do lançamento. Sabe-se que a difusividade da
substância na água é de ,001m2/s.
Análise: é possível considerar um problema de lançamento instantâneo, porque o tempo
de 2 dias é suficientemente grande em relação ao tempo que dura um lançamento (talvez
alguns minutos). Além disso, se pudermos considerar que ao fim do lançamento a
substância se encontra uniformemente distribuída ao longo da seção transversal do canal,
estaria satisfeita a hipótese de processo unidimensional. Com essas hipóteses restritivas,
pode-se aplicar ao problema o modelo de lançamento instantâneo unidimensional,
descrito matematicamente pela equação 7.13.
Solução:
a) Concentração C (x=20m,t=1d)
Substituindo diretamente os valores na equação 7.13
3
2
12030
17280000104
20
17280000104250
10 m/kg,
,
exp
,,
C
b) comprimento da mancha
m,,tDL 474172800001024244
FT – 2012/1 - Revisão 1 162
Comentários adicionais
Na figura 7.2 apresentamos um gráfico de concentrações ao longo do tempo
calculados para o ponto de lançamento e para o ponto de interesse no problema (x =
20m).
Figura 7.2: Evolução das concentrações no ponto de lançamento e em x = 20m
O padrão mostrado na figura 7.2 é típico do lançamento instantâneo. A
concentração máxima ocorre no ponto de lançamento e decai com maior rapidez nos
instantes iniciais. A concentração em pontos distantes do ponto de lançamento cresce até
um máximo e depois decresce lentamente no tempo.
7.2 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA DIFUSÃO
7.2.1 Lançamento de Massa Instantâneo na Origem
Trata-se da solução fundamental já deduzida no item 7.1, equação 7.13,
reproduzida aqui por clareza. A condição inicial é:
)()0,( xMxC (Obs: eq. 7.14) 7.18
e a solução é:
)
4
(exp
4
),(
2
tD
x
tDA
MtxC (Obs: eq. 7.13) 7.19
7.2.2 Lançamento Fora da Origem
A massa M foi lançada em t = t0 no ponto de ordenada xL. A condição inicial é:
)xx(M)t,x(C L0 7.20
A solução para esse caso segue imediatamente do caso fundamental:
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 2 4 6 8 10
tempo (dias)
C
m
áx
(k
g/
m
3 )
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
C
20
m
(k
g/
m
3 )x = 20m
x = 0
FT – 2012/1 - Revisão 1 163
)tt(D
)xx(exp
)tt(DA
M)t,x(C L
0
2
0 44
7.21
Caso existam dois ou mais lançamentos, deve-se utilizar o princípio da
superposição. Aplica-se a equação 7.21 para encontrar a contribuição de cada
lançamento sobre o ponto de interesse, na forma de um acréscimo de concentração Ci. A
concentração total é calculada pela soma das contribuições Ci de todos os lançamentos.
Exemplo 7.2
Ocorreu um lançamento de 10kg de uma substância conservativa, num canal de seção
transversal de 2,00m de largura e 0,5m de profundidade contendo água parada. Cerca de
2h após o primeiro lançamento, ocorrido na seção de ordenada x = 0, mais 10kg foram
lançados na ordenada x = 10m. Determinar a concentração resultante na seção de
ordenada x = 20m, 4 horas após o primeiro lançamento. A difusividade da substância na
água é D = 0,0015m2/s.
Análise: Se a duração dos lançamentos for pequena em relação ao tempo decorrido até
o instante considerado no cálculo, eles podem ser modelados como instantâneos. Além
disso, se a massa puder ser considerada uniformemente distribuída na seção transversal
após um tempo também relativamente curto, pode ser usado o
modelo unidimensional e o
problema fica esquematizado conforme a figura. Usa-se a equação 7.21 para calcular a
contribuição de cada lançamento, somando os resultados pelo princípio da superposição.
Fig. Ex. 7.2
x = 0 ; t = 0
L L
x
Seção de interesse: x = 20 t = 4h
Lançamento 1: M = 10kg1
x = 10 ; t = 2h
L L
Lançamento 2: M = 10kg2
Solução:
a) lançamento 1
3
2
1 005920014400001504
020
014400001504250
10 m/kg,
)(,
)(exp
)(,,
C
b) lançamento 2
084790
720014400001504
1020
720014400001504250
10 2
2 ,)(,
)(exp
)(,,
C
c) concentração total
3
21 090720420 m/kg,CC)ht,mx(C
FT – 2012/1 - Revisão 1 164
7.2.3 Distribuição Inicial de Massa
Este caso está ilustrado na figura 7.3 e pode ser pensado como uma superposição
de lançamentos fora da origem, cada um seguindo a solução 7.21.
x
)(f
d
)( xf
Figura 7.3: Aproximação de uma distribuição por série de lançamentos instantâneos
A condição inicial é dada por uma função arbitrária representando a distribuição
inicial de massa:
xxftxC ,)()0,( 0 7.22
Podemos imaginar a distribuição inicial composta por uma série de lançamentos de
quantidades separadas de massa, cada uma delas difundindo-se independentemente da
concentração provocada pelos outros lançamentos.
A figura 7.4 mostra um desses lançamentos, distribuído por uma distância d e com
massa M dada pelo valor local da função:
d)(fM 7.23
x -
)(f
dx = 0
x
x
distância até
o ponto de interesse
ordenada do
ponto de
ponto de interesse
lançamento
Figura 7.4: Esquema contribuição de cada lançamento de uma distribuição inicial de massa
Cada lançamento que compõe a distribuição é modelado como um lançamento
concentrado instantâneo. Portanto cada variação de concentração provocada é dada pela
solução 7.21, em que a massa foi substituída por 7.23:
tD
x
tDA
dftxC
4
)(exp
4
)(),(
2
7.24
FT – 2012/1 - Revisão 1 165
A contribuição total de todos os lançamentos num determinado x e t é
simplesmente a soma de todas as contribuições individuais de 7.24, ou seja:
d
tD
)x(exp
tDA
)(f)t,x(C
44
2
7.25
A equação 7.25 é conhecida como a integral de superposição. Observe que o
raciocínio empregado neste item é válido porque a equação diferencial do problema (eq.
7.3) é linear, o que torna válido o princípio da superposição.
Exemplo 7.3
Ocorreu um lançamento de 20kg de uma substância conservativa, ao longo de 10m de
um canal de seção transversal de 2,00m de largura e 0,5m de profundidade contendo
água parada. Após o lançamento a substância estava uniformemente distribuída entre as
seções de ordenada x = 0 m e x = 10 m. Determinar a concentração resultante na seção
de ordenada x = 20m, 4 horas após o lançamento. A difusividade da substância na água é
D = 0,0015m2/s.
Análise: Se a duração do lançamento for pequena em relação ao tempo decorrido no
cálculo ele pode ser modelado como instantâneo. Como a massa estava uniformemente
distribuída ao longo de 10m do canal, pode ser usado o modelo unidimensional de
distribuição inicial de massa, baseado na equação 7.25. O problema pode ser
esquematizado conforme a figura. A integral deve ser efetuada numericamente.
Fig. Ex. 7.2
x = 0
x
Distribuição uniforme
x = 10m
M = 20kg
x = 20m t = 4h C = ?
Solução:
a) cálculo da função f()
M = f() d f() = 2kg/m ;
f() é constante, pois a distribuição inicial é uniforme, e só é definida para x entre 0
m e 10m.
b) integral de superposição (eq. 7.25)
dtD )(exptDA ,)t,x(C
10
0
2
4
20
4
20
A integral no restante do limite é nula porque f() só existe entre 0 e 10.
Substituindo os valores numéricos,
FT – 2012/1 - Revisão 1 166
d, )(exp,,)t,x(C
10
0
2
486
20
47516
20
Calculando a integral numericamente pela regra dos trapézios com d = 0,1, obtém-se:
30126003641
47516
20420 m/kg,,
,
,)h,m(C
Resposta: Portanto, a concentração no ponto estudado após 4 horas é de 12,6mg/L.
7.2.4 Função Degrau
Uma forma particular da integral de superposição ocorre quando a distribuição inicial de
massa tem a forma de um degrau, conforme ilustrado na figura 7.5. Nesse caso as
condições iniciais são:
.0,
,0,0
)0,(
0
0 xC
x
txC 7.26
x
C
0C
)
4
(1
2
0
tD
xerfCC
-3 -2 -1 0 1 2 3
função degrau inicial
Figura 7.5: Dispersão de uma distribuição inicial de massa em função degrau
Nesse caso a integral de superposição 7.25 é nula entre - e 0 e fica apenas com
os limites positivos:
dtD
x
tD
C
txC
0
2
0
4
)(exp
4
),( 7.27
que pode ser transformada fazendo tDxu 4/)( obtendo-se:
ude
C
txC
tDx
u
4/
20
4
),(
Na continuação é necessário lembrar o resultado seguinte:
2
0
2
due u
FT – 2012/1 - Revisão 1 167
esta informação nos permite escrever, após dividir o limite da integral definida:
udeCtxC
tDx
u
4/
0
20
24
),(
)
4
(1
2
),( 0
tD
xerf
C
txC 7.28
em que a função erro erf é definida como:
ud
z
)u(exp)z(erf 0
22 7.29
A função erro pode ser aproximada numericamente pela série infinita
!5.11!4.9!3.7!2.53
2)(
119753 zzzzzzzerf 7.30
e também consta em tabelas apresentadas na literatura. A tabela 7.1 apresenta alguns
valores numéricos.
Tabela 7.1: Alguns valores numéricos da função erro de Gauss
Z
)( zerf Z
)( zerf
0,0 0
0,1 0,1129 1,0 0,8427
0,2 0,2227 1,2 0,9103
0,3 0,3286 1,4 0,9523
0,4 0,4284 1,6 0,9763
0,5 0,5205 1,8 0,9891
0,6 0,6039 2,0 0,9953
0,7 0,6778 2,5 0,9996
0,8 0,7421 3,0 0,99998
0,9 0,7969 4,0
1,0 0,8427 1
7.2.5 Concentração Fixa na Origem a Partir de t = 0
Neste tipo de problema a concentração é especificada como função do tempo em
um ponto fixo, tomado como origem. No caso mais simples a concentração é subitamente
elevada para um valor fixo C0 na origem do eixo x em um meio com concentração inicial
nula da substância lançada.
A solução é obtida mais facilmente por análise dimensional. A concentração em
qualquer ponto deve depender de C0 e das variáveis que descrevem fisicamente o
problema, ou seja, x, D e o tempo t considerado. A relação dimensionalmente correta é do
tipo:
FT – 2012/1 - Revisão 1 168
)/(0 tDxfCC 7.31
em que f indica uma relação na forma de uma função ainda desconhecida. Para obter f
deve-se fazer a transformação de variáveis dada por
tD
x e observar que
C
tt
C
t
C
2
1
e também, pela regra da cadeia, que
C
tDx
C
x
C 1 , uma vez que
tDx
1
.
A derivada segunda de C em relação a x é tratada também com a regra da cadeia:
tD
C
tDxx
C
x
C
xx
C 11
2
2
2
2
2
2 1
C
Dtx
C
Substituindo-se essas relações na equação da difusão (7.3) é possível obter-se a
equação diferencial ordinária dada por:
2
2
2
1
d
fd
d
df 7.32
com as condições de contorno f(0) = 1 e f() = 0. Uma vez
que a solução é simétrica,
C(x,t) = C(-x,t), a solução pode ser encontrada apenas para o eixo x positivo e é dada por:
tD
xerfCtxC
4
1),( 0 7.33
que pode ser escrita como
tD
xerfcCtxC
4
),( 0 7.34
uma vez que erfc é a função erro complementar, dada por:
)(1)( zerfzerfc 7.35
A figura 7.6 mostra a forma do perfil de concentrações definido pela equação 7.34.
FT – 2012/1 - Revisão 1 169
CC 0
tt 1
crescet
x
tt 3
tt 2
1
Figura 7.6: Distribuição de concentrações resultante de C0 fixo na origem
A solução esquematizada na figura 7.6 mostra uma frente em avanço com a
mesma forma da função erro mostrada no semi-eixo negativo da figura 7.5. Note que a
distância até um ponto que apresenta um dado valor de C/C0 aumenta com (Dt)1/2.
7.2.6 Concentração Definida em Função do Tempo
Neste caso temos o mesmo problema do item anterior, exceto pelo fato de que a
concentração inicial C0 ( ) torna-se variável no tempo. A solução é obtida por
superposição de soluções do item anterior, conforme o esquema da figura 7.7. Note que
usamos “ “ para a variável tempo da função da fonte de concentrações, C0 ( ), para
diferenciá-lo do tempo posterior de observação “ t “.
)( 0C
0C
C
Figura 7.7: Superposição usada para obter a solução de C0 variável na origem
Em cada incremento de tempo a concentração em x = 0 muda em )/( 0 C
. O resultado sobre todos os tempos futuros de cada mudança ocorrida no tempo t é dado
pela solução anterior, equação 7.34, conforme segue:
)(4
0
tD
xerfcCC , )( t 7.36
A concentração total no tempo t é a soma de todas as contribuições de cada uma
das mudanças ocorridas nos tempos anteriores:
FT – 2012/1 - Revisão 1 170
dtD
xerfc
C
txC
t
)(4
),( 0 7.37
7.2.7 Fluxo de Massa Definido em Função do Tempo
Essa situação ocorre quando temos definido o fluxo de massa do poluente na
origem, ao invés de uma concentração. A concentração resultante de um único
lançamento de massa M na origem é dada pela solução fundamental 7.13. Uma injeção
contínua de massa com fluxo M é equivalente a injetar várias quantidades separadas de
massa tM a cada intervalo de tempo t. A concentração resultante num dado tempo de
observação é igual à soma das concentrações de cada um dos lançamentos individuais
injetados nos tempos anteriores ao tempo de observação t.
d
tD
x
tDA
MtxC
t
)(4exp)(4
)(),(
2
7.38
____Fonte de Fluxo Constante
Num meio com concentração inicial nula e uma fonte de massa com fluxo
constante M for acrescentada em t = 0 em x = 0, a equação anterior fornece a solução
dada por:
dtD
x
tDA
MtxC
t
)(4exp)(
1
4
),(
2
0
7.39
A eq. 7.39 pode ser transformada por mudança adequada de variáveis em:
2/4
0
/12/1
4
),(
xtD
u dueu
DA
xMtxC
7.40
que pode ser calculada numericamente.
As concentrações resultantes da equação 7.40 são esquematizadas na figura 7.8.
x
C
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
t = 1
t = 4
t = 9
Figura 7.8: Distribuição resultante de uma injeção contínua com fluxo de massa constante no tempo
FT – 2012/1 - Revisão 1 171
7.2.8 Fonte de Massa Distribuída m(x,t)
Se houver uma fonte distribuída de massa m (x,t) com unidades (kg/s.m3) podemos
encontrar a solução superpondo no espaço a solução 7.21 para todos os lançamentos de
um dado tempo e em seguida superpor a solução assim obtida no tempo, obtendo:
t
dd
tD
x
tD
mtxC
)(4
)(exp
)(4
),(),(
2
7.41
7.2.9 Efeito dos Contornos
O efeito dos contornos é levado em conta aplicando-se o princípio da
superposição, já empregado várias vezes ao longo do item 7.2. Inicialmente serão
abordados casos de lançamento instantâneo de massa M efetuado em t0 = 0.
____caso 1 : fronteira impermeável em x = - L:
Condição de contorno: 0
x
CDJ em x = - L
A condição é satisfeita com o acréscimo de uma fonte virtual simétrica em relação
à fronteira, conforme a figura 7.9.
Fronteira
Fonte real, FR
C
solução - domínio infinito
solução - domínio finito (Real)
x
0-L-2L
Fonte imaginária
gradientes se anulam neste ponto
ou virtual, FV
Figura 7.9: Uso de fonte virtual para anular fluxo na fronteira
A concentração em cada ponto é a soma da contribuição da fonte real e da simétrica:
tD
Lx
tD
x
tDA
MtxC
4
)2(exp
4
exp
4
),(
22
7.42
____caso 2 : fronteiras impermeáveis em x = L:
A solução por superposição necessita de fontes virtuais em x = 2L para
proporcionar os gradientes nulos, cujo efeito nas fronteiras devem ser compensados por
fontes virtuais em x = 4L e assim por diante, conforme esquematizado na figura 7.10.
FT – 2012/1 - Revisão 1 172
F R
C
solução - domínio ideal infinito
solução - domínio real finito
x
0-L-2L
FV1
L 2L
FV2FV4 FV3
3L 3L
FV1 - compensa FR na fronteira -L
3L3L
FV4 - compensa FV2 na fronteira -L
FV2 - compensa FR na fronteira +L
FV3 - compensa FV1 na fronteira +L
Figura 7.10: Uso de fontes virtuais para anular fluxos nas 2 fronteiras
Observe que a figura 7.10 apresenta apenas as duas primeiras correções de uma
série que é, teoricamente, infinita, pois todas as soluções se estendem infinitamente e,
quando cada solução corrige o gradiente numa margem, desequilibra na outra.
Assim, será necessária uma FV5 para corrigir o efeito da FV4 na fronteira +L e uma
FV6 para corrigir o efeito da FV3 na fronteira –L e assim por diante. Observe que a FV4
dista 5L da fronteira em +L e que a FV3 também está a 5L da fronteira em –L. Pode-se
perceber então que as distâncias das fontes virtuais até cada uma das margens segue
uma progressão geométrica (L, 3L, 5L, 7L . . .). A simetria do problema permite expressar
a solução de uma forma mais compacta.
A soma das contribuições de cada uma das fontes virtuais resulta na equação 7.43:
n tD
)nLx(exp
tDA
M)t,x(C
4
2
4
2
7.43
É oportuno lembrar a influência das fontes virtuais sobre a concentração decresce
rapidamente. Assim, na prática, raramente são utilizados muitos termos de correção,
porque os valores de concentração se tornam desprezíveis em vista dos outros erros
envolvidos na modelagem do processo. Na equação 7.43, por exemplo, 3 termos (n = -1,
n = 0 e n = 1) são suficientes na maioria dos casos e 5 termos (-2<n<2) raramente serão
necessários.
____caso 3 : concentração nula em x = L:
Esse caso requer o uso de sumidouros virtuais (SV) simétricos em relação ao
contorno, para subtrair a concentração resultante da fonte real em cada fronteira. Quando
o efeito desses sumidouros atinge a outra fronteira, devem ser criadas fontes virtuais para
compensar. A figura 7.11 mostra um esquema da superposição.
Entretanto, quando o efeito dessas novas fontes virtuais chega até à outra fronteira,
novamente ocorre um desequilíbrio, que precisa ser compensado por outro sumidouro
virtual. Essa seqüência de correções numa fronteira e desequilíbrio na outra leva a uma
FT – 2012/1 - Revisão 1 173
situação cíclica, como a do caso anterior, de infinitas correções. A diferença é que neste
caso alternam-se correções por sumidouros e por fontes virtuais.
F R
C
x
0-2L
L
2L
FV1
3L 3L
SV2 - compensa F R na fronteira
+L
SV2SV1
-L
Fronteiras absorvedoras: C = 0
3L 3L
FV2
FV1 - compensa SV1 na fronteira +L
SV1 - compensa F R na fronteira -L
FV2 - compensa SV2 na fronteira -L
Figura 7.11: Uso de sumidouros para fronteiras com concentração nula
A equação é dada por:
tD
Lnx
tD
nLx
tDA
MtxC
n 4
])24([exp
4
)4(exp
4
),(
22
7.44
Na maioria dos casos reais, assim como no caso anterior, é suficiente usar poucos
termos nas somatórias da equações 7.43 e 7.44, usualmente apenas n =0, 1 e 2.
____caso 4 : o problema não se ajusta a nenhum desses casos:
Só é possível aplicar as equações 7.43 ou 7.44 se as condições de contorno forem
exatamente iguais e isso nem sempre ocorre. As condições podem ser um pouco
diferentes, por exemplo, com um lançamento fora da origem, ou totalmente diferente dos
casos já vistos, como uma superfície impermeável numa margem e totalmente
absorvedora na outra.
Nesses casos é mais fácil desenvolver uma nova equação válida para o caso
particular em questão, utilizando os casos já vistos como exemplo. Para isso devemos
lembrar sempre que a locação de fontes ou sumidouros virtuais não pode depender do
ponto considerado. As distâncias a rebater, portanto, são sempre da fonte até a fronteira
em que se quer corrigir a solução, e nunca a partir do ponto desejado ( no qual se deseja
calcular uma concentração). Outra regra prática a considerar é: fontes virtuais anulam
fluxos nos contornos e sumidouros virtuais anulam concentrações. O exemplo resolvido a
seguir ilustra os procedimentos para uma situação geral qualquer.
Exemplo 7.4
A figura mostra um canal de acesso de barcos em uma marina fluvial. O canal, com
60m de comprimento, 4m de largura e 1,5m de profundidade, possui água praticamente
FT – 2012/1 - Revisão 1 174
imóvel e se comunica com o rio em uma das suas extremidades. Ocorreu um
derramamento acidental de 20Kg de um líquido poluente no ponto indicado. Assumindo
hipótese de problema unidimensional, ou seja, de que o poluente se encontrava
uniformemente distribuído na seção transversal no instante t = 0, pede-se determinar a
equação da concentração em função de x e t que rege o espalhamento difusivo do
poluente. A difusividade do líquido na água é D = 0,01m2/s.
Fig. Ex.7.4
20m 40m
Lançamento
Canal
Ponto de
Rio: C = 0
Análise:
A superposição das fontes e sumidouros virtuais necessários para compensar o
efeito dos contornos é mostrada no esquema a seguir. A origem do eixo x foi considerada
no ponto de lançamento e a dimensão L = 20m.
x
0-L-2L
FV1
2L 4L
SV1
FV2
4L 4L
FV1 Compensa FR em -L
5L5L
SV2
6L-5L
SV1 Compensa FR em +2L
SV2 Compensa FV1 em +2L
FV2 Compensa SV1 em -L
FR
Observe que só foram representadas no esquema as primeiras correções de uma
série teoricamente infinita.
Solução:
A equação da concentração segue a partir da combinação dos 5 lançamentos
concentrados considerados.
2
5
2
4
1
3
1
21
SVFVSVFVFR
)t,x(C)t,x(C)t,x(C)t,x(C)t,x(C)t,x(C
Fonte real FR:
Dt
xexp
tDA
M)t,x(C
44
2
1
Fonte Virtual FV1:
Dt
)Lx(exp
tDA
M)t,x(C
4
2
4
2
2
FT – 2012/1 - Revisão 1 175
Sumidouro Virtual SV1:
tD
)Lx(exp
tDA
M)t,x(C
4
4
4
2
3 ; concentração negativa.
Trabalhando de forma similar com FV2 e SV2 chega-se a:
Dt
)Lx(exp
Dt
)Lx(exp
Dt
)Lx(exp
Dt
)Lx(exp
Dt
xexp
DtA
M)t,x(C
4
6
4
5
4
4
4
2
44
22
222
A substituição dos valores numéricos é deixada a seu cargo.
7.2.10 Soluções em 2 e 3 Dimensões
Suponha que uma massa M de traçador seja lançada em t0 = 0 na origem de um
sistema x-y numa extensão de fluido bidimensional com profundidade média Z. As
condições iniciais deste problema são dadas por:
)()()0,( yxMxC .
A equação da difusão em duas dimensões fica:
2
2
2
2
y
CD
x
CD
t
C
yx
7.45
em que Dx é a difusividade na direção x e Dy a difusividade na direção y. Na difusão
molecular Dx = Dy = D, mas em problemas ambientais ocorrem muitas situações em que
elas são diferentes.
A solução da equação 7.45 pode ser obtida pela regra do produto de duas funções:
),(),(),,( 21 tyCtxCtyxC
em que C1 não é função de y e C2 não é função de x. Dessa forma,
2
2
2
12
1
2
2
1
2
2
121 )( y
CCD
x
CCD
t
CC
t
CCCC
t yx
7.46
rescrevendo 7.46:
02
2
2
2
12
1
2
1
2
y
CD
t
CC
x
CD
t
CC yx 7.47
A equação 7.47 somente pode ser satisfeita se os dois termos do primeiro membro
forem simultaneamente nulos. Se isso ocorrer, C1 e C2 satisfazem às equações no interior
dos colchetes, que correspondem à equação da difusão unidimensional obtidas a partir da
equação geral 7.3. Multiplicando as duas soluções e notando que MCdxdy obtém-se
a solução completa:
FT – 2012/1 - Revisão 1 176
tD
y
tD
x
DDtZ
MCCtyxC
yxyx 44
exp
4
),,(
22
21 7.48
A equação 7.48 fornece as linhas de igual concentração como um conjunto de
elipses concêntricas cuja razão entre os eixos maior e menor é dada por (Dx/Dy)1/2.
Lançamento
Ponto de
y
x Lx
LyC1
C2
C3
y
x
y
x
D
D
L
L
Figura 7.12: Curvas de igual concentração em meio anisotrópico Dx Dy.
____ Problemas 3-D
A regra do produto pode ser facilmente estendida a problemas tridimensionais. A
concentração resultante é dada pela equação a seguir:
tD
z
tD
y
tD
x
DDDt
MtzyxC
zyxzyx 444
exp
)4(
),,,(
222
2/3 7.49
As equações 7.48 e 7.49 são as soluções fundamentais para problemas 2D e 3D.
Outras condições de contorno e condições iniciais podem ser resolvidas por superposição
de forma análoga ao que foi apresentado para problemas unidimensionais.
7.3 DIFUSÃO COM ADVECÇÃO
7.3.1 Equações
Até aqui trabalhamos com fluido em repouso. Vamos considerar agora o fluido
movendo-se com velocidade u = u i + v j + w k provocando, com este movimento, uma
advecção da massa. Ao mesmo tempo continua a ocorrer a difusão, sendo o
espalhamento total provocado pela superposição do efeito dos dois mecanismos.
Ao longo de uma área perpendicular ao eixo x a componente ui da velocidade irá
provocar um fluxo de massa por advecção que depende da concentração da substância
dissolvida:
yzAdvM ACuF , 7.50
Se a área for unitária o fluxo torna-se numericamente igual à densidade de fluxo J.
FT – 2012/1 - Revisão 1 177
uCJ Adv 7.51
O fluxo total é dado pela soma da componente advectiva com o transporte difusivo, dado
pela lei de Fick. Em áreas unitárias temos a soma das densidades de fluxo dadas por:
difadv JJJ
)(
x
C
DuCJ
7.52
Aplicando agora a conservação da massa da substância dissolvida a um elemento
de volume zyxVol , conforme a figura 7.13.
y
x
P xx
J
JJ EES
J E
x
y
z
Figura 7.13: Balanço 1-D da substância dissolvida
Conservação:
Taxa de Variação no tempo = Fluxo de entrada - Fluxo de saída
zyJJFF
t
M
SESE
A )()(
7.53
Quantidade de massa da substância “A” no volume:
zyxCM AA 7.54
Fluxo de saída
x
x
J
JJ EES
7.55
Substituindo MA , JA e JS e dividindo
o balanço pelo volume, temos:
x
J
t
C E
7.56
Substituindo a densidade de fluxo de entrada (eq. 7.52) e tomando o limite para t 0,
temos:
)(
x
C
DuC
xt
C
7.57
FT – 2012/1 - Revisão 1 178
2
2
)(
x
C
DuC
xt
C
7.58
Aplicando-se o balanço também para os fluxos nas outras duas direções, chega-se
a:
CDC
t
C 2)(
u
7.59
A equação 7.59 pode ser simplificada ao lembrarmos que a conservação da massa
para a água mostra que 0 u :
CDC
t
C 2
u 7.60
Em coordenadas cartesianas a equação fica:
2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
CD
z
Cw
y
Cv
x
Cu
t
C 7.61
A equação acima é a equação básica da difusão com advecção. Mas, como a
advecção é muito comum em problemas ambientais, normalmente referimo-nos à
equação 7.61 simplesmente como a “Equação da Difusão”.
Existem duas situações de grande interesse prático que simplificam bastante a
equação geral, quando o escoamento ocorre apenas no eixo x com velocidade constante.
a) Grande Difusividade Longitudinal - nesse caso os gradientes na direção y
são pequenos e a equação fica:
2
2
x
C
D
x
C
u
t
C
7.62
A difusividade longitudinal é aplicada na prática nos estudos de qualidade de água
em rios, a partir do ponto em que a pluma de contaminante já se espalhou de maneira
uniforme ao longo da seção transversal. Normalmente, nos rios, a difusividade transversal
é maior que a longitudinal, mas a partir do ponto de mistura completa na seção, apenas a
difusividade longitudinal age no espalhamento da mancha.
b) Grande Difusividade Transversal – nesse caso a difusão na direção x é
menor que na direção y
2
2
y
CD
x
Cu
t
C
7.63
No caso de lançamentos em rios a difusividade transversal é importante entre o
ponto de lançamento e a seção em que a pluma se torna igualmente distribuída na seção
transversal. A partir deste ponto, ocorre a mistura completa na direção y e apenas a
difusão longitudinal é considerada.
FT – 2012/1 - Revisão 1 179
7.3.2 Solução para Difusão Longitudinal
____Caso a) Lançamento instantâneo
Considere um lançamento instantâneo, no instante t = 0, de uma quantidade de
massa M na origem de um sistema unidimensional onde ocorre um escoamento com
velocidade constante u. A figura 7.14 mostra um esquema do processo.
x
lançamento
u
x = 0
1t
2t
3t
x = u t1 1 x = u t3 3x = u t2 2
1L 2L 3L
0t
Figura 7.14: Lançamento instantâneo em meio com escoamento
A equação 7.62 que descreve o fenômeno pode ser simplificada usando um
sistema de coordenadas que avança junto com a frente, com a velocidade u. Fazendo
x’ = x – ut atendemos a essa condição, ou seja, qualquer que seja o tempo, x’ será
sempre zero na seção do centro de massa da nuvem. Assim o observador em x’ só verá a
difusão, de forma que a equação 7.62 fica:
2,
2
x
CD
t
C
7.64
O problema torna-se então uma difusão em fluido em repouso, quando visto por um
sistema de coordenadas que avança com velocidade u. Portanto, nas coordenadas x’ a
solução é a equação fundamental (eq. 7.13):
)
4
'(exp
4
),'(
2
tD
x
tDA
MtxC 7.65
Nas coordenadas absolutas, eixo x, a equação fica:
tD
tux
tDA
MtxC
4
)(exp
4
),(
2
7.66
FT – 2012/1 - Revisão 1 180
____Caso b) Interface abrupta entre dois fluidos
Considere o caso em que o fluido inicial é substituído por outro fluido com a
concentração da substância dissolvida dada por Co , num escoamento que avança com
velocidade média u constante. No instante inicial existe uma frente abrupta de separação
entre os dois fluidos, de forma que a condição de contorno é dada por:
.0,
,0,0
)0(
0 xC
x
xC
Novamente vemos que a equação 7.62 que descreve o fenômeno pode ser
simplificada usando um sistema de coordenadas que avança junto com a frente, com a
velocidade u. Fazendo como no caso anterior x’ = x – ut o observador em x’ só verá a
difusão e a equação 7.64 descreve o transporte de massa. A figura 7.15 apresenta 3
instantes da evolução da interface num rio, permitindo identificar as condições de
contorno para um observador que avança com velocidade u.
x
interface
u
x = 0
1t 2t
x = u t1 1 x = u t2 2
ot
u
u
t = 0
t = t1
t = t2
oC
oC
2
oC
2
oC
2
x = 0
Figura 7.15: Evolução de uma interface abrupta entre dois fluidos – difusão longitudinal
Verificamos na figura 7.15 que, no sistema de coordenadas que avança com
velocidade u, a condição de contorno passa a ser um degrau. Essa solução foi vista no
item 7.2.4, embora com variação da concentração inversa: no problema atual a
concentração passa de Co para nula em x’ no tempo t = 0, enquanto que no item 7.2.4
ocorria o contrário (de nula para Co).
.0',
,0',0
)0,0'(
0 xC
x
txC
Assim, tudo se passa como se a solução da entrada em degrau vista em 2.7.4
fosse refletida por um espelho em x = 0, obtendo-se para a concentração em x’:
tD
x
erf
C
txC
4
'
1
2
),'( 0 7.67
FT – 2012/1 - Revisão 1 181
em que substituindo-se x’ obtém-se:
tD
tuxerf
C
txC
4
1
2
),( 0 7.68
7.3.3 Solução para Difusão Transversal
Um exemplo de difusão na direção transversal ao escoamento ocorre quando dois
rios com concentrações uniformes diferentes entram em contato escoando lado a lado,
conforme a figura 7.16.
C = 0
C = Co
C C
y
x
fluido 2
fluido 1 neste ponto os 2
fluidos entram
em contato
u
u
x' = 0 x' = u t x' = u t
t 1
1 2
limite da região
já atingida pela
mistura dos 2
fluidos
t 2
Figura 7.16: Crescimento da zona de mistura lateral
A equação 7.63 aplicada a este caso torna-se mais simples pois, uma vez que a
entrada é constante, a solução não pode depender do tempo. Assim, a equação fica com
apenas 2 termos:
2
2
y
CD
x
Cu
7.69
As condições de contorno são:
.0,
,0,0
),0(
0 yC
y
yC
e também C (x , ) 0 ; C (x , - ) C0 .
A solução da equação com essas condições de contorno pode ser obtida
diretamente do caso anterior, equação 7.68, se percebemos que existe uma equivalência
entre y e x’ e entre t e x/u.
uxD
yerf
C
yxC
/4
1
2
),( 0 7.70
FT – 2012/1 - Revisão 1 182
7.3.4 Solução para Concentração Constante na Origem
Essa situação ocorre quando uma concentração C0 constante no tempo é
introduzida num rio a partir do tempo t = 0. As condições de contorno desse problema são
dadas por:
xxC
tCtC
0,0)0,(
0,),0( 0
e o caso é de difusão longitudinal, com a equação diferencial 7.62 valendo para x positivo:
x
x
CD
x
Cu
t
C 0,2
2
Evidentemente a solução final deve apontar todo o rio com concentração C0. Para
um tempo onde ainda ocorre o transiente a solução é dada por:
)(exp
442
),( 0
D
ux
tD
tuxerfc
tD
tuxerfc
C
txC 7.71
7.3.5 Lançamento Constante na Origem em 3-D
O caso de lançamento de um fluxo de massa constante em escoamentos bi ou
tridimensionais tem bastante interesse prático e normalmente é possível simplificar o
problema, reduzindo uma
dimensão, de 3-D para 2-D.
Suponha uma descarga pontual de um fluxo de massa M na origem de um
sistema cartesiano de coordenadas num escoamento 3-D com velocidade média em x
dada por u. Por simplicidade assumiremos que as difusividades são iguais em todas as
direções, de forma que a equação da difusão torna-se:
2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
CD
x
Cu
t
C 7.72
Uma solução geral pode ser encontrada por superposição da solução fundamental
para fontes pontuais e do efeito dos contornos. Entretanto, na maioria dos casos práticos
é possível reduzir o problema tridimensional para o de espalhamento de uma uma fonte
pontual instantânea em duas dimensões. Para esse caso já obtivemos uma solução
(7.48). Para visualizar essa possibilidade, devemos imaginar o escoamento como uma
série de fatias bidimensionais paralelas com espessura dx, conforme ilustrado pela figura
7.17.
FT – 2012/1 - Revisão 1 183
Difusão bidimensional
de massa M t numa fatia
de espessura x
z
xx
x
y
Fonte contínua
de massa M
Escoamento
u
u
u
Figura 7.17: Redução de um problema 3-D a 2-D usando uma fatia que se move com o fluido
Cada fatia está sendo transportada pela advecção para longe da fonte e ao passar
pela origem cada fatia recebeu um lançamento instantâneo de massa tM , sendo t o
tempo necessário para cada fatia passar pela fonte: uxt / . Assim, a concentração
média em cada fatia é a massa por unidade de área e conforme a equação 7.48 temos:
tD
zy
Dt
uxMC fatia 4
)(exp
4
/ 22
7.73
Tendo o resultado de 7.73 basta apenas verificar que essa concentração ocorrerá na fatia
que estiver localizada em x = ut (portanto, t = x/u) e que a concentração é a concentração
média na fatia dividida pela sua espessura, para obtermos:
xD
uzy
xD
M
x
C
zyxC fatia
4
)(exp
4
),,(
22
7.74
Deve-se realçar que a solução acima foi obtida desprezando-se a difusão na
direção do escoamento. A difusão produz um espalhamento da nuvem numa distância
proporcional a (2Dt)1/2 , ou seja, o desvio padrão da distribuição de concentrações da
nuvem. A distância da fatia em relação à fonte é x = ut. Comparando essas dimensões
vemos que a difusão longitudinal da nuvem poderá ser desprezada quando xt >> (2Dt)1/2,
ou tempos dados por t >> 2D/u2 . Nos problemas práticos os valores de t necessários
para satisfazer essa condição são normalmente muito pequenos, de forma que vale a
equação 7.72 e a sua solução (eq. 7.74) pode ser utilizada sem dificuldade.
____ Caso de fonte linear: problema 2-D
O lançamento contínuo a partir de uma fonte linear é apresentado pelo esquema da
figura 7.18. É lançado continuamente um fluxo de massa de M (kg/s) distribuído
uniformemente ao longo da profundidade d (m). A intensidade da fonte linear é definida
como sendo d/M (kg/s.m). Assim como no caso anterior este problema pode ser
analisado por meio de uma fatia de comprimento x, o que reduz a solução apenas à
difusão no eixo y.
FT – 2012/1 - Revisão 1 184
seção vertical da fatia
d
Fatia com difusão 1-D na direção y
z
x
y
Fonte linear
intensidade M/d
u
x
u uy
tem concentração uniforme
Figura 7.18: Redução de um problema 2-D a 1-D usando uma fatia que se move com o fluido
Cada fatia transversal de comprimento x = ut e profundidade d recebe uma
quantidade de massa tM quando passa pelo ponto de lançamento. Para um observador
viajando junto com a fatia, o problema se torna uma difusão unidimensional na direção y,
pois cada seção vertical da fatia possui a mesma concentração ao longo da profundidade.
Aplica-se diretamente a solução fundamental (eq. 7.13) para o cálculo da
concentração média numa seção vertical que dista y da seção central:
tD
yexp
tDdx
tMC fatia 44
2
Lembrando que t = x/u e que o tempo t decorrido desde o lançamento de massa na fatia
em estudo é dado pela distância percorrida com velocidade constante u, ou seja, t = x/u,
calcula-se a concentração num ponto x, y qualquer. A solução fica:
u/xD
yexp
u/xDdu
M)y,x(C
44
2
7.75
Assim como antes, a solução é valida para t >> 2D/u2 .
7.4 DIFUSÃO TURBULENTA
Até aqui trabalhamos com difusão molecular, em fluido estagnado ou com
escoamento laminar. Aqui, após alguma descrição elementar das características do
escoamento turbulento, veremos que sob algumas condições ocorre uma mistura
turbulenta análoga à difusão molecular. Esses conceitos serão usados para definir um
coeficiente de mistura turbulento, análogo à difusividade.
FT – 2012/1 - Revisão 1 185
7.4.1 Escoamentos Turbulentos
Como sabemos, os escoamentos classificam-se de acordo com sua dinâmica em
Laminares e Turbulentos conforme o número de Reynolds, Re, que nos dá a razão entre
as forças de inércia e as forças viscosas presentes no escoamento:
VDLV Re 7.76
em que L é uma dimensão característica do escoamento (p. ex, em tubos L = D, o
diâmetro do tubo); p = massa específica (kg/m3), = viscosidade dinâmica (kg/m s) e
= = viscosidade cinemática (m2/s).
Num escoamento turbulento qualquer massa introduzida irá misturar-se muito mais
rapidamente que no laminar. O experimento clássico de Reynolds demonstra esse fato. O
filamento de corante é claramente visível no escoamento laminar, ao passo que o filete é
rapidamente quebrado e espalhado através do tubo quando o escoamento é turbulento.
As velocidades médias e pressões medidas em um ponto de um escoamento
turbulento, mesmo que em regime permanente, não são constantes ao longo do tempo,
mostrando uma variação aleatória ao redor da média.
Tanto o espalhamento do corante quanto a flutuação de velocidade mostram que
as trajetórias das partículas são afetadas por componentes aleatórios distribuídos em
todas as direções, formando os vórtices ou turbilhões, ocorrendo dentro de outros
vórtices, formando estruturas maiores, como ilustra a figura 7.19. Os diversos turbilhões,
ao passarem pelo ponto de medição adicionam à média componentes instantâneas
diferentes, gerando o padrão de variação observado num ponto ao longo do tempo.
Assim, podemos pensar no escoamento turbulento ocorrendo em diferentes faixas de
tamanhos, ou de escalas de movimento.
V
P
Figura 7.19: Vórtices passando pelo ponto de medição P geram as flutuações observadas
A figura 7.20 é uma simulação de um sinal com variações abruptas e foi obtida
superpondo-se sinais senoidais de apenas 4 estruturas, com períodos de 1,0s, 0,6s, 0,2s
e 0,05s. A figura foi montada com sinais periódicos, o que não ocorre com a turbulência,
em que os tamanhos e intensidades dos vórtices variam aleatoriamente. Apesar disso, a
figura serve para demonstrar como estruturas de vórtices superpostos podem gerar os
padrões de variação observados nos valores instantâneos de velocidade e pressão nos
escoamentos turbulentos.
FT – 2012/1 - Revisão 1 186
Figura 7.20: Exemplo de flutuação de velocidade decorrente de estruturas de vórtices
senoidais em 4 escalas superpostas.
Observe que a escala da turbulência, relacionada ao tamanho dos vórtices, reflete-
se nas variações no tempo ao redor do valor médio. Os vórtices pequenos respondem
pelas variações abruptas e os grandes provocam as flutuações lentas.
7.4.2 Escalas de Turbulência
Para ilustrar o conceito de escala de turbulência podemos imaginar o que acontece
com uma linha de traçador colorido injetado instantaneamente na seção transversal de
um tubo. Uma fotografia posterior irá mostrar o deslocamento das partículas provocado
pelo escoamento.
A
figura 7.21 mostra o aspecto obtido se o escoamento for laminar. Se o traçador
for colocado próximo à entrada do tubo, na zona de crescimento da camada limite obtém-
se o padrão (a). Observa-se um núcleo não perturbado próximo ao centro do tubo em que
as velocidades são iguais e a região da camada limite, com velocidade caindo a zero nas
paredes. A escala que define a distorção do traçador nesse caso é a espessura da
camada limite. Se o traçador for colocado após o final da região de transição teremos seu
espalhamento conforme a figura (b) e o perfil de velocidades é distorcido numa superfície
parabólica que se estende por todo o diâmetro do tubo. Nesse caso a escala que define a
distorção sofrida pelo traçador é o próprio diâmetro do tubo.
( a ) ( b )
Figura 7.21: Linhas de tempo de traçador em escoamento laminar:
a) região de entrada ; b) após fim da transição da camada limite
0
1
2
3
4
5
0,0 0,5 1,0 1,5
V
Tempo (s)
V
(m
/s
)
FT – 2012/1 - Revisão 1 187
Consideremos agora na figura 7.22 a mesma experiência repetida em escoamento
turbulento. O plano do traçador é distorcido, como no caso anterior, pela espessura da
camada limite na região próxima à entrada ou por todo o diâmetro após o final da zona de
transição. Mas, além disso, o traçador também é espalhado pelos movimentos turbulentos
aleatórios.
( a ) ( b )
Figura 7.22: Linhas de tempo de traçador em escoamento turbulento:
a) região de entrada ; b) após crescimento da camada limite
Podemos observar vários graus de curvatura no perfil, variando desde um arco que
ocupa todo o diâmetro do tubo até outros bem pequenos, descrevendo os picos. Essas
curvaturas são resultantes dos vórtices e os tamanhos dos raios de curvatura aos
tamanhos dos vórtices ou “escalas de turbulência”.
A diferença entre as figuras 7.21 e 7.22 e a anterior (7.20) é que pelas linhas de
tempo são observados seus efeitos no espaço em um dado instante e no exemplo da
figura 7.20 aparecem os efeitos dos vórtices num ponto ao longo do tempo.
7.4.3 Espalhamento de um Traçador em Escoamento Turbulento
As características aleatórias das flutuações de velocidade dos escoamentos
turbulentos influenciam as trajetórias de partículas lançadas num determinado ponto do
escoamento. A figura 7.23 mostra um exemplo dessa imprevisibilidade com as trajetórias
de 3 partículas lançadas no mesmo ponto mas em tempos diferentes.
3
2
1
Trajetória 1
Trajetória 2
Trajetória 3
Figura 7.23: Trajetórias de 3 partículas lançadas em tempos distintos
no mesmo ponto de um escoamento turbulento
A figura 7.24 mostra mais um exemplo do efeito das variações aleatórias de um
escoamento turbulento, mostrando o espalhamento de dois lançamentos diferentes de um
traçador. As nuvens individuais de poluentes formadas ao longo do tempo mostradas em
FT – 2012/1 - Revisão 1 188
(a) e (b) são de localização imprevisível devido à natureza aleatória da turbulência. A
questão que surge é como podemos prever o tamanho de uma nuvem nessas condições?
a) lançamento 1
b) lançamento 2
Figura 7.24: Evolução de uma nuvem de traçador em 2 lançamentos
diferentes em escoamento turbulento:
Executando-se muitos lançamentos poderíamos traçar uma nuvem média de
concentrações, mostrada na figura 7.25 (a). Os círculos tem como centro a posição do
ponto de lançamento deslocada por advecção pela velocidade média no eixo x.
com superposição do ponto
com superposição do centro
( a )
( b )
de lançamento deslocado
de massa de cada nuvem
Figura 7.25: Limites do espalhamento médio de muitas nuvens de traçador a) em relação ao centro
de lançamento deslocado b) em relação ao centro de massa de cada nuvem
Conforme mostra a figura 7.25(b) se adotarmos o critério do espalhamento em
torno do centro de massa de cada nuvem, os limites ficam menores.
Da análise das figuras 7.24 e 7.25 podemos perceber que se o tamanho da nuvem
for maior que os maiores turbilhões o comportamento do espalhamento fica mais
previsível. Quando a escala da turbulência é maior que nuvem de poluente, só podemos
prever limites médios para um grande número de lançamentos.
FT – 2012/1 - Revisão 1 189
7.4.4 Difusão em Escoamentos Turbulentos
A equação da difusão é dada em coordenadas cartesianas pela eq. 7.61
reproduzida a seguir:
2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
CD
z
Cw
y
Cv
x
Cu
t
C (Obs: eq. 7.61)
em que a difusividade D é um escalar no processo de difusão molecular.
Em uma dimensão a equação fica:
2
2
x
CD
x
Cu
t
C 7.77
A característica comum a todos as variáveis de um escoamento turbulento é a
presença de um valor médio e de uma flutuação no tempo ao redor da média. Assim,
podemos escrever para as variáveis presentes nas eqs. 7.61 e 7.77:
'
'
'
'
www
vvv
uuu
CCC
7.78
Colocando a informação relativa à turbulência na equação 7.77 temos:
2
2 )'()'()'()'(
x
CCD
x
CCuu
t
CC
7.79
Tomando uma média no tempo os termos aleatórios anulam-se pela sua própria
definição. Assim, em termos médios num tempo suficientemente longo para envolver o
período dos maiores turbilhões, a equação 7.79 fica:
2
2''
x
CD
x
Cu
x
Cu
t
C
7.80
A equação 7.80 tem uma afirmação surpreendente no terceiro termo do primeiro
membro. Se a média no tempo de C' é nula, assim como a de u', porque o produto
indicado é diferente de zero?
Para refletir sobre essa questão basta pensar no produto de dois senos com
diferença de fase, conforme a figura 7.26.
FT – 2012/1 - Revisão 1 190
Figura 7.26: Exemplo de duas funções com média nula cujo produto é não nulo
Na figura 7.26 temos a = sen () e b = sen( ). Sabemos que a média de
qualquer seno é nula, mas o produto ab possui média 0,35 ao longo de um ciclo.
Voltando à equação 7.80 temos que:
x
Cu
x
Cu
)''('' 7.81
e com esse resultado a equação da difusão em escoamento turbulento fica:
2
2)''(
x
CD
x
Cu
x
Cu
t
C
(escoamento turbulento) 7.82
A equação 7.82 quando comparada com a equação 7.77 da difusão molecular
mostra apenas um termo adicional no segundo membro. O termo '' Cu representa um
fluxo médio de transferência de massa por advecção da substância dissolvida,
representada pela sua concentração C, em uma área unitária perpendicular à velocidade
u.
Por analogia com a lei de Fick, podemos considerar este fluxo adicional devido à
turbulência como sendo:
x
CDCu xx
'' 7.83
Em que Dxx é uma difusividade turbulenta na direção x devido à variação aleatória da
velocidade no eixo x. Daqui para a frente, para não confundir com a difusividade
molecular, Dxx será denotado por xx.
Com a definição dada na eq. 7.83 podemos escrever a equação da difusão
turbulenta como:
x
CD
x
C
xx
Cu
t
C
xx 7.84
O índice duplo na difusividade turbulenta aparece porque pode existir
espalhamento no eixo x devido à variação da componente aleatória nos outros dois eixos
-1
-0,5
0
0,5
1
0 1 2 3 4 5 6 7
a = sen()
b = sen()
FT – 2012/1 - Revisão 1 191
(v' e w'). Estendendo para as difusividades nos outros 2 eixos, vemos que a difusividade
turbulenta terá 9 componentes, constituindo uma grandeza que precisa ser representada
por um tensor:
zzzyzx
yyyx
xzxyxx
ij yz
( a difusividade turbulenta é um tensor
) 7.85
Se o eixo de coordenadas adotado for paralelo aos eixos principais do tensor este
se reduz aos seus componentes da diagonal, ou seja:
zz
yy
xx
ij
00
00
00
7.86
Com essa simplificação a equação da difusão em 3-D fica:
z
CD
y
CD
x
CD
xz
Cw
y
Cv
x
Cu
t
C
zzyyxx )()()( 7.87
A principal diferença encontrada na difusividade turbilionar ou difusividade de
turbilhão, como também é chamada a difusividade turbulenta ii é o fato de que seu valor
pode variar a cada ponto ao longo do escoamento.
Como a difusividade turbilionar é muitas ordens de grandeza maior que a
difusividade molecular, pode-se considerar na equação 7.87 que iiii D )( .
A turbulência do escoamento é dita homogênea quando xx não depende de x, ou
seja, é constante ao longo do eixo x, yy não depende de y e zz não depende de z.
A turbulência do escoamento é dita isotrópica quando xx = yy = zz = .
Assim, para um escoamento turbulento unidimensional homogêneo e isotrópico, a
equação da difusão 7.84 resume-se a:
2
2
x
C
x
Cu
t
C
7.88
que possui a mesma forma da difusão molecular, embora use a difusividade turbulenta e
valores médios da concentração.
7.4.5 Valores empíricos da Difusividade Turbulenta
Da equação 7.83 podemos perceber que a difusividade turbulenta xx deve ser
proporcional à intensidade da flutuação turbulenta u´ e a uma escala de turbulência dada
FT – 2012/1 - Revisão 1 192
por um comprimento característico lx. Um raciocínio similar nos mostra que a difusividade
turbulenta na vertical e na transversal ao fluxo são proporcionais às intensidades e às
dimensões características ou escala da turbulência nas direções z e y, respectivamente.
Assim, temos que:
.
zzz
yyy
xxx
l´w
l´v
l´u
7.89
Como normalmente a turbulência é anisotrópica tanto na intensidade (u’ v’ z’)
como na escala de comprimento (lx ly lz) pode-se esperar que a difusividade turbulenta
também seja anisotrópica.
____ Difusividade turbulenta em canais
A difusividade num canal pode ser caracterizada pela velocidade de atrito u* e por
uma escala característica de comprimento. Uma escolha conveniente para a escala é a
profundidade do escoamento h. Portanto a difusividade turbulenta deve ser proporcional à
u*h ( u*h), sendo que a constante de proporcionalidade deve ser determinada a partir
de estudos com traçadores.
A faixa de variação das difusividades turbulentas em canais é apresentada a
seguir, para as direções longitudinal (ao longo da correnteza), transversal e vertical.
Direção Longitudinal: xx = (0,3 a 0,45) u* h
Direção transversal: yy = 0,15 u* h para canais retilíneos
yy = 0,6 u* h para canais com meandros suaves
yy = 3,4 u* h para canais com meandros abruptos
Direção vertical: zz = (1/15) u* h
____ Difusividade turbulenta em rios
A maioria dos canais possui formas que levam a lx >> ly > lz, de modo que se pode
esperar que xx > yy > zz. Isto ocorre em canais retilíneos, mas as curvas introduzem
componentes secundários de circulação que aumentam a mistura lateral. Meandros fortes
podem levar a correntes laterais que conduzem a valores de yy > xx.
Valores típicos da difusividade turbulenta em rios são:
Direção Longitudinal: xx = 10 a 8000 cm2/s
Direção transversal: yy = 10 a 10000 cm2/s
Direção vertical: zz = 1 a 3000 cm2/s.
Para utilizar as relações que envolvem u*, cita-se aqui que a velocidade de atrito
pode ser calculada com um balanço de forças num trecho de canal com declividade de
fundo So, em movimento permanente uniforme, resultando em:
oShg*u 7.90
FT – 2012/1 - Revisão 1 193
7.4.6 Lançamento de efluentes em rios
O lançamento de efluentes normalmente ocorre como uma fonte pontual contínua,
com o emissário no centro do rio ou em uma de suas margens. Esta situação é
esquematizada na figura 7.27, com a simplificação de adotar um rio aproximadamente
linear e de largura constante W.
Ponto de Lançamento
u
y
x
W
Figura 7.27: Esquema do problema de injeção contínua de efluente criando uma pluma 2-D.
Interessa nesses casos calcular as concentrações a jusante e ainda a distância
necessária para que o efluente se distribua uniformemente ao longo de toda a seção do
rio.
Uma hipótese aceitável é considerar que o efluente está espalhado uniformemente
ao longo da profundidade (eixo z). Com essa simplificação o problema torna-se de
espalhamento bidimensional, no plano x-y, a partir de uma fonte linear homogênea. Essa
situação foi tratada no item 7.3.5, resultando na equação 7.75.
Considerando o lançamento contínuo de um fluxo de massa M em um rio com
profundidade d como uma fonte linear de intensidade d/M , a concentração segue
diretamente da eq. 7.75 caso a largura possa ser considerada infinita:
u/x
yexp
u/xdu
MC
yyyy 44
2
7.91
___ Efeito das margens
Como o rio tem largura finita W, o efeito das margens é calculado por
superposição, como já visto no item 7.2.9. Como a largura pode variar nos casos reais, é
conveniente definir o problema em termos de quantidades adimensionais, como segue:
W
y'y;
Wu
x
'x;
Wdu
MC yy 20
7.92
Com as variáveis adimensionais o problema em meio infinito (eq.7.89) fica:
'x
'yexp
'x
C
)t,y,x(C
44
2
0 7.93
FT – 2012/1 - Revisão 1 194
Se o lançamento ocorrer em uma seção y0 0, a equação anterior fica:
'x
)'y'y(
exp
'x
C
)y,x(C
44
2
00 7.94
em que W/y'y 00 é o ponto de lançamento adimensionalizado.
A partir da equação 7.94 é possível locar as, teoricamente, infinitas fontes virtuais
necessárias para corrigir o efeito das margens impermeáveis. Deixa-se ao leitor a tarefa
de desenvolver essa solução.
Por facilidade, apresenta-se na equação 7.95 o resultado já reduzido à forma de
série infinita, acrescentando apenas que, para conseguir a simetria necessária para a
redução aos termos da série, a origem do eixo y’ foi redefinida para uma das margens do
rio.
n 'x
)'yn'y(
exp
'x
)'yn'y(
exp
'x
C
)y,x(C
4
2
4
2
4
2
0
2
00 7.95
____ Lançamento na linha central
A figura 7.28 apresenta a solução adimensionalizada em forma gráfica para
lançamento na linha central do rio (y0 = W/2) em duas localizações, ou seja, no centro da
pluma (y’ = ½) e junto às duas margens (y’ = 0 e y’ = 1).
Figura 7.28: Concentração adimensional ao longo da linha central da pluma e junto às
margens, resultantes de lançamento contínuo de efluente no centro do rio.
Variáveis definidas na eq. 7.92.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
x'
C
/
C
0
Linha Central
Margens
FT – 2012/1 - Revisão 1 195
Um resultado interessante que se observa na figura 7.28 é a distância necessária
para o efluente misturar-se completamente na seção transversal. A partir de x’ = 0,10 as
duas curvas aproximam-se do valor unitário, indicando que a concentração, para todos os
fins práticos, é igual à concentração média C0.
Assim, para lançamento no centro do rio, a distância para mistura completa na
seção transversal é dada por:
yy
yy Wu,L,
Wu
L
'x
2
2 1010 7.96
____ Distância para mistura completa de lançamento nas margens
A solução adimensional da figura 7.28 pode representar um lançamento de efluente
junto à margem
de um rio com largura W com facilidade, pois a situação é equivalente ao
que ocorre num lançamento na linha central de um rio com largura 2W.
Temos então, para o valor x’ = 0,1 a seguinte condição:
yy
yy Wu,L,
)W(u
L
'x
2
2 40102
7.97
A equação 7.97 mostra que, embora o valor adimensionalizado seja o mesmo, o
comprimento necessário para homogeneizar um lançamento junto à margem é quatro
vezes maior do que o requerido pelo lançamento central.
7.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7.5.1) Sabe-se que o espalhamento de massa por difusão a partir de um lançamento
instantâneo concentrado segue uma curva gaussiana, de forma que o ponto de
concentração igual a 0,6 Cmax situa-se a um desvio padrão ( 1) do centro da mancha e
que a largura da mancha que contém 95% da massa é de 4 desvios padrão ( 2). Com
essas informações foi planejado um ensaio para a determinação experimental da
difusividade de um corante na água, utilizando um canal de laboratório horizontal com
40m de comprimento. No instante inicial 100g do corante foram liberados
instantaneamente na ordenada x = 20m, ou seja, no meio do canal. Com um fluorímetro
foram medidos os perfis de concentração ao longo de x em duas ocasiões, obtendo-se os
resultados da tabela. Pede-se determinar: a) a difusividade do corante; b) calcule o tempo
a partir do qual a distribuição horizontal do corante no canal será afetada pela presença
dos contornos, a 20m do ponto de lançamento.
t (dia) t (s) Cmax ( x=20m)
(g/l)
0,6Cmax
(g/l)
X0,6Cmax
(m)
1 86400 13,5 8,1 23,0
4 345600 6,8 4,1 26,0
FT – 2012/1 - Revisão 1 196
7.5.2) Uma marina foi construída na extremidade de uma ilha
fluvial, conforme o esquema da figura. O canal de acesso
mostrado possui 60m de comprimento, 10m de largura e 2m
de profundidade, unindo os dois braços do rio. Se no centro
do canal (x = 30m) ocorrer um lançamento acidental de
1000kg de um poluente, pede-se: a) monte a equação para a
concentração C(x,t) considerando as condições de contorno
do problema; b) calcule a concentração máxima no canal
após decorridos 10 dias do acidente; c) o mesmo do item b,
mas considerando meio infinito.
A velocidade no canal pode ser considerada desprezível e a
difusividade turbulenta igual a D = 2,0m2/h.
Ilha
Rio
Canal
Marina
7.5.3 ) Houve um lançamento acidental de uma quantidade desconhecida de um poluente
em um braço de reservatório com cerca de 50m de largura e 2,0m de profundidade,
situado sobre o leito inundado de um rio. Você chegou ao local algum tempo após o
acidente e localizou a mancha do produto espalhada ao longo de 34m da superfície com
centro de massa 360m a jusante do ponto do acidente. Após mais 1 hora a mancha tinha
cerca de 48m de comprimento e seu centro de massa estava a cerca de 720m do ponto
do acidente. Observando ainda mais uma hora a mancha atingiu cerca de 59m de
comprimento e seu centro de massa estava a cerca de 1000m do ponto do acidente. A
concentração no centro da mancha foi medida nesse instante, 2h após sua chegada ao
local, obtendo-se C = 13,57 g/m3. Supondo que a massa foi lançada instantaneamente e
com distribuição uniforme ao longo da seção transversal do ponto de lançamento e
modelando o acidente como um problema 1-D com advecção com velocidade constante,
pede-se:
a) estimar a velocidade de advecção u;
b) estimar o tempo decorrido desde o lançamento até sua chegada ao local;
c) estimar a difusividade longitudinal do corpo de água (Dx)
d) estimar a quantidade total de massa derramada no acidente
e) sendo 1g/m3 a máxima concentração admitida para balneabilidade, estimar o tempo
necessário para que o reservatório possa ser liberado totalmente, bem como o
comprimento que deve ser interditado a jusante do acidente.
7.5.4) Houve um lançamento distribuído de massa no sistema 1-D da figura, com
velocidade nula da água, no tempo t = 0. Foram despejados no total cerca de 15
toneladas da substância, formando uma mancha inicial de concentração uniforme com
100m de comprimento, entre as ordenadas x = 150m e x = 250m. A largura média é de
100m e a profundidade de 2,0m. Pede-se: a) calcular a concentração inicial da substância
em kg/m; b) calcule a concentração inicial em kg/m3; c) escreva a equação para a
concentração em função do tempo no ponto x = 120m; calcule C(120,5h), sabendo que
D = 0,01m2/s.
150m
x
100m
FT – 2012/1 - Revisão 1 197
7.5.5) Sabendo que o efeito de fronteiras é considerado por meio de fontes ou sumidouros
virtuais colocados de forma simétrica em relação à fronteira, conforme esquema da figura
1(a), pede-se traçar um esquema de locação das fontes e/ou sumidouros virtuais
necessárias para compensar os efeitos dos contornos nas situações 2-D das figuras 1(b)
e 1(c).
d
.
d
realvirtual
1(a)
50
30
50 100 x
y
fronteira
1(c)
50
30
50
x
y
1(b)
impermeável
absorvedora
impermeável
impermeável
7.5.6) Calcule a concentração no ponto considerado 1 hora após o lançamento
instantâneo de 10kg de massa no ponto dado. Demais informações no desenho.
H = 2,00 m
Lançamento; M = 10kg
D = 0,05 m / s2
x = 0 ; y = 100; t = 0L 0L
x
y
Ponto de interesse: x = 50, y = 0, t = 1h
Impermeável
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