AULA 00 - ESTATISTICA - ICMS SP

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recomenda-se a sua impressão no modo econômico da impressora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
APRESENTAÇÃO PESSOAL 
 
Meu nome é Vítor Menezes. Sou servidor público desde fevereiro de 2005. Neste 
tempo, fui Auditor Fiscal da Secretaria de Estado de Fazenda de Minas Gerais 
durante um ano e meio e desde agosto de 2006 ocupo o cargo de Analista do 
Tribunal de Contas da União. 
 
Sou formado em engenharia eletrônica pelo ITA. Desde 2005 dou aulas em cursos 
preparatórios para concursos, sempre na área de exatas (matemática financeira, 
estatística e raciocínio lógico). Estou no Ponto desde abril de 2008. Essa é minha 
terceira turma de estatística aqui no site (as outras foram para os concursos do 
AFRFB e ACE/TCU). 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DO CURSO – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 
 
Nós vamos trabalhar com base no edital do último concurso. Para quem já tiver 
feito algum dos meus cursos aqui no site, este será um meio termo entre o curso 
da Receita (em que cai apenas estatística descritiva) e o do TCU (em que foram 
exigidos mais tópicos de inferencial). A grande diferença é que estou aumentando 
consideravelmente o número de exercícios. 
 
Vou tomar como base o edital do último concurso. A seqüência que pretendo seguir 
é: 
 
· Aula 1 – Medidas de tendência central para dados em rol 
 
· Aula 2 – Medidas de tendência central para dados agrupados por valor; média e 
moda para dados em classes; 
 
· Aula 3 – Medidas separatrizes; histograma; noções de assimetria. 
 
· Aula 4 – Medidas de dispersão 
 
· Aula 5 – Probabilidade, esperança, função densidade e função distribuição de 
probabilidade. 
 
· Aula 6 – Distribuições (uniforme, normal, T, binomial, poisson, qui-quadrado); 
Amostragrem e estimadores 
 
· Aula 7 – Intervalo de confiança 
 
· Aula 8 - Teste de hipóteses para médias e proporções 
 
· Aula 9 – Correlação e regressão linear. 
 
Depois de cada tópico eu trago exercícios correspondentes. Em alguns casos, 
exercícios mais simples, que eu mesmo elaborei (exercícios propostos – sigla EP). 
E, é claro, sempre utilizaremos muitos exercícios de concursos (sigla EC). 
Prioridade para a FCC e ESAF. Vez ou outra, principalmente quando não tivermos 
muitos exercícios destas bancas sobre dado tópico, trago de outras bancas 
também. 
 
O programa acima abrange alguns tópicos que não constaram do edital, mas que 
acho que valem a pena comentar. O primeiro é “assimetria”. Ter noções de 
assimetria pode ajudar a responder questões de medidas de posição com mais 
rapidez. Outro caso é o da distribuição uniforme. É a distribuição mais simples, 
ótima para introduzir a matéria. Um terceiro caso é o da distribuição T, que é uma 
das mais cobradas em prova. Como na hora de se referir às distribuições o edital 
trouxe um sonoro “ETC”, acho que é bom garantir pelo menos essa distribuição T. Na 
área de exatas é usual a utilização de uma rígida linguagem matemática. O 
objetivo deste rigor é garantir que os resultados obtidos sejam realmente exatos. 
No entanto, no caso de uma preparação para concursos, creio que seja possível 
deixar um pouco de lado todo esse rigor. Ser um pouco “inexato”. Afinal de contas, 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
queremos simplesmente que as pessoas passem em concursos públicos. É 
importante ter isso em mente. O presente curso serve para uma preparação para 
concursos e somente isso. Passará bem longe do rigor matemático próprio dos 
livros da área. 
 
Ao final de cada aula eu trago a lista de exercícios de concursos utilizada. Assim, 
caso alguém queira resolver sem ver a resposta, pode ir direto para as últimas 
páginas. Esta aula zero contém um trecho da aula 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 0 
 
I INTRODUÇÃO................................................................................................................................. 2 
 
1 Estatística descritiva e inferencial ................................................................................................. 2 
 
2 População e amostra...................................................................................................................... 2 
 
3 Amostragem aleatória .................................................................................................................... 3 
 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL. ................................................................... 3 
 
1 Dados brutos .................................................................................................................................. 4 
 
2 Rol .................................................................................................................................................. 4 
 
3 Medidas de posição........................................................................................................................ 6 
 
4 Média Aritmética............................................................................................................................ 7 
 
5 Média Geométrica e Harmônica .................................................................................................. 20 
 
6 Propriedades da média aritmética ............................................................................................... 25 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS UTILIZADAS .............................................................. 33 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS .............................................................................. 37 
 
 
ANEXO ..................................................................................................................................................... 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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I INTRODUÇÃO 
 
1 Estatística descritiva e inferencial 
 
A estatística é usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial. 
 
Nos concursos, a estatística descritiva geralmente aparece como “Estatística 
Básica”. Ela busca descrever um conjunto de dados por meio de algumas medidas. 
Acho que a melhor maneira de entender é por meio de um exemplo. 
 
Nós desejamos pesquisar o salário das pessoas de um bairro. Entrevistamos 
diversos moradores e anotamos
seus salários. Um trecho de nossas anotações 
poderia ser representado assim: 
 
 
 
Salários dos moradores bairro Nova Vila: 
 
R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, 
R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00... 
 
 
E a lista prosseguiria, com dezenas e dezenas de salários. Só que simplesmente 
pegar esta listagem e apresentar para alguém não permite, de imediato, tirar 
conclusões sobre as pessoas deste bairro. São predominantemente de classe 
média, baixa, alta? O bairro é mais ou menos homogêneo ou abriga pessoas ricas e 
pobres? 
 
Se em vez de apresentarmos toda a nossa listagem dissermos que o salário médio 
das pessoas pesquisadas no bairro Nova Vila é de R$ 3.600,00, aí sim já podemos 
começar a tirar algumas conclusões. Esta média descreve, de maneira sucinta, todo 
o nosso conjunto de dados. É uma medida típica na estatística descritiva. 
 
Já a estatística inferencial tem outro propósito. Se quisermos, a partir da média 
obtida nesta nossa pesquisa, calcular qual a provável média salarial de TODOS os 
moradores do bairro, usaremos ferramentas de estatística inferencial. Seu intuito é 
fazer generalizações, a partir de alguns valores conhecidos. 
 
 
 
2 População e amostra 
 
Voltemos ao exemplo da seção anterior, em que queríamos pesquisar o salário das 
pessoas do bairro Nova Vila. O conjunto formado pelos salários de TODAS as 
pessoas do bairro é a nossa população. 
 
 
População: conjunto de todos os elementos que possuem uma determinada 
característica em comum. 
 
 
No nosso caso, estamos interessados nos dados que representam salários de 
pessoas que moram no bairro Nova Vila. Esta é a característica de interesse. 
 
Se entrevistarmos TODAS as pessoas do bairro, estamos realizando um CENSO. 
Agora, dependendo da população, fica inviável entrevistar todo mundo. Imagine se 
for um bairro muito grande. De repente não se tem tempo suficiente para esperar 
que todo mundo seja entrevistado. Ou não se tem dinheiro para pagar toda a 
quantidade de pessoal que seria necessária para coletar tais dados. Nestes casos, 
em vez de entrevistarmos todo mundo, escolhemos uma AMOSTRA. 
 
 
 
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Amostra: qualquer subconjunto não vazio da população. 
 
 
Apesar de eu ter dito “qualquer subconjunto”, este “qualquer” tem exceção. O 
conjunto de todos os salários dos moradores (= população) é um subconjunto de si 
mesmo. Então uma definição mais correta de amostra seria: qualquer subconjunto 
não vazio da população, exceto a própria população. Mas isto já é preciosismo... 
 
Há diversos fatores que nos levam a fazer uma amostragem. No exemplo da 
pesquisa salarial com os moradores do bairro Nova Vila, já demos algumas razões 
(tempo, custo). Há outras. Suponha que se deseje testar a resistência de uma dada 
mercadoria, produzida em série por uma empresa. O teste consiste em submeter 
esta mercadoria a pressões cada vez maiores, até que ele arrebente. Não podemos 
testar todas as mercadorias produzidas. Se não, não sobra nenhum produto e o 
teste fica sem o menor sentido. Seria o caso daquela piada comum do português 
(com todo respeito aos portugueses) que risca todos os fósforos da caixa para ver 
se estão funcionando. Neste caso, testando toda a população, temos uma situação 
absurda. 
 
 
EC 1 
 
Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC] 
 
O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, 
utilizando-se todos os componentes da população, denomina-se: 
a) amostragem 
b) estimação 
 
c) censo 
d) parametrização 
e) correlação 
 
 
Quando temos acesso a todos os valores da população, estamos realizando um 
censo. Resposta: C. 
 
 
 
3 Amostragem aleatória 
 
Há diversos tipos de amostragem. A amostragem aleatória simples é a mais 
cobrada em provas de concursos. De forma bem resumida, podemos dizer que se 
trata da amostragem feita de forma que cada elemento da população tem a mesma 
chance de ser escolhido. Por exemplo: queremos escolher algumas pessoas de uma 
empresa para realizar uma entrevista. Escrevemos os nomes de todos os 
funcionários em pedaços de papel de mesmo tamanho. Colocamos todos os nomes 
em um saco. Misturamos bem todos os papéis. Feito isto sorteamos 5 nomes. Este 
é um exemplo de amostragem aleatória simples. Todos os funcionários têm a 
mesma chance de serem escolhidos. Além disso, qualquer combinação de cinco 
pessoas tem a mesma chance de ser sorteada. Falamos mais sobre isso na aula 6. 
 
 
 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL. 
 
Vamos falar agora de medidas de posição para dados em rol. Precisamos, portanto, 
saber o que é um rol e o que são medidas de posição. Comecemos pelo rol. Só que 
para chegarmos a ele, vejamos os chamados “dados brutos”. 
 
 
 
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1 Dados brutos 
 
Voltemos ao bairro Nova Vila. Vamos supor que efetuamos a tal pesquisa no bairro. 
Entrevistamos apenas dez pessoas. Os resultados obtidos foram: 
 
 
 
Salário dos moradores da Nova Vila – amostra com dez salários: R$ 5.000,00; R$ 
2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 
4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00. 
 
 
O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiro 
morador e perguntamos: qual o seu salário? Ele responde: R$ 5.000,00. A gente 
pega e anota este valor. Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa. 
Ela responde: R$ 2.000,00. A gente pega e anota este valor. E assim por diante. 
 
A estes dados desorganizados, chamamos de DADOS BRUTOS. Eles estão 
simplesmente na ordem em que foram coletados. Não receberam qualquer 
tratamento. 
 
 
 
2 Rol 
 
Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um ROL. 
Geralmente em concurso só aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficaria 
assim: 
 
 
 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
 
 
O rol já é uma primeira forma de organizar nossos dados. É também uma maneira 
de apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durante 
algum tempo ao longo do curso, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o símbolo 
‘R$’ e indicar apenas as unidades de milhar. 
 
 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
 
Então rol é apenas isto. Nada mais é que um conjunto de números (resultados de 
uma pesquisa, de um experimento, etc), colocados em ordem crescente (ou 
decrescente). 
 
É muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa série 
de dados. Uma notação muito usual é: X i (lê-se “xis, índice i”). É utilizada para 
nos referimos ao “i-ésimo” elemento. Vamos dar um exemplo. 
Quem é o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como: 
 
 
 
Qual o valor de 
 
 
 
X 3 ? 
 
Resposta: o terceiro elemento é 2 ( X 3 = 2) 
 
 
 
 
 
 
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Para chegar à resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiro 
elemento é o 1, o segundo elemento é o 2 e o terceiro elemento também é 2. 
 
Abaixo seguem mais valores de 
 
X i : 
 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7. 
 
 
 
Somatório 
 
Conhecendo esta notação, podemos apresentar uma ferramenta muito importante 
em estatística:
o SOMATÓRIO. 
 
O símbolo de somatório é: ∑ 
 
A utilidade do somatório é possibilitar uma escrita mais compacta. 
 
Desejamos saber qual o salário total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremos 
somar todos os valores de salários das dez pessoas entrevistadas. 
 
Precisamos fazer o seguinte: 
 
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
 
 
Ou seja, o salário total das dez pessoas entrevistadas é de R$ 36.000,00. 
Em vez de escrever desta forma, poderíamos escrever: 
 
10 
∑ X i =36 
i =1 
 
O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois há um 
símbolo de somatório). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de 
Xi. Quais valores de Xi? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. 
 
10 
A expressão ∑ X i =36 nada mais é que uma forma compacta de escrever X1 + X2 
i =1 
+ X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
 
 
 
Passemos para um outro exemplo. Para a nossa mesma série de dados, vamos 
5 
calcular ∑ X i . 
i =2 
 
Sabemos que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). 
Queremos somar valores de Xi para os quais ‘i’ vai de 2 até 5. Assim, queremos 
calcular a seguinte soma: 
 
X2 + X3 + X4 + X5 
 
Substituindo os valores, ficamos com: 
 
5 
∑ X i = X2 + X3 + X4 + X5 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9. 
i =2 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
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EP 1 
 
Considere a seguinte seqüência de dados: 
 
2, 6, 1, 4, 6. 
 
Obtenha o rol correspondente 
 
 
 
EP 2 
 
Considere a seguinte seqüência de dados: 
 
3, 1, 4, 2, 7, 3 
 
3 
Obtenha o valor de ∑ X i 
i =1 
 
 
 
EP 3 
 
 
Para a mesma seqüência de dados do exercício anterior, obtenha 
 
4 
∑ ( )2 
X i . 
i =1 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
Resolução - EP 1 
 
ROL: 1, 2, 4, 6, 6 
 
 
 
Resolução EP 2 
Primeiro passo: obtendo o ROL. 
ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7 
 
Identificando os termos: 
 
X1=1; X2=2; X3=3; X4=3; X5=4; X6=7 
 
Fazendo a soma: 
 
3 
∑ X i 
i 1= 
 
 
= X 1 + X 2 + X 3 = 1 + 2 + 3 = 6 
 
 
 
 
Resolução EP 3 
 
Fazendo a soma: 
 
4 
∑ ( )2 = 
21X 
i 
 
 
+ 2 2 + 32 + 32 = 1 + 4 + 9 + 9 = 23 . 
i =1 
 
 
 
3 Medidas de posição 
 
Medidas de posição nos fornecem informações acerca de posições que os dados 
ocupam. Podem ser de dois tipos: 
 
· Medidas de tendência central (média, mediana e moda). 
 
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· Medidas separatrizes. 
 
As medidas de tendência central indicam valores em torno dos quais os dados 
“giram”. Um exemplo é a média. Se dissermos que a nota média dos alunos em 
uma prova foi 6, é razoável esperar que as notas “giraram” em torno de 6. Um ou 
outro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a 
maioria deve ter ficado com uma nota intermediária, uns 4, 5, 6 ou 7. 
 
Se dissermos que a nota média desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, é 
razoável esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 
1. Mas o restante deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10. 
 
As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida 
separatriz é o quartil. Uma série de dados possui três quartis que separam a série 
de dados em quatro partes. 
 
Devido a algumas dificuldades que surgem no estudo de medidas separatrizes, 
vamos deixá-las para depois. Nesta aula só estudaremos a principal medida 
separatriz: a mediana. As demais estudaremos na aula 3. 
 
 
 
4 Média Aritmética 
 
A MÉDIA ARITMÉTICA dos dados é dada pela soma dos valores observados, dividida 
pelo total de observações. Voltemos à nossa pesquisa sobre o salário dos 
moradores do bairro. Relembrando o nosso rol: 
 
 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
 
 
Calculando a soma dos dados, temos: 
 
10 
∑ X i = 36 
i 1= 
 
Só relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois há 
um símbolo de somatório). Quais valores? Valores de X para os quais ‘i’ vai de 1 até 
10. Ou seja, queremos somar todos os 10 valores observados. 
A média fica: 
 
= 36 = 3 6, 
___ 
X 
10 
 
Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salário médio de R$ 
3.600,00. 
 
Média é apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo número de dados. 
Este símbolo adotado para média ( X ) é muito comum. Muitos autores o utilizam. É 
importante saber isto porque às vezes as provas de concursos simplesmente 
indicam X e não explicam que se trata da média. 
 
Para um conjunto de ‘n’ dados, a média pode ser representada por: 
 
 
 
___ 
X 
 
 
n 
∑ X i 
= 1 n 
 
 
 
 
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A fórmula acima indica que, para obter a média aritmética, somamos todos os 
dados e dividimos por n. 
 
Uma coisa que muita gente confunde é o seguinte. Muitas pessoas acham que a 
média precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto é falso. No exemplo acima, a 
média foi 3,6. E na nossa amostra não há nenhuma pessoa que ganhe um salário 
de R$ 3.600,00. 
 
Este valor 3,6 só é um indicativo de que os salários das pessoas entrevistadas 
devem girar em torno de R$ 3.600,00. 
 
 
Antes de irmos para os exercícios, só um comentário. Além da média aritmética, há 
outras (veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a 
aritmética é a mais importante (porque é a mais cobrada). Portanto, se o exercício 
falar apenas “média”, sem mencionar que é a aritmética, pode supor que se trata 
dela. 
 
Vamos a alguns exercícios sobre o assunto. 
 
 
 
 
EP 4 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - MÉDIA 
 
 
Calcule a média da seguinte seqüência de números: {1, 3, 8}. 
 
 
EP 5 
 
Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de 
R$ 825,00. A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de 
homens e mulheres? 
 
 
EP 6 
 
Numa empresa, temos 6 homens e 4 mulheres. A média salarial dos homens é de 
R$ 2.000,00. A média salarial geral (considerando homens e mulheres) é R$ 
1.600,00. Qual a média salarial das mulheres? 
 
 
EP 7 
 
Numa empresa, temos 100 funcionários. A média do salário dos homens é de R$ 
1.000,00. A média do salário das mulheres é de R$ 900,00. A média geral, 
considerando homens e mulheres, é R$ 960,00. Quantas mulheres há na empresa? 
 
 
 
 
Resolução - EP 4 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
X = 1 + 3 + 8 = 4 3 
 
 
 
Resolução - EP 5 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Como assim?? 
 
Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salários: 
 
 
 
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725,00; 800,00; 850,00; 925,00. 
 
Pronto, a média desses salários é de 825,00. 
 
Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte: 
 
O salário do primeiro homem é 725. Portanto: 
 
O salário do segundo homem é 800. Portanto: 
 
E assim por diante. 
 
H1 = 725 
 
H 2 = 800 
 
 
 
 
Pois bem, somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos 
justamente a média de salário dos homens. Fica assim: 
 
= ∑ H 825 4 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H = 4 × 825 = 3300 
 
Ou seja, a soma dos salários de
todos os homens é igual a R$ 3.300,00. 
 
 
Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as 
mulheres e dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica 
assim: 
 
600 = ∑ M 
5 
 
 
� ∑ M = 5 × 600 = 3000 
 
 
Ou seja, a soma dos salários de todas as mulheres é igual a R$ 3.000,00. 
 
 
 
O exercício pede a média geral, de homens e mulheres. 
 
Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as 
mulheres, e dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo). 
 
Fica assim: 
 
 
Média _ 
 
 
geral = ∑ H + ∑ M 
9 
 
Substituindo os valores: 
 
Média _ geral = 3300 + 3000 = 700 
9 
 
A média geral, incluindo homens e mulheres, é de R$ 700,00. 
 
Note que na empresa há mais mulheres do que homens. Portanto, a média geral 
está mais próxima da média das mulheres. 
 
 
 
Resolução - EP 6 
 
Exercício bem parecido com o anterior. 
 
Vamos chamar de H o salário dos homens e de M o salário das mulheres. 
 
 
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A média salarial dos homens é igual a R$ 2.000,00. E para obter esta média, 
somamos os salários de todos os homens e dividimos por 6 (são seis homens). 
Portanto: 
 
= ∑ H 2000 6 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H = 6 × 2000 = 12000 
 
Assim, a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00. 
 
 
A média salarial geral é obtida somando o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres, e dividindo por 10 (são 10 pessoas ao todo). 
 
= ∑ H + ∑ M 1600 10 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H + ∑ M 
 
= 16000 
 
Ou seja, a soma dos salários de todos os homens e todas as mulheres é igual a R$ 
16.000,00. 
 
Mas já sabemos que a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00. 
Substituindo o valor da soma dos salários dos homens: 
 
12000 + ∑ M 
 
= 16000 
 
M∑ = 4000 
 
A soma dos salários das mulheres é igual a R$ 4.000,00. Como são quatro 
mulheres, a média salarial das mulheres fica: 
 
Média _ mulheres = 4000 = 1000 
4 
 
Ou seja, as mulheres ganham em média R$ 1.000,00. 
 
Como há mais homens na empresa, a média geral é mais próxima da média 
masculina. 
 
 
 
Resolução - EP 7 
 
Este exercício é um pouco mais difícil que os anteriores. 
 
Como não sabemos o número de homens e de mulheres, vamos dizer que são ‘a’ 
homens e ‘b’ mulheres. 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
a + b = 100 (há 100 funcionários na empresa). 
 
Esta é a primeira equação. 
 
a + b = 100 (I) 
 
 
 
 
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Vamos, como de costume, chamar o salário dos homens de H e o das mulheres de 
M. 
 
A média dos salários dos homens é R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os 
salários dos homens e dividindo por ‘a’ (são ‘a’ homens), temos a média salarial 
masculina (=1000). 
 
1000 = ∑ H 
a 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H = 1000 × a 
 
Assim, a soma dos salários de todos os homens é igual a mil vezes o número de 
homens. 
 
A média dos salários das mulheres é R$ 900,00. Portanto, somando o salário de 
todas as mulheres e dividindo por ‘b’ (são ‘b’ mulheres), temos a média salarial 
feminina (=900): 
 
900 = ∑ M 
b 
 
Multiplicando cruzado: 
 
M∑ = 900 × b 
 
A soma dos salários de todas as mulheres é igual a 900 vezes o número de 
mulheres. 
 
A média geral é R$ 960,00. OU seja, somando o salário de todos os homens e de 
todas as mulheres, dividindo pelo número de pessoas (=a+b), temos a média 
geral. 
 
960 = ∑ H + 
 
∑ M 
 
a + b 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H + ∑ M 
 
= 960 × (a + b) 
 
Ou seja, a soma de salários de homens e mulheres é igual a 960 vezes o número 
de pessoas. 
 
Substituindo as somas de salários de homens e mulheres: 
 
 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) (II) 
 
 
 
Esta é a equação II. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de 
resolver. Aqui, vamos fazer o seguinte: 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
 
 
Substituímos 1000 × a por 100 × a + 900 × a 
 
 
 
 
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1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b ) 
 
 
 
 
 
Continuando: 
 
 
 
100 × a + 900 × a + 900 × b = 960 × (a + b ) 
 
 
 
100 × a + 900 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
Colocando 900 em evidência: 
 
100 × a + 900 × (a + b) = 960 × (a + b) 
 
Lembrando que 
 
a + b = 100 
 
100 × a + 900 ×100 = 960 ×100 
 
Dividindo todos os termos por 100: 
 
a + 900 = 960 
 
a = 60 � b = 40 
 
São quarenta mulheres na empresa. 
 
 
Para quem tem facilidade com contas, esta resolução é rápida. Já outras pessoas 
preferem, em vez de ficar montando essas equações, decorar uma fórmula que dá 
direto o percentual de homens (ou de mulheres). Esta fórmula nada mais é que 
uma combinação das duas equações vistas acima. Aí vai de cada um. Eu, 
particularmente, prefiro decorar o menos possível. Já tem tanta coisa pra decorar 
pra um concurso. Quanto menos eu puder aliviar a memória, melhor. De todo 
modo, vamos passar a fórmula, para quem assim preferir. 
 
Vamos chamar a média dos salários das mulheres de M . A média dos salários dos 
homens de H . A média geral, considerando homens e mulheres, de X . O 
percentual de homens e mulheres no conjunto fica: 
 
 
perc _ de _ hom ens = 
 
X − M 
 
 
= 960 − 900 = 60 
 
 
= %60 
H − M 1000 − 900 100 
 
 
perc _ de _ mulheres = 
 
X − H = 960 − 1000 =
 
− 40 
 
− 100 
 
 
= %40 
M − H 900 − 1000 
 
 
 
 
 
 
EC 2 
 
Fiscal ICMS/SC - 1998 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIA 
 
 
 
 
Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, 
mensalmente, de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 
4.500,00 cada um por mês, um diretor de recursos humanos com salário mensal de 
 
 
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R$ 7.000,00 e três outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por mês. A 
média, mensal, destes salários é: 
a) 5.830,00 
b) 6.830,00 
c) 2.830,00 
d) 3.830,00 
e) 4.830,00 
 
 
 
O nosso rol pode ser escrito assim: 
Rol: 3.400; 3.400; 4.500; 4.500; 4.500; 4.500; 5.500; 5.500; 5.500; 7.000. 
São 10 dados (n = 10) 
 
A média fica: 
 
 
 
___ 
X 
 
 
n 
∑ X i 
= 1 n 
 
___
 4
00. 
= 3X 
 
 
+ 3 
400. 
 
 
 
+ 4 
500. 
 
 
 
+ 4 
500. 
 
 
 
+ 4 500. 
10 
 
+ 4 
500. 
 
 
 
+ 5 
500. 
 
 
 
+ 5 
500. 
 
 
 
+ 7 000. 
 
 
 
___ 
X 
 
 
= 48 300. = 4 830. 10 
 
Resposta: letra E. 
 
 
EC 3 
 
Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 
3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto 
são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
 
 
Para treinar, vamos primeiro fazer o rol. 
ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
Ainda não estudamos o que é moda e mediana. 
Vamos calcular só a média. 
 
= ∑ X (dividimos por 10 porque são dez notas). 
X i 10 
 
 
 
 
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X = 3 + 3 + 3
+ 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60= = 6 .10 10 
 
A média vale 6. 
 
 
EC 4 
 
Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003 [ESAF] 
 
Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial 
de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O 
salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi 
de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
 
 
 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
 
 
 
Repare que a média de homens é de 1300. A média de mulheres é de 1100. 
 
Se no conjunto tivéssemos mais homens, a média geral (considerando homens e 
mulheres) estaria mais próxima de 1300. 
 
Do contrário, se tivéssemos mais mulheres, a média geral estaria mais próxima de 
1100. 
 
Contudo, a média geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o 
número de homens é igual ao número de mulheres. Nem precisou fazer conta. 
 
 
De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resolução. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
 
 
 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 1.300,00. 
 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e 
dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 1.300,00. 
 
 
H∑ = 1300 
a 
 
 
 
Ou ainda: 
 
 
 
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H∑ = 1300 � ∑ H = 1300 × a 
a 
 
 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 1300 vezes o 
número de homens. 
 
 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários da mulheres é de R$ 1.1000. 
Portanto: 
 
M∑ = 1100 � ∑ M = 1100 × b 
b 
 
 
 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 1.200. 
 
 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres e dividirmos pelo número de pessoas. 
 
Fica: 
 
 
∑ H + ∑ M 
a + b 
 
 
 
 
= 1200 
 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
 
∑ H + ∑ M 
 
 
 
= (a + b) ×1200 
 
 
 
Substituindo os valores dos somatórios: 
 
 
 
1300 × a + 1100 × b = (a + b) ×1200 
 
1300 × a + 1100 × b = 1200 × a + 1200 × b 
 
1300 × a − 1200 × a = 1200 × b − 1100 × b 
 
100 × a = 100 × b 
 
a = b 
 
Resposta: A. O número de homens é igual ao número de mulheres. 
 
 
 
 
EC 5 
 
Fiscal ISS/SP – 2007 – Questão adaptada. [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma 
firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e 
 
 
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mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o 
percentual de homens entre os funcionários da empresa. 
 
 
 
 
A questão é da Fundação Carlos Chagas. Está adaptada. O enunciado original, este 
nós veremos ainda nesta aula. 
 
A questão é bem parecida com a anterior. 
 
A média dos homens é de 600. A das mulheres é de 500. Note que a média geral 
está mais próxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens. 
 
Vamos supor que são 100 funcionários no total. Na verdade nem precisava supor 
isto. Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro número. Ou então, 
falar simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o mesmo. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
 
Portanto: 
 
a + b = 100 (pois supusemos que são 100 funcionários). 
 
a + b = 100 (EQUAÇÃO I) 
 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 600,00. 
 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e 
dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 600,00. 
 
 
H∑ = 600 
a 
 
 
 
Ou ainda: 
 
H∑ = 600 � ∑ H = 600 × a 
a 
 
 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 600 vezes o 
número de homens. 
 
 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 500. 
Portanto: 
 
M∑ = 500 � ∑ M = 500 × b 
b 
 
 
 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 530. 
 
 
 
 
 
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Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres e dividirmos pelo número de pessoas. 
 
Fica: 
 
 
∑ H + ∑ M 
a + b 
 
 
 
 
= 530 
 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
 
∑ H + ∑ M 
 
 
 
= (a + b) × 530 
 
 
 
Substituindo os valores dos somatórios: 
 
600 × a + 500 × b = (a + b) × 530 (EQUAÇÃO II) 
 
Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os 
valores de ‘a’ e ‘b’. 
 
Vamos fazer o seguinte: 
 
Vamos substituir 
 
 
 
600 × a por 100 × a + 500 × a 
 
600 × a + 500 × b = (a + b ) × 530 
 
 
 
100 × a + 500 × a + 500 × b = ( a + b ) × 530 
 
 
 
Continuando a resolução: 
 
100 × a + 500 × a + 500 × b = (a + b) × 530 
 
Colocando 500 em evidência: 
 
100 × a + 500 × (a + b) = (a + b) × 530 
 
Lembrando que 
 
a + b = 100 : 
 
100 × a + 500 ×100 = 100 × 530 
 
Dividindo todos os termos por 100: 
 
a + 500 = 530 
 
a = 30 
 
Portanto, de cada 100 funcionários, 30 são homens. Logo, o percentual de homens 
é de 30%. 
 
 
 
Outra opção é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7. 
 
 
perc _ de _ hom ens = 
 
 
X − M 
 
H − M 
 
= 530 − 500 = %30 600 − 500 
 
 
 
 
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perc _ de _ mulheres = 
 
 
X − H = 530 − 600 =
 
 
− 70 
 
− 100 
 
 
= %70 
M − H 500 − 600 
 
 
 
 
EC 6 
 
Fiscal ICMS/DF – 2001 [FCC] 
 
Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, 
efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento 
feito por uma nova empresa, a média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo 
pago por esta empresa foi de: 
a) 140,00 
b) 990,00 
c) 5.820,00 
 
d) 7.420,00 
 
e) 9.900,00 
 
 
 
Questão da Fundação Carlos Chagas. 
 
Antes de fazer a questão, olhemos atentamente as alternativas. Dá pra descartar 
alguma sem precisar fazer contas? Sim! É possível descartar as letras ‘a’ e ‘b’. 
 
Com as 53 empresas, a média era de R$ 2.340,00. Depois, uma qüinquagésima 
quarta empresa se juntou às 53 iniciais. E a média AUMENTOU para R$ 2.480,00. 
Ora, se a média aumentou, é porque o tributo pago por esta última empresa foi 
maior que a média anterior. Ou seja, o tributo pago pela última empresa foi maior 
que R$ 2.340,00. 
 
E antes mesmo de resolver a questão, podemos já arriscar um chute. Uma única 
empresa aumentou a média em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo 
bem alto. Portanto, se fôssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as 
alternativas D e E. A letra E é melhor que a D. Isto porque a letra B é igual à letra E 
dividido por 10, possivelmente esperando um erro de conta do candidato. 
 
Vamos à resolução. No início, quando eram apenas 53 empresas, a média podia ser 
escrita como:
53 
 ∑ X i 
X = 1 53 
 
Substituindo o valor de X por 2.340, temos: 
 
53 
∑ X i 53 
2340 = 1 � ∑ X i = 53 × 2340 (I) 53 1 
 
O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 
empresas, o total obtido será 53 x 2340. 
 
Depois que a última empresa pagou seu tributo, a média passa a ser escrita como: 
 
 
 
 
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54 
 ∑ X i 
X ' = 1 54 
 
Modifiquei o símbolo da média só para diferenciar da média anterior. 
 
Substituindo o valor de 
 
X ' por 2.480, temos: 
 
54 
∑ X i 54 
2480 = 1 � ∑ X i = 54 × 2480 (II) 54 1 
 
Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 
53 empresas iniciais e mais a última empresa a pagar tributo), o resultado obtido 
será 54 x 2480. 
 
Na equação (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equação (I) eu tenho 
o total pago pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o 
que? Obtemos o tributo pago pela última empresa (X54). Ficamos com: 
 
54 53 
∑ X i − ∑ X i = X 54 
1 1 
 
Caso tenha ficado difícil de entender, é como se estivéssemos fazendo a seguinte 
conta: 
 
(X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53 + X54) – (X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53) = X54. 
 
 
 
Continuando: 
 
54 53 
∑ X i − ∑ X i = X 54 
1 1 
 
54 × 2480 − 53 × 2340 = X 54 
 
Se você quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo. 
 
Só vou dar uma sugestão. Na conta acima, temos duas multiplicações envolvendo 
números de quatro dígitos. São trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Além das 
multiplicações, temos uma subtração. Seria ótimo se eu pudesse primeiro fazer a 
subtração, diminuir os valores, e depois fazer a multiplicação. Com esta idéia, 
podemos fazer o seguinte: 
 
 
 
X 54 
 
 
 
= 54 × 2480 − 53 × 2340 
 
 
X 54 
 
 
= 2480 + 53 × 2480 − 53 × 2340 
 
 
 
Continuando a solução: 
 
X 54 = 2480 + 53 × 2480 − 53 × 2340 
 
Colocando o ‘53’ em evidência: 
 
X 54 = 2480 + 53 × (2480 − )2340 
 
 
 
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X 54 = 2480 + 53 × ( )140 
 
Pronto, agora temos apenas uma multiplicação e envolvendo números menores. 
 
X 54 = 9900 
 
Resposta: letra E. 
 
 
EC 7 
 
Perito Criminal Federal (Engenharia Química) – PF/2004. [CESPE] 
Concentração em 
μg/g 
Elemento Casaco Vidraça 
Desvio padrão 
 
As 132 122 9,7 
Co 0,54 0,61 0,026 
La 4,01 3,60 0,20 
Sb 2,81 2,77 0,26 
Th 0,62 0,75 0,044 
 
Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um 
caso criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de 
um suspeito de assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma 
rara vidraça belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu 
então determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco 
do suspeito para verificar se este era do mesmo material da vidraça belga. A 
técnica escolhida para essas determinações foi a espectroscopia de absorção 
atômica. As médias e os desvios-padrão das análises em triplicata desses cinco 
elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores 
conhecidos para a vidraça belga são mostrados na tabela acima. Considerando essa 
 
situação hipotética, que 3 = 1 
73, 
 
 e que o parâmetro t de Student para 2 graus de 
liberdade e 95% de confiança é igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se 
referem às técnicas espectroscópicas de análise e à análise estatística de dados. 
 
[...] 
 
A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 
121 μg/g, 130 μg/g e 143 μg/g. 
 
 
Prova do CESPE, de perito da PF de 2004. Para o elemento As, foram obtidas três 
amostras. A média da concentração dessas três amostras foi de 132. 
 
A questão diz que esta média pode ter sido obtida a partir dos valores 121, 130 e 
143. 
 
Fazendo a média destes três valores, temos: 
 
X = 121 + 130 + 143 = 131 33, . 3 
 
Portanto a alternativa está incorreta. 
 
 
 
5 Média Geométrica e Harmônica 
 
Este assunto não é muito cobrado em concursos. Mas não custa nada comentar. 
Aqui, também estamos interessados em calcular um valor médio, assim como feito 
com a média aritmética. Só que a conta que fazemos é outra. 
 
 
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Por definição, a média geométrica de n valores não negativos (X1, X2, ..., Xn) é: 
 
 
G = n 
 
 
 
X 1 × X 2 × ... × X n 
 
 
n 
= n ∏ X i 
i =1 
 
Por definição, a média harmônica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) é: 
 
n 
H = � 1 ∑� n i 1= 
 
1− 
iX 
1− �� 
 
Fórmulas meio complicadas, não? 
 
Vamos ver alguns exemplos que fica mais fácil. 
 
Suponhamos que nossos dados são apenas: 3 e 12. Apenas dois números (pra 
facilitar as contas). 
 
Para calcular a média aritmética, conforme vimos na seção anterior, ficamos com: 
 
X = 3 + 12 = 7 5, 
2 
 
A média geométrica é diferente. Para obtê-la, multiplicamos todos os dados. Depois 
tiramos a raiz “enésima”. Como neste caso são apenas dois valores, será a raiz 
quadrada. 
 
G = 2 3 ×12 = 6 
 
 
A média harmônica é um pouco mais complicada. Vamos dividir em três passos. 
Primeiro passo: achamos os recíprocos de cada valor. 
 
Para obter o recíproco de um número, basta inverter seu numerador com seu 
denominador. Vamos a um exemplo. 
 
 
Tomemos o número 
 
 
2 3 
. Seu recíproco é . 
3 2 
 
No nosso caso, os valores são 3 e 12. 
 
1 
O recíproco de 3 é . 
3 
 
1 
O recíproco de 12 é . 
12 
 
 
Segundo passo: calculamos a média aritmética dos recíprocos. 
Ficamos com: 
 
1 1 + 4 + 1 
3 12 12 = 5 = 22 24 
 
Terceiro passo: calculamos o recíproco do valor obtido acima. Pronto. Esta é a 
média harmônica. 
 
H = 24 5 
 
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H = 4 8, 
 
Se resumirmos todos esses três passos numa frase, podemos dizer que a média 
harmônica é o recíproco da média aritmética dos recíprocos dos valores. 
 
Agora o que mais cai em concurso não é essa parte de contas. É simplesmente 
saber o seguinte: 
 
Para qualquer conjunto de n números não negativos, a média harmônica é menor 
ou igual à média geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A 
igualdade só ocorre se todos os números forem iguais entre si. 
 
Vamos olhar no caso dos números 3 e 12. A média aritmética foi de 7,5. Foi a 
maior das médias. A média harmônica foi de 4,8. Foi a menor das três. E a média 
geométrica foi de 6, o valor intermediário. 
 
Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, aí teríamos: 
 
X = G = H = 12 
Quando todos os valores são iguais, as médias coincidem. 
Resumindo, o que geralmente cai em prova é saber que: 
 
H ≤ G ≤ X (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
 
 
Resumo: comparação das médias. 
 
H ≤ G ≤ X (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
EP 8 
 
Para a seqüência (4,6,9), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
 
 
EP 9 
 
Para a seqüência (4,4,4), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
 
 
 
 
Resolução -
EP 8 
 
Média aritmética: 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
X = ∑ X 
i = 4 + 6 + 9 = 19 
33 3 
 
Média geométrica: 
 
G = 3 4 × 6 × 9 = 3 216 = 6 
 
 
 
Média harmônica: 
 
 
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Primeiro passo: encontrando os recíprocos: 
 
1 1, 1, 64 9 
 
Segundo passo: média dos recíprocos: 
 
1 + 1 + 1 
64 9 9 + 6 + 4= 1× =
19 
 
3 108 3 36 
 
Terceiro passo: recíproco do valor acima: 
 
H = 108 19 
 
 
 
Resolução EP 9 
 
Como todos os valores são iguais, todas as médias são iguais a 4. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA 
 
 
EC 8 
 
Analista Contábil - SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 
 Indicando por: 
 
- X : a média aritmética de uma amostra; 
 
- mg : a média geométrica da mesma amostra; e 
 
- mh : a média harmônica também da mesma amostra. 
 
E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é 
verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: 
a) X < mg < mh . 
b) X > mg > mh . 
c) mg < X < mh . 
d) X < mg = mh . 
e) X = mg = mh . 
 
 
Esta é uma questão da ESAF. Aplicação direta do nosso “resumo” visto acima. 
Como o enunciado informou que todos os valores são diferentes entre si, então a 
igualdade entre as médias fica excluída. 
 
Resposta: B. 
 
 
EC 9 
 
AFRF – 2005 [ESAF] 
 
Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), 
geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, 
..., Xn). 
 
 
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a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. 
 
b) G ≤ X ≤ H , com G = X 
 
= H somente se os n valores forem todos iguais. 
 
c) X ≤ G ≤ H , com 
 
X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. 
 
d) H ≤ G ≤ X , com 
 
H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. 
 
e) X ≤ H ≤ G , com 
 
X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. 
 
 
Outra questão da ESAF. Aplicação direta do resumo visto acima. 
Resposta: D. 
 
 
EC 10 
 
Estatístico ENAP – 2006 [ESAF] 
 
O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 
10, 3, 8, 9, 3} é igual a 
a) 6. 
 
b) 6,5. 
c) 4,794. 
d) 10. 
 
e) 3,9. 
 
 
Questão da ESAF. 
Os recíprocos são: 
1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3. 
Fazendo a média desses valores, temos: 
 
� 1 � 
1 × � 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + � = 
10 � 10 5 3 
 
 
� 
54 10 
 
 
 
3 8 9 3 � 
 
2 1 � 
1 × � 1 + 1 + 1 + 3 × 1 + 2 × 1 + × � = 
10 � 4 8 9 
 
 
� 
3 5 
 
 1 � 
 
10 � 
 
 
 
1 × � 1 + 1 + 1 + 3 × 1 + 2 × 1 + � = 
10 � 4 8 9 3 5 5 � 
 
� � � 0 375, 1 � 
1 × � 2 + 1 + 1 + 3 × 1 + 3 × 1 � = 1 × � + + 1 + 0 6, � 
10 � 8 8 9 3 5 � 10 � 9 � 
 
Observe que 1/9 é uma fração mais “complicada”. Dá uma dízima periódica. Vamos 
aproximar 1/9 por 0,11. 
 
 1 × � 0 
375, 
� 
 
+ 1 + 1 + 0 6, 
 
� � 
 1 ( ,2 )085 
� 
 
10 � 9 � 10 
 
E, para obter a média harmônica, calculamos o recíproco do valor acima: 
 
 
 
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H � 10 2 085, 
 
Outra divisão “complicada” de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o 
denominador 2,085 por 2 
 
H � 10 10� = 52 085, 2 
 
Quando nós trocamos o denominador 2,085 por 2, nós aumentamos um pouco a 
nossa fração. Portanto, na verdade, a média harmônica é um pouco menor que 5. 
O número mais próximo disto é o 4,794. 
Resposta: C. 
 
Esta última questão já foi mais complicada por causa das contas. Mas não se 
preocupem. Notem que foi tirada de uma prova específica para a área de 
estatística. 
 
Isso bem que às vezes a ESAF exagera nas questões e coloca contas muito 
trabalhosas de fazer. O último AFRF foi exemplo disso. 
 
 
 
6 Propriedades da média aritmética 
 
Voltemos à nossa pesquisa de salários dos moradores do bairro Nova Vila. 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 
1.000,00. Agora, seus salários são: 
 
Salários após o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8. 
Qual a nova média? 
A nova média será: 
 
X = 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4 6, 10 
 
O salário médio agora é de R$ 4.600,00. 
 
Antes, com os salários antigos, a média era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados 
foram somados em R$ 1.000,00. E a média também foi somada de R$ 1.000,00. 
 
 
Suponhamos agora que todos esses funcionários, além do salário normal (já 
reajustado em R$ 1.000,00), vão receber em dezembro o décimo terceiro integral. 
Assim, no mês de dezembro, os salários vão ficar: 
 
Salário mais décimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16. 
 
A nova média fica: 
 
X = 4 + 6 + 6 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 14 + 16 = ,9 2 10 
 
 
Note que todos os valores foram dobrados. A média, que era de R$ 4.600,00, 
passou a R$ 9.200,00. Portanto, a média também dobrou. 
 
 
 
 
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Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma: 
 
 
· somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de 
dados, a média do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c. 
 
· multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma 
constante c, a média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c. 
 
 
 
Outras duas propriedades da média são: 
 
· a média aritmética é o valor em relação ao qual é mínima a soma dos 
quadrados dos desvios. 
 
· a soma de todos os desvios em relação à média aritmética é igual a zero. 
 
Sobre essas duas últimas propriedades, por enquanto vai ficar só o registro de que 
elas existem. Explicaremos com mais detalhes na aula de medidas de dispersão. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
 
 
EP 10 
 
Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {1, 3, 5} 
 
 
EP 11 
 
Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {3, 5, 7} (observe que esta foi 
obtida a partir da seqüência anterior, somando 2 a todos os elementos). 
 
 
EP 12 
 
Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {6, 10, 14} (observe que esta 
seqüência foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2). 
 
 
 
 
Resolução EP 10 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
X = 1 + 3 + 5 = 3 3 
 
 
 
Resolução EP 11 
 
X = 3 + 5 + 7 = 5 . 3 
 
Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relação à seqüência 
anterior), a média também foi adicionada de 2. Ou seja, a média sofre a mesma 
alteração sofrida pelos dados. 
 
 
 
Resolução EP 12 
 
X = 6 + 10 + 14 = 10 3 
 
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Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relação à seqüência 
anterior), a média também foi multiplicada por 2. Ou seja, a média sofre a mesma 
alteração sofrida pelos dados. 
 
 
 
 
EC 11 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar
o mercado 
em sua região, procedeu às seguintes operações: 
 
I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
 
Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores 
dos alugueis em reais é: 
a) 2300 
b) 1700 
c) 1500 
d) 1300 
e) 750 
 
 
 
Questão da FCC. 
 
Vamos chamar a média dos aluguéis de X . 
 
Primeiro, todos os valores são dobrados. Ou seja, a média desses novos valores 
também será dobrada. 
 
Média dos valores obtidos no item I: 2 X 
 
 
Depois, todos os valores são subtraídos por R$ 1.200,00. Ou seja, a média desses 
novos valores também será reduzida de R$ 1.200,00. 
 
Média dos valores obtidos no item II: 
 
2 X − 1200 
 
 
Por fim, todos os valores são divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a média também 
ficará dividida por mil. 
 
2 X − 1200 
Média dos valores obtidos em III: 
1000 
 
O enunciado me disse que a média dos valores obtidos no item III é de 3/10. 
Portanto: 
 
2 X − 1200 3= 
 
 
X� = 750 
1000 10 
 
Resposta: E. 
 
 
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EC 12 
 
Fiscal ISS/SP – 2007 [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma 
firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e 
mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, 
todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um 
reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de 
funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de todos 
os funcionários passará a ser igual a: 
a) 540,00 
b) 562,00 
c) 571,00 
d) 578,00 
e) 580,00 
 
 
Lá no EC 5 nós vimos que, nesta empresa, de cada 100 funcionários, 30 são 
homens. 
 
Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionários. Inicialmente, temos que a 
média dos homens é de R$ 600,00 e a média das mulheres é R$ 500,00. 
 
Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens têm 
seus salários acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a média dos homens sofrerá a 
mesma alteração. A nova média dos homens ficará igual a R$ 620,00. 
 
 
Ok, a média dos salários dos homens é igual a 620. Significa que, somando todos 
os salários dos homens (após o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620. 
 
620 = ∑ H 
30 
 
 
� ∑ H = 620 × 30 
 
 
Todas as mulheres terão seu salário multiplicado por 1,1. Isto porque aumentar 
algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a média dos salários 
das mulheres sofrerá a mesma alteração. Será também multiplicada por 1,1, 
passando a ser igual a R$ 550,00. Assim, somando os salários das mulheres (após 
o aumento) e dividindo por 70, obtemos 550. 
 
550 = ∑ M 
70 
 
 
� ∑ M = 550 × 70 
 
 
A média geral é simplesmente somar todos os salários dos homens, todos os 
salários das mulheres, e dividir por 100. 
 
 
Média _ geral = ∑ H + ∑ M 
100 
 
 
 
= 620 × 30 + 550 × 70 = 62 × 3 + 55 × 7 = 186 + 385 = 571 
100 
 
 
 
Resposta: C. 
 
 
 
 
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Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 186 + 385 
 
O algarismo das unidades da soma será igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). 
Pronto, só aí já dá para marcar letra C. 
 
 
EC 13 
 
Assessor especializado – IPEA/2004 [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma 
firma foi de R$ 463,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e 
mulheres são, respectivamente, iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No próximo mês, 
todos os homens receberão um abono de R$ 20,00 e todas as mulheres um 
reajuste salarial de 25% sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de 
funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de todos 
os funcionários passará a ser igual a: 
a) R$ 525,00 
b) R$ 530,00 
c) R$ 535,00 
d) R$ 542,00 
e) R$ 545,00 
 
 
 
Vamos primeiro nos concentrar na situação inicial, antes dos reajustes. 
 
A média dos homens é de 580. A das mulheres é de 400. Note que a média geral 
está mais próxima de 400. Portanto, temos mais mulheres do que homens. 
 
Vamos novamente supor que são 100 funcionários no total. Lembrando que nem 
precisava supor isto. Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro 
número. Ou então, falar simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o 
mesmo. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
 
Portanto: 
 
a + b = 100 (pois supusemos que são 100 funcionários). 
 
a + b = 100 (EQUAÇÃO I) 
 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 580,00. 
 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e 
dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 580,00. 
 
 
H∑ = 580 
a 
 
 
 
Ou ainda: 
 
H∑ = 580 � ∑ H = 580 × a 
a 
 
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Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 580 vezes o 
número de homens. 
 
 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 400. 
Portanto: 
 
M∑ = 400 � ∑ M = 400 × b 
b 
 
 
 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 463. 
 
 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres e dividirmos pelo número de pessoas. 
 
Fica: 
 
 
∑ H + ∑ M 
a + b 
 
 
 
 
= 463 
 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
 
∑ H + ∑ M 
 
 
 
= (a + b) × 463 
 
 
 
Substituindo os valores dos somatórios: 
 
580 × a + 400 × b = (a + b) × 463 (EQUAÇÃO II) 
 
Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os 
valores de ‘a’ e ‘b’. 
 
Vamos fazer o seguinte: 
 
Vamos substituir 580 × a por 180 × a + 400 × a 
 
180 × a + 400 × a + 400 × b = (a + b) × 463 
 
Colocando 400 em evidência: 
 
180 × a + 400 × (a + b) = (a + b) × 463 
 
Lembrando que 
 
a + b = 100 : 
 
180 × a + 400 ×100 = 100 × 463 
 
Dividindo todos os termos por 100: 
 
1 8, 
 
× a + 400 = 463 
 
a = 35 
 
 
 
 
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Portanto, de cada 100 funcionários, 35 são homens. Logo, o percentual de homens 
é de 35%. 
 
 
 
Outra opção é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7. 
 
 
perc _ de _ hom ens = 
 
X − M 
 
 
= 463 − 400 = 63 
 
 
= %35 
H − M 580 − 400 180 
 
perc _ de _ mulheres =
 %1
00 
 
−
 %3
5 
 
= %65 
 
 
Pronto, já sabemos qual o percentual de homens e de mulheres na empresa. 
Vamos agora para a segunda situação, após os reajustes. 
 
Os homens recebem R$ 20,00 a mais. Ou seja, estamos aumentando todos os 
salários dos homens em R$ 20,00. Consequentemente, a média dos salários dos 
homens também aumenta. Vai para R$ 600,00 (=580 + 20). 
 
As mulheres têm um reajuste de 25%. Consequentemente, a média feminina sofre 
a mesma variação. Também aumenta 25%. Vai para R$ 500,00 (=400 + 25% de 
400). 
 
 
 
A nova média geral fica:
35 × 600 + 65 × 500 = 535 100 
 
Resposta: C. 
 
 
 
 
EC 14 
 
Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
 
Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 
240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média 
dos elementos de Q é igual a: 
a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5. 
b) média dos elementos de P mais a constante 220. 
 
c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária. 
 
d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado 
multiplicado por 5. 
 
e) média dos elementos de P mais a constante 200 
 
 
Cada elemento de Q pode ser obtido a partir de P da seguinte forma: I 
– multiplicamos por 5 
 
II – somamos 220. 
 
Quer ver um exemplo? Vamos pegar os primeiros valores. 
 
P1 = 0 �
 1
Q 
 
= 0 × 5 + 220 = 220 
 
 
 
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Vamos pegar o segundo valor de P e o segundo valor de Q: 
 
P2 = 1 � Q2 = 1× 5 + 220 = 225 
 
Agora, vamos para o terceiro valor de P e o terceiro valor de Q: 
 
P3 = 2 �
 3
Q 
 
= 2 × 5 + 220 = 230 
 
E assim por diante. 
 
Generalizando, para cada valor de P, podemos obter o respectivo valor de Q: 
 
Q = P × 5 + 220 
 
Já vimos que sempre que multiplicamos, dividimos, somamos ou subtraímos uma 
constante de cada um dos dados, a média sofre a mesma alteração. 
 
Então a média de Q fica: 
 
Q = P × 5 + 220 
A média de Q é igual à média de P, multiplicada por 5 e somada com 220. 
Esse procedimento está descrito na letra A. 
 
Resposta: A. 
 
 
Ficamos por aqui nesta aula zero. 
Bons estudos! 
 
Vítor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS UTILIZADAS 
 
 
EC 1 
 
Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC] 
 
O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, 
utilizando-se todos os componentes da população, denomina-se: 
a) amostragem 
b) estimação 
 
c) censo 
d) parametrização 
e) correlação 
 
EC 2 
 
Fiscal ICMS/SC - 1998 
 
Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, 
mensalmente, de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 
4.500,00 cada um por mês, um diretor de recursos humanos com salário mensal de 
R$ 7.000,00 e três outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por mês. A 
média, mensal, destes salários é: 
a) 5.830,00 
b) 6.830,00 
c) 2.830,00 
d) 3.830,00 
e) 4.830,00 
 
 
 
EC 3 
 
Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 
3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto 
são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
 
 
 
EC 4 
 
Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003 [ESAF] 
 
Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial 
de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O 
salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi 
de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
 
 
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a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
 
 
EC 5 
 
Fiscal ISS/SP – 2007 – Questão adaptada. [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma 
firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e 
mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o 
percentual de homens entre os funcionários da empresa. 
 
 
 
EC 6 
 
Fiscal ICMS/DF – 2001 [FCC] 
 
Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, 
efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento 
feito por uma nova empresa, a média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo 
pago por esta empresa foi de: 
a) 140,00 
b) 990,00 
c) 5.820,00 
 
d) 7.420,00 
 
e) 9.900,00 
 
 
 
Perito Criminal Federal (Engenharia Química) – PF/2004. [CESPE] 
Concentração em 
μg/g 
Elemento Casaco Vidraça 
Desvio padrão 
 
As 132 122 9,7 
Co 0,54 0,61 0,026 
La 4,01 3,60 0,20 
Sb 2,81 2,77 0,26 
Th 0,62 0,75 0,044 
 
Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um 
caso criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de 
um suspeito de assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma 
rara vidraça belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu 
então determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco 
do suspeito para verificar se este era do mesmo material da vidraça belga. A 
técnica escolhida para essas determinações foi a espectroscopia de absorção 
atômica. As médias e os desvios-padrão das análises em triplicata desses cinco 
elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores 
conhecidos para a vidraça belga são mostrados na tabela acima. Considerando essa 
 
 
 
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situação hipotética, que 
 
 
3 = 1 
73, 
 
 
 e que o parâmetro t de Student para 2 graus de 
liberdade e 95% de confiança é igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se 
referem às técnicas espectroscópicas de análise e à análise estatística de dados. 
 
[...] 
 
A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 
121 μg/g, 130 μg/g e 143 μg/g. 
 
 
 
EC 8 
 
Analista Contábil - SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 
 Indicando por: 
 
- X : a média aritmética de uma amostra; 
 
- mg : a média geométrica da mesma amostra; e 
 
- mh : a média harmônica também da mesma amostra. 
 
E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é 
verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: 
a) X < mg < mh . 
b) X > mg > mh . 
c) mg < X < mh . 
d) X < mg = mh . 
e) X = mg = mh . 
 
 
 
EC 9 
 
AFRF – 2005 [ESAF] 
 
Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), 
geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, 
..., Xn). 
 
a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. 
 
b) G ≤ X ≤ H , com G = X 
 
= H somente se os n valores forem todos iguais. 
 
c) X ≤ G ≤ H , com 
 
X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. 
 
d) H ≤ G ≤ X , com 
 
H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. 
 
e) X ≤ H ≤ G , com 
 
X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. 
 
 
 
EC 10 
 
Estatístico ENAP – 2006 [ESAF] 
 
O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 
10, 3, 8, 9, 3} é igual a 
a) 6. 
 
b) 6,5. 
 
c)
4,794. 
 
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d) 10. 
e) 3,9. 
 
 
 
EC 11 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado 
em sua região, procedeu às seguintes operações: 
 
I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
 
Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores 
dos alugueis em reais é: 
a) 2300 
b) 1700 
c) 1500 
d) 1300 
e) 750 
 
 
 
EC 12 
 
Fiscal ISS/SP – 2007 [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma 
firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e 
mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, 
todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um 
reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de 
funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de todos 
os funcionários passará a ser igual a: 
a) 540,00 
b) 562,00 
c) 571,00 
d) 578,00 
e) 580,00 
 
 
 
EC 13 
 
Assessor especializado – IPEA/2004 [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma 
firma foi de R$ 463,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e 
mulheres são, respectivamente, iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No próximo mês, 
todos os homens receberão um abono de R$ 20,00 e todas as mulheres um 
reajuste salarial de 25% sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de 
funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de todos 
os funcionários passará a ser igual a: 
 
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a) R$ 525,00 
b) R$ 530,00 
c) R$ 535,00 
d) R$ 542,00 
e) R$ 545,00 
 
 
 
EC 14 
 
Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
 
Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 
240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média 
dos elementos de Q é igual a: 
a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5. 
b) média dos elementos de P mais a constante 220. 
 
c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária. 
 
d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado 
multiplicado por 5. 
 
e) média dos elementos de P mais a constante 200 
 
 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
EC 1 – C 
EC 2 - E 
EC 3 – MÉDIA = 6 
EC 4 - A 
EC 5 – 30% SÃO HOMENS 
EC 6 - E 
EC 7 - ERRADO 
EC 8 - B 
EC 9 - D 
EC 10 - C 
EC 11 - E 
EC 12 - C 
EC 13 – C 
EC 14 - A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO 
 
Depois de cada aula, eventualmente, trago em anexo alguns comentários 
adicionais. Sua leitura não é obrigatória. Quem não ler não vai ficar em nada 
prejudicado nas próximas aulas. Geralmente são assuntos com pouca chance de 
serem cobrados que, se tratados durante a aula, iriam mais complicar do que 
ajudar. A idéia é só trazer um detalhamento um pouco maior, para quem tenha 
mais facilidade com exatas. 
 
Nesta aula zero vou só mostrar como chegar à fórmula apresentada no EP 7. 
 
Considere uma empresa com a homens e b mulheres (tal que 
 
a + b = n ). A média 
salarial dos homens é H . A média salarial das mulheres é M . A média salarial 
geral, considerando homens e mulheres, é X . Vamos calcular o percentual de 
a 
homens na empresa. Ou seja, vamos calcular . 
n 
 
Temos duas equações: 
 
a + b = n � b = n − a (equação I) 
 
X × (a + b) = a × H + b × M (equação II) 
 
Substituindo a primeira equação na segunda: 
 
X × (a + n − a) = a × H + (n − a) × M 
 
X × (n) = a × H + (n − a) × M 
 
X × n = a × H + n × M − a × M 
 
X × n − n × M 
 
= a × H − a × M 
 
Isolando o “n”: 
 
n × ( X − M ) = a × H − a × M 
 
Isolando o “a”: 
 
n × ( X − M ) = a × (H − M ) 
 
a × (H − M ) = n × ( X − M ) 
 
a = ( X − M ) n (H − M ) 
 
E esta foi a fórmula apresentada para o percentual de homens. Para o percentual 
de mulheres, o procedimento é análogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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