Aula 3_Espaços Vetoriais

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Ana Matos 
Objetivo: Estudar transformações lineares entre dois 
espaços vetoriais. 
 
Definição: 
 Seja um conjunto “V”, não vazio, sobre o qual estão 
definidas as operações Adição e multiplicação. O 
conjunto “v” será chamado de espaço vetorial se forem 
verificados os seguintes Axiomas: 
Em relação a Adição: 
 Dados u, v e w vetores , V um espaço vetorial , 0 o 
vetor nulo e α , β constantes pertencentes aos reais , 
temos que: 
1) u + v = v + u ( comutativa) 
2) u + (v + w) = (u + v) + w (associativa) 
3) Existe 0 tal que v + 0 = v (elemento neutro) 
4) Dados u Є V, existe v Є V, tal que u + v = 0 ( oposto 
do elemento u) 
Em relação a multiplicação: 
 
5) α ∙ (β ∙ v) = (α ∙ β) ∙ v 
6) α ∙ (v+w) = α ∙ v + α ∙w 
7) (α + β) ∙ v = α ∙ v + β ∙v 
8) 1∙ v = v 
Obs.: Os elementos do espaço vetorial V serão chamados 
vetores, independentemente da sua natureza, polinômios, 
matrizes, números. As operações de adição e 
multiplicação por escalar realizadas com esses elementos 
se comportam de forma idêntica, como se estivéssemos 
trabalhando com os próprios vetores do R2 ou do R3 
1. Associativa 
2. Comutativa 
3. Elemento neutro (vetor nulo O) 
4. Oposto de cada elemento u V: -u 
5. (u+v)= u + v , K 
6. ( + )u= u + u 
7. ( u)= ( )u 
8. 1·u = u 
 
1. Rn = { (x1, x2, ..., xn) ; xi R } 
2. Mmxn= { (aij) } matrizes m x n 
3. P (x) = {anx
n + an-1xn-1 +...+ ao ; ai R } 
4. Pn (x)= { polinômios de grau n } 
5. Cn = { (z1, z2, ..., zn) ; zi C} , sobre C 
6. C2 = { (z,w) ; z,w C } ,sobre o corpo R 
7. F(X ; R) ={ funções f: X R } 
8. R = { (x1, x2,..., xn,...) ; xi 0 para um 
 número finito de índices} 
Dado um espaço vetorial V, existem alguns 
subconjuntos W que também gozam das mesmas 
propriedades de V. Por isso eles são chamados de 
subespaços vetoriais. 
 Exemplos de subespaços vetoriais são 
encontrados em toda parte, e é muito fácil 
detectá-los. Por exemplo, toda reta do plano que 
passa pela origem é um subespaço de R2 
Analogamente, toda reta ou todo plano que 
passa pela origem é um subespaço de R3 
x
y
z
1. O vetor nulo O pertence a W 
 
2. Se w1, w2 W então w1+ w2 W 
 
3. Se w W e K então w W 
 
 
0
 W é um subespaço vetorial de V se as 
seguintes condições são satisfeitas: