Lista 10 - Clculo C

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Universidade Federal da Bahia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo C
10a Lista de Exerc´ıcios
Professora: Suzete M. S. Afonso
Lembrem-se dos avisos presentes nas outras listas!
Exerc´ıcio 1. Expanda em se´ries de poteˆncias de (x− a) as seguintes func¸o˜es, indicando a regia˜o
de convergeˆncia:
(A) f(x) = sin2 x, a = 0; (B) f(x) = e−x/2, a = 2; (C) f(x) =
1
(1− x)2 , a = 2.
Exerc´ıcio 2. Use a fo´rmula de Taylor para desenvolver em se´rie de poteˆncias a func¸a˜o
f(x) = x3 − 2x2 + 4x− 1; a = 3.
Exerc´ıcio 3. Usando se´ries de poteˆncias, calcule lim
x→0
ex − 1− x
x2
.
Exerc´ıcio 4. Use se´ries para avaliar lim
x→0
sinx− x
x3
.
Exerc´ıcio 5. Se f(x) = ex
2
, mostre que f (2n)(0) =
(2n)!
n!
.
Exerc´ıcio 6. Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es perio´dicas de per´ıodo T = 2pi dadas,
encontre a se´rie de Fourier correspondente e a soma da se´rie nos pontos de descontinuidade destas
func¸o˜es, caso estes existam.
i) f(x) =
{
−x, −pi < x < 0
x, 0 < x < pi;
ii) f(x) =
{
1, 0 < x < pi
−1, pi < x < 2pi.
Exerc´ıcio 7. Utilize a se´rie de senos da func¸a˜o f(x) = pi − x; x ∈ (0, pi), para mostrar que
+∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
=
pi
4
.
1