Aula 12

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Independeˆncia Linear
Sec¸a˜o 5.3
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
18 de setembro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Independeˆncia LinearSec¸a˜o 5.3
Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o
Se S = {v1, v2, · · · , vr} e´ um conjunto na˜o-vazio de vetores, enta˜o a
equac¸a˜o vetorial
k1v1 + k2v2 + · · ·+ krvr = 0
tem pelo menos uma soluc¸a˜o, a saber,
k1 = 0, k2 = 0, · · · , kr = 0 .
Se esta e´ a u´nica soluc¸a˜o, enta˜o o conjunto S e´ chamado linearmente
independente. Se existirem outras soluc¸o˜es, enta˜o S e´ um conjunto
linearmente dependente.
Exemplo
Se ~v1 = (2,−1, 0, 3), ~v2 = (1, 2, 5,−1) e ~v3 = (7,−1, 5, 8), enta˜o o
conjunto de vetores S = {~v1, ~v2, ~v3} e´ linearmente dependente pois
3~v1 + ~v2 − ~v3 = 0. Resoluc¸a˜o no quadro!
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Independeˆncia Linear
Exemplo
Os polinoˆmios
p1 = 1− x , p2 = 5 + 3x − 2x2, e p3 = 1 + 3x − x2
formam um conjunto linearmente dependente em P3, pois
3p1 − p2 + 2p3 = 0. Resoluc¸a˜o no quadro!
Exemplo
Os vetores unita´rios ~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) sa˜o
linearmente independentes pois
k1~ı + k2~ + k3~k = (k1, k2, k3) = ~0⇒ k1 = k2 = k3 = 0
e´ a u´nica soluc¸a˜o.
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Independeˆncia Linear
Theorem (Teorema 5.3.1)
Um conjunto S de dois ou mais vetores e´:
(a) linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos
vetores de S pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear
dos outros vetores de S.
(b) linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em
S pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos outros
vetores em S.
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Independeˆncia Linear
Demonstrac¸a˜o.
Prova (a): Vamos fazer o caminho inverso. Seja S = {v1, v2, · · · , vr} um
conjunto de dois ou mais vetores. Se S e´ linearmente dependente, enta˜o
k1v1 + k2v2 + · · ·+ krvr = 0
admite soluc¸o˜es na˜o nulas para os k´s. Sendo assim, se ki 6= 0 podemos
escrever vi como uma combinac¸a˜o linear dos outros vetores pois a equac¸a˜o
acima resulta
vi =
k1
ki
v1 +
k2
ki
v2 + · · ·+ ki−1
ki
vi−1 +
ki+1
ki
vi+1 + · · ·+ kr
ki
vr .
Prova (b): essa propriedade e´ uma consequ¨eˆncia do ı´tem (a).
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Independeˆncia Linear
Theorem (Teorema 5.3.3)
Seja S = {~v1, ~v2, · · · , ~vr} um conjunto de vetores em Rn. Se r > n, enta˜o
S e´ linearmente dependente.
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Independeˆncia Linear
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que
~v1 = (v11, v21, · · · , vn1)
~v2 = (v12, v22, · · · , vn2)
...
~vr = (v1r , v2r , · · · , vnr )
a equac¸a˜o k1~v1 + k2~v2 + · · ·+ kr~vr = 0 pode ser escrita como o sistema linear de
r equac¸o˜es a` n inco´gnitas ki
v11k1 + v12k2 + · · ·+ v1rkr = 0
v21k1 + v22k2 + · · ·+ v2rkr = 0
...
vn1k1 + vn2k2 + · · ·+ vnrkr = 0
O sistema acima tem mais inco´gnitas ki do que as n equac¸o˜es pois r > n.
Obrigatoriamente o sistema tera´ soluc¸o˜es na˜o-triviais, ou seja, S sera´ linearmente
dependente.
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Independeˆncia Linear
Exemplo
Seja o conjunto S = {~v1 = (1, 0), ~v2 = (0, 1), ~v3 = (2, 4)} no R2.
Claramente vemos que
~v3 = 2~v1 + 4~v2 .
Ou seja, um conjunto linearmente independente no R2 conte´m apenas dois
vetores. Note que podemos escolher {~v1, ~v)3} como esse conjunto, e na˜o
necessariamente os vetores canoˆnicos ~v1 e ~v2.
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Independeˆncia Linear de Func¸o˜es
Theorem (Teorema 5.3.4)
Se as func¸o˜es f1, f2, · · · , fn teˆm n − 1 derivadas cont´ınuas no intervalo
(−∞,∞) e se o wronskiano destas func¸o˜es na˜o e´ identicamente zero em
(−∞,∞), enta˜o estas func¸o˜es formam um conjunto linearmente
independente de vetores em C (n−1)(−∞,∞). Se o wronskiano e´ zero
nada podemos afirmar.
Demonstrac¸a˜o.
No quadro.
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Independeˆncia Linear de Func¸o˜es
Exemplo
Sejam os polinoˆmios p0(x) = a, p1(x) = bx , p2(x) = cx
2 e
p3(x) = d + ex + fx
2 em P2 para qualquer a, b, c , d , e, f ∈ <. Mostre que
estes polinoˆmios formam um conjunto linearmente dependente. Agora
elimine p2 ou p3 do conjunto e mostre que este novo conjunto e´
linearmente independente. Isso mostra que P2 pode apenas ter, no
ma´ximo, 3 polinoˆmios linearmente independentes.
Exemplo
Mostre que f1 = 1, f2 = ex , f3 = e2x formam um conjunto linearmente
independente de vetores em C 2(−∞,∞).
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.3 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.3 do livro texto
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Respostas Referentes a` Sec¸a˜o 5.3 do livro texto
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