Momento Linear

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MOMENTO LINEAR E 
COLISÕES 
AULA 02 
Luiz Fernando Mackedanz 
Colisões 
 Colisão entre dois (ou mais) objetos, ou entre um objeto e uma "parede" 
 Dois carros em um acidente de trânsito 
 Duas bolas de bilhar 
 Uma bola de bilhar ricocheteando no canto da mesa 
 Um asteroide se chocando contra a Terra 
 Duas moléculas de ar se chocando entre si 
Questão: 
 Se sabemos os momentos dos dois objetos antes da colisão, é possível prever os 
momentos após a colisão? 
 Durante a colisão o objeto 1 exerce uma força sobre o objeto 2. 
 Use a relação entre força e mudança de momento 
 
 
 
[i = inicial (antes da colisão), f = final (depois da colisão)] 
 
 O objeto 2 exerce uma força sobre o objeto 1. Logo: 
 
 
 
 De acordo com a terceira lei de Newton: 
Conservação de momento em colisões (1) 
Conservação de momento em colisões (2) 
 Integre o resultado da terceira dei de Newton: 
 
 
 
 
 Logo: (válida para todas as colisões entre dois corpos!) 
 Reorganize esta equação: 
 
 
 Esta é a lei de conservação do momento! 
 Aplica-se para todas as colisões entre dois corpos 
 Lei fundamental da conservação, assim como a da conservação de energia 
Conservação de momento em colisões (3) 
 A única condição usada para a derivação é a terceira lei de Newton 
 E outras forças externas? 
 Nós as desprezamos na derivação 
 Por que isso é justificável? 
 Tempos de colisão são muito curtos, e durante estes tempos o impulso devido a 
forças externas pode ser desprezado 
 
 
 
 
 Por outro lado, as forças entre estes dois objetos em colisão são muito grandes. 
Compare com o exemplo do home run 
Colisão perfeitamente elástica em 1d (1) 
 A sequência de um vídeo mostra 
a colisão entre dois carrinhos em 
uma pista (quase) sem atrito. 
 Intervalos de tempo iguais 
 As velocidades antes e depois da 
colisão estão marcadas por linhas 
coloridas 
Colisão perfeitamente elástica em 1d (2) 
 A colisão perfeitamente elástica é um caso ideal em que duas 
condições são cumpridas: 
 O momento total é conservado (válida para todas as colisões) 
 
 A energia cinética total é conservada 
 
 
 
 Resultado: é possível calcular os momentos após a colisão 
Colisão perfeitamente elástica em 1d (2) 
 Energia cinética: 
 
 
 
 Momento: 
 Divida (I) por (II) e use : 
 
 
 
 
 Coloque de volta em (II): 
 Da mesma forma, resolva para o outro momento final 
Colisão perfeitamente elástica em 1d (2) 
 Também podemos obter a expressão para velocidades ao invés de momentos 
usando pi,1=m1vi,1, …. 
 Expressão para as velocidades finais a partir das iniciais 
 
 
 
 
 Velocidade relativa após a colisão, vf,1-vf,2 : 
A velocidade 
relativa 
muda de sinal! 
 Lembre-se novamente: o momento é conservado em todos os tipos 
de colisões 
 
 
 
 Em colisões perfeitamente elásticas, a energia cinética também é conservada 
Questão: 
 Qual é o limite oposto, uma colisão que possa ser definida como perfeitamente 
inelástica? 
 É possível remover toda a energia cinética? 
 A resposta é NÃO! (normalmente) 
Conservação de momento 
(1d) 
(mais geral) 
Colisões perfeitamente inelásticas 
 Uma colisão perfeitamente inelástica é definida com aquela em que os objetos 
em colisão se aderem após colidirem 
 Exemplo: um inseto no parabrisa do seu carro 
 Se os dois objetos se aderem, suas velocidades finais após a colisão devem ser 
idênticas 
 
 
 Por favor, observe: neste caso, a velocidade relativa final é zero 
 Resultados da conservação de momento em 
Derivação: colisões perfeitamente inelásticas 
 Conservação de momento 
 
 Use e obtenha: 
 
 Agora use 
 
 Logo: 
Exemplo: colisão frontal (1) 
 Considere uma colisão frontal de uma caminhonete, M= 3023 kg, e um 
carro compacto m= 1184 kg. Cada veículo tem velocidade inicial de 50 mph 
(22,35 m/s), e eles estão se movendo em sentidos opostos (caminhonete: 
-v; carro: +v). Os dois veículos colidem e ficam juntos => colisão 
perfeitamente inelástica. 
Questão: 
 Quais são as mudanças nas velocidades dos dois carros na colisão? 
Resposta: 
 Calcule a velocidade final do par: 
Exemplo: colisão frontal (2) 
 Mudança de velocidade para a caminhonete: 
 
 
 Mudança de velocidade para o carro compacto: 
 
 
 Razão das mudanças de velocidades: 32,12/12,58 = 2,55=inverso da razão 
das massas 
 Ambos os carros têm uma mudança em suas velocidades durante um intervalo 
de tempo idêntico; então a razão da aceleração também é 2,55 => 
as forças sentidas pelo corpo do motorista do carro compacto são 2,55 vezes 
maiores que as do da caminhonete. 
 (Mas ainda: as forças que a caminhonete e o carro compacto exercem entre 
si são as mesmas - 3a lei de Newton!) 
Perda de energia cinética (1) 
 Energia cinética inicial total 
 
 
 Energia cinética final total 
Perda de energia cinética (2) 
 Obtenha a diferença entre estas duas e encontre a perda de energia cinética 
 
 
 
 Por favor, observe: a perda de energia cinética normalmente é menor que a 
energia cinética inicial! => não se pode sempre eliminar toda a energia 
cinética, nem mesmo em colisões altamente inelásticas. 
 Há um caso em que se elimina toda a energia cinética em uma colisão 
perfeitamente inelástica: os momentos iniciais são iguais em módulo e opostos 
em sentido. 
 Nota final: a perda de energia cinética é proporcional ao quadrado da 
velocidade relativa. 
Experimento: colisão perfeitamente inelástica 
Questão: 
Um projétil (v=300 m/s, m=0,020 kg) atinge um bloco (M=4,0 kg) e se adere 
a ele. Qual é a energia cinética do bloco+projétil logo após o impacto? 
Resposta: 
Trata-se logicamente de uma colisão perfeitamente inelástica 
 
 
 
 
 
 
 
Compare: 
Pêndulo balístico (1) 
Pêndulo balístico (2) 
Questão: 
Se o bloco está suspenso por cordas, até que altura o pêndulo vai balançar? 
Resposta: 
A altura da conversão de energia cinética em energia potencial: 
Exemplo: acidente de trânsito 
 Colisão entre dois carros, perfeitamente inelástica, defletida em 38° como mostrado 
 Qual a razão das velocidades iniciais dos dois carros? 
 Dados: m1=2209 kg (caminhonete branca), m2= 1474 kg (carro azul) 
vi,2vi,1+90°=128° 
x 
y 
Colisão parcialmente inelástica 
 Coeficiente de restituição 
 
 
 
 Definido como a razão entre os módulos das velocidades relativas final 
e inicial 
 Colisão perfeitamente elástica: 
 Colisão perfeitamente inelástica: 
 Perda de energia cinética em colisões parcialmente inelásticas 
Exemplo: quicando uma bola 
 Um dos dois objetos em colisão é o solo (~infinitamente massivo) 
 Solte a bola de uma altura, hi, ela atinge o solo com uma velocidade 
 
 Se a colisão com o solo for perfeitamente 
elástica, então vf=vi, e a bola quica de 
volta até hf=hi 
 Se a colisão for perfeitamente inelástica, então 
a bola fica no solo 
 Podemos encontrar o coeficiente de restituição 
da altura para a qual a bola retorna 
hi hf 
 A componente de momento paralela à 
parede permanece a mesma, 
 
 
 A componente de momento perpendicular 
à parede muda de sinal, 
 
 
 Ângulo de incidência = ângulo de 
reflexão, 
 O valor absoluto do momento permanece 
o mesmo 
Exemplo: colisão elástica com uma parede 2d 
Colisão parcialmente inelástica com uma
parede, 2d 
 A componente de momento paralela à 
parede ainda permanece a mesma, 
 
 A componente de momento perpendicular 
à parede muda de sinal e é reduzida 
pelo coeficiente de restituição, 
 
 O ângulo de reflexão é menor, 
 
 
 O valor absoluto do momento diminui 
Colisão perfeitamente elástica em 2d ou 3d 
 Considerações gerais: 
 1d: pf,1 e pf,2 são 2 desconhecidos; conservação de momento e conservação de 
energia cinética oferecem 2 equações 
 2d: cada vetor momento final tem 2 componentes => 4 desconhecidos; 
conservação de momento (componente x e y) e conservação de energia cinética 
oferecem apenas 3 equações 
 3d: cada vetor momento final tem 3 componentes => 6 desconhecidos; 
conservação de momento (componente x, y e z) e conservação de energia 
cinética oferecem apenas 4 equações 
 São necessárias mais informações! É o que faz o bilhar interessante! 
(É preciso ter informações sobre onde exatamente a bola encosta) 
Colisão entre objetos de massa igual, 2d, 3d (1) 
 Situação no bilhar: jogue uma bola para que ela colida com outra bola que 
estava inicialmente em repouso 
 Suponha que ambas tenham massa idêntica 
 Conservação de momento: 
 
 
 
 Conservação de energia cinética: 
 
 
 
 Compare os dois resultados: 
Colisão entre objetos de massa igual, 2d, 3d (2) 
 Produto escalar de dois vetores, , somente se duas condições 
forem atendidas: 
 O comprimento de um dos vetores for 0: colisão frontal 
 Os dois vetores forem perpendiculares entre si (ângulo de 90° entre as bolas) 
 
 
 
 
 Nota: isto é uma idealização. Na realidade o ângulo é menor do que 90°, 
porque a colisão não é perfeitamente elástica, pelo rodar das bolas, atrito 
com a mesa,... 
Experimento "faça você mesmo" 
Questão: 
 A pedra vermelha tinha velocidade inicial de 
1,6 m/s no sentido horizontal e foi defletida 
em 32˚ com relação à horizontal, quais são 
os dois momentos finais logo após esta 
colisão perfeitamente elástica? 
Resposta: 
 
 Conservação de momento: 
 x: 
 y: 
 2 equações para 2 desconhecidos. 
Requer um pouco de álgebra, mas é simples 
de resolver 
Exemplo: curling (1) 
Lembre-se: 90° 
entre momenta 
final! 
Exemplo: curling (2) 
Resolva a equação y para pf,2 e insira a equação x: