Lista4

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Estatística I
Lista de exercícios 4
Prof. MSc. João Vinícius de França Carvalho
ATENÇÃO: não é necessário entregar
Exercício 1:
De experiências passadas, sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças da 5ª série do 1º grau é 5cm.
Coletando uma amostra de 36 destas crianças, observou-se a média de 1,50m. Qual o intervalo de confiança de 90% para a média populacional? E para uma confiança de 95%? E para uma confiança de 99%? E para uma confiança de 99,9%?
Comente os resultados do item a.
Qual deve ser o tamanho da amostra para que a margem de erro seja de 98cm, com 90% de confiança? E com 95%? E com 99%? E com 99,9%?
Comente os resultados do item c.
Exercício 2:
Tem-se duas fórmulas (estimadores) para estimar um parâmetro populacional θ. Para ajudar a escolher o melhor, simulou-se uma situação em que θ = 100. Dessa população foram retiradas 1000 amostras de 10 unidades cada, e foram aplicadas as duas fórmulas às dez unidades de cada amostra. Deste modo, obtêm-se, naturalmente, 1000 valores para a primeira fórmula (F1) e outros 1000 valores para a segunda fórmula (F2), cujos estudos descritivos estão resumidos na Tabela 1, a seguir.
Tabela 1 - Estatística resumo dos estimadores propostos.
	Métrica
	Fórmula
	 
	F1
	F2
	Média
	102
	100
	Variância
	5
	10
	Mediana
	100
	100
	Moda
	98
	100
Qual dos dois estimadores você acha mais conveniente para estimar θ? Por quê? Discuta tecnicamente.
Faça o teste de hipóteses para θ = 100, utilizando as duas fórmulas, considerando um teste bicaudal.
Exercício 3:
O número médio de clientes de um posto de gasolina por muito tempo tem sido 250, com um desvio-padrão de 80. Durante uma campanha de 25 dias, em que os clientes recebiam um brinde, o número médio de clientes foi de 280, com um desvio-padrão de 50. Você diria que a campanha modificou a distribuição do número de clientes do posto? Descreva as suposições feitas para a resolução do problema.
Exercício 4:
Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km de combustível, com desvio-padrão de 0,8 litro. Uma revista especializada resolve testar esta afirmação e analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo 12,1 litros por 100 km.
Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. 
Qual é o significado do erro do tipo I e do tipo II para o problema?
Faça o teste de hipóteses. O que a revista pode concluir sobre este anúncio?
Calcule o p-valor. Para que níveis de significância (e confiança) você pode dizer que a fábrica tem razão?
Calcule os intervalos de confiança para dois níveis de significância.
Exercício 5:
Um dos maiores problemas de uma grande rede de vendas a varejo é a adequação do estoque declarado com o real existente. Decidiu-se fazer a verificação por meio de procedimentos amostrais. Seja X o total (em reais) de cada produto em estoque, verificou-se que X~N(µ,400). Serão sorteados 4 produtos. O total X de cada um será verificado e calcular-se-á a média amostral, que será a estatística de decisão. Numa determinada filial, o valor declarado de µ = 50. Havendo falta, esse parâmetro deve ser 45; no caso de excesso, 58.
Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. 
Descreva os erros tipo I e II para este problema.
Fixando α = 1, 5 e 10%, qual(is) será(ão) a(s) regra(s) de decisão para julgar se o estoque está correto ou não?
Calcule o erro β nos casos uni e bicaudais.
Exercício 6:
Um escritório de investimento acredita que o rendimento de diversas ações movimentadas por ele no último período foi de 4%, com desvio-padrão de 5%. Determinou-se uma nova carteira, e esta nova estratégia definida deve garantir uma rentabilidade ainda maior. Para verificar essas hipóteses, tomaram-se oito empresas que compõem a carteira, obtendo os seguintes rendimentos: 3,6%, 2,8%, 5,7%, 4,8%, 6,4%, 4,3%, 3,9% e 5,0%. Quais seriam as suas conclusões? Faça os testes uni e bicaudais, para pelo menos 2 níveis de significância. Calcule também o p-valor nos dois tipos de teste.
Exercício 7:
Sabe-se através de experiências passadas que, se uma determinada máquina estiver ajustada, apenas 5% dos itens produzidos serão defeituosos. Diariamente são inspecionados os primeiros 25 itens produzidos pela máquina. Se o número de itens defeituosos for no máximo 2, a produção continua sem interrupção. Caso sejam selecionados 3 ou mais itens defeituosos pára-se a máquina para que ela seja ajustada.
Formule este problema como um problema de teste de hipóteses especificando as hipóteses nula e alternativa.
Quais são os significados práticos dos erros tipo I e tipo II?
Qual é a região crítica do teste? 
Qual é o nível de significância do teste?
Usando a região crítica obtida em (c), qual é a probabilidade de continuar a produção sem interrupção se a máquina estiver desajustada e a proporção de itens defeituosos for de 20%? E se for de 30%? Essas probabilidades são de que tipo de erro?
O responsável pela produção gostaria de ter, no máximo, uma chance em 20 de parar desnecessariamente a produção para ajustar a máquina. Qual deveria ser a região crítica para alcançar esse objetivo?
Se num determinado dia forem observados dois itens defeituosos, qual seria a decisão com base na região crítica obtida no item (c)?
Exercício 8:
Interprete os erros tipo I e II dos seguintes problemas a seguir. Explicite as decisões e hipóteses e escreva em forma de probabilidades.
quando um professor decide aprovar ou reprovar um aluno;
quando um gerente de RH decide contratar ou não um profissional;
quando um condomínio decide comprar ou não novos elevadores para os seus edifícios;
quando o governo decide lançar ou não um programa social para os mais pobres;
quando um árbitro de futebol decide anular um gol do Palmeiras contra o glorioso e imponente Internacional.