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Condutores e Dielétricos
Sérgio Antenor de Carvalho
c©2012
2
Conteúdo
6 Condutores e Dielétricos 5
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2 Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.3 Resistência Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.4 Resistência de Aterramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.5 Condutor em condições estáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.6 Condições de Fronteira - Interface Condutor - Espaço Livre . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.7 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.8 Condições de Fronteira - Interface Dielétrico - Dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.9 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.10 Energia no capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.11 Rigidez Dielétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
4 CONTEÚDO
Capítulo 6
Condutores e Dielétricos
6.1 Introdução
• já estudamos que cargas em movimento constituem uma corrente elétrica
• a corrente elétrica estacionária gera um campo magnético estacionário
• agora estudaremos as características elétricas de um material ou meio em condições esta-
cionárias
– material (meio) condutor
– material (meio) dielétrico
• veremos como caracterizar um objeto pelo seu comportamento elétrico
– material condutor - resistência elétrica
– material dielétrico - isolante
– material dielétrico - capacitância elétrica
• considera como o material permite o fluxo de elétrons
• a teoria quântica nos dá um modelo que explica o comportamento elétrico dos materiais (meios),
historicamente este comportamento foi percebido a partir de métodos experimentais
• para um elétron se movimentar num material ele precisa ganhar energia, ao ganhar energia ele
se afasta do núcleo do átomo
• o elétron absorve ou emite quantidades discretas de energia
5
6 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• para um elétron se movimentar num material ele precisa ganhar energia
6.2 Lei de Ohm
• um meio ou material condutor possui elétrons livres
• um meio ou material condutor permite a ocorrência da corrente de condução
• como surge esta corrente? o que dá origem a ela?
– quando aplicamos um campo elétrico num condutor
– quando temos uma distribuição de potencial no meio
• um elétron sob um campo ~E sofre uma força ~Fe = −e ~E
• no espaço livre o elétron aceleraria e aumentaria a sua velocidade
• num material cristalino o seu deslocamento é impedido por colisões com a estrutura cristalina
• uma velocidade média é atingida
• está velocidade média constante atingida é denominada velocidade de deriva (drift) ou
velocidade de arrastamento
• a velocidade de deriva ~vd está linearmente relacionada com o campo ~E
• ~vd = −µe ~E , onde µe é a mobilidade do elétron, positiva por definição
• do estudo de corrente de convecção sabemos que ~J = ρv ~U
• substituindo ~vd = −µe ~E na equação acima obtemos
• ~J = −µe ρe ~E, ρe é a densidade de carga do elétron livre
• observe que embora os elétrons movam-se no material, a densidade ρv do material é nula
• o termo −µe ρe é denominado de condutividade σ
6.2. LEI DE OHM 7
• σ = −µe ρe (S/m) onde σ é medido em siemens por metro
• ~J = σ ~E que é a forma pontual da Lei de Ohm
• o que significa o parâmetro condutividade σ de um material (meio)?
– capacidade de mobilidade dos elétrons livres
• cite algumas condições que influenciam a condutividade σ
– temperatura
∗ maior temperatura maior vibração da rede cristalina maior número de colisões dos
elétrons livres
– umidade
– frequência do campo elétrico
– intensidade do campo elétrico, materiais não lineares
• exemplos de condutores metálicos
– prata σ = 6, 17× 107 S/m - cobre σ = 5, 80× 107 S/m
– ouro σ = 4, 10× 107 S/m - alumínio σ = 3, 82× 107 S/m
– latão σ = 1, 5× 107 S/m - níquel σ = 1, 45× 107 S/m
• exemplos de condutividade de materiais
– mármore σ = 10−8 S/m - granito σ = 10−6 S/m
– porcelana σ = 10−10 S/m - diamante σ = 2× 10−13 S/m
– poliestireno σ = 10−16 S/m - quartzo σ = 10−17 S/m
• o recíproco da condutividade σ (S/m) é a resistividade Ωm
• para o cobre temos σ = 5, 80 × 107 S/m e µe = 0, 0032 sob o campo de 1V/m, encontre para
um condutor de cobre de seção transversa com área = 1cm2: a) J ; b) I; c) ρe d) vd
• a) J = σ E = (5, 80× 107) (1) = 5, 80× 107
• b) I = ∫
s
~J · ~ds = J S = (5, 80× 107)(1× 10−4) = 5, 8 kA
• c) σ = −ρe µe → ρe = −σµe =
−5,80×107
0,00322
= −1, 8× 109C/m3
• d) vd = −µeE = −(0, 0032)(1) = −0, 32 cm/s
8 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
6.3 Resistência Elétrica
• as forças de resistência ao movimento do elétron livre em um condutor dão origem ao conceito
de resistência elétrica
• deduziremos a resistência elétrica de um material condutor partindo da forma pontual da lei
de Ohm
• consideremos um condutor de comprimento finito `
• na figura vemos o que ocorre quando aplicamos uma ddp
– temos um campo elétrico entre as faces
– temos a formação de uma corrente elétrica
• a corrente I através da seção transversa é dada por
I =
∫
s
~J · ~ds =
∫
s
σ ~E · ~ds = σ Ex S
• onde ~ds é tomado na direção de ~J e ~E é assumido uniforme sobre S e `
• a diferença de potencial entre b e a é dada por
Vab =
∫ a
b
(− ~E · ~dl) = Ex `
6.3. RESISTÊNCIA ELÉTRICA 9
• usando o resultado I = σ Ex S temos Ex = I/σ S, assim
Vab =
(
I
σ S
)
` = I
(
`
σ S
)
• definiremos resistência elétrica como
R , Vab
I
Ω
• razão entre a ddp e a corrente gerada por esta
• no caso do condutor de comprimento l e seção transversa uniforme de área S temos
R =
(
`
σ S
)
Ω
• a resistência do fio é função de que?
• parâmetro definido para representar a razão constante entre a ddp e a corrente gerada
R , Vab
I
→ Vab = RI
• a última equação é a Lei de Ohm
• no caso materiais condutores de seção transversa não uniforme e/ou condutividade não uni-
forme, usamos as expressões gerais dadas por
R =
Vab
I
=
− ∫ a
b
( ~E · ~dl)∫
s
σ ~E · ~ds =
− ∫ a
b
(
~J
σ
· ~dl)∫
s
~J · ~ds
• examinando a expressão geral para resistência elétrica
R =
Vab
I
=
− ∫ a
b
( ~E · ~dl)∫
s
σ ~E · ~ds =
− ∫ a
b
(
~J
σ
· ~dl)∫
s
~J · ~ds
• a resistência elétrica será função de que parâmetros?
10 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• encontre a resistência entre as faces a e b
• como resolvemos o problema?
• encontre a resistência entre as faces a e b
• como resolvemos o problema?
– podemos impor uma ddp entre as faces e
– determinar a corrente gerada
• como deve ser a forma do campo elétrico?
• ~E = −∇V
• variação linear de V
• variação linear de V = k1 φ+ k2 V
• ~E = −1
ρ
∂V
∂φ
~aφ
• ~E = f(ρ)~aφ
6.3. RESISTÊNCIA ELÉTRICA 11
• como deve ser a forma do campo elétrico?
• ~E = f(ρ)~aφ
Vab = −
∫ a
b
~E · ~dl = −
∫ pi/2
0
Eφ~aφ · ρ dφ~aφ = −Eφ ρ pi
2
~E =
−2Vab
pi ρ
~aφ
R =
Vab
I
= Vab
/∫ rb
ra
∫ c
0
σ
(−2Vab
pi ρ
)
~aφ · (−dz dρ~aφ)
=
Vab
2σ Vab
pi
[z]c0 [ln ρ]
rb
ra
R =
pi
2σ c ln(rb/ra)
Ω
• a resistência entre as faces a e b é dada por
R =
pi
2σ c ln(rb/ra)
Ω
• encontre a resistência de fuga de um cabo coaxial de comprimento `
• como resolveremos?
• aplicando a lei de Gauss obtemos que o campo elétrico interno é
~E =
q
2pi ε ρ `
~aρ
• a ddp entre as superfícies equipotenciais será
Vab = −
∫ a
b
~E · ~dl = −
∫ a
b
~E · dρ~aρ
=
q
2pi ε `
ln(b/a)
12 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• a corrente gerada pela ddp entre as superfícies equipotenciais será
I =
∫
~J · ~ds =
∫
σ ~E· ~ds = σ
∫ l
0
∫ 2pi
0
q
2pi ε ρ `
~aρ·ρ dz dφ~aρ = σ q
ε
• a resistência de fuga será
R =
Vab
I
=
1
2pi σ `
ln(b/a)Ω
• encontre a resistência da estrutura abaixo
• como resolveremos?
R =
Vab
I
=
1
4pi σ
(
1
a
− 1
b
)
Ω
6.4. RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO 13
6.4 Resistência de Aterramento
• grande parte das instalações de distribuição de energia elétrica em baixa tensão é feita por
sistema trifásico em Y , onde temos quatro fios
– três fases e um fio neutro aterrado
• o aterramento do neutro é feito para descarregar para a terra, qualquer pico de tensão indese-
jável, por exemplo
– um raio na rede elétrica
• a qualidade do aterramento é dependente da resistência de aterramento
• resistência de aterramento de um eletrodo é aquela entre o eletrodo e o infinito
• exemplo: eletrodo na forma de uma semi-esfera de raio a
• calcule a resistência de aterramento de um eletrodo na forma de uma semi-esfera de raio a
• vamos imaginar um segundo eletrodo também na forma de uma semi-esfera mas com raio b
• a sobre tensão é a fonte que cria a corrente para a terra
• a diferença de potencial entre as semi-esferas é dada por
V = −
∫ a
b
~E · ~dl
=
∫ b
a
E~ar · dr~ar
=
∫ b
a
E dr =
∫ b
a
J
σ
dr
14 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• como calculamos o vetor densidade de corrente ~J∫
semi-esfera
~J · ~ds = i→= J (2pi r2)→ J = i
2pi r2
• usando o valor de J na equação V = ∫ b
a
J/σ dr obtemos
V =
i
2pi σ
∫ b
a
1
r2
dr =
i
2pi σ
(
1
a
− 1
b
)
• assim
R =
V
i
=
1
2pi σ
(
1
a
− 1
b
)
• a resistência de aterramento é obtida fazendo b→∞
R =
1
2pi σ
(
1
a
− 1
b
)
Ω, b→∞⇒ Rat = 1
2pi σ a
Ω
• na figura temos o comportamento da resistência da estrutura
• consideremos a = 10 cm e uma condutividade do terreno igual a σ = 10−2 S/m
– Rat = 12pi×10−2×10−1 = 160 Ω
– Rb=1m = 12pi×10−2
(
1
0,1
− 1
1
)
= 143 Ω difere 10% da Rat
– Rb=10m = 158 Ω difere 1% da Rat
• eficiência de uma malha de terra
• como podemos melhorar a malha de terra?
6.5. CONDUTOR EM CONDIÇÕES ESTÁTICAS 15
6.5 Condutor em condições estáticas
• condição estática existe quando em um condutor a corrente devido ao movimento das cargas é
nula
• as vibrações térmicas que produzem movimento dos elétrons livres e da estrutura do material
ainda existem
• a condição estática se refere a que corrente?
• consideremos que colocamos um excesso de cargas no interior do bloco condutor
• o que acontece?
16 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• consideremos que colocamos um excesso de cargas no interior do bloco condutor
• o que acontece?
– as cargas geram um campo elétrico
– haverá repulsão mútua
– as cargas irão para uma posição de equilíbrio
– as cargas injetadas e as cargas livres (elétrons) se movimentam para estabelecer o equilíbrio
– na condição de equilíbrio quanto vale o campo interno?
• o equilíbrio eletrostático é alcançado quando o campo interno no material é nulo
• o que acontece?
– num bom condutor o equilíbrio eletrostático é rapidamente alcançado
– num isolante pode levar horas ou até dias
• no equilíbrio eletrostático temos
– a superfície e o volume do material são eqüipotenciais
– a carga injetada deve estar na superfície do material
– a superfície gaussiana sendo a superfície do material não engloba a carga
6.5. CONDUTOR EM CONDIÇÕES ESTÁTICAS 17
• vamos calcular o tempo de duração da redistribuição de cargas
• injetamos uma densidade de carga ρ0 no instante t = 0
• o vetor densidade de corrente é dado por
∇ · ~J = −∂ρ
∂t
• como a densidade de carga só varia como o tempo
∇ · ~J = −dρ
dt
• sabemos que ∇ · ~D = ρ, ~J = σ ~E e ~D = ε ~E, assim
∇ · ~J = ∇ · (σ ~E) = ∇ ·
(
σ
~D
ε
)
=
σ
ε
∇ · ~D = σ
ε
ρ
• das duas equações anteriores temos
dρ
dt
= −σ
ε
ρ→ dρ
ρ
= −σ
ε
dt
• integrando obtemos
ln
(
ρ
ρ0
)
= −σ
ε
t→ ρ(t) = ρ0 e−t σ/ε
• a razão ε/σ é denominada de constante de tempo de relaxação τ = ε/σ
• neste tempo a densidade de carga cai a 1/e do seu valor inicial, cerca de 36,78%
• exemplo 1: cobre com ε = ε0 e σ = 5, 8× 107S/m, τ ' 1, 5× 10−19 s
• exemplo 2: água destilada com ε = 80 ε0 e σ = 1, 0× 10−4S/m, τ ' 7, 0µ s
• exemplo 3: porcelana com ε = 6 ε0 e σ = 1, 0× 10−10S/m, τ ' 0, 5 s
• exemplo 4: quartzo com ε = 3, 8 ε0 e σ = 1, 0× 10−17S/m, τ ' 933, 31h
• determine o tempo de relaxação τ da prata, σ = 6, 17×107 S/m; se em t = 0 temos ρ0 determine
as distribuições em t = τ e t = 5τ
• considerando ε = ε0 temos
τ =
�
σ
=
10−9/36pi
6, 17× 107 ≈ 1, 43× 10
−19 s
• assim
t = τ → ρ = ρ0 e−1 ≈ 0, 368 ρ0C/m3
t = 5 τ → ρ = ρ0 e−5 ≈ 6, 74× 10−3 ρ0C/m3
18 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
6.6 Condições de Fronteira - Interface Condutor - Espaço Livre
• existe uma interface entre um condutor e o espaço livre
• ligamos uma fonte que gera um campo elétrico
• depois de um certo tempo temos o condutor em condições estáticas
• o que acontece?
• existe uma interface entre um condutor e o espaço livre
• aplicamos ∮ ~E · ~dl no caminho diferencial fechado abcda, obtemos∮
abcda
~E · ~dl =
∫ b
a
~E · ~dl +
∫ c
b
~E · ~dl +
∫ d
c
~E · ~dl +
∫ a
d
~E · ~dl = 0
• o caminho abcda é um caminho diferencial, assim∫ b
a
~E · ~dl +
∫ c
b
~E · ~dl +
∫ d
c
~E · ~dl +
∫ a
d
~E · ~dl = 0
E2t∆w − Ebn
∆h
2
+ Ean
∆h
2
= 0
• fazendo ∆h→ 0, com ∆w pequeno mais finito
E2t∆w − Ebn
∆h
2
+ Ean
∆h
2
= 0
E2t∆w = 0→ E2t = 0
• o campo tangencial a fronteira entre o condutor e o espaço livre é nulo
• está coerente este resultado?
6.6. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA - INTERFACE CONDUTOR - ESPAÇO LIVRE 19
• existe uma interface entre um condutor e o espaço livre
• aplicamos ∮
s
~D · ~ds no cilindro diferencial, obtemos∮
s
~D · ~ds =
∫
topo
+
∫
base
+
∫
lateral
= q
• avaliando as integrais obtemos∫
topo
= D2n∆S,
∫
base
= 0, porque?∫
lateral
= 0 quando fazemos ∆h→ 0
• obtemos D2n∆S = q
• a carga q dentro do cilindro é carga livre, onde está esta carga? assim
D2n∆S = q = ρs∆S
D2n = ρs, E
2
n =
ρs
ε
D2t = E
2
t = 0
D2n = ρs, E
2
n =
ρs
ε
20 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• uma tora condutora infinita tem na face com normal ~n = ~az uma densidade superficial de cargas
ρs = 10µC/m
2 e na face com ~n = −~az tem densidade superficial de cargas ρs = −10µC/m2
• o que está acontecendo?
• determine:
– campo elétrico no espaço livre
– campo elétrico dentro da tora devido as distribuições de cargas
– campo elétrico aplicado na tora
• da condição Dn = ρs e ~D = ε ~E temos
~Dtopo = ε0 ~Etopo = ~n ρs = ~az ρs ⇒ ~Etopo = 10
ε0
~az µV/m
~Dbase = ε0 ~Ebase = ~n ρs = −~az ρs ⇒ ~Ebase = 10
ε0
~az µV/m
6.6. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA - INTERFACE CONDUTOR - ESPAÇO LIVRE 21
• os dois plano infinitos com ρs e −ρs geram
cada placa gera ~E =
ρs
2 ε0
~an ⇒ ~Ei = ρs
2 ε0
(−~az) + −ρs
2 ε0
(~az)
= −10
ε0
~az µV/m
• como calculamos o campo elétrico aplicado à tora
• em condições estacionárias o campo interno é nulo
~E = ~Ei + ~Ea = 0⇒ ~Ea = − ~Ei = 10
ε0
~az µV/m
22 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
6.7 Dielétricos
• vimos que bons condutores possuem elétrons livres
– quando aplicado um campo elétrico surge uma corrente de condução
• num dielétrico não temos elétrons livres
• quando aplicamos um campo elétrico num dielétrico temos
– formação e orientação de dipolos elétricos
• temos dois tipos de
moléculas num dielétrico
– molécula polar
– molécula não polar
6.7. DIELÉTRICOS 23
• possuem um deslocamento permanente entre os centros de gravidade da carga positiva e da
carga negativa, cada par age como um dipolo
• não formam um dipolo, a não ser que um campo elétrico seja aplicado
• temos dois tipos de materiais
– material polar - formado por moléculas polares
– material não polar - formado por moléculas não polares
• em qualquer situação temos a orientação de dipolos elétricos quando aplicamos um campo
elétrico no material
24 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• o momento do dipolo microscópico é dado por ~p = Q ~dCm
• temos n dipolos idênticos por unidade de volume e estamos considerando um volume ∆V
• o momento de dipolo total é a soma vetorial de todos os momentos de dipolo
~ptotal =
n∆ v∑
i=1
~piCm
• definimos o vetor polarização elétrica ~P como o momento de dipolo por unidade de volume
~P , lim
∆v→0
[
1
∆v
~ptotal
]
, lim
∆v→0
[
1
∆v
n∆ v∑
i=1
~pi
]
C/m2
• qual é a utilidade do vetor polarização elétrica ~P
~P , lim
∆v→0
[
1
∆v
n∆ v∑
i=1
~pi
]
C/m2
• o campo forma os dipolos e depois os orienta
6.7. DIELÉTRICOS 25
• o campo não forma os dipolos mas pode aumentar os seus momentos e depois os orienta
• exemplo: água H2O
• o forno de microondas aquece os alimentos porque o campo eletromagnético força os dipolos
da água a mudar de orientação e pelo atrito gera o calor
• isolador de linha com parafuso - para fixação em madeiras de qualquer tipo 38mm x 92mm -
diâmetro parafuso 52 mm
26 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• nas linhas de transmissão, os isoladores isolam eletricamente as linhas da terra e sustentam
mecanicamente os cabos aéreos de transporte de energia fixados nas estruturas
• as cargas dos dipolos são chamadas de cargas de polarização ou cargas polarizadas
• temos dois tipos de distribuições de cargas de polarização
– densidade superficial de cargas de polarização - ρsp
– densidade volumétrica de cargas de polarização - ρvp
6.7. DIELÉTRICOS 27
• o que acontece quando aplicamos um campo elétrico num material dielétrico?
– alinhamos dipolos elétricos
• consideremos um volume dv limitado por uma superfície ds
• neste volume temos um campo elétrico aplicado
• o volume dv tem uma altura d que é o módulo do vetor ~d que define o dipolo
• quando aplicamos o campo elétrico alinhamos os dipolos
• metade de dv está acima de ds e metade abaixo
• quando ~E 6= 0 moléculas nos dois volumes serão polarizadas
• formam-se dipolos com ~p = Q ~d
• cada molécula acima de ds causará uma carga −Q fluindo através de ds para baixo
• cada molécula abaixo de ds causará uma carga +Q fluindo através de ds para cima
28 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• temos uma densidade molecular de n moléculas por m3
• para carga +Q fluindo para cima
dQcima =
Qndv
2
= Qn
~d · ~ds
2
• para carga −Q fluindo para baixo
dQbaixo = −Qndv
2
= −Qn
~d · ~ds
2
• desde que dQcima e dQbaixo produzem efeitos iguais, o fluxo líquido de carga positiva fluindo
para cima, através de ds torna-se
dQ = Qn ~d · ~ds
• assumindo ~E uniforme temos que todos os ~p são iguais
~P = n ~p = nQ ~d
• assim
dQ = ~P · ~ds
• temos a relação entre ~P e dQ
dQ = ~P · ~ds
• expandindo v para incluir todo o volume do material
6.7. DIELÉTRICOS 29
– a superfície s será a superfície do material
– dQ será a carga de polarização na superfície
dQsp = ~P · ~ds = ~P · ~n ds
dQsp
ds
= ~P · ~n = ρsp C/m2
• onde ~n é o vetor unitário para fora do volume
• ρsp é a densidade superficial de carga de polarização
• a carga de polarização Qsp total que flui para fora de v é
Qsp =
∮
s
~P · ~ds
• a carga de polarização que permanece dentro de v é
Qvp = −Qsp = −
∮
s
~P · ~ds
• aplicando o teorema da divergência obtemos
Qvp = −
∫
v
∇ · ~P dv =
∫
v
(−∇ · ~P ) dv
• notamos que ∇ · ~P deve ter unidades de C/m3 e podemos escrever
Qvp =
∫
v
ρvp dv → ρvp = −∇ · ~P
• como o material não está carregado temos Qsp +Qvp = 0 assim∮
s
~P · ~ds −
∫
v
∇ · ~P dv = 0
30 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• encontre ρsp e ρvp para o cubo dielétrico quando ~P = 10−2~az C/m2 dentro do cubo
ρstopo = ~P · ~n = 10−2~a · ~az = 10−2C/m2
ρsbase = ~P · ~n = 10−2~a · (−~az) = −10−2C/m2
ρslaterais = 0
• para a ρvp usamos
ρvp = −∇ · ~P
= −
(
∂Px
∂x
+
∂Py
∂y
+
∂Pz
∂z
)
= 0
• devido a polarização de um dielétrico temos a formação de
– densidades superficiais de cargas de polarização ρsp
– densidade volumérica de cargas de polarização ρvp
• o que estas distribuições de carga geram? campo elétrico
• o campo elétrico devido a uma densidade de carga livre é
ε0∇ · ~E = ρv
• o campo elétrico devido a uma densidade de carga de polarização é
ε0∇ · ~Ep = ρvp
• considerando as duas densidades
ε0∇ · ~E = (ρv + ρvp)
• agora ~E representa o campo total
• campo elétrico total
ε0∇ · ~E = (ρv + ρvp)
• usando ∇ · ~P = −ρvp obtemos
ε0∇ · ~E = ρv −∇ · ~P
6.7. DIELÉTRICOS 31
• rearranjando encontramos
ε0∇ · ~E +∇ · ~P = ∇ · (ε0 ~E + ~P ) = ρv
• podemos definir um ~D de um modo mais geral como
~D = ε0 ~E + ~P
• o termo adicional em ~D aparece quando um material dielétrico é polarizado
• material dielétrico polarizado
∇ · ~D = ρv
• observe que a equação acima é independente das densidades de carga de polarização
• o que isto quer dizer?
– o fluxo elétrico é gerado por cargas livres
– o fluxo elétrico independe do material (meio)
• qualquer material ou meio
∇ · ~D = ρv
∮
s
~D · ~ds = q
• num material (meio) ~P está relacionado com o campo ~E aplicado
• este relacionamento é função do tipo do material
• num material isotrópico ~P e ~E estão linearmente relacionados
~P = ε0 χe ~E
• onde χe é a suscetibilidade elétrica, que representa facilidade de orientação de dipolos
– no vácuo χe = 0 não existe dipolos para orientar
– na água χe = 79
• substituindo a relação em ~D = ε0 ~E + ~P obtemos
~D = ε0 ~E + ε0 χe ~E = ε0(1 + χe) ~E
• a linearidade entre ~D e ~E leva-nos a definir
ε = ε0(1 + χe)
• onde χe é a permissividade elétrica, assim ~D = ε ~E
• uma elevada suscetibilidade elétrica corresponde a uma elevada permissividade
– no vácuo ε = ε0
32 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
– na água ε = 80 ε0
• podemos definir uma permissividade relativa ou constante dielétrica como
εR ,
ε
ε0
→ εR = 1 + χe
• exemplos
– água destilada εR = 80, teflon εR = 2, 03, ar εR = 1, 0006, mica εR = 5, 4
• uma esfera condutora de raio a, carregada com uma carga q, está envolvida por uma coroa
dielétrica definida pelos raios b e c e permissividade elétrica ε, calcular e esboçar a distribuição
de ~D, ~E e ~P
• como iremos resolver?
• calculamos primeiro o vetor densidade de fluxo elétrico ~D
• usando a lei de Gauss obtemos∮
s
~D · ~ds = Dr 4pi r2 = q → ~D = q
4pi r2
~ar
• campo elétrico no dielétrico
~Ed =
q
4pi ε r2
~ar
• campo elétrico no espaço livre
~E0 =
q
4pi ε0 r2
~ar a < r < b e r > c
6.7. DIELÉTRICOS 33
• o vetor polarização ~P só existe na capa dielétrica
• como calculamos ~P
~D = ε0 ~E + ~P
~P =
ε− ε0
ε
q
4pi r2
~ar
• a polarização do material enfraquece o campo que gerou a orientação dos dipolos
• a capa dielétrica não altera o fluxo dielétrico
34 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
6.8 Condições de Fronteira - Interface Dielétrico - Dielétrico
• existe uma interface entre dois dielétricos
• ligamos uma fonte que gera um campo elétrico
• depois de um certo tempo temos o sistema em condições estáticas
• o que acontece?
• relacionaremos os campos ~E e ~D na fronteira
• o procedimento é idêntico ao usado na fronteira condutor espaço livre
• existe
uma interface entre os dois dielétricos livre
• aplicamos ∮ ~E · ~dl no caminho diferencial fechado abcda, obtemos∮
abcda
~E · ~dl =
∫ b
a
~E · ~dl +
∫ c
b
~E · ~dl +
∫ d
c
~E · ~dl +
∫ a
d
~E · ~dl = 0
• o caminho abcda é um caminho diferencial, assim∫ b
a
~E · ~dl +
∫ c
b
~E · ~dl +
∫ d
c
~E · ~dl +
∫ a
d
~E · ~dl = 0
E1t∆w − (Eb1n + Eb2n )
∆h
2
− E2t∆w + (Ea1n + Ea2n )
∆h
2
= 0
• fazendo ∆h→ 0, com ∆w pequeno mais finito
E1t∆w − (Eb1n + Eb2n )
∆h
2
− E2t∆w + (Ea1n + Ea2n )
∆h
2
= 0
E1t∆w − E2t∆w = 0→ E1t = E2t
• o campo elétrico tangêncial à fronteira entre dois dielétricos é contínuo
• o campo elétrico tangêncial a fronteira entre dois dielétricos é contínuo
• como ~D = ε ~E
D1t
D2t
=
ε1
ε2
6.8. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA - INTERFACE DIELÉTRICO - DIELÉTRICO 35
• existe uma interface entre os dois dielétricos
• aplicamos ∮
s
~D · ~ds no cilindro diferencial, obtemos∮
s
~D · ~ds =
∫
topo
+
∫
base
+
∫
lateral
= q
• avaliando as integrais e fazendo ∆h→ 0 obtemos
D1n∆S −D2n∆S = ρs∆S → D1n −D2n = ρs
• como ~D = ε ~E
ε1E
1
n − ε2E2n = ρs
36 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• dado um campo elétrico ~E1 = 2~ax + 3~ay + 5~az V/m na interface dielétrica plana (z = 0) sem
cargas livres, determine ~D2 e os ângulos θ1 e θ2
• usando E1t = E2t obtemos
~E1 =
E1t︷ ︸︸ ︷
2~ax + 3~ay +5~az
~E2 = 2~ax + 3~ay︸ ︷︷ ︸
E2t
+E2z ~az
• usando a condição D1n −D2n = ρs = 0 obtemos
~D1 = ε0 εR1 ~E1 = 4 ε0~ax + 6 ε0~ay + 10 ε0~az
~D2 = ε0 εR2 ~E2 = D
2
x~ax +D
2
y ~ay + 10 ε0~az
• a componente E2z é dada por
E2z =
D2z
ε2
=
10 ε0
5 ε0
= 2
• as componentes D2x e D2y são dadas por
D2x = 2 ε0 εR2 = 10 ε0
D2y = 3 ε0 εR2 = 15 ε0
• os campos ~E2 e ~D2 são
~E2 = 2~ax + 3~ay + 2~az
~D2 = 10 ε0~ax + 15 ε0~ay + 10 ε0~az
• usando ~A · ~B = AB cosθAB obtemos
~E1 · ~az = | ~E1|cos(90o − θ1)
5 =
√
38 senθ1 → θ1 ≈ 54, 2o
~E2 · ~az = | ~E2|cos(90o − θ2)
2 =
√
17 senθ2 → θ2 ≈ 29, 0o
6.8. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA - INTERFACE DIELÉTRICO - DIELÉTRICO 37
• temos uma barra de teflon estendendo-se de y = 0 até y = a, sabendo que o campo na região
y < 0 é ~E1 = E0 (~ay + ~az), determine ~E, ~D e ~P em todas as regiões
• na região 1 temos
~E1 = E0 (~ay + ~az)
~D1 = ε0E0 (~ay + ~az)
~P1 = 0
• na região 2 temos
E1t = E
2
t = E0~az
D1n = D
2
n = ε0E0~ay
~E2 =
ε0
εR ε0
E0~ay + E0~az
~D2 = ε0E0 (~ay + εR ~az)
• o vetor polarização elétrica no teflon é dado por
~P2 = ~D2 − ε0 ~E2
= ε0E0
(
εR − 1
εR
)
~ay + ε0E0 (εR − 1)~az
• na região 3 temos
E2t = E
3
t = E0~az = E
1
t
D2n = D
3
n = ε0E0~ay = D
1
n
~E3 = ~E1 = E0 (~ay + ~az)
~D3 = ~D1 = ε0E0 (~ay + ~az)
~P3 = ~P1 = 0
• sugestão: considere três meios distintos, ε1, ε2 e ε3
38 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
6.9 Capacitância
• analisemos o sistema abaixo
– dois condutores mergulhados num dielétrico homogêneo
– o condutor 1 tem uma carga total positiva Q
– o condutor 2 tem uma carga total negativa −Q
– não existem outras cargas e a carga total do sistema é nula
• o que mais sabemos?
• o que mais sabemos?
– a carga está na superfície dos condutores
– o campo elétrico é normal às superfícies condutoras
– a superfície dos condutores são equipotenciais
– com C1 tem uma carga positiva o fluxo elétrico está dirigido de C1 para C2
– existe uma ddp entre os condutores
• o que acontece de aumentamos a ddp V0 entre os condutores?
– a carga na superfície dos condutores aumenta
– o campo elétrico aumenta
– o fluxo elétrico aumenta
– o sistema continua com carga total nula
• definimos capacitância do sistema como a razão entre a magnitude da carga total de um con-
dutor e a ddp do sistema
C , Q
V0
F (farads) C/V
6.9. CAPACITÂNCIA 39
• podemos escrever
C , Q
V0
F (farads) C/V
• em termos da densidade de carga ρs e o campo ~E entre os condutores como
C =
∫
s
ρs ds
− ∫ +− ~E · ~dl F (farads)
• da condição de fronteira na superfície do condutor temos ρs = ε ~E · ~n assim ρs ds = ε ~E · ~n =
ε ~E · ~ds
C =
∫
s
ε ~E · ~ds
− ∫ +− ~E · ~dl F (farads)
• analisemos a equação
C =
∫
s
ε ~E · ~ds
− ∫ +− ~E · ~dl F
• o que podemos dizer sobre capacitância?
– a capacitância é independente do potencial e da carga, porque?
– se a densidade de carga aumenta por um fator N a lei de Gauss indica que o campo
elétrico também aumenta por um fator N
– o capacitor com este comportamento é o capacitor linear
40 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• calcular a capacitância de uma estrutura de placas grandes, paralelas e de área A, mantidas a
uma distância d por um dielétrico com permissividade elétrica ε
• o campo elétrico entre os condutores é ~E = −ρs
ε
~az assim
V = −
∫ +
−
~E · ~dl = −
∫ z=d
z=0
−ρs
ε
~az · dz ~az = ρs d
ε
• a carga no condutor vale Q = ρsA assim
C =
Q
V
=
ρsA
ρs d
ε
=
εA
d
F
• analisando
C =
εA
d
F
• vemos que
– a capacitância só depende dos parâmetros físicos da estrutura
– maior permissividade elétrica maior capacitância
– maior área maior capacitância
– menor distância d maior capacitância projeto mais difícil por causa do centelhamento
6.9. CAPACITÂNCIA 41
• encontre a capacitância de um cabo coaxial de comprimento l, com dielétrico de permissividade
elétrica ε
• como resolveremos?
• aplica-se uma fonte de tensão V no cabo coaxial
• uma superfície gauusiana de raio ρ e a lei de Gauss fornece ~D
D 2pi ρ l = q → ~D = q
2pi ρ l
~aρ
~E =
q
2pi ρ l ε
~aρ
V = −
∫ a
b
q
2pi ρ l ε
~aρ · dρ~aρ
=
−q
2pi l ε
ln(ρ)|ab
=
q
2pi l ε
ln(b/a)
• a capacitância é dada por
C =
q
V
=
2pi ε l
ln(b/a)
F
• analisando a expressão ....
42 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• calcule a capacitância de l metros de uma linha de transmissão paralela cujos fios tem raio a e
estão a uma distância d >> a
• resposta
C =
q
V
=
pi ε l
ln(d/a)
F
• consideremos dois capacitores em paralelo
• as placas superiores formam um condutor único, com carga total Q = q1 + q2
• temos um potencial V + nas placas superiores e V − nas placas inferiores, assim
C =
Q
V + − V − =
Q
V
=
q1
V
+
q2
V
= C1 + C2
• para N capacitores temos C = C1 + C2 + ...+ CN
• associação em paralelo de capacitores aumenta a capacitância total mas ...
• consideremos dois capacitores em série
• a mesma carga que a fonte retira de um capacitor ela coloca no outro
V = V1 + V2 =
q1
C1
+
q
C2
=
q
C
• assim
C =
C1C2
C1 + C2
6.9. CAPACITÂNCIA 43
• associação em série reduz a capacitância total mas ....
• calcular a capacitância de uma estrutura de placas grandes, paralelas e de área A, mantidas a
uma distância d, onde foi usado dois dielétricos
• resposta
C =
A
`1
ε1
+ `2
ε2
F
44 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
6.10 Energia no capacitor
• para se carregar um capacitor é necessário transferir cargas de um condutor para outro
– precisamos realizar trabalho para se carregar o capacitor
• como calcularemos esta energia?
• consideremos dois condutores com uma ddp V formando capacitor com capacitância
• a magnitude da carga em um condutor é dada por
q = C V
• a energia gasta para deslocar uma carga diferencial dq é dada por
dw = −dq
∫ final
inicial
~E · ~dl
• como − ∫ final
inicial
~E · ~dl = V temos
dw = dq V
• considerando que o processo de carga na estrutura começou com uma carga nula até a carga
total Q, o trabalho total W será
W =
∫ Q
0
dq V
• com q = C V temos
W =
∫ Q
0
dq V =
∫ Q
0
q
C
dq =
1
2
Q2
C
• escrevendo em termos da capacitância (q = C V ) temos
W =
1
2
C V 2
6.10. ENERGIA NO CAPACITOR 45
• onde está armazenada a energia?
W =
1
2
C V 2
• no campo elétrico entre os condutores
WE =
1
2
∫
vol
ε| ~E|2 dv
• temos outra abordagem para calcular capacitância
C =
2.0WE
V 2
• no capacitor de placas planas e paralelas temos
C =
εA
d
, ~E =
−ρs
ε
~az
V = −
∫ +
−
~E · ~dl = | ~E| d
• assim temos
WE =
1
2
ε | ~E|2Ad = 1
2
C | ~E|2 d2
W =
1
2
C V 2 = WE
46 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• dois capacitores foram carregados com tensões v1 e v2 e são ligados como mostrado na figura,
calcular a tensão v de equilíbrio e a energia perdida na ligação
• o que acontece com a carga no sistema?
• permanece a mesma, assim
• por quê perdemos energia?
• a carga permanece a mesma, assim
q1 + q2 = q
′
1 + q
′
2
C1 v1 + C2 v2 = C1 v + C2 v
v =
C1 v1 + C2 v2
C1 + C2
tensão de equilíbrio
• a energia perdida na centelha e na resistência da fiação é
∆W =
(
1
2
C1 v
2
1 +
1
2
C2 v
2
2
)
−
(
1
2
C1 v
2 +
1
2
C2 v
2
)
WE =
1
2
C V 2
• tensão de equilíbrio
v =
C1 v1 + C2 v2
C1 + C2
• energia perdida na centelha e na resistência da fiação
∆W =
(
1
2
C1 v
2
1 +
1
2
C2 v
2
2
)
−
(
1
2
C1 v
2 +
1
2
C2 v
2
)
6.11. RIGIDEZ DIELÉTRICA 47
6.11 Rigidez Dielétrica
• não podemos aumentar a intensidade do campo ~E num dielétrico indefinidamente
• num certo valor ocorrerá um centelhamento
• diz-se que há, neste ponto, uma ruptura do dielétrico
• o valor do campo elétrico que um isolante suporta é denominado de rigidez dielétrica
• observe que este campo é a superposição do campo elétrico externo, aplicado ao dielétrico, mais
o campo criado pelo próprio dielétrico
• ar - 3M V/m
• papel - 15M V/m
• óleo - 15M V/m
• poliestireno - 20M V/m
• borracha - 20M V/m
• vidro - 30M V/m
• mica - 200M V/m
• no vácuo a rigidez dielétrica é infinita, porém existe o centelhamento, os elétrons podem ser
arrancados do condutor
• no ar chama-se corona o centelhamento que ocorre quando a sua rigidez dielétrica é vencida
48 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• duas placas metálicas planas e paralelas estão isoladas a ar e sob uma tensão de 3 kV , calcule
a menor distância d possível entre as placas para que não ocorra centelhamento
• como resolveremos?
• considerando o campo constante (por quê?) temos
V = | ~E| d→ d = V| ~E|
• quanto vale este campo | ~E|?
| ~E| = 3× 106 → d = 3× 10
3
3× 106 = 1mm
• consideremos que as duas placas metálicas planas e paralelas estão isoladas a ar e sob uma
tensão de 20 kV , que as carregou, a distância entre as placas é d = 1mm, foi colocado um
papel com espessura de 1mm entre as placas, sabendo que a rigidez dielétrica do papel é de
15MV/m dizer se esta rigidez vai ser vencida
• como resolveremos?
• antes de colocar o papel temos
V = | ~E| d→ | ~E| = 20 k
1× 10−3 = 20MV/m
• a rigidez do papel será vencida, por quê?
• depois que colocamos o papel, o campo ~D fica inalterado (por quê?), mais o campo ~E foi
enfraquecido (por quê?)
• o novo campo interno é dado por
| ~E| = 20× 10
6 ε0
ε
= 5MV/m
• não vence a rigidez do papel, como podemos garantir que a rigidez do papel seja vencida?
6.11. RIGIDEZ DIELÉTRICA 49
• determinar a maior tensão aplicável a um cabo coaxial com raios a e b cujo dielétrico tem
rigidez dielétrica E0
• como resolveremos?
• a ddp num cabo coaxial é dada por
V =
q
C
• como já calculamos a capacitância temos
C =
2pi ε `
ln(b/a)
F
• a ddp no cabo coaxial é dada por
V = q
ln(b/a)
2pi ε `
• em que lugar a rigidez dielétrica será vencida na estrutura?
• a rigidez dielétrica será vencida no condutor interno, por que?
• o campo elétrico é dado por
~E =
ρ`
2pi ε ρ
~aρ → ~E
∣∣∣
ρ=a
=
q
2pi ε ` a
~aρ
50 CAPÍTULO 6. CONDUTORES E DIELÉTRICOS
• uma rigidez dielétrica E0 implica numa carga máxima no condutor ρ = a dada por
E0 =
qmax
2pi ε ` a
• como V = q ln(b/a)
2pi ε `
temos
Vmax =
E0 2pi ε ` a ln(b/a)
2pi ε `
= E0 a ln(b/a)
• a maior tensão aplicável a um cabo coaxial com raios a e b cujo dielétrico tem rigidez dielétrica
E0
Vmax = E0 a ln(b/a)V
• determinar a maior tensão aplicável a uma linha de transmissão paralela cujos fios possuem
raio a e estão separados por uma distância d >> a, sabendo que a rigidez dielétrica do meio
vale E0
• resposta
Vmax = 2E0 a ln(d/a)V