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Programa de Engenharia Oceaˆnica
COPPE / UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Hidrodinaˆmica IVb
SH Sphaier
Marc¸o de 2008
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o a` Dinaˆmica de Corpos Flutuantes 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas de refereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Considerac¸o˜es F´ısicas sobre o Problema Hidrodinaˆmico . . . . . . . . . . . . . 2
2 Dinaˆmica do Corpo Bidimensional Flutuante 7
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Movimento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Movimento de Jogo Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Movimento Lateral Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Movimentos Simultaˆneos Lateral e de Jogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Hipo´tese de Froude-Krylov para o Ca´lculo de Forc¸a de Onda . . . . . . . . . . 21
2.6.1 Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares . . . . . . . . . . 22
2.6.2 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em um Retaˆngulo . . . . . . 26
2.6.3 Extensa˜o da expressa˜o de Froude-Krylov para o caso de um Navio com
fundo plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.4 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Semisub-
mers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Dinaˆmica de um Corpo Tridimensional Esbelto em Ondas 31
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Movimentos vertical e de rotac¸a˜o em torno do eixo lateral . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Equac¸o˜es dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch . . . . . . . . . 33
3.2.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Movimentos lateral, de rotac¸a˜o em torno do eixo Oz e de jogo . . . . . . . . . 36
3.3.1 Equac¸o˜es de movimento no plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Generalizac¸a˜o do Problema Dinaˆmico 41
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Corpos com Geometria Qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
i
ii Texto Preliminar, SH Sphaier
4.3 Um Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Navio em Mar Irregular 49
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 O Espectro de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em um Mar Irregular . . . . . 51
5.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.1 Deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto do corpo . . . . 53
5.5.2 Eventos de Seakeeping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6 Resumo Esquema´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Hidrodinaˆmica de Corpos Flutuantes Estaciona´rios 65
6.1 Aspectos F´ısicos: Leis e Princ´ıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Formulac¸a˜o hidrodinaˆmica: Leis e Princ´ıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Forc¸as Atuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.1 Forc¸as hidrodinaˆmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.2 Forc¸a de excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.3 Forc¸a de radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.4 Quantidades de Movimento Linear e Angular da Massa do Corpo . . . 82
6.3.5 Restaurac¸a˜o: Ac¸a˜o das forc¸as hidrosta´ticas e das forc¸as de corpo . . . . 87
6.4 Equac¸o˜es de Movimento no Domı´nio da Frequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . 92
Lista de Figuras
1.1 Onda Incidente e sua Difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Radiac¸a˜o e Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Decremento Logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Aˆngulo de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Banda de uma sec¸a˜o naval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Cancelamento em Formas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I . . . . . . . . . . 45
4.2 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II . . . . . . . . . 46
4.3 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional III . . . . . . . . . 46
4.4 Forc¸a de Excitac¸a˜o Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Momento de Excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Rao de Heave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Rao de Pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Apresentac¸a˜o Esquema´tica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Apresentac¸a˜o Esquema´tica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Apresentac¸a˜o Esquema´tica III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Apresentac¸a˜o Esquema´tica IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Apresentac¸a˜o Esquema´tica V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
iii
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o a` Dinaˆmica de Corpos
Flutuantes
1.1 Introduc¸a˜o
O estudo do comportamento de corpos flutuantes trata do estudo da dinaˆmica de um corpo
flutuante sujeito a forc¸as hidrodinaˆmicas, hidrosta´ticas e forc¸as de corpo. Neste cap´ıtulo ini-
ciaremos o estudo do problema de um corpo na superf´ıcie livre com liberdade de executar
movimento vertical. Em seguida analisaremos os aspectos hidrodinaˆmicos, pore´m ainda de um
ponto mais descritivo do fenoˆmeno que de um ponto de sua formulac¸a˜o matema´tica. Posteri-
ormente apresentaremos a formulac¸a˜o matema´tica e a soluc¸a˜o para o fenoˆmeno hidrodinaˆmico
de radiac¸a˜o de ondas a partir dos movimentos de um corpo junto a superf´ıcie livre. Por uma
questa˜o de simplicidade de formulac¸a˜o matema´tica analisaremos o caso de um batedor de
ondas do tipo pista˜o. O problema de um corpo fixo em ondas e´ analisado na sec¸a˜o seguinte
para introduzirmos a hipo´tese de Froude-Krylov e o problema de difrac¸a˜o. Finalmente ap-
resentamos o caso de um corpo flutuante em ondas, estabelecendo o problema de valor de
contorno linearizado.
1.2 Sistemas de refereˆncia
Ao longo do texto utilizaremos treˆs sistemas de refereˆncia. Um sistema de coordenadas
OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superf´ıcie livre. O eixo OZ aponta verticalmente para
cima.
Um segundo sistema utilizado e´ o sistema o¯x¯y¯z¯ cujo centro, sempre concide com o ponto O,
1
2 Texto Preliminar, SH Sphaier
com eixo o¯x¯ fazendo um aˆngulo β com o eixo OX.
O terceiro sistema aqui considerado e´ o sistema oxyz, o qual se desloca com a velocidade
do navio, sem oscilar. Seu centro esta´ localizado na superf´ıcie livre
em repouso e o eixo oz
aponta verticalmente para cima. O ponto o, centro do sistema, esta´ localizado a meio navio.
Muitas vezes e´ mais pra´tico localiza´-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.
O navio desloca-se em linha reta com velocidade U na direc¸a˜o do eixo o¯x¯.
As ondas se propagam na direc¸a˜o do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um aˆngulo β
com o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.
1.3 Considerac¸o˜es F´ısicas sobre o Problema Hidrodi-
naˆmico
Tentando apresentar uma visualizac¸a˜o do fenoˆmeno e identificac¸a˜o das ac¸o˜es hidrodinaˆmicas
sobre um corpo flutuante deslocando-se em ondas, vamos considerar, para efeito de ana´lise,
que o corpo, inicialmente, se encontra em repouso em a´guas tranquilas sujeito a ac¸a˜o de seu
peso e ao empuxo, resultante da ac¸a˜o das presso˜es hidrosta´ticas sobre a superf´ıcie molhada
do corpo.
A nossa experieˆncia dia´ria nos diz que, incidindo uma onda sobre o corpo, este saira´ da
situac¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico executando movimentos no meio fluido.
Inicialmente imaginemos o que se passa sobre uma superf´ıcie fict´ıcia cuja forma e´ igual a
forma do corpo colocado no meio fluido. Se na˜o houvesse ondas, a forc¸a que o fluido, externo
a` superf´ıcie imagina´ria, faria sobre a massa fluida contida em seu interior seria igual ao peso
desta massa fluida. Isto nada mais e´ que o princ´ıpio de Arquimedes. Esta forc¸a pode ser
obtida como resultado da integrac¸a˜o da pressa˜o hidrosta´tica pe,0.
Consideremos agora a ac¸a˜o de ondas. As part´ıculas fluidas atravessam a superf´ıcie ima-
gina´ria e a pressa˜o em cada um de seus pontos varia com o tempo devido a` contribuic¸a˜o
da pressa˜o hidrodinaˆmica das ondas incidentes. Ale´m da forc¸a hidrosta´tica temos uma forc¸a
hidrodinaˆmica devida ao campo de presso˜es decorrente da onda incidente pinc. A esta com-
ponente hidrodinaˆmica de forc¸a chamamos de forc¸a de onda segundo a hipo´tese de Froude-
Krylov, ou de forma abreviada, forc¸a de Froude-Krylov. Trata-se enta˜o de determinar a forc¸a
hidrodinaˆmica devida a` pressa˜o hidrodinaˆmica causada pela onda incidente sobre a superf´ıcie
a ser ocupada pelo contorno do corpo.
Uma segunda componente dinaˆmica de forc¸a aparecera´ devida a` perturbac¸a˜o que o corpo cria
no meio fluido. Na realidade as part´ıculas fluidas na˜o podem atravessar o corpo. A presenc¸a
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
do corpo impo˜e velocidades a`s part´ıculas fluidas de forma a terem componentes normais
junto ao corpo iguais a zero. Sa˜o originadas ondas que se propagam para o fluido, interagem
com a onda incidente anulando as componentes de velocidades das part´ıculas fluidas junto a
superf´ıcie do corpo na direc¸a˜o normal. A este fenoˆmeno chamamos de difrac¸a˜o. Aparecem
ondas de difrac¸a˜o geradas junto ao corpo. Este fenoˆmeno esta´ intimamente ligado a`s ondas
incidentes. A onda incidente ao encontrar o corpo se difrata. A energia que se propaga na
direc¸a˜o da onda incidente espalha-se devido a` presenc¸a do corpo propagando-se em outras
direc¸o˜es. Soma-se a` pressa˜o dinaˆmica da onda incidente uma nova parcela devida a` onda
difratada pdif . De forma semelhante ao problema do escoamento uniforme acelerado em torno
de um c´ırculo em que a forc¸a resultante era composta de duas componentes, uma devida ao
escoamento acelerado, e outra devida a` perturbac¸a˜o que o c´ırculo, representado pelo dipolo
causava no escoamento, no problema de ondas aparecem duas componentes de forc¸a, uma
devida a` onda incidente como se na˜o houvesse corpo (forc¸a de Foude-Krylov) e outra devida
a perturbac¸a˜o que o corpo cria na onda incidente, forc¸a de difrac¸a˜o.
Uma segunda fonte de formac¸a˜o de ondas que se radiam do corpo para o meio deve-se aos
movimentos do corpo. O movimento do corpo induz movimento a`s part´ıculas fluidas junto ao
casco. Este movimento transmite-se a`s outras part´ıculas fluidas, agitando a superf´ıcie livre
gerando ondas que se propagam para o meio. A este fenoˆmeno chamamos de radiac¸a˜o. Estas
ondas tambe´m provocara˜o uma modificac¸a˜o no campo de presso˜es atuantes sobre o casco prad.
Uma u´ltima parcela que contribui para a variac¸a˜o da pressa˜o atuante em um ponto da su-
perf´ıcie do corpo com o tempo e´ sua constante mudanc¸a de posic¸a˜o. A pressa˜o hidrosta´tica
dependera´ da posic¸a˜o inicial do ponto e dos movimentos do corpo. Com os movimentos do
corpo cada ponto de sua superf´ıcie tera´ sua coordenada vertical variando com o tempo. Assim
teremos a coluna de a´gua em um ponto, que rege a pressa˜o hidrosta´tica, variando com o tempo
e a pressa˜o hidrosta´tica total dada pela soma da pressa˜o hidrosta´tica inicial correspondente a
posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico do corpo, e de uma componente de pressa˜o hidrosta´tica varia´vel
com o tempo, correspondente a` mudanc¸a de posic¸a˜o vertical do ponto pe,t.
Admitindo ser poss´ıvel a superposic¸a˜o dos efeitos acima descritos na forma de um somato´rio
de efeitos a pressa˜o total ptotal seria enta˜o:
ptotal = pe + pd
= pe,0 + pe,t + pinc + pdif + prad
= pe,0 + p(t) (1.1)
onde a pressa˜o dinaˆmica pd e´ dada por
pinc + pdif + prad (1.2)
onde a pressa˜o esta´tica pe e´ dada por
pe,0 + pe,t (1.3)
4 Texto Preliminar, SH Sphaier
e a pressa˜o dependente do tempo p(t) e´ dada por
pe,t + pinc + pdif + prad (1.4)
onde:
• pressa˜o esta´tica pe
• pressa˜o dinaˆmica pd
• pressa˜o dependente do tempo pt
• pressa˜o esta´tica independente do tempo pe,0
• pressa˜o esta´tica dependente do tempo pe,t
• pressa˜o devida a` onda incidente pinc
• pressa˜o devida a` onda difratada pdif
• pressa˜o devida a` onda radiada prad
As forc¸as de origem hidrodinaˆmica seriam obtidas pela integrac¸a˜o destas presso˜es ptotal ao
longo do casco. Ale´m das forc¸as hidrodinaˆmicas atua sobre o corpo a forc¸a de peso. Re-
unindo estas forc¸as externas e utilizando a lei de Newton, temos as equac¸o˜es que va˜o reger o
movimento do corpo.
Atrave´s das figuras 1.1 e 1.2 vemos esquematicamente as diversas contribuic¸o˜es.
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
Figura 1.1: Onda Incidente e sua Difrac¸a˜o
6 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.2: Radiac¸a˜o e Empuxo
Cap´ıtulo 2
Dinaˆmica do Corpo Bidimensional
Flutuante
2.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo vamos tratar da dinaˆmica do movimento de um corpo flutuante. Vamos nos
ater ao problema no plano, isto e´, observamos o comportamento de um cilindro, cuja sec¸a˜o
tem uma forma naval, flutuando na superf´ıcie livre. Inicialmente, daremos somente um grau
de liberdade de movimento. Este grau de liberdade sera´ o de movimento vertical, depois o
de movimento de jogo e por u´ltimo o de movimento lateral. Posteriormente analisaremos os
movimentos acoplados de jogo e lateral.
2.2 Movimento Vertical
Analisemos o movimento vertical de um cilindro infinito de sec¸a˜o qualquer, flutuando na
superf´ıcie livre com seu eixo coincidindo com o eixo Ox, e com simetria em relac¸a˜o ao plano
longitudinal. Consideremos que inicialmente se encontra em equil´ıbrio esta´tico. Como trata-se
de um corpo infinito podemos desenvolver uma ana´lise bidimensional (figura 2.1).
Utilizando a segunda lei de Newton temos:
ms¨ = −P + E0 = 0 (2.1)
onde:
s e´ o movimento vertical do corpo,
7
8 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.1: Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante
m e´ a massa do corpo por unidade de comprimento,
P e´ o peso do corpo por unidade de comprimento,
E0 e´ o empuxo por unidade de comprimento.
Dando um deslocamento vertical ao corpo, havera´ enta˜o um desequil´ıbrio entre o peso e o
empuxo. Caso as u´nicas forc¸as intervenientes fossem o peso P e o empuxo E ter´ıamos P 6= E.
O corpo entraria enta˜o em movimento
oscilato´rio.
A lei de Newton fornece
ms¨ = −P + E0 +4E (2.2)
Considerando pequenos movimentos verticais podemos dizer que ∆E = −ρgBs e enta˜o
ms¨ = −ρgBs (2.3)
com s(t = 0) = s0, sendo B a boca do cilindro.
Assim ter´ıamos a seguinte equac¸a˜o diferencial ordina´ria para resolver.
ms¨+ ρgBs = 0 (2.4)
com s(t = 0) = s0 e s˙ = 0.
Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria a coeficientes constantes de segunda ordem
homogeˆnea sujeita a uma condic¸a˜o inicial. A soluc¸a˜o e´ da forma
s = s0e
iωnt (2.5)
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
com ωn =
√
ρgB/m, frequeˆncia natural, e o corpo permaneceria em movimento harmoˆnico
indefinidamente.
A experieˆncia dia´ria nos diz entretanto que este movimento tem um decremento com o tempo,
e podemos observar o aparecimento de ondas na superf´ıcie livre. Estas ondas propagam-se
do corpo para o infinito carregando consigo energia.
Lembrando as concluso˜es obtidas no estudo do escoamento devido a um c´ırculo acelerado em
um fluido em repouso, sabemos que a pressa˜o dinaˆmica da´ origem a uma forc¸a contra´ria a`
acelerac¸a˜o do corpo. Sem nos preocuparmos aqui com o rigor matema´tico, podemos dizer que
a pressa˜o da´ origem a uma forc¸a na forma
Fhdin = −a33s¨ (2.6)
A lei de Newton agora fornece
ms¨ = −a33s¨− ρgBs (2.7)
ou
(m+ a33)s¨+ ρgBs = 0 (2.8)
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ semelhante a` soluc¸a˜o do caso anterior, modificando-se somente o
valor de ωn
ωn =
√
ρgB
m+ a33
(2.9)
Isto quer dizer, que o decaimento do movimento que observamos em nossa experieˆncia dia´ria,
na˜o e´ previsto e por conseguinte a energia dissipada na formac¸a˜o de ondas na˜o esta´ sendo
considerada. A expressa˜o acima, representativa da forc¸a hidrodinaˆmica na˜o preve termo
responsa´vel pela formac¸a˜o de ondas e consequentemente pelo decaimento do movimento do
corpo, o que na˜o representa o caso real.
Ocorre que estas forc¸as, devidas a radiac¸a˜o de ondas, na˜o necessariamente esta˜o em fase com
a acelerac¸a˜o do corpo. A forc¸a de radiac¸a˜o resultante esta´ subdividida em duas parcelas,
uma em fase com a acelerac¸a˜o e outra com a velocidade do corpo. Esta segunda parcela e´
responsa´vel pelo constante consumo de energia cine´tica do corpo, transferindo energia para
a massa fluida na forma de ondas, que se transmitem para o infinito, provocando assim um
decaimento no movimento do corpo.
Ao coeficiente de proporcionalidade entre acelerac¸a˜o e a forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o
chamamos de coeficiente de massa adicional e, ao coeficiente de proporcionalidade entre ve-
locidade e forc¸a em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de amortecimento.
Com esta expressa˜o a equac¸a˜o de movimento do corpo apresenta um termo na˜o conservativo
linear, e esta´ intimamente ligado a` energia da onda que, formada pela interac¸a˜o fluido-corpo
junto a superf´ıcie livre se radia para o meio, propagando-se a longas distaˆncias.
10 Texto Preliminar, SH Sphaier
Fhdin = −a33s¨− b33s˙ (2.10)
onde b33 e´ o coeficiente de amortecimento.
A equac¸a˜o de movimento obtida a partir da aplicac¸a˜o da lei de Newton seria agora
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs (2.11)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.12)
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea ordina´ria de segunda ordem a coeficientes con-
stantes. Sua soluc¸a˜o e´ da forma exponencial. Este problema corresponde ao de vibrac¸a˜o livre
de um sistema amortecido, sujeito a um deslocamento e uma velocidade iniciais.
Consideremos agora que incide uma onda monocroma´tica que, como descrito acima, introduz
uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.13)
onde
F0 e´ a amplitude da forc¸a
ω e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o.
A lei de Newton fornece enta˜o a seguinte equac¸a˜o de movimento
ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs+ Fexc (2.14)
ou
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = F0e
iωt (2.15)
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea, que corresponderia ao
movimento apo´s um impulso inicial, mais a soluc¸a˜o particular que seria regida pela carac-
ter´ıstica da forc¸a de excitac¸a˜o. Assim, apo´s algum tempo, a soluc¸a˜o homogeˆnea na˜o mais
interferiria na soluc¸a˜o do problema, isto e´, apo´s a fase transiente o corpo entraria em um
movimento harmoˆnico com frequeˆncia ω
s = s¯0e
i(ωt+δ) = s0e
i(ωt) (2.16)
onde:
s¯0 e´ a amplitude do movimento
s0 e´ a amplitude complexa
δ e´ a fase.
Soluc¸a˜o homogeˆnea
A soluc¸a˜o homogeˆnea e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o:
(m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.17)
e e´ da forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1e
t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) + a2e−t
√
(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33)
)
(2.18)
Para valores de b33 em que [b33/2(m + a33)]
2 − ρ g B/(m + a33) > 0 temos o movimento
decrescendo exponencialmente segundo 2.18.
Para pequenos valores de b33 em que [b33/2(m+a33)]
2−ρ g B/(m+a33) < 0 temos um sistema
pouco amortecido e o argumento das func¸o˜es exponenciais sera´ imagina´rio. A soluc¸a˜o toma
a forma:
s = e−b33/[2(m+a33)] t
(
a1 cos(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2
+a2 sin(t
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2
)
(2.19)
Se defirmos ω como frequeˆncia amortecida:
ω =
√
ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 (2.20)
12 Texto Preliminar, SH Sphaier
enta˜o teremos
s = e−b33/[2(m+a33)] t (a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt)) (2.21)
O valor de b33 para o qual
[b33/2(m+ a33)]
2 − ρ g B/(m+ a33) = 0 (2.22)
e´ chamado de amortecimento cr´ıtico.
b33,c = 2(m+ a33)ωn (2.23)
Definimos como ζ a relac¸a˜o entre o amortecimento b33 e o amortecimento cr´ıtico b33,c,
ζ =
b33
b33,c
(2.24)
Observemos que substituindo (2.9), (2.24) e (2.23) em (2.12) obtemos
s¨+ 2ζωns˙+ ω
2
ns = 0 (2.25)
Este e´ um formato compacto da uma equac¸a˜o diferencial que vimos acima. Trata-se de uma
equac¸a˜o ordina´ria a coeficientes constantes. Embora seja totalmente equivalente ao caso visto
acima, vamos aqui desenvolver novamente sua soluc¸a˜o, que e´ da forma
s = aeλt (2.26)
Substituindo esta expressa˜o em (2.29) obtemos, para a determinac¸a˜o de λ, a seguinte equac¸a˜o
do segundo grau:
λ2 + 2ζωnλ+ ω
2
n = 0 (2.27)
Assim, temos duas soluc¸o˜es na forma:
λ = −ζωn ± i
√
1− ζ2ωn (2.28)
Observemos que o crescimento ou decaimento do deslocamento, isto e´, o crescimento ou
decaimento de s ao longo do tempo, depende do fator ζ, relac¸a˜o entre o amortecimento do
sistema e o amortecimento cr´ıtico. Cabe entretanto, conceituar amortecimento cr´ıtico. Antes
pore´m observemos o comportamento da soluc¸a˜o para valores de ζ positivo, nulo e negativo.
Iniciemos abordando o caso em que ζ = 0.
s¨+ ω2ns = 0 (2.29)
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
Figura 2.2: Decremento Logar´ıtmico
Esta equac¸a˜o tem soluc¸a˜o na forma
s = a1e
iωnt + a2e
−iωnt (2.30)
Assim vemos que o corpo vai oscilar indefinidamente harmoˆnicamente na chamada frequ¨eˆncia
natural.
Caso ζ < 0, o movimento aumentara´ indefinidamente com o tempo. Trata-se de um sistema
com amortecimento negativo causando uma amplificac¸a˜o do movimento. Caso ζ > 0, o termo
exponencial atuara´ forc¸ando o decaimento do movimento.
Para o caso do amortecimento positivo, isto e´, ζ positivo, devemos distinguir treˆs casos. O
primeiro em que ζ < 1. O termo exponencial atuara´ como um regulador da amplitude do
movimento. Este regulador impo˜e um decaimento do movimento. O corpo oscila com a
frequeˆncia
ω =
√
1− ζ2ωn (2.31)
A figura 2.2 mostra este comportamento.
Para o caso em que ζ > 1 o sistema e´ fortemente amortecido. Na˜o ha´ oscilac¸a˜o. A soluc¸a˜o
14 Texto Preliminar, SH Sphaier
toma a forma
s = a1e
(
−ζ+
√
ζ2−1
)
ωnt + a2e
(
−ζ−
√
ζ2−1
)
ωnt (2.32)
No caso
em que ζ = 1 a expressa˜o (2.28) torna-se
λ = −ωn (2.33)
isto e´, a expressa˜o (2.26) fornece uma u´nica soluc¸a˜o.
s = ae−ωt (2.34)
Temos que providenciar uma segunda soluc¸a˜o. Como sabido do ca´lculo diferencial a soluc¸a˜o
homogeˆnea torna-se enta˜o:
s = (a1 + a2t)e
−ωt (2.35)
Observemos que, de forma geral, em um sistema massa-mola-amortecedor, podemos medir a
massa do corpo e o efeito de mola aplicando-se uma forc¸a e medindo-se a elongac¸a˜o da mola.
Conhecidos estes dois termos da equac¸a˜o diferencial do movimento, falta-nos determinar o
amortecimento do sistema. Atrave´s de uma experieˆncia e, determinando-se o logaritmo natu-
ral da relac¸a˜o entre duas amplitudes sucessivas, e´ poss´ıvel extrair-se o valor do amortecimento.
No caso de um corpo oscilando na superf´ıcie, podemos medir os efeitos de restaurac¸a˜o ou
calcula´-los atrave´s das linhas do corpo. Podemos determinar a massa do corpo, compondo a
massa de cada uma de suas partes, e calcular a massa adicional e o coeficiente de amortec-
imento de ondas atrave´s de me´todos matema´ticos. Na abordagem aqui encaminhada, na˜o
fazemos nenhuma menc¸a˜o a efeitos viscosos, que por efeitos locais, podem ser importantes.
Nestes casos, embora possamos determinar o amortecimento devido a formac¸a˜o de ondas,
e´ fundamental o teste do decremento logar´ıtmico para a determinac¸a˜o precisa dos efeitos
viscosos. Poder-se-ia perguntar enta˜o se sempre ter´ıamos que fazer o teste. Em termos
absolutos sempre seria necessa´rio, entretanto devemos inicialmente verificar se os efeitos vis-
cosos sa˜o importantes ou na˜o, e se os me´todos de ca´lculo das propriedades hidrodinaˆmicas,
massa adicional e amortecimento, para formas semelhantes levam a bons resultados ou na˜o.
Em geral para formas navais, somente o movimento de jogo apresenta efeitos viscosos im-
portantes. Costuma-se desenvolver testes experimentais, acumulando-se informac¸o˜es sobre o
amortecimento na forma de um percentual do amortecimento cr´ıtico do sistema. Isto e´, se o
amortecimento fosse igual ao cr´ıtico este seria dado por (2.23).
Para a determinac¸a˜o do decremento logar´ıtmico, admitamos que a soluc¸a˜o seja dada por:
s = Se−ζωnt
[
sin
(√
1− ζ2ωnt+ α
)]
(2.36)
onde S e α foram obtidos a partir de (2.18) e das condic¸o˜es de deslocamento s(t = 0) e
velocicades s˙(t = 0) iniciais.
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
A curva
s = Se−ζωnt (2.37)
tangencia a curva de resposta do sistema pro´ximo aos ma´ximos. O decremento logar´ıtmico
entre duas oscilac¸o˜es sucessivas e´ expresso por
δl = ln
s1
s2
= ln
e−ζωnt1
e−ζωn(t1+T )
= ln eζωnT = ζωnT (2.38)
Como o sistema oscila com frequeˆncia
ω = ωn
√
1− ζ2 (2.39)
o intervalo de tempo entre as duas oscilac¸o˜es sera´
T =
2pi
ωn
√
1− ζ2 (2.40)
e o decremento (ver figura 2.2):
δl =
2piζ√
1− ζ2 (2.41)
Em sistemas pouco amortecidos teremos enta˜o
δl = 2piζ (2.42)
Soluc¸a˜o Particular
Substituindo (2.16) em (2.15) obtemos a amplitude complexa s0 dada por
s0 =
1
ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33F0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 − (i ω b33)2F0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33
(ρ g B − ω2 (m + a33))2 + (ω b33)2F0 (2.43)
que pode ser escrita em termos do mo´dulo | s0 | e da fase δ por
s0 = (s0,R + i s0,I) e
i ω t = | s0 | e(iω t+ δ) (2.44)
onde:
16 Texto Preliminar, SH Sphaier
freq / freq natural
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zeta = 0.05
zeta = 0.10
zeta = 0.15
zeta = 0.20
zeta = 0.25
zeta = 0.30
zeta = 0.35
zeta = 0.50
zeta = 0.75
zeta = 1.00
Figura 2.3: Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao
s0,R e´ a parte real da amplitude complexa,
s0,I e´ a parte imagina´ria.
Multiplicando s0 pelo seu conjugado s
∗
0 obtemos o mo´dulo da soluc¸a˜o:
| s0 |2= s0 · s∗0
=
ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33(
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
)2 [ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33] | F0 |2
=
1
[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2
| F0 |2 (2.45)
onde
| F0 |2= F0 · F ∗0 (2.46)
O aˆngulo de fase δ e´ dado por
δ = arctan
F0,R (ρ g B − ω2 (m + a33)) + F0,I (ω b33)
F0,I (ρ g B − ω2 (m + a33)) − F0,R (ω b33) (2.47)
O comportamento da soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ mostrado nas figuras 2.3 e 2.4. Esta
soluc¸a˜o e´ chamada de fator de amplificac¸a˜o, func¸a˜o de transfereˆncia ou RAO (Operador de
Amplitude de Resposta).
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
freq / freq natural
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-180
-150
-120
-90
-60
-30
0
zeta = 0.05
zeta = 0.10
zeta = 0.15
zeta = 0.20
zeta = 0.25
zeta = 0.30
zeta = 0.35
zeta = 0.50
zeta = 0.75
zeta = 1.00
Figura 2.4: Aˆngulo de Fase
2.3 Movimento de Jogo Puro
Estudemos agora o problema de oscilac¸a˜o angular de um corpo bidimensional junto a su-
perf´ıcie livre. Consideremos que incide uma onda monocroma´tica que, impo˜e um momento
de excitac¸a˜o harmoˆnico.
Mexc =M0e
iωt = (M0,R + iM0,I)e
iωt (2.48)
O corpo, reagindo a este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia
da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es
sobre o corpo. O momento da forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo, e´ da
forma
Mrad = −a44η¨4 − b44η˙4 (2.49)
Com o deslocamento do corpo de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, atuara´ sobre ele um momento
restaurador resultante da ac¸a˜o das forc¸as devidas ao peso e a`s presso˜es hidrosta´ticas.
Admitamos que a sec¸a˜o execute uma rotac¸a˜o η4 em torno do ponto O, ver figura 2.5.
18 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.5: Banda de uma sec¸a˜o naval
O centro de carena, localizado inicialmente no ponto B, desloca-se para o ponto B
′
. A vertical
passando por B
′
encontra o eixo Oz no ponto M , o metacentro. Nesta vertical temos o ponto
B
′
, de forma tal que B′B e´ um segmento horizontal. Valem as relac¸o˜es:
A1C1 = A2C2 =
b
2
tan(η4) (2.50)
GB = BM −GM (2.51)
BB′ = (GM +GB) sin(η4) (2.52)
O deslocamento do centro de carena do ponto B para o ponto B
′
, deve-se ao ganho da a´rea do
triaˆngulo C1OA1 e a` perda de a´rea do triaˆngulo C2OA2. A a´rea de cada uma destas cunhas
e´ dada por
1
2
b
2
b
2
tan(η4) =
1
8
b2 tan(η4) (2.53)
Assim o peso deslocado e´ de ρg 1
8
b2 tan(η4) para cada cunha.
As duas cunhas geram um momento
2ρg
∫ b/2
0
yy tan(η4)dy = 2ρg tan(η4)
∫ b/2
0
y2dy
= 2ρg tan(η4)
y3
3
|b/20 = ρg tan(η4)
b3
12
(2.54)
Texto Preliminar, SH Sphaier 19
Dividindo o momento pelo peso temos o brac¸o de momento igual a b/3.
Considerando o empuxo total ser composto pelo empuxo aplicado em B, somado ao empuxo
devido ao triaˆngulo C1OA1 e subtra´ıdo do empuxo devido ao triaˆngulo C2OA2 teremos os
seguintes momentos atuantes:
M1 = −GB sin(η4)mg (2.55)
M2 = ρg tan(η4)
b3
12
(2.56)
Por outro lado, temos que a distaˆncia horizontal e´ dada por:
BB′′ = (ρg tan(η4)
b3
12
)/mg (2.57)
Assim
(GM +GB) sin(η4) = (ρg tan(η4)
b3
12
)/mg (2.58)
Compondo os dois momentos teremos o momento restaurador Mrest dado por:
Mrest =M1 +M2 = ρg tan(η4)
b3
12
−GBmg sin(η4)
= mg(GM +GB) sin(η4)−GBmg sin(η4) = mgGM sin(η4) (2.59)
A distaˆncia GM e´ chamada de altura metaceˆntrica e mede a capacidade que um corpo tem
para retornar a sua posic¸a˜o de equil´ıbrio.
Admitindo pequenos deslocamentos, sin(η4) ≈ η4, e reunindo todas estas forc¸as, segue da
segunda lei de Newton, para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento angular:
I44η¨4 =Mrad +Mrest +Mexc (2.60)
ou
(I44 + a44)η¨4 + b44η˙4 +mgGMη4 =Mexc (2.61)
Da mesma forma que no movimento vertical, esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de se-
gunda ordem a coeficientes
constantes, na˜o homogeˆnea. Sua soluc¸a˜o e´ a soma de uma soluc¸a˜o
homogeˆnea e uma soluc¸a˜o particular. Admitindo que a contribuic¸a˜o da soluc¸a˜o homogeˆnea
decai rapidamente, o corpo executara´ movimento harmoˆnico na mesma frequeˆncia das ondas
incidentes. Todo o desenvolvimento utilizado na soluc¸a˜o do movimento vertical e´ aplicado
diretamente, pois as equac¸o˜es diferenciais sa˜o correspondentes.
20 Texto Preliminar, SH Sphaier
2.4 Movimento Lateral Puro
As equac¸o˜es diferenciais que descrevem os movimentos de oscilac¸a˜o vertical e angular sa˜o
semelhantes. Em ambos os movimentos temos inclusive termos de restaurac¸a˜o. Ja´ no movi-
mento horizontal tal comportamento na˜o se da´. Na˜o ha´ restaurac¸a˜o. Se quisermos utilizar
o conceito de frequeˆncia natural, veremos que esta sera´ nula. Consideremos que a onda
monocroma´tica incidente impo˜e uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.62)
O corpo reagindo a esta forc¸a entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia da
excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es sobre
o corpo. A forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo e´ da forma
Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 (2.63)
onde η2 e´ o deslocamento lateral do corpo.
Aplicando a segunda lei de Newton para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento linear
temos:
(m+ a22)η¨2 + b22η˙2 = Fexc (2.64)
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem a coeficientes constantes, na˜o
homogeˆnea, sendo que e´ nulo o coeficiente do termo de grau zero.
2.5 Movimentos Simultaˆneos Lateral e de Jogo
Consideremos que uma onda monocroma´tica incide sobre a sec¸a˜o impondo uma distribuic¸a˜o de
presso˜es sobre ela. Esta distribuic¸a˜o na˜o ira´ somente induzir forc¸a ou momento de excitac¸a˜o,
pore´m ambos e simultaneamente. Sendo a onda harmoˆnica, a forc¸a e o momento de excitac¸a˜o
sera˜o harmoˆnicos.
Fexc = F0e
iωt = (F0,R + i F0,I)e
iωt (2.65)
Mexc =M0e
iωt = (M0,R + iM0,I)e
iωt (2.66)
O corpo, reagindo a esta forc¸a e este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma
frequeˆncia da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem
presso˜es sobre o corpo.
Ao executar um movimento lateral a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o na forma de uma forc¸a na
direc¸a˜o horizontal e um momento em torno do ponto O. Assim sendo, a sec¸a˜o tendera´ a ter
dois movimentos acoplados. De forma similar, ao executar movimentos em torno do ponto O
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o hidrodinaˆmica na forma de uma forc¸a horizontal e de um momento
em torno do ponto O. Podemos dizer que ao executar os movimentos em conjuntos, atuara˜o
sobre a sec¸a˜o forc¸as e momentos da forma
Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 (2.67)
Mrad = −a42η¨2 − b42η˙2 − a44η¨4 − b44η˙4 (2.68)
onde η2 e η4 sa˜o respectivamente os movimentos lateral e de jogo.
Observando que so´ ha´ momento de restaurac¸a˜o, na˜o ha´ forc¸a de restaurac¸a˜o, da aplicac¸a˜o das
leis de conservac¸a˜o de movimento linear e de movimento angular, segunda lei de Newton, as
equac¸o˜es de movimento sa˜o escritas na forma:
mη¨2 −mZgη¨4 = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 + fexc,2 (2.69)
Ixxη¨4 −mZgη¨2 = −a44η¨4 − b44η˙4 − a42η¨2 − b42η˙2 −mgGMη4 + fexc,4 (2.70)
ou
(m+ a22)η¨2 + b22η˙2 + (a24 −mZg)η¨4 + b24η˙4 = fexc,2 (2.71)
(I+a44)η¨4+b44η˙4+mgGMη4+(a42−mZg)η¨2+b42η˙2 = fexc,4 (2.72)
Este e´ um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de segunda ordem acopladas a coefi-
cientes constantes, na˜o homogeˆneas.
2.6 Hipo´tese de Froude-Krylov para o Ca´lculo de Forc¸a
de Onda
Vimos acima o problema de radiac¸a˜o. Um corpo oscila junto a` superf´ıcie livre gera ondas
que se propagam carregando energia. Determinamos a soluc¸a˜o para o caso de um batedor de
ondas como exemplo ba´sico. Originalmente na˜o existiam ondas no meio fluido. Vamos agora
estudar o problema da ac¸a˜o de ondas em um corpo fixo junto a` superf´ıcie livre.
Consideremos um retaˆngulo flutuando na superf´ıcie livre e determinemos a forc¸a de onda
atuante sobre ele segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, isto e´, a forc¸a devida a onda inci-
dente. Segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, as forc¸as hidrodinaˆmicas atuando em um corpo
flutuante devem-se unicamente a` ac¸a˜o da onda incidente. Despreza-se o efeito da difrac¸a˜o das
ondas incidentes.
22 Texto Preliminar, SH Sphaier
A forc¸a hidrodinaˆmica e´ calculada integrando-se as presso˜es devidas a`s ondas in-
cidentes atuando sobre a superf´ıcie imagina´ria dada pela posic¸a˜o instantaˆnea a
ser ocupada pelo corpo.
A pressa˜o e´ dada pela integral da Equac¸a˜o de Euler linearizada
p = −ρ∂φ
∂t
− ρgz (2.73)
e a forc¸a e´ enta˜o
F = Fd + Fe = −ρ
∫
S0
(
∂φ
∂t
+ gz
)
nds (2.74)
onde Fd representa a contribuic¸a˜o dinaˆmica
Fd = −ρ
∫
S0
(
∂φ
∂t
)
nds (2.75)
e Fe representa a contribuic¸a˜o esta´tica
Fe = −ρ
∫
S0
(gz)nds (2.76)
Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a` onda incidente:
φ = φinc = iA(z) e
i(ωt−k0x) (2.77)
onde, para a´guas profundas:
A(z) =
ζ0g
ω
ek0z (2.78)
Enta˜o
pd = −ρ∂φinc
∂t
= −ρiA(z)iωei(ωt−k0x)
= ωρA(z)[cos(ωt− k0x) + i sin(ωt− k0x)] (2.79)
2.6.1 Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares
A figura (2.6) mostra o retaˆngulo na superf´ıcie livre. O centro do retaˆngulo encontra-se
localizado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B,C e D. As normais voltadas
para fora do meio fluido esta˜o indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e´ limitado
pelos pontos A e B, S2 e´ limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D.
Texto Preliminar, SH Sphaier 23
Figura 2.6: Cancelamento em Formas Retangulares
24 Texto Preliminar, SH Sphaier
Observando a figura 2.6 podemos escrever a expressa˜o da forc¸a hidrodinaˆmica na forma
Fd = ωρ
∫ D
A
A(z) ei(ωt−k0x)nds (2.80)
Fd = ωρ
∫ B
A
A(z) ei(ωt−k0x)i(−dz)
+ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)k(dx)
+ωρ
∫ D
C
A(z) ei(ωt−k0x)(−i)(dz) (2.81)
Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos:
Forc¸a Horizontal
Fd,x = ωρ
{∫ −T
0
A(z) ei[ωt−k0(x0−b/2)](−)dz −
∫ 0
−T
A(z) ei[ωt−k0(x0+b/2)]dz
}
(2.82)
Fd,x = ωρ
{
ei[ωt−k0(x0−b/2)] − ei[ωt−k0(x0+b/2)]
}∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
{
ei[(ωt−k0x0)+k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)−k0b/2]
}∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0)
{
ei(k0b/2) − e−i(k0b/2)
}
= 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.83)
e assim
Fd,x = 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.84)
Como, para a´guas profundas
A(z) =
ζ0g
ω
ek0z (2.85)
resolvendo a integrac¸a˜o obtemos:
Fd,x = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
[i ei(ωt−k0x0)] (2.86)
Texto Preliminar, SH Sphaier 25
Para ondas longas
[1− e−k0T ]→ 0 (2.87)
e a forc¸a anula-se.
Observemos o caso em que x0 e´ nulo. A forc¸a horizontal tem intensidade:
Fd,x,0 = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
(2.88)
e assim pode ser escrita como:
Fd,x = Fd,x,0 [i e
i(ωt)] = Fd,x,0 e
i(ωt−pi/2) (2.89)
Podemos tambe´m observar que a forc¸a horizontal e´ regida pelo seno de ωt. A forc¸a horizontal
horizontal tem seu ma´ximo defasado do ma´ximo da onda. Vemos que a forc¸a horizontal e´
ma´xima quando temos um no´ com zero descendente em x0.
Forc¸a Vertical
Fd,z = ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)dx = ωρA(−T )
∫ x0+b/2
x0−b/2
ei(ωt−k0x)dx
= ωρA(−T ) i e
i(ωt−k0x)
k0
|x0+b/2x0−b/2
=
ωρA(−T )
k0
i{ ei[ωt−k0(x0+b/2)] − ei[ωt−k0(x0−b/2)]}
=
ωρA(−T )
k0
i{ ei[(ωt−k0x0)−k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)+k0b/2]}
=
ωρA(−T )
k0
i ei(ωt−k0x0){ e−ik0b/2 − eik0b/2} (2.90)
e finalmente
Fd,z = 2
ωρA(−T )
k0
ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2) (2.91)
Podemos observar que a forc¸a vertical e´ regida pelo cosseno de ωt. Isto e´, a forc¸a vertical
passara´ por um ma´ximo sempre que a amplitude da onda passar por um ma´ximo em x0.
Lembrando que em grandes profundidades A(z) = ζ0 g e
k0z/ω enta˜o:
Fd,z = ρ g ζ0e
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0/2
(2.92)
26 Texto Preliminar, SH Sphaier
Multiplicando e dividindo por b obtemos:
Fd,z = ρ g ζ0be
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0b/2
= ρ g b ζ(t, x0) e
−k0T sin(k0b/2)
k0b/2
(2.93)
Esta expressa˜o indica que a forc¸a esta´ em fase com a elevac¸a˜o da onda em x0 e tem uma forma
similar a uma forc¸a hidrosta´tica como se o corpo afundasse o que a onda se eleva corrigida
de:
1. o efeito do decaimento da pressa˜o dinaˆmica com a profundidade
2. da variac¸a˜o da forma da onda e da pressa˜o com o cosseno de k0x
Caso a onda seja muito longa
k0b/2 = 2pib/2/L0 → 0, (2.94)
e−k0T = e−2piT/L0 → 1 (2.95)
e
sin(k0b/2)
k0b/2
=
sin(w)
w
→ 1 (2.96)
Assim,
Fd,z = ρ g ζ0b e
i(ωt−k0x0) = ρ g b ζ(t, x0) (2.97)
e a forc¸a atuante tem uma semelhanc¸a com uma forc¸a hidrosta´tica com variac¸a˜o de afunda-
mento igual a ζ(t) no ponto x0.
2.6.2 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em um Retaˆngulo
Acima obtivemos as seguintes expresso˜es para as forc¸as de Froude-Krylov sobre um retaˆngulo:
Fd,x = ρgb[1− e−k0T ] sin(k0b/2)
(k0b/2)
i ei(ωt−k0x0) (2.98)
Fd,z = ρ g ζ0be
−k0T ei(ωt−k0x0)
sin(k0b/2)
k0b/2
(2.99)
Vemos que ambas expresso˜es conte´m o termo
sin(k0b/2)
k0b/2
(2.100)
Texto Preliminar, SH Sphaier 27
Como
k0b
2
=
2pib
2L0
=
pib
L0
(2.101)
onde L0 e´ o comprimento da onda, a relac¸a˜o entre a boca do retaˆngulo e o comprimento da
onda podera´, por um efeito de forma acarretar que a amplitude da forc¸a seja nula. Assim as
forc¸as horizontal e vertical tera˜o amplitudes nulas se
b
L
= n n = 1, 2, .... (2.102)
2.6.3 Extensa˜o da expressa˜o de Froude-Krylov para o caso de um
Navio com fundo plano horizontal
Digamos que temos agora um navio com fundo chato em que as ondas se propagam na direc¸a˜o
do eixo longitudinal do navio. O problema e´ semelhante ao anterior, pore´m a boca torna-se
o comprimento do navio e ao longo da boca, para um x fixo a pressa˜o e´ constante. O sistema
de refereˆncia agora e´ Oxyz com Ox na direc¸a˜o longitudinal e Oy na direc¸a˜o transversal. O
navio tem boca B e comprimento L. A expressa˜o da forc¸a vertical e´ dada por:
Fd,z = ωρ
∫
S
A(z) ei(ωt−k0x)dxdy (2.103)
como a pressa˜o na˜o varia com a boca
Fd,z = ωρA(−T )B
∫
L
ei(ωt−k0x)dx (2.104)
A exponencial no tempo pode ser retirada da integral e enta˜o:
Fd,z = ωρA(−T ) eiωt
∫
L
B(x) eik0xdx
= ωρA(−T ) eiωt
∫
L
B(x)[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.105)
No caso de um casco em forma de caixa B(x) e´ constante e enta˜o:
Fd,z = ωρA(−T )B eiωt
∫
L
[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.106)
2.6.4 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas
Semisubmers´ıveis
Vimos que e´ poss´ıvel cancelar as forc¸as e ou os momentos hidrodinaˆmicos em estruturas
flutuantes do tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da´ para estruturas em que alguns
28 Texto Preliminar, SH Sphaier
membros afloram da superf´ıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente
no meio fluido, quando as ondas sa˜o longas.
A figura 2.7 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submers´ıvel em um plano. As colunas
esta˜o indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta´ na cota z2.
A parte superior do pontoon esta´ na cota z1. As bases das colunas tem comprimento l1 e o
comprimento do pontoon tem comprimento l2.
Figura 2.7: Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis
Texto Preliminar, SH Sphaier 29
A pressa˜o e´ composta por duas parcelas, esta´tica e dinaˆmica. A essas soma-se a pressa˜o
atmosfe´rica, que normalmente e´ assumida ser igual a zero.
p = patm + pest + pdin (2.107)
A pressa˜o esta´tica e´ dada por:
p = ρgz (2.108)
e com ela obte´m-se que a forc¸a de empuxo e´ o peso do volume imerso. Nas colunas a forc¸a
de empuxo e´:
E =
∫
S
pestndS =
∫
S
ρgz2(2l1 + l2)k−
∫
S
ρgz1(l2)k (2.109)
A pressa˜o na parte superior do pontoon e´ menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre
uma forc¸a para cima. A pressa˜o dinaˆmica e´ dada por:
pdin = −ρ∂φ(x, z, t)
∂t
= −ρ∂φ(x, 0, t)
∂t
ek0z (2.110)
e como o perfil da onda e´ dado por:
ζ = −1
g
∂φ(x, 0, t)
∂t
= ζ0 cos(ωt− k0x) (2.111)
enta˜o
∂φ(x, 0, t)
∂t
= −gζ0 cos(ωt− k0x) (2.112)
e
pdin = ρgζ0 cos(ωt− k0x)ek0z (2.113)
[Obs: o mais correto seria trabalhar com a forma exponencial, incluindo a parte imagina´ria
na ana´lise e somente no final pegar o mo´dulo e a fase. Entretanto as concluso˜es seriam as
mesmas]
Na situac¸a˜o em que a crista de uma onda longa passa pelo centro geome´trico da plataforma,
toda a plataforma estara´ sujeita a presso˜es como se estivesse toda ela em situac¸a˜o de crista. A
situac¸a˜o em que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posic¸a˜o x0, corresponde
a
Θ = ωt0 − k0x0 = ωt0 − 2pi
L
x0 = n · 2 · pi (2.114)
onde n e´ um inteiro. Se a onda e´ longa em relac¸a˜o ao tamanho da estrutura, e a crista se
localiza no centro da estrutura, enta˜o
l1 + l2 + l1
L
<< 1 (2.115)
30 Texto Preliminar, SH Sphaier
Θ = ωt− k0x = ωt− k0x0 − 2pix− x0
L
≈ 1− 2pix− x0
L
(2.116)
em toda a regia˜o da estrutura, e
pdin ≈ ρgζ0ek0z(1− 2pix− x0
L
) (2.117)
Com a pressa˜o dinaˆmica determina-se agora as forc¸as nas colunas e no pontoon
fC1 =
∫
l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.118)
fC2 =
∫
l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.119)
fPON =
∫
l2
pdin(z2)dx−
∫
l2
pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(ek0z2 − ek0z1) (2.120)
Como z1 e z2 teˆm valores negativos e o mo´dulo de z2 e´ maior que o de z1 enta˜o a forc¸a
dinaˆmica no pontoon aponta para baixo.
Para efeito de projeto pode-se determinar mais precisamente as cotas e as dimenso˜es da
estrutura resolvendo-se as integrais das presso˜es exatamente. Inicialmente com o volume, a
a´rea de linha da´gua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequeˆncia
natural. Tenta-se fazer com que este o per´ıodo natural na˜o venha a estar contido na faixa de
frequeˆncia de excitac¸a˜o do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo per´ıodo
coincida com o per´ıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimenso˜es
principais. Caso as premissas impostas a volume, a´rea de linha da a´gua e formato na˜o sejam
satisfeitas, faz-se um ajuste na geometria e retorna-se ao in´ıcio do problema.
Cap´ıtulo 3
Dinaˆmica de um Corpo Tridimensional
Esbelto em Ondas
3.1 Introduc¸a˜o
No cap´ıtulo anterior analisamos o problema de sec¸o˜es navais oscilando na superf´ıcie livre.
Observamos que as ondas incidentes atuando sobre o corpo se difratam, e as ondas formadas
desta composic¸a˜o, onda incidente e onda difratada, geram forc¸as sobre a sec¸a˜o. Essas forc¸as
obrigam o corpo a oscilar periodicamente e os movimentos oscilato´rios do corpo geram ondas.
Como reac¸a˜o, aparecem forc¸as atuando sobre o corpo dadas pela soma dos produtos: massa
adicional vezes acelerac¸a˜o e amortecimento vezes velocidade. Ale´m disto, os movimentos do
corpo provocam desiquil´ıbrio entre as forc¸as e momentos devidos a` ac¸a˜o da gravidade sobre
a massa do corpo e as presso˜es atuantes sobre a superf´ıcie do casco.
Neste cap´ıtulo vamos estender nossa ana´lise ao problema tridimensional. Vamos nos ater a`
ondas monocroma´ticas e corpos esbeltos.
O objetivo do presente estudo e´ o desenvolvimento das equac¸o˜es de movimento de um corpo
esbelto r´ıgido flutuante em movimento em presenc¸a de ondas.
Vamos equacionar
o problema, de forma heur´ıstica, utilizando as concluso˜es obtidas ate´ agora.
O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es. Contruir uma expressa˜o para
o carregamento em cada sec¸a˜o, levando em considerac¸a˜o a ac¸a˜o da gravidade na massa da
sec¸a˜o, a pressa˜o hidrosta´tica, as presso˜es dinaˆmicas devidas a`s ondas incidente, difratada e
radiada, e a ine´rcia da sec¸a˜o. A seguir aplicamos as leis de conservac¸a˜o da quantidade de
movimento linear (segunda lei de Newton) e de forma similar a de quantidade de movimento
angular. Assim, construimos as equac¸o˜es de movimento descrevendo a dinaˆmica do corpo em
31
32 Texto Preliminar, SH Sphaier
ondas.
3.2 Movimentos vertical e de rotac¸a˜o em torno do eixo
lateral
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫
L
δma =
∫
L
δp+
∫
L
δe+
∫
L
δfhidrodinamica (3.1)
onde:
a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a con-
tribuic¸a˜o do movimento vertical η3, e a contribuic¸a˜o do movimento angular de arfagem
η5
a = (η¨3 − xη¨5)k (3.2)
δm e´ a massa da sec¸a˜o
δp e´ o peso da sec¸a˜o
δp = δmgk (3.3)
δe e´ o empuxo da sec¸a˜o
δe = ρgB(η3 − xη5)k+ δe0 (3.4)
δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno
de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o
δfhidrodinamica = −a33(η¨3 − xη¨5)k− b33(η˙3 − xη˙5)k+ ρζ0fexck (3.5)
ζ0 e´ a amplitude da onda incidente.
a forc¸a de excitac¸a˜o e´ a soma da ac¸a˜o da onda incidente somada a` ac¸a˜o da onda difratada
ρζ0fexck = ρζ0fexc + fdifk (3.6)
Texto Preliminar, SH Sphaier 33
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular indica:∫
L
r× δma =
∫
L
r× δp+
∫
L
r× δe+
∫
L
r× δfhidrodinamica (3.7)
onde:
r ≈ xi.
Deve-se observar que δe0 6= δp em cada sec¸a˜o, pore´m∫
L
δe0 =
∫
L
δp (3.8)
∫
L
r× δe0 =
∫
L
r× δp (3.9)
3.2.1 Equac¸o˜es dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch
A partir do deslocamento de uma sec¸a˜o a uma distaˆncia x da origem do sistema pode-se obter
as velocidades e as acelerac¸o˜es da sec¸a˜o:
η(x) = η3 − x sin(η5) ≈ η3 − xη5 (3.10)
˙η(x) = η˙3 − xη˙5 (3.11)
¨η(x) = η¨3 − xη¨5 (3.12)
A partir das forc¸as acima mencionadas e com as expresso˜es dos deslocamentos, das velocidades
e das acelerac¸o˜es, pode-se determinar a carga por sec¸a˜o:
q(x) = −m(x) · η¨ − a33(x) · η¨ − b33(x) · η˙ + p(x) + e0(x)− ρgB(x) · η + ρζ0(finc + fdif )
= −m(x) · (η¨3 − xη¨5)− a33(x) · (η¨3 − xη¨5)− b33(x) · (η˙3 − xη˙5)
+p(x) + e0(x)− ρgB(x) · (η3 − xη5) + ρζ0(finc + fdif ) (3.13)
A integral do carregamento e´ a equac¸a˜o de equil´ıbrio de forc¸as e a integral da cargas mulplicada
pela distaˆncia ao centro e´ a equac¸a˜o de momentos:∫
L
q(x)dx = +
∫
L
[−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx
+
∫
L
[−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+
∫
L
[−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx
34 Texto Preliminar, SH Sphaier
+
∫
L
[p(x) + e0(x)]dx+
∫
L
[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+
∫
L
ρζ0[finc + fdif ]dx (3.14)∫
L
xq(x)dx = +
∫
L
x[−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx
+
∫
L
x[−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+
∫
L
x[−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx
+
∫
L
x[p(x) + e0(x)]dx+
∫
L
x[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+
∫
L
xρζ0[finc + fdif ]dx (3.15)
Desenvolvendo as duas equac¸o˜es, obtemos as equac¸o˜es dos movimentos acoplados no plano
vertical:
(A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.16)
(A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 + C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 + C55η5 = F5 (3.17)
onde os coeficientes hidrodinaˆmicos e hidrosta´ticos sa˜o dados por:
A33 =
∫
L
a33dx B33 =
∫
L
b33dx C33 = ρg
∫
L
B(x)dx
A35 = −
∫
L
x a33dx B35 = −
∫
L
x b33dx C35 = −ρg
∫
L
x B(x)dx
A53 = A35 B53 = B35 C53 = C35
A55 =
∫
L
x2 a33dx B55 =
∫
L
x2 b33dx C55 = ρg
∫
L
x2 B(x)dx
As forc¸as de excitac¸a˜o sa˜o dadas por:
F3 = ρζ0
∫
L
fexcdx (3.18)
F5 = ρζ0
∫
L
−xfexcdx (3.19)
onde:
fexc e´ a soma das contribuic¸o˜es devidas a` onda incidente finc e a` onda difratada fdif ,
Xg e´ a posic¸a˜o longitudinal do centro de gravidade.
Texto Preliminar, SH Sphaier 35
3.2.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento
Inicialmente vamos observar que ate´ enta˜o consideramos o navio como uma se´rie de sec¸o˜es,
calculamos as cargas nas sec¸o˜es e integramos ao longo do comprimento. Para determinac¸a˜o
das cargas detrminamos as massas adicionais, os amortecimentos e as forc¸as de restaurac¸a˜o
e de excitac¸a˜o em cada sec¸a˜o. Podemos fazer o mesmo atrave´s de me´todos tridimensionais.
Assim, A33, B33, C33, A35, B35, C35, A53, B53, C53, A55, B55, C55, F3 e F5 sa˜o calculados por
me´todos tridimensionais integrando-se as presso˜es dinaˆmicas e esta´ticas como anteriormente,
pore´m sobre uma superf´ıcie molhada do corpo na posic¸a˜o me´dia. As presso˜es dinaˆmicas sa˜o
obtidas da soluc¸a˜o de problemas tridimensionais. Obtemos como equac¸o˜es de movimento o
sistema.
(A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.20)
(A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 +C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 +C55η5 = F5 (3.21)
As equac¸o˜es acopladas que regem os movimentos vertical e de arfagem, sa˜o equac¸o˜es diferen-
ciais ordina´rias de segunda ordem a coeficientes constantes. Admitindo que a onda incidente
e´ harmoˆnica, e que a fase transiente ja´ tenha sido superada, o processo entra em regime per-
manente; as ondas difratadas tambe´m o sera˜o harmoˆnicas. As presso˜es atuantes sobre o corpo
tambe´m tera˜o um carater harmoˆnico e consequentemente as forc¸as e momentos de excitac¸a˜o
tera˜o o mesmo comportamento e neste regime permanente a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial,
que rege o movimento e´ descrita pela soluc¸a˜o particular.
Assim, as forc¸as e momentos sa˜o dados por Fi,0e
iω e as soluc¸o˜es por:
ηj = ηj,0e
iωt (3.22)
Substituindo (3.22) nas equac¸o˜es de movimento no plano longitudinal e definindo
P = C33 − ω2(A33 +M) + iωB33 (3.23)
Q = C35 − ω2(A35 −MXg) + iωB35 (3.24)
R = C53 − ω2(A53 −MXg) + iωB53 (3.25)
S = C55 − ω2(A55 + Iyy) + iωB55 (3.26)
obtemos
Pη3,0e
iωt +Qη5,0e
iωt = F3,0e
iωt (3.27)
36 Texto Preliminar, SH Sphaier
Rη3,0e
iωt + Sη5,0e
iωt = F5,0e
iωt (3.28)
Simplificando o termo eiω, temos um sistema de duas equac¸o˜es a duas inco´gnitas, cujas
soluc¸o˜es sa˜o dadas por:
η3,0 = (F3,0 · S − F5,0 ·Q)/DEN (3.29)
η5,0 = (P · F5,0 −R · F3,0)/DEN (3.30)
onde:
DEN = P · S −R ·Q (3.31)
3.3 Movimentos lateral, de rotac¸a˜o em torno do eixo
Oz e de jogo
Vamos equacionar o problema, de forma semelhante ao que fizemos no caso dos movimentos
vertical e de arfagem acoplados. O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es,
aplicar as leis de conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton) e
de forma similar a de quantidade de movimento angular para os movimentos de rotac¸a˜o e de
jogo.
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫
L
δma =
∫
L
δfhidrodinamica (3.32)
onde:
a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a
contribuic¸a˜o do movimento vertical η2, e a contribuic¸a˜o do movimento de rotac¸a˜o η6
a = (η¨2 + xη¨6)k (3.33)
δm e´ a massa da sec¸a˜o
δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno
de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o
δfhidrodinamica = [−a22(η¨2 + xη¨6)− b22(η˙2 + xη˙6)− a24η¨4 − b24η˙4 + ρζ0fexc,2] j (3.34)
Assim,∫
L
δm(η¨2−Zgη¨4+xη¨6) =
∫
L
(−a22[η¨2+xη¨6]−b22[η˙2+xη˙6]−a24η¨4−b24η˙4+ρζ0fexc,2)dx (3.35)
Texto Preliminar, SH Sphaier 37
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:
k ·
∫
L
r× [δm(η¨2
+ xη¨6 − zm(x)η¨4)j] = k ·
∫
L
r× δfhidrodinamica (3.36)
De acordo com nossa aproximac¸a˜o, em que estamos considerando o corpo esbelto vale r ≈ xi,
e enta˜o
MXgη¨2 + Izzη¨6 − Ixzη¨4 =∫
L
[−a22(xη¨2 + x2η¨6)− b22(xη˙2 + x2η˙6)− a24xη¨4 − b24xη˙4 + ρζ0xfexc,2] dx (3.37)
A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:∫
L
(δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6)
= i ·
(∫
L
δmhidrodinamica +
∫
L
δmpeso +
∫
L
δmhidrostatica
)
(3.38)
ou ∫
L
(δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6)
=
∫
L
[−a44η¨4−b44η˙4−a42(η¨2+xη¨6)−b42(η˙2+xη˙6)]dx−GM
∫
L
δmgdxη4+
∫
L
fexc,4dx (3.39)
3.3.1 Equac¸o˜es de movimento no plano horizontal
(A22 +M)η¨2 +B22η˙2 + (A24 −MZg)η¨4 +B24η˙4 + (A26 +MXg)η¨6 +B26η˙6 = F2 (3.40)
(A42−MZg)η¨2+B42η˙2+(A44+Ixx)η¨4+B44η˙4+C44η4+(A46−Ixz)η¨6+B46η˙6 = F4 (3.41)
(A62 +MXg)η¨2 +B62η˙2 + (A64 − Ixz)η¨4 +B64η˙4 + (A66 + Izz)η¨6 +B66η˙6 = F6 (3.42)
sendo
38 Texto Preliminar, SH Sphaier
A22 =
∫
L
a22dx B22 =
∫
L
b22dx
A26 = A62 =
∫
L
x a22dx B26 = B62 =
∫
L
x b22dx
A66 =
∫
L
x2 a22dx B66 =
∫
L
x2 b22dx
A24 = A42 =
∫
L
a24dx B24 = B42 =
∫
L
b24dx
A44 =
∫
L
a44dx B44 =
∫
L
b44dx
A46 = A64 =
∫
L
x a24dx B46 = B64 =
∫
L
x b24dx
C044 = ρ g∆ ¯GMT
Iij - momentos e produtos de ine´rcia
M - massa do corpo
(Xg, Yg, Zg) - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade
3.3.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento
De forma semelhante ao que foi feito para os movimentos acoplados vertical e de arfagem,
vamos supor que separamos a fase transiente, que ja´ estamos na fase permanente, onde as
ondas tem carater harmoˆnico, as forc¸as e os momentos de excitac¸a˜o tambe´m o tem, e o corpo
executa movimentos harmoˆnicos. Definindo
P = C22 − ω2(A22 +M) + iωB22 (3.43)
Q = C24 − ω2(A24 −MZg) + iωB24 (3.44)
R = C26 − ω2(A26 +MXg) + iωB26 (3.45)
S = C42 − ω2(A42 −MZg) + iωB42 (3.46)
T = C44 − ω2(A44 + Ixx) + iωB44 (3.47)
U = C46 − ω2(A46 − Ixz) + iωB46 (3.48)
V = C62 − ω2(A62 +MXg) + iωB62 (3.49)
W = C64 − ω2(A64 − Ixz) + iωB64 (3.50)
X = C66 − ω2(A66 + Izz) + iωB66 (3.51)
Texto Preliminar, SH Sphaier 39
e das equac¸o˜es de movimento no plano horizontal obtemos:
Pη2,0e
iω +Qη4,0e
iω +Rη6,0e
iω = F2,0e
iω (3.52)
Sη2,0e
iω + Tη4,0e
iω + Uη6,0e
iω = F4,0e
iω (3.53)
V η2,0e
iω +Wη4,0e
iω +Xη6,0e
iω = F6,0e
iω (3.54)
Simplificando o termo eiω e resolvendo o sistema obtemos
η2 = (F2 · T ·X +Q · U · F6 +R · F4 ·W − F2 · T ·R−W · U · F6 −X · F4 ·Q)/DEN (3.55)
η6 = (P · T · F6 +Q · F4 · V + F2 · S ·W − V · T · F2 −W · F4 · P − F6 · S ·Q)/DEN (3.56)
η4 = (P · F4 ·X + F2 · U · V +R · S · F6 − V · F4 ·R− F6 · U · P −X · S · F2)/DEN (3.57)
onde
DEN = P · T ·X +Q · U · V +R · S ·W − V · T ·R−W · U · P −X · S ·Q (3.58)
40 Texto Preliminar, SH Sphaier
Cap´ıtulo 4
Generalizac¸a˜o do Problema Dinaˆmico
4.1 Introduc¸a˜o
Vamos aqui, de forma abreviada, generalizar o problema para corpos de formas quaisquer.
Escreveremos as equac¸o˜es de movimento e posteriormente vamos analisar as simplificac¸o˜es
quando aparecem simetrias.
Posteriormente mostraremos a forma das equac¸o˜es de movimento para um corpo esbelto com
simetria longitudinal e dotado de velocidade de avanc¸o.
4.2 Corpos com Geometria Qualquer
A generalizac¸a˜o do problema com seis graus de liberdade e corpos de qualquer geometria toma
a forma:
([M] + [A])η¨ + [B]η˙ + [C]η = [F] (4.1)
Em que introduzimos
- a matriz de ine´rcia [M] = [Mij], onde seus termos definem a massa, os produtos e os
41
42 Texto Preliminar, SH Sphaier
momentos de ine´rcia
[M] = [Mij] =
M 0 0 0 MZg −MYg
0 M 0 −MZg 0 MXg
0 0 M MYg −MXg 0
0 −MZg MYg I44 −I45 −I46
MZg 0 −MXg −I54 I55 −I56
−MYg MXg 0 −I64 −I65 I66
(4.2)
- a matriz de massa adicional [A] = [Aij]
[A] = [Aij] =
A11 A12 A13 A13 A15 A16
A21 A22 A23 A24 A25 A26
A31 A32 A33 A34 A35 A36
A41 A42 A43 A44 A45 A46
A51 A52 A53 A54 A55 A56
A61 A62 A63 A64 A65 A66
(4.3)
- a matriz de amortecimento [B] = [Bij]
[B] = [Bij] =
B11 B12 B13 B13 B15 B16
B21 B22 B23 B24 B25 B26
B31 B32 B33 B34 B35 B36
B41 B42 B43 B44 B45 B46
B51 B52 B53 B54 B55 B56
B61 B62 B63 B64 B65 B66
(4.4)
- a matriz de restaurac¸a˜o [C] = [Cij],
[C] = [Cij] =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 C33 C34 C35 0
0 0 C43 C44 C45 0
0 0 C53 C54 C55 0
0 0 0 0 0 0
(4.5)
com:
C33 = ρgSw (4.6)
C34 = C43 = ρgSy (4.7)
C35 = C53 = ρgSx (4.8)
C44 =Mg(zb − zg) + ρgSyy (4.9)
Texto Preliminar, SH Sphaier 43
C45 = C54 = ρgSxy (4.10)
C55 =Mg(zb − zg) + ρgSxx (4.11)
observando que os coeficientes restantes Cij sa˜o nulos, e
Sx =
∫
Sw
xdxdy (4.12)
Sy =
∫
Sw
ydxdy (4.13)
Sxx =
∫
Sw
x2dxdy (4.14)
Syy =
∫
Sw
y2dxdy (4.15)
Sxy =
∫
Sw
xydxdy (4.16)
zg - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade
zb - posic¸a˜o vertical do centro de carena
- o vetor forc¸a de excitac¸a˜o generalizado, composto de treˆs componentes de forc¸a e treˆs
componentes de momentos, [F] = [Fi]
Deve ser observado que para corpos sem simetria as matrizes de massa adicional e deamortec-
imento sa˜o cheias.
Para corpos com simetria longitudinal, como navios, as matrizes de massa adicional e de
amortecimento sa˜o dadas por:
[A] = [Aij] =
A11 0 A13 0 A15 0
0 A22 0 A24 0 A26
A31 0 A33 0 A35 0
0 A42 0 A44 0 A46
A51 0 A53 0 A55 0
0 A62 0 A64 0 A66
(4.17)
[B] = [Bij] =
B11 0 B13 0 B15 0
0 B22 0 B24 0 B26
B31 0 B33 0 B35 0
0 B42 0 B44 0 B46
B51 0 B53 0 B55 0
0 B62 0 B64 0 B66
(4.18)
44 Texto Preliminar, SH Sphaier
em que
Aij = Aji (4.19)
Bij = Bji (4.20)
Alem disto, para corpos com simetria em relac¸a˜o ao plano longitudinal:
C34 = C43 = 0 (4.21)
No caso de corpos alongados, como navios, podemos assumir que o acoplamento do movimento
longitudinal, na direc¸a˜o 1, com os movimentos nas direc¸o˜es 3 e 5 seja pequeno e as matrizes
de massa adicional e de amortecimento tomam a forma:
[A] = [Aij] =
A11 0 0 0 0 0
0 A22 0 A24 0 A26
0 0 A33 0 A35 0
0 A42 0 A44 0 A46
0 0 A53 0 A55 0
0 A62 0 A64 0 A66
(4.22)
[B] = [Bij] =
B11 0 0 0 0 0
0 B22 0 B24 0 B26
0 0 B33 0 B35 0
0 B42 0 B44 0 B46
0 0 B53 0 B55 0
0 B62 0 B64 0 B66
(4.23)
e retornamos a`s equac¸o˜es obtidas anteriormente.
4.3 Um Exemplo
Como exemplo apresentamos nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.44.54.6 e 4.7 as ine´rcias adicionais, os
amortecimentos, as forc¸as de excitac¸a˜o e os RAOs, em forma adimensional para os movimentos
3 (heave) e 5 (pitch) de um VLCC, calculados por um me´todo tridimensional:
Â33 = A33/(ρL
3
pp) (4.24)
B̂33 = B33/(ωρL
3
pp) (4.25)
Texto Preliminar, SH Sphaier 45
Periodos em Segundos
25 50 75 100
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
A33
B33
A33, B33
VLCC
Figura 4.1: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I
Â35 = A35/(ρL
4
pp) (4.26)
B̂35 = B35/(ωρL
4
pp) (4.27)
Â55 = A55/(ρL
5
pp) (4.28)
B̂55 = B55/(ωρL
5
pp) (4.29)
F̂3 = F3/(ρgL
2
pp) (4.30)
F̂5 = F5/(ρgL
3
pp) (4.31)
A soluc¸a˜o deste problema para diversas frequeˆncias de onda gera as seis func¸o˜es de trans-
fereˆncia para os deslocamentos do corpo. E´ comum chamarmos de RAO (Operador de Am-
plitude de Resposta), como ja´ citamos anteriormente.
46 Texto Preliminar, SH Sphaier
Periodos em Segundos
25 50 75 100
A35
B35
A35, B35
VLCC
Figura 4.2: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II
Periodos em Segundos
25 50 75 100
A55
B55
A55, B55
VLCC
Figura 4.3: Ine´rcia Adicional e Amortecimento
na Forma Adimensional III
Texto Preliminar, SH Sphaier 47
Periodos em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15 Força de Excitação
de Heave
Figura 4.4: Forc¸a de Excitac¸a˜o Vertical
Periodos em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018 Momento de Excitação
de Pitch
Figura 4.5: Momento de Excitac¸a˜o
48 Texto Preliminar, SH Sphaier
Periodo em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.25
0.5
0.75
1
RAO de Heave
Figura 4.6: Rao de Heave
Periodo em segundos
10 20 30 40 50 60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RAO de Pitch
Figura 4.7: Rao de Pitch
Cap´ıtulo 5
Navio em Mar Irregular
5.1 Introduc¸a˜o
Determinamos nos cap´ıtulos anteriores a func¸a˜o de resposta do navio em ondas regulares, que
chamamos de RAOs. As ondas consideradas foram sempre ondas monocroma´ticas. Investi-
garemos agora a resposta do navio em mar irregular.
5.2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento
A equac¸a˜o de movimento do navio e´ dada por:
(M + A)x¨+Bx˙+ Cx = f(t) (5.1)
A esta equac¸a˜o aplicamos a transformada de Fourier, definida por:
F{g(t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
eiωtg(t)dt = G(ω) (5.2)
Entretanto, vamos inicialmente considerar um intervalo T das ondas atuantes. Retiramos do
sinal original ζ(t) a func¸a˜o ζT (t) que e´ igual a ζ(t) no intervalo T e fora deste intervalo e´ nula.
Estas ondas va˜o provocar forc¸as sobre o navio que sera˜o nulas fora do intervalo T e iguais as
forc¸as do mar no intervalo T . A transformada de func¸o˜es neste intervalo e´ dada por:
F{fT (t)} ≡ 1
2pi
∫ ∞
−∞
eiωtfT (t)dt = GT (ω) (5.3)
49
50 Texto Preliminar, SH Sphaier
Ale´m disto, para as derivadas vale:
F{g˙(t)} = iωG(ω) (5.4)
F{g¨(t)} = −ω2G(ω) (5.5)
enta˜o
F{g˙T (t)} = iωGT (ω) (5.6)
F{g¨T (t)} = −ω2GT (ω) (5.7)
Aplicando a` equac¸a˜o do movimento, teremos:
−ω2(M + A)XT + iωBXT + CXT = FT (5.8)
{−ω2(M + A) + iωB + C}XT = FT (5.9)
onde
XT = XR,T + iXI,T (5.10)
FT = FR,T + iFI,T (5.11)
5.3 O Espectro de Resposta
Multiplicando pelo conjugado
{−ω2(M + A) + iωB + C}{−ω2(M + A)− iωB + C}{XR,T + iXI,T}{XR,T − iXI,T}
= {FR,T + iFI,T}{FR,T − iFI,T} (5.12)
X2R,T +X
2
I,T =
F 2R,T + F
2
I,T
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.13)
ou
XTX
∗
T =
FTF
∗
T
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.14)
dividindo pelo tempo T e fazendo o limite quando T →∞ temos:
lim
T→∞
2piXTX
∗
T
T
= lim
T→∞
2piFTF
∗
T
T
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.15)
pore´m limT→∞
2piXTX
∗
T
T
e´ o espectro da func¸a˜o x(t) e limT→∞
2piFTF
∗
T
T
e´ o espectro das forc¸as.
Enta˜o
Sxx = Sff
1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.16)
Texto Preliminar, SH Sphaier 51
Por outro lado, ha´ uma relac¸a˜o similar entre o espectro das forc¸as e o espectro do sinal
elevac¸a˜o da onda na origem.
Sff = Sζζ |F (ω)|2 (5.17)
logo
Sxx = Sζζ |F (ω)|2 1
(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.18)
5.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em
um Mar Irregular
A previsa˜o das respostas de um corpo flutuante en ondas, tais como movimentos e´ baseada
na equac¸a˜o 5.18 e o trabalho pioneiro no assunto foi desenvolvido por St. Denis e Pierson em
1953. Desde enta˜o tem sido amplamente aplicado para va´rios problemas de comportamento
de estruturas flutuantes no mar. Entretanto cabe ressaltar em que condic¸o˜es foi desenvolvido:
- As ondas do mar sa˜o consideradas como um processo estoca´stico estaciona´rio, normal-
mente distribu´ıdo com me´dia zero.
- A func¸a˜o de densidade espectral das ondas do mar e das respostas da estrutura sa˜o
consideradas de banda estreita.
- As func¸o˜es de densidade de probabilidade e o espectro de excitac¸a˜o e de respostas sa˜o
consideradas como independentes do tempo.
- O princ´ıpio de superposic¸a˜o e´ aplica´vel para a previsa˜o das respostas em mar irregular.
- As respostas em ondas irregulares podem ser representadas pela soma de respostass da
estrutura em ondas regulares.
Um sistema linear mante´m relac¸o˜es entre respostas e excitac¸a˜o de tal maneira que:
- a resposta do sistema a uma excitac¸a˜o monocroma´tica (onda regular com uma u´nica
frequeˆncia e amplitude constante) e´ monocroma´tica
- se a varia´vel aleato´ria que representa a excitac¸a˜o do sistema segue um processo gaussiano
a resposta tambe´m sera´ um processo gaussiano
- a partir das respostas do sistema para uma onda regular (monocroma´tica) variando
sua frequeˆncia, construimos a func¸a˜o de resposta do sistema (func¸a˜o de transfereˆncia,
fator de amplificac¸a˜o) que e´ a relac¸a˜o entre a amplitude da resposta e a amplitude da
excitac¸a˜o para as va´rias frequeˆncias
52 Texto Preliminar, SH Sphaier
- A func¸a˜o de densidade espectral da resposta pode ser obtida a partir da func¸a˜o de
densidade espectral da excitac¸a˜o atrave´s de:
SY Y (ω) = SXX(ω)|H(ω)|2 (5.19)
onde |H(ω)| e´ a func¸a˜o de resposta do sistema a ondas regulares
Em Engenharia Oceaˆnica |H(ω)| e´ frequentemente chamado de RAO que sa˜o as iniciais
da expressa˜o ingleˆsa Response Amplitude Operator.
5.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar
O estudo de um corpo flutuante tem como interesse respostas como movimentos, velocidades
e acelerac¸o˜es de pontos do corpo, ale´m de outras varia´veis que decorrem dos movimentos.
Com os movimentos pode-se calcular as presso˜es sobre o casco, cargas, etc. Inicialmente
consideremos os movimentos do centro do sistema localizado no corpo. Assim, estas respostas
formam um vetor de 6 posic¸o˜es.
η =
{
ηl
ηa
}
(5.20)
onde
ηl =
η1
η2
η3
e ηa =
η4
η5
η6
(5.21)
- η1,2,3 movimentos lineares (surge, sway, heave)
- η4,5,6 movimentos angulares (roll, pitch yaw) e
- ηi = ηi,0 e
iδi
- ηi,0 amplitude do movimento i
- δi aˆngulo de fase do movimento i
Uma vez que a excitac¸a˜o em mar regular e´ harmoˆnica e da forma F = F0 e
iωt e o modelo,
todas as respostas tambe´m o sera˜o:
η = η¯ eiωt = η0 e
iδ eiωt (5.22)
Assim:
Texto Preliminar, SH Sphaier 53
- velocidade = (d/dt) (deslocamento)
v =
d
dt
η = η˙ = iωη = v¯ eiωt (5.23)
- acelerac¸a˜o = (d/dt) (velocidade)
a =
d2
dt2
η = η¨ = −ω2η = a¯ eiωt (5.24)
Passemos agora a partir dessas respostas a` determinac¸a˜o de espectros de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es e ao estudo de eventos de seakeeping. Os espectros de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es em mar irregular sera˜o da forma
SXX(ω) = |RAOX(ω)|2Sζζ(ω) = X¯X¯∗Sζζ(ω) (5.25)
SX˙X˙(ω) = |RAOX˙(ω)|2Sζζ(ω) = ¯˙X ¯˙X∗Sζζ(ω) = V¯ V¯ ∗Sζζ(ω) = ω2|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.26)
SX¨X¨(ω) = |RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) = ¯¨X ¯¨X∗Sζζ(ω) = A¯A¯∗Sζζ(ω) = ω4|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.27)
onde: V¯ = ¯˙X, A¯ = ¯¨X, ¯˙X∗ = V¯ ∗ e ¯¨X∗ = A¯∗, e X¯∗, V¯ ∗ e A¯∗ sa˜o os conjugados de X¯, V¯ e A¯
respectivamente.
5.5.1 Deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto do
corpo
Da mecaˆnica sabemos que o deslocamento de um ponto qualquer de um corpo pode ser
obtido se conhecemos o deslocamento linear de um ponto e a rotac¸a˜o em torno daquele ponto.
Admitindo pequenos deslocamentos esta expressa˜o e´ da forma:
d = ηl + ηa ×R (5.28)
onde
d =
dx
dy
dz
(5.29)
e´ o vetor dos deslocamentos do ponto
ηl =
η1
η2
η3
(5.30)
54 Texto Preliminar, SH Sphaier
e´ o vetor dos deslocamentos lineares, isto e´, ”surge”, ”sway”e ”heave”
ηa =
η4
η5
η6
(5.31)
e´ o vetor dos deslocamentos angulares, isto e´, ”roll”, ”pitch”e ”yaw”
d =
x
y
z
(5.32)
sa˜o as coordenadas do ponto em selec¸a˜o ao sistema fixo no corpo,
A hipo´tese de pequenos deslocamentos permite-nos
interpretar (η4, η5, η6) como um vetor.
Uma vez obtido o vetor dos deslocamentos
d =
dx
dy
dz
(5.33)
podemos obter os vetores das velocidades,
v = iωd (5.34)
v =
vx
vy
vz
=
iωdx
iωdy
iωdz
(5.35)
e
a = iωv = −ω2d (5.36)
a =
ax
ay
az
e v =
iωvx
iωvy
iωvz
(5.37)
Os RAOS de deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto qualquer do corpo sa˜o
dados enta˜o por:
|RAOdx(ω)|2 = |dx|2 = dx · d∗x (5.38)
|RAOdy(ω)|2 = |dy|2 = dy · d∗y (5.39)
Texto Preliminar, SH Sphaier 55
|RAOdz(ω)|2 = |dz|2 = dz · d∗z (5.40)
|RAOvx(ω)|2 = |vx|2 = vx · v∗x (5.41)
|RAOvy(ω)|2 = |vy|2 = vy · v∗y (5.42)
|RAOvz(ω)|2 = |vz|2 = vz · v∗z (5.43)
|RAOax(ω)|2 = |ax|2 = ax · a∗x (5.44)
|RAOay(ω)|2 = |ay|2 = ay · a∗y (5.45)
|RAOaz(ω)|2 = |az|2 = az · a∗z (5.46)
Para obtermos os espectros resposta, basta multiplicarmos os quadrados das func¸o˜es de trans-
fereˆncia (RAOs) pelo espectro do mar.
5.5.2 Eventos de Seakeeping
Para operac¸o˜es no mar torna-se importante verificar as seguintes ocorreˆncias:
- embarque de a´gua (green water)
- culapada, entrada da proa na a´gua (slamming)
- culapada tranversal com o movimento de jogo em transporte de estruturas ou mo´dulos
com barcac¸a
- emersa˜o do propulsor
No caso de a´gua no conve´s pesquisa-se a frequeˆncia de ocorreˆncia desta situac¸a˜o para uma
borda livre pre´-determinada ou a borda livre necessa´ria para que uma certa frequeˆncia de
ocorreˆncia de embarque de a´gua na˜o seja ultrapassada.
Determina-se inicialmente o quadrado do RAO de deslocamento vertical relativo corpo-onda
para um ponto no plano longitudinal da embarcac¸a˜o no n´ıvel da linha de a´gua.
O deslocamento vertical de um ponto do navio localizado no eixo Ox, localizado longitudi-
nalmente na posic¸a˜o XL e´ dado por:
ηz(t) = η3(t)−XL · η5(t) (5.47)
O deslocamento relativo superf´ıcie do mar e o ponto acima
ηr(t) = ηz(t)− ζ(t) = η3(t)−XL · η5(t)− ζ(t) = [η3,0eiδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL]eiωt (5.48)
56 Texto Preliminar, SH Sphaier
O quadrado do mo´dulo da resposta da distaˆncia relativa e´ dado por:
|ηr,0|2 = ηr,0 · η∗r,0
= [η3,0e
iδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL] · [η3,0e−iδ3 −XL · η5,0e−iδ5 − ζe−ik0XL]
= (η23,0 +XL
2 ∗ η25,0 + ζ20 )−XLη3,0η5,0[ei(δ3−δ5) + e−i(δ3−δ5)]+
−η3,0ζ0[ei(δ3−k0·XL) + e−i(δ3−k0·XL)] +XL · η5,0ζ0[ei(δ5−k0·XL) + e−i(δ5−k0·XL)] (5.49)
O quadrado da relac¸a˜o entre a resposta do movimento e a amplitude da onda, isto e´, a resposta
para onda unita´ria e´ o mo´dulo do RAO do deslocamento relativo ao quadrado:
RML = 1 + (XL ∗ η5,0)2 + η23,0 − 2η3,0 cos(δ3,0 − k0XL)− 2XLη3,0η5,0 cos(δ3,0 − δ5,0)
+2XLη5,0 cos(δ5,0 − k0XL) (5.50)
De forma similar ao que foi feito anteriormente, os quadrados dos RAO’s de velocidade e
acelerac¸o˜es relativas sa˜o dados por:
RV L = ω2 ·RML (5.51)
RAL = ω2 ·RV L = ω4 ·RML (5.52)
Os espectros de resposta sa˜o dados por:
SMM = Sζζ ·RML (5.53)
SV V = Sζζ ·RV L (5.54)
SAA = Sζζ ·RAL (5.55)
Como sabido, a a´rea sob a curva da func¸a˜o de densidade espectral fornece a me´dia dos
quadrados do processo em estudo: deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es. Assumindo-
se que o processo e´ de banda estreita o processo estoca´stico dos picos de deslocamentos,
velocidades e acelerac¸o˜es, segue a lei de Rayleigh cuja func¸a˜o de densidade de probabilidade
e´ dada por:
fX(x) =
x
mx
e−x
2/2mx (5.56)
onde mx e´ a variaˆncia do processo da varia´vel X:
mx =
∫ ∞
0
Sxxdω (5.57)
A probabilidade da varia´vel X exceder um certo valor cr´ıtico e´:
P [X > Xcrit] = e
−X2crit
2mx (5.58)
Texto Preliminar, SH Sphaier 57
ou
X2crit = −2mx lnP [X > Xcrit] (5.59)
Esta expressa˜o fornece o deslocamento relativo vertical cr´ıtico para um certo n´ıvel de prob-
abilidade P [X > Xcrit]. Caso conhec¸a-se a frequeˆncia admiss´ıvel de ocorreˆncia de embarque
de a´gua no conve´s pode-se obter a borda livre necessa´ria
BL =
√
−2mx lnP [X > Xcrit] (5.60)
Se, por exemplo, a probabilidade de excedeˆncia for de 1/25 obteˆm-se uma borda livre
BL = 2.54
√
mx (5.61)
No caso em que a borda livre e´ dada e se quer verificar a incideˆncia de ocorreˆncia de a´gua no
conve´s tem-se:
P [X > BL] = e−BL
2/(2mx) (5.62)
e, determinando-se o nu´mero de oscilac¸o˜es por hora
Nosc = 3600 · (ciclos por segundo) = 3600σmedio/(2pi) = 3600
√
mv/mx/(2pi) (5.63)
pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de a´gua no conve´s:
N = Nosc ∗ P [X > BL] = 3600
√
mv/mxe
−BL2/(2mx)/(2pi) (5.64)
No caso de emersa˜o do propulsor o procedimento e´ similar. Determina-se qual a probabilidade
da pa´ do propulsor deixar a a´gua, isto e´, quer-se que a distaˆncia entre a onda e a posic¸a˜o da
pa´ do propulsor na˜o se torne nula.
Para as previso˜es de slamming longitudinal e transversal a situac¸a˜o e´ relativamente similar.
Deve-se determinar a probabilidade do deslocamento, dada pela diferenc¸a entre a cota do
fundo do corpo flutuante e a linha de a´guas tranquilas, exceder uma distaˆncia limite pre´-
estabelecida. Entretanto um outro fator e´ tambe´m importante que e´ a velocidade de imersa˜o.
Se a velocidade for baixa na˜o ha´ risco. Entretanto se ela exceder um certo valor a entrada na
a´gua e´ feita com risco de dano estrutural.
A probabilidade de ocorrer simultaneamente emersa˜o do propulsor e excedeˆncia da velocidade
cr´ıtica e´ dado por:
P [ocorreˆncia de slamming] = P [excedeˆncia do deslocamento] · P [excedeˆncia da velocidade]
(5.65)
onde
P [excedeˆncia do deslocamento] = e−DIST
2/(2mx) (5.66)
P [excedeˆncia da velocidade] = e−V TL
2/(2mx) (5.67)
58 Texto Preliminar, SH Sphaier
DIST - e´ a distaˆncia entre o n´ıvel de a´guas tranquilas e o ponto de interesse.
VTL - e´ a velocidade cr´ıtica a partir da qual pode haver danos estruturais. Recomenda-
se utilizar um valor em torno de 0.1
√
gLpp
Com este resultado pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de
slamming:
N = P [ocorreˆncia de slamming]3600
√
mv/mx/(2pi) (5.68)
Texto Preliminar, SH Sphaier 59
5.6 Resumo Esquema´tico
Figura 5.1: Apresentac¸a˜o Esquema´tica I
60 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.2: Apresentac¸a˜o Esquema´tica II
Texto Preliminar, SH Sphaier 61
Figura 5.3: Apresentac¸a˜o Esquema´tica III
62 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.4: Apresentac¸a˜o Esquema´tica IV
Texto Preliminar, SH Sphaier 63
Figura 5.5: Apresentac¸a˜o Esquema´tica V
64 Texto Preliminar, SH Sphaier
Cap´ıtulo 6
Hidrodinaˆmica de Corpos Flutuantes
Estaciona´rios
6.1 Aspectos F´ısicos: Leis e Princ´ıpios
Passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais do ponto de vista
hidrodinaˆmico. Vamos assumir que as ondas sa˜o de pequenas amplitudes, o corpo executara´
movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linearmente.
Nosso objetivo e´ o estudo do comportamento de corpos flutuantes, isto e´, corpos r´ıgidos
movendo-se, semi-imersos em um fluido em movimento. Como sabemos o movimento de um
corpo e´ regido pelas leis da mecaˆnica, que sa˜o as treˆs leis de Newton e a lei de gravitac¸a˜o
universal. Ale´m disto temos que satisfazer aos princ´ıpios de conservac¸a˜o da massa e da
impenetrabilidade dos corpos.
No caso espec´ıfico do corpo, sua massa e´ considerada imuta´vel, estando assim, automatica-
mente satisfeito o princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa.
O princ´ıpio da impenetrabilidade nos diz que os movimentos do corpo e das part´ıculas fluidas
sa˜o tais que as part´ıculas na˜o podem penetrar no corpo, nem tampouco uma part´ıcula fluida
podera´ penetrar no corpo ou em outra part´ıcula fluida.
O movimento de um corpo sujeito a forc¸a externas e´ descrito pela segunda lei de Newton,
em
que as as variac¸o˜es das quantidades de movimento sa˜o iguais a`s forc¸as e momentos
externos: ∫
B
d
dt
(u dm) =
∑
Fext (6.1)
65
66 Texto Preliminar, SH Sphaier
∫
B
d
dt
(r× u dm) =
∑
Mext (6.2)
onde:
B e´ o domı´nio que define o corpo
dm e´ a massa de uma parte elementar do corpo
r e´ o raio vetor de cada ponto do corpo em relac¸a˜o a um ponto O.
u e´ o vetor velocidade de cada ponto do corpo
u = U0 +Ω× r (6.3)
U0 e´ o vetor velocidade linear do corpo
Ω e´ o vetor velocidade angular do corpo no ponto O
Fext sa˜o as forc¸as externas atuando sobre o corpo
Mext sa˜o os momentos das forc¸as externas atuando sobre o corpo, em relac¸a˜o ao ponto O.
As forc¸as externas atuantes sobre o corpo sa˜o a forc¸a da gravidade, forc¸a de atrac¸a˜o da Terra,
e a forc¸a devida a ac¸a˜o do fluido junto do corpo. A forc¸a da gravidade e´ do tipo de forc¸a de
corpo e as forc¸as devidas a ac¸a˜o do fluido sa˜o do tipo de forc¸as de superf´ıcie.
∫
B
d
dt
(u dm) = Fc + Fs (6.4)∫
B
d
dt
(r× u dm) =Mc +Ms (6.5)
onde:
Fc e´ a resultante das forc¸as de corpo
Fs e´ a resultante das forc¸as de superf´ıcie.
A forc¸a devida a` atrac¸a˜o da Terra pode ser obtida atrave´s da lei de gravitac¸a˜o universal de
Newton. No caso espec´ıfico do movimento junto a` superf´ıcie da Terra podemos dizer que esta
forc¸a e´ constante, e dada por:
Fc = (
∫
B
dm)g =Mg (6.6)
onde:
Texto Preliminar, SH Sphaier 67
M e´ a massa do corpo
M =
∫
B
dm (6.7)
g e´ o vetor acelerac¸a˜o da gravidade.
As forc¸as de superf´ıcie surgem da ac¸a˜o das part´ıculas fluidas sobre o corpo. Imaginemos
inicialmente que colocamos um corpo em um escoamento retil´ıneo uniforme unidirecional.
A presenc¸a do corpo provoca uma modificac¸a˜o do escoamento fluido. Ao se moverem e
encontrarem o corpo, as part´ıculas fluidas sa˜o aceleradas e desaceleradas. Pela segunda lei
de Newton isto so´ e´ possivel pela ac¸a˜o de uma forc¸a externa. Esta ac¸a˜o externa deve-se a`
interac¸a˜o entre as part´ıculas fluidas e a presenc¸a do corpo. Pela terceira lei de Newton, a` forc¸a
que o corpo exerce sobre uma part´ıcula fluida, correspondera´ uma reac¸a˜o, na forma de uma
forc¸a igual e de sentido contra´rio a` de ac¸a˜o, atuando sobre o corpo. Isto dar-se-a´ junto a cada
parte da superf´ıcie do corpo. Assim, as part´ıculas fluidas sofrera˜o a ac¸a˜o do corpo, na forma
de forc¸as e como reac¸a˜o aparecera˜o sobre o corpo forc¸as locais. Decompondo estas forc¸as em
componentes normal e tangencial, temos as componentes de forc¸a devida a` pressa˜o e a` tensa˜o
cisalhante, respectivamente. Uma vez que estas forc¸as dependem da interac¸a˜o entre o corpo
e o fluido, e´ necessa´rio que determinemos o movimento do fluido para podermos calcular as
forc¸as de superf´ıcie atuando sobre o corpo. E´ enta˜o necessa´rio que estabelec¸amos as equac¸o˜es
de movimento das part´ıculas fluidas, utilizando as leis e os princ´ıpios f´ısicos estabelecidos.
Estes sa˜o mais uma vez as treˆs leis de Newton, a lei de gravitac¸a˜o universal, o princ´ıpio de
conservac¸a˜o da massa e o princ´ıpio de impenetrabilidade.
6.2 Formulac¸a˜o hidrodinaˆmica: Leis e Princ´ıpios
Para o estudo do movimento do corpo utilizamos a descric¸a˜o Lagrangeana. Acompanhamos
o que acontece com o corpo ao longo do tempo, determinando as suas posic¸o˜es. No caso
do escoamento da massa fluida utilizamos a descric¸a˜o Euleriana. Descrevemos o escoamento
atrave´s dos campos de velocidades e presso˜es, sem nos importarmos com que part´ıcula ocupa
cada posic¸a˜o do espac¸o em cada instante. Admitimos tambe´m que o fluido preenche con-
tinuamente todas as posic¸o˜es do espac¸o. Assim, nunca podera´ aparecer um espac¸o vazio no
domı´nio fluido; as part´ıculas que formam uma linha material, sempre estara˜o formando uma
linha fluida, etc... Esta u´ltima afirmac¸a˜o implica em que, as part´ıculas que formam uma
superf´ıcie livre, sempre a formara˜o.
Da mesma forma que para o corpo, o movimento de uma part´ıcula fluida, sujeita a forc¸as
externas, e´ descrito pela segunda lei de Newton
D
Dt
(vρdV ) =
∑
dFext. (6.8)
68 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde:
D/Dt e´ o operador derivada substantiva
ρ e´ a massa espec´ıfica do fluido.
dV e´ o volume elementar da part´ıcula
v representa o campo vetorial das velocidades
dFext sa˜o as forc¸as externas atuando sobre a part´ıcula fluida
A derivada substantiva da velocidade define o campo vetorial que representa as acelerac¸o˜es
das part´ıculas fluidas, a = (D/Dt)v.
As forc¸as externas sa˜o tambe´m, a forc¸a de atrac¸a˜o da Terra e as forc¸as de superf´ıcie. As forc¸as
de superf´ıcie devem-se a` ac¸a˜o das outras part´ıculas que esta˜o em contato, e eventualmente ao
corpo, caso a part´ıcula encontre-se em contato com o corpo.
D
Dt
(vρdV ) = dFc + dFs (6.9)
onde:
dFc e´ a forc¸a de corpo atuando no elemento de fluido
dFs e´ a forc¸a de superf´ıcie atuando no elemento de fluido
Aplicando-se a segunda lei de Newton ao estudo do movimento de um fluido incompress´ıvel,
cuja relac¸a˜o entre tensa˜o cisalhante e movimento siga a equac¸a˜o constitutiva de Newton,
chegamos a equac¸a˜o de Navier-Stokes:
ρa dV = −ρg dV −∇p dV + µ∇2v dV (6.10)
ou
D
Dt
v + g +
∇p
ρ
− ν∇2v = 0 (6.11)
onde:
D
Dt
v =
∂
∂t
v + v · ∇(v)
p e´ a pressa˜o
ν e´ a viscosidade cinema´tica do fluido.
Texto Preliminar, SH Sphaier 69
∇ e´ o operador gradiente
∇2 e´ o laplaceano, ∇2 = ∇ · ∇
O princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa e´ dado pela equac¸a˜o da continuidade, que para fluidos
incompress´ıveis e´
∇ · v = 0 (6.12)
onde ∇· e´ o operador divergente
O princ´ıpio da impenetrabilidade define uma relac¸a˜o entre as componentes das velocidades
das part´ıculas fluidas e do corpo na direc¸a˜o da normal ao corpo. No caso de corpos na˜o
porosos essas componentes devem ser iguais
v · n = u · n (6.13)
onde n e´ o vetor normal ao contorno do corpo.
Por ser uma propriedade cinema´tica, esta condic¸a˜o e´ chamada de condic¸a˜o de contorno
cinema´tica.
Ale´m dessa condic¸a˜o, devemos introduzir a condic¸a˜o de adereˆncia das part´ıculas fluidas junto
ao corpo. Se, por razo˜es f´ısicas, podemos supor que na˜o haja deslizamento entre as part´ıculas
fluidas em contato com o corpo e sua superf´ıcie, enta˜o
v · t− u · t = 0 (6.14)
onde t e´ o vetor unita´rio tangente ao contorno do corpo.
Como dissemos, passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais
do ponto de vista hidrodinaˆmico. Assumindo que as ondas sa˜o de pequenas amplitudes, o
corpo executara´ movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linear-
mente.
Para tal, relembremos as definic¸o˜es dos sistemas de refereˆncias como fizemos anteriormente.
consideremos um sistema de coordenadas OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superf´ıcie livre.
O eixo OZ aponta verticalmente para cima. Consideremos um segundo sistema o¯x¯y¯z¯ cujo
centro, sempre concide com o ponto O, com eixo o¯x¯ fazendo um aˆngulo β com o eixo OX.
O navio tem velocidade desloca-se em linha reta com velocidade U na direc¸a˜o do eixo o¯x¯. As
ondas se propagam na direc¸a˜o do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um aˆngulo β com
o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.
Consideremos um terceiro sistema oxyz que se desloca com a velocidade do navio, sem oscilar.
Seu centro esta´ localizado na superf´ıcie livre em repouso e o eixo oz aponta verticalmente para
70 Texto Preliminar, SH Sphaier
cima. O ponto o, centro do sistema, esta´ localizado a meio navio. Muitas vezes e´ mais coˆmodo
localiza´-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.
Considerando que os efeitos de viscosidades sa˜o desprez´ıveis podemos
adotar a hipo´tese de
fluido ideal e escoamento irrotacional. Supomos tambe´m que o fluido e´ incompress´ıvel. Com
estas hipo´teses pode-se verificar que o escoamento e´ descrito por uma func¸a˜o φ, potencial de
velocidade tal que
v = ∇φ (6.15)
sendo φ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace
∇2φ = 0 (6.16)
Como vimos anteriormente a unicidade da soluc¸a˜o e´ conseguida impondo-se condic¸o˜es de
contorno. Isto e´, nos contornos do meio fluido a func¸a˜o φ devera´ tambe´m satisfazer condic¸o˜es
da forma
αφ+ β
∂φ
∂n
= f (6.17)
onde α, β e f sa˜o conhecidas.
O contorno fluido neste caso e´ composto da superf´ıcie do casco, a superf´ıcie livre, o fundo e
uma superf´ıcie longe do corpo ligando a superf´ıcie livre e o fundo.
Na superf´ıcie do casco devemos ter por exemplo
u · n = ∂φ
∂n
(6.18)
onde u e´ a velocidade de um ponto P do casco, n a normal a superf´ıcie do casco.
Expressando a equac¸a˜o da superf´ıcie do casco na forma
Fc(x, y, z, t) = 0 (6.19)
a condic¸a˜o de contorno acima equivale a:
D
Dt
Fc(x, y, z, t) = 0 (6.20)
Em cada ponto da superf´ıcie livre as componentes das velocidades do perfil da onda usl e da
velocidade da part´ıcula fluida na direc¸a˜o da normal sa˜o iguais.
usl · n = ∂φ
∂n
(6.21)
De forma similar ao que expusemos acima, se Fsl(x, y, z, t) = 0 e´ a equac¸a˜o da superf´ıcie livre
enta˜o
D
Dt
Fsl(x, y, z, t) = 0 (6.22)
Texto Preliminar, SH Sphaier 71
traduzira´ esta condic¸a˜o.
Ale´m desta condic¸a˜o cinema´tica a ser satisfeita na superf´ıcie livre, devemos impor que a
pressa˜o p seja igual a pressa˜o atmosfe´rica patm.
Admitindo a regia˜o fluida infinita temos que impor condic¸o˜es assinto´ticas para pontos dis-
tantes do corpo (condic¸o˜es de radiac¸a˜o). Caso o corpo encontre-se em a´guas com profundidade
finita z = −d devemos ter
∂φ
∂z
(x, y, z = −d, t) = 0 (6.23)
Observando o problema de valor de contorno estabelecido acima e o problema de ondas de
gravidade, vemos que ambos diferem unicamente pela condic¸a˜o de contorno no corpo. Assim,
apo´s linearizac¸a˜o do problema chegamos ao seguinte problema de valor de contorno para o
potencial de velocidades φ
∇2φ = 0 (6.24)
em todo domı´nio fluido
∂φ
∂z
+
1
g
∂2φ
∂t2
= 0 (6.25)
em z = 0
∂φ
∂z
= 0 (6.26)
em z = −d
∂φ
∂n
= un (6.27)
na superf´ıcie do corpo
Resolvendo este problema obtemos a equac¸a˜o da superf´ıcie livre
ζ = −1
g
∂φ(x, y, z = 0, t)
∂t
(6.28)
e a pressa˜o em qualquer ponto do domı´nio
p = −ρgz − ρ∂φ(x, y, z, t)
∂t
(6.29)
De acordo com a descric¸a˜o f´ısica do problema podemos escrever
φ = φinc + φdif + φrad (6.30)
onde φinc potencial de velocidades das ondas incidentes, φdif potencial de velocidades de
difrac¸a˜o das ondas incidentes e φrad potencial de velocidades das ondas de radiac¸a˜o.
O potencial φinc representa as ondas existentes antes da colocac¸a˜o do corpo e φdif o po-
tencial de difrac¸a˜o das ondas incidentes. Representa ondas que sa˜o geradas junto ao corpo
72 Texto Preliminar, SH Sphaier
e se propagam para o meio, isto e´, representa a presenc¸a do corpo como obsta´culo para a
propagac¸a˜o da onda incidente. Traduz o efeito da presenc¸a do corpo diante das ondas inci-
dentes gerando um campo que ”compense a penetrac¸a˜o das ondas atrave´s do corpo”. Assim
sobre o corpo devemos ter
∂φdif
∂n
= −∂φinc
∂n
(6.31)
O potencial de radiac¸a˜o representa as ondas geradas junto ao corpo devidas aos movimentos
do corpo e se propagam para o meio. Assim,
∂φrad
∂n
= un (6.32)
Os treˆs potenciais satisfazem a equac¸a˜o de Laplace e as condic¸o˜es de superf´ıcie livre e de
fundo. Na˜o entraremos neste texto em considerac¸o˜es mais aprofundadas sobre as soluc¸o˜es
dos potencias, mas podemos dizer que os potenciais φdif e φrad devem satisfazer condic¸o˜es
assinto´ticas descrevendo o comportamento a grandes distaˆncias. Este tipo de condic¸a˜o e´
chamada de condic¸a˜o de radiac¸a˜o e foi estabelecida por Sommerfeld.
O perfil da onda que se propaga no mar e´ dado por
ζ(X, t) = ζ0 cos(ωt− k0X) (6.33)
Para um observador no navio a onda incidente, sera´ dada por
ζ(x, y, t) = ζ0 cos(ωt− k0x cos(β) + k0y cos(β)) (6.34)
e seu potencial de velocidades e´ dado por:
φinc = i
g
ω
ek0zζ0 e
i(ωt−k0x cos(β)+k0y cos(β)) = ϕinc eiωt (6.35)
onde ϕ e´ dado por:
ϕinc = i
g
ω
ek0zζ0 e
i(−k0x cos(β)+k0y cos(β)) (6.36)
Considerac¸o˜es sobre os potenciais de difrac¸a˜o e de radiac¸a˜o
Como dito acima, se imaginarmos um navio colocado no meio das ondas do mar, a superf´ıcie
do casco sera´ invadida pelas part´ıculas fluidas. Isto e´, as ondas va˜o atravessar corpo, o
que na˜o e´ fisicamente aceita´vel. Assim sendo, temos que gerar um escoamento que junto
ao casco neutralize as ondas incidentes. Este e´ o papel do potencial de difrac¸a˜o; vai gerar
velocidades junto ao casco que se contraponham a`s velocidades das ondas incidentes. O
potencial de difrac¸a˜o gera velocidades cujas componentes na direc¸a˜o da normal ao casco
Texto Preliminar, SH Sphaier 73
anulem as componentes das velocidades da onda incidente sobre o casco. Este e´ o sentido da
condic¸a˜o de contorno sobre o corpo:
udif · n = ∂φdif
∂n
= −∂φinc
∂n
= −uinc · n (6.37)
one
udif = ∇φdif (6.38)
uinc = ∇φinc (6.39)
Esses potenciais va˜o gerar presso˜es que variam harmonicamente, uma vez que estamos assu-
mindo que as ondas sa˜o harmoˆnicas. Essas presso˜es va˜o gerar forc¸as harmoˆnicas e o corpo
vai se mover harmonicamente.
Assim, como o corpo, ale´m de impedir a passagem das part´ıculas fluidas atrave´s de si, se
move periodicamente, ele impo˜e movimento a`s part´ıculas fluidas. Tudo se passa como se
forc¸assemos o corpo a se mover em a´guas tranquilas. O corpo gera ondas. Para representa´-
las introduzimos um potencial de velocidades. Este potencial tem que gerar movimento nas
part´ıculas fluidas de tal forma que junto ao corpo, as part´ıculas fluidas acompanhem o corpo.
Pensemos agora em um ponto do corpo. Como as part´ıculas podem deslizar sobre o corpo,
suas componentes de velocidades na direc¸a˜o normal ao corpo no ponto considerado tem que
se igualar a` componente de velocidade do corpo na direc¸a˜o normal ao ponto da superf´ıcie do
corpo.
Assim, este potencial tem que satisfazer:
∂φrad
∂n
= un (6.40)
Pore´m o corpo tem seis movimentos, treˆs lineares ao longo dos eixos do sistema de refereˆncias
colocado no corpo, e treˆs movimentos angulares em torno desses treˆs eixos. Enta˜o podemos
imaginar que cada movimento seja um gerador de movimentos das part´ıculas fluidas. Isolamos
cada um deles e para cada um e´ necessa´rio gerar um potencial de velocidades. Cada um
desses potenciais de velocidades e´ dado pelo produto de uma func¸a˜o, que depende da forma
do corpo e da frequeˆncia do movimento, multiplicada pelo mo´dulo da velocidade do corpo
naquela direc¸a˜o:
φrad = ϕ1η˙1 + ϕ2η˙2 + ϕ3η˙3 + ϕ4η˙4 + ϕ5η˙5 + ϕ6η˙6 (6.41)
74 Texto Preliminar, SH Sphaier
6.3 Forc¸as Atuantes
6.3.1 Forc¸as hidrodinaˆmicas
O conhecimento da func¸a˜o φT , permite que determinemos a pressa˜o e por conseguinte as
forc¸as e momentos hidrodinaˆmicos. Utilizando a segunda lei de Newton para forc¸as e sua
extensa˜o para momentos determinamos os movimentos do corpo.
Para tal vamos inicialmente determinar as presso˜es atuantes sobre o corpo.
Assumimos que o corpo executa pequenas oscilac¸o˜es lineares ηl e angulares ηa, onde:
ηl = η1i+ η2j+ η3k (6.42)
ηa = η4i+ η5j+ η6k (6.43)
η1 movimento linear do corpo na direc¸a˜o longitudinal, eixo Ox
η2 movimento linear do corpo na direc¸a˜o lateral, eixo Oy
η3 movimento linear do corpo na direc¸a˜o vertical, eixo Oz
η4 movimento angular do corpo em torno da direc¸a˜o longitudinal, do eixo Ox
η5 movimento
angular do corpo em torno do eixo lateral, em torno do eixo Oy
η6 movimento angular do corpo em torno do eixo vertical, em torno do eixo Oz
Assim, o movimento de qualquer ponto do corpo e´ dado por:
η = ηl + ηa × r (6.44)
Ale´m disto vamos admitir inicialmente que as ondas sa˜o monocroma´ticas, e por conseguinte,
qualquer grandeza varia no tempo harmonicamente:
F (x, y, z, t) = f(x, y, z;ω) eiωt (6.45)
Seguindo esta linha de racioc´ınio, o potencial de radiac¸a˜o pode ser escrito na forma:
φrad =
6∑
i=1
φi(x, y, z, t) =
6∑
i=1
η˙i(t)ϕi(x, y, z;ω) (6.46)
Texto Preliminar, SH Sphaier 75
Isto e´, sa˜o seis potenciais correspondendo aos seis movimentos, em que cada um deles e´ o
produto de uma func¸a˜o de forma ϕi(x, y, z;ω) multiplicada pela velocidade naquela direc¸a˜o
(velocidade linear ou angular) η˙i(t), onde
η˙l = η˙1(t)i+ η˙2(t)j+ η˙3(t)k (6.47)
η˙a = η˙4(t)i+ η˙5(t)j+ η˙6(t)k (6.48)
Deve ser lembrado que os aˆngulos que posicionam o corpo ao longo do tempo na˜o formam
um vetor. Entretanto, se forem pequenos pode-se assumir que formam um vetor.
Com a integral da equac¸a˜o de Euler linearizada temos a pressa˜o em qualquer parte do domı´nio
dada por
p = −ρ∂φT
∂t
− ρgz (6.49)
Podemos separar esta pressa˜o em parte dinaˆmica e parte esta´tica, bem como em partes
independente e dependente do tempo:
p(t) = pe + pd
= pe,0 + pe,t + pinc + pdif + prad
= pe,0 + pt
pt = pe,t + pinc + pdif + prad (6.50)
onde:
p e´ a pressa˜o total,
pe e´ a pressa˜o esta´tica,
pd e´ a pressa˜o dinaˆmica,
pe,0 e´ a pressa˜o esta´tica independente do tempo,
pe,t e´ a pressa˜o esta´tica dependente do tempo,
pt e´ a pressa˜o dependente do tempo,
A pressa˜o dinaˆmica e´ dada por:
pd = −ρ∂φT
∂t
(6.51)
76 Texto Preliminar, SH Sphaier
A pressa˜o esta´tica e´ dada por:
pe = −ρgz (6.52)
onde z e´ a posic¸a˜o do ponto da superf´ıcie do corpo onde se esteja avaliando a pressa˜o, isto e´,
e´ a soma da cota da posic¸a˜o em repouso e a variac¸a˜o devida ao movimento do corpo:
z = z0 + k · (ηl + ηa × r) (6.53)
Devemos lembrar que com a hipo´tese de pequenas perturbac¸o˜es podemos desprezar a con-
tribuic¸a˜o do termo quadra´tico, como feito acima, na expressa˜o das presso˜es, na integral da
equac¸a˜o de Euler. A pressa˜o dinaˆmica e´ a soma do termo em derivada partial em relac¸a˜o ao
tempo do potencial das ondas incidentes, das ondas difratadas e das ondas radiadas.
pd = −ρ∂φinc
∂t
− ρ∂φdif
∂t
− ρ∂φrad
∂t
(6.54)
Multiplicando-se a pressa˜o pelo elemento de a´rea local tem-se a intensidade da forc¸a que a
pressa˜o exerce sobre o corpo naquele local. Multiplicando-se pelo vetor normal, tem-se o
elemento de forc¸a local
dFs = pdndS + pendS = −ρ∂φinc
∂t
ndS − ρ∂φdif
∂t
ndS − ρ∂φrad
∂t
ndS − ρgzndS (6.55)
Multiplicando-se o elemento de forc¸a pelo raio vetor que liga o centro do sistema ao elemento
de a´rea, tem-se o momento que a pressa˜o atuando neste elemento de a´rea gera.
dMs = r× (pdndS + pendS) = pdr× ndS + per× ndS
= −ρ∂φinc
∂t
r× ndS − ρ∂φdif
∂t
r× ndS − ρ∂φrad
∂t
r× ndS − ρgzr× ndS (6.56)
Notemos que
r× n = i(y nz − z ny) + j(z nx − xnz) + k(xny − y nx) (6.57)
Assim, se utilizarmos a notac¸a˜o
n1 = nx
n2 = ny
n3 = nz
n4 = (y nz − z ny)
n5 = (z nx − xnz)
Texto Preliminar, SH Sphaier 77
n6 = (xny − y nx)
podemos pensar em um elemento de forc¸a generalizada, um vetor de seis componentes em
que as treˆs primeiras componentes significam forc¸as e as treˆs u´ltimas componentes significam
momentos:
dF =
dF1
dF2
dF3
dF4
dF5
dF6
=
p n1 dS
pn2 dS
pn3 dS
pn4 dS
pn5 dS
pn6 dS
=
p nx dS
pny dS
pnz dS
p (y nz − z ny) dS
p (z nx − xnz) dS
p (xny − y nx) dS
(6.58)
A partir dessas forc¸as generalizadas podemos obter as forc¸as e os momentos sobre o corpo inte-
grando os elementos de forc¸a. Esta integrac¸a˜o fornece a forc¸a generalizada (forc¸a e momento)
total atuando sobre o corpo:
Fs = Fd + Fe = −ρ
∫
S0
∂φinc
∂t
ndS − ρ
∫
S0
∂φdif
∂t
ndS
−ρ
∫
S0
∂φrad
∂t
ndS − ρg
∫
S0
zndS (6.59)
Separando em parte hidrodinaˆmica e parte hidrosta´tica temos:
- forc¸as hidrosta´ticas generalizadas (forc¸a e momento)
Fe = −ρg
∫
S0
zndS (6.60)
- forc¸as hidrodinaˆmicas generalizadas (forc¸a e momento)
Fd,t =
∫
S0
pdndS = −ρ
∫
S0
∂φT
∂t
ndS (6.61)
Como supomos, o potencial φT e´ dado por
φT = φinc + φdif + φrad (6.62)
e que o potencial de radiac¸a˜o pode ser escrito na forma:
φrad =
6∑
i=1
η˙i(t)ϕi(x, y, z;ω) (6.63)
78 Texto Preliminar, SH Sphaier
Assim, temos:
pd = −iωρ
[
(ϕinc + ϕdif + ϕrad) e
iωt
]
(6.64)
= −iωρ(ϕinc + ϕdif ) eiωt − iωρ
6∑
i=1
η˙iϕi e
iωt (6.65)
A integral da pressa˜o fornece a forc¸a total
Fs = Fd + Fe = −ρ
∫
S0
(iωφ+ gz)ndS (6.66)
Para na˜o repetirmos sempre a expressa˜o forc¸a generalizada (forc¸a e momento), vamos sim-
plesmente chamar de forc¸a. Separando em parte hidrodinaˆmica e parte hidrosta´tica temos:
Forc¸a hidrodinaˆmica
Fd = −ρ
∫
S0
iωφndS (6.67)
Forc¸a hidrosta´tica
Fe = −ρ
∫
S0
(gz)ndS (6.68)
As forc¸as hidrodinaˆmicas sa˜o dadas por
Fd = Finc + Fdif + Frad (6.69)
e cada uma das parcelas e´ dada por:
Finc =
∫
S0
pincndS =
∫
S0
−ρ∂φinc
∂t
ndS = −iρω
∫
S0
ϕincndS e
iωt (6.70)
Fdif =
∫
S0
pdifndS =
∫
S0
−ρ∂φdif
∂t
ndS = −iρω
∫
S0
ϕdifndS e
iωt (6.71)
Frad =
∫
S0
pradndS =
∫
S0
−ρ∂φrad
∂t
ndS =
6∑
i=1
−iρωη˙i
∫
S0
ϕindS e
iωt (6.72)
isto e´:
Fd = −iρω
∫
S0
ϕincndS e
iωt − iρω
∫
S0
ϕdifndS e
iωt +
6∑
i=1
−iρωη˙i
∫
S0
ϕindS e
iωt (6.73)
Texto Preliminar, SH Sphaier 79
6.3.2 Forc¸a de excitac¸a˜o
Como dito acima, podemos dividir a forc¸a total em termos das contribuic¸o˜es do potencial da
onda incidente e de sua difrac¸a˜o e potencial das ondas de radiac¸a˜o.
O potencial de velocidades das ondas incidentes em a´guas profundas e´ dado por:
φinc = i
g
ω
ek0zζ0 e
i(ωt−k0x cos(β)+k0y cos(β)) = ϕinc eiωt (6.74)
Assim, obtemos para as forc¸as de excitac¸a˜o
Fexc = −iρω
[∫
S0
ϕincndS +
∫
S0
ϕdifndS
]
eiωt (6.75)
As forc¸as excitatrizes podem ser subdivididas em duas partes. Uma relativa a` onda incidente
e a outra relativa ao potencial de difrac¸a˜o. A forc¸a devida a` onda incidente, tambe´m chamada
de forc¸a de Froude-Krylov, e´ dada por
Finc = −iρω
∫
S0
ϕincndS e
iωt (6.76)
As forc¸as de difrac¸a˜o sa˜o dadas por:
Fdif = −iρω
∫
S0
ϕdifndS e
iωt (6.77)
Decompondo este vetor em suas seis componentes temos as seguintes expresso˜es
Fdif,j = −iωρ
∫
S0
∂ϕj
∂n
ϕdifdS e
iωt (6.78)
Utilizando agora as relac¸o˜es de reciprocidade, as componentes das forc¸as sa˜o enta˜o dadas por:
Fdif,j = −iωρ
∫
S0
ϕj
∂ϕdif
∂n
dS eiωt (6.79)
Com a condic¸a˜o de contorno junto ao corpo obtemos
Fdif,j = iωρ
∫
S0
ϕj
∂ϕinc
∂n
dS eiωt (6.80)
80 Texto Preliminar, SH Sphaier
Forc¸a de Froude-Krylov
Acima estabelecemos a expressa˜o do ca´lculo da forc¸a sobre o corpo a partir do conhecimento
das presso˜es. Determinaremos agora a expressa˜o da forc¸a de onda segundo a hipo´tese de
Froude-Krylov, isto e´ a forc¸a devida a´ onda incidente. A onda incide com um aˆngulo de
ataque β, tal que β = 0 significa ondas de trave´s. A pressa˜o dinaˆmica devida a` onda incidente
e´ dada pela integral da Equac¸a˜o de Euler linearizada
pinc = −ρ∂φinc
∂t
(6.81)
e a forc¸a e´ enta˜o
Finc = −ρ
∫
S0
∂φinc
∂t
ndS (6.82)
Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a` onda incidente, temos enta˜o
p
= pinc = ρgζ0 e
k0z eiωt e−ik0x cosβ eik0y sinβ (6.83)
Com a pressa˜o obtemos a forc¸a
Finc = ρgζ0
∫
S′
eik0(y sinβ−x cosβ) ek0zndS eiωt (6.84)
Forc¸a de difrac¸a˜o
A partir da pressa˜o de difrac¸a˜o e usando relac¸o˜es de reciprocidade entre os potenciais podemos
expressar as forc¸as de difrac¸a˜o sem que necessitemos resolver o problema de valor de contorno
para φdif .
Cada componente e´ dada por
Fdif,j = −iωρ
∫
S0
ϕj
∂ϕdif
∂n
dS eiωt = iωρ
∫
S0
ϕj
∂ϕinc
∂n
dS eiωt
= iωρ
∫
S0
ϕj
[
∂ϕinc
∂x
nx +
∂ϕinc
∂y
ny +
∂ϕinc
∂z
nz
]
dS eiωt (6.85)
Como
∂ϕinc
∂n
= (−in1 cos β + in2 sin β + n3)k0ϕinc (6.86)
Chegamos finalmente a expressa˜o
Fdif,j = iρω
∫
S0
(−in1 cos β + in2 sin β + n3)k0ϕjϕincdS eiωt (6.87)
Texto Preliminar, SH Sphaier 81
6.3.3 Forc¸a de radiac¸a˜o
Seguindo o modelo acima, as forc¸as hidrodinaˆmicas sa˜o dadas por:
Frad =
6∑
i=1
−iρω
∫
S0
ϕindSη˙i e
iωt (6.88)
Como o potencial de radiac¸a˜o pode ser escrito na forma
φrad =
6∑
i=1
η˙i(t)ϕi(x, y, z;ω) (6.89)
enta˜o
Frad,j =
6∑
i=1
ρω2
∫
S0
ϕinjdSηi e
iωt = −
6∑
i=1
η¨i(t)ρ
∫
S0
ϕinjdS = −
6∑
i=1
η¨i(t)λji(ω; forma)
(6.90)
onde o coeficiente hidrodinaˆmico, λji(ω; forma), depende da forma e da frequeˆncia, e e´ dado
por
λji = ρ
∫
S0
ϕinjdS (6.91)
Deve-se observar que para um movimento em uma direc¸a˜o aparecem reac¸o˜es hidrodinaˆmicas
em todas as direc¸o˜es. Isto e´, se o corpo se move na direc¸a˜o 1, gera o potencial
η˙i(t)ϕi(x, y, z;ω) (6.92)
este potencial gera uma presso˜es. Essas presso˜es multiplicadas pela normal e o elemento
de linha geram elementos de forc¸a que integradas gera uma forc¸a sobre o corpo com treˆs
componentes. Essas presso˜es multiplicadas pela normal e o elemento de linha geram elementos
de forc¸a que multiplicadas pelo brac¸o (distaˆncias de cada ponto na superf´ıcie do corpo ate´ o
centro do sistema) e integradas geram momentos sobre o corpo nas treˆs direc¸o˜es, isto e´ com
treˆs componentes .
Para o caso de um corpo profundamente imerso
λji(ω; forma) = Aji(forma) (6.93)
sendo Aji conhecido como massa adicional.
Atrave´s de uma formulac¸a˜o para problemas com superf´ıcie livre podemos mostrar que
λji(ω; forma) = Aji(ω; forma) +
1
iω
Bji(ω; forma) (6.94)
82 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde Bji e´ o amortecimento hidrodinaˆmico devido a energia cedida para a formac¸a˜o das ondas.
Na forma vetorial temos:
Frad =
Frad,1
Frad,2
Frad,3
Frad,4
Frad,5
Frad,6
= −[A]η¨ − [B]η˙ (6.95)
6.3.4 Quantidades de Movimento Linear e Angular da Massa do
Corpo
Vamos agora desenvolver os primeiros membros das equac¸o˜es de conservac¸a˜o de quantidade
de movimento linear e angular para o caso de um corpo em ondas regulares de pequenas
amplitudes. Sob essas condic¸o˜es, linearizando o problema, desenvolveremos um modelo para
ana´lise da dinaˆmica do navio no mar.
Utilizamos dois sistemas de refereˆncia para descrever os movimentos do navio. Um sistema
Oxyz, que se desloca com velocidade de avanc¸o igual a` do corpo U = constante, sobre a
superf´ıcie livre do mar na condic¸a˜o de a´guas tranquilas. O eixo Oz esta´ voltado verticalmente
para cima e o eixo Ox, encontra-se sobre o plano da linha da´gua apontando para vante, na
direc¸a˜o do movimento do corpo. Um segundo sistema fixo ao corpo O
′
x
′
y
′
z
′
, que oscila e
avanc¸a solida´rio ao corpo, sera´ considerado. E´ definido de tal forma que coincide com Oxyz
quando o corpo passa pela posic¸a˜o me´dia. O centro de gravidade tem coordenadas (X
′
g, Y
′
g , Z
′
g)
no sistema solida´rio.
Passaremos agora a desenvolver as expresso˜es das diversas contribuic¸o˜es citadas anterior-
mente. Inicialmente vamos desenvolver as expresso˜es para a determinac¸a˜o das variac¸o˜es das
quantidades de movimento do corpo: ∫
B
d
dt
(u dm) (6.96)
e ∫
B
d
dt
(r× u) dm (6.97)
Nesta expressa˜o u e´ a velocidade de um ponto P fixo no corpo, que no sistema Oxyz, e´ dada
por (6.3):
u = U0 +Ω× r = η˙l +Ω× r (6.98)
Texto Preliminar, SH Sphaier 83
Nesta expressa˜o fizemos U0 = η˙l sendo que ηl e´ o vetor de deslocamento linear
ηl = η1i+ η2j+ η3k (6.99)
O vetor r descrito nos dois sistemas acima definidos e´ dado por
r = xi+ yj+ zk = x
′
i
′
+ y
′
j
′
+ z
′
k
′
(6.100)
Multiplicando (6.100) escalarmente por i, j e k obtemos:
x
y
z
=
i′ · i j′ · i k′ · ii′ · j j′ · j k′ · j
i
′ · k j′ · k k′ · k
x
′
y
′
z
′
(6.101)
Multiplicando (6.100) escalarmente por i
′
, j
′
e k
′
obtemos:
x
′
y
′
z
′
=
i · i′ j · i′ k · i′i · j′ j · j′ k · j′
i · k′ j · k′ k · k′
x
y
z
(6.102)
As matrizes que aparecem em (6.101) e (6.102) sa˜o inversas. A transformac¸a˜o de coordenadas
de um sistema para o outro, pressupo˜e entretanto que conhec¸amos os aˆngulos entre os vetores
unita´rios, que sa˜o desconhecidos e que descrevem o movimento angular do corpo. Admitindo
que a rotac¸a˜o assumida pelo corpo em cada instante e´ o resultado de treˆs rotac¸o˜es η4, η5 e η6,
em sequeˆncia, a partir de uma situac¸a˜o onde os eixos O
′
x
′
, O
′
y
′
e O
′
z
′
inicialmente coincidem
com os eixos Ox, Oy e Oz, e que estas rotac¸o˜es se da˜o em torno do eixo O
′
x
′
, do eixo O
′
y
′
e
do eixo O
′
z
′
, podemos dizer que um vetor r, que na posic¸a˜o final tem coordenadas (x
′
, y
′
, z
′
)
no sistema solida´rio, tera´ coordenadas (x, y, z) no sistema Oxyz, relacionadas atrave´s de:
x
′
y
′
z
′
=
c(η6) s(η6) 0−s(η6) c(η6) 0
0 0 1
c(η5) 0 −s(η5)0 1 0
s(η5) 0 c(η5)
1 0 00 c(η4) s(η4)
0 −s(η4) c(η4)
x
y
z
(6.103)
ou
x
′
y
′
z
′
= [R]
x
y
z
= (6.104)
onde introduzimos a matriz de rotac¸a˜o [R], dada por:
[R] =
c(η5)c(η6) c(η4)s(η6) + s(η4)s(η5)c(η6) s(η4)s(η6)− c(η4)s(η5)c(η6)−c(η5)s(η6) c(η4)c(η6)− s(η4)s(η5)s(η6) s(η4)c(η6) + c(η4)s(η5)s(η6)
s(η5) −s(η4)c(η5) c(η4)c(η5)
(6.105)
84 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde c(ηi) e s(ηi), significam o cosseno e o seno de ηi. Assim sendo, um ponto P do corpo
que, em relac¸a˜o ao sistema solida´rio tem coordenadas (x
′
, y
′
, z
′
), tera´ coordenadas (x, y, z)
em relac¸a˜o ao sistema inercial, dadas por:
xP
yP
zP
=
η1
η2
η3
+ [R]−1
x
′
P
y
′
P
z
′
P
(6.106)
Sob a hipo´tese de pequenos deslocamentos, a expressa˜o acima toma a forma:
xP
yP
zP
=
η1
η2
η3
+
1 −η6 η5η6 1 −η4
−η5 η4 1
x
′
P
y
′
P
z
′
P
(6.107)
=
η1
η2
η3
+
1 0 00 1 0
0 0 1
x
′
P
y
′
P
z
′
P
+
0 −η6 η5η6 0 −η4
−η5 η4 0
x
′
P
y
′
P
z
′
P
(6.108)
Assim, a diferenc¸a entre os vetores rP e r
′
P e´ dada por
xP
yP
zP
−
x
′
P
y
′
P
z
′
P
=
η1
η2
η3
+
0 −η6 η5η6 0 −η4
−η5 η4 0
x
′
P
y
′
P
z
′
P
(6.109)
ou
∆r = ηl + ηa × r
′
P (6.110)
Assim, podemos assumir que o movimento de rotac¸a˜o do corpo e´ dado pela soma vetorial de
treˆs rotac¸o˜es em torno de cada um dos eixos, podendo o movimento angular ser representado
por um vetor. Definimos este vetor por ηa
ηa = η4i+ η5j+ η6k (6.111)
O vetor velocidade angular Ω esta´ relacionado com as derivadas η˙4, η˙5 e η˙6 atrave´s de:
Ωx = η˙4 cos(η5) cos(η6) + η˙5 sin(η6) (6.112)
Ωy = −η˙4 cos(η5) sin(η6) + η˙5 cos(η6) (6.113)
Ωz = η˙4 sin(η5) + η˙6 (6.114)
confirmando que, para pequenos movimentos, podemos assumir:
Ωx
Ωy
Ωz
=
η˙4
η˙5
η˙6
(6.115)
Texto Preliminar, SH Sphaier 85
Isto e´, a velocidade angular Ω e´ dada pela soma das derivadas das treˆs componentes do vetor
ηa:
Ω = η˙a = η˙4i+ η˙5j+ η˙6k (6.116)
Definindo as quantidades de movimento linear por
Ll =
∫
B
udm = L1i+ L2j+ L3k =
∫
B
(η˙l + η˙a × r)dm (6.117)
e angular por
La =
∫
B
r× udm = L4i+ L5j+ L6k =
∫
B
r× (η˙l + η˙a × r)dm (6.118)
onde o vetor velocidade do ponto P e´ dado por:
u = η˙l +Ω× r = η˙l + η˙a × r = η˙1i+ η˙2j+ η˙3k+ (η˙4i+ η˙5j+ η˙6k)× r
= i(η˙1 + z
′
η˙5 − y′ η˙6) + j(η˙2 + x′ η˙6 − z′ η˙4) + k(η˙3 + y′ η˙4 − x′ η˙5) (6.119)
e o produto vetorial
r× u = i{y′(η˙3 + y′ η˙4 − x′ η˙5)− z′(η˙2 + x′ η˙6 − z′ η˙4)}
+j{z′(η˙1 + z′ η˙5 − y′ η˙6)− z′(η˙3 + y′ η˙4 − x′ η˙6)}
+k{x′(η˙2 + x′ η˙6 − z′ η˙4)− y′(η˙1 + z′ η˙5 − y′ η˙6)} (6.120)
teremos
L1 =
∫
B
(η˙1 + z
′
η˙5 − y′ η˙6)dm = η˙1
∫
B
dm+ η˙5
∫
B
z
′
dm− η˙6
∫
B
y
′
dm (6.121)
L2 =
∫
B
(η˙2 + x
′
η˙6 − z′ η˙4)dm = η˙2
∫
B
dm+ η˙6
∫
B
x
′
dm− η˙4
∫
B
z
′
dm (6.122)
L3 =
∫
B
(η˙3 + y
′
η˙4 − x′ η˙5)dm = η˙3
∫
B
dm+ η˙4
∫
B
y
′
dm− η˙5
∫
B
x
′
dm (6.123)
L4 =
∫
B
{y′(η˙3 + y′ η˙4 − x′ η˙5)− z′(η˙2 + x′ η˙6 − z′ η˙4)}dm
= −
∫
B
z
′
dmη˙2 +
∫
B
y
′
dmη˙3 +
∫
B
(y
′2 + z
′2)dmη˙4 −
∫
B
y
′
x
′
dmη˙5 −
∫
B
z
′
x
′
dmη˙6 (6.124)
L5 =
∫
B
{z′(η˙1 + z′ η˙5 − y′ η˙6)− x′(η˙3 + y′ η˙4 − x′ η˙6)}dm
= −
∫
B
z
′
dmη˙1 +
∫
B
x
′
dmη˙3 −
∫
B
y
′
x
′
dmη˙4 +
∫
B
(x
′2 + z
′2)dmη˙5 −
∫
B
z
′
y
′
dmη˙6 (6.125)
86 Texto Preliminar, SH Sphaier
L6 =
∫
B
{x′(η˙2 + x′ η˙6 − z′ η˙4)− y′(η˙1 + z′ η˙5 − y′ η˙6)}dm
= −
∫
B
y
′
dmη˙1 +
∫
B
x
′
dmη˙2 −
∫
B
z
′
x
′
dmη˙4 −
∫
B
z
′
y
′
dmη˙5 +
∫
B
(x
′2 + y
′2)dmη˙6 (6.126)
Introduzindo as seguintes definic¸o˜es: ∫
B
dm = M∫
B
x
′
dm = M Xg∫
B
z
′
dm = M Zg∫
B
y
′
dm = M Yg∫
B
(y
′2 + z
′2)dm = I44∫
B
(x
′2 + z
′2)dm = I55∫
B
(x
′2 + y
′2)dm = I66∫
B
x
′
y
′
dm = I45 = I54∫
B
x
′
z
′
dm = I46 = I64∫
B
y
′
z
′
dm = I56 = I65
onde M e´ a massa do corpo, Xg, Yg e Zg sa˜o as coordenadas do centro de gravidade do corpo
e Iij sa˜o os produtos e momentos de ine´rcia.
Assim sendo, vale a expressa˜o
{L} =
{
Ll
La
}
= [M]{η˙} = [M]
{
η˙l
η˙a
}
(6.127)
onde introduzimos a matriz de ine´rcia [M] = [Mij], onde seus termos definem a massa, os
produtos e os momentos de ine´rcia,
[M] = [Mij] =
M 0 0 0 MZg −MYg
0 M 0 −MZg 0 MXg
0 0 M MYg −MXg 0
0 −MZg MYg I44 −I45 −I46
MZg 0 −MXg −I54 I55 −I56
−MYg MXg 0 −I64 −I65 I66
(6.128)
Texto Preliminar, SH Sphaier 87
Com isto enta˜o
d
dt
{L} = [M]{η¨} (6.129)
6.3.5 Restaurac¸a˜o: Ac¸a˜o das forc¸as hidrosta´ticas e das forc¸as de
corpo
Quando um corpo flutuante abandona sua posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico, a ac¸a˜o de seu peso e
das reac¸o˜es de origem hidrosta´ticas tendem a restaurar sua posic¸a˜o original. A estas reac¸o˜es
da´-se o nome de forc¸as e momentos de restaurac¸a˜o.
Assim, a obtenc¸a˜o das forc¸as e momentos de restaurac¸a˜o passa pela determinac¸a˜o das forc¸as
dos momentos de origem hidrosta´tica, obtidos atrave´s da integrac¸a˜o das presso˜es hidrosta´ticas
ao longo da superf´ıcie instantaˆnea do corpo:
Fe =
∫
Sc
pndS (6.130)
Me =
∫
Sc
pr× ndS (6.131)
Utilizaremos aqui os mesmos dois sistemas de refereˆncia utilizados na determinac¸a˜o das quan-
tidades de movimento, ver figura (??).
Como a pressa˜o hidrosta´tica e´ dada por p = −ρgz, temos que:
Fe = −ρg
∫
Sc
zndS (6.132)
Me = −ρg
∫
Sc
zr× ndS (6.133)
onde r e´ o vetor posic¸a˜o de um ponto do casco relativo ao referencial Oxyz.
Como os movimentos oscilato´rios lineares e angulares sa˜o de pequenas amplitudes vale:
r = r
′
+ ηl + ηa × r
′
(6.134)
onde:
ηl = (η1, η2, η3) e´ o vetor que fornece os deslocamentos lineares do ponto O
′
relativamente a
O.
ηa = (η4, η5, η6) e´ o vetor que dos deslocamentos angulares do referencial O
′
x
′
y
′
z′ relativa-
mente a Oxyz.
88 Texto Preliminar, SH Sphaier
r
′
e´ o vetor que fornece a posic¸a˜o de um ponto qualquer do casco com relac¸a˜o a O
′
, quando
o corpo se encontra em sua posic¸a˜o inicial de equil´ıbrio.
x = x
′
+ η1 + η5z
′ − η6y′ (6.135)
y = y
′
+ η2 + η6x
′ − η4z′ (6.136)
z = z
′
+ η3 + η4y
′ − η5x′ (6.137)
A coordenada z, que aparece nas expresso˜es (6.132) e (6.133), encontra-se fixa no espac¸o,
enquanto a superf´ıcie molhada do corpo Sc(x, y, z, t) oscila.
Para que se possa calcular as integrais de superf´ıcie por meio da aplicac¸a˜o do teorema de
Gauss, deve-se utilizar o artif´ıcio de fechar a superf´ıcie Sc, acrescentando-se parte do plano
de linha da´gua pertencente ao plano z = 0, observando-se, no entanto, que os integrandos em
(6.132) e (6.133) se anulara˜o.
Aplicando as duas variantes do teorema de Gauss∫
V
∇fdV = −
∫
S
fndS (6.138)
∫
V
∇× fdV = −
∫
S
n× fdS (6.139)
respectivamente a`s expresso˜es (6.132) e (6.133) vamos obter:
Fe = −ρg
∫
Sc
zndS = ρg
∫
Vc
∇zdV (6.140)
Me = −ρg
∫
Sc
zr× ndS = ρg
∫
Vc
∇× (zr)dV (6.141)
onde Vc e´ o volume instantaˆneo deslocado pelo corpo.
Desenvolvendo o termo ∇× (zr) no sistema inercial teremos:
Me = ρg
∫
Vc
(−iy + jx) dV (6.142)
As integrais volume´tricas em (6.140) e (6.141) podem ser calculadas em termos das coorde-
nadas fixas ao corpo fazendo-se uma decomposic¸a˜o do volume instantaˆneo Vc num volume
constante V0, igual ao volume sob o plano z
′
= 0, mais a variac¸a˜o desse volume dada pela
regia˜o entre os planos z = 0 e z
′
= 0.
Texto Preliminar, SH Sphaier 89
Usando as relac¸o˜es (6.137) a contribuic¸a˜o hidrosta´tica de restaurac¸a˜o sera´ dada por:
Fe = ρgk
[
V0 −
∫
Sw
(η3 + η4y
′ − η5x′)dx′dy′
]
(6.143)
e a contribuic¸a˜o para o momento de restaurac¸a˜o sera´:
Me = −ρg
{∫
V0
[
−i(η2 + y′ + η6x′ − η4z′) + j(η1 + x′ + η5z′ − η6y′)
]
dV
−
∫
Sw
(η3 + η4y
′ − η5x′)[−i(η2 + y′) + j(η1 + x′)]dx′dy′
}
(6.144)
onde Sw e´ a superf´ıcie da linha da´gua na condic¸a˜o de equil´ıbrio do corpo e V0 e´ o volume
deslocado na mesma condic¸a˜o.
As equac¸o˜es (6.143) e (6.144) podem ser expressas como segue:
Fe = ρgk
[
V0 − η3
∫
Sw
dx
′
dy
′ − η4
∫
Sw
y
′
dx
′
dy
′
+ η5
∫
Sw
x
′
dx
′
dy
′
]
(6.145)
Me = ρgi
[
−η2
∫
V0
dV −
∫
V0
y
′
dV − η6
∫
V0
x
′
dV + η4
∫
V0
z
′
dV
+η3
∫
Sw
y
′
dx
′
dy
′
+ η4
∫
Sw
y
′2dx
′
dy
′ − η5
∫
Sw
x
′
dx
′
dy
′
]
+ρgj
[
η1
∫
V0
dV +
∫
V0
x
′
dV + η5
∫
V0
z
′
dV − η6
∫
V0
y
′
dV
−η3
∫
Sw
x
′
dx
′
dy
′ − η4
∫
Sw
x
′
y
′
dx
′
dy
′
+ η5
∫
Sw
x
′2dx
′
dy
′
]
(6.146)
Como o centro de carena (xb, yb, zb) e´ dado por
x
′
b =
1
V0
∫
V0
x
′
dV (6.147)
y
′
b =
1
V0
∫
V0
y
′
dV (6.148)
z
′
b =
1
V0
∫
V0
z
′
dV (6.149)
como
Sw =
∫
Sw
dx
′
dy
′
(6.150)
90 Texto Preliminar, SH Sphaier
V0 =
∫
V0
dV (6.151)
e definindo:
Sx′ =
∫
Sw
x
′
dx
′
dy
′
(6.152)
Sy′ =
∫
Sw
y
′
dx
′
dy
′
(6.153)
Sx′x′ =
∫
Sw
x
′2dx
′
dy
′
(6.154)
Sy′y′ =
∫
Sw
y
′2dx
′
dy
′
(6.155)
Sx′y′ =
∫
Sw
x
′
y
′
dx
′
dy
′
(6.156)
temos
Fe = ρgk
(
V0 − η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′
)
(6.157)
Me = ρgi
[
−η2V0 − y′bV0 − η6x
′
bV0 + η4z
′
bV0 + η3Sy′ + η4Sy′y′ − η5Sx′y′
]
+ρgj
[
η1V0 + x
′
bV0 + η5z
′
bV0 − η6y
′
bV0 − η3Sx′ − η4Sx′y′
+ η5Sx′x′
]
(6.158)
Podemos incorporar agora a contribuic¸a˜o devida a` ac¸a˜o das forc¸as gravitacionais, isto e´, a
ac¸a˜o do peso, e a`s forc¸as e aos momentos de restaurac¸a˜o.
Fp = −Mgk (6.159)
onde M e´ a massa do corpo.
Para o ca´lculo do momento do peso relativamente ao ponto O fixo no espac¸o devemos conhecer
o raio-vetor entre o centro de gravidade G e o ponto O origem do referencial Oxyz. Suas
coordenadas sa˜o:
xg = x
′
g + η1 + η5z
′
g − η6y
′
g (6.160)
yg = y
′
g + η2 + η6x
′
g − η4z
′
g (6.161)
zg = z
′
g + η3 + η4y
′
g − η5x
′
g (6.162)
onde:
rG = (xG, yG, zG) define a posic¸a˜o instantaˆnea do centro de gravidade G em relac¸a˜o ao
referencial Oxyz
r
′
G = (x
′
G, y
′
G, z
′
G) define a posic¸a˜o instantaˆnea do centro de gravidade G em relac¸a˜o ao
referencial O
′
x
′
y
′
z
′
quando o corpo se encontra em sua posic¸a˜o me´dia.
Texto Preliminar, SH Sphaier 91
O momento do peso sera´ dado por:
Mp = rg × Fp (6.163)
Desenvolvendo (6.163) teremos:
Mp = −Mgrg × k = −iMg(y′g + η2 + η6x
′
g − η4z
′
g) + jMg(x
′
g + η1 + η5z
′
g − η6y
′
g) (6.164)
Somando os termos de forc¸a e momento do peso a`s forc¸as e momentos hidrosta´ticos teremos
enta˜o as forc¸as e momentos de restaurac¸a˜o propriamente ditos:
Fr = −Mgk+ ρgk
(
V0 − η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′
)
(6.165)
Mr = i
[
−ρgη2V0 − ρgy′bV0 − ρgη6x
′
bV0 + ρgη4z
′
bV0 − y
′
gMg − η2Mg − η6x
′
gMg + η4z
′
gMg
+ρgη3Sy′ + ρgη4Sy′y′ − ρgη5Sx′y′
]
+j
[
ρgη1V0 + ρgx
′
bV0 + ρgη5z
′
bV0 − ρgη6y
′
bV0 + x
′
gMg + η1Mg + η5z
′
gMg − η6y
′
gMg
−ρgη3Sx′ − ρgη4Sx′y′ + ρgη5Sx′x′
]
(6.166)
Para um corpo flutuando livremente temos
ρgV0 =Mg (6.167)
x
′
g = x
′
b (6.168)
y
′
g = y
′
b (6.169)
Substituindo estas expresso˜es em (6.165) e (6.166) teremos:
Fr = ρgk
(−η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′) (6.170)
Mr = i
[
η4Mg(z
′
b − z
′
g) + ρgη3Sy′ + ρgη4Sy′y′ − ρgη5Sx′y′
]
+j
[
η5Mg(z
′
b − z
′
g)− ρgη3Sx′ − ρgη4Sx′y′ + ρgη5Sx′x′
]
(6.171)
Utilizando a notac¸a˜o
Fr,i =
6∑
j=1
Cijηj i = 1, 6 (6.172)
temos
C33 = ρgSw (6.173)
92 Texto Preliminar, SH Sphaier
C34 = C43 = ρgSy′ (6.174)
C35 = C53 = ρgSx′ (6.175)
C44 =Mg(z
′
b − z
′
g) + ρgSy′y′ (6.176)
C45 = C54 = ρgSx′y′ (6.177)
C55 =Mg(z
′
b − z
′
g) + ρgSx′x′ (6.178)
e os restantes Cij nulos.
Para corpos com um plano de simetria
C34 = C43 = 0 (6.179)
6.4 Equac¸o˜es de Movimento no Domı´nio da Frequeˆncia
Nas sec¸o˜es anteriores desenvolvemos expresso˜es para as forc¸as hidrosta´ticas, hidrodinaˆmicas
e inerciais.
As equac¸o˜es que representam campos de velocidades e presso˜es foram linearizadas e os efeitos
viscosos desprezados. O problema hidrodinaˆmico tornou-se determinar potenciais de veloci-
dades.
Considerando-se que o problema hidrodinaˆmico e´ linear, pode-se supor que a onda incidente
e´ monocroma´tica, isto e´, todas suas propriedades variam com o tempo de forma harmoˆnica.
Assim as presso˜es variam harmonicamente com o tempo, assumindo a forma:
pinc(x, y, z, t) = finc(x, y, z) e
iωt (6.180)
A onda incidente ao encontrar o corpo sofre difrac¸a˜o e a onda difratada e´ tambe´m harmoˆnica,
gerando presso˜es que variam harmonicamente:
pdif (x, y, z, t) = fdif (x, y, z) e
iωt (6.181)
A soma desses dois campos gera o campo de presso˜es de excitac¸a˜o, tambe´m harmoˆnicas
pexc(x, y, z, t) = fexc(x, y, z) e
iωt = [finc(x, y, z) + fdif (x, y, z)] e
iωt (6.182)
A integrac¸a˜o das presso˜es hidrodinaˆmicas gera forc¸as harmoˆnicas que, atuando sobre o corpo,
va˜o impor um movimento harmoˆnico ao corpo. O movimento harmoˆnico do corpo gera forc¸as
de radiac¸a˜o harmoˆnicas. Assim, todas as propriedades, velocidades das part´ıculas fluidas,
Texto Preliminar, SH Sphaier 93
movimentos do corpo, forc¸as de excitac¸a˜o, forc¸as de radiac¸a˜o, forc¸as de restaurac¸a˜o e forc¸as
inerciais, sa˜o harmoˆnicas.
Outro aspecto que se deve considerar e´ que a onda incidente atua por um longo tempo de tal
forma que a resposta transiente (soluc¸a˜o homogeˆnea da equac¸a˜o de movimento a`s condic¸o˜es
iniciais) evanesce e nos concentramos na resposta harmoˆnica a` excitac¸a˜o harmoˆnica (soluc¸a˜o
particular).
Reunindo as expresso˜es das forcas hidrodinaˆmicas, hidrosta´ticas e do peso e aplicando as leis
de conservac¸a˜o das quantidades de movimento linear e angular obtemos:
Mij η¨j = −(Aij η¨j +Bij η˙j)− Cijηj + Finc,i + Fdif,i (6.183)
ou
(Mij + Aij) η¨j +Bij η˙j + Cijηj = Fexc,i (6.184)
Observando as forc¸as de excitac¸a˜o e as forc¸as de radiac¸a˜o vemos que esta equac¸a˜o foi de-
senvolvida para uma excitac¸a˜o harmoˆnica. Tratando-se de um sistema linear respondera´
harmonicamente a` excitac¸a˜o. As forc¸as de excitac¸a˜o e as respostas sa˜o enta˜o escritas na
forma:
Fexc,i = Finc,i + Fdif,i = F0i e
iωt (6.185)
ηj = η0j e
i(ωt) (6.186)
com isto pode-se escrever:
η˙j = iωηj (6.187)
η¨j = −ω2ηj (6.188)
substituindo nas expressa˜o acima da equac¸a˜o de movimento:[− (Mij + Aij)ω2 + iωBij + Cij] η0j ei(ωt) = F0i eiωt (6.189)
Vemos que a dependeˆncia do tempo se concentra na func¸a˜o exponencial que pode ser can-
celada na equac¸a˜o, obtendo-se uma equac¸a˜o alge´brica para obtenc¸a˜o da resposta para cada
frequeˆncia:
η0j =
[− (Mij + Aij)ω2 + iωBij + Cij]−1 F0i (6.190)
Como a expressa˜o na˜o depende do tempo, somente da frequeˆncia, diz-se que se esta´ resolvendo
o problema no domı´nio do tempo. Deve-se observar que tanto a forc¸a de excitac¸a˜o bem como
a frac¸a˜o sa˜o func¸o˜es complexas. O vetor de forc¸as e momentos F0i e´ complexo e seu mo´dulo
forma o vetor de intensidade e a relac¸a˜o entre a parte imagina´ria e a parte real fornecem a fase
da forc¸a em relac¸a˜o a` onda. De maneira similar o vetor de respostas, conte´m a intensidade
da resposta para os seis graus de liberdade do corpo, bem como a informac¸a˜o da fase dos
movimentos em relac¸a˜o a` onda. Como a forc¸a de onda pode ser escrita como:
F0i = f(ω, forma do corpo)ζ0 (6.191)
94 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde f(ω, forma do corpo) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia entre a onda e a forc¸a sobre o corpo.
η0j
ζ0
=
[− (Mij + Aij)ω2 + iωBij + Cij]−1 f(ω, forma do corpo) (6.192)
Teˆm-se enta˜o a relac¸a˜o entre os seis movimentos do corpo e a amplitude da onda em func¸a˜o
da frequeˆncia. Esta func¸a˜o e´ chamada de func¸a˜o de transfereˆncia, fator de amplificac¸a˜o e
operador de resposta de amplitude (RAO - response amplitude operator).Mais conteúdos dessa disciplina
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