4 - Matrizes e determinantes

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GELSON IEZZI
SAMUEL HAZZAN
FUNDAMENTOS DE - 4
MATEMATICA
ELEMENTAR
SEaUÊNCIAS MATRIZES DETERMINANTES
SISTEMAS
42 exercícios resolvidos
306 exercícios propostos com resposta
310 testes de vestibular com resposta
2~ edição
A"fUl\l
EDITORA
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo APRESENTACÃOI
Composição e desenhos .
AM Produções Gráficas Ltda.
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1ndice para. catálogo sistemático:
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Gráfica Editora Hamburg Ltda.
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278-1620 - 278-2648 - 279-9776
São Paulo - SP - Brasil
"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,
ao n(vel da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha
das ciências".
No desenvolvimento dos inúmeros capltulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.
Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições
e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exer~lcios, buscamos sempre uma ordenação
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A
seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerclcios. Os exerc(cios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir
à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria
estudada.
Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vidas e suas obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores
e o valor de sua obra, gostan'amos de receber dos colegas professores uma apre-
ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários cn'ticos, os quais agra-
decemos.
Os autores
CIP-Brasil. CatalO~<l.ç.1o-na-Fonte
câmara Brasileira do Livro, SP
FundBJllentoB de mBtemát~ce elementa.r (por) Gel-
Bon Iezz1 (e outros) SÃo Paulo, 'Atuel
Ed., 1977-
F9?7
v.1-2,
4-&
Co-autores: Carlos Hurskaml, Osvaldo Dolce
e S8llluel HazzBn; B ButorlB dos volumes indi-
vIduaIs varia entre 08 4 autores.
Conteúdo: v.l. Con1untol!l, funções.-v.2.
Logerltmos.-v.4. SeQÜencls8, mB~rizeB determi-
nantes, slstemBs.-v.5. Combln!tor18, prob!!bl-
lidade.-v.6. Complexos, pol1nornloB, equBt;Oea.
1. Matemática (211 grau) 1. CoIce, Oevl!l1do,
1938- II~ Iezz1, Gelaon, 1939- UI. Hezzan,
Semuel, 1946- IV. Hurakaml. Carlos. 1943-
77-1333 COO-510
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA LTOA
Rua José Antônio Coelho, 785
Telefones: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil
ÍNDICE
CAPfTUlO I - SEQÜÊNCIAS
I. Noções iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1-0
11. Igualdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2-0
111. Lei de formação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2-0
CAPITULO 11 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
I. Oefinição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-0
11. Classificação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-0
111. Notações especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6-0
IV. Fórmula do termo genil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9-0
V. Interpolação aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11-0
VI. Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12-0
CAPfTUlO 111 - PROGRESSÃO GEOMETRICA
I. Oefinição '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18-0
11. Classificação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18-0
111. Notações especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20-0
IV. Fórmula do termo geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22-0
V. Interpolação geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23-0
VI. Produto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . '. 24-0
VII. Soma dos termos de P.G. finita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25-0
VIII. Limite de uma seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27-0
IX. Soma dos termos de P.G. infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29-0
CAPITULO IV - MATRIZES
I. Noção de matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35-0
11. Matrizes especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36-0
111. Igualdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38-0
IV. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39-0
V. Produto de número por matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43-0
VI. Produto de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45-0
VII. Matriz transposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55-0
VIII. Matrizes invers{veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58-0
CAPfTULO V - DETERMINANTES
I. Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67-0
11. Oefinição de determinantes (n ".; 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67-0
111. Menor complementar e complementar algébrico. . . . . . . . . . . . .. 70-0
IV. Oefinição de determinante (caso geral). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72-0
V. Teorema fundamental (de Laplace). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75-0
VI. Propriedades dos determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77-0
VII. Abaixamento de ordem de um determinante-Regra de Chiá. . . . . .. 94-0
VIII. Matriz de Vandermonde (ou das potências). . . . . . . . . . . . . . . . .. 99-0
Apêndice I
Oemonstração do teorema de Laplace 105-0
Apêndice 11
Cálculo da matriz inversa através de determinantes 108-0
CAPITULO VI - SISTEMAS LINEARES
I. Intrbdução 115-0
11. Teorema de Cramer 122-0
111. Sistemas escalonados 126-0
IV. Sistemas equivalentes ~ Escalonamento de um sistema 131-0
V. Sistema linear homogêneo 147-0
VI. Caracter{stica de uma matriz 151-0
RESPOSTAS DE EXERCfCIOS 161-0
TESTES ' 175-0
RESPOSTAS DOS TESTES 227-0
Pierre-Simon de Laplace
(1749 - 1827)
Napoleão demite ministro do interior
Pierre-Simon de Laplace francês, de descendência humilde, estudou na
Academia Militar por influência de amigos.
CAPÍTULO I
SEQÜÊNCIAS
Vamos, daqui em diante, indicar uma seqüência f anotando apenas a ima-
gem de f:
Sem grandes convicções políticas, pouco participoU de atividades revolu-
cionárias embora tenha sido nomeado por Napoleão para o cargo de Ministro do
Interior do qual foi despojado logo mais pois, como dizia o próprio Napoleão,
"ele transportava
o espírito do infinitamente pequeno à direção dos negócios de
sua pasta". Mesmo assim, acabada a Revolução Francesa, recebeu o título de
marquês e em suas obras procurava sempre incluir elogios fervorosos ao grupo
que estivesse no poder, procurando assim fazer as pazes com cada regime que
aparecesse.
Laplace foi professor na Escola Normal e na Escola Politécnica, participando
também do Comitê de Pesos e Medidas.
Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando
uma obra admirável que é a "Teoria Analitica das Probabilidades" em 1812, onde
mostra ter conhecimentos avançados de Análise.
Em "Ensaio filosófico das probabilidades" escreveu que "no fundo a Teoria
das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números".
Em 'Teoria Analitica" encontramos entre outros resultados, o cálculo de
1r através dos problemas das agulhas de Buffon, esquecido há muitos anos, e um
estudo da probabilidade inversa iniciado por Bayes.
Em "Exposição do Sistema do Mundo", de 1796, e em "Mecânica Celeste",
de 1799, apresentou sua hipótese de que o sistema solar se originou de um gás
incandescente girando em torno de um eixo que, ao esfriar, se contraiu causando
rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se desprenderam sucessivos
anéis que formaram os planetas. O centro restante da massa de gás, em rotação,
constituiu o sol. Esta publicação marcou o auge da teoria de Newton, explicando
todas as perturbações do sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é
secular, não lhe parecendo mais necessário admitir a intervenção divina em certas
ocasiões.
I. NOÇÕES INICIAIS
1. Definição
Chama-se seqüência finita ou n-upla
toda aplicação f do conjunto
N~ = {1,2,3, ... ,n}emIR.
Assim, em toda seqüência finita, a
cada número natural i (1 ..;;; i ..;;; n) está
associado um número real ai
2. Definição
Chama-se seqüência infinita toda
aplicação f de N* em IR.
Em toda seqüência infinita, a cada
i E N* está associado um ai E IR.
Para Laplace a natureza era a essência e a Matemática apenas uma coleção
de instrumentos, que ele sabia manejar com muita habilidade sempre mantendo
um sentimento de honestidade intelectual com as Ciências.
onde aparecem entre parênteses ordenadamente, da esquerda para a direita, as ima-
gens dos naturais 1, 2, 3, ... , i, . .. .
1-0
ExemplosQuando queremos indicar uma seqüência f qualquer. escrevemos
1?) Escrever a seqüência finita f cujos termos obedecem a seguinte fórmula de
recorrência: ai = 2 e an = an-I + 3. V n E {2. 3. 4. 5. 6}.
e lemos "seqüência f dos termos ai onde o conjunto de índices é I".
3. Exemplos
19) (1. 2. 3. 4. 6. 12) é a seqüência (finita) dos divisores inteiros positivosde 12 dispostos em ordem crescente.
29) (2. 4. 6. 8•...• 2i•... ) é a seqüência (infinita) dos múltiplos inteirospositivos de 2.
39) (2.3.5.7. 11 •... ) é a seqüência (infinita) dos números primos positivos.
Observando o 29 exemplo. notamos que estão indicadas entre parênteses asimagens de 1. 2. 3•...• i•... na aplicação f: N* --,> IR dada por f O) = 2i.
11. IGUALDADE
4. Sabemos que duas aplicações f e g são iguais quando têm domínios iguais ef(x) = g(x) para todo x do domínio. Assim. duas seqüências infinitas f = (ail;E~' eg = (bi)iE~' são iguais quando f(i) = g(i). isto é. ai = bj para todo i E N*. Em
símbolos:
6.
Temos:
= 2 ~ a2 = ai + 3 = 2 + 3 = 5n
n = 3 ~ a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8
n = 4 ~ a4 = a3 + 3 8 + 3 = 11
= 5 ~ as = a4 + 3 = 11 + 3 14n
n 6 ~ a6 = as + 3 = 14 + 3 = 17
então f = (2.5.8.11.14.17).
20 ) Escrever os cinco termos iniciais da seqüência infinita g dada pela seguinte
.
- . b 1 e b 3 b V n E N e n;;;' 2.fórmula de recorrencla: I = n = • n-I.
Temos:
n = 2 ~ b2 = 3· b l = 3· 1 = 3
n = 3 ~ b3 = 3· b2 = 3· 3 = 9
n = 4 ~ b4 = 3· b3 = 3· 9 = 27
n = 5 ~ bs = 3· b4 = 3· 27 = 81
entãog = (1.3.9.27.81 •... l.
Expressando cada termo em função de sua posição
~ dada uma fórmula que expressa an em função de n.
bi. Vi EN*
Exemplos
111. LEI DE FORMAÇÃO .. - . f"ln"lta f cUJ'os termos obedecem à lei anEscrever a sequencla
n E {1.2.3.4}.
2n •
Interessam à Matemática as seqüências em que os termos se sucedem obe-decendo a certa regra. isto é. aquelas que têm uma lei de formação. Esta pode ser
apresentada de três maneiras:
5. Por fórmula de recorrência
São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (ad e outra
para calcular cada termo (an) a partir do antecedente (an-I).
2-0
2?l
Temos:
_ 21 _ 2 ~ 22 = 4 a = 23 = 8 e a4 = 24= 16 então f = (2. 4. 8. 16).ai - -, a2 ' 3
Escrever os cinco termos iniciais da seqüência infinita g em que os termos
verificam a relação bn = 3n + 1. V n E N*.
Temos:
b = 3 • 1 + 1 = 4. b2 = 3 • 2 + 1 = 7. b3 = 3 . 3 + 1 = 10.b: = 3 • 4 + 1 = 13 e b
s = 3 • 5 + 1 = 16 então g = (4. 7. 10. 13. 16.... ).
3-0
7. Por propriedade dos termos
CAPÍTULO II
I. DEFINiÇÃO
1
3
1 e r = 2
° e r = -2
4 e r ='°
12 e r
onde ai = 4 e r
(1,3,5,7,9, ... )
(O, -2, -4, -6, -8, ... )
(4,4,4,4,4, ... )
13579(2'2'2'2'2"")
11 10 8
(4, 3 3,3, 3'''' If s
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
8. Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma seqüência dada pela seguinte
fórmula de recorrência:
{:~ : :n-I + r, 'V n E N, n ;;;> 2
onde a e r são números reais dados.
Assim, uma P.A. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é a
soma do anterior com uma constante r dada.
Eis alguns exemplos de progressões aritméticas:
onde ai
onde ai
onde ai
0(1) = {1, -1} "* ai = 2
0(2) = {1,-1,2,-2} "* a2 4
0(3) = {1, -1, 3, -3} "* a3 4
0(4) = {1, -1,2, -2, 4, -4} "* a4 = 6
0(5) = {1, -1,5, -5} "* as = 4
0(6) = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} "* a6 8
então f = (2, 4, 4, 6, 4, 8).
2?1 Escrever os cinco termos iniciais da sequencia infinita g formada pelos
números primos positivos colocados em ordem crescente.
Temos g = (2,3,5,7,11, ... ).
Notemos que esta seqüência não pode ser dada por fórmula de recorrência
bem como não existe fórmula para calcular o n-ézimo número primo positivo a
partir de n.
É dada uma propriedade que os termos da seqüência devem apresentar.
Exemplos
1?) Escrever a seqüência finita f de seis termos em que cada termo é igual ao
número de divisores inteiros do respectivo índice.
Temos:
a) ai = 5 " a n = an_1 + 2, 'V n ;;;> 2
b) b l = 3 " b n = 2' bn-I, 'V n ;;;> 2
c) c1 = 2 " cn = lcn_I )2, 'In;;;> 2
dI di = 4" d n = (-1)n. dn_lo'Vn;;;> 2
e) el = -2 e "n = (en_l)n, 'In;;;> 2.
EXERCICIOS
0.1 Escrever os seis termos iniciais das seqüências dadas pelas seguintes fórmulas de re-
corrência:
0.3 Descrever por meio de uma fórmula de recorrência cada uma das seqüências abaixo:
0.2 Escrever os seis termos iniciais das seqüências dadas pelas seguintes leis:
a) afl = 3n-2, 'Vn;;;>l b) bn = 2'3n, 'Vn;;;>l
c) cn = n(n+1).'Vn;;;>l d) d n = (-2)n, 'Vn;;;>l
e) en = n3, 'V n ;;;> 1.
a) (3,6,9,12,15,18, )
c) (1, -1,1, -1,1, -1, I
e) to, 1, 2, 3, 4, 5, ... )
b) tl, 2, 4,8, 16,32, )
d) (5,6,7,8,9,10, )
11. CLASSIFICAÇÃO
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
Hl crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. É
imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois:
an > an-I <=> an - an_1 > O <=> r > O.
Exemplos: fi e f4 ·
4-0 5-0
2~) constantes'são as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver
que isto só ocorre quando r = O, pois:
Exemplo: f3
3~) decrescentes são as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. Isto
ocorre somente se r < O, pois:
O
De CD obtemos x = 8, substituindo em 0 vem:
(8 - rl • 8 • (8 + rl = 440 ~ 64 - r2 = 55 <=> r2 = 9 <=> r = ± 3.
Assim, a P.A. procurada é:
(5. 8. 111 para x = 8 e r = 3 ou (11, 8, 51 para x = 8 e r = -3.
0.7 Obter uma P.A. crescente formada por números inteiros e consecutivos de modo que a
soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.
Exemplos: f2
e fs.
230.8 Obter 3 números em P.A. s(Jbendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é 30'
0.10 Obter 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3e a soma de seus quadradàs seja 11.
111. NOTAÇÕES ESPECIAIS
Quando procuramos obter uma P.A. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática
a notação seguinte:
0.9 Uma P. A. é formada por 3 termos com as segu intes propriedades:
I) seu produto é igual. ao quadrado de sua soma;
11) a soma dos dois primeiros é igual ao tercei ro.
Obter a P.A.
EXERCiclOS
3~) para 5 termos; (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou
(x - 2r, x - r, x, x + r, x.j. 2rl.
Solução
Empregando a notação especial (x - 3v, x - v, x + V, x + 3vl, temos:
( CD (x - 3v) + (x - V) + (x + V) + (x + 3v) = 32o (x - 3v) (x - V) (x + V) (x + 3v) = 3.465
De CD vem 4x = 32, isto é, x = 8.
Substituindo em 0 o valor de x, temos:
0.11 Obter uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto é 3 465.
2'onde y
H) para 3 termos: (x, x + r, x + 2r) ou (x - r, x, x + r)
2~) para 4 termos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)
r
0.5 Determinar a de modo que (a2, (a + 1)2, (a + 5)2) seja uma P.A.
3465
640 ± 622
18
(64 - 9y2) ·(64 _ V2)
O ~ V +j640±~ = ±9V4 - 640V 2 + 631 ~
v'631 v'631
entãoy ~ 1 ou V = -1 ou V ~ --3- oU V = ---3-'
Como a P.A. deve ter elementos inteiros, só convêm-as duas primeiras. Assim, temos:
(8-3V)·(8-V)·(8 + v)·(8 + 3v) = 3465
(2x + 1) - x = (5x + 7) - (2x + 1) =?x + 1 = 3x + 6 =? X = -f.
Determinar x de modo que (x, 2x + 1, 5x + 71 seja uma P.A.
Solução
Devemos ter a2 - aI=: a3 - 81. então:
0.4
o
0.12 (FFCLUSP-1965) A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética
é -6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determinar esses termos.
0.13 Obter uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o dos
meios seja 77.
0.6 Obter uma P.A. de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.
Solução
Empregando a notação especial (x - r, x, x + r) para a P.A., temos:
{ CD (x - ri + x + (x + r) = 24o (x - r) • x • (x + ri ~ 440
x = 8 e V
x 8 e V
1 =? (5, 7, 9, 11)
-1 =? (11,9.7,5) c)
6-0 7-0
0.14 Obter 4 números reais em P.A. sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados
é 166.
0.15 Obter uma P.1l>.. de 5 termos sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3 025.
IV. FÓRMULA DO TERMO GERAL
9. Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma, P.A. e admitindo
dados o primeiro termo (atl, a razão (r) e o índice (n) de um termodesejado, temos:
Solução
Utilizando a notação (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2rl, temos:
{ CD (x - 2rl + (x - rl + x + (x + rl + (x + 2rl ~ 25(3) (x - 2rl3 + (x - rl 3 + x3 + (x + rl 3 + (x + 2rl3 ~ 3026
De CD vem: 5x ~ 25, isto é, x ~ 5.
De (3) vem:
(x 3 - 6x2r + 12xr2 - 8r3) + (x3 - 3x2 r + 3xr2 _ r3) + x3 + (x3 + 3x2r + 3xr2 +
+ r3) + (x3 + 6x2r + 12xr2 + 8r3) = 3025
isto é: 5x3 + 30xr2 = 3025.
Lembrando que x = 5, temos:
5 • 53 + 30· 5 • r2 = 3025 .~ 150r2 ~ 2 400 ~ r2
Portanto a P.A. é: (-3, 1,5,9,13) ou (13,9,5, I, -3l.
16 ~ r ±4.
a2 ai + r
a3 a2 + r
a4 a3 + r
a n = an_1 + r
Somando essas n - 1 igualdades, temos:
a2 + a3 + a4 + ... + a n = ai + a2 +a3 + ... + a n -I + (n - 1I • r
\ ./' I
cancelam-se
e, então, a n = ai + (n - 1) • r, o que sugere o seguinte
10. Teorema
0.16 Obter uma P.A. decreocente com 5 termos cuja soma é -10 e a soma dos quadrados é 60.
0.17 Obter 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é '::'33 .
0.18 Achar 5 números reais em P.A. sabendo que sua soma é 10 e a soma dos cubos dos dois
primeiros é igual à soma dos cubos dos dois últimos.
0.19 Mostrar que se (a, b, c) é uma P.A., então (a2bc, ab2 c, abc2) também é.
Solução
Temos, por hipótese, b - a = c - b = r. Então:
ab2c-a2 bc = abc(b-a) = abcr = abc(c-b) ~ abc2 -ab2c.
0.20 Provar que se (_1_, _1_, _1_ 1é uma P.A., então (z2, x2, y2) também é.
x+y y+z z +x
0.21 Provar que se (a, b, cl é uma P.A., então (a2(b + el, b2(a + c), c2(a + b)) também é.
. 0.22 Sabendo que (a, b. c) e (.!.. -.!.. -.!.) são P.A.• mostrar que 2ad ~ c(a + c).
b c d
0.23 Sabendo que la, (J, 'Y, Ó) é P.A., provar que:
(Ó + 3(J) (Ó - 3(J) + (a + 3'Y) (a- 3'Y) ~ 2(aÓ - 9(J'Yl.
8-0
Na P.A. em que o primeiro termo é ai e a razão é r, o n-ézimo termo é
Demonstração pelo princípio da indução finita
I) Para n = 1, temos: ai = ai + (1 - 1) • r (sentença verdadeira)
11) Admitamos a validade da fórmula para n = p: ap = ai + (p - 1) • r (hipótese
de indução) e provemos que vale para n p + 1:
a p+ I = a p + r (ai + (p - 1) • rI + r ~ ai + [(p + 11- 1] • r
Então an ai + (n - 1) • r, V n E N*.
EXERCíCIOS
0.24 Calcular o 179 termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.
Solução
Notando que ai = 3 e r ~ 5, apliquemos a fórmula do termo geral:
al7 = ai + 16r = 3 + 16· 5 = 83.
9-0
(
0.37 Provar que se (ai, a2. a3•... , anl é P.A.• com n > 2, então
Solução
Temos: an < O =? ai + (n - 1 Ir < O =? 60 + (n - 11 (-71 < O =? n - 1 > 670 =?
=? n > ~7 ::= 9.5.
0.25 Obter o 12~. o 27~ e o 100~ termos da P.A. (2,5,8, 11, ... I.
0.26 Obter a razão da P. A. em que o primeiro termo é - 8 e o vigésimo é 30.
Solução
a20 = ai + 19r =? 30 = -8 + 19r =? r = 2.
0.27 Obter a razão da P.A. em que a2 = 9 e al4 = 45.
Concluímos que an < O para n
da P.A. é alO'
10. lI, 12•...• portanto. o primeiro termo negativo
0.28 Obter o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23~ termo é 86.
0.29 Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2~ termo é 24 e a razão é 27
0.30 Obter a P.A. em que alO = 7 e a12 =-8.
22222222(a2 - ai' a3 - a2, a4 - a3" .. ,an - an_11 também é.
0.38 Provar que se uma P.A. apresenta 3m = x, an = y e ap
(n - p) • x + (p - ml • Y + (m - n) • z = o.
Z, então verifica·se a relação:
Solução
Para escrever a P.A. é necessário determinar aI e r.
Temos:
7 =? ai + 9r = 7 G)
-8 =?al +llr = -8 0
Resolvendo o sistema acima, temos:
0.39 Provar que os termos de uma P.A. qualquer onde O não participa verificam a relação:
V. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
149 134 119
e, portanto, a P.A. é (-2 ' )2 '2' .. ··
0-G) =?2r = -15= r 15
2
149
2
Em toda seqüência finita (ai, a2, ... , an_I, anl, os termos ai e an são
chamados extremos e os demais são chamados meios. Assim, na P.A. (O, 3, 6, 9,
12, 15) os extremos são O e 15 enquanto os meios são 3, 6, 9 e 12.
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os números a e b
significa obter uma P.A. de extremos ai = a e an = b, com n = k + 2 termos.
Para determinar os meios dessa P.A. é necessário calcular a razão, o que é feito assim:
0.31 Determinar a P.A. em que o 6~ termo é 7 e o 10~ é 15.
0.32 Qual é a P.A. em que o lÇ' termo é 20 e o 9Ç' termo é 44?
0.33 Determinar a P.A. em que se verificam as relações:
al2 + a21 = 302 e a23 + a46 = 446.
p.34 Na P.A. em que ap = a e aq = ti com p * q, calcular o termo ap +q .
ai + (n - 1) • r =? b = a + (k + 1) • r =? r
Exemplo
Interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2.
Vamos formar uma P.'A. com 7 termos onde ai
b - a
k + 1 .
2. Temos:
lIME-1965) Determine a relação que deve existir entre os números m, n, p e q, para que
se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mes_ma progressão aritmética: ai + 6· r =? r
2 - 1
6
1
6
3 m + an = ap + aq.
O}'"" Qual é o primeiro termo negativo da P.A. (60,53,46, ... )?
10-0
7 8 9 10 _11 2)
então a PA é (1, 6"' 6' 6' 6' 6' .
11-0
EXERCíCIOS
0.40 Intercalar 5 meios aritméticos entre -2 e 40.
1 + 2 + 3 + ... + P = p(p + 1)
2
+ 2 + 3 + ... + P + (p+l)
e provemos par~ n = p + 1:
Solução
Devemos obter a razão da P.A. com 7 termos (2 extremos e 5 meiosI em que
a, = -2 e a7 = 40. Temos: a7 = a, + 6r => 40 = -2 + 6r => r = 7
então a P.A. é (-2. 5, 12,
19, 26, 33, 40)
'--,-------./
meios
p(p + 1) + 2(p + 1)
2
p(p + 1)
2
(p+l)(p+2)
2
+ (p + 1)
0.41 Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da
interpolação seja ~ 7
Então 1 + 2 + 3 + ... + n n(n + 1)
2 'v'n E N*.
~ Inserir 12 meios aritméticos entre 100 e 200.
D~' Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, são múltiplos de 137
Exemplo
A soma dos 50 termos iniciais da seqüência dos inteiros positivos é:
.,/0;.44 De 100 a 1000 quantos são os múltiplos de~ 37 50(50 + 1)1 + 2 + 3 + ... + 50 = 2 = 25 X 51 = 1 275.
(
0.45 Ouantos números inteiros e positivos. formados de dois ou três algarismos, não são
divisíveis por 77
0.46 (ITA-661 Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não divisíveis nem por
5 e nem por 7?
Utilizando a fórmula do termo geral, podemos calcular a soma Sn dos n
termos iniciais da P.A. (a" a2, ... , an, ... ).
0.47 (MAPOFEI-751 Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto
termo da P.A.7
12. Teorema 2
Em toda P.A. tem-se: n(n - 1)na, + 2 • r
VI. SOMA Demonstração
11. Teorema 1
Vamos deduzir uma fórmula para calcular a soma Sn dos n termos iniciais
de uma P.A.
(a, + a, + ... + ad + (r + 2r + ... +(n - llrl =
\ I
n parcelas
a, + (n - 1) • r
= na, + (1 + 2 + ... + (n - 1)) • r.
+
1(1 + 1)
Para n = 1, temos: 1 = 2 (sentença verdadeira)
Demonstração por indução finita
I)
n(n + 1)
A soma dos n primeiros números inteiros positivos é 2
11) Admitamos a validade da fórmula para n = p: Pelo teorema 1: 1 + 2 + ( ) (n - l)n _
... + n - 1 = 2 entao:
12-0 13-0
\
(n-1)'n
nal + 2 • r
EXERCíCIOS
0.48 Calcular a soma dos 25 termos iniciais da P.A. (1,7, 13, ... l.
a2S = ai + 24· r = 1 + 24 X 6 = 145
isto é:
"In - 11
nal + 2 • r
Solução
Sendo aI 1 e r = 6, temos:
25(1 + 1451
2
= 1 825.
0.49 Obter a soma dos 200 primeiros termos da seqüência dos números ímpares positivos.
Calcular também a soma dos n termos iniciais da mesma seqüência.
13. Teorema 3
Em toda P.A. tem-se:
Solução
A seqüência (1,3,5, ... ) ê uma P.A. em que ai
a200 = a I + 199 • r = 1 + 199 X 2 = 399
1 e r 2, então:
200(1 + 3991
2 = 40000
an ai + (n - llr = 1 + In - 11 • 2 = 2n - 1
Demonstração
n(l + 2n-ll _ 2
2 - n .
n(n - 1) 2nal + n(n-1)r
Sn = na. + . r = 22
n[al + ai + (n-1)r] n(al + an )
2 2
Exemplos
n[2al + (n - 1)r]
2
0.50 Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 3507
0.51 Qual é a soma dos 120 primeiros números pares positivos? E a soma dos n primeiros?
.rtr.S2 Obter a soma dos 12 primeiros termos da P.A. 16, 14,22, ... l.
0.53 Obter a soma dos n elementos iniciais da seqüência:
l-n 2-n 3-n1--, --, --" .. l.
n n n
19) A soma dos 15 termos iniciais da P.A. (-2, 1, 4, 7, ... ) é: 0.54 Determinar a P.A, em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650.
29) A soma dos múltiplos inteiros de 2 desde 4 até 100 pode ser calculada
(4 6 8 100) é uma P.A. de 49 termos em que ai = 4 enotando-se que , , .... ,
a49 = 100:
15 • 14
15(-2) + 2 . 3 -30 + 315 285.
Solução
Determinar uma P.A. é obter 8] e r Temos:
a20 = 2 => ai + 19r = 2 CD
5012al + 49,) = 650 2 49 26S 50 = 650 => . 2 => ai + r =
Resolvendo o sistema CD e @ obtemos aI = -36 e r = 2, portanto, a P.Ã. pro-
curada é (-36, -34, -32, ... I.
14-0
49(4 + 100)
2
49 X 52 2548. 0.55 Qual é o 239 elemento da P.A. de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 2557
15-0
0.56 Quantos termos devem ser somados na P.A. (-5, -1, 3, ... ) a partir do 19 termo, para
que a soma seja 1 590?
45 190.57 Qual é o número mfnimo de termos que se deve somar na P.A. (13,4'2' ... ) a
partir do 19 termo, para que a soma seja negativa?
0.58 (MAPOFEI-76) Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em P.A.. 202, 206, 210, ... , por
distração não foi somada a 35~ parcela. Qual foi a soma encontrada?
,0':59 Determinar uma P.A. de 60 termos em que a soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos
/ 59 últimos é 130.
0.60 Determinar uma P.A. em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a soma dos 50
iniciais é 3650.
0.61 Calcular o quociente entre a soma dos termos de índice rmpar e a soma dos termos de
indice par da P.A. finita (4, 7, 10, ... , 517).
0.62 Qual é a soma dos múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos?
Solução
Os múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos constituem a P.A. (100, 105,
110, ... , 995), em que ai = 100, r = 5 e an = 995. O número de elementos dessa
P.A. é n tal que:
an = ai + (n - lIr ~ 995 = 100 + (n - 115 ~ n 180.
A soma dos termos da P.A. é:
0.67 (EESCUSP-66) Se numa P.A. a soma dos m primeiros termos é igual à soma dos n
primeiros termos, m #:- o, mostre que a soma dos m + n primeiros termos é igual a zero.
0.68 Demonstrar que em toda P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à
diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par.
0.69 (FAUUSP-66) Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos
quaisquer faz parte da progressão?
0.70 (EE. L1NS-671 Determinar uma progressão aritmética de razão 1, sabendo-se que O
número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de
ordem.!!. é 4.
3
0.71 (FFCLUSP-65) A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é
-6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determinar esses termos.
0.72 (ITA-58) Provar que se uma P.A. é tal que a soma dos seus n primeiros termos é igual
a n + 1 vezes a metade do enézimo termo então r = at.
180(100 + 995)
2 98550.
0.63 Qual é a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10 OOO?
0.64 (MAPDFEI-74) Qual é a soma dos múltiplos positivos de 7, com dois, trás ou quatro
algarismos?
0.65 Obter uma P.A. em que a soma dos n primeiros termos é n2 + 2n para todo n natural.
Solução
Como Sn = n2 + 2n, "In E 1\1*, temos:
12 + 2·1
22 + 2·2 5
e a P.A. é (3, 5, 7,9, ... ).
0.66 (MAPDFEI-74) Calcular o 19 termo e a razão de uma P.A. cuja soma dos n primeiros
termos é n2 + 4n para todo n natural.
16-0 17-0
a) P:G. com termos positivos
CAPÍTULO III
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA ,
b) P.G. com termos negativos
an > an_1 <=> O <~ < 1 <=> O < q < 1
an_1
Exemplos: fi e f4
11. CLASSIFICAÇÃO
Exemplo: fs
Exemplos: f2 e f3
b) P.G. com termos negativos
3~) decrescentes são as P.G. em que cada termo é menor que o anterior. No-
temos que isto pode ocorrer de duas maneiras:
a) P. G. com termos positivos
4~) alternantes são as P.G. em que cada termo tem sinal contrário ao do
termo anterior. Isto ocorre quando q < O.
Exemplo: f6
2~) constantes são as P.G. em que cada termo é igual ao anterior. Observe.
mos que isto ocorre em duas situações:
a) P. G. com termos todos nulos
ai = O e q qualquer
b) P.G. com termos iguais e não nulos
onde ai e q = 2
onde ai -1 e q = 2
onde ai 1 1e q 3
onde -54 e 1ai q 3
onde ai 7 e q 1
onde ai 5 e q -1
onde ai 3 e q O
= a
= an_1 • q, V n E N, n ;;;, 2
(1,2,4,8, 16, ... )
(-1, -2, -4, -8, -16, ... )
1 1 1 1(1'3'9' 27 '81'··· )
2(-54, -18, -6, -2, -3"" )
(7,7, 7, 7, 7, )
(5, -5, 5, -5, 5, )
(3, O, O, O, O, )
I. DEFINiÇÃO
onde a e q são números reais dados.
Assim, uma P.G. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
o produto do anterior por uma constante q dada.
Eis alguns exemplos de progressões geométricas:
14. Chama-se progressão geométrica (P.G.) uma seqüência dada pela seguinte
fórmula de recorrência:
As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco categorias:
H crescentes são as P.G. em que cada termo é maior que o anterior. Note-
mos que isto pode ocorrer de duas maneiras:
5~) estacionárias são as P.G. em que ai * O e a2
Isto ocorre quando q = O.
Exemplo: f 7
O.
18-0 19-0
111. NOTAÇÕES ESPECIAIS
Para a obtenção de uma P.G. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a
notação seguinte:
H) para 3 termos: (x, xq, Xq2) ou (~, x, xq)
q
2~) para 4 termos: (x, xq, xq2, xq3) ou (-; ,~, xv, XV3)
V V
3~) para 5 termos: (x, xq, xq2, xq3, xq4) ou (--;-, ~,x, xq, xq2)
q q
g) se' uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários,
então a P.G. é alternante.
hl existe uma P.G. de números reais em que a3 > O e a21 < O.
j) existe um~.G. de números reais em que ai > O e a20 < O.
j) se q > O, a P. G. é crescente.
k) se ai > O e q > O, a P. G. é crescente.
I) se q > 1, a P.G. é crescente
9 D . -, . P G d d . 210.7 etermmar tras numeros reais em . . e mo o que sua soma seJa "8 e a soma de seus
d . 189qua rados seja 64'
0.80 Obter a P.G. de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos
dois últimos é 300.
duto é 243.EXERCíCIOS
0.81
121
Determinar cinco números inteiros em P. G. sabendo que sua soma é - e seu pro-
3
0.73 Qual é o nú mero que deve ser somado a 1, 9 e 15 para que se tenha, nessa ordem, três
números em P. G. 7
0.82 (FAUUSP-66) Numa progressão geométrica de seis termos a soma dos termos de
ordem ímpar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determinar a progressão.
Solução
Para que (x + 1, x + 9, x + 15) seja P.G., devemos ter
D.83 Obter quatro números a, b, c, d sabendo que:
D.84 lIME-66) A soma de três números que formam uma P.A. crescente é 36. Determine
esses números, sabendo que se somarmos 6 unidades 80 último, eles passam a coos--
tituir uma P.G.
x+9 x+15
x + 1 = -;+g a, então:
(x+9)2 = (x+1)(x+151=~+18x+81 =~+16x+15=2x
=* x = -33.
-66 ==>
I) a + d
11) b + c
32
24
111) (a, b, c) é P.G.
IV) (b, c, d) é P.A.
0.74 (MAPOFEI-741 Qual é o número x que deve ser somado aos números a - 2, a e a + 3
para que a - 2 + x, a + x e a + 3 + x formem uma P.G.?
0.75 (FAM-65) Sabendo-se que x, x + 9 e x + 45 estão em P.G., determinar o valor de x.
0.76 A seqüência (x + 1, x + 3, x + 4, ... ) é uma P.G.. Calcular o seu quarto termo.
0.77 (EPUSP-59) Que tipo de progressão constitue a seqüência:
sen x, sen(x + rr). sen(x + 21Tl, ...• sen(x + nrr) com sen x =/=07
0.78 Classifique as sentenças abaixo em verdadeira (VI ou falsa (FI:
a) na P. G. em que ai> O e q > o. todos os termos são positivos.
b) na P. G. em que aI < O e q > O, todos os termos são negativos.
c) na P. G. em que ai > O e q < o. todos os termos são negativos.
dI na P.G. em que ai < O e q < O, todos os termos são negativos.
e) na P.G. de números reais em que q < O e ai =1= O, os sinais dos termos são alter-
nados, isto é, a P. G. é alternante.
f) na P. G. alternante, todos os termos· de índice Impar têm o sinal de ai e os de
Indice par têm sinal contrário ao de ai'
20-D
0.85 Provar que se x, Y. z estão em P.G. nesta ordem, vale a relação:
(x + y + z) (x - y + z) = x2 + y2 + z2.
0.86 Se a, b, c, d estão em P. G. nesta ordem, então (b - c)2 = ac + bd - 2ad.
0.87 Provar que se a, b, c formam nesta ordem uma P.A. e uma P.G., então a = b = c.
0.88 Provar que se os números a, b, c, d formam nesta ordem uma P.G. então vale a relação
(b - c)2 + (e - a)2 + (d - b)2 = (a - d)2.
0.89 Os lados de um retângulo apresentam medidas em P.G.. Calcular a razão da P.G..
0.90 Os lados de um triângulo formam uma P.G. crescente. Determinar a razão da P.G..
0.91 As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em P.G. e seu
produto é 1 728. Calcular as medidas dos lados.
0.92 (MAPOFEI-761 Calcular todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números
sen x f - é .
-2-' sen x, tg x armem uma progressao geom trtca
21-D
IV. FÓRMULA DO TERMO GERAL D.96 (ITA-59) Dada. uma P.G. finita ia" a2, a" ... , ato) de modo que ai = 2 e a2 = 6,
pergunta-se se é correta a igualdade
0.98 Obter a P.G. cujos elementos verificam as relações:
D.97 (MAPOFEI-76i Uma empresa produziu, no ano de 1975, 100000 unidades de um
produto.
Quantas unidades produzirá no ano de 1980, se o aumento anual de produção é de 20%7
15. Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.G. e admitindo
dados o primeiro termo (ai "* O). a razão (q "* O) e o índice (n) de um termo
desejado, temos:
a2 ai' q
a, a2 • q
a4 a, • q
...
I I
(alO,8 = 3. (2)b
Multiplicando essas n - 1 igualdades, temos:
a2 • a3 • a4 •...• an = ai' a2 • a3 • a4 •...• an-I • qn-I
~ \ J
I cancelarn-se I
82 + 84 + 86 10
a, + as + a7 30
D.99 Calcular o número de termos da P.G. que tem razão ~, 19 termo 6 144 e último termo 3.
0.100 Provar que se a, b, c são os elementos de ordem P. q, r, respectivamente, da mesma
P. G., então:
e, então, an
16. Teorema
ai' qn-I, o que sugere o seguinte
0.101 Provar que se (aI. 82, 83,' .. I é uma P.G., com termos todos diferentes de zero, então
L~, ~, ~, ... I também é P.G.
81 82 83
'* b = a. qk + I
Na P.G. em que o primeiro termo é aI e a razão é q, o n-ézimo termo é
n-I Ian = ai' q .
Demonstração
Demonstra-se pelo princípio da indução finita.
EXERCíCIOS
0.93 Obter o 109 e o 159 termos da P. G. (1, 2, 4, .8, ... i.
Solução
aiO al'q9 = 1.29 = 512
al5 = ai • ql4 = 1 • 214 = 4096
0.94 Obter o 1009 termo da P. G. (2, 6, 18, ... ).
0.95 Calcular o 219 termo da seqüência (1, O, 3, O, 9, O, .•. ).
22-0
D.l02Provarque se (ai, a2' a3, ... i é uma P.G., então (ai, a3' as, ... 1 e (a2,a4,a6itambém
são P.G.
V. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma
P. G. de extremos ai = a e an = b, com n = k + 2 termos. Para determinar os
meios dessa P.G. é necessário calcular a razão. Assim, temos:
'* q =kJ1.
Exemplo
Interpolar 8 meios geométricos (reais) entre 5 e 2 560.
Formemos uma P.G. com 1°termos onde ai = 5 e alO = 2 560. Temos:
fiii-IO ~560 9 r-alO = ai' q9 '* q = 9 -- = 9 --- = v' 512 = 2ai 5
então a P.G. é (5, 10,20,40,80,160,320,640,1 280,2560).
23-0
EXERc(CIOS EXERCICIOS
0.103 Inserir 6 meios geométricos reais entre 640 e 5.
0.104 Quantos meios se deve intercalar entre 78 125 e 128 para obter uma p. G. de razão ~?
5
0.105 Oual é o número mrnimo de meios geométricos que se deve interpolar entre 1 458 e
2 para a razão de interpolação ficar menor que ~?
0.107 Em cada uma das P.G. abaixo calcule o produto dos n termos iniciais:
ai (1, 2, 4, 8, ...1 e n = 10
bl (-2, -6, -18, -54, ... ) e n ~ 20
cl (3, -6, 12, -24....1 e n = 25
d) ((_2)0, (-2)1, (-2)2,(-2)3, ... 1 e n ~ 66
el ((_3)25, (_3)24, (_31 23 , ... 1 e n ~ 51
f) (ai, _a 2, a3, -a4, ... ) e n = 100
0.106 (EESCUSP-58) Sendo a e b números dados, achar outros dois x e y tais que a, x, y, b
formem uma P.G.
0.108 (MAPOFEI-71l
ai Calcular a soma S = 1092a + 10922a + 10924a + ... + 1092 2ra
b) Qual o valor de a se S ~ n + I?
VI. PRODUTO 0.109 Calcular o produto dos 101 termos iniciais da P.G. alternante em que aSl = -1.
Vamos deduzir uma fórmula para calcular o produto Pn dos n termos inici/lis
de uma P.G.
Multiplicando ambos os membros por q, obtemos:
0.110 Uma seqüência é tal que:
I) os termos de ordem par são ordenadamente as potências de 2 cujo expoente é igual ao
índice do termo, isto é. a2n = 22n para todo n ~ 1.
11) os termos de ordem ímpar são ordenadamente as potências de -3 cujo expoente é
igual ao índice do termo, isto é, 82n-l = (_3)2n-l para todo n ~ 1.
Calcular o produto dos 55 termos iniciais dessa seqüência.
Comparando os segundos membros deCDe0, podemos observar que a par-
cela ai só aparece emCD, a parcela alqn só aparece em0e todas as outras par-
celas são comuns às duas igualdades, então, subtraindo, temos:
18. Sendo dada uma P.G., isto é, conhecendo-se os valores de ai e q, procuremos
uma fórmula para calcular a soma Sn dos n termos iniciais da seqüência.
T 2 n-2 n-'emas: Sn = ai + ai q + a,q + ... + alq + alq
VII. SOMA DOS TERMOS DE P.G. FINITA
v
n fatores
(at • ai· ai· ...• atl
(q • q2 •...• qn-I)
\ }
31 • 82 • 33· ...• 3 n
17. Teorema
n(n-1)
--2-
Em toda P.G. tem-se: Pn a~. q
Demonstração
ai ai
a2 ai • q
x a3 ai • q2
a~ • qi+2+ ... + n-I = a~. q
n (n-II
2 0-CD
Supondo q =1= 1, resulta:
~ Sn • (q - 1)
isto é:
Este resultado sugere o seguinte teorema:
24-0 25-0
19. Teorema
A soma dos n termos iniciais de uma P.G. é
EXERCICIOS
1 1 10.111 Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da série 1 +"2 + "4 + 8" + .,.
(q '" 1)
0.112 Calcular a soma dos 20 termos iniciais da série 1 + 3 + 9 + 27 + ...
0.113 (MAPOFEI-76) Se a e q são númerOS reais não nulos. calcular a soma dos n primeiros
termos da P.G.: a. aq2. aq4. aq6 •....
Demonstração
Demonstra-se aplicando o princípio da indução finita:
0.114 (ITA-53) Partindo de um quadrado QI. cujo lado mede a metros. consideremos os
quadrados Q2. Q3. Q4•...• Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos
médios dos lados do quadrado anterior. Calcular. então. a soma das áreas dos quadrados
QI. Q2. Q3..... Qn·
20. Corolário 0.115 Quantos termos da P.G. (1. 3. 9. 27.... ) devem ser somados para que a soma dê 3 280.
A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é
(q", 1)
n
0.116 Determinar n tal que L 2i = 4088.
i = 3
0.117 A soma de seis elementos em P.G. de razão 2 é 1 197. Qual é o 1? termo da P.G.?
D. 118 Provar que em toda P.G. S~ + S~n = Sn • (S2n + S3n).
Demonstração 0.119 Determinar onze números em P.G. sabendo que a soma dos dez primeiros é 3069 e a
soma dos dez últimos é 6 138.
0.120 Uma P.G. finita tem n termos. Sendo S a soma dos termos, S' a soma de seus inversos e
SP o produto dos elementos. provar que p2 = S' .
21. Exemplos
termos iniciais sobre a reta real
VIII. LIMITE DE UMA SEOUI:NCIA
19) Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G. (1,3,9,27, ... )
atqlO-at '310 -159049-1510 = 29q - 1 3 - 1 2 = 524
22. 1 1 1Consideremos a seqüência (2' 4' 8' .... 2n .... ) e representemos seus 4
Temos:
29) Calcular a soma das potências de 5 com expoentes inteiros consecutivos
desde 52 até 526 . '
Trata-se da P.G. (52, 53. 54, ... , 526 ).
•
1
'2
1
4
I
1 1
O 16 8
I I I
1 .
que 1 000 • Impomos:
Notemos que os termos da sequencia vão se aproximando de zero. isto é,
para n bastante "grande" o enézimo termo da seqüência 2~ estará tão próxi mo de
zero quanto quizermos. Assim, desejando que' a distância entre 2~ e O seja menor
s = anq - ai
q - 1
26-0
27-0
Quer dizer que a partir do lO? termo, os termos da seqüência estarão próxi-
d O . - 1mos e ,com aproxlmaçao menor que 1000 .
Em geral, sendo dada uma aproximação € > O, é possível encontrar um nú-
mero natural no tal que
12~ -O I < € quando n > no
_ _ 1
Dizemos, então, que o limite de 2n ' quando n tende a infinito, é zero e
anotamos:
J.. < 1 =? 2n > 1000 = n > 92n 1000então:
23. Definição
Iim
n~+oo
1
- ~ O
2n
(pois 29 ~ 512 < 1000).
IX. SOMA oqs TERMOS OEP.G. INFINITA
25. Exemplo Preliminar
1 1 1
Consideremos a P.G. infinita (2' 4' 8' ... , 2n ' ... ).
Formemos a seqüência (SI, S2' S3' ... , Sn, ... ) onde:
1
SI ~ 2
1 1 3S2 ~ - + - ~-244
1 1 1 7S3 ~ -+-+ -~­2 488
.................................................................
1 1 1 1 2n - 1 1
Sn ~ 2 + 4 + "8 + .. , + 2n ~2"" ~ 1 - 2n
......................................
Esta última seqüência converge para 1 pois:
Quer dizer, que, quanto maior o número de termos somados na P.G.
(.!. .!..!. ) mais nos aproximamos de 1. Dizemos, então, que a soma dos infini-2' 4' 8' .. , ,
tos termos dessa P.G. é 1.
Uma seqüência (ai, a2, a3' .,,' an , ... ) tem um limite Q se, dado € > O, é
possível obter um número natural no tal que I an - Q I < € quando n > no- Neste
caso, indica-se Iim an ~ Q e diz-se que a seqüência converge para Q.
n+'+oo
24. Exemplo Importante
lim Sn ~ lim
n++oo n++ oo
(1 - ...!-n ) ~ 1 - li m J" ~ 1 - O ~ 12 n++ OO 2
Para nosso próximo assunto é importante saber que toda seqüência da forma
(1, q, q2, q3, "', qn, ... ), com. -1 < q < 1, converge para zero,
Assim, têm limite nulo as seqüências:
1 1 1 1
(1, 3' 9' 27' ... , ("3)n, ... )
1 1 1 1 n
(1, - 2' 4' -a' ..., (-"2) , )
(1; 0,7; 0,49; 0,343; ... ; (O,7)n )
28-0
26. Definição
Dada uma P.G. infinita (ai, a2, a3' ... , an, ... ), dizemos que ai + a2 + 000 ~ S
se, formada a seqüência (SI, S2' S3' ... , Sn, ... ) onde:
SI ~ ai
S2 ~ ai + a2
S3 ~ ai + a2 + a3
................
........................
esta seqüência converge para S, isto é, I~~+oo Sn ~ S.
29-0
27. TEOREMA
1 1
2l?) Calcular a soma dos termos da P.G. (2. -1. 2' - 4' ... ).
Se (aI, a2. a3 ..... ano ... ) é uma P.G. com razão q tal que-l <q<l.então 1 1Como q = - 2" e -1 < - 2" < 1.
a 224
decorre: S =~ =--1 = "3= 3'
q 1 + - -
2 2
Demonstração
Vamos provar que o limite da seqüência (SI' S2. S3 •...• Sn •... ) das somas
6 12 24
3l?1 Calcular S = 3 + 5 + 25 + 125 +
Como as parcelas formam uma P.G. infinita com razão q
2
- e5
parciais dos termos da P.G.
T alemas: Sn-
1 - q
. aI
e 1--'
- q
aI - alqn
1 - q
-1 < ~ < 1 vem: S = ~ =5' 1 - q
Lembrando que aI e q são constantes. notamos que - -1aI é constante; 'em-
-q
brando que. para -1 < q < 1. temos lim qn = O. Resulta. portanto. o seguinte:
n++oo
EXERCíCIOS
0.121 Calcular a soma dos termos das seguintes seqüências:
lim (Sn - ~) = fim -~ • qn = -~ • lim qn = _ aI • O = O
n++ OO 1-q n++oo 1-q 1-q n++oo ,--:q
isto é:
S = lim Sn
"7+00
~ 2.1.... ).
a) (2, 5' 25' 125 .....
1 1
cl (5, -1'5' - 25' ... );
0.122 Calcular a soma da série infinita:
1 2 1 2 1 n
+ 2 + - + - + - + - + .,. + (-3 )
3 5 9 25
1 1
b) (-3. -1. -3' -9' ... ):
4 2 1 1
d) I-S'5'-5'iO'''')
a) 0,417417417 ;
c) 0.17090909 ;
28. Observações
la) Se aI = O. a condição -1 < q < 1 é desnecessária paraa convergência da
seqüência (SI, S2. S3 .... ). Neste caso. é óbvio que a P.G. é (O. O. O.... ) '-sua soma
é zero. qualquer que seja q.
2a) Se aI =1= O e q < -1 ou q > 1. a seqüência (SI. S2. S3' ... ) não converge.
Neste caso. é impossível calcular a soma dos termos da P.G.
0.123 Qual é o número para o qual converge a série
2a a a a 7
3 + 9 + 54 + 324 + ....
3 6 12
0.124 Calcular S ~ '5 + 35 + 245 + ...
0.125 Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
b) 5.12121212 :
d) 9,3858585 ..
29.
30-D
Exemplos
1 1 1
1l?) Calcular a soma dos termos da P.G. (1 3' 9' 27' ... 1.
1 1
Como q = 3" e -1 < 3" < 1. decorre S
fraça-o geratriz do número decimal periódico N0.126 (MAPOFEI-75) Determinar a
= 121,434343 ....
'd do em vez de somar os 1000 elementos iniciais, calcula-se0.127 Qual o erro cometI o quan , .
a soma dos infinitos elementos da P.G. abaiXO?
.!.. .!....!... )(1. 3' 9' 27' ...
31-D
OS MAIORAIS EM ALGEBRA
Solicitado a relacionar os vinte maiores algebristas de todos os tempos, o
grande matemático francês André Veil, um dos componentes do grupo Bourbakl,
alinhou os seguintes nomes:
· • . . _ 1 1 J2
0.128 (FEI-1967) Mostre que existe a P.G. CUJOS tres primeiros termos sao J2 . 2 e 4e
determine o limite da soma dos n primeiros termos, quando n ~OO.
0.129 (FAUSP-67) A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 20 e a soma
dos termos de ordem par é 10. Obter o primeiro termo.
0.130 A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinitaoé 17 e a soma dos termos de
d é 17 C " d -or em par ""3' alcular o primeIro termo a progressao.
2502 2(a2 + 1)20.131 (ENE-59) Numa P.G. a, = e a4 = com a > O. Pede-se:
4(a2 + 1) 5a
a) estabelecer o conjunto de valores de a para os quais a P.G. é decrescente.
b) calcular o limite da soma dos termos para q = a - t.
0.132 (EPUSP-67) Divide-se um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se
a pane central; para cada um dos segmentos repete-se o processo, retirando-se suas
partes
centrais e assim sucessivamente. Calcular a soma dos comprimentos retirados.
0.133 (EPUSP-65) É dado um triângulo de perímetro p. Com vértices nos pOntos médios
dos seus lados, constrói-se um 2? triângulo. Com vértices nos pontos médios dos lados
do 2? constrói-se um 3? triângulo e assim pOr diante. Qual é o limite da soma dos
perímetros dos triângulos construídos?
0.134 (FAUUSP-67) É dada uma seqüência infinita de quadriláteros. cada um, a partir do
segundo, tendo pOr vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obter a soma das
áreas dos quadriláteros em função da área A do primeiro.
0.135 Num triângulo eqüilátero de lado a se inscreve uma circunferência de raio r.
Nesta circunferência, se inscreve um triângulo eqüilátero de lado a' e neste inscreve-se
uma circunferência de raio r'. Repete-se indefinidamente a operação de inscrição
Pede-se calcular:
ai o limite da soma dos lados dos triângulos;
b) O limite da soma dos raios das circunferências;
c) o limite da soma das áreas dos triângulos;
d) o limite da soma das áreas dos círculos.
0.136 Num quadrado de lado a inscreve-se um círculo; neste círculo se inscreve um novo qua-
drado e neste um novo círculo. Repetindo-se a operação indefinidamente, pede-se:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados;
b) a soma dos perímetros de todos os círculos;
c) a soma das áreas de todos os quadrados;
d) a soma das áreas de todos os círculos.
Fermat
Euler
Lagrange
Legendre
Gauss
Dirichlet
Kummer
Hermite
Eisenstein
Kronecker
Riemann
Dedekind
H. Weber
Hensel
Hilbert
Takagi
Hecke
Artin
Hasse
Chevalley
(1601 - 1665)
(1707 - 1783)
(1736 - 1813)
(1752 - 1833)
(1777 - 1855)
(1805 - 1859)
(1810 - 1893)
(1822 - 19011
(1823 - 1852)
(1823 - 1891)
(1823 -1891)
(1831 -1921)
(1842 - 1913)
(1861 -1941)
(1862 - 1943)
(1875 - 1960)
(1887 - 1947)
(1898 - 1962)
(1898 - )
(1909 - )
32-0
Esta lista é, no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma ques-
tão de elegância, Veil não se incluiu na relação, faltando com a verdade.
CAPÍTULO IV
MATRIZES
I. NOÇÃO DE MATRIZ
Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n
(indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m
linhas e n colunas.
30. Exemplos
1) [3 5 -1] é matriz 2 X 3
O ~ V2
4 -3
2) 3 2 é matriz 3 X 27
4
3) [O .9 -1 }J é matriz 1 X 4
4) U] é matriz 3 X 1
5) G ~J é matriz 2 X 2
35-0
31: Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado por a··.O índice i indica I~nh e 'd" I ' IJ a. a o.1n Ice J a co una as quais o elemento pertence. Com a convenção de que
as hnha~ s~Jam numer~das de cima para baixo (de 1 até m) eas colunas, da esquerdapara adlrelta (de 1 ate n), uma matriz m x n é representada por:
33. clT matriz-quadrada de ordem n é toda matriz do tipo n x n, isto é, é uma
matriz que tem igual número de linhas e colunas:
amn
..........................
Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto
dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1, isto é:
Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto
dos elementos que têm os dois indices iguais, isto é:
ou
........... . ....... .
aml am2 amn
all a12 aln
M a21 a22 a2n
M
11. MATRIZES ESPECIAIS
Há matrizes que, por apresentarem uma utilidade maior nesta teoria, recebem
um nome especial:
é quadrada de ordem 4. Sua
é quadrada de ordem 3. Sua diagonal
Exemplos
29) A matriz M =
principal é {a, 4, 3} e sua diagonal secundária é {-7, 4, -1}
diagonal principal é {O, 5, -1, -6} e sua diagonal secundária é {3, 6, 9, -3}.
19) A matriz M =
34. e) matriz-diagonal é toda matriz quadr?da em que os elementos que não per-
tencem à diagonal principal são iguais a zero.
a) matri~ ~ lin?a é toda matriz do tipo 1 x n, isto é, é uma matriz que tem
. uma unlca linha (exemplo 3 da página 35).
b) matriz - coluna é toda matriz do tipo m x 1 isto e' e' um t ., . ' , a ma nz que tem
uma unlca coluna (exemplo 4 da página 35).
c) matriz - nula é toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
Exemplos
[00 00 00]19) é a matriz nula do tipo 2 X 3
[000o]2<:') é a matriz-nula do tipo 2 X 2.
Uma matriz M do tipo m X n também pode ser indicada por: M = (a");E {1' IJ, 2, 3, "', m} e J E {1, 2, 3, ... , n} ou simplesmente M = (a")IJ m Xn
32.
37-036-0
0.137 Indicar explicitamente os elementos da matriz A = (aij)3 X3 tal que aij = i - j.
-EXERCIi::IOS
{
2X = x + 1
3y = 2y e. então. x = 1 e y = O
4 = y + 4
a13 = 1 - 3 = -2
a23 = 2 - 3 = -1
a33 = 3 - 3 = O
a12 = 1 - 2 = -1.
a22 = 2 - 2 = O.
a32=3-2=1.
Solução
Temos por definição:
Assim, a matriz é
a 1l = 1 - 1 = O.
a2l = 2 - 1 = 1.
a31 = 3 - 1 = 2.
0.138 Construir as seguintes matrizes:
{
1.sei=j
A = (aij)3X3 tal que aij = . ..J- •
O. se J -r- J
{
I. se i + j = 4
B = (bij)3X3 tal que bij = .' ..J-
O. se I + J -r- 4
0.139 Determinar x e y de modo que se tenha [2
3
X 3:] [ x : 1 y~ 4]
Solução
Temos, por definição, que satisfazer o sistema:
Exemplos
[~ -~ ] u
O
-:l 31[:
O
n1) 2) -2 OO O
4) [ ] [: O ~ ]O O 5) 3O O O
35. f) matriz-unidade de ordem n (indica-se In) é toda matriz-diagonal em que os
elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Exemplos
I, - [ : ~] + :J
1 O O OO
O 1 O O
13 14 OO O 1O
O O O 1
36. Definição
111. IGUALDADE
0.140 Determinar x. y. z e t de modo que se tenha
Duas matrizes A=(aij)m x n e B=(bij)m x n são iguais quando aij =bjj para
todo i {i E {1. 2, 3..... m}) e todo j (j E {1. 2, 3, .... n}). Isto significa que para serem
iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos
correspondentes (elementos com índices iguais) iguais.
2x
5
x
5t :]
Exemplos
1)[1 -3]=[1 -3]
7 -4 7-4
2)[; ~:]*[-3
IV. ADiÇÃO
37. Definição
Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)mx n. chama-se soma A + 8 a
matriz C = (Cij)mxn tal que Cij ~ aij + bjj. para todo i e todo j. Isto sig~ifica que a
soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipO em que
cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.
38-D 39-0
38. Exemplos
A adição de matrizes do tipo m x n goza das seguintes propriedades:
(1) é associativa: (A + B) + C = A + ( B + C) quaisquer que sejam A, B e C
do tipo m X n.
(2) é comutativa: A + B = B + A quaisquer que sejam A e B, do tipo m X n.
(3) tem elemento neutro: 3 MIA + M = A qualquer que seja A do tipo m X n.
(4) todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m X n: 3 A' IA + A'= M.
Demonstração
1?l [ :
2 :] [-: -1 -:] [ 1+4 2 - 1 3+1]+5 O 4 - 4 5+0 6-6
[~ 1 :]5
[: :] [~ :]= [7+0 8+1] [1: 1:]2?) + 9+2 9+3
[,;j [:J [ 5+'1 [J13?) + 11 - 2~+34
39. Teorema
-8 .-7]
O -1
1 -~]8
O -1 -~] [ 11 9 7 ~]
-7 -8 -5 -3 -1
r ;2=-A = v <
L
:]8O
~] [~~
~] + [-~87
8
7
9
4
4
9
Exemplo
1?) A =
2?) A = [ 9
-Y'2
Exemplos
Dadas duas matrizes A = (aij)mX n e B = (bij)m x n, chama·se diferença A - B
a matriz soma de A com a oposta de B.
41. Definição
Dada a matriz A = (aij)m x n, chama-se oposta de A (indica-se -Al a matriz A'
tal que A + A' = O.
40. Definição
(4) impondo A + A' = M = O, resulta:
aij + aij = O == aij = - aij \f i, \f j
isto é, a simétrica da matriz A para a adição é a matriz A' de mesmo tipo que
A, na qual cada elemento é simétrico do correspondente em A.
Fazendo A + B = X e B + A = Y, temos:
Xij = aij + bij = bij + aij = Vij
Fazendo (A + B) + C = X e A + (B + C) = Y, temos:
Xij = (ajj + bjj) + cij = ajj + (bij + Cij) = Vij
para todo i e todo i.
(2)
(1)
(3) Impondo A + M = A, resulta:
aij + mij = aij == mij = O == M = O
isto é, o elemento neutro é a matriz nula do tipo m x n.
EXERCICIOS
U141 Dadas A = [: :]eB=[: -:],caIcUlarA+BeA-B
40-0
41-0
calcular A + B + C, A - B + C, A - B -
C e -A + B _ C.
0.142 Dadas A = [ 1 5 7] B [ 2
3 9 11 ' = 8
4
10 1:] eC= [~. -~ -:] 0.14s"Resolver a equação matricial X - A - B = C, sendo dadas:
o. 143 Calcular a soma C = (Cij)3 X3 das matrizes A = (aij) 3X3 e B = (bij) 3X3 tais que
aij = i2 + j2 e bij = 2ij.
0.149 Obter X tal que
7
10
Calcular a soma C21 + C22 + c23'
o. 144 Seja C = (Cij)2 X 3 a soma das matrizes A =
0.145 Determinar, Ci, (1, 'Y e li de modo que se tenha:
[~:]+[~ -~]=[~~]
V. PRODUTO DE NÚMERO POR MATRIZ
42. Definição
0.146 Determinar x e y de modo que se tenha:
[Y
3 3X] [-V X2] [-1 1] [5 1]
Y2 4x + 2y x2 + 2 2 = 10 -1
Dado um número k e uma matriz A = (aij)m X n chama-se produto kA a ma-
triz B = (bij)m X n tal que bíj = k aij para todo i e todo j. Isto significa que multipli-
car uma matriz A por um número k é construir uma matriz B formada pelos ele-
mentos de A todos multiplicados por k.
0.147 Dadas as matrizes:
A= [1 :], B= [O 5] eC= [-1 7]
2" 7 6 5-2
determinar a matriz X tal que X + A = B - C
Solução 1
Fazendo X =
=[X +1
z + 2
43. Exemplos
[~ 7 -~] = [1: 21
-:]19) 3 . - 1 -3
[,: 2
-:] [:
1
-:]
29) I 6 32
12 6
44. Teorema
= (x + 1 = 1, y + 2 = -2, z + 2 = 2 e t + 3 = 81 =
[00 -54]= (x = O, y = -4, z = O e t = 5), então X =
Solução 2
Utilizando as propriedades da adição, temos:
X+A=B-C=X+A-A=B-C-A=X=B-C-A
então: X = [O 5] _ [ -1 7] _ [ 1 2] = [O -4]
7 6 5 -2 2 3 O 5
o produto de um número por uma matriz goza das seguintes propriedades:
(1) a (b· A) = (ab) • A
(2) a (A + B) = a • A + a B
(3) (a + b) • A = a • A + b A
(4) 1 • A = A
onde A e B são matrizes quaisquer do tipo m x n e a e b são números reais quaisquer.
Deixamos a demonstração deste teorema como exercício para o leitor.
42-0 43-0
EXERCICIOS
VI. PRODUTO DE MATRIZES
1 1
0.150 Calcular as matrizes 2A. '38. e 2" (A + 8). sendo dadas
determinar X em cada uma das equações abaixo:
45. Definição
Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p. chama-se produto AB a
matriz C = (Cik}m x p tal que
n
Cik = ail • blk + ai2 • b2k + aj3 • b3k + ... + ain bnk = L
j = 1
a) 2X + A = 38 + C
b) X + A = .!- (8 - C)
2
o. 152 Resolver o sistema:
c) 3X + A = 8 - X
d) .!. IX - A - 8) = .!. (X - C)2 3
para todo i E {l. 2..... m} e todo k E {l, 2•...• p}
46. Observações
{
X + Y = 3A
X - Y = 28
l~) A definição dada garante a ex istência do produto AB somente se o número
de colunas de A for igual ao número de linhas de B, pois A é do tipo m x n e B é do
tipo n x p.
Solução
Somando membro a membro as duas equações, resulta:
2~) A definição dada afirma que o produto AB é uma matriz que tem o núme-
ro de linhas de A e o número de colunas de B. pois C = AB é do tipo m x p.
Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta:
X + Y + X - Y = 3A + 28 = 2X = 3A + 28 = X = .!. (3A + 28)
2
(n elementos)
(11) toma-se a coluna k da matriz B:
3~) Ainda pela definição. um elemento cik da matriz AB deve ser obtido pelo
procedimento seguinte:
(I) toma-se a linha da matriz A.
~n =[: ;]
-:n=[-~ -:]
1~] + [~ 1~]) = ~ [:
1~] [~ 1~]) =1[_:
X + Y - X + Y = 3A - 28 = 2Y = 3A - 28 = Y = } (3A _ 28)
Temos:
0.153 Determinar as matrizes X e Y que satisfazem o sistema
.{
X+Y=A
sendo dadas A = [1 4 7] e 8 = [2X - Y = 8
0.154 Obter X e Y a partir do sistema:
{
2X + 3Y = A + 8
3X + 4Y = A - 8
5].
(n elementos)
44-0 45-0
(111) coloca-se a Iinha i de A na "vertical" ao lado da coluna k de S
(conforme esquema)
b1k
b2k
ai3 b3k
(1X7)2 X 8
3 X 9
(4X7)5 X 8
6 X 9
[
(7 + 16 + 27) ]
(28 + 40 + 54)
(I V) calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado
(conforme esquema)
X b1k
X b2k
8;3 X b3k
(V) somam-se esses n produtos, obtendo Cik.
2~) Dadas A = [: :] e S = [~ :], calcular AS.
Sendo A do tipo 2 X 2 e S do tipo 2 X 2, decorre que existe AS e é do tipo
2 X 2. Fazendo AS = C, temos:
[Cll C12 ] = [(1~ L. de A X 1~ C. de S) (1~ L. de A X 2~ C. de S) ] =C =
Cu Cn (2~ L. de A X 1~ C. de S) (2~ L. de A X 2a C. de S)
CX 5) CX 6)
2 X 7 2 X 8 [ 5' 14 6' 16] [19 22]eX 5) CX 6) 15 + 28 18 + 32 43 50
4 X 7 4 X 8
Sendo A do tipo 2 X 3 e S do tipo 3 Xl, decorre.que existe AS e é do tipo
2 X 1. Fazendo AS = C, devemos calcular Cu e C21:
47. Exemplos \
l?l Dadas •• -< ..
~l .
B c [ ;l. "'00'" ABA = [ 2 3 e4 5 6 9;
46-0
[
Cll]C = =
C21
[ (1~ L. de A X 1~ C. de S)](2~ L. de A X 1~ C. de S)
EXERCICIOS
0.155 Calcular os seguintes produtos:
a) [~ ~] [: : ]
c) [1 5 2] [: -: ]
-1 4 7 -3 O
., [::] [: -: :J
47-0
0.156 Sendo A = [~ ;], calcular A2, A3, A4 e A n In E I>J e n;;;>1)
Solução
A2 = AA = [~ ; ] [ ~ ;] = [~ ~]
A3 A2A = [~ ~] [~ ;] = [~ ~]
A4 = A3A = [~ ~] [~ ; ] [~ ~]
0.159 Calcular os seguintes produtos:
0.160 Resolver a equação matricial:
Observamos que em cada multiplicação por A os elementos a 11. a21, e 822 não se alteram
e o elemento 812 sofre acréscimo de 1. Provaríamos por indução finita sobre n que:
Solução
A equação dada equivale a:
0.157 Calcular AB, BA, A2 e B2, sabendo que
então
0.158 Calcular o produto ABC, sendo dadas:
e a resposta é [~ ~ ]
d = 4
b = 2
e
e
c + 2d = 9
3c - 2d = -5
3a - 2b = 57} = a = 3
a + 2b =
} =c=
a) I· 1
-2 ~] [: :] [-: :]
+:,:] [: ,:] [; ,:]
0.161 Resolver as seguintes equações:
x 1x 1x 1
2X3 2X2 2X1
,
------ .. -'._. -------~------_._-
I '5Xl , 5Xl : 5Xl
, I
, ,
lX3,lx25x1
;] e C =
2
2
1~]57[:
AB = [~ ~J [:
Solução
7 X 3 7 X 48. Teorema
,:1[: ~] 5 X 1 5 X O J Se A = (aij)mxn, então Al n[: 5 ["3 X 2 3 X -1IABIC = _________ L ________8 X 3 8 X Demonstração7 51,
7 X 1 , 7 x O I) Sendo In = (o ij) nx n e B,
10 x 2 :10 x -1
A e ImA A.
Al n (bij)mxn. Temos:
48-0 49-0
bjj = ailOlj + aí202j + ai303j + ... + ajiOjj + ... + ainOnj =
= ail • o + ai2 • o + aj3 • o + 0'0 + aji • 1 + ... + ain • O = aii
para todos i e j, então A .In = A.
11) Analogamente
49. Teorema
(2) Fazendo D = (A + B) C = (dik )mxp, temos
n n
dik =I (ali + bij) • Cjk = I (aij • Cik + bij • Cik)
i= 1 j= 1
n n
=I aij • Cjk + I bjj • Cjk então,
j= 1 i= 1
(A + B) C = AC + BC
A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes:
(1) é associativa: (AB)C = A(BC)
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bjk)nxp e C = (CkQ)pxr
(2) é distributiva à direita em relação à adição: (A + B)C = AC + BC
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e C = (Cjk)nxp
(3) é distributiva à esquerda: C(A + B) = CA + CB
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bij)mx n e C = (Ckí)pxm
(4) (kA)B = A(kB) = k(AB)
quaisquer que sejam o número k e as matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p
(3) Análoga a (2)
(4) Fazendo C= kA= (cij)mxn, D = kB = (djk)nxp e E = AB = (eik)mXp,
temos:
n n n
I
Cij • bik
=I (k • aij) • bjk kI aij • bik
j= 1 i= 1 j= 1
n n n
I
aii • dik =I aij • (k • bjk ) = kI aii • bjk
i= 1 i= 1 j=l
então, (kA)B = A(kB) = k(AB)
Demonstração
50. Observações
1~) É muito importante notar que a multiplicação de matrizes não é
comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer A e B é falso que AB = BA
necessariamente.
Exemplos
1~) Há casos em que existe AB e não existe BA. Isto ocorre quando A é
m x n, B é n x p em*' p:
= 3 AB
= jBAB e A
~ ~
nXp mXn
~
A e B
~ ~
mXn nXp
~
então, (AB) C = A (BC)
n
= I ajj • fjQ
j= 1
(1) Fazendo D = AB (dik)m xp, E = (AB) C = (ejQ)m x r e F = BC =
= (fjQ)nxr,
temos:
50-0
51-0
2<;» Há casos em que existem AB e BA, porém são matrizes de tipos diferentes
e, portanto, AB i= BA. Isto ocorre quando A é m x n, B é n x me m i= n:
A e B = 3 AB
~ ~ ~
m X n n Xm mXm
~
B e A = 3 BA
~ ~ ~
n X m m X n. n X n
~
3~) É importante observar também que a implicação:
AB = O ==> A = O ou B = O
não é válida para matrizes, isto é, é possível encontrar duas matrizes não nulas
cujo produto é a matriz nula.
Exemplo
EXERCfclOS
Mesmo nos casos em que AB e BA são do mesmo tipo (o que ocorre
quando A e B são quadradas e de mesma ordem), temos quase sempre
AB i= BA. Assim, por exemplo:
com A?-lJ2 ' qual das matrizes abaixo comuta
~]. B = [: ~Jcomutem.
0.162 Sendo A =
B = ~il C = [~AX ~J D = [~ ~J E = [: ~]
0.163 ~rminar x e y de modo que as matrizes
[3' -01 J.0.164 Obter todas as matrizes B que comutam Com A =
BA
39)
Notemos inicialmente Que uma condição necessária para que A e B sejam comutáveis
é que A e B sejam quadradas e de mesma ordem. Assim, fazendo
B=[: :].tenns: [: -~][: :]=[: :][: -~J isto é
53-0
-a J e então:
-c
a : bJ com a, b E IR:
b - dJ = [ a + 3b
3b c + 3d[
a - c
3a
De CD e 0 vem c = -3b
De @ e @ vem d = a + b
Solução
Resposta: B _ [ a
-3b
2~) Quando A e B são tais que AB = BA, dizemos que A e B comutam.
Notemos que uma condição necessária para A e B comutarem é que ,sejam
quadradas e de mesma ordem.
Exemplos
1<;» [: :] comuta com [: ~]
2<;» [: :] comuta com [: :]
3<;» [: :] comuta com [-: -:]
52-0
0.165 Calcular, em cada caso, as matrizes que oomutam com A. 2'! possibilidade: b *' O
0.166 Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então vale a igualdade:
(A + B) IA - BI = A2 - B2
Solução
Lembrando que AB = BA ~ BA - AB = O, temos:
(A + B) (A - B) = A IA - B) + B (A - B) = A2 - AB + BA - B2
= A2 + IBA _ AB) _ B2 = A2 + O - B2 = A2 - B2
0.167 Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então valem as seguintes igualdades:
a) (A + BI 2 = A2 + 2AB + B2
bl (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
cl (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
d) IA - BI 3 = A3 - 3A2 B + 3AB2 - B3
el (AB)n = AnB n
Resposta:
X = [: ~ ] com c E IR ou X = [_ :: _:] com a, b, c E IR
o "" a + d = O ==<> d = -a
CD e @ bc = _a 2 ==<> c =
0.171 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X2 = X.
0.170 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X 2 = 12 .
51. Definição
VII. MATRIZ TRANSPOSTA
bl A = [ ~ ]a) A = [~ ~]
0.169 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X2 = O.
0.168 Sendo A = [ : ~ ] e B = [ ~
ai (A + B)2
bl IA + B) IA - B)
-8 ]
' calcular:
-1
cl A2 - 212A + 122
d) A3 - I~
Dada uma matriz A = (ajj)mxn, chama·se transposta de A a matriz
A t = (a'ji)nxm tal que ai; = aij' para todo i e todo j. Isto significa que, por
exemplo. ail, alI' aíl, "', a~l' são respectivamente iguqis a all, a12, a13, ... , al n;
vale dizer que a 1~ coluna de A t é igual à 1~ linha de A. Repetindo o raciocínio,
chegarramos à conclusão de que as colunas de A t são ordenada~ente iguais às
linhas de A.
54-D
Solução
Fazendo X = [ : : J, resulta:
[
a2 + bc = O CD
b la + d) = O 0
c la + di = O 0)
bc + d2 = O @
1~ possibilidade: b = O
CD "" a2 = O ==<> a = O}
í.\ 2 == a + d = 0==<>0) é satisfeita 'V c E IR
~""d =O==<>d=O
[
a2 + bc
ca + dc
ab + bd] = [O
cb + d2 O
[: :] [: :]= [~ ~]
00] então
52. Exemplos
1?) A = [: :] == A t [: :]
2?1 A = [:
b ;J== A t [: ne
1
3?1 A = [ 1 7] ==<> A t 33 5
5
7
55-D
53.
(1)
(2)
(3)
(4)
Teorema
A matriz transposta goza das seguintes propriedades:
(At)t = A para toda matriz A = (aij)mXn
Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então (A + B)t = At + Bt
Se A = (aij)mxn e k E IR, então (kA)t = k At
Se A = (a .. ) e B = (b.k) , então (AB)t = BtAtIJ mxn I nxp
(3) 2. A = [2a 2b J== (2A)t = [2a
2c 2d 2b
2 [ : : J= 2At
(4) AB = [ae + bg af + bh J== (AB)t
ce + dg cf + dh [
ae + bg
af + bh
ce + dg J=
cf +dh
Demonstração
(1) Fazenda (At)t = (aijlmxn. resulta:
ai; = ali = aij para todos i, i.
(2) Fazendo A + B = C = (Cij)mxn e (A + B)t = Ct = (cpnxm, temos:
cli = Cij = aij + bij = ali + bli para todos i, j.
(3) Fazendo (kA)t = (aIO nxm , resulta:
aíi = kaij = kali para todos i, j.
(4) Fazendo AB = C = (Cik)mxp e (AB)t = Ct (cÍ<.i)pxm, resulta:
55. Definição
Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que
At = A.
Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz simétrica, temos:
aij = aii; \;f i, \;f j E {1, 2, 3, "', n}
isto é, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal
são iguais.
n n n
Cki = cik =L aij bjk L bjk aij = L bÍ<j ajj
j~ 1 j~ 1 j~ 1
Exemplo
São simétricas as matrizes:
Aplicação
Verificar diretamente a validade do teorema anterior com
c d
f 9
hf
9
b
e
d
c
b
a
\;f i, \;f j E {1, 2, 3, .... n}
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n. tal que
At = -A.
Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz anti-simétrica, temos:
Isto é, os elementos sirTÍétricamente dispostos em relação à diagonal principal
são opostos.
56. Definição
: ] = A
c + gJ =
d+h[
a+e
== (A + B)t =
b+f
b+f J
d+h
A+B=[a+e
c+g
A=[: :].B=[: :Je k=2
(1) A~[: :]== At =[: :] == (At)t=[:
(2)
54.
56-0 57-0
58. Teorema
Se A é inversível, então é única a matriz B tal que AB BA In'
Exemplo
São anti-simétricas as matrizes:
~Jt n-
O a b c[-~ a -a O d eO
-b -d O f
-c
-c -e -f O
Demonstração
Admitamos que exista uma matriz C tal que AC = CA
C = InC = (BA) C = B (AC) = Bl n = B.
In. Temos:
0.175 Provar que se A e B são matrizes simétricas de ordem n, então A + B também é simétrica.
[
7 -3 ]inversíve I e A-I =
-2 1
pois:
AA-I=[~ ~J[-: -~J=[~ ~J=12
A-IA [_: -~J [~ ~J=[~ ~J=12
[
1 2 7]_ [1 31 -19]
29) A matriz A = O 3 1 e inversível e A-I = O 2 -1
O 5 2 O -5 3
AÁ' U: :] U:::;lU: n~"
': ~~;] [~ : J[~ : :l"
Exemplos
19) A matriz A = r~
pois:
59. Definição
Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A-I (que
é única) tal que AA- I = A-IA = In.
É evidente que A-I deve ser também quadrada de ordem n, pois A-I comuta
com A.
~J=[~ ~T
~J-[~ ~J
b) X + [ :
d) 3Xt = [~
_:] seja simétrica.
-3
2
7
3
x
7
z
a) X = [ 1
-1
c) 2X = [~
EXERCICIOS
0.172 Determinar, em cada caso, a matriz X:
0.173 Determinar x, y, z para Que a matriz
0.174 Determinar x, y e z de modo Que a matriz
A { ,: ':,] .'''0''.'0,"'0
VIII. MATRIZES INVERSfVEIS
57. Definição
Seja A urna matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível
se existir uma matriz B tal que AB = BA = In- Se A não é inversível, dizemos que
A é uma matriz singular.
58-0
59-0
a + 2c ; 1, 4a + 8c ; O, b + 2d ; Q e 4b + 8d ; 1
\ J \ J
39) Qual é a inversa da matriz A; [:
e então:
y y
> a ; -3, b ; 4, c ; -1
imposs(vel
=d 1, e 3 1- 2,f; 2
5 1
=9; 3, h 2' 2
a + b
d + e
9 + h
a + 3b + 9c
d + 3e + 9f
9 + .3h + 9i
[: ::][: :;}[: ::J-
:J[: : :1
imposs(vel
portanto, não existem a, b, c, d satisfazendo a definição.
Devemos ter:{a + 2b + 4c ; 1
a + 3b + 9c ; Q
a+b+c;Q
{
d + 2e + 4f ; Q
d + 3e + 9f ; 1
d+e+f;Q
{
g + 2h + 4i ; Q
9 + 3h + 9i ; Q
g+h+i;l
[
a + 2b + 4c
d + 2e + 4f
9 + 2h + 4i
portanto vem·
=>
:]
~]= 59) Qual é a inversa da ~trl, A~ [ : 3 :}
~J 9
',,"odo A-'-[:
b :J,~".e
h
7
b; 2e
e
b+ 2d] [1
4b + 8d ; Q
11
2
:] [: 1~];[~
7a + 11 b J;[ 1
7c+lld Q
[
a + 2c
4a + 8c
~ Jé singular (não é inversível) pois se A-I; [ :
[: :] [: :];[~ ~]=
~]
=> [3a + 5b
3c + 5d
decorre:
e
{
3C + 5d ; Q
7c + lld ; 1
'"0 é, A' ~ [- '; ; J pol, "m~ Mmbém
AA-, t ':]l- '~ _:}[: :li,
Fazendo A-I; [: : J, temos:
A-IA; 12 => [:
Pela definição de igualdade de matrizes, temos:
{
3a + 5b ; 1
7a + 11b; Q
49) A matriz [ :
60-0 61-0
60. Observação
Do exposto observamos que, para determinar a inversa de uma matriz
quadrada de ordem n, temos de obter n2 incógnitas, resolvendo n sistemas de
n equações a n incógnitas cada U1;n. Isto não é nada
prático. No final do capítulo
sobre determinantes expomos um outro método para obter a inversa de uma
matriz.
Uma aplicação prática da inversa de uma matriz é exposta no início do
capítulo sobre sistemas lineares.
EXERCíCIOS
Solução 2
Notando que se A é matriz inverslvel, então AX B =o> X A-I B, temos:
r 3 -4 Jr-I J r 1JX = A -I B = =-2 3 -1 -1
0.179 Resolver as equações matriciais abaixo:
0.180 Resolver as equações matriciais abaixo:
0.176 Determinar a inversa de cada matriz abaixo:
0.177 Determinar a inversa de cada matriz abaixo:
0.178 Resolver a equação matricial:
0.181 Expressar X em função de A, B e C, sabendo que A, B e C são matrizes quadradas
de ordem n inverslveis e AXB = C
Solução
Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade AXB = C por A-I:
A-I AXB = A-IC =o> InXB = A-IC =o> XB = A-IC
Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade XB = A-IC por B-I ,
XBB- I = A-ICB-I =o>Xln = A-ICB-
I
=o> X = A-ICB- I
: ] = A e [ ~:J= B, vemos que a equação dada
Temos, portanto: X = A-I CB -I I
0.182 Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n, isolar X a partir de cada equação abaixo:
Solução 1
Fazendo C
Temos:
3 AX, A é 2 X 2 e X é m X n ==> m = 2
AX = B e B é 2 x 1 = n = 1
é AX = B.
ai AX = B
bl AXB = In
cl (AXI- I = B
di BAX = A
el (AX)t = B
f) (A + Xlt = B
Fazendo X = [ : ] ' vem:
r~ :1r:1=c:1=o> [~: : ::1= l~:1=o> e:
e, então, a 1 e b -I, portanto, X = [ _: J
62-0
+ 4b = -1
+ 3b = -1
0.183 Determinar X tal que:
63-0
0.184 Provar que se A e B são matrizes inverslveis de ordem n, então (ABI- I = B-I A~I
Solução
Para provarmos que C ~ B-I A-I é a matriz inversa de AB, basta mostrar que
C (AB) = (AB) C ~ In. De fato:
C(AB) = (B-IA-Il (AB) = B-I(A-IA)B ~ B-IlnB = B-IB = In
(AB) C ~ (AB) (B-I A-I) = A (BB- I) A -I = AlnA -I ~ AA -I = In
0.185 Provar que se A, B e C são matrizes inverslveis de ordem n, então (ABC) -I = C-I B-I A-I.
0.186 Verificar diretamente que se A é uma matriz inverslvel de ordem 2, então (At) -I = (A-I)t.
64-0
Ingleses ofendidos por alemão
CAPÍTULO V
Carl G. J. Jacobi
(1804-1851)
I. INTRODUÇÃO
enta-o det M é o único elemento de M.1<:') Se M é de ordem n = 1,
M = [all) = detM = aI!
Exemplo
NI = (6) = det M = 6.
Podemos também indicar o determinante de M pelo símbolo lalll, isto é,
colocando uma barra vertical de cada lado de M.
62. 2?1 Se M é de ordem n = 2, o produto dos elemen.tos da diagonal prin-
cipal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
61.
DETERMINANTES
Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais.
Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determmante da matnz
M (e indicamos por det M) o número que podemos obter operando com os
elementos de M da seguinte forma:
11. DEFINiÇÃO DE DETERMINANTE (n < 3)
. . ados do século XVIIA teoria dos determinantes teve origem em me _ '
quando eram estudados processos para resolução d: sistemas lineare: de equaçoes.
Hoje em dia, embora não sejam um instrumento pratico para resoluçao de slstem:s,
os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressoes
matemáticas complicadas.
Carl Gustav Jacob Jacobi nasceu na Alemanha. Seu pai era um próspero
banqueiro, nunca tendo lhe faltado nada. Obteve boa instrução na Universidade
de Berlim, concentrando-se em Filosofia e Matemática à qual acabou por dedicar-se
inteiramente. Era professor nato e gostava de transmitir suas idéias.
Na mesma época que Gauss e Abel, Jacobi desenvolveu a teoria sobre as
funções elíticas. Tendo conhecimento de que Abel havia entregue a Cauchy alguns
artigos sobre o assunto, Jacobi escreveu ao mestre francês perguntando por eles,
na esperança de obter informações que confirmassem sua descoberta. Cauchy,
entretanto, tinha perdido os escritos de Abel.
Seu tratado clássico "Fundamentos da Nova Teoria das Funções EI/ticas"
apareceu em 1829, ano da morte de Abel, e mereceu elogios até de Legendre.
Em 1834 provou que se uma função unívoca de uma variável é duplamente
periódica, a razão entre os períodos não pode ser real e é impossível que ela tenha
mais de dois períodos distintos. A ele também devemos o estudo das "funções
theta de Jacobi", funções inteiras das quais as el íticas são quocientes.
Até essa época, a teoria dos determinantes aparecia nos trabalhos de alguns
matemáticos como Leibniz, Cramer e Lagrange, mas com idéias esporádicas. O
desenvolvimento contínuo dessa teoria teve lugar somente no século XIX e
seu principal colaborador foi Jacobi, além de' Cauchy, construindo algorit-
mos, dando regras práticas com grande preocupação pelas notações de deter-
minantes e em 1829 usou pela primeira vez os "jacobianos", determinantes espe-
ciais análogos para funções de várias variá-
veis, do quociente diferencial de uma função
de uma variável. Através deles conseguiu
provar o teorema dos quatro quadrados de
Fermat-Lagrange e também com a utili-
zação dos jacobianos conseguiu saber quan-
do uma coleção de funções é independente.
Os artigos de Jacobi, bem como os
de Abel e Dirichlet apareceram freqüente-
mente no Journal de Crelle.
Em 1842, quando Jacobi visitou
Paris, perguntaram-lhe quem era o maior
matemático inglês vivo e ele, impressionado
com tantas descobertas francesas importan-
tes, respondeu: "Não há nenhum", o que
foi considerado muito deselegante e cruel
de sua parte.
67-0
Exemplos
63. 3<?) Se M é de ordem n = 3, isto é,
EXERCICIOS
Os termos precedidos pelo sinal
G são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as trajetórias indica-
das.
Os termos precedidos pelo sinal
G são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as trajetórias indica-
das.
Uma outra forma de memorizar
a definição, é a indicada ao lado:
a
13
]a23 ,definimos:
a33
I= cos x • cos y - sen x • sen y =; cos (x + y)
cos y
sen x
-1 I= 3 • 2 - 4( -1) = 10
2
3
4
cos x
sen y
Podemos memorizar esta definição da seguinte forma:
a) Repetimos ao lado da matriz, as duas primeiras colunas.
det M al1 • a22 • a33 +a 12 • a23' a31 +a 13 • a21 • a32 - a13 • a22' a31 -
- al1 • a23 • a32 - a12 • a21 • a33
b) Os termos precedidos pelo sinal G são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal:
0.187 Calcular os determinante.,
c) Os termos precedidos pelo sinal G são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária:
-a I3 • a22' a31; -ali' a23' a32; -a12' a21 • a33'
aI -3
2
-1
1
2
b) 13
11
7
5 2
3· cos x
3'senx+2
c) /2 • sen x
1 - 2 • cas x
I= 11x - 23x - 1
senx
-cosx
m
b)
1
= O b) I 2x
4x + 5
-cas x I bll sen x
oos y cos x
x
3x + 2
109 a 109 b
1 1
2 4
aI
a) I sen x
seny
0.190 Determinar x tal que:
0.188 Calcular os determinantes:
0.189 Cairo lar os determinantes:
4 - 9 + 80 - 8 + 12 - 30 = 49
4
-3
2
Este dispositivo prático é conhecido como ref(a de Sarrus para o cálculo
de determinantes de ordem 3. I ;
Exemplo
1 3
5 2
1 4
&8-0 69-0
0.191 CalaJlar os determinantes pela regra de Sarrus:
O 3 2 -3 7
ai O O bl -1 O -2 cl 2 1 -3
O 2 5 5 4 2
0.192 Calcular os determinantes pela regra de Sarrus:
9 7 11 O a c 2 -1 O
a)
-2 13 b) -c O b c) m n 2
5 3 6 a b O 3 5 4
0.193 Determinar x tal que
x x x x 2
ai 2 2x ~ O bl -1 x ~ O cl -2 x -4 ~ O
3 x + 1
-x
-3 -x
0.194 Determinar x tal que
x-I 2 x ~I 3x 2xO -1 4 -x
3x x + 1 2x
'W 111. MENOR COMPLEMENTAR E COMPLEMENTO ALGEBRICO
64. Definição
Consideremos uma matriz M de ordem n ;;. 2; seja aij um elemento de M.
Definimos menor complementar do elemento ajj. e indicamos por D jj • como
sendo o determinante da matriz que se obtém. suprimindo a linha i e coluna j de M.
65. Exemplos
l~3-'J 5 \; -13Temos: I 1 5 então Dl1 ; I
3 2
332
l' 3'J~-1-5 então D21 ; I 3 4 I; -63 2
3 3 2
l' 3 'J~ 1 5 então D31 ; I 3 4 I; 11
0-3-2
1 5
29) Seja M
; [: :1 e calculemos D12 • D22 .
l5-~]Temos: 7 8 então D12 ;171 7
I
~ 5 ~}ntão D22 ;151 5.
-7- 8
1
66. Definição
Consideremos uma matriz de ordem n ;;. 2; seja aii um elemento de M.
Defini.mos complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij). e indicamos
por Ajj' como sendo o número (-11 i+j . Djj .
Exemplo
e calculemos Dll , D21 • D31 .
70-0 71-0
que coincide oom a definição particular dada em 11.
=a'(-1)2" ~ ; l+d'(-1)3'1'~ ~ l+g·(-1)4./: c 1=
= alei - hf) - d(bi - ch) + g(bf - ce) = aei + dhc + gbf - gce - dbi - ahf
que ooincide com a definição dada em ® (ver regra de Sarrus).
3· 62 = 186.
O 4
1 -2
3 3
3 • A I1 + O • A21 + O • A31 + O • A41 =~ ~ '--v------J
o o o
2
4
c
= a • A 11 + c • A 21 = a • (-1) 2. Id I + c • (- 1)3 • Ib I = ad - bc
b
d
b
e f = a • A I1 + d • A21 +g • A31 =
h
2 -2
2 O 4
4 1 -2
3 3
2?)
1?)
3?)
67. Exemplos
Já vimos em @ a definição de determinante para matrizes de ordem
1, 2 e 3. Vamos agora, com o auxílio de oonceito dó cofator (complemento
algébrico) dar a definição de determinante, válida para matrizes de ordem
n qualquer.
Seja M uma matriz de ordem n. Definimos determinante da matriz M,
e indicamos por det M, da seguinte forma:
lCP 3--'J 4 8 1= -28Temos: 1 4 8 então A I1 = (_1)1+1 I 5 3
7 5 3
l'~-'J 8 1= 531 i 8 então A12 = (_1)1+21 7 3
7 5 3
l'-31J1 4 ~ então A I3 = (_1)1+31 ~ 4 1= -235
7 5 3
f IV DEFINiÇÃO DE DETERMINANTE POR RECORRI:NCIA(Caso Geral)
1<:» Se M é de ordem 1, então M = [ali] e det M = ali
Isto é, o determinante de uma matriz de ordem n ;;;. 2 é a soma dos pro-
dutos dos elementos da 1'1 coluna, pelos respectivos cofatores.
1
3
-5
4
2
1 2
2 + 3· 1
-5 3
2
O O
3 2
1 • A I1 + 2 • A21 + 3· A 31 + 4 • A41 =
= 20 - 2(-2) + 3· (-48) - 4· (14) -176.
-2·
3
2
-5
4?) 2 1
4
O O
3 2
4 3
O O 2
3 2 -5
2 1
-4· 4 3
O O 2
e definimos det M =
n
= al1 • AI1 + a21 • A21 + a31 • A31 + ... + anl • Anl = L
i= 1
2<:» Se M é de ordem n ;;;. 2, então
M _I ::::::::
l anl an2 ... a nn
72-0 73-0
68. Observação _v~. .;.T.;;.E_O~R.;;;E;.;.M;,:,.A~F,;;"U,;.;N.;;;D.;.A;.;.;M,;.;E;;.;.N,;.;T~A,;.;L;...;.(D_E;;;...;L;;,;,A.;.;.P..;;L;;..A.;.;C..;;E;.;.)_~
Notemos que (exemplo 4l?l, quando a 1a coluna não possui zeros, o cálculo
do determinante torna-se trabalhoso. Isto pode ser atenuado, de certo modo,
com o teorema que veremos a seguir.
o determinante de uma matriz M, de ordem n;;' 2, é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Isto é,
a) Se escolhermos a coluna j da matriz M
EXERC(CIOS
M
então det M = aljA jj + a2j A2j + .. , + anj Anj
b) Se escolhermos a linha da matriz M
-
a11 a12 a,n
a2l a22 a2n
5
2
-13
4
-2
7
0.196 Encontrar o cofator de 3 na matriz·
0.195 Seia
0.197 Seja
-1
2
3
5
o
-2
4
7
então
a nl a n2 ann
.
det M = ai[ . Ail + aj2' Ab + ... + ain • Ain
0.199 Calcular os determinantes das matrizes abaixo, usando a definição:
M ~l~ O -13 4a) 2 5
O
74-D
Para calcularmos o determinante.
2
2 4 3
1
3 O O 2
1
4 3 2 5
75-D
Portanto, para calcularmos um determinante, não precisamos necessariamente
dos elementos da 1~ coluna e seus cofatores; qualquer outra coluna (ou linha) com
seus cofatores permitem seu cálculo.
2
4
-1
O
o
-3
2
2
0.198 Seia
Se escolhermos a 3? linha para seu cálculo, teremos: VI. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
det M = 3 • A31 + O • A32 + O • A33 + 2 • A34 = 3 • A31 + 2 • A34
'---y------J '---y------J
O O
e só teremos que calcular dois cofatores, em vez de quatro se usássemos a defi-
nição.
A definição de determinante e o teorema de Laplace permitem-nos o cálcu-
lo de qualquer determinante, contudo. é possível simplificar o cálculo com o empre-
go de certas propriedades. Vejamos quais são elas.
Concluímos então que, quanto mais zeros houver em uma fila, mais fácil
será o cálculo do determinante se usarmos esta fila. Em particular. se a matriz
tiver uma fila de zeros, seu determinante será zero. ~ 69. IPI) Matriz transposta
Demonstração
Ver apêndice no final do capítulo.
EXERCfclOS
Se M é a matriz de ordem n e Mt sua transposta, então det Mt det M.
Demonstração
Vamos usar o princípio da indução finita.
li! Parte
b il b 12 b 13
b21 b22 b23
Mt = b31 b32 b33M
Mas, por definição de matriz transposta, temos:
Para n = 1, a propriedade é imediata.
2! Parte
det Mt = b il • A'il + b 12 • Aí2 + b 13 • A'13 + ... + b1n • Aín (pela 1~ linha)
Suponhamos a propriedade válida para matrizes de ordem (n - 1) e provemos
que ela também será válida para determinantes de ordem n. Temos:
onde b;i = aj; Vi E {1, 2, ... , n} e Vj E {1. 2..... n}.
det M = ail • A il + aZI • A21 + a31 A31 + ... + anl • Anl (pela 1? coluna)
2 3 4 5 x O O O O O
O a -1 3 a y O O O O
d) M = O O b 2 3 Q p z O O O
e) M =
O O O c 2 m n p x O O
O e O O d b c d e y O
a b c d e z
O a 1 O
1 b -1
D =
2 c O -1
O d O
aI M = r: : -; ~t M - r: : : :L. J: :::1
-1 O 3 3 J 1 b a OJ lo 2 3J
0.200 Calcular os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace
0.201 (MAPOFE 1-75) Desenvolver o determinante abaixo. pelos elementos da 2~ coluna.
2 3 -4 2
O O O O
0.202 (MAPOFEI-76) Calcular o valor do determinante O 4 O 2
O -5 5 4
O O -1 2
e pela hipotese da indução, temos:
Logo det Mt = det M.
Portanto. a propriedade é válida para matrizes de ordem n. Vn ;;, 1.
76-0 77-0
Exemplos
4
I~ I 2 I~ -32 5 4 5
O 2 3 4
3 3 O 1 5 9
4 5 2 2 3 2
A importância dessa propriedade reside no fato de que toda proprieda·
de válida para as linhas de uma matriz também é válida para as colunas e vice·
versa.
M
Demonstração
Seja
e M'
~ 70. (Pl) Fila nula
Se os elementos de uma fila qualquer (iinha ou coluna) de uma matriz M
de ordem n forem todos nu los, então det M ~ O.
Demonstração
Suponhamos que a j'ésima coluna de M tenha todos os elementos nulos,
isto é
Desenvolvendo o determinante por esta fila, temos:
det M ~ O . A lj + O • A2j + ... + O . Anj O
Exemplos
3 1 4 5 x O
O O O O 3 7 y O
O
a b c 4 -2 z O
2 3 t O
-r 71. (P3) Multiplicação de uma fila por uma constante
Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um
número K, o determinante da nova matriz M' obtida será o produto de K pelo
determinante de M, isto é det M' ~ K • det M.
78-0
Notemos que os cofatores dos elementos da i ·ésima linha de M são os mes'
mos que os da i ·ésima linha de M'.
Desenvolvendo det M e det M' pela i·ésima linha temos:
det M ~ ai! • Ai! + ai2 • Ai2 + ... + ain • Ain (I)
det M' ~ K • ail • Ai! + K • ai2 • Ai2 + ... + K • ain • Ain (11)
de (I) e (11) conclu(mos que det M' ~ K . det M.
A demonstração seria análoga se tomássemos uma coluna de M.
Exemplos
1?) 17 14 491 2 7
3 5 2 7 • 3 5 2
O 2 7 O 2 7
2?) ~ 7 2 G228 8 5 • 2 815 7 16 3 16
G5 • 7 • 2 4 5 • 7 . 2 [2 4 413 1 3 8
79-0
A demonstração seria análoga se trocássemos de posição duas colunas.
Exemplos
1~) I~ :1 = -22. I~ ~ I= 22
29) 4 -1 -1 4
3 2 -37. 2 1 3 37.
O 3 2 2 3 O
n n
det M = L ajj • Ajj e det M' = L aij • A· jj .
j= I j= I
Tomemos a linha i. admitindo que ela não seja nenhuma das duas que tenham
sido trocadas de lugar. Desenvolvendo det M·e det M' por esta linha. temos:
Como cada cofator Aij é obtido de A jj trocando de posição duas linhas e,
por hipótese de indução. Dij = -D jj , V j E {1. 2.... , n}. segue que, Alj = -Ajj ,
Vj E {J, 2•... , n} e, portanto. det M' = -det M.
Seja M uma matriz de ordem n ;;, 2. Se trocarmos de posição duas filas
paralelas (duas linhas
ou duas colunas) obteremos uma nova matriz M' tal que
det M' = -det M.
1
5 . 7 . 2 . 2 . 2 2 140 . 2 2
3 8 3 8
3~)
2 3 2
K 4 5 6 4 5 6 4 5
7 8 5 7 8 5 7 8
4~) Se A é matriz de ordem n. então
det (a • A) = a n • 'det A.
t 72. (P4 ) Troca de filas paralelas
ali] ==> det M' = a12 • a21 - ali • a22 = -det M.
a21
Trocando de posição as linhas. obtemos:
Se uma matriz M de ordem n ;;, 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou
duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = O.
Demonstração
Suponhamos que as linhas de índices i e k sejam formadas por elementos
respectivamente iguais, isto é. ajj = akj' vj E {1. 2, .... n}.
De acordo com a propriedade P4 , se trocarmos de posição estas duas linhas,
obteremos uma nova matriz M' tal que det M' = -det M (I).
Por outro lado, M = M' (pois as filas paralelas trocadas são iguais). Logo
detM' = detM (11).
De (I) e (11) concluímos que
~ 73. (P 5) Filas paralelas iguais
,
-det M.[a21 a22]M'= ==>ali a12
Trocando de posição as colunas, obtemos:
Demonstração
Vamos usar o princípio da indução finita.
1~ Parte
Provemos que a propriedade vale para n = 2
[
ali
Seja M =
a21
P. Parte
Admitamos que a propriedade seja válida para matrizes de ordem (n - 1)
e provemos que ela também será válida para matrizes de ordem n.
det M = -det M ==> 2 det M = O ==> det M = O.
Analogamente se demonstra para o caso de duas colunas iguais.
80-0 81-0
Exemplos
la b cl
m m
2
4 7 O, 8
2
la b ~
74. (P6 ) Teorema de Cauchy
O.
Pela Ps , det M' ; O.
Desenvolvendo det M' pela s'ésima linha,
det M' ; ar!
Observemos que os cofatores dos elementos da s'ésima linha de M, são os
mesmos que os da s'ésima linha de M'.
A demonstração é análoga se tomarmos em M duas colunas.
Exemplo
A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M,
ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero.
Demonstração
Seja
13 4 21
M; 3 5
15 6 71
1~ linha 13 4 21 3~ linha [5 6 71
ali a12 a13 -+ elementos A31 A32 A33 -+ cofatores
M
Substituindo em M a s'ésima linha pela r'ésima, obteremos a matriz
M'
-+ linha s
ali . A 31 + a12 . A32 + a13 . A33 ; 3 • 14 + 4 • (-13) + 2 • 5 ~ O
«' 75. (P 7 ) Filas paralelas proporcionais
Se uma matriz M de ordem n ;? 2 tem duas filas paralelas (duas linhas
ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais então
det M ; O.
Demonstração
Suponhamos que as linhas de (ndices e p de M sejam formadas por ele-
mentos proporcionais, isto é
vj E {1, 2, ''', n}.
82-0
Então
83-0
0.205 Sem desenvolver, dizer porque o valor dos determinantes abaixo é zero.
linha i
det M
K•ap1 K· ap2 ... K· apn P
=3 K • ~s O
a) 4
12
20
28
3
11
12
23
5
15
25
35
9
27
51
64
b
c
d
bc
cd
ad
b
c
d
c
b
d
y
z
yz
xz
xyz
x2z
0.206 Sem desenvolver nenhum dos determinantes, provar que D' = 8 • D, sabendo que:
linha p/
A demonstração seria análoga se tivéssemos duas colunas proporcionais.
D
z z2 z3 z4 D' =
8x
4y
4z
4t
-2x2
_y2
_z2
2x 3
y3
z3
-2x4
_y4
_z4
Exemplo
Solução
Multiplicamos a 1~ linha por a, a 2~ por b e a 3~ por c
bc a a2
ac b b2
ab c c2
0.207 Sem desenvolver provar que:
O (2~ e 3~ colunas proporcionais).~x2y2z23
EXERCICIOS I
bc
ac
ab
a
b
c
abc
abc
abc
abc
= abc
a2 a 3
0.203 Calcular os determinantes, utilizando as propriedades anteriores: zy x x 2 X
ax 2a
3x 6
x 4
5 O
z
yy2
z2z
y
onde os elementos da j'ésima coluna sãoSeja M uma matriz de ordem n,
•
xy
76. (Ps ) Adição de determinantes
0.208 Sem desenvolver provar que: xz
tais que:
7
17
35
4
19
25
x
y
x
O
O
xy2
y3
y2
13
27
3
2
9
xy
d)
bl
11
22
55
2
6
9
15
7
14
21
2
-2
4
c)
a)
0.204 Provar que os determinantes abaixo são múltiplos de 12, sem desenvolvê~los.
(b 1j + Clj)
(b2j + C2j)
(b3j + C3j)Misto é
b1j + Clj
b 2j + C2j
b3j + C3j
16 51 O 42 47
21 73 O 54 49
6 49 30 121
12 11
14 7 -3 15
(bnj + Cnj)
t
coluna j
............. , .
então, teremos:
5
15
25
7
11
'3
3
5
8
13
3 11
12
9
2
4 8
10 5
13
17
24
36
84-0 85-D
det M = det M' + det M" 78. Combinação linear de filas paralelas
c, a"l + C2
c\ a2S 1 + c2
Cl a3S1 + C2
Exemplo
Vamos construir uma combinação linear da 2~ e 3~ cpiu'~as da matriz:
....................................
Seja M = laij I uma matriz de ordem n e sejam p quaisquer de suas co-
lunas (ou linhas) de índices SI, S2, sJ, ... , sp' Multipliquemos, respectivamente,
estas p colunas pelos números c" C2, CJ, ''', 'cp e construamos as somas:
Diremos que o conjunto {aI, 0'2, ... , O'n} é uma combinação linear das p
colunas.
Se substituirmos a coluna de índice q, diferente das p colunas considera-
das, pelos números:
a 'q + a" a2q + a2, aJq + a J , "', anq + a n
diremos que se adicionou à coluna de indice q uma combinação linear das outras
colunas.
det M
det M
(b lj + clj)AIj + (b2j + c2j)A2j + ". + (bnj + Cnj) Anj
(b ,j A 1j + b2j A2j + ... + bnjA nj ) + (c'jA'j + c2jA2j + ... + cnjAnj)
\. I \.'------_vr---.:--..:...I
delvM' deI M"
det M = det M' + det M".
Isto é:
'H '12 lblj +clj' , 'n 'H '12 "n 'H '12
'"
'22 (b'J+ C4jl '2n
'"
'22 '2n
'"
'22
'nO 'n' lboj +Cnj) 'nn 'nO
'"'
'on 'nl 'n'
onde M' é a matriz que se obtém de M, substituindo-se os elementos aij da
j'ésima coluna, pelos elementos bij (1 .;; i .;; n) e M" é a matriz que se obtém
de M, substituindo-se os elementos aij da j'ésima coluna pelos elementos Cij
(1 .;; i .;; n).
Demonstração
Notemos que os cofatores dos elementos da j'ésima coluna de M são os
mesmos que os da j'ésima coluna de M' eM".
Desenvolvendo O determinante de M, pela j'ésima coluna, temos:
77. Observação
A propriedade é válida também se tivermos uma linha cujos elementos se
decompõem em soma.
Ix+y a+b m+pl
25
44
27
t
combinação
linear
3 7 + 4 1
3 8 + 4 5
3 1 + 4 6
t t
2~ 3a
coluna coluna
7
8
[
26
M' = 46
30
Vamos somar esta combinação linear à 1~ coluna; obteremos a matriz:
usando os multiplicadores 3 e 4 respectivamente:
De forma análoga, definimos combinação linear de p linhas e adição dessa
combinação linear a uma outra linha diferente das consideradas.
p
n
034
342
m
2
4o 3
3 4
Ix a ml + I y b p I
4
2
3
4
o
3
z
1) x
y
2)
Exemplos
86-0 87-0
79. (P 9 ) Teorema da cor:nbinação linear
Se uma matriz quadrada M = [a;jl. de ordem n, tem uma linha (ou coluna)
que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = O.
Demonstração
Suponhamos que a q~ coluna seja combinação linear de p outras colunas,
de índices SI, S2, S3, ... , sp'
Desenvolvendo o determinante de M pela q~ coluna, temos:
Demonstração
Seja
all a12 al p alj al n
a21 a22 a2p a2j a2n
M a31 a32 a3p a3j a3n
n
det M = L aiq • A;q
i= 1
n
L
i=l
Adicionemos à j'ésima coluna
Obtemos a matriz:
à p'ésima multiplicada pela constante K.
n
CI L
i= 1
n
aiSI . Aiq + C2 L
i= 1
n
aiS2 . Aiq + ... + cp L
i=l
a ll a12 alp (aIj + K alp ) al n
a21 a22 a2p (a2j + K a2p) a2n
M' a 31 a32 aJp (a'i + K a3p) a3n
= CI • O + C2 . O + ... + cp . O O.
Exemplos
São nulos os determinantes De acordo com Ps , temos:
80. (P lO) Teorema de Jacobi
.. ., .
anl an2 anp ani ann
all a12 al p Kal p al n
a21 a22 a2p Ka2p a2n
+ a31 a32 a3p Ka3p a3n =det M
. . .. . . . .
all
det M'
1 X 1~ coluna + 1 X 2~ coluna.
2 X 1~ linha + 3 X 2~ linha.pois 3~ linha
pois 3~ coluna
1?) 2 3 ~4 -15 4
2?) 2 3 4
2 5
Adicionando·se a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila
paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova ma·
triz M', tal que det M' = det M.
anl an2 a np
~'_----v,----._-- J
o
89-0
88-0
0.213 (FEI-64) Verificar a identidade seguinte, aplicando as propriedades dos determinantes:
Observemos que se os elementos de uma matriz são números inteiros, então ° deter-
minante da matriz também é número inteiro, portanto, provar que O é divis(vel por
17 é provar que: O ~ 17 • O'
onde D' é o determinante de uma matriz de elementos inteiros. Temos, por exemplo
a b c a b + 2c c
x y z x y + 2z z
m n p m n + 2p P
0.212 (FAM-64-MACK-681 Quais as condições necessárias e suficientes para que um deter~
minante se anule?
100 10 9 100 10 119
1 1 80
1
100 80 187D~
10
100 7
1000100
100 50 3 100 50 153
119 7
8 187 17, 8 11
5 153 1 5 9
~
O' E.iZ
91-D
o
2
8
4
20 5
2
758
o
4
9 10 ~ 6, 4 3 5 ~ 6· 12 3 5
3
7 15 16
4
n-p y-z
c-a p-m z-x
b - c
2 3
4 5 6
789
a-b m-n x-V
COS 2c cos 2 c sen 2 C
cos 2b cos2 b sen 2 b O
cos 2a cos2 a sen 2 a
9
O 8 7
5 3
Solução
0.215 (EESCUSP) Enunciar as propriedades que permitem escrever sucessivamente:
0.214 Demonstrar sem desenvolver o determinante que:
0.211 Demonstrar a identidade:
0.216 Provar que o determinante é múltiplo de 17. sem desenvolve-lo. Oado:
Exemplos
~
1<:') G3 5 O 54 2 7 4 -10 7
4 -6 4 -11 -6
Adicionamos à 2~ coluna, a 1~ multiplicada por (-3).
2<:') 2 3 4 O O O
3 -2 5 7 3 -8 -4 -5
2 4 6 2 -3 -2 -2
~ 3 3 5 O 1
~1 I
-4
Adicionamos à 2a coluna, a la multiplicada por (-2).
Adicionamos à 3~ coluna, a 1~ multiplicada por (-3).
Adicionamos à 4~ coluna, a la multiplicada por (-4).
81. Observação
EXERCICIOS
0.2090E-ITAJUBÁ-65) Completar o que falta
a + b + c 2
a - b + c 3 4 + +
a - b - c 5 6
0.210 (IME-65) Calcular o valor de
2 3 4 5
2 4 5
6 7 8 9 10
O O O
11 12 13 14 15 +
3 O
16 17 18 19 20
4 2
21 22 23 24 25
90-D
A importância desta propriedade, reside no fato de que podemos "intro-
duzir zeros" numa fila de uma matriz, sem alterar seu determinante; com isto,
podemos facilitar bastante seu cálculo através do teorema de Laplace.
0.217 Provar que o determinante é mútiplo de 13, sem'desenvolvê,lo:
3 O
7
5 6
82. (P 11) Matriz triangular
Chamamos matriz triangular aquela cujos elementos situados "de um mes-
mo lado" da diagonal principal são iguais a zero, isto é l\iI = (aij) é triangular se
0.218 Demonstrar que o determinante O é divisível por x + 3a sem desenvolvê·lo. Dado:
x a a a
a x a a
O
a a x a
a a a x
0.219 Provar que
a + x b + x C + x
a + V b + V c + V
a2 b2 c2
0.220 Demonstrar a identidade
a - b - c 2a
(b - C)lc - alIa - b)(x - vi
aij = O para i > j
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da
diagonal principal.
O
O
O
O
O para < j (o caso aU
a11 O O O
a21 a22 O O
a31 a32 a33 OM
Demonstração
Consideremos a matriz triangular onde aij
para i> j é análogo),
o para < j
ou
la + b + cl 3
2a
2bb - c - a2b
2c 2c c - a - b
0.221 Mostrar que la + b + cl é fator de:
Ib + c)2 b 2 c2
a2 la + c)2 c2
a2 b2 la + bl 2
Aplicando sucessivamente o teorema de Laplace, através da 1~ linha, é ime-
diato que:
0.222 Sem desenvolver, demonstrar que:
cos O cos a cos 2a
det M =.311 • a]2 ..... ann
n
rI (aii)
i= 1
cos a cos 2a cos 3a = O
cos 2a cos 3a cos 4a Exemplos
0.223 Mostrar que o determinante da
[
cos Ix + a) sen Ix + ai
cos Ix + b) sen Ix + bl
cos (x + c I sen (x + c)
matriz
1?1 3 O O
250
4 3 1
3 . 5 . 1 15
é independente de x.
0.224 Provar que:
a2 la + 21 2 la + 4)2
la + 2)2 la + 4)2
la + 41 2 la + 6)2
(a + 6)2
la + 8)2
2?) 3 2 3 5
O 4 7
3 • 1 . 2 . 6 36
O O 2 2
O O O 6
92-D 93-D
83. (P n ) Teorema de Binet Adicionemos à 2~ coluna, a la multiplicada por -ano
Adicionemos à 3~ coluna, a la multiplicada por -a13.
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então
det (A o B) = (det A) • (det B). Adicionemos à j'ésima coluna, a 1~ multiplicada por -alj.
Exemplos
Sejam as matrizes A [ ~ ~J e B = [~ :] temos,
Adicionemos à n'ésima coluna, a 1~ multiplicada por -aln'
&-
[2 13]AoB= 629'
det A = 4 - 6 = -2 J
det B = 10 - O = 10
Conseqüência
det (AB) 58 - 78
= (det A) • (det B)
-20
-20 det (AB)
~~Eh
an a13 a ln
a21 an a23 a2n
a31 a32 a33 a 3n
1
detA'Decorre do teorema que det (A -I)
De fato, se J A-I, então:
A o A-I = In = det.(A o A-I = det In = det (A) . det (A-I) = 1 ====>
= det (A) 0/= O e det A -I = _1_
det A
......................
anl an2 an3 ann
Obteremos a matriz M', tal que det M' = det M
O O O
a21 a22 - a21 al2 a23 - a21 a13 a2n - a21 aln
det M' a31 a32 - a31 an a33 - a31 a13 a3n - a31 al n
Pelo teorema de Laplace, temos:
a22 - a21 a12 a23 - a21 al3
det M'
VII. ABAIXAMENTO DE ORDEM DE UM DETERMINANTE -
REGRA DE CHIÔ
<
Como conseqüência do teorema de Jacobi (P 10), veremos agora um proces-
so útil, bastante prático, para reduzirmos de uma unidade a ordem de um deter-
minante de ordem n ? 2, sem alterá-lo, e conseqüentemente facilitar seu cálculo.
Consideremos uma matriz M de ordem n ? 2, tal que a" = 1, isto é
M
onde det M' é de ordem (n - 1).
Isto pode ser resumido através da regra, conhecida como regra de Chió:
1?) Desde que M tenha a" = 1, suprimimos a 1~ linha e 1~ coluna de M.
2?) De cada elemento restante na matriz, subtraímos o produto dos elem-
tos que se encontram nas "extremidades das perpendiculares" traçadas
do elemento considerado, à 1? linha e 1~ coluna.
94-0 95-0
2
2
7
4
3
32
5
c)cbablai
0.226 Calcular os determinantes, com o aux(lio da regra de Chió.
EXERC(CIOS
0.225 Calcular os determinantes
a) 2 O 4 b) 4 2 O cI
2 -3 5 3 O 2
6 3 -1 5 3 2 2
3 2 4 O 2
CD: -7 O
- - -:- -t- - --
8f@ 3
I
,
2 :-10 -3
,
uma matriz de ordem (n - 1)
6 - 6
5 - 2
3 - 6
5 - 12
-4 - 4
2 - 128 - 6
7 - 6
10 - 2
5
32
3<;» Com as diferenças obtidas, constru ímos
cujo determinante é igual ao de M.
Exemplo
CD!2 4 2
-- - -:-Á--- -----
342) 5 6
I
I
:10 -4
I
,
,
3 : 8
-8+563-0
-10 + 14 -3 - O
48 3
4 -3
-144 - 12 -156.
x y z
yz xz xy b+c c+a a+b
0.227 Provar que
84. Observações
1) Se na matriz M, ali * 1 e existir algum outro elemento igual a 1, po-
demos através de troca de filas paralelas, transformar M numa outra matriz que
tenha ali = 1.
~ O
97-0
b-a b-a
c-a c-a~
c-a d-a
(c -ai - (b -al'~
(d - ai - Ib - ai
b - a
b - a
c - b I ~
d-b
~ a Ib-al Ic-bl Ic - b.1
d-b
c
a
b
c
b
a
c-b
c-b
b
a
b
a
a
a
Solução
D ~
~ a (b - ai Ic - b) (d - c)
~a'(b-al'l
~ ~-t-:--~--:-=8- =a- b-a1 : b c c,abcdl 1,bcd
,~ a Ib -a)' ~~-~:'~~;--:~;j ~ a Ib -ai, I Ic -a) - (b -ai
(c -a) - (b -a)
1 c-a d-a
I
0.228 Demonstrar que
a a a
:j~ ." -.IIG - '"0 ~ <,a b b
a b c c'
a b c d
Exemplo
3 2 4 3 CD 2 4 3
5 7 2 4 -2 7 2 4
2 4 5 3 -2 4 5 3
2 3 O 7 -1 3 O 7
Le
96-0
Exemplo
12 4 3 O CD 3 5 O
15 3 CD 2 4 3 2 3 4 2 2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
4 O 7 2 2 7 O 4 2
2) Se não existir em M nenhum elemento igual a 1, podemos, usando o
teorema de Jacobi, obter uma nova matriz M', que tenha um elemento igual a
1.
0.229 (ESOOC-671 Resolver a equação
x a a a
a x a a
~ O
a a x a
a a a x
0.230 Sem desenvolver o determinante, calcular
VIII. MATRIZ DE VANDERMONDE (OU DAS POT~NCIAS)
85. Definição
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de
ordem n ;;;, 2, do tipo.
z c
x
-x
-x
y
y
-y
z
a b
1:--
- ----- ---- -- - ------,
ta} a2 a3 ••• an IL J
a23
-x -y -z
D.231 Demonstrar Que:
1 1
1 + a2
0.232 (EPUSP-62) Subsiste sempre a igualdade
1 1 1
n-1
a3
Isto é, as colunas de M são formadas por potências de mesma base, com
expoente inteiro, variando desde O até,n - 1 (os elementos de cada coluna
formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1l.
Os elementos da 2'! linha são chamados elementos característiços çla matriz.
Indiquemos o determinante de uma matriz de Vandermonde por
V (a" a2' a3' "', an )
sen x sen y
cos x cos y
sen z = sen (x - y) + sen (y - z) + sen (z - x)?
cos z 86. Propriedade
0.233 Se a, b, c são reais mostrar que
1 sen a cos.a
sen b cos b = 4 • sen
sen c cos c
b - c
2
• sen
a - c
-2- • sen
a-b
2
"O determinante V (a" a2' a3' "', an) é igual ao prodU10 de todas as di-
ferenças possíveis entre os elementos caracteristicos, com a condição de que,
nas diferenças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo. Isto é
0.234 Mostrar que
1 cos 2a sen a
cos 2b
CQS 2c
sen b
sen c
= 2. (sen b - sen c) ~sen c - sen a). (sen a - sen b)
= n (ai - a·)
i>i J
Demonstração
iE{1,2, ...,n} jE{1,2, ... ,n}
0.235 Sendo Sn a soma dos n primeiros números naturais, demonstrar que:
S, S, SI S, S,
SI S2 52 52 S2
~' S2 ~3 ~3 S3 n!I
SI S2 53 5n -1 Sn-1
S, S2 S3 5n ·1 5n
98-0
Vamos usar o principio da indução finita.
1'1 Parte
Provemos que a propriedade é válida para n = 2.
Temos M = [1 1 j == det M = a2 - aI ==> V(al, a2)
ai a2 \
Portanto a propriedade é válida para ::J = 2.
99-0
2(4 - 3) • (4 - 2) • (3 - 2)
25 ~8· 4· 3· (-4)· (-5)· (-1)~-1920.
125
V' 11 (ai - ai) iE 2, 3, n}
i>i jE ',,2,3, n}
Portanto V ~ 11 (ai - ai) i E 11, 2, n}
i>i j E { 1, 2, n}
E, assim, a propriedade é válida para matrizes de ordem n, 'V n ;;;. 2.
Mas V' é um determinante de Vandermonde de ordem n - 1, logo, por
hipótese de indução
87. Exemplos
1?)
12 3 4[
4 9 16
2?) 1
12 -3
4 9
8 -27
.g
';;
c:
5:ar- 2 n-2 n-2 n-2 k>a2 a3 an ~n - I a~ - 1 a~-l n-IaI an
o
O
~ai a2 a3 an ::0
ar aª a~ a2 :BV~ n
2'! Parte
Adicionemos à linha de índice n, a de índice n - 1 multiplicada por -aI'
Adicionemos à linha de índice n - 1, a de índice n - 2 multiplicada por -aI'
Adicionemos à linha de índice 3, a de índice 2 multiplicada por -aI'
Adicionemos à linha de índice 2, a de índice 1 multiplicada por -aI'
Obteremos o determinante equivalente
Suponhamos a propriedade válida para matrizes de ordem (n - 1) e provemos
sua validade para matrizes de ordem n.
...............................................................................................
EXERCICIOS
...............................................................................................
Pelo teorema de Laplace e por ® temos:
0.236 Calcular os determinantes:
2
a
a
cl-3 6 12
-1 3 5
-1 9 25
b)
7
49
343
5
25
125
2 3
4 9
8 27
a)
O
0.237 Calcular o determinante
n-2
a2
'~------vr-----
V'
a b c d e
2 b2 2 d2 2a c e
a3 b 3 c3 d3 e3
4 b4 4 d4 4a c e
100-0 101-0
0.238 Calcular o determinante
2 3
x x x
0.244 Demonstrar que se os elementos de uma matriz quadrada M, são números inteiros,
então o determinante de M é Um número inteiro.
0.240 IEE LINS-661 Calcular o determinante
1
0.239 IEPUSP-571 Oado o polinômio
1
2 3 4 5 6
22 32 42 52 62
2 3 33 43 53 63
24 34 44 54 64
25 35 45 55 65
-Ia +b + c +d)la -b+ c -di [Ia _c1 2 + Ib _dI 2]
d
b c
c
d a
a b
b
c d
d a
b c
a
0.245 Calcular o determinante
I p) I p + 1 I P + 2
1 2 3 I
p + 1 (p + 2 I I P + 3 I( 1 2 3
I P + 2 ) I P + 3 ) I P + 4 )
1 2 3
I P + 3 1 I p + 4 ) ( p + 5 )
1 2 3
Sugestão: Relação de Stifel.
0.246 Demonstrar a identidade
dizer quais são as ra(zes de P(xL
3
9
27
2
4
8
x
2
x
3
x
Plx)
z
y
0.241 IIME-66) Oeterminar o valor numérico do determinante abaixo
1
log 7
(log 7)2
(log 7)3
log 70
(log 70)2
Ilog 701 3
log 700
(log 7001 2
(log 7001 3
109 7000
(log 70001 2
(log 70001 3
D.247 Demonstrar que num determinante de uma matriz simétrica, os complementos
algébricos de dois elementos situados simetricamente em relação a diagonal principal
são iguais.
D.248 Em uma matriz quadrada de ordem n ~ 3, os elementos de cada linha estão em P.G..
Mostrar que o determinante de M se anula, quando e somente quando, duas progressões
têm a mesma razão.
0.242 Resolver a equação
1 1 1
0.249 Mostrar que
1 2 2
2
4
8
x
-5
25
-125
o 2
2
2
2
2
3
2
2
2 -21n - 2)1
sendo A, B, C, ângulos de um triângulo e a, b, c os lados respectivamente, opostos aos
mesmos ângulos.
EXERCICIDS SUPLEMENTARES
0.243 (EPUSP-·61) Supondo positivos todos os elementos literais da matriz auadrada
r::'~-~::':"1
e sendo n múltiplo de 4, qual é o sinal do determinante correspondente?
2 2 2 n
0.250 Provar que
A B
cotg
2
cotg
2
a b
C
cotg 2
c o
102-D 103-D
0.251 (FEl UC-58) Quantos termos se obtém no desenvolvimento do determinante de uma
matriz quadrada de 6 filas?
0.252 IESAN-PUC-641 Determinar o valor de m que verifica a igualdade
Am.2 Am. 1 Am.o
Cm. 2 m 31 = -10 m
mIm - 1) m! O(m - 1)1
APENDICE I
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE LAPLACE
Vamos usar o princípio da indução finita.
I'! Parte
Provemos que o teorema é válido para matrizes de ordem 2
0.253 Demonstrar que toda matriz anti-simétrica de ordem ímpar e elementos reais têm
determinante nulo.
[
ali
Desenvolvendo pela 2~ coluna: M =
a21
Desenvolvendo pela 1~ linha: M = [la ll a 121]
a21 a22
rr
all
Desenvolvendo pela 2~ linha: M =
a21
a21 ' A21 + a22' A 22 = a21 (-1) .la121 + a22 ·lall1 = all' a22 - a12' a21 = det M.
Portanto, a propriedade é válida para n = 2.
2'! Parte
Admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem
(n - 1) e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem n.
Seja M uma matriz de ordem n > 2. Os menores complementares dos
elementos de M serão determinantes de ordem (n - 1). Vamos usar o símbolo
D~Q para designar o determinante da matriz que se obtém, suprimindo as
linhas i e k e as colunas j e Q da matriz M. É claro que D~Q é um determinante
de ordem (n - 2).
Fixemos a coluna k da matriz M (1 < k .,;; n) e calculemos o número
+ ank • A nk
104-0 105-0
Temos:
C= alk • Alk + a2k • A2k +a3k • A3k + '" + ank' Ank = alk (_1)I+k • Dlk +
+a2k' (_1)2+k. D2k +a3k' (_1)3+k. D3k + ... +ank' (_1)n+k. Dnk
Os determinantes Dlk , D2k, ... , Dnk são de ordem (n - 1). Desenvolvendo-os
pela 1? coluna, temos:
C = a Ik (-1) 1+ k l L a i I (-1) i • D ~ ~} + a2k (- 1)2+ k {a" • D1a +
i>1
+ L: aitl-1)i D~U + a3k (_1)3+k {a" D~~ - a21' D;i + L ail (_1)i. D~k} +
;>2 i>3
( 1)n+k{ D" 21 31 n-II}+ ... + ank - a,,· nk -a21 D nk + a31' Dnk - ... ± an-I,I Dnk '
Na expressão de C, acima,
1?) tomemos as parcelas que contêm a", Temos:
a,,{a2k (-1 )2+k • D~~ + a3k (-1 )3+k • D~~ + + ank (_1)n+k • D~U =
= a" {a2k • (-1) k • D~~ + a3i< (-1) k+1 • D~~ + + ank (-1) n+k -2 • D~U =
= a,,' D u (por hipótese de indução)
2?) tomemos as parcelas que contêm a21' Temos:
{ ( 1) I+k D21 ( 1)3+k D21 ( 1)n+k D21 }a21 alk - 'Ik - a3i< - • 3k - ... - ank' - 'nk =
{ ( 1) k D21 ()l+k 21 ()n+k-2D21}=a21 -alk - 'lk-a3i< -1 ,D3k- ... -ank -1 nk =
= -a21 • D21 (por hipótese de indução).
3'?) tomemos as parcelas que contêm a31 . Temos:
a31 {-alk(-1)I+k. D~~ -a2k(-1)2+k, D~~ +a4k(-1)4+k. D~ + ... +
+ank(-1)n+k, D~U=
= a 31 {a Ik (-1) k , D~~ + a2k (-1) k+I , D~~ + a4k (-1) k+ 2• D~~ + ... +
+ank(-1)n+k-2. D~U =a31' D31 (por hipótese de indução)
Prosseguindo da mesma forma até obtermos as parcelas que contêm
anI , teremos:
Fixemos agora a 1? linha de M, e calculemos o
número
Temos:
Os determinantes Du , D12 , D13, ... , Dln são de ordem (n - 1). Desenvolvendo-
-os pela 1? coluna, temos:
L=a".Du-a12{L aitl-1)i. D\D+aI3{L ail(-1)i. Dil\}+ ... +
i>1 i>1
+ (_1)I+n. aln {L ail (_1)i. D\~}
i>1
Na expressão de L, acima
1?) Tomemos as parcelas que contêm a21' Temos:
a21{(_1)1+2, an' DU + (_1)1+3, a!3,Dg+ +(_1)I+n. aln,DrA} =
= a21 {- (_1)2. a12' Di1- (_1)3, a!3' Dg - - (_1)n, aln ' DrA} =
= -a21 ' D21 (por hipótese de indução).
2?) Tomando as parcelas que contêm a 31 , temos:
3 31 ()4 D31 ( 1)I+n D31}_a3It-a12,(-1) ,D12-aI3' -1 • !3- -aln· - 'In-
= a31 {a12 ' (-1) 2, DU + a13' (-1) 3, Dg + + a In' (_1)n • D~~} =
= a31 ' D31 (por hipótese de indução).
Prosseguindo da mesma forma, até obtermos as parcelas que contêm
anIl teremos:
isto é
O que prova que C = det M, isto é, a propriedade é válida para qualquer
coluna k, 1 < k .;;; n.
isto é
O que prova que L = det M, isto é, a propriedade é válida para a 1? linha.
Com raciocínio análogo ao que fizemos para as colunas, podemos provar
que a propriedade é válida para a linha i (1 < i .;;; n). usando o fato de que
ela é válida para a 1? linha.
Com isto, concluímos que o teorema é válido para matrizes de ordem n;;;' 2.
106-0 107-0
API:NDICE II
CÃLCULO DA MATRIZ INVERSA ATRAVÉS DE
DETERMINANTES
1. Matriz dos cofatores
Seja M. uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores
de M, e indicamos por M'. a matriz que se obtém de M. substituindo cada elemento
de M por seu cofator.
(-1) 3 1
O ~I (_1)4/ ~ ~IA21 = 2' A22 = = -6.
(-1 )41
O :I A 32 = (_l)s 1 :1A 31 = -2; 2
(-1 )41
2 ~ I A23 = (_1)5 I ~ I = -1A I3 = -1 ;3 3
A 33 = (_1)6/
2 ~I
Assim. se
2. Matriz adjunta
Seja M uma matriz quadrada de ordem neM' a matriz dos cofatores de M.
Chamamos de matriz adjunta de M, e indicamos por M. à transposta da matriz
M·. isto é M= (M·)t .
Em resumo.
M' =M
então
.............................................
anl an2 an3 ann
All A12 A13 Aln
A21 A22 A23 A2n
M' = A 31 A 32 A 33 A3n
Nos exemplos dados no item anterior. temos:
Exemplos
1~) Se M = [: :] então M' = [-: -~]
pois All = (-1)2·141 = 4 A 12 = (_1)3. 131 -3
A21 = (-1)3·121 = -2 A22 = (_1)4 • 111 1
onde B;j Aj; {'V i E {1, 2•...• n}
'V j E {1. 2....• n}
~l ~ M " [: O :] ."~ p 9 -']1 M' = -6 -1
1 -2 1 1
pois All = (_1)2 I~ ~ I -3; A12 = (-1 )31 : ~I
108-0
1~) M [: :] então M= [-: -~]
O 2 -3 2 -2
2~) M = 2 3 então M= 9 -6 1
9
3 O -1 -1 1
109-0
3. Teorema
"Se M é matriz quadrada d~ ordem n e In é matriz identidade de ordem
n, então Mo M= M. M = det (M) o In".
4. Processo de cálculo da inversa de uma matriz quadrada M
Teorema
Demonstração
Logo, M o M é a matriz diagonal
Seja Mo M = (b ik ). Por definição de produto de matrizes,
3 2 2
-
5 5 5
9 6 ,
5 5 5
1 1 1
"5 "5 5
1
M) = 1 o (M o M) det M • 'n In (I)Mo(-- det Mdet M det M
1
.M) 1 . (M. M) det M In (11)( det M M = det M det M
Retomando os exemplos anteriores, temos:
De (I) e (11) segue-se, por definição de matriz inversa, que
Demonstração
Usando o teorema anterior, temos:
1 -M- 1 = -- • M.
det M
Logo
[1 2J -M- = [4 -2 ] det M = -23 4 -3 1
1 [4 -2] r-2 1]
Logo M-
1
= -2 -3 1 ~ ~
2~) M = [: O :], Ii.L [- ~ _: -~] , det M = -5
3 O -1 -1 1
1'?) M
"Se M é uma matriz quadrada de ordem n e det M '* O, então a inversa
de M é
= det M o In
O
O
O
det M
n n
cik = 1:: B ij o ajk = 1:: ajk o Ajij = 1 j = 1
det M O O
O detM O
O 9 det M
O O O
n n
bik = 1:: aij o Bjk = 1:: aij • A kj
j= 1 j = 1
Logo, se i = k = bik = det (M) (teorema de Laplace)
se i * k = bik = O (teorema de Cauchyl
Logo, se i = k = cik = det (M) (teorema de Laplace)
se i '* k = cik = O (teorema de Cauchy)
det M O O O
O det M O O
O O det M O = det M • In
O O O det M
Portanto, M • M = det M o In (I)
Analogamente, seja M. M = (Cik). Por definição de produto de matrizes,
Portanto, Mo M = det (M) o In (11)
De I e II conclu(mos então que:
Logo, IV! o M é a matriz diagonal
M· M = Mo M = det (M) o In
110-0
111-0
Corolário
"Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A inversa de M existe, se e
somente se, det M "* O".
Demonstração
a) Se det M "* O, pelo teorema anterior vimos que existe a inversa, e
M- 1 ~ -'-det M ·M
b) Se 3 M- 1 então M· M- 1 ~ 'n e, pelo teorema de Binet, (det M)
(OOt M- 1 ) ~ det In ~ , "* O, portanto,
det M "* O.
EXERCICIOS
0.254 Calcular, usando a teoria precedente, as inversas das seguintes matrizes:
[: :] [ -~O -:] [ sen a -cos a ]A ~ • B ~ C ~ cos a sen a
[:
O
:] [: ;] [: O :]D 2 , E = O e F =O 7
0.255 Para que valores reais de m existe a inversa da matriz
Solução
A matriz M é invers(vel se, e somente se, det M "* O. Assim, temos:
Im5 5m Idet M = m2 _ 25 "* O = m"* 5 e m"* -5.
0.256 Qual a condição sobre a para que a matriz
M~[:l aa a~] seja invers(vel?
112-0
"Deus criou os números inteiros" CAPÍTULO VI
SISTEMAS LINEARES
1C?) 2xi + 4X2 + X3 = O
2?, 2XIX2 + X3 + X4 = 3
3C?) XI + .yx; - X3 = 4.
Os números ali, a12, a13 ..... aJn. todos reais, são chamados coeficientes e
b, também real é o termo independente da equação.
Exemplos
1'?) 3xI + 4X2 - 5X3 - X4 = 5
2'?) 2x 1 - X2 - X3 = O
3C?) OXl + OX2 + OX3 = 4
4C?l OXl + OX2 + OX3 + OX4 = O
Observemos que não são lineares as equações:
I. INTRODUÇÃO
89. Solução de uma equação linear
Chamamos de equação linear, nas incógnitas XI, X2, ... , xn toda equação do
tipo a l lxl + a12x2 + a13x3 + ... + alnxn = b
88. Equação linear
Dizemos que a sequencia ou ênupla ordenada de números reais
(ai. a2. a3' .... an)
é uma solução da equação linear
al1xl + a12x2 + a13x3 + ... + aJnx n = b
se al1 ai + a12 a2 + a13a3 + ... + aln a n = b for uma sentença verdadeira.
XIX.
Em 1881, com seu domínio de racio-
nalidade, provou que o conjunto dos núme-
ros da forma a + b yI2 onde a e b são
racionais, é um corpo.
Às vezes se diz que seu movimento
sobre finitismo morreu de inanição mas
reapareceria sob nova forma na obra de
Poincaré e Brouwer.
Leopold Kronecker
(1823 - 1891)
leopold Kronecker nasceu na Alemanha, de pais judeus embora tenha optado
pelo protestantismo.
Foi um homem de negócios muito próspero e que mantinha fortes ligações
com professores da Universidade de Berlim, onde aceitou um posto em 1883.
Em contato com Weierstrass, Dirichlet, Jacobi e Steiner obteve seu doutora-
mento em 1845 com uma tese sobre teoria algébrica dos números.
De acordo com Weierstrass, aprovava a aritmetização universal da Análise
mas defendia uma Aritmética finita, entrando em confl ito com Cantor.
I nsistia na idéia de que Aritmética e Análise deveriam basear-se nos números
inteiros, os quais considerava como tendo sentido dado por Deus e rejeitava a
construção dos números reais porque não poderia ser feita por processos finitos.
Achava que os números irracionais não existiam. lutando pela sua extinção. Diz-se
que perguntava a lindemann para que servia sua prova de que 1T não é algébrico,
já que os números irracionais não existiam.
Kronecker contribuiu significativamente para a Álgebra embora suas idéias na
época, fossen consideradas metaflsicas. Seu finitismo chegava a embaraçar Weierstrass
mas foi a Cantor que atacou mais gravemente, opondo-se a que lhe dessem uma po-
sição na Universidade de Berlim e. além disso, tentando derrotar e extinguir o ramo
da Matemática que Cantor estava criando
sobre a existência dos números transfinitos.
Cantor defendeu-se num de seus artigos
dizendo que numerações definidas podem
ser feitas com conjuntos infinitos tão bem
quanto com finitos, mas Kronecker conti-
nuava seus ataques e críticas. Este conflito
entre Cantor e Kronecker é considerado
como a mais forte controvérsia do século
115-0
Exemplos
1?) Seja a equação linear
a sequencia
(1. 2. 3. -2) é solução. pois 2· (1) + 3· (2) - (3) + (-2) ~ 3 é
sentença verdadeira. porém a seqüência (1, 1. 2. 1) não é solução. pois 2 • (1) +
+ 3· (1) - (2) + (1) ~ 3 é sentença falsa.
2?) Seja a equação linear
Ox + Oy + Oz ~ O
é fácil observar que qualquer tripla ordenada (ai. a2. a3) é solução da equação.
3?) Seja a equação linear
Ox + Oy + Oz + Ot ~ 2
é fácil observar que qualquer quádrupla ordenada (ai. a2, a3. (4) não satisfaz
a equação. po is
Exemplos
1?) O sistema linear
S[ {2X + 3y ~ 4
x - y ~ 2
pode ser escrito na forma matricial
2?) O sistema linear
{
3X + y - z ~ 4
S2 2x + 5y + 7z ~ O
pode ser escrito na forma matricial
90. Sistema linear
É um conjunto de m (m ;;;. 1) equações lineares. nas incógnitas Xl. X2.
X3•...• xn- Assim, o sistema
[~ 5 -;] r:] r:]
S
allxl + a12 x2 + a13 x3 + + alnxn bl
a21 Xl + a22 X2 + a23 X3 + + a2n Xn ~
a31 Xl + a32 X2 + a33x3 + + a3n Xn b3
3?) O sistema linear
{ X+y~4S3 3x - y ~ 12x - y ~ O
pode ser escrito na forma matricial
é linear.
Lembrando a definição de produto de matrizes. notemos que o sistema
linear S pode ser escrito na forma matricial.
116-0 117-0
Dizemos que a seqüência ou ênupla ordenada de reais (ai, a2, a3' "',
a n) é solução de um sistema linear 5, se for solução de todas as equações
de 5, isto é
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que o termo
independente de todas as equações vale zero.
91. Solução de um sistema linear
a11 ai + a.2a2 + a13a3 + + alnan = b l
a21 a. + a22a2 + a23a3 + + a2nan = b2
a31a. + a320'2 + a330'3 + + a3nan = b3
(sentença verdadeira)
(sentença verdadeira)
(sentença verdadeira)
"'93. Sistema linear homogêneo
Exemplos
+y+z=O
-y+z=O f
3X + 4y + z + t = °
3x y - 3z = °52
x + 2y + z - 3t =°
4x - z + t = °
Exemplos
1<:» O sistema
5 {;// /_\==61
3x-y+z=4
(sentença verdadeira) É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre como solução
a seqüência (a., a2, a3, .." ao) onde 0'; = O, V i E {1, 2, 3, ... , n}.
Nos exemplos dados temos:
(O, O, O) é solução de 5.
(O, O, O, O) é solução de 52'
admite como solução a
1+2+3=6
2·1+2-3=1
3·1-2+3=4
tripla ordenada (1. 2. 3)
(sentença verdadeira)
(sentença verdadeira)
(sentença verdadeira)
pois 94. Matrizes de um sistema
Dado um sistema linear 5 de m equações e n incógnitas, consideremos as
matrizes:
5 não admite, porém, como solução a tripla (-5, 11, O) pois
- 5 + 11 + °= 6 (sentença verdadeira)
2(-5) + 11 - °= 1 (sentença verdadeira)
3· (-5) - 11 + °= 4 (sentença falsa)
2<:» O sistema linear
U+ 2y + 3z = 55 - y + 4z = 1+ Oy + Oz = 6
não admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla
(0'., a2' (3).
92. Observação
e B
a3n
Se um sistema linear S, tiver pelo menos uma solução diremos que ele é
possfvel ou compatfvel lé o caso do exemplo Wlj caso não tenha nenhuma
solução, diremos que S é impossfvel ou incompatfvel (é o Caso do exemplo 2!l)
118-0
A é chamada matriz incompleta do sistema e B, matriz completa.
Notemos que B foi obtida a partir. de A, acrescentando-se a esta a coluna
formada pelos termos independentes das equações do sistema.
119-0
Exemplos
{2: + y 3 [~ -~J [~ :]SI 4 A e B- y -1
{3X - y + z [: -1 ~] e [: -1 1 ~JS2 A B4x + y 7 O
EXERCICIOS
0.257 Dizer quais das equações abaixo são lineares:
,...a1 Xl - X2 + X3 - 2X4 = 3
b) Xl + mX2 + x~ = n onde m e n são constantes dadas
c) x - 2y + 3z = 4
d) atxl +. a2x~ + a3x~ = b, onde a e b são constantes dadas
e) 2Xl + logx2 + x, = log2
..;t/ -Xl + X2 - 3X3 - X4 - Xs = O
~-v'3xl + V2x2 + x3 = 5
fiXl + 3x2 - 4X3 + 5x4 = 10 - 2xs
0.262 Quais são os sistemas correspondentes às representações matriciais?
a) [-; 4 -;]-[:]-[:JO
7
bl l~1[-~ 2 -1 ~J [-~J5 -2
c) [: :] [:] [:;]
b)
[:
2
:] [:] [-;]3
-1
0.263 Verificar se (O, -3, -4) é solução do sistema
0.258 Verificar se (2, O, -3) é solução de 2Xl + 5X2 + 2X3 = -2.
0.259 Verificar se (1, 1, -1, -1) é solução de 5Xl - 10X2 - x3 + 2X4 = O.
1
-1
2
0.260 Encontrar uma solução para a equação linear 2xt - Xl - x3 = O, diferente da solução
(O, O, O).
0.261 Escrever na forma matricial os .seguintes sistemas:
0.264 Verificar se (1. O, -2, 1) é solução do sistema
[
5X + 3y - 2z - 4t 5
2x - 4y + 3z - 5t -9
- x + 2y - 5z + 3t 12
0.265 Construir as matrizes incompleta e completa dos sistemas:
ai [ 3x - 2y = 4
-2x + y = O
x + 4y = -1
d) {2:: 3~
-x + 2y
4x - y
a) {X- Y +Z=2 bl r'-"·,.-,-8
-x + 2y + 2z 5 2x + Y - 2z = -3
5x - y + 5z = 1
-x - 2y + z - 3t =
-5x - y + 6t = 4
c) {ax + by + cz = d d) [V2X - 3y + 2z = 7
-mx + ny = e +7y - z = O
abx - b2 y + mz = 4x + \/:3y + 2z = 5
el {2X - 3y 7 f) {a~ - by + 2z = 1
-x + 4y = 1 ax-by+z= 3
2x - y = 2
g) {X+ Y -Z=3-t h) {'""" , - ,,""' ,-,
-x - y - 2z = 1 - 3t (cos b) x + (2 cos a) y = -1
5x + 3z = 7 + t (sen b) x - (3 cos a) y = -2
onde a, b, são constantes dadas.
120-0
b)
cl
l 2X + 4y - z = 2-x - 3y - 2z = 43x - y + 4z = -3
[
ax - y + bz = c
a2 x + abz = d
-by + az = e
= 1
= 4
= -3
= 7
onde, a, b, c, d, e são dados.
121-0
11. TEOREMA DE CRAMER De fato:
Consideremos um sistema linear onde o número de equações é igual ao
número de incógnitas (isto é, m = n). Nestas condições, A é matriz quadrada;
seja O = det (A).
95. Teorema
A(A-I • C) = (A· A-I) • C = In' C = C
o que prova a existência da solução Xo = A-I • C.
Para provarmos que Xo = A-I • C é solução única, admitamos que AX = C
tenha outra solução XI, isto é AX I = C.
Então: XI = InX I = (A-IA) XI = A-I(AXd = A-IC = Xo.
onde Di é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i'ésima
coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.
bi
Concluímos, assim, que Xo é efetivamente solução única de AX = C.
Por outro lado, já vimos que A-I pode ser calculada pela fórmula
Xo = A -I • C = 1O
A ll A21 A31 Anl
A 12 A22 A32 An2
A-I 1 • A = 1 A I3 A23 A33 An3- -O O
........................
A ln A 2n A3n Ann
onde Aij é o cofator do elemento aij da matriz A.
Logo
A ll A21 A31 A nl b l
A12 A22 A32 An2 b2
+ al n Xn
+ a2n Xn
+ a3n Xn
\;f i E ; 1, 2, 3, ... , n}
+ a12x2 + a13 x 3 + ".
+ a22 X2 + a 13 X3 +
+ a32 x2 + a33 x3 +s
Demonstração
Consideremos o sistema:
Seja S um sistema linear éom número de equações igual ao de incógnitas.
( Se O cF 0, então o sistema será possível e terá solução única (ai, a2' a,3,
.. t"''''W::JaOº"):'''''.,.:;t:;:;al_g:;l;u~e,--
I ai = ~ I
Consideremos as matrizes
A
Tendo em conta que:
Xo
o sistema S pode ser escrito na forma matricial A . X = C. Provemos que
tal equação matricial admite solução única.
Por hipótese, O cF 0, logo 3 A-I. Consideremos a mat(iz Xo = A-I • C e
provemos que ela é solução da equação matricial AX = C.
concluímos que ai é dado por ai
ai 1 Di• DiO O
122-0 123-0
0.267 Resolver os sistemas abaixo
ai {X + Y - z = O
x - Y - 2z = 1
x + 2y + Z = 4 •
96. Exemplo
Seja o sistema
tx + y + z = 6x - y - z = -42x - y + z 1 temos: D 2 -1-1 -1 -4 * O cl {3X3x
- 2y + Z = 2
-4y + 3z = -2
+ 2y = 36
15
bl [ x + y + Z = 1
-x - y + z = 1
2x + 3y + 2z = O
di [ x + y + z + t
,x+2y- t
2x - y + Z ,- t
-4x + y - z + 2t
= 2
= 4
= -3
= 4
Logo: D, -4 1; D2 -12 3; _ D3 -8 2.x = Y z = ~- =
D -4 D -4 D -4
Portanto a solução única do sistema é (1, 3, 2). ~ = 1 ~ z + 1 = 2x + y ~ 2x + y - z = 1
2x + Y
ç~ 2x - y = 3z + 2 ~ 2x - y - 3z = 2~
3z + 2
Solução
Admitindo 3z + 2 * O e 2x + y * O. temos:
0.269 Resolver o sistema pela regra de Cramer
{
X + Y + Z = 1
~=~
3z + 2 2x + y
0.268 (MAPOFEI-751 - Resolver, aplicando a regra de Cramer. o seguinte sistema:
[
X + Y = 1
-2x + 3y - 3z 2
x + z = 1
-12,
-4,
-8.
Logo, o sistema tem solução única. Determinemos esta solução
97. Observação
então. temos o seguinte sistema
Os sistemas lineares que têm solução única são chamados possíveis e deter-
minados. {
x+ y + z=1
2x - y - 3z = 2
2x+y- z=1
EXERCICIOS
0.266 Resolver os sistemas pela regra de Cramer
ai r -x - 4y = O
l 3x + 2y = 5
c) {3X - y + Z = 1
2x+ 3z=-1
4x + y - 2z = 7
e) [ x + y + z + t = 1
2x-y+z =2
-x + y - z - t = O
2x + 2z + t = -1
124-0
bl { 2x - y = 2
-x + 3y = -3
di [-X + y - z = 5
x+2y+4z=4
3x + y - 2z = -3
f) {X+ y+z+ t=1
-x + 2y + Z = 2
2x - y - z - t = -1
x-3y+z+2t=0
D 2 -1 -3 10-6=4*0
2 -1
Dl G-1 -3 = 6 '* x Dx 6 3D 4 2-1
D2 2 G-3 = -5 => y Dy 5[) 42 -1
125-0
98. Definição
Notemos que 3z + 2 ~ ~ + 2 * O e 2x + y
4
A solução do sistema é (2, -~, 21.
2 4 4
0.270 Calcular o valor de y no sistema
{~-~~1-3t - 1 z - 2t~ ~~2
t - Y 2z - y
2 -1
2
3 "" z
3
4
3 + (- ~I * O.
4
Dado um sistema linear
311 XI + a12 X2 + a13 X3 + + alnX n ~ b l
a21 Xl + a22 X2 + a23 x3 + + a2n Xn b2
5 331 Xl + 332 X2 + 333 X3 + + 33n X n b3
. ..................................
3 m I Xl + am2X2 + am3X3 + o •• + amnX n = bm
onde em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, diremos que
5 está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro
coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
0.271 Resolver o sistema, pela regra de Cramer
2 1
-1
-
x y
+ ~ + O
x y z
3 2 + - 4
x y z
0.273 Sendo a uma constante real, resolver o sistema:
{
x. sen a - y • CQS a "'" -CQS 2a
x • cos a + y • sen a::= sen 2a
0.272 Mostrar que o sistema abaixo tem solução única
{
2x - y + Z = 3
3x + 2y - z ~ 1
5x - y ~ 7
Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar
Exemplos
{": + 3z 151 Z 4
2z 5
{ 4x - y + z + t + w 1
5, z - t + w O
2t - w 1
53 { X - 4y + z 5
2y - z O
99. Resolução de um sistema na forma escalonada
x', ~ ~ V', ~ ~ z',
y zx
Sugestão: faça
19 tipo) número de equações igual ao número de incógnitas.
Nesse caso o sistema 5 terá a forma:
onde ai; *O,\:Ii EC {l, 2, 3, ... , n}.
111. SISTEMAS ESCALONADOS
o teorema de Cramer tem um interesse mais teórico do que prático; quando
o número de equações é muito grande, fica bastante trabalhoso resolver o sistema
através de sua aplicação. Por exemplo, num sistema de 5 equ;Jções a 5 incógnitas
teremos de calcular 6 determinantes de ordem 5. O método de resolução que
veremos agora é mais simples, embora em alguns de seus aspectos teóricos tenhamos
que usar o teorema de Cramer.
5
allxl + a12x2 + a13 x3 +
a22x2 + a23 x3 +
a33 X3 +
+ atnXn
+ a2n X n
+ a3n Xn
127-0
126-0
A matriz incompleta do sistema é a matriz tr ia ngu lar:
ali a12 al3 aln
O a22 a23 a2n
A O O a33 a3n
O O O ann
D = det(A) = a a a· cF I
d . 11 22 33 .... a
nn O, ogo, pelo teorema de Cramer S é possível
e etermlnado. Os valores ct ct _
. 1, 2, ct3, ''', ctn da soluça0 podem ser obtidos
resolvendo-se o sistema por substituição. Partl'ndo da 'última equação, obtemos
xn;. em seguida, substituindo esse valor na equaça-o .
d anterior, obtemos xn -I' Re-petm O-se esse procedimento vamos obtendo x
n-2' x n _3 , "', X3, x 2 , Xl-
Para resolvermos tal sistema, podemos tomar as incógnitas que não aparecem
no começo de nenhuma das equações (chamadas variáveis livres) e transpô-Ias
para o segundo membro. O novo sistema assim obtido pode ser visto como sendo
um sistema contendo apenas as incógnitas do primeiro membro das equações.
Nesse caso, atribuindo valores a cada uma das incógnitas do 29 membro, teremos
um sistema do 19 tipo, portanto, determinado; resolvendo-o, obteremos uma
solução do sistema. Se atribuirmos outros valores às incógnitas do 29 membro,
teremos outro sistema, também determinado; resolvendo-o, obteremos outra
solução do sistema. Como esse procedimento, de atribuir valores às incógnitas
do 20 membro pode se estender indefinidamente, segue-se que podemos extrair
do sistema original, um número infinito de soluções. Um tal sistema é dito,
poss/vel e indeterminado. Chama-se grau de indeterminação o número de variáveis
Iivres do sistema, isto é, n - m.
membro das equaçoes teremos o SIS ema:
4
2
- z
+ z
+ Z
- z
[
X-Y=4
y = 2
Exemplos
lt?l { x - ~
variável livre é z (não aparece no começo de nenhuma equação).
Exemplo{" 2y z + 3t = 6 (I)y + 3z t -5 (11 )5z + 7t 21 (111 )
2t 6 (IV)
Temos:
em (IV) 2t 6=>- t = 3
Portanto a solução do sistema é (1, -2, O, 3).
em
em
em
(111) 5z + 21 = 21 =>- 5z
(11) y + 3 • O - 3 = -5 =>-
(I) x-4-0+9=6=>-
O=>- z=O
y = -2
x =
Fazendo z = ct (onde ct é um número real) teremos
{
X-Y=4-a CD
y=2+a ®
O sistema é agora do 19 tipo (determinado), para cada valor de a.
Resolvendo,
29 tipo) número de equações é menor que o
Nesse caso o sistema S será do tipo:
número de incógnitas.
em
®
CD
Y = 2 + a
x-2-ct=4-a=>-x=6
com m < n.
1 -->- (6, 3, 1)
-7 - (6, -5, -7)
0-->- (6, 2, O)
1 --+ (6 ~ ..1.)
2 '2 2
Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas do tipo (6; 2 + a; a)
onde a E IR. Eis algumas:
(j ;;. 2)
(r > j)
...........................
+ a12 x2 + a13 x 3 + + alnX n bl
a2jXj + ........ + + a2nXn b2
128-0
129-0
Fazendo y ~ O' e t ~ {3 (O' e (3 são números reais) teremos
2?l[ x + y - z - t ~ o
3z + 2t ~ 4
As variáveis livres são
teremos o sistem~
{
X - Z ~ -y + t
3z ~ 4 - 2t
di [2X - 3y + z - t = 4
y-z+2t=3
3z + t = 2
f) {X + 2y - z + t = 1
- y+3z-2t=2
bl {X + 4y - z = 2
y + Z = 3
oi {ax + by = c
my = n
onde, a, b, c, m, n são dados e
a *O e m * O.
cl [3X - 2y + 4z = 2
- y + 3z = -3
7z = O
ai [-X + 3y - z = 1
2y + z = 2
5z = 10
0.275 Resolver os sistemas abaixo.
y e ti transpondo-as para o 2? membro das eguacõU
CD
@4 - 2{3
-O' + {3
{
X - z ~
3z ~
o sistema é agora do 1? tipo (determinado), para cada valor de a e de {3.
Resolvendo,
Portanto, as soluções do sistema são as quádruplas ordenadas do tipo
( -3a + (3 + 4. . 4 - 2{3 .
3 ' a, --3-' (3) onde a E IR e {3 E IR. Eis algumas:
em
@z
x -
4 - 2{3
3
4 - 2{3
3 ~-a+{3~x 4 - 2{3 _ a + {3 ~ x ~ -3a + {3 + 4
3 3
IV. SISTEMAS EQUIVALENTES
ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA
100. Definição
Dizemos que dois sistemas lineares SI e 52 são equivalentes, se toda solução
de SI for solução de S2 e toda solução de S2 for solução de SI'
O' = O {3 ~ O 4 4e ~ (-' o· -' O) Exemplo3' , 3'
SI { x + 2y 3a e {3 ~ 2 ~ (1; 1; O; 2) 2x + 1y
a ~ -1 e {3 ~ 3 c", (.!Q. -1- 2 3)3' , 3' { x + 2y ~ 3S2
- 3y ~ -5
EXERCICIOS
0.274 Quais dos sistemas abaixo estão na forma escalonada?
S, e S2 são equivalentes, pois ambos são determinados (D *O, nos dois) e admitem
como solução (- -!.; ~).
3 3
d) {3X + 2z =. -2
y - 3z o;:- 1
b) [x -y - z+ 5t = 9
3y + 2z - 3t = 4
- z+ t=2
~/;{ 2x - t = 1
5z-2t=3
c) [2X - 3y = o
x + 3z = O
2v + z = 1
. f) r 2x - y + z - t = 1
l 5z-2t=3
Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções (ou ambos não tem
nenhuma), o que iremos fazer é transformar um sistema linear' qualquer num
outro equivalente, mas na forma escalonada. Isto porque sistemas na forma
escalonada são fáceis de serem resolvidos. Precisamos, então, saber que recursos
usar para transformar um sistema S, num outro equivalente S2, na forma escalo-
nada. Estes recursos são dados por dois teoremas que veremos a seguir.
130-0 131-0
101. Teorema 1 Colocando (ai, az, ... , an) no 1? membro da i'ésima equação de S,
teremos:
."Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema li-
near 5, por um número K"* O. o novo sistema 5' obtido, será equivalente a SU.
-!Miif-- -
Demonstração
1
• K . bj
K
bi
Seja Kbj (por hipótese)
allxI + a12 X2 +
a21 XI + a22 x 2 +
S
Multiplicando a i'ésima equação de S por K * O obteremos o sistema:
o que prova que (aI, 0'2, ... , O'n) satisfaz a i'ésima equação de S. Logo
(ai, O'z, "', O'n) é solução de S.
102. Teorema 2
"Se substituirmos uma equação de um sistema linear S, pela soma membro
: memhrO dela com 1!00000.utra,~noJlO..-Sis.temªobtido S' será equiyalente a S/'
a'lx, +a12x2 +
a21 XI + a22 X2 + Demonstração
Colocando (0'1, 0'2, ''', an) no 1? membro da i'ésima equação de S',
ali XI + a12 x 2 +
a21 XI + a22 x2 +
S
Seja
Substituindo a i'ésima equação de S, pela soma membro a membro, dela
com a j'ésima equação. obteremos o sistema:
A única diferença entre S e S' é a i'ésima equação. Portanto devemos nos
preocupar apenas com ela.
S'
a) Suponhamos que (0'1, a2, "', a n ) é uma solução de S. Provemos que
ela também será so lução de S'.
De fato: por hipótese, ajlO'I + aj2a2 + ... + ajnan = b j •
teremos: Kajl ai + Kaj2a2 + ... + Kainan = K (ail ai + aj20'2 + ... + ajnan) = Kbj
\ I
bj (por hipótese)
allxl + a12 x 2 +
a21xI + a22 x 2 +
o que prova que (0'1, 0'2, "', O'n) satisfaz a i'ésima equação de S'. Logo
(aI, 0'2, ... , O'n) é solução de 5'. S'
b) Suponhamos agora que (aI, a2, .... a n ) é uma solução de S' e provemos
que ela também será solução de S.
De fato: por hipótese, 'Kajlal + Kaj2a2 + ... + KajnO'n = Kbj.
132-0 133-0
Colocando (0'1, 0'2, "', O'n) no 1? membro da i'ésima equação de S',
teremos:
A única diferença entre S e S' é a i'ésima equação. Portanto devemos nos
preocupar apenas com ela.
o que prova que (0'1, 0'2, ... , O'n) satisfaz a i'ésima equação de S'. Logo
(0'1,0'2, ... , O'n) é solução de S'.
Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles
baseados nos teoremas 1 e 2.
3f? Passo
Deixamos de lado. a 1~ equação e aplicamos o 1C? e 2C? passos nas equa\:ões
restantes.
1f? Passo
Colocamos' como 1~ equação aquela em que o coeficiente da 1~ incógnita
seja diferente de zero.
i
103. Escalonamento de um sistema
2f? Passo
Anulamos o coeficiente da 1~ incógnita de todas as equações (com exceção
da 1~) substituindo a i'ésima equação li ;;;. 2) pela soma da mesma com a 1~
multiplicada por um nÚmero conveniente.
bj + bj
... + (ain + ajn) O'n =
+ ~ajl 0'1 + aj2 0'2 + ... + ajnO'n)
v
bj (por hipótese (li))
bj (I)
bj (11)
(ai1 + ajl ) 0', + (ai2 + aj2) 0'2 +
(ailO'I + ai20'2 + ... + ainO'n)
\. y ,)
bi (por hipótese (I))
ai 10'1 + aj20'2 +
ajlO'I + aj20'2 +
a) Suponhamos que (0'1, 0'2, ... , O'n) é solução de S e provemos que ela
também será solução de S'.
De fato, por hipótese:
b) Suponhamos agora que (0'" 0'2, ... ,0'0) é solução de S', e provemos que
ela também será solução de S.
De fato, por hipótese
(11 )
bj + bj (I)
49 Passo
Deixamos de lado a 1~ e 2~ equações e aplicamos o 19 e 29 passos nas
Ilquações restantes, e assim por diante. até o sistema ficar escilloO§do Os exemplg,
a seguir esclarecerão o assugtg
104. Exemplos
1?) Vamos escalonar o sistemaDas igualdades (I) e (11), concluímos que: ailO'l + ai20'2 + ... + ainO'n = bi
o que prova que (0'1, 0'2, "', O'n) satisfaz a i'ésima equação de S. Logo
(0'1, 0'2, ... , O'n) é solução de S.
Exemplo
Os sistemas:
{
X + 2y
S 2x + y
3x - y
Temos:
+ Z = 9
z = 3
- 2z = -4
{
2x + y + 3z = 4l)
S I x - y + 2z = 1 I
4x + y + z = O
e {
2x + y + 3z = 4
S' I 3x + 5z = 5 I
4x + y + Z = O
{2: : 2~ + ~: ~fi3x y - 2z = -4
são equivalentes, pois S' foi obtido a partir de S, substituindo a 2~ equação, pela
soma membro a membro dela com a 1~ equação.
Substituímos a 2~ equação pela soma da mesma com a 1~ multiplicada
por -2 .
134-0 135-0
+ 2y + Z = 9 @
-3y - 3z = -1V
y - 2z = -4
{
X + y - 3z + t = 1
10z - t = -3
- y + 7z - 4t = 2
substituímos a 3a equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3
{
-X+2Y + z=9 C1\
- 3y - 3z = -15~
- 7y - 5z = -31
multiplicamos a 2? equação por 1
3
Permutamos a 2? com a 3? equação.
{
X + y - 3z + t = 1
- y + 7z - 4t = 2
10z - t = -3
o sistema agora está na forma escalonada. Como ele é do 2':> tipo (número
de equações menor que o de incógnitas), segue-se que é possível e indeterminado.
substituímos a 3? equação pela soma da mesma. com a 2? multiplicada por 7.
o sistema agora está na forma escalonada. Como ele é do 1':> tipo (número
de equações igual ao de incógnitas), segue-se que é possível e determinado.
~fi
-4
4
O
-4
+ Z
+ Z
+ z
+ z
+ z
+ Z
Temos:
3C?) Vamos escalonar o sistema
9
5
4
95m
-31Y
+ Z
+ Z
- 5z
2y + Z
Y + Z
2z
+ 2y
y
- 7y
L:
2~) Vamos escalonar o sistema
+ y - 3z + t 1
+ 3y + z + 2t O
+ y+ z-2t=4
Temos:
substituímos a 2? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3.
-y+z=4.@
5y - 2z = -11
+ 5y + Z = -4
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -5.
+ y
+ 3y
+ y
- 3z + t
+ z + 2t
+ z - 2t
= 1 r-3I
= O""!'--=-'
= 4
{
x-y+ z=4
5y - 2z = -12fl
10y - 4z = -24
substituímos a 3? equação, pela soma da mesma com a 2? multiplicada por -2.
substituímos a 2? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3.
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -2.
{,: + y - 3z + t = 1 @10z - t = -:.;+y+ z-2t=4 {
X - y + Z = 4
5y - 2z = -12
Oy + Oz = O
A última equação pode ser abandonada, pois ela é satisfeita para quaisquer
valores das incógnitas e não dá nenhuma informação a respeito de x, y e z.
136-0 137-0
4
-12
105. Observações
1. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo
40 ) Vamos escalonar o sistema
o sistema agora está na forma escalonada. Como ele é do 2? tipo (número
de equações menor que o de incógnitas), segue-se que é possível e indetermi-
nado.
Ox 1 + OX2 + ... + OXn .= O
]~
determinado (uma única solução)
possível<
. ~ indeterminado (infinitas soluções)
sistema~
~ impossível (nenhuma solução)
3. Com relação ao número de soluções que um sistema apresenta, ele pode ser
classificado em:
2. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo
OXI + OX2 + ... + OX n =.. b(com b:* O)
o sistema será, evidentemente, impossível (ver exemplo 4?l.
esta deverá ser suprimida do sistema (ver exemplo 3?l.
-8 (.:3J
15.-Y
7
-8
15
7
4y
Y
12y
{
X + 4y
3x - Y
10x - 12y
Temos:
substituímos a 2? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3.
{,.: + 4y- 13y
- 12y
-8~10
39
7
EXERCfclOS
0.276 Escalonar e classificar os sistemas abaixo:
ai {x + 5y ~ 3 bl {x +
2x - 3y ~ 5 2x +
2- y =2
2
y = 4
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -10. 0.277 Escalonar, classificar e resolver o sistema abaixo.
{
X + 4y = -8
- 13y = 39 (.:4)
- 52y = 87~
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 2? multiplicada por -4.
{
X + 4y = -8
- 13y = 39
Oy = -69
Notemos que a 3? equação não é satisfeita por nenhum valor de x e y.
Logo o sistema é impossível.
{
x+ y=3
3x - 2y o -1
2x - 3y = -4
0.278 Escalonar, classificar e resolver os sistemas:
ai {X - Y - 2z = 1 bl { -x + y - 2z = 1
-x + y + z = 2 2x - y + 31 = 2
x - 2y + Z = -2 x - 2y + z - 21 = O
2 di { x + y - z + 1 ~ 1cl {X + 3y + 2z ~
4 3x - y - 2z + 1 = 23x + 5y + 4z =
1O -x - 2y + 3z + 21 = -15x + 3y + 4z = -
1 fI{X-2Y-3Z=5el {X + V + z + t :=:
+ 1 -2x + 5y + 2z = 3x-y+z t=""-
2 2 -x + 3y - z = 2y-z+ 1=
2x + Z - 1 = -1
138-0 139-0
\,
pelo Teorema de Cramer o sistema tem solução única. Se D
ser indeterm-inado ou impossível. Examinemos este caso.
0.282 Discutir o sistema abaixo
{
X - Y 2
2x + ay = b
0.279 (ITA-48) Resolver o sistema
{
5x-2Y +3Z=2
3x + Y + 4z = -1
4x - 3y + Z = 3
0.280 (FAM-65) Resolver o seguinte sistema de equações
{
3X + 5y + 2z = 26 ,
x - 7y + Z = -16
5x- y+3z=14
0.281 Discutir o sistema abaixo
Solução
I. Se
2
-1 I
a cF O.
o, o sistema poderá
{
ax + 3ay
2x + ay
o
4 2
-1 Ia = a + 2 0= a -2.
I. Sabemos que se
Solução
tem solução unlca (Teorema de Cramer). Assim, os valores de a para os
O são os que tornam o sistema indeterminado ou impossível. Examinemos
2
b - 4
y
+ Oy
sistema possível indeterminado
sistema impossível
y = 2
2y = b
então se
11. Se a = -2, o sistema fica:
111. Resumindo, temos:
a
3a
I ~
o sistema
quais D =:
este caso:
o
{
a = O
O ==> ou
a = 6 {
a*- -2 ---+ sistema possível determinado
a =- -2 e b = 4 ~ sistema possível indeterminado
a = -2 e b *- 4 ---+ sistema impossível.
11. Se a = O, o sistema fica:
{ Ox + Oy = O _ x __ 2 e y----.- é qualquer.2x + Oy = 4
Logo, o sistema é indeterminado.
111. Se a = 6, o sistema fica:
0.283 Discutir os seguintes sistemas nas incógnitas x e y:
a) {x+ y=3 bl { 2x + ay = a
2x + my = 6 6x - 3y = 2
cI {-x-2y =-ax di { ax - y c
-2x + ay c y (a - 11 x + 2ay 4
{ 6x + 18y = O C+ 3y O~2x + 6y = 4 + 3y 2
Escalonando vem:
{ x + 3y = O
Ox + Oy = 2 o sistema é impossível.
0.284 (FEIUC-58) Discutir o sistema
{
(2a - 1)2 x + (4a2 - 11 y
(4a - 11 x + (2a + 11 y
segundo os valores de a.
(2a + 11 2
(4a 2 - 1)
Resumindo, temos: 0.285 (EPUSP-59) Apresente 3 valores de 8 para os quais o sistema:
[:~~
a = 6
e a*-6 -+ sistema possível determinado
----+ sistema indeterminado
----+ sistema impossível. seja, respectivamente, indeterminado, incompatível, determinado.
140-0 141-0
0.286 IFEIUC-65) Discutir O sistema linear nas incógnitas x e y.
{
mx + y -=: 1 - m
x + my ~ °
o sistema tem solução única (Teorema de Cramar). Assim, os valores de m para os
quais D ,;:. O, são aqueles que tornam o sistema indeterminado ou impossível. Resolvamos
o sistema supondo O * O.
0.287 Discutir o sistema
f x + 2y o 1
l 3x + ay - b O -1
m 2
m c mim _ 11 *° ~ {m ~ °
m cF 1
0.288 Resolver o sistema
{
2ax+3Y =1
x + 2y o b
0.289 IEPUSP-621 Obter m, para que o sistema, nas incógnitas x, y, Z, abaixo, seja compativel.
{
X + my - Im + 11 z ~ 1
mx + 4y + (m - 11 z = 3
°2 -1
-1 2
°
2
m
m
11 - ml
11 - m)
0.290 IMACK-55) Discutir o sistema m -1
seja indeterminado.
Solução do sistema 1- ~, - ~I
m m' m
°2
1
°2
-1
+ Z
- Z
+ Z
~ {O: ~ 2~
Ox + 2y
°2
-1
11. Se m ~ 0, temos:
o sistema é impossível.
°
0 3 -1 2 21m - 1)
m 2 -1
O, O2 0 3 2x O m' y D Dm m
{
mx + y ~ 1
x + y ~ 2
x - y ;;; m
0.291 (ITA-571 Se abcd *0 determinar p e q de modo que o sistema
{
ax + by = c
px + qy ~ d
0.293IMAPOFEI-19741 Determinar os valores de a e b para que o sistema
{
6x + ay = 12
4x + 4y -,- b seja indeterminado.
0.292 IFAUUSP· 691 Resolver o sistema
{
mx + y = 2
x - y = m
x + y = 2
0.294IMAPOFEI-74) Discutir e resolver o sistema abaixo.
{ x+ y + z °x - y + mz 2
mx + 2y + z -1
Solução
I. Sabemos que se
111. Se m ~ 1, temos:
{
x+ y+z °
x- y+z 2
x+2y+z -1
então y ~ -1 e x = 1 - Z; solução do sistema (1 - a, -1, al.
o sistema é passlvel indeterminado.
IV. Resumindo temos:
O
m
-1
2
m *0, e m * 1 ---+ sistema possível determinado
---10- sistema possível indeterminado
-+ sistema impossível
142-0 143-0
0.295 Discutir o sistema 0.298 Discutir o sistema
{ ax + V + 2z
2ax - V + 2z
2x + V + 2z
Solução
I. Se
0.300 Discutir o sistema
0.299 (ITA-53) Discutir o sistema
{
px - V + 2z = O
x + pz ~ P
3x + 2V + pz 5
V - z ~ 4
mV + z = O
V 2{
mx +
x +
x -
2
2
2
b
1
3
-1
2
2a
a
D
pelo teorema de Cramer o sistema tem solução única.
Estudemos o caso em que D ~ O.
11. Se a = 2, o sistema fica:
t2x + V + 2z b r~ + V + 2z b4x - V + 2z 1 ~ - 3V 2z 1 2b2x + V + 2z 3 O 3 b
Se b * 3 ~ sistema impossível
b = 3 -----+ sistema possível indeterminado
0.302 (EPUSP-59) Estudar o sistema linear
0.301 (OURO PRETO-53) OisC\Jtir o sistema
z = O
mz 2
z ~ 1
V +
V +
2V +
onde a, b, c são diferentes dois a dois e têm soma nula.
{
mx + y + Z = a
x + my + z b
x + y + mz =: c
{
mx + V = -2
-2x + V - Z = m
4,. + V + mz = -5
2-40 + 8 O '" a
2
2
2
2a -1
2
a
D
111. Resumindo, temos: 0.303 Discutir e resolver o sistema
{ : ~ ~ e
a ~ 2 e
-----+ sistema possível determinado
b 3 -----+ sistema possível indeterminado
b =1= 3 -----+ sistema impossível.
{
mx - y + mz := m
2x + mz = 3
mx + my = 2
0.296 Discutir, segundo os valores do parâmetro m, os seguintes sistemas: 0.304 Discutir e resolver o sistema
O
ma)
{
mx+ v+ z
x + my + z
x + y + mz
m
-2
b) {mx + 2V + z ~ -1
x - y + mz 2
x + y + mz 2
(
: : m~ : ::
x - my + z = m
0.297 Discutir, segundo os valores do parâmetro a, os seguintes sistemas: 0.305 Discutir e resolver o sistema
a) {X + a(v
V + a(x
z + a (x
+ z)
+ z)
+ V)
a
a2
b) t· 4x + V
-2x + V
ax + y
+ az
z
-5
a
-2 {
X -
2x -
2x -
mv + Z = O
V + mz 3
2V + mz 2
144-0 145-0
0.306 IIME-65) Determinar o valor de a para que o sistema abaixo seja indeterminado.
{
X + 3y + 2z = O
2x + 5y + az = O
3x + 7y + Z = O
<À>~ISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO"
106. Conforme vimos em 93. sistema linear homogêneo é aquele em que os ter-
mos independentes de todas as equações valem zero. Assim. o sistema
0.307 (MAPOF EI-751 Determinar o valor de k. para que o sistema seja indeterminado.
{
3Z - 4y = 1
4x - 2z = 2
2y - 3x = 3 - k
S
aUxl + a12 x 2 +
a21 Xl + a22 X2 +
o
O
0.308 (MAPOFEI-71)
a) Determinar os valores de k, para que tenha solução a equação matriciaL
b) Resolver a equação, na condição do item a.
0.309 IEESCARLOS-59) Estudar o sistema no qual a é um parâmetro real.
{
X + y - az = O
ax
x
+ y - z = 2 - ~
+ ay - z = -8
Para quais valores de a o sistema é determinado, impossível ou indeterminado?
0.310 Mostrar que o sistema:
(
X + my + Im - I)z =
Im - 1Ix + y + mz =
mx + Im - 1Iy + Z =
é determinado para todo m real e não nulo.
0.311 !ITA-63) Determinar os valores m e k. de modo que seja possivel e indeterminado o
sistema
{
X + 2y - mz = -1
3x - y + Z = 4
-2x + 4y - 2z = k
0.312 IEEM, IMT-67) Discutir o sistema
é homogêneo.
Vimos ainda que tal tipo de sistema admite sempre a solução (ai. a 2 • .... an )
onde ai = O. V i E {l. 2..... n}. chamada solução nula. trivial ou imprópria.
Portanto um sistema linear homogêneo é sempre possivel. Se o sistema linear ho·
mogêneo for determinado apresentará apenas uma solução (a nula). e se for inde-
terminado apresentará além da solução nula. outras soluções não nulas. também
chamadas soluções próprias.
107. Exemplos
1~) O sistema linear homogêno
[
X - y + 2z = O
2x + y - z = O
S 3x - y + 4z = O
5x - y + 6z = O
é equivalente ao sistema S' na forma escalonada
.fX - Y + 2z = O
3 3y-5z=0
z = O
Como S' tem 3 equações e 3 incógnitas (l? tipo). segue-se que é determina-
do. logo, a única solução de S é (O, o. O).
2~) O sistema linear homogêneo
[
2X - y + 3z = a
-x + 2y - az = b
ax - ay + 6z = 2
146-0
y - 3z
y + z
3y + 7z
O
O
O
147-0
é equivalente ao sistema S' na forma escalonada,
+ y - 3z
5y - 13z
o
o
0.316 (MAUÁ-64) Resolver o sistema
(
3X + 2y - 12z = O
x - y + z ~ O
2x - 3y + 5z = O
Como S' tem duas equações e três incógnitas (2<;' tipo), segue-se que o mes-
mo é possível e indeterminado.
Para resolvê-lo, consideremos a variável livre z, à qual atribu ímos o valor
arbitrário a E lA. Assim, temos:
0.317 Discutir, segundo os valores do parâmetro a, o sistema:
[
X + 4y - 5z ~ O
2x - y + 3z = O
3x + ay + 2z ~ O
+ y
5y
3a
13a
CD
@
Solução
Sendo o número de equações igual ao número de incógnitas, podemos calcular o:
@ y = 13a
5
13a
em CD x + - = 3a =- x5
2a
5
D = det A 2
3
4
-1
a
-5
3
2
13
1
= -153 - 13a + 156 = 3 - 13a
17
e as soluções do sistema são constituídas pelas triplas ordenadas da forma
( 2
5
a; 1;a; a) onde a E IR.
Observemos que, para a = O, obtemos a solução nula do sistema, (O, O, O).
EXERCICIOS
Como se trata de sistema homogêneo, só há duas possibilidades: o sistema é determi·
nado ou indeterminado.
Se D i:- O, isto é, se a =F ,33 então o sistema é determinado. Neste caso, só existe a
solução imprópria ou trivial: (O. O. 01.
Se O ::= O, isto é, se a = ,33 então o sistema é indeterminado. Neste caso, existem
soluções próprias ou não nulas.
0.318 Discutir, segundo os valores do parâmetro m, os sistemas:
0.313 Resolver o sistema
{
2X + 3y - z = O
x - 4y + z = O
3x + y - 2z = O
0.314 Resolver o sistema
{
X+2Y - z=O
2x- y+3z=0
4x + 3y + Z = O
ai { x + my = O
2x + 6y = O
0.319 (EEM. IMT -66) Estudar o sistema
{
klx + yl + z = O
kly + zl + x = O
k(z + xl + y = O
0.320 (FILD-USP-QU(MICA) Dado o sistema
bl { x + y + Z = O
mx + 3y + 5z O
m 2x + 9y + 25z' = O
z = O0.315 IEPUSPI Resolver o sistema:
{
5X + 4y - 2z = O
x + 8y + 2z = O
2x + y - z = O
148-0
{
X + y +
4x - 2my + 3z = O
2x + 6 y - 4mz = O
determinar m para que o mesmo admita soluções distintas da trivial e determiná-las.
149-0
0.321 Determinar a, de modo que" o sistema
{
Xx + y - az = O
- 2y + z ~ O
2x - y + az == O
VI. CARACTERI'STlCA DE UMA MATRIZ
TEOREMA DE ROUCHE-CAPH.L1
108. Matriz escalonada
admita soluções próprias.
0.322 Determinar k de modo que o sistema
{
kx + 2y = -z
-y + 3z = 2kx
2x - 2z = 3y
Dada a matriz A = (aij)mxn, dizemos que A é uma matriz escalonada ou
que está na forma escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro
elemento não nulo de uma linha aumenta. linha por linha. até que restem even-
tualmente apenas linhas nulas.
admita soluções próprias. Determiná-Ias.
0.323 Dado o sistema
Exemplo
As matrizes A, B, C estão na forma escalonada.
109. Matrizes linha-equivalentes
A
+ my + z ~ O
+ y+z=O
+ y+z=O
0.324 Para que valores de m o sistema possue solução própria?
{
X + my + 2z = O
-2x + my -4z = O
x - 3y - mz = O
determinar m de modo que admita solução própria e resolvê-lo.
Qual o grau de indeterminação?
0.325 Determinar p de modo que o sistema tenha soluções próprias.
{
-x + 2y + Z = O
px + y - z = O
2px + 2y + 3z = O
0.326 (EEM-IMT -651 É dado o sistema
Dizemos que a matriz A' é linha-equivalente à matriz A, se A' for obtida
de A através de uma seqüência finita de operações. chamadas operações elemen-
rares sobre linhas. Ta is operações são:
1) Troca de posição de duas linhas.
2) Multiplicação de uma linha qualquer por um número K cF O.
31 Substituição de uma linha, pela soma desta com outra qualquer.
[
-Im + 1)3xl + (-m - 1)2X2 + I-m - 1)X3 + x4 = O
-Im + 2)3xI + I-m - 2)2 x2 + I-m - 21x3 + x4 = O
+(m + 1)3xI + Im + 1)2x2 + (m + 11x3 + x4 = O
1m2 + l)3xI + 1m2 + 1)2x2 + 1m2 + 1)X3 + x4 = O
Determinar os valores de m (reais), para os quais o sistema admite solução diferente
da imprópria (trivial),
Com estas três operações podemos, dada uma matriz A, encontrar uma matriz
A' na forma escalonada, linha-equivalente a A.
Exemplo
Dada a matriz
D.327 (ALVARES PENTEADO-68) Qual o valor de k para que o sistema
{
X-y-z=O
2x + ky + Z = o
x-2y-2z=O,
3
3
O
vamos encontrar uma matriz A' escalonada, linha-equivalente a A.
admita solução própria?
150-0 151-0
substituição da 3~ linha pela soma da mesma com a 1~ multiplicada por -3.
substituição da 3~ linha pela soma da mesma com a 2~ multiplicada por - 1.
escalonando a matriz A, obteremos
Logo P (A) = 2.
'"' [, 3 4]A = 2 5 -1 escalonando a matriz A, obteremos
2 4 -10 '
A' 0[: 3 -:1- logo, piA' o 2-1
O
3~)
[:
1
:] ,",,'o",odo • m"'" A, ob"com"A= 2 2
3 3
A' - [:
1 :]O O Logo, p (A) = 1.
O O
1~) A= [2 5]
4 8 '
[2 5]A' - O -2
111. Exemplos
-2
9
6
3
-9
-9
[~L~: -2 ;]9
-3
A matriz
Temos
[:
3 -2 !]F3 1O O
substituição da 2~ linha pela soma da mesma com a 1~ multiplicada por -4.
[~ 3 -2 !]r-9 9O O
EXERCICIOS
0.328 Determinar as caractedsticas das seguintes matrizes:
A'· [:
3 -2 ;]-9 9
O -3
é uma matriz esca lonada linha-equivalente a A.
Notemos que as operações elementares sobre linhas de uma matriz A são
análogas às operações para o escalonamento de um sistema linear. Tal fato será evi-
denciado quando, mais adiante, estudarmos o teorema de Rouché-Capelli.
110. Característica de uma matriz
Seja A uma matriz qualquer e A' uma matriz escalonada, Iinha-equ iva lente
a A. Chamamos de caracterfstica da matriz A, e indicamos por p(A), ao número
de linhas não nulas de A:
-2
2
-4
152-0
153-0
B
al1 x I + a12 X2 +
a21 x I + a22 x 2 +
............................
S
A
112. Teorema de Rouché-Capelli
Sejam A e B as matrizes incompleta e completa do sistema. isto é:
Consideremos um sistema linear
ai O que é caracterfstica de uma matr;iz?
b) Qual é a caracterfstica da matriz abaixo?
g) [1 O 2
-2 3 O
4 -2
0.330 (ITA-62) Justificando a resposta, calcular a caracterfstica da matriz
0.329 (EPUSP-58)
p (A) = p (B).o sistema linear S será possível se. e somente se.
Demonstração
Suponhamos que S seja possível e seja S' um sistema escalonado equiva-
lente a S.
Sejam
A': matriz incompleta de S'
B': matriz completa de S'.
Por definição de matrizes linha-equivalentes.
A' é escalonada e linha-equivalente a A
B' é escalonada e linha-equivalente a B.
Sendo S possível. S' poderá ter um dos tipos:
:,]
2~ ]
• 3
4
9
a
-1
O
-1
a
2
3
•
3
4
7
0.331 (ITA-64) Qual o valor máximo da caracterfstica de uma matriz 3 X 4?
0.332 Discutir, segundo os valores do parâmetro a, as caracterfsticas das seguintes matrizes
0.333 Determinar m de modo que a caracterfstica da matriz seja igual a 2.
[
2 : ;~]
-1 2 1
CD
aÍI Xl + aÍ2x2 +
a22 X 2 '+
bí
bí onde ari =1= O. Vi E {1. 2•...• n}
0.334 Determinar m de modo que a caracterfstica da matriz seja 3
m
m
-1
ou
@
+ aínxn b'l
+ aínxn bí • (j;;;' 2)
(r > j e com k < n).
154-0 155-0
Tanto no caso CD como no ®, o número de linhas não nulas de A' e B'
é o mesmo. Logo p (A) = p (B).
Além disso, se S' for do tipo CD então p (A) = p (B) = n e
se S' for do tipo ® então p (A) = p (B) < n.
Reciprocamente, se P (A) = P (B) = n, S' será do tipo CU, isto é, possível
e determinado. E se p (A) = p (B) < n então S' será do tipo @, isto é,possível
e indeterminado.
Solução[-, 3
:J [, 3 -1 :JA ~ 3 -1 B ~ : -1 22 2 2
Escalonando a matriz completa, vem:
[: 3 -, i 'J[' 3 -1 ! 'J[' 3 _, I ']-1 2 I 1 - O 8 -1 -1 i 7I I 7 - O 82 1 : 3 O I8 -1 : 7 O O O I OI
temos, então p (A) ~ p IB) ~ 2 < 3, portanto o sistema é poss ível indeterminado.
c) { x - 2y + z ~ 5
3x - y - 2z ~ 3
x- y- z=OfI{ -x - y - z ~ 2
3x - 3y + 2z = 1
2x - 4y + Z = -3
fi { -x + y + 2z = 1
2x - y - z = 1
3x + 2y - z = 2
b) { -x - y + z ~ O
2x + y + Z = 1
5x + 4y - 2z ~ 1
di { x + y + Z = 2
x- y+z=2
x + 2y + z ~ -1
bl { x + Y = 2
x - y ~ 1
x + Y =-1
el {3X + 2y + 3z ~ 2
-x - y - z = -1
2x + y + 2z = 1
d) { 2x - y - z ~ 2
-x + 3y - 2z = 4
x+2y-3z~6
0.340 Determinar o valor de k, de modo que o sistema
{
-x + 2y + kz ~ 1
kx + 4y - 4z ~ 2
2x + y + Z = -2k
seja: a) indeterminado b) imposs(vel
0.339 (EESCUSP-661 Dado o sistema
{ : : a2~ : ~ : ~22x + 2y + (3 - a)z = b2
Para que valores de a e b este sistema é:
a) possível? b) simplesmente indeterm,-nado? c) duplamente indeterminado?
Justifique as respostas utilizando o teorema de Rouché.
0.337 Utilizando o teorema de R h' C 11' I foue e· ape I, c assi icar e resolver
os seguintes sistemas:
aI { 2x - y + Z = 4
x+2y+ z~1
x+ y+2z~3
c) { 3x + 4y - z + 2t ~ 2
2x - 2y + z - 3t ~ 5
-x + 3y + 2z t ~ 3
2x + 7y + z + t = -1
el {-2X + y + z ~ 1
x-2y+ z=1
x+ y-2z~1
0.338 Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classificar os seguintes sistemas:
aI { x + 4y - 3z + t = 1
2x + 3y + 2z - t ~ 2
EXERCICIOS
0.336 Classificar o sistema abaixo, utilizando o teorema de Rouché-Capelli:
{
-x + 3y - z ~ 2
3x - y + 2z 1
2x + 2y + z ~ 3
( 1 -2 : 41 (1 -2-1 4 -3 i 1 - O 5 -522 :2005
pIA) ~ p(B) = 3 n = sistema possível determinado.
{
X + y - 2z ~ 4
Solução do sistema 5y - 5z = 5
5z ~ -6
6 1 9 9 1 6
temos: z ~ -S' y = -"5' x = 5" portanto 1"5' "5' -"5), é solução.
Solução
A - [-; : ::1~,," '"oom".' 00 ,'''~,
,~h::: :1 m."" ,om".' 00 "",m.
Determinemos P IA) e p (B),
Escalonando a matriz B obteremos: completa
0.335 Classificar e resolver o sistema abaixo, utilizando o teorema de Rouché·Capelli
{
X + y - 2z ~ 4
-x + 4y - 3z ~ 1
2x + 2y + Z = 2
156-D
157-D
EXERCICIOS SUPLEMENTARES
0.341 (IME-64) Determinar o valor de x3 que satisfaz ao sistema de equações lineares
1
xl + x2 + x3
XI (b + c + d) + x2(a + c + d) + x3(a + b + di
xI(bc + bd + cd) + x2(ac + ad + cdl + x3(ab + ad + bd)
xlbcd + x2acd + x3abd
+ x4 ~ O
+ x41a + b + cl = O
+ x41ab + ac + bcl = O
+ X4abc = B
0.342 (EPUSP-6Q) Para que valores de a são equivalentes os sistemas:
{
X = 1
Y = 1 e {
ax+ y =a+l
x+y=2
0.343 Resolver o sistema
• gY
0.344 Resolver o sistema:
{
X - Y • cos C - z • cos B = O
Y - z • cos A - x • cos C = O
z - x • cos B - Y • cos A = O
sendo, A, B e C ângulos internos de um triângulo.
0.345 Resolver o sistema:
{
1092 (x + Y + z) = O
logy (x + z) = 1
1093 5 + 1093 x = log3 (y - z)
0.346 (EPUSP-62) Mostre que as retas de equação
x + ay + a2 = 1 (a E IR, variável)
cortamMse duas a duas e que entre elas não existem três passando por um mesmo ponto.
0.347 Provar que se o polinômio na variável x
assume valor numérico zero para n + 1 valores distintos de x; então P (x) == o.
0.348 Achar os polinômios P (x) do 4':' grau que verificam a identidade P (xl =' P (1 - xl
158-0
RESPOSTAS
CAPiTULO I
0.1 a) 5,7,9,11,13,15
b) 3, 6, 12, 24, 48, 96
c) 2, 22 , 24 , 28, 2 16 , 232
dI 4, 4, -4, -4,4,4
e) -2,22 ,26 ,224 , 21lO , 2 720
0.2 ai 1,4, 7, 10, 13, 16
b) li, 18, 54, 162, 486, 1458
c) 2, 6, 12, 20, 30, 42
d) -2, 4, -8, 16, -32, 64
e) 1, 8, 27, 64, 125, 216
0.3 a) ai = 3 e an = an-I + 3, V n;;' 2
b) bl = 1 e bn = 2 • bn-I' V n;;' 2
c) cI = 1 e cn = (_1)n- I , V n;;' 2
d) di = 5 e d n = dn-I + 1, V n;;' 2
e) el = O e en = en-l + 1, V n;;' 2
CAPfTUlO 11
23 0.29 alO0.5 a = - 6" 0.31 (-3, -1,1,3, ... )
0.32 (20, 23, 26, ... )
0.7 H, 0,1), (O, 1,2) ou 11,2,31 0.33 189, 93, 97, ... )
0.8 (2, 6, 10) ou (10, 6, 2) p·<:y-q'll
0.9 (O, O, O) ou (6, 12, 18) 0.34 ap+q = p - q
0.10 (-1,1,3) ou (3,1, -1)
{-9, -4, 1, 6} 0.35 m+n=p+q0.12 0.41 43
0.13 (3,7,11,15) ou (-15, -11,.-7, -31 0.42 100r = 130.14 (1, 4, 7, 10) ou (10, 7, 4, 1)
0.16 (2, O, -2, -4, -6) 0.43 69
1 3 7 9 0.44 6010.17 ("5'5,1'5'5) 0.45 849
0.46 6171
0.18 (2, 2, 2, 2, 2) 0.47 30
0.25 35, 80 e 299 0.50 61425
0.27 3 0.51 14520n(n+1)
0.28 -2 0.52 600
161-0
D.77 P.G. da razão -1
CAP(TUlO 111
O
-3
O
3
D.135al 2a bl a J3 a
2 J3 11a 2
cl -- di 93 3
D.136 ai 4a(2 + J21 bl 1T • a • 12 + J21
cl 2a 2 di
11a 2
2
D. 127! • I! 1999
2 3
D.128J2 + 1
D.12915
D.130 136
9
D.131 {a E IR I ! < a < 2} a 125
2 8
D.132 m
D.1332p
D.1342A
[-~ -:]
8],A_B+C= [-1
30 -4
6] a -A + B+ C= [1
-8 4
2
8
a A - B =
bl 169
33
di
21
25
139
333
D.14442
D. 145 a = (3 = r = 8 =
0.146 x = -3 a y = 2
D.142 [ 3A+B+C=
12 23
A_B_C= [-1
-6 -5
o. 143 C = [: 1: ::]
16 25 36
D.141 [5 5]A + B =
9 6
D.138
A=
c) 47 d) 4646
275 495
0.126 12022
99
o. 139 x = 1 a y = O
D.140 x = O, y = 3, z = 4, t =
cl 256 •
D.125 ai
D.124S =
D.1224
D.123 ~
5
CAPíTULO IV
D.119 13,6,12,24,48,96,192,384,768,
1536,30721
5
D.121 ai 2";
c) 3 25 • 2300
fi a5050
1-~
2
bl a = 2
D.l07 a) 245 bl 220 • 3 190
d) _22145 aI 1
D.l08al IOgJan+1 '2
n1n;l l]
D.lll 1023
512
320 _ 1D 112---
. 2
D.61 259
262
D.63 4 549 050
0.64 7142135
D.66 aI = 5 a r = 2
D.69 ai = K • r, K E L:
D.70 (3, 4, 5, 6, 7, 81
D.71 {-9, -4, 1, 6}
2n
D.113S=alq -11
q - 1
4n - 1
D.114 [3' 4n-tl. a2
D.1158
D.116 11
0.11719
D.l09-1
D.110 2756 • 3 784
10
D.98 ai = 273 a q = 3
D.99 12
D.l03 q = ~
2
D.l046
D.l056
2 1 1
D.l06 x = a 3 • b 3, y = a "3
1
2
a) V b) V cl F
dI F aI V fI V
gl V hl F il V
jl F kl F Q) F
{ 3 3 3S'4'2"}
12, 10, 50, 2501
{I, 4, 16, 64, 256}
(2, 6, 18, 54, 162, 486)
a = 2, b = 6, c = 18 a
d = 30 ou vice-versa.
{6. 12, 18}
q= ~j~
l<q<I+J5
2
12,12,12 ou 8, 12,18
0.76
0.53 1 - n2
D.55 31
D.56 30
D.57 16
D.58 14662
D.59 3410ai = - 59 e r = 2
0.60 1aI = - "2 a r = 3
0.89
0.78
D.90
D.91
D.84
D.79
D.80
0.81
D.82
D.83
0.74 x = 6 - a
D.75 x = 3
D.92 x = k11 ou x = ± E: + 2k113 .
com k inteiro
D.94 alOO = 2 • 399
D.95 a21 = 3 10
D.96 não
D.97 248832
163-0
162-0
189 ]
54
b ] com a, b E IR
a+b
o ] d) [54
18 42
19 ]
85
com a, b, c E IR
b ] com a, b E IR
a-2b
o. 168 ai
0.165 a)
1 1
o. 163 x = "2 e y = - "2
0.171 [~ ~]OUX=[~ ~] ou ["J'-"" ~J'",~ ]X = X = 2 2 ou
c 2 2['n=
, ~]2 2 1X = onde b, c E IR e bc .;;; 4
c - +2 2
0.170 X = [: 1 ± ~ ] ou X = [ J 1 : bc _ J 1 ~ bC] ou
[ -J1 c
-bC J1b_bC]X ~ onde b, c E IR e bc .;;; 1
.'''''[: :]-[i -;]
o. 162 E
0.172 ai -1 cl 12
2 7
1 3X= 2" 2
5 2 1 22
b) X = [ -1 :] d) [-: -i]X =-5b) [6 1]
14 2
f-1 ~ _~ ] , BA = [~ ~]
~]
0.148
[ 1~ 1~ ]x=
..., [,]
X = 2
-7
0.150
[ 1:
2] .!. B ~ [: :] [: :]2A = 114 '3 e "2 (A + B) =
0.151 a) ,~ [: ~'l b) [-: :1]X =
c) [i :;] d) [ 1: 20 1X = X = 27
.,~ [-"]
"]X = -38 e Y = 28
-9 9
0.155 a) [~ ~ ] b) [: :] cl [- ~4 14 ]2 2 133 3
d) [ 14
']'J [' 7 ,:] f) [: 2 ':]30 13 10 -6 819 -14 8
0.153 X = [~ ~ 6] e Y = [- ~ :!. 1]
2 2 2 2
0.157 AB =
0.159 a) [:]
164-0 165-0
2
-c 5 6
d) zero
c
e) x 2 y 2 z2
2b
-b 5 6
d) abcd
2
c) 48
a 5 6
a
-2
n(n + 31
b) O Izero) c) 3696
2
b) -44
b) a2 + b 2
a-b-c 5 6
0.209 a + b + c
0.199 a) -54
0.200 a) -208
0.201 -3a + 3d
0.202 -25
0.203 ai 2ax 12 - 3a)
0.243 Positivo pois D = 1- 11
167-0
2
0.205 a) Tem 1~ e 3~ colunas proporcionais;
bl tem 1~ e 3~ col unas iguais;
cl Tem ~ e 3" colunas proporcionais.
a - b + c 3 4 = a 3 4 + -b 3 4 + c 3 4
0.2108
0.2451
0.251 6! = 720 termos
0.252 m = 5
0.212 Uma condição necessária e suficiente para que um determinante se anule é ter uma fila
que é combinação linear de outras filas paralelas.
D.215P.10. P.3. P.10 e P.l respectivamente
0.225 a) 281
b) 30
c) -24
0.226 a) (x-y)(z-x)(y-zl
b) la + b + c) (b - a) la - c) (b - c)
c) (a + b + c) (b - a) (c - a) (c - bl
0.229 S = {-3a, a}
0.2308xyzt
0.232 Sim
0.236 a) 240
b) -42
c) (a2 - a) (a2 - b) Ib - a)
0.237 le - a) (e - b) (e - c) (e - d) (d - a) (d - bl (d - c) (c - b) (c - a) Ib - a)
0.238 (t - xl (t - y) (t - z) (z - xl Iz - y) Iy - x)
0.239 S = {1. 2. 3}
0.240 -34 560
0.241 12
0.242 S = {-5. 1, 2}
0.198D 11 = 1. D22 = -41. D33 = -9. D44 = 29
bl ~ X
-21]
13
0.192 a) 121, bl bla2 - c 2 )
c) 4m + 8n - 26
o. 193 a) x = 2. b) x = O ou x =
2
c) x = O ou x = -2
V30.194 x ~ ± ~-
3
0.195 D21 = -25. D22 = 7, D23 = 26
0.196-19
0.197D 13 = -25. D24 = 6, D32 = -19,
D43 = -4.
B-I
[ 3 -5]
-1 2
13 ]
13
-26
X = [cos 3a ]
sen 3a
c) -40
bl -m 2
b) -9
X= A-IB b) X= A-IS-I
X = A-IB-IA
el X = A-IB t
X = Bt - A
[
-1
8
9
X =
0.173 x = 2. y = 5. z = -4
0.174 x = 4. y = - 2. z = -1
0.175 cij = aij + bjj = aji + bji = Cji.
V- i. j E {O. 1. 2•.... n}
D.176 A_1 =[ 5 -6] .B-I=
-4 5
0.182 a)
d)
t)
0.177 [ 1]A-I=~. 1 -1-1
-1 1
1 [-~4 -16
C-I 26' -26
50
o. 179 a) X = [:] c)
n,~., X ~ [:]"' • X
0.183 a)
0.187 a) ! bl -12 c) 6i - 5
2
0.188 a) sen (x + y) b)
cl 6 + 4 • sen x - 3 • cos x
1
b) x = -1 ou x = "2
lã0.189 a) 109 J5
0.191 a)
CAPITULO V
1
0.190 a) x = 2 ou x = - "2
166-0
0.263 Não é sol ução
0.2641: solução
0.262 a) {~: ~ :y= ~ 9z =O
3x + 7y + 3z = O
c) {ax + by = a2
ex + dy = ab
ex + fy = b2
b) {5X + 2y - z + 31 = -2
-x + 5y - 2z + 1 = 3
d) {X + 2y = 1
3y + 3z = -1
-y = 2
- sen b ]
2 cos a
-3 cos a
hl [sen a
cos b
sen b
cos aJ
sen a[
sen a
-cos a
D-1
0.254
0.256 a*"1 e a*"- .:
2
d) impossível3 5 3clI 4 '-s'-"2 1
D."",' [ ,
-'] [ , -2
-: ]-2 1 -21 4 1 4
T 4 -'] [ , 4 -1 ~.-1 -3 -; -: -3 -23 -1 -1 4 -3
c)
[:'
-1 ~] [:' -1 b :]O O ab
-b -b a
~ 0.267 ai (5, -2, 3) b) (2, -2, 1)
i' 0.268 H, 2, 2)
-9
0.270 y = 31
-9 9
D.271 1-3, 14 ' 17)
d) 1
2 3 2 3 4
-1 2 -1 2 -3
4 -1 4 -1 7
0.266 ai 1 (~ -~).... (2, - 21 bl 5' 5 c) (1,1, -1)
d) (-2, 3, O)
e) 1 -11(4, 2' 2,2) f) 10,0,2,-11
:] ':1 [:I-b-b
4
8
-3y
x
z
0.257 a, c, f, 9, h
0.2581: solução
0.259 Não é solução
0.260 (1, 3. -1). por exemplo
CAPITULO VI
"''',' [-; :: :] r:] r:]
b) [_; ~: _: ~~
-5 -1 O 6
"[-,: -,;:] :] [;] "n ;, -;] [:] [:]
., [-;:1 [:] - [;
., [-:: :: +: [;]
0.273 (sen a, cos a)
0.274 a. b, d, e, f
168-0 169-0
0.283 a) {mm ~-22 ~ sistema possível determinado
-----+ sistema possível indeterminado
0.275 a) (-3, O, 2) bl (5z - 10, 3 - z, z)
e) 8 di (-17(H43 -7(Hl1 2-a ai(3",3, O) 6 ' 3 ' 3 '
el (em - bn , ~) fi (-5a + 3{3 + 5, 3a - 2{3 - 2, a,{31
am m
0.277 (I, 2); sistema possível determinado
0.278 Sol uções
a) sistema possível determinado (-lI, -6, -3)
b) sistema possível indeterminado (-12 - 13a, -11 - lIa, a, 5 + 5a1
c) impossível
d) sistema possível indeterminado
b) sistema possível indeterminado
-----+ (1, 11
1 3
-----+(2:'"2)
m *-1 -------+ impossível
{
a * 6 ~ determi nado
a = 6 e b = 3 ..-------...... indeterm inado
a = 6 e b * 3 -->- impossível
{
a *~ --* ( 4: = 33b , ~ab =; )
a ~ e b = ~ -----> (-32 - 2a, a)4 3
3 b --t-~ . • Ia = '4 e -r-- 3 -----+ ImpOSSlve
0.287
0.288
0.290 {m = O
m = -1
m *O e
ad bd0.291 p = -, q = -
e e
{
3 1
0.292 m=1-->-(2'2)
m = -2 -->- (O, 21
m * 1 e m * -2 ~ impossível
0.289 \f m E IR
~)
5
1
, 1, ~ 5
6 - 14a 2 - 7a 1 - 14a ai
(7 7' 7 '
e) sistema possível determinado (_ 1-
5
0.276 a) sistema possível determinado
1 1 2(-5,1'-5'5)
f) sistema impossível
0.279 (-a, -1 -a. t.tJ
0.280 (1, 3, 4)
a *" -4 -----+ determinado
--------jo- impossível
------+ indeterminado
1
- 2" -------+ impossível
*1 e a *-~ -->- determinado
---+ indeterminado
*1 e
-4
1
0.293 a = 6 e b = 8
bl {m * 1 e m * -1 -----+ determinado
m = 1 ----+ impossível
m = -1 ---? impossível
0.296 a) {m * 1 e m * -2 -----+ determinado
m == 1 ~ impossível
m = - 2 ------+ impossível
0.298 [P * 1 e p * -2 -----> determinado
p == 1 ~ indeterminado
p ::= - 2 ------+ impossível
n~'l
bl { :
~ determinado
-------+ indeterminado
------4- impossível
-----7 impossível
*-1
=/=. 2. e a =1= -1 -----+ sistema possível determinado2
12" ou a = -1 -----+ sistema impossível
a =
bl {aa *= -_11 -----+ sistema possível determi nado
-----+ sistema impossível
e) {aa * -11 e a * 3 ~ sistema possível determinado
ou a = 3 -----+ sistema possível indeterminado
1 1
0.284 a * O, - 2" e"2 ~ determinado
I
a = O ou - 2 ---+ indeterminado
1
2
0.285 a = ± 1; :si a; a *± 1
0.286 {m * 1 e m
m = 1
m = -1
170-0 171-0
0.300
----» determinado
~~--» impossível
{
mm *= 11 e m * -4 J determinado
---->J indeterminado
m =- - 4 ) impossível
0.313 (O, O, O)
0.314 (-a, a, a) com a E IR
2 10.315 ("3a, - "3 a, a) com a E R
0.316 (2a, 3a, a), a E R
0.301
{
m *-2 em * 1 --determinado
m = 1 ----» impossível
m = - 2 ) indeterm inado
0.318 a) { m * 3 -------> determinado
m == 3 -----+ indeterminado
0.309 {a = 1 impossível
a = -2 __ imposs(vel
a * 1 e a * -2 -------> determinado
0.302 {mm ~_oo__e_m_*_I======:.:determinado
• imposs(vel
m =1 • imposs(vel
f) 3e) 2d) 3
~ determinado
~ indeterminado
-------+ determinado
~ indeterminado
c) 3
------>J P = 3
------>J P = 1
{
kk ~_ 1 e k * - ~
louk=-"2
0.319
a a
0.320 m = -1 -- (- "2 ' - 2"' a)
m = - ~ -------> (O, -a, a)
2
1
0.325 P = - 2"
0.323 m = 1, l-a - (3, a, (3) ,a E IR, {3 E IR.
0.324 (m = -2 ou m = O) e grau de indeterminação
0.322k = _ 14 (-3a -5a a) aE IR9 ,e 2 ' 3 ' ,
10.321 a = "2
b) {a *2 ea*3 -----> P = 3
a=2----+p=2
a=3----+p=2
0.326 {- ~, -I, O, I}
0.332a){a*1
a = 1
0.327 k = 1
0.328 a) 2 b) 4
g) 3 h) 4
0.329 b) 3
0.3302
0.3313
b) (17 - 40a , a, :!..a )
16
m = O~ impossível
m = 1 -------+ indeterminado
m * O e m * 1 -- determinado
m-2 4-m m+4I--;:;;-,r;;-,---;:;;-r-i
0.303
30.311 m = "5 e k = -6
0.312 {a * -6 e a * 3 -----> determinado
a = -6 e b * -5 -------> impossivel
a = -6 e b = - 5~ indeterminado
a = 3 e b * 1 -------> impossível
a ::: 3 e b = 1 ----+ indeterminado
0.304 { para m * 1 em *-1, sistema possível dete~mmado
mI2m-l) m 2m
x= 1 'Y=-+I'z= --2
m- m 1 -m
para m = ± 1 sistema Impossível
0.305 {m * 2 ------> determinado (m + 2, I, -2)
m = 2 ----> indeterminado (2 - Z, 1, z)
3
0.306 a = "2
0.307 k = 5
0.308 a) k = 6,
172-0 173-0
0.333 m ~ -1 ou m ~ -2
0.334m *' 1
0.337 Soluções
2 4
ai Possível determinado (1, - 3" ' "31
bl Indeterminado (1 - 2a, 3a - 1, ai , a E IR
c) Impossível
d) Impossível
e) Impossível
ti Possível determinado (1, O, 11
TESTES
SEQÜÊNCIAS
TO.1 (PUC-76) A definição por recorrência
ai (5. 4. 7. 9. 3. 16, )
c) (4. 9, 14, 19, 24, )
1 1 1
e) (1, '2' 4' 8" ... )
0.338 ai Indeterminado
b) Determinado
c) Determinado
di Indeterminado
el Indeterminado
ti Impossível
0.339 {a) a = 1 e b = ± J2 ou a*'1 e V b E IR
b) a = -1
cl a = 1 e b = ± J2
0.340 indeterminado ~ k = -2
impossível <==> k = 12
{
ai = a
ap : ap_1
sendo a E IR
+ r
e r E R *, com p E ~ * pode definir uma seqüência do tipo
b) (2. 4. 8, 16, 32 )
d) (4. 7, 13.25 )
(-1)n _n~ com n E I\J', então a seqüência definida é dada por
n + 1-80.341 x3 = (a _ cl (b - c) (c - d)
0.342 V a E IR - {1}
0.343 (1, -2, 41
0.344 Sistema indeterminado I a ' sen A a· sen 8 a)
-----+ sen C ' sen C '
TO.2 (PUC-76) Se a n
1 1 3 4
ai (- 3' 2' - 4' 5' ... )
1 1 1 1
cI (2" 3' 4' 5' ... )
2 3 4 5
el ("3' - "4' "5' -"6' ... I
1 234
b) (2' 3' 4' 5' ... 1
1 2 3 4
d) (-2" 3'-4' 5· ..·)
0.345 imposs(vel
0.348 Plxl = ax 4 - 2ax 3 + bx 2 + la - b)x + c
TO.3 (FFCLUSP-691 Considere a seqüência (ai, a2. a3 ..... a n, ... I cujo termo geral é
a n = (_1)n • n • sen .!... Qual das alternativas é verdadeira?
n
ai o limite da sucessão (an) é -1
b) o limite da sucessão (a n) é 1
c) a sucessão (anl não converge e nem diverge
di a sucessão (an) diverge para +00;
e) nenhuma das respostas anteriores é verdadeira
174-0
TO.4 (CESCEM-72) A sucessão
a + 1; a - 1; a + ..!-. a -
2 '
a __1_. é
3"+1 ' ...
a) oscilante
c) estritamente crescente
e) divergente
.!.·a+ .!.·a- 1. 'a+ 1' a ..!..'a+ 13' 4' 9' ... , 2"' - 3"' 2"+1;
bl convergente para a
d) estritamente decrescente
TD.6 (CESCEA-73) A seqüência (Yn)n;;;' I é tal que Yn - Yn-I = 2n. para n ;;;, 2.
Sabendo-se que YI = -1. então, o termo Y21 é igual a:
(FEI-7l) Dentre as seqüências (XI, x2, ... , x
n' ... ) abaixo, uma delas tem o têrmo geral:
1 [( 1 +../5) n (1 -../5) n] é'
xn =../5 --2- --2- .
cl 359
e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
d) 9, 12, 15
el 33d) 24c) 15bl 12
a) 3, 6, 9 b) 6, 9, 12 c) 12, 15, 18
e) nenhuma das respostas anteriores
a) 8
aI 3 b) O c) 2 d) 5
e) não pode ser calculado. pois não é dada a razão.
TD.14 (CESCEM-77) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x,
x2 - 5 e estão em P.A.. nesta ordem. O perímetro do triângulo mede:
TD.15 (CESCEM-671 Se a soma dos termos de uma P.A. de três termos é igual a 15, então
o segundo termo da progressão vale:
TD.13 (PUC-68) Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. Calculâ-Ios:
d) 460
1 1 1 1
d) ~' 5' 5../5' 25' ...
b) ../5. -../5. ../5. ~../5....
b) 459a) 41
a) O, O, O, O, .,.
cl ../5,../5 + 1,../5 + 2,../5 + 3, ...
TD.5
TD.9 (PUC-69) Se em uma P.A. de 7 termos, de razão k, retirarmos o segundo, terceiro,
quinto e sexto termos a sucessão restante é uma P.A. de razão:
TD.8 (FE 1-68) Se as variáveis x e Y estão relacionadas pela equação Y = ax + b (a =1= O e
b =1= O) então
TD.l0 (MACK-76) O valor de x, tal que os números 2x, 3x e x2 sejam termos consecutivos e
distintos de uma progressão aritmética, é:
a) racional e maior que 10 b) inteiro e múltiplo de 3
c) inteiro e divisor de 12 d) um número primo
e) inexistente
TD.7 (CESCEA-67) Qual das seguintes sucessões não constitui uma P.A.?
a) 1,6,11,16.... b) 4, -1, -6, -11 ....
1 5 7 1 1 1
c) '3' 1. '3' '3 . . . . d) "2 ' '3 ' "4 ' ...
el ..;;;. ..j2. 8 , V22 .9
e) : 1, 3, 5, ...
e) 42.
d) 0,3,6
d) 299
d) 38
b) : 5,6, 7, ...
d) :0,3.6,9, ...
d) 1,27 + 0,6
e) nenhuma das respostas anteriores
cl 1bl 25a) 15
a) -2.3,8. b) 2, 3,4 c) 1, 3, 5
e) nenhuma das respostas anteriores.
a) l,27n2 + 0,6
b) l,27n + 0,6
c) 1,27 + O,6n
a) : -5, -2, 1, ...
c) :0,2,4,
TD.16 (CESCEM-761 O 3? termo c da P.A. (a; b; c) é:
a) 2b - a b) a + 2b c) 2a + b d) 2(b - a) e) a + b
TD.2l (MACK-74) As progressões aritméticas: 5, 8,11, ... e 3,7,11, ... tem 100 termos
cada uma. O número de termos iguais nas duas progressões é:
TD.17 (COMSART-73) Trés números em progressão aritmética, apresentam uma soma igual
a 9 e uma soma de seus quadrados igual a 59. Estes três números sâo dados por:
TD.19 (MACK-69) O n-ésimo termo da progressâo aritmética 1,87; 3,14; 4,41; ... é:
TD.18 (PUC-68) O 150? nÚmero ímpar positivo é:
a) 151 b) 291 c) 301
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.20 (GV-73) A soma do 4? e 8? .termos de uma P.A. é 20; o 31 0 termo é o dobro do
16? termo. Determine a P.A.e) nada dissod) 3kc) ~2b) 2ka) k
a) y é diretamente proporcional a x
b) atribuindo a x os valores 1, 2, 3, ... , os valores correspondentes de y formam
uma P.A.
c) As diferenças correspondentes /iy e tix são inversamente proporcionais
dI Y é função crescente de x
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.ll (MACK-76) O valor de x para que log 2, log (2x -l), log (2x +3), nessa ordem,
sejam termos consecutivos de uma progressão aritmética, é:
TD.22 (CESCEA-75) Quantos números ímpares hâ entre 14 e 192?
a) 88 b) 89 c) 87 d) 86 e) 90
TD.12 (G.V-75) Em um triângulo, OS três ângulos estão em progressão aritmética e o maior
ângulo é o dobro do menor. Então o menor ângulo mede:
a) 10923 b) 10925 c) 1092 7
c) 30°
dI 3 e) inexistente
e) 40°
TD.23 (PUC-68) Sendo 47 o décimo-sétimo termo de uma progressão aritmética e 2,75 a
razão, calcular o primeiro termo.
a) -1 b) 1 c) 2 dI O
e) nenhuma das respostas anteriores
176-0 177-0
TD.24 (PUC-761 Se o 40 e o 9':' termos de uma progressão aritmética são. respectivamente.
8 e 113. então a razão r da progressão é: TD.32IGV-71 I A soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1.000 é:
aI r = 20 b) r = 21 cl r = 22 di r = 23 el r = 24 a) 70539 bl 71 400 cl 71 540 di 76500 e) 71 050
TD.25 ICESCEM-76) Considere as proposições
e) não seI.
el 13di 11
d) 2027cl 2713
cl 9
b) 2691
b) 7
aI 2990
ai 5
TD.34 (MACK-74l A seqüência (ai, a2, a3. "', a n ) é uma progressão aritmética de razão
2 e primeiro termo igual a 1. A função f definida por f(x) = ax + b é tal que
(f(ad. f(a2), f(a3), .,., f(a n )) é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro
termo igual a 4. Então 1(21 é igual a:
TD.33ICESCEA-72) A soma de todos os números naturais compreendidos entre 100 e 200,
e tal que o resto da divisão de cada um deles por 5 seja 2, é:
bl somente II é correta
d) somente III é falsa
... 1 uma P.A., então a3 + a7 = 2a5'
3a a
A razão da P.A. Ia, 2 +1; 2a +2; ...1 é "2 +1.
I - O número que se deve inserir entre a e b para que os três formem P.A.
b - a
é 2
Sendo (aI; a2; a3;II
III
a) somente I é correta
c) somente III é correta
el somente I é falsa
TD.27 ICESCEA-68) OS 5 meios aritméticos que devem ser inseridos entre V2 - 1 e
V2 + 1 são:
P.A. de 12 termos cujos extremos são -28 e 60 é:
TD.35 (PUC-771 A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética:TD.26IMACK-68) A razão de uma
ai 5 b) -5 cl -8 di 8 e) 10
1 - n 2-n 3-n é:
n n n
n n + 1 1 - n 1 - n
ai bl
-2- cl 2 di 2n22
1 + n
el 2n 2
e) r = 5
el 20000
d) r ~ 2
d) 10000
cl r = 1
cl 9800
bl r = 4
bl 199ai 100
a) r = 3
TD.37 (PUC-76) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n2 + n,
V n E N*". Então a razão é:
TD.36ICESCEM-751 Em uma sucessão, o termo geral tem para expressão un = 2n - 1,
V n > 1. A soma dos 100 primeiros termos dessa sucessão é:
2
+-
3
2
+-5
ai vS. - 1, vS. ~ V2,V2+~,V2+1.
bl -2, -1, O, 1, 2
cl vS. - 5, vS. - 3, vS. , vS. + 3, vS. + 5
di V2 f, V2 - ~ ,V2 V2 +~ , V2
e) V2 - ~ , vS. - i V2, vS. +i ' vS.
TD.28 IPUC-77 I Ao se inserir n meios aritméticos entre 1 e n2, a razão de P.A. : 1, ... ,
n2 , é:
TO.3S (EAESP-GV-77l A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é
(n + 212n. Se o termo de ordem n é tal que 20 < a n < 26, então n vale:
ai n bl n - 1 c) n + 1 di n - 2 e) n + 2
ai 5 bl 4 c) 3 di 2 e) 6
TD.29 ICESCEA-741 Seja ai, a2' .... ,an, a n +l uma P.A. Assinalar a afirmação falsa:
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.3910ESCEM-681 Na progressão em que o primeiro termo é aI e o k-ésimo termo é
ak::: 2(k + n) - 1. A soma dos n primeiros termos da progressão é:
ai 21k2 + n21 bl nlk + nl
2
cl nln + li d) 3n2
2 2
c) a n - aI::: nr - r;
n>1.
n - 1
el r =
b) an - an-l ::: an+l - an;
an - aI
an-l + an+l
a) an = 2
di 2S n = (a n - a1ln;
TD.30 ICONSART-741 A soma dos números pares positivos menores do que 101 é
a) 2448 bl 2550 c) 2500 dI 5100 e) 5050
TD.40 IGV-711 Sabendo que a soma do jegundo e do quarto termos de uma progressão
aritmética é 40 e que a razão é 4" do primeiro termo; a soma dos dez primeiros
termos será:
TD.31 (FFCLUSP-681 A soma dos números inteiros positivos menores do que 101 e não
divisíveis por 4 é:
ai 350 bl 215 c) 270 di 530 el 400
TD.41 [MACK-76) Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e
a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:ai 1300 bl 5050 cl 6350
e) nenhuma das respostas anteriores
d) 3750
a) O bl 25 c) 50 dI 100 el 150
178-0
1"'7n n
TD.42 (GV-70) A soma dos termos de uma progressão aritmética. cujo primeiro termo é 4,
o ultimo termo é 46 e a razão é igual ao número de termos, é:
a) 50 b) 100 c) 175
e) nenhuma. das respostas anteriores.
d) 150
TD.52(GV-72) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem urna certa distância x;
no segundo dia percorre o dobro do que percorreu no primeiro dia; no terceiro dia
percorre o triplo do 1C? dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias percorreu
uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de:
TD.45 (SANTA CASA-77) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é
-15. A soma do sexto termo dessa P.A.
com o décimo quinto termo vale:
TD.43 (PUC-70) Sendo f: IR --> IR, definida por I(x) = 2x + 3, então f(1) + 1(2) + f13) + ... +
+ 1(25) é igual a:
a) 725 b) 753 c) 653 d) 1375 e) 400
n2 + n4
c) A + 8 2 =' --2-
d) A _ 8 ~ n(1 - n)
2
e) 6,5 m
e) 35 km
d) 7,5 m
d) 25 kmc) 20 km
c) 7 mb) 9 m
b) 30 kma) 15 km
a) 8 m
TD.53(CONSART-75) Um matemático (com pretensões a carpinteiro) compra uma peça de
madeira de comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de
obra. Se os comprimentos dos degraus formam uma progressão aritmética, se o pri-
meiro degrau mede 50 em e o último 30 em e supondo que não há desperdício de
madeira no corte, o comprimento mínimo da peça é de:
TD.54(GV-751 Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de Uma vereda
retilínea e distando 1 m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na
mesma vereda, a 15 m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando
e terminando na fonte, qual é o percurso total que ele terá Que caminhar até regar
todas as roseiras?
e+2+3+ ... +nTD.44 (CESCEA-75) Seja n um número inteiro;;;' 1 e sejam A = 1
8 = 1 + 3 + ... + (2n - 1) Assinale a afirmação correta:
3 n4
ai A + 8 ~ - n2 b) A· 8 ~ _
2 2
A n2 + 1
e) 8 2n
TD.47 (CESCEM-75) Numa progressão aritmética limitada em que o 1? termo é 3 e o
último 31, a soma de seus termos é 136. O número de termos dessa progressão é:
a) 3,0 bl 1,5 c) 1,0 d) -1,5 e) -3,0
TD.46 (CESCEM-77) O primeiro termo de uma progressão aritmética é -10 e a soma dos
oito primeiros termos 60. A razão é:
a) 5 b) !.§. cl 5 d) 28 e)
-7 7 35
TD.55 (FFCLUSP-68) A média aritmética de 50 números em P.A. é 100. Retirando-se
dessa P.A. os 3?, 50, 46?, e 48? térmos, a média aritmética dos 46 elementos
resta ntes é:
a) 100
b) menor que 100
c) insuficiência de dados
di maior que 100
e) nenhuma das respostas anteriores
e) 2000 md) 1630 mc) 1860 mb) 1360 ma) 1240 m
e) 52d) 26cl 16b) 10a) 8
TD.48 (CESGRANRIO-76) Uma progressão aritmética de 9 termos tem razão 2 e soma de
seus termos igual a o. O sexto termo da progressão é:
c) 6(n3 - 3n2 + 6n - 3)a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) O
TD.56 (USP-67) 1
a) 6. 5n- 1
·2·3 + 2·3·4 + 3·4·5 + ... n(n + 111n + 21 é igual a:
b) 6(3n2 - 5n + 31
1d) 4' nln + 1) (n + 2) (n + 31
TD.49 (GV-741 A razão de uma P.A. é igual a 8% do primeiro termo. Sabendo-se que o
11? termo vale 36, então a soma dos 26 primeiros termos desta P.A. é:
e) nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira.
TD.5O ICESCEA-74) Numa progressão aritmética de onze termos a soma dos termos é 176;
a diferença dos extremos é 30. O valor do produto ar, onde a é o 1? termo e r >0
a razão, é:
n+S
TD.57 (MACK-761 Se L 4(x - 3) = An2 + 8n + C o valor de A + 8 é:
x =s
a) 1080 b) 1060 c) 1092 d) 1020 e) 1040
ai -10 b) -8 c) 6 d) 8 el 12
TD.51(CESCEA-71) Seja a P.A. :a1. a2 •...• aIO, onde ai ~4 e a2 =4k. O valor de k, para
o qual a soma dos termos da P.A. é 250, é:
a) 3
a) 14
3
b) 6
b) ~
6
cl 8
cl 26
3
d) 12
d) 19
6
e) não sei.
e) não sei.
TD.58 (CESCEM-66) Três números iguais constituem
a) uma R.A. de razão 1
b) uma P.G. de razão O
cl uma P.A. de razão O e uma P.G. de razão
di uma P.A. e P.G. de razões iguais
e) nenhuma das respostas anteriores.
180-0 181-0
TO.59(MACK-69) - A razão da P.G. 3 -V3 4 - 2V3 18 - 1OV3 é:9 9 27
a) 3 +V3 bl 3 - V3 cl 3 - 2V3 di 3 + 2V33 3 2 3
e) nenhuma das respostas anteriores
TO.65 (GV-70) Uma progressão na qual o 10 termo é 2, a razão 5 e o último termO é 3242
ai não pode ser nem P.A. nem P.G.
b) pode ser tanto P.A. como P.G.
cl é uma P.A.
d) é uma P.G.
e) não é progressão.
el 10, -50. 250, ...
TO.57 (CESCEM-73) As diferenças entre os termos consecutivos da sucessão dos quadrados
perfeitos
a) formam a sucessão dos números primos
b) formam uma nova sucessão de quadrados perfeitos
cl formam uma P.G.
d) formam uma P.A.
e) formam uma sucessão constante.
1
21'
45
3'
1
7 '
15
3'
TO.50 (GV-74) Das progressões geométricas abaixo, identificar a de maior razão:
ai v5, 5, 5v5, ...
TO.51 (PUC-721 Somando-se um mesmo número à 1, 3, e 2, nessa ordem, obtém-se uma
progressão geométrica. O número somado é:
TO.53 (CESCEM-74) O número real x é estritamente positivo e diferente de 1.
O quadrado de x, o próprio x e log x formam, nesta ordem, uma P.G., então x vale
TO.52 (CESCEA-701 Calculando-se x de modo que a sucessão
seja uma P.G., o primeiro termo será:
e) nenhuma das respostas anteriores.
ai os números f(1), f(2), f(3) estão em P.A.
bl os números f(11, f(2), f(3) estão em P.G.
c) a função é crescente
di f(2) - f(1), f(3) - f(2), f(41 - f(3) o •• são números em P.A.
e) A função tem derivada igual a a.
TO.59 (FEI-72) Dada a função f(nl an + b, a * O e b '* 0, definido no conjunto
W ~ {O, 1, 2, 3, ... }:
TO.58 (CESCEA-681 Suponha que a sucessão real de termo geral x n seja uma P.A. de razão r.
Então, a sucessão cujo termo geral é Yn ;:: aX n com a *- O e real, é:
a) uma P.G.
b) uma P.A. de razão ar
cl nem P.A. nem P.G.
di uma P.A. de razão 2ar
e) uma P.A. se excluirmos os 5 primeiros elementos.
e) 10
e) 1
2
a + x, ax com a =1= n,
d) -2
di 1
a
x
1 ou O
2
c) 1
10
c) ~
3
clbl O
b) °
ai ~
3
a) _ 1
2
ai -1
TO.54 (CESCEM-73) Na ordem em que são dados, os números x, y, z formam uma P.A.
. 11 1 f-é' P .e os numeras -, -, -- armam uma progressao geom tnca. ode~se conclUir que
x y x + z
a) a razão da P.A. é igual a 3, qualquer que seja x
b) y + Z = 5x
cl a razão da P.G. é igual a 1
d) yz ~ 8x2 3
e) não existem os números x, Y, z, nas condições acima.
TO.70 (CESCEM-70) Se a, b e c são números reais positivos que estão em P.A. podemos
garantir que:
ai logea, logeb , logec estão em P.G.
bl logea, logeb, logec estão em P.A.
cl a b c estão em P.G.e , e , e
d) a b c estão em P.A.e , e , e
a) nenhuma das respostas anteriores.
TO.55 (MACK-75) A seqüência (ai, a2, ''', an, ... ) com a n ~ 3n + 2:
a) é uma progressão aritmética de razão 3
b) é uma progressão aritmética de razão 2
c) é uma progressão geométrica de razão 2
3
d) é uma progressão geométrica de razão 4
3
e) não é uma progressão.
TD.71 (GV-72) Se os números X, Y, z e u formam uma Progressão Geométrica, nessa ordem,
de termos reais e positivos, então 109 x4 , 109 y4, 109 z4 e 109 u4 :
a) não é possível saber se formam P.A. ou P.G.
b) formam uma sucessão que tem termos em P.A. e P.G.
cl formam uma Progressão Aritmética
d I formam uma Progressão Geométrica
el n.d.a.
182-0 183-0
TD.77 IPUC-68) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo. a
P.G. é chamada:
TD.78ICESCEA-68) Para que a progressão geométrica a, aq. aqz, ... seja decrescente é
necessário e suficiente que:
n5 6
--------,
2 3
10
8 -----,
6 :
4 ----1 :
2 I 1
bl crescente
d) alternante
a I decrescente
c) constante
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.79 (GV-70) No gráfico. os pontos represen-
t8m os termos de uma progressão, sendo
n o número de termos e an o n~ésimo
termo.
Então a progressão representada é:
a) uma P.G. de razão 2
b) uma P.A. de razão 3
c) uma P.G. de razão 4
d) uma P.A. de razão 2
e) nenhuma das respostas anteriores.
aI q < 1
b) a> O e q < O
el la < O e q > 1) ou la > O e O < q < 1)
dI (a > O e q < 1) ou la > O e O < q < 1I
el a < O e q > O
TD.73ICESCEM-701 Se ai. az ..... an.... estão em P.A.• então bal. baz ..... bano ... estão
em P.G. de razão:
a) az - a I
bl bar ai
aI +an
el b-z--
d) ai + an
2
TD.74ICESCEM-70) Se Ioga xi = -K + 10gaXi+1 então
a) XI. X2 x n formam uma P.G. de razão K
b) XI. x2 x n formam uma P.G. de razão aK
c) 10gaxI. logaX2 logaxn formam uma P.G. de razão K
d) 10gaxI. logaX2 109aXn formam uma P.G. de razão aK
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.72 (CESCEA-68) Considere a progressão
geométrica finita. ~. x. 32 onde x >0. Pode-se
afirmar que:
) 65 .a x = 4' POiS, em uma P.G. o termo central é média aritmética entre os extremos
b) x = 16
c) x o 8. pois. em uma P.G. o termo central é a metade do produto dos extremos
d) x = 2
e) x = 4.
TD.80 IMACK-74) O gráfico de uma progressão geométrica de razão q. q '* ±1 e ai
está contido:
1
e) 2'
bl numa parábola
d) numa curva exponencial
a) numa reta não horizontal
c) numa hipérbole
e) numa curva logarítmica.
TD.81 (CESGRANRIO-77) Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são
ai = Vi. a2 ~ ~ e a3 ~ ifi. O quarto termo é:
1 8~ 9~
aI Vi b) 1 c) V 2 dI V 2
TD.75(CESCEM-74) Os termos da seqüência lan)n€ w formam uma P.A. A partir desta
~üência, construimos duas outras da seguinte maneira:
bn = a~
cn = b n +1 - bn
Nestas condições, os termos da seqüência cn formam
a) outra P.A.
b) uma P.G.
c) uma seqüência constante
d) uma seqüência de termos positivos
e) uma seqüência de termos alternados.
TD.76 ICESCEM-71) A seqüência (an): n ~ O. 1. 2.... é uma P.A. de razão r '* O e de
primeiro termo r. A seqüência (bn): n ~ 0.1.2.... é uma P.G. de razão w > O e
primeiro termo W.
TD.83IMACK-751 Se o oitavo termo de uma progressão geométrica é ~ e a razão é ~.
o primeiro termo dessa progressão é:
Nestas condições, a seqüência
a) não monotônica
b) estritamente crescente
c) constante
d) estritamente decrescente
e) nenhuma das anteriores.
= O. 1. 2 .... é:
TD.82ICESCEM-75) Dada a progressão geométrica
( h-1 2-V3
... : 1 : 2 : 2 : ... 1 o termo que precede 1 é
a) 1 - V3 bl vS + 1 c) 1 + V3 di vS - 1
2
bl 2
el 1 - v'3
2
e) tIf.
184-D 185-D
TD.84 (MACK-74) o terceiro termo de uma progressão geométrica de termos positivos é
V2. Sabendo-se que o sétimo termo é 16· V2. a razão da progressão é: TD.94 (GV-72) Numa progressão geométrica de cinco termos, a soma do terceiro termo com
o quinto é 60, e a soma do 2? com o 4? é 30. O produto do primeiro termo pela ra-
zão é:
a) V2 b) 2
e) nenhuma das respostas acima
c) 1
2
1
dl--
V2 a)15 b)10 cl3
e) nenhuma das respostas anteriores.
di 2
TD.87IMACK-751 O número de termos da progressão 11,3,9, ... 1 compreendidos entre 100
e 1 000 é:
1 1TD.86ICESCEA-74) Se a" a2, 4' 2' as, a6, a7, as formam nesta ordem uma P.G., então
os valores de aI e as são, re~peetivamente:
Sexto termo de uma progressão geométrica, na qual dois meios geo-
inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
b) -96 cl 48 di 96 e) 192.
TD.85IFUVEST-771 O quinto e
respectivamente 10 e 16. O
a) 13 b) 10V6
di r = Y2aai r ~ 3a b) r = 2a cl r = a
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.96 (GV-70) Uma P.A. cujo primeiro termo é zero e uma P.G. cujo primeiro termo é 1
possuem a mesma razão. O nono termo desta P.G. é igual ao quadrado do nono termo
daquela P.A. Então:
a) a razão comum é zero.
b) a razão comum é +2 ou -2.
c) não existem duas progressões nestas condições.
d) a razão comum é 1.
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.95 (ITA-741 Seja a > O o 1'.' termo de uma progressão aritmética de razão r e também
de uma progressão geométrica de razão q:=o 2r~. A relação entre a e r para que
O 3? termo da progressão geométrica coincida Com a soma dos 3 primeiros termos
da progressão aritmética é:
1
e-
8
1
16
e)
e) 10
e) maior que 8.
de razão positiva valem
di 1 e 2
16
di 8
cl ~ e 4
4
c) 6
o sétimo termos de uma P.G.
sexto termo desta p.G. é
cI 4 di 4.J1Q
e 8b) 1
16
b) 4
1
ai "8 e 16
ai 2
a) -48
TD.88IMACK-76) O
métricos estão
TD.97
TD.89 IGV-71 ) A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos
entre 4 e 512 é:
ai 48 b) 84 c) 128 d) 64 el 96.
TD.90 IEAESP-FGV-77) Um número positivo é formado por três algarismos, os quais estão
em progressão geométrica. Permutando-se os dois últimos algarismos da direita, o nú-
mero aumenta de 54 unidades. Então, o primeiro algarismo da esquerda é:
ICESCEA-71 I A soma dos termos da P.A.: a" a2, a3 é 15. Adicionando-se 3,7 e 17,
respectivamente, ao 1?, 2? e 3? termo, obtem-se uma P.G. de razão maior do que 1. A
P.G. é:
a) ::6:12:24
b) ::5:15:45
cl ::4:12:36
d) :: 24 : 12 : 6
e) não sei.
TD.91 IPUC-73) O número 95 foi dividido em três partes que estão em progressão geomé-
3
trica de razão 2"' As partes são:
IGV-73) Os números x, y, z formam, nesta ordem, uma P.A. de soma 15. Por outro
lado, os números x, Y + 1, z + 5 formam, nesta ordem, uma P.G. de soma 21. Sendo
O":; x":; 10, o valor de 3z é:
ai 6 b) 2 cl 1 d) 4 e) 9.
TD.98
a) 36 b) 9 c) -6 d) 48 e) 21
ai 20, 35, 40 bl 20, 25, 50 cl 10, 30, 55 di 10, 40, 45 el 20, 30, 45.
TD.93IGV-70) Numa progressão geométrica a soma do quarto termo com o sexto termo á'
160, e a soma do sétimo com o nono termo é 1 280. Então o primeiro termo e a razão
desta progressão geométrica valem, respectivamente:
TD.92IMACK-75) Numa progressão geométrica de 4 termos. a soma dos termos de ordem
par é 10 e a soma dos termos de ordem (mpar é 5. O 4'.' termo dessa progressão é:
a)9 b)8 c)6 d)15 e) 10.
ai 4 e 2 b) 2 e 4 cl 4 e 4
el nenhuma das respostas anteriores.
d) 2 e 2
TD.99 (ITA-701 Seja dada uma progressão geométrica de uês termos positivos, tal que o pri-
meiro termo, a razão, o terceiro termo e a soma dos três termos, formam, nesta ordem,
uma progressão aritmética. Portanto, a razão da progressão geométrica é:
ai b) ~ c) ; d) 3
el nenhuma das respostas acima é válida.
TD.100 IITA-71) Uma progressão geométrica de 3 termos positivos cuja soma é m tem seu se-
gundo termo igual a 1. Que valores deve assumir m, para que o problema tenha solução.
a) O<m":;l b) 1":;m<3 c) m;;'3
d) 1:S:;;; m :s:;;; 2 e) nenhuma das respostas anteriores.
186-0 187-0
TO.l0l IGV-751 Dois conjuntos A e a são tais que o número de elementos de A - a é 50. o
número de elementos de A U a é 62 e o número de elementos de A - a, A n a e
B - A estão em progressão geométrica. Então, o conjunto A n B tem:
ai 12 elementos bl 10 elementos cl 2 elementos
di 20 elementos el 8 elementos
TO.l09 ICESCEM-71 I Sabendo-se que a população de certo munic ípio em 1960 foi de 120.000
habitantes e que esta população vem crescendo a uma taxa de 3% ao ano, então em 1963
a melhor aproximação para o número total de habitantes deste munic(pio é:
ai 127308 bl 130800 c) 131127 di 135061
el impossível de se prever sem o conhecimento do resultado do censo de 1970.
TO.l02 ICESCEM-721 OS ângulos de um triângulo estão em P.G. de razão 2. Então o triân-
gulo: TO.110 IGV-761 Um qu(mico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por
água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água novamente. Após
efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos Iitros de álcool sobram na mistu-
ra?
1r
ai tem um ângulo de 3
di é obtusângulo
bl é retângulo
el é isósceles
c) é acutângulo
ai 2.35 bl 2,85 cl 1,75 di 1.60 el 1,15
TO.l04ICONSART-731 A soma de três números em progressão geométrica crescente é 26 e.
o termo do meio é 6. O maior desses números é dado por:
TD. 103 ICESCEM-771 Para que as medidas dos lados a e b e a medida da área A de um retân-
gulo sejam três números em P.G., nesta ordem, é necessário que
a) os lados tenham a mesma medida
bl a medida dos lados seja um
c) a medida de um dos lados seja o quadrado da medida do outro
di a medida de um dos lados seja o dobro da medida do outro
e) a soma das medidas dos lados seja igual à medida da área.
-81 Y3 é:
bl ax ln + ll !
di ..,; (ax)n(n+l)
a) In + llxn • an
cl ~(xn + anl
2
e) é 1 se a ~ x
TO.lll IITA-71 lO produto dos termos da seguinte P.G. -V3. 3, -3v"3:
ai -V325 bl -V342 cl -V"5---:J9 di -V34s
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.112 CESCEM-67) O produto dos termos da seqüência: xn, axn- 1 a2x n- 2, .... an-Ix. a n
é dado por:
d) 12ai 36 bl 18 c) 24
e) nenhuma
das respostas anteriores.
TO. 1~5 (CESCEM-71 I Os senos dos ângulos de um triângulo estão em P.G. Nestas condições:
a) o triângulo é necessariamente eqüilátero.
b) o triângulo é necessariamente retângulo.
c) o triângulo é necessariamente acutângulo.
dJ o triângulo é necessariamente obtusângulo.
elos lados do triângulo estão em P.G.
TO.113 ICESCEM-761 O número de termos de uma P.G. é ímpar e o seu termo médio é 8. Po-
de-se então afirmar que o produto dos termos extremos é:
ai o quadrado de 8
b) o dobro de 8
cl a raiz quadrada de 8
di a média geométrica dos extremos
el o produto do número de termos por 8.
TO.l07 (GV-721 Nos últimos seis anos uma certa indústria fez três reajustamentos de 30% ca-
da um nos preços dos seus produtos. Isso totaliza um aumento sobre os preços de 6
anos atrás, de aproximadamente:
TO.l06 ICESCEA-731 Há 10 anos o preço de certa mercadoria era de 1 + x cruzeiros. Há 5
anos era de 13 + x cruzeiros e hoje é 49 + x cruzeiros. Sabendo-se que tal aumento
deu-se em progressão geométrica e de 5 em 5 anos, pode-se afirmar que a razão do
aumento foi:
ai 3
ai 40%
bl 5
bl 30%
c) 7
cl 120%
di 2
di 90% el 300%
TO.114 (CESCEM-741 Se ai. ano A e x são. respectivamente, numa P.G., o 1';' termo. o últi-
mo termo, a soma e a razão, podemos afirmar que
A - ai bl ai + A cl x A - aiaI x~--- x ~ ~ A - anan - A A - an
dI an - aI el
A - ai - anx ~
--A- x
a1 + a n
TO.115 IITA-76 I Se designarmos por 5 n a soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica de infinitos termos, de razão q > 1 e primeiro termo ai> O, podemos
afirmar que:
TO.l0S tCESCEA-721 Uma indústria está produzindo atualmente 100000 unidades de um
certo produto. Quantas unidades estará produzindo ao final de 4 anos, sabendo·se que
o aumento anual da produção é 10%?
ai 140000 bl 146410 cl 146000 d) 145000 e) não sei.
Sn S2n - Sn b) Sn 5 2naI
S2n - Sn S3n - 52n 52n - Sn 53n - S2n
cl Sn ~ S3n - Sn di S3n ~ 52n + Sn
52n - Sn
e) nenhuma das respostas anteriores.
188-0 189-0
e) na, para todo r
e) não há dados suficientes para a solução do problema
TD.116 (GV-73) A soma a + ar + ar2 + ... + arn - 1 é igual a:
TD.118 (CESCEA-671 Quantos termos da P.A. 9, 11, 13, ... devem ser somados a fim de
que, a soma seja igual à soma de 9 termos da P. G. 3, -6, 12, - 24, 48, ....
el 30d) 24cl 27b) 18a) 21
TD.125 (GV-76) Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho. Conseguindo
despachar no 1? dia 210 documentos e percebe que seu trabalho no dia seguinte
tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-se este fato dia
após dia. Se para terminar o trabalho tem que despachar 2 100 documentos, pode·se
concluir que:
a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias
b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias
cl o trabalho estará terminado em 58 dias
d) o funcionário nunca terminará o trabalho
e) o trabalho estará terminado em 60 dias.
TD.124 (GV - 70) Mesmo enunciado da pergunta anterior, o empreiteiro pela abertura total
do poço, receberia
(Sugestão: 2 10 ~ 1024 é aproximadamente a 1000 103)
a) entre Cr$ 50.000,00 e Cr$ 99.999,90
bl menos de Cr$ 50.000,00
cl exatamente Cr$ 100.000,00
d) exatamente Cr$ 99.999,90
e) mais de Cr$ 100.000,00
TD.123 (GV -70) Um empreiteiro contratou a abertura de um poço de 20 metros, nas seguin-
tes condições: receberia pelo primeiro de profundidade 10 centavos, pelo segundo
metro 20 centavos, pelo terceiro 40 centavos, duplicando sempre até o último metro
de profundidade. Então pelo último metro de profundidade o empreiteiro receberia:
a) 48 centavos b) 5' 220 centavos cl 390 centavos
dl 10.218 centavos e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.127 (GV-70) Quando n cresce, a fração
1 1 1 1
1 + + - + - + + +2 4 8 2 n tende a:
1 1 1 1
1 + + + + ... + +3 9 27 3n
a) 3 b) ~ c) 00 d) zero3
el nenhuma das respostas anterlOres.
TD.126 !FFCLUSP-69) É dada uma progressão geométrica crescente e uma progressão aritmé-
tica com primeiro termo igual a zero. Somam-se os termos correspondentes das duas
seqüências e obtém-se a seqüência (1, 1, 2, ... ), A soma dos 5 primeiros termos desta
seqüência é:
n+ 1
x •
(n + 1)
1 - x
> 1 e k é um inteiro
el 105
e) nada disso.
dl~
2
d) -7
di 96
c) 4n - 1
c) 18
cl 93
se r
, para todo r
, se r =1= 1; igual a na, se r
b) 20
bl 69
Seja uma progressão geométrica de 2n termos, cujo primeiro termo
é 2. A soma dos termos da sucessão formada pelos termos de ordem
2n da progressão é:
bl 2(4n -11
3
é 1 e a razão
2, 4, 6, "',
4 n -1al-~
3
1 + xn+l (n + 21
c) n+lSn 11 - x) ("1- - xl 2 x
1 + xn+l (n + 2)di n+lSn =
_ xl 2 + x(1 (1 - xl
el nenhuma das respostas anteriores.
a (1 _ rn)
a) ----1 - r
n
b) a (1 - r )
1 - r
c) a (1 + rn I
1 + r
a) 19
a) 66
TD.119 OTA-77) Sendo Sk = 1 + 2x + 3x2 + + Ik + llx k , onde x
maior que 2, então, se n é um inteiro maior que 2,
1_xn+1 1_xn + 1
a) Sn (1 _ x)2 bl Sn 11 _ x)2
a (1 - rnl
d) 1 _ r ' para todo r
TD.120 (CONSART -74) Se s3 = 21 e s4 = 45 são, respectivamente, as somas dos trés e
quatro primeiros termos de uma progressão geométrica cujo termo inicial é 3, então
a soma dos cinco primeiros termos da progressão é:
TD.117 (CESCEM -68)
TD.122 (PUC-77) A razão da progressão geométrica, cuja soma dos n primeiros termos é
2 n + 1 _ 2, qualquer que seja n, inteiro e positivo, é:
TD.121 tMACK-68) Numa P.G., aI
d) q > n
d) 2 _ '2 V2
3
V21
+ -- +-
2 4
1
2
cl 4 V2b) 2 - 2 V2
quando o número de parcelas tende ao infinito é:
aI 2 + 2 V2
TD.128IFFCLUSP-67) O limite da soma S 1 - V2 +2; a n = 686 e a soma de seus termos é 800. Então:
Sn
e) n <aI +~
an
b) q = na) q < n
ai 1 b) 2 cl 3 d) 4 e) 5 e) nenhuma das respostas anteriores.
190-0 191-0
a
TD.129(FEI-72) O 1? termo e a razão de uma P.G. têm o mesmo valor O limite
da soma dos termos quando n ~oo é: vf2
TD.136IPUC-701 Se °< a < 1, então o limite da soma a + 2a 2 + 3a3 + 4a4 + ... vale
ai 11 - a)2
ai 1 +vf2 bl 1 c) ...!-2
1
dl---=
2+vf2
e) ° bl a(1-a)2
TD.130 IMACK-69) A soma dos termos da progressão 3-1,3-2,3-3, ... é:
c) a(1-a21
e) nenhuma das respostas anteriores.
a) ..!-
2
b) 2 cl ..!-4 di 4
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.131 IITA-751 A expressão 2 3 4 5+ "2 + 4 + 8 + 16
TD.137ICESCEA-76) A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3. Sabendo-se que o primeiro
termo é igual a 2, então o quarto termo desta P.G. é:
a) 4 b)~
2
c) 2-
2
d) 3,8
+ ... vale
ai 2
27
b) .!..
4
c) 2
3
di ..2..-
27
el ~
8
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.132ICESCEM-721 A soma da série
1
2
1
+ - +
3
1 1
4+9+"'+
1
2n
1
+ 3n +
1
+ --+3 n+ 1
TD.138IGV-74) 1 1 1Considere a soma: a + + + + +128 512 2048
concluir que a soma de a com a razão é:
a) ~ b)~ c) 1 di ..!- e) 2.
4 5 4 4
4
:l.Podemos
00
" I 1 + _1_) é'L, 2i1 3n . TD.139IPUC-771 Se 1 + r + r2 + ... + r n + ... = 10, então, r é igual a:
a) ~ b) 1
3
c) .2
2
d) 2 e) 00
a) 1 -9cl W dl...!-2
1
d) 10
3 7 15 2n - 1
TD.133IMACK-74) A soma S = 1 + " + 1"6 + 64 + + 22n - 2 + ... é:
(Sugestão: Decompor o termo geral e usar a fórmula da progressão geométrica.)
TD.140IGV-73) A solução
c) x = _ 2
3
1 + x + x2 + x3 + ... é:
1
+-
3
bl x
el x
_ 3
da equaçao "2
2
3
1
3
di x = 3
a) x =
e) -ª-
3
d) ~
3c) 4b) ~3a) 2
TD.134 A drzima peri6dica 0,34343434... representa a soma da série geométrica cuja razão
q e primeiro termo a são respectivamente
4 8
TD.141 (CESCEA-72) Se 2 + m + -;:;;2 + 14 - I d é5 ' entao, o va ar em:
a
TD.135 (GV -75) O valor da soma a _ 1
a) ~~.u.
a (a - 11
a a (a - 11
+ a+1 + la + 1)2 + ... + ... , para a > 1 é:
1 1
cl 1 + "2 + " + ... = 2
d) 1
2
2
7
8 é o 5? termo da P.G.: 24, 16, ...
e) não sei.
TD.142ICESCEA-721 Assinale a afirmação falsa:
1
ai 1 + r + r2 + ... = --, para todo r EIR, r * 1
1 - r
2 n rn+1 - 1
b) 1 + r + r + ... + r =---, para todo rEIR, r *1 e para todo natural n.
r - 1
e) não seid) 7c) 8b) 6ai 50,34
0,34
e
e
bl a la + 1)
2 la - 1)
la + 11
di 2 la - 1)
b) 0,1
d) 0,01
34
°
e
e
cl ~::....!l
2 la + 1)
e) _ 1
2
a) 0,01
c) 0,34
192-0 193-0
TD.l43(CESCEM-77l o lado de um triângulo
equilâtero mede 3. Unindo-se os pontos
médios de seus lados obtém-se um novo
triângulo equilátero. Unindo-se os pon-
tos médios do novo triângulo, obtám-se
outro triângulo equilátero, e assim su-
cessivamente. A soma dos per (metros de
todos os triângulos citados é
MATRIZES
TD.l48 IPUC-741 A
ai [; ;]
matriz quadrada
[1 -2Jbl -2 4
de ordem 2. A = [aiil com aij
cl [; -;] d) [_; ;]
= (_ll i+j • i •
el [-~ ~]
é:
matriz X, de
(
28
c) 25
-1)1 I então a
o valor de 2A - B é:
bl( ~
(
-1
d) 2
b) (28
23
(
28
e) 22
bl [-~
-10
e) [~ n
b) U~] c) [i i]41
(
28
a) 24
(
28
d) 30
a) [~ -~]
-10 -1
d) L~ _~]
;)
; )
TD.152 (CESCEA-73) Considere as matrizes: A =(; -~) B =( ~ ~) C =c ~)
Então, AB + C é igual a:
TD.151 (PUC-771 Se A =(~ _~) B =( -~ ~) e C =(~
X-A B+X
ordem 2, tal que: --2- = -3-- + C é igual a:
TD.l50 (PUC-76) Sendo A
TD.149IPUC-76) A é uma matriz 3 por 2 definida pela lei
={1sei: j e
aij i2sei=Fj
Então A se escreve:
el 1
a2
; ... ) é bC'
bl somente 11 é correta
d) somente III é falsa
d) 3c) 6b) 10
a) somente I é correta
c) somente 111 é correta
e) somente I é falsa
a) 18
TD.147ICESCEM-76) Considere as proposições
... a a3 a5
1- Arazaoda P.G. (I); b2c ;b3c2
TD.144 ICESCEM-70) As bolas abaixo têm centros sobre a reta r e sâo tangentes exteriormente
tendo, cada uma, metade da área da anterior. Sabendo-se que a primeira tem diâmetro
igual à d. a distància do ponto Ao ao ponto An tendo (quando n --> 00) à:
a) infinito
b) 2d
cl 4d
3
d) d(2 + v'2i(Vi + 7T)
e) 4
11 - A soma da série geométrica de termos (a; b; c; ...I. onde Ibl >lei, é a
1-~
a
111 - Se o primeiro termo de uma P.G. for estritamente positivo e a razão for estrita-
mente negativa, então a progressão será decrescente.
então,
1 1 1TO.l45 Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica 1'"2' "4 ' 8'
O menor valor de n para o qual 2 - Sn < 0,0001 é:
a) 4 b) 10 c) 14 d) 15
TD.l46 ICESGRANRIO-COMCITEC-73) O primeiro termo de uma progressão geométrica
Y3 v'3é 4 e o seu quarto termo 256' Representando-se n e no, números inteiros po-
sitivos e por Sn a soma dos n primeiros termos, tem-se:
a) para cada número real M escolhido existe n tal que Sn > M
b) Sn < 0,55 para todo n.
c) existe algum no tal que para todo n > no se tenha 0,55 < Sn < 0,58
d) para cada número real M escolhido existe n tal que Sn < M
e) as quatro afirmativas anteriores são falsas.
194-0 195-0
TD.1S6(ITA-74) Sejam as matrizes A = [~ :l B = [~ ~l Z = [~ Ü1 = [~ Ü
Então temos:
c) é -9
bl x = -7 e V = -5
d) x = -7 e V = 5
n ~ ~l B = [~J e I = [!J Calcule x, V
bl é -18
e) não existe
[~ ~ ~l B = (bijl é uma matriz diagonal (bij = O
~~l. Os valores de x, vez são, respectivamente:2~J
b) 1,4,4 cl 7, 7, 7
el 1, 1, 1.
3
12
9
ai é-112
d) é 112
~426se i * j) e AB = ~
ai x = 5 e V = -7
c) x = -5 e V = -7
e) x = 7 e V = -5
a) 2,3, 4
d) 2, 3, 1
e z tais que AB = I.
a) x = z V = O z = 2
bl x = 2 V = O z = 1
cl x ~ O V = 1 z = O
dI x = -2 V = 1 z = 4
TD.164 (PUC-77) Se A ~ (~ ~ ) e B = ( ~ ~) então, a matriz X, de ordem 2, tal que
AX = B, é:
a{: ~) b{: l) c{: ~) d{: i) e{: i)
TD.160ICESCEM-73) O produto M • N da matriz M =(i)pcla matriz N =(1, I, 11
ai não se define
bl é uma matriz de determinante nulo
cl é a matriz identidade de ordem 3
di é uma matriz de uma linha e uma coluna
e) não é uma matriz quadrada.
TD.1S9 (FUVEST-77) Considere as matrizes:
1) A = (aij), 4 x 7, definida por aij = i - j
21 B = (bijl, 7 X 9, definida por bij =
3) C = (cijl, C = AB
O elemento c63
TD.163 (FEI-731 Sejam as matrizes: A
TD.161 (MACK-74) Sabe-se que A =
TD.162 (rUC-76) Se [-~ -~J" [~J = [n então
~ ], então o valor
Definimos : AO = I e
el -3.1
O
4
O
~) B =0 =: ~)
~) d{! -~ ~)3-6
-3
di 1
~J, então a matriz X = A 2 - 5A + 2 • I é:
bl BA = AB c) A = 2B
e) nenhuma das respostas anteriores
3J -4 • entao:
e A = [~
c) -2.1bl 2.1
= [~ ~J
aI BA = I
di AI = BZ
a) 3.1
a{~ ~ ~) b) G=~ Dc) G
e) nenhum dos resultados anteriores.
TD.1S7 (PUC-70) Sendo as matrizes: A = [~ -~ ~] e B = [ ~
de x tal que AB = BA é:
aI -1 bl O cl 1
d) o problema é imposs(vel el nenhuma das respostas anteriores.
TD.1S8 (CESCEM-70) Calculando-se 2AB + B2 onde: A =(:
Teremos:
TD. 155 (CESCEA-761 Sejam as matrizes A = ( ~ ~) e I = (~ ~).
A n := A n- 1 • A para todo número natural n, com n~ 1. Então:
ai An = I, para todo natural n
bl A2n = A, para todo natural n
c) A2n = I e A2n+ 1 = A, para todo natural n
di A2n+ I = I, para todo natural. n
e) An '= I se, e somente se, n = O.
TD.1S3 IPUC-741 Se
TD.154 (PUC-75) Sendo A = [_~
ai A é uma matriz diagonal
bl A é uma matriz quadrada de ordem 4.
cI A matriz transposta de A é At = [-; ~J
d) A2 = [~ 1~ ]
e) A2 = [_~~ 1~J
196-0 197-0
TD 171 ( ) Se· . ( cotg ex. MACK-74 la a matriz A =
cossec Q
valores de o: são:
TD.170(MACK-75) Sendo A= [~
A+A-i ~ f3 01 é'Lo 3J .
1] _
X I eotao o número de valores de x tais que
TD.165 (CESCEM-731 Dada a equação matricial X2 - 2X ~ O, onde X é uma matriz quadrada,
n X n, não singular. Podemos afirmar que esta equação:
a) tem uma infinidade de soluções
b) não tem solução
c) tem duas soluções distintas
d) tem uma única SOIUÇãO(2 2)
e) admite a solução X ~ .
2 2
a) O b) 1 cl 2 d) 3 e) 4.
cossec ex) com ex i= k1T. Se A = A-ias
cotg ex
-10 )
-8
-7
-1
-1
-1
-3)
d) b ~ 1
cl (2
b) 2 k1T, k inteiro
-2)
3)
-2
-2
2
-2
O
bl (3
e) (2
[~
(
16
A-i ~ 13
11
Lembrando que A • A-i ~ 13• a segunda linha de A é
a) b ~ -2 bl b = -1 c) b ~ O
el nenhuma das respostas anteriores
I k1T . .a """'2' k inteIro
a)O 1 1)
d) (O O -1)
c) todos os números reais d) inexistentes
e) nenhuma das afirmações acima li verdadeira
TD.173(MACK-73) A matriz inversa da matriz A é
TD.172 (EPUSP-68) Seja b o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz inversa
da matriz
[V, -1 ~J'TD.166 (ITA-76) P = -: 1 matriz 3 x 3, então uma solução da equação:0-
(P + XI2 ~ p2 + X2 + 2 PX é:
~l: Vi ,I, j ~l: Vi ;,]a) X 1 bl X 1
-1 Vi -1 Vi
xt Vi ;,] [", Vi ;,jcl 1 di X = -Vi 1
-1 Vi Vi -1 Vi
el nenhuma das respostas anteriores.
TD.167IMACK-74) Seja A ~ ( : db ) co m ad - bc i= O. Então A-i é:
a) 1~
1
d) ad _ bc
TD.l68 (CESCEA-751
1
ad - bc
TD.174 (EAESP-GV-77) No que se refere a solução da equação AX
são matrizes quadradas de ordem 3, pode-se dizer que:
ai a equação pode não ter solução
b) a equação nunca tem solução
B
c) a equação tem sempre uma solução e que X ~ A
d) a equação tem sempre uma solução e que X = BA-\
e) a equação tem sempre uma solução e que X ~ A-i B
B em que A e B
duas matrizes. Se B é a inversa de A, então x + y vale:
TD 169(MACK 74) S · A [1 0J. Então (A + A- i )3 é igual a:• - eJa ~ O -1
a) rmtriz nula de ordem 2
c) ..!- A d) 27A
2
b) matriz identidade de ordem 2
TD.175 (PUC-76) Dada as matrizes A ~ ( 3 ~) e B ~ (~ -~ ) então a matriz X de• -2
ordem 2, tal que (XA) -i ~ B é:
a) 1 (7 -6 ) b) 1 (-6 ln 1 ( 7 10 )165 10 15 165 10 c) 165 -6 15
d) 1 Co 1;) e) 1 ( 7 15 )165 -6 165 -6 10
e) Od) 1
el 8A.
c) -1b) ..!-
2
a) ~
2
198-0 199-0
TD.177 (PUC-70) Sendo A e B matrizes invertíveis de mesma ordem e X uma matriz tal
que IXA)t ~ B, então:
a) X = A- 1St
b) X = StA-I
c) X = IBAl t
di X ~ IASl t
TD.178IcESCEA-73) Considere as afirmações
e) nenhuma das respostas anteriores.
INota: (XA) t representa a matriz transposta de XAI.
1.seA~(~ n,entoo,A-I~(_~ -n
2. Seja A u ma matriz Quadrada.
Então: A-I existe = det A ~ O
cl e '1= ~ + n1T, n E 7Lbl O '1= 2n1T, n E 7L
el e E R
é inverslvel se e somente se:
a) O '1= n1T, n E Z
d) e '1= *+ n1T, n E :iZ
TD.181 (FUVEST-77) A matriz
r""'
cos o o j]sene cos e osenO 1 O
O O 1
TD.182IPOLl-681 A é uma matriz quadrada cujo determinante é nulo, então pode-se
garantir que'
a) existe uma matriz quadrada X, não nula, tal que AX = O
b) qualquer que seja a matriz quadrada X, tem-se AX = O
cl existe uma matriz quadrada X tal que AX = I (I = matriz unitária)
d) a matriz A é nula
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.183 ICESCEM -721 A matriz M e sua inversa têm todos os elementos inteiros. Então os
determinantes de M e de M- 1
os
e) 35 e 2
1 (a
13 75
d) 33 e -47cl -19 e 17
o) (2 -1)
-2 . P = 3 5 e B =
PAP-l, são respectivamente:
b) 18 e 53a) 24 e -11
TD.176IMACK-74) Dadas A ~ (~
valores de a e b, tais que 8
3 Seja A = ( ~ n. 2 __ ( 41Então: A a) são nulosc) são iguais a -1
e) são não nulos, nada mais se
bl são iguais a +1
dl são iguais, valendo +1 e -1
podendo condu ir.
TD.179IPUC-761 Os valores de m, para os quais a matriz M
são:
então:
a) todí'ls são verdadeiras
bl , e 3 são falsas
cl 2 e 3 são falsas
TD.184ICESCEA-75) Considere a matriz
1
e) 15'd) 12.1c) 12 .
~]
b) -2.
1
-1
O
O determinante de A-I é igual a:
1
a) - 2".
e) ±V3
(m' m2 ) não é inversível,
d) ±Y2c) ±V5b) ±2a) ±1
TD.180 IpUC-72) Os valores de k, para que a matriz
A
não seja invertível, são:
a) k = -4 e k = -2
bl k = 1 e k = 2
cl k = O e k = -1
d) k ~ , e k = -4
e) k = 1 e k = -1
TD.185IFFCLUSP-691 Consideremos o conjunto S de todas matrizes quadradas 2 x 2 que
podem ser escritas sob a seguinte forma:
(:~~ ::;:)
(li real qualquer!. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) a soma de 2 matrizes quaisquer Que pertençam a S ainda pertence a S
b) o produto de Qualquer matriz por si mesma, pertence a S
d a inversa de qualquer matriz de 5 existe e está em S
d) (~ ~ ) pertence a S
e) nenhuma das respostas anteriores
200-0 201-0
b) um elemento aij da matriz P é igual a m
a) um elemento aij da matriz P é igual a m
DETERMINANTES
d) O; 3
são:
a)-1;0;1 b)O;l cI0;-1;3
e) nenhuma das respostas anteriores.
(
TD.190 (CESCEM-701 Se A é uma matriz quadrada n X n, I é a matriz identidade de ordem n,
então o determinante da matriz (A - xl) é um polinômio de grau n na variável x, clljas
raízes são chamadas valores próprios de A. Então os valores próprios da matriz
mIm -1)
c) um elemento aij da matriz P é igual a n • 2
d) P é uma matriz cujos elementos são todos inteiros, se, e somente se, m é par
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.186 lITA-77) Seja X ~ (~ ~) uma matriz quadrada 2 X 2 onde m é um número
inteiro qualquer. Se P ~ (aij) é uma matriz definida por P ~ Xn + Xn - 1 + Xn - 2 + ... + X,
onde n é um número inteiro positivo (n ~ 1), então podemos afirmar que:
n(n + 1)
.---
2
n(n - 11
'-2-
TD.192 (COMSART-731 O determinante:
uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j - i2 , o deter-
TD.187(CESCEM-71l Define-se distância entre duas matrizes A (aij) e B = (bijl quadradas
e de mesma ordem n pela fórmula:
diA; [l) = maXlaij - bijl i, j 1,2, ... , n.
TD.191 MACK-731 Sendo A = (aij)
minante da matriz A é:
a) O b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Assim, a distância entre as matrizes
d) 3 di x
2 + y2 - xy
é igual a:
é igual a:
a) x2 - y2 b) (y - x) (y + x) cl x2 + y2 + xy
e) nenhuma das respostas anteriores.e) 5
é:(: :)
cl O
e
b) -3a) -5
TD.188(CESCEM-71l Dada uma matriz Am X n e as operações:
1) +/A que transforma a matriz A numa outra matriz Ai" X 1 onde cada elemento
da única coluna de A' é obtido somando-se os elementos da linha correspondente
de A.
2) + I A que transforma a matriz A m X n numa outra matriz A'{ X n onde cada
elemento da única linha de A" é obtido somando-se os elementos da coluna
correspondente de A.
Nestas oondições, se A for a matriz identidade de ordem p a expressão + / (+ I AI
vale:
TD.193 (CESCEM-77) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes não
si ngulares
el -36
3
e) 16
d) -12
d) ~
8
c) 1
8
cl -6
~~ ] • então ~ vale
b) 12
[
-2a
-3b
a) 36
[: : ] e
TD.194 (GV-70) Considere todos os determinantes de 2a ordem, em que os elementos podem
ser zero ou um. Então, a razão do número de determinantes positivos para o número
total de tais determinantes é:
4 1
a) 16 b)"2e) p.nd) p.mc) p2bl pa) 2p
TD.189(CESCEM-70) São dadas duas matrizes A e B, quadradas de ordem p. A matriz
Ip e a matriz O são, respectivamente a matriz identidade e a matriz nula, quadradas,
de ordem p. Nestas condições:
al AB = BA
bl se AB = Op então BA = Op
cl se AB = Ip então BA = Ip
d) AB = BA se e só se AB = I
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.195(MACK-73) O conjunto-solução de:
sen (f -x) -{tg (11+ x)]2
[sen (f + x)]2 • cos (-x)
a) IR bl {x EIR Ix =1= f + k11,
d) {xEIRlx =1= k; ,kinteiro}
k inteiro} c) 0
el {x E IR Ix = k11, k inteiro}
202-0 203-0
TD.196IMACK-771 Os valores de x. O<x < 211, tais que para todo a real se tenha
I a1 tgx I>O são:a - 2tgx '
e) 6 O
o são:
3
5
7
di 5 O
C=[~ ~ ~].
8 2 10
x
-1
-3
x
-4
6
cl 4 O
~J
4
2
b) 3 O
2
1
1
3
O
A - [i
ai 2 O
A = [ 2
-1 :l {1 n
Assinalar dentre as afirmações abaixo, a correta:
ai C é inversível b) A + B é inversível cl O determinante de AB é 272.
d) O determinante da transposta de C é 1. el IA + BIC = AC + BC.
cujo determinante é D, então o determinante da nova matriz é:
TD.201IpUC-741 Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz.
TD.202ICESCEA-75) Considere as matrizes,
TD.203 (MACK-75) As soluções da equação
y + 1)
x + 1
e) é equivalente a x = y.
(~
y + 1
x + 1
711
ou 4 < x < 211
ou 311 < x < 7112 4
411 < x < 711ou 3 4
411 < x < 711ou 3 4
I ~+
A sentença
I ~
e) não sei.
i \ I ~
a) é equivalente a ( ~ :) + ( ~ n
b) é verdadeira para x e y não ambos nulos
c) só é verdadeira se x = y = O d) nunca é verdadeira
311
ai 4 < x < 11
bl 311 < x < ~
4 3
c) !!...- < x < 211
4 3
311 711
d) 4 <x< 6
TD.197IMACK-75)
: I
11
7
c) 2 e
~ I = O terá duas ra ízes
cl só para a = 1
O
aI ~
e 3
-22.
b) _ 11
7
el 14 e
bl 0< a < 1
e) só para a = O
ai e 2
di 2 e 4
reais iguais?
a) a >1
bl a<O
TD.204IGV-751 Para que valores de a a equaçãoe) 122
tem por valor:
matriz
é:
di 80
1095 5
1095 25
1093243
cl 90
1095 5
1095 125
1093 27
2
5
8
sen2 x
cos2 y
O
do determinante associado à
seSY ]
r2
bl 1a) O
TD.199IGV-72) O valor
[ ~:~:
r2
TD.19B IGV-741 O determinante
ai r2 b) r2 sen4 x
d) r2 sen2 x cos2 y sen2 y
c) r2 sen2 x cos2 y
e) nenhuma das respostas anteriores. TD.20S IGV-75) Para que o determinante
1 -2
1 cos2 x
2 10932
seja nulo, x real, 4x deve ser:
TD.200IGV-75) O determinante
In + 1 I
1
I n + 2 I é igual a:
1
a) 36 bl 18 c) 6 di 12 el 16
a)
di (n) ( n I ( n ) ( n )
O 1 2 3
bl I n I I n + 1 ) I n + 2 I I n + 3 )
1 1 1 1
el n In + 1I In + 2) In + 3)
12
cl O
TD.20G IGV-71 I O quadrado do valor de x que satisfaz a equação
logx 16 logx 2 logx 4 12 O 1
=- '2' x >0 e x*1 vale:
1 1 1
a) 2 b) 4 cl 16 d) J... el 14 '2
204-0 205-0
TD.207IFEI-731 Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal
principal. Sabendo que o traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y
da matriz
[~ 2 3 Jx zO y
ai 4 e 6 b) e 3 c) 2 e 4
TD.208IFUVEST-77) 1 1 1
2 2 2
2 3 3
2 3 4
ai 2 b) c) O
d) 3 e 5
d) -1 e) -2
TD.213(MACK-77) Se x, y e z são números reais positivos, então
1 1
+x 1 1
1 + y 1
é igual:
1 1 + Z
a) ao volume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x, y e z
b) ao volume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x + " Y + ,
e z + 1
c) a 4 vezes o volume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x,
y e z
d) a 4 vezes o vai ume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x + "
y+l e z+l
e) não sei
TD.209l1TA-71 I Qual o resto da divisão por 3 do determinante
4 1 3 -6
13 - 41 16 -1 I 1-3 - 51 19 + 61
5 1 2 3
4 1 2 5
ai O bl 3 c) 7 di 1
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.214ICESCEA-701 O conjunto de todos os x para os quais
1 1 1
3+x 1 1
1 5+x 1
O é:
1 1 8+x
a) (-2, -4, -7) b) (-3, -5, -8)
c) 1-2. -3, -51 d) (-3, O, 3)
el (-3, -5, 2)
3 4 6 O 1 3 4 2
TD.210 IGV-72) 1 O 2
1 O -1 4 1
Sejam A= 2 -1 4 2 e 8 = O 2 -3 1
5 3 10 3 -1 -3 -4 1
Então, A+ 28 é igual a
a) 30 b) -30 c) 15 di -15 e) 10
TD.215IGV-70) O conjunto solução da equação
x 2 3
x x 4 5
6
= O é
x x x
x x x x
Os valores reais de x, para os quais u2 - 2u + 1 = O
b) x = ± 1 cl x = 1
e) x = ±V2
a) Ix2 + 1) (x - 1) b) Ix4 - 1) Ix + 1I
d) Ix2 - 1) (x2 + 2) el Ix + 2) (x3 - 1).
x 2 O
TD.212IGV-72) Seja O x 1 1u = O O 1x
O O O x
TD.211ICESCEA-75) O determinante
cl x = 7
é:=0
a) {O; 1; 4; 6}
b) {1; 2; 3; 4; 5; 6}
c) {O; 1; 4; 5}
di {O; 1; 2; 3}
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD,216(FFCLUSP-681 O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a equação
O 4 O O
x2 x 3x x
x 634
O 7 O 5
a) x = O b) x >0
d) o conjunto de todos os reais
e) nenhuma das respostas anteriores
x=2ou
é igual a:
são:
x
O
O
1
c) Ix 3 - 1) (x - 1)
x
1
O
O
x
x
x
x
ou x = -2a) x =-1
di x = 1
206-0
207-0
TD.221 (CESCEM-70) Dado o determinante de Vandermonde:
n-I
an
e AI, A z, A3 respectivamente os complementos algébricos de CI, c2, c3' Então
ai AI + a2A2 + a3A3 =
c) independe de a I
d) 3
A=(~ 1 3 )2 1 é:1 2
d) -2 e) 3
a2 a3
b2 b3
C2 C3
c) -1b) 1
a) independe de n b) independe de r
d) é uma função somente de n e 81
e) independe dos valores de n, r, e 81
a) 2
a) -4 b) 4 cl O
e) nenhuma das respostas anteriores
n-I
ai
n-Ia2
onde 810 82•.. '" 8n são termos de uma progressão aritmética de razão r e primeiro
termo 81. o valor do determinante
TD.222(FEI-68) Seja M a matriz quadrada de 3~ ordem em que aij = 2i - j. Então o comple-
mento algébrico do elemento 812 vale:
TD.2240TA-67) Seja o determinante
TD.223 (PUC-76) O cofator do elemento a23 da matriz
devemos ter:
TD.217 ICESCEA-69) OS valores de a para os quais
a a O
a 1 O a
>0
a O 1 a
O a a
são tais que:
a) -1 < a < 1
b) _2-<a<2-
2 2
c) a <-2 ou a >2
1
a>
1
d) a < - "2 ou 2
e) a> 1
2
TD.218 (CESCEA-71) Para que
a O b O x
c O d x e
f O x O O < -32
9 x h j
x O O O O
a) x >2 b) O < x < 5 c) x < -2 dI x >5 e) não sei.
a) D b) -D c) O d) D-I e) 1
TD.219 (EE LI NS-67) Estando a, b, c, em P.A. de razão r, o determinante
1 1
a b c
a2 b 2 c2
a) é sempre positivo
b) dada a razão r, depende de a
c) depende só de r, qualquer que seja a
d) é a3 - r3
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.220(GV-74) O determinante
X12+Y12 ]
X22 + Y22
d) det. IO'X) ~ 0'2 det. X
e Y = [ ~~: ~~~ ]
Definimos as matrizes: a· X; X + Y e x· Y
x = [ :~: • :~~ ]
matrizes quadradas 2 X 2.
la número real) por:
O"X [ax ll O'x 12 ] e x+y=[Xll+Yll
= aX21 aX22 X2I + Y21
Xy = [XllYll + xI2Y21 xllYI2 + x12Y22 ]
x21Yll + x22Y21 x21YI2 + X22Y22
uma das afirmações abaixo é verdadeira, assinale-a.
a) X' X = [ xii xi2 ] b) det. Id.• x) = O' det XX~I xb
c) det. Ix + y) = det. X + det. Y
e) det. IX • y) = det. X + det. Y
TD.2251ITA-69) Sejam
1
log 3000
Oog 3000)2
Oog 3000)3
e) 12
1
log 300
(log 300)2
(log 300)3
d) 6
1
log 30
(log 30)2
(log 30)3
c) 1
1
log 3
(log 3)2
(log 3)3
b) Oa) -3
é:
208-0 209-0
TO.226IMACK-69) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2. então:
ai sempre det. 2A = 2. det A
bl sempre det IA)Z = (det. AI2
c) det. A = O se e somente se A = (~
A=(O' O,)d) se det. A = , então
TO.232IEESCUSP-69) O valor do determinante
a a + fi a + 2fl
b b + r2 c + 2r2 é:
c c + f3 c + 2r3
a) O bl abc cl fI f2r3 d) a + b + c el fl+r2+ r 3
TO.233(FEI-681 Sendo
el sempre A = det. A
b) se P e Q forem verdadeiras
d) se Q e R forem verdadeiras
TO.227IpUC-721 Oual das afirmações abaixo é falsa? Dadas A e B matrizes de ordem n.
ai det [A + B] = Idet AI + Idet BI
bl det A = det lAti
c) Idet A) • Idet A-li = ,
di det (A • BI = Idet A) • (det BI
e) Idet A) Idet At ) = Idet AI2
TO.228 (FEI-6]) Seja M uma matriz quadrada de 3a ordem; constrói-se uma nova matriz N
em que cada coluna é a soma das outras duas colunas da matriz M. Sendo A o
determinante de M e B o determinante de N, tem-se:
D=
um determinante de 3~ ordem, então:
P: sendo aij = a2j, então D = O li = " 2, 31
Q: sendo aij = aji, então será sempre O = O
R: sendo aij = ij-l, então D cF O
Assinalar
ai se P, 0, R forem falsas
c) se P e R forem verdadeiras
el se P, 0, R forem verdadeiras
TO.229ICOMSART-731 Ouando os elementos da 3~ linha de uma matriz quadrada são
divididos por x Ix diferente de zero) e os elementos da 1~ coluna são multiplicados
por y (y diferente de zero), o determinante da matriz fica dividido por:
e) nenhuma das respostas anteriores.
ai 8xvz bl b cl O
e) nenhuma das alternativas anteriores.
ai B = O b) B = A cl B = 2A
el nenhuma das respostas anteriores
TO.236IEESCUSP-661 A única proposição correta é:
a) para se multiplicar um determinante por um número, multiplicam~se todos os
seus elementos por esse número
b) todo determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos
complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela
c) um determinante não se altera se aos elementos de uma fila se adicionam os
elementos correspondentes de uma outra fila paralela multiplicados por um mesmo
fator arbitrário
d) todo determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da diagonal principal
pelos respectivos complementos algébricos
e) quando se trocam as linhas de uma matriz com as colunas da mesma ordem, o
determinante da matriz transposta é o oposto do determinante da matriz dada.
TO.235ICESCEM-681 Dadas as variáveis xl, X2' "', xn e as constantes aI, a2,"" an qual
das alternativas abaixo corresponde a uma combinação linear das variáveis Xl, X2,
•. " X n·
aI aI Xl + a~X2 + a~x3 + ... + a~Xn
b) aI v-;:; + a2 v--;; + a3 v--;; + ... + a n vr;;
c) aI Xl + a2Xª + a3X~ + + anx~
di (a\ + xII + (a2 + x21 + ... + (an + xnl
e) nenhuma das alternativas anteriores
TO.234IMACK-77) A matriz A é quadrada, de ordem 3 e tal que aij + aii = O, , < i,
j < 3. Então:
oi se A cF O, det A >0 bl se A cF O, det A < O c) det A = O
d) nada se pode afirmar sobre det A el não sei.
é igual a:
di A = 2B
dl~
x
X 2x + b
JV 2V + bz 2z + b
di X • Y • z
a a2
b b2 é igual a
c c2
a2 a3 a2 a3
b2 b 3 c)
abc b
2 b3
c2 c3 c2 c3
bca a a2
acb b b2 b) abc
abc c c2
a2 a3
b2 b3
c2 c3
ai xv b) .2- c) .2.
xv V
e) nenhuma das respostas anteriores.
aI
d)
bc
TO.230 IGV-72) O determinante ac
ab
TO.231 (GV-7') O determinante associado á matriz l
210-0 211-0
TO.239IEPUSP-67) Acrescentando·se a unidade a cada um dos elementos da matriz
a) não se altera bl aumenta de 1 c) aumenta de 4
d) fica multiplicado por 2 e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.24O (I TA-76) Seja Q uma matriz 4 X 4 tal que det Q =1= O e Q3 + 2 Q2 = O.
Então, temos:
e)
el -20
e) 2
di -2
x+y-z=
-x + y + Z =
x-y+zo:=
1
d) -8
di
c) O
cl O
cl _...!...
16
b) 3
b)
-1
b) -1
Então x é ig ual a
ai 27
obtemos para x - y - z o valor
ai -2
então, o produto a.b.c.d vale:
ai 1
TO.244 ;MACK-751 Dado o sistema: {
TO.243IFUVEST-77) {X + 2y + 3z = 14
4y + 5z = 23
6z = 18
TO.246(COMBITEC-COMBIMED-751 Resolvendo o sistema
{
5732x + 2134y + 2134z - 7866
2134x + 5732y + 2134z - 670
2134x + 2134y + 5732z - 11464
TO.245IMACK-741 As soluções do sistema
{
X + y + Z = 28
2x - y = 32
onde x > O, y >O e z > O obedecem às seguintes restrições:
ai 2 < x <8 e 2 < y <8
b) 16 < x < 20 e O < y < 8
cl 10 < x < 20 e 2 < y < 10
d) 1 < x < 3 e 8 < y < 12
el 7 < x < 15 e 9 < y < 11
SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES
os valores de x, y e z que constituem sua solução;
a) são todos distintos entre si
b) são indeterminados
c) possuem soma nula
d) são iguais entre si
e) formam uma progressão aritmética de razão 1.
TO.247 (CESCEA-701 Se x = a, y = b, z = c e w = d é a solução do sistema
{
x+y=o
y + Z = O
z + W = 1
Y + W = O
-11
4
-7[ -~-3
bl det Q=-2 cl det Q=-16
e) nenhuma das respostas anteriores
a[ b[ c[
a2 b2 c2
o determinante
a3 b3 c3
a4 b4 c4
a) det Q = 2
d) det Q = 16
é nulo porque
a) tem duas linhas proporcionais
b) tem duas colunas proporcionais
cl tem elementos negativos
d) uma coluna é combinação linear das outras duas
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.238IGV-70) O determinante associado a matriz
TO.237IEESCUSP-68) Um determinante é nulo somente quando:
a) todos os seus elementos são nulos
bl todos os elementos de uma linha são nulos
c) todos os elementos de uma coluna são nulos
d) duas colunas são iguais
e) nenhuma das respostas anteriores
I ) . .. [a b] [1 °lJ, x=[yxJTO.242 ITA-75 Sejam as matrIzes reais A = c d' I = O
e m um número real. Seja: AX = mX. Então podemos afirmar que:
a) se det IA - mil =1=0, então x + y = O e X· Y =1=0.
b) se det IA - ml) = O, então existem dois números reais x, y tais que x + y =1= O
ou x • y =1= O.
c) se det IA - mil = O, então det A = O e m = O.
d) se det A = O, então não existem dois números reais x, y, tais que AX = mX.
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.241 (lTA-75) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que A-[ = At. Se det A = 1,
dizemos que A é uma matriz de rotação e se det A = +1, A é uma matriz de reflexão.
Apoiados em tais definições, podemos afirmar que:
a) se n é ímpar, o produto de duas matrizes de reflexão é de reflexão
b) a soma de duas matrizes de rotação é de rotação
c) o produto de duas matrizes de rotação é de rotação
d) a matriz inversa de toda matriz de rotação é de reflexão
e) nenhuma das respostas anteriores
212-0 213-0
TO.248 (PUC-771 Se tivermos
{
X + Y + Z = -1
x+z+t=5
. y+z+t=7
x+y+t=4
TO.252 (CESCEM-721 A matriz incompleta do sistema
{
x+y+z=6
x+2y+3z=10
2x + 3y + 4z = 16
tem determinante nulo. Podemos concluir que o sistema:
então x + y + z + t é igual a:
TO.249IMACK-751 Oado o sistema
ai -1 bl 7 cl 5 di 4 el 5
4
a) não te m sol ução
b) tem um número finito de soluções, porém a solução não é única
c) tem infinitas soluções, porém nem todo ponto do IR3 é solução
d) tem urna única solução
el admite todo ponto do IR3 como solução.
Xl + x2 + x3 + x4 + Xs + + x n = 1
xl + x3 + x4 + Xs + + x n = 2
Xl + x2 + x4 + Xs + + x n = 3
xl + x2 + x3 + Xs + + xn = 4
TO.253 (CESCEA-761 Estudando-se o seguinte sistema de 3 equações a 3 incógnitas
{
X-2Y +Z=1
2x + y - z = 2
X + 3y - 2z = 1
Xl + x2 + x3 + x4 + Xs +. . xn.l
os valores de Xi, i = 1,2, "', n, que o satisfazem:
aI são todos iguais
b) formam, a partir de x2. uma progressão aritmética
c) formam, a partir de x2, uma progressão geométrica
d) não possuem lei de formação
e) não podem ser determinados.
n
obtém-se:
ai o sistema é possível, determinado e admite uma
bl o sistema é imposslvel
cI o sistema é posslvel, porém indeterminado, com
di o sistema é posslvel, porém indeterminado, com
el o sistema é indeterminado, com uma incógnita
solução.
única solução x = 1, y = O, z ;co- O
uma !ncógnita arbitrária
duas incógnitas arbitrárias
arbitrária, sendo (O, 1, 3) uma
TO.25D (EAESP-FGV-771 Consideremos os sistemas de equações:
{x+y+z=3(A) 2x + 3y - z '" O
4x+5y+z=6
{x+y+z=3(81
-y + 3z = 6
TO.254(PUC-701 O sistema: { 5x + 3y - llz = 13
4x - 5y + 4z = 18
9x - 2y - 7z = 25
aI só apresenta solução trivial
b) é passlvel e determinado não tendo solução trivial
c) é possível e indeterminado
di é impossível
e) nenhuma das anteriores
TO.255 (MACK-751 O sistema { 2x + 3y = 4
2x + ay = 4
TO.256 (CESCEA-701 O conjunto de todos os m para os quais o sistema
{
mx+ Y =l
4x + my = 2m
não tem solução, é:
a) tem infinitas soluções qualquer que seja a:
bl só tem solução se a = 3
cl é impossível se a *3
dI nunca é impossível
e) tem solução única qualquer que seja 8.
Qual das afirmações abaixo é correta?
a) os sistemas são determinados
b) os sistemas são impossíveis
cl (Alou (BI é determinado
di os sistemas são equivalentes
el (Alou (BI é impossivel.
TO.251 (GV-741 O sistema { X + 2y - z = 2
2x - 3y + 5z = 11
X - 5y + 6z = 9
a) é impossível
bl é possível e determinado
c) é possível e indeterminado
di admite apenas a solução X = 1, Y = 2, z = 3
e) admite um número finito de soluções.
214-0
ai (-2, O, 21
di (-2,2)
bl (0.1,4.5)
el 10,1.21
cl (-2. 1I
215-0
tem solução determinada se:
cl bla - cl *O
{
ax + by c
ex + by ~
e) não sei.di ala - cl *O
seja possível e determinado é suficiente que:
TO.263(CESCEA-721 Para que o sistemao sistema de equações do 1? grau {ax - y :::: 1
ay - 4x c 1
bl a*-20u+2 cl a*O
e) nenhuma das respostas anteriores é correta.
aI a *4
dI a *1
TO.257IPUC-701
TO.258IMACK-771 O II/gar geométrico dos pares Ix, yl, soluções do sistema
TO.259 ICESCEM-761 O conjunto dos valores de la; bl E IR 2 que tornam o sistema{ 3x - 2y ~ a
-6x +4y ~ b
indeterminado é
{ ax + 3y ~ 8 é:3x + ay = 2(a - 1)
ai uma reta se a :::: 3 bl uma reta se a :::: -3
cl um único ponto se a 3 di um único ponto se a -3
el não sei.
TO.260 IMACK-691 _ O sistema rax - by ~ 6l2x + 5y ~ 1
ai é impossível se a ~ 12 e b * -30
bl é possível e determinado se a = 12 e b ~ -30
cl é impossível se a * 12 e b * -30
di é determinado se a ~ •• e b = -30
e) é indeterminado se a = 12 e b = -30
TO.264(GV-721 Assinale a afirmação verdadeira
ai { x + y ~ 5 . .é passlvel e determmado
x + y ~ 6
bl{ ax + y :::: 2 admite uma única solução para todo a real
x + ay ~ 3
cl {ax + y ~ 2
admite uma única solução para todo a real
-x + ay ~ 3
d) {ax + by :::: c admite uma infinidade de soluções para ~ =; ~ *'~
alx + blY :::: cl aI bl Cl
el{ 2x +4y~ 8 é imposs ível
x + 2y ~ 4
TO.265 (FFCLUSP-691 10 dado o sistema de equações lineares em x e y
{~:~~m3x + 5y = m 2
Qual das desigualdades abaixo deve ser satisfeita para m de tal forma que o sistema
admita solução?
cl {Ia;m EIR 2 j a ~ ~}
el95
ai {lo; OI} bl {11; -21}
di {Ia; ~I E IR 2 j ~ ~ -2a}
TO.261 (FE 1-68) - Dado o sistema linear
{
ax + 2y ~ 5
3x - 2y = b
ai -2<m<1
di m <-3
TO.266IEAESP-GV-771
bl -1 <m <3
el m 2 >5
cl m >3
tem-se:
P: se a "" -3, o sistema é sempre incompatível
Q : se a "* -3, o sistema é sempre determinado
R : se b "" -5, o sistema é sempre compatível
Assinale:
onde k é um número real,
a) se P e Q são verdadeiras
c) se P e R verdadeiras
el se todas forem falsas
b) se todas forem verdadeiras
d I se Q e R verdadeiras
Dado o sistema linear { x + y "" 5
3x - 2y = k
x + ky = 5
uma das afirmações seguintes é correta.
a) se k"" O, o sistema é indeterminado
bl se k = 1 ou k ~ 15 o sistema é impossível
c) se k =1= O o sistema é indeterminado
d I se k * Oo sistema é impossível
e) se k"" 1 ou k "" 15 o sistema é determinado.
TO.262IPUC-741 O sistema:
{
ax - 2y = 1
bx + 4y = 5 {
X+ Y +Z=1
TO.267 (CESCEA-771
O sistema 2x + 2y + 2z = 2
3x + 3y + mz ~ 3
é:
tem solução determinada se e somente se:
e) nenhuma das anteriores.
ai a = ~
2 bl 2a *-b c) 2a * b di a + 2b ~ O
a) possível e determinado para m = 4
c) impossível para m = 3
dI possível e indeterminado para todo m
el possível e determinado para m * 3.
bl impossível para todo m
216-0 217-0
TD.268ICESG RANR 10-COMCITEC-73) Dado o sistema de equações
{
rx + y + Z "" 1
x+ry+z=l
x + y + rz=-2
onde r é um número real, tem-se que:
a) o conjunto soluçá·o é finito e não vazio, para r = -2
b) o conjunto solução contém uma infinidade de pontos do espaço para r = 1
c) o conjunto solução é vazio para r == 2
d) o conjunto solução contém um único ponto do espaço para r*- 1 e r *-2
e) o conjunto solução é vazio, qualquer que seja r.
TD.272 (IT A-70) Considere o sistema de equações algébricas lineares:
{
aXl - x2 + x3 = O
xl - x2 + 2x3 = O
2X1 + x2 + '3 ~ {3
o sistema terá solução única se:
ai (3 ~ O e a ~ O b) {3 ~ O e a *O
cl {3 *0 e a ~ O di (3 ~ a
e) 13 e Q: forem números complexos conjugados
TO.273 (ITA-69) - Para que valores reais de a e b o seguinte sistema não admite solução?
b) a > -2 e b * 4 c) a ~ -2 e b * 5
e) nenhuma das respostas anteriores
{
3x + ay + 4z ~ O
x + y + 3z ~ -5
2x - 3y + z ~ b
a) a ~ -2 e b ~ 5
di a ~ b ~ 1
{
X - z~ 1
kx + y + 3z ~ O
x + ky + 3z ~ 1
TD.269 (PUC-76) Os valores de k para que o sistema
c) m =; 10 e n = ~ =====> sistema possível e indeterminado
3
então:
seja indeterminado, são:
.==:::::;. sistema possível e determinado10 e n * 13
ala~4eb~3
b) a ~ 3 e b ~ 4
c)a~2eb~1
dla~3eb~2
el a ~ 2 e b ~ 3
bl m ~
{
,+ 2y + mz ~ 2
x-y+z~l
y + 3z ~ n
a) para todo valor de m, o sirstema é impossível
TD.274(PUC-731 Os valores de a e b. de modo que o sistema
{
,+ 2y + 2z ~ a
3x + 6y - 4z ~ 4
2x + by - 6z ~ 1
TD.275 IGV-73) Seja o sistema
tenha solução única, são:
ai k*+l ek*-3
bl k *+ 1 e k *-5
cl k * + 1 e k *-6
dlk*+lek*-2
el k*+l ek*-4
{ X+y+Z~kx-y-z~k
x+y-z=;k
onde k é uma constante real. Então:
a) S possu i uma sol ução somente para k = O
bl S possui infinitas soluções para k * O
c) S possui solução única qualquer que seja k real
d) S não possui solução qualquer que seja k real
e) Se x =; y, então z =; -k para qualquer valor de k real
TD.270 IG.V.-76) Seja S o sistema de equações simultâneas:
TD.271IMACK-751 A equação matricial
a) não admite solução qualquer que seja k
b) admite solução qualquer que seja k
c) admite solução somente se k:.: 4
di admite solução somente se k = 8
e) admite solução somente se k = 12.
é:
{
X - 2y + 3z ~ -4
5x - 6y + 7z -8
6x - 8y + pz ~ q
ai impossível, se p ~ 10 e q * -12
bl possível e determinado. se q * -12
cl indete'minado, se p * 10
di tal que só existe a solução trivial, se p ~ 10 e q ~ -12
e I possível e indeterminado. se p ~ 12 e q ~ 10
d) m * 10 = sistema impossível
e) nenhuma das anteriores.
TD.276(CESCEM-731 Podemos afirmar que o sistema de equações lineares
1
1
3[- ~
218-0 219-0
TO.278 CESGRANRIO-COMCITEC-73) Considere o sistema
{
Xl - 2X2 + X3 = a
2Xl + xl + X3 = b
5X2 - X3 = c
TO.2771ITA-721 Qual é a relação que a. b e c devem satisfazer tal que o sistema abaixo tenha
pelo menos uma solução?
Então:
a) o sistema possui solução quaisquer que seja a, b, c
b) o sistema possui solução apenas quando a = b = c = O
c) o sistema possui solução se e somente se 2a - b + c = O
d) o sistema possui solução única quando a = b = c = O
el as quatro afirmativas anteriores são falsas.
TO.281 (EAESP-FGV-77) O determinante da matriz incompleta associada a um sistema homo-
gêneo de n equações lineares a n incógnitas é nulo. Em vista desta informação podemos
concluir que:
a) o determinante da matriz completa é nulo
bl o sistema é indeterminado
c) o sistema é determinado
d) o sistema não tem solução
e) o determinante da matriz completa é não nulo.
TO.282 (CESGRANRIO-COMCITEC-73) Considere as seguintes afirmações sobre um sistema de
2 equações Iineares homogêneas a 3 incógnitas:
1 - o sistema possui alguma solução diferente de lO. O, 01
2 - se (x, y, z) e Ix·, V', z'l são soluções, então (x + x', y + V', z + z') também é solução
3 - se Ix, Y. z) é solução e Xé um número real qualquer. então (Àx, Ày, À.l1 é solução
Tem-se que:
a) as três afirmativas são falsas
bl apenas uma afirmativa é falsa
cl apenas uma afirmativa é verdadeira
di as três afirmativas são verdadeiras
e) um sistema de duas equações lineares a três incógnitas nunca é homogêneo
bl 5a ~ 2b + c
d) não existe relação entre a, b, c
{
X + 2y - 3z ~ a
2x + 6y - 11z b
x + 2y + 7z = c
a) 5a ~ 2b - c
c) 5a * 2b + c
e) nenhuma das respostas anteriores.
tem determinante nulo e nenhum dos números a, b ou c é zero. Então, pode-se garantir
que o sistema linear homogêneo nas incógnitas (x, y, z)
{
ay + bz ~ O
-ax + cz = O
-bx - cy ~ O
é tal que
a) qualquer uma das equações é combinação linear das outras duas.
b) não existe solução para o sistema.
c) qualquer terna real (x, y, zl é solução.
di a única solução é a trivial Ix ~ O, y ~ O, z ~ Oi.
e) existe uma única solução não trivial.
lO.2791F FCLUSp.,.e71 - O sistema
{
X + ay' + alz = a3
x + by + b2z ~ b3
x + cy + c 2 z = c 3
a) é sempre determinado
bl é determinado para. a * b, b * c
cl é determinado para a * b * c * a
di é indeterminado para a* b * c * a
e) nenhuma das respostas anteriores
TO.280(EESCUSP-67) - Seja o sistema:
811 Xl
821 Xl + X2
831 Xl + 832 X2 + X3
TO.283 (CESCEM-73) A matriz
(-~
-b
a
O
-c
Então o sistema admite
TO.284 (GV-741 O sistema { 2x - y + 5z = O
3x - 2y - z ~ O
5x - 3y + 4z ~ O
é:
a) sempre solução única
b) nenhuma solução
cl solução, somente se existe um número À tal que bl = Àall
d) solução. somente se au *0
el solução somente se bl ~ O
a) impossível
bl possível e indeterminado
cl possível e com solução x ~ -11, y ~ -17 e z ~ 1
d) possível, e admite apenas a solução trivial, x ~ y = z O
e) nenhuma das respostas anteriores.
220-0 221-0
TD.285ICESCEM-751 o sistema de equações:
{
3x + 4y - z = O
2x - y + 3z O
x + Y = O
a) não tem solução
b) admite uma única solução não trivial
c) admite apenas a solução trivial
d) admite infinitas soluções
e) admite apenas soluções não triviais.
TD.29D (CESGRANRI0-761 Sejam À, e À2 os valores distintos de À para os quais a equação
o3) (Xl) ~ /x1)2 x2 \X2
admite solução /x1)*(0). Então. À1 + À2 é\ x2 O
ai -5 bl 4 cl 10 di -6 el O
TD.291 IFUVEST-771 A equação matricial
bl impossível cI homogêneo
el não tem solução no campo dos números reais
TD.286IUNICAMP-671 O sistema de equações lineares
a) determinado
d) indeterminado
{
3x
4x
12x
2y - 6
8y - 15
8y 24
O
O
O
é admite mais de uma solução se e somente se À. =
ai O bl ±V3 cI ±3 di ±V6
TD.292 IMACK-751 OS valores de a para que o sistema
el ±V11
a) é impossível b) é indeterminado c) é possível e determinado
d) só admite a solução nula e) nenhuma das respostas anteriores
Podemos afirmar:
a) a equação tem uma e somente uma solução
b) a equação tem duas e somente duas soluções
cl a equação tem três e somente três soluções
dI a equação não tem solução.
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.288 IPOLl-66) O sistema de equações:
1 O+ -
x y
2 3 O+ -
x y
2 4 O--+-
x y z
+ ay + bz + CZ O
+ az + by + CZ O
+ az + bz + cy O
1
O e a
z = O
z O
z = O
bl a ~ -1 e a
d) a -1 e a
admita soluções diferentes da trivial são
ai a o O e a o 1
c) a = -1 e a = O
e) nenhuma das anteriores.
e assinale qual das afirmações que seguem é verdadeira:
a) indeterminado
bl imposs ível
c) a única solução é x = y = z = O
a b c
d) posslvel e x = :I' y = - 2' z = - 2
e) determinado
{
xx+ y+
- ay +
ax - y-
TD.293ICESCEA-69) Analise o sistema
equação
matricial
[~ .;! -1n[n = UJTD.287I1TA-741 Seja a
TD.289 li TA-66 I Consideremos o sistema de 2 equações nas 2 incógnitas x. y:
aI qualquer que seja o valor de k, o sistema tem solução diferente da solução x == O,
y = O.
b) existe pelo menos um valor de k para o qual o sistema tem solução diferente da
solução x = O. y = o.
c) para -nenhum valor de k, o sistema tem solução diferente da solução x = O, y = O.
TD.294ICESCEA-751 Os valores de m para os quais o sistema
admite somente a solução x
el m * 4
O, y = O, z = O são:
cl m = 4 di m > -2
{
x- y+ Z O
2x - 3y + 2z O
4x + 3y + mz O
bl m < 5ai m >0
kx
ky{
X - y
-x + 5y
222-D 223-D
admite soluções não triviais?
d) 4
[j 3 1 -2 ']O 3 3 3 ,1 1 O ~ e:
2 4 2
d) O e) 2
modo que o sistema
cl 1
2
,
3
O
1
1
O
O
b) 3
tem caracter(stica
a) 4
TD.300lITA-721 Quais os valores de a de
{
(sen n - l)x + 2y - Isen n)z = O
(3 sen nly + 4z = O
3x + (7 sen aly + 6z = O
a) n = n1l, n = O, ±1, ±2, ±3, ...
b) n = n1l +2!:. n = O ±1 ±2 ±33' "" ...
c) n= n1l+~, n = O, ±1, ±2, ...
d) não há valores de n
TO.a02 lITA-77) Seia{k l + k21x + Ik2 - k3)y + (kl - k3)z = O
(k2 - kl)x + (k2 + k31y + Ik3 - k\)z = O
(kl - k2)x + (k3 - k2)y + (k3 + kl)z = O
um sistema homogêneo de equações lineares reais em x, y e z. Com respeito ao sis-
tema acima podemos afirmar:
ai se kl * ±k2' kl * ±k3 e k2 * ±k3 então o sistema só admite solução trivial
b) se ki + k~ + k~ * O, então o sistema só admite solução trivial
cl o sistema admite solução não trivial, se e somente se, kj + k~ + k~ = O
d) se kl * O, k2 * O e k3 * O, então o sistema só admite solução trivial
e) nenhuma das respostas anteriores.
a) 1 b) 2 c) 3
e) nenhuma das respostas anteriores.
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.a01 (FFCLUSP-661 Para que o sistema
{
x+ y~ z=O
ax + by + CZ = O
a2x + b2 y + c2z = O
admita solução não trivial é suficiente que:
ai a = b ou b = c ou a = c
b) a * b * c
cl abc = O
d) a * O, b * O, c * O
el nenhuma das respostas anteriores.
TO.aoa (FE 1-66) A matriz
TO.304 (PUC-731 A caractedstica da matriz: M
511
8e)
Sabendo que
711
8
e k *-1
e k *-2
d)
d) 6 e
b) k * 1
d) k * 1
cl !!...
4
{
Àx+Y=O
x + Ày + Z = O
y+Àz=O
admite somente a solução trivial, são:
bl 311
4
a) 511
4
a) k*O e k*-l
cl k = O e k *' 2
el k*2 e k*-l
~:].r:]= [n então, temos:
a) det M é um número positivo [' O O]
bl Existe uma matriz P, 3 X 3, tal que: MP = 00 O' 0
1cl M21 = -3 M22 - 2M23
di se M21 = 3M22 + 2M2J, então M2I * O
e) nenhuma das respostas anteriores.
o sistema acima terá solução não trivial para um certo conjunto de valores de À. Para
que isto se verifique este conjunto é constitu (do:
a) apenas por números complexos não reais
b} apenas por números reais
cl apenas por números racionais
di apenas por números irracionais
e) apenas por números inteiros
TO.299IFFCLUSP-69) Para qual dos seguintes valores de n o sistema linear em x, y e z:
{
x+y+z=O
(cos n + sen n)y + (2 sen n)z = O
(cos aly + (cos n - sen n)z = O
admite soluções não triviais?
admite soluções diferentes da trivial são:
TD.297 GV-701 Os valores de m para os quais o sistema linear homogêneo
{
(m + 6)x - 2y + 4z = O
5x - 4my - 4z = O
3x - y + Z = O
TD.296 lITA-68) Seja
TD.295 lpUC-72) Os valores de k tais que o sistema homogêneo
{
X + y + 2z = O
x - ky + Z = O
kx-y-z=O
224-D 225-D
TO.305 (EESCUSP-66) Se as linhas de uma matriz são combinações lineares, de p delas, a sua
característica é:
a) p + 1 b) p c) .( p di ;;. p el;;'p+1
TO.306 IMACK-751 Se numa matriz A de terceira ordem todas as sub·matrizes de segunda
ordem têm determinante nulo, então:
a) a caractedstica da matriz A pode ser 3
bl a caracterfstica da matriz A pode ser 2
c) a caracterfstica da matriz A pode ser 1
d) todos os elementos da matriz A são nulos
e) a matriz A é inversível.
RESPOSTAS
TO.308 (POLI-671 Sendo a, b, c, d quatro númeroS diferentes e não nulos, o número de me-
nores de 2~ ordem, não nulos que podem ser extra ídos da matriz
TO.310 (FEI-67) Um sistema linear homogêneo de três equações e três incógnitas admite como
soluções os ternos (1, 3, 5) e (2, 4, 5), mas não o terno (1, 1. 11. A característica
do sistema é:
1 1 1
O a b c d
O a 2 b2 c2 d2 é:
O a3 b3 c3 d3
O a4 b4 c4 d4
a) 60 bl 76 cI 84 d) 100
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.309 (EPUSP-68l Seja S um sistema linear homogêneo, com 3 equações e 3 incógnitas x, Y
e z. Seja T o sistema obtido acrescentando a S uma nova equação ax + by + cz := O.
a) a característica de S pode ser maior que a de T
b) o sisterr.a T pode ser incompat ível
c) o sistema T pode ser indeterminado
d) a nova equação é sempre combinação linear das outras três
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.l c TO.36d TO.71 c TO.106b
TO.2 d TO.37d TO.72 e TO.l07c
TO.3 e TO.38 a TO.73b TO.l08b
TO.4 b TO.39d TO.74b TO.l09c
TO.5 e TO.4Oa TO.75a TO.l10b
TO.6 b TO.41 a TO.76c TO.ll1 d
TO.7 d, e TO.42 c TO.77 a TO.112d
TO.8 b TO.43. TO.78 c TO.113a
TO.9 d TOA4d TO.79 a TO.114c
TO.l0c T0.45 d TO.80d TO.115a
TO.ll b TO.46 c TO.81 b TO.116c
TO.12e TO.47 a TO.82 b TO.117b
TO.13d TO.48a TO.83 c TO.118b
TO.14d TO.49 e TO.84b TO.119b
TO.15d TO.50a TO.85d TO.120c
TO.16a TO.51 b TO.86b TO.121 d
TO.17e TO.52b TO.87a TO.122 b
TO.18d TO.53 a TO.88b TO.l23b
TO.19b TO.54 c TO.89b TO.124e
TO.20c TO.55a TO.90c TO.125d
TO.21 b TO.56d TO.91 e TO.126a
TO.22b TO.57e TO.92b TO.127b
TO.23e TO.58 c TO.93 a TO.128d
TO.24b TO.59b TO.94 e TO.129a
TO.25 e TO.60d TO.95 a TO.130a
TO.26d TO.61 b TO.96 e TO.131 a
TO.27 d TO.62a TO.97 a TO.132c
TO.28b TO.63. TO.98 e TO.133e
TO.29d TO.64b TO.99 e TO.134d
TO.30b TO.65 a TO.l00c TO.l35b
TO.31 d TO.66 c TO.l0l b TO.136a
TO.32 e TO.67d TO.l02d TO.137a
TO.33a TO.68b TO.l03c TO.138e
TO.34b TO.69 a TO.l04b TO.l39b
TO.35 c TO.70c TO.l05e TO.140e
227-0
d) 3a) O b) 1 cI 2
el nenhuma das respostas anteriores.
226-0
TO.307 (EPUSP-65) Sendo nulos todos os menores de ~ ordem de uma matriz de 4~ ordem.
ai o determinante da matriz é nulo
b) o determinante não é necessariamente nulo, mas são nulos todos os menores de
3~ ordem
c) pode existir um menor de 3~ ordem não nulo
d) a caractedstica da matriZ é dois
aI nenhuma das respostas anteriores.
TD.141 d TD.184a TD.227a TD.270e
TD.142 a TD.185 e TD.228e TD.271 e
TD.143a TD.186a TD.229d TD.272 b
TD.144d TD.187 e TD.230d TD.273e
TD.145d TD.188b TD.231 e TD.274b
TD.146e TD.189 e TD.232a TD.275e
TD.147 d TD.190d TD.233e TD.276a
TD.148b TD.191 d TD.234e TD.277d
TD.149b TD.192 a TD.235a TD.278e
TD.150d TD.193e TD.236e TD.279 e
TD.151 b TD.194e TD.237e TD.280e
TD.152b TD.195b TD.238d TD.281 b
TD.153e TD.196a TD.239d TD.282 d
TD.154e TD.197 e TD.240d TD.283a
TD.155 e TD.198a TD.241 e TD.284b
TD.156e TD.199b TD.242b TD.285d
TD.157 b TD.200e TD.243e TD.286a
TD.158b TD.201 d TD.244d TD.287e
TD.159 e TD.202e TD.245b TD.288 a
TD.160b TD.203e TD.246e TD.289a
TD.161 b TD.204e TD.247 e TD.290b
TD.162 b TD.205b TD.248 e TD.291 e
TD.163d TD.206e TD.249 b TD.292 e
TD.164a TD.207 d TD.250d TD.293a
TD.165d TD.208b TD.251 e TD.294 e
TD.166e TD.20ge TD.252e TD.295a
TD.167a TD.210b TD.253e TD.296b
TD.168e TD.211 e TD.254d TD.297e
TD.16ge TD.212 b TD.255d TD.298e
TD.170b TD.213a TD.256d TD.299 e
TD.171 e TD.214a TD.257 e TD.300d
TD.172 b TD.215a TD.258 b TD.301 a
TD.173b TD.216 d TD.269d TD.302d
TD.174a TD.217 b TD.260e TD.303b
TD.175a TD.218e TD.261 d TD.304b
TD.176a TD.219 e TD.262b TD.305 e
TD.177b TD.220e TD.263e TD.306 e
TD.178e TD.221 e TD.264e TD.307a
TD.179d TD.222a TD.265b TD.308b
TD.180d TD.223d TD.266e TD.309d
TD.181 a TD.224e TD.267d TD.310 e
TD.182a TD.225d TD.268d
TD.183d TD.226b TD.269e
228-0