[RESOLUÇÃO]Calculo A - Diva Flemming - Cap5 Parte 5

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432 
5.16 – EXERCÍCIO – pg. 239 
1. Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções: 
a) 5;1e0;)( 2/ === ncexf x 
 
 
 
No ponto 0=c : 
5432
5432
5
3840
1
384
1
48
1
8
1
2
11
!5.32
1
!4.16
1
!3.8
1
!2.4
1
2
11)(
xxxxx
xxxxxxP
+++++=
+++++=
 
No ponto 1=c : 






−+−+−+−+−+=
−+−+−+−+−+=
5432
5432
5
)1(
3840
1)1(
384
1)1(
48
1)1(
8
1)1(
2
11
)1(
!5.32
1)1(
!4.16
1)1(
!3.8
1)1(
!2.4
1)1(
2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xxxxxe
xexexexexeexP
 
 
b) 4;2e1;)( =−== − ncexf x 
x
x
x
x
x
exf
exf
exf
exf
exf
V
IV
−
−
−
−
−
−=
=
−=′′′
=′′
−=′
)(
)(
)(
)(
)(
 
32
)(
16
)(
8
)(
42.2
)(
2
)(
2
2
2
22
2
x
V
x
IV
x
xx
x
e
xf
e
xf
e
xf
ee
xf
e
xf
=
=
=′′′
==′′
=′
 433 
Para 1−=c : 





 +
+
+
−
+
++−=
+++−+++−=
+++−+++−+=
24
)1(
6
)1(
2
)1()1(1
)1(
24
)1(
6
)1(
2
)1(
)1(
!4
)1(
!3
)1(
!2
)1()()(
432
432
4
1
3
1
2
1
1
4
xxx
xe
x
e
x
e
x
e
xee
x
e
x
e
x
e
xeexP
 
Para 2=c : 





 −
+
−
−
−
+−−=
−+−−−+−−=
−
−−−
−−
!4
)2(
!3
)2(
!2
)2()2(1
)2(
!4
)2(
!3
)2(
!2
)2()(
432
2
4
2
3
2
2
2
22
4
xxx
xe
x
e
x
e
x
e
xeexP
 
 
c) 4;2/1e0);1ln()( ==−= ncxxf 
58
3
46
2
34
22
)1(
24
)1(
)1.()1(4.6)(
)1(
6
)1(
)1.()1(3.2)(
)1(
2
)1(
)1).(1(2)(
)1(
1
)1(
)1(0).1()(
1
1)(
xx
x
xf
xx
x
xf
xx
x
xf
xx
x
xf
x
xf
V
IV
−
−
=
−
−−
=
−
−
=
−
−−
=
−
−
=
−
−−
=′′′
−
−
=
−
−+−
=′′
−
−
=′
 
Para 0=c : 
432
4 !4
6
!3
2
!2
1
1
10)( xxxxxP −−−−+= 
Para 2/1=c : 
432
4 2
1
!4
96
2
1
!3
16
2
1
!2
4
2
122ln)( 





−−





−−





−−





−−−= xxxxxP
 
d) 8;2/;)( === ncxsenxf pi 
 434 
VIIIIV
VII
VI
V
fxsenxf
fxxf
fxsenxf
fxxf
==
=−=′′′
=−=′′
==′
)(
cos)(
)(
cos)(
 
8642
8 2!8
1
2!6
1
2!4
1
2!2
)1(1)( 





−+





−−





−+





−
−
+=
pipipipi
xxxxxP 
e) 6;2/e0;2cos)( === ncxxf pi 
xxf
xsenxf
xxf
xsenxf
xxf
xsenxf
VI
V
IV
III
II
I
2cos64)(
232)(
2cos16)(
28)(
2cos4)(
22)(
−=
−=
=
=
−=
−=
 
Para 0=c : 
642
642
6
45
4
3
221
!6
64
!4
16
!2
41)(
xxx
xxxxP
−+−=
−+−=
 
Para 
2
pi
=c : 
642
642
6
245
4
23
2
2
21
2!6
64
2!4
16
2!2
41)(






−+





−−





−+−=






−+





−−





−+−=
pipipi
pipipi
xxx
xxxxP
 
f) 4;1e0;
1
1)( ==
+
= nc
x
xf 
 435 
5
4
3
2
)1(
24)(
)1(
6)(
)1(
2)(
)1(
1)(
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
IV
III
II
I
+
=
+
−
=
+
=
+
−
=
 
 
Para 0=c : 
432
432
4
1
!4
24
!3
6
!2
21)(
xxxx
xxxxxP
+−+−=
+−+−=
 
Para 1=c : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )432
432
4
1
32
11
16
1)1(
8
11
4
1
2
1
1
!4.4
31
!3.8
3)1(
!2.4
11
4
1
2
1)(
−+−−−+−−−=
−+−−−+−−−=
xxxx
xxxxxP
 
 
2. Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o 
resto na forma de Lagrange, das seguintes funções: 
 
a) 0,4,cosh === cnxy 
1
2
cosh
0
2
1
2
cosh
0
2
1
2
cosh
00
00
00
00
00
=
+
==
=
−
==
=
+
==
=
−
==
=
+
==
−
−
−
−
−
ee
xy
ee
senhxy
ee
xy
ee
senhxy
ee
xy
IV
III
II
I
 
 436 
242
1)(
!4
1
!2
11)(
42
4
42
4
xx
xP
xxxP
++=
++=
 
. e 0 entre n um éonde
!5
)(
)0(
!5
)()(
5
4
5
4
xzx
senhz
xR
x
zf
xR
v
°=
−=
 
b) pi=== cntgxy ,3, 
tgxxxtgtgxxxtgxxxy
ytgxxtgxxxy
ytgxxy
yxy
ytgxy
IV
III
II
I
.sec8.)2.(sec.sec4.sec.sec8
2)('''.sec4.sec.sec2
0)(''.sec2
1)('sec
0)(
22223
222
2
2
+−+=
=⇒+=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
pi
pi
pi
pi
 
4
324
3
3
3
3
)(
!4
.sec8.sec16)(
3
)(
!3
)(2)(1)(
pi
pi
pi
pi
pi
−
+
=
−
+−=
−
+−=
x
ztgztgzz
xR
x
x
x
xxP
 
 
c) 1;3; === cnxy 
2/7
2/5
2/3
2/1
2/1
16
15
8
3)1(
8
3
4
1)1(
4
1
2
1)1(
2
1
1)1(
−
−
−
−
−=
=⇒=
−=⇒−=
=⇒=
=⇒=
xy
yxy
yxy
yxy
yxy
IV
IIIIII
IIII
II
 
 
 
 437 
32
32
3
)1(
16
1)1(
8
1)1(
2
11
)1(
!3
1
.
8
3)1(
!2
1
.
4
1)1(
2
11)(
−+−−−+=
−+−−−+=
xxx
xxxxP
 
4
33
)1(
24
1
.
16
15)( −−= x
zz
xR 
 
 
d) 0c 4;n;2 === −xey . 
222
222
222
22
22
2
2
53
42
2
2
32120160
121648
8.)2(4)2(2
42
)2(.22
2
xxx
xxx
xxx
xx
xx
x
x
exxeexy
eexexy
xexexxey
exe
xexey
xey
ey
V
IV
III
II
I
−−−
−−−
−−−
−−
−−
−
−
−−=
++−=
+−+−−=
+−=
−−+−=
−=
=
 
12)0(
0)0(
2)0(
0)0(
1)0(
=
=
−=
=
=
IV
III
II
I
y
y
y
y
y
 
( ) 5534
4
2
42
4
32120160
!5
)(
2
1
!4
12
!2
21)(
2
xzzz
e
xR
x
x
xxxP
z
−−=
+−=
+−=
−
 
 
3. Usando o resultado encontrado no exercício 1, item (c), com 0=c , determinar um 
valor aproximado para 0,5ln . Fazer uma estimativa para o erro. 
 438 
5
5
5
54
432
4
44
)1(5
!5
1
.)1(
24)(
4
1
3
1
2
1)(
)5,0()5,0(5,0ln
z
x
x
z
xR
xxxxxP
RP
−
−
=
−
−
=
−−−−=
+=
 
0,5. e 0 entre número um é onde)1(5
)5,0()5,0(
4
1)5,0(
3
1)5,0(
2
15,05,0ln 5
5
432 z
z−
−
+−−−−=⇒
 
682292,0
015625,0041666,0125,05,05,0ln
−=
−−−−=
 
1)1(
1
5,0
1
1
1
1
5,0
1
115,0
05,0
5,00
55 >
−
>
>
−
>
<−<
<−<−
<<
z
z
z
z
z
 
2,0
5,0
00625,0
)1(
00625,0)5,0( 554 =<
−
−
=
z
R 
 
4. Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função cos1 x f(x) += no ponto 
pi=c . Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para 6/5cos pi . 
Fazer uma estimativa para o erro. 
 439 
senxxf
fxxf
fsenxxf
fxxf
fsenxxf
fxxf
fsenxxf
fxxf
VII
VIVI
V
IV
III
II
I
v
v
=
=⇒−=
=⇒−=
−=′⇒=
=′′′⇒=
=′′⇒−=
=⇒−=
=⇒+=
)(
1)(cos)(
0)()(
1)(cos)(
0)()(
1)(cos)(
0)('0)(
0)(cos1)(
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
 
642
642
6
)(
720
1)(
24
1)(
2
1
)(
!6
1)(
!4
1)(
!2
1)(
pipipi
pipipi
−+−−−=
−+−−−=
xxx
xxxxP
 
8660331,0
000028619,00031317,013707,01
6
5
720
1
6
5
24
1
6
5
2
11
6
5
cos
)(
720
1)(
24
1)(
2
11cos
1)(cos
642
642
−=
+−+−=






−+





−−





−+−≅





−+−−−+−≅
−=
pi
pi
pi
pi
pi
pipi
pipipi xxxx
xfx
 
0000213,0
!7
6
5
6
5
1
)
6
5(
!76
5
)(
!7
)(
7
6
7
6
7
6
≅






−
≤





≤
−=





−=
pi
pi
pi
pi
pipi
pi
R
senz
senzR
x
senz
xR
 
5. Demonstrar que a diferença entre sen( ha + ) e ahasen cos+ é menor ou igual a 
.2
2
1 h . 
senxy
xy
senxy
−=′′
=′
=
cos 
 440 
)(cos)(
)()(cos)(
)()(cos
1
1
1
haRahsenahasen
haRahaasenahasen
xRaxasenasenx
+++=+
++−++=+
+−+=
 
2
2
2
2
)(
2
)(
2
2
2
2
1
2
1
h
senz
h
senz
h
hsenzhaR
hsenzhaR
≤
=
−=
−
=+
−
=+
 
6. Um fio delgado, pela ação da gravidade, assume a forma da catenária 
.
x
cosh a y 
a
= Demonstrar que, para val ores pequenos de || x , a forma que o fio toma 
pode ser representada, aproximadamente, pela parábola .
2
2
a
x
ay += 
a
y
a
xh
a
y
y
a
x
senh
a
x
senh
a
ay
ay
a
x
ay
1)0("cos1
0)0('
)0(cosh
=⇒=′′
=⇒==′
=⇒=
 
a
x
a
x
a
axP
2
!2
1
.
1)(
2
2
2
+=
+=
 
 
7. Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções: 
a) 42)( −= xxf 
mínimos. nem máximos
críticos pontos2)(
∃/
∃/=′ xf
 
b) 2654)( xxxf +−= 
 441 
12
5
512
0125
125)(
=
=
=+−
+−=′
x
x
x
xxf
 
mínimo de ponto é 
12
5
 0
12)(
12
5 =⇒>′′
=′′
xf
xf
 
c) 10)4()( −= xxf 
40)4(10
)4(10)(
9
9
=⇒=−
−=′
xx
xxf
 
mínimo. de ponto é 40
0
)4(5040)(
)4(720)(
)4(90)(
10
9
6
7
8
=⇒>=
=====
−=
−=
−=
xKf
fffff
xxf
xxf
xxf
VIIIVIIVIV
IV
III
II
 
d) 7)2(4)( += xxf 
inflexão. de ponto é2
)(
)2()(
)2()(
)2()(
)2()(
)2()(
)2(28)(
5
4
2
3
3
2
4
1
5
6
−=⇒
=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
x
kxf
xkxf
xkxf
xkxf
xkxf
xkxf
xxf
VII
VI
V
IV
III
II
I
 
 
e) 46 2x - xf(x) = 
 442 
3
2
 
3
20
0)86(
086
86)(
2)(
321
23
35
35
46
−===
=−
=−
−=′
−=
xxx
xx
xx
xxxf
xxxf
 
máximo de ponto é 00 
48360)(
48120)(
2430)(
10
2
3
24
=⇒<
−=
−=
−=
xf
xxf
xxxf
xxxf
IV
IV
III
II
 
mínimo. de ponto é 0
mínimo. de ponto é 0
3
2
3
2
3
2
3
2
−=⇒>
=⇒>
−
xf
xf
II
II
 
f) 35
3
125)( xxxf −= 
550
25
5
125
1255
01255
0)1255(
01255
3
3
1255)(
321
2
2
2
2
22
24
24
−===
=
=
=
=−
=−
=−
−=′
xxx
x
x
x
x
xx
xx
xxxf
 
inflexão. de pontoé00
25060
máximo. de ponto é 5012502500
mínimo. de ponto é 50
25020
0
2
5
5
3
=⇒≠′′′
−=′′′
−=⇒<+−=′′
=⇒>′′
−=′′
−
xf
xf
xf
xf
xxf