Construções Fundamentais II

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Construc¸o˜es Fundamentais
Em´ılio Eiji Kavamura
Pontif´ıcia Universidade do Parana´
7 de abril de 2013
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Parte IV
INTRODUC¸A˜O A`S
CONSTRUC¸O˜ES GEOME´TRICAS
- II
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
SUMA´RIO - Parte
1 Construc¸o˜es Fundamentais
2 Notac¸a˜o p/construc¸o˜es geome´tricas
3 Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares
4 Tangentes
5 Concordaˆncias
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
SUMA´RIO - sec¸a˜o
1 Construc¸o˜es Fundamentais
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
SUMA´RIO - sec¸a˜o
2 Notac¸a˜o p/construc¸o˜es geome´tricas
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Letras utilizadas
A
D letras maiu´sculas para pontos;
2 letras maiu´sculas para
segmentos;
letras minu´sculas para retas;
letras gregas minu´sculas para
curvas;
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Letras utilizadas
A
D
AD
letras maiu´sculas para pontos;
2 letras maiu´sculas para
segmentos;
letras minu´sculas para retas;
letras gregas minu´sculas para
curvas;
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Letras utilizadas
A
D
r
letras maiu´sculas para pontos;
2 letras maiu´sculas para
segmentos;
letras minu´sculas para retas;
letras gregas minu´sculas para
curvas;
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Letras utilizadas
α
β letras maiu´sculas para pontos;
2 letras maiu´sculas para
segmentos;
letras minu´sculas para retas;
letras gregas minu´sculas para
curvas;
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Indicac¸o˜es de medida e orientac¸a˜o
A
D
AD
AD e´ a medida do segmento AD;
As distaˆncia entre elementos sa˜o
indicados da seguinte forma:
dist(A,D) entre os pontos A e D;
dist(A,r) entre o ponto A e a
reta r ;
dist(r,s) entre as retas r e s;
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Indicac¸o˜es de medida e orientac¸a˜o
A
D
AD
AD e´ a medida do segmento AD;
As distaˆncia entre elementos sa˜o
indicados da seguinte forma:
dist(A,D) entre os pontos A e D;
dist(A,r) entre o ponto A e a
reta r ;
dist(r,s) entre as retas r e s;
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Indicac¸o˜es de medida e orientac¸a˜o
A
AD e´ a medida do segmento AD;
As distaˆncia entre elementos sa˜o
indicados da seguinte forma:
dist(A,D) entre os pontos A e D;
dist(A,r) entre o ponto A e a
reta r ;
dist(r,s) entre as retas r e s;
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Indicac¸o˜es de medida e orientac¸a˜o
A
dist(A,D)
AD e´ a medida do segmento AD;
As distaˆncia entre elementos sa˜o
indicados da seguinte forma:
dist(A,D) entre os pontos A e D;
dist(A,r) entre o ponto A e a
reta r ;
dist(r,s) entre as retas r e s;
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Indicac¸o˜es de medida e orientac¸a˜o
r
s
AD e´ a medida do segmento AD;
As distaˆncia entre elementos sa˜o
indicados da seguinte forma:
dist(A,D) entre os pontos A e D;
dist(A,r) entre o ponto A e a
reta r ;
dist(r,s) entre as retas r e s;
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Indicac¸o˜es de medida e orientac¸a˜o
dist(s, r)
r
s
AD e´ a medida do segmento AD;
As distaˆncia entre elementos sa˜o
indicados da seguinte forma:
dist(A,D) entre os pontos A e D;
dist(A,r) entre o ponto A e a
reta r ;
dist(r,s) entre as retas r e s;
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Operac¸o˜es
S´ımbolo Uso
∠ um aˆngulo;
⊥ perpendicular;
// paralelo;
∈ pertence a;
∩ intersecc¸a˜o;
⊂ esta´ contido em;
> maior que;
< menor que;
� (A, s) circunfereˆncia de centro A e raio s;
r Oˆs aˆngulo entre as retas r e s;
AOˆB aˆngulo entre os segmentos OA e OB
∀ qualquer;
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Letras Gregas
Minu´sculo Maiu´sculo Pronuncia
α A alfa
β B beta
χ X ksi
δ ∆ delta
� , ε E epsilon
η E eta
γ Γ gama
ι I iota
κ K kapa
λ Λ lambda
µ M mi
ν N ni
Minu´sculo Maiu´sculo Pronuncia
ω Ω omega
o O omicron
φ , ϕ Φ phi
pi , $ Π pi
ψ Ψ psi
ρ , % P ro
σ, ς Σ sigma
τ T tau
θ , ϑ Θ theta
υ Υ upsilon
ξ Ξ chi
ζ Z zeta
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SUMA´RIO - sec¸a˜o
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
3 Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Triaˆngulo inscrito
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
3 Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Triaˆngulo inscrito
Problema no8 - Triaˆngulo inscrito
O
α
Dada uma circunfereˆncia α,
inscrever um triaˆngulo equila´tero.
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Triaˆngulo inscrito
Problema no8- Triaˆngulo inscrito - soluc¸a˜o
O
α
1 α = � (O, r)
{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = � (D, r);
4 β ∩ α = {C ,D};
5 AB ,BC ,CA;
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Triaˆngulo inscrito
Problema no8- Triaˆngulo inscrito - soluc¸a˜o
O
α
D
1 α = � (O, r)
{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = � (D, r);
4 β ∩ α = {C ,D};
5 AB ,BC ,CA;
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Triaˆngulo inscrito
Problema no8- Triaˆngulo inscrito - soluc¸a˜o
O
α
D
A
1 α = � (O, r)
{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = � (D, r);
4 β ∩ α = {C ,D};
5 AB ,BC ,CA;
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Triaˆngulo inscrito
Problema no8- Triaˆngulo inscrito - soluc¸a˜o
O
α
D
A
β
1 α = � (O, r)
{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = � (D, r);
4 β ∩ α = {C ,D};
5 AB ,BC ,CA;
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Triaˆngulo inscrito
Problema no8- Triaˆngulo inscrito - soluc¸a˜o
O
α
D
A
β
CB
1 α = � (O, r)
{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = � (D, r);
4 β ∩ α = {C ,D};
5 AB ,BC ,CA;
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Triaˆngulo inscrito
Problema no8- Triaˆngulo inscrito - soluc¸a˜o
O
α
D
A
β
CB
1 α = � (O, r)
{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = � (D, r);
4 β ∩ α = {C ,D};
5 AB ,BC ,CA;
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Triaˆngulo inscrito
Problema no8- Triaˆngulo inscrito - soluc¸a˜o
O
α
A
CB
1 α = � (O, r)
{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = � (D, r);
4 β ∩ α = {C ,D};
5 AB ,BC ,CA;
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Quadrado inscrito
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
3 Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas
Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito
O
α
Dada uma circunfereˆncia α,
inscrever um quadrado.
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - soluc¸a˜o
O
α
1 α = � (O, r)
{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC ;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB ,BC ,CD,DA;
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - soluc¸a˜o
O
α
C
1 α = � (O, r)
{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC ;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB ,BC ,CD,DA;
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - soluc¸a˜o
O
α
C
A
1 α = � (O, r)
{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC ;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB ,BC ,CD,DA;
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - soluc¸a˜o
O
α
C
A
D
1 α = � (O, r)
{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC ;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB ,BC ,CD,DA;
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - soluc¸a˜o
O
α
C
A
D B
1 α = � (O, r)
{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC ;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB ,BC ,CD,DA;
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - soluc¸a˜o
O
α
C
A
D B
1 α = � (O, r)
{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC ;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB ,BC ,CD,DA;
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Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - soluc¸a˜o
O
α
C
A
D B
1 α = � (O, r)
{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC ;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB ,BC ,CD,DA;
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Penta´gono inscrito
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
3 Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito
O
α
Dada uma circunfereˆncia α,
inscrever um penta´gono.
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
C
A
D B
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
C
A
D B
β1
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
P
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
A β1
N
P
β2
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
A
β2
Q
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
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α
O
α
A
β2
Q
E
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Penta´gono inscrito
Problema no10 - Penta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
A
E H
F G
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
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Penta´gono inscrito
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α
O
α
A
E H
F G
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = � (P ,PA);
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 � (A,AQ) ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG ,GH ,HA;
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Hexa´gono inscrito
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3 Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
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Hexa´gono inscrito
Problema no11 - Hexa´gono inscrito
O
α
Dada uma circunfereˆncia α,
inscrever um hexa´gono.
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Hexa´gono inscrito
Problema no11 - Hexa´gono inscrito - soluc¸a˜o
O
α
1 α = � (O, r)
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = � (A, r);
β2 = � (D, r);
3 β1 ∩ α = {B ,F};
β2 ∩ α = {C ,E};
4 AB ,BC ,CD,DE ,EF ,FA;
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Hexa´gono inscrito
Problema no11 - Hexa´gono inscrito - soluc¸a˜o
O
α
A
D
1 α = � (O, r)
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = � (A, r);
β2 = � (D, r);
3 β1 ∩ α = {B ,F};
β2 ∩ α = {C ,E};
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Hexa´gono inscrito
Problema no11 - Hexa´gono inscrito - soluc¸a˜o
O
α
A
D
β1
β2
1 α = � (O, r)
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = � (A, r);
β2 = � (D, r);
3 β1 ∩ α = {B ,F};
β2 ∩ α = {C ,E};
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Hexa´gono inscrito
Problema no11 - Hexa´gono inscrito - soluc¸a˜o
O
α
A
D
β1
β2
B F
C E
1 α = � (O, r)
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = � (A, r);
β2 = � (D, r);
3 β1 ∩ α = {B ,F};
β2 ∩ α = {C ,E};
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Hexa´gono inscrito
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O
α
A
D
B F
C E
1 α = � (O, r)
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = � (A, r);
β2 = � (D, r);
3 β1 ∩ α = {B ,F};
β2 ∩ α = {C ,E};
4 AB ,BC ,CD,DE ,EF ,FA;
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Hexa´gono inscrito
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O
α
A
D
B F
C E
1 α = � (O, r)
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = � (A, r);
β2 = � (D, r);
3 β1
∩ α = {B ,F};
β2 ∩ α = {C ,E};
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Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
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Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
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O
α
Dada uma circunfereˆncia α,
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α
O
α
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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α
O
α
C
A
D B
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
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α
O
α
C
A
D B
β1
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
P
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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O
α
A
M
P
E
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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α
O
α
A
E
F
GH
I
J
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Hepta´gono inscrito
Problema no12 - Hepta´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
α
A
E
F
GH
I
J
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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Hepta´gono inscrito
Problema no12 - Hepta´gono inscrito - soluc¸a˜o
O
A
E
F
GH
I
J
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
2 β1 = � (B , r);
3 β1 ∩ α = {M ,N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE ,EF ,FG ,GH ,HI , IJ , JA;
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Octo´gono inscrito
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
3 Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Octo´gono inscrito
Problema no13 - Octo´gono inscrito
O
α Dada uma circunfereˆncia α,
inscrever um octo´gono.
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Octo´gono inscrito
Problema no13 - Octo´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD;
AC ∩ BD = {O}
2 AOˆE = EOˆB ;
3 AOˆG = GOˆD;
4 AE ,EB ,BF ,FC ,
CH ,HD,DG ,GA;
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Octo´gono inscrito
Problema no13 - Octo´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
C
A
D B
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD;
AC ∩ BD = {O}
2 AOˆE = EOˆB ;
3 AOˆG = GOˆD;
4 AE ,EB ,BF ,FC ,
CH ,HD,DG ,GA;
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Octo´gono inscrito
Problema no13 - Octo´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
C
A
D B
E
H
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD;
AC ∩ BD = {O}
2 AOˆE = EOˆB ;
3 AOˆG = GOˆD;
4 AE ,EB ,BF ,FC ,
CH ,HD,DG ,GA;
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Octo´gono inscrito
Problema no13 - Octo´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
C
A
D B
E
F
G
H
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD;
AC ∩ BD = {O}
2 AOˆE = EOˆB ;
3 AOˆG = GOˆD;
4 AE ,EB ,BF ,FC ,
CH ,HD,DG ,GA;
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Octo´gono inscrito
Problema no13 - Octo´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
C
A
D B
E
F
G
H
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD;
AC ∩ BD = {O}
2 AOˆE = EOˆB ;
3 AOˆG = GOˆD;
4 AE ,EB ,BF ,FC ,
CH ,HD,DG ,GA;
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Octo´gono inscrito
Problema no13 - Octo´gono inscrito - soluc¸a˜o
α
O
C
A
D B
E
F
G
H
1 α = � (O, r)
{A,B ,C ,D} ∈ α;
AC⊥BD;
AC ∩ BD = {O}
2 AOˆE = EOˆB ;
3 AOˆG = GOˆD;
4 AE ,EB ,BF ,FC ,
CH ,HD,DG ,GA;
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SUMA´RIO - sec¸a˜o
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
4 Tangentes
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Tangente
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
4 Tangentes
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Tangente
Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e
um ponto P fora dela.
Trac¸ar por P a tangente
a` α.
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Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e
um ponto P fora dela.
Trac¸ar por P a tangente
a` α.
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4-
07
Desenho Te´cnico - NivelamentoConstruc¸o˜es
Fundamentais
Tangentes
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto
dado
Problema no14 - Tangente a uma
circunfereˆnciaDefinic¸a˜o: circunfereˆncia tangente (a uma curva) e´ a circunfereˆncia
que possui apenas um u´nico ponto em comum com esta curva.
Pelo ponto de tangeˆncia de duas circunfereˆncias passa a reta que
une os seus centros.
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Tangente
Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia
α O
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e
um ponto P fora dela.
Trac¸ar por P a tangente
a` α.
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Tangente
Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia
α O
P
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e
um ponto P fora dela.
Trac¸ar por P a tangente
a` α.
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Tangente
Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia
α O
P
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e
um ponto P fora dela.
Trac¸ar por P a tangente
a` α.
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Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
P
O
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Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
P
O
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Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
P
O
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Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
P
O
M
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Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
P
O
M
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Problema no14 - Tangente a uma circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
P
O
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Circunfereˆncia Tangente
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
4 Tangentes
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e um ponto dela
qualquer A,
um ponto P fora dela.
Trac¸ar uma circunfereˆncia tan-
gente a α que passe por P e A.
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Problema no15 - Circunfereˆncia tangente
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e um ponto dela
qualquer A,
um ponto P fora dela.
Trac¸ar uma circunfereˆncia tan-
gente a α que passe por P e A.
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Desenho Te´cnico - NivelamentoConstruc¸o˜es
Fundamentais
Tangentes
Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente
Definic¸a˜o: circunfereˆncia tangente (a uma curva) e´ a circunfereˆncia
que possui apenas um u´nico ponto em comum com esta curva.
Pelo ponto de tangeˆncia de duas circunfereˆncias passa a reta que
une os seus centros.
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente
α O
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e um ponto dela
qualquer A,
um ponto P fora dela.
Trac¸ar uma circunfereˆncia tan-
gente a α que passe por P e A.
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente
α O
A
Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e um ponto dela
qualquer A,
um ponto P fora dela.
Trac¸ar uma circunfereˆncia tan-
gente a α que passe por P e A.
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente
α O
A
P Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e um ponto dela
qualquer A,
um ponto P fora dela.
Trac¸ar uma circunfereˆncia tan-
gente a α que passe por P e A.
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente
α O
A
P Dada uma circunfereˆncia
α = � (O, r) e um ponto dela
qualquer A,
um ponto P fora dela.
Trac¸ar uma circunfereˆncia tan-
gente a α que passe por P e A.
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente - soluc¸a˜o
α
P
O
A
1 OA;
2 PA;
3 � (A, r) ∩ � (P , r) =
{M ,N};
4 MN ∩ OA = {I};
5 � (I , IA);
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente - soluc¸a˜o
α
P
O
A
1 OA;
2 PA;
3 � (A, r) ∩ � (P , r) =
{M ,N};
4 MN ∩ OA = {I};
5 � (I , IA);
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente - soluc¸a˜o
α
P
O
A
1 OA;
2 PA;
3 � (A, r) ∩ � (P , r) =
{M ,N};
4 MN ∩ OA = {I};
5 � (I , IA);
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente - soluc¸a˜o
α
P
O
A
M
N
1 OA;
2 PA;
3 � (A, r) ∩ � (P , r) =
{M ,N};
4 MN ∩ OA = {I};
5 � (I , IA);
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente - soluc¸a˜o
α
P
O
A
M
N
I
1 OA;
2 PA;
3 � (A, r) ∩ � (P , r) =
{M ,N};
4 MN ∩ OA = {I};
5 � (I , IA);
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente - soluc¸a˜o
α
P
O
A
I
1 OA;
2 PA;
3 � (A, r) ∩ � (P , r) =
{M ,N};
4 MN ∩ OA = {I};
5 � (I , IA);
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Circunfereˆncia Tangente
Problema no15 - Circunfereˆncia tangente - soluc¸a˜o
α
P
O
A
I
1 OA;
2 PA;
3 � (A, r) ∩ � (P , r) =
{M ,N};
4 MN ∩ OA = {I};
5 � (I , IA);
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
Tangente a Duas Circunfereˆncia
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
4 Tangentes
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia
Dadas duas circunfereˆncia
α = � (O, r) e α′ =
� (O ′, r ′),
Trac¸ar uma reta tangente a α
e α′ .
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia
α O
Dadas duas circunfereˆncia
α = � (O, r) e α′ =
� (O ′, r ′),
Trac¸ar uma reta tangente a α
e α′ .
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia
α O
α′ O ′
Dadas duas circunfereˆncia
α = � (O, r) e α′ =
� (O ′, r ′),
Trac¸ar uma reta tangente a α
e α′ .
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia
α O
α′ O ′
Dadas duas circunfereˆncia
α = � (O, r) e α′ =
� (O ′, r ′),
Trac¸ar uma reta tangente a α
e α′ .
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
M N
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
M NI
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
M NI
β1
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
I
β1
β2
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
I
β1
β2
P Q
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
I
β1
β2
P Q
A D
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
A D
B C
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Problema no16 - Tangente a Duas Circunfereˆncia - soluc¸a˜o
α
O
α′
O ′
A D
B C
1 OO ′;
2 � (O, a) ∩ � (O ′, a) =
{M ,N},
a > OO ′/2;
3 MN ∩ OO ′ = {I};
4 β1 = �
(
I , IO
)
;
5 β2 = � (O, r − r ′);
6 β1 ∩ β2 = {P ,Q};
7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};
8 O ′B//OA;
O ′C//OD;
9 AB ;
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
M N
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
M N
I
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
I
β1
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
I
β1
β2
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
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α
O
α′
O ′
I
β1
β2
P Q
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
I
β1
β2
P Q
A D
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
A D
B C
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Tangente a Duas Circunfereˆncia
Revisando
α
O
α′
O ′
A D
B C
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SUMA´RIO - sec¸a˜o
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
5 Concordaˆncias
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
2 retas e r1, r2
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o
de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
5 Concordaˆncias
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r1 e r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raios r1 e r2.
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias
A B
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r1 e r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raios r1 e r2.
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias
A B
C D
r1
r2
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r1 e r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raios r1 e r2.
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias
A B
C D
r1
r2
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r1 e r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raios r1 e r2.
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
m
n
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
m
n
p
q
O
r1
r2
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
m
n
p
q
O
r1
r2
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
p
q
O
r1
r2
P
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
p
q
O
r1
r2
P
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
p
q
O
r1
r2
P
Q
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
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Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
p
q
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r1
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P
Q
R
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
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Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
p
q
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r1
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P
Q
R
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
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Concordaˆncias
2 retas e r1, r2
Problema no17 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r1
r2
OP
Q
R
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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Revisando
A B
C D
r1
r2
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A B
C D
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m
n
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Revisando
A B
C D
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Revisando
A B
C D
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A B
C D
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P
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Revisando
A B
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Revisando
A B
C D
r1
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Q
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Revisando
A B
C D
r1
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Revisando
A B
C D
r1
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p
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r1
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P
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R
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2 retas e r1, r2
Revisando
A B
C D
r1
r2
OP
Q
R
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2 retas e r1
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
5 Concordaˆncias
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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2 retas e r1
Problema no18 - Concordaˆncias
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r = r1 = r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raio r .
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2 retas e r1
Problema no18 - Concordaˆncias
A B
C D
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r = r1 = r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raio r .
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2 retas e r1
Problema no18 - Concordaˆncias
A B
C D
r = r1 = r2
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r = r1 = r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raio r .
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2 retas e r1
Problema no18 - Concordaˆncias
A B
C D
r = r1 = r2
Dados dois segmentos de
retas paralelos AB e CD e os
raios r = r1 = r2
Trac¸ar a concordaˆncia com
dois arcos com raio r .
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2 retas e r1
Problema no18 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r = r1 = r2
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
9 � (O, r1);
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Problema no18 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r = r1 = r2
m
n
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
9 � (O, r1);
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Problema no18 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r = r1 = r2
m
n
p
q
O
r
r
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
9 � (O, r1);
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Problema no18 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r = r1 = r2
m
n
p
q
O
r
r
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
9 � (O, r1);
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A B
C D
r = r1 = r2
p
q
O
r
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P
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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A B
C D
r = r1 = r2
p
q
O
r
r
P
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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A B
C D
r = r1 = r2
p
q
O
r
r
P
Q
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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A B
C D
r = r1 = r2
p
q
O
r
r
P
Q
R
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
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2 retas e r1
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A B
C D
r = r1 = r2
p
q
O
r
r
P
Q
R
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
9 � (O, r1);
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2 retas e r1
Problema no18 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
A B
C D
r = r1 = r2
OP
Q
R
1 m⊥AB ;
n⊥CD;
2 p⊥m, dist(p,AB) = r1;
q⊥n, dist(q,CD) = r2;
q ∩ n = {O};
3 α1 = � (O, r1 + r2);
4 α1 ∩ p = {P};
5 OP ;
6 PQ⊥AB ,Q ∈ AB ;
7 � (P , r2) ∩ PO = {R};
8 � (P , r2);
9 � (O, r1);
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2 �s e r
TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
5 Concordaˆncias
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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2 �s e r
Problema no19 - Concordaˆncias
Dados duas circunfereˆncias
externas uma da outra, de
raios r1 e r2 enta˜o por meio de
arcos com raio r trac¸ar a con-
cordaˆncia das circunfereˆncias.
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2 �s e r
Problema no19 - Concordaˆncias
α1
α2
r2
r1
O2
O1
Dados duas circunfereˆncias
externas uma da outra, de
raios r1 e r2 enta˜o por meio de
arcos com raio r trac¸ar a con-
cordaˆncia das circunfereˆncias.
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2 �s e r
Problema no19 - Concordaˆncias
α1
α2
r2
r1
O2
O1
r
Dados duas circunfereˆncias
externas uma da outra, de
raios r1 e r2 enta˜o por meio de
arcos com raio r trac¸ar a con-
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Problema no19 - Concordaˆncias
α1
α2
r2
r1
O2
O1
r
M1 M2
Dados duas circunfereˆncias
externas uma da outra, de
raios r1 e
r2 enta˜o por meio de
arcos com raio r trac¸ar a con-
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Problema no19 - Concordaˆncias
α1
α2
r2
r1
O2
O1
r
M1 M2
Dados duas circunfereˆncias
externas uma da outra, de
raios r1 e r2 enta˜o por meio de
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Problema no19 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
α1
α2 O2
O1
r2
r1
r
1 β1 = � (O1, r1 + r);
β2 = � (O2, r2 + r);
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};
3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},
O2M1 ∩ α2 = {B1},
O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 � (M1,M1A1);
� (M2,M2A2)
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Problema no19 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
α1
α2 O2
O1
r2
r1
r
1 β1 = � (O1, r1 + r);
β2 = � (O2, r2 + r);
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};
3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},
O2M1 ∩ α2 = {B1},
O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 � (M1,M1A1);
� (M2,M2A2)
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Problema no19 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
α1
α2 O2
O1
r2
r1
r
M1 M2
1 β1 = � (O1, r1 + r);
β2 = � (O2, r2 + r);
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};
3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},
O2M1 ∩ α2 = {B1},
O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 � (M1,M1A1);
� (M2,M2A2)
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Problema no19 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
α1
α2 O2
O1
M1 M2
A2A1
B2B1
1 β1 = � (O1, r1 + r);
β2 = � (O2, r2 + r);
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};
3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},
O2M1 ∩ α2 = {B1},
O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 � (M1,M1A1);
� (M2,M2A2)
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Problema no19 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
α1
α2 O2
O1
M1 M2
A2A1
B2B1
1 β1 = � (O1, r1 + r);
β2 = � (O2, r2 + r);
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};
3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},
O2M1 ∩ α2 = {B1},
O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 � (M1,M1A1);
� (M2,M2A2)
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Problema no19 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
α1
α2 O2
O1
M1 M2
A2A1
B2B1
1 β1 = � (O1, r1 + r);
β2 = � (O2, r2 + r);
2 β1 ∩ β2 = {M1,M2};
3 O1M1 ∩ α1 = {A1}
O1M2 ∩ α1 = {A2},
O2M1 ∩ α2 = {B1},
O2M2 ∩ α2 = {B2};
4 � (M1,M1A1);
� (M2,M2A2)
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TO´PICOS
Inscric¸a˜o de um triaˆngulo numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o um quadrado numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um penta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um hexa´gono numa circunfereˆncia
Inscrever um hepta´gono numa circunfereˆncia
Inscric¸a˜o de um octo´gono numa circunfereˆncia
Tangente a uma circunfereˆncia por um ponto dado
Circunfereˆncia Tangente
Tangente a Duas Circunfereˆncia
Concordaˆncias- 2 retas e r1, r2
5 Concordaˆncias
Concordaˆncias - 2 retas e r1
Concordaˆncias: 2 �s e r
Concordaˆncias - 2 pontos e r
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunfereˆncia de raio R
e
uma reta a externa
trac¸ar a partir de P e P ′
a concordaˆncia da circunfereˆn-
cia com a reta a.
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias
P ′P
R
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunfereˆncia de raio R
e
uma reta a externa
trac¸ar a partir de P e P ′
a concordaˆncia da circunfereˆn-
cia com a reta a.
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias
P ′P
R
a
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunfereˆncia de raio R
e
uma reta a externa
trac¸ar a partir de P e P ′
a concordaˆncia da circunfereˆn-
cia com a reta a.
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Problema no20 - Concordaˆncias
P ′P
R
a
Dados dois pontos P e P ′
de uma circunfereˆncia de raio R
e
uma reta a externa
trac¸ar a partir de P e P ′
a concordaˆncia da circunfereˆn-
cia com a reta a.
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Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
r
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
r
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
r
O
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
A
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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P ′P
a
O
A
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
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P ′P
a
O
A
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
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P ′P
a
O
Q ′Q
A
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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P ′P
a
O
Q ′Q
A
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
Q ′Q
AC1 C2
D1 D2
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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Construc¸o˜es Fundamentais Notation Inscric¸a˜o de Pol´ıgonos Regulares Tangentes Concordaˆncias
2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
Q ′Q
AC1 C2
D1 D2
O1 O2
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
Q ′Q
A
D1 D2
O1 O2
B1 B2
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
Q ′Q
A
O1 O2
B1 B2
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
Q ′Q
A
O1 O2
B1 B2
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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2 pontos e r
Problema no20 - Concordaˆncias - soluc¸a˜o
P ′P
a
O
Q ′Q
O1 O2
B1 B2
1 β1 = � (P , r);
β2 = � (P ′, r);
2 β1 ∩ β2 = {O};
3 β3 = � (O, r);
4 OA⊥a;
5 AQtangenteβ3;
AQ ′tangenteβ3;
6 AD1 bissetriz de C1AˆQ;
AD2 bissetriz de C2AˆQ
′;
7 AD1 ∩ OQ = {O1};
AD2 ∩ OQ ′ = {O2};
8 O1B1⊥a; O2B2⊥a;
9 β4 =
(
O1,O1B1
)
;
β5 =
(
O2,O2B2
)
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	INTRODUÇÃO ÀS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
	Construções Fundamentais
	Notação p/construções geométricas
	Inscrição de Polígonos Regulares
	Inscrição de um triângulo numa circunferência
	Inscrição um quadrado numa circunferência
	Inscrição de um pentágono numa circunferência
	Inscrição de um hexágono numa circunferência
	Inscrever um heptágono numa circunferência
	Inscrição de um octógono numa circunferência
	Tangentes
	Tangente a uma circunferência por um ponto dado
	Circunferência Tangente
	 Tangente a Duas Circunferência
	Concordâncias
	Concordâncias- 2 retas e r1, r2
	Concordâncias - 2 retas e r1
	Concordâncias: 2 s e r
	Concordâncias - 2 pontos e r